ALGEBARSKE STRUKTURE

Neka je A neprazan skup i n 2 N .Denicija. Preslikavanje f : An ! A se zove n-arna operacija na A. Broj n sezove duzina ili arnost operacije f (oznaka n = ar(f)).

Specijalno, za n = 1, preslikavanje f : A ! A je unarna operacija, a za n = 2,f : A2 ! A je binarna operacija.

Ova denicija se moze prosiriti i za n = 0. Funkcija c : A0 ! A koja izdvajaelement c 2 A se zove nularna operacija ili konstanta.

Za binarne operacije uobicajeno je da umesto f(x; y) pisemo xfy. Takodje jeuobicajeno da binarne operacije oznacavamo sa ;+; ; ; : : : . Binarna operacija nakonacnom skupu se cesto zadaje tablicom (Kejlijeva tablica).

Denicija. Uredjeni par (A;F), gde je A neprazan skup (zove se nosac), a Ffamilija operacija na A se zove algebra.

Ako je skup F konacan, recimo F = ff1; : : : ; fmg, pisemo (A; f1; : : : ; fm). Uobica-jeno je da se operacije navode po opadajucoj arnosti.

Podrazumeva se da se na svakoj algebri posmatra relacija jednakosti i ona seeksplicitno ne navodi u oznaci strukture.

U zavisnosti od broja operacija i njihovih osobina algebarske strukture imajurazlicite nazive.

Denicija. Neka je G neprazan skup i binarna operacija na G, tj. : GG! G.Uredjeni par (G; ) se zove grupoid.Primeri: (1) (N;+); (Z; ); (P(S);[); (SS ; ) su grupoidi.

(2) Neka je Zn = f0; 1; : : : ; n 1g i neka su +n (sabiranje po modulu n) i n(mnozenje po modulu n) operacije na Zn denisane sa

x+ny = ostatak pri deljenju x+y sa n; xny = ostatak pri deljenju xy sa n:Tada (Zn;+n) i (Zn; n) su grupoidi.Denicija. Grupoid (G; ) je polugrupa (ili semigrupa) ako je operacija aso-cijativna, tj. vazi: (8x; y; z) x (y z) = (x y) z.

Pokazuje se da u polugrupi vazi uopsteni asocijativni zakon, tj. da zagrademozemo premestati na proizvoljan nacin. Na primer:

abcd = ((ab)c)d = (ab)(cd) = a(bc)d = (a(bc))d = a((bc)d):Denicija. Grupoid (G; ) je grupa ako vazi:

(G1) (8x; y; z) x (y z) = (x y) z (asocijativnost operacije ),(G2) (9e)(8x) e x = x e = x (egzistencija neutralnog (jedinicnog) elementa),(G3) (8x)(9x0) x x0 = x0 x = e (svaki element ima inverzni).Element e se tada zove neutralni ili jedinicni element, a x0 se zove inverzni

od x.

Ako je binarna operacija na G oznacena sa + uobicajeno je da se neutralnielement oznacava sa 0, a inverzni od x sa x.

Lako se proverava da je neutralni element grupe jedinstven, kao i da svaki elementgrupe ima jedinstven inverzni element.

Denicija. Ako u grupi (G; ) vazi

(8x; y) x y = y x

onda se grupa zove Abelova ili komutativna grupa.

Primeri: (N;+) nije grupa jer u N ne postoji neutralni za +.

(Z;+) je Abelova grupa (neutralni je 0, svaki x ima inverzni x).(Zn;+n) je Abelova grupa.

(Z; ) nije grupa jer x 6= 1 nema inverzni.(Q; ) nije grupa jer 0 nema inverzni.(Q n f0g; ) je grupa.

Denicija. Neka je P neprazan skup, a + i binarne operacije na P . Uredjenatrojka (P;+; ) je prsten ako vazi:

(P1) (P;+) je Abelova grupa,

(P2) (8x; y; z) (x y) z = x (y z), (asocijativnost operacije )(P3) (8x; y; z) x (y + z) = x y + x z; (x+ y) z = x z + y z. (distributivni

zakoni)

Neutralni element za operciju + obicno oznacavamo sa 0, a inverzni od x 2 P uodnosu na + sa x i zovemo suprotni od x. Umesto x + (y) obicno cemo pisatix y. Znak cemo obicno izostavljati, tj. umesto x y pisacemo xy.Denicija. Prsten (P;+; ) je komutativan ako je druga operacija komutativna,tj. vazi

(8x; y 2 P ) xy = yx:

Prsten (P;+; ) se naziva prsten sa jedinicom ako postoji element 1 2 P takavda vazi

(8x 2 P )1 x = x 1 = x:Element 1 se tada zove jedinica prstena.

Komutativan prsten sa jedinicom (P;+; ; 0; 1) je integralni domen ako nemadelioce nule, tj. ako za svako x; y 2 P vazi:

xy = 0() x = 0 _ y = 0:

Primeri:

(1) (Z;+; ) je integralni domen,(2) (Z4;+4; 4) je komutativan prsten sa jedinicom, ali nije integralni domen jer

2 4 2 = 0,Teorema. U prstenu (P;+; ) za svako x; y 2 P vazi

(i) 0 x = x 0 = 0;(ii) x(y) = (xy) = (x)y;(iii) (x)(y) = xy;

Denicija. Neka je (P;+; ; 0; 1) prsten sa jedinicom. Ukoliko postojim 2, takvoda je 1 + + 1| {z }

m

= 0 onda kazemo da je prsten P konacne karakteristike i najmanje

n za koje vazi 1 + + 1| {z }n

= 0 zovemo karakteristika prstena P .

Ukoliko je 1 + + 1| {z }m

6= 0, za sve m 2, onda kazemo da je prsten karakteristike

nula (ili beskonacne karakteristike).Karakteristiku prstena cemo oznacavati sa char(P ).

Primeri: (1) U prstenu (Z;+; ) vazi 1 + + 1| {z }n

6= 0, za svako n 2 N , pa je

char(Z) = 0.(2) U prstenu (Zn;+n; n) vazi 1 +n +n 1| {z }

n

= 0 i za svako k < n je 1 +n +n 1| {z }k

6=

0, pa je char(Zn) = n.(3) char(Q) = char(R) = char(C) = 0 n

Denicija. Neka je F 6= ;, a + i binarne operacije na F . Uredjena trojka (F;+; )je polje ako vazi:

(F1) (F;+;; 0) je Abelova grupa ,(F2) (F n f0g; ) je Abelova grupa,(F3) (8x; y; z) x (y + z) = x y + x z.Uobicajeno je da neutralni za operaciju oznacavamo sa 1, a inverzni od x (u

odnosu na ) sa x1 ili sa 1x .Primeri: (1) (Q;+; ), (R;+; ), (C;+; ) su polja, (Z;+; ) nije polje.

(2) (Zn;+n; n) je polje akko n je prost broj.Teorema. U polju nema delilaca nule, tj. u svakom polju (F;+; ; 0; 1) vazi:(8x; y)(xy = 0, x = 0 _ y = 0).Teorema. Ako polje ima konacnu karakteristiku, onda ona mora biti prost broj.

ZADACI

1. Ispitati da li je (f1;1; i;ig; ) grupa, gde je i imaginarna jedinica.2. Ispitati da li je (ff1; f2; f3; f4g; ) grupa, ako su funkcije fi : R n f0g ! R

(i = 1; 2; 3; 4) date sa f1(x) = x; f2(x) = x; f3(x) = 1x ; f4(x) = 1x , a jekompozicija funkcija.

3. Na skupu G = f(a; b)ja; b 2 R; a 6= 0g denisana je operacija na sledecinacin (a; b) (c; d) = (ac; ad+ b). Dokazati da je (G; ) grupa.

4. U prstenu celih brojeva (Z;+; ) denisane su operacije i na sledeci nacin:x y = x+ y + 1; x y = xy + x+ y.Pokazati da je (Z; ; ) prsten.5. Na skupu Z denisane su operacije i na sledeci nacin:a b = a+ b+ 2; a b = 2a+ 2b+ ab+ 2. Ispitati da li je (Z;;) polje.