Aksijalno_opterecenje

7. Savijanje tapova

1

5. AKSIJALNO OPTEREENJE TAPA

1 2

F

l

Fx , u

l + l

A

u1 u2

Slika 5.1 Aksijalno optereen tap

Produljenje tapa:

2 1( )l u u = (5.1) gdje su u1 i u2 pomaci krajeva tapa (slika 5.1), a uvrtavaju se s odgovarajuim predznakom

s obzirom na os x: pomak u1 je negativan, a u2 pozitivan te im se u ovom sluaju apsolutne

vrijednosti zbrajaju i daju ukupno produljenje.

Duinska deformacija aksijalno optereenog tapa:

xl

l = (5.2)

Normalno naprezanje za aksijalno optereene tapove:

xNA

= (5.3) gdje je N uzduna sila tj. unutranja sila u smjeru osi x koja djeluje u teitu poprenog

presjeka tapa.

Vezu naprezanja i deformacija daje Hookeov zakon:

x x E = (5.4) Produljenje tapa, prema (5.2), (5.3) i (5.4) iznosi:

xxN ll l l

E AE = = = (5.5)

Za tap optereen nizom koncentriranih sila i uz skokovite promjene poprenog presjeka,

ukupno produljenje se rauna iz

1

ni i

i i i

N llA E=

= (5.6) Dimenzioniranje aksijalno optereenog tapa izvodi se prema uvjetu vrstoe

max dop (5.7) gdje je dop doputeno naprezanje i predstavlja karakteristiku materijala, dok je max najvee normalno naprezanje u tapu (po apsolutnoj vrijednosti).

Za krhke materijale, doputeno naprezanje se rauna prema izrazu

7. Savijanje tapova

2

Mdop S = (5.8)

gdje je M vlana vrstoa, a S koeficijent sigurnosti i uzima se 1,5 S 2,5. Za rastezljive materijale vrijedi

Tdop S = (5.9)

gdje je T granica teenja.

5.1 PRIMJERI

Postupak rjeavanja statiki odreenih konstrukcija sastavljenih od aksijalno optereenih

tapova:

1. Odrediti raspodjelu uzdunih sila na tapovima.

2. Izraunati raspodjelu naprezanja x i deformacija x. 3. Primjeniti uvjet vrstoe.

4. Izraunati produljenja l. 5. Izraunati pomake krajeva tapova u uz pomo geometrijske analize pomaka

konstrukcije.

Primjer 1

Za tap promjenjivog poprenog presjeka, zadan i optereen prema slici 5.3, skicirati i kotirati

dijagrame uzdune sile (N), naprezanja (x), deformacije (x) i pomaka (u) te provjeriti vrstou tapa.

Zadano:

F1 = 50 kN, F2 = 30 kN, F3 = 20 kN

l = 500 mm, A1 = 10 cm2, A2 = 6 cm2, A3 = 4 cm2 , A4 = 2 cm2

E = 200 GPa, S = 2, T = 300 MPa

2l 3ll

A B C D

xF2

12 3

4F1 F3

ll

FE Slika 5.2 Uz primjer 1: Aksijalno optereeni tap

7. Savijanje tapova

3

RJEENJE:

A B E F

FA F2F1 F3x

Slika 5.3 Uz primjer 1: tap osloboen veze u presjeku A

Uvjet ravnotee:

1 2 3 1 2 30 : 0 50 30 20 100 kNx A AF F F F F F F F F = + + + = = + + = + + = Uzduna sila:

1

2 1 3 2

3 1 2 3

0 : 100 kN5 : 20 30 50 kN

5 8 : 20 kN

A

A

A

x l N Fl x l N F F F Fl x l N F F F F

= = = = + = + = = = =

Naprezanje i deformacija tapa: 3

12

1

43

32

21

43

32

22

100 100 : ( ) 100 MPa10 10

( ) 100( ) 5 10200 10

50 102 : ( ) 50 MPa10 10

( ) 50( ) 2,5 10200 10

50 102 3 : ( ) 83,3 MPa6 10

ABx AB

AB

x ABx AB

BCx BC

BC

x BCx BC

CDx CD

CD

N Nx lA A

EN Nl x lA A

EN Nl x lA A

= = = == = =

= = = == = =

= = = =3 4

32

23

43

33

24

43

( )( ) 200 10 4,17 10

50 103 5 : ( ) 125 MPa4 10

( ) 125( ) 6,25 10200 10

20 105 8 : ( ) 100 MPa2 10

( ) 100( ) 5 10200 10

x CDx CD

DEx DE

DE

x DEx DE

EFx EF

EF

x EFx EF

EN Nl x lA A

ENNl x l

A A

E

= = = = = = =

= = = = = = =

= = =

Doputeno naprezanje: 300 150 MPa2

Tdop S

= = =

Na osnovi izraunatih vrijednosti naprezanja na tapu:

{ }max max ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 125 MPax AB x BC x CD x DE x EF = =

7. Savijanje tapova

4

vrstoa tapa zadovoljava jer je: max dop <

Produljenja i pomaci toaka (presjeka) tapa, prema (5.1) i slici 5.5: 3

12 3

1

100 10 5000 0,25 mm10 10 200 10

AB ABAB B A B A AB A A

AB AB

N l N ll u u u u l u uA E A E

= = + = + = + = + =

A B C D

l+(l)AB

A B C

E F

2l 3llll

D E F

l+(l)BC l+(l)CD 2l+(l)DE 3l+(l)EF

uF

a)

b)

Slika 5.4 Uz primjer 1: Poetni poloaji toaka (presjeka) tapa (a) i konani poloaji toaka pod

djelovanjem vanjskih sila (b)

32

2 31

32

2 32

50 10 5000,25 0,375 mm10 10 200 10

50 10 5000,375 0,583 mm6 10 200 10

BC C B

BC BCC B BC B B

BC BC

CD D C

CD CDD C CD C C

CD CD

DE E D

DEE D DE D

l u u

N l N lu u l u uA E A E

l u u

N l N lu u l u uA E A E

l u u

Nu u l u

= = + = + = + = + =

= = + = + = + = + =

= = + = +

32

2 33

33

2 34

2 50 10 2 5000,583 1,208 mm4 10 200 10

2 20 10 2 5001,208 1,958 mm4 10 200 10

DED

DE DE

EF F E

EF EFF E EF E E

EF EF

l N luA E A E

l u uN lN lu u l u u

A E A E

= + = + = =

= + = + = + = + =

Isto se dobije i primjenom izraza (5.6) pa je npr. pomak presjeka F:

3 3 3 3

2 3 2 3 2 3 2 3

50 10 500 50 10 500 50 10 2 500 20 10 2 5000 1,958 mm10 10 200 10 6 10 200 10 4 10 200 10 4 10 200 10

BC BC CD CDAB AB DE DE EF EFF A AF A

AB AB BC BC CD CD DE DE EF EF

N l N lN l N l N lu u l uA E A E A E A E A E

= + = + + + + + = = + + + + =

Na slici 5.5 prikazane su izraunate vrijednosti u obliku dijagrama.

7. Savijanje tapova

5

x

0,583

x0,25

u[mm]

x

5+4,17

6,25 52,5

1,208

1,958

0

x

100N

[kN]

+

x

100x

[MPa]

+83,3

125

20

100

50

F2F1 F3

50

F2F1 F3

0,375

x 10-4

Slika 5.5 Dijagrami uzdune sile, naprezanja, deformacije i pomaka

Primjer 2

Dimenzionirati tapove konstrukcije zadane prema slici 5.11 te za usvojenu vrijednost

povrine A odrediti pomak toke A ako su grede AO1B i O2C krute.

Zadano:

F = 5 kN

l = 300 mm, A1 = 3A A2 = 2A

dop = 100 MPa, E = 200 GPa

2

1 C

A

B

O1 O2

2l

2l

2l

3l3l

F2F

l

D

Slika 5.6 Uz primjer 2: Zadana konstrukcija

7. Savijanje tapova

6

RJEENJE:

2 2

1 (3 ) (2 ) 13

13 300 1081,7 mm3 3sin13 132 2cos13 13

l l l l

ll

ll

= + = == =

= =

= =

Uvjeti ravnotee:

1

3

1 16 6 5 100 : 2 3 sin 5 0 7211 N

5sin 5 3 13OFM F l N l N

= = = = =

2 1 2

3

2 1

0 : sin 3 3 2 0

2 2 6 5 10 3sin 7211 9333 N3 3 13

OM N l N l F l

FN N

= + = = = =

Uvjet vrstoe: ii dopi

NA

=

211

1

222

2

7211 7211100 24,037 mm3 3 1009333 9333100 46,7 mm2 2 100

N AA AN AA A

= = == = =

Usvojeno: A = 50 mm2 2 2

1 23 3 50 150 mm 2 2 50 100 mmA A A A= = = = = =

Naprezanja:

1 21 2

1 2

7211 933348,1 MPa 93,3 MPa150 100

N NA A

= = = = = =

Produljenja tapova:

1 1 2 21 23 3

1 1 2

7211 1081,7 9333 6000,26 mm 0,28 mm150 200 10 100 200 10

N l N ll lA E A E

= = = = = =

N1

C

A

B

O1 O2

2l

2l

3l

F2F

l

N1 N2

x2

x1

Slika 5.7 Uz primjer 2: Sustav osloboen veza u tapovima

7. Savijanje tapova

7

Plan pomaka:

Na slici 5.8 prikazan je u

pretjeranom mjerilu poloaj

konstrukcije koji se moe

pojaviti pod djelovanjem

zadanog optereenja. Iz ove

slike se lako moe uoiti da

se tapovima 1 i 2 osim

duljine, mijenja i pravac

uzdune osi tapa (npr. tap 2

rotira oko toke D za kut 2).

Kako su ti kutevi rotacije tapova veoma mali, reda veliine 10-3 rad, krunica po kojoj toka

C tapa 2, nakon produljenja u toku C'', dolazi u krajnji poloaj C1, moe se linearizacijom

aproksimirati pravcem okomitim na vrh vektora produljenja (ili skraenja) tapa, slika 5.9.

C'' 2CuC2 C

2D

C1

2CuC2 C

2D

C1

C''

Slika 5.9 Uz primjer 2: Linearizacija pomaka krajeva tapa pravcem

Naravno, slina analiza vrijedi i za tap 1,

s tim da se mora imati na umu da niti

jedna od toaka tapa 1 nije nepomina pa

se ova analiza provodi tek nakon to se

jedna od toaka tapa fiksira u novom

poloaju (npr. u novom poloaju C1 toke

C), a zatim mu se dopusti rastezanje (ili

skraenje) te rotacija oko te "nepomine"

toke. Time toka B dolazi u novi poloaj

B1.

Na osnovi ove analize, ali i iz same

prirode problema, kutevi rotacije 1 i 2 krutih greda AO1B i O2C su takoer

veoma mali tako da se linearizirani

pomaci bilo koje toke na gredi prikazuju

na isti nain, tj. pomaci su okomiti na udaljenosti tih toaka od osi rotacije greda. Na slici 5.10

22

1C

A

B

O1 O2

F2F

D

1A

1

BB1

2C1

C

Slika 5.8 Uz primjer 2: Konstrukcija nakon djelovanja optereenja

C

1

A

B

O1 O2

uC1

uB

B

A

uC2

B1

x1

x2C1

1

2

C

A1

Slika 5.10 Plan pomaka

7. Savijanje tapova

8

prikazani su linearizirani pomaci toaka A, B i C. Okomice na pravce tapova 1 i 2 iz toaka

B1 i C1 daju vrijednosti vektora produljenja tapova 1 i 2.

Kod konstrukcija s dva ili vie tapova, pri odreivanju pomaka krajnjih toaka tapova polazi

se uvijek od tapa koji je jednim svojim krajem vezan za podlogu. U ovom sluaju, tap 2 je

vezan za podlogu osloncem D i pomak toke C ovisi samo o produljenju tapa 2.

Produljenje tapa 2:

2 2 2 2 2 2( ) 0 0,28 mmD C C Dl u u u l u l l = = = = = Iz plana pomaka, slika 5.11:

2 0, 28 mmC Cu = = Produljenje tapa 1:

1 1 1 1B C B Cl u u u l u = = + Iz plana pomaka, slika 5.11:

1

B

11 1

3sin 0, 28 0, 233 mm13

0, 26 0, 233 0, 493 mm0, 493 0,592 mm

sin 3 13

tgO A O B

C C

B

B

A B

u

uu

= = == + == = =

= =

Pomak toke A:

1

1

O 3 3 0,592 0,356 mm5 5OA B B

A llB

= = = =

Primjer 3

Odrediti doputeno optereenje konstrukcije

zadane prema slici 5.11 te odrediti pomak

toke F.

Zadano:

l = 1 m

A1 = A2 = A = 125 mm2 A3 = 2A

E = 210 GPa

dop = 80 MPa = 60 , = 45

3

2C

F E D

1

F

2l

2l

l

2l

A B

Slika 5.11 Uz primjer 3: Zadana konstrukcija

7. Savijanje tapova

9

RJEENJE

Uvjeti ravnotee:

3 30 : 4 2 0 2DM F l N l N F = = = 1 20 : sin sin 0xF N N = + = (5.10)

1 2 30 : cos cos 0yF N N N = + = (5.11) Rjeavanjem sustava jednadbi (5.10) i (5.11):

1 3

2 1

sin sin 45 2 1, 464sin ( ) sin(60 45 )sin sin 60 1, 464 1,793sin sin 45

N N F F

N N F F

= = =+ + = = =

Naprezanja:

31 21 2 3

1 2 3

1, 464 1,793 21,464 1,7932

NN F F N F F F FA A A A A A A A A

= = = = = = = = =

Uvjet vrstoe: max dop

{ }max 1 2 3max , , 1,793 FA = = 1,793

125 80 5577 N1,793 1,793

dop

dop

FA

AF

= =

Usvojeno: F = 5500 N

Sile u tapovima:

N1 = 8052 N N2 = 9861 N N3 = 11000 N

Produljenja tapova: 3

1 11 3

13

2 22 3

23

3 33 3

3

8052 2 10 0,613 mm ;125 210 109861 1,4142 10 0,531 mm

125 210 1011000 2 10 0,419 mm250 210 10

N llA EN llA EN llA E

= = = = = = = = =

Produljenje tapa 1, iz plana pomaka na slici 5.14 odnosno

pomaka vora C na slici 5.14:

1 1 1 10C A C Cl u u u u = = =

D2l2l

FN3

N3

N2N1Cx2 x1

x3

y

x

Slika 5.12 Uz primjer 3: Sustav osloboen veza

u tapovima

3

2

C

FE

D

1

F

A B

C1

E1F1

F1E

C

Slika 5.13 Uz primjer 3: Plan pomaka

C1

C uC1

CuC2

x2

x1

uC

vC

Slika 5.14 Uz primjer 3: Uveani

pomak vora C

7. Savijanje tapova

10

Produljenje tapa 2:

2 2 2 20C B C Cl u u u u = = =

Iz geometrijske analize plana pomaka prikazanog na slici 5.14 za vor C slijede dva izraza na

osnovi kojih se moe odrediti vertikalni pomak vora C u globalnom koordinatnom sustavu

(zato je i stavljen predznak "-" ispred uglate zagrade):

[ ][ ]

1 1

2 2

cos ( sin )tg

cos ( sin )tgC C C C

C C C

v u u u

u u u

= + == + +

Izjednaavanjem izraza u uglatim

zagradama se dobije

1 2

1 2

cos cossin cos cos sin

cos cossin( )

C CC

u uu

l l

= =+ = +

odnosno povratnim uvrtavanjem

1 2

1 2

sin sinsin cos cos sin

sin sinsin( )

C CC

u uv

l l

+= =+ + = +

Produljenje tapa 3, iz plana pomaka na slici 5.15:

3 3 3( )C E E C E Cl u u u u v = = = 1 2

3 3sin sinsin( )E C

l ll v l + = + = + +

Iz geometrijske analize plana pomaka grede DEF na slici 5.15 slijedi pomak toke F:

1

1 23

DF 4tg 22DE DF DE

sin sin 0,613sin 45 0,531sin 602 2( ) 2 0, 419sin( ) sin(45 60 )

2,688 mm

E FF E E E

F E

ll

l ll

= = = = = + + = = + = + = + +

=

E D

C

1F

F

C

E

C

CuC3

uE

C1

C1

F1

E1

Slika 5.15 Plan pomaka grede i projekcija pomaka

toke C na pravac tapa 3 (uveano)

7. Savijanje tapova

11

5.2 ZADACI

Zadatak 1

Odrediti potrebnu povrinu poprenog presjeka tapa sa slike 5.17, naprezanje u tapu i

pomak toke D krute ploe ABD

Zadano:

M = 5 kNm , l = 500 mm , E = 200 GPa

dop = 80 MPa

Rjeenje:

A 43,9 mm2 Za A = 50 mm2:

= -70,3 MPa; D = 0,39 mm

Zadatak 2

Provjeriti vrstou tapova konstrukcije sa slike 5.18 i odrediti pomak toke A

Zadano:

F = 20 kN , l =

2 m

A1 = 5 cm2

A2 = 8 cm2 , = 30

E = 200 GPa

Rjeenje:

1 = 40 MPa 2 = -50 MPa A = 1,555 mm

Zadatak 3

Odrediti doputeno optereenje za konstrukciju zadanu prema slici 5.19 i pomak toke E.

AB

Dl

2l

3l l

M

C

Slika 5.16 Uz zadatak 1: Konstrukcija

C

A

F

B

O1 O2

l

l

l

1

2

D


7. Savijanje tapova

12

Zadano:

q = 2F / l

l = 500 mm

A1 = 2 cm2

A2 = 1 cm2

E = 210 GPa

T = 250 MPa S = 2,5

Rjeenje:

F = 4 kN

E = 0,265 mm

Zadatak 4

Odrediti doputeno optereenje konstrukcije zadane prema slici 5.20, naprezanja u tapovima

i pomake toaka A i D

Zadano:

l = 1 m , 2A1 = A2 = 4 cm2

E = 200 GPa , dop = 100 MPa = 45 , = 60

Rjeenje:

F 9428 N Za F = 9 kN:

1 = -95,5 MPa; 2 = -52 MPa A = 0,477 mm ; D = 1,3 mm

Zadatak 5

Provjeriti vrstou tapova AB i BC konstrukcije optereene prema slici 5.21 i odrediti pomak

vora B za sluaj F = 8 kN. Koliko je doputeno optereenje konstrukcije ako je poznato

doputeno naprezanje materijala tapova?

1

2

E

DB

F

C

q

O1

O2l

l

3l

2l

2l

3l3l

3F

3l

A


1

2

O1

D

l

l

l ll

F

2F

O2

A

B

C


7. Savijanje tapova

13

Zadano:

l1 = 2 m, l2 = 1,5 m,

A1 = 1 cm2 , A2 = 2 cm2

= 45 , = 60 E = 200 GPa , dop = 100 MPa

Rjeenje:

1 = 71,7 MPa < dop, 2 = 29,3 MPa < dop B = 0,831 mm Fdop = 11 kN

B

21

F

A

C


Documents

Aksijalno_opterecenje