Alexander Cardona Universidad de los Andes Enero de 2018acardona/Vectorial... · 2018-02-07 · Funciones con Valores Escalares: Geometr a, L mites y Continuidad Alexander Cardona

Funciones con Valores Escalares: Geometrıa, Lımites yContinuidad

Alexander CardonaUniversidad de los Andes

Enero de 2018

Alexander Cardona Funciones con Valores Escalares: Geometrıa, Lımites y ContinuidadEnero de 2018 1 / 16

Representacion grafica de una funcion con valores reales

Una funcion f : R→ R se representa como una curva en un plano:

La curva es el subconjunto del planoque se escribe como

C = {(x , y) ∈ R2 | y = f (x) para x ∈ R}.


Representacion grafica de una funcion con valores reales

En forma analoga, una funcion f : R2 → R se representa como unasuperficie en el espacio tridimensional:

La superficie es el subconjunto delespacio R3 que se escribe como:

S = {(x , y , z) ∈ R3 | z = f (x , y) para (x , y) ∈ R2}.


Una superficie puede verse como una familia infinita de curvas:

Identificar tales curvas es a menudo crucial para identificar la superficie.


Conjuntos de Nivel

El comportamiento de una funcion f : Rn → R puede entenderse a travesde sus conjuntos de nivel:

Sk = {~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | f (x1, x2, . . . , xn) = k} .En el caso de una funcion f : R2 → R estos conjuntos de nivel definencurvas en el plano:


Un ejemplo en dos dimensiones:

La figura a la izquierda ilustra las curvasde nivel de la funcion

f (x , y) = sin x cos y ,

es decir las curvas que corresponden alas ecuaciones sin x cos y = k para kconstante entre −1 y 1.


Un ejemplo de la vida real:


Un ejemplo en tres dimensiones:

En el caso de una funcion

f : R3 → R

los conjuntos de nivel definen superficiesen el espacio. Por ejemplo, la figura a laizquierda ilustra las superficies de nivelde la funcion

f (x , y , z) = x2 + y2 − z2,

i.e. conjuntos solucion de ecuaciones dela forma x2 + y2 − z2 = k para kconstante, estas superficies sonhiperboloides de uno o dos mantos,dependiendo del signo de k .


Un ejercicio: Observe las siguientes superficies

SECTION 14.1 FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES ❙ ❙ ❙ ❙ 901

VI

x

yV

y

x

IVy

x0

III

x

yII

x

yI

x

y

F z

yx

E z

x

y

Dz

x

y

A z

y

x

B z

y

x

z

y

x

C


... Encuentre sus respectivas curvas de nivel

SECTION 14.1 FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES ❙ ❙ ❙ ❙ 901

VI

x

yV

y

x

IVy

x0

III

x

yII

x

yI

x

y

F z

yx

E z

x

y

Dz

x

y

A z

y

x

B z

y

x

z

y

x

C


Continuidad

Una funcion f (x) es llamada continua en un punto p ∈ R si

limx→p

f (x) = f (p).

La figura a la izquierda ilustra unafuncion continua en todo punto.La siguiente figura ilustradiferentes tipos de discontinuidad.


Discontinuidades


En dimensiones mayores las discontinuidades pueden como en lossiguientes ejemplos:


Lımites

Other notations for the limit in Definition 1 are

and

Notice that is the distance between the numbers and , andis the distance between the point and the point . Thus,

Definition 1 says that the distance between and can be made arbitrarily small bymaking the distance from to sufficiently small (but not 0). Figure 1 illustratesDefinition 1 by means of an arrow diagram. If any small interval is givenaround , then we can find a disk with center and radius such that mapsall the points in [except possibly ] into the interval .

Another illustration of Definition 1 is given in Figure 2 where the surface is the graphof . If is given, we can find such that if is restricted to lie in the disk

and , then the corresponding part of lies between the horizontal planesand .

For functions of a single variable, when we let approach , there are only two pos-sible directions of approach, from the left or from the right. We recall from Chapter 2 thatif , then does not exist.

For functions of two variables the situation is not as simple because we can let approach from an infinite number of directions in any manner whatsoever (seeFigure 3) as long as stays within the domain of .

Definition 1 says that the distance between and L can be made arbitrarily smallby making the distance from to sufficiently small (but not 0). The definitionrefers only to the distance between and . It does not refer to the direction ofapproach. Therefore, if the limit exists, then must approach the same limit no mat-ter how approaches . Thus, if we can find two different paths of approach alongwhich the function has different limits, then it follows that doesnot exist.

If as along a path and asalong a path , where , then does

not exist.

EXAMPLE 1 Show that does not exist.

SOLUTION Let . First let’s approach along the -axis.Then gives for all , so

�x, y� l �0, 0� along the x-axisasf �x, y� l 1

x � 0f �x, 0� � x 2x 2 � 1y � 0x�0, 0�f �x, y� � �x 2 � y 2 ��x 2 � y 2 �

lim� x, y� l � 0, 0�

x 2 � y 2

x 2 � y 2

lim�x, y� l �a, b� f �x, y�L1 � L2C2�x, y� l �a, b�f �x, y� l L2C1�x, y� l �a, b�f �x, y� l L1

lim�x, y� l �a, b� f �x, y�f �x, y��a, b��x, y�

f �x, y��a, b��x, y�

�a, b��x, y�f �x, y�

f�x, y��a, b�

�x, y�limx l a f �x� limx l a� f �x� � limx l a� f �x�

axz � L � z � L �

S�x, y� � �a, b�D

�x, y� � 0 � 0fS

y

0 x zL L+∑L-∑0

f)(

D

(x, y)

(a, b)

∂

FIGURE 1

�L � , L � ��a, b�D

f � 0�a, b�DL�L � , L � �

�a, b��x, y�Lf �x, y�

�a, b��x, y�s�x � a� 2 � �y � b� 2

Lf �x, y�� f �x, y� � L �

f �x, y� l L as �x, y� l �a, b�lim x l ay l b

f �x, y� � L

SECTION 14.2 LIMITS AND CONTINUITY ❙ ❙ ❙ ❙ 903

FIGURE 2

xy

z

0

L+∑L

L-∑

(a, b)D∂

S

F IGURE 3

y

b

xa0

Si z = f (x , y) es una funcion,decimos que

lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) = L

si, para cualquier ε > 0 existe unδ > 0 tal que

|f (x , y)− L| < ε

siempre que√(x − a)2 + (y − b)2 < δ.


Cuando un lımite existe, es independiente del camino que se usa alcalcularlo.

Por ejemplo, si

z = f (x , y) = xy2

x2+y4 el lımite

lim(x ,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4

no existe.


Lımites y Continuidad en R2

Una funcion f (x , y) es llamada continua en un punto (xo , yo) ∈ R2 si

lim(x ,y)→(xo ,yo)

f (x , y) = f (xo , yo).

Las reglas usuales del calculo de lımites en una dimension se aplicanidenticamente para lımites en dimensiones superiores:

1 Si un lımite existe debe ser unico.

2 El lımite de una suma, siempre que exista, es la suma de los lımitescorrespondientes.

3 El lımite de un producto, siempre que exista, es el producto de loslımites correspondientes.

4 En general, en cualquier dimension, si ~x = (x1, x2, ..., xn) yf (~x) = (f1(~x), f2(~x), ..., fn(~x)), para fi : Rn → R, lim~x→~xo f (~x) = ~b siy solo si lim~x→~xo fi (~x) = bi .





f (x , y) = f (xo , yo).










f (x , y) = f (xo , yo).










f (x , y) = f (xo , yo).










f (x , y) = f (xo , yo).







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