Suhteellisen tarkka vaaitus –aika-avaruuden geometria maanmittareille

Martin Vermeer, Aalto-yliopisto

Miten tarina alkaa: Pythagoras (1)

y

x

Origo

Q

x ′

y ′P

∆y

c 2= a 2

+ b 2

|PQ| 2=∆x 2

+ ∆y 2

-∆x

ca

b

Yllä olevassa kuvassa tuttu Pythagoraan lause (vas.) jasen versio suorakulmaisissa koordinaateissa (oik.):kahden pisteen P ja Q välistä etäisyyttä |PQ| voidaanlaskea kahdesta koordinaattierosta ∆x ja ∆y .

Pythagoras (2)

Kaava on

|PQ|2 = ∆x2 + ∆y2[=(∆x ′

)2+(∆y ′

)2, jne.

],

missä ∆x = xP − xQ, ∆y = yP − yQ jne.

|PQ| on invariantti: se ei riipu käytetystä koordinaatistosta, xyvai x ′y ′. Pythagoraan lauseen muoto taas, eli metriikka, kuvaaavaruutemme geometrista käyttäytymistä.

Usein käytetty kaavan differentiaalimuoto

ds2 = dx2 + dy2

toimii myös kaarevalla pinnalla jos pisteiden P ja Qvälinen etäisyys ds on pieni.

Pythagoras (3)

Kolmiulotteisessa avaruudessa Pythagoras on

|PQ|2 = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2,

ja yleisessä n-ulotteisessa avaruudessa sen yleistys olisi

|PQ|2 = Σni=1 (∆xi)

2 ,

missä i on ulottuvuuslaskuri:

∆x1 = ∆x

∆x2 = ∆y

∆x3 = ∆z

ja niin edelleen. Aakkoset loppuvat kesken.

Pythagoras ja kolmioepäyhtälö

A

D C

B

b

a

c2

c1

dc

Kuvassa Pythagoras kertoo

a =√

d2 + c22 ,

b =√

d2 + c21 ,

c = c1 + c2,

siis

a + b =√

c22 + d2 +

√c2

1 + d2 ≥

≥√

c22 +

√c2

1 = c1 + c2 = c.

Tämä on kolmioepäyhtälö: lyhin matkaA:sta B:hen on suora matka ADB. Josd > 0 on matka ACB aina pitempi.

Lyhin matka ja geodeettinen viiva

A

B

Voimme soveltaa kolmioepäyhtälöä toistuvasti elirekursiivisesti (katkoviivaiset pikkukolmiot)todistaaksemme, että epäsuora käyrä (sininen)on aina pitempi kuin suora (punainen).

Lyhintä matkaa kutsutaan geodeettiseksi viivaksi,myös kaarevilla pinnoilla. Tietysti silloin se ei oleenää suora, vaan “mahdollisimman suora”.

Esim. pallon pinnalla isoympyrä ongeodeettinen viiva. Se on lentokoneenpolku joka ei ohjaudu tyyrpuuriin eikäpaapuuriin.

Pythagoras aika-avaruudessa (1)Aika-avaruudessa on koordinaatit aika t , paikka x (ja y , ja z). Pisteetaika-avaruudessa kutsutaan tapahtumiksi. Esimerkki tapahtumistaon saman ihmisen sijainti aika-avaruudessa elämänsä kahdella eriajankohdalla.

Pythagoras on nyt hieman erilainen, yleinen kaava tapahtumien Pja Q väliselle “välille” on

|PQ|2 = ∆t2 − c−2 (∆x2+∆y2+∆z2).

Huomaa miinusmerkki ja c, valon nopeus. Jos P ja Q ovat samaihminen eri elämänhetkeissä, on tämä väli |PQ| hetkien välilläkulunut elinaika.

Jos käytämme yhteensopivia eli luonnollisia yksiköitä(vuosia ja valovuosia), putoaa c pois. Silloin

|PQ|2 = ∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆z2.

Pythagoras aika-avaruudessa (2)

A

D C

B

b

a

c2

c1

dc

t

x

Kuvassa nyt

a2 = c22 − d2,

b2 = c21 − d2,

c = c1 + c2,

ja

a + b =√

c22 − d2 +

√c2

1 − d2≤

≤√

c21 +

√c2

2 = c1 + c2 = c.

Eli nyt suora matka (ajassa!)tapahtumasta A tapahtumaan Bon pisin kaikista matkoista, eikälyhin!

Pythagoras aika-avaruudessa (3)Kappaleen, tai ihmisen, matka olemassaolonsa aikana ajan jaavaruuden kautta kutsutaan sen maailmanviivaksi. Yllä saatu tuloson, että kahden tapahtuman välisen maailmanviivan pituus, mat-kassa kulunut ominaisaika, on maksimaalinen jos maailmanviivaon suora – tai yleisemmin, geodeettinen viiva. Mutkikkaammatmatkat tapahtumasta toiseen ovat aina lyhyempiä, ts. näin kuluuvähemmän ominaisaikaa matkustavalta ihmiseltä tai kappaleelta –tai tikittävältä kellolta.

Kysymys on, tapahtuuko matkan aikana kiihtymisiä. Josmatkalla kiihdytään ja jarrutetaan, kuluu vähemmänaikaa kuin jos matkustaja on vapaassa putoamistilassa.Tästä seuraa kaksosparadoksi: intuitiomme perustuuavaruuden Pythagoraan lauseen muotoon eli metriik-kaan, jonka mukaan kiertotie on aina pitempi tie.Aika-avaruudessa tilanne on juuri päinvastainen, senerilaisen metriikan suorana seurauksena!

KaksosparadoksiAurinkokunta v. 2124

x

t

10vu

otta

α Cen

√52 − 42 = 3 vuotta

Aurinkokunta v. 2114

4 valovuotta

5vu

otta

∆x =

∆t

=5

vuot

ta

80% valon nopeudesta

√∆t2 −∆x2 = 3 vuotta

Nopeus: ∆x∆t = 4

5,

Konkretisoidaan tämä. Toinen kak-sosveli matkustaa α Kentauriin 4valovuoden etäisyydellä. Hän käyt-tää matkaan 3 + 3 = 6 vuottaa omaaaikaa, ja on palatessaan matkaltav. 2124, neljä vuotta nuorempi kuinkotiin jäänyt velinsä.

Matkustava veli on se joka kiihtyyrajusti, jarruttaa, kiihtyy ja taas jarrut-taa. Kotiin jäävän veljen kiihtyvyydetovat sen verrattuna lähesolemattomia.

Mannerheim-patsaan maailmanviiva (1)

Mannerheim-patsas pysyy paikallaan. . .

Mannerheim-patsaan maailmanviiva (2)

. . . eli sen polku avaruudessa on hyvin suora.

Mannerheim-patsaan maailmanviiva (3)

Kuitenkaan se ei ole vapaassa putoamistilassa:Maan pinta työntää sitä jatkuvasti ylös, aiheuttaenkiihtyvyyttä 9, 8 m/s2 ylöspäin!

Mannerheim-patsaan maailmanviiva (4)

Siksi patsaan maailmanviiva ei ole geodeettinen viiva:se kaartuu kaarevassa aika-avaruudessa (punainen,konseptitaidetta) lievästi ylöspäin, noin viisi metriä yhdensekunnin (n. 300 000 000 m) aikamatkan jälkeen.

Jalkapallon maailmanviiva (1)

Toisaalta jalkapallo on vapaassa putoamistilassa.Ja vaikka sen polku avaruudessa on kaareva. . .

Jalkapallon maailmanviiva (2)

. . . on sen maailmanviiva maapalloa ympäröivässä kaare-vassa aika-avaruudessa geodeettinen viiva, eli “suora”!

Miten kronometrinen vaaitus toimii (1)

Olemme nähneet, että kellon “ominaisaika” kun se olemassa-olonsa aikana matkustaa tulevaisuuteen, on sitä lyhyempi, mitäkiemuraisempi sen maailmanviiva on. Maan pinnalla olevankellon maailmanviiva poikkea jatkuvasti suorasta viivasta eligeodeettisesta viivasta painovoiman – tarkemmin, maanpinnanvastustuksen – seurauksena, ks. yllä Mannerheim-patsas. Siksise menettää aikaa verrattuna vertauskelloa joka esim. leijaisikaukana avaruudessa.

Teoria kertoo, että menetetty aika on suoraanverrannollinen mittauspaikan geopotentiaaliin, Maanpainovoimakentän potentiaaliin. Painovoima on Maangravitaation (vetovoiman) ja Maan rotaation aiheuttamankeskipakoisvoiman yhteisvaikutus. Näin ollen voidaantarkoilla kelloilla mitata pisteiden välisiägeopotentiaalieroja, eli suorittaa vaaitus.

Miten kronometrinen vaaitus toimii (2)

Kaava on (Bjerhammar 1986, Vermeer 1983):

∆τ

τ=

∆Wc2 ,

missä τ on kellon mittaama aika, ∆τ kellojen välinenaikaero, ∆W pisteiden välinen geopotentiaaliero ja cvalon nopeus. Saadaan nopeasti, ettägeopotentiaalieron 1 m2/s2, eli korkeuseron 10 cm,mittaamiseksi tarvitaan kellojen suhteellista tarkkuutta10−17. Vuonna 1983 tämä kuulosti vielä aikahaastavalta, mutta viime vuosina on kehitetty ns. optisethilakellot joiden tarkkuus on jopa luokkaa 10−18.

Optinen hilakello

Teknologinen uutuus optisissa hilakelloissa on, ettäkäytetty aallonpituus on optisella alueella eikämikroaaltoalueella kuten perinteisemmät atomikellot.Nopeammat värähtelyt mahdollistavat tarkempaaajanpitoa.

Optinen hila – Nature – Physics World

Ajansiirto valokuidulla

Potentiaalierojen mittaaminen edellyttääkellojen vertailua. Etenkin suuremmillaetäisyyksillä tämä on tällä tarkkuustasollahaasteellista.

Saksassa Physikalisch-Technische Bundesanstalt jaMax-Planck-Institut für Quantenphysik ovat kehittäneetmenetelmän, jolla voidaan käyttää jo olemassa olevat,Internetin käyttämät optiset kuituverkot. Kokeilut(PTB/MPQ 2012) ovat osoittaneet tämän toimivaksiratkaisuksi jopa 920 km:n matkalla. Kuitenkinkuitukaapeleissa säännöllisin välein olevat vahvistimeton vaihdettava erikoisvalmisteisiin.

Sovelluksia

Optisten hilakellojen sovelluksia on monta. Jo tietoliikenteensovelluksissa tarkka ajanpito voi olla kriittinen, ja siellä uusiakelloja tullaan varmaan käyttämään.

Teoreettisen fysiikan kannalta kellot mahdollistavat entistätarkempia yleisen suhteellisuusteorian testejä.

Kaiken mielenkiintoisin sovellusala on kuitenkingeodesia. On merkille pantavaa, että, vaikka teknologiayleensä on mennyt eteenpäin, kaiken tarkin tekniikkakorkeuserojen mittaamiseksi on edelleen tarkkavaaitusperinteisillä vaaituskojeilla. Tekniikalla on montavaikeasti hallittavissa olevaa virhelähdettä, osinsystemaattisia. Ehkä nyt uuden, hyvin erilaisenvaaitusteknologian aika on koitunut.

Suomessa MIKES tutkii optisia hilakelloja.

Geodeettinen infrastruktuuri

Kun teknologia kypsyy, tullaan varmaan rakentamaan jatkuvastitoimivia, optisella kuitukaapeliverkolla yhteen kytkettyjäkorkeudenmittausasemia, samalla tavalla kuin on jo olemassamaailmanlaajuisesti pysyviä GNSS-verkkoja. Näin saataisiinaikaan “nollannen luokan” korkeusverkko, joka toimisi ei vainkorkeusvertausrunkona, vain mahdollistaisi myös maankuorenvertikaaliliikkeiden seurantaa.

Pieni ongelma on saaripisteet kaukanavalokuituverkosta, kuten myös eri mantereidenkytkeminen yhteen: välivahvistimien installointi joolemassa oleviin merenalaisiin kaapeleihin ei ole aivanhelppoa. Ehkä tähän tarjoutuu synkronointiGNSS-järjestelmien avulla, kuten Vermeer (1983)alunperin ehdotti. Sellaiset mittaukset kestäisivät vuosia.

Saksalainen aloite

Saksassa käynnistettiin tänä vuonna ns. Collaborative ResearchCentre (Sonderforschungsbereich)

Geo-Q, “Relativistic geodesy and gravimetry with quantum sensors”

liittovaltion rahoituksella C11 miljoonaa ensimmäisen neljän vuodenaikana. Kronometrisen vaaitusmenetelmän kehittäminen on osanatätä projektia.

DFG:n ilmoitus - Leibniz-yliopisto Hannover - PTB:n teksti

http://www.arbeitsplatz-erde.de/

Kiitos kiinnostuksesta!“What good is a newborn baby?”

– Benjamin Franklin, 1783, ilmapallokokeilusta

Kirjallisuutta

Arne Bjerhammar (1975): Discrete approaches tothe solution of the boundary value problem in phy-sical geodesy. Boll. de geodesia e scienze affini.

Arne Bjerhammar (1986): Relativistic Geode-sy. NOAA Technical Report NOS 1 18 NGS36. https://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/RelativisticGeodesy_TR_NOS118_NGS36.pdf

Martin Vermeer (1983): Chronometric levelling.Report 83:2 of the Finnish Geodetic Institute,Helsinki. ISBN 951-711-087-1, ISNN 0355-1962

Epilogi: Einsteinin pitkä varjoFermat keksi periaatetta, jonka mukaan valo kulkee kahden

pisteen välillä nopeinta mahdollista polkua pitkin.

Gauss keksi, samanaikaisesti János Bolyai’n ja Nikolai

Lobatševskin kanssa, epä-euklidista geometriaa ja kehitti

kaarevien avaruuksien matemaattista teoriaa.

Hamilton yleisti Fermatin periaatetta koskemaan kappaleiden

liikettä .Hamiltonin mekaniikka. Hän ei vielä ymmärtänyt miksi

tämä oli mahdollinen. . .

De Broglie ymmärsi: myös aine on aaltoliike (ja kääntäen valo

koostuu fotoneista) . kvanttiteoria, hiukkas–aalto–dualismi.

Myös suhteellisuusteorian geodeettiset viivat ovat Hamiltonin,

tai Fermatin, periaatteen mukaisia polkuja. Ne liittyvät

absoluuttisen derivaatan käsitteeseen

kaarevassa aika-avaruudessa, mitä oli

Levi-Civita’n kuningasajatus.

Tähän voisi lisätä vielä Pythagoras,

Riemann, Maxwell, . . .