UFRPE - Universidade Federal Rural de Pernambuco

Departamento de Matematica

Lista no 1 de Algebra Vetorial e Linear para Computacao (II-2012)

Prof. Jorge Antonio Hinojosa Vera

01. Verificar se o conjunto R2 = {(a,b) : a,b ∈ R}, com as operacoes de adicao (+ ′) e multiplicacao por escalar

(· ′) tornam (R2,+ ′, · ′) um espaco vetorial sobre o corpo dos numeros reais:

(a) (a,b) + ′ (c,d) = (a+ c,b+ 2d), α · ′ (a,b) = (αa,αb)

(b) (a,b) + ′ (c,d) = (a+ c,b+ d), α · ′ (a,b) = (αa, 0)

(c) (a,b) + ′ (c,d) = (b+ d,a+ c), α · ′ (a,b) = (αa,αb)

(b) (a,b) + ′ (c,d) = (a+ c,b+ d), α · ′ (a,b) = (αa,b)

02. Verifique se os seguintes subconjuntos de R2, considerado com as operacoes usuais, sao subespacos vetoriais.

(a) S = {(x,y) ∈ R2 : 2x− 3y = 0} (b) S = {(x, 2x) ∈ R2 : x ∈ R}

(c) S = {(x, 2x) ∈ R2 : x ∈ Q} (d) S = {(x,y) ∈ R2 : y = 2x+ 1}

(e) S = {(x, x2) ∈ R2 : x ∈ R} (f) S = {(x,y) ∈ R2 : (x+ y)2 = 1}

03. Considere dois vetores (a,b) e (c,d) no plano. Se ad − bc = 0, mostre que eles sao LD. Se ad − bc 6= 0,

mostre que eles sao LI.

04. Mostre que os seguintes conjuntos de R3 sao LI e que nao geram R3. Complete o conjunto de modo de formar

uma base de R3.

(a) A = {(1, 2,−1), (0, 1, 2)} (b) A = {(1, 0,−1)}

05. Mostre que os seguintes conjuntos de R2 geram R2. Extraia uma base do conjunto.

(a) A = {(1, 2), (0, 1), (1, 4)} (b) A = {(1, 0), (2, 0), (5, 4), (−1, 0)}

06. Considere S = {(x,y, z) : 2x+ 3y− z = 0} ⊂ R3.

(a) Mostre que S e subespaco de R3 (S 6 R3).

(b) Determine uma base de S.

(c) Ache um subespaco W 6 R3 tal que S⊕W = R3.

(d) Ache um subespaco T 6 R3, de dimensao 2, tal que S ∩ T = [(1,−1,−1)].

(e) De exemplos de dois subespacos S e T de R3, de dimensao 2, tal que S+ T = R3. A soma e direta?

07. Considere os seguintes subconjuntos de R4:

S = {(x,y, z, t) ∈ R4 : x+ y = 0, z− t = 0} e T = {(x,y, z, t) ∈ R4 : 2x+ y− t = 0, z = 0}

(a) Mostre que S e T sao subespacos de R4 (S, T 6 R4).

(b) Determine uma base para S e T .

(c) Verifique que S⊕ T = R4.

08. O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn : ai ∈ R, (i = 1,n)} dos polinomios com coeficientes reais,

de grau menor ou igual a n (incluindo o zero) e um spaco vetorial com as operacoes usuais de soma de polinomios

e multiplicacao de umescalar por um polinomio. Qual seria uma base ”natural”para este espaco vetorial? De a

dimensao de Pn.

09. Mostre que os polinomios 1 − x3, (1 − x)2, 1 − x e 1 e uma base para o espaco dos polinomios de grau menor

ou igual a 3.

1

10. Seja P o conjunto de todos os polinomios (de qualquer grau) com coeficientes reais. Existe uma base finita para

este espaco?

11. Considere I o intervalo fechado e simetrico [−a,a] (I = [−a,a]). Seja C1(I) o conjunto das funcoes definidas

no intervalo I que possuem derivadas contınuas no intervalo. Considere os subconjuntos:

V1 = {f ∈ C1(I) : f(−x) = f(x), ∀ x ∈ I}, V2 = {f ∈ C1(I) : f(−x) = −f(x), ∀ x ∈ I}

(a) Mostre que C1(I) e um espaco vetorial real.

(b) Mostre que V1 e V2 sao subespacos de C1(I).

(c) Mostre que V1 ⊕ V2 = C1(I).

12. Seja M(2, 2) o espaco das matrizes reais 2× 2. Considere os subespacos:

W1 =

a b

c d

: a = d, b = c

, W1 =

a b

c d

: a = c, b = d

(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.

(b) Determine W1 +W2. E soma direta? W1 +W2 =M(2, 2)?

13. Seja V o espaco das matrizes 2× 2 sobre R, e seja S o subespaco gerado por: 1 5

−4 2

,

1 1

−1 5

,

2 −4

−5 7

,

1 −7

−5 1

Encontre uma base, e dimensao de S.

14. Consdere a base canonica de R3, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, e β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}.

(a) Mostre que β e uma base de R3.

(b) Determine as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relacao a base β.

(c) Determine as matrizes mudanca de base [I]βα e [I]αβ e verifique que([I]βα

)−1

= [I]αβ.

15. Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(√

3, 1), (√

3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas

de R2.

(a) Ache as matrizes de mudanca de base:

(i) [I]β1

β (ii) [I]ββ1(ii) [I]ββ2

(iv) [I]ββ3

(b) Quais sao as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relacao a base:

(i) β (ii) β1 (ii) β2 (iv) β3

(c) Para um vetor v ∈ R2, temos [v]β1=

4

0

. Determine as coordenadas de v em relacao a base:

(i) β (ii) β2 (ii) β3

16. Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)}, β2 = {(−1, 0), (1, 1)} e β3 = {(−1,−1), (0,−1)} tres bases ordenadas de R2.

(a) Ache as matrizes de mudanca de base:

(i) [I]β2

β1(ii) [I]β3

β2(ii) [I]β3

β1(iv) [I]β2

β1· [I]β3

β12

(b) Se for possıvel, de uma relacao entre estas matrizes de mudanca de base.

17. Se [I]βα =

1 1 0

0 −1 1

1 0 −1

ache: (a) [v]α onde [v]β =

−1

2

3

(b) [v]β onde [v]α =

−1

2

3

18. Sejam u = (x,y) e v = (a,b) vetores de R2. Se f(u, v) = 2xa + xb + ya + by, mostre que f e um produto

interno.

2

19. Seja V o espaco das funcoes contınuas no intervalo [0, 1]. Dadas f,g ∈ V, definimos:

〈f,g〉 =∫10

f(t)g(t)dt.

Verifique que 〈 ·, ·〉 define um produto interno em V.

20. Podemos definir uma ”distancia”entre dois pontos P = (x1,y1) e Q = (x2,y2) do plano por

d(P,Q) = |x2 − x1|+ |y2 − y1|.

Verifique se a aplicacao dada por

〈(x1,y1), (x2,y2)〉 = d(P,Q)

define um produto interno no plano.

21. Seja β = {(1, 2), (2, 1)}. Use o processo de ortogonalizacao de Gram - Schmidt para achar uma base ortonormal

β ′ de R2, em relacao ao produto interno usual.

22. Considere o subespaco S = {(x,y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0} de R3. Determine uma base ortonormal de S, em

relacao ao seguinte produto interno de R3:

(a) Produto interno canonico

(b) � (x,y, z), (a,b, c)�= xa+ 2yb+ 3zc

23. Seja W ⊂ R3 o subespaco gerado por (1, 0, 1) e (1, 1, 0). Determine W⊥, em relacao aos produtos internos de

R3 dados no exercıcio anterior.

24. Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)}. Use o processo de ortogonalizacao de Gram - Schmidt para achar uma

base ortonormal β ′ de R3, em relacao ao produtos internos anteriores.

25. Define-se o traco de uma matriz quadrada A = (aij)n×n, como Tr(A) =∑ni=1 aii. Dadas A e B matrizes de

M(2, 2), define-se 〈A,B〉 = Tr(Bt ·A), onde Bt e transposta da matriz B.

(a) Verifique que 〈A,B〉 e um produto interno.

(b) Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base: 1 0

0 1

,

1 1

0 0

,

1 0

1 1

,

1 1

1 1

.

26. Seja P2 o espaco das funcoes polinomiais de grau menor ou igual a dois. Definimos em P2

〈f,g〉 =∫1−1

f(t)g(t)dt, f,g ∈ P2

Considere W o suespaco gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1 − t

(a) 〈f,g〉 e um produto interno?

(b) Se a resposta de (a) for afirmativa determine uma base ortogonal para W.

27. Seja S o subespaco de R3 gerado pelos vetores (1, 0, 1), (1, 1, 0) e (2, 1, 1).

(a) Encontre o complemento ortogonal de S, S⊥.

(b) Encontre uma base ortonormal para S e S⊥.

28. Seja T o subespaco de R3 gerado pelos vetores (1, 1, 1) e (2, 2, 2).

(a) Encontre o complemento ortogonal de T , T⊥.

(b) Encontre uma base ortonormal para T e T⊥.

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