[Aktuaria] 2014.03.10 Dist. Survival Dan Tabel Mortalitas

Bab 2 Distribusi Survival dan Tabel Mortalitas

2.1 Distribusi Survival

Meninggalnya seseorang merupakan sesuatu yang pasti terjadi namun kapan

terjadinya tidak dapat diprediksi. Karena itu, ketahanan hidup (survival) seseorang

sampai ia meninggal dapat dianggap sebagai variabel acak. Distribusi dari variabel

acak ini disebut distribusi survival. Distribusi survival dapat dinyatakan dalam

bentuk fungsi distribusi F (x) atau fungsi survival s(x).

2.1.1 Fungsi distribusi dan fungsi survival

Misalkan X menyatakan usia meninggal (berarti X 0). Fungsi distribusi atau

CDF dari X adalah fungsi

F (x) = P (X x), (2.1)

dan fungsi survival atau SDF (survival distribution function) dari X adalah fungsi

s(x) = 1 F (x) = P (X > x) (2.2)

Nilai F (x) dapat dibaca peluang seseorang meninggal paling tua pada usia x dan

s(x) dibaca peluang seseorang masih hidup di usia x. Sifat di ketakhinggaan dari

SDF adalah

limx

s(x) = 0.

Sifat ini diperoleh dari definisi SDF dan sifat di ketakhinggaan CDF,

limx

s(x) = 1 limx

F (x) = 1 1 = 0.

Pada persamaan (2.1) dan (2.2) diasumsikan bahwa F (0) = 0 dan s(0) = 1. Dengan

demikian persamaan (2.1) dapat dipandang sebagai peluang meninggal untuk bayi

8

Nunung Nurhayati Aktuaria (PAM 3336) - Unsoed

yang baru lahir sebab

P (X x|X > 0) =P (X x,X > 0)

P (X > 0)=

P (0 < X x)

P (X > 0)

=F (x) F (0)

s(0)=

F (x) 0

1= F (x) = P (X x).

Latihan. Apa artinya

a. s(20) b. P (X 70) c. s(100) d. F (25) e. P (X > 35)

2.1.2 Peluang meninggal

1) Peluang meninggal seseorang berusia x

Nilai CDF F (t) menyatakan peluang bayi yang baru lahir akan meninggal dalam

waktu t tahun. Bagaimana jika yang menjadi perhatian kita bukan bayi yang baru

lahir tetap sesorang yang berusia x. Jika seseorang yang berusia x disimbolkan

dengan (x), maka peluang bahwa (x) akan meninggal paling tua pada usia z adalah

P (x < X z)|X > x) = 1s(z)

s(x)(2.3)

Bukti. Perhatikan bahwa

P (x < X z)|X > x)

dapat dibaca peluang seseorang berusia x akan meninggal paling tua pada usia z.

Berdasarkan definisi peluang bersyarat,

P (x < X z)|X > x) =P (x < X z,X > x)

P (X > x)

=P (x < X z)

P (X > x)

=F (z) F (x)

1 F (x)

9


Tetapi F (x) = 1 s(x) sehingga

P (x < X z)|X > x) =(1 s(z)) (1 s(x))

s(x)

=s(x) s(z)

s(x)= 1

s(z)

s(x).

2) Peluang meninggal dan peluang hidup bagi seseorang berusia x

Misal didefinisikan variabel acak

T (x) = X x

yang menyatakan sisa hidup (x) atau seseorang berusia x. Selanjutnya, peluang

P (T (x) t)

dapat dibaca peluang (x) akan meninggal dalam t tahun. Untuk bayi yang baru

lahir atau (0), sisa hidupnya adalah T (0) = X, sehingga

P (T (0) t) = P (X t) = F (t).

Pada aktuaria, peluang hidup dan peluang meninggal untuk (x) masing-masing

dinotasikan dengan

tpx : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi

tqx : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun

Berdasarkan definisinya tpx dan tqx dapat ditulis sebagai

tqx = P (T (x) t) = P (x < X x+ t|X > x),

dan

tpx = 1 tqx = P (T (x) > t).

Untuk t = 1, notasi 1qx dan 1px cukup ditulis:

qx : peluang (x) akan meninggal dalam setahun

px : peluang (x) hidup setahun lagi

10


3) Hubungan antara peluang hidup dan fungsi survival

tpx =s(x+ t)

s(x). (2.4)

Bukti. Berdasarkan definisi tqx dan persamaan (2.3) diperoleh

tqx = P (T (x) t) = P (x < X x+ t|X > x)

= 1s(x+ t)

s(x).

Akibatnya, tpx = 1t qx =s(x+ t)

s(x).

Khususnya, untuk kasus bayi yang baru lahir atau (0),

xp0 = s(x). (2.5)

4) Peluang (x) akan meninggal antara usia x+ t dan x+ t+ u

t|uqx = tpx t+upx. (2.6)

Bukti. Berdasarkan definisinya,

t|uqx = P (t < T (x) t+ u)

= F (t+ u) F (t)

= P (T (x) t+ u) P (T (x) t)

= t+uqx tqx

= tpx t+upx

Untuk u = 1 cukup ditulis t|qx.

Rumus t|uqx juga dapat dinyatakan sebagai

t|uqx = tpx uqx+t. (2.7)

Bukti. Karena

tqx = 1s(x+ t)

s(x)dan tpx =

s(x+ t)

s(x)

11


maka

t|uqx =s(x+ t)

s(x)

s(x+ t+ u)

s(x)

=s(x+ t) s(x+ t+ u)

s(x)

=s(x+ t)

s(x)

(s(x+ t) s(x+ t+ u)

s(x+ t)

)

= tpx

(1

s(x+ t+ u)

s(x+ t)

)

= tpx uqx+t.

Daftar lambang

(x) : seseorang berusia x

X : variabel acak yang menyatakan usia meninggal

T (x) : variabel acak yang menyatakan sisa hidup untuk (x)

s(x) : peluang hidup sampai usia x

tpx : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi (masih hidup di usia x+ t)

tqx : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun

t|uqx : peluang (x) akan meninggal antara usia x+ t dan x+ t+ u

Latihan

Apa arti dari simbol-simbol berikut:

a. P (X 30)

b. P (X > 30)

c. s(40)

d. F (50)

e. 5p20

f. 5q20

g. 2|5q20

12


2.1.3 Curtate-Future-Lifetime (CFL)

CFL untuk (x) adalah variabel acak yang menyatakan bilangan bulat terbesar pada

variabel acak T (x). Dengan kata lain jika K(x) CFL untuk (x) maka

K(x) = T (x) (2.8)

dengan K(x) = 0, 1, 2, . . .

Contoh

Misal T (x)= 25 tahun 4 bulan 2 hari. Maka K(x) = 25 tahun.

Misal T (x)= 20 tahun 11 bulan 26 hari. Maka K(x) = 20 tahun

Distribusi dari CFL

PMF dari K(x) adalah

P (K(x) = k) = P (k T (x) < k + 1)

= P (k < T (x) k + 1)

= kpx k+1px

= k|qx

dan CDF-nya

FK(x)(y) =

yk=0

k|qx = y+1qx.

2.1.4 Laju Kematian

Laju kematian (laju mortalitas) untuk (x) didefinisikan sebagai

(x) = limx0

P (x < X x+x|X > x)

x(2.9)

Laju kematian (x) juga dapat diartikan peluang (x) akan meninggal sesaat lagi

(dalam waktu yang sangat singkat). Pada analisis survival laju kematian disebut

juga fungsi laju kegagalan atau hazard rate function (HRF).

13


Berikut akan ditunjukkan bahwa hubungan antara laju kematian, PDF, CDF, dan

fungsi survival adalah

(x) =fX(x)

1 FX(x)=

fX(x)

s(x)=s(x)

s(x)(2.10)

Bukti. Dari definisi peluang bersyarat

P (x < X x+x|X > x) =P (x < X x+x)

P (X > x)

=FX(x+x) FX(x)

1 FX(x)

=FX(x+x) FX(x)

s(x)

Dari definisi turunan

limx0

FX(x+x) FX(x)

x= F X(x)

Tetapi, dari definisi fungsi densitas, F X(x) = fX(x). Akibatnya, laju kematian

(x) = limx0

P (x < X x+x|X > x)

x

1

s(x)

= limx0

FX(x+x) FX(x)

x

1

s(x)

=fX(x)

s(x)

Karena s(x) = 1 FX(x) dan

s(x) = F X(x) = fX(x)

maka fX(x) = s(x), sehingga

(x) =fX(x)

1 FX(x)=

fX(x)

s(x)=s(x)

s(x).

Hubungan antara peluang hidup dengan laju kematian

npx = e

n

0(x+s)ds (2.11)

14


Bukti. Dari definisi laju kematian

(y) = s(y)

s(y)=

d

dyln s(y)

atau

(y)dy = d ln s(y)

Dengan mengintegralkan kedua ruas dari x sampai x+ n diperoleh

x+nx

(y)dy = ln s(y)|x+nx

= lns(x+ n)

s(x)

= ln npx

Misal s = y x maka ds = dy. Jika y = x maka s = 0 dan jika y = x + n maka

s = n. Akibatnya

npx = e

n

0(x+s)ds.

Untuk kasus bayi yang baru lahir, hubungan antara peluang hidup, fungsi survival,

dan laju kematian adalah

xp0 = s(x) = e

x

0(s)ds, x 0 (2.12)

PDF dari variabel acak sisa hidup T (x)

fT (x)(t) = tpx (x+ t) (2.13)

Bukti. Karena T (x) variabel acak kontinu maka PDF-nya

fT (x)(t) =d

dtFT (x)(t) =

d

dtP (T (x) t) =

d

dttqx

=d

dt

[1

s(x+ t)

s(x)

]

15


= s(x+ t)

s(x)

= s(x+ t)

s(x)

s(x+ t)

s(x+ t)

= tpx (x+ t), t 0 (dari persamaan (2.4) dan (2.10).

Selain itu, karena fT (x)(t) =ddt t

qx dan tqx = 1 tpx maka

d

dttqx =

d

dt(1 tpx) =

d

dttpx = tpx (x+ t)

2.2 Tabel Mortalitas (TM)

Tabel mortalitas adalah tabulasi nilai fungsi-fungsi dasar qx, x, dx dan fungsi

tambahan lainnya yang didaftar berdasarkan usia x atau rentang usia (x, x + 1)

dengan x = 0, 1, 2, . . . , dan batas usia yang mungkin (contoh lihat Bowers, et

al., 1997, hal. 60-63 ).

Saat ini Indonesia sudah mempunyai tabel mortalitas sendiri yaitu TMI 2011 yang

merupakan perbaikan dari TMI 1999. TMI 2011 disusun berdasarkan data mortalita

dari 40 perusahaan di industri asuransi jiwa di Indonesia yang meliputi 23.511.563

satuan polis.

2.2.1 Hubungan TM dengan fungsi survival

Misalkan terdapat 0 bayi yang baru lahir dan setiap bayi diindeks dengan j =

1, 2, . . . , 0. Definisikan variabel indikator

Ij(x) =

{1, jika bayi ke-j masih hidup di usia x

0, jika bayi ke-j meninggal sebelum usia x.

Ketika Ij(x) = 1, peluang bahwa bayi tersebut masih hidup di usia x, sama saja

dengan nilai fungsi survival s(x), sehingga

P (Ij(x) = 1) = s(x) dan P (Ij(x) = 0) = 1 s(x).

Akibatnya,

E[Ij(x)] = 0P (Ij(x) = 0) + 1P (Ij(x) = 1) = s(x).

16


Jika Lx menyatakan jumlah bayi yang bertahan hidup sampai usia x, maka

Lx =

0j=1

Ij(x)

Karena E[Ij(x)] = s(x) maka

E[Lx] =

0j=1

E[Ij(x)] = 0 s(x).

Selanjutnya, E[Lx] disimbolkan dengan x. Dengan kata lain x menyatakan

banyaknya bayi yang diharapkan masih hidup sampai usia x dan

x = 0 s(x). (2.14)

Misalkan nDx menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x dan x+n,

dan ndx menyatakan ekspektasinya. Maka

ndx = E[nDx] = 0s(x) 0s(x+ n) = 0[s(x) s(x+ n)]

= x x+n.

Ketika n = 1, 1dx cukup ditulis dx.

Penulisan tpx, tqx dan (x) sebagai fungsi dari x:

tpx =x+tx

, tqx =x x+t

x, (x) =

xx

Bukti

tpx =s(x+ t)

s(x)=

0s(x+ t)

0s(x)=

x+tx

tqx = 1x+tx

=x x+t

x

x = s(x)

s(x)=

0s(x)

0s(x)=

xx

Akibatnya

17


px =x+1x

qx =x x+1

x=

dxx

Daftar lambang

K(x) : bilangan bulat terbesar dari sisa hidup T (x)

px : peluang (x) hidup setahun lagi

qx : peluang (x) meninggal dalam setahun

k|qx : peluang (x) meninggal antara usia x dan x+ 1

(x) atau x : peluang (x) akan meninggal dalam waktu yang sangat singkat

Lx : jumlah bayi baru lahir yang masih hidup di usia x

x : jumlah bayi baru lahir yang diharapkan masih hidup di usia x

nDx : banyaknya (x) yang meninggal dalam n tahun

ndx : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam n tahun

dx : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam setahun

: usia tertua pada tabel mortalitas

Beberapa Hukum Mortalitas

1. Hukum De Moivre (1729)

x =1

x, dengan 0 x

dengan menyatakan usia tertua dimana seseorang masih hidup.

2. Gompertz (1825)

x = Bcx, B > 0, c > 1, x 0

3. Makeham (1860)

x = A+Bcx

dengan B > 0, A B, c > 1, x 0

4. Weibull (1939)

x = kxn

dengan k > 0, n > 0, x 0

18


Latihan

1. Untuk soal berikut, gunakan rumus-rumus yang menyatakan hubungan laju

kematian dengan FX(x), fX(x), dan s(x).

(a) Tentukan FX(x) dan fX(x) jika s(x) = ex, x 0.

(b) Tentukan s(x) dan fX(x) jika F (x) = 11

1 + x, x 0.

2. Diberikan s(x) = 1 x/100, untuk 0 x 100. Tentukan (x), FX(x), fX(x),

dan P (10 < X < 40).

3. Diberikan s(x) = (9000 10x x2)/9000, untuk 0 < x 90. Tentukan q5050.

4. Diberikan s(x) =1 (x/100), untuk 0 x 100. Tentukan:

(a). 17p19, (b). 13q36, (c). 15|13q36, (d). (36), (e). E[T (36)].

5. Misal (x) = kx, untuk x > 0 dan 10p35 = 0, 81. Tentukan nilai 20p40.

6. Misal (x) = 0, 0001, untuk 20 < x < 25. Tentukan 2|2q20.

7. Misal variabel acak T mempunyai PDF fT (t) = cect, t 0, c > 0. Tentukan

E[T ],Var(T ), median(T ), modus(T ).

8. Misal variabel acak T (x) mempunyai PDF

fT (x)(t) =

{t

100x, 0 t < 100 x

1, t 100 x

Tentukan ex = E[T (x)],Var[T (x)], median(T (x)).

9. Diberikan tabel mortalitas berikut:

x px x dx

0 0,9 10000 . . . . . .

1 0,8

2 0,6

3 0,3

4 0

(a) Tentukan nilai s(x) untuk x = 0, 1, 2, 3, 4

(b) Isi kolom x dan dx.

10. Berdasarkan tabel pada soal sebelumnya, tentukan

(a). 3d0, (b). 2q1, (c). 3p1, (d). 3q2.

19


11. Diberikan

x =2

x+ 1+

2

100 x, 0 x < 100

Tentukan banyaknya yang meninggal untuk usia antara 1 dan 4 tahun, jika 0 =

10000.

12. Misal x = k + e2x untuk x 0 dan 40p0 = 0, 5. Tentukan nilai k.

13. Diberikan

x = 2500(64 0, 8x)1/3, 0 x 80.

Tentukan PDF, mean, dan variansi dari X.

14. Misal 1|qx+1 = 0, 95, 2|qx+1 = 0, 171, dan qx+3 = 0, 2. Tentukan qx+1 + qx+2.

Tugas

Buat tabel mortalitas dengan kolom-kolom x, x, dx, 1000qx, yang didasarkan pada

hukum Makeham

1000(x) = 0, 7 + 0, 05(100,04)x.

Gunakan radix 0 = 100.000 dan usia tertua = 100. Software yang digunakan

bebas, tetapi akan mendapatkan nilai tambah jika dikerjakan menggunakan pemro-

graman macro pada MS Excel.

20

Documents

[Aktuaria] 2014.03.10 Dist. Survival Dan Tabel Mortalitas