Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Transporte

1. NÚMEROS ALEATORIOS 1.0 INTRODUCCIÓN El papel que desempeñan las variables aleatorias uniformemente distribuidas en la generación de variables aleatorias tomadas de otras distribuciones de probabilidad, tales como: Normal, Poisson Binomial, etc., es muy importante.

Variable aleatoria corresponde a una función de valor real, definida sobre un espacio muestral asociado con los resultados de un experimento conceptual de naturaleza azarosa. En tanto que el valor de la variable aleatoria es el resultado particular de un experimento, o sea, un valor numérico o de la muestra de una variable aleatoria. Las letras mayúsculas se emplean para representar a las variables aleatorias. Y las letras minúsculas para denotar los valores de las variables aleatorias. CCoonnssiiddeerreemmooss uunn eevveennttoo aalleeaattoorriioo ccuuyyoo rreessuullttaaddoo eessttáá ddaaddoo ppoorr uunn vvaalloorr((rreeaall)) XX llllaammeemmooss PP((XX ≤≤ xx)) llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee qquuee eell rreessuullttaaddoo XX sseeaa ≤≤ xx ((vvaalloorr ddaaddoo))..

LLaa ffuunncciióónn FF((xx)) == PP((XX ≤≤ xx)) ((qquuee ssoolloo ddeeppeennddee ddee xx)) ssee llllaammaa FFuunncciióónn ddee DDiissttrriibbuucciióónn AAccuummuullaaddaa ddee pprroobbaabbiilliiddaadd..

Se tiene que: 0 ≤≤ F(x) ≤≤ 1, Sí ∃ una función f(x), tal que

∫∞−

Y

dxxf )(F(x) =

x Introducción a los Números Aleatorios. Juan Sánchez R.

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f(x) se denomina función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X cuando X = x. Las variables aleatorias se clasifican, de acuerdo con sus funciones de densidad de probabilidad. En este caso nos concentraremos, exclusivamente, sobre las variables aleatorias con funciones de densidad de probabilidad uniforme. La función de distribución acumulativa para la distribución uniforme estandarizada está dada por:

Si 0 ≥ x F (x) = 0

Si 0 < x < 1 F (x) = x

Si x >= 1 F (x) = 1 Para la realización de una simulación que requiere del empleo de variables aleatorias, se debe disponer de las secuencias de números aleatorios con cierta distribución de probabilidad..

Los valores de las variables aleatorias a considerar aquí, se representarán por números, que al menos, parezcan haberse obtenido al azar. Como los valores de nuestra población uniformemente

distribuida. El valor de la variable aleatoria seemplea como un términocolectivo

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que significa números aleatorios dados en forma de dígitos, enteros o racionales, con un intervalo y un sistema de numeración bien definidos. Por convención: Número aleatorio = Número aleatorio uniforme = Término colectivo 2.0 GENERADORES DE NÚMEROS ALEATORIOS. Los métodos para generar números aleatorios involucran algún proceso físico cuasialeatorio, que genera sucesiones de números aleatorios de determinada longitud.

El requisito general para las sucesiones es la independencia estadística. 2.1 Métodos para la generación de números aleatorios.

a) Métodos manuales: Dispositivos mecánicos o electrónicos, lanzamientos de monedas o dados, empleo de barajas, ruletas. Son menos prácticos pero simples, lentos, atractivos, pedagógico. Pero no pueden reproducirse.

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b) Tablas de biblioteca: Generados por los métodos anteriores. Están en tablas. Siempre pueden reproducirse, pero es un sistema lento. Determinados problemas requieren mas números aleatorios que los publicados. c) Métodos de computación analógica: Dependen de procesos físicos aleatorios, por ejemplo: el ruido térmico de un circuito con semiconductores, que convertido en un número binario, representa un valor numérico aleatorio. Se considera que conducen a verdaderos números aleatorios. d) Métodos de computación digital: Se han sugerido tres métodos para producir números aleatorios cuando se usan computadoras digitales; provisión externa, generación interna, relación de recurrencia. Existen en la actualidad técnicas para generar con una computadora, variables aleatorias uniformemente distribuidas, r (en donde r ≥ 0 y l ≥ r). Los números generados por estas subrutinas de computadora se denominan números pseudoaleatorios, porque se generan a partir de una fórmula totalmente determinística mediante la computación. Sus propiedades estadísticas, coinciden con las de los números generados a través de un dispositivo fortuito idealizado que selecciona números de un intervalo unitario (0,1) de un modo independiente en donde son igualmente probables todos los números. A condición de que estos números pseudo aleatorios puedan pasar el conjunto de pruebas estadísticas (las de frecuencia, auto correlación, producto rezagado, corridas, de distancia y así sucesivamente) Introducción a los Números Aleatorios. Juan Sánchez R.

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implicadas por un dispositivo fortuito idealizado, tales números pseudo aleatorios se pueden tratar corno si "en realidad lo fueran" a pesar de que no lo son. 2.2 Requisitos para un buen generador de números pseudo aleatorios

con distribución uniforme:

i)

La distribución de los números debe ser uniforme en todo el intervalo [0,1].

ii) Los números deben ser independientes dentro de toda la serie

generada..

iii)

iv)

v)

vi)

El ciclo del generador debe ser lo suficientemente grande.

La serie debe volverse a repetir.

Capaz de generar números pseudo aleatorios a altas velocidades.

Requerir una mínima cantidad de la capacidad de memoria de Computadora.

Los métodos de congruencia satisfacen de mejor forma todos esos criterios

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