Al Azar - La Suerte, La Ciencia y El Mundo

Ivar Ekeland

AL AZAR

Grupo: CIENCIAS NATURALES y DEL HOMBRE

Subgrupo: PROBABILIDAD, MATEMÁTICA

Y TEORÍA DEL CAOS

Editorial Gedisa ofrecelos siguientes títulos sobre

CIENCIAS NATURALESy DEL HOMBREpertenecientes a sus diferentes

colecciones y series(Grupo "Probabilidad, matemática y teoría del caos")

IVAR EKELAND Al azar

STEPHEN R. GRAUBARD La inteligencia artificial(comp.)

WILLIAM ASPRAY John von Neuman y el origende la computación moderna

AL AZARLa probabilidad, la ciencia

y el mundo

por

Ivar Ekeland

Título del original en francés:Au hasard© 1991 by Éditions du Seuil

Traducción: Alberto Luis BixioCubierta: Gustavo Macri

Primera edición, Barcelona, España, 1992

Derechos reservados para todas las ediciones en castellano

© by Editorial Gedisa, S. A.Muntaner 460, entlo., l'Te!. 201 60 0008006 - Barcelona, España

ISBN: 84-7432-432-7Depósito legal: B-28.914! 1992

Impreso en EspañaPrinted in Spain

Impreso en Libergraf, Avda. Constitució, 19,08014 Barcelona

Queda prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio de impresión, en forma idéntica, extractada o modificada, en castellano o cualquier otro idioma.

Indice

PREFACIO........................................................................... 91. Alea......................................................................... 132. El destino 453. La anticipación 754. El caos , 975. El riesgo 1436~ La estadística......................................................... 165

CONCLUSION 187

Prefacio

Mientras la Biblia hebraica sitúa la confusión primigenia, el caos original, en el comienzo de los tiempos, los Eddasescandinavos lo sitúan en un período intermedio. Ese es elmomento del Ragnarok, del crepúsculo de los dioses, de ladestrucción del mundo que se verifica entre la historia de loshijos de Odín y la nueva edad de oro que surgirá de las ruinas. Veamos lo que dice de esto la Voluspa, la visión de la sibila, texto grandioso que abarca el conjunto del ciclo en unavisión profética.!

Tiempos de fuego, tiempos de hierro,Hendidos están los escudos.Tiempos de rayo y de ferocidad,Antes del derrumbamiento del mundo.

Los gigantes se lanzan al asalto en un barco construidocon uñas de muertos. El perro Garm, que ladra en las puertas del infierno, rompe su cadena la serpiente Midgard surgedel fondo del océano y combate con el dios Thor, el lobo Fenrir da muerte a Odín, a quien venga su hijo Vidar, el fresnoYggdrasil, a cuyo amparo las tres Nomas fijan los destinoshumanos, se rasga de arriba abajo, el sol se oscurece, la tierra se hunde en el mar, el incendio lo devora todo hasta lasestrellas.

1 Sobre una traducción de la Voluspa, véase Renaud-Krantz, Anthologie de la poésie nordique ancienne, París, Gallimard, 1964.

http://www.esnips.com/web/Scientia 11

¿Por qué no hemos de pensar que aquellos tiempos sonlos nuestros y que en medio del caos en que se desarrollanuestra historia no encontramos, unos junto a otros, fragmentos del mundo antiguo y de la futura edad de oro, así como la suave arena de una playa revela a través de la lupauna multitud de gránulos multicolores y diversos? Por esome pareció posible, y en ciertos aspectos necesario, poner enrelación dos textos que están separados por un milenio: algunas páginas de una antigua saga y unos fragmentos de untratado moderno sobre el azar. Si una historia habla de suerte, de magia o de destino, la otra habla de alea, de caos o deriesgo, pero se trata de la misma historia. Comienza en laépoca antigua en la que la misma palabra griega roX11 abarcaba todos esos aspectos y expresaba asimismo la existencia.Abrimos el libro, como lectores en busca de distracción o desaber, y progresivamente descubrimos que nosotros somos losactores.

Lo mismo que Jano, el azar tiene varios rostros, y es lariqueza de esas múltiples caras lo que he querido pintar. Noquise imponer a esa diversidad el marco artificial de un árbolbien recortado, ni imponer al pensamiento la unidad retóricade una exposición bien hilvanada. Acaso sea también conveniente que el azar tenga alguna parte en la manera en que seaborde esta obra. Lector, este libro tiene seis capítulos. Tornaun dado y ya sabes lo que hay que hacer.

12

1

Alea

Torstein Frode cuenta que en Hising había una ciudadque estaba ligada en su suerte tanto a Noruega como a Suecia. Los dos reyes convinieron entonces en echar suertes porver a quién de ellos les correspondería; arrojarían los dadosy el ganador sería aquel que obtuviera el total de puntos mayor. El rey de Suecia sacó dos seis y dijo que no valía la penaque el rey Olav probara suerte, pero éste, mientras sacudíaen la mano los dados, le respondió: "Hay todavía dos seis enestos dados, y no es difícil que Dios, mi Señor, los haga salir". Tiró los dados y obtuvo dos seis. El rey de Suecia volvióa echar los dados y obtuvo de nuevo dos seis. Luego el reyOlav tornó a jugar y uno de los dados mostró todavía un seispero el otro se quebró en dos pedazos, con tanta fortuna queindicó siete. Entonces la ciudad le tocó a él.'

Según una tradición minoritaria pero bien atestiguada,el rey Olav Haraldssen en aquella ocasión había manipulado el azar. Algunos le atribuyen, desde el comienzo de una vida que debía llevarlo a la canonización, poderes milagrosostales como curar a enfermos e inválidos o alcanzar ayuda delmás allá para combatir junto a él. Se dice que también teníael poder de hacer que los dados se detuvieran en la cara quedeseaba. Para otros, lo mismo que ciertos combatientes llamados berserher, provistos en las grandes ocasiones de unafuerza sobrehumana que los hacía invulnerables, el rey Olav

r Snorri Sturlasson, Saga de saint Olav, pág. 94.

http://www.esnips.com/web/Sdentia 15

Haraldssen era capaz de una destreza sobrenatural que lepermitía lanzar los dados tan hábilmente que su carrera terminaba naturalmente en la cara del dado que él había elegido. Un antiguo cronista hasta asegura que esa aptitud no erainnata, y cuenta cómo el rey la adquirió entrenándose condados cada vez más pequeños. Otros, por fin, lo acusan rotundamente de hacer trampas. Sus dados estaban cargados,lo cual explica que el número seis saliera con tanta regularidad, y uno de ellos estaba hábilmente astillado de suerte queno quedaba rastro aparente de nada. De manera que OlavHaraldssen había montado así todo el espectáculo hasta llegar a la sorpresa final, que sólo lo era para el rey de Suecia ysu comitiva.

Verdad es que en una tirada de dados todo puede sersospechoso: el dado mismo, la forma y la rugosidad del tapete, la manera de lanzarlo. Si lo analizamos a fondo hasta podemos preguntarnos dónde está el azar. No está ni en la carrera del dado ni en sus saltos, que están regidos por eldeterminismo de la mecánica racional. El juego de billar sebasa en los mismos principios y a nadie se le ha ocurridopensar que sea un juego de azar. De manera que, en últimainstancia, el azar está en la torpeza, la inexperiencia o la ingenuidad del que tira los dados... o en el ojo del observador.

Por lo demás, puede uno imaginar perfectamente una civilización en la cual tirar dados sea un deporte y el billar unjuego de azar. Las reglas serían ciertamente diferentes. Eldado debería tener las dimensiones y el peso de una bola debillar y la partida se desarrollaría como nuestro actual juegode bochas. El jugador tomaría algunos pasos de impulso ylanzaría su dado con la intención de acercarlo lo más posiblea un testigo. La cifra que apareciera en la cara superior figuraría en la cuenta de los puntos y el lanzador hábil o experimentado regularía en consecuencia su tiro.

Por lo que se refiere al billar, nada más fácil que convertirlo en un juego de azar. Basta con inclinar la mesa, con proveerla de dispositivos que rechacen y desvien la bola y condisponer seis troneras en la parte inferior de la mesa o enotros lugares del billar, de suerte que la bola caiga necesariamente en una de ellas. Como aquí no se busca favorecer la

16 http://www.esnips.com/web/Scientia

destreza, el gatillo disparador será mecánico, la bola se enviará contra la pendiente mediante un resorte que el jugadorajustará más o menos. Ese billar mecánico será tan aleatoriocomo los dados tradicionales. Se presta menos a este uso,pues un cubilete de dados se puede llevar fácilmente en unbolsillo y se puede disponer de él en cualquier circunstancia,pero en el plano de los principios nada impide imaginar aaquellos dos reyes decidiendo sobre la suerte de la ciudad conun aparato de este tipo. Unos siglos después el progreso tecnológico hará que el billar mecánico se convierta en billareléctrico y el juego de azar se cambiará de nuevo en juego dedestreza.

Yo no comparto esa triste sospecha y quiero creer que enaquella circunstancia, como en tantas otras, el rey Olav Haraldssen se mostró digno de su fama de santidad. Recurrir ala suerte puede entonces entenderse de varias maneras, especialmente corno una ordalía, como un juicio de Dios, y sinduda era así como lo entendía el cronista. Un espíritu moderno preferirá ver en esto una manera de dividir en dos una cosa indivisible. Como los dos reyes se reconocían derechosiguales sobre la ciudad y como no tenían principios que afirmar ni intereses que defender, vieron en un condominio másinconvenientes que ventajas y escogieron ese medio paraejercer sus derechos. Dar a alguien la mitad de un objeto oconcederle una posibilidad entre dos de tenerlo por enteroequivale más o menos a lo mismo, y es esta última soluciónla única que puede emplearse cuando el objeto en cuestión esindivisible. Este procedimiento es hoy muy bien conocido porlos teóricos de la economía, que han recurrido a él para afirmar que todos los bienes son indefinidamente divisibles.

Semejante procedimiento es de gran flexibilidad y sepresta a numerosas generalizaciones. Por ejemplo, si los dosreyes hubieran querido reconocer a uno de ellos dobles derechos de los derechos del otro, les habría bastado con hacer tirar los dados por una tercera persona y entonces la ciudadhubiera correspondido a uno por un total de ocho o menos yal otro por un total de nueve o más. El primero habría tenidoasí dos posibilidades entre tres de ganar, contra una posibili-


dad entre tres solamente en el caso del segundo rey, lo cualrefleja bien la proporción de la unidad con el doble que se había convenido. Para respetar la simetría y acallar las susceptibilidades, hasta se podría haber confiado un dado a cadauno de los reyes y remitirse al total de los dos jugadores.

Aun cuando los dos reyes obraran de buena fe y auncuando la equidad fuera la única preocupación, no es menoscierto que tenían que resolver un problema: ¿cómo echarsuertes de una manera perfectamente honesta, exenta de toda sospecha de fullería? ¿Es siquiera esto posible? ¿Se reduceel azar a una actitud psicológica o a una convención social obien existe un azar puro, independiente de toda manipulación humana? Encontramos debatida esta cuestión de manera muy notable en un manuscrito que desgraciadamente desapareció, pero del cual Jorge Luis Borges me dio una copiaque él sacó en los archivos del Vaticano. Según Borges, el manuscrito data de los años 1240-1250 y formaba parte sin duda de los documentos incorporados en el expediente de canonización de Olav Haraldssen. Su autor es un hermano Edvin,del monasterio franciscano de Tautra, Noruega, que no noses conocido por ninguna otra cosa.

Al leerlo no puede uno sino asombrarse. Las audaciasdel hermano Edvin recuerdan demasiado las de su contemporáneo Roger Bacon para que la condenación de este último noalcanzara al hermano Edvin. Tal vez ambos recibieron juntosen Oxford las enseñanzas de Robert Grosseteste y tal vez terminó como Bacon sus días en la cárcel. Si el hermano Edvincompuso otros escritos, éstos no sobrevivieron sin duda a lacondenación de 1277, de manera que sólo el olvido salvó de ladestrucción al manuscrito que nos ocupa, a menos que hayaquedado protegido por su condición de documento de atestiguación.

El hermano Edvin comienza teniendo en cuenta las acusaciones de fulleria lanzadas contra el rey Olav. Ese rumor sedifundió muy tardíamente, mucho después de la desaparicióndel último testigo ocular, en tanto que a partir de la muerte del rey Olav se constituyó en el pueblo cristiano una tradición, viva y vigorosa aun hoy, que afirmaba la santidad del

18 http://www.esnips.com/web/Scíentía

rey en todas las circunstancias. Esa tradición se fundaba ennumerosos signos milagrosos, y el episodio que hemos citadono es el menor de ellos pues manifestaba el eficaz sostén dado por Nuestro Señor a su discípulo. La rotura del dado sólopuede interpretarse como un milagro que convertía doce entrece; y aquí acude inmediatamente al espíritu el episodio dela multiplicación de los panes; pero nosotros no evocaremosejemplos tan grandes para ilustrar una materia tan trivialcomo el sorteo de una ciudad. En todo caso ésa era la interpretación de los testigos, como lo muestra la actitud del reyde Suecia y de su comitiva; nadie informa que se hubierapuesto en tela de juicio el resultado, como no habría dejadode hacerlo el rey si hubiera tenido alguna duda sobre el carácter milagroso del hecho.

Por otro lado, Olav Haraldssen, contra toda probabilidad, podría haber manipulado las suertes en aquella ocasióny esto no invalidaría en nada su carácter de santo. A nadie sele ocurriría cuestionar la santidad del patriarca Jacob. Sinembargo, como está relatado en el capítulo XXX del Génesis,cuando Jacob ajustó un contrato con su suegro Labán, manifestó una actitud que en un hombre corriente habría sido calificada de tramposa, pero que en un hombre de Dios ayudasencillamente a que se manifieste la voluntad del Altísimo.Para satisfacción del copista y edificación del lector, recordemos el texto sagrado:

"Y le dijo Labán: '¿Qué te daré?' Y respondi6 Jacob: 'Nome des nada; si hicieres por mí esto, volveré a apacentar tusovejas. Yo pasaré hoy por todo tu rebaño, poniendo aparte todas las ovejas manchadas y salpicadas de colaP\ y todas lasovejas de color oscuro, y las manchadas y salpicadas de colorentre las cabras; y esto será mi salario. Así responderá pormí mi honradez mañana, cuando vengas a reconocer mi salario; toda la que no fuere pintada ni manchada en las cabras, y de color oscuro entre mis ovejas, se me ha de tener como de hurto'.

Dijo entonces Labán: 'Mira, sea como tú dices'.y Labán apart6 aquel día los machos cabríos mancha

dos y rayados, y todas las cabras manchadas y salpicadas de


color, y toda aquella que tenía en sí algo de blanco, y todaslas de color oscuro entre las ooejas, y las puso en manos desus hijos.

y puso tres días de camino entre sí y Jacob; y Jacobapacentaba las otras ooejas de Labán. Thmó luego Jacob uaras uerdes de álamo, de auellano y de castaño, y descortezóen ellas mondaduras blancas, descubriendo así lo blanco delas uaras. Y puso las uaras que había mondado delante delganado, en los canales de los abreuaderos del agua donde uenían a beber las ovejas, las cuales procreaban cuando ueniana beber. Así concebían las ouejas delante de las oaras; y parían borregos listados, pintados y salpicados de diversos colores.

y apartaba Jacob los corderos, y ponía con su propiorebaño los listados y todos los que eran oscuros del hato deLabán. Y ponía su hato aparte, y no lo ponía con las ouejasde Labán.

y sucedía que, cuantas ueces se hallaban en celo las ouejas más fuertes, Jacob ponía las uaras delante de las ouejasen los abreuaderos, para que concibiesen a la uista de las uaras. Pero cuando uenían las ouejas más débiles, no las ponía;así eran las más débiles para Labán, y las más fuertes paraJacob."2

En cuanto a la legitimidad misma de jugar a los dados laposesión de una ciudad, ella se apoya en la más alta autoridadque exista, puesto que la túnica de Nuestro Señor fue echadaa suertes, como lo atestiguan unánimemente los cuatro evangelistas; San Juan es el más explícito sobre este punto:s

"Entonces los soldados, cuando hubieron crucificado aJesús, tomaron sus oestidos y los hicieron cuatro partes, para cada soldado una parte, y también la túnica, mas la túnica era sin costura, de un solo tejido de arriba abajo. Dijeronpues entre sí: '[No la rasguemos sino que echemos suertes so-

2 Génesis xxx, 31-42.3 San Juan XIX, 23-24.

20 http://www.esnips.com/web/Sdentia

bre ella a ver de quién será!', para que se cumpliera la escritura que dice: 'Diviserunt sibi vestimenta mea, et super vestem meam miserunt sortem'."!

Hay que hacer notar que el ganador del sorteo no estácitado y que, tanto en la Escritura como en la tradición, sepierden los rastros del precioso objeto a partir de aquel mismo momento. Tratábase pues de afirmar un principio antesque de referir un destino particular, y ese principio indicaba que las cosas indivisibles no deben dividirse. La tradiciónreconoció desde muy temprano en la túnica inconsútil unaimagen de Nuestra Santa Madre Iglesia, cuya unidad debeser preservada de los herejes, los cismáticos y otros seguidores del demonio. Pero el mismo principio se aplica también acosas de menor importancia, como una ciudad que es indivisible por su naturaleza, de manera que el proceder de OlavHaraldssen estaba plenamente legitimado.

Asimismo podriamos invocar otros testimonios de menorimportancia. "Las suertes se echan en un regazo; pero su entera decisión es del Altísimo" (Proverbios XVI, 33). La suertedesigna a Matías para completar los Doce (Hechos 1, 26) y designa a Zacarías para entrar en el santuario (Lucas 1, 9). Esmediante la suerte, "urin" o "tummim", como el Todopoderosodesigna a los culpables -Ionatán (I Samuel XIV, 37-43), Jonás(Jonás 1, 1-10) y Acán (Josué VII, 10-23), y como designa a Saúl rey de Israel (1 Samuel x, 20-24). Según la expresión deSan Agustín ("Enarrationes in Psalmos", Ps 30.16 enarr. 2serm. 2), "Sors non est aliquid mali, sed res, in humana dubitatione, divinam indicans voluntatem".5

Hasta aquí la demostración del hermano Edvin es irreprochable tanto desde el punto de vista del razonamiento como desde el punto de vista de la ortodoxia. Pero a partir deese momento se deja arrastrar visiblemente por su tema y sedesvía del camino indicado por la prudencia.

4 "Se dividieron mis vestidos y tiraron a suertes mi túnica", Ps 22.19.5 "En sí misma la suerte nada tiene de malo, sino que es algo que indi

ca la voluntad divina cuando el hombre duda."


Habiendo establecido firmemente en una primera parteque el resultado de un sorteo bien realizado no puede serotra cosa que la manifestación de la voluntad divina, el hermano Edvin plantea enseguida el problema práctico de preservar esa manifestación de las interferencias humanas queson siempre posibles. La segunda parte del manuscrito pasaextensamente revista a los diversos juegos de azar conocidosen la época -naipes, dados, lotería- y muestra cómo unmanipulador hábil y mal intencionado puede alterar el resultado y, por tanto, impedir que se manifieste la voluntaddivina. Llega a la conclusión de que el empleo de instrumentos materiales suscitará siempre alguna duda sobre la regularidad de las operaciones y abre así la puerta a todas lasobjeciones.

El hermano Edvin propone por fin una solución muy original. En las grandes circunstancias, como aquella en que sereunieron Olav Haraldssen y el rey de Suecia, cuando es importante para todos que el procedimiento de echar suertes seairreprochable, cada uno de los participantes elige un númeroen secreto y lo escribe en un rollo de pergamino sellado. En eldía fijado, los dos reyes o sus representantes entregan los pergaminos a un árbitro, hombre docto y piadoso, asistido poramanuenses capaces de calcular. El árbitro rompe los sellos ylee los dos números; los amanuenses los suman, dividen la suma por seis y anuncian el resto. Hay seis posibilidades:

1 2 3 4 5 o

que son el equivalente de los seis resultados posibles deechar un dado:

1 2 3 4 5 6

y la posibilidad que es anunciada se considera el resultado deechar suertes. Por ejemplo, si un rey eligió 17 y el otro 3051,la suma será 3068 y el resto 2. Esa es la cifra que anunciaráel árbitro. Según nuestra tabla, ese resultado corresponde auna salida de 2 con un dado, pero el procedimiento del hermano Edvin ofrece la ventaja de no ser afectado ni por la ha-


bilidad ni por la mala intención. Se trata del azar, del azarmás puro que pueda imaginar un fraile del siglo XIII.

El hermano Edvin se lanza entonces a consideracionesmatemáticas muy interesantes. Hace notar que, si se multiplicara en lugar de sumar, el procedimiento sería vergonzosamente manipulable: 'bastaría que uno de los jugadores eligiese un múltiplo de seis para que el resultado fuera un O, cualquiera que haya sido la elección del adversarío. En efecto,nos encontraríamos aquí frente al producto de los dos números antes que frente a su suma y, si uno de los factores es divisible por 6, el producto lo será igualmente. La segunda observación del hermano Edvin es la de que lo único que importa en el resultado final es el resto de la división por seis delos dos números escogidos. Así, vimos que si uno elige 17 y elotro 3051, el resultado será 2. Si reemplazamos 17 por 5 y3051 por 3, que son los restos de las divisiones por 6, tenemos 5 + 3 = 8, que da de nuevo el resultado de 2. El hermanoEdvin llega a la conclusión de que es inútil que los jugadoreselijan grandes números pues no se restringen en nada las posibilidades al limitarse a números que van de 1 a 6. Sin embargo, observa, la elécción de números dentro de un abanicomayor da a los jugadores la ilusión de que enriquecen las posibilidades, y es bueno que así lo crean.

La última parte del manuscrito es una discusión de losdiversos medios para mejorar el método. Naturalmente seextiende al caso de tres jugadores o más, y el hermano Edvinhace notar que si los participantes son sólo dos, puede habercierta ventaja en introducir un tercero. Por ejemplo, en loscasos en que entran en juego intereses importantes, como eldestino de una ciudad, se puede pedir al Santo Padre que envíe desde Roma un tercer número cuyo sello se rompa en elmismo momento en que se rompan los otros dos. Se hará entonces la suma y se tomará el resto de la división por seis para obtener el resultado. Así, si a los dos números 17 y 3051 seagrega 442, la suma se convierte en 3510 y el resultado es O,que corresponde a una salida de 6 en la tirada de un dado.Introducir al tercer jugador y el hecho de que éste sea independiente de los otros dos garantizarán mejor aun la imparcialidad del lance.


Por fin, el hermano Edvin indica que en ciertos casospuede uno verse en situación de jugar solo, y entonces se pregunta cómo consultar la suerte sin que intervenga otro jugador. Confiesa que no llegó a resolver el problema a susatisfacción, pero propone provisionalmente el siguiente procedimiento. El jugador elige un número de cuatro cifras y loeleva al cuadrado. Obtiene así un número de siete u ocho cifras, del cual suprime las dos últimas y la primera o las dosprimeras a fin de obtener un número de cuatro cifras. Repiteentonces la operación cuatro veces y toma el resto de la división por seis del último número obtenido. Por ejemplo, partiendo de 8653, lo eleva al cuadrado (74 874 409) Y se quedacon las cuatro cifras del medio (8744). Repitiendo la operación obtiene sucesivamente:

8653 8744 4575 9306 6016

y dividiendo el último número por 6 obtiene un resto de 4,que equivale a una salida de 4.

La ventaja del método consiste, salvo excepciones, enque es imposible prever el resultado final si no se efectúanlos cálculos del caso, los cuales, como lo subraya el hermanoEdvin, no están al alcance de cualquiera, pues se necesitagran práctica con el ábaco, esto es, conocer el "cálculo indio"tal como está expuesto, por ejemplo, en el Liber Aba de Leonardo Fibonacci.e De manera que el resto de la división por 6del número inicialmente elegido es 1, en tanto que el resultado final es 4, de suerte que muy listo tendria que ser quien lohubiera previsto. El hermano Edvin no deja de indicar queel procedimiento puede hacerse aun más seguro aumentando el número de cifras conservadas (seis en lugar de cuatro,por ejemplo, y partiendo de un número de seis cifras) o aumentando el número de operaciones, siempre claro está queese número se fije al comienzo y que el jugador no se ponga acambiar la regla en el curso de la partida.

6 La notación griega y la notación romana se prestaban poco para realizar operaciones numéricas, de manera que el menor cálculo simbólico erauna gran hazaña.


Pero el hermano Edvin no deja tampoco de mostrar eldefecto de su método, defecto que está justamente en la existencia de excepciones. No se necesita gran saber para preverque si uno parte de 0000, los números sucesivos serán todos0000 y el resultado final, por tanto, O. La aparición de cerospuede perturbar el juego de manera más insidiosa. Si se parte de 1001, por ejemplo, se dará con 0200 en la primera operación y luego se obtendrá sucesivamente 0400, 1600, 5600,3600, 9600, 1600, con lo que termina el circuito, es decir queel ciclo 1600, 5600, 3600, 9600, 1600 se reproduce indefinidamente. Se hace pues perfectamente posible prever el resultado de la cuarta tirada, de la decimoséptima o de la millonésima y así hacerse trampas a uno mismo.

El hermano Edvin propone algunos paliativos, especialmente la obligación de elegir el primer número de cuatro cifras diferentes y sin ceros. Pero es demasiado perspicaz parano darse cuenta de que además de estas excepciones evidentes pueden existir otras más sutiles. Y hasta tal vez esas excepciones sean el indicio de una regularidad más profunda,disimulada a nuestros ojos inexpertos, pero que un análisismejor inspirado puede sacar a la luz. ¿Cómo saber si no hayuna fórmula escondida que dé el resultado de manera simpley directa, no sólo en casos particulares como el del 1001 sinoen el caso de todos los números? El hecho de que seamos incapaces de hallar semejante fórmula no nos garantiza queella no exista. Si existe, el azar queda eliminado de nuestrojuego. Quien la halle podrá guardarla para sí mismo y hacerfortuna aceptando apuestas en cada partida, o bien revelarlay reducir a la nada el resultado de tantos esfuerzos.

El manuscrito termina con esa nota melancólica que quizá sea un presentimiento. Es fácil imaginarse los disgustosque el manuscrito podia acarrear a su autor. El hermano Edvin maneja los números como si fueran cosas, sin preocuparsepor su sentido oculto. ¿Qué cosa positiva puede salir de unaintervención tan reductora? Es notorio, por ejemplo, según loafirma explícitamente San Juan, que el número de la Bestiaes 666 (Apocalipsis XIII, 18). ¿Qué ocurriría si ese númeroapareciera durante los cálculos? ¿No sería ése el signo másexplícito de la intervención del demonio? ¿Cómo no pensar

http://www.esmps.com/web/Scientia 25

que el resultado estará viciado? Al abandonar las interpretaciones tradicionales, el hermano Edvin se exponía a que loacusaran de practicar la adivinación, y hay motivos parapensar que se lo haya acusado en efecto.

Después de un eclipse de varios siglos, los problemasplanteados por el hermano Edvin y sus escrúpulos moralesvolvieron a ser de actualidad cuando hubo que inculcar elazar a los ordenadores. Ya no se trataba de especulacionesdesinteresadas ni de pruebas de santidad, sino que se trataba de construir un arma termonuclear, la bomba H, cuyo primer prototipo se hizo estallar en 1952. Ese éxito era la culminación de un esfuerzo científico y tecnológico sin precedentes,llevado a cabo por los Estados Unidos después de la famosacarta de Einstein dirigida al presidente Roosevelt y marcadoespecialmente por las bombas lanzadas en Hiroshima y Nagasaki.

Los cálculos relativos a la bomba A se habían realizadoa mano, con la ayuda de reglas de calcular y calculadoras demanivela. ENIAC, la primera calculadora electrónica -unmonumento de treinta metros de largo, tres metros de alto,noventa centímetros de ancho, 18 000 tubos de vacío y másde 500 000 soldaduras- ya estaba dispuesta a funcionar a fines de 1947. Durante su largo período de gestación, se habíatomado la decisión de utilizarla para simular el comportamiento de los neutrones en un material fisible, un paso crucial en el desarrollo de una bomba termonuclear. Los expertos que habían construido la bomba A, especialmente EnricoFermi y John von Neumann, habían abordado el problema yllegado a la conclusión de que sólo podía tratárselo mediantemétodos estadísticos. En cualquier momento, un neutrón tiene cierta probabilidad de entrar en colisión y cada colisióntiene cierta probabilidad de producir una simple difusión delneutrón que entra en colisión o bien una fisión que da nacimiento a varios neutrones nuevos. Cada trayectoria individual es pues el resultado de una partida jugada según reglascomplejas pero con probabilidades conocidas.

La idea consiste en confiar a la máquina el cuidado de


jugar un gran número de esas partidas, en echar a suerteslas decisiones según las probabilidades indicadas y en estudiar estadísticamente los resultados obtenidos. Así nació elmétodo de Monte Cario. Mientras esperaba que entrara enfuncionamiento ENIAC, Fermi había inventado una pequeñavagoneta, bautizada inmediatamente FERMIAC, que se desplazaba sobre un plano de sección del reactor para materializar una trayectoria neutrónica posible; cada vez se sorteabala dirección del desplazamiento y la distancia de la próximacolisión. Había también otros ajustes que se modificaban mucho según el material que atravesaba el neutrón. Ese pequeño aparato quedó relegado al depósito de los accesorios cuando comenzó a funcionar ENIAC, la cual a su vez llegó a sercaduca a partir de 1952, cuando comenzó a funcionar en LosAjamos MANIAC. En todas esas máquinas el método deMonte Cario dio excelentes resultados. Ese método constituye hoy uno de los principales instrumentos de cálculo enfisica.

El método de Monte Cario, pues ése es su nombre, es unmétodo simple y versátil. Para tomar un ejemplo de Stanislaw Ulam, supongamos que yo quiera conocer la probabilidadde acertar en un solitario. Por supuesto, esto depende del orden inicial del paquete de cartas. Ahora bien, hay

52! = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x ... x 3 x 2 x 1

maneras diferentes de distribuir 52 cartas. Ese número (elfactorial de 52, que se indica con el signo de exclamación) esenorme, puesto que se escribe con setenta cifras y es tangrande que queda excluida la posibilidad de examinar sistemáticamente todas las distribuciones posibles para contarlas partidas ganadoras. La probabilidad buscada:

número de partidas acertadasnúmero de distribuciones posibles

es, pues, inaccesible mediante un cálculo exacto. En cambio,se puede dar una estimación empírica jugando sólo un número pequeño de partidas -algunos centenares o algunos mi-


llares- siempre que los naipes sean cuidadosamente barajados entre una distribución y otra. En otras palabras, se estima la probabilidad desconocida lanzando al azar e independientemente cierto número de distribuciones entre las 52!distribuciones posibles, y tomando nota de la proporción delas partidas ganadas en la muestra así conseguida. Es fácilprogramar un ordenador para un solitario y, por lo tanto, para concluir la partida en algunos milisegundos, sea una determinada distribución ganadora o no.

Pero todavía falta que el ordenador aprenda a barajarlas cartas, es decir, a elegir una distribución entre 52! posibles, afectada cada una por la misma probabilidad de l/52!, yesto independientemente de las elecciones anteriores. En lapráctica, representaremos los naipes con números y entoncesel ordenador deberá sacar al azar un primer número de 1 a52, luego un segundo número entre los 51 restantes, despuésun tercero entre los 50, y así sucesivamente hasta agotar laserie. ¿Cómo realizar todas esas tiradas de manera equiprobable e independientemente de las anteriores?

En el bridge esto se hace mezclando las cartas entre cada reparto, lo cual es menos sencillo de lo que parece. El fullero sabe barajar las cartas de manera tal que le toque a élla mejor mano y el prestidigitador sabe recoger del mazo unacarta que se ha deslizado en su interior. Tampoco es suficiente que el que da las cartas baraje bien; es menester que baraje durante un buen tiempo, por lo menos siete veces segúnestudios recientes. Si se reúnen todas esas condiciones, losjugadores no tratarán de recordar el orden de las cartas delreparto anterior para obtener información sobre la distribución en marcha: considerarán los dos repartos como independientes. Esto no impide que, una vez distribuidas las cartas ycuando tienen en la mano las suyas, los jugadores se haganuna idea de la repartición de los naipes. Esa idea se basa noen los recuerdos que tienen del reparto anterior (el as de pique había salido antes del rey; recuerdo perfectamente que elrey seguía inmediatamente al as en la baza, y ahora, comotengo el as de pique en la mano, el rey debe de estar a mi izquierda), sino en la hipótesis de que las cartas restantes están uniformemente repartidas (tengo cuatro piques, quedan


nueve distribuidos entre tres jugadores, de manera que esprobable que cada uno tenga tres). Esta es la idea que se expresa cuando se dice que las tiradas son equiprobables.

Ya se trate de barajar cartas, ya se trate de echar dados,el azar sólo procede de la torpeza humana: somos incapacesde dominarnos suficientemente para inmovilizar un dado anuestro gusto o para dirigir individualmente las cartas delmazo. La comparación no deja de ser instructiva y hace resaltar los límites de esta manera de crear el azar. Poco importa quién eche los dados, pero no dejaremos que cualquierabaraje las cartas. Alguien demasiado torpe no llegará a hacerlo bien y alguien demasiado hábil para dar las cartas despertará nuestra desconfianza. ¿Cómo proceder entonces conun ordenador, totalmente inaccesible a la torpeza y cuyo comportamiento no deja ningún lugar a la incertidumbre? En elfondo éste es el problema que planteaba el hermano Edvin, ysi nuestros medios técnicos han alcanzado enormes progresos, no cabe decir lo mismo de nuestra reflexión.

El método de íos cuadrados sucesivos fue el primer métodcutilizado (hoy lleva el nombre de von Neumann), peromuy pronto se advirtió que al cabo de cierto número de tiradas el método daba infaliblemente el número 2100, luego4100, luego 8100, luego 6100 y luego de nuevo 2100, y que apartir de ese momento se repetía indefinidamente:

2100, 4100, 8100, 6100, 2100,

y las excepciones son justamente aquellas que había señalado el hermano Edvin y cuyo defecto consiste en finalmentellegar a un ciclo (por lo demás, diferente del anterior) más rápidamente. Un instante de reflexión nos convence muy rápidamente de esto. El ordenador toma un número de cuatro cifras, lo eleva al cuadrado cierto número de veces y cada vezretiene sólo las cuatro cifras del medio, de manera que el resultado final es un nuevo número de cuatro cifras supuestamente obtenido al azar. Para sacar varios números al azar, seitera el procedimiento, es decir que se parte del último número obtenido para obtener el siguiente. Así, cada tirada depende entera y exclusivamente de la anterior. Si la primera es


8653, la segunda 8744 y la tercera 4575, se puede afirmarcon certeza que cada vez que salga el 8653 lo seguirán él8744 Y el 4575. Una de las caracteristicas fundamentales delazar es la independencia de las sucesivas tiradas, independencia que desaparece en la simulación; por eso se manifiestan los ciclos.

Consideremos a un croupier sin imaginación que manejesu ruleta con un pedal y que pretenda contrarrestar el azarhaciendo salir los números en un orden preciso. El hombrehace pues una lista, lo más aleatoria posible, y se atiene aella. Después del 7 hará salir siempre el 35, después del 35 el13, después del 13 el 22 y así sucesivamente, poniendo cuidado en hacer salir cada vez un número diferente para evitarsorpresas. Pero en la ruleta hay sólo 37 números, contando elO, de modo que al cabo de 37 tiradas, a lo más, el croupier estará obligado a repetir un número que ya ha salido, el 7 porejemplo. A partir de ese momento, vuelve al orden anterior,es decir que hará salir sucesivamente el 35, el 13, el 22, etcétera, hasta que el 7 salga de nuevo; luego el 13, el 22, indefinidamente. ¿Cuánto tiempo tardarán los jugadores en darsecuenta de ese manejo?

Así como un croupier mecánico produce en la ruleta a losumo un ciclo de 37 tiradas, el método de los cuadrados sucesivos, o cualquier otro método determinista, llegará a un ciclode a lo sumo 10000 tiradas, pues 10000 es el número totalde los números de cuatro cifras. Puede uno buscar paliativos,trabajar con números de cinco cifras, por ejemplo, lo cual nospermite tener la esperanza de poder llegar hasta 100000, pero la limitación fundamental subsistirá. También se puedeencubrir la realidad, como hacía el hermano Edvin, al dar como resultado final sólo el resto de la división por 6. Esto permite hacer como que uno elige un número entre Oy 5, siendoasí que en realidad se elige un número de O a 9999. De manera que las sucesivas tiradas:

se leerán:

6016

4

1922

2

6940

4

1636,

4,


y se tendrá la ilusión del azar, puesto que un 4 puede estarseguido de un 2 o de un 4, como si las tiradas fueran independientes. Desgraciadamente el primer 4, que representa6016, no es el mismo que el segundo 4, que representa 6940.La máquina trabaja con 6016 y 6940 Y muestra 4 y 4, lo mismo que un ilusionista que engaña al espectador valiéndosede un juego de espejos.

Para engendrar números aleatorios, en nuestros dias seha abandonado prácticamente el método de los cuadrados sucesivos. Se prefiere utilizar generadores aritméticos descritospor fórmulas del tipo:

X, = ax,,-l + e módulo M,

que expresan que la n-ésima tirada X, se obtiene tomando elresultado de la (n - 1) -ésima tirada Xn_1 , multiplicándolopor a, agregando e y dividiendo por M. El resto de esta división es el resultado de la n-ésima tirada. Los números enteros a, e y M caracterizan al generador y se eligen de una vezpor todas.

Estos generadores aritméticos presentan los mismos defectos que el método de las cuadraturas. Cada tirada estácompletamente determinada por la precedente y por lo tantose observarán Ciclos cuya dimensión máxima es M. En lapráctica se elige con preferencia M = 232, que hace muy fácilla división por M en máquinas que trabajan en binario, o seelige M = 231 - 1, caso en que la división por M no es más dificil y tiene la ventaja de ser un número primo. En el caso denúmeros tan grandes las dimensiones de los ciclos son talesque éstos no se pueden observar en la práctica: el número230 es del orden de mil millones. Se puede, pues, abrigar laesperanza de haber contrarrestado el azar de manerasatisfactoria.

Desgraciadamente no hay nada de eso. El problema delos ciclos representa sólo el primer escollo y hay muchosotros en nuestro camino. En realidad, el concepto de azar sedescompone en una multitud de propiedades tan diversasque a veces parecen contradictorias. Por ejemplo, hemos hablado de la independencia de las tiradas sucesivas, pero no


hemos dicho nada de su distribución. Lo que deseamos es queella sea uniforme, es decir, en el caso del método de las cuadraturas, por ejemplo, que todos los números de O a 99 salgan con la misma frecuencia. Ahora bien, se sabe que todaserie de tiradas sucesivas termina por estabilizarse en un ciclo que será en general

2100, 4100, 8100, 6100, 2100,

yesos cuatro números salen pues con una frecuencia de 114 ylos otros ya no salen más (frecuencia O). La repartición uniforme sólo puede existir, pues, en un período transitorio en elque el ordenador no haya tenido aún el tiempo de llegar al ciclo límite y en el que se puede esperar que las tiradas sucesivas se distribuyan más o menos uniformemente entre O y9999.

Se pueden ajustar los parámetros a y c de los generadores aritméticos para que sus ciclos tengan un período muyprolongado. Hasta se puede hacer que haya un solo ciclo quepor turno afecte a puntos de Oa M - 1. La distribución es entonces uniforme en el sentido de que los M números de Oa M - 1 salen cada uno una vez por ciclo y tienen por lo tantola misma frecuencia 11M. Pero, después de todo, lo que haceel ordenador en este caso es sencillamente sacar los M primeros números en un orden diferente del orden natural; y, ¿cabehablar de azar en una operación de este género? Tambiénaquí el azar está en el ojo del observador; lo que nos hace parecer una sucesión como aleatoria es nuestra incapacidad deabarcar de un solo golpe mil millones de números o más, junto con nuestra ignorancia de la regla de que se sirve el ordenador para clasificarlos. Pero un observador más perspicazsabrá tal vez discernir en esa distribución regularidadesocultas que serán otros tantos indicios de que aquí no se trata del azar.

Veamos un ejemplo simple de semejante situación. Supongamos que deseamos echar a suerte un punto del intervalo (0,1), según una repartición uniforme. En primer lugar decidimos sobre la precisión con la cual hemos de trabajar y fijamos 32 bits, por ejemplo. Esto quiere decir que el ordena-


dor sólo considerará números cuya representación binaria nocomprenda más que 32 signos. Esto equivale a reemplazar elintervalo (O,lJ por una red de M = 232 puntos equidistantesentre O y 1. Una vez hecho esto se echará a suertes uno deellos utilizando un generador aritmético.

X, + 1 = ax" + c módulo M.

Se podrán ajustar las constantes a y c para que haya unsolo ciclo (de periodo MJ, lo cual hace que los M puntos del intervalo (0,1) salgan cada uno una vez por ciclo. Se puede considerar, pues, que todos tienen la misma frecuencia 11M y queasí se ha realizado un sorteo uniforme en el intervalo (O,lJ.

Pero ¿qué ocurre si se quiere echar a suertes un puntodentro de un cuadrado siguiendo siempre una distribuciónuniforme? Digamos que el cuadrado es de lado 1; cada puntodel cuadrado está representado entonces por dos números, xe y, ambos comprendidos entre O y 1, representando uno suproyección horizontal (abscisa), el otro su proyección vertical(ordenada). Si se reemplaza, como antes, el intervalo (0,1)por M puntos equidistantes, se obtienen M posibilidades enel caso de la proyección horizontal x y M posibilidadesen el caso de la proyección vertical y, lo cual corresponde aM x M = M2 posibilidades para el punto (z, y J. Por último seobtienen M2 puntos uniformemente repartidos en el cuadrado. Para echar a suertes uno de esos puntos es suficienteechar sucesivamente sus dos proyecciones x e y. Si esas tiradas son independientes y están uniformemente repartidas sepuede obtener cualquier punto del cuadrado, cada uno con lamisma frecuencia 11M2•

Pero es necesario que las dos tiradas sean independientes,y es esto lo que nos permitirá mostrar el defecto del generadoraritmético. Utilicémoslo para echar a suertes las dos proyecciones del punto buscado; primero la horizontal, x, luego la vertical, y. Estas dos tiradas parecen independientes. En realidad,sabemos que no lo son, puesto que el generador deduce cada tirada de la anterior, y por lo tanto y de x, mediante la fórmula:

y=ax+c móduloM.


Un ejempo de generador aritmético:

Trátase aquí de un modelo rudimentario que nos permite sacar "al azar"un número entero entre Oy 9. Partiendo de X = O e iterando se obtienesucesivamente:

Xg= OXl = 3X2 = 6X3 = 9~=2

X¡; = 5

Xs=8X7 = 1Xs=4x,- 7XIO = O=XgXn = 3 = Xl

34

es decir, un ciclo completo que comprende todos los números enteros entre Oy 9. Esto equivale a escribirlos en un orden diferente del orden natural. El ordenador conserva en la memoria la última cifra suministrada y cada vez que se apela de nuevo a ella da la siguiente en la lista.Este generador puede utilizarse para sacar "al azar" un punto del intervalo (0,1). Para hacerlo se reemplaza el intervalo por 10 puntos equidistantes:

OO 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1= -, -, -, -, 9' -, -, -, -, =9 9 9 9 9 9 9 9 9

que se pueden representar geométricamente:

• •O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ordenándolos como hemos ordenado los números enteros obtenemosuna regla de sucesión que representamos simbólicamente (cada puntoestá relacionado con su sucesor por una flecha) así:

En diez tiros se recorre todo el intervalo. También aquí el ordenadorconserva en la memoria la última posición alcanzada y da el tiro

http://www.esnips.com/web/Sdentia

x,,+1 = x" + 3 módulo 10

siguiente cada vez que se le pide que ech~ a suertes una nueva posición.Esta manera de proceder no es evidentemente aleatoria, pero conservamuchas de las propiedades de una sucesión de tiradas independientes yequirrepartidas que bastan para engañar a un observador poco atento.

Pero las insuficiencias de estegenerador aritmético se mani- ªfiestan de manera flagrante des- 9

7de el momento en que uno quiere 9utilizarlo para echar a suertes 6

9puntos de un cuadrado. El cua- 5

drado (0,1) x (0,1) es reemplaza- 94

do por 10 x 10 = 100 puntos 9~2919

1 ~ ;¡ 4 ~ § 1 aij 9 9 9 9 9 9 9

Y se echan a suertes sucesiva-mente las dos coordenadas de ca-da punto. Así, si la. coordenada •horizontal es 0, la coordena- •da vertical deberá ser el sucesor •de 0/9, esto es, 3/9. En total esto •solo da diez posibilidades en elcaso de 100 puntos; •

•

y esta vez nadie podrá engañarse: esos puntos no están equirrepartidos.Las tiradas no son pues independientes.Los generadores aritméticos de uso corriente hacen intervenir subdivisiones mucho más finas y ciclos mucho más largos (M - 232) , Sin embargo esos ciclos existen y pueden conducir a desagradables sorpresas.


Como hay M posibilidades para x, cada una de las cualesdetermina perfectamente y, sólo habrá M posibilidades parala pareja (x, y) en lugar de las M2 posibilidades que hubieradado el azar. El generador aritmético sólo tiene acceso a M delos M2 puntos del cuadrado; o sea, una proporción de MfM2 == 11M. Es decir que la inmensa mayoría de las posiciones lees inaccesible. Además, ya no hay ninguna garantía de quelos M puntos posibles estén uniformemente repartidos en elcuadrado. Se forma un ciclo de M puntos, que serpentea enun conjunto de M2 puntos, y es perfectamente posible que eseciclo se concentre en ciertas regiones del cuadrado y queabandone por completo otras.

Poseemos, pues, un medio de discernir si tiradas sucesivas equirrepartidas en (0,1) son verdaderamente independientes: agruparlos por pares para obtener puntos del cuadrado y examinar si estos puntos están equirrepartidos. Si loestán no se puede objetar nada; tal vez un agrupamiento porpaquetes de tres mostraria una dispersión irregular de puntos en el cubo y revelaría asi correlaciones que podrían habérsenos escapado. Pero si no están equirrepartidos, se puede afirmar que las tiradas consideradas están ligadas, esdecir, que el resultado de cada una depende de las anteriores.

Esto es lo que se llama un test de independencia. Un generador aritmético puede pasarlo perfectamente con éxito: esposible elegir el coeficiente a y el entero M (el valor de e notiene mucha influencia) para que los puntos obtenidos parezcan uniformemente repartidos en el cuadrado. Pero hay muchos otros tests de independencia, y un generador que engaña a un determinado test puede ser puesto en evidencia porotro. En realidad, cada test tiene sus favoritos, es decir, reconoce ciertos generadores y no reconoce otros. De conformidadcon el viejo adagio, el ordenador puede engañar a un test todo el tiempo y a todos los tests algún tiempo, pero no puedeengañar a todos los tests todo el tiempo.

El problema está aquí en que un generador aritméticono posee la inagotable riqueza del azar. Si Xl> X2, ••• , X. sontiradas independientes equirrepartidas, si se puede extraerde ellas una de dos, reagruparlas por paquetes de dos o modificarlas, se obtendrán siempre tiradas independientes equi-


rrepartidas; transformaciones más complicadas, tales comoX~,~, ... , X~ (cada resultado está elevado al cuadrado) darántiradas aún independientes, según una distribución 'que yano es uniforme pero que en cambio se puede calcular. Encambio, si un generador aritmético construye una serie Xl>X2, oo., X, equirrepartida, esto no quiere decir que reagrupando los términos por paquetes de dos se obtendrá una serieequirrepartida en el plano ni que elevándolos al cuadrado serepartirán según la ley deseada. Por cierto que desde que seconcibió el generador aritmético podía hacerse esa objeción;pero, ¿que ocurrirá con agrupamientos por paquetes de tres ocon la serie de los cubos Xf,~, oo., X3n? ¿Y que pasará si caemos en la fantasía de cambiar el orden de los términos? ¿Secomportará como una serie aleatoria la serie obtenida? Sepuede imponer al generador estas tareas suplementarias yotras más, pero se corre siempre el riesgo de que el generador encuentre un test que no había sido previsto a priori yque se traicione. Por otro lado, el azar salta espontáneamente por encima de todos los obstáculos que se le pongan en elcamino.

En este estadio de nuestra reflexión, cuando nos damoscuenta de que los ordenadores más poderosos son incapacesde reproducir las propiedades que atribuimos espontáneamente al azar, reaparecen las dudas. ¿Existe realmente elazar o somos víctimas de una ilusión? Tal vez se trate de unanoción esencialmente matemática, de una idealización de larealidad, así como la recta infinita y sin espesor del geómetraes una idealización de la línea trazada en el cuaderno de unescolar.

El físico práctico ya no se plantea esta cuestión. El físicoque quiere calcular una integral valiéndose del método deMonte Carlo no trata de imitar el azar en general. La seriede números que le da el ordenador sólo le interesa en la medida en que le permita obtener lo más rápidamente posibleuna buena aproximación al valor buscado. En general, trabajará en un espacio de dimensión N y para él será crucial queal reagrupar las tiradas por paquetes de N se obtengan puntos equirrepartidos en ese espacio. En cambio, poco le importa el resultado de los tests de independencia o de equirrepar-


tición que nada tienen que ver con su problema. De las infinitas propiedades de una serie de tiradas independientes y deigual ley, el fisico práctico sólo retendrá aquellas que le interesen directamente y construirá en consecuencia su generador aritmético; el resultado final alguna vez habrá perdidohasta la apariencia de azar.

Es posible adoptar otra actitud que consiste en tenerconciencia de que no podemos construir series verdaderamente aleatorias y que hay que ir a buscar el azar donde éstese encuentra, es decir, en la naturaleza. Por eso algunos generadores de números sacados "al azar" combinan un procedimiento aritmético, semejante a los que hemos descrito, conla operación del reloj, instrumento siempre presente en el corazón de los ordenadores. En ciertas etapas del cálculo bastacon mirar la hora y hacerla intervenir en la serie de las operaciones. Por ejemplo, se puede tomar como punto de partidaXo de un generador aritmético el tiempo transcurrido desdeel 14 de julio de 1900 a las 17 horas, expresado en segundos.De esta manera un alea natural viene a reforzar un alea artificial. Este modo de recurrir al exterior puede llevarse muchomás lejos. Construir un generador aritmético adaptado a lasnecesidades del fisico es una tarea ardua y utilizar los instrumentos accesibles en el comercio entraña riesgos. Puedeuno entonces sentirse tentado de utilizar tablas de númerosaleatorios, obtenidas mediante un montaje experimental antes que mediante un algoritmo matemático. Las primeras tablas fueron de origen demográfico, pero bien pronto tendieron a volverse hacia dispositivos fisicos. Y fue así como laRand Corporation publicó en 1955 una lista de un millón decifras, extraídas de un ruido de fondo electrónico. Desgraciadamente, algunos años después se advirtieron errores demontaje que viciaban los resultados y comprometían la independencia de las sucesivas tiradas. Esto demuestra que acorralar al azar con un mecanismo físico no es más fácil que hacerlo con un algoritmo matemático, sobre todocuando se trata de producir series muy largas de tiradasaleatorias.


Nos encontramos, pues, en un callejón sin salida, comolos dos reyes de la historia contada por Torstein Frode, cuando los seis salieron tres veces seguidas y comenzó a surgir unmalestar. Es entonces cuando interviene el azar que perturbala imagen que nos hacíamos de la situación, que rompe elmarco estrecho de nuestras previsiones para crear algo verdaderamente nuevo, algo semejante al modo en que Alejandro Magno cortó el nudo gordiano. La realidad se quita sumáscara, el elemento indivisible se rompe en dos, la cifra quesólo podía ser un 10 un 6 se hace un 7. La naturaleza se burla de nosotros, que nos vemos relegados fuera de un mundoque se disimula ante nuestra mirada, y así nos sentimos extraños y ridículos.

Ese es el sentimiento que experimentaron los físicos conmotivo de la revolución científica que comenzó con el descubrimiento de la radiactividad, cuando tantos hechos evidentes se revelaron engañosos. Establecido como elemento constitutivo primero de la materia, el átomo, esa unidad fundamental cuyo nombre mismo significa indivisible, se revelaconstituido por electrones que gravitan alrededor de un núcleo el cual, a su vez, no tarda en mostrar que está constituido por neutrones y protones. Pero muy pronto los hombres deciencia comprenden que no han llegado aún a la realidad última. Se destruirán protones y neutrones en aceleradores cada vez más potentes y de sus restos aparecerán otras partículas, también ellas "elementales": piones, lambdas, sigmas,rhos, más de cuatrocientas actualmente. En la década de1970 se constituye la cromodinámica cuántica que muestra,por debajo de esta profusión de elementos constitutivos, otrosmás elementales aun: los quarks. Algunas partículas (los bariones) se descomponen en tres quarks; otras (los mesones)en un quark y un antiquark, En el momento en que escriboestas líneas se conocen cinco quarks diferentes y se sospechala existencia de un sexto, lo cual ya permite entregarse agrandes fantasías. Por lo demás, hay otras seis partículas deespín 1/2 (los leptones), que no se descomponen en quarks,especialmente el electrón y los neutrinos. Si pasamos a laspartículas de espín 1, hallamos otras 12: el fotón, los gluones(ocho) y los W (tres). Debemos, pues, atenemos a veintiséis


elementos constitutivos cuyas diversas combinaciones deberían permitir explicar todas las variedades de partículas observadas, de modo que por el momento el cuadro parece completo. Hasta el día, claro está, en que una teoría más ambiciosa anule este cuadro. Los físicos no han renunciado a susueño de la "gran unificación", una teoría que abarque la mecánica cuántica y la relatividad general, de suerte que cadapaso dado en esta dirección acarreará una modificación profunda en el paisaje.

Cada vez que creemos poseer el elemento constitutivoúltimo de la realidad, el ladrillo elemental de que estáconstruido el universo, dicho ladrillo se quiebra en pedazoscomo el dado del rey Olav. Para los platónicos esto evoca irresistiblemente la octava hipótesis del Parménides. Más prosaicamente, se trata de una cacería en la que la presa seescurre y escapa perpetuamente, como en esos dibujos animados de la gran época en los que se despliega un verdaderogenio para ridiculizar al cazador. Bien comprendemos la nerviosidad de éste y con cuánta pasión perfecciona trampas cada vez más ingeniosas para reducir por fin a la presa que essu martirio. Sabemos bien que todos sus esfuerzos serán vanos y que se romperá la crisma una vez más, pero él cree tanfirmemente en su empresa y se perturba tan poco en cadaocasión que la crueldad y el ingenio con que el dibujantevuelve contra el cazador las situaciones más favorables nosdejan palpitantes y admirados. Nosotros, como conocedoresde la cuestión, sabremos apreciar la habilidad con que la naturaleza se escurre ante nosotros y muy especialmente lamanera en que utiliza al azar para disimularse.

Del universo de la molécula pasamos al reino de la mecánica cuántica. Verdad es que ésta hace algunas incursionesen el dominio macroscópico y que fenómenos como la superfluidez o la superconductividad forman ya parte de nuestrapercepción. La teoría se presenta como el díptico de un retablo cuyo primer postigo es puramente determinista. Este postigo pinta la evolución de los sistemas físicos aislados. Cadauno de ellos está representado por un vector de estado tomado dentro de un espacio de dimensión infinita, el espacio deHilbert. Es propio de la mecánica cuántica apelar a ese espa-


cio para describir el estado de un sistema físico aislado, y alos físicos les ha costado cierto trabajo habituarse a esto, Elmalestar se manifiesta especialmente en la terminología,donde la expresión "vector de estado" se impone con dificultades frente a su sinónimo "función de onda". Pero la evoluciónmisma es puramente determinista; está regida por una ecuación diferencial, la ecuación de Schriidinger, y se despliega,pues, en un espacio de Hilbert en lugar de hacerlo en los espacios de dimensión finita habituales. Si quisiéramos serperfectamente rigurosos nos veríamos obligados a abordaruna sola función de onda, la del universo en su totalidad, pero, lo mismo que en la física clásica, consentimos en haceraproximaciones y consideramos que ciertos subsistemas están aislados, por lo menos momentáneamente, y que tienensu propia función de onda: partículas, átomos o moléculas.

El otro postigo del díptico es puramente probabilista.Describe las operaciones de medición. Medir una magnitudfísica, una posición, una velocidad o una energía significatransferir el sistema del primer postigo al segundo. El resultado de la medición se obtendrá como un acto de echar asuertes. Más precisamente, el vector de estado puede analizarse como una suma de componentes, los "estados propios"de la magnitud considerada, y cada una corresponde a un valor bien determinado de la magnitud. La operación de medirtiene misteriosamente el efecto de proyectar el sistema a unode esos estados propios; lo que decide es un sorteo efectuadosegún reglas precisas. El estado propio echado a suertes determinará el valor que será registrado por el instrumento yserá el del sistema después de la medición.

De manera que la mecánica cuántica sería puramentedeterminista si no fuera por la presencia del observador. Somos nosotros quienes, en busca de información y efectuandouna medición, perturbamos la evolución del sistema e introducimos en él un elemento aleatorio. Lo cierto es que resultaimposible prever el resultado de una sola medición. A lo sumo, la teoría permite calcular a priori todos los resultadosposibles y la probabilidad de cada uno de ellos. Esto no quiere decir que la mecánica cuántica no sea precisa o no permitahacer ciertas previsiones. Sólo que esas previsiones serán de

http://www.esníps.com/web/Sdentia 41

naturaleza estadística, referentes a un gran número de mediciones o a fenómenos macroscópicos, lo cual no excluye unagran precisión. Como ejemplo podemos considerar que el momento magnético del electrón tiene un valor experimental de1,00115965221 (con una incertidumbre del orden de 4 respecto de la última cifra) y un valor teórico (por lo tanto, calculado a priori) de 1,00115965246 (con una incertidumbrecinco veces mayor). Esto representa una precisión de 4 x 109,

o sea, una desviación del orden de un milímetro en 4000 kilómetros.

¡Qué extraña es, sin embargo, esta teoría! Examinemos,por ejemplo, el desplazamiento del fotón. Se emite el fotón enun punto E (punto emisor) y volvemos a encontrarlo en unpunto R (receptor); entre los dos puntos hay una pantallaperforada con dos agujeros A y B. La óptica geométrica nosdice que para observar luz en el punto R es menester que éste esté alineado, ya con E y A, ya con E y B. En cambio, lamecánica cuántica nos enseña que cualesquiera que sean lasposiciones de los agujeros, y especialmente si no hay alineación, un fotón emitido desde el punto E tiene siempre ciertaprobabilidad de ir a dar al punto R. Y esto es efectivamentelo que se observa si los agujeros practicados en A y B son suficientemente pequeños. Esto contradice, desde luego, la intuición grosera según la cual el fotón es un corpúsculo que sepropaga en línea recta; sin embargo, no es éste todavía el aspecto más sorprendente de la situación. Siempre de conformidad con la mecánica cuántica, el fotón que encontramos enR tiene cierta probabilidad de haber pasado por A y ciertaprobabilidad de haber pasado por B, sin que se pueda determinar nunca con certeza qué camino siguió efectivamente.Como se trata de una partícula elemental, por esencia indivisible, la pregunta parece natura!. Sin embargo la preguntaestá desprovista de sentido si creemos en la experiencia,pues se pueden mostrar en el punto R franjas de interferencias cuya única interpretación posible es que el fotón pasó ala vez por Ay por B. Si tratamos de forzar una respuesta tendiendo una trampa al fotón, es decir, colocando por ejemploen A y en B dos detectores que descubran el paso del fotón, secomprueba que éste pasa ahora ya sea por A o por B (uno só-


lo de los detectores se activa), ¡pero las franjas de interferencias desaparecen!

La intercalación de un instrumento de medición suplementario modifica pues el fenómeno. Al tratar de localizar elfotón en A o en B forzamos el sistema, que entra en un estado extraño a su evolución espontánea, y al hacerlo introducimos un elemento aleatorio. Digamos, por ejemplo, que pararealizar una medición es necesaria una interacción tan compleja entre el sistema y el observador que parámetros extraños a uno y a otro -pero representados en la función de onda del universo-- desempeñan un papel crucial y que el resultado sólo puede ser aprehendido de manera estadística.Esta no es más que una hipótesis y acaso hasta una metáfora. Sólo una cosa es segura: en mecánica cuántica medir esechar suertes.

La pregunta que acude a los labios es: "Muy bien, pero¿quién echa suertes?" No es el observador y probablementetampoco la partícula. Hay una respuesta posible, sólo que nogustará a todo el mundo. Puede uno no plantear la cuestióncomo Niels Bohr, pero si se la plantea como Einstein y si sedecide que Dios no juega a los dados con el universo nos encontramos en un callejón sin salida, si no se demuestra quetambién ese echar suertes es sólo una ilusión.

De ahí las encarnizadas tentativas de Einstein y de susdiscípulos por demostrar la existencia de "variables ocultas"en mecánica cuántica. La tesis que Einstein defendió hastasu muerte es la de que sólo tenemos acceso a ciertas varia- 'bIes que determinan el estado de un sistema cuántico. Si pudiéramos observarlas todas, podríamos predecir -por lo menos en el corto plazo-- la evolución del sistema y el resultadode cualquier medición. Pero ciertas variables se nos ocultan,y es esta ignorancia lo que crea la ilusión del azar; somos como un observador colocado bajo una mesa de vidrio transparente sobre la cual se desarrolla una partida de naipes; elobservador sólo verá el dorso de las cartas y no podrá comprender la evolución del juego.

A pesar de la íntima convicción de Einstein, la teoría delas variables ocultas no recibió nunca la menor sombrade confirmación. En el plano conceptual, von Neumann y mu-


chos otros procuraron mostrar que esa teoria era incompatible con los fundamentos de la mecánica cuántica. Si no llegaron a demostrar su imposibilidad absoluta, no dejaron sinembargo de establecer que semejante teoria debía tener propiedades por lo menos tan paradójicas como las propiedadesde la mecánica cuántica. En el plano experimental, Einstein,Podolski y Rosen indicaron un camino que, al correr de losaños y gracias principalmente al descubrimiento que hizoBell de ciertas desigualdades violadas si existieran efectivamente variables ocultas, ha culminado en manipulacionesrealizables. 'lbdas ellas se inclinaron por la negativa. Nos encontramos, pues, acorralados con la idea de que el azar queinterviene en la mecánica cuántica no puede reducirse a undeterminismo subyacente. El determinismo macroscópico, eldeterminismo que impera en nuestra escala, es reducibleal azar cuántico gracias a las leyes de la estadística que seaplican a cantidades inmensas de partículas. De manera queel azar parece ser el dato fundamental, el mensaje último dela naturaleza.

Nos vemos, pues, reducidos a atenemos a alguna enorme máquina, espía de partículas elementales. Tal vez llegueun día en que se domestique el azar cuántico y se lo utilice endispositivos en miniatura, que veremos en las calculadorasde los escolares y en las máquinas que funcionan con monedas. 'lbdos, los que calculan así como los que juegan, tendránentonces acceso a la fuente misma del azar, puro e inalterable. Pero ese azar domesticado ya no será capaz de sorprendernos; esperaremos una decisión entre varias opciones queya conoceremos de antemano. La conmoción ante lo imprevisto, el júbilo de ver retroceder bruscamente el horizonte y eltemor de los peligros que entrañan estas tierras recién descubiertas, todos esos sentimientos que nos agitan cuando vemos partirse el dado y surgir el siete, debemos buscarlos ennuestra historia y no en nuevas tecnologías.

44

2

El destino

El rey Olav Trygueseen. partió para Tunsberg, dondeconvocó al ting. Allí en un discurso proclamó que quien sededicara abiertamente a la magia o a la hechicería o quepracticara el seidi deberta abandonar el país. Luego hizo investigar a todos aquellos que en la ciudad o en los alrededores se entregaban a esas prácticas. Entre los tales se encontraba un hombre llamado 0yvind Kjelda, que descendía deHarald el de los Hermosos Cabellos y que era muy versadoen el seid y en la magia. El rey Olav los reunió a todos enuna gran sala en la que les ofreció un festfn y puso cuidadoen que no les faltara nada y en que las bebidas fueran fuertes. Cuando todos estuvieron ebrios, el rey hizo poner fuego ala casa, que se quemó con todos sus ocupantes, con la excepción de 0yvind Kjelda, quien se escapó por el techo. Habiendo llegado lejos de la ciudad, el mago se encontró en el camino con algunos viajeros que iban a ver al rey. Les pidió queanunciaran al rey que 0yvind Kjelda había escapado del incendio, que nunca volvería a caer en manos del rey Olav yque continuaría practicando su arte. Cuando los viajeros sepresentaron al rey le contaron todo lo que 0yvind les habíaencomendado. El rey dijo que ciertamente era una lástimaque 0yvind no hubiera perecido.

Llegada la primavera, el rey partió hacia el oeste y se

1 El seid o sejdr era un conjunto de ritos mágicos, destinados especialmente a la adivinación, que parece haber sido una de las prácticas esenciales del paganismo nórdico y que desapareció con la cristianización, amenudo brutal, de los países escandinavos.

http://www.esnips.com/web/Sdentia47

instaló en sus propiedades del Vik. Hizo saber en toda la región que al llegar el verano formaría un ejército y partiríahacia el norte del país. Luego se dirigió hacia Agder. A finesde la cuaresma, se puso en camino hacia el Rogaland y pasóla noche de Pascua en Agvaldsnes, situada en la isla deKarm, con trescientos hombres. Aquella misma noche llegó0yvind Kjelda a bordo de un navío de ltneo:r Su tripulaciónestaba compuesta por hombres que practicaban el seid y porhechiceros de toda clase. 0yvind y sus hombres desembarcaron en la isla y comenzaron a echar sus sortilegios. Desplegaron una niebla tan densa que el rey y sus hombres no podíanverlos. Pero cuando llegaron a Agvaldsnes se había hecho dedía y las cosas resultaron muy diferentes de lo que había previsto 0yvind. Su magia se volvió contra ellos y la niebla quehabían conjurado se cernió sobre ellos de suerte que no veíanmás con los ojos que 'con la nuca y no hacían más que darvueltas en redondo. Los guardias los descubrieron sin podercomprender sus manejos. Avisaron al rey, que se levantó y sevistió, lo mismo que su comitiva. Cuando vio a 0yvind y asus compañeros dio la orden de armarse y que los hombresfueran a identificarlos. Los hombres del rey reconocieron a0yvind y lo hicieron prisionero junto con los demás. 0yvindfue conducido ante el rey y debió confesarle lo que había ocurrido. El rey Olav los hizo atar a todos en un arrecife quequedaba cubierto por el mar con la marea alta. Así perecieron 0yvind y sus compañeros. Desde aquella época la roca sellama Skratteskjoer, el Arrecife de los Magos.3

Esta siniestra historia es bien conocida por todos los noruegos. En la edición clásica de la Heimshringla, que poseo yque debo a mi abuelo, el relato está acompañado por una espléndida ilustración de Eílif Peterssen. En ella se ve el perfilde 0yvind que domina las olas; toda su vida está concentrada en la mirada, en tanto que alrededor sus compañeros se

2 Un navío de línea, un drakkar, por oposición a la nave redonda, queera mercante.

3 Saga de Olav Trygueeeen, 63.

48 http://www.esníps.com/web/Sdentia

abandonan a las olas y a lo lejos el agua, el cielo y la tierra seunen en un horizonte indistinto. Todavía hoy me preguntocuáles habrán sido en aquel momento los pensamientos deese Prometeo atado a la roca mientras esperaba que el maracudiera a él una sola vez. Más allá de la sed de venganza yde la compasión por sus compañeros, ¿se habrá elevado suespíritu de esta situación elemental a las grandes especulaciones metafisicas? ¿Se habrá planteado las cuestiones eternas? ¿Por qué las cosas son así y no de otra manera? ¿Porqué hay algo antes que nada?

Según la inmortal definición de Wittgenstein, "die Weltis alles, was der Fall ist":4 el mundo es todo lo que tiene lugar, todo lo que acaece, todo lo que somos, todo lo que unocomprueba. Nuestra primera experiencia es la de la contingencia. Esa roca está allí, es bien real, como las ligaduras queme sujetan y como el agua que sube. Todo eso es lo que constituye mi universo y en el cual debo encontrar mi lugar. El niño sediento de descubrimientos pasa de un porqué a otro porqué; la edad madura, más juiciosa, medita y responde: ,

"Die Ros' ist ohn' Warum; sie blühet, weil sie blühet. Sieacht' nicht ihrer selbst, fragt nicht, ob man sie siehet.í»

Pero, ¿es completa esta contingencia? ¿O deja parcialmente un lugar al sentido? ¿Podemos contentarnos con unacomprobación de hecho o debemos buscar una razón? ¿Loshechos se suceden al azar o el mundo marcha siguiendo ciertas reglas que podemos descubrir y utilizar? Muy a menudoel orden de las cosas no nos gusta, y algunas personas lleganhasta a dar su vida para modificarlo; lo cierto es que la búsqueda de sentido forma parte de la vida humana. Pero, antesde llevar la discusión a ese nivel, consideremos los orígenes,consideremos la aparición de la vida en la Tierra y el árbol de

4 1ractatus logicc-philosophicus, l.

5 "La rosa no tiene porqués; florece porque florece. No se cuida de símisma ni se pregunta si alguien la ve." Angelus Silesius, Le Pelerin Chérubique, según la traducción de Eugene Susini, París, PUF, 1964.


la evolución del cual el hamo sapiens es una rama tal vezpasajera. Ese árbol nos indica una primera respuesta: cadanicho ecológico es un oasis de regularidad en el que las diversas especies se articulan con rigurosa lógica. Desde el momento en que el primer bípedo hizo fuego, el género humanoaplica los recursos de su cerebro a buscar las regularidadesdel mundo y utilizarlas en su beneficio para suplantar lasotras formas de vida. La búsqueda de sentido se hace sólocon miras a una acción, en general agresiva. De manera quepara la razón humana es un ejercicio dificil elevarse por encima de las necesidades inmediatas de la acción y ni siquieraresulta claro que la razón se adapte a semejante esfuerzo.

Intentémoslo sin embargo y tratemos de representarnosal homo sapiens en su situación original. Los órganos sensoriales le transmiten al cerebro un flujo continuo de informaciones que el cerebro debe tratar. De una manera que se nosescapa enteramente, el cerebro analiza esa información,separa situaciones tipo y las extrapola en el tiempo. Así, enla sabana primitiva, la retina del hamo sapiens recibe unpaquete de fotones en los que su cerebro discernirá un conjunto de formas, entre las cuales reconocerá la de la plantanutritiva. El cerebro dispondrá entonces extraer la raíz yactivará el procedimiento complejo en cuyo final la raíz majada, lavada y cocida llegará a ser por fin un alimento comestible.

Una acción de este tipo descansa en un número casi infinito de reglas comprobadas en el pasado y proyectadas alfuturo, y descansa asimismo en la facultad de reconocer en elpresente las situaciones a que dichas reglas se aplican. Todasesas reglas constituyen el sentido (por lo menos operativo)que damos al mundo. Decir que el mundo no tiene sentidosignifica que no discernimos en él ninguna regla, que nocomprendemos el pasado y que no podemos predecir el futuro; ésta es la contingencia total que parece dificilmente compatible con la existencia, aun precaria, de una conciencia individual. Decir que el mundo tiene un sentido significa, si esesentido fuese perfectamente comprendido, que el pasado y elfuturo están abiertos ante nosotros como un libro. La verdadse sitúa a mitad de camino, es decir que discernimos sentido


localmente, lo cual nos permite obrar en ciertas direcciones,pero en otras direcciones el sentido se nos escapa.

Ilustremos la situación con un ejemplo muy simple. Imaginemos que la información sensorial se presenta al cerebroen la forma de una serie continua de bits, es decir, de ceros ode unos:

oO10 1 OOO110 11 O ... ,

y reemplacemos el cerebro por un pequeño demonio que tomamos de Maxwell. Nuestro demonio no recibe otra información que aquella que le llega por el canal sensorial y en cadainstante se agrega un nuevo bit a la cadena que él ya conoce.Como es un demonio, vive eternamente. Al fin de los tiemposhabrá, pues, acumulado una serie infinita de O y de 1, y entonces nos preguntamos si ese mundo tiene un sentido.

Esta manera de plantear la cuestión escamotea variosproblemas importantes, especialmente el de la percepción(¿cómo hace el cerebro para clasificar la información que lellegá?) y el problema.da la acción (que repercute en la percepción, pues el cerebro no recibe pasivamente la información,sino que da órdenes para realizar acciones en consecuencia,especialmente para confirmar las informaciones recibidas opara buscar otras nuevas). Pero este modo de enfocar las cosas tiene la ventaja de que se puede abordar una respuesta.

Por supuesto, si la cadena infinita que observó nuestrodemonio en el curso del tiempo es constante, compuesta únicamente de ceros:

0000000 ...

o únicamente de unos:

1111111 ... ,

el demonio responderá inmediatamente que ese mundo tieneun sentido.

Lo mismo ocurrirá si la serie es periódica, es decir, si regularmente alternan los valores cero y uno:


o10 10 101 ... ,o bien:

oO100 1 OO1 ... ;

el pequeño demonio está ante un universo particularmentesimple y transparente. En este último caso las leyes de la física son tres:

después de 1 viene Odespués de (1,0) viene Odespués de (0,0) viene 1.

Si la serie no es ni constante ni periódica, nuestro demonio tratará de reducirla a algunas reglas simples. Esas reglas pueden ser evidentes, como en el caso de las series:

O1 OO11 OOO11 1 OOOO1111 OOOOO... ,

(un cero seguido de un uno, luego dos ceros seguidos de dosunos, luego tres ceros seguidos de tres unos, etc.) o bien:

010001101100000101011100101 ...

Esta última serie fue introducida en la bibliografía matemática por D. G. Champemowne.s Se forma escribiendouna después de otra todas las combinaciones posibles de Oy1, primero las de una cifra (Oy 1), luego las de dos cifras, luego las de tres cifras y así sucesivamente. Todas esas combinaciones se escriben en el orden lexicográfico, es decir que, entre las combinaciones de la misma longitud, se escribe primero la que sólo contiene ceros, 00...0, luego se introducen losunos y se termina con 11...1. Se parte pues de O, al que sucede 1 (combinaciones de un término); luego se escribe sucesivamente, 00, 01, 11 (combinaciones de dos cifras) antes de escribir por orden las combinaciones de tres cifras, luego decuatro cifras, de cinco, de seis, etcétera.

6 Journal ofthe London Mathematical Society, 8, 1933, págs. 254-260.


Una combinación dada de Oy de 1 aparecerá en la serie,no una sola vez, sino una infinidad de veces. Así 10 apareceen su rango como tercera combinación de dos cifras, perotambién aparece antes, como encuentro de 1 y de la primeracifra de 00, y después, especialmente en las combinaciones detres cifras, 010, 100 Y 110. Aparecerá igualmente en las combinaciones de cuatro, cinco, seis y más cifras por más que sedesarrolle la serie. En realidad, se muestra que si consideramos dos bits consecutivos como un mensaje (hay, pues, cuatromensajes posibles: 00, 01, 10 y 11), la frecuencia del mensaje10 en esta serie infinita es de 1/4.

De manera que la serie de Champernowne presenta todos los caracteres clásicos de una sucesión de tiradas de unamoneda a cara o cruz: cada mensaje sale con una frecuenciaque no depende de su longitud. Así, hay dos mensajes de longitud uno, O y 1, que aparecen cada uno con una frecuencia112. Las obras completas de Victor Hugo, una vez trascritasen bits constituyen un mensaje de longitud aproximada de109 , mil millones de bits, que, como todos los mensajes de esta longitud, aparecerá con una frecuencia de 11(1 000 000 000x 999 999 999 x ... ... x 3 x 2). Esta frecuencia es tan débilque el hecho correspondiente no tiene ninguna posibilidad deser observado entre dos big bang, pero nuestro demonio tieneante sí toda una eternidad y podrá leer y volver a leer Nuestra Señora de París.

En resumidas cuentas, la serie de Champernowne contrarresta tan bien el azar que uno se engañarla si la regla deformación no fuera tan evidente. Pero basta con complicaresta regla para colocar al observador en situación embarazosa. Tomemos, por ejemplo, un mecanismo simple que construya un número x,,+l partiendo del anterior x", según la fórmilla:

x,,+l = 1 - Jl X;.

Demos al parámetro Jl el valor 1,5, elijamos como valorinicial Xo ~ O y engendremos la serie infinita X" X:!, X3, •••

con ayuda de la fórmula anterior. Sus doce primeros términos se escriben así:

http://www.esnips.eomlweb/Scientia 53

Xl = 1X2 = -0,5X3 = 0,625x, = 0,4140625X¡; = 0,7428283691x, = 0,172309021X7 = 0,9554644019x, = - 0,369368335x, = 0,7953505496XIO = 0,05112625479Xn = 0,9960791591Xl2 = - 0,4882605368

Reemplacemos entonces X, por O si X, < O, y por 1 siO< x". Se obtiene una serie de ceros y unos que comienza así:

1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, O

y si se continúa este ejercicio para obtener algunos términossuplementarios, tenemos: '

1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, O, 1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, O, 1, O,1, 1, 1, 1, 1, O.

Esta vez la regla de formación ya no es evidente y un observador humano podría emitir la hipótesis de que se encuentra en presencia de una serie de tiradas independientes.Haciendo un promedio de las primeras observaciones obtendrá para las frecuencias respectivas de O y de 1 los valoresempíricos que le sirven de base para sus cálculos estadísticos; aquí, por ejemplo, encuentra en los 42 primeros términosfrecuencias empíricas de 10/42 en el caso del Oy de 32/42 enel caso del 1. El estadígrafo puede asimismo (gracias a la hipótesis de independencia) evaluar las frecuencias teóricas dediferentes mensajes y compararlas con frecuencias empíricas. Así, si las tiradas fueran independientes y si las frecuencias de 10/42 y 32/42 correspondieran a la realidad, la pareja01 debería tener una frecuencia de 320/1764 (alrededor de0,18), lo mismo por lo demás que la pareja 10, siendo así que


la pareja 00 debería tener una frecuencia mucho más débil,100/1764, o sea alrededor de 0,06.

Ocurre que nuestro aparatito, como la seríe de Champernowne, imita perfectamente bien tiradas independientes,tanto que las frecuencias calculadas estarán próximas a lasfrecuencias observadas, de modo que nuestro estadígrafo sesentirá reconfortado con la idea -errónea- de que se las está viendo con el azar. Encontró al mundo un sentido, pero unsentido probabilista. Porque el verdadero determinismo se leescapa, cree que en la escala microscópica los fenómenos están regidos por el azar y que las leyes físicas no pueden sersino estadísticas.

Pero nuestro demonio no tiene las limitaciones intelectuales de los físicos humanos; hasta se lo puede consideraromnisapiente y podrá remontarse en la serie:

1, O, 1, 1, 1, 1, 1, O, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0,1,0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 1, 1,.0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,°

hasta su ley constitutiva x,,+1 = 1 - Ji~. Para él, el mundoes puramente determinista. Los valores del parámetroJi = 1/2 Y de la condición inicial X¿ =°determinan toda laevolución. Este es el último refugio de la contingencia, la única pregunta que todavía queda sin respuesta: ¿por qué estemundo antes que otro? Es decir, en última instancia, ¿porqué esos valores antes que otros? Una vez conocidos esos valores, el universo ya no tiene ninguna sorpresa. La diversidad de los términos de la serie es sólo aparente y su infinitudno es más que una ilusión. Para conocer todos los términosbasta con conocer dos números, Ji y Xo. Si por ejemplo mi demonio quiere transmitir a un colega los 42 primeros términosde la serie, considerará mucho más económico enviar el mensaje"Ji = 1/2, X¿ = O" que transcribir la lista que figura másarriba, con la condición, claro está, de que el destinatario conozca la fórmula x,,+1 = 1- Ji~.

Procuremos en cambio representarnos lo que sería unmundo desprovísto de sentido, es decir, puramente contingente. En nuestro modelo ese mundo se resume en una serieinfinita de °y de 1 ante la cual al propio demonio se confiesa


vencido. La serie está allí, simplemente, y no la engendraningún mecanismo determinista. De ahí, [en primer lugar, laimposibilidad de anotarla! Pues si doy los treinta primerostérminos:

oOO11 O110 11111 OOO1 O10 10 OO100 11 ... ,

por más que ponga puntos suspensivos para indicar que la serie continúa, nadie puede adivinar que el término trigésimoprimero es un O. Por definición, este hecho no puede ser sinocomprobado, pero no inferido, de los valores de los términosanteriores. El único modo de comunicar el término trigésimosegundo es escribirlo, de suerte que me haria falta un millónde ceros o de unos para comunicar el primer millón de términos de la serie y otro millón para comunicar el segundo, demanera que la serie completa es incomunicable a menos quedisponga del Libro de arena, esa famosa obra que Borges extravió en los estantes de la Biblioteca Nacional de la Argentina y que comprendía una infinitud de páginas. Afortunadamente, nuestro demonio ha vuelto a encontrar ese libro y entonces anota concienzudamente todos los términos de la serie.

Así nos aproximamos a una definición de la contingencia. Una serie infinita se llamará contingente si no se la puede definir de manera más económica que transcribiéndolacompletamente. Pediremos también que en nuestra escala, lade los pobres seres humanos, la serie continúe siendo contingente. Pues si tomo una serie contingente y le pongo 101000

ceros.t la serie continuará siendo contingente -y el demonioque la abarca toda lo sabe-, pero yo moriré antes de advertirlo y conmigo toda la especie humana. Pediremos pues quelos primeros mensajes que nos llegan, es decir, los primerostérminos de la serie, aparezcan también ellos como contingentes, o sea, que no puedan anotarse de manera económica.

Aquí debemos precisar un poco nuestro pensamiento.Imaginamos escaques o casillas en cada una de las cuales es-

7 Es decir, un número enorme, mucho mayor que el número de partículas del universo conocido.


cribimos un Oo un 1. Si se da un mensaje de longitud N (1osN primeros términos de la serie, por ejemplo), siempre se lopuede comunicar copiándolo lisa y llanamente, con lo cualocupa N casillas. Pero puede uno también ser más astuto.Primero se le indicará al destinatario cuántos ceros y cuántos unos hay. Cada una de esas cifras, transcrita con base 2,ocupa a lo más log N casillas. y por lo tanto se ha utilizado2 log N casillas (es decir, log N para indicar el número de ceros así como para indicar el número de unos). Por otra parte,hemos reducido considerablemente la incertidumbre, puescon no ceros Y n, unos sólo pueden elaborarse

(no + n,)!no! n,!

mensajes distintos. En la segunda parte de la transmisióndel mensaje bastará indicar el número de orden del mensajequerido lo cual ocupa, siempre en casillas, el logaritmo delnúmero anterior. Una vez hechos todos los cálculos, se comprueba que en el caso.de que N sea bastante grande se puedetransmitir cualquier mensaje de longitud N utilizando a losumo

(no no n, nI)

- N N log N + N log N

casillas. Recordemos que no es el número de ceros Y n, es elnúmero de unos.

La cantidad puesta entre paréntesis es célebre: es laentropía del mensaje considerado. Esta definición fue dadapor C. E. Shannon, el fundador de la teoría de la informa-

8 La notación lag N designa el logaritmo de N en base 2, es decir, unnúmero que figura en todas las calculadoras y que crece mucho más lentamente que N. Grosso modo, es el número de cifras necesarias para escribirN en base 2. A título de ejemplo, el logaritmo de 1 es 0, el logaritmo de 2 es1, el logaritmo de 112 es -1 y el logaritmo de 2" es n. El logaritmo de unnúmero inferior a 1 es negativo, lo cual explica la aparici6n del signo - enla fórmula de la entropía.


cíon.s Se trata de un número positivo (el signo menos puestodelante de la fórmula corrige el signo de los logaritmos negativos), que representa la cantidad de informaciones transmitidas por cada mensaje a un destinatario que conoce no yni' Se la puede escribir de nuevo haciendo intervenir lasfrecuencias empíricas Po =no/N y Pi =n/N de Oy de 1:

- (Po log Pi + Pi log Pi)'

En el caso de frecuencias iguales, Po = Pi = 112, la entropíavale 1 y comprobamos que nuestra astucia necesita N casillas para codificar el mensaje. Es exactamente lo que exigíauna simple transcripción, de manera que no hemos ganadonada. En cambio, si las frecuencias son distintas, Po = 113 YPi = 2/3, por ejemplo, la entropía vale 0,9182958343 y podemos, pues, transmitir el mensaje utilizando sólo 0,9183 x Ncasillas en lugar de N, o sea que hemos ganado más de un8%. En el caso límite en que el mensaje sólo contiene ceros (osólo unos) la entropía es nula. Hay un solo mensaje que comprenda sólo ceros y si el destinatario sabe que Pi = Oes inútil decirle algo más: el hombre conoce el contenido del mensaje antes de haberlo recibido. En este sentido, la cantidad deinformaciones suplementarias que le aporte ese mensaje particular es ciertamente nula. Inversamente, si el destinatariosabe que Pi = 112, esto le da la posibilidad de elegír entreuna multitud de mensajes posibles y de saber que el efectivamente transmitido representa una información importante.

Estamos pues en condiciones de precisar esta idea de ununiverso totalmente contingente, sin regla alguna que puedapermitir una predicción: es menester que los mensajes queese universo nos dirige no puedan ser condensados. Es menester, pues, que los N primeros términos de la serie queanota nuestro demonio puedan ser comunicados sólo utili-

9 C.E. Shannon, "A mathematical theory of communication", BeU8Y8tem Technical Journal, 27, 1948, págs. 379-423 y 623-656. Véase asimismo el libro de A. 1. Kbintchine, Mathematical Foundations ofInformationTheory, Dover, Nueva York, 1957.


zando N bits. En términos matemáticos, es menester que laentropía valga 1 o, más exactamente, que se aproxime a 1,cuando el mensaje se hace bastante largo.

Aquí aparece una dificultad. Es inevitable que un mundo sin ninguna regla exhiba grandes regularidades en ciertaszonas. Por ejemplo, es seguro que nuestra serie presentaráen alguna parte mil ceros consecutivos. Si en efecto no lospresentara, nos habríamos topado con una ley constitutiva, asaber, "no puede haber mil ceros consecutivos", con lo cual setendrá una regla de predicción infalible: "Después de novecientos noventa y nueve ceros viene necesariamente un uno".y hasta es seguro que esas sucesiones de mil ceros se reproducen una infinidad de veces. Si no fuera así, si por ejemploese hecho sólo pudiera producirse setenta y siete veces, lamisma ley: "Después de novecientos noventa y nueve cerosviene necesariamente un uno" sería verdadera desde el momento en que hubiera pasado la septuagésima séptima sucesión de mil ceros, y entonces se habría encontrado tambiénuna regla de predicción.

Pero una secuencia tan organizada como de mil ceros seguidos puede comunicarse de manera mucho más económicaque anotando las cifras una después de la otra. Basta con decir: "Contar mil ceros a partir de este lugar", y ya está tododicho. A causa de regularidades de este género, es inevitableque se puedan transmitir los N primeros términos de la seriecon menos de N casillas y, por lo tanto, que la entropía no seaexactamente igual a 1, sino ligeramente inferior.

Tomemos otro ejemplo: si alineamos símbolos de imprenta en lugar de ceros y de unos, si por ejemplo imaginamos aun mono que teclea en una máquina de escribir, el resultadoserá un texto escrito, texto por lo demás infinito si el procesocontinúa eternamente. En su mayor parte ese texto estarádesprovisto de sentido, pero podemos concebir que de vez encuando, entre los "gfwsavk" y los "jmuuzxnmlkj", el azar haga aparecer una palabra que podamos reconocer, las más delas veces una palabra breve como "es", algunas veces algomás largas como "estival". Muy rara vez se verá una frasecompleta, pero nuestro demonio dispone de toda la eternidad.Tiene tiempo de esperar la primera oración de Nuestra Se-


ñora de Paris, tiempo de esperar el primer párrafo, tiempo deesperar el primer capítulo, tiempo de esperar la obra completa, tiempo de esperarla en dos ejemplares, tiempo de esperarla en cuatro mil quinientos noventa y dos ejemplares consecutivos. Durante todo ese tiempo, se escriben otras obras ante sus ojos, especialmente este mismo libro e incluso sus capítulos futuros que yo todavía no conozco en el momento de escribir estas líneas, y los libros que escriban otros. Suponiendo que el demonio no conozca La guerra y la paz o NuestraSeñora de Paris, tendrá ocasión de leerlas por primera vez, locual le permitirá reconocer los otros ejemplares a medida quevayan apareciendo. De manera que podrá abreviar considerablemente el mensaje reemplazando el texto in extenso porla indicación "en este lugar, ejemplar suplementario de talobra". Cada inserción de este tipo disminuye la entropía, entanto que cada sucesión de símbolos incoherentes la aproximaal.

Veamos, pues, nuestra definición final: una serie es contingente si la entropía de los N primeros términos permanecepróxima a 1, su máximo, y tanto más se aproxima a 1 cuantomayor sea N. En otras palabras, la comunicación de los Nprimeros términos de la serie necesita un poco menos deN casillas o, para decirlo en el lenguaje de la teoria de la información, N bits. Esta definición se debe al gran matemático ruso A. N. Kolmogorov (1903-1987), el fundador de la teoria de las probabilidades. Entre sus numerosos títulos de gloria figura el de haber introducido el empleo de la entropía como instrumento de análisis en este tipo de cuestiones. La definición original que Kolmogorov había dado de la contingencia presentaba sin embargo grandes dificultades en el planoestrictamente lógico, dificultades que por fin fueron superadas por el matemático sueco P. Martin-LOf.

Una serie contingente en el sentido de Kolmogorov y deMartín-Lof es, pues, la formulación de un mundo en el cualla única regla es que no hay reglas. Observemos que se tratapor el momento de una construcción puramente lógica en laque el azar, en el sentido del cálculo de las probabilidades, notiene ningún lugar. Para señalar este punto hemos preferidollamar a esas series "contingentes" antes que "aleatorias", co-


mo Kolmogorov o Martin-Lof, Esas series son ciertamentealeatorias, en el sentido de que no puede haber procedimiento alguno para adivinar un término de la serie partiendo delos anteriores, ni siquiera un procedimiento para condensarla información contenida en sus N primeros términos, perotales series no se obtienen como consecuencia de tiradas independientes según una ley dada, como quiere el modelo clásico de la teoría de las probabilidades.

El milagro está en que los dos puntos de vista se reúnen.Según una intuición fundamental de Kolmogorov, las seriescontingentes que hemos descrito son aleatorias en el sentidode la teoría de las probabilidades. En realidad, se muestraque si una serie es contingente en el sentido de Kolmogorov yde Martin-Liif, la frecuencia de los ceros y de los unos encualquier muestra se aproxima siempre a 1/2.

Midamos bien el alcance de esta propiedad. No decimossolamente que hay más o menos tantos ceros como unos enlos N primeros términos de la serie y que las proporcionesrespectivas de Oy de 1 se aproximan tanto o más a 1/2 cuanto mayor es N, sino que. decimos también que, cualquiera quesea el procedimiento de muestreo o de extracción elegido, lasmuestras extraidas de la serie deben presentar la misma propiedad. Así, en el caso de la serie periódica O1 O1 O1 O1 ... ,observando sólo un término de dos se extrae la muestraOOOO'" , es decir, una serie constante en la que la frecuenciade los ceros es 1 y la frecuencia de los unos es O. De maneraque una serie periódica no puede ser contingente en el sentido de Kolmogorov. En lo tocante a la serie de Champernowne, se podrá construir una muestra observando sucesivamente los términos de rango:

3 =1 + 2 x 1, 11 =3 + 22 x 2, 35 =11 + 23 x 3, ...

la regla es la de que si la (n - l)-ésima observación se ha hecho sobre el término de rango r, la n-ésima deberá hacersesobre el término de rango r + 2n x n. La muestra así extraídade la serie de Champernowne es la serie constante OOO... Laserie de Champernowne no es, pues, tampoco contingente enel sentido de Kolmogorov.


Por supuesto que el procedimiento adoptado no debe seranticipador, es decir que nos obligue a declarar antes de quese haya efectuado la tirada si se conservará o no su resultado. En otras palabras, uno debe poder decidir, conociendo surango pero no su valor, si un término de la serie se conservaen la muestra o no. ¡Evidentemente, no hay que tomar los Nprimeros términos, rechazar todos los 1 y pretender que seha extraído una muestra que sólo presenta ceros! En el casode las series contingentes en el sentido de Kolmogorov, cadamuestra extraída según un procedimiento no anticipadorpresentará una frecuencia empírica de Oy de 1 cercana a 112.Estas series pasarán asimismo tests estadisticos más sutiles(demasiado técnicos para que los tratemos aquí), basados enla hipótesis de que las series son el resultado de tiradas sucesivas independientes y equiprobables. En realidad, desde elpunto de vista operativo, son exactamente series de tiradasindependientes y equiprobables, pues se manifestarán talesen todas las pruebas a que pueda someterlas el ingenio humano.

Recapitulemos. Hemos pasado de un extremo al otro.Por un lado, las series engendradas mecánicamente por unaregla de iteración. Aun cuando ellas parezcan aleatorias aun observador poco avisado (es el fenómeno del caos determinista), representan un mundo puramente determinista enel cual el futuro es previsible exactamente partiendo del pasado. En el otro extremo, las series contingentes, que atestiguan un mundo totalmente desprovisto de sentido en el quela única regla es que no hay reglas y en el que nunca se podrá arrancar al pasado ninguna certeza sobre el futuro.[Cuál no será nuestra sorpresa al ver surgir entonces otraracionalidad! Ese mundo que rechaza todas las reglas deterministas se pliega dócilmente al cálculo de las probabilidades. Esas series construidas con tanto cuidado para quenunca se pueda prever el resultado de una tirada individualse revelan accesibles a las predicciones estadísticas. Se trata, pues, del modelo probabilista que aparece en el polo contrario del modelo determinista. Ellos dos constituyen los polos entre los cuales oscila nuestra comprensión del mundo: amedida que nos alejamos de uno nos aproximamos al otro.


Un mundo rigurosamente no determinista debe ser perfectamente probabilista.

¿Y ese mundo en el que muere 0yvind Kjelda y en el quevivimos nosotros? No sabemos dónde situarlo dentro de estaescala que vincula el azar con la necesidad, pero paradójicamente esto tiene poca importancia. Si la realidad última estádescrita por el cálculo de las probabilidades, el mundo estarásometido a las leyes de la estadística. Estas leyes permitenadmitir hechos independientes preñados de incertidumbre enla escala microscópica, para obtener una casi certeza en la escala macroscópica. Esto es lo que hace que el determinismosea para nosotros un hecho de la experiencia. 0yvind puedepredecir con certeza que morirá dentro del cuarto de hora siguiente. Verdad es que la marea que sube se descompone enuna multitud de moléculas, cada una de las cuales está regidapor el cálculo de las probabilidades, pero el número de las moléculas es tal que las suertes individuales construyen una certeza ineluctable. No cabe abrigar la esperanza de ver detenerse la marea al pie de la roca o de levantarse para tragar a losverdugos, hechos ambos posibles sin embargo, pero infinitamente poco probables. Este es el sentido del segundo principiode la termodinámica. Aun cuando la situación estructuradaque comprobamos hoy sea extraordinariamente improbableen relación con el caos primordial, esa situación existe y, partiendo de aquella masa amorfa, la evolución se realiza segúnleyes estadísticas, es decir, de manera ordenada. Verdad esque retornamos a esa masa amorfa primordial, pero no decualquier manera. A menos que los milagros se perpetúen yque a una situación de partida ridículamente improbable seagregue un desarrollo aun menos probable, hay que preverque lo que se impondrá en la escala macroscópica es la evolución más probable. En otros términos, la entropía del sistema,que parte de un valor extraordinariamente bajo, debe orientarse hacia su valor máximo. Esta intuición fue formuladapor Boltzmann en su teoria de los gases perfectos y gran mérito suyo es el de haber mostrado que el crecimiento de la entropía era en la escala macroscópica una consecuencia de loque él llamó la hipótesis del "caos molecular".

No podemos esquivar el determinismo. Si lo echamos por


la puerta, postulando una incoherencia total, el determinismoentrará por la ventana bajo el manto de leyes estadísticas. Sunaturaleza se nos escapa, ya sea mágica, ya sea matemática,ya sea analógica o mecánica, pero su presencia parece ser unanecesidad lógica, establecida de manera irrefutable por Kolmogorov y sus discípulos. Algunos siglos antes y con el disfrazde un formalismo diferente, encontramos la famosa prueba dela existencia de Dios dada por San Anselmo. Por definición,Dios posee todas las perfecciones; ahora bien, la primera detodas las perfecciones es existir, luego Dios existe. Para decirlo en lenguaje escolástico, la esencia de Dios abarca su existencia. Del mismo modo, la existencia del determinismo, quees una cuestión de hecho, procedería directamente de su naturaleza, que es una cuestión matemática.

Si el argumento de San Anselmo ya hoy no nos convence, ello se debe a que estamos habituados a distinguir lascuestiones de hecho y las cuestiones de derecho. El hombremoderno es dualista y separa netamente el universo material, donde se deciden las cuestiones de hecho, de un universointelectual donde se debaten las de derecho y donde se enfrentan las teorías. La cuestión del nexo entre estos dos universos (que sin embargo es fundamental, si pretendemoscomprender nuestra relación con el mundo) ya no le interesaal hombre moderno; si tuviera que elegir, relativízaría debuen grado el segundo universo en beneficio del primero. Poreso estamos vísceralmente convencidos de que no se puededemostrar que algo existe.

Tenemos pues buenos motivos para tratar de encontrarel error de San Anselmo. Se lo puede señalar ya en las premisas del argumento, a saber: que Dios tiene todas las perfecciones y que una de esas perfecciones es existir. Yo prefiero atacar más directamente la cuestión de la existencia. Enmatemática disponemos de una formulación de este conceptoy de ella resulta que los objetos que no existen están dotadosde propiedades miríficas y permiten demostrar cualquier cosa. Por ejemplo, si una fracción irreductible p / q tiene comocuadrado el número 2, entonces su denominador q debe ser ala vez par e impar. Muy justamente se llega a la conclusiónde que semejante fracción no puede existir, es decir, que "1/2


no es un número racional; esto es lo que se llama una demostración por el absurdo. El argumento de San Anselmo es laprimera mitad de una demostración por el absurdo, cuya conclusión no puede ser otra que la no existencia de Dios. Claroestá que nadie dio todavía la segunda mitad de la demostración, la que permita llegar a la contradicción decisiva; pero laduda subsiste y, si algún día se elimina, sólo podrá serlo negativamente. Imaginemos al primer matemático griego obabilonio que estudió -J2 en la forma de una fracción p / q.Después de muchos esfuerzos tal vez logró demostrar que eldenominador debía ser un número par y tal vez hiciera unteorema sobre esto, hasta que un día otro matemático, rival osucesor suyo, demostró que ese denominador debía ser también impar. Asimismo, nada nos garantiza que partiendo delas mismas premisas, a saber: que Dios posee todas las perfecciones, no se pueda llegar lógicamente a una conclusiónopuesta, a saber: que Dios no existe. En este momento la única conclusión obligatoria sería entonces la de que efectivamente Dios no puede existir.

Muchos siglos han pasado desde los días de San Anselmoy la lógica formal ha hecho suficientes progresos para que enadelante evitemos este género de trampas. También el análisis de Kolmogorov, que parece instaurar el determinismo como ley del mundo por la simple fuerza de un razonamientomatemático, nos opondrá mayor resistencia. Ese análisis estáciertamente bien fundado en el plano de la pura lógica. Nosvemos pues forzados a aceptar la idea platónica de que la infinita variedad del mundo está dispuesta para toda la eternidad por algunos teoremas. Las cosas son, los acontecimientosse suceden, pero todo eso está necesariamente estructuradopor la matemática. Esta marca, pues, un límite a la contingencia porque procede claramente del universo del derecho yno del universo del hecho. No se puede imaginar que la matemática sea de otra manera que como es y el universo físicomismo está constreñido por las leyes de la matemática.

Así nos hemos elevado por encima de la contingencia delmundo y hemos creído que encontrábamos refugio en la matemática. El físico que descubre una ley insospechada, el ingeniero que calcula una estructura, el economista que busca


correlaciones son hombres que atestiguan la potencia de lamatemática y sostienen la esperanza de que algún día elmundo esté enteramente abierto a ella. Ese día se podrá decir que el hombre dominó la contingencia y que el universo espor fin transparente. El físico habrá unificado la relatividadgeneral y la mecánica cuántica, el psicoanalista habrá formulado las leyes del inconsciente y la humanidad exclamará:"Por fin hemos comprendido. Las cosas son así porque no podían ser de otra manera".

Pero entonces surge insidiosa pero persistente la duda:esto es demasiado hermoso. ¿Por qué asignar esa condiciónparticular a las actividades cerebrales de una especie vivaprisionera en su rinconcito del universo? ¿Por qué la matemática escaparía a la influencia del azar? Esa necesidad aque se refiere la matemática, ¿no es ella misma contingente?¿No habría podido la matemática ser diferente de lo que eshoy en este planeta?

En primer término, en la matemática no hay ningún lugar para la contingencia. Todo es cierto o verdadero por necesidad; en matemática no hay ni comprobación de hecho niargumento de autoridad. Desde Euclides, todos los matemáticos tienen la misma imagen de su ciencia: esa ciencia descansa en algunos axiomas simples cuyas combinaciones, deconformidad con ciertas reglas lógicas, permiten demostrarotras proposiciones. La verdad se extiende, de alguna manera, por contagio, y axiomas básicos reconocidos como tales seextienden a todo lo que ellos permiten demostrar, es decir, según se creyó, al conjunto de la matemática, que estaba fundada en una pura necesidad lógica con exclusión de toda contingencia exterior. La matemática estaba así resguardada delazar y de la historia.

Fue Kurt Godel quien en 1930 dio la prueba de que esaimagen era falsa. En un famoso teoremaw publicado al añosiguiente, demostró que cualquiera que sea el sistema deaxiomas y de reglas adoptado (siempre claro está que haya

10 Véase K Godel, E. Nagel, U. Newman, J. Y. Girard, Le Théoréme deGódel, París, Le Seuil, 1989.


sido un número finito de ellos) se podrá enunciar una proposición relativa a los números enteros que no pueda ni demostrarse ni invalidarse dentro de ese sistema. En otras palabras, hay proposiciones matemáticas que son verdaderaspero que no se pueden demostrar. Sólo se las puede comprobar si tiene uno vista bastante aguda. Nuestro demonio deMaxwell, que puede abarcar con una sola mirada la infinitudde los números enteros, comprueba inmediatamente si unapropiedad es verdadera o no lo es. Pero el ser humano no posee esa facultad. Sólo puede comprobar de visu una propiedad aritmética si los números a que ella se refiere no sondemasiado grandes.u Si son demasiado grandes, el único recurso que tiene el ser humano es buscar una demostración; sino la encuentra, esto no quiere decir necesariamente que lapropiedad en cuestión sea falsa. Tal vez haya tomado un malcamino y algún otro más inteligente o más afortunado puedaencontrar el método adecuado.

La matemática está plagada de conjeturas, es decir, decuestiones que están en suspenso y que esperan, a veces desde hace siglos, ser resueltas. El teorema de Godel muestra laposibilidad de que no lo sean nunca. Y Godel va aun muchomás lejos, puesto que el teorema permite construir explícitamente una proposición indecidible dentro del sistema considerado. Esa proposición puede tomarse entonces como unnuevo axioma y agregarse a los axiomas ya existentes paraconstituir un nuevo sistema que a su vez entrañará una proposición indecidible, que de nuevo podrá agregarse a los axiomas anteriores para constituir un nuevo sistema, y así indefinidamente. Pero en cada etapa hay una ambigüedad: si unaproposición es indecidible, su contraria también lo es, desuerte que uno puede elegir aquella que se toma como axioma. Según que elija uno la proposición o su contraria, se obtienen dos matemáticas diferentes, dotadas ambas de unaperfecta coherencia interna, pero incompatibles entre sí. Elteorema de Godel afirma en definitiva la existencia de una

11 A título de ejemplo, el mayor número primo conocido hoyes22109L 1.


infinidad de matemáticas distintas, todas hijas de la mismanecesidad.

La matemática no está únicamente determinada por lalógica; en ella tiene también su lugar lo arbitrario. Entoncesdos actitudes son posibles. Se puede sostener que los objetosmatemáticos, como los números enteros, tienen una existencia independiente, de manera que toda proposición que se refiera a ellos debe ser verdadera o falsa, independientementedel hecho de que sea demostrable o no. Sólo hay pues unamatemática legítima, la que da cuenta exactamente de todaslas propiedades de los números enteros. Esta es la actitudplatónica, por lo demás adoptada por el propio Godel (quienen su artículo de 1931 hace notar que la proposición que élconstruye es indecidible pero "verdadera") y por la mayorparte de los lógicos, que se refieren a un "modelo estándar"de los números enteros, es decir, en última instancia, a la intuición que ellos tienen de dichos números. También se puede ser pragmático y considerar que los objetos matemáticossólo tienen existencia operativa. Una cuestión indecidible esuna cuestión sin respuesta porque no puede ser resuelta porla experiencia fisica. Cualquiera que sea nuestra inclinaciónno hay asidero desde el que podamos decretar que la respuesta debería ser sí antes que no. Esta es una actitud quese asemeja a la de Niels Bohr en mecánica cuántica: la cuestión no se formula.

La mayor parte de los matemáticos son platónicos. Estose debe a la belleza trascendente del edificio matemático, queno parece construido por manos humanas. También se debe anuestra experíencia de investigadores, pues tenemos más laimpresión de penetrar los secretos de la naturaleza, de extraer de su incomprensión verdades eternas, que de estarmanejando objetos domésticos. El momento del descubrimiento es el momento de la iluminación: por fin veo las cosascomo son; el misterio que las rodeaba se ha disipado. En esosmomentos, la evidencia es tal que se impone el mito platónico de la metempsicosis, según el cual las almas contemplanlas verdades eternas durante su estada en los infiernos antesde beber el olvido en las aguas del Leteo y de regresar a latierra para recomenzar un nuevo ciclo.


Pero quien haya estudiado la historia de la matemáticano puede sino sentirse invadido por la duda. Por supuesto,algunos grandes creadores desempeñaron un papel eminente. ¿Qué sería el análisis sin Newton y Leibniz, el álgebrasin Galois, la geometría sin Gauss? Pero la historia de lamatemática no depende únicamente de algunas intuicionesgeniales. Se inscribe en el desarrollo general de las cienciasy de las técnicas: el naciente análisis estuvo orientado por lamecánica celeste y el libro en el que Gauss establece los fundamentos de la geometría es también un tratado de geodesia. Si las circunstancias históricas hubieran sido diferentes,si las necesidades que había que satisfacer hubieransido otras, ¿no habría sido diferente la matemática? Si laTierra hubiera sido el único planeta que gira alrededor delSol y si no hubiera tenido un satélite, durante tantos siglosno se habrían acumulado las observaciones y creado sistemas para explicar las perturbaciones del movimiento de astros móviles en la esfera de los fijos, la mecánica celeste noexistiría y no reconoceríamos la matemática de hoy.

Creemos ver un itinerario obligado, un desarrollo lógicoque tiende hacia un fin. La ilusión de la teleonomía consisteen integrar el estado actual en un proceso evolutivo y en interpretar el pasado en función del presente. Allí donde vemosun progreso regular a lo largo de un camino trazado por todala eternidad tal vez no haya más que una marcha al azar según solicitaciones exteriores, como dice Antonio Machado, citado por D. Ruelle en un contexto parecído.u

Caminante, son tus huellasel camino y nada más;caminante, no hay camino,se hace camino al andar. 13

12 "Are OUT mathematics natural?", Bulletin ofthe American Mathematieal Society, 19, 1988, págs. 259-268.

13 Traducción al francés: "Marcheur, le chemin ce sont tes traces et riende plus; mercheur; il n'y a pas de chemin, c'est toi qui le traces en marchant".


No podemos sino maravillarnos de la singularidad denuestro propio destino. El edificio de la ciencia lo mismo quela historia humana incorporan una buena parte de arbitrariedad, y uno se pone a pensar en lo que habria podido ser,pero que por fin no fue. Somos los sobrevivientes de un implacable proceso de selección que eligió entre la infinita variedad de futuras posibilidades la que finalmente se realizará. Los acontecimientos así apartados por esa divinidad sinrostro que se llama el azar tienen tanto derecho a la existencia como el acontecimiento elegido que en adelante formaráparte de nuestra experiencia. Nuestro único mérito es existir,sin razón aparente y a expensas de otras posibilidades, ciertamente tan ricas y tal vez más seductoras. ¿Por qué yo? Lapregunta no tiene respuesta. No debe sorprender que aquelque se abandona a esta clase de pensamientos sufra una crisis de identidad: ¿qué es este mundo tan contingente?, ¿quées este yo ante tantas otras existencias virtuales? Para concluir dejemos la palabra al poeta:«

Esta vida estrambóticae inaudita:en medio de un gran número de pretendientesuna célula masculina llega hasta una célula femeninay yo llego al ser.

Nada de asombroso tiene que yo dudede ser yo mismo.

y después, esta sociedaddonde todos se ladran unos a otroscomo en una perrera,enteramente convencidos de ser ellos mismos.Guerras, sacrificios humanos.

No creo haber existido más tiempoque hasta el momento de la fecundación,maculada concepción.

14 Gunnar Ekelüf "Detta oerhorda", en Opus Incertum, 1959.


Yo, un espermatozoide, doy vueltas en redondo con[grandes sacudidas de flagelo

en busca del huevo del mundo.Pero, ¿dónde encontrarlo?

Ante el asalto de esta contingencia multiforme, la humanidad trata de identificar los determinismos subyacentes,es decir, trata de dar un sentido al mundo. Como ya vimos,puede tratarse de encadenamientos necesarios o de regularidades estadísticas: todo consiste en discernírlas. El sentídopuede ser una conquista personal del individuo o el fruto deuna antigua tradición. El sentido también puede imponersepor la fuerza. La violencia es contingencia pura, pero su estadio último consiste en imponer un sentido. El tirano quiereno sólo ser obedecido, quiere ser amado. El ocupante extranjero conquista el país y exige la adhesión de las poblacionesexpoliadas, como ese coro que saluda la expulsión de Filemóny de Baucis por Fausto:

Das alte .Wort, das Wort erschallt:Gehorche willig der Gewalt.Denn bist du kühn, und hiiltst du Stich?Dann wage Haus, und Hof, und... dich.w

Siempre, como lo ha mostrado Claude Lévi-Strauss, loshombres atribuyeron a ciertos símbolos el poder de interpretarel mundo y hasta de transformarlo. Eso es lo que se llama unateoría: un conjunto de elementos fundamentales, de reglas formales que permiten combinarlos para formar elementos nuevos, un juego de correspondencias entre el universo formal asícreado y el mundo ambiente. Es en esta correspondencia misteriosa donde se sitúa el determinismo, siendo así que losdiversos formalismos propuestos y luego abandonados son innumerables como las civilizaciones que los crearon. Nosotrostenemos una preferencia cultural por el esquema que asocia

15 "Resuena la antigua palabra: Cede de buen grado a la violencia.¿Eres acaso audaz y haces frente? Arriesga entonces tu techo, tus bienes ya ti mismo" (Goethe, Segundo Fausto, último acto).


un modelo matemático con una verificación experimental, perootros esquemas son lógicamente posibles y han sido utilizados.Entre ellos la magia, con todas las ciencias ocultas que nos hatransmitido la tradición y de las cuales el seid de los antiguosnoruegos no es más que la expresión local en un determinadotiempo y un determinado lugar. Raros son los documentos quenos informan con alguna precisión sobre lo que era el seid, y laacción devastadora de los reyes eristianizadores tuvo muchoque ver en este olvido voluntario.

Afortunadamente nos queda el recuerdo de Egil Skalagrimsson, gran vikíngo y gran escaldo, maestro del seid, quizá la personalidad más notable de la antigüedad nórdica, Lasaga de Egil es ella misma una obra maestra tal que se sospecha que su autor fue Snorri Sturlasson; la saga nos informa cómo utilizó el seid contra el rey Erik Hacha de Sangre yla reina Gunnhíld. Al salir de Noruega, después de haberajustado cuentas con sus enemigos, Egil plantó un nidstang,una estaca de maleficio, en la que puso una cabeza de caballovuelta hacia el interior del país mientras pronunciaba la siguiente imprecación: "Erijo aquí una estaca de infamia y lavuelvo contra el rey Erik y la reina Gunnhild; y lanzo estamaldici6n a los espíritus tutelares que habitan en este país afin de que pierdan todos sus caminos y nadie encuentre puerto de salvaci6n antes de haber expulsado del país al rey Eriky a la reina Gunnhildí.ie

La maldición fue grabada en runas sobre el poste y algunos años después el rey Erik y la reina Gunnhild fueron expulsados de Noruega y obligados a exíliarse en las islas Orcadas. Los reyes tuvieron su desquite cuando Egil, arrastrado ala costa por una tempestad, cayó en sus manos. Quisieron ejecutarlo inmediatamente, pero Egil tenía en la comitiva delrey amigos que defendieron su causa e hicieron valer la usanza de que no debía matarse a nadie entre la caída de la nochey el nacimiento del día: "Rey, ¿no es un asesinato dar muertea un hombre durante la noche?" Egil tuvo, pues, una noche degracia que aprovechó para componer una obra maestra de la

16 Saga de Egil Skalagrimsson, pág. 57.

72 http://www.esníps.com/web/Scíentía

poesía nórdica, en verdad el primer poema rimado, una odaen que cantaba la gloria de su enemigo; al día siguiente la declamó en presencia del rey Erik y de su corte. Para un escaldoen situación desesperada aquélla era una manera reconocidade salvar su cabeza; y en adelante el poema se conoció con eltítulo de Hovudlausn: "Rescate de la cabeza".

En esta historia se encadenan varios determinismos: lapráctica del seid, el respeto de una costumbre, el arte poético.Nosotros ya no reconocemos como nuestro ninguno de esosdeterminismos. Con los vikingos desaparecieron el seid, lapoesia escáldica y ese extraño respeto por una costumbre queno quería que se diese muerte ni al peor enemigo una vez caída la noche. Pero, la necesidad que expresaban esos determinismos de identificar y de construir oasis de regularidad enel desierto de la contingencia es todavía la nuestra hoy, auncuando la satisfagamos por otros medios. El formalismo y elrigor de la poesia de los escaldos no van en zaga del rigor ydel formalismo de la matemática moderna, y quien sabe ajustar los kjenningern respetando las reglas de la aliteración sabrá también desarrollar los teoremas siguiendo las reglas dela lógica. En ambos casos, la creatividad es lo que cuenta;ella es la que da el sentido y la belleza y la que distingue alos artistas de los obreros del arte.

Si la poesía escáldica ha caido en desuso, ello se debe a suexceso de formalismo. Si el seid ha desaparecido, ello se debe aque fue vencido por otras prácticas. La humanidad engendraasí sistemas que viven durante un tiempo y luego mueren porenfermedad o por accidente. El seid sin duda había servidobien a 0yvind Kjelda en otras ocasiones, y ahora en el momento decisivo lo abandona sin que se comprenda realmente loque ocurrió. Un determinismo suplanta a otro, la mecánica celeste desaloja a la astrología, pero subsiste siempre esa misteriosa correspondencia entre los universos intelectuales quecreamos y el mundo bien material en que vivimos.

17 Las reglas muy estrictas de la poesía de los escaldos habían llevado areemplazar muchas palabras usuales por metáforas, los kjenninger, querespondían mejor a las exigencias de la aliteración y que se hicieron cadavez más refinadas en el curso de los siglos.


3

La anticipación

El recuerdo del rey Olav Trygvessen es inseparable delrecuerdo de su drakkar, Ormen Lange, el Drag6n Largo. Elrey lo había hecho construir según el modelo de un drakkarque había llevado de Hálogaland y que ya era un navío soberbio. Pero por su tamaño y su belleza el nuevo drakkar debía sobrepasar a su modelo, llamado en adelante el DragónCorto.

La fama del Dragón Largo había cundido por los mares.En ocasión de la última expedición del rey Olav, sus enemigos, los reyes de Suecia y de Dinamarca y también eIjarl Eirik, con 71 navíos, le tendieron una emboscada cerca de la isla de Svolder, situada en las costas meridionales del Báltico.La flota del rey Olav, que ignoraba la presencia del enemigo,zarpa para regresar a Noruega. Los barcos más pequeñosparten primero; como son asimismo los más rápidos, prontose pierden de vista. El rey Olav Trygvessen se queda atráscon sus once navíos mayores a los que un traidor, eljarl Sigvalde, debe guiar hacia alta mar a través de un canal conaguas de profundidad suficiente para el calado de los barcos.En realidad, los conduce derechamente a la boca del lobo.

Svein de Dinamarca, Olav de Suecia y el jarl Eirik estaban allí presentes con todos sus ejércitos. El tiempo era hermoso y el cielo estaba claro; los jefes subieron a un promontorio, cada uno acompañado de su séquito. Vieron alejarse porel mar una larga hilera de naves. Luego vieron un navío


grande y majestuoso que surcaba las aguas hacia ellos; losdos reyes exclamaron entonces: "¡Qué barco imponente y quéhermoso! Debe de ser el Dragón Largo". Eirik replicó: "No esel Dragón Largo"; y tenía razón, porque aquel drakkar pertenecía a Eindride de Gimsan. Unos instantes después vieronpasar otro drakkar muchos mayor que el primero. El reySvein dijo entonces: '%0 que Olav Trygoessen tiene miedo;no se atreve a enarbolar insignia alguna en su barco". PeroEirik respondió: "Ese no es el navío almirante. Conozco elbarco y su vela, que tiene listas de colores. El que pasa ahoraes Erling Skjalgsson; dejémoslo ir. Para nosotros es mejorque este drakkar la falte al rey Olav, pues nos causaría mucho daño armado como está". Poco después vieron los drakkars del jarl Sigvalde y los reconocieron; los drakkars se dirigían hacia ellos. Luego aparecieron tres drakkars a todavela, el primero de los cuales era realmente de un tamaño excepcional. Entonces el rey Svein dio la orden de que se embarcaran porque llegaba el Dragón Largo. Eirik dijo: "Ellos[los noruegos]tienen otros barcos grandes e imponentes comoel Dragón Largo; esperemos todavía un poco". Los hombresempezaron entonces a murmurar: "El jarl Eirik se resiste acombatir y a vengar a su padre. Es una gran vergüenza y elrumor se difundirá por todo el mundo: aquí estamos inactivos con nuestra flota inmensa, y el rey Olav se hace a la velaante nuestras narices".

Continuaban aún discutiendo cuando vieron cuatrodrakkars con las velas tendidas; uno de ellos ostentaba unaenorme cabeza de dragón cubierta de oro. Entonces el reySvein se levantó y dijo: "El Dragón Largo me llevará a granaltura esta tarde, pues seré yo quien lo conduzca". Los otrosexclamaban que el Dragón era un barco gigantesco y hermosísimo y que quien había hecho construir semejante navíoera hombre audaz. Pero Eirik dijo, de manera que pocos pudieran oírlo: '~un cuando el rey Olav no tuviera un drakkarmayor que éste, el rey Svein y sus daneses por sí solos nuncallegarían a capturarlo". Thdos descendieron a las naves y comenzaron a desarmar las tiendas. Pero mientras los jefes esperaban comentando los hechos que acabamos de relatarvieron aparecer tres poderosos drakkars y detrás de ellos un


cuarto, y ese último era realmente el Dragón Largo. Los otrosdos navíos que habían visto y que habían tomado por elDragón Largo eran el Tranen y el Ormen Stutte, el DragónCorto. Pero apenas hubieron visto el Dragón Largo, todos loreconocieron por lo que era y ya no discutieron más; se trataba de Olav Tryguessen. que se hacía a la vela. Thdos los hombres se embarcaron y se prepararon para el combate. 1

Los enemigos de Olav Trygvessen enfrentan aquí unproblema de decisión muy típico. No deben descubrirse sinoen el momento en que el drakkar del rey esté a la vista. Si semuestran demasiado pronto, se dará el alerta y el rey tendrátiempo de escaparse. Si se embarcan demasiado tarde, el reyya habrá pasado y una ocasión como aquélla no volverá apresentarse. Deben reconocer, pues, el Dragón Largo. La dificultad está en que nunca habían visto esa nave o, mejordicho, sólo uno de ellos la había visto, pero los demás no letienen gran confianza. Acusado de cobardía, se encuentra reducido al silencio durante el resto de la discusión.

De manera que los dos reyes deben guiarse por la reputación del Dragón Largo. Tienen de él una descripción general, saben que es muy grande, que está ricamente adornado yque sale de lo común para afianzar el orgullo de su poseedor,Olav Trygvessen, cuyo esplendor era ya legendario. Como porotra parte el arte de la construcción naval no ofrece una variedad infinita y como los reyes son por necesidad conocedores de los drakkars, se hacen por fin una idea bastante precisa del Dragón Largo, una idea mucho más precisa que la quenosotros podemos hacernos hoy de esa nave.

Pero esto no impide que se engañen cinco veces. Cadavez tienen buenas razones para equivocarse. Cada drakkares mayor y más hermoso que el anterior y cada vez pareceque se ha llegado al tamaño máximo. Cada vez que pasan losnavíos las opiniones se dividen, unos cada vez más segurosde sí mismos, otros cada vez menos. Sólo la aparición del ver-

1 Saga de Olav Tryguessen, 100.


dadero Dragón Largo pone fin a la discusión. La evidenciaestá a la vista, ya no hay necesidad de discursos y todos seprecipitan a los barcos.

Retrospectivamente, una vez caído el velo de sus ojos,todos se preguntan cómo han podido dejarse engañar porimitaciones tan débiles. La descripción dada de un drakkargigantesco y cubierto de oro sólo podía convenir a ese navíode cuento de hadas que avanza bajo el cielo. Pero no. Esa esla ilusión clásica y tal vez inevitable de quienes escriben unahistoria y que asignan a sus actores los ojos del espectadorque conoce el desenlace del relato. Ciertamente es muy difíciltener a posteriori en nuestros recuerdos la frescura de la primera impresión. Como el rey Svein no ha visto el DragónLargo puede confundirlo con el Dragón Corto y convencer deello a los demás. La fineza de razonamiento y los conocimientos en materia de construcción naval no le valen de nada. Sólo la aparición de Olav 'Irygvessen en su Dragón Largo podrádesengañarlo.

La incertidumbre es uno de los hechos fundamentalesde la historia humana y de nuestra vida cotidiana. Permanentemente nos es necesario tomar decisiones dentro de uncontexto que no apreciamos muy bien. Una justa apreciaciónde la situación es decisiva para poder juzgar las consecuencias de nuestros actos. Para ayudarnos, disponemos de nuestra experiencia pasada y de todo un saber acumulado por nosotros mismos o por otros. Y sin embargo nunca estamos seguros de haber hecho un buen diagnóstico. Y sin embargo debemos obrar corriendo el riesgo de tomar una decisión que(una vez que el futuro haya revelado el verdadero estado decosas) podrá parecer no sólo peligrosa sino también estúpida.

Observemos que aquí no se trata de aventurarnos a lodesconocido. La situación que procuramos analizar está dentro de un marco conocido. Sabemos que existe cierto númerode situaciones tipo que explican lo que observamos, y nosotros intentamos saber simplemente cuál de ellas es la correcta. Ese drakkar inmenso y magnífico pertenece a la flota delrey Olav, pero ¿es realmente el Dragón Largo?


Es preciso interrogar el acontecimiento mismo, como hizo Juan Bautista desde el fondo de su prisión cuando envió asus discípulos para preguntar a Jesús: "¿Eres tú Aquel quedebe venir o debemos esperar a otro?" (San Mateo XI, 2-6; SanLucas VII, 18-23). La condición humana nos impone obteneruna respuesta sólo ambigua a esta pregunta: "Id y declarada Juan las cosas que habéis visto y oído: los ciegos ven, loscojos andan, los leprosos son limpiados y los sordos oyen,los muertos son resucitados y la buena nueva es predicada alos pobres, y ¡bienvenaventurado aquel que no hallare tropiezo en mil" Este es un tema que se repite en el Nuevo Testamento: hay que saber leer el signo de los tiempos. Y esa lectura no puede ser puramente objetiva pues ella condicionauna decisión personal y arriesgada. Aquel que quiera oír,que oiga.

y un segundo tema se mezcla con el primero: el hecho deque la fe conduce a la realización. Para aquel que decidió oír,el reino de Dios ya está aquí. Para la comunidad de los creyentes, las promesas están ya en parte realizadas: "Y continuaban perseverando. todos en la enseñanza de los apóstolesy en la comunión fraternal unos con otros, en el quebrar elpan y en las oraciones. Y toda persona tuvo temor, y muchasmaravillas y señales fueron hechas por medio de los apóstoles. Y todos los creyentes estaban juntos y tenían todas las cosas comunes. Vendían las posesiones y las propiedades pararepartir el producto de ellas entre todos, según cada cual tenía necesidad" (Hechos n, 41-45). Una fe compartida y la espera en común del Juicio Final determinan comportamientosque confirman la opción inicial. La profecía se realiza si suficientes personas creen en ella, algo así como sí la llegada deOlav Trygvessen dependiera del número de quienes reconocían su drakkar.

Esta propiedad que tienen ciertas predicciones de realizarse por sí mismas siempre que haya suficientes personasque se adhieran a ellas es una de las constantes de la vida social. Si estoy convencido de que una determinada persona mees hostil adoptaré mis disposiciones para prevenirme de susmanejos, pero al hacerlo me aseguraré ciertamente su enemistad, si la enemistad no existía ya desde el comienzo. Si un de-


terminado partido político proclama que la perfidia de nuestros vecinos hace inevitable la guerra, el futuro tiene muchasmaneras de darle la razón. Si esa opinión se impone, puedeser el origen de una carrera armamentista de desenlace dudoso o hasta puede ser el origen de un ataque preventivo, puessi ha de estallar la guerra, preferiremos nosotros tomar la iniciativa antes que aguardar el momento en que el supuestoenemigo haya realizado preparativos a la altura de sus intenciones. Es más, aun cuando el partido belicista no tenga muchos adeptos en nuestros país, el simple riesgo de que su opinión se imponga puede inquietar suficientemente a nuestrosvecinos para que tomen algunas disposiciones militares queinmediatamente serán denunciadas como la confesión implícita de intenciones hostiles que acreditarán así las tesis belicistas, con lo cual se pondrá en marcha un mecanismo mortal.

El terreno en que mejor se analizó este tipo de situaciones es el dominio económico. Hace ya mucho tiempo que losinvestigadores estudian el papel que desempeñan las predicciones de los agentes económicos en el funcionamiento de laeconomía; y los investigadores introdujeron así el conceptode anticipación racional. Se trata de previsiones que luego larealidad confirma y que fortalecen a los agentes económicosen su manera de ver las cosas. Por ejemplo, uno puede creero no creer que los ciclos económicos estén relacionados conlos ciclos solares, en otros términos, que las manchas solaresdesencadenan las crisis económicas; pero todos aquellos quelo creen tomarán sus disposiciones y, si son suficientementenumerosos o suficientemente influyentes, sus acciones sumadas determinarán, en efecto, una crisis que les dará la razón.Los incréduos no tendrán más remedio que convertirse a loque en adelante será una constante de la economía... , hastaque prevalezca otra opinión diferente.

El hecho básico de la vida económica es la incertidumbre. Incertidumbre sobre el futuro, ciertamente. ¿Quién puede saber hoy lo que rendirá una inversión dentro de treintaaños? El problema depende de tantos parámetros diversos,algunos de los cuales, como la evolución política o los progresos tecnológicos, se salen del marco propiamente económico,que nuestra mirada se pierde y nosotros renunciamos a toda


previsión seria. Pero también existe una incertidumbre sobreel presente. A pesar de los indicadores estadísticos regularmente publicados y comentados, nadie sabe cuál es el estadoreal de la economía. Las recesiones se siguen unas a otras yse parecen entre sí, pero siempre es dificil reconocer tanto sucomienzo como su fin. "¿Hemos salido por fin de la crisis?"Periódicamente esta pregunta cobra actualidad alternadacon esta otra: "¿Ya ha sobrevenido la crisis?"

Lo cierto es que los indicadores económicos, ya se tratedel nivel de los precios, ya se trate de la tasa de desempleoo del balance del comercio exterior, para ser objetivamentemensurables requieren también una interpretación. Por símismos, esos indicadores son ambiguos, así como un mismosíntoma puede corresponder a varias enfermedades. Pongámonos, por ejemplo, en la situación de un productor que vesubir los precios en su sector. Debe discernir si se trata deuna ilusión monetaria (en ese caso se limitará a ajustar susprecios al nivel general de la inflación), de un crecimientotransitorio de la demanda (en ese caso deberá afrontarla conlos medíos de producción existentes) o de un movimiento defondos (en ese caso tendrá que invertir lo más rápidamenteposible para que esas nuevas partes del mercado que aparecen no sean tomadas por la competencia). Un error de apreciación puede llevarlo al desastre, por haber invertido en unmomento no oportuno y encontrarse con un exceso de capacidad de producción y un pesado endeudamiento o por no haber percibido las tendencias de la plaza, de manera que ya nopuede ocupar su lugar en un mercado en expansión.

Los consumidores también deben afrontar este tipo deproblemas: demorarán en realizar una inversión fuerte, enuna vivienda o un automóvil, esperando que bajen los precioso las tasas de interés. El resultado es que todos los agentesde la economía están preguntándose permanentemente sobrelo que pasa. No se necesita ser un especialista para comprobar que uno está en un período de crisis o de expansión. Loque es dificil es discernir los cambios de tendencia. Quien haya previsto correctamente el fin de la crisis tendrá una ventaja decisiva sobre sus competidores, aún paralizados por laaprensión.


El punto más notable de este análisis es que las apreciaciones de los agentes forman parte integrante de la situaciónque tratan de analizar. Si todos juzgan que la crisis todavíaha de durar, no se harán inversiones, el consumo quedará deprimido y la crisis se prolongará. Si, en cambio, todos estiman que ya se ha salido de la crisis, habrá liquidez disponible para realizar inversiones. La demanda se hará sentirbruscamente y se tendrá la reactivación tan esperada. En larealidad, por supuesto, las opiniones estarán divídidas hastaque una de ellas se imponga y la situación se equilibre, asícomo la aparición del Drag6n Largo puso de acuerdo a todo elmundo.

Presentir las opiniones de los demás, anticipar las reacciones de los agentes antes de que ellos mismos tengan conciencia de ellas es, pues, un ejercicio que tiene una importancia extrema en cuestiones económicas. Lo peor es ese estadode expectativa general en el que cada uno se mete en su cueva esperando días mejores; el ideal es esa confianza generalque todos los gobiernos buscan y que permite a los agentes,productores o consumidores, no ver los riesgos que corren.

Se trata de los mismos mecanismos que entran en juegoen la bolsa y que determinan en gran medida los precios delas acciones. Ciertamente las consideraciones económicas sonprimordiales y los malos resultados económicos hacen caerlas cotizaciones. Pero en las grandes bolsas, como WallStreet, y en el caso de los valores más importantes, la masade las transacciones se compone de compras y ventas realizadas en el día. Es evidente que un operador que conserva suspapeles menos de veinticuatro horas se preocupa poco acercade lo que las acciones puedan producir dentro de cinco años.Lo que determina el precio es el mercado, es decir, las anticipaciones o previsiones que millares de operadores de todo elmundo tienen sobre las reacciones de sus colegas.

Este punto ya había sido observado por Keynes. "Losprofesionales de la inversión pueden compararse a competidores de esos concursos organizados por la prensa que debenelegir los seis rostros más bonitos entre cien fotograftae; el premio corresponde a aquel cuya elecci6n convengamejor a las preferencias medias expresadas p~r la mayoria;


de manera que cado cual debe elegir, no los rostros que le parecen más bonitos, sino aquellos que, según él piensa, debenllamar la atención de los otros competidores, de suerte quetodos examinan el problema desde el mismo ángulo. No setrata de elegir a conciencia y según nuestra convicción lascaras que son realmente más bonitas, ni siquiera aquellasque la opinión media considere realmente más bonitas. Aquthemos llegado al tercer grado en el que usamos nuestra inteligencia para anticipar lo que la opinión media piensa sobrecuál será la opinión media. Y yo sé que hay personas que razonan en el cuarto o en el quinto grado». 2

Puede uno apreciar algún tanto estas sutilezas entregándose a ciertos juegos infantiles como la morra, en el quelos adversarios abren la mano simultáneamente y en que setrata de presentar el mismo número de dedos que el adversario; o juegos como el de "papel-tijeras-guijarro", en el que auna señal dada se presenta la mano abierta o dos dedos o elpuño cerrado, según reglas fijas: el papel gana al guijarro, elguijarro a las tijeras y las tijeras al papel. En este juego unose propone tener una ventaja sobre el adversario. Si éste haganado en el lance anterior jugando "papel" mientras que yohabía jugado "guijarro", el adversario se sentirá tentado dejugar lo mismo que lo hiciera ganar; ésta es una actitud ingenua que podría llamarse el grado cero de la astucia. Pero estosupone que yo mismo vuelva a jugar "guijarro", es decir, queno modifique una estrategia perdedora. Es más probableque yo prevea la reacción del adversario y que juegue entonces "tijeras", con lo cual desbarato la estrategia ingenua. Si eladversario es capaz de un mínimo de reflexión, consideraráprobable que yo trate de modificar una estrategia perdedoray reproducirá mi razonamiento. Anticipándose a mi conclusión, tratará de vencer a "tijeras", lo que lo llevará a jugar"guijarro"; éste es el primer grado de la astucia o de la artimaña. Nada me impide seguirlo en ese terreno y por lo tantojugar "papel"; y si él piensa que yo haré eso, jugará "tijeras".

2 A General Theory of Unemployment, Interest and Money, capítulo12, V.


De manera que el segundo grado de la astucia se asimila algrado cero, es decir, que la misma estrategia puede adoptarsetanto por ingenuidad como por sutileza. ¿Y qué decir de losgrados tercero, cuarto o aun más?

Recordemos también en el fútbol la angustia del portero(arquero, guardameta, guardavalla, según los países) en elmomento del penalty (tiro penal). Le está prohibido desplazarse antes de que la pelota haya sido lanzada, y su reaccióndebe ser prácticamente simultánea para tener una posibilidad de detener el tiro. Como no tiene tiempo para realizar losajustes mínimos, deberá hacer todo lo posible para prever loque haga el adversario, decidiendo, por ejemplo, de qué ladoaflojará los músculos. Algunos porteros tratan efectivamentede adivinarlo teniendo en cuenta las costumbres del tirador,su estado de fatiga y los anteriores tiros penales. Pero el adversario no es tampoco tonto y procurará asimismo anticiparla actitud del portero. Por eso muchos otros renuncian a entrar en este juego sin fin de las anticipaciones recíprocas y seentregan al azar o a la impresión del momento.

"El guardameta trata de establecer hacia qué lado va alanzar la pelota el otro, dice Bloch. Si el portero conoce al delantero del centro, sabe hacia qué lado dirigirá el tiro en general. Pero el delantero del centro, por su parte, puede también prever el razonamiento del portero. Este continúa reflexionando y se dice que esta vez la pelota no irá dirigida almismo lado. Sí, pero ¿y si el delantero del centro sigue el razonamiento del portero y se prepara a dirigir el tiro hacia ellado habitual? Y así sucesivamente, y así sucesivamente. "3

Lo que surge más claramente de todas estas situacioneses que no puede haber método alguno que garantice éxito auno de los jugadores. Efectivamente, hay que partir del principio de que ambos son racionales, de que disponen de la misma información y de que por lo tanto cada uno de ellos estáen condiciones de reproducir los razonamientos del adversa-

3 Peter Handke, Die Angst des 7brmanns beim Elfmeter, traducido porAnne Gaudu, L'Angoisse du gardien de but au moment du penalty, París,Gallimard, colección "Folio", 1982.


rio. Si existiera un razonamiento irrefutable que, por ejemplo, convenciera al portero de que debe reaccionar dirigiéndose hacia la derecha, ese argumento estaría igualmente en posesión de su adversario quien, juzgándolo perfectamente convincente, prevería no menos perfectamente la reacción delportero y lanzaría la pelota hacia el otro lado.

Por eso, lo mejor que haya podido hacer la teoría de losjuegos en el análisis de este género de situaciones es haberintroducido en la decisión un elemento de azar. Si el porteroecha una moneda a cara o cruz para decidir hacia qué lado selanzará, está inmunizado permanentemente contra la agudeza intelectual de sus adversarios y, a la larga, una vez sobredos habrá tenido razón. Pero debe resistir a la tentación deconfiar en su propia agudeza intelectual, lo cual infaltablemente lo llevaría a los engranajes de las anticipaciones. Si,por ejemplo, comprueba que los tiros penales se lanzan sistemáticamente a su lado derecho, no por eso debe dejar de lanzarse hacia su lado izquierdo. Pues todo cambio de estrategiade su parte sería rápidamente observado por el adversario,que aprovecharía la oportunidad para dirigir algunos tiroshacia el lado izquierdo. En realidad, esos tiros sistemáticoshacia un solo lado tienen tal vez la finalidad de convencer alportero de que abandone su estrategia de cara o cruz y vuelva a una competencia de anticipaciones en la cual el adversario se siente más cómodo.

Cuando el matemático E. Borel propuso en 1930 introducir un elemento de azar en las estrategias de los jugadores, consideraba ante todo un principio de economía que permitía eliminar la astucia y los cálculos y salir de ese ciclo infernal de las anticipaciones recíprocas. En nuestros días seinsiste más bien en los efectos informacionales de esas estrategias aleatorias. En el fútbol, el portero deja definitivamente en situación de incertidumbre a sus adversarios. Los razonamientos más finos de éstos, sus estrategias más sutiles,no podrán impedir que ese jugador tenga razón en un promedio de una vez en dos. Ni la traición les valdrá si el portero confía a su amante la intención de echar una moneda acara o cruz para determinar el lado que defenderá; si esa información llega a sus adversarios no mejorará las posibilida-


des de éxito que puedan tener. El portero hasta puede proclamar urbi et orbi que no sólo en un determinado partido,sino durante toda su carrera, habrá de remitirse al azar, yserá imposible sacar ventaja de esa declaración. Desde luego, de esta manera, por otra parte, se priva de mejorar suporcentaje de éxitos aprovechando, por ejemplo, tendenciasestadísticas que pudiera observar en sus adversarios. Peroal hacer esto introduciría en su propia estrategia una tendencia estadística (es decir, que tendería a defender un ladomás frecuentemente que el otro) de la cual un adversario astuto podría sacar partido. En otras palabras, el hombre debesaber renunciar a triunfos fáciles en el breve plazo para noentregar información que podría ser explotada contra él enel largo plazo.

Vamos a reformular todo este análisis en un marco másapto, que es el marco del póquer. Puede parecer paradójicoque se aconseje a un jugador de póquer echar a suertes su decisión y sobre todo que ésta resulte óptima en ciertas circunstancias. Sin embargo es lo que vamos a hacer, por lo menosen una versión ultrasimplificada del juego de póquer. Los resultados que obtengamos serán cualitativamente válidos para el póquer mismo, pero los cálculos efectivos son demasiadocomplejos para exponerlos así.

La partida se juega sólo contra un banquero. Para comenzar hacemos una apuesta. El banquero debe seguir, esdecir, apostar una suma igual. Una vez hecho esto, toma unpaquete de cartas nuevo, lo abre y retira los sietes, que ponefrente a sí; luego baraja las cartas restantes y nos invita acortar. A renglón seguido introduce el mazo en una caja y laprimera carta es para nosotros. El banquero la toma con unalarga espátula y nos la desliza con la cara vuelta hacia abajo.No se sacarán más cartas.

Se trata de superar el siete del banquero. El as vale uno;hay pues en el juego veinticuatro cartas inferiores al siete yveinticuatro superiores, de manera que de dos posibilidadeshay una de que nuestra carta sea ganadora y una de que seaperdedora.

Después de haber lanzado una discreta mirada a nuestra carta, tenemos dos posibilidades: pasar o reenvidar. Si


pasamos, el banquero recoge las posturas y la partida termina. Si reenvidamos hay que volver a apostar, siempre la misma suma. El banquero puede entonces "pasar" o pedir ver lacarta. Si "pasa", recogemos las posturas; si pide ver, debe depositar de nuevo, siempre la misma suma. Volvemos nuestracarta, el banquero tiene su siete y la carta superior gana lasapuestas. En todos los casos el juego termina en ese punto.

Un primer análisis muestra que hay exactamente cuatroestrategias posibles:

- reenvidar con una buena carta y pasar con una mala,- reenvidar siempre,- pasar con una buena carta y reenvidar con una mala,- pasar siempre.A todas luces hay que descartar esta última porque lleva

seguramente a perder la puesta inicial. Por otro lado, no seve por qué el jugador ha de pagar el derecho de participar enel juego (ése es el sentido de la puesta inicial) si ha decididopasar siempre.

La tercera estrategia parece paradójica. Sin embargoofrece una posibilidad de ganancia en el caso de que el banquero se retire después de haber uno reenvidado. Pero si elbanquero pide sistemáticamente ver la carta la pérdida esmáxima, pues uno gana una puesta cada vez que posee unabuena carta y pierde dos puestas cada vez que posee una mala carta, lo cual se traduce en una pérdida promedio de unapuesta y media.

Las otras dos estrategias son más plausibles. La primera hace perder una puesta si la carta es mala y ganar unapuesta si la carta es buena, a menos que el banquero reenvide, y en ese caso se ganan dos puestas. Si el banquero pasasistemáticamente, la esperanza de ganar es nula. En cuantoa la segunda estrategia (reenvidar siempre) el resultado depende de la estrategia del banquero:

- si el banquero pasa sistemáticamente, uno gana unapuesta en todos los casos,

- si pide ver la carta, se pierden dos puestas con unamala carta y se ganan dos puestas con una buena, y otra vezes nula la esperanza de ganar.

Pongámonos ahora en el pellejo de un jugador invetera-


do que acude al casino a jugar todas las noches. Cualquieraque sea la estrategia que adopte, a la larga el banquero ladescubrirá y adoptará la correspondiente defensa. Si el jugador reenvida sistemáticamente, el banquero pedirá sistemáticamente ver la carta, y si el jugador pasa siempre teniendouna mala carta, el banquero nunca pedirá verla. Parece puesque el banquero puede siempre reducir a cero la esperanzade ganar del jugador.

Vista la cuestión de esta manera resulta claro que todasestas estrategias presentan el mismo defecto: el hecho deusarlas sistemáticamente las revela. Y es esa información loque el banquero puede utilizar contra el jugador, una vez quela ha obtenido, y lo que le permite reducir a cero la esperanza del jugador. Si el jugador quiere aumentar esa esperanza,deberá hallar un medio de disimular la información, de ocultar la estrategia que utiliza.

Ese medio existe y es justamente utilizar una estrategiaaleatoria. Si el jugador decide que con una mala carta pasaráde tres veces dos veces, pero reenvidará de tres veces unavez, el cálculo muestra que su esperanza de ganar llega a 1/3de la puesta, es decir, un término medio de una puesta ganada cada tres partidas, lo cual dista mucho de ser desdeñable.Por supuesto que al jugar así priva al banquero de la posibilidad de sacar de las partidas que se desarrollan una información utilizable. Cualquiera que sea la estrategia adoptadapor el banquero (que pase sistemáticamente, que pida versistemáticamente o que también él adopte una estrategiamixta), la ganancia promedio no se verá afectada y su adversario continuará embolsando una puesta cada tres partidas.Esto ocurrirá, por supuesto, con la condición de que el jugador permanezca fiel a la estrategia fijada al principio. es decir, que con una mala carta reenvidará una vez cada tres veces. El cálculo muestra que esa manera de jugar es óptima,que ninguna otra estrategia permite desbaratar mejor todadefensa.

Reenvidar con una mala carta tiene un nombre: eso sellama tirarse un farol, farolear, gastar un bluf{. Un bluff quealcanza éxito permite ganar la partida con cartas que normalmente no habrían debido permitirlo. El principiante se


deslumbra por esta posibilidad y farolea a troche y moche, obien, por el contrario, se queda paralizado y no se atreve aarriesgarse. Pero el jugador experimentado sabe que debeperder un bluffcon soltura para que el adversario que lo sorprendió en flagrante delito sepa que uno es capaz de faroleary la próxima vez que uno reenvida se vea incitado a seguir,puesto que se quiere que en la segunda vuelta el banqueropase con una mala carta y siga con una buena. El bluf{persigue dos objetivos contradictorios, puesto que uno quiere queen la segunda vuelta el banquero pase con una buena carta ysiga con una mala. Para alcanzar esos objetivos hay quemantener la incertidumbre en el adversario y por lo tantoadoptar una estrategia imprevisible. Para que sea imprevisible, la estrategia debe ser aleatoria. No vale la pena farolearsistemáticamente, aun respetando la proporción ideal de unavez cada tres veces, por ejemplo decidiendo farolear siempreen la tercera ocasión (con tres malas cartas, pasar las dosprimeras veces y reenvidar la tercera vez). A la larga el banquero descubrirá el sistema y podria obtener ventaja de esainformación. Por ejemplo, sabrá que si nos ha encontrado enflagrante delito de bluff (hemos reenvidado y él ha podido verla carta), en adelante esperará a que hayamos pasado dos veces y que a partir de allí puede permitirse retirarse sistemáticamente cada vez que ponemos una puesta. Esta nueva estrategia disminuirá nuestra esperanza de ganar.

Bien se ve que el banquero tiene interés en explorar permanentemente nuestras reacciones a fin de descubrir las fallas que presenta nuestra resolución o las tendencias involuntarias que podríamos dejar traslucir en nuestra manerade jugar. Para el banquero la mejor estrategia es tambiénaleatoria. El cálculo muestra que si el jugador ha reenvidado,el banquero debe retirarse una vez cada tres y pedir ver lacarta dos veces cada tres.

Para que una estrategia sea realmente impenetrable ycontinúe siendo imprevisible de una partida a otra partida,lo mejor es que sea imprevisible para aquel que la aplica y,por lo tanto, que sea aleatoria. Si el jugador decide hacer unbluff en función del desarrollo de la partida o de una impresión del momento, su razonamiento corre el peligro de ser pe-


netrado, y su impresión de ser compartida. Si echa un dadopara decidir si reenvidará si sale un uno o un dos y que pasará si sale un tres o más, está a cubierto de toda anticipación ... , con la condición de que haga esto fuera de la vista desu adversario. Pero aquí la obediencia debe ser ciega, pues noes cuestión de influir en la suerte o de interpretar las cosasde través, como hacía el juez Bridoye, quien dictaba sentencia echando los dados.

"Procedo igual que vosotros y en todo de acuerdo con losusos judiciales a los que por obligación hemos siempre de someternos: ut M. extra. de consueto c. ex literis, et ibi Innoc.Una vez que he visto, revisto, leído, releído, papeleado y hojeado las demandas, comparecencias, exhortos, alegatos,interdictos, contradichos, encuestas, réplicas, comisiones, informes, contestaciones, dúplicas, triplicas, escrituras, reproches, confrontaciones, aclaraciones, acciones declinatorias,evocaciones, envíos, reenvíos, conclusiones, decisiones de noproceder, señalamientos, confesiones y otras drogas y especias, tanto de una parte como de la otra, según es obligado entodo buen juez, no. Spec. de ordinario § iij, et tit, de offi omn.ju. § fi, et rescriptis praesenta. § j. Coloco pues sobre el extremo de la mesa de mi despacho todo el montón de papeles deldemandado y le tiro los dados, al igual que hacéis vosotros,señores y es noto l: Favorabiliores ff. de reg. juro et in c. cumsunt eod. tito lib. vj. qui dict: Cum sunt partium jura obscurs, reo favendum est potius quam actori. Una vez hecho esto, pongo sobre el otro extremo de la mesa los papeles deldemandante, lo mismo que hacéis vosotros, señores, porquevisum visu. Ya que, opposita juxta se posita magis eluescunt,ut noto in l. j. § uideamus, ff. de his qui sunt sui vel alíe. juroet in l. munerum. j. mixta ff. de muner. et honor, al mismotiempo que tiro también los dados.

- Pero decidnos, amigo mío -preguntó TrinquameHe-, ¿cómo podéis aclarar los puntos oscuros de los derechosque cada una de las partes litigantes pretende?

- Igual que vosotros -mntestó Bridoye-; el caso está


en proceder cuando hay grandes montones tanto en una parte como en la otra. Entonces empleo mis dados pequeños siguiendo la ley Semper in stipulationibus, ff. de reg. juro y laley versal versificada, q. eod. tito

Semper in obscuris quod minimum est sequimur canonizada in C. in obscuris eod. tito lib. vj.

También tengo otros dados mayores, hermosos y no faltos de cierta armonía, que utilizo, igual que vosotros, señores, cuando la cuestión que hay que dilucidar se presentamás clara, es decir, cuando los montones de papel son menores.

- y una vez hecho eso, amigo mío -preguntó Trinquamelle-, ¿cómo falláis?

- Lo mismo que vosotros, señores -respondió Bridoye-. La sentencia se dicta a favor de aquel que primero consiguió el número más favorable en el dado judicial, tribunalicio y pretorial. Así lo establecen nuestros códigos ff. qui po.in pig. l. potior. lego creditor. C. de consul., l. j. Et de reg. juroin vj. Qui prior est tempore potior est jure?»

No nos burlemos de Bridoye a quien, por lo demás, Rabelais trata con mucha indulgencia. Pues al fin de cuentas,en el curso de los siglos, jueces y sacerdotes, generales y dictadores, reyes y emperadores decidieron las cuestiones másgraves tirando los dados, consultando el vuelo de un ave, lacaída de un caballo, el apetito de las gallinas sagradas, lasentrañas de los animales sacrificados, interpretando el nacimiento de un monstruo, el paso de un cometa, las manchasde café, las divagaciones de la sibila, las brasas del hogar,una nube de humo, las líneas de la mano, un estornudo, ungrito, 'un sueño. En este frenesí que tiene la humanidad deconsultar la suerte y de interpretar los signos, ¿no está el deseo de penetrar las intenciones de otro Ser? ¿Estamos empeñados en una partida contra un Jugador cuya suprema habi-

4 Rabelais, Gargantúa y Paniagruel, Libro tercero, capítulo XXXIX.


lidad consiste en disimular no sólo su estrategia sino también su existencia y lo que él espera de nosotros?

¿O sencillamente tenemos miedo de los riesgos y tratamos desesperadamente de librarnos de la responsabilidadque pesa sobre nuestros hombros? Verdad es que en el casode una decisión habitual, cuando las ocasiones de recobrarseno han de faltar, puede uno permitirse engañarse y también se pueden apreciar los éxitos estadísticos de las estrategias aleatorias. Las pérdidas de hoy estarán compensadasmañana por ganancias. Pero ¿quién podrá apreciar la soledad en que se encontraban los atenienses antes de la batallade Salamina? Las otras ciudades griegas habían cedido a losmedos casi sin combatir. Sólo los atenienses abandonaron suciudad y se lanzaron al mar a pesar de su inexperiencia;transportaron a sus mujeres y niños a la isla de Salamina,donde permanecieron dispuestos a afrontar en el estrecho aun ejército y una flota diez veces superiores en número. Si ladecisión resultaba mala no habria una segunda posibilidad;los hombres serían pasados al filo de la espada, las mujeresy los niños quedarían reducidos a la esclavitud y la historiaolvidaría a los atenienses y su ciudad.

Aunque ejemplos tan extremos son raros, permanentemente estamos tomando decisiones que a veces son graves yen circunstancias que no se reproducirán. Un casamiento o laelección de una profesión comprometen toda nuestra vida;una inversión como la compra de una casa presenta riesgosfinancieros importantes. Cada una de estas decisiones esúnica en su género y está rodeada de incertidumbre: al tomarlas sabemos que no podremos volver atrás y que sin embargo no disponemos de todos los elementos del problema.Puede pues uno sentir la tentación de reunir toda la información posible, por más que ella tenga una remota relación conel problema mismo, y considerar el apetito de las gallinas sagradas o el aspecto de las manchas solares. Y siempre podemos beneficiarnos con un efecto autorrealizador. Si los cónyuges están convencidos de que su matrimonio comienza con felices auspicios, esta circunstancia puede facilitar la vida conyugal. Si todos los inversores están persuadidos de que lasmanchas solares provocan crisis económicas, adoptarán sus


disposiciones apenas se hagan abundantes las manchas, yasí provocarán la crisis que habían previsto. Los oráculos ytodas las formas de adivinación desempeñan a todas luces unpapel social importante, pues orientan las previsiones individuales hacia una situación favorable a la colectividad y aumentan así sus posibilidades de realización. Cuando los caldeos ponen sitio a Jerusalén los profetas recorren la ciudaden todos los sentidos para predecir la llegada de los egipciosy el levantamiento del sitio; esos profetas desempeñan su papel social. Hay que ser Jeremías para atreverse a predicar elderrotismo: "Quien permanezca en esta ciudad morirá por laespada, el hambre y la peste; pero el que salga y se rinda alos caldeos vivirá y su vida salva será su botín" (Jeremías,XXXVIII, 2). Bien se comprende la reacción violenta de los comandantes de la plaza y del rey Sedequías, que lo arrojan auna cisterna. Pero precisamente su no conformismo es la mejor señal de que Jeremías ha sido elegido por Yahvé.

Por lo demás, éste es el sentido último del apólogo deBridoye, puesto que el episodio termina con la historia del relator o componedor de procesos (capítulo XLI). Cuando la querella entra en su fase de decrepitud después de una largavida, cuando las partes se han arruinado en procesos y apelaciones, cuando agotaron el crédito de su familia y de sus amigos y cuando hace ya tiempo que la cólera deja lugar a la lasitud, llega el momento de la conciliación. Las partes aspiranahora a la paz. Sólo un reparo las contiene: la ignominia detener que dar el primer paso. Entonces es suficiente una señal exterior para que el juicio cese, un conciliador intervieney los dos adversarios se reconcilian mientras toda la querellaqueda enterrada. Poco importa entonces cuál sea la decisiónfinal, siempre que haya una. Bridoye puede muy bien tirarsus dados, pequeños o grandes, en el fondo de su despachoante los montones de escritos. El proceso llegó a la perfección, se han olvidado desde tiempo atrás los motivos de quejainiciales. El oráculo de Bridoye crea las condiciones formalesque permiten reconciliarse a las partes y reparar el desgarrón del tejido social. Remitirse a la suerte sería absurdo sise tratara de aplicar criterios lógicos o morales. Pero resultaperfectamente razonable si se trata de dar una señal social,


como en el caso de dos automovilistas que llegan simultáneamente a un cruce de calles y aceptan que el color del semáforo decida el orden de paso.

En una célebre conferencia sobre los cuentos de Las mily una noches, Borges hablaba de un cuento que no he podidoencontrar en mi edición. Se trata de un habitante de El Cairoque en un sueño recibe la orden de ir a Ispahan, a ciertamezquita donde lo espera un tesoro. El sueño se repite variasveces, de suerte que nuestro hombre emprende el viaje. Esteno es asunto de poca monta: el viajero pasa de una caravanaa otra caravana, se ve a merced de malandrines de toda especie y por fin, agotado y despojado de todo, llega a Ispahan. Vaa pasar la noche a la mezquita en cuestión, que en realidades una madriguera de ladrones. Aquella misma noche justamente la policía lleva a cabo una batida. Copiosamente apaleado, el cairota comparece ante el cadí y debe explicarle supresencia. Cuenta entonces su historia y el magistrado estalla en una risa homérica, hasta el punto de perder el equilibrio. Cuando consigue dominarse, enjugándose los ojos llenosde lágrimas, le habla en estos términos: "Extranjero ingenuoy crédulo, has de saber que ya van tres veces que sueño quedebo ir a El Cairo, a cierta calle donde encontraré una casa yen esa casa un jardín, en ese jardín una fuente, un cuadrantesolar y una vieja higuera, y bajo la higuera un tesoro. Jamásle presté crédito y hoy veo cuánta razón he tenido. 'Ibma algún dinero, regresa a tu casa y en adelante guárdate de lossueños que te envía el maligno". El cairota le da las gracias,regresa a su casa, va a su jardín, cava junto a su higuera entre la fuente y el cuadrante solar, y encuentra el tesoro.

La belleza de esta historia está en que tanto el cadí como el viajero pueden felicitarse de la excelencia de su respectivo juicio. Sus análisis diametralmente opuestos están losdos plenamente confirmados por los hechos. El cadí moriráen Ispahan burlándose de los ingenuos que hacen un viajetan largo en busca de un tesoro que no existe, y el cairota seregocijará toda su vida por haber creído en su sueño. Ambos,cada uno a su manera, obtuvieron una anticipación perfecta.


4

El caos

Einar Tambarskjelve se encontraba a bordo del GranDragón, junto al mástil. Era arquero y nadie lo aventajabaen destreza y fuerza. Einar disparó contra el jarl Eirik; laflecha se clavó en la barra del timón, justo por encima de lacabeza del jarl, y la punta se hundió hasta las aletas. El jarlla vio y preguntó si alguien había descubierto al arquero, pero una nueva flecha enfiló hacia él. Le pasó muy cerca, entreun brazo y el cuerpo, y fue a dar a una tabla que atravesó departe a parte. El jarl dijo a uno de sus hombres, del cual algunos dicen que se llamaba Finn y otros que era de casta finlandesa (también él era un gran arquero): "Apunta a ese mocetón que está junto al mástil". Finn disparó y su flecha alcanzó el arco de Einar en el medio, en el mismo momento enque éste lo tendía por tercera vez. El arco se rompió en dospedazos. El rey Olav preguntó entonces: "¿Qué es ese granruido?" Einar le respondió: "Es Noruega, señor, que se os escapa de las manos". "No es para tanto -dijo el rey-; tomami arco y tira con él", y le arrojó su arco. Einar lo tomó y, altenderlo, inmediatamente la punta de la flecha sobrepasóhacia atrás la vara. Einar exclamó: "¡Demasiado blando, esdemasiado blando el arco del rey!"; dejó el arco, tomó una espada y un escudo y se lanzó a la lucha,'

i Saga de Olau Tryguess_n, 108.

99

La batalla de Svolder terminó con una derrota noruega.Al fin de una lucha encarnizada, los defensores del GranDragón sucumbieron ante el número superior. Los que nomurieron con las armas en la mano saltaron por la borda para no caer en manos del enemigo. Entre ellos se contaba elrey Olav Trigvessen, cuyo cuerpo nunca se encontró y cuyadesaparición permanece aureolada de misterio. En cambioEinar Tambarskjelve sobrevivió a la matanza. Tenía entonces sólo dieciocho años y si la saga nos indica este detalle lohace porque era un honor único haber sido elegido tan jovenpara formar parte de la guardia personal del rey. Personajenotable en muchos aspectos, Einar será uno de los compañeros más fieles del rey Olav el Santo y morirá muchos añosdespués, asesinado con su hijo en una emboscada tendida porel rey Harald el Rudo.

Noruega se dividió entre los tres aliados victoriosos: losreyes de Suecia y de Dinamarca y el jarl Eirik. Los tresabandonaron triunfalmente el lugar de la batalla a bordo delos magníficos navíos de Olav Trygvessen; el jarl Eirik ibadelante, en el Gran Dragón.

Faltó poco para que el resultado de la batalla fuera completamente diferente. Las flechas de Einar Tambarskjelvepasaron dos veces muy cerca del jarl Eirik, una a algunoscentímetros de la cabeza, la otra cerca del pecho. Lanzadascon esa fuerza, ninguna habría perdonado la vida deljarl. Encambio, la flecha de Finn alcanzó el arco de Einar en el mismo momento en que éste lo tendía por tercera vez, milagro deprecisión en el espacio y en el tiempo. ¡Qué suerte para uno yqué desgracia para el otro! Si eljarl Eirik hubiera sido muerto, el Gran Dragón se habría impuesto y la victoria habríacambiado de campo. Olav Trygvessen habría conservado sureino y Noruega evitado ese largo período de desórdenes queconcluiría con el advenimiento al poder de Olav Haraldssen.Sin duda este personaje habría permanecido en la sombra ycareceríamos hoy de esa obra maestra que es la saga de Olavel Santo.

Puede uno maravillarse de que algunos centímetros enla trayectoria de una flecha puedan cambiar los destinos humanos y decidir la suerte de un reino. En última instancia,


esto se traduce en algunas décimas de milímetro a la izquierda o a la derecha en la posición del arquero, y en algunas décimas de segundo de más o de menos en el momento en quedispara. El buen tirador sabe sacar partido de su gran sensibilidad. Porque un desplazamiento ínfimo de la mano determina una modificación sensible en la trayectoria es posible einteresante el tiro con el arco. Este exige una precisión demovimientos y una fineza de apreciación que un novicio dístamucho de poseer naturalmente, pero que se pueden adquirira la larga medíante un entrenamiento metódico y obstinado.En virtud de una práctica rigurosa nos hacemos una especiede segunda naturaleza, la cual nos permite nuevas percepciones. No se necesita semejante ascetismo para arrojar unapiedra, pero los que lanzan piedras son menos eficaces quelos arqueros, a menos que se sirvan de una honda, arma quetampoco está al alcance de cualquiera.

Pascal ya había observado que los asuntos de mayoresconsecuencias son decididos por hechos imponderables: "Lanariz de Cleopatra, si hubiera sido más corta, habria cambiado toda la faz de la tierra/:» Efectivamente, si la flota deMarco Antonio se desbandó en la batalla de Actium cuandola victoria estaba a su alcance, ello ocurrió porque todos vieron que el navio almirante se alejaba del campo de batalladetrás de la galera de Cleopatra, que abandonaba un combate demasiado rudo. ¿Hubiera sido muy diferente un mundoromano en que reinara Antonio en lugar de Augusto? Podemos dudarlo, pero también podemos estimar que el florecimiento intelectual que dístinguió al siglo de Augusto estabamuy relacionado con la personalidad de éste y la de su amigoMecenas y que, sin ese accidente, hoy no tendriamos ni a Virgilio ni a Horacio ni a tantos otros creadores que marcarontan profundamente nuestra civilización.

Recuerdo haber leído hace ya mucho tiempo una narración de ficción científica de la que he olvidado el título y elautor. Si la relato aquí, lo hago en parte por curiosidad, para

2 Blaise Pascal, Pensées; en Oeuvres completes, París, Gallimard, Colección "La Pléiade", fragmento 180.


saber si otros la han leído también y por si pudieran ayudarme a encontrarla de nuevo. La historia comienza pintando aun profesor de física que vegeta en un laboratorio de segundoorden. Insatisfecho con su suerte y a escondidas de quienes lorodean y casi de sí mismo, va a consultar a una especiede morabito, quien lo somete a un interrogatorio muy coherente y al terminar le anuncia que todos sus sinsabores habrán de acabar si consiente en cambiar una letra de su nombre. Ahora bien, se trata de un nombre polaco, a todas lucesimpronunciable sin un entrenamiento especial (la historiaocurre en los Estados Unidos), pues las consonantes son mucho más numerosas que las vocales. Avergonzado de su credulidad, el físico sin embargo accede; emprende los trámitesnecesarios y al cabo de algunos meses se entera de que ha sido nombrado para ejercer una cátedra importante en unaprestigiosa universidad.

El fondo del asunto se explica porque su solicitud decambiar de nombre, por su carácter verdaderamente módico,había llamado la atención de la policía. Esta comprendíamuy bien que con un nombre semejante el físico adoptaraotro o hiciera alguna modificación drástica. Pero cambiaruna sola letra para pasar de un nombre impronunciable aotro que no lo era menos realmente llamó la atención de lasautoridades competentes. El expediente fue elevado al servicio de contraespionaje, que se dedicó a buscar los homónimosen el Este y descubrió en sus ficheros a un especialista soviético en un dominio un poco descuidado de la física nuclear.Enseguida se emprendieron investigaciones sistemáticas, lascuales revelaron que todos los especialistas conocidos de esepreciso dominio habían desaparecido de la circulación en elcurso del año, sin duda en provecho de algún laboratorioclandestino. Pasando de una cosa a otra se descubrió un vasto esfuerzo militar de la Unión Soviética, se evitó una terceraguerra mundial y accesoriamente, no sabiendo qué hacer conel modesto investigador cuya solicitud había desencadenadotoda esa operación, se lo alejó de la esfera militar y se le propuso un puesto de prestigio en un laboratorio civil.

La clave de la historia está en su conclusión. Por supuesto, el morabito era en realidad un extraterrestre. Acaba-


ba de ganar una apuesta a uno de sus amigos: obtener unefecto de primer orden (se evitó la destrucción de un planeta)mediante un impulso de décimo orden (el cambio de una letra del nombre de un personaje oscuro). El perdedor acudiópara comprobar su derrota y se quedó muy mohíno; propusoentonces una apuesta a doble o nada: ¿puedes invertir lo quehas hecho y obtener la destrucción del planeta por obra de unimpulso de décimo orden? El otro aceptó la apuesta, y aquítermina la historia.

Lo que muestra este apólogo y lo que subraya la reflexión de Pascal es el hecho de que ínfimas modificaciones pueden tener consecuencias mayores en el desarrollo normal deun proceso temporal. El fenómeno es bien conocido en matemática con el nombre de inestabilidad exponencial. Se sabe,por ejemplo, que en meteorología la amplitud de una perturbación se duplica cada tres días si nada contraría su desarrollo. Para decirlo en lenguaje matemático, las ecuacionesque rigen la circulación atmosférica y de las que depende porlo tanto el clima tienen la propiedad de la inestabilidad exponencial. A una condición incial dada, es decir, a cierto estadode la atmósfera en la superficie del globo (presión, temperatura, humedad), corresponde una evolución futura perfectamente determinada, resultado de un cálculo en el que el azarno interviene. Si ahora se modifica muy ligeramente estacondición inicial, si por ejemplo una mariposa aletea o si seenciende una vela, ese cambio ínfimo tendrá sólo pequeñasconsecuencias en los primeros instantes o en los primerosdías, tanto que no podrá distinguírse el estado primero de laatmósfera del estado modificado. Pero ese cambio ínfimo tiene tendencia a amplificarse con el tiempo a un ritmo exponencial; si se duplica cada tres días, se multiplicará por 300cada mes, por 100000 cada dos meses y por 1030 cada año.Esta es una cifra enorme que nos dice, en efecto, que el aleteo de una mariposa o la llama de una vela pueden ser causade un ciclón al término de un año, teniendo en cuenta una atmósfera testigo en la que, siendo todas las demás cosas igua-


les y de no haber existido esa mariposa o esa vela, no se habría dado el ciclón en ese momento.

Por supuesto, esto no quiere decir que hay que desconfiar de las mariposas ni que las velas dañen el ambiente. Elfuturo normal de una perturbación está compensado porotras. Es muy probable que el ligero soplo de aire creadopor una mariposa o por una bujía se diluya entre los millonesde otras perturbaciones que agitan la atmósfera en cada instante. Pero a veces las perturbaciones pueden conjugarse y,si se reúnen circunstancias favorables, el más ínfimo soplo deaire bastará para precipitar la atmósfera en un proceso evolutivo complejo cuyo término remoto será un ciclón o algunaotra catástrofe mayor, como esa roca que hallándose en equilibrio inestable está a merced del menor empujón. Esto quiere decir que, si se pretende prever lo que haya de ocurrir, sise quiere decir, por ejemplo, qué tiempo hará en París en lamisma fecha del año próximo, es menester realmente teneren cuenta todo, hasta las mariposas que vuelan en las selvasamazónicas y los cirios que arden en las iglesias. En la práctica esto no es posible; ¿cómo recoger y cómo tratar semejante cantidad de observaciones? Por eso la ciencia meteorológica, por más que disponga de los ordenadores más poderososque uno sepa construir, es incapaz de pronosticar el tiempo amuy largo plazo.

Todas estas ideas están ahora muy de moda, pero se laspuede hacer remontar, como muchas otras, a John von Neumann. Principal consejero científico del gobierno norteamericano durante la guerra, von Neumann había reflexionadomucho sobre las posibilidades de los ordenadores electrónicoscuyos primeros ejemplares fueron construidos en Los Alamosbajo su dirección. Uno de los principales problemas estratégicos es prever correctamente el tiempo atmosférico -se conoce la importancia decisiva que tuvo esta predicción en ellan-

. zamiento de la operación Overlord-; por eso muy pronto seapeló a las nuevas posibilidades del cálculo automático. VonNeumann se dio rápidamente cuenta de las limitaciones deesta manera de encarar las cosas y comprendió que la índolede las ecuaciones en relación con las condiciones iniciales impediría siempre todo pronóstico preciso a largo plazo. Pero


como tenía un gran espíritu llegó también a una conclusiónmás original: la posibilidad de que esa misma inestabilidadpermitiera tal vez dirigir el tiempo. Después de todo, si el batir de un ala o la llama de una vela pueden tener tan grandesrepercusiones, ¿por qué no provocarlas a propósito? Acasofuera más fácil dirigir el tiempo que preverlo.

Cuando conducimos un automóvil, sacamos partido deuna inestabilidad análoga. Para que ésta se manifieste, basta con soltar el volante: vemos entonces que la trayectoria delautomóvil se curva, primero ligeramente, luego cada vez conmayor fuerza, hasta que el coche se sale del camino o da unavuelta completa. Por eso, un dedo basta para conducir un automóvil que pesa una tonelada o más. Desgraciadamente, enel caso de la atmósfera no hay un mecanismo que permitacontrolar la inestabilidad de manera tan directa. El efecto deuna pequeña perturbación sólo se hace sentir mucho tiempodespués: un año si nos atenemos a la escala del aleteo de unamariposa. Si uno quiere obtener efectos más directamenteobservablesy por lo tanto más controlables, hay que generaren la atmósfera perturbaciones mucho más importantes cuyaenergía sea del orden de una explosión tennonuclear. Remitamos al lector a las aventuras de Blake y Mortimer en SOSMétéores, para que encuentre a través de los maravillosos dibujos de Edgar P. Jacobs la antigua línea de Sellos y sus inmediaciones empapadas de lluvia y para que vea qué clase deenergías colosales había tenido que dominar el profesor Miloch para controlar el tiempo. 'Ibdavía estamos muy lejos desemejante tecnología.

Observemos, para terminar, que todos estos fenómenosdependen de la escala en que nos situemos. En la escala deun año, la inestabilidad exponencial se traduce en la imposibilidad de pronosticar el tiempo. Ningún cálculo será suficientemente preciso para decirnos si lloverá en Paris en lamisma fecha del próximo año. Si nos situamos en una escalamás reducida, ya no afrontamos ese problema: con bastanteéxito se logra pronosticar el tiempo que hará mañana y no senecesita ser un especialista para adivinar el tiempo que harádentro de un minuto o hasta dentro de una hora. En cambio,si nos situamos en una escala mayor, por ejemplo, la de un


milenio. el tiempo atmosférico se convierte en el clima. y lainestabilidad exponencial se manifiesta bajo una luz diferente. En efecto, en esa escala la cuestión ya no es pronosticar eltiempo. sino determinar ciertas regularidades que los geógrafos clasifican y estudian con el nombre de clima. Clima oceánico o continental. clima templado o tropical. ecuatorial o polar...• la lista nos es familiar y nunca hemos puesto en telade juicio la existencia de esas grandes regularidades queaproximadamente producen las mismas condiciones en lasmismas épocas. Cuando el tiempo parece apartarse de esasregularidades. cuando los años se suceden más cálidos y mássecos que de costumbre, ello se debe a que el clima está perturbado y sus causas han de buscarse en algún agente exterior, como la contaminación atmosférica o la bomba atómica.

y sin embargo, ¿por qué esperar en la escala de algunosmilenios una regularidad que no se observa en la escala deun día o de un año? En el curso de la misma estación. losdías se suceden, algunos soleados y otros nublados, algunossecos y otros lluviosos. ¿No es razonable pensar que ocurra lomismo en todas las escalas y que a periodos frios sucedan naturalmente períodos cálidos sin que haya necesidad de explicar el fenómeno por la acción de algún agente exterior? ¿Hayque invocar realmente los ciclos del Sol para explicar las erasde glaciación o éstas son simplemente el resultado de la evolución interna de un sistema exponencialmente inestable? Elconcepto mismo de clima. ¿tiene un sentido más allá de algunos siglos? ¿Por qué obstinarse en ver una regularidad en loque manifiestamente no la tiene y tratar continuamente deexplicar desviaciones con referencia a una norma que sóloexiste en nuestro pensamiento?

Consideremos. pues. este planeta tan singular según loven los astronautas: una joya azul que flota en un cielo deébano. En su superficie se ve el juego blanco de las nubes,portadoras de lluvias que atestiguan corrientes atmosféricas. Esta tierra es única en más de un sentido y especialmente porque sólo podemos seguir ese eterno ballet sin poder predecir sus figuras con mucha anticipación. En la escala geológica. veríamos variar el nivel de los océanos y desplazarse el frente de los glaciares de manera aleatoria. Y sin


embargo, [oh paradoja!, este carácter imprevisible casi totalestá acompañado de una gran estabilidad estructural. Añotras año, aunque a veces se hace esperar, el monzón vuelve arecorrer las costas de Asia desde la India a la China. El anticiclón de las Azores se desplaza según las estaciones y losaños, pero no desaparece: sabemos que en cualquier momento encontraremos un gran anticiclón en las inmediaciones deGibraltar.

Si el Creador ofreciera a nuestros ojos otra Tierra construida según las mismas reglas con que está construida lanuestra, veríamos en aquélla desarrollarse un espectáculo enteramente semejante al que observamos aquí. Verdad es queel tiempo no sería más previsible que el nuestro y que la sucesión de los climas no sería menos errática en aquel planeta,pero en cada instante el espectáculo que se nos ofreciera nossería familiar. Un hermoso día en aquel planeta se asemejaría enteramente a un hermoso día de esta Tierra. Volveríamosa encontrar allí la sucesión de las estaciones con su acompañamiento de meteoros, el monzón en Asia y el anticiclón delas Azores en el Atlántico, con la condición, claro está, de quela distribución de los continentes fuera más o menos la misma. En otras palabras, condiciones geográficas semejantesproducirán efectos climáticos semejantes, en tanto que no escierto que condiciones atmosféricas 'semejantes en un instante dado produzcan condiciones atmosféricas semejantes unaño después. La inestabilidad exponencial impide toda previsión cuantitativa a largo plazo, pero no excluye previsiones de .orden cualitativo incluso en plazos muy remotos.

Tal vez el lector juzgue que nos admiramos por bien pocacosa. No se necesita tener gran cacumen para darse cuenta deque la atmósfera es un sistema de una complejidad extrema,en el que regiones muy alejadas por la distancia o la altitudterminan por influirse recíprocamente. A esta circunstanciase agrega la influencia de la superficie terrestre y del vacíointerplanetario con los que la atmósfera está en contacto permanente. ¿Cómo puede sorprender que un sistema tan complicado tenga un comportamiento complejo? El carácter aleatorio de todo pronóstico parecería deberse sencillamente a laimposibilidad de dominar todos los parámetros significativos.


Sin embargo, esto no es así. No por el hecho de que elsistema sea complicado su comportamiento es imprevisible.Existen sistemas muy simples cuyo comportamiento es también muy complicado. En realidad, el gran mérito del meteorólogo E. Lorenz consiste en haber reducido la multitud delas ecuaciones que rigen la evolución de la atmósfera a solamente tres y en haber mostrado que el modelo reducido conservaba la complejidad casi infinita del original.

La inestabilidad exponencial y la dificultad de predecirque es su consecuencia son, pues, fenómenos corrientes quese manifiestan en situaciones muy variadas, tanto en lasmás simples como en las más complejas. Para comprenderlasbien lo mejor será estudiarlas en un ejemplo simple. Abandonemos momentáneamente la meteorología con sus millaresde variables relacionadas por ecuaciones diferenciales, paraconsiderar sistemas descritos por una sola variable x. Bastará, pues, con un solo número para definir completamente elestado del sistema: es el valor tomado por la variable de estado en el instante considerado.

Continuando nuestro esfuerzo de simplificación, consideraremos que el tiempo es discreto, es decir, que la variabletiempo sólo puede asumir valores enteros n = 1, 2, 3, ... , elvalor n = O indica el instante inicial y los valores negativosn =-1, -2, -3, ... representan instantes del pasado más o menos alejado. La evolución del sistema en el curso del tiempoqueda pues completamente descrita por la serie Xn de los valores que toma la variable de estado x en todos los instantesn del pasado (para n < O) y del futuro (para n > O), serieque es por lo tanto doblemente infinita, puesto que n tomatodos los valores enteros positivos y negativos. Un sistemaserá determinista si el estado Xn en el instante n está vinculado con el estado anterior Xn_l por una relación del tipo:

La función! es la ley del sistema. Su sola presencia garantiza que toda la historia del sistema y todo su futuro estáninscritos en el estado inicial Xo' En efecto, una simple aplicación de la fórmula anterior da sucesivamente Xl = !(xo), luego:


y, según la fórmula general, Xn = fn(xo) y así sucesivamente.Se dice que Xn es la n-ésima iterada de xo.

Estos modelos de una sola variable de estado y de tiempo discreto, por simples que puedan parecer, no dejan por esode reproducir muy bien fenómenos que uno pudiera creerpropios de modelos de varias variables de estado y de tiempocontinuo. La inestabilidad exponencial es uno de esos fenómenos. Comparemos por ejemplo los dos sistemas:

Xn = Xn_l + 10,

y

Xn = 10 x Xn_l'

Estos sistemas conducen a dos fórmulas explícitas quedan el estado en el instante n en función del estado inicial:

Xn = Xn_l + n x 10,

y

Xn = Xn-l X lOn,

que manifiestan dos comportamientos muy diferentes en los .sistemas que son perfectamente deterministas.

En el primer caso se pasa de un estado al siguienteagregando una cantidad fija a la variable descriptiva. Semejante sistema perpetúa indefinidamente la precisión de lasobservaciones. Si por ejemplo se cometió un error de 0,001 enel estado inicial, ese mismo error afectará los estados sucesivos, por lejos que nos proyectemos hacia el futuro o que nosremontemos en el pasado. La fórmula explícita Xn = Xo + IOnmuestra que el error sobre Xo repercute en Xo sin reducción niamplificación. En cambio, en el segundo caso la fórmula explícita Xn = IOn Xo muestra que los errores se multiplican por10 en cada iteración y por lo tanto se amplifican muy rápida-


mente cuando se desciende por el curso del tiempo. Un errorde 0,001 en el valor inicial Xo se convierte en un error de 1 apartir de la tercera iteración, de 1000 en la sexta iteración,de 10n-3 en la n-ésima.

Una manera gráfica de ver esto consiste en imaginarque la variable de estado x representa la posición de un punto en un círculo, posición contada en número de vueltas partiendo de una posición de referencia A. Así, el valor x = O dela variable de estado significa que el punto representativo Mestá en A. El valor x = 114 significa que M se obtiene a partirde A dando un cuarto de vuelta en el sentido positivo (sentido inverso al de las agujas de un reloj); x = 112 representa elpunto diametralmente opuesto a A en el círculo y x = 1 dade nuevo el punto A. Es esencial observar que dos valores dex que difieren en 1 corresponden a posiciones que difieren enuna vuelta completa, es decir, que esos valores representanen realidad el mismo punto en el círculo.

Las dos leyes deterministas que hemos expuesto se manifiestan entonces con comportamientos muy diferentes. Conla primera, X n = Xn_1 + 10, el punto representativo M permanece fijo: se lo desplaza diez vueltas completas en cada iteración, es decir, que se lo vuelve a encontrar permanentementeen el mismo emplazamiento. Esta ley no es, pues, más queuna manera complicada de describir la inmovilidad: el puntorepresentativo del sistema permanece donde estaba al principio. Por supuesto, un error de percepción o un pequeño desplazamiento del punto inicial vuelven a encontrarse tal cualen todo momento.

No ocurre lo mismo en el segudo sistema. La ley adoptada se traduce ahora en un desplazamiento efectivo del puntorepresentativo, desplazamiento que depende a la vez de laposición inicial y del instante considerado. Un punto situadoen A al comienzo (xo = O) permanecerá allí indefinidamente(x n = O). Si por el contrario se parte del punto B diametralmente opuesto a A en el círculo (xo = 112), volverá uno a encontrarse en A desde la primera iteración y allí permanecerá(x n = 10nl2 es un número entero puesto que n > 1). De manera general, si el valor inicial Xo tiene un desarrollo decimal finito, es decir, si se escribe Xo = ao, al az ag... aNOOO... , como


todas las cifras después de aN son ceros, entonces el punto representativo M se encontrará en A desde la n-ésima iteraciónpara no moverse más.

Por otro lado, si el valor inicial Xo necesita un desarrollodecimal infinito, el movimiento será mucho más complicado. Muy precisamente, si la posición inicial está dada porXo = ao, a, a2 a3"" con una infinidad de cifras después de lacoma, la posición en el instante n se obtendrá corriendo la coma n espacios hacia la derecha. Así, en la primera iteraciónse obtiene X, = ao al> a2 a3a••.. ; por supuesto, se pueden olvidar las dos cifras anteriores a la coma que corresponden a unnúmero entero de vueltas y no influyen por lo tanto en laposición. Esta está determinada por las cifras restantes:0, a2 a3a•..• Asimismo, la posición en el instante n estará dada por Xn = 0, an.l an+2"'; la indicación más importante estádada por an. " que determina la posición en el círculo más O'

menos en 1/10. Desde este punto de vista nuestro sistemafunciona como una lupa o, mejor dicho, como un microscopioque, con mayores aumentos, revela cada vez más detalles.

. Cada observación suplementaria revela un decimal más.La posición inicial está esencialmente dada por a" la primera cifra después de la coma; pero a partir de la observaciónsiguiente esta cifra ya no tiene ninguna importancia y se hace preponderante a2' En cada etapa hay que buscar cifrascada vez más alejadas de la coma para tener una idea de laposición del punto representativo: para conocer el estado delsistema en el instante n hay que conocer el estado inicialXo hasta (n + 1) cifras después de la coma.

Esto significa que si uno quiere ser capaz de predecirtoda la evolución futura del sistema debe conocer todas lascifras después de la coma, lo cual manifiestamente no es realista. El matemático podrá decir que coloca un punto en laabscisa 1/2 o en "'2 o en 1t; ésta es una operación puramenteintelectual, una abstracción geométrica en la que se manejanpuntos inmateriales sin forma ni espesor. Pero en la realidad, la precisión de las observaciones no puede ser ilimitada.Un modelo matemático como el que hemos propuesto no tiene pues significación fisica por debajo de cierta escala o másallá de cierta duración. El comportamiento en el largo plazo


está pues determinado por fluctuaciones que se sitúan fueradel modelo considerado.

Peor aún, por más que se pueda todavía seguir el sistema, se observa una pérdida de precisión regular con el correrdel tiempo. Si uno conoce el estado con N decimales en el instante inicial t = O, sólo conocerá N - 1 en el instante siguiente t =1 Y N-n en el instante t =n, hasta perder toda información en el instante t = N. En otros términos, los errores semultiplican por 10 en cada etapa hasta quedar degradada toda la información que se tenía inicialmente. Esta es la inestabilidad exponencial. En el caso de un sistema que tengaesa propiedad (que sea unidimensional y simple como el queacabamos de describir o que sea multidimensional y complejocomo la atmósfera), la dinámica obra como un revelador:ofrece poco a poco toda la información que está contenida enlas condiciones iniciales y que es inaccesible a una observación directa a causa de que es necesariamente limitada laprecisión de nuestras mediciones. En el caso elemental quehemos tratado, la n-ésima observación revela el (n + l)-ésimodecimal de la posición inicial. En el caso de la meteorología,el tiempo que observemos dentro de un año revelará informaciones sobre el estado de la atmósfera de hoy, informacionesque se sitúan en una escala demasiado fina para que podamos percibirlas directamente.

También se puede adoptar otro punto de vista y considerar que toda información es necesariamente finita, que esvano, por ejemplo, tratar de conocer con más de doce cifrassignificativas, que es el límite actual de precisión de las constantes fisicas. En ese momento no hay revelación, sino quehay verdadera creación de información. Si sólo se pueden conocer los doce primeros decimales del estado inicial, Xo = O,a¡ a2'" a¡2, la duodécima observación X¡2 = a¡3'" a24 aportauna información realmente nueva. Asimismo, seria muy dificil y hasta imposible y singularmente falto de interés extraerde las condiciones meteorológícas que reinen dentro de unaño las informaciones que hoy nos faltan sobre el estado dela atmósfera actual. Es mejor considerar que hay creaciónde información con el correr del tiempo.

Según el punto de vista en que uno se sitúa hay, pues,


revelación o creación de información. En ninguno de los casosuna información esencial sobre la evolución futura del sistema está disponible. Se puede considerar que esa carencia sedebe a nuestra insuficiencia (caso en el cual hay revelaciónde una información latente) o, por el contrario, que esa carencia está en la naturaleza de las cosas, lo cual significa queel duodécimo decimal que aparece en cada observación esuna creación ex nihilo. Puede uno expresarlo cómodamentediciendo que la evolución futura del sistema depende del estado, tal como lo comprobamos hoy, y del azar.

Así tendemos el velo del azar sobre las informacionesque renunciamos a conocer. En la primera interpretación setrata de un azar relativo, humano, como cuando un jugadorno puede controlar suficientemente los dados que echa paraque .salga el número que desea. En la segunda interpretaciónse trata de un azar esencial, natural, como el azar que reconocemos en la mecánica cuántica. Pero, haya creación o simple revelación de información, se plantea siempre la mismapregunta: ¿a qué ritmo? Esto es lo que mide la entropía delsistema.

El concepto de entropía sufrió no pocas vicisitudes. Aquínos referimos a las ideas de Shannon y de Kolmogorov, es decir, que nos situamos en el punto de vista de la teoría de lainformación y dé los sistemas dinámicos y no nos entregamosa ninguna interpretación que atienda a conceptos de orden ode desorden. La entropía de un sistema dinámico es para nosotros un número que mide la velocidad a la cualel sistema crea (o revela) información.

En el caso de un sistema unidimensional en un círculo,como los dos casos anteriores, el conocimiento de un decimalsuplementario permite localizar el punto en cuestión con diezveces más de precisión ya que, de todos los puntos cuyo desarrollo decimal comienza por O, a¡ a2... aN, sólo una proporción1/10 admite como (N + l)-ésimo decimal una cifra dada, porejemplo 3. En otras palabras, los números cuyo desarrollo decimal comienza por O, a¡ a2... aN ocupan un pequeño intervalo, dividido en diez subintervalos iguales que corresponden alas diez posibilidades de aN+¡; decir que el (N + l)-ésimo decimal es un 3 elimina 9 de esos 10 subintervalos. De modo que


la revelación de los sucesivos decimales divide cada vez pordiez el campo de las posibilidades. Convendremos enque esta ganancia de un factor 10 corresponde a una entropíade 1. Así, la revelación de dos decimales suplementarios corresponde a la ganancia de un factor 100 = 102 y, por lo tanto,a una entropía de 2. En cambio, el statu quo, es decir, el factorde ganancia 1 = 100 corresponde a una entropía de cero.

La entropía de un sistema mide la ganancia de precisiónmedia aportada por cada nueva observación. Por ejemplo, ennuestro primer sistema, X n = Xn_l + 10, del cual hemos observado que corresponde a la inmovilidad pura y simple, laentropía es O, lo cual significa que una nueva observación noaportará ninguna información suplementaria. Pero en el segundo, X n = 10 x Xn_h cada nueva observación da un decimalsuplementario, lo cual significa que la entropía de ese sistemaes de 1.

En el caso de los sistemas multidimensionales, la situación es complicada por el hecho de que pueden presentarsesimultáneamente fenómenos de estabilidad y de inestabilidad exponencial. Expliquemos esto.

Veamos primero lo que seria, en el círculo, un sistemaunidimensional descrito por la ley X n = xnj lO. En cada etapa, la variable de estado (número de vueltas a partir de Alestá dividida por diez, lo cual hace que tienda rápidamente aOy que uno termine siempre por encontrarse en el punto A,que corresponde al estado x = O. Este punto es lo que se llama un atractor. Cualquiera que sea la posición de partida Moelegida, el punto representativo Mn en el instante n tiendeineluctablemente hacia A a medida que transcurre el tiempo.Este es un fenómeno de estabilidad (y no ya de inestabilidad)exponencial, que corresponde a una pérdida (y no ya a unaganancia) de información: poco importa de dónde se hayapartido pues siempre terminará uno por encontrarse en elpunto A. 'lbda información sobre la posición inicial se revelaa la larga redundante.

Fácilmente se puede mostrar este mismo fenómeno enun sistema multidimensional. Imaginemos por ejemplo queel conjunto representativo sea un disco. En otras palabras, acada punto M del disco corresponde un estado del sistema;


estamos pues frente a un sistema de dimensión dos. Como enel caso unidimensional, especificamos enseguida la ley quedefine la sucesión de los estados. Aquí convendremos enque si el estado en el instante n está en el punto Mn, el estado en el instante (n + 1) estará en el punto Mn+h medio delsegmento aMn; a es el centro del disco. Formalmente, la leydel sistema se escribirá así: aMn+! = aM.J2, lo cual es el análogo bidimensional de las leyes que hemos considerado hastaahora. El comportamiento del sistema es fácil de describir:cualquiera que sea el punto de partida Mo, el punto-representativo Mn se aproxima indefinidamente al centro a a medidaque transcurre el tiempo, es decir, a medida que n crece. Seexpresa este hecho diciendo que el estado representado por elpunto a es un atractor para el sistema.

Fácil es construir de manera análoga un atractor paraun sistema de dimensión tres. Basta con tomar lo que losgeómetras llaman un toro (es decir, un cuerpo en forma deneumático, un anillo circular lleno) y comprimirlo alrededorde su alma. Más precisamente, el toro tiene un eje de simetria (el cubo de la rueda) y las secciones por planos que pasanpor ese eje son discos. Los centros de esos discos describen uncírculo simétrico en relación con el eje: es lo que llamamos elalma del toro. Al contraer, como se ve en la figura, cada unode esos discos alrededor de su centro, definimos una ley determinista para la totalidad del toro, que se encuentra asícomprimido alrededor de su alma. Esta es, pues, un atractorpara el sistema tridimensional así construido: el punto representativo M, converge hacia la proyección del punto inicialM¿ sobre el alma del toro. El atractor es un poco más complejo que en el caso anterior puesto que se trata de una curva enlugar de ser un punto, y esta complejidad vuelve a encontrarse en el movimiento, puesto que el estado final hacia el cualtiende el sistema depende del estado inicial: a dos puntos departida diferentes corresponden dos proyecciones diferentessobre el alma del toro.

Hemos visto, pues, ejemplos de sistemas inestables yejemplos de sistemas estables con propiedades muy diferentes. Pero uno de los aspectos más fascinantes de los sistemasmultidimensionales es el hecho de que puedan presentar si-


-~-----------------------_.

Un atractor simple en el toro

almasección

'. '.)~.o'.. '~."

o,."-,

-,

. :""-~~~"'". .':'-.. ,,'_ .....' :, '. ,-_... .... /,,,,,

._---_.--~-

El toro es un cuerpo sólido construido alrededor de un círculo (el alma del toro) y cuyas secciones transversales son discos. En adelantenos limitaremos a representar la sección transversal.

primera iteración

116

segunda iteración atractor

multáneamente estas dos propiedades, que sin embargo soncontradictorias. En efecto, como disponemos de varias dimensiones, podemos imaginar leyes deterministas que dilaten enciertas direcciones y que contraigan en otras. Esto conduce aconstrucciones geométricas espectaculares, de las cualesStephen Smale fue el iniciador. Le debemos especialmente elejemplo que hemos de describir ahora y que nos abrirá lapuerta del misterioso reino de los atractores extraños.

Volvamos a considerar el toro de hace unos instantes ycomprimámoslo sobre su alma como acabamos de hacer. Peroesta vez le haremos sufrir una transformación suplementaria: lo estiraremos y lo enrollaremos sobre sí mismo. El resultado es, no ya un toro, sino una anilla entorchada, retorcida,que se enrosca dos veces alrededor del alma del toro originaly que ocupa un volumen más reducido que éste.

Los puntos del toro representan siempre los estados delsistema. Si M es uno de ellos, designaremos con f(M) el punto que le corresponde en la transformación anterior; se tratade un punto del anillo doble y por lo tanto de un punto del toro, puesto que uno está -contenído en el otro. La evolución delsistema está regida por la sucesión Mn+1 = f(Mn ) , que es elanálogo exacto de las leyes que hemos visto hasta ahora. Sóloque esta vez el comportamiento del sistema es mucho máscomplicado. En cada etapa, el conjunto de los estados se estira en la dirección longitudinal (la del alma del toro) y secontrae en las dos direcciones transversales (las de las secciones). Una primera consecuencia es la de que el punto representativo Mn no se limitará a permanecer en una misma sección transversal sino que girará alrededor del toro. Pero,sobre todo, los dos efectos se conjugan para imponer unatractor que ya no es ni un punto ni una curva, sino que esalgo mucho más complicado y que habrá de bautizarse con elnombre de fractal, según la terminología de Benoit Mandelbroto

Para ver este atractor tratemos de seguir, no un punto,sino el toro entero. Su primer avatar (obtenido en la primeraetapa) es el doble anillo entorchado. En la etapa siguiente,cada uno de sus bucles se desdobla a su vez y obtenemos uncuádruple anillo entorchado contenido en el anillo doble en-


El atractor de Smale

La ley determinista que está en la base del atractor de Smale es la siguiente:

\

estiramiento, encogimiento,con pérdida de volumen

retorno altoro inicial

/ repliegue doble

Se construyen sucesivamente toros cada vez más delgados dando vueltas dos, cuatro, ocho, dieciséis, 2n veces alrededor del toro inicial. Cadauno de ellos es una aproximación al atractor de Smale. La aproximaciónes tanto mejor cuanto mayor sea n, es decir, cuanto mayor sea nuestropoder de resolución. El atractor mismo es un límite que corresponde auna resolución infinita. Así, el collar de oro de A1leberg, formado a primera vista por tres toros yuxtapuestos, revela al examen un mocárabe

118

en el toro

de toros más delgados y toda una fauna exuberante. La técnica prodigiosa desplegada por el artista (filigrana, granulación, repujado, troquelamiento) sólo le permite realizar una aproximación, preciosa pero imperfecta, del objeto verdadero que él lleva dentro de sí y que por la fineza y la variedad de sus detalles no puede ser realizado por la mano delhombre.

119

torchado, el cual está contenido a su vez en el toro inicial(anillo simple). Pasando de etapa en etapa, llegamos a ocho,dieciséis, treinta y dos vueltas, con lo que agotamos sucesivamente todas las potencias de 2. Obtenemos así una serie infinita de anillos entorchados y encajados, cada vez más finos,como cuando el cincel de un escultor trabaja un bloque demármol para sacar de él una estatua. Lo que encontramos alcabo de todo esto no es un hecho majestuoso sino que es unobjeto suficientemente complicado para haber merecido ladenominación de atractor extraño.

Para hacerse una idea de él puede uno, por supuesto,representarse una anilla trenzada compuesta por una infinidad de bucles que se enrollan en el toro inicial. Esto es seguramente exacto, pero no agota toda la riqueza de la estructura de un atractor extraño. Lo que importa aquí es el ritmobinario. Es fácil representar el atractor en un nivel de precisión dada, por ejemplo, haciendo calcular a un ordenador lastransformadas sucesivas de un punto cualquiera. La elecciónde este punto inicial no tiene importancia; después de una fase transitoria, sus transformadas se encontrarán en el atraetoro Representando en un gráfico sus posiciones sucesivas, severá formar una nube cuyos contornos, al precisarse poco apoco, dibujarán una urdimbre de tubos capilares que se enroscan alrededor del toro. Pero si pasamos a un aumento mayor, por ejemplo aumentando la precisión de los cálculos, tendremos la sorpresa de ver cómo cada uno de esos capilares sedesdobla en dos tubos más finos, y sólo la imprecisión de lasobservaciones pudo hacernos creer que los dos tubos eran sólo uno. Es en esa red compleja donde circulan los puntos Mnrepresentativos del estado del sistema.

Comprendamos bien esta paradoja. 'Ibdos los puntos deltoro representan estados potenciales y cada uno de ellos puede servir de estado inicial. Pero la evolución natural del sistema hace que después de una breve fase transitoria el puntose limite a una región mucho más pequeña, aracnídea, y quela mayor parte de esos estados potenciales no pueda observarse nunca.

Este es, pues, el atractor de Smale, que tal vez le parezcaal lector una construcción un tanto artificial. Pero las ecuacio-


nes de la meteorología contienen también su atractor extraño,como lo mostró Lorenz en un célebre artículo. El atractor deLorenz no tiene exactamente la misma estructura que elatractor de Smale; éste es un objeto intermedio entre una curva y una superficie, mientras que el atractor de Lorenz es unobjeto intermedio entre una superficie y un volumen.

Para dar una idea del objeto, imaginemos un libro al quese le hayan arrancado todas las páginas salvo aquellas cuyonúmero contiene únicamente las cifras 2, 3, 4, 6, 7 y 8 (ni O,ni 1, ni 5 ni 9). En un libro de 100 páginas nos quedarían dosfajos distintos constituidos por páginas que van de 22 a 48 yde 62 a 88. Esos fajos sólo contienen en realidad dieciocho páginas en lugar de veintisiete; por ejemplo, del prímer fajo hayque retirar todavía las páginas 25, 29, 30, 31, 35, 39, 40, 41 Y45. En el caso de un libro de mil páginas obtenido, por ejemplo, subdividiendo cada una de las páginas del libro anterioren diez páginas más delgadas, vemos aparecer lagunas enesos fajos homogéneos. En el lugar de la página número 22deberían encontrarse diez páginas numeradas de 220 a 229,pero le faltan cuatro: las páginas 220, 221, 225 y 229. En realidad, entre las páginas 222 y 248, veremos reconstituirse unnuevo fajo de dieciocho páginas en todo análogo al fajo queobservábamos en la escala anterior.

Se advertirá que la proporción de páginas restantes estámultiplicada por 6/10 en cada etapa; de manera que de un60% en un libro de diez páginas se pasa a un 36% en un librode cien páginas y a un 21,6% en un libro de 1000, es decirque el libro ralea. En última instancía, hay que representarse un libro que tenga una infinidad de páginas infinitamentedelgadas, siempre con la misma encuadernación inicial. Casitodas las páginas han sido arrancadas, puesto que la proporción de páginas intactas ha caído a cero, pero todavía quedauna infinídad de páginas que se presentan en fajos de dieciocho. Más exactamente, cada página de ese libro es ella misma un libro, reproducción fiel del original. Y cada página decada uno de esos volúmenes que aparecen en número incalculable es ella misma un libro confeccionado según el mismomodelo.

El atractor de Lorenz se presenta como una superficie

http://www.esníps.com/web/Scientía 121

El atractor

z

x

Este dibujo representa una trayectoria típica, en tres dimensiones, delsistema de Lorenz.

dxdt=-ax+oy

dydt =bx-y-xz

dzdt = -cz + xy.

Vemos cómo la trayectoria salida del punto O describe anillos divergentes alrededor del punto A, lo abandona para dar una vuelta alrededordel punto B, luego volver alrededor de A, luego de B, y así indefinidamente. Se observa, pues, una sucesión infinita de oscilaciones cuya alternancia parece aleatoria pues el número de vueltas descritas cada vezes extremadamente variable. Si se deja que el movimiento continúe, latrayectoria al acumularse termina por dibujar un objeto foliado, intermedio entre una curva y una superficie: es el atractor de Lorenz.


deLorenz

La piedra grabada de Vallstenarum da una representación muy simplificada de ese movimiento. Representa una especie de laberinto cuyo plano general evoca un trébol de cuatro hojas que son exploradas sucesivamente. El sistema de Lorenz comprende una infinidad de hojas todasunidas al mismo tallo. Las hojas se reúnen en ramilletes y cada uno deéstos da la ilusión de constituir una sola hoja, pero la complejidad de laestructura subyacente queda revelada por el comportamiento caótico delas trayectorias, obligadas a seguir por turno cada hoja y por lo tanto, apasar de un ramillete al otro de manera imprevisible.

123

replegada sobre sí misma en el espacio habitual de tres dimensiones. Pero si se lo mira en el microscopio, se ve aparecer una estructura foliada (hojaldrada) semejante a la queacabamos de describir. En otras palabras, nuestro instrumento de observación, como no puede abarcar el conjunto delatractor, corta artificialmente páginas de lo que en realidades una sola y vasta hoja. Así, si nos atenemos al movimientosurgido de un punto preciso Mo, sólo al cabo de un tiempobastante prolongado veremos aparecer el punto representativo M, en el campo de visión de nuestro instrumento; y cuanto mayor sea el aumento empleado, más se reducirá ese campo de visión y más tiempo deberemos esperar. Si proseguimosla experiencia deberemos esperar de nuevo mucho tiempo antes de que el punto representativo Mn retorne a nuestro campo de visión y podamos volver a verlo. Entonces lo observaremos en otra página del libro; esas páginas se comunicanfuera de nuestro campo de visión, necesariamente muy restringido, y sobreviene el deslizamiento.

El atractor de Smale y el atractor de Lorenz tienen en común la propiedad de que si se los examina con aumentos cadavez más importantes se encuentra idénticamente la misma estructura ordenada. Se expresa esto diciendo que se trata defractales. Si situamos los objetos clásicos de la geometría enuna escala de cuatro grados: los puntos (dimensión cero) en elprimer grado, las curvas (dimensión uno) en el segundo, lassuperficies (dimensión dos) en el tercero y los cuerpos (dimensión tres) en el cuarto, las fractales se sitúan naturalmente enposiciones intermedias. La dimensión fractal del atractor deSmale está comprendida entre 1 y 2 Y la del atractor de Lorenz está comprendida entre 2 y 3. Estas dimensiones intermedias manifiestan que el sistema no ocupa todo el espacioque le corresponde o, mejor dicho, que únicamente ciertos estados son interesantes desde el punto de vista de la dinámica.En mecánica o en física, es clásico introducir lo que se llama elnúmero de grados de libertad: se trata del número de parámetros necesarios para especificar completamente el estado delsistema considerado. En el sistema de Smale es, pues, 2, y enel sistema de Lorenz es 3. El hecho de que la dimensión delatractor sea inferior significa que el sistema no explotará to-

124 http://www.esnips.com/web/Scíentia

das esas posibilidades, ni explorará todos los estados teóricamente posibles (fuera de una breve fase transitoria).

Es en el campo de la hidrodinámica donde estas ideas tuvieron el más vivo éxito. Uno de los fenómenos fisicos más importantes y menos comprendidos es, en efecto, la turbulencia.Se conocen y se estudiaron desde hace mucho tiempo las ecuaciones de Navier-Stokes. Sabemos deducir el comportamientodel fluido si las fuerzas de arrastre son débiles o si la viscosidad del fluido es grande. Pero desde el momento en que entramos en el régimen turbulento, es decir, desde el momento enque aparecen torbellinos, somos incapaces de predecir el movimiento. Hoy se admite que esta situación se debe a la presencia de un atractor extraño que aparece más allá de un umbralcrítico.

Esta hipótesis, expuesta por primera vez por David Ruelle y Floris Takens en un artículo célebre de 1971, dista muchode ser puramente teórica. Ella vincula directamente la inestabilidad física, observada experimentalmente, con una inestabilidad matemática subyacente en las ecuaciones del movimiento. Sobre todo, la hipótesis postula que por más que el sistemasea de dimensión infinita (es necesaria una infinidad de variables para describir un solo estado del fluido; en efecto, hay queindicar su posición y su velocidad en cada punto del volumenque ocupa), el fenómeno de la turbulencia se desarrolla en dimensión finita. En efecto, el atractor tiene una dimensión finita, que se puede calcular en función de las condiciones impuestas al fluido; en ese atractor se desarrolla la evolución delfluido apenas terminada la fase transitoria, y el atractor serápues el teatro de la turbulencia.

Una vez más volvemos a encontrar una intuición genialde Andrei N. Kolmogorov que, cuarenta años atrás, habíalanzado la idea de que bastaría un número finito de gradosde libertad para describir el estado de un fluido turbulento.Se le ocurrió esta idea al estudiar la degradación de la energía en el curso del movimiento, pues los grandes torbellinosdan nacimiento a torbellinos más pequeños, hasta que se alcanza una escala en la cual la viscosidad del fluido detiene sucaída a través de las dimensiones. Kolmogorov hasta habíacalculado cuántas variables deberían bastar para describir el


estado de un fluido turbulento; en otros términos, había estimado la dimensión del atractor. ¿Hay necesidad de decir queesa estimación ha sido confirmada por la teoría actual?

Después de esta prolongada digresión podemos volver ahablar ahora de la entropía. En el caso de un sistema multidimensional puede haber a la vez pérdida y ganancia de información al transcurrir el tiempo; lo cual corresponde a lapresencia simultánea de direcciones de contracción y direcciones de dilatación. La pérdida de información se manifiestapor el hecho de que el sistema se coloca muy rápidamente enun atractor, cuya dimensión puede ser mucho más reducidaque la dimensión del espacio de los estados y donde se desarrollará lo esencial de la evolución. La ganancia de información se mide por la entropía, como ya indicamos cuandohablamos de los sistemas unidimensionales. Pero esta vezharemos la medición en el atractor. En otras palabras, comenzamos por eliminar toda la información redundante alabandonar la mayor parte del espacio de los estados paraconcentrarnos en el atractor. En el sistema así restringido, lainformación restante es significativa y aumenta -o se revela- exponencialmente con el transcurso del tiempo. De manera que si dos puntos del atractor no pueden distinguirse acausa de la precisión limitada de nuestros instrumentos, unaobservación suplementaria tal vez nos permita detectarlos.Una entropía de 1 significa que en cada etapa el número depuntos susceptibles de ser discernidos, en un nivel de precisión dado, está multiplicado por 10.

Esta definición evidentemente es defectuosa: no se puede hacer referencia al "número de puntos"; por pequeña quesea la parte del atractor considerada, esa parte contiene unainfinidad de puntos. Sería mejor hablar de "área" o de "volumen", teniendo en cuenta que los conceptos de área o de volumen invocados aquí están adaptados al atractor y especialmente a su dimensión propia (que puede ser un número fraccionario). Hablar de área nos sitúa en la dimensión dos, hablar de volumen nos sitúa en la dimensión tres, lo cual haceque los matemáticos prefieran hablar de "medida" para notener que pronunciarse sobre la dimensión del atractor. Ela-


borar una noción satisfactoria de medida en el atractor, unanoción que pueda adaptarse a la estructura muy particularde un atractor extraño, constituye uno de los principales problemas de la teoria. Hoy este problema ha sido en gran parteresuelto gracias especialmente a los trabajos de Yasha Sinaí,David Ruelle y Rufus Bowen, quienes mostraron la existencia de una "medida ergódica" dotada de propiedades notables. Esa medida nos permitirá reinterpretar toda la dinámica en términos estadísticos y nos suministrará un modeloprobabilista del sistema que suplirá su ley deterministacuando ésta nos falle.

Expliquemos este punto. Hasta ahora hemos descrito elsistema desde el interior, hemos expuesto el número de grados de libertad y hemos usado la ley determinista paraconstruir un atractor dentro del espacio de los estados. Pero¿es verdaderamente realista este procedimiento? Independientemente de las situaciones académicas, esos datos nonos son accesibles. En hidrodinámica, por ejemplo, estamoslejos de poder medir la dirección y la velocidad de derrameen cada punto del fluido, y sin embargo es eso lo que haríafalta para definir completamente un estado. La realidadfísica consiste más bien en presentar una variable considerada como significativa y en tratar de medirla lo más precisamente posible; En otros términos, nunca se observa directamente el estado interno M, sino que se lo conoce por intermedio de una función X(M). Si el sistema parte de unestado inicial Mo, la sucesión de los estados Mo, M" M2 ••• ,

M; determina una serie de valores X(Mo), X(M,), X(M2) , ' ••• ,

X(Mn ) para la variable X elegida, y son esos valores los quese observan y aquellos de que hay que dar cuenta. Podrátratarse de la velocidad de derrame, medida en un puntoparticular del fluido, o de cualquier otro dato pertinente,como la presión. Por supuesto, se podrán observar muchasvariables simultáneamente, como la velocidad y la presiónen un punto dado, lo cual equivale a hacer de X(M) un vector de dos componentes y no un número.

Lo que nos dicen los resultados de Sinaí, Ruelle y Bowenes que una explicación probabilista de la observacionesX(Mo), X(M,), X(M2) , oo., X(Mn ) es no sólo posible, sino legiti-


ma. La medida ergódica del atractor está asociada a una probabilidad de éste y la serie X(Mo), X(M,), X(M2) , ••• , X(Mn ) tiene todas las propiedades estadísticas de una muestra den valores echados a suertes en el atractor según la probabilidad ergódica. Disponemos, pues, de la ley de los grandes números: cuando se agregan observaciones (n crece indefinidamente) el término medio empírico

X(Mo) + X(M,) + X(M2) + ... + X(Mn )

n

tiende al valor medio calculado según la medida ergódica deSinaí, RueIle y Bowen, con una probabilidad 1. Desde unpunto de vista estadístico se puede pues considerar que estaserie de valores es aleatoria y que resulta de tiradas independientes del atractor, efectuadas según la probabilidad ergódica. Esta se podrá, pues, poner de manifiesto experimentalmente mediante la ley de los grandes números.

La ventaja de esta interpretación probabilista consisteen que es sólida; no necesita ningún conocimiento profundizado del sistema, de sus estados posibles o de las leyes querigen su evolución. Es una explicación general, una especiede comodín, que es posible en una multitud de circunstanciasy aun cuando (como aquí) el sistema sea fundamentalmentedeterminista. En otras palabras, poco importa que el azar esté en la naturaleza o en el ojo del observador, la interpretación probabilista no se verá afectada por esa circunstancia.Observemos que no se trata solamente de decir que esta seriede observaciones podría ser el resultado de echar a suertes.La interpretación es cierta cualquiera que sea la serie de valores: la esencia del azar es que todo es posible, hasta lo improbable. La interpretación probabilista va más lejos. Afirmaque la muestra observada es no sólo posible, sino probable, yde ello se sigue que los valores medios calculados en largosperíodos terminarán por estabilizarse alrededor de los valores teóricos.

Esta conclusión es bastante general para continuar siendo válida aun cuando no se sepa casi nada sobre el sistema.Lo que podría aportar un conocimiento más preciso sería sa-


ber (no ya que una muestra se saque según cierta ley de probabilidad, con todos los riesgos que esa operación entraña,incluso el de ver invalidadas por la suerte nuestras previsiones estadísticas) cuál será exactamente el resultado de la tirada, como hace un fullero hábil que sabe engañar a la gente.y como un jugador que quiere prevenirse contra el fraude, elobservador no debe recurrir ciegamente a los métodos estadísticos. Sólo en última instancia puede uno permitirse recurrir a un modelo probabilista, esto es, cuando se ha renunciado a comprender el sistema desde el interior y cuando estáuno dispuesto a contentarse con una descripción fenomenológica y con previsiones estadísticas.

Hoy existen métodos que permiten analizar una serie deobservaciones Xo, Xl> ••• , x; para investigar un modelo determinista subyacente. Esos métodos consisten esencialmenteen interpretar cada serie de m valores como las coordenadasde un punto en dimensión m y en ver cómo se reparten lospuntos así obtenidos. Por ejemplo, con m = 2 nos veremos llevados a construir los puntos

y a estudiar su repartición en el plano. Si visiblemente seagrupan en objetos de dimensión inferior dibujando curvas ofractales, ello indica que estamos frente a un sistema determinista; lo que designan los puntos es la imagen del atractor.Si en cambio los puntos se reparten más o menos regularmente en vastas playas dibujando nubes uniformemente grisáceas, es inútil buscar un modelo determinista que tenga unatractor de dimensión inferior a 2. Hay que hacer entonces elmismo trabajo en tres dimensiones con los puntos

Mo = (xo, Xl> X2), M 1 = (Xl> X2, xa), ... ,Mn_2 = (X n_2' Xn_h xn) ·

Según la manera en que se repartan en el espacio, se detectará o no la presencia de un atractor de dimensión inferiora tres. Con un ordenador suficientemente poderoso y siempreque se disponga de suficientes observaciones, se puede conti-


nuar este trabajo hasta m = 10, lo cual ha permitido discernir la presencia de atractores en movimientos turbulentos yhasta en la cotización de las acciones de Wall Street.

Insistamos una última vez en el hecho de que, si esosmétodos permiten prevenirnos contra el desconocimiento deun modelo determinista subyacente en el fenómeno estudiado, y si por lo tanto nos permiten eliminar una forma de azarque se debería únicamente a la ignorancia del observador, nopor eso dejaría de existir un azar esencial, medido por la entropía. El observador mejor informado sólo dispone de instrumentos de una precisión limitada. Si conoce perfectamente laley del sistema conocerá las constantes fisicas y el estado inicial sólo con doce decimales, y ese trigésimo tercer decimal,cuyo valor ignora el observador, al amplificarse gradualmente perturbará las previsiones que hayamos podido hacer hasta negarles toda validez en el largo plazo. Ciertamente, ensistemas deterministas, el estado inicial determina el estadofinal. Pero la inestabilidad exponencial hace que de un conocimiento aproximado del estado inicial no se pueda deducirun conocimiento aproximado del estado final. Si la entropíano es nula, la precisión de las predicciones se degrada a medida que pasa el tiempo, de manera que son necesarias observaciones periódicas para seguir la evolución del sistema.La ausencia de observaciones nos deja en alguna parte delatractor, en una incertidumbre completa.

No data de hoy la toma de conciencia de las dificultadesque causa la inestabilidad exponencial en materia de predicciones. James Maxwell y Henri Poincaré, el físico más grande y el matemático más grande del siglo XIX, escribieron sobre el tema páginas definitivas. Maxwell recuerda que, sibien es indudable que las mismas causas producen los mismos efectos, la sensibilidad a las condiciones iniciales haráque causas semejantes no tengan necesariamente efectos semejantes. En su Ciencia y método, Poincaré se expresa así:"Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina unefecto considerable que no podemos dejar de ver y entoncesdecimos que ese efecto se debe al azar". Al desarrollar estaidea, Poincaré dice:

"¿Por qué los meteorólogos encuentran tan difícil prever


el tiempo con alguna certeza? ¿Por qué las lluvias, las temopestades mismas nos parecen llegadas al azar, de modo quemucha gente cree natural rezar para que caiga la lluvia ohaga buen tiempo, cuando en realidad encontrarían ridículopedir con una plegaria un eclipse? Vemos que las grandesperturbaciones se producen por lo general en las regionesdonde la atméefera está en equilibrio inestable. Los meteor6lagos bien ven que ese equilibrio es inestable, que algún cicl6n se dará en alguna parte, pero ¿dónde? No están en condiciones de decirlo; una décima de grado más o menos en unpunto cualquiera y el ciclen estalla aquí y no allá y extiendesus estragos en comarcas que de otra manera no habrían sido devastadas. Si se hubiera conocido esa décima de gradopodría habérselo sabido de antemano, pero las observacionesno fueron ni bastante rigurosas ni bastante precisas y por esotodo parece debido a la intervención del azar".

Este texto es tanto más notable por haber sido escrito en1908, más de medio siglo antes del descubrimiento del atraetor de Lorenz, en una época en la que no se disponía de lapotencia de cálculo que hoy nos permite simular numéricamente el comportamiento de los sistemas más generales. Esetexto atestigua, pues, una intuición verdaderamente genialde Poincaré que éste había forjado mediante la práctica rigurosa de las ciencias físicas, especialmente la mecánica celeste, terreno en el que tuvo ocasión de estudiar de cerca lossistemas integrables y de interesarse por el cálculo de lasperturbaciones.

Hasta el advenimiento de los ordenadores, la única manera de estudiar el comportamiento de un sistema era resolver explícitamente las ecuaciones de evolución, lo cual sólo esposible en una clase muy reducida de sistemas, llamados integrables. Para los sistemas próximos a sistemas integrablesexisten asimismo métodos que permiten resolver parcialmente las ecuaciones y deducir el comportamiento del sistema enintervalos de tiempo que pueden ser importantes, pero de loscuales no se puede garantizar que se extiendan al infinito.Por ejemplo, se puede describir el corto plazo (como en todoslos sistemas) y hasta el plazo mediano (de una duración quees dificil de estimar) pero no se puede describir el largo plazo


(reservado a los sistemas integrables). Esto es lo que se llama el método de las perturbaciones, que está en la base detodos los cálculos astronómicos; luego tendremos ocasión devolver a considerar este punto.

El concepto de sistema integrable sufrió diversas modificaciones en el curso de los siglos. Es bastante claro si se lo refiere al ejemplo fundador, al paradigma que inspiró toda laciencia moderna: el sistema de Kepler. Trátase aquí de describir el movimiento de un planeta que gira alrededor delSol. El movimiento está enteramente determinado por tresleyes, descubiertas de manera experimental por Kepler: elplaneta describe una elipse en la que el Sol ocupa uno de losfocos; la velocidad del planeta es constante (el planeta se desplaza, pues, más rápidamente en las porciones de la órbitapróximas al Sol); y su período de revolución es proporcional ala potencia 3/2 del eje mayor (de manera que un planeta situado cien veces más lejos girará mil veces más lentamente).

La gloria inmortal de Newton se funda en haber formulado las ecuaciones de la gravitación y en haberlas resueltoen el caso muy particular en el que el universo se reduce ados cuerpos celestes. Newton encuentra así el movimientokepleriano como consecuencia lógica y necesaria de una leyde atracción en función de lIr2 (la fuerza es inversamenteproporcional al cuadrado de las distancias) y demuestra queese movimiento es perfecta e indefinidamente previsible. Porlejos que nos proyectemos hacia el futuro o que nos remontemos al pasado, podemos dar la posición del planeta. Aquí nohay huella alguna de inestabilidad. Claro está que, si uno comete un error al comienzo sobre la posición o la velocidad delplaneta, el error repercutirá en el cálculo de su trayectoria:la elipse quedará deformada o mal situada. Pero ese cálculoestá hecho de una vez por todas. En adelante, ni la trayectoria calculada ni la trayectoria real variarán y la posición calculada debe obligadamente estar próxima a la posición real,indefinidamente. Los errores no se amplificarán al pasar eltiempo (como en el caso de la inestabilidad exponencial) y laentropía del sistema es nula.

Pero el planeta Tierra no es el único que gira alrededorde su Sol. Se trata entonces de saber si propiedades de esta-


bilidad tan deseables se extienden a todo el sistema solar talcomo lo conocemos, con sus grandes planetas provistos de sussatélites, sus cometas y sus asteroides, sin contar todos losobjetos celestes cuya existencia aún ignoramos.

Desde los comienzos de la mecánica celeste la cuestión seexpuso de manera muy concreta. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra, por ejemplo, dista mucho de ser elíptica o siquiera periódica a causa de la influencia considerable de laatracción solar; la descripción precisa de su movimiento ocupóla atención de los más grandes espíritus de la astronomía, desde Newton hasta Poincaré. La órbita de la Tierra alrededordel Sol está mucho más próxima a la elipse kepleriana. Laprincipal fuerza perturbadora se debe a la influencia de Júpiter y esa fuerza es del orden de 1120000 de la atracción solar,mientras que, en el caso de la Luna, la relación de la fuerzacentral (la atracción terrestre) con la principal perturbación(la atracción solar) es sólo de 1150. Además, la escala temporalno es la misma: un año terrestre vale doce meses lunares. Elresultado es el de que podemos ir mucho más lejos en nuestraspredicciones en el caso de la Tierra que en el caso de la Luna.Pero hasta en el caso de la Tierra hay una frontera (por lo demás, dificil de situar) más allá de la cual el cálculo de las perturbaciones deja de ser válido. Lo que ocurre detrás de ese horizonte escapa completamente a nuestra mirada. De maneraque no estamos en condiciones de responder a una preguntatan importante como ésta: ¿es estable el sistema solar? ¿Permanecerá indefinidamente la Tierra en una órbita cercana ala que conocemos ahora? O bien: ¿está condenada a escaparseal vacío intersideral o a estrellarse contra el Sol?

Poincaré dedicó gran parte de su actividad científica aeste problema. Mostró especialmente que el problema de los.tres cuerpos, es decir, el estudio del movimiento de tres masas en interacción gravitacional, no es integrable. De modoque una versión simplificada del sistema solar reducida alSol, a Júpiter y a la Tierra escapa ya a la resolución explícitay entonces nace la sospecha de que el sistema solar es enrealidad caótico. Por supuesto, Poincaré no poseía los mediosde eliminar o de confirmar esa sospecha, por más que su obracontenga múltiples presunciones en favor de una confirma-


ci6n de la sospecha. 'Ibdavía hoy la cuesti6n está lejos de serresuelta. Sin embargo, disponemos de presunciones suplementarias que son el resultado de simulaciones numéricasrealizadas en superordenadores puestos al servicio de loscálculos astron6micos.

El último de esos cálculos simula la evoluci6n del conjunto del sistema solar en 200 millones de años y pone demanifiesto una inestabilidad exponencial: las perturbacionesse multiplican por 10' 0 (diez mil millones) en cien millones deaños. Es decir que, en una duraci6n que en la escala de lostiempos astron6micos o hasta geol6gicos es muy breve, unafluctuaci6n de un centímetro en la posici6n inicial puede traducirse al fin de cuentas en un desplazamiento de un mill6nde kil6metros. En cambio, en los diez primeros millones deaños el ordenador muestra una gran estabilidad de movimiento, que sigue de cerca las predicciones de la teoria de lasperturbaciones. No habrá que creer que una simulaci6n teórica de este tipo nos permita extender nuestra capacidad depredicci6n más allá de ese umbral de 10 millones de años.Desde el momento en que el sistema es caótico, las menoresperturbaciones asumen importancia, especialmente los errores de "redondeo" que el ordenador por fuerza debe cometer acada paso. El ordenador troncha todos los resultados de loscálculosintennedios para reducirlos al número de decimalesdeseado, y el efecto acumulado de esas pequeñas inexactitudes puede desnaturalizar por completo el resultado final.Aquí el ordenador no es pues un instrumento de previsi6ncuantitativa sino que crea una fuerte presunci6n en favor deun resultado cualitativo para indicar que el sistema es ca6tico y que, en una duraci6n del orden de algunos centenares demillones de años, las 6rbitas planetarias pueden sufrir variaciones muy importantes.

Acaso haya que ver en esta inestabilidad la causa de lasgrandes variaciones climáticas de que fue teatro la Tierra enel curso de su historia. Ya hoy se atribuye a las pequeñas oscilaciones de la 6rbita terrestre (cuyo período es del orden de10 mil años) la sucesi6n de las eras glaciares cuyos rastrosse encuentran en los estratos geológicos superiores. Pero laescala de tiempo es aquí mucho mayor y los efectos potencia-


les son devastadores. Tal vez también Marte se benefició antes con una posición muy favorable y Venus releve a un planeta azul devastado por sus habitantes. En esa escala detiempo todo es posible. El curso de los planetas, que es elsímbolo mismo de la estabilidad en la escala humana (comoun reloj dispuesto por el Creador entre los astros) no es másque un movímiento imprevísible y desordenado mirado conlos ojos de la eternidad.

Este ejemplo es rico en enseñanzas. En primer lugar,nos muestra que los sistemas integrables -y, por lo tanto,prevísibles- forman una clase extraordinariamente restringida; el sistema de Kepler es integrable, pero basta con modificarlo muy ligeramente para obtener sistemas cuya entropíaya no es nula. El caos es la regla y la integrabilidad es la excepción. Asimismo el estudio de la mecánica celeste nos preserva de una enfermedad común que consiste en querer buscar las causas. En un sistema no integrable, resulta vanoquerer aislar una relación causal. Si hoy un demonio desplazara la Tierra algunos centímetros en su órbita, en un plazosuficientemente lejano ese desplazamiento afectaría todaslas órbitas planetarias, y ese efecto sólo puede calcularse ocontemplarse considerando todo el sistema solar en su con-ojunto. Por supuesto, lo primero que lile modifica es el movimiento de la Tierra y por lo tanto su acción perturbadora sobre el movímiento de los demás planetas; éstos experimentarán esa acción y en una segunda fase se producirá una lentamodificación de sus trayectorias. Al verificarse esto, las posiciones respectivas de los planetas evolucionarán, con su interacción gravítacional, y por último se verá afectado todo elsistema solar en una escala de diez a cien millones de años.

De manera que no se puede calcular el efecto de un simple impulso limitándose a una simple consideracion de la órbita terrestre; hay que tener en cuenta el efecto primario sobreesa órbita, pero también el efecto secundario constituido porlas modificaciones de las perturbaciones gravítacionales debidas ·a las modificaciones de las órbitas planetarias; luego hayque tener en cuenta el efecto terciario que no dejará de tenerel efecto secundario cuando los cambios correspondientes delmovímiento de la Tierra hayan repercutido sobre los otros pla-


netas, y así sucesivamente. En suma, una vez salidos del cortoplazo, sólo podemos tratar el sistema en su conjunto.

En un sistema determinista, por lo general, no se pueden aislar subsistemas y, por lo tanto, no se puede atribuirtal efecto a tal causa. Si consideramos un choque inicial, como el que produce nuestro demonio al desviar a la Tierra desu trayectoria, las consecuencias de ese cambio en el largoplazo sólo pueden evaluarse rastreando de nuevo la evolucióncompleta del sistema con estos nuevos datos. En general, seobtendrá un estado global completamente diferente del estado que habría prevalecido si el choque no se hubiese producido, y será vano tratar de comparar esos estados. No se podrádecir que una determinada cosa ha cambiado pero que otrano ha cambiado y pretender así haber identificado los efectosdel choque inicial. Una modificación local puede determinarun cambio global, así como el golpecito de una varita mágicanos transporta a un mundo diferente. El único efecto que hayque atribuir a esta causa es la totalidad de la situación nueva, lo cual evidentemente aporta poca información.

Una propiedad fundamental de los sistemas dinámicosconsiste en que éstos sólo pueden aprehenderse globalmente.Esta regla tiene una sola excepción: los sistemas integrables;y en la primera línea de éstos hay que colocar los sistemaslineales. Dejando a un lado estas situaciones muy particulares, la investigación de las causas o el análisis de las consecuencias de un hecho singular nos arrastran muy rápidamente a un dédalo incalculable en el que quedaremos prisioneros a menos que nos resignemos a admitir que ningunainfluencia es demasiado pequeña para ser pasada por alto yque el menor impulso pone en tela de juicio el desarrollo deluniverso. Este modo de pensar nos es tan extraño porque tenemos la juiciosa costumbre de limitar nuestro horizonte aun futuro que la experiencia nos indica como previsible.Nuestro conocimiento basta ampliamente para fechar loseclipses a los que se refieren las antiguas crónicas y paraprever el tiempo que hará mañana. En duraciones tan cortas,los sistemas considerados son aproximadamente lineales ypor lo tanto integrables. El cuadro se complica en plazos máslargos cuando se dan interacciones debidas a la falta de "Ji-


nealidad", hasta el punto de que el futuro de la parte mejoraislada se confunde con el futuro del sistema en su totalidad.

Para precisar aun más las cosas, quiero recordar queuna definición corriente del azar consiste 'en considerarlo laintersección de series causales independientes. Un señor pasa por la calle en el momento en que una teja se desprendedel techo; la teja lo alcanza y el hombre muere inmediatamente. Ahora bien, ese transeúnte se dirigía tranquilamentea sus ocupaciones y la teja estaba sometida a los caprichosdel viento. Hay aquí dos series de sucesos que tienen su propia lógica; son tan evidentemente distintos, y su resultadocomún es tan desproporcionado, que inmediatamente se habla de mala suerte y por consiguiente de azar.

Ahora bien, no hay, no puede haber, series causales independientes en el universo. El transeúnte ejerce desde lacalle una fuerza de atracción sobre la teja puesta en lo altodel edificio y la bocanada de viento que la desprende es inseparable de todo un contexto meteorológico en el que la actividad pasada de la víctima ha tenido su parte. Hablar de independencia es sólo un enfoque cómodo y supone una visiónmiope de los hechos, que es menester abandonar si se intentaun análisis más afinado o si se quiere tener un horizonte másamplio. Un demonio desplaza un electrón en Sirio, algo queestá muy debajo del umbral de nuestra percepción. Al hacerlo, el demonio modifica todas las fuerzas de atracción que eseelectrón ejercía sobre las demás partículas del universo y especialmente sobre las moléculas gaseosas que constituyen laatmósfera terrestre. Sólo harán falta unos pocos segundospara que ese mínimo impulso, propagado y amplificado porlas colisiones de las moléculas, se traduzca en modificacionesperceptibles. Y entonces interviene la inestabilidad meteorológica, de suerte que el ligero soplo de aire que apareció asíen el mar Caribe llegará a ser un ciclón que devastará lacosta oriental de los Estados Unidos.

Tratar de aislar las causas de un hecho que nos llama laatención es una empresa que no puede ser sino limitada; siqueremos llevarla demasiado lejos, corremos el riesgo de vernos a merced de los movimientos de los electrones de Sirio.Del vasto universo sólo podemos aprehender una pequeña

http://www.esnips.com/web/Scientia i37

parte a la vez, y ni siquiera sabemos cuándo aquello que hemos olvidado tendrá más importancia que lo que estamosviendo. Somos como un viajero perdido en medio de la niebla;su mirada delimita una pequeña esfera familiar y tranquilizadora, pero más allá de los muros grises que lo rodean comienza el reino de los espíritus.

En el año 413 a. C., en el mes de agosto, el cuerpo expedicionario ateniense se encuentra frente a Siracusa. Acabade sufrir una aplastante derrota al intentar apoderarse delas alturas que dominan la ciudad y su situación es ahoracrítica. Mortunadamente le queda la flota y con ella la posibilidad de abandonar el sitio para regresar a Atenas o paraencontrar una base de operaciones más favorable. Dos de losgenerales atenienses, Demóstenes y Eurimedón, ven la urgencia y quieren embarcarse inmediatamente, pero la indecisión del tercero, Nicias, retrasa la partida.

Esto da tiempo al espartano Gilipo, que manda las fuerzas siracusanas, para recorrer Sicilia en busca de refuerzos.En Selinonte, encuentra una flota que los del Peloponeso habían enviado en su auxilio durante la primavera y que llegaa su destino después de numerosas peripecias. Arrojada a lascostas libias por una tempestad, la flota encuentra allí colonias aliadas y se demora para prestarles ayuda contra loslibios. Luego bordea la costa africana para dirigirse finalmente a Sicilia por el trayecto más corto. Ancla por fin en Selinonte, donde encuentra a Gilipo, quien la conduce inmediatamente a Siracusa con otros refuerzos.

La llegada de esa flota empeora aun más la situación delos atenienses, que lamentan haber dejado pasar la ocasiónde partir sin ser molestados. El propio Nicias ya no manifiesta ninguna oposición; se hacen los preparativos de la marchaen el mayor secreto. Las tropas aprovecharán la oscuridad dela noche para embarcarse y la flota saldrá por fin de esa radadonde está prisionera para llegar a alta mar, cuando depronto sobreviene el eclipse de luna del 27 de agosto del año413 a. C. Muy impresionados por el acontecimiento, los hombres piden aguardar todavía un tiempo y los adivinos declaran que es necesario demorar la partida en tres veces nueve


días; Nicias, hombre muy piadoso y apasionado por los oráculos y la adivinación, ni siquiera quiere oír hablar de partirantes de la fecha fijada.

¿Hay necesidad de decir que todo aquello terminarámuy mal? Los refuerzos de hombres y naves llevados por Gilipo tienen mucho tiempo para prepararse y equiparse parael combate decisivo. La flota ateniense, encerrada en la radade Siracusa e incapaz de maniobrar, queda destruida ante losojos de sus soldados. Estos se verán obligados a intentar unaretirada por vía terrestre, retirada que deberían haber hechopor barco. A los tres días todo termina con un desastre en elque perecen los generales y casi todo el ejército, ya por el hierro de los siracusanos, antes y después de los combates, yaen las canteras de piedra, adonde se los destinó en condiciones abominables.

Las causas inmediatas de esta derrota, además de la indecisión de Nicias que la hizo posible, son dos hechos debidosa la suerte: la llegada de la flota del Peloponeso y el eclipsede luna. Ambos hechos nos ofrecen una ilustración perfectadel desarrollo de dos seríes causales independientes y, por lotanto, de cierta concepción del azar. Desde el punto de vistade los espartanos, la flota de auxilio y Gilipo forman partedel mismo sistema y la acción de ambos agentes está coordinada hacia un solo objetivo: la victoria sobre los atenienses.Pero a partir de cierto momento, los agentes pierden contacto; Gilipo está en Sicilia y los refuerzos en Libia y ambos sonen adelante subsistemas aislados que obran independientemente el uno del otro, cada cual siguiendo su lógica propia yreaccionando a los acontecimientos. Cada uno de los subsistemas tiene una excelente razón para estar en Selinonteaquel día, uno porque ha planificado racionalmente su incursión, el otro porque aquél es el punto más cercano de la costaafricana. Estas dos razones son independientes, así como lasperipecias, sicilianas o africanas, que pusieron ritmo al tiempo de los actores; de manera que el azar consiste justamenteen que esas dos historias diferentes se reúnan en el mismolugar el mismo día.

El caso es más claro todavía en el eclipse de luna. Paranosotros, que conocemos la mecánica celeste y las leyes de


Kepler, no hay, desde luego, ninguna intervención del azar enel hecho de que un eclipse de luna se haya producido el 27 deagosto del año 413 antes de nuestra era. La mejor pruebade ello está en que ese eclipse nos permite hoy fechar losacontecimientos relatados por Tucídides, y no lo inverso. Lasefemérides nos dan las fechas de los eclipses en todo el período histórico, es decir, durante tres milenios a contar desdehoy. Podemos asimismo calcular las fechas de los eclipses enlos tres mil próximos años: los movimientos respectivos de laTierra, de la Luna y del Sol son la expresión de un determinismo estricto y son perfectamente previsibles, por lo menosen la escala de la historia humana. Esos movimientos noestán visiblemente influidos por el hecho de que algunos millares de hombres estén combatiendo en alguna parte del planeta Tierra. Por otra parte, teniendo en cuenta los conocimientos científicos de aquella época, ni los atenieneses ni losespartanos podían imaginarse que los eclipses de luna fueranprevisibles, y fijaban sus estrategias sin tener en cuenta estaposibilidad. Tenemos pues un caso en el que dos sistemasevolucionan independientemente, uno siguiendo un determinismo fisico y otro siguiendo un determinismo histórico, hasta el 27 de agosto del año 413 a. C., fecha en la que el primero produce sobre el segundo un efecto importante.

Para quien esté inserto en el determinismo histórico,mida resulta más inquietante que la irrupción de un fenómeno inexplicado, de una contingencia pura. Desde que el primer antropoide pisó la Tierra el hombre trata de sobreviviradaptándose a su ambiente, es decir, sacando lecciones de laexperiencia para prever algún tanto el futuro. Aceptar loinexplicable, resignarse a lo imprevisto, significa dejarabierta una brecha en el frente donde luchamos permanentemente contra una naturaleza hostil, y tal vez signifique comprometer la supervivencia de la especie. Hay pues, urgentemente, que atribuir un sentido oculto a los hechos que notienen sentido aparente, es decir, los hechos que no se insertan inmedíatamente en el determinismo que reconocemos altérmino de una experiencia milenaria. En semejantes circunstancias, el hombre primitivo invocará a los dioses y tratará de apaciguarlos, mientras que el hombre moderno invo-


cará al azar y hará cálculos estadísticos. Pero únicamente eldescubrimiento de un determinismo oculto podrá dejar resuelta la cuestión. Y esto no es fácil, según hemos visto, ni siquiera en el caso de sistemas muy simples, pero mientras dicha cuestión no se resuelva, ningún científico podrá darsepor verdaderamente satisfecho.

Así concebido, el azar no puede sino referirse a una experiencia humana en una situación histórica dada. Lo que esalea o destino para Tucídides ya no lo es para su lector moderno. El eclipse que produce un terror supersticioso en elejército ateniense sería hoy sólo una curíosidad frente a unsuceso raro y espectacular y sólo suscitaría una preocupación estética. Palpamos así que el azar es siempre una respuesta dada a una pregunta que un hombre se hace. Si unsuceso pasa inadvertido, si se ]0 juzga poco interesante o sise lo puede explicar por otras razones, a nadie se le ocurriráhacer intervenir el azar en ese caso. El eclipse de luna planteó esta cuestión aNícias y a sus hombres; a nosostros ya nonos la plantea. Coincidencias muy notables como la llegadasimultánea a Selinonte de Gilipo y de los refuerzos que habían salido en su auxilio ocurren todos los días y nadie hacehincapié en ellas ni se asombra.

Imaginemos que algún mercader cartaginés haya llegado a aquel puerto el mismo día en que llegó la flota del Peloponeso. Esto es muy posible y hasta probable, a causa de laintensidad de las relaciones comerciales que mantenían loscartagineses con los beligerantes. Pero la historia no nos conservó el recuerdo de ese hecho pues, siendo en principio tannotable como la llegada de Gilipo, no tenía la misma significación. De las tres coincidencias ocasionadas por esa llegadasimultánea, Gilipo y el cartaginés, el cartaginés y los hombres del Peloponeso, los hombres del Peloponeso y Gilipo,únicamente esta última retiene la atención y suscita interrogaciones. Pero las tres coincidencias son igualmente notableso igualmente triviales, según el punto de vista en que uno sesitúe. Igualmente triviales, pues no hay nada más comúnque la llegada de viajeros a un puerto mercantil y bien cabeesperar que algunos de ellos lleguen el mismo día. Igualmente notables, pues son igualmente improbables; para brillar


con el mismo destello sólo les falta la voluntad de un observador que las sacará de la oscuridad, así como el rey Midastransformaba en oro todo lo que tocaba. Si habláramos latín,diriamos egregium por "notable" y la etimología traduciriainmediatamente nuestro pensamiento: e-gregium, fuera delrebaño, así como se pone aparte, entre individuos idénticos, aaquel que presenta una singularidad por lo arbitrario de unaelección. El cartaginés puede no tener ningún interés en laguerra del Peloponeso y en la expedición de Sicilia; en ese caso ignorará la llegada de Gilipo pero se maravillará de encontrar entre los recién llegados a un amigo que había perdidode vista desde mucho tiempo atrás. Ese suceso es lo que lellama la atención y del cual se maravillará toda la vida, entanto que el historiador que narra la guerra se eleva por encima de los destinos individuales. Para Tucídides, esa multitud de coincidencias accidentales constituye el ruido de fondoy aquí su tarea consiste en distinguir la verdadera señal, laúnica digna de ser transmitida a las futuras generaciones:la llegada de Gilipo.'. De manera que la diversidad de los puntos de vista privilegia de pronto uno, y de pronto el otro, de los múltiplesacontecimientos simultáneos que un observador perfectamente desapegado considerará con una indulgente indiferencia, así como la sonrisa de Buda acoge nuestras vicisitudes.Cada uno examina su suerte con la angustia que da la certeza de vivir sólo una vez y con la conciencia de su propio yo.Esa es la maya, la gran ilusión. Buda ve girar la gran rueda,contempla el ciclo eterno de las reencarnaciones, sabe que lavida que me toca hoy no es más que un episodio de una historia infinita en la cual desempeñaré todos los papeles, unostras otros. No hay azar porque no hay sentido, no hay razónde privilegiar un momento particular de esta historia, o estahistoria misma antes que otra. La reivindicación de la identidad que nos hace exclamar"¿Por qué me ocurre esto a mí?"sólo puede culminar en la falta de sentido y en el sufrimiento. El azar se disuelve en la dulce indiferencia del mundo.

142

5

El riesgo

Después de tantas digresiones, exploraciones y comentarios, el lector habrá de perdonarnos que por un momento dejemos la obra de Snorri Sturlasson para hacer una incursióna la saga de Njál el Quemado. Esta es la más tardía, perotambién la más larga y acaso la más lograda de las grandessagas islandesas, último y magnífico florecimiento de un género que debía decaer poco a poco para convertirse en la novela cortesana y el cantar de gesta. La saga de Njal se basaaún en hechos estrictamente históricos puesto que el episodiocentral, el incendio de la finca de Bergthorshvall donde perecieron Najl y sus hijos, está atestiguado por otras fuentes, como por ejemplo el Landnamabok y la batalla campa! que tuvo lugar en el atthing de 1011 durante el proceso referente a!incendio. El autor anónimo de la saga conservó el estilo lapidario que era ya el estilo de Snorri, y la obra en su totalidades un monumento a una civilización que estaba a punto dedesaparecer. Njal ve llegar los acontecimientos y la destrucción final de su familia, así como Odín prevé el Ragnarok, larebelión de los gigantes y el fin del mundo, hechos que es incapaz de impedir.

La amistad entre NjM de Bergthorshvall y Gunnar deHlidárendi es una de las claves de la obra. Gunnar es un héroe, capaz de saltar su propia altura armado de pies a cabezay es un arquero sin igual. Para todo confía en Nj8.l y sólo pretende vivir en paz, pero ni los sabios consejos de uno ni lasbuenas intenciones del otro pueden impedir que un encadenamiento ineluctable de provocaciones, de represalias y devenganzas conduzca a Gunnar a su perdición. Una vez más

http://www.esnips.com/web/Sdentia145

es denunciado por sus enemigos ante el althing, la asambleasuprema, que lo condena a tres años de exilio. Ese exilio notiene nada de deshonroso, pues la posición social de Gunnarse verá hasta fortalecida por el suplemento de gloria y de bienes que él no dejará de traer de su expedición. En cambio, sino parte será declarado fuera de la ley y entonces quedará amerced de sus enemigos, que podrán darle muerte impunemente. Veamos la narración de la partida de Gunnar de HIidárendi; su hermano Kolskegg lo acompaña.

Gunnar hizo transportar hasta la nave sus artículospersonales y los de su hermano. Cuando llegaron todas susprovisíones y el barco estaba dispuesto, Gunnar fue a Bergthorshvall y a las otras propiedades para visitar a la gente yagradecerle el apoyo que le habían prestado todos aquellosque habían estado de su parte.

Al día siguiente, muy temprano, Gunnar se preparó para embarcarse y declaro a todos los de su casa que se marchaba de veras. Todos estaban afligidos pero esperaban queregresaría. Cuando estuvo pronto, Gunnar abrazó a sus gentes y salieron todos para despedirlo. Gunnar plantó su alabarda en el suelo, saltó a la silla y él Y Kolskegg se alejaron.Cabalgaron hasta el Markarfljót. Entonces el caballo deGunnar se encabritó y lo hizo caer de la silla. Estando así,Gunnar fijó sus ojos en las colinas y en la finca de Hlidárendi y dijo: "¡Qué hermosa colina! Nunca me pareció tan hermosa. Los campos dorados, el heno segado... Vaya regresara mi casa y 110 me marcharé". Kolskegg le dijo: "No des a.tusenemigos la alegría de quebrantar los acuerdos. Nadie espera eso de tu parte. Y bien puedes decir que todo ocurrirá como lo indicó Njdl". Y dijo Gunnar: "No me marcharé y quisiera que tú también te quedaras". Kolskegg replicó: "De ninguna manera, 110 obraré vilmente ni en esta ni en ningunaotra circunstancia en que se haya confiado en mí. Esto es loúnico que podría separarnos. Dí a mis parientes y a mi madre que no tengo la intención de volver a ver Islandia puesme enteraré de tu muerte, hermano, yeso no me incitará a


regresar". Y alli se separaron. Gunnar regreso a Hlidárendipero Kolskegg se embarc6 y partió para el extranjero. Hallgerd se alegr6 de ver regresar a Gunnar a su casa, pero lamadre de éste no dijo gran cosa.

"Hallgerd se alegró de ver regresar a Gunnar a su casa,pero la madre de éste no dijo gran cosa." Rara vez se ha idotan lejos en el arte de la atenuación y en la expresión de ladesaprobación. Hallgerd es la mujer de Gunnar, y el lector dela saga ha tenido tiempo de conocer su carácter vengativoy la animosidad que sentía por su marido. No porque lo amase regocija del regreso de Gunnar, sino porque así se le presenta la ocasión de vengarse de él. En cambio, la madre deGunnar, que acaba de ver partir a sus dos hijos sin estar segura de que volvería a verlos antes de su muerte, se encierraen el silencio cuando uno de ellos regresa. Ella sabe, él sabe,todos saben que aquello es un suicidio. La alegría de Hallgerd es indecente, los reproches de la madre también lo serían; y hasta serían inútiles pues Gunnar sabe lo que ellapiensa sin que tenga necesidad de decirlo. La madre andapor la casa muda como el dolor.

Lo cierto es que la decisión de Gunnar tiene el caráctersúbito e irrevocable de las catástrofes naturales. Nada laanuncia. Gunnar está presente en el althing cuando se tratasu causa, asiste a los esfuerzos de NjAl para llegar a un arbitraje y no manifiesta descontento por los acuerdos celebrados.Por el contrario, promete a NjAl que los respetará y hace suspreparativos de marcha. Se despide de las gentes de su casa ysólo por un accidente (una piedra que se desliza o una sombraque pasa) su caballo se encabrita y le ofrece la ocasión de revocar su decisión. Este cambio sobreviene en el peor momentoy hace que su hermano Kolskegg lo abandone; tal vez ésa fuera la única manera de que pudiera deshacerse de ese aliado .indefectible. A partir de ese momento los acontecimientos seprecipitan. En el verano siguiente declaran a Gunnar proscrito en el althing y a partir del otoño sus enemigos organizanuna expedición que finalmente da cuenta de él.


y todo esto porque, por azar, se volvió, porque su miradase posó en la casa donde había vivido como si la viera por primera vez levantarse en la colina, rodeada de campos luminosos y olorosos. ¿Por qué se encabritó el caballo? ¿Dependenrealmente de circunstancias tan insignificantes decisionestan graves? Si el casco del caballo se hubiera posado diezcentímetros más lejos o si los jinetes hubieran pasadodiez minutos después, esa caída no se habría producido o nohabría sido Gunnar quien cayera. El y su hermano habríancumplido los tres años de exilio, habrían regresado al paíscubiertos de gloria y honor y sus enemigos habrían quedadodefinitivamente reducidos al silencio. El asedio de Hlidarendi, donde pereció Gunnar, y el incendio de Bergthorshvall,que consumió a Njál y a sus hijos, no se habrían producido yhoy no leeríamos la saga de Njlll el Quemado.

Gunnar se despide de su madre, de su mujer, de sus hijos, de sus amigos. Cabalga hacia la costa junto con su hermano; en algunos instantes más se encontrarán en el mar yal cabo de unas pocas horas Islandia se habrá borrado de suhorizonte. El alma de Gunnar ya se adelanta hacia las Orcadas o Noruega. ¿Qué destino le espera allá? Un azar, una mirada, y Gunnar cambia de decisión y de destino. Su decisiónes indefendible y él lo sabe, pero es irrevocable y Gunnar seatiene a ella. Sus amigos han hecho lo posible para disuadirlo; en adelante a él no le queda más remedio que rechazar laayuda de sus amigos por el temor de arrastrarlos en su caída. Y todo eso porque la campiña al alborear es hermosa alrededor de Hlidárendi.

La teoría de la decisión quiere que cada cual contempleel conjunto de todos los acontecimientos posibles y les asigneprobabilidades que traduzcan su mayor o menor plausibilidad. Una probabilidad cero significa que el suceso en cuestión se considera imposible de producirse y que, por lo tanto,puede hacerse abstracción de él. En cambio, un suceso deprobabilidad uno se considera de segura realización, es decir,se tiene la seguridad de que el hecho ocurrirá. Las probabílí-


dades intermedias, entre O y 1, indican numéricamente losdiversos grados de certeza, así como las graduaciones del termómetro entre Oy 100 miden la temperatura del agua.

Se pueden considerar esas probabilidades de muchasmaneras. La más natural es apelar a expertos. Así es comocorrientemente se evalúan los riesgos industriales y como seatribuye a sucesos como el "síndrome de China" (la fusión delnúcleo de una central nuclear) una probabilidad que por cierto es ínfima, de 10-' 0 a 1Q-5 según los autores del estudio ysus destinatarios, pero una probabilidad positiva. De maneraanáloga se expresa numéricamente la probabilidad de sufrirun accidente automovilístico en un determinado momento yen un determinado itinerario o la probabilidad de que fracaseel lanzamiento de una nave espacial.

La idea subyacente en estas evaluaciones es la de queun acontecimiento importante como un accidente siempre esel resultado evidentemente catastrófico de un concurso decircunstancias menores, de una urdimbre de pequeñas coincidencias de las cuales ninguna de ellas individualmentetendria importancia, pero cuya malhadada acumulación desencadena fenómenos de otra escala. Hace algunos años, lacentral nuclear de Three Miles Island tuvo un accidente grave porque una compuerta no había quedado bien cerrada,siendo que la lámpara testigo del tablero de mando la indícaba como cerrada. De manera que los operadores trabajaronvarias horas con una imagen falsa de la situación y las medidas que tomaron la agravaron considerablemente. Tratábasede un proceso que por poco que interviniera la mala suerteaun más, por ejemplo que se abriera otra compuerta o que serompiera algún conducto, podria culminar en un accidenteaun más grave y llegar hasta el célebre síndrome chino. Ahora bien, la probabilidad de que una compuerta no se cierrepuede ser evaluada razonablemente por un ingeniero, lo mismo que la probabilidad de que una lámpara testigo no se encienda, de suerte que es posible calcular la probabilidad global de semejante proceso. Confeccionando el catálogo exhaustivo de todos los procesos que pueden determinar el síndromede China y evaluando la probabilidad de cada uno de ellos, sepuede fijar una probabilidad al propio síndrome


de China. Esa probabilidad se convierte entonces en un instrumento de gestión, en el sentido de que permite expresarnumérica y objetivamente el riesgo. 'Ibdo mejoramiento tecnológico que disminuya esa probabilidad disminuye el riesgo.Pero ese mejoramiento no es necesariamente beneficioso,porque puede aumentar otros riesgos, corno el riesgo de contaminación de la atmósfera, que serán expresados numéricamente de manera análoga.

Puede uno asombrarse de ver atribuir así probabilidades a hechos que nunca se produjeron y que deseamos que nose produzcan jamás. Se supone que los sucesos en cuestión sedescomponen en microelementos independientes, cuya realización simultánea es necesaria así corno abrir ciertas puertasnecesita la presencia de tres personas provista cada una deuna llave diferente. Si esas personas pasan a través de lapuerta un día cada diez días y si las fechas en que pasaronson independientes, la probabilidad de que se pueda abrir lapuerta un día dado es 1110 x 1110 x 1/10 = 1/1000, es decirque se la podrá abrir una vez cada tres años. Si la puerta encierra a los cuatro jinetes del Apocalipsis, se podrá considerar que es demasiado grande el riesgo de verlos devastar laTierra cada tres años. Entonces se hará que la puerta tengaocho cerraduras en lugar de tres. El mismo cálculo indicauna probabilidad de abrir la puerta una vez cada 3000 siglos.Corno la historia humana no se remonta a más allá de cincuenta o sesenta siglos, se puede estimar que el fin del mundo se ha desplazado a una fecha razonable.

Pero, en definitiva, la teoría de las decisiones no requiere en modo alguno que se tengan bases objetivas respecto delas probabilidades sobre el futuro. Puedo estar perfectamenteconvencido de que el fin del mundo se producirá mañana porla mañana. Atribuiré a ese suceso la probabilidad 1 y obraré en consecuencia. Esta es una probabilidad subjetiva; novale ni por la fuerza de las razones que aduzco ni por el número de personas que la comparten, sino que vale por miconvicción íntima. Si mañana no ocurre nada, me veré obligado a revisar esta probabilidad, pero mientras tanto elladeterminará mi conducta. Y lo cierto es que en todos los cambios de era o de siglo vernos surgir a milenaristas que predi-


cen el inminente fin del mundo, mientras sus adeptos abandonan sus bienes terrestres y se preparan para el retorno delSeñor. No porque una convicción sea irracional tiene menosfuerza y no porque una probabilidad sea subjetiva deja de determinar la decisión.

Así puedo evaluar la probabilidad de sucesos sobre loscuales sólo dispongo de informaciones muy imperfectas.¿Quién no ha oído esas conversaciones de café en las que sedesenmascara a los culpables de crímenes no castigados y enlas que le comunican a uno la enfermedad secreta y la próxima muerte de hombres políticos eminentes? Sin duda los quepropalan esos rumores les asignan algún crédito, y en ese caso dichos rumores deben repercutir en las predicciones y decisiones de quienes los difunden. Hasta puedo atribuir unaprobabilidad a hechos sobre los cuales no dispongo de ninguna información. Si he de apostar sobre un partido de pelotavasca y si mi única información es el nombre de los jugadores, echaré una moneda a cara o cruz, es decir que atribuiréa cada uno una probabilidad igual de ganar. Si se trata deuna final de tenis, tengo la posibilidad de que los nombresme digan algo, y en ese caso saldré del equilibrio 50% - 50%que no hace sino traducir mi falta de información. Puedo irun poco más lejos y preguntarme qué confianza tengo en misprobabilidades subjetivas, es decir, evaluar la fuerza de misconvicciones. Si estoy seguro de mí mismo, si por ejemplo losjugadores están lejos uno del otro en la clasificación ATP, responderé que mi evaluación es probablemente exacta y hastapodré negar a expresar numéricamente esta probabilidad.Así se producen respuestas complejas de este tipo: "Piensoque X tiene un 90% de posibilidades de imponerse a Y, y, teniendo en cuenta elementos de que dispongo, estoy seguro enun 60% de lo que manifiesto".

Es claro que aquí el lenguaje probabilista traduce dos situaciones diferentes y que su precisión se adapta mejor al tenis que a la pelota vasca. Cuando digo que X tiene un 90% deprobabilidades de vencer a Y me refiero a un modelo matemático en el que las suertes de que depende el resultado delpartido han sido identificadas y pesadas, de manera que lacifra 0,9 aparece como el resultado de un cálculo, tal vez su-


mario pero siempre necesario. En una situación ideal en laque yo conociera íntimamente a X y a Y y en la que dispusiera de todos los elementos de apreciación, llegaría ciertamentea una evaluación bastante exacta de las posibilidades de cada jugador. En el otro extremo, si no conozco ni a X ni a Y ysi ni siquiera he oído hablar de ellos, no poseo ninguna información que me permita decidir en un sentido o en el otro. Esto es lo que llamaré (siguiendo a numerosos psicólogos quehan trabajado sobre el tema) una situación de "desconocimiento" o de "ignorancia", en tanto que la situación anterior,en la cual uno dispone de un modelo probabilista exacto, secalificará como "aleatoria" en recuerdo del juego de dadosque en latín se dice alea.

En la práctica, lo más frecuente es que nos encontremosen situaciones intermedias entre estos dos extremos. Entonces hablaremos de situaciones "inciertas". Esto es lo que expresaba quien decía que estaba seguro en un 60% de lo quemanifestaba. Se situaba más cerca de lo aleatorio que de laignorancia, en una escala continua que iba de una esfera ala otra. También se puede realizar la transición entre lo aleatorio y la ignorancia haciendo juegos de sorteo. Por ejemplo,se organizan dos encuentros, el primero entre dos jugadoresa quienes conozco perfectamente bien (situación puramentealeatoria; estoy seguro en un 100% de mi modelo) y el otroencuentro entre dos jugadores de los que no sé nada (situación de ignorancia total; no tengo ninguna confianza en mimodelo). Se echará a suertes para decidir cuál tendrá efectivamente lugar. Me encuentro entonces en situación de incertidumbre, y el nivel de ésta depende de las probabilidadeselegidas. Si la primera partida entre diez posibilidades de salir tiene seis posibilidades, diré que estoy seguro en un 60%de mi modelo o que mi nivel de confianza es del 60%.

De manera que es posible pasar continuamente de loaleatorio puro a la ignorancia total a través de todos los grados de la incertidumbre y es posible expresar numéricamenteesos grados mediante probabilidades. La toma de decisión enun futuro incierto puede, pues -en principio por lo menosser enteramente reducida al cálculo de probabilidades. Elejemplo caricaturesco es la apuesta pascaliana a la existen-


cia de Dios, al menos como la han entendido los autores demanuales. La probabilidad de que Dios exista es por ciertodébil (tal vez 10-10) , pero las ventajas que obtendríamos de laexistencia de Dios son tan grandes (una eternidad de felicidad, o sea, tal vez un 101000 en unidades que hay que precisar), que la ganancia (10-10 x 101000 = 10100, una cifra más querespetable) debe incitamos a obrar como si Dios existiera.El otro término de la apuesta, afectado por una probabilidadmucho mayor (1 - 1010; digamos 1 para no contar los decimales) pero de un beneficio mucho más débil (en el mejor delos casos, 100 años de felicidad, o sea 102 en las mismas unidades que antes) conduce a una esperanza de ganancia de1 x 102 = 102, cifra muy inferíor a la prímera. Rindamos justicia a Pascal y hagamos notar que probablemente esta interpretación no fuera la suya.!

Desafortunadamente las cosas no son tan simples, porque el ser humano manifiesta por lo común aversión a! riesgo. En la situación que acabamos de describir, la gananciapotencial es ciertamente inmensa, pero la probabilidad de alcanzarla es tan débil que la apuesta se manifiesta en definitiva poco interesante, especialmente teniendo en cuenta laimportancia de la inversión inicia! (probablemente toda unavida de renunciamiento y de ascetismo). Podrá uno muy bienestar dispuesto a apostar un franco en la proporción de ciento a uno. Pero se vacilará más en apostar 1000000 de francosen las mismas condiciones. Este género de aversión al riesgoes bien conocido por economistas y financistas y la sabiduríapopular ha creado un proverbio: más vale pájaro en manoque cien volando. Por eso una inversión considerada arriesgada, una obligación de pacotilla o las acciones de una compañía endeble deben ofrecer un rendimiento más elevado queel rendimiento de las inversiones consideradas seguras osimplemente menos arriesgadas, porque de otra manera esascompañías no podrían coexistir en los mismos mercados fi-

1 Pascal, Pensées, compilación de Jacques Chevalier; en Oeuvrescompletes, París, Gallimard, colección "La Pléiade", especialmente el Diecurso de Filleau de la Chaise (págs. 1474-1501).


nancieros. Del rendimiento calculado se sustrae una "primade riesgo" que es tanto mayor cuando el riesgo en cuestión seconsidera más elevado.

Pero a esta aversión por el riesgo se agrega una aversiónpor la incertidumbre, que es de otra naturaleza y mucho másdificil de expresar en cifras. Si se enfrentan dos jugadoresiguales a los que conozco como tales, atribuiré a cada uno un50% de posibilidades de ganar. En el caso de un partido entredos desconocidos también llegaré a la conclusión de la igualdad de posibilidades, pero me encontraré en una situaciónmucho más incómoda. En realidad, como lo muestra una experiencia de psicología célebre debida a Ellsberg.s la aplicación del formalismo probabilista a situaciones de incertidumbre conduce a paradojas.

La experiencia de Ellsberg es la siguiente. Se presentana los sujetos dos urnas, cada una de las cuales contiene 100bolillas, y se les anuncia que la primera urna contiene exactamente 50 bolillas rojas y 50 bolillas negras; en cuanto a lasegunda urna, se dice simplemente que contiene sólo bolillasnegras y/o bolillas rojas, sin precisar en qué proporción.

Se realizan pues las apuestas por la primera urna. Lossujetos eligen un color y luego se extrae una bolilla. Los queadivinaron ganan $100, los demás no ganan nada. La experiencia demuestra que la mayor parte de las personas apuestan indiferentemente al rojo o al negro, es decir, que sus probabilidades subjetivas son 0,5 y 0,5.

Luego se realizan las apuestas sobre la segunda urna.Las condiciones de apuesta son las mismas, pero esta vez lossujetos no tienen ninguna información sobre el contenido dela urna, salvo el hecho de que la bolilla que salga será negrao roja. Trátase pues de una situación de ignorancia respectode la primera que era una situación aleatoria. De conformi-

2 D. Ellsberg, "Risk, ambiguity and the Savage axioms', QuarterlyJournal ofEconomics 75, 1961, págs. 643-669; y Reply, 77, 1963, págs. 336342. Véase también H. Einhor y R. Hogarth, "Decision making under ambiguity"; en Rational Choice, Hogarth and Reder (comps.), University ofChicago Press, 1986, págs. 41-66.


dad con la teoría, la mayoría de las personas apuestan indiferentemente al rojo o al negro, es decir, que también les atribuyen probabilidades subjetivas de 0,5 y 0,5.

Y aquí llega por fin la paradoja. Se hace una tercera sesión de apuestas. Se ganan $100 en el caso de salir una bolilla roja, no se gana nada si sale una bolilla negra, pero el sujeto tiene derecho a elegir la urna de donde se saque la bolilla. Como las probabilidades subjetivas son las mismas paralas dos urnas y como los sujetos estiman, por lo tanto, que enun caso como en el otro tienen de dos posibilidades una deganar, la teoría exigiría que los sujetos eligieran indiferentemente una u otra urna. Pues bien, no ocurre nada de eso: lamayoría expresa una pronunciada preferencia por la primeraurna (aquella en que son conocidas las proporciones de lasbolillas). Esta preferencia es aun más marcada si se trata deperder $ 100 en lugar de ganarlos, pero en este caso se encuentran menos voluntarios. Ocurre, pues, como si la ignorancia fuera un factor de riesgo adicional que las probabilidades subjetivas por sí solas no llegan a tener en cuenta.

De todo este análisis se desprenden dos cuestiones. ¿Quées el riesgo? ¿Cómo dominarlo? Nosotros distinguimos unriesgo aleatorio, que procede naturalmente de los métodoshabituales del cálculo de probabilidades, y un riesgo de ignorancia, debido a una falta de información sobre lo que puedaocurrir. Esta distinción no resistirá a un análisis fino (¿acasoel azar no es sino la expresión de nuestra ignorancia?), perotiene una gran importancia práctica. La experiencia muestraque el ser humano está más dispuesto a aceptar el riesgoaleatorio que el riesgo de ignorancia, aun cuando en la mayorparte de las situaciones concretas ambos riesgos se presentenjuntos. La sabiduría popular nos enseña que "más vale lomalo conocido que lo bueno por conocer", y el poeta nos lo díce asimismo por boca del príncipe de Dinamarca:

"Porque, ¿quién aguantaría los ultrajes y desdenesdel mundo, las injurias del opresor, las afrentas del


soberbio, las congojas del amor desairado, lastardanzas de la justicia, las insolencias del poder ylas vejaciones que el paciente mérito recibe delhombre indigno, cuando uno mismo podría procurarsu reposo con un simple estilete? ¿Quién querríallevar tan duras cargas, gemir y dudar bajo el peso deuna vida afanosa si no fuera por el temor de un algodespués de la muerte -esa ignorada regi6n cuyosconfines no vuelve a traspasar viajero alguno--,temor que confunde nuestra voluntad y nos impulsa asoportar aquellos males que nos afligen antes quelanzarnos a otros que desconocemos?"3

Y, en realidad, si los individuos y los pueblos afrontandiariamente riesgos importantes con tal de que la experiencia les haya fijado límites, siente uno a los individuos muchomás desarmados desde el momento en que se trata de afrontar lo desconocido. La vida humana está hecha de riesgosaceptados. El hombre primitivo que vive de la recolección delos frutos de la tierra o de la caza no sabe si mañana encontrará algo para comer. El campesino que siembra hoy no sabesi, dentro de seis meses o un año, la cosecha le compensarásus trabajos. El comerciante que repone sus existencias nosabe si las venderá. Cada uno de estos riesgos se sitúa en unmodelo experimentado, transmitido de generación en generación, modelo que asigna límites a lo posible y determina algunas probabilidades. El campesino conoce por experiencia o deoídas las diversas calamidades que pueden atacar su cosecha, las heladas y las sequías, las inundaciones y los incendios, los saltamontes y las enfermedades de las plantas. Yhasta puede imaginar cosas peores, como las diez plagas deEgipto, por más que éstas no se hayan reproducido según elrecuerdo de los hombres. Pero ese campesino sabe que el cielo no le caerá sobre la cabeza. Sabe también que todas esascalamidades tienen pocas probabilidades de realizarse y queincluso se las puede reducir tomando ciertas precauciones y

3 Shakespeare, Hamlet, Acto IlI, escena 1.


practicando ciertos ritos, como lo atestigua el simple hechode que él esté ahora cultivando la misma tierra después detantas generaciones. Esto quiere decir que hay una posibilidad razonable de supervivencia, como la tuvieron sus antepasados antes que él, de manera que si este año se anunciamalo, el año siguiente sin duda habrá de ser mejor.

Represéntese ahora el lector la irrupción de los conquistadores en el imperio incaico. La sociedad india estaba acostumbrada a correr cierto número de riesgos; era una sociedadcampesina y los riesgos agrícolas le eran familiares; era también un imperio que se había establecido mediante la conquista, de manera que los riesgos militares no le eran desconocidos. Parece que esa sociedad no supo enfrentar el nuevoriesgo representado por esos seres barbudos y acorazadosque montaban en animales desconocidos y manejaban extrañas lanzas de truenos; su manera de combatir desafiaba lasleyes corrientes de la humanidad. Las razones de ese derrumbe desaparecieron con Atahualpa y millones de sus súbditos, pero parece plausible que esas razones tengan que vercon una incapacidad psicológica de correr ciertos riesgos. Mejor es someterse que combatir a un adversario cuya potenciase desconoce.

En general, no pensamos que un campesino o un comerciante, que sin embargo corren diariamente ciertos tipos deriesgos, tengan necesidad de ser valientes. En cambio, el personaje del explorador es el arquetipo del coraje. ¿Por qué?Porque el explorador penetra en esa terra incognita, en esaparte de los mapas geográficos que queda en blanco y cuyavista suscita en nosotros tal malestar que los cartógrafos prefieren adornarla con viñetas o ceñirla con una inscripción:Hic sunt leones. Una información de este género, por fantasiosa que sea y por más que se la reconozca como tal, es mástranquilizadora que la falta de toda información. Y sin embargo esa zona que queda en blanco en el mapa es tal vez ElDorado, donde el menor río arrastra pepitas de oro, o es elpaís mítico que el Eterno prometió a su pueblo y donde manan la leche y la miel. El explorador se encamina tal vezhacia la fortuna; ¿por qué imaginar siempre lo peor si no esporque tememos lo desconocido?


Vemos, pues, dibujarse dos zonas de riesgo: el dominio delo aleatorio, en el que impera el cálculo de las probabilidades,y el dominio de lo desconocido, donde la única regla es la prudencia. Sin duda esto bastaria para dar una imagen coherente de las decisiones humanas, si la frontera entre estos dominios no fuera imprecisa y el cálculo de probabilidades no sehubiera impuesto poco a poco como un instrumento universal.Por ejemplo, en la evaluación de los riesgos relacionados conlas centrales nucleares, la comunidad política y téc-nica, apoyándose en modelos probabilistas, se opone a la opinión pública, que tiende a ser mucho más prudente. ¿Se trata simplemente de falta de información o falta de competencia por parte del público? ¿O es que el público duda de la validez de losmodelos probabilistas? La importancia de este problemajustifica ciertamente que le dediquemos algunas páginas.

La primera observación que debemos hacer es que, condemasiada frecuencia, cuando se hacen públicas las estimaciones oficiales de las probabilidades de accidentes, esas estimaciones están en abierta contradicción con las frecuenciasobservadas. El ejemplo más célebre es el de la NASA, que en1985 estimaba la probabilidad de un accidente en la proporción de 1 a 100 000,' siendo que estudios anteriores habíanllevado a la conclusión de una probabilidad del orden de 1 a100 y que el cohete portador estalló en el vigesimoquinto lanzamiento. No conozco las evaluaciones oficiales (si es que sehan publicado), pero dudo de que la probabilidad de un accidente en Three Miles Island o en Chernobyl haya sido estimada en su valor real. Y por fin, recordemos que el Titanicno podía irse a pique; la probabilidad de que se hundiera nisiquiera era ínfima, era nula.

Uno puede siempre sospechar de políticos ambiciosos ode ingenieros fanáticos que falsean las cifras para imponersus proyectos; pero, aun en circunstancias en las que no existen intereses materiales, las probabilidades de fracaso calculadas por personas competentes y de buena fe pueden reve-

• Space Shuttle Data for Planetary Misoion RTG Safety Analyolo, NASA, Marshall Space Flight Center, AL, 15 de febrero de 1985.


larse sistemáticamente subvaluadas. Un artículo recienteéexamina veintisiete mediciones de la velocidad de la luz publicadas entre 1875 y 1958. Cada una de ellas iba acompañada, como de costumbre, por una estimación del error propuesta por el propio experimentador: el artículo da un tipo dedesviación que permite, en el caso de toda cantidad e, calcular la probabilidad de que el valor medido se aparte del valorexacto en más de e. Si se hace el cálculo tomando para e la diferencia entre el valor medido y el valor de 1984, consideradotan exacto que sirve hoy de patrón de longitud, encontramosen cada caso probabilidades inferiores al 0,5%. En otras palabras, si aceptamos las evaluaciones de los sucesivos experimentadores, hay que convenir en que los hechos se coaligaron realmente contra ellos para falsear sus resultados: sehabría repetido veintisiete veces seguidas un hecho que sobre mil posibilidades de producirse tenía menos de cinco.

La segunda observación es que lo imprevisto existe yque el error muy frecuentemente es humano. En Brasil y en1987, en la ciudad de Goiana, dos vendedores de hierro viejodescubrieron en una clínica abandonada una cápsula quecontenia alrededor de 100 gramos de un polvo fosforecente.Se trataba de cesio 137, radiactivo, que se encontraba así liberado en medio de la población de manera totalmente imprevista. Cuando por fin se puso freno a la diseminación, endiciembre de 1987, había 121 casos de contaminación consignados; cuatro de ellos resultaron mortales, y más de 100000habitantes se habían presentado a exámenes de control de laradiactividad. El temor de la contaminación registrado en losmercados exteriores había hecho caer a la mitad de su valorla producción agrícola del estado de Goiás, y la producción industrial había sufrido igualmente. En suma, costos humanosy económicos considerables por un riesgo que nadie teníaconciencia de haber corrido. Y bien se pueden imaginar, partiendo del descubrimiento inicial, hechos aun más catastróficos. ¿Qué habría ocurrido, por ejemplo, si el cesio 137 hubie-

5 M. Henrion y B. Fischhoff, en American Journal ofPhysics, 54, 1986,pág. 791.


ra caído en manos de extorsionadores y si Brasil hubieratenido que afrontar la amenaza de una contaminación organizada?

La experiencia demuestra que en materia nuclear elriesgo escapa en gran parte a la medición. En Three Miles Island como en Chernobyl, fueron hechos imprevistos los quecondujeron al accidente, con la cooperación involuntaria delos operadores de la central. Se puede hablar de error humano, pero esto significa transferir directamente la responsabilidad de quienes concibieron la central hacia sus operadores.La falla humana debería integrarse en los mecanismos de seguridad y en los cálculos de confiabilidad, lo mismo que lasfallas técnicas. Desde este punto de vista, un accidente debido a un error de los operadores es mucho más grave que unaccidente debido a una falla técnica, pues si el error o la negligencia pueden hacer tanto daño, ¿qué no podría hacer lamala voluntad? Se podría pensar en eliminar estos riesgosconcibiendo centrales enteramente automáticas, pero el riesgo humano no se limita a los operadores ni mucho menos.Después de todo, los ingenieros pueden engañarse, los expertos pueden mentir, los vigilantes pueden dormirse. Quienestoman las decisiones -y el público también- deben tomaren consideración todos estos riesgos y corresponde que lostécnicos los aprecien.

Hay que comprender que un solo riesgo descuidado o pasado por alto puede invalidar todos los cálculos de confiabilidad realizados sobre los riesgos restantes. Además, los factores que agravan un riesgo predominan ampliamente sobrelos factores que tengan tendencia a disminuirlo. Imaginemos,por ejemplo, una central en la que la probabilidad de accidente fuera estimada en 1/1000000, una proporción de uno aun millón. Imaginemos que se hayan olvidado dos factores deriesgo, uno que multiplique el riesgo por 1000 y otro quelo disminuya en las mismas proporciones. De maneraque durante un 10% del tiempo la central funciona en realidad con una probabilidad de accidente de 111000, duranteotro 10% del tiempo con una probabilidad de accidente de111000000000 y durante el 80% restante del tiempo con laprobabilidad estimada antes, esto es, 111000000. Un cálculo


simple muestra entonces que la probabilidad real de accidente es del orden de 1/10000 (una proporción de uno a diezmil). Esta probabilidad es más o menos insensible a todo loque se pueda hacer para disminuir los riesgos conocidos. Sipor ejemplo un trabajo estricto y asiduo sobre las normas deseguridad reduce la probabilidad de accidente durante el90% del tiempo en el que el riesgo pasado por alto no opera, a1/1000000000 (una proporción de uno a mil millones en lugar de uno a un millón), la probabilidad real de accidente será más o menos de 1/10000.

A estas consideraciones poco alentadoras hay que agregar otra. Lo cierto es que en la historia de la humanidadnunca se han tomado decisiones que comprometan el futuropor tan largo tiempo. La industria nuclear produce desechosque continuarán siendo extremadamente peligrosos durantediez mil años por lo menos. Los desechos que no se han perdido (pues eso también ocurre) o que no vuelven a ser tratados se depositan en sitios especiales, minas abandonadas ocavernas graníticas, donde en principio permanecen en constante vigilancia. Pero diez mil años representan dos veces laedad de la escritura, dos veces la duración de la historia humana. Imaginemos que remotos antepasados en la noche delos tiempos, mucho antes de las primeras dinastías egipcias ochinas, mucho antes del nacimiento de las actuales religiones, nos hayan legado sepulcros que no hay que abrir y a losque ni siquiera debe uno acercarse. ¿Habrá permanecido fiella guardia durante esta larga sucesión de imperios, de guerras y de calamidades? ¿Se habrá transmitido la orden? ¿Sehabrá perpetuado el recuerdo? ¿O algún conquistador los habrá hecho abrir ante él para desafiar la leyenda?

Sin duda podemos acariciar la esperanza de que losdesechos nucleares no permanezcan depositados diez milaños, la esperanza de que mucho antes las generaciones futuras hayan encontrado una manera de curar el cáncer, unavacuna contra el SIDA, el secreto de la juventud eterna y elmedio de desembarazarnos de nuestras inmundicias. Esasgeneraciones tratarán esos desechos en establecimientos nocontaminantes o los enviarán al espacio exterior a bordo decohetes que no exploten en vuelo. Esos mismos aparatos se-


rán sin duda muy cómodos para reconstituir la capa de ozonoy esperaremos con curiosidad para ver cómo nuestros descendientes se las compondrán para disminuir el contenido degas carbónico de la atmósfera.

La verdad es que la civilización industrial avanza sinmedir los riesgos que corre y sin concebirlos de manera global. Ciertamente se podría prohibir la energía nuclear, peroquemar combustibles fósiles tampoco es bueno y hasta las represas de aprovechamiento hidroeléctrico tienen sus inconvenientes. Lo que aquí se plantea es el problema de las fuentesde energía del planeta junto con tantos otros problemas queno llaman suficientemente la atención. ¿Dónde y cuándo sedetendrá la epidemia de SIDA? Ya en ciertos países africanosla tercera parte de la población está infectada. ¿Hemos pensado en todas las consecuencias de esto? Hace más de cuarenta años poblaciones enteras fueron expulsadas de sus tierras y viven en campos de refugiados. Permitiendo que seperpetúe este género de situación, generación tras generación, creamos deliberadamente riesgos históricos mayores.¿Quién los ha medido? ¿Quién los tiene en cuenta?

Andamos como anestesiados entre los riesgos que nosotros mismos creamos. De vez en cuando un accidente nossacude y nos saca de nuestro sopor, y entonces echamos unamirada al precipicio. Un accidente en Chernobyl y ya no bebemos más leche; un actor muere de SIDA y los policías comienzan a usar guantes; se produce una revolución popular ynos vamos a pasar las vacaciones a otro lugar. Como Gunnarde Hlídárendi, que cobró conciencia de sí mismo por una caída de caballo. Pero su gesto tenía otra grandeza.

El estar expuesto a correr riesgos no es siempre el resultado de un cálculo. En materia económica, como ya lo hacíanotar Keynes:" "Si la naturaleza humana no sintiera el gustopor el riesgo, si no experimentara más que una satisfacciónpecuniaria al construir una fábrica o un ferrocarril, al explotar una mina o un establecimiento agrtcola, las inversiones

6 A General Theory ofEmployment, Interest and Money, capítulo 12, m.


justificadas s610 por un cálculo de rentabilidad no habríantenido sin duda semejante extensi6n". Un poco antes Keyneshabía declarado que "cuando las empresas estaban en sumayor parte en manos de quienes las habían creado o de susamigos y socios, la inuersion dependía de una suficienteabundancia de individuos de temperamento sanguíneo y deespíritu constructivo que se lanzaban a los negocios paraocupar sus existencias sin apoyarse realmente en un cálculopreciso de las utilidades con que se contaba".

¿Por qué los atenienses, en Maratón y luego en Salamina, corrieron el riesgo de enfrentar solos a un enemigonumerosísimo ante el cual tantas ciudades griegas habíancapitulado, en tanto que los lacedemonios se atrincherabanen el Peloponeso? Escuchemos con qué orgullo, medio siglodespués de los acontecimientos, los embajadores atenienseshablan a los lacedemonios en Esparta: "Nosotros declaramosque, solos, en Marat6n afrontamos al bárbaro y que cuandoéste regreso, no viendo c6mo podíamos defendernos en la tierra, nos hemos embarcado en nuestras naves con todo nuestro pueblo y hemos librado la batalla de Salamina junto anuestros aliadosí.t Por dos veces los atenienses aceptaron correr ese riesgo. Si su empresa hubiera fracasado ya nadie habría oído hablar nunca más de los atenienses. Pero la empresa triunfó y todavía se habla de ella veinticinco siglos después. Esquilo, el autor de tantas obras maestras, no quiereotro título de gloria sobre su tumba que el hecho de habercombatido en Maratón: "En la fértil Gela, esta tumba encierra a Esquilo, hijo de Euforián, ateniense. Ahora está muerto. Pero el lugar glorioso de Marat6n puede atestiguar su valor y el medo de largos cabellos hubo de experimentarlo".

Se trata de casos en los que la conducta parece dictada,no por cálculos de utilidad, sino por imperativos morales que,una vez aceptados, no dejan lugar a ninguna otra opción. Enel caso del soldado que libra un combate desesperado, ese imperativo será el sentimiento del honor o la solidaridad con

7 Tucídides, libro 1, capítulo 73.


sus compañeros de armas. Para el capitalista, animado por laética protestante, será el sentimiento de que el dinero debefructificar, como en la parábola de los talentos. A partir delmomento en que la conciencia se limita a una regla de decisión, sin considerar las alternativas, desaparece el conceptomismo de riesgo para dejar lugar al de destino. Cuando Gunnar cae del caballo y decide permanecer en su tierra, no pesael pro ni el contra; lo que se le impone es su destino. Ya no recorrerá los mares, desterrado a causa de las intrigas de susenemigos, aunque deba regresar dentro de tres años. En adelante su principal preocupación será la de no arrastrar a susamigos en su caída, y morirá en su tierra con las armas en lamano.

'Iodo problema de decisión tiene una dimensión moral ycuanto más grave es la decisión más importante es esa dimensión. Como decía Albert Camus: "No hay azar en elegirlo que a uno lo deshonra".

164

6

La estadística

"Entonces Faraón dijo a José: 'en mi sueño me parecíaque estaba a la orilla del rio; y que del rio subtan. siete vacasde gruesas carnes y hermosa apariencia, que pacían en elprado. Y que otras siete vacas subtati después de ellas, flacasy de muy feo aspecto; tan extenuadas, que no he visto otrassemejantes en toda la tierra de Egipto. Y las vacas flacas yfeas devoraban a las siete primeras vacas gordas; y éstas entraban en sus entrañas, mas no se conocía que hubiesen entrado, porque la apariencia de las flacas era aún mala, comoal principio. Y desperté. Vi también soñando que siete espigas crectan en una misma caña, llenas y hermosas. Y queotras siete espigas menudas, marchitas, abatidas por el viento solano, creetan después de ellas; y las espigas menudas devoraban a las siete espigas hermosas; y lo he dicho a los magos, mas no hay quién me lo interprete'.

Entonces respondió José a Faraón: 'El sueño de Faraónes uno mismo; Dios ha mostrado a Faraón lo que va a hacer.Las siete vacas hermosas siete años son; y las espigas hermosas son siete años: el sueño es uno mismo. También las sietevacas flacas y feas que subian tras ellas son siete años; y lassiete espigas, menudas y marchitas por el viento solano, sieteaños serán de hambre. Esto es lo que respondo a Faraón. Loque Dios va a hacer, lo ha mostrado a Faraón. He aqut quevienen siete años de gran abundancia en toda la tierra deEgipto. Y tras ellos seguirán siete años de hambre; y toda laabundancia será olvidada en toda la tierra de Egipto, y elhambre consumirá la tierra. Y aquella abundancia no seechará a ver, a causa del hambre siguiente, que será grauisi-


ma. Yel suceder el sueño a Fara6n dos veces significa que lacosa es firme por parte de Dios, y que Dios se apresura a hacerla. Por tanto, provéase ahora Fara6n de un var6n prudente y sabio, y p6ngalo sobre la tierra de Egipto. Haga esto Fara6n, y ponga gobernadores sobre el país, y quinte la tierrade Egipto en los siete años de la abundancia. Y junten todala provisi6n de estos buenos años que vienen, y recojan el trigo bajo la mano de Fara6n para mantenimiento de las ciudades; y guárdenlo. Y esté aquella provisi6n en dep6sito parael país, para los siete años de hambre que habrá en la tierrade Egipto; y el país no padecerá de hambre',"!

La tierra escandinava era dura con sus hijos, que bienpronto aprendieron a lanzarse al mar, más rico en recursos ypromesas. La pesca y la piratería, las expediciones de conquista o de descubrimiento, ése era el universo de los vikingos. El jefe es aquel que lleva a sus hombres a la victoria. Elpoderío del reyes ante todo militar, el tributo y el saqueo sonlas fuentes de su riqueza. La mala estación es aquella en queresulta imposible la navegación.

Desde las ricas tierras de Egipto y tal vez desde la Mesopotamia (dos milenios antes de que los hombres del Norteentren en la historia) nos llegan los mitos fundadores de laagricultura y los métodos de gestión que aún hoy aplicannuestros gobiernos. Verdad es que la Escandinavia conocióperíodos de hambre. Snorri Sturlasson cuenta cómo Domalde, uno de los reyes míticos, uno de los primeros descendientes de Odín, fue sacrificado después de tres malas cosechasconsecutivas:

"Domalde sucedi6 en el trono a su padre Visbur y rein6en el país. Fue aquel un período de hambre y miseria. Lossuecos organizaron entonces grandes sacrificios en Upsala.El primer otoño sacrificaron toros, pero la cosecha no mejoropor eso; en el otoño siguiente sacrificaron hombres y la cose-

1 Génesis XL1, 17-36.


cha permaneció en el mismo nivel o peor aún. En el tercerotoño los suecos acudieron masivamente a Upsala para celebrar los sacrificios; los jefes se reunieron en un consejo y convinieron en que aquellos malos años se debían a Domalde, elrey, y en que debían apoderarse de él y sacrificarlo para obtener mejores cosechas; convinieron en prenderlo, en darlemuerte y en untar con su sangre las piedras de sacrificio. Yasí lo hieieron.":

La responsabilidad del reyes aquí de orden mágico y ceremonial. Nos encontramos en ese período sombrío en el queel recuerdo de Odín está todavía vivo y en el que poco a pocola historia se va desprendiendo del mito. Una cosecha es elresultado visible de un juego complejo entre la sociedad humana y las potencias sobrenaturales que controlan la fertilidad del suelo, juego en el que el rey desempeña un importante papel. Tal vez Domalde haya sido víctima del seid, puestoque su suegra le había lanzado una maldición. Tal vez hayatenido que pagar el hecho de haber utilizado el seid contra supropio padre, el rey Visbur, a quien sorprendio y quemó ensu residencia. Lo cierto es que aquel sacrificio dio los frutosesperados, puesto que su hijo Domar reinó después de él ySnorri precisa que vivió largamente y que el país gozó deabundancia y tranquilidad durante todos sus largos días.

La historia de José nos presenta otro orden de responsabilidad burocrática y temporal. El faraón se interesa por loque haya de ocurrir dentro de catorce años; quiere prevenir losmales que se anuncian y tiene los medios materiales para hacerlo. Establecerá un impuesto especial del 20% en especie sobre los productos agrícolas y almacenará esa porción durantelos siete años de abundancia. Un cuerpo de funcionarios especialmente creado y dirigido por un ministro con plenos poderessupervisará las operaciones. Para fijar las ideas, digamos quela cosecha llegará a un 125% más allá del nivel normal durante los siete años de abundancia y que llegará a un 75% del nivel normal durante los siete años flacos. La distribución que

2 Heimskringla, Ynglinge-Saga, párrafo 15.


propone José conduce, pues, a consumir 125 - 25 = 100% delnivel normal durante el primer período, y 75 + 25 = 100%del nivel normal durante los últimos siete años. La operaciónda buenos resultados y es en efecto un gran éxito, por lo menos para el faraón, que se procuró grano gratuitamente y lorevendió a precio de oro (Génesis XLI, 56-57).

Es evidente que una operación de este género exige unaburocracia importante que siempre estuvo muy fuera del alcance de los reyes vikingos. Hay que registrar la producción,crear una red de almacenes reales, hacer depositar allí el20% de la cosecha durante siete años, asegurar su conservación y llevar las cuentas; luego hay que revender las existencias a un ritmo suficiente para resistir siete años, lo cual impone tener una idea relativamente precisa de las necesidadesde la población. Además de los habituales soldados, corchetesy agentes del fisco, será asimismo necesario un ejército decontadores y de estadígrafos. El faraón, que crea un cuerpoespecializado, no se engaña sobre este particular. Sus escribas practicarán el cálculo económico.yla contabilidad analítica y el control de gestión; por otra parte se valdrán de sucompetencia técnica para llegar al poder político, a semejanza del propio José, convertido en Saphnat-Panéah y ministrodel faraón: [una hermosa carrera!

Aun en tiempos normales el gobierno de los dos reinos deEgipto (Bajo y Alto) se imponía manejar los recursos futuros yeso suponía una administración poderosa, capaz de delinearuna política de largo plazo, de aclararla mediante predicciones y de imponerla inmediatamente. La economía era esencialmente agrícola y el país vivía según el ritmo de las crecidas del Nilo. De manera que regularmente era necesarioevaluar la nueva cosecha, de un extremo al otro del país, estimar si sería suficiente, si había que almacenar una parte o sipor el contrario había que echar mano de las reservas, llevaruna contabilidad exacta de las entradas y de las salidas y tratar de adivinar cómo sería la próxima cosecha para administrar eficazmente los vaivenes del consumo del momento.

José le simplifica al faraón considerablemente el problema, puesto que le predice de manera cierta cómo serán, no lapróxima cosecha, sino las catorce siguientes. En función de


ese pronóstico no hay necesidad de ser un gran economistapara decidir la política que debe seguirse: economizar durante los siete años abundantes para redistribuir la produccióndurante los siete años dificiles. Pero el problema concreto,cuando uno no se beneficia con la ayuda directa del Altísimo,está en que no sabe cómo será el mañana. Si la cosecha esbuena este año, no se sabe si será buena o mala el año siguiente y, por lo tanto, si hoy conviene almacenar o consumir.y si dos cosechas seguidas son buenas, no por eso estamos enmejor posición: ¿hay que continuar almacenando en previsiónde los malos días que tardan en llegar o puede uno entregarse libremente a los goces del consumo?

Sin esa premonición, el faraón puede atenerse a algunasrecetas probadas. La primera, muy en boga aún hoy, consisteen ampliar el territorio de uno mediante la conquista y laanexión. Al hacerlo se diversifican los riesgos y así se disminuyen. En efecto, las otras tierras agrícolas de la MedialunaFértil, Palestina, el Líbano, Siria hasta la Mesopotamia noestán sometidas a las mismas vicisitudes que Egipto. Lasuerte de esas regiones depende en definitiva de las lluviascaídas en la doble cadena costera del Líbano y del Antelíbano, y no de las precipitaciones caídas en el remoto macizo etíope que alimenta al Nilo. Más lejos aun, en la Mesopotamia,tenemos un sistema de irrigación alimentado por el Tigrís yel Eufrates, que descienden del macizo de Capadocia. Treseconomías sometidas cada una a sus propias vicisitudes, peroindependientes las unas de las otras: si no llueve en Etiopía,ello no quiere decir que no llueva en el Líbano. Un imperioque se extendiera desde Egipto hasta la Mesopotamia sólopadecería hambre si no lloviera desde el Africa Central alAsia Menor. Sequías simultáneas en regiones tan alejadaspueden efectivamente producirse, pero con mucha menos frecuencia que las sequías locales. Si, por ejemplo, estima unoque cada siete años no se producirá la crecida del Nilo, que elTigrís y el Eufrates tendrán poca agua y que esos hechos sonindependientes, la probabilidad de que se produzcan simultáneamente sólo tiene una relación de uno a cuarenta y nueve,es decir que el faraón puede juzgarse protegido de semejantecatástrofe durante su reinado.


La otra receta consiste en atenerse al tiempo bueno omalo. Si efectivamente el año es malo, ello no implica necesariamente que el año próximo lo sea. Ciertamente puedenexistir ciclos climáticos o darse manifestaciones de la cóleradivina, pero en ausencia de indicios convincentes o probatorios, es razonable pensar que el tiempo que haga el año próximo es independiente del tiempo que hace este año. La consecuencia de esto es simple. Si estimamos, como antes, quelos años de sequía tienen una frecuencia de uno a siete, laprobabilidad de que se den en dos años consecutivos sólo tiene asignada una proporción de uno a cuarenta y nueve y laprobabilidad de que se den siete años consecutivos de sequíaestá en la proporción de 1 a 823543. Este hecho es tan improbable que su realización seria prueba de una intervención sobrenatural o de un error en el modelo.

En el centro de estos razonamientos, así como en todoanálisis estadístico, encontramos el concepto de independencia. Esta puede ser espacial, debida a la distancia, o temporal,debida al olvido. Verdad es que desde cierto punto de vista laindependencia no existe. La circulación atmosféricadepende en última instancia de la irradiación solar y de la rotación de la Tierra. Las perturbaciones que uno observa aquío allá no son más que consecuencias de las complejas interacciones que se desarrollan en el escenario de todo el sistemaglobal. Las lluvias caídas en Etiopía y en Capadocia tienencausas comunes, pero alejadas unas de las otras. El astronauta lo sabe bien, pues al hallarse en órbita alrededor de la Tierra abarca de una sola mirada todo un hemisferio y admira elballet de los sistemas nubosos. Pero las figuras son suficientemente variadas, su desarrollo presenta bastantes imprevistospara que la proporción de días de lluvia en Etiopía sea la misma, ya se la refiera a la totalidad del período, ya se la refieraúnicamente a los días que llueve en Capadocia. En otras palabras, la comprobación de que llueve en Adis Abeba no modifica (o modifica demasiado ligeramente para que podamosapreciarlo) la probabilidad de que llueva en Ankara, y es éstala idea que expresamos cuando afirmamos que dichos sucesosson independientes. Asimismo, la comprobación de que hoyllueve en El Cairo no nos informa sobre el tiempo que hará en


el mismo lugar dentro de un año. En principio, la respuestaestá contenida en el estado que hoy presenta la atmósfera.Pero dentro de 365 días habrá pasado suficiente tiempo paradiluir el recuerdo del aguacero que acaba de caer en medio deotras innumerables influencias, más insignificativas aun, opor el contrario importantes, como el aleteo de una mariposao un ciclón en el mar de la China. En la escala de un año lameteorología no tiene memoria. El que sabe que hoy ha llovido y el que no lo sabe están en igualdad de condiciones parapredecir si lloverá dentro de un año.

En estadística se aíslan hechos de los que se postulaque son aleatorios, en un sentido matemático muy preciso.Nosotros lo esquematizamos representándonos cadahecho como una gran urna llena de bolillas rojas y de bolillas verdes; cada vez que hay que tomar una decisión, Diossaca una bolilla de la urna. Si la bolilla es verde el hecho seproduce, si es roja no se produce. El trabajo del estadígrafoconsiste en adivinar la proporción de bolillas rojas y de bolillas verdes.

En el caso más simple, las extracciones de bolillas sonindependientes. Esto significa que si se efectúan varias extracciones sucesivas el resultado de la última no está influidopor las anteriores. Una primera manera de garantizar estaindependencia es poner de nuevo la bolilla extraída en la urna y sacudir ésta concienzudamente después de cada extracción para homogeneizar la repartición. La frecuencia empírica, es decir, el número de veces que salió la bolilla verde dividido por el número de extracciones, deberá acercarse entonces a la proporción de bolillas verdes que hay en la urna, conuna aproximación tanto mayor cuanto mayor sea su número.Otra manera de asegurar la independencia es sacar las bolillas de urnas separadas. La probabilidad de extraer dos bolillas verdes, una de cada urna, se obtiene entonces multiplicando la probabilidad de sacar una bolilla verde de la primera urna por la probabilidad de sacar una bolilla verde de lasegunda urna. Por ejemplo, si dos sucesos tienen cada unouna probabilidad 1/2 y son independientes, la probabilidadde que se den juntos es de 1/2 x 1/2 = 1/4.

Hay varias maneras de realizar una dependencia (es


mejor decir una correlación) entre ciertos hechos. Se lo puedelograr sacando bolillas de la misma urna. Para realizarlo,hay que introducir dos nuevos colores, el blanco y el negro. Sillamamos X e Y los sucesos considerados, el código de los colores será el siguiente:

verde = XeYsedanblanco = X se da, pero no Ynegro = Y se da, pero no Xrojo = niXniYsedan

y Dios, como antes, sacará una bolilla cuando haya que tomar una decisión. Si los cuatro colores están en proporciónigual (25% cada uno), encontramos las probabilidades asignadas antes a los dos hechos independientes de probabilidad1/2 y la extracción así realizada es estrictamente equivalentea una extracción doble de dos urnas bicolores. Se dirá entonces, con derecho, que X e Y son independientes. En el otroextremo puede uno no colocar en la urna ni bolillas blancasni negras; en ese caso X e Y están vinculadas de la maneramás estrecha puesto que nunca se observa a la una sin laotra; no intentamos separar X e Y tratando de establecer siuna es la causa de la otra; simplemente observamos quesiempre aparecen juntas.

Entre estos dos extremos se extienden todos los gradosde la correlación. Examinemos como ejemplo lo que significan proporciones del 30% para el verde, 20% para el blanco,20% para el negro y 30% para el rojo. Si uno está interesadosólo en el suceso X, advierte que éste se produce en el caso deuna bolilla verde como en el caso de una bolilla blanca, es decir, que tiene 30 + 20 = 50% de probabilidades de producirse.Es pues la probabilidad que se atribuye a X en ausencia detoda otra información. Pero si, por otro lado, sabe uno que elsuceso y se realizó, ello significa que la bolilla que se ha sacado es verde o negra. Atendiendo a las proporciones relativas, hay tres posibilidades sobre dos de que sea una bolillaverde y por lo tanto de que X se realice. Esta informaciónadicional hace, pues, pasar la probabilidad del suceso X a un60% en lugar del 50%. El hecho de que Y se haya dado au-


menta la probabilidad de que se dé X; se dice entonces quelos casos X e Y están positivamente correlacionados.

Ciertamente se puedan tener en cuenta las correlaciones, pero la médula misma de la estadística es el estudio delos sucesos independientes. El más hermoso resultado de laestadística y el más universal es el teorema "central límite",que describe de manera muy precisa el resultado de un grannúmero de extracciones independientes. Imaginemos, porejemplo, una urna que contenga en proporciones iguales bolillas blancas y bolillas negras. Instintivamente tiene uno laidea de que, si se efectúa un gran número de extracciones, sedebería observar poco más o menos tantas bolillas blancas como bolillas negras, sin dejar de tener en cuenta que tambiénpuede intervenir la mala suerte y que salgan sólo bolillas negras. Este teorema nos da la frecuencia relativa deestos casos anómalos y nos permite comprobar que esa frecuencia disminuye muy rápidamente con el número de extracciones. Así, si se realizan 1500 extracciones, tenemos unnúmero astronómico, 21500 , de posibilidades, pero para la mitad de ellas la frecuencia observada de las bolillas blancas estará comprendida entre 49% y 51%, es decir que la frecuenciase apartará menos del 1% de la proporción exacta. La probabilidad de observar entre 49% y 51% de bolillas blancas en1500 extracciones es, pues, de 0,5 y llega a 0,954 si se efectúan 10 000 extracciones, y a 0,999 si se efectúan 27000 extracciones. En este último caso tenemos, pues, menos de una probabilidad entre mil de engañarnos al situar la proporciónexacta en un 1% alrededor de la frecuencia observada.

La primera enseñanza del teorema "central límite" esque la precisión aumenta como la raíz cuadrada del númerode extracciones. En un nivel de confianza dado, 111000 porejemplo (es decir que quiera uno tener menos de una posibilidad sobre mil de engañarse), y si la proporción de bolillasblancas que contiene la urna es de 112, la frecuencia exactase situará dentro de un intervalo de 0,33% para ambas mitades de cada cien extracciones, dentro de un intervalo de0,033% al cabo de diez mil extracciones y de uno de 0,0033%al cabo de un millón de extracciones. El intervalo se reduceen un factor 10 cada vez que el número de extracciones se

http://www.esníps.com/web/Sdentia 175

multiplica por 100, y el nivel de confianza queda fijo en111000. En otras palabras, las extracciones anómalas continúan existiendo -siempre es posible sacar consecutivamentecien, diez mil o un millón de bolillas blancas-, pero su proporción disminuye. Se puede interpretar este resultado diciendo que errores aleatorios independientes tienen tendencia a compensarse si se los suma.

El teorema "central límite" posee asimismo una interpretación geométrica que obtendremos tratando de representar mediante una curva el resultado de un gran número N deextracciones independientes. Imaginemos que se trata de bolillas blancas o negras y contemos nuestras bolillas blancasal terminar la operación. Bien podemos encontrarnos sin ninguna, si todas las extracciones dieron una bolilla negra; conN, si todas las extracciones han dado una bolilla blanca, además de todos los casos intermedios. En cuanto a cada cifra ncomprendida entre O y N, registremos el número de lancesque culminan en este total de bolillas blancas. Se obtiene asíuna curva de forma acampanada muy característica, llamadacurva de Gauss, simétrica alrededor del valor medio N/2 (sila urna contuviera tantas bolillas blancas como bolillas negras). La universalidad de esta curva, que está presente entodos los dominios de la ciencia y de la técnica, es una de lasconsecuencias del teorema "central límite".

Cuando se recopilan medidas, aparece una curva deGauss. La estatura de los soldados en el día de su alistamiento, los errores de redondeo en los cálculos, las medidasexperimentales de constantes fisicas se reparten de maneragaussiana. Y esto se comprende fácilmente si se consideraque la estatura de un hombre depende de constantes queafectan a toda la población (tipo de alimentación, patrimoniogenético), pero también de parámetros individuales (gustosalimentarios, nivel de vida, actividad física, herencia y mutaciones) cuya distribución es aleatoria. Cada individuo obtienesus parámetros en el nacimiento y, como estas suertes tienenlugar de manera independiente a través de la población, larepartición de las estaturas en ésta se produce de conformidad con el teorema "central límite". Igualmente, cada medidafísica está sujeta a errores que proceden de fuentes diversas


y debidos especialmente a las limitaciones del dispositivo experimental y a la imprecisión de los instrumentos empleados.Reproducir la experiencia, volver a tomar la medida, es llevar a cabo una nueva operación independiente de la anteriory, por lo tanto, ponerse en condiciones de aplicar el teorema"central límite".

Tan vigoroso es este teorema que se extiende a dominiosen los que el azar a todas luces no tiene ningún lugar. Porejemplo, al campo de la aritmética. Recordemos primero queun número primo es aquel que no tiene divisores (salvo launidad y él mismo, por supuesto). Así, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19,23,29,31,37, son números primos; éste es el comienzo deuna serie infinita que fascinó a los matemáticos desde laantigüedad más remota. Si un número no es primo, se descompone en factores primos; 6 tiene dos factores primos (6 == 2 x 3) y 210 tiene cuatro factores primos (210 = 2 x 3 x 5 x7). Para ser divisible por seis un número debe ser divisiblepor 2 y por 3. Ahora bien, la mitad de los números son divisibles por 2, una tercera parte de ellos es divisible por 3 y unasexta parte es divisible por 6. Como 1/6 = 1/2 x 1/3, existeuna analogía formal con la regla de multiplicación de las probabilidades de hechos independientes. ¿Podemos ir más lejosy aplicar el teorema "central límite" como si realmente tuvieramos que vérnoslas con el azar? Esto es en alto grado paradójico; ¿qué puede haber más determinista que la serie denúmeros enteros?

Y, sin embargo, en 1939 Marc Kac y Paul Erdos mostraron que el número de factores primos sigue una reparticióngaussiana. De manera precisa, el número de factores primosde un entero m es del orden de log log m y la proporción deenteros m en que ese número está comprendido entre

log log m + a -J2 log log m

y:

log log m + b -J2 log log m,

está dada por la superficie situada bajo la curva de Gausslt-1J2 exp(-x2) entre x = a y x = b. Ocurre como si la serie


infinita de los enteros fuera el resultado de otras tantas tiradas o extracciones independientes entre los números primos,como si Dios hubiera creado primero los números primos yluego hubiera construido los demás echando a suerte entreellos. El primer día sacó el 2 y el 3; y el 6 fue. El segundo díasacó el 2, el 3, e15 y el 7; y el 210 fue.

Todo esto es estático. Para dar al concepto de independencia una dimensión dinámica nos ocuparemos del movimiento browniano. Se trata inicialmente del movimientoerrático que anima a partículas microscópicas que están ensuspensión en un líquido. Fue descubierto en 1827 por el botánico irlandés Robert Brown, e identificado en 1905 porEinstein y Smoluchowski como el efecto 'del movimiento aleatorio de las moléculas circundantes; Norbert Wiener y PaulLevy elaboraron la teoría matemática de este movimiento.Hoyes uno de los principales instrumentos de modelizaciónde los fenómenos que dependen del tiempo y del azar; su ubicuidad no le va en zaga a la de la repartición gaussiana, conla cual por lo demás está estrechamente vinculada.

El movimiento browniano es por definición un movimiento totalmente desprovisto de memoria. Una partícula depolen que se encuentra enmovimiento dentro del agua no sabe cuándo tendrá el choque siguiente ni en qué dirección nicon qué fuerza será propulsada. El modelo matemático idealiza esta situación y construye una partícula que en cada instante olvida de dónde procede, mira dónde está y decideadónde quiere ir. En otras palabras, el desplazamiento instantáneo debe ser independiente de la historia pasada; sepuede imaginar que ese desplazamiento sea echado continuamente a suertes, Representémonos esta trayectoria en laque, en cada instante, se produce un cambio de dirección y develocidad y que sin embargo es continua. ¡Qué enredo va aproducir en el plano de la experiencia! Si se la amplía enciertas porciones o si se trata de reducirla, volvemos a encontrar siempre la misma estructura en todas las escalas, unaespecie de línea quebrada que anda a tientas a través denuestro campo de visión. Físicamente no podemos descender


más abajo de la escala molecular, pero matemáticamente podemos extendernos indefinidamente y encontrar siempre elmismo aspecto general. En toda escala de tiempo, por pequeña que sea, la partícula cambia constantemente de direccióny de velocidad. Por eso las trayectorias del movimiento browniano evocan esas curvas continuas pero sin tangentes quelos matemáticos del siglo pasado consideraban curiosidadesun poco malsanas. El físico Jean Perrin hizo esta observaciónen su libro Los átomos, que llamó la atención del matemáticoNorbert Wiener.

Fue Wiener quien en 1923 dio la primera definición matemática rigurosa del movimiento browniano. La dificultadera mostrar que existe efectivamente una entidad matemática dotada de todas las propiedades que los físicos atribuíancomúnmente al movimiento browniano. Wiener resolvió elproblema apoyándose en dos propiedades fundamentales.Por un lado, todas las trayectorias deben ser continuas. Porotro lado, una vez que fue observada la posición de la partícula en el instante t = O (posición por lo tanto conocida), suposición (aleatoria) en un instante ulterior t debe estar regida por una ley de Gauss, cuyos parámetros dependen porsupuesto del tiempo t transcurrido. Todas las demás propiedades del movimiento browniano se deducen de estas propiedades.

Una vez establecido sobre bases matemáticas sólidas, elmovimiento browniano iba a desempeñar una parte centralen la modelización de los fenómenos aleatorios. En las transmisiones, por ejemplo, la señal misma está siempre mezcladacon un ruido de fondo; el problema de filtrado consiste en separar la una del otro. El propio Wiener resolvió por primeravez el problema al inaugurar instrumentos nuevos que acababa de crear. Por lo demás, sus resultados permanecieronmucho tiempo cubiertos por el secreto militar pues se aplicaban a una tecnología nueva que era el radar. Hoy se han descubierto métodos de filtrado más eficaces que se utilizan, porejemplo, en los pilotos automáticos y en las guías inercialesde los aviones de combate o en los submarinos. Pero las aplicaciones del movimiento browniano van mucho más allá deltratamiento de la señal. Ya se trate de estudiar la propaga-


ción de una epidemia, ya se trate de estudiar la difusión delcalor, el movimiento browniano es el instrumento básico dela modelización.

Estos últimos años se descubrió otra filiación del movimiento browniano. A fines del siglo pasado, un matemáticollamado J. Bachelier sostenía una tesis3 en la cual proponía,en realidad, modelizar la cotización de las acciones en la bolsa mediante un movimiento browniano. Ni los mercados bursátiles ni la técnica matemática estaban todavía a la alturade esta idea, de manera que Bachelier quedó sumido en laamargura y el olvido. Hubo que esperar los trabajos de Wiener para que esa idea volviera a lanzarse y cobrara auge,pues llegó a triunfar a partir de 1973, cuando Fischer Blacky Myron Scholes demostraron su famosa fórmula que permite evaluar las opciones de cada acción.

Debe comprenderse que la idea de modelizar las cotizaciones mediante un movimiento browniano no tiene nada dearbitrario sino que refleja ideas precisas sobre el comportamiento de los mercados bursátiles. Si aceptamos la idea deque éstos son eficientes, es decir, que el precio de una acciónrefleja toda la información disponible sobre ella, hay que admitir que las variaciones de ese precio reflejan la llegada denuevas informaciones. Entre éstas, algunas eran previsiblesy otras no lo eran. En lo que se refiere a las primeras, si elmercado hizo su trabajo ya se ha tenido en cuenta este hechoen el precio alcanzado por las acciones: el alza o la baja tuvolugar con anticipación y la realización de aquello que estabaprevisto ya no afecta a las cotizaciones. Estas sólo dependen,pues, de la parte realmente nueva de la información: la información que es imprevisible partiendo de los elementos deque se disponía antes. Desde este punto de vista, es naturalasimilar las cotizaciones de la bolsa a un proceso de desarrollos independientes, es decir, en última instancia, a un movimiento browniano.

Desde otro punto de vista, son los operadores quienes

3 Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l'École normalesupérieure, 17, págs. 21-86, 1900.


determinan las cotizaciones y uno no se resigna a la idea deque esos millares de personas repartidas en todo el mundo,cada una con sus intuiciones y sus fobias, sentadas ante suspantallas se tomen ese trabajo para construir un movimientobrowniano. Lo cierto es que esta hipótesis es suficiente paraexplicar (si no ya para prever) el 95% de los movimientos delas cotizaciones en un 95% de las situaciones bursátiles peroes en el 5% restante donde se despliega el ingenio humano ydonde se hacen fortunas y se las pierde. Por lo demás, la utilización del movimiento browniano en la teoría financiera vamucho más allá de un simple ajustarse a las cotizaciones,pues ese movimiento permite determinar el precio de ciertosproductos financieros, como las opciones.

La opción sobre una acción es un convenio en virtud delcual uno se compromete a vender dentro de tres meses ciertaacción a un precio determinado hoy. El comprador tiene elderecho de no ejercer la opción si el precio se revela por finsuperior a la cotización verificada en el plazo. El poseedor deun gran paquete de acciones que desee prevenirse contra unacaída de las cotizaciones querrá comprar las opciones correspondientes sin perjuicio de no ejercerlas si las cotizacionespermanecen estables. El que se las venda correrá un riesgo ypor lo tanto debe ser remunerado. El problema del justo precio de la opción fue resuelto por Black y Scholes en 1973. Lafórmula de estos autores no hace intervenir la probabilidadde que las cotizaciones suban o bajen sino tan sólo lo que sellama su "volatilidad", es decir, su trayectoria más o menosaccidentada. De manera que no se pide a los operadores quehagan predicciones, ni siquiera estadísticas, sobre la evolución de las cotizaciones de las acciones; se les pide que sepongan de acuerdo sobre el valor de su volatilidad, es decir,en definitiva, que identifiquen uno de los parámetros que rigen al movimiento browniano. Así no hay necesidad de sabersi la acción va a subir o bajar para determinar el precio de laopción. Este resultado tan notable está en la base de toda lateoría moderna de las finanzas y ha popularizado el movimiento browniano en personas que no se creían destinadas apracticar la matemática.


Es simple y hermoso remitir la estadística al teorema"central límite" y a sus avatares, uno de los cuales es el movimiento browniano. Desdichadamente, el estadígrafo estáfrente a otros problemas. Más que cualquier otro científico, élexperimenta dolorosamente el hecho de que no puede validarningún modelo y que las únicas respuestas que puede aportar con alguna certeza son negativas.

Hemos partido de unas urnas que contenían ciertas proporciones de bolillas de diversos colores y nos hemos preguntado si las frecuencias observadas de esos colores duranteuna sucesión de extracciones independientes se apartaban ono de las proporciones exactas. Desgraciadamente el estadígrafo no posee este observatorio privilegiado. Todo lo que sele da es una serie de observaciones y puede considerarse felizsi éstas son numerosas. El estadígrafo no puede reconocerel azar, sacar conclusiones sobre las bolillas que están en laurna, adivinar el contenido de ésta y afirmar que esas observaciones resultan de extracciones independientes. Siempreexiste la posibilidad de que en la operación entren en juegootros mecanismos cuando se cree reconocer la presencia delazar, así como un jugador fullero sabe barajar y cortar losnaipes de manera que puede distribuir las manos que desea.El estadígrafo no puede nunca confirmar un modelo probabilista. A lo sumo puede invalidarlo al comprobar que lasobservaciones son anómalas en relación con un modelo propuesto: si ese modelo fuera correcto las anomalías sólo habrían tenido una probabilidad muy baja de producirse.

El estadígrafo comprueba o no si hay compatibilidad entre un modelo probabilista y una serie de observaciones. Llega a la conclusión de la incompatibilidad si la probabilidaddada por el modelo a las observaciones en cuestión es demasiado baja, por ejemplo del orden de 111000 o menos. Reconocemos aquí el viejo principio heurístico según el cual los sucesos de probabilidad demasiado baja no se producen, principioque nos lleva aquí a descartar el modelo propuesto. En cambio, si llega a la conclusión de la compatibilidad, es decir, sila probabilidad de la serie observada (tal como se la calculapartiendo del modelo propuesto) es del orden de 1110 o más,no se puede afirmar la validez del modelo, por más que la


probabilidad se elevara a 9/10, a 99/100 o más aun. Lo ciertoes que nunca se puede descartar la posibilidad de que otromodelo, mejor elegido, resulte mejor y que, en definitiva, elfenómeno considerado no dependa del azar.

Evidentemente éste es el problema general de la ciencia.No tenemos acceso a los talleres del Creador, no sabemosrealmente lo que sucede allí dentro y, como lo hacía notar alguien, tal vez habríamos tenido que darle algunos buenosconsejos. Pero, por nuestra parte, sólo podemos trazar planesy verificar si las cosas ocurren como si esos planes fueran correctos. El hombre de ciencia está permanentemente buscando la experiencia decisiva que le permita invalidar una teoria. Pero en estadística esta actividad de verificación se extiende hasta el nivel tecnológico. En las fábricas, así como enlos ministerios, en los terrenos de prácticas así como en lasuniversidades, el estadígrafo emite hipótesis y las somete aprueba. En el caso del control de calidad, por ejemplo, se trata de verificar que la proporción de piezas defectuosas quesalen de la producción en serie sea inferior a un umbral dado. El estadígrafo hará la hipótesis de que en efecto es así, sefijará un nivel de confianza y someterá a prueba la hipótesiscon la muestra que se le suministra. La hipótesis quedará invalidada si el test la rechaza, es decir, si la hipótesis esincompatible (en el nivel de confianza fijado) con los resultados obtenidos.

Esta manera de proceder por invalidación de modelos, sibien es poco ambiciosa, es en cambio extremadamente general y versátil. En el caso del control de calidad, lo interesantees el rechazo del modelo, pues el rechazo muestra que los valores atribuidos a ciertos parámetros no son los correctos, esdecir, que no se han respetado los umbrales teóricos. Enotras situaciones, lo interesante será la compatibilidad de unmodelo probabilista con las observaciones, pues esa compatibilidad significará que no se puede excluir la hipótesis de queel fenómeno estudiado sea fruto del azar. Se trate de anotarpreguntas de opción múltiple, de someter a prueba un nuevomedicamento o de analizar experiencias de parapsicologia,siempre debe formularse la pregunta: ¿el azar por sí solo pudo hacer esto? Si hay cien preguntas, cada una con cuatro


respuestas posibles, si no conozco nada del tema y si echo asuertes mis respuestas, puedo esperar acertar veinticinco veces. Por eso, en este género de prueba tenemos cero por veinticinco respuestas correctas o menos. La notación sólo comienza más allá y esto no excluye por lo demás las injusticias.

Sólo si llega uno a descartar el azar puede exponer otrasexplicaciones, como por ejemplo, el saber del estudiante, losbeneficios de la terapéutica o la transmisión del pensamiento. Mientras los tests estadísticos no lo excluyan, nada se habrá probado. Esto parece elemental, pero no lo es. Muy pocagente comprende que respondiendo al azar acertará muy frecuentemente y que además se podrán realizar series espectaculares.

Observemos que el estadígrafo, por su parte, nunca puede demostrar la presencia del azar. Puede cerrarle ciertaspuertas o dejárselas abiertas sin poder garantizar que elazar las utilice; basta entonces con que esta explicación nopueda excluirse. El único caso en que el estadígrafo puedeafirmar la presencia del azar es aquel caso en que él mismolo introduce. En un sondeo, por ejemplo, el estadígrafo pondrá cuidado en sacar sus muestras al azar, es decir, en organizar de una manera u otra extracciones independientes debolillas que se encuentran en una urna. Esto parece muysencillo y si se trata de sacar piezas en la salida de una fabricación en serie se puede efectivamente proceder de esta manera, pero si se trata de sondear a una población sobre susopiniones políticas o sobre sus hábitos sexuales, la cuestiónes enteramente diferente. ¿Cómo interrogar a la gente? ¿Enla calle? ¿Y las personas que no salen de su casa o que andanen automóvil? ¿Por teléfono? No todos lo tienen y a veces unmismo número sirve a varias personas. ¿A domicilio? ¿Cómoechar suertes sobre todo el territorio, las ciudades y los campos reunidos? ¿Qué hacer si alguien se niega a responder?¿Habrá que reemplazarlo o anotarlo de otra manera? ¿Y quévalen en definitiva las respuestas que obtenemos? ¿Quién measegura la sinceridad de las personas? No se confiesan debuen grado ciertas preferencias políticas que sin embargo semanifiestan en la cabina electora!. ¿Habrá que tener en


cuenta cierta parcialidad en las respuestas? ¿Y cómo hacerlo?El estadígrafo se ve rápidamente llevado a elaborar protocolos de experiencia extremadamente rigurosos en los que elazar sólo ocupa un lugar accesorio.

En realidad, el gran descubrimiento de estos últimosaños es el hecho de que la estadística puede prescindir perfectamente del azar. La generalización de las técnicas informáticas de gestión ha determinado la acumulación de masasenormes de datos en todos los domínios de la vida social y lasimple clasificación de esos datos, sin hablar de su interpretación, plantea considerables problemas. Disponemos de losmétodos estadísticos tradicionales, como el análisis factorial,pero han nacido nuevos métodos de clasificación automáticay de análisis de datos que se remiten siempre a la estadística y no ya a un modelo probabilista. Hoy se procura más reconocer formas, representando, por ejemplo, los datos comopuntos en un espacio de gran dímensión y tratando de separarlos en nubes lo más dístintas que sea posible. Este es untrabajo que hacemos con los ojos en dos dimensiones, peroque exige la ayuda de un ordenador y de cálculos complejosdesde el momento en que el número de parámetros que hayque tratar pasa de tres. Trátase de un problema de geometria en el que 10 aleatorio ya no desempeña ningún papel.

Pero la situación puede invertirse de nuevo. Cada vezmás, la palabra "estadística" significa "tratamiento automático de datos" y el desarrollo de un tema está regido por lamasa cada vez más importante de datos informatizados. Junto a los problemas tradícionales, como el de clasificación y elde interpretación, se plantean otros nuevos, como el de lacompresión de datos: la masa que hay que almacenar es talque las memorias de los ordenadores se saturan rápidamentey los tiempos de acceso se hacen prohibitivos. Es necesariopues tratar la información entrante para que ocupe menosbits en la máquina; en este trabajo de recorte y dereconstrucción, los modelos probabilistas y las estadísticasclásicas recobran paradójicamente todos sus derechos. Asimismo, nada de todo esto sería posible sin los progresos considerables realizados por los medios de cálculo desde hacediez o veinte años; pero el progreso tecnológico no es suficien-


te para dominar la explosión de datos disponibles, de maneraque fue necesario desarrollar métodos de cálculo muy refinados sacando plenamente partido de la estructura interna delos ordenadores, como el cálculo paralelo. Se llega así a unasituación en la que se concibe el ordenador en función del tipo de cálculos que deba efectuar. La circulación de los bits--es decir de los Oy de los 1- a través de la máquina en losdiversos estadios del cálculo es una de las preocupacionesmayores de los que diseñan tales máquinas, de la misma manera que el arquitecto trata el flujo de viajeros que se mueveen una estación ferroviaria o en un aeropuerto gracias a losmodelos probabilistas y a las estadísticas clásicas, que se toman así su desquite.

La estadística no está hecha para demostrar la existencia del azar o para detectar su presencia. Por el contrario, laestadística descansa en el postulado inicial de que el mundoes probable. Como todos nosotros, el estadígrafo parte delprincipio de que el mundo existe, sólo que él le pide algo más:le pide que sea probable. Es teóricamente posible (en todo caso perfectamente compatible con el cálculo de probabilidades)que a partir de mañana todas las monedas echadas a suertessalgan cara y que la ruleta del casino sólo haga salir rojo ypar. Semejante acontecimiento es por cierto infinitamentepoco probable, pero es posible, y si se produjera no habría poreso que cambiar una coma en los tratados estadísticos. Nosenseñaría entonces que si el Creador se decidiera a hacer denuevo el universo habría muchas posibilidades de que fabricara un universo que se comportara más normalmente. Pero,mientras tanto, nos veríamos obligados a vivir en un universo improbable, en el que los ríos subirían hacia sus fuentes yla entropía disminuiría con el tiempo.

Nosotros postulamos que no hay nada de eso. Creemosque vivimos en un universo donde los hechos de probabilidaddemasiado baja no se producen y obramos en consecuencia.Hasta ahora la experiencia no nos ha desmentido, pero nadiepuede garantizar el futuro.

186

Conclusión

Aquella noche el rey Olav descansó en medio de su ejército y, según acabamos de decir, veló mucho tiempo y rogó aDios por él y por sus hombres, de manera que durmió poco.Con el alba le vino algo de sueño y cuando se despertó ya erade dta. El rey se dijo que era hora de despertar al ejército ypidió que acudiera Tormod, el escaldo. Como éste no se hallaba lejos se presento enseguida y preguntó qué queria de élel rey. Este replicó: "Entonanoe un canto". Tormod se irguió ycantó con voz tan alta que todo el ejército lo oy6. Entonó elantiguo cántico de Bjarhe, cuyos primeros versos son:

El día ha llegado con el sol,Pánese enhiesto el plumaje del gallo:Es la hora en que el siervoDebe ir a sus labores.No pienso ni en el vinoNi en la risa de las mujeres,Antes bien me despiertoPara Hildt y su feroz juego.

La batalla se libró aquel día, 29 de julio de 1030, en Stiklestad, y el rey Olav pereció en ella con la mayor parte de suejército. Después de su muerte comenzó su verdadero destino. El pueblo y los barones cuya coalición lo había aplastado

1 Una valquiria; el juego de Hild es la guerra.

189

no tardaron en arrepentirse de haber abandonado Noruegaen las manos del rey de Dinamarca. Llevaron el cuerpo deOlav Haraldssen con gran pompa a la catedral de Nidaros yfueron a buscar a su hijo Magnus, que se encontraba en suexilio ruso de Novgorod, para coronarlo. La reputación desantidad de Olav se extendió rápidamente por todos los países nórdicos y su tumba llegó a ser uno de los lugares de peregrinación más populares de la Edad Media. La catedral fueen gran parte destruida cuando se produjo la Reforma y hoyya nadie sabe dónde descansan los restos de San Olav.

Tormod el escaldo combatió junto al rey Olav y quedógravemente herido en un costado. Murió aquella misma noche al arrancarse él mismo la flecha que lo había alcanzado.Snorri Sturlasson cuenta que las aletas de la punta de la flecha sacaron fibras cardíacas blancas y rojas y que Tormod dijo: "El rey nos ha alimentado demasiado bien. Las raíces demí corazón están envueltas en grasa".

Los hombres mueren, sólo el arte perdura. Los temas delviejo cántico, las labores cotidianas y el combate singular, laagobiante costumbre del presente y la inquieta esperanza delfuturo resuenan todavía hoy. Por encima de la refriega, másallá del estruendo y del furor, se eleva un llamado a la armonía del mundo. Porque oyen ese llamado, los hombres de OlavHaraldssen aceptan seguirlo a un combate sin esperanza.

y yo, ¿por qué he de aceptar consagrar mi vida a la ciencia? ¿Para descubrir que el azar me bambolea y que soy incapaz de prever, reducido a registrar lo existente, así comoFabrice cruzaba el campo de batalla de Waterloo? ¿Por quéentablar este combate, después de tantos otros, si me llevaineluctablemente a coronar el azar como rey del universo?

Es que yo también oí el canto de Tormod. El azar no estoda la ciencia, por más que yo le haya dedicado este libro. Enmi trabajo de investigador son otros los dominios que exploroy en los que el azar no ocupa ningún lugar. La geometría, larelatividad general, la dinámica de los sistemas conservadores, la física de las partículas elementales son otras tantasteorías de una belleza casi sobrehumana en las que torno aencontrar la misma armonía que se expresa en la misma forma matemática, la forma de un principio variacional.


Un principio variacional es un criterio matemático quepermite distinguir una solución particular entre muchasotras soluciones posibles. El principio más simple, y el mejorconocido, es aquel que caracteriza la línea recta como el camino más corto de un punto a otro. Para aplicar este principiovariacional debemos primero definir la distancia entre dospuntos, luego la longitud de una curva. Debemos entonces encontrar, entre la infinita variedad de curvas que van de unpunto a otro, aquella cuya longitud sea la más pequeña. Asíes como definiremos el segmento de recta, y todas sus propiedades ulteriores derivarán de esta propiedad fundamenta!.De esta manera habremos construido la geometría euclidiana,no sobre los axiomas de Euclides, sino sobre una sola propiedad simple, de acuerdo con el principio de economía.

Este procedimiento sería sólo una curiosidad matemáticasi no lo encontráramos en el corazón de la física, Ya en el sigloXVII, Pierre de Fermat enunciaba que los rayos luminosos minimizan el camino óptico. Esto es someter a un principio variacional toda la óptica geométrica, es decir, la más avanzadade las ciencias de aquella época. Para sacar partido de esteprincipio hay que definir primero el camino óptico, que no esexactamente la longitud, pero que la valora mediante el índice de refracción del medio atravesado. Luego hay que buscar,entre todas las trayectorias posibles, aquella que tenga el camino óptico más pequeño. Misteriosamente, es esta trayectoria la que toma el rayo luminoso. De manera que se la puedecalcular: será un segmento de recta si el índice de refraccióndel medio es constante, y será una curva más complicada siese índice varía. Todas las leyes de la óptica geométrica, ya serefieran a la reflexión, ya se refieran a la refracción o a lossistemas de lentes, son consecuencia de este único principio.

Fue también Fermat quien redujo las leyes de la mecánica a un único principio variacional que llamó principio demenor acción. Este principio atravesó incólume las dos grandes revoluciones de la física contemporánea y se adaptó tantoa la relatividad general como a la mecánica cuántica. Es unprincipio que se encuentra siempre en el centro del saber; cada nueva crisis determina una reorganización alrededor de ély refuerza su posición centra!.


Esta economía de la ciencia ya había maravillado a loshombres del siglo XVII. ¿Por qué tiene ese papel el principiode menor acción? Esta pregunta resuena en la filosofia de laépoca, especialmente en Malebranche, pero sobre todo enLeibniz, cuya obra es el intento más audaz de responder a dicha pregunta. Afirmar que este mundo es el mejor de todoslos mundos posibles es una formulación que demasiado evidentemente se presta a la chanza, pero que traduce la experiencia y el entusiasmo de la época. En el mismo instante enque Leibniz elaboraba el lenguaje del análisis matemático,veía cómo el mundo fisico se apoderaba de ese lenguaje comosi fuera su lengua materna. Los principios variacionales seexpresaban naturalmente y se veían nacer los métodosde cálculo que iban a permitir tratarlos. Leibniz presintió eldesarrollo de la ciencia alrededor de este centro organizadory quiso comprender las razones de ello antes de ver sus frutos. No podemos sino admirar su audacia y compartir su maravillada estupefacción.

Más de tres siglos después, perseguimos la misma síntesis. La misma visión alienta en nosotros. Desde el Parménides de Platón, sabemos que la verdad no se deja cercar, que,si hay una realidad última, ésta retrocede ante nosotros amedida que nos acercamos demasiado y termina por desvanecerse en la insignificancia. Pasando de partícula elementalen partícula elemental, de análisis psicológico en análisis psicológico, el descenso es sutil y sin término. Ese camino sólopuede ser una revelación de la contingencia y en él el azarserá nuestro compañero de marcha. Pero el que buscamos esotro camino: un ascenso en el que veamos las cosas reunirseen lugar de dispersarse y en el que el azar nos abandone, asícomo Virgilio abandona a Dante a la entrada del Paraíso. Labelleza será nuestra guía.

192

Ivar EkelandALAZAR

Este libro narra algunos episodios del texto medievalLas sagas de los reyes de Norvíega, del islandés SnorriSturlasson 0179-1241). Cada episodio ejemplifica un aspecto de la teoría matemática del azar. En el amplio recorrido desde el clásico cálculo de probabilidad hasta lamoderna teoría del caos, el lector encontrará los sistemasdinámicos, la teoría de la información, la lógica y la estadística, así como a lgunos temas centrales de la físicacontemporánea: la entropía, los fractales y los movimientos de Brown.

Para Ivar Ekeland es posible, e incluso necesario, acercar dos textos separados entre sí por todo un milenio: unasaga medieval y un tratado actual sobre el azar. Si laprimera habla de suerte, magia o destino, el segundo sededica a lo aleatorio, el caos y el riesgo. Los dos textoshablan de la misma historia, una historia que comienza enla Grecia antigua con la palabra tyché que abarcabatanto en la ciencia como en la historia vivida todos losaspectos mencionados.

¿Cómo leer este libro? Pues bien, lector, puesto que tieneseis capítulos, tome usted un dado...ya sabe lo que puedehacer.

Ivar Ekeland es .presidente de la universidad ParísDauphine y miembro del Centro de Investigación de lasMatemáticas de la Decisión.

~Colección

LIMITESde la Ciencia

Código 6.026

Documents

Al Azar - La Suerte, La Ciencia y El Mundo