ALGEBRA 1 B.docx

NIVELSECUNDARIA DE MENORES

LGEBRA

1Grado

SECUNDARIA

I N D I C E

I B I M E S T R E

Del 03 de Marzo 2008 al 09 de mayo 2008

CAPITULO 01

GUA N 01: teora de exponentes para la potenciacin

Leyes de la potenciacin.

CAPITULO 02

GUA N 02: teora de exponentes para la radicacin Leyes de la radicacin.

CAPITULO 03

GUA N 03: Expresiones algebraicas: Grados Grados de un monomio. Grados de un polinmio:

CAPITULO 04

GUA N 04: Expresiones algebraicas: Polinomios especiales Polinomios idnticos. Polinomios idnticamente nulos. Polinomios homogneos. Polinomios ordenados y completos.

REVISING U A SCUADERNOEXTENSIN

FECHA

FIRMA DEL PP.FF APODERADO

N DEP.C.010203040506

FECHA

NOTA

FIRMA DEL PP.FF

I.E.P. Virgen de Guadalupe Qumica Primer Ao - 2008

3

LEYES DE EXPONENTES PARA LA, POTENCIACIN

La teora de Exponentes se basa fundamentalmente en las propiedades de la Potenciacin y de la radiacin, por lo tanto, para una mejor comprensin definiremos las operaciones de potenciacin y luego explicaremos cada una de sus propiedades.

LA POTENCIACIN:Es una operacin que abrevia la multiplicacin:

Donde :a es la basen es el exponentean es la potencia o resultado.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

1.Producto de Bases Iguales:Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes iniciales. Su forma general es: am . an = a m + n

Ejemplos :

a)23 . 25 = 23 + 5 = 28 b) ( - 5 )2 ( - 5 )4 = ( - 5 )2 + 4 = 5 6

c)

2.Cociente de Bases Iguales:Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de restar ambos exponentes. Su forma general es:

Ejemplos :

a)

b)

c)3.Potencia de un Producto:Es igual al producto de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es :

( a . b )n = an . bn

Ejemplos:a)( 5 x 3 )2 = 52 x 32

b) ( 7 . )3 = 73 ()3

c)

d)

4.Potencia de un Cociente:Es igual al cociente de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es:

Ejemplos :

a)

b)

c)

d)

5.Potencia de Potencias:Es igual a una potencia de la misma base, cuyos exponentes se multiplican. Su forma general es:

( a m ) n = a m . n

Ejemplos :

a)

b)

c)

NOTA:Cuando se presentan varios exponentes, esta propiedad recibe el nombre de cadena de potencia, cuya forma general se representa as :

6.Potencia de Exponentes:Presenta la siguiente forma:

La solucin de este caso especial, se efecta en forma progresiva de arriba hacia abajo tal como indica la flecha.

Ejemplos:

7.Exponente Nulo:Todo trmino con exponente cero, es igual a la unidad, tal que la base sea diferente de cero. Su forma general es : a0 = 1

Ejemplos :

a)7 0 = 1

b) ( 3) 0 = 1

c) d)Comprobando esta propiedad se tiene :

1 = a0 a0 = 1

8.Exponente negativoToda base con exponente negativo es igual a su recproco o inverso con exponente positivo. Su forma general es :

Ejemplos:

a)

b)

c)

9.Exponentes fraccionarios Todo trmino con exponente fraccionario es equivalente a un radical de la siguiente forma :

Ejemplo:

a)

b)

c)

d)

PRCTICA DE CLASE

1. Hallar el valor reducido de:

a) 2, 4 b) 4, 8c) 48 d) 9, 6 e) 36

2.Efectuar:

a) b4c) b7c) ab3 d) a7b6e) N.A.

3.Realizar:

a) 1/3b) 5/6 c) 1/2 d) 1e) 2

4.Calcular el valor de:

a) 1/3 b) 3 c) 1/2 d) 4e) 1

5. Dado:

Hallar el valor de:

a) 2b) 2 c) 1/2 d) 2/2 e) 0, 25

6. Realizar:

a) 4b) 8 c)16 d) 2 e) 9

7. Indicar el resultado de efectuar:

Rpta: 8. Reducir:

Rpta.....................

9. reducir:

Rpta.....................

10. Determinar el resultado de simplificar .

a) b) c)

d) e)

11. Simplifica:

a) 3b) 1/3c) - 1/3 d) - 3e) N.a.

12. Efectuar:

a) 8b) 4c) d) 2e) N.a.

13.Hallar el valor de E, si:

a) 1b) 2 c) 4d) 8e) N.a.

14.Halla el valor de la expresin :

a) 2b) 4c) 6d) 12e) N.a.

15.Resuelve la expresin :

a) 1b) 3c) 6d) 18e) N.a.

16. Simplifica:

a) 729b) 81c) 9d) 3e) 1/72917.Efectuar:

a) 3b) 5c) 8d) 10e) 12

18. Simplificar:

a) 14b) 2n c) nd) 2n 1e) N.A.

19. Calcular el valor de:

a) 3b) 2c) 1d) 0e) N.A.

20. Simplificar:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) N.A.

21.Simplificar:

a) 1/4 b) 16c) 1/16d) 1 e) N.A.

22.Simplificar:

a) 4b) 2c) 3d) 16e) N.A

23. equivale a:

a) 7/52 b) 7/13c) 5/7d) 1 e) N.A.

I.E.P. Virgen de Guadalupe Ciencias Primer Ao - 2008

16

24. Simplificar:

a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5

25. Reducir:

a) 10b) 25c) 5d) 42e) 21

26.Reducir:

a) 4b) 2c) 25d) 1/2e)

27. Simplificar:

a) 15b) 9c) 3d) 12e) 18

28. Efectuar:

a) 0, 01 b) 1/5c) 0, 1d) 1/2e) 10 6

29. Reducir:

a) 7b) 1c) 2d) 13e) 0

30. Reducir:

a) 4b) 1c) 16d) 2e) 4

TAREA DOMICILIARIA

1. Efectuar:

a) 1 b) 1 c) 2 d) 2e)1/2

2. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 4 d)16 e) N.A.

3. Reducir: a) 3xb) 6c) 2d) 1 e) 8

4.Simplificar:

a) 2b) 1c) 3d) 1/3e) 9

5. Hallar el equivalente de:

a) 2b) 1c) 3 d) 4e) 5

6. Simplificar:

a) 1b) 0c) 2 d) 1e) 2

7. Hallar:

a) 1b) 2c) 0 d) 3e) 6

8. implificar: a) 1b) 2c) 4d) 1/2e) 1/4

9.Efectuar: (-2)2(2)-2(-2)-2-22

a) -3/4 b) 0 c) 1d) -15/4 e) -17/4

10.Reducir: a) 103 b) 106 c) 107d) 104 e) 105

11.Simplificar:

a) 3n-1 b) 24 c) 1-3nd) 3n+1-1e) 18

12.Calcular el valor de

a) 8b) 6c) 1/8d) 1/6e) 1

13.Resolver:

a) 1b) 2/3 c) 3/2d) e) 14.Calcular:

a) 1b) 2c) 4d) 1/2e) 1/415. Reducir:

64-2/3 . 165/4 . 20 . ()4

a) 14b) 16c) 18d) 20e) 22

16. Calcular:

T =

a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8

17.Si el exponente final de x es 8, hallar "n" en:

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

18.Simplificar:

T = { 2-1 + 2 + 3/2 - 3(-5)0 }4

a) 0 b) 1 c) 16 d) 32 e) 6

19. Simplificar:

a) 2b) 1/6c) 5/6 d) 4/3e) 3/820. Simplificar:

a) 2b) 3c) 1/3d) 1/2e) 1/5

21.Simplificar:

a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1

22.Calcule:

a.

b. a)5;2 b) 1; 2c) 2;3d) 4;7e) 5;923. Hallar la novena parte de:

a) 6nb) 3nc) 2nd) ne) 1

24. Si A =

N = . Hallar A + N

a) b) 2c) 1/3d) 31/30e) 19/3025. Calcular el valor de E :

E =

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

26.Reducir :

a) 64 b) 36 c) 192d) 128 e) N.a.

27.Efectuar : E =

a) 15b) 157 c) 1510d) 2255 e) c y d

radicacin en R.

Es una operacin inversa a la potenciacin, donde a partir de dos cantidades: Indice y Radicando obtendremos otra cantidad llamada raz. La operacin de radicacin la definimos, as:

donde:

como se trabaja nicamente en R se establece (observe el cuadro anterior).

Si n es par a 0

Si n es par a 0

IMPORTANTE! La radicacin es distributivo con respecto a la multiplicacin y divisin.

3) ; m , n,p R Si mnp > 0 a 0

PRACTICA DE CLASE

1. Hallar el valor de:

a) 1/2b) 1/4 c) 1/6d) 1/8e) 4

2.Hallar el valor de:

a) 1/2b) 1/8c) 1/4d) 2e) 4


a) 1/2b) 1/4c) 1/8d) 1/2e) 2


a) 1/2b) 1/4c) 4 d) 8e) 2


a) 2b) 3c) 8 d) 4e) 6


a) 22b) 2c) 2 3 d) 23e) 24


a) 1/2b) 1/4c) 1/6 d) 1/8e) 1/2

8.

a) 3/4 b) 5/8c) 7/12d) 1/2 e) 2


a) 6 b) 2 c) 4d) 1 e) N.A.

10.Calcular el valor de:

a) 1/5 b) 5c) 1d) 2 e) N.A.


a) b) 5c) 29 d) 1/5e) 1/125

12. Calcular el equivalente de:

a) 2 b) 3 c) 8d) 4 e) 16

13. reducir:

Rpta:..

14.Reducir: Rpta:..

15.Reducir. Rpta:..

16. Reducir: Rpta:..

17. Reducir:

Rpta:..

18. Reducir: Indicar el resultado de simplificar

a) x+1 b) x c)

d) e)

19. Marcar el resultado de efectuar:

a) 1/4 b) c)

d) n e) 1

20. Indicar el resultado de simplificar

a) x+1 b) x c)

d) e)

21.Marcar el resultado de efectuar:

a) 1/4 b) c)

d) ne) 1

22. Simplifica:

a) 3b) 1/3c) - 1/3d) - 3e) N.a.

23.Halla el valor de E, si :

a) 3b) 2c) 4d) 8e) N.a.

24. Calcular el valor de R, si :

a) 2 b) 64c) 5d) 125e) N.a.

25. Calcular el valor de k

a) 15 b) 21 c) 5/6d) 18 e) N.a.

26.Calcular el valor de S :

S =

a) 8b) 4c) 4d) 2e) N.a.

27.Reducir:

a) x5b) x4 c) x3d) x2e) N.a.

28.Efecta :

a) 4b) 2c) 1d) 1/2e)

29.Calcular:

a) 1/9b) 2c) - 3d) 4e) 1/3

30.Hallar :

a) 1/2b) - 1/2c) 2d) 2e) 1

TAREA DOMICILIARIA

1.Resolver:

a) 9/7b) 9/2c) 3/7d) 7/3e) 7/9

2.Resolver:

a) 6/5b) 9/5c) 5/8d) 5/6e) 5/9

3.Resolver:

a) 7/8b) 3/4c) 21/32d) 21/16e) 7/32

4.Resolver :L (-27/8)-1/3

a) 3/2b) -2/3c) -3/2d) 2/3e) 9/2

5.Realizar: A = a) 1/9b) 1/3c) d) 3 e) 9

6. Resolver:

D = . 98

a) 7b) 17c) 27d) 1e) 2

7.Reducir:

a) x4b) x3c) x2d) xe) 1


a) 2b) 12c) 24d) 36e) 6

9.La expresin:

Resulta:a) 2xb) x2c) xd) 2x2e) 3x

10. Efectuar: S =

a) 1 b) 5 c) d) e)

11. Simplificar:

a) b) 3 c) d) 9 e) 1

12. Reducir:

a) 1b) 25c) 5d) 526 e) N.A.

13. Efectuar:

a) 1b) 10c) 102d) 103 e) 104

14.Simplifica la expresin:

a) abb) b4c) b6d) a3b6e) N.a.

15.Efecta:

a) 5b)10c) 15d) 20e) N.a.

16.Calcula el valor de :

a) 64b) 32 c) 16d) 4e) N.a.

17. Efecta:

a) x12b) c)

d) e) N.a.

18.Reduce: a) 1b) 1/2c) 1/3d) 1/4e) N.a.

19. Operar:

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4e) N.a.

20. Reducir:

a) 3/2 b) 2/3 c) 4/9 d) 9/4e) 27/821. Reducir:

a) b) c)

d) e) 22. Si se sabe que:

Calcular: a)1/11 b)10 c)1/10 d)11 e)12

23. Calcular: (I+E), si:

a) 3b) 4c) 5 d) 6e) 10

24.Simplificar:

a) ab) c) 1/a d) a2 e) -a

25. Calcular:

Rpta: ...........................26. Indique el valor reducido de la expresin:

Rpta: ...........................

27. Calcular A + B, siendo:

Rpta: ...........................28. Calcular:

Rpta: ...........................29. Calcular:

a) 8b) 64c) 256 d) 32e) 16

30. Reducir:

a) 3b) 1/3c) 2 d) 1 e) 0


47

GRADOS DE MONOMIOS Y POLINMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I.CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICASLas expresiones algebraicas se pueden clasificar segn la naturaleza de sus exponentes o por el nmero de sus trminos.

SEGN LA NATURALEZA DE SU EXPONENTE

A.Expresiones Algebraicas RacionalesSon aquellas cuyas variables no estn afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subdividen en:a)Racionales enteras.- Son aquellas expresiones en las que al transponer todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros y positivos ( o cero).

Ejm: 2x2y3; ; b)Racionales fraccionarias.- Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si estn en el numerador, alguna de ellas aparece con exponente entero negativo.

Ejm: ; 3xy;

B.Expresiones Algebraicas IrracionalesEstas expresiones se caracterizan por que sus variables estn afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.

Ejm: ; ;

SEGN EL NMERO DE TRMINOSA.Monomios.- Son expresiones algebraicas racionales enteras en donde no existe nexos de suma o resta, tratndose entonces de un solo trmino.Ejemplos: 8x5y3; 2x; 5

B. Polinomios.- Un polinomio es la unin de dos o ms monomios a travs de sumas o restas.Ejemplos: 3x2 2x + x3 + 8; x2 + x 1; x + 2Nota: si un polinomio tiene 2 trminos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de trinomio. Si tiene "n" trminos se le denomina polinomio de "n" trminos.

II.GRADO DE LAS EXPREIONES ALGEBRAICAS

A.Grado.- Es aquel exponente numrico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.

B.Clases de Gradoa.Grado Relativo (G.R.)Con respecto a una de las variables.b.Grado Absoluto (G.A.)Con respecto a todas sus variables

GRADO DE UN MONOMIO

a) Grado RelativoSe refiere a una de sus variables y est determinada por el mayor exponentes que posee dicha variable; para ello la expresin debe estar previamente reducida o simplificada.As el monomio: A(x,y,z) = 6x2y5z8Con respecto a "x" es de 2do gradoCon respecto a "y" es de 5to gradoCon respecto a "z" es de 8vo grado

b)Grado AbsolutoSe calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.As el monomio M(x,y,z) = 3x3y2z5tiene por Grado Absoluto (G.A.)=3+2+5=10

Importante:El grado de toda constante siempre es ceroEjemplo:Si P(x) = 24, su grado es cero por ser constante.Si P(x) = 0. Este es el nico polinomio cuyo grado es indefinido.

GRADO DE UN POLINOMIOa) Grado RelativoSe refiere a una de las variables y est determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.As el polinomio:F(x;y;z) = 2x2y4z3 3x3y2z + 5x5yz2Es: Con respecto a "x" de 5to grado. Con respecto a"y" de 4to gradoCon respecto a"z" de 3er grado.b) Grado AbsolutoSe calcula el trmino de mximo grado.As el polinomio:

Tiene por grado 11.REGLAS PARA LOS GRADOS DE LAS DIFERENTES OPERACIONES ALGEBRAICASEn el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones.OperacinGrado Resultante

MultiplicacinSe suman los grado de los factores

DivisinSe resta el grado del dividendo menos el grado del divisor

PotenciacinSe multiplica el grado de la base por el exponente

RadicacinSe divide el grado del radicando entre el ndice del radical

PRCTICA DE CLASE

1. Seale verdadero o falso:

I)es irracionalII)3xy + y2 es racional entera

III) es racional fraccionariaa) VFVb) VFFc) VVVd) FFFe) VVF

2 Seale la alternativa que representa a una expresin algebraica racional fraccionaria.

a) b) c) (x2)3

d) e)

3Es una expresin algebraica racional entera, excepto:

a) b) c) (x2)

d) e) 1

4.Hallar el grado absoluto de la expresin:x2y + x3yz xyz + x3y3a) 2b) 3c) 6 d) 9e) 15

5.Son trminos semejantes:

a) 5b2 y 5a2 b) 3a2bc y 3a2b

c) 99a2 y d) a2 + b y a + b2e) N.A.

6Hallar el valor de "n" para que el grado de (2xn+2y)3 sea 18.

a) 1b) 3c) 4 d) 5e) 7

7Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9.

3xa+1y 4a+2xay 5x2

a) 6b) 7c) 8 d) 9e) 15

8.Si el grado relativo a "x" es 9. Dar el grado relativo a "y", en:P(x, y) = 21x3yn 8(xy)3n xny5

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

9.Cul es el grado absoluto de?

P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 8x4y2 + 9y9 7x2y2

a) 8b) 9c) 12 d) 15e) N.A.

10.Cul de las siguientes expresiones no es el tipo racional fraccionaria.

a) b) c)

d) e) N.A.11.Respecto a x, la expresin:

a) Es de 1er grado b) Es de 2do grado c) es de 3er gradod) Es de 6to grado e) Es de 8vo grado

12.Si: (a + 2)x2a + 3 y3b 1;(b 3)xa+5 y2a+b3Son semejantes; su suma es:a) 2x7y2b) x5y3 c) 3x3y7d) 2x7y3e) 5x4y3

13. Si el grado absoluto de:P(x, y) = x2ayb+2 3xayb+1 + xaybEs igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a "y".a) 2b) 3 c) 4d) 5e) N.A.14. dado el trmino:2xa-1yaz2a. Si su grado absoluto excede en 9 a su grado relativo a "x". Hallar su grado relativo a "y".a) 3b) 4c) 5d) 6e) N.A.

15. Calcular (a-b) si el monomio:M(x; y) = 5x2a+bya+2bTiene: G.A. = 15 y G.R.(x) = 8

a) 1b) 1 c) 2d) 2e) 3

16.De que grado es la expresin?E = 2xy + (x y)2 + x2 y2 a) 2b) 1c) 0d) Indefinidoe) N.A.

17.Dado el polinomio2xa+2y2 3xa+1 yb + 52x6yb1 , si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a "y" es 4. hallar su grado relativo a "x".

a) 3b) 4c) 5d) 6e)7

18.Hallar el valor de "a" para que el grado del polinomio 3xa + 1 4a + 2xay 5x2 sea 9.

a) 7b) 5c) 6d) 8e) 4

19.Hallar el coeficiente del monomio

Si su G.A. es 10 y el grado relativo a "x" es 7.

a) 1b) 2c) d) 3e) 9

20.Se tiene los polinomios P y Q. Determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del polinomio P es 16 y el menor exponente de "y" en el polinomio Q es 4.P = 5xm + 11yn - 3 3xm + 7yn + 2 + 7xm + 2yn + 1

Q = 4x2m + 6yn + 2 3x2m + 2yn + 7 5x2myn + 10

a) 20b) 21c) 22d) 24e) N.A.

21.Marque la alternativa que representa una expresin algebraica racional fraccionaria.

a) b) c)

d) 3x3 + 2y4 e)

22.Marque la alternativa que representa una expresin algebraica racional entera.

a) b) c) d) 2x3 3y 1 e) N.A.

23. Cul es el grado del polinomio?

P(x) = xn - 1 + xn - 3 + x5 - nSi se sabe que tiene tres trminos.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) Hay dos respuestas.

24. Hallar la suma de a + b si el grado absoluto del monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo con respecto a x. Siendo el monomio: M(x, y) = (a + b) x 2(a 1) y3b

a) 5b) 6c)7d) 8e) 10

25.Calcular x para que la siguiente expresin:

sea de 2do grado: a) 3b) 4c) 5d) 6e) 726. Hallar el producto de los grados relativos a: X, a Z: en el siguiente monomio:

P(x y z) = 4X 2n 1 . Y 3n + 1 . Z 5n - 9Sabiendo que es de grado 21.

a) 100 b) 150 c)250 d) 300 e) N.A.

27.Calcular m y n en el polinomio: P(x, y) = x m + 5 . yn1 + x m + 6 . y n 4 El grado relativo a y es 7. El grado absoluto es 20a) 2 y 4b) 4 y 6 c) 8 y 8 d) 6 y8e) 8 y 9

28.Calcular m + n sabiendo que el grado absoluto del siguiente polinomio es 14:

P(x, y)=3xm + 7yn 2-xm + 4yn 1+xm + 2yn + 1

a) 3b) 6c)9d) 12e) 8

29. Calcular m . n si el polinomio: P(x;y) = 4xm + 1yn - 2 + 6xm + 2yn - 1 + 6xm+3yn - 2Es de G.A. =20; G.R. (x) = 8 a) 71b) 70c) 68d) 69e) 72

30.Hallar el coeficiente del monomio:

si su G.A. = 8 y G.R. (y) = 1a) 3b) 27 c) 81d) 1e) 1/3

TAREA DOMICILIARIA

1.Decir cuntas de las siguientes expresiones son polinomios.

*P(x, y) = 3x2 + 5xy4 - 3z-3*P(x, z) = 3x4 - + 5x2z*P(y, z) = 6x4 + 2y - 2xz-4*P(x, z) = 3x4 + 2y - *P(y, z) = x2 - + z3a)1b)2c)3d)4e)5

2.Si se tiene el polinomio:P(x) = 2x4 + 5x6 + x8 + x3 + 1;hallar su grado.a)4b)3c)6d)8e)21

3.Hallar el grado del siguiente polinomio:P(x) = 3x4x12 + x13 + 3x15 + 3

a)15b)16c)12d)13e)35

4.Hallar el grado de:P(x) = 3x4 + 5x + 6x18 - x11.x6a)18b)4c)66d)17e)19

5.Hallar el grado de:P(x) = (x4)11 + x2y32 + x40 + 1a)64b)15c)44d)40e)32

6.Sealar verdadero o falso:P(x) = 2x12 - 5x19 - 7x + 18 I)Su trmino independiente es 18 ( )II)Uno de los coeficientes es 18 ( )III)La suma de coeficientes es 32 ( )IV)Su grado es 19 ( )V)El coeficiente del trminolineal es 7 ( )

7. Calcular el grado absoluto del polinomio: P(x;y) = y2 xn 3 + x 3/n-5 . y5 + xy7 - n

a) 4b) 8c) 2d) 6e) N.A.

8. Indique el valor de verdad: I. P(x2) = x6 + 8 es de tercer grado.II. Si P(1) = 8, entonces el coeficiente principal de P(x2 + 2) es 8.III. Si P(x;y) = x2 y3 z4 entonces el grado de P(x;y) es 9.

a) VVV b) VFV c) VFFd) FFV e) FFF

9.Calcule el grado absoluto del polinomio:

a) 5b) 6c) 8d) 10e) 12

10. Hallar el coeficiente del monomio:M(x;y) = 3n m x2m + n y2m - nSi:G.A.(M) = 8 G.R. M. (x) = 5

a) 1/9b) 1/9c) 3d) 1/3e) 3

11.Si el grado absoluto de P(x;y) es 16 y el menor exponente de y en el polinomio Q(x;y) es 4. Calcular el grado de Q(x;y).

P(x;y)= xm + 1yn 3 xm + 7yn + 2 + xn + 2 ym +1 Q(x;y)= x2m + 6yn + 2 x2m + 2yn + 7 + x3myn +10

a) 13b) 27c) 12d) 33e) 17

12. Hallar el G.R. (x) + G.R.(y) en: 3x5 y2 x3 y8 + 4x10 y3a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

13.Hallar el grado de: P(x; y; z)= 4x4 y3 z5 + 8x5 y4 z6 + 9x6 y2 z8

a) 16b) 15c) 14d) 13e) 12

14.Si:

P(x; y; z) =8x5y3z + 6x3 y4 z3 + 23x3y7z2 + x2y9z2

Hallar: a) 3b) 4c) 2d) 5e) 1

15. Seale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente. P(x) = x12 2a + x2a 4 + x 4 2a

a) 5b) 3c) 6d) 4e) 7

16.Si el monomio: es de G.A. = 4 y G.R.(x) = G.R.(y)Hallar: J = 3b 2a

a) 1 b) 5c) 4d) 1 e) 2

17.Hallar m y n si el polinomio:

P(x, y)=4x2m+n4ym+n+2+7x2m+n3 ym+n+1+9x2m+n2ym + nEs de grado absoluto veintiocho y la diferencia de los grados relativos de x y es 6. Dar m + n.

a) 10 b) 12c) 8d) 14 e) 16

18.Determinar el grado absoluto de Q, si el grado absoluto de P es 20 y el mayor exponente de y en Q es 10.

P(x,y)=3xn + 7ym 1 + 6xn + 8ym + 5xnym + 1Q(x,y)=4xm + 1yn+7xm + 2yn +1+8xm + 3yn +2

a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19

19. Hallar E = m + n si el G.A. del polinomio: P(x, y)=4x m + 3yn 2 + 5xm + 1yn + 1+ 7xmyn +2

20.es de grado absoluto 8 y el grado relativo a x supera en una unidad el grado relativo a y.

a) 5 b) 4c) 3d) 6 e) 10

21. Calcular el valor de x para que la expresin sea de segundo grado:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22.Si el grado absoluto de:

es igual a 7, hallar el grado respecto a x en el monomio:

a) 5b) 4c) 3d) 6 e) 7

23. Dada la expresin : HallarG.A. + G. R. (x) G.R.(Z)

a) 3b) 5c) 8 d) 9e) 12

24.Hallar el coeficiente de: M(x ; y) = (1/2)n . 9m . x3m + 2n y 5m n Cuyo G.A. = 20 y G.R.(x) = 14

a) 812/8 b) 16/81c) 81/16d) 8/9 e) 9/1625. Los siguiente polinomios: J = 2xa 1 . yb 1 + 3x b 1 . ya x a + 2 . yb 1 B = 5x a + 2 y 1 b 7x 2 b ya 2xa 1 y b 1

26.Son respectivamente de grados 8 y 6. Determine la suma del grado relativo a x de J ms el grado relativo a y de B.Los grados relativos a y de: P = x m + 1 2x m + 2 y n 3 + 3y n 7 Q = 2x m + 3x m 7 y n + 7 8y n 9

Suman 12, adems P es de grado 5 respecto de x. Cul es el grado absoluto de Q?.a) 8 b) 7c) 6 d) 5 e) 427.Dados los polinomios. P(x, y) =x n + 7y m +1+ xn + 8m xn ym + 1 P(x, y)=xm +1ynxm + 2yn + 1 xm + 3yn + 2

Si el G.A. de P es 20 y el G.R. de y en Q es 10. Calcular el G.A. de Q.

a) 13b) 16c) 14 d) 17e) 15

28. Dado el polinomio. G(x, y)=xn 6yn + 5++ x2n 6y4 3x n 16 y n 10

Calcular su mnimo G.A.

a) 29b) 30c) 31 d) 32e) 33


51

POLINOMIOS ESPECIALES

Son aquellos polinomios que poseen caractersticas particulares que los diferencian de otros. Estos son:

A.Polinomio HomogneoEs aquel cuyos trminos estn constituidos por ms de una variable y presentan el mismo grado.Ejemplo: P(x; y) = 2xy4 3x3y2 + y5 es un Polinomio homogneo cuyo grado de homogeneidad es 5.B.Polinomio OrdenadoCuando los exponentes de la variables que se toma como referencia, guardan cierto orden, ya sea ascendente o descendente.Ejemplo: P(x; y) = x5y 2x3y2 + 6xy3 es ordenado en forma decreciente respecto a "x"; y en forma creciente respecto a "y".

C.Polinomio CompletoEs aquel que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta el exponente cero inclusive (trmino independiente).Ejemplo: P(x) = 3x + 4x2 + 2x3 11 es completo de 3er grado y tiene 4 trminos.

Importante:En todo polinomio completo se cumple que el nmero de trminos es igual al grado del polinomio aumentado en una unidad.# trminos = Grado + 1D.Polinomio IdnticosSon aquellos cuyos trminos semejantes poseen el mismo coeficiente.Ejemplo: Si P(x) = ax3 + bx2 + c yQ(x) = mx3 + nx2 + pSon idnticos [P(x) Q(x)], se cumplir que:a = m ; b = n ; c = p

E.Polinomios EquivalentesSon aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numrico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.Ejemplo:Dado los polinomios:P(x; y) = (x+y)2 + (xy) Q(x; y) = 2(x2+y2)Si ambos admiten el mismo valor numrico para cualquier valor de "x" "y", entonces sern equivalentes; veamos.

Hagamos x = 3 ; y = 2

En P(x; y) :P(3; 2)=(3+2)+ (3 2)= 26En Q(x; y) :Q(3; 2)=2(32+22)=26

Por lo tanto: P(x; y) Q(x; y)

F.Polinomio Idnticamente NuloEs aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.Ejemplo: Si: P(x) = ax4 + bx + c, es idnticamente nulo, se cumplir : a = 0 ; b = 0y c = 0Y se podr representar as: P(x) 0

PRCTICA DE CLASE

1.Si el Polinomio:P(x,y) = xay3 + 2x2y4 + 5xybes homogneo. Hallar (a+b)?a)8b)7c)6d)5e)3

2.Si el polinomio:P(x;y) = 2xm-1y4 + 3xn+3yn+1 es homogneo; cuyo grado de homogenidad es 8.Hallar: R=mxna)8b)10c)12d)14e)16

3.Calcular "m" para que el polinomioP(x;y) = 5x2y8 - 7x10 + 3x2my4 sea homogneoa)1b)2c)3d)4e)5

4.Calcular "mxn" sabiendo que el siguiente polinomio es homogneo.

P(x,y) = 5xmy4 + 3x6y2 - 2x3y5+n

a)1b)-2c)-1d)0e)4

5.Si el polinomio:P(x;y) = 2xay4 + 3x3y5 + 5x2yb; es homogneo. Hallar: "axb"a)24b)22c)20d)18e)12

6.Hallar la suma de coeficientes en el siguiente polinomio:P(x;y) = 2ax7ya+3 + 3x8y12 - 5aya+10Sabiendo que es homogneoa)27b)10c)13d)12e)-27

7.Si el polinomio: P(x) = 3xa+1 + 2xb+3 + 5x + 4 es ordenado y completo en forma descendente.Hallar: "axb"a)-2b)-1c)2d)4e)6

8.Si el polinomio:P(x) = 3x20 + 5x19 + 7x18... + 2x + 4 es completo y ordenado. Indicar el nmero de trminos del polinomio P(x)

a)20b)21c)22d)27e)difcil de calcular

9.Calcular: "mxn" si el polinomio:P(x) = 3 + x + xm-2 + 2xn-3 es ordenado y completo en forma ascendente.a)6b)8c)12d)24e)32

10. Si: P(x) = 2x4 + 3xm-3 + 5x2 + 7xn-5 + 9es ordenado y completo.Calcular: ?a)26b)8c)16d)20e)4

11.Sabiendo que el polinomio:P(x) = ax4 + 3xb-1 + bxa-2 + x + 4 es completo y ordenado. Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.

a)8b)12c)16d)20e)2412.Si el siguiente polinomio es completo y ordenado en forma descendente. Calcular m+n+p.

P(x)=7x2m-6 - 5x5m-n-19 + 17xp+n-3a)5b)4c)10d)3e)7

13.Hallar: "a+b" sabiendo que el polinomioP(x) = x4 + xb+1 + xa-8 + x + 1 es completo y ordenado.

a)10b)8c)6d)14e)12

14.Cul debe ser el valor de "m" para que el polinomioP(x) = x17 + 2x11 - 2xm+3 + 3x9 + x2 - 6; est ordenado en forma descendente?a)6b)5c)7d)8e)9

15.Hallar la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que:P(x) = x + 2x4 + 6mxm-5 - 3x3 - es un polinomio completo.a)41b)27c)26d)38e)43

16.Calcular: "b-a" sabiendo que el polinomio P(x) = xb-1 + xa-1 + xb-3 + 2 es completo y ordenado.a)1b)2c)3d)4e)5

17.Calcular "b+a" sabiendo que el polinomio P(x) = xa-1 + xb-2 + 7 es completo y ordenado.a)2b)6c)5d)4e)3

18. Son trminos semejantes:a) 5b2 y 5a2 b) 3a2bc y 3a2b

c) 99a2 y d) a2 + b y a +b2e) N.A.

19.Si el siguiente polinomio es homogneo:P(x; y) = x5 + xny2 + xmy4 + yr - 1Hallar: m+ n + ra) 5b) 7c) 9d) 10e) 12

20.El polinomio:P(x; y) = ax3 a2x2y + a3xy2 a4y3a)Es heterogneo, ordenado y completo.b)Es homogneo, ordenado y completo.c)Es homogneo, ordenado e incompleto.d)No es homogneo, no es ordenado ni completo.e) N.A.

21.Si el polinomio es completo:P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5Hallar "n"a) 1b) 0c) 1d) 2e) 3

22.Hallar 2a + b, s se tiene que:(2a b)x2 + 4bx + 2c 7x2 + 20x 5

a) 21b) 17c) 19d) 11e) 13

23. Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente:

G(x) = x 2m + x m 3 + x 4 m

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A

24.Los polinomios:

G(x) = 2(mx + n)2 + mx2 2n R(x) = 4(9x2 + 8x + p) son idnticos.Hallar G(-1) , si adems se sabe que m > 0 .a) 8b) 12c) 81 d) 27e) N.A.25.Hallar: (2a b)x2 + 4bx + 2c = 7x2 + 20x 5

a) 21b) 17c) 19 d) 11e) N.A.

26.Si el siguiente polinomio es homogneo: G(x, y) = x5 + xn y2 + xm y4 + y r 1

Hallar: m + n + r a) 5b) 7c) 9 d) 10e) 12

27.Sabiendo que: P(x)=x(ax2+bx+c)2x(bx2+cx+d)+2d1 Es idnticamente nulo:

Calcular :

a) 1b) 1/2 c) 2d) e) N.A.

28.Dado el polinomio homogneo:

G(x, y, z) = Calcular la suma de coeficientes.

a) 5b) 5c) 4d) 4e) N.A.

29.Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: G(x)=c(xa+xb+a(xb +xc)+b(xa+xc)+abc

a) 16b) 18c) 20d) 22e) N.A.

30. Calcular la suma de coeficiente del siguiente polinomio homogneo:

a) 408 b) 405c) 40 d) 402 e) 407

TAREA DOMICILIARIA1. Calcular la suma de coeficiente del siguiente polinomio homogneo:

a) 408 b) 405c) 40 d) 402 e) 407

2.Si el polinomio es idnticamente nulo, hallar m nP(x ; y)=(m+n)xy2+2x2y18xy2+(n m)x2y

a) 70b) 79c) 81d) 90e) 80

3.Si el polinomio: 4xa + 3xb yc + xc yb + ya es homogneo, ordenado y completo respecto de x e y; segn esto. Hallar: a + 2b+ 3c.

a) 14b) 13c) 12d) 11e) 10

4.Hallar p . q en la identidad de polinomios: 13 2x p(2 x) + q(1 + x)

a) 12b) 14c) 13d) 11e) 15

5. Halle h si en el siguiente polinomio: P(x) = (2x 1)3 + 4x + 2h

Se cumple: coef. + T.I. = 12.

a) 1 b) 2c) 3d) 4 e) 0 6. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente polinomio: P(x;y) = x7 3x5 y2 + 2x3 y4 9y7a) 6b) 5c) 7d) 8e) 9

7.Indicar V si es verdadero F si es falso. I. P(x) = 2x6 + 3x6 + 4x6 es un polinomio homogneo.II. En todo polinomio ordenado y completo de una sola variable, se cumple que el nmero de trminos est determinado por el grado relativo aumentado en la unidad.III. Si: F(x;y)= x9 + 3x3 y + 2x2y3 + 3xy2 + 9 con respecto a y est ordenada en forma creciente.IV. No existe polinomios homogneo que dependa de una sola variable; deber poseer dos, tres o ms variables.

a) VVVV b) FVVV c) VVVFd) VFFV e) VVFF8. Hallar a y b si el polinomio:

P(x; y) = (a 1) x2 y + (b 5)xy2 ; es idnticamente nulo. a) 1 y 5b) 1 y 5 c) 2 y 10 d) 2 y 10 e) 0 y 0

9.Hallar m y n si el polinomio P(x; y)=mx2y+(m 4)xy2(20 n)x2y es idnticamente nulo.

a) 12 y 8 b) 4 y 3 c) 9 y 6 d) 9 y 10 e) 10 y 6

10.Seale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente.

P(x) = x12 2a + x2a 4 + x 4 2a a) 5b) 3c) 6d) 4e) 7 11.Hallar: p + b m en:

P(x)=5x m 18+15x m p + 15+7x b p + 16

Si el polinomio es completo y ordenado en forma descendente.

a) 30b) 20c) 10 d) 5e) 1

12.Hallar si el polinomio:P(x; y) = 3xm yn (2x2m + 1 + 7y6n +1) es homogneo

a) 1 b) 3c)2 d) 5 e) 6

13.Hallar p y q si se cumple la identidad de polinomios: 13 2x p(2 x) + q(1 + x)

a) 5 y 3 b) 2 y 4c) 5 y 2 d) 6 y 1 e) 4 y 2

14.Hallar pq en la siguiente identidad: p(x + 5)2 q(x 5)2 3(x + 5)2 + 4(2p+q)xa) 16b) 17c) 19 d) 18e) 22

15.Calcular: B = a + b + c + d ; si el polinomio es completo, ordenado descendentemente.

P(x)=2x c + d 1+ 5xb c + 1 + 7xa + b 4 +8xa 3a) 5b) 9c) 4 d) 3 e) 2

16.Si el polinomio: P(x) = (m 3)x2 + (n 5)x + pes idnticamente nulo. Hallar: m + n + p

a) 6 b) 7c) 9d) 8 e) 10 17. Hallar: B = m n ; siendo m > n tal que m (x + n) + n (x + m) 3x 56.

a) 14 b) 11c) 10d) 16e) 18

18. Clasificar el polinomio: P(x; y) = n 3x n 4 yn 3 + (n 2) x n 3 y n 2 + (n 1)x n 2 y n 1 nx n 1 yn

Si:

a) Homogneob) Ordenado c) Completo d) Completo y Ordenado e) Irracional

19.Si los polinomios: A = 5x3 3x2 4 B = 3ax3 6bx2 2x3 + c + 4x2 +3

Son idnticos. Encontrar los valores de a, b y c dando la suma de a + b.a) 7 b) 7/2c) 5/6 d) 4/3 e) 8/3

20. Si:P(x, y) = abx a + b y8

Q(x, y) = (a + b)x6 . y a + 3b

Son trminos semejantes indicar el coeficiente de: P(x, y) + Q (x, y)

a) 10b) 11c) 12 d) 13e) 14

21.Si los polinomios. A = 5x3 3x2 4 B = 3ax3 6bx2 2x3 + c + 4x2 + 3Son idnticos. Encontrar los valores de a, b y c, dando la suma de a + b.

a) 7b) 7/2c) 5/6d) 4/3e) 8/3

22. Seale la afirmacin Falsa:a) Un polinomio completo no siempre est ordenadob)Un polinomio ordenado no siempre est completoc)Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9 trminosd)Un polinomio ordenado de grado 6, siempre tiene 7 trminose)Un polinomio completo puede estar ordenado23.El polinomio: xm+3+xm+1yn+y4 es homogneo. Hallar: m+n

a) 4b) 3c) 5 d) 6e)No se puede determinar

24.Hallar 2a+b, si se tiene que:

(2a b)x2 + 4bx+2c 7x2+20x 5

a) 21b) 17c) 19 d) 11e) 13

25.Si el siguiente polinomio es homogneo:

P (x,y) = x5+xny2+xmy4+yr-1Hallar m+n+r

a) 5b) 7c) 9 d) 10e) 12

26. El polinomio:

P(x,y)= ax3 - a2 x2 y+a3 x y2-a4 y3

a)Es heterogneo, ordenado y completob)Es homogneo, ordenado y completoc)Es homogneo, ordenado e incompletod)No es homogneo, no es ordenado ni completoe)Ninguna anterior

27.Si el polinomio es completo, hallar n.

P(x) = xn+1+3xn+2+xn+3+5

a) -1b) 0c) 1d) 2e) 3

28.Si: (a+2) x2a+3 y3b-1; (b-3)xa+5 y2a+b-3 son semejantes; su suma es:

a) 2x7y2b) -x5y3c) 3x3y7 d) -2x7y3e) 5x4y3


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