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Ajuste de Curvas: Métododos Mínimos Quadrados
ZAB0161 – “Álgebra linear com aplicações em geometria
analítica”
Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle
Dpto. de Ciências Básicas – FZEA – USP
13 de maio de 2020
NoçãoDados os valores experimentais de grandezas (considerando que contêm erros)
Objetivo: encontrar uma curva “adequada” que “represente” os dados fornecidos e outros relacionados, de tal forma que seja minimizado o erro total cometido no sentido da média quadrática.
Método: Método dos mínimos quadrados utilizando matrizes.
Lei de Ohm – Laboratório de Física
Fonte:https://www.ibytes.com.br/os-procedimentos-para-medir-a-intensidade-da-corrente-continua/
R
I
E
Lei de OhmA • lei de Ohm que relaciona o diferencial de potencial (tensão) em uma resistência como o produto da resistência vezes a intensidade de corrente.
𝐸 = 𝐼𝑅
Como a resistência é uma, consideramos 𝑅 fixo.
Supondo que podemos utilizar 𝐼 como variávelconhecida de uma função linear, então:
𝐸 𝐼 = 𝑅𝐼 ⇒ 𝑦 𝑥 = 𝑅𝑥
Tabela com valores experimentais
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
Tensão
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
8.0
6.0
4.0
2.0
eIntensidad
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
ItemVerificar a lei de Ohm!!!
Realizam-se experiências
em um laboratório de física.
Aplicamos 10 diferentes
intensidades de corrente e
realizamos as medições do
diferencial de potencial,
com um tensiômetro.
Registramos os dados na
Tabela de Dados:
Se geramos um gráfico dos dados, observa-se:
Aparenta ter um comportamento linear com algumas
oscilações.
Tentando desenhar uma reta que una os dados:
Se unimos os pontos dos dados, observa-se:
O conjunto de segmentos de reta, podem ser ajustados com
uma reta, pois os “picos” podem ser medições com erro.
Existe uma formulação simples para a curva desenhada???
Pode ser que os dados correspondem a uma reta:
Tentando desenhar uma reta que una os dados, temos
infinitas possibilidades. Qual a mais aproximada????
Pode ser que os dados correspondiam a uma reta:
Tentando desenhar uma reta que una os dados, temos
infinitas possibilidades. Qual a mais aproximada????
A ideia é identificar a reta mais próxima de todos os pontos:
Não desconsiderar nenhum ponto. Melhor aproximação.
Utilizando matrizes pode-se aproximar uma reta???
Ajustando os dados com uma reta• Observamos os dados.
• A tensão será ajustada com uma reta.
• Determinando as variáveis (independente e dependente) expressamos a equação de uma reta na forma:
bxayy
x
Tensão
eIntensidad
Ajustando os dados com uma retaObservamos os dados. •
A tensão será ajustada com uma reta.•
Determinando as variáveis (independente e •
dependente) expressamos a equação de uma reta na forma:
Os coeficientes • 𝑎 e 𝑏 são desconhecidos
bxayy
x
Tensão
eIntensidad
Ajustando os dados com uma retaSupondo que temos a equação de uma reta
Observar que conhecemos alguns valores da variável independente (intensidade) e da variável dependente (tensão). Substituindo esses dados conhecidos, podemos escrever:
bxay
bxay ii
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
Tensão
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
8.0
6.0
4.0
2.0
eIntensidad
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Item ii yxi
Temos um número finito de dados relacionados:
Observar: É um sistema com incógnitas 𝑎 e 𝑏.
ba
ba
ba
ba
bxay ii
)0.2(0.11
)6.0(0.3
)4.0(2.2
)2.0(0.1
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
Tensão
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
8.0
6.0
4.0
2.0
eIntensidad
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Item ii yxi
O sistema matricial é
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
10.2
18.1
16.1
14.1
12.1
10.1
18.0
16.0
14.0
12.0
0.11)0.2(
2.9)8.1(
8.7)6.1(
0.7)4.1(
5.6)2.1(
8.4)0.1(
5.3)8.0(
0.3)6.0(
2.2)4.0(
0.1)2.0(
b
a
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bxay ii
O sistema matricial é
110210
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
10.2
18.1
16.1
14.1
12.1
10.1
18.0
16.0
14.0
12.0
0.11)0.2(
2.9)8.1(
8.7)6.1(
0.7)4.1(
5.6)2.1(
8.4)0.1(
5.3)8.0(
0.3)6.0(
2.2)4.0(
0.1)2.0(
Bb
aA
b
a
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bxayii
O sistema matricial tem solução???
110210
B
b
aA
Observar:
O sistema tem duas incógnitas.
O sistema não tem solução.
Pergunta: Podemos reduzir o sistema
para um sistema de duas incógnitas e
duas equações.
O produto com a transposta
• Lembrar: o produto de uma matriz com a sua transposta resulta em uma matriz quadrada
• O primeiro caso permite reduzir a um sistema de duas equações com duas incógnitas, assim:
22210102 PAAt
1010102210 PAA t
Sistema projetado a dimensão 2
110102210102 BAXAA tt
1222
BAXAA tt
110210
B
b
aA
Sistema projetado a dimensão 2
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
1111
28.14.02.0
10.2
18.1
16.1
14.1
12.1
10.1
18.0
16.0
14.0
12.0
1111
28.14.02.0
b
a
110102210102 BAXAA tt
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
1111
28.14.02.0
10.2
18.1
16.1
14.1
12.1
10.1
18.0
16.0
14.0
12.0
1111
28.14.02.0
b
a
)0.11(1...)0.1(1
)0.11)(2(...)0.1)(2.0(
)1(1...)1(1)0.2(1...)2.0(1
)1(2...)1(2.00.2...2.022
b
a
0.56
12.79
100.11
0.114.15
b
a
Método dos mínimos quadrados
Esse processo é chamado de Método dos Mínimos Quadrados.
Agora basta resolver o sistema obtido.
Resolvemos o sistema por Gauss Jordan
6.511.1
52.1703.3
6.511.1
12.790.114.15
25
610
55
29201
6.511.155
29201
25
6
55
292 xy
0.561011
12.790.114.15 :é estendidamatrix A
Os valores foram ajustados (reta)
Podemos projetar outros valores
Se precisar o valor
da tensão para outro
valor de intensidade:
Por exemplo:
𝐼 = 0.85 ⇒
E = 29255 0.85 − 6
25
E = 4.272727…
Para 𝐼 = 3.0 ⇒E = 15.687272…
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
1
4
3
2
1
1
4
3
2
1
n
i
4
3
2
1
Sistema geral projetado
para dimensão 2:
Vejamos de forma geral.
Temos um conjunto finito
de valores de uma variável
(independente) e os valores
de uma outra (dependente)
Sistema geral projetado a dimensão 2
n
n
nn
n
n
nn
y
y
y
y
y
y
y
xxxx
b
a
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
1
5
4
3
2
1
121
1
5
4
3
2
1
121
1111
1
1
1
1
1
1
1
1111
1222
n
t
nn
t
nBAXAA
n
n
nn
n
n
nn
y
y
y
y
y
y
y
xxxx
b
a
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
1
5
4
3
2
1
121
1
5
4
3
2
1
121
1111
1
1
1
1
1
1
1
1111
)(1...)(1
))((...))((
)1(1...)1(1)(1...)(1
)1(...)1(...
1
11
1
1
22
1
n
nn
n
nn
yy
yxyx
b
a
xx
xxxx
O sistema em dimensão 2
• Observe o sistema obtido
• Isso significa que podemos resolver completando a tabela inicial com os produtos necessários e seus somatórios.
n
i
i
n
i
ii
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
yx
b
a
x
xx
1
1
11
11
2
1
n
i
ii
nn
ii
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
1
44
33
22
11
1
2
2
2
4
2
3
2
2
2
1
2
1
4
3
2
1
1
4
3
2
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
yx
b
a
x
xx
1
1
11
11
2
1
n
i
4
3
2
1
Posso utilizar outros polinômios?
Ajuste linear ou em Reta:•
Ajuste Quadrático ou em parábola:•
Ajuste • Polinômico:
bxay
cxbxay 2
01
1
1 ... axaxaxay n
n
n
n