AIDER EPN RESUMEN ELECTROMAGNETISMO · 2020. 11. 18. · Jhon Chiliquinga Electromagnetismo 1. CARGAS ELÉCTRICAS Y LEY DE COULOMB Las interacciones electromagnéticas son parecidas

AIDER EPNRESUMEN • ELECTROMAGNETISMO

Semestre 2020-A Jhon Chiliquinga

0. ÍNDICE

1 Cargas eléctricas y ley de Coulomb 61.1 Cargas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Distribución de la carga en diferentes cuerpos . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Formas de cargar un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Conductores, aislantes y semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Campo eléctrico 102.1 Origen del concepto de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Otra forma de visualizar el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Forma del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Líneas de campo eléctrico. Mapas de campo . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Flujo a través de una superficie no esférica . . . . . . . . . . 162.5.2 Flujo de un campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Trabajo realizado por el campo electrostático . . . . . . . . . . . . . 202.7 Campo eléctrico en un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Energía del campo eléctrico en el vacío 243.1 Energía potencial eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Deducción general de la energía potencial durante un des-plazamiento arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Energía potencial y fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Energía potencial de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Potencial Eléctrico 284.1 Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.1 Superficies equipotenciales en un dipolo . . . . . . . . . . . 334.2 Ecuación de Poisson para el campo electrostático . . . . . . . . . . . 34

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Jhon Chiliquinga Electromagnetismo

5 Dipolo Eléctrico 345.1 Campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.1 Potencial creado por un dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . 355.2 Fuerzas sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme . . 37

6 Capacitancia 396.1 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.2 Capacitor cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.3 Capacitor esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Capacitores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.1 Capacitores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.2 Capacitores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Almacenamiento de energía en capacitores . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Densidad de energía del campo eléctrico en el vacío . . . . . . . . . 50

7 Dieléctricos y vector de polarización 507.1 Carga inducida y polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.2 Constante dieléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3 Ruptura del dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Campo eléctrico en el dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.5 Desplazamiento de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.6 Relación entre ~E y ~P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.7 Relación entre ~E y ~D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.8 La permitividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Corriente eléctrica continua y resistencia 608.1 Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.1.1 Transportadores de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2 Densidad de corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3 Resistividad y ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3.1 Resistividad y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.4 Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.4.1 Relación corriente-voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.5 Corriente en un conductor aislado al que se aplica un campo eléctrico 70

9 Fuerza electromotriz (fem) 719.1 Fuentes de fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2 Fem en un circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.3 Fem en un circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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Electromagnetismo Jhon Chiliquinga

9.4 Fem no ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.5 Energía y potencia en circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.5.1 Potencia de salida de una fuente . . . . . . . . . . . . . . . . 759.5.2 Potencia de entrada a una fuente . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10 Circuitos DC y leyes de Kirchhoff 7610.1 Resistores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.1.1 Resistores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.1.2 Resistores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.2 Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.2.1 Regla de Kirchhoff de las uniones . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2.2 Regla de Kirchhoff de las espiras . . . . . . . . . . . . . . . . 80

10.3 Convención de signo para la regla de las espiras . . . . . . . . . . . 80

11 Circuitos RC 8111.0.1 Descarga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12 Campo magnético y movimiento de partículas cargadas en campos elec-tromagnéticos 8912.1 Campo magnetostático en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2 Polos magnéticos contra carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.3 Ley de Gauss del magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.4 Fuerzas magnéticas sobre cargas móviles . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.4.1 Dirección de la fuerza magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.5 Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.6 Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.7 Movimiento de partículas en campos electromagnéticos . . . . . . . 94

12.7.1 Movimiento de una carga en un campo eléctrico uniforme . 9412.7.2 Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme 9512.7.3 Movimiento de una carga en campos eléctricos y magnéticos 9712.7.4 Selector de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9812.7.5 Espectrómetro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

13 Fuerza magnética sobre una corriente, torque y momento dipolar magné-tico 10113.1 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente . . . 10113.2 Conversión de energía eléctrica en mecánica . . . . . . . . . . . . . 10213.3 Momento dipolar magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.4 Torque y energía potencial de los dipolos . . . . . . . . . . . . . . . 104

3


14 Fuentes de campo magnético 10514.1 Campo magnético de una carga en movimiento . . . . . . . . . . . 10514.2 Líneas de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.3 Campo magnético de un elemento de corriente (principio de super-

posición) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10714.4 Fuerza entre dos protones que se mueve a velocidad constante . . . 10914.5 Campo magnético para diferentes configuraciones . . . . . . . . . . 110

14.5.1 Campo magnético creado por un alambre infinito que trans-porta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.5.2 Campo magnético en el eje de una espira circular que trans-porta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.5.3 Campo dentro de un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 11314.5.4 Dipolo magnético en un campo no uniforme . . . . . . . . . 113

14.6 Fuerza entre dos alambres paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11414.7 Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

14.7.1 Circulación de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.7.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.7.3 Campo magnético creado por un alambre cilíndrico infinito 12014.7.4 Campo magnético creado por un solenoide . . . . . . . . . . 12014.7.5 Campo magnético creado por un solenoide toroidal . . . . . 12114.7.6 Campo magnético dentro y fuera de un alambre que trans-

porta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

15 Campo magnético en el medio 12315.1 El átomo y sus electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

15.1.1 Relación magnetomecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12315.2 Ley de Ampère en el medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.2.1 Intensidad de campo magnético ~H . . . . . . . . . . . . . . . 12715.2.2 Relación entre la magnetización y el campo magnético . . . 12715.2.3 Relación entre ~B y ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12815.2.4 Susceptibilidad magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

15.3 Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12915.4 Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.4.1 El paramagnetismo y el mínimo de la energía . . . . . . . . 12915.5 Ferromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

15.5.1 La curva de histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13315.6 Magnetización y la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13415.7 Materiales según sus propiedades magnéticas . . . . . . . . . . . . 134

4


16 Campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo 13516.1 Signo de la fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

16.1.1 Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13816.1.2 Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

16.2 Campo eléctrico solenoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13916.3 Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

17 Inductancia 14317.1 Autoinductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14417.2 Inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14517.3 Densidad de energía del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 14517.4 Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14717.5 Inductores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

17.5.1 En serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14817.5.2 En paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

17.6 Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14917.6.1 Estados estables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

17.7 Características de circuitos RC y RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15017.8 Circuitos LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15117.9 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15217.10Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

17.10.1 Subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15517.10.2 Críticamente amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15517.10.3 Sobre amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

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1. CARGAS ELÉCTRICAS Y LEY DE COULOMB

Las interacciones electromagnéticas son parecidas a la interacción gravitacio-nal por su forma. Tiene diferentes características como:

• Tiene radio de acción infinito.

• Mucho más fuerte que la gravitacional en casi 36 ordenes de magnitud.

• Da forma al átomo.

1.1 Cargas eléctricas

El estudio de esta rama de la ciencia empezó con el estudio de las cargas eléc-tricas, a las cuales se les dio signo negativo o positivo por convención

• Negativa: Al frotar piel con plástico adquiere çarga"negativa.

• Positiva: Al frotar seda con vidrio adquiere çarga"positiva.

Además se encontró que una varilla de plástico frotada con piel se atrae conuna de vidrio frotada con seda.

La carga es una característica fundamental de las partículas. Su unidad es elCoulomb.

C = [Coulomb]

Los átomos son eléctricamente neutros, para que adquiera una carga se losioniza, tanto de forma positiva como negativa. Estos están formado por partículassubatómicas llamadas: protón, electrón y neutrón, las cuales tienen masa y dos deellas carga, como se ilustra en el cuadro.

Partícula Carga MasaProtón Positiva 1,973× 10−27

Electrón Negativa 9,109× 10−31

Neutrón Sin carga 1,675× 10−27

Cuadro 1: Masas y tipo de carga de partículas del átomo

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En el caso de los elementos, la electronegatividad determina la disposición delmismo para recibir electrones (es decir, para cargarse positiva o negativamente).

En el caso de los cuerpos esta característica se resume en la serie triboeléctrica,en esta serie se sabe cuál adquiere más carga negativa o positiva. Al que esté másarriba en la serie adquiere carga positiva, y mientras más distancia entre materialmás se carga.

I Propiedades de la carga eléctrica

• Se cuantiza.- La carga siempre es encontrada como un múltiplo de:

1,602× 10−19 C︸︷︷︸e

Múltiplo entero de e

Donde e es la magnitud de carga que tienen el protón y el electrón.

• Se conserva.- Se puede asumir como postulado o ley.

Principio 1: –Principio de conservación de la carga–

La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema ce-rrado es constante.

1.2 Distribución de la carga en diferentes cuerpos

En la realidad pocas veces se tiene cargas puntuales distribuidas en el espacio.Normalmente la carga está en una superficie o volumen.

Densidad de carga Símbolo UnidadLineal λ C/m

Superficial σ C/m2

Volumétrica ρ C/m3

Figura 1: Distribución linealq =

∫λd`

Figura 2: Distribución su-perficial q =

∫σds Figura 3: Distribución volu-

métrica q =∫

ρdv

Ejemplo 1. ρ = 5 C/m3, λ = 2x C/m y σ = 3xy C/m2.

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1.2.1. Formas de cargar un objeto

• Frotamiento:

– Rozamiento

– Choque

• Contacto: tocar un objeto cargado con otro no cargado.

• Inducción: No existe contacto entre el objeto cargado y el objeto que quere-mos cargar.

aislante

tierra

Se tiene una esfera sobreun aislante perfecto

+++ -

--

−−−

Se acerca un objeto cargadonegativamente y la esfera se polariza

+++

--- ---

- - - - - - -

Se conecta la parte negativaa tierra

− − − − − − −

+ ++

Se desconecta y se retira el objetocargado y la esfera queda cargada

Tierra se define como un lugar con cantidad infinita de carga.

1.3 Ley de Coulomb

Usando una balanza de torsión, Coulomb dedujo la expresión de la fuerzaentre objetos cargados

|F| ∼ |q1q2|r2

También se observó:

8


+

+

r

~F2/1

~F1/2

q1

q2

-

+

~F2/1

~F1/2

q1

q2

~F1/2 = −~F2/1

=⇒ |F| = k|q1q2|

r2 [k] = N m2

C2

Ley 1: –Ley de Coulomb–

La magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directa-mente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre ellas. De forma vectorial se tiene:

~F = kq1q2

r2 r

Donde r es el vector unitario y k se conoce como constante de Coulomb.

k = 8,988× 109 [Nm2/C2]

Para ser más exactos se define

k =1

4πεo

Por tanto la fuerza Coulombiana se expresa en base a otra constante llamadapermitividad eléctrica εo.

~F =1

4πεo

q1q2

r2 r

εo = 8,85× 10−12[

C2

Nm2

]

Principio 2: –Principio de superposición–

La fuerza resultante o fuerza neta es la suma vectorial de todas las fuerzas queactúan sobre un cuerpo:

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n

∑i=1

~Fi = ~Fneta = ~R

Este principio también aplica a las componentes

Fx =n

∑i=1

Fi,x Fy =n

∑i=1

Fi,y

|~F| =√

F2x + F2

y

La fuerza normal se genera debido a la fuerza electrostática al tener contac-to de un cuerpo con una superficie.

1.4 Conductores, aislantes y semiconductores

Los materiales se dividen en tres: conductores (principalmente metales), semi-conductores (usados en la electrónica), aislantes.

Dentro de los conductores los electrones se mueven fácilmente, en los semi-conductores con un poco de dificultad y en un aislante no son libres de moverse.

2. CAMPO ELÉCTRICO

2.1 Origen del concepto de campo eléctrico

Empecemos con un razonamiento, se ubican 3 cargas en el espacio:

q1

q2

q3

Además se supone que las 3 cargas son positivas. Calculando la fuerza totalsobre q3 se tiene:

~F =1

4πεo

q1q3

r21/3

r1/3 +1

4πεo

q2q3

r22/3

r2/3

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Si se cambiara la magnitud de la carga 3 o su signo se tendría que calcular nue-vamente la fuerza, por lo tanto se quisiera definir una magnitud que no dependade la carga en la que se calcula la fuerza. Notemos que

~F = q3

(1

4πεo

q1

r21/3

r1/3 +1

4πεo

q3

r22/3

r2/3

)

︸︷︷︸No depende de q3

Si se tuvieran 4 cargas se podría llegar al mismo resultado, con 5 igual y asísucesivamente.

Vemos que la magnitud señalada solo depende de las cargas antes puestas y elpunto donde se encuentra la otra carga. Así, se define el Campo Electrostático como:

~E =1

4πεo

qr2 r (1)

A la ecuación (1) se la denomina forma coulombiana del campo eléctrico.

Si una carga se coloca en el espacio esta crea un campo eléctrico a su alrededory una segunda carga colocada en este campo experimentará una reacción a este.

Debido a que en cada punto del espacio el campo tiene dirección y sentido es-tamos hablando de un campo vectorial.

El campo electrostático es un campo potencial cuya circulación es cero.

2.2 Otra forma de visualizar el campo eléctrico

Se sigue el siguiente procedimiento:

a) Se colocan dos cuerpos A y B cargados. Estos ejercen fuerzas eléctricas unosobre el otro.

~Fo−~Fo

A B

qo

b) Quitamos B e indicamos su posición.

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P

A

c) Finalmente, el cuerpo A genera un campo eléctrico ~E en P.

P

A

~E =~Foqo

Con esto el campo eléctrico:

~E =~Fo

qo=⇒ ~E =

14πεo

qr2 r

[E] = [Newton/Coulomb ]

Donde q es la carga del cuerpo A, y r es un unitario que va de la carga que creael campo a P, donde se calcula el campo, y también:

~Fo = qo ~E

Si ponemos una carga de prueba positiva se tiene:

~Fo

~E (debido a Q)

Q

qo

La fuerza apunta en la misma dirección del campo eléctrico.

Si ponemos una negativa se tiene:

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~Fo

~E (debido a Q)

Q

qo

La fuerza apunta en dirección opuesta al campo eléctrico.

El campo está en la línea de acción de la fuerza.

2.3 Forma del campo

Recordando la forma del campo eléctrico (1), se ve que tiene la misma direccióndel radio vector unitario, y su sentido depende del factor q, que es la carga de lapartícula que genera el campo.

+

Dado que la carga es positiva, ~E tienela misma dirección que el radio vector.

-

Dado que la carga es negativa, ~E tienedirección contraria que el radio vector.

Una característica importante del campo eléctrico es que su magnitud caecon el cuadrado de la distancia. Además este "se aleja" de la carga positivay "va" hacia la carga negativa.

De esto se pueden obtener unas afirmaciones importantes importantes:

• El campo eléctrico diverge de cargas positivas, se dice que las cargas positi-vas son fuentes de campo eléctrico.

• EL campo eléctrico converge a las cargas negativas, se dice que las cargasnegativas son sumideros de campo eléctrico.

Uniendo los dos items anteriores se puede afirmar que:

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Las cargas eléctricas son fuentes y sumideros de campo electrostáti-co.

Algo importante es que el principio de superposición se aplica para el cálculode campo eléctrico. Además, para una distribución continua de carga se tiene:

~E =1

4πεo

∫ dqr2 r

2.4 Líneas de campo eléctrico. Mapas de campo

Las líneas de campo son líneas imaginarias dibujadas de tal manera que la tan-gente a dicha línea coincida con la dirección del campo eléctrico.

La densidad de líneas nos muestra la intensidad.

~E

Mapa de campo de un dipolo (carga eléctrica positiva y negativa).En el círculo verde hay poca densidad de líneas, entonces |~E| es menor,

en el rojo tiene mayor densidad de líneas, entonces |~E| es mayor

2.5 Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss

Para determinar el flujo de campo eléctrico sobre cualquier superficie se ladivide en pequeños segmentos de área ds y se los representa con un vector unitarionormal a esa superficie n, con esto se tiene un vector de área representado por~ds = ds n. Finalmente, se calcula el producto escalar del vector de campo con elvector de área y se suma todos estos "miniflujos", que equivale a integrar sobre lasuperficie.

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nn

n

Con esto:

Φ =∫

~E · ~ds =∫

~E · n ds

El unitario de área es definido "hacia fuera" de la superficie.

Se estudiará principalmente el flujo de campo eléctrico a través de superficiescerradas, por ejemplo el caso de la figura 11.

Figura 11: Carga dentro de una superficie cerrada (cubo)

En un principio se puede pensar que el flujo a través de la superficie depen-de del área de esta y de la carga que esté encerrada. Probemos esta afirmaciónparcialmente probemos calcular el flujo de una carga en una superficie esférica.

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q

nn

n

n~E

~E =1

4πεo

qr2 r

Donde r es la distancia de la carga a la superficie. En este caso r = n. Entonces:

Φ =∮

S~E · ~ds =

∮

S~E · n ds

Φ =∮

SE ds =

∫ π

0

∫ 2π

0

14πεo

q

r2sen(θ)r2dϕdθ

Φ =q

4πεo4π =

qεo

Como se ve no depende del área, ya que, si por ejemplo, la esfera aumenta suradio la expresión del flujo no cambia. Esto se da ya que el campo disminuye en1/r2 pero el área aumenta en r2.

El flujo es independiente del área.

2.5.1. Flujo a través de una superficie no esférica

Un área muy pequeña de una superficie no esférica puede proyectarse en unapequeña porción de una esfera, así el flujo total que atraviesa la superficie es el de

16


una esfera, y como se vio antes no depende del radio de esa esfera, entonces, parauna superficie irregular cerrada cualquier, el flujo de campo es q/εo .

Ley 2: –Ley de Gauss en su forma integral–

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dada por:

Φ =∮

~E · ~ds =qenc

εo

Donde:

• qenc: carga total dentro de la superficie.

De esto se puede concluir que hay tres situaciones en donde el flujo de campoeléctrico es igual a cero.

a) No hay ~E y no hay carga dentro de la superficie.

b) Cantidad de carga neta igual a cero dentro de la superficie. El flujo entrantecancela al saliente.

c) Hay ~E y no hay carga dentro de la superficie. El flujo entrante cancela alsaliente.

Usando manipulación algebraica se puede conseguir:

∮~E · ~ds =

qenc

εo

=1εo

∫

Ωρ dV

Donde ρ es la distribución volumétrica de carga y Ω es el volumen encerradopor la superficie de integración.

Por el teorema de la divergencia:

∮~E · ~ds =

∫

Ω∇ · ~E dV

Con esto:

∫

Ω∇ · ~E dV =

∫

Ω

ρ

εodV

∇ · ~E =ρ

εo

17


Ley 3: –Ley de Gauss en su forma diferencial–

Sea ~E el campo eléctrico sobre una región y ρ la densidad volumétrica de cargasobre esa región, se cumple que:

∇ · ~E =ρ

εo

Donde ∇ · ~E representa a divergencia del campo eléctrico.

2.5.2. Flujo de un campo eléctrico uniforme

Al tener un área plana se la puede representar solamente con un vector de área~S, si además se tiene un campo eléctrico uniforme ~E, el flujo Φ se puede calcularsimplemente como:

Φ = ~E · ~S

18


La ley de Gauss se puede usar de dos formas:

• Si se conoce el campo y el área, para determinar la carga dentro de ese cam-po.

• Si se conoce la carga y existe algún tipo de simetría, para determinar el cam-po.

Ejercicio 1. Determinar el campo eléctrico a una distancia r del centro de unaesfera de radio R, con r > R, con carga Q uniformemente distribuida en todosu volumen.

Solución. Escojamos un sistema de coordenadas centrado en el centro de la esfera,como la carga está uniformemente distribuida, el campo eléctrico que genere laesfera va a estar en dirección radial. Se escoge una superficie gaussiana esféricade radio r, concéntrica a la esfera cargada. Los unitarios de superficie van a estartambién en dirección radial. De acuerdo a la ley de Gauss se tiene.

Φ =∮

~E · ~ds =qenc

εo

Como r > R, qenc = Q. Además, a lo largo de esta superficie gaussiana elcampo eléctrico tiene la misma magnitud.

19


∮~E · ~ds =

Qεo∮

E ds =Qεo

E∮

ds =Qεo

E4πr2 =Qεo

E =Q

4πεor2

∴ ~E =Q

4πεor2 r

2.6 Trabajo realizado por el campo electrostático

El campo electrostático es conservativo, ∇× ~E = 0.

W =∮

~F · ~d` =∮

q~E · ~d` = q∫∇× ~E · ~ds = 0

2.7 Campo eléctrico en un conductor

Dentro de un conductor cargado la carga es cero.

Supongamos una esfera conductora con exceso de carga positiva en el centro.

+++ +

Un electrón siente un campo creado por la carga positiva, neutralizándola,pero dejando un exceso de carga detrás.

20


+++ +

e-

Este proceso se repite hasta llegar a la superficie del conductor, donde se detie-ne el proceso. Entonces la esfera conductora se queda con la carga en la superficie.

++

++++++

++

+++

++

+ + + + ++

+++

Otra observación es que en un conductor la carga se concentra mayoritaria-mente en las zonas "puntiagudas".

++

++++++

++

+++

++

+ + + + ++ +

++

++

Del hecho que en los conductores la carga está en la superficie se sigue que elcampo dentro del conductor es siempre cero. Por ejemplo tomemos, nuevamente,un conductor esférico de radio R, entonces la magnitud del campo eléctrico enfunción de la distancia al centro de la esfera tiene el siguiente comportamiento.

21


r

E

R

Si se tiene una esfera conductora en un campo uniforme esta se polarizará has-ta que se cree un campo eléctrico por esta carga polarizada que cancele el campoeléctrico externo.

~Eo

--

--

-----

--

- ++

++++++

++

++

~E1

~Eo + ~E1 = 0

Esto ocurre si se está en electrostática, es decir, que ha pasado suficiente tiempo

22


para que deje de existir movimiento de cargas.Ahora, supongamos que se tiene un conductor con una cavidad en su interior

y cargado, y construyamos una superficie gaussania alrededor de la cavidad.

+

+

+++++

+

+

+

+

++ + + +

+

+

+

De acuerdo a la ley de Gauss:∮

E · ~ds =qenc

εo

Como el campo eléctrico dentro del conductor es cero se tiene que el lado iz-quierdo de la igualdad es cero, con lo cual no hay cargas en la superficie de lacavidad. Ahora, consideremos un conductor con una cavidad y además carga qdentro de la cavidad.

+

+

+++++

+

+

+

+

++ + + +

+

+

+

Como dentro del conductor el campo es nulo se tiene que para la superficiegaussiana propuesta se cumple:

∮E · ~ds = 0 =

qenc

εo=⇒ qenc = 0

Es decir, la carga encerrada por la superficie es igual a cero. Como q 6= 0 sig-nifica que debe hacer una carga de igual magnitud y de sentido contrario. Comodebe cumplirse para toda superficie que esté dentro del conductor, se sigue queesta carga debe de estar en la superficie interna de la cavidad. Es decir, cuando

23


hay carga dentro de la cavidad el conductor se polariza para lograr preservar uncampo eléctrico nulo en el conductor. Finalmente, se tiene que el estado final delconductor es:

+

+

++

+

+

+

+

++

+

+

+--

------

- - ---

Dentro del conductor el campo eléctrico es cero, pero si se tiene carga den-tro de la cavidad, en esta sí hay campo eléctrico.

3. ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO EN EL VACÍO

3.1 Energía potencial eléctrica

La fuerza eléctrica puede ser considerada una fuerza conservativa, ya que sela puede expresar de la forma

~F = f (r) r

Donde r es la distancia de acción de la fuerza y r un vector unitario.

Por esta razón se puede introducir un escalar para determinar la fuerza de laforma

~F = −∇U(r)

Donde U es la expresión de la energía potencial y es una función solo de laposición.

3.1.1. Deducción general de la energía potencial durante un desplazamientoarbitrario

Consideremos una carga positiva q1 fija que genera un campo eléctrico en elcual se desplaza otra carga q0 por una trayectoria arbitraria como se muestra.

24


~dr~F

Donde ~dr es un diferencial de desplazamiento. Tanto el vector de desplaza-miento como la fuerza se pueden descomponer en su componente paralela y per-pendicular con respecto a la fuerza:

~F = F|| ~e|| + F⊥ ~e⊥

~dr = dr|| ~e|| + dr⊥ ~e⊥

Donde ~e⊥,~e|| son unitarios perpendiculares y paralelos respectivamente. Conesto

W =∫

~F · ~dr =∫(F|| ~e|| +>

0F⊥ ~e⊥) · (~e|| + dr⊥ ~e⊥)

=∫

F|| dr||

El trabajo realizado por el campo eléctrico no depende de la trayectoria. Estosugiere que la fuerza eléctrica es conservativa y el trabajo es almacenado en formade energía potencial.

Al tener una expresión para la componente paralela de la fuerza se tiene queel trabajo tiene la expresión.

W =∫ r f

ri

F dr =∫ r f

ri

14πεo

q1q0

r2 dr = − q1q0

4πεo

(1r f− 1

ri

)

Al ser independiente del desplazamiento de la partícula se puede escribir, gra-cias al teorema trabajo energía:

25


W = −∆U

− q1q0

4πεo

(1r f− 1

ri

)= −∆U = −(U f −Uo)

∴ U(r) =1

4πεo

q1q0

r

Recordamos que el punto cero de la energía eléctrica se establece en el infinito,lejos de cualquier carga eléctrica.

La energía representa el trabajo realizado al transportar una carga de pruebadesde un punto al infinito.

Hay que tener muy en cuenta quien realiza el trabajom si es POR o SOBREel sistema, si es realizado por un agente externo solamente se debe cambiarde signo al trabajo calculado realizado por la fuerza eléctrica.

Otra forma de ver el teorema de trabajo energía es dW = −dU. Como U solodepende de la posición, la diferencial total, en coordenadas cartesianas, se puedeescribir como:

dU =∂U∂x

dx +∂U∂y

dy +∂U∂x

dz

Entonces el trabajo realizado se escribe como:

dW = −(

∂U∂x

dx +∂U∂y

dy +∂U∂x

dz)

(2)

De igual manera, de la definición de trabajo:

dW = Fxdx + Fydy + Fzdz (3)

De (2) y (3):

Fx = −∂U∂x

Fy = −∂U∂y

Fz = −∂U∂z

En forma vectorial se puede expresar como:

~F = −(

∂U∂x

i +∂U∂y

j +∂U∂x

k)

26


~F = −∇U(r)

Con esto se muestra que el campo electrostático es un campo conservativo.

3.2 Energía potencial y fuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza conservativa no depende de la trayectoriade movimiento, solo de la posición inicial y final.

(2)

(3)

(1)

W1 = W2 = W3

Recordando la definición de la energía potencial se tiene que solo aparece enun sistema de al menos dos cargas:

La energía potencial eléctrica es una propiedad compartida delsistema.

El signo de la energía potencial eléctrica se define como

• Si las dos cargar tienen el mismo signo

U(r) > 0

r

U

U > 0

+ +

r

- -

r

Tiene posibilidad de re-alizar trabajo para sepa-rar a las cargas

27


• Si las dos cargar tienen signo distinto

U(r) < 0

r

U

U < 0

+ -

r

- +

r

No tiene posibilidad derealizar trabajo para sep-arar a las cargas

Siempre es de atraccion(signo negativo) por esono tiene capacidad deproducir trabajo

Por ejemplo, la energía potencial gravitacional es negativa pues es siemprede atracción.

3.3 Energía potencial de un sistema de cargas

La energía potencial eléctrica es la suma escalar de cada una de las energíascreadas por cada carga.

U(r) =1

4πεo

n

∑i<j

qiqj

rij

4. POTENCIAL ELÉCTRICO

De la misma manera que habíamos definido la fuerza a través de la energíapotencial podemos definir la intensidad de campo eléctrico a través del potencial.Si se define

ϕ =U(r)

q

Se sigue que:

28


~Fq= ~E = −∇U(r)

q= −∇ϕ(r)

Con esto se define el potencial eléctrico como:

ϕ =1

4πεo

qr

Es la energía potencial por unidad de carga, o el trabajo realizado por unidadde carga.

En es SI la unidad de potencial es el voltio

V = [Voltio] = [ Joules/

Coulombio ]

Ahora, si se divide el trabajo para una carga de prueba q se obtiene:

Wq

= −∆Uq

= −(U f

q− Ui

q

)= ϕi − ϕ f = −∆ϕ = Vi f

Entonces, el trabajo realizado por unidad de carga es la diferencia de potencialentre los puntos iniciales y finales. Esto se denomina "voltaje".

El voltaje se puede definir como el trabajo por unidad de carga necesario parallevar una carga de prueba del punto a al punto b.

Wabq

= Vab

Se lee como "el voltaje en a respecto a b".

Otra definición equivalente para el voltaje se desprende de la definición detrabajo, es decir:

Vab =1q

∫~F · ~dr =

1q

∫q~E · ~dr =

∫~E · ~dr

∴ Vab =∫ b

a~E · ~dr

La diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor es cero.

Si se tiene un sistema de cargas

29


ϕ =1

4πεo

n

∑i=1

qiri

Y para una distribución continua

ϕ =1

4πεo

∫ dqr

El punto de potencial cero se lo puede escoger arbitrariamente, si no se loespecifica se lo toma como el infinito.

Es potencial y la energía potencial eléctrica disminuyen en el mismo sentidoque va las líneas de campo.

+

30 V

50 V

ϕ aumenta conforme nos acercamos a la car-ga.

-

-30 V

-50 V

ϕ disminuye conforme nos acercamos a lacarga.

4.1 Superficies equipotenciales

Son superficies en las cuales el potencial y la energía potencial toman el mismovalor en cualquier punto perteneciente a la superficie. Una característica impor-tante es que dos superficies de diferente potencial nunca se intersecan o se cruzan.

Además, las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipoten-ciales, a su vez paralelas a los vectores normales a la superficie.

Si una carga se desplaza a lo largo de una superficie equipotencial el campo norealiza trabajo alguno sobre la carga.

30


W=

0

W6=

0

Los círculos azules representan a las superficies equipotenciales

Cuando las cargas están en reposo la superficie de un conductor es unasuperficie equipotencial, con esto el campo eléctrico es perpendicular a lasuperficie en cada punto.

Electronvolt (eV):

Es una medida de energía. 1 eV se define como la energía cinéticaadquirida por un electrón al ser acelerado a través de una diferenciade potencial de 1 V.

Revisemos un caso particular, el de un campo uniforme paralelo al desplaza-miento de una partícula.

Vab =∫

E dr

= E∫

dr

= E ∆r

∴ E =Vab∆r

Por esta razón el campo eléctrico también se mide en V/m .

Algo importante a recordar es que la diferencia de potencial entre dos pun-

31


tos a y b en un campo eléctrico uniforme E es:

|Vab| = E d

Donde d es la distancia de separación entre los puntos.

Ejercicio 2. Calcular la diferencia de potencial entre dos placas paralelas infi-nitas de densidad de carga superficial σ y separadas una distancia d como enla figura.

σ (+) σ (−)

d

Solución. Se sabe que el campo eléctrico es normal a las placas infinitas y tienemagnitud de σ

/εo . Escogemos un punto a en la placa positiva y un punto b en la

placa negativa.

σ (+) σ (−)

a b

Como el campo eléctrico va de la placa positiva a la negativa entonces:

ϕa > ϕb =⇒ Vab > 0

32


Como se tiene un campo uniforme, por la nota anterior se tiene que:

Vab =σ

εod

Además, como toda la placa está a un mismo potencial, el resultado anteriorse cumple para todos los puntos de las placas siempre que a y b sean de las placaspositiva y negativa respectivamente.

4.1.1. Superficies equipotenciales en un dipolo

Figura 15: Superficies equipotenciales y líneas de campo para dos cargas, una de 1 µC yotra de -1 µC. Fuente: Electric Field Lines Due to a Collection of Point Charges, Wolfram

Demonstration Project

Figura 16: Superficies equipotenciales y líneas de campo para dos cargas ambas de 1 µC.Fuente: Electric Field Lines Due to a Collection of Point Charges, Wolfram Demonstration

Project

33


4.2 Ecuación de Poisson para el campo electrostático

De la ley de Gauss se tiene:

∇ · ~E =ρ

εo

Además:

~E = −∇ϕ

Con esto:

∇ · (−∇ϕ) =ρ

εo

∇2 ϕ = − ρ

εo

Recordando que el operador laplaciano se define como ∆ = ∇2 se tiene laEcuación de Poisson:

∆ϕ = − ρ

εo

Si en el sistema no existen cargas, entonces la ecuación anterior se denominaecuación de Laplace:

∆ϕ = 0

5. DIPOLO ELÉCTRICO

Un dipolo eléctrico se define como un par de cargas de la misma magnitudseparadas una cierta distancia d.

~p

ep

d

Donde ~p es el vector dipolo eléctrico y ep es un vector unitario que va de lacarga negativa a la positiva. Si las cargas tienen magnitud q, el vector se lo escribe

34


como:

~p = qd ep

5.1 Campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico

La forma más fácil de conseguir el campo eléctrico debido a un dipolo es en-contrando el potencial creado por este dipolo en el espacio, entonces:

~E = −∇ϕ

5.1.1. Potencial creado por un dipolo eléctrico

Se considera un par de cargas en un sistema esférico de coordenadas a unadistancia de d/2 del origen cada una y centradas en el eje z, como se muestra enla figura:

x

y

z

r

P

φ

θ

Y además se considera la distancia r de medición es mucho mayor que la dis-tancia d de separación. Se puede mostrar que, con estas condiciones, el potencialϕ tiene la expresión:

ϕ(r, θ) =p

4πεo

cos(θ)r2 p = |~p| = dq

I Características del potencial eléctrico

35


ϕ ∼ 1r2 ϕ ∼ cos(θ) ϕ ∼ p

Es decir, el potencial solo es función de r y de θ.

El potencial de un dipolo disminuye con la distancia más rápido que el deuna carga puntual.

r[m]

ϕ[V

]

DipoloPuntual

Calculando el campo eléctrico en coordenadas polares se tiene:

~E = −∇ϕ =|~p|

4πεor3

(2 cos(θ) r + sen(θ) θ

)

El gradiente en coordenadas esféricas se lo representa como:

∇A =∂A∂r

r +1r

∂A∂θ

θ+1

r sen(θ)∂A∂φ

φ

I Características del campo eléctrico en un dipolo

E ∼ 1r3 E ∼ p

Además E = E(r, θ).

36


r[m]

E[V

/m

]

DipoloPuntual

Para un tripolo y un cuadripolo los campos eléctricos decaen mucho más rá-pido, es por eso que a niveles macroscópicos no se observa el efecto de estos, estose conoce como fenómeno de apantallamiento.

5.2 Fuerzas sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme

Se considera la siguiente configuración:

~E

+q

−q

θ

~F

−~F

d

O

Cada carga en el dipolo sentirá una fuerza de igual magnitud pero sentidocontrario debido al campo eléctrico, la fuerza total sobre el dipolo es cero.

Además, el dipolo sentirá un torque, resultado de las fuerzas sobre las carga, ygirará sobre el punto O. Se puede demostrar que el vector de torque alrededor deO está dado por:

~τ = ~p× ~E

37


Al depende el torque aplicado del ángulo entre el vector dipolo y el campoeléctrico (por el producto cruz), podríamos introducir una energía potencial U alarreglo. Se puede mostrar que esta viene dada por

U = −~p · ~E = −pE cos(θ)

Se puede graficar el comportamiento de U vs θ:

π2

π 3π2

Umin

0

Umax

θ[rad]

U[J

]

U

Se puede ver que el punto de energía mínima es cuando el vector dipolo y elcampo eléctrico son paralelos y el punto de energía máxima es cuando el vectordipolo y el campo eléctrico son antiparalelos.

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme

Fuerza neta

~F = 0

Torque

~τ = ~p× ~E

Energía potencial

U = −~p · ~E

6. CAPACITANCIA

38


6.1 Capacitores

Un capacitor es un dispositivo conformado por dos conductores aislados entresí, como se aprecia en la figura 17. Este dispositivo es capaz de almacenar energíaeléctrica.

+Q −Q

Figura 17: Conductores aislados entre sí. Fuente: Stack Exchange

En diagramas de circuitos se lo representa como:

O si se quiere especificar qué extremo tiene polaridad positiva (extremo recto)se representa como

Experimentalmente se puede observar que, si se somete a un capacitor a unadiferencia de potencial, es decir, que un conductor esté a un potencial y el otro aotro, por ejemplo, a través de una batería, se tienen observaciones importantes.

Primeramente, se ve que si se aumenta la diferencia potencial (voltaje) entrelos conductores la carga que adquieren estos es mayor, y, además, el conductorque está conectado a un potencial mayor almacena carga positiva, y el en que estáconectado a un potencial menor se almacena carga negativa.

39


Otra forma de ver la afirmación anterior es que las cargas negativas van allugar de mayor potencial, dejando atrás un exceso de carga positiva, y alrevés con la carga positiva. Nos podríamos preguntar quién hace el trabajode mover las cargas hasta los conductores. En el caso propuesto, el trabajoes realizado por la batería.

Otra observación que se puede extraer es que el voltaje máximo que se tieneentre los conductores es el mismo que el de la batería. Esto se debe a que si no fue-ra el mismo, existiría un gradiente de potencial, lo cual genera un campo eléctricolo que hace que las cargas se sigan moviendo hasta que el voltaje sea el mismo, esdecir que no existan diferencias de potencial.

Por último, una vez que ya no existan diferencias de potencial, la densidad decarga se mantiene constante en los conductores.

Estas observaciones se pueden visualizar con la ayuda de las animaciones dePhET.

Con esto se tiene que:

Q ∼ V =⇒ Q = CV

Con esto, la capacitancia se define como

C =QV

En el SI la capacitancia se mide en Faradios [F].

[Faradio] = [Coulombio]/[Voltio]

La capacitancia es la medida de la cantidad de energía eléctrica que puede al-macenar en un capacitor. Esta depende de la forma y tamaño de los conductores,pero también del material aislante.

Los capacitores mas usados se pueden clasificar por su forma: de placas pa-ralelas, esférico y cilíndrico. En todos estos casos, se tienen dos conductores y unaislante entre ellos.

40

https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/capacitor-lab


6.1.1. Capacitor de placas paralelas

Se consideran dos placas paralelas, de dimensiones dadas en la figura, some-tidas a un voltaje V. Debido a esto se produce un campo eléctrico entre las placas.

+Q

−Q

`

V

d

En la imagen no se toman en cuenta efectos de borde en el campo eléctrico.

Además, se considera que ` d y que el campo eléctrico entre las placas esuniforme. Por estas consideraciones se puede considerar al campo como el creadopor placas infinitas, entonces la magnitud de este es:

E =σ

εo=

QAεo

A = `d

Normalmente se usa al vacío como aislante. Nuevamente, tomando la consi-deración de la uniformidad, y por el ejercicio ejercicio 2, se tiene:

V = E d =Q dAεo

Entonces, la capacitancia para este tipo de capacitores está dada por:

C =QV

= εoAd

Se ve que la capacitancia solo depende de las dimensiones de este. Como ge-neralización se puede afirmar que:

La capacitancia depende únicamente de la geometría del capacitor.

La capacitancia es incluso independiente de la carga del capacitor y la diferen-cia de potencial entre los conductores, ya que cambian proporcionalmente.

6.1.2. Capacitor cilíndrico

Se consideran un cilindro conductor de longitud L y radio a, además, se tieneun cascarón cilíndrico conductor concéntrico de radio b. Ambos tienen una densi-

41


dad de carga lineal λ > 0 como se muestra en la figura.

ab

−λ

+λ

L

Se considera a L mucho mayor que la separación entre los conductores, esdecir, L b− a, entonces podemos considerar al campo eléctrico entre los con-ductores como el creado por una varilla infinita. Además, se obvian los efectos deborde.

Usando la ley de Gauss se puede demostrar que el campo eléctrico es unifor-me, está en dirección radial y tiene una magnitud de

E =λ

2πεor

Con r la distancia medida desde el centro del conductor cilíndrico, y además,a < r < b. Con esto, se puede calcular el voltaje entre los conductores usando ladefinición de este como la integral de línea y escogiendo un camino de integraciónen dirección radial, de la siguiente manera:

V =∫

~E · ~dr =∫ b

aE dr =

λ

2πεoln(

ba

)

Además la carga de cada conductor es Q = λL. Por definición de capactanciase tiene

C =QV

= εo2πL

ln (b/a)

∴ C = εo2πL

ln (b/a)

Nuevamente se tiene la capacitancia solo depende de la geometría.

42


6.1.3. Capacitor esférico

Se considera una esfera conductora con carga Q > 0, también, una corazaesférica conductora concéctrica con carga −Q, como se muestra en la figura.

+Q

−Qab

Nuevamente, con la ley de Gauss se puede obtener el campo eléctrico entre losconductores, y, escogiendo un camino de integración radial, se tiene que el voltajeentre los conductores es:

V =∫ b

a

14πεo

Qr2 dr =

Q4πεo

b− aab

Con esto y la definición de capacitancia se tiene que:

C = 4πεoab

b− a

Nuevamente, se comprueba que solo depende de la geometría:

43


Capactancias

Placas paralelas

C = εoAd

Cilíndrico

C = εo2πL

ln (b/a)

Esférico

C = 4πεoab

b− a

Con todas las consideraciones expuestas anteriormente.

6.2 Capacitores en serie y en paralelo

Aún existiendo muchos tipos de capacitores, los fabricantes solo crean capa-citores de algunos valores de capacitancia específicos. Para obtener el valor decapacitancia que se requiera se conecta capacitores en serie o en paralelo segúnsea el propósito.

De aquí se desprende la definición de Capacitancia Equivalente, que es la capa-citancia de un solo capacitor que representa a todo aquellos que estén conectadosen serio o en paralelo.

Una primera definición para los diferentes tipos de conecciones es:

• Serie: Si un elemento está conectado a continuación de otro sin ningunabifurcación entre sus terminales.

• Paralelo: Si las terminales de un elemento están conectados entre sí.

6.2.1. Capacitores en serie

Se considera la siguiente configuración formada por dos capacitores conecta-dos en serie sometidos a una diferencia de potencial entre los extremos a y b:

44


Vab = V

a

b

Debido a la diferencia de potencial, las placas superior e inferior se cargan.Suponiendo que el potencial en a es mayor se tiene:

Vab = V

+ + ++

- - --

+Q

-Q

a

b

Se ve que la parte del medio del arreglo no está conectada a nada, entoncesdebido a las placas cargadas el conductor se polariza obteniendo la misma carga:

Vab = V

+ + ++

- - --

+ + ++

- - --

+Q

-Q

+Q

-Q

a

b

Además, si señalizamos un punto c entre los capacitores, podemos considerardos diferencias de potencial, entre a y c y entre c y d:

45


Vab = V

+ + ++

- - --

+ + ++

- - --

+Q

-Q

+Q

-Q

a

b

c

Vac = V1

Vcb = V2

También se sabe que la diferencia de potencial se suma, es decir, la diferenciade potencial entre a y b es la suma de la diferencia de potencial entre a y c y entrec y d.

V = V1 + V2

Por otra parte el arreglo anterior se lo puede representar como un solo capacitorequivalente con la misma carga de cada uno, y sobetido al voltaje ab, es decir:

CeqVab = V+ + ++

- - --

+Q

-Q

a

b

Si llamamos C1 y C2 a los capacitores que tienen una diferencia de potencial V1

y V2 respectivamente, y recordando la definición de capacitancia se tiene:

V =V1 + V2

QCeq

=QC1

+QC2

1Ceq

=1

C1+

1C2

Generalizando para n capacitores en serie se tiene:

46


1Ceq

=n

∑i=1

1Ci

La capacitancia equivalente de un arreglo de capacitores en seriesiempre es menor a cualquier capacitor del arreglo.

6.2.2. Capacitores en paralelo

Se considera la siguiente configuración formada por dos capacitores conecta-dos en paralelo sometidos a una diferencia de potencial entre los extremos a yb:

a

b

Debido a la diferencia de potencial los capacitores se cargan, si se supone quetienen diferente capacitancia se tiene:

a

b

+ + + +

- - - -

+Q1

-Q1

+ + + +

- - - -

+Q2

-Q2

Como las partes superiores de los dos capacitores están conectadas entre sí porun cable conductor estas están a un mismo potencial, lo mismo para las partesinferiores. Por Entonces se tiene:

V = V1 = V2

C1 =Q1

VC2 =

Q2

V

47


Además, se puede sustituir al arreglo con un capacitor equivalente:

Ceq

+ + ++

- - --

+Q

-Q

a

b

Por otra parte, a diferencia del arreglo en serie, la carga del capacitor equiva-lente no es igual a la carga de ningún capacitor, en lugar de esto se tiene que:

Q = Q1 + Q2

Con esto:

Q =Q1 + Q2

CeqV =C1V1 + C2V2

Ceq =C1 + C2

Generalizando para n capacitores en paralelo se tiene:

Ceq =n

∑i=1

Ci

La capacitancia equivalente de un arreglo de capacitores en paralelosiempre es mayor a cualquier capacitor del arreglo.

Resumiendo, si se consideran n capacitores en un arreglo con carga Qi y voltajeVi, entonces:

48


Capacitancia equivalente

En serie:

Q = Q1 = · · · = Qn V = V1 + · · ·+ Vn

1Ceq

=n

∑i=1

1Ci

En paralelo:

V = V1 = · · · = Vn Q = Q1 + · · ·+ Qn

Ceq =n

∑i=1

Ci

6.3 Almacenamiento de energía en capacitores

Una de las principales funciones de un capacitor es almacenar energía eléctri-ca. Para almacenar dicha energía es necesario realizar un trabajo para mover lascargas negativas y positivas a los respectivos conductores.

Ese trabajo es almacenado en forma de energía, la cual se libera una vez quese descarga el capacitor. Sea v el voltaje variable en el capacitor mientras este secarga y q la carga variable. Entonces de la definición de voltaje y capacitancia setiene:

W =∫

dW =∫ Q

0v dq =

∫ Q

0

qC

dq =Q2

2C

Por tanto, la energía almacenada en el capacitor es:

U =Q2

2C

El punto cero de la energía se lo define como el momento en que el capacitorestá descargado.

Además, se tiene las siguientes equivalencias:

U =Q2

2C=

QV2

49


Es posible hacer una analogía entre la energía potencial de un resorte U=

− k2

x2 y la energía del capacitor, donde Q representa la elongación y el recí-proco de la capacitancia representa la constante k.

6.4 Densidad de energía del campo eléctrico en el vacío

La densidad de energía es la cantidad de energía dividida para el volumen.

Recordemos que si tenemos un capacitor de placas paralelas:

V = Ed C = εoAd

Como el campo eléctrico es uniforme la densidad de energía, representada comou se puede calcular como:

u =U

Volumen=

Q2

2C1

Ad=

Q2

21

εoAd

1Ad

u =Q2

2εo A2 =Q

2AQ

Aεo︸︷︷︸E

εo

εo=

E2

2εo

∴ u =E2 εo

2

Como u es una cantidad física real, entonces se tiene que E es un conceptofísico real.

Este parámetro representa cuánta energía está almacenada en el volumen.

No depende de medidas geométricas ni de la forma. Aunque la expresión sela dedujo para un capacitor de placas paralelas sirve para cualquier tipo de confi-guración de campo eléctrico en el vacío.

7. DIELÉCTRICOS Y VECTOR DE POLARIZACIÓN

Dieléctricos:Son materiales no conductores que se utilizan comúnmente para ais-lar a dos conductores.

50


DielectricoConductores

Sirve para poder poner a dos conductores a distancias muy pequeñas.

La presencia de un dieléctrico entre 2 conductores permite aumentar al máxi-mo la diferencia de potencial.

Cuando entre los conductores de un capacitor existe un dieléctrico la capaci-tancia aumenta.

Primeramente, analicemos el efecto de un campo eléctrico uniforme en molé-culas polares y moléculas no polares.

IMoléculas polaresLas moléculas polares tienen un momento dipolar, por ejemplo, la molécula de

agua. Si tenemos varias moléculas polares en un medio estas tienen sus dipolosorientados de manera aleatoria:

Una vez se le aplica un campo eléctrico externo uniforme ~E se tiene que losmomentos dipolares rotan hasta alinearse con el campo:

~E

51


IMoléculas apolaresLas moléculas apolares no tienen un momento dipolar inicial, por ejemplo, la

molécula de oxígeno.

Una vez se le aplica un campo eléctrico externo uniforme ~E se tiene que secrean momentos dipolares pequeños porque la carga se redistribuye en el sentidodel campo:

~E

7.1 Carga inducida y polarización

Por lo anterior expuesto si se pone un material entre los conductores de uncapacitor los dipolos del material se orientarán predominantemente en direccióndel campo eléctrico creado por el capacitor.

Dentro del dieléctrico en principio los momentos dipolares están orientadosde forma aleatoria.

52


Al poner el dieléctrico dentro del campo los momentos dipolares rotan. Comohay muchos momentos dipolares la carga de uno se cancelan con cargas de otro.

-

+ -

+ -

+ -

+

Se cancelan

Al pasar esto en un dieléctrico las únicas cargas que no se cancelan son las queestán en los extremos. Entonces, se tiene la siguiente situación:

σ -σ

Se introduce undielectrico

σ -σ

--------

++++++++

NO hay movilización de cargas, solo rotan los momentos dipolares y por estoexiste una carga inducida.

Cuando no hay un dieléctrico las placas crean un campo eléctrico de la pla-ca positiva a la placa negativa. Una vez la carga se polariza en el dieléctrico creaun campo eléctrico en sentido contrario, lo cual debilita el campo creado por elcapacitor, esto se puede ver como que las cargas totales que crean el campo dismi-nuyen.

53


Si las placas no están conectadas a una diferencia de potencial, al poner undieléctrico el voltaje disminuye porque las cargas totales disminuyen.

En el capacitor sin dieléctrico se tiene:

C0 =QV0

con el dieléctrico queremos encontrar

C =QV

La carga no cambia, pues no influye en las placas.

C0V0 = CV =⇒ CC0

=V0

V=

E0dEd

CC0

=E0

E

Como la capacitancia final es mayor que la inicial el campo final es menor alinicial, entonces el campo inicial es mayor que el final.

7.2 Constante dieléctrica

La razón k = C/C0 se denomina constante dieléctrica.

k ≥ 1

Caracteriza en cuántas veces aumenta la capacitancia después de que se intro-duce el dieléctrico.

Caracteriza en cuántas veces cae el campo eléctrico después de que se introdu-ce el dieléctrico.

Además, cuando la carga es constante en las placas, la carga superficial des-pués de introducir el dieléctrico en el capacitor es σ− σi, donde σi es la densidadde carga inducida. Además:

E0 =σ

εoE =

σ− σiεo

Al reemplazar estas ecuaciones en:

54


E =E0

kSe obtiene:

σi = σ

(1− 1

k

)

Esto significa que si k es lo suficientemente grande, la carga inducida puedealcanzar valores cercanos a la carga originar, cancelando de esta manera el campoeléctrico.

7.3 Ruptura del dieléctrico

Cuando el campo eléctrico sobrepasa cierto límite este "rompe" al dieléctrico,convirtiéndolo en un conductor.

El campo eléctrico arranca electrones de ciertos átomos y los lanza contra otros,creando una "avalancha". Es por eso que los capacitores tienen un voltaje máximonominal.

La magnitud máxima de campo eléctrico a la que puede someterse un dieléc-trico se denomina rigidez dieléctrica.

7.4 Campo eléctrico en el dieléctrico

EL campo en el dieléctrico puede ser presentado como la suma de los camposexternos y de la cargas polarizadas:

~E = ~E0 + ~E′

• ~E0 es el campo eléctrico inicial.

• ~E′ es el campo eléctrico creado por el medio.

• ~E es el campo eléctrico total.

Usemos la ley de Gauss con una superficie cilíndrica, así:

55


σ -σ

--------

++++++++

~E

Con esto, el flujo del campo eléctrico total viene dado por:

∮~E · ~ds =

qenc

εo=

qlibre + q′

εo

Donde qlibre es la carga encerrada por la superficie en la placa y q′ la carga in-ducida en el dieléctrico.

Ahora, como se dijo antes, los momentos dipolares en el material tienen direc-ciones aleatorias:

pero si ese material se la introduce en un campo eléctrico externo los dipolos seorientan al experimentar un torque, y el sistema busca la configuración con menorenergía:

56


~E0

El vector ~E′ puede ser caracterizado por la Polarización del medio, que se definecomo:

Vector Polarización:

Es el momento dipolar eléctrico sobre unidad de volumen:

~P =1

∆V ∑∆V

~pi

Donde ~pi es el momento dipolar eléctrico en cada molécula. y la su-matoria se realiza en una unidad de volumen infinitesimal. Tambiénse puede poner como:

~P = lım∆V→0

1∆V ∑

∆V~pi

La polarización también puede ser expresada en función de la densidad demoléculas n y el momento dipolar medio de una molécula 〈~p〉.

~P = n〈~p〉 n = NV

Donde N es el numero de moléculas en el volumen V.

Si la polarización es constante en toda la sustancia se habla de un material conpolarización uniforme.

Nos interesa encontrar una expresión para el flujo del vector polarización. Sepuede demostrar que:

57


∮~P · ~ds = −q′

7.5 Desplazamiento de campo eléctrico

Reemplazando la carga polarizada en la ecuación del campo eléctrico total setiene

∮εo~E · ~ds = qlibre −

∮~P · ~ds

Además, se pueden escoger las mismas superficies de integración para los vec-tores ~E y ~P, con estro

∮(εo~E + ~P) · ~ds = qlibre

Ahora, se define:

~Dεo~E + ~P

Como el vector desplazamiento de campo eléctrico. De esta manera el flujo de ~D esigual a la suma de todas las cargas libres encerradas en la superficie gaussiana.

~D · ~ds = qlibreencerrada

7.6 Relación entre ~E y ~P

Es notable que el vector polarización está ligado al vector ~E, pues los dipolosexperimentan un torque que depende de la magnitud del campo eléctrico, enton-ces ~P es proporcional a ~E.

Al coeficiente de proporcionalidad se lo conoce como suceptibilidad eléctrica yse lo representa por χ.

~P = χεo~E

χ es adimensional y positiva, además, caracteriza la capacidad de un mediopara polarizarse en un campo eléctrico externo.

Si el medio es isotrópico eléctricamente (invariante a traslación y rotación) ~E y~P tiene la misma dirección, de lo contrario NO.

58


7.7 Relación entre ~E y ~D

Reemplazando el vector ~P en la definición de ~D se tiene

εo~E + ~P =~D

εo~E + χεo~E =~D~D =εo~E(1 + χ)

A la magnitud εo(1 + χ) se la define como la permitividad eléctrica del medio.Se la denota por ε = εo(1 + χ). De esta foma se puede definir a la permitividadrelativa o constante dieléctrica como

k =ε

εo

Por la definición de ε se tiene que k ≥ 1 pues χ es positiva. Finalmente:

~D = ε~E

Esta relación se cumple siempre y cuando se cumpla que

~P = χεo~E

7.8 La permitividad eléctrica

A la magnitud ε = kεo se la denomina permitividad eléctrica del material. No-temos que las dimensiones de ε y de εo don las mismas pues k es adimensional.

El campo eléctrico, energía y demás cantidades se ven alteradas cuando en lu-gar de vacío se trabaja en un dieléctrico.

Por ejemplo, si se tiene un material dieléctrico con permitividad ε:

• Campo eléctrico entre dos placas paralelas:

E =σ

ε

• Capacitancia de un capacitor de placas paralelas:

C = kC0 = kεoAd

= εAd

59


• Densidad de energía:

u =12

kεoE2 =12

εE2

La permitividad eléctrica puede, además, depender de la frecuencia del campoeléctrico externo y de la posición, es decir: ε(ω), ε(~r), ε(ω,~r).

Si χ es constante entonces ε es constante y todas las fórmulas de cam-po eléctrico vistas en el vacío se pueden emplear para el medio cam-biando εo por ε. Si varían con la frecuencia o la posición NO se puede.

8. CORRIENTE ELÉCTRICA CONTINUA Y RESISTENCIA

8.1 Corriente eléctrica

La corriente I se define como todo movimiento de carga de un lugar a otrorealizado en un intervalo de tiempo. Es decir:

I =dQdt

Es decir, si en un espacio en donde no hay carga hay un ∆Q en un ∆t.

Estudiemos qué sucede con las cargas dentro de un conductor. En ausencia decampo eléctrico los electrones de un conductor se comportan con un movimientobrowniano. En el momento en el que se establece un campo eléctrico los electronesexperimentan una fuerza igual a:

~F = q~E

Esta fuerza acelera a los electrones en una dirección determinada, pero, debidoa las constantes colisiones el movimiento es muy diferente a aquel que pasa en elvacío.

Se considera que los que se mueven son los electrones y no los protones,pues estos últimos experimentan una aceleración mucho menor que loselectrones debido a su masa.

Consideremos un electrón en un cable conductor cilíndrico, primeramente, sincampo eléctrico en el conductor:

60


Al no tener un campo eléctrico externo los movimientos son aleatorios:

∗∗

∗ ∗

∗

∗ Colision con

otros electrones.

− Trayectoria.

En conjunto los

desplazamientos

de todos los

electrones tiende

a cero. ∆r → 0.

Una vez se aplica un campo eléctrico ~E se tiene

~F

~E

Y en este caso el desplazamiento será:

∗∗

∗ ∗

∗

d = vd d

~E

Existe un de-

splazamiento

horizontal d

resultante.

Este desplazamiento lo realiza en un tiempo t con una velocidad vd. A esta ve-locidad se la denomina velocidad de deriva, y es la velocidad con la cual los electro-nes se mueven en la dirección dada por el campo eléctrico. El orden de magnitudde la velocidad es de 10−4 m/s mucho menor a la velocidad real de los electrones

61


(106 m/s).

Una corriente es tratada como un flujo de cargas positivas sin importar que lascargas libres en el conductor sean positivas, negativas o ambas.

Como hemos dicho el conductor metálico las cargas en movimiento son elec-trones, pero la corriente aún apunta en la dirección en la que fluirían las cargaspositivas.

~E

~vd

I

La corriente eléctrica tiene "dirección" en la que se moverían las car-gas positivas.

La dirección y el sentido se puede ver con el vector densidad de corriente

~J =IS

s

Donde s es un unitario de superficie. Además:

I =∫~J · ~ds

La corriente eléctrica es una magnitud escalar. La unidad de la corriente en elSI es el Ampere.

[Ampere] =[

CoulombSegundo

]

8.1.1. Transportadores de carga

Hemos visto que en los materiales conductores los que transportan carga alsometerlo a un campo eléctrico son los electrones. En otros materiales existen otras"partículas" que trasportan cargas:

62


Transportadoresde carga

Conductores

ElectronesGas ionizado

Iones

Semi-conductores

Electronesy vacantes

Todos estos pueden generar una corriente. Se puede explicar los vacantes conel siguiente ejemplo: Consideremos átomos de silicio en un campo eléctrico:

~E

Si Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Al darle suficiente energía a uno de los electrones este sale, entonces le es fácila un electrón vecino ocupar su lugar:

63


~ESe vaOtro ocupa su lugar

Si Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Esto va sucediendo paulatinamente, entonces la vacante que van dejando loselectrones " se va movilizando" y se puede ver como una carga positiva despla-zándose.

8.2 Densidad de corriente eléctrica

La corriente por unidad de área es la sección transversal se denomina "densidadde corriente". Consideremos un cable conductor de sección transversal S y un vo-lumen diferencial de longitud vd dt en él, con vd la velocidad de deriva.

I = dqdt

S

vddt

Las cargas que entran y salen de ese volumen contribuyen a la corriente.

dq = ρdV

Con ρ la densidad de carga volumétrica. Además, la densidad se la puederepresentar por nq con n la densidad de cargas, y dV por Svddt.

dq = nqSvddt

dqdt

= nqSvd

I = nqSvd

64


J =IS= nqvd

~J = nqvd s

Las unidades de la densidad de corriente en SI:

[J] =[

Am2

]

Es una magnitud vectorial que surge al multiplicar la corriente por el vectorunitario de superficie.

8.3 Resistividad y ley de Ohm

Ahora se quiere analizar el conductor cuando se está polarizando debido a uncampo eléctrico E y el movimiento de las cargas en este momento. Por medidasexperimentales se tiene la siguiente relación:

J ∼ E

para un E grande se tiene una relación lineal. Eliminando la proporcionalidadintroduciendo una constante ρ se tiene:

J =Eρ

~J =~Eρ

ρ se conoce como resistividad. Es una magnitud que caracteriza a un materiala la oposición del paso de corriente:

ρ = E/J

A esta relación se la conoce como ley de Ohm y refleja condiciones experimentalesmas no una ley fundamental.

Solo algunos materiales cumplen la ley de Ohm, en su mayoría los conduc-tores.

Las unidades de la resistividad son:

65


[ρ] =

[VmA

]

Además, se define

Ω =VA

Como una unidad llamada Ohm. Entonces:

[ρ] = [Ωm]

Existe una magnitud inversa a la resistividad, denominada conductividad σ

que es la medida que caracteriza a la capacidad de conducir corriemte.

σ =1ρ

=⇒ ~J = σ~E

No siempre se cumple que~J || ~E, pues a veces σ es un tensor.

Un conductor perfecto tendría ρ = 0 y un aislante perfecto ρ→ ∞.

La resistividad de los semiconductores se encuentra entre la de los conduc-tores y aislantes. Mientras más o menos impurezas tenga en material cambia laresistividad.

Si un material obedece la ley de Ohm se denomina conductor lineal. Para estosmateriales ρ es una constante a una temperatura dada. También se los conoce co-mo materiales ohmicos.

A medida que la temperatura aumenta los iones dentro de estos materialesvibran con mayor amplitud, dificultando el movimiento de los electrones en este.Entonces, la resistividad es función de la temperatura, y se cumple que:

ρ(T) = ρ0[1 + α0(T − T0)]

Donde T es la temperatura, α0 es el coeficiente de la resistividad y ρ0 es laresistividad a la temperatura T0.

8.3.1. Resistividad y temperatura

Dependiendo del material se tiene que:

66


Se lo puedeaproximar auna recta

T

ρ

Figura 18: Metales: La resistividad aumenta con la temperatura.

T

ρ

Figura 19: Semiconductor: La resistividad disminuye con la temperatura.

67


T

ρ

Figura 20: Superconductor: Tiene una resistividad de cero por debajo de cierta temperaturadenominada temperatura crítica.

8.4 Resistencia

La ecuación que define a la resistividad es:

~E = ρ~J

Pero muchas vece no interesa la relación entre J y E. En lugar de esto nos in-teresa la corriente I y el potencial V.

Consideremos un cable de sección transversal S y longitud `. Cuando se loconecta a una diferencia de potencial se produce un campo eléctrico uniforme yconstante, por tanto:

V = E`

Además, de la definición de densidad de corriente se tiene:

J =IS

Entonces:

E =ρJV`=ρ

IS

68


I =Sρ`

V

Se define:

R =Sρ`

Que se conoce como resistencia y mide la oposición de un elemento de un ma-terial específico y geometría específica al paso de la corriente.

Para algunos casos se puede usar la definición de resistencia con diferen-ciales, como sigue:

dR = R =dSρ`

La cual puede ser usada para sección transversal variable.

Con esto:

I =VR

Que se conoce como la ley de Ohm generalizada. Es decir, el voltaje y la co-rriente son proporcionales y el coeficiente de proporcionalidad es la resistencia.

En el SI la unidad de la resistencia es el Ohm

Ω =VA

Es una magnitud escalar. La resistencia es una función de la temperatura asícomo la resistividad. Si los cambios no son muy grandes se tiene:

R(T) = R0[1 + α(T − T0)]

A los materiales que se usan para introducir una resistencia se los conoce comoresistores, y en circuitos eléctricos se los representa como:

69


8.4.1. Relación corriente-voltaje

Pendiente1/R

V

I

Figura 21: Resisitor Ohmico, a una temperatura dada la corriente es proporcional al voltaje

V

I

Figura 22: Diodo semiconductor, resistor no ohmico

8.5 Corriente en un conductor aislado al que se aplica un campo eléctrico

Recordemos el razonamiento que hemos tenido a lo largo de esta sección:

• Un campo ~E producido dentro de un conductor aislado genera una corrien-te:

70


~E

~JI

• La corriente hace que en los extremos se acumule carga:

~E

~JI

-----

+++++

• La carga acumulada produce un campo opuesto, lo que reduce la corriente.

• al cabo de un tiempo corto el nuevo campo generado es de la misma magni-tud de ~E, hasta que el campo total es cero y a corriente finalmente es cero.

Ahora, se busca un campo que no desaparezca en el tiempo, es decir, que setenga una corriente constante.

9. FUERZA ELECTROMOTRIZ (FEM)

Para empezar hay que tener claro que una la fuerza electromotriz no es unafuerza, sino que es un trabajo realizado por unidad de carga.

9.1 Fuentes de fem

Prácticamente todo circuito eléctrico posee una fem, estas pueden ser bateríassolares, baterías de litio, etc. Estas hacen que las cargas se muevan a un lugardonde la energía es mayor. En circuitos eléctricos se las representa como:

La corriente eléctrica sale del lado positivo de la fem.

71


9.2 Fem en un circuito abierto

+

-

Potencial mayor

Potencial menor

~Fn

~Fe

Fuerza noelectromo-triz

Fuerza elec-tromotriz

Va

Vab = E

Vb

Dentro de una fuente de fem las cargas tienden a moverse en segun los po-tenciales, en el caso propuesto la carga positiva tiende a ir del potencial mayoral potencial menor debido a la fuerza ~Fe. Dentro de la fuente suceden diferentesprocesos, por ejemplo, químicos, que generan una fuerza ~Fn, que hace ir a la cargadel potencial menor al potencial mayor.

El trabajo realizado por la fuerza no electrostática en este movimiento es igualal aumento en la energía potencial:

W = qE

Para una fem ideal se tiene:

Vab = E

Entonces:

[E ] =[

JC

]

El diagrama propuesto es el de una fuente de fem en una situación de "circuitoabierto", en esta situación Fn = Fe, entonces no hay movimiento de cargas.

72


9.3 Fem en un circuito cerrado

+

-

~E I

La fuente de fem establece un campo eléctrico dentro del cable. La diferenciade potencial entre los extremos del alambre es Vab = IR. Entonces, si la fuente defem es ideal:

E = Vab = IR

Cuando se tiene una fuente de fem conectada el aumento de potencial E queexperimenta una carga al pasar por la fuente es numéricamente igual que la caídade potencial que sufre al pasar por el resto del circuito.

9.4 Fem no ideal

El movimiento de cargas dentro de una fem siempre encuentra una resistencia,la cual es llamada resistencia interna. Una batería con resistencia interna se larepresenta en circuitos como:

+ −

Y el voltaje terminal de esta será:

Vab = E − Ir

Donde r es la resistencia interna de la fem. Entonces el voltaje terminal de lafem es menor que el voltaje E de la fem ideal. Además, si se conecta esta fem noideal a un resistor se tiene que el voltaje en el resistor es Vab = IR, donde I es lacorriente que pasa por el resistor, con esto:

E − Ir = IR

73


I =E

R + r

Con esto se tiene que una fem NO es una fuente de corriente eléctrica. La mis-ma fem conectada a diferentes circuitos puede establecer una corriente diferente.

Símbolos importantes para circuitos

Voltímetro: Mide diferenca de potencial entre sus terminales.Idealmente tiene una resistencia infinita.

V

Voltímetro: Mide la corriente que pasa a través suyo. Idealmentetiene una resistencia de cero.

A

9.5 Energía y potencia en circuitos

Muchas veces es necesario conocer el cambio de energía en un elemento de uncircuito en un intervalo de tiempo, es decir la potencia.

dUdt

= P dU = V dq dq = I dt

Con esto:

P = IV Potencia eléctrica

Esta es la rapidez con la que se extrae o introduce energía al circuito.

Tomemos en cuenta un elemento de un circuito eléctrico cualquiera conuna diferencia de potencial entre sus extremos:

a b

I

• Si Va > Vb se entrega energía al elemento del circuito y esta energía es trans-formada en calor, luz, sonido, etc. (potencia positiva).

• Si Va < Vb entonces es el elemento del circuito el que introduce energía alsistema, por ejemplo, una batería. (potencia negativa).

74


En una resistencia siempre se disipa energía, pues, debido a que las car-gas en movimiento colisionan con los átomos se transfiere energía a dichosátomos, lo cual, aumenta la energía interna del resistor.

9.5.1. Potencia de salida de una fuente

La fem introduce energía eléctrica al circuito a una rapidez de:

P = Vab I

Tomando en cuenta que Vab = E − Ir se obtiene:

P = Vab I = E I − I2r

La fuente de fem convierte energía que no es eléctrica en energía eléctrica auna tasa de E I, su resistencia interna disipa energía a una tasa de I2r, finalmenteE I − I2r es la potencia de salida.

9.5.2. Potencia de entrada a una fuente

Supongamos la siguiente configuración:

+ −

+ −

E r

Con la fem inferior mayor a E . Con esto la corriente va a fluir de la siguientemanera:

+ −

+ −

E r

I I

a b

75


Con esto la fem superior ya no da energía sino que la recibe y se carga, unejemplo de esto es cuando se carga la batería de un auto. Con esto, la diferenciade potencial entre a y b tiene la siguiente expresión:

Vab = E + Ir

Y la potencia, en este caso consumida por la fem superior, es:

P = Vab I = E I + I2r

10. CIRCUITOS DC Y LEYES DE KIRCHHOFF

Una vez se conoce el concepto de corriente eléctrica se puede introducir nuevasdefiniciones sobre conexiones en serie y en paralelo:

• Serie: Si en la conexión se tiene una sola trayectoria de circulación. Por loselementos que están conectados en serie fluye la misma corriente.

• Paralelo: Si en la conexión se tienen dos o más trayectorias de circulación.Los elementos conectados en paralelo tienen el mismo voltaje entre sus ter-minales.

10.1 Resistores en serie y en paralelo

10.1.1. Resistores en serie

Se considera:

R1 R2 R3a b

I

Al estar conectados en serie se tiene:

I = I1 = I2 = I3

Vab = V1 + V2 + V3

Se quiere encontrar cual es la resistencia de un resistor equivalente para estaconexión. Por la ley de Ohm se tiene:

IReq = IR1 + IR2 + IR3

76


Req = R1 + R2 + R3

Y además Req > Ri.

10.1.2. Resistores en serie

Se considera:

R1

R1

a bII

En este caso se ofrecen 2 trayectorias de conducción. Al estar conectados enparalelo se tiene:

I = I1 + I2

Vab = V1 = V2

Se quiere encontrar cual es la resistencia de un resistor equivalente para estaconexión. Por la ley de Ohm se tiene:

VabReq

=V1

R1+

V2

R2

1Req

=1

R1+

1R2

Y además Req < Ri. Hay que tener en cuenta que la corriente NO se divideentre los resistores en una cantidad igual, esto sucede solo si las resistencias soniguales.

Resumiendo, si se consideran n resistores en un arreglo, entonces:

77


Resistencia equivalente

En serie:

Req =n

∑i=1

Ri

En paralelo:

1Req

=n

∑i=1

1Ri

10.2 Leyes de Kirchhoff

NO SON LEYES FUNDAMENTALES, simplemente son reglas para realizarcálculos en circuitos. Para verlas se necesitan unas definiciones previas:

• Unión: una unión en un circuito es el punto en que se unen tres o más con-ductores. Las uniones también reciben el nombre de nodos o puntos de de-rivación.

Unión

UniónNo es uniónNo es unión

• Espira: una espira es cualquier trayectoria cerrada de conducción.

78


(1) (2)

(3)

10.2.1. Regla de Kirchhoff de las uniones

La suma de todas las corrientes en cualquier unión es igual a cero.

∑nodo

I = 0

Se puede ver como Las corrientes que entran son igual a las que salen. Por ejemplo:

I1

I2

I3

Se puede considerar los signos como se quiera tomando en cuenta que las queentran tienen signo contrario a las que salen, por ejemplo:

I1 + I2 − I3 = 0

−I1 − I2 + I3 = 0

En cada rama (cable sin bifurcaciones) solo hay una corriente.

La regla de las uniones se basa en el principio de la conservación decargas. como en un conductor no debe haber diferencias de potencialno se puede acumular carga en ninguna unión, es decir, todas lascorrientes que entran salen.

79


10.2.2. Regla de Kirchhoff de las espiras

La suma de las diferencias de potencial en cualquier espira, inclusioasociado con las fem y de los elementos con resistencia, debe serigual a cero.

∑espira

V = 0

La regla de las espiras se basa en que el campo eléctrico es conser-vativo. EL trabajo realizado al trasladar una carga en una trayectoriacerrada es cero.

10.3 Convención de signo para la regla de las espiras

En primer lugar, es necesario establecer arbitrariamente un sentido de recorri-do de las espiras y representarlo.

Después, partiendo de cualquier punto de la espira se recorre el circuito su-mando las fem y las diferencias de potencial de los resistores tomando en cuentaque:

• Convención de signos de las fem:

+−

Recorrido

+E : sentido del recorrido de - a +

+−

Recorrido

−E : sentido del recorrido de + a -

• Convenciones de signo para los resistores:

+−

Recorrido

I

+IR : Sentido delrecorrido opuestoa la corriente.

+−

Recorrido

I

−IR : Recorridoen sentido de lacorriente.

Otra forma de ver estas convenciones de signo es analizar si en el componentehay una subida o caída de potencial, por ejemplo:

80


+−

Recorrido

+E : Se va de la polari-dad negativa a la posi-tiva, por tanto hay unasubida de potencial

+−

Recorrido

−E : Se va de la polari-dad positiva a la nega-tiva, por tanto hay unacaída de potencial

Para los resistores hay que recordar que siempre hay una caída de potencial endirección de la corriente.

+−

Recorrido

I

+IR : Pues se tiene unasubida de potencial ensentido del recorrido.

+−

Recorrido

I

−IR : Pues se tiene unacaída de potencial ensentido del recorrido.

Es muy importante tomar muy en cuenta los signos de cada diferencia depotencial, ya sea recordando las convenciones o analizando los potenciales.

11. CIRCUITOS RC

Se tiene la siguiente configuración:

+ −E

C

R

81


Si se tiene un capacitor presente en el circuito la corriente, voltaje y otras mag-nitudes son variables en el tiempo.

Usualmente este tipo de circuitos tienen una solución compleja, pero analizarlas condiciones iniciales y finales puede ser fácil.

Lo que ocurre en un capacitor es un reordenamiento de carga. La carga negati-va se ve atraída al lugar de potencial mayor, haciendo que una placa del capacitorse cargue positivamente:

+ −E

C

R

- - - - -

-----------

- - - - -

Esta carga excedente atrae carga negativa a la otra placa del capacitor:

+ −E

C

R

- - - -

-----------

- - - -

+++++

Esto se va dando en un proceso paulatino, es decir, el voltaje va cambiando enel capacitor, y esto también hace cambiar a la corriente.

82


Para remarcar el hecho que las magnitudes cambian en el tiempo se lasrepresenta con letras minúsculas:

i(t) v(t)

Para encontrar una descripción del circuito se usa la ley de Kirchhoff de lasespiras:

+ −E

C

R

i(t)

(1)

Ay que recordar que el voltaje en el capacitor viene dado por su capacitanciaC = q/vc

E − iR− qC

= 0

El voltaje del capacitor es con signo menos pues habrá una caída de potencial alpasar de una placa cargada positiva a una cargada negativa. Además, por defini-ción de corriente:

i =dqdt

E − Rdqdt− q

C= 0

Que es una EDO de primer orden en q, se puede resolver por el método devariables separables.

E − qC

=Rdqdt

83


CE − qC

=Rdqdt

1CR

=q′(t)

CE − q

∫ t

0

dtCR

=∫ q

0

q′(t)CE − q

dt

tCR

=− ln(CE − q)∣∣q0

− tCR

= ln 9CE − q)− ln(CE)

ln(

CE − qCE

)=− t

CR

CE − q =e−t/CRCE

∴ q = CE(

1− e−t/CR)

Esta ecuación nos indica cuánta carga está almacenada en las placas del capa-citor. Además, de esta expresión se puede obtener una ecuación para describir lacorriente:

i(t) =ER

e−t/RC

Ahora, se analizan dos estados, cuando t = 0 y cuando t → ∞, estos sonllamados estados estables.

• t = 0:

i(0) =ER

Es decir, un circuito RC se parece mucho a un DC cuando t = 0:

84


+ −E

R

Esto nos indica que cuando t = 0 podemos representar a un capacitor comoun cable.

• t → ∞:

i(t→ ∞) = 0

En un circuito DC la corriente es cero cuando se tiene un cable abierto. Estonos indica que cuando t→ ∞ podemos representar a un capacitor como un cableabierto.

Estados estables:

t→ 0 : || ≡

t→ ∞ : || ≡

Ahora, se analiza otro caso, cuando t = RC

i(t = RC) =ER

1e

∴ i(t = RC) =i(t = 0)

eEn ese tiempo la corriente decayó en un factor de e. El tiempo cuando una

función cae e veces se denomina tiempo de relajación y se lo denota por τ.

t = RC = τ

∴ i(t = τ) =i(0)

e

85


Cuando han transcurrido dos y tres tiempos de relajación se tiene:

i(t = 2τ) =i(0)e2

i(t = 3τ) =i(0)e3

Si bien i(t → ∞) = 0 cuando han transcurrido 3τ la corriente ha alcanzadoprácticamente su valor final.

τ = RC

τ 2τ 3τ

Ahora determinaremos el voltaje en los dos elementos del circuito:

• Capacitor:

vc =qC

= E(

1− e−t/τ)

Encontremos los estados estables:

vc(t = 0) =E(1− e−0/τ) = 0

vc(t→ ∞) =E(1− e−∞/τ) = E

En t → ∞ el voltaje en el capacitor es el voltaje de la fem, esta es la razón porla que desaparece la corriente en el circuito. No permite que haya una fuerza elec-trostática que mueva las cargas.

86


Si analizamos el voltaje en el capacitor se ve este comportamiento también estádefinido por el tiempo de relajación:

τ = RC

τ 2τ 3τ

• Resistor:

vR = iR = Ee−t/τ

Encontremos los estados estables:

vR(t = 0) =EvR(t→ ∞) =0

87


τ = RC

τ 2τ 3τ

11.0.1. Descarga de un capacitor

Se considera la siguiente configuración

C

R

−Q0

+Q0

Cuando se cierra el interruptor tanto la carga en el capacitor como la corrientedisminuyen con el tiempo.

C

Ri

−Q0

+Q0

Aplicando la ley de Kirchhoff obtenemos:

88


iR− qC

= 0

Ahora, al estar descargándose, la carga disminuye con respecto al tiempo, en-tonces se tiene:

i = −dqdt

Con i > 0. Entonces:

−Rdqdt− q

C= 0

Resolviendo para las condiciones iniciales q(0) = Q0 se tiene:

q(t) = Q0 e−t/RC

Y la corriente tiene la forma:

i(t) = −dqdt

=Q0

RCe−t/RC

12. CAMPO MAGNÉTICO Y MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS

CARGADAS EN CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

12.1 Campo magnetostático en el vacío

Se empieza estudiando el campo magnético desde la fuerza de Lorentz, que sedefine como:

~F = q~E + q ~v× ~B

Donde ~B es el campo magnético, que se define como aquel que hace que la fuerzade Lorentz cumpla el principio de relatividad de Galileo (que la fuerza sea la mis-ma en cualquier sistema de referencia inercial). Con esto se tiene que los camposeléctricos y magnéticos dependen del sistema de referencia.

La fuerza de Lorentz se compone de la fuerza eléctrica Fe = q~E y de la fuerzamagnética Fm = q~v× ~B. Algo a destacar es que esta última depende de la veloci-dad de la partícula.

89


Algunas propiedades de los campos eléctricos y magnéticos en las cuales sediferencian.

• Campo eléctrico:

– Una carga eléctrica produce el campo.

– Una segunda carga responde a ese campo.

• Campo magnético:

– Una carga eléctrica en movimiento (corriente) produce un campo mag-nético.

– Una segunda carga en movimiento responde a ese campo.

Para el campo magnético solo existe respuesta y creación para cargasen movimiento.

12.2 Polos magnéticos contra carga eléctrica

Cuando se habla de campo eléctricos existen cargas eléctricas positivas y nega-tivas aisladas. Por otro lado, cuando se habla de campo magnético, no se conocenpolos magnéticos aislados, estos solo existen en pares. No existen "cargas" mag-néticas.

Consideremos un imán, con polo norte y polo sur, y se lo corta por la mitad:

N S

Lo que se producen son dos imanes, no dos polos aislados:

N S N S

Y además, las líneas de campo magnético salen del polo norte y entran al sur.Esto, matemáticamente, se lo expresa con la ley de Gauss para el magnetismo.

12.3 Ley de Gauss del magnetismo

∮~B · ~ds = 0

∇ · ~B = 0

90


Lo que nos dice esto es que las líneas de campo magnético no divergen ni con-vergen en ninguna región del espacio, es decir, no existen monopolos magnéticos.

Hasta 1820 se creía que los fenómenos eléctricos no tenían ninguna relacióncon los fenómenos magnéticos. En este año Hans Christian Oersted observóque si se tenía una corriente que pasaba por un alambre y una brújula cercade este la aguja se desviaba.

12.4 Fuerzas magnéticas sobre cargas móviles

Recordemos que la fuerza magnética viene dada por

~F = q ~v× ~B

De esto, una carga que se mueve en forma paralela al campo magnético expe-rimenta una fuerza magnética igual a cero.

~B~v

~v

Una carga que se mueve con un ángulo ϕ con respecto a un campo magnéticoexperimenta una fuerza magnética con magnitud:

F = |q|v⊥B = |q|vB sen(ϕ)

Además, ~F es perpendicular al plano que contiene/

91


~B

v⊥v

~F = q ~v× ~B

ϕ

q

12.4.1. Dirección de la fuerza magnética

Las cargas positivas y negativas que se mueven en la misma dirección a travésde un campo magnético experimentan fuerzas magnéticas de dirección opuesta.

~B

v

~F

q~B

v~F

q

La dirección está dada por la regla de la mano derecha.

Notación

Vector que "entra" a la pantalla:

× Vector que "sale" de la pantalla::

Por ejemplo:

92


×××××

×××××

×××××

×××××

××××× Campo

magneticouniformehacia aden-tro

~B

×

×

×

×

×

×

×

×

×~v

~F~B

~v

~F

Hay que destacar las características de la fuerza magnética:

∗ Su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga.

∗ La magnitud de la fuerza también es proporcional a la magnitud o "intensidad"del campo.

∗ La fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula.

∗ La fuerza magnética no tiene la misma dirección del campo magnético ~B,sino que siempre es perpendicular tanto a ~B como a la velocidad.

12.5 Campo magnético

El campo magnético en el SI se mide en Tesla

[B] =[

N sC m

]=

[N

A m

]= [T]

y en el sistema de Gauss se mide en gauss, donde se cumple 1G = 10−4T.

El campo magnético se mide con ayuda de un gausímetro o teslámetro.

Los campos en el mundo macroscópico son muy pequeños, de hecho, elcampo magnético de la tierra es de alrededor de 0,25− 0,65 gauss.

Al interior de los átomos son de alrededor de 10 T.

93


12.6 Flujo magnético

De la ley de Gauss del magnetismo se tiene que:

∮~B · ~ds = 0

Pero si se tiene una superficie no cerrada:

Φm =∫

~B · ~ds 6= 0

El flujo magnético tiene aplicaciones importantes, con lo cual es importantedarle una unidad propia:

[Φm] = [T ·m2] = [Wb]

Que es conocida como Weber.

12.7 Movimiento de partículas en campos electromagnéticos

12.7.1. Movimiento de una carga en un campo eléctrico uniforme


x

y

z

~E

~v0~r 0

q

Con:

~v0 = (v0x, v0y, v0z) ~r0 = (x0, y0, z0)

~E = (0, E, 0)

94


La ecuación del movimiento viene dada por:

∑~F =m~a

q~E =m~a

q (0, E, 0) =m (x, y, z)

De esto se obtiene el sistema

x = 0

y =qEm

z = 0

Con las condiciones iniciales, la solución del sistema es:

x = v0xt + x0

y =qE2m

t2 + v0yt + y0

z = v0zt + z0

Se tiene un movimiento con aceleración constante en el eje donde está el cam-po.

12.7.2. Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme


95


x

y

z ~B

~v0

q

x

y

× × × × × ×

× × × × × ×

× × × × × ×

× × × × × ×

× × × × × ×

× × × × × ×

~v0

qz = z0

La fuerza magnética, al ser perpendicular a la velocidad, cambia la velocidadpero no la rapidez. En este caso se ve que su movimiento es un círculo. La ecuaciónque describe el movimiento es:

∑ F =mac

qvB =mv2

R

R =mvqB

(∗)

La partícula al moverse en un campo magnético uniforme que no tenga velo-cidad en dirección de ~B es un movimiento circular con radio dado por (∗).

96


La frecuencia angular viene dada por:

ω =vR

=qBm

Entonces:f =

qB2πm

(No dependedel radio )

Si v incrementa entonces el radio incrementa de manera proporcional pero lafrecuencia no cambia.

En el caso en el que la partícula tenga velocidad inicial en z se tendrá un mo-vimiento helicoildal.

12.7.3. Movimiento de una carga en campos eléctricos y magnéticos


x

y

z~B

~E

~v0q

Con:

~B = (0, 0, B) ~B = (0, Ey, Ez)

~v0 = (v0x, v0y, v0z) ~r0 = (0, 0, 0)

Ahora, analicemos las fuerzas que están presentes, estas son:

97


• Fuerza magnética:

~FB = q ~v× ~B = q

∣∣∣∣∣∣∣

i j kx y z0 0 B

∣∣∣∣∣∣∣= q (yB,−xB, 0)

• Fuerza eléctrica:~Fe = q (0, Ey, Ez)

Estas dos fuerzas se pueden agrupar en una, la fuerza de Lorentz:

~F = q(yB, Ey − xB, Ez)

Entonces las ecuaciones que describen el movimiento son:

∑~F =m~a

q(yB, Ey − xB, Ez) =m(x, y, z)

=⇒

x = qBm y

y =qEym −

qBm x

z = qEzm

Cuya solución viene dada por:

x =v0yω +

EyB t +

(v0xω −

EyωB

)sen(ωt)− v0y

ω cos(ωt)

y =EyωB −

v0xω +

(v0xω −

EyωB

)cos(ωt) +

v0yω sen(ωt)

z = v0zt + ωEz2B t2

Donde ω = qBm .

12.7.4. Selector de velocidades


98


×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

~E

~B

~v

Las placas paralelas crean un campo eléctrico uniforme hacia la izquierda. Lacarga, al entrar al espacio entre las placas experimenta dos fuerzas, una hacia laderecha,debido al campo magnético, y otra hacia la izquierda, debido al campoeléctrico. Se quiere que no se desvíe, entonces se requiere que estas sean igual enmódulo:

−qE + qvB = 0

Despejando la rapidez

v =EB

Es decir, del selector saldrán partículas con velocidades E/B.

• Si v > E/B entonces FB > Fe, golpearía a la derecha.

• Si v < E/B entonces FB < Fe, golpearía a la izquierda.

Finalmente, se quiere calcular la velocidad, se puede comprobar que esta es:

~vd =~E× ~B

B2

Que se denomina velocidad de deriva.

99


12.7.5. Espectrómetro de masas

Se considera:

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

~v

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• ~B′

m1

R1

m2

R2

Al final de un selector de velocidades se tiene un campo magnético ~B′ haciaafuera de la pantalla, lo que hace que la trayectoria de la carga positiva se curvecomo se muestra en la figura.

Como se vio en la sección 12.7.2 el movimiento será circular con radio:

Ri =mivqB′

Si del selector de velocidades salen partículas de la misma carga entonces se laspuede separar por masa calculando el radio del movimiento circular que tendrán.

100


13. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CORRIENTE, TORQUE Y

MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO

13.1 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente

Se sabe que la energía eléctrica se puede transformar a energía térmica o ener-gía lumínica, pero se desearía poder transformarla en energía mecánica.


S

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

×××××××××××

+

~B

~dF

~vd

~J

~J

Una carga en el conductor experimenta una fuerza ~dF, y se quiere hallar unaexpresión para todas las cargas en el conductor. de la fuerza eléctrica se tiene:

~dF = dq ~vd × ~B

Además, dq = ρ dV = ρSd` y ρ = ne con n la densidad de cargas y e la cargafundamental. Recordemos que:

~vd =I

neS~us

Con ~us el unitario de superficie. Reemplazando:

~dF =neS d`IneS

~us × ~B

101


~dF = I~d`× ~B

~F =∫

I~d`× ~B

Que se conoce como Fuerza de Ampère.

Si el campo ~B no es perpendicular al alambre solo la componente perpendicu-lar ejerce una fuerza:

B⊥ = B sen(ϕ)

Con ϕ el ángulo entre el vector ~d` y ~B.

La dirección del vector ~d` se lo toma en dirección de la corriente.

Entonces la fuerza magnética sobre el segmento del alambre es:

F = `IB sen(ϕ)

13.2 Conversión de energía eléctrica en mecánica


×××××××

×××××××

×××××××

×××××××

××××××× ~BI

I

~d`

~F

Rieles conduc-tores fijos

Barra conduc-tora movil

Como la fuerza por donde pasa una corriente depende del campo magnéticodonde no hay campo la fuerza es cero. Entonces, la única fuerza que producemovimiento lo hace en la barra móvil, la cual se mueve hacia la derecha, entonces,con esto, se logra transformar energía eléctrica en energía mecánica.

13.3 Momento dipolar magnético

Un dipolo magnético ~µ se crea al tener una espira con una corriente I fluyendopor ella.

102


I

I

I

I

~µ~A

Donde ~A es un vector de módulo igual al área de la espira y cuya direcciónviene dada por la regla de la mano derecha siguiendo la dirección de la corriente,y:

~µ = I ~A

Si al dipolo magnético se lo introduce en un campo magnético uniforme ~B talque forme un ángulo θ con el dipolo este sentirá un torque de la forma:

~τ = ~µ× ~B

Que lo hará girar. A este movimiento se le asocia una energía potencial de laforma

U = −~µ · ~B

π2

π 3π2

Umin

0

Umax

θ[rad]

U[J

]

U

La fuerza neta sobre una espira con corriente en un campo magnético uni-forme es igual a cero.

Aunque se dedujo el dipolo magnético para una espira rectangular se puede

103


generalizar dividiendo a cualquier espira en un número muy grande de espirasrectangulares.

En cada espira rectangular hay corrientes descendentes que se cancelan conlas ascendentes, así no se toman en cuenta nuevas corrientes ni se quitan.

En el caso de un solenoide el momento dipolar de una espira se amplifica Nneces, con N siendo el número de espiras del solenoide.

I I

~µ

~µ = NI ~A

Por tanto, al aumentar espiras a un solenoide el momento dipolar crece.

13.4 Torque y energía potencial de los dipolos

Dipolo Eléctrico Dipolo MagnéticoTorque ~τ = ~p× ~E ~τ = ~µ× ~BEnergía

PotencialU = −~p · ~E U = −~µ · ~B

104


14. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

14.1 Campo magnético de una carga en movimiento

En el caso del campo eléctrico una partícula cargada en movimiento o en re-poso crea un campo eléctrico.

E =1

4πεo

qr2

En caso del campo magnético únicamente partículas cargadas en movimientocrea un campo magnético.

Para el campo magnético solo partículas cargadas y en movimientocrean y reaccionan al campo.

El campo creado por una partícula con carga q y una velocidad ~v en un puntoP tiene la forma siguiente:

~B =µo

4πq~v× r

r2︸︷︷︸Forma Coulombiana del campo magnético

Donde r es un vector unitario en la dirección de la partícula a P, r es la distan-cia desde la partícula a P y µo es la permeabilidad magnética.

Sabiendo que el campo magnético se mide en teslas (T) se pueden deducir lasunidades de la permeabilidad magnética.

[µo] =

[TmA

]

Además:

µo = 4π 10−7[

TmA

]

A partir de las definiciones de la permeabilidad magnética y permitividadeléctrica del vacío se define la velocidad de la luz en el vacío c.

c =1√εoµo

14.2 Líneas de campo magnético

Consideremos una carga negativa ingresando a la pantalla con una velocidad

~v (representada como × ) y se grafica el campo magnético en un punto P usando

105


las reglas del producto vectorial.

×

P

r

~B

Si se sigue haciendo esto para todos los puntos en el espacio se tiene que laslíneas de campo son círculos concéntricos:

×

Además, si se elige un punto en la misma dirección de la velocidad se tieneque el campo magnético es cero.

Si se designa a~r como el vector que va de la carga al punto de medida el campomagnético puede escribirse como:

~B =µo

4πq~v×~r

r3

106


14.3 Campo magnético de un elemento de corriente (principio de superposi-ción)

Se considera el campo magnético ~dB creado por un transportador de cargadq en un conductor con corriente. Además, se designa con ~d` como la distanciarecorrida por el transportador en un tiempo dt.

~v

dq

I

I

Entonces:

~dB =µo

4πdq

~v× rr2

=µo

4πdq

~d`dt × r

r2

=µo

4π

dqdt

~d`× rr2

=µo

4πI~d`× r

r2 (I = dqdt )

Como el campo magnético cumple el principio de superposición se integrapara encontrar el campo resultante debido a todos los transportadores de carga,

107


finalmente:

~B =µo

4π

∫I~d`× r

r2

Que se conoce como la ley de Biot-Savart.

Ley 4: –Ley de Biot-Savart–

Si se tiene un conductor delgado que transporta una corriente I este crea uncampo magnético. Si se quiere encontrar el capo creado en un punto P se rea-liza la siguiente integral de línea:

~B =µo

4π

∫I~d`× r

r2

Donde d` es un diferencial de longitud del conductor y como vector ~d`tiene el sentido de la corriente y es tangente al conductor. r es la distancia ded` al punto de medición P y r es un vector unitario de d` a P.

Por ejemplo, las líneas de campo magnético creadas por un cable que llevacorriente hacia afuera de la pantalla ( • ) es:

•

Si se mide el campo en dirección de la corriente este es cero.

108


14.4 Fuerza entre dos protones que se mueve a velocidad constante

~r

~v

~v′

q

q′

y

x

Encontremos la fuerza que genera la carga q sobre la carga q′ (~Fq→q′ ). Para elloencontremos el campo magnético generado por q en la posición de q′ (~B) tomandoen cuenta el sistema de coordenadas propuesto.

~B =µo

4πq~v×~r

r3

= − µo

4πq

vr: 1

sen(π/2)r3 k

= − µo

4πq

vr2 k

Ahora:

~Fq→q′ = q′ ~v′ × ~B

= −q′ v′µo

4πq

vr2 i

= −µoqq′

4π

vv′

r2 i

Ahora, con el mismo razonamiento se tiene:

~Fq′→q = −~Fq→q′

Con este resultado se puede tener una deducción contraria a lo pensado, yaque la fuerza magnética es de atracción. Por otro lado la contribución de la parteeléctrica hace que los electrones se repelan. Entonces se debe analizar cual de lasdos contribuciones es mayor que la otra (se obvia la fuerza gravitacional ya quees insignificante con relación a las interacciones electromagnéticas).

Sea Fe la fuerza eléctrica sobre uno de los protones y Fm la fuerza magnética.

109


Fe

Fm=

14πεo

qq′

r2

µo4π

qq′r2 vv′

=1

εoµo

1vv′

=c2

vv′

Como en el vacío el límite de velocidad es el de la luz c2 vv′ entonces:

Fe > Fm

Cumpliéndose que los protones se repelen entre sí.

14.5 Campo magnético para diferentes configuraciones

Existen algunas configuraciones importantes de un alambre conductor con co-rriente que producen un campo magnético, estas son:

110


14.5.1. Campo magnético creado por un alambre infinito que transporta co-rriente

Las líneas de campo son círculos con centro en el alambre.

~B =µo I2πr

eϕ

Donde r es la distancia de medición medida del alambre y eϕ es el unitarioangular de las coordenadas cilíndricas.

Si en lugar de tener un alambre infinito se mide el campo en un punto delplano xy a una distancia R de un alambre que va desde −a hasta a en el eje z

111


transportando corriente en la dirección +z, el campo es:

~B =µo I2π

aR√

R2 + a2eϕ

14.5.2. Campo magnético en el eje de una espira circular que transporta co-rriente

Se mide el campo producido por una espira a una distancia z de su eje:

~B =µo IR2

2(R2 + z2)3/2 k

También se puede escribir como

~B =µoµ

2π(R2 + z2)3/2 k µ momento dipolar

∴ B ∼ µ

Si z→ 0

~B =µo I2R

k

Además, se considera que, con una buena aproximación en el plano de la es-pira, el campo dentro de esta es máximo en el centro y prácticamente el mismo, yfuera de la espira es cero.

112


Si se ponen muchas espiras juntas se puede hablar de un solenoide, y el campoen su eje tiene la forma:

~B =µo NIR2

2(z2 + R2)3/2 k

14.5.3. Campo dentro de un solenoide

×××××××××××××

En un solenoide todas las líneas de campo son paralelas y el campo es unifor-me.

Para el estudio de interacciones entre imanes y solenoides se puede ver al so-lenoide como un imán como sigue:

≡N SI

≡S NI

Esto por la forma del campo magnético que generan.

14.5.4. Dipolo magnético en un campo no uniforme

La fuerza neta sobre el dipolo no es igual a cero en este caso y existe una re-sultante que atrae o aleja a un objeto que tiene un momento dipolar magnéticoresultante.

113


Fuerza de repulsión

Fuerza de atracción

14.6 Fuerza entre dos alambres paralelos

Se considera la siguiente configuración de dos alambres llevando corrientes Ie I′ respectivamente:

114


Y se quiere encontrar la fuerza ~F′ producida por I sobre I′. Se había deducidola expresión del campo magnético producido por un alambre infinito y se puedecomprobar que la dirección del campo es la indicada:

~B =µo I2πr

j

De la fuerza de ampere se tiene que:

~dF′ = I′ ~d`× ~B

Con ~d` = −d` i. Con esto la fuerza está en la dirección k.

Trabajando con módulos se tiene:

dF′ = I′d`B = I′d`µo I2πr

dF′

d`=

µo I I′

2πrFuerza por unidad de longitud

14.7 Ley de Ampere

14.7.1. Circulación de campo magnético

Se quiere llegar a una expresión para

∮~B · ~d`

Para ello consideremos el caso de un alambre que transporta corriente. En estaconfiguración se sabe que las líneas de campo son círculos, así que se elige un con-torno de integración (contorno amperiano) tal que coincida con las líneas de campo:

115


Por la ley de Biot-Savart se tiene que B = µ0 I/2πr

∮~B · ~d` =

∮B d` =

∮µ0 I2πr

=µ0 I2πr

∫ 2π

0rdθ =

µ0 I2πr

r2π

∮~B · ~d` = µo I

Ahora consideremos un contorno que no encierre la corriente:

•

~B

~B~B

~B

γ4

γ1

γ2

γ3

Ahora

∮~B · ~d` =

*0∫

γ1

~B · ~d`+∫

γ2

~B · ~d`+

*0∫

γ3

~B · ~d`+∫

γ4

~B · ~d`

= −∫

γ2

B2d`+∫

γ4

B4d`

= −∫ θ2

θ1

µo I2πr2

r2dθ +

∫ θ2

θ1

µo I2πr1

r1dθ

= − θ2 − θ1

2π+

θ2 − θ1

2π= 0

Se ve que en la porción de los arcos se elimina la dependencia de la distancia,pues si r aumenta B disminuye la misma cantidad.

116


∴∮

~B · ~d` = 0

Como el contorno amperiano no encierra ninguna corriente se puede escribit

∮~B · ~d` = µo Ienc

Ahora, analicemos un contorno amperiano de forma aleatoria:

Solo la componente paralela al campo magnético da una contribución a la cir-culación

∮~B · ~d` =

∮B cos(ϕ)d` =

∫ 2π

0Brdθ

=∫ 2π

0

µo I2πr

r dθ = µ0 I

Igual que con la ley de Gauss cualquier contorno se puede aproximar local-mente a un contorno circular solo interesando la parte de ~B paralela a d`.

Si el contorno no encierra corriente se puede mostrar que la integral da cero.

De forma general se dice finamente que:


117


Ley 5: –Ley de Ampère–

La circulación del campo magnético es igual a la suma algebráica de todaslas corrientes encerradas por el contorno amperiano por µo.


El signo de la corriente viene dado por la ley de la mano derecha y se cuentancomo encerradas a las que traspasan la superficie definida por el contorno. Porsuperficie definida se entiende cualquier superficie que tenga su frontera en elcontorno.

En el ejemplo, con la regla de la mano derecha las corrientes que "salen" delcontorno son positivas y las que entran son negativas.

14.7.2. Ejemplos

• Ejemplo 1:

Si la corriente va hasta el "infinito" sea cual sea la superficie la atravesará ensentido positivo, en este caso:

118


∮~B · ~d` = µo I

• Ejemplo 2:

Si se tiene esa superficie se tiene que la corriente es positiva cuando pasa porprimera vez a través de la superficie y es negativa cuando regresa, entonces

∮~B · ~d` = µo(I − I) = 0

Si elegimos otra superficie, por ejemplo:

La corriente no atraviesa la superficie, entonces:

∮~B · ~d` = 0

Es decir, se tiene el mismo resultado sin importar la superficie.

Flujo Divergencia Circulación RotacionalCampo

Electrostático

∮~E · ~ds = qenc

εo∇ · ~E = ρ

εo

∮~E · ~d` = 0 ∇× ~E = 0

CampoMagnético

∮~B · ~ds = 0 ∇ · ~B = 0

∮~B · ~d` = µo Ienc ∇× ~B = µo~J

119


14.7.3. Campo magnético creado por un alambre cilíndrico infinito

Se escoge un contorno amperiano tal que el campo magnético sea tangente al contorno.

En este caso ~d` y ~B son paralelos y B es constante a través del contorno, enton-ces:

∮~B · ~d` = B

∮d` = B2πr = µo I

∴ B =µo I2πr

14.7.4. Campo magnético creado por un solenoide

I

`

N vueltas

Con la ley de ampere se puede demostrar que al interior del solenoide el cam-po magnético tiene una magnitud de:

B =µo NI`

B = µonI

Con n la densidad de devanado del solenoide.

120


14.7.5. Campo magnético creado por un solenoide toroidal

Ia

b

rN vueltas

En este caso se tienen 3 situaciones

• r < a:

B = 0

• a < r < b: El campo eléctrico es constante sobre un contorno circular.

B =µo NI2πr

Sea n = N/2πr la densidad de devanado.

B = µonI

• r > b:

B = 0

121


14.7.6. Campo magnético dentro y fuera de un alambre que transporta corrien-te

x

y

I(•)

~J = cte

Rr

~B

~B

• r > R : tiene la forma de un alambre delgado:

B =µo I2πr

• r < R : De acuerdo a la ley de Ampere:∮

~B · ~d` = µo Ienc

Se debe encontrar la corriente encerrada por el contorno:

Ienc =∫~J · ~ds

=∫ r

0

∫ 2π

0Jr dϕdr

= J∫ r

0

∫ 2π

0r dϕdr

122


= J2πr2

2= Jπr2

Ahora∮~B · ~d` =

∮Bd` = B2πr, entonces:

B =µo Jr

2

No hay contorno amperiano para deducir el campo magnético creado poruna espira.

15. CAMPO MAGNÉTICO EN EL MEDIO

15.1 El átomo y sus electrones

Recordemos que las cargas en movimiento producen campos magnéticos.Consideremosahora el movimiento de los electrones alrededor del núcleo. Se considera su mo-vimiento circular y se lo considera como una espira que transporta corriente.

r~v

I

I

~L

~µ

x

y

z

15.1.1. Relación magnetomecánica

Recordemos que para una espira el momento dipolar viene dado por µ = IA,entonces:

µ = Iπr2

Encontremos la corriente asociada al movimiento del electrón:

123


I =dqdt

=e

2π

ω︸︷︷︸Periodo

=e

2π

vr

∴ µ =evr2

Para el momento angular se tiene:

L = rmv sen(π/2) = rmv

Se quiere encontrar la razón µ/L .

µ

L=

e2m

En mecánica cuántica el momento angular no se puede determinar absoluta-mente, solo se calcula su proyección en el eje z, que resulta ser múltiplo de h/2π.

Lz =nh2π

Si n=1 se tiene que:

µB =e

2mLz =

eh4πm

Magnitud que se conoce como magnetón de Bohr.

Además, si existe un momento dipolar magnético este crea un campo que esproporcional a su valor. Entonces el campo magnético creado por los electrones delos átomos debe ser muy grande, pero debido a la aleatoriedad de las direccionesde los dipolos, estos se cancelan y por eso sus efectos no se perciben.

En la materia los momentos dipolares se pueden crear por dos razones:

• El giro del electrón alrededor del núcleo.

• El giro del electrón en sí.

Además, se tienen muchos ~µ tal que el momento dipolar resultante es cero

124


~µ

Si se pone en un campo magnético se tiene:

~B0

~τ = ~µ × ~B0

U = −~µ · ~B0

En el medio los ~µ intentan alinearse debido a ~B0, como ya no se cancelan elmomento total ya no es cero, y entonces crean un campo magnético ~B′. Entonces:

~B = ~B0 + ~B′

~B0 es el campo magnético inicial.

~B′ es el campo magnético creado por el medio.

~B es el campo magnético total.

Todos estos campos medidos en volúmenes infinitamente pequeños.

15.2 Ley de Ampère en el medio

Tomemos en cuenta un material dentro de un campo magnético. El campocreado por la sustancia es causado por corrientes moleculares.

125


Si se tienen muchas corrientes, estas se cancelan en las espiras medias con susvecinas, las únicas que no se cancelan son las de los extremos. Se le llama a esta"corriente" I′, esta es una corriente no física que genera el mismo efecto que todaslas corrientes moleculares. A esta corriente se la denomina corriente de magnetiza-ción.

El vector ~B′ o el efecto de las corrientes moleculares puede ser caracterizadopor la magnetización del medio que se definie como:

~M =1

∆V ∑∆V

~µm

También se puede expresar como:

~M = n〈~µm〉

Si la magnetización es constante en toda la sustancia se habla de un materialcon magnetización uniforme.

Ahora, se quiere usar la ley de Ampere

∮~B · ~d` = µo Ienc = µo(I + I′)

Ienc consta de corrientes de conducción y corrientes moleculares.

El campo inicial se ve reforzado o debilitado por ~B′ creado por el momentodipolar total por unidad de volumen (magnetización)

126


~B′ = µo ~M =µo ~µTot

VEn este caso se dice que el material se encuentra magnetizado. Se puede demos-

trar que:

∮~M · ~d` = I′

15.2.1. Intensidad de campo magnético ~H

∮~B · ~d` = µo(I + I′)

= µo

(I +

∮~M · ~d`

)

∮ ( ~Bµo− ~M

)· ~d` = I

Donde I son corrientes de conducción, por ejemplo corrientes que atraviesanun cable.

∴∮

~H · ~d` = I

Con ~H =~Bµo− ~M.

15.2.2. Relación entre la magnetización y el campo magnético

Para el campo electrostático se tiene que

~P = χεo~E

Pero para el campo magnético NO se cumple que ~M = χ~B/µo, en cambio:

~M = χ~H

Donde χ se denomina susceptibilidad magnética. χ caracteriza la capacidad deun medio para magnetizarse en un campo magnético externo.

127


15.2.3. Relación entre ~B y ~H

Se conoce que:

~M = χ~H ~H =~Bµo− ~M

~H =~Bµo− ~χ~H

~B = µo(1 + χ)~H

~B = µ~H

Done µ = µo(1 + χ) es la permeabilidad magnética del medio. Si se define

k =µ

µ0

Se denomina permeabilidad magnética relativa.

15.2.4. Susceptibilidad magnética

Es una magnitud adimensional. Es un tensor para medios anisotrópicos, lo queprovoca que la magnetización y ~H ya no sean paralelos.

En base a esta magnitud se dividen los materiales según sus propiedades mag-néticas.

χ > 0 Paramagnéticos ~M ↑↑ ~Hχ < 0 Diamagnéticos ~M ↓↑ ~Hχ 0 Ferromagnéticos ~M??~H

Si χ = 0 se trata del vacío.

Para los ferromagnéticos la relación de direcciones entre ~M y ~H es compli-cada.

• Los diamagnéticos debilitan el campo magnético externo. Ejemplo: Cobre,sustancias orgánicas.

• Los paramagnéticos incrementan poco el campo magnético. Ejemplo: Alumi-nio.

128


• Los ferromagnéticos incrementan mucho el campo magnético. Ejemplo: Hie-rro, cobalto, níquel.

15.3 Diamagnetismo

Tiene su origen en el movimiento orbital del electrón.

Provocan una disminución del campo magnético inicial, esto se debe a que ladirección del campo adicional creado por el movimiento de los electrones en elátomo está dirigido en contra del campo magnético inicial.

Se puede ver esto con la interacción de dos imanes.

~B ~B

En la parte intermedia los campos se debilitan debido a los dos imanes con lospolos norte enfrentados.

Este efecto está presente en todos los materiales pero es muy débil, en ausenciade paramagnetismo y ferromagnetismo se presenta más fuerte.

15.4 Paramagnetismo

Tiene su origen en el spin del electrón.

El spin del electrón crea un campo magnético el cual, al ponerlo en un campomagnético, experimenta un torque y estos se orientan en dirección del campo y lorefuerzan.

15.4.1. El paramagnetismo y el mínimo de la energía

En presencia de campo magnético en los materiales hay dos procesos que"compiten" entre sí.

• Al ponerlo en un campo magnético los dipolos se orientan en su direcciónreforzándolo.

• Al aumentar la temperatura las moléculas tienden a desordenarse, teniendodirecciones diferentes al campo aplicado. Esto debido a la energía termal(kT)

129


Finalmente, recordando que ~mu = n〈~µm〉

• La magnetización es proporcional al campo ~B0.

• La magnetización es inversamente proporcional a kT.

• La magnetización es proporcional a la cantidad de µ.

M = nµµB0

kT=

nµ2B0

kTEntonces, a temperaturas altas se pierden los efectos paramagnéticos.Además se tiene que:

~B = ~B0 + µo ~M

El campo magnético dentro de un paramagnético es mayor al campo que hu-biese en el vacío en una magnitud km, que es la permeabilidad relativa. En estecaso todas las ecuaciones para el campo magnético son las mismas si se realiza elreemplazo:

µ = kmµo

donde µ es la permeabilidad magnética de un material específico.

La susceptibilidad magnética se expresa a través de

χ = km − 1

15.5 Ferromagnéticos

Existen fuertes interacciones entre los momentos magnéticos atómicos, los cua-les incita a los momentos magnéticos a alinearse paralelamente entre sí en regio-nes llamadas dominios magnéticos.

Un dominio magnético es aquel en el que los dipolos magnéticos tienen unasola dirección predominante. Usualmente hay muchos de estos dominiosmagnéticos alrededor del material.

130


• No hay campo: los dominios magnéticos son aleatorios.

• Campo debil ~B(→): Los dominios orientados en sentido del campo crecen.

• Campo fuerte ~B(→): Los dominios orientados en sentido del campo se vuel-ven predominantes.

131


En los ferromagnéticos a su vez puede existir magnetización incluso si no exis-te campo magnético externo. Este fenómeno se conoce como magnetización rema-nente.

Pero la caracterización principal de los ferromagnéticos es su complicada de-pendencia de M(H) y B(H).

Recordemos que ~B = µ~H, si µ fuera una constante se observar’ia una rectaentre B y H, pero como es un tensor se tiene el siguiente comportamiento

A partir de un punto µ se vuelve constante.Ahora observemos M vs B0.

M alcanza un valor máximo que se llama saturación, esto se da porque los mo-mentos dipolares ya están alineados.

Se tenía que

~B = (~B + ~M)µo

132


el comportamiento de B vs M se da por la adición de M, pero en un momentoM es constante y se observa una relación lineal entre B y H.

15.5.1. La curva de histéresis

En la histéresis la relación entre la magnetización y el campo aplicado no esabsoluta, sino que depende de la historia de valores. Es decir, es una curva con"memoria", depende de cómo se llegó ahí.

4 5

6

12

3

Un material se somete a un campo magnético externo B0 aumentando inicial-mente su magnetización (curva roja). Una vez se llega al punto 1 si se sigue au-mentando la magnitud de B0 la magnetización no aumenta más, es decir es elpunto de saturación.

Una vez ahí se baja el campo magnético hasta llegar a 2 y a un B0 = 0, perose tiene un valor de magnetización, es decir, hay un campo magnético resultantesin haber campo externo. A este punto se lo conoce como magnetización remanentey esta es la razón de existencia de los imanes.

Del punto 2 se hace que el campo cambie de sentido, entonces la curva demagnetización llega a 3 , a este punto se lo conoce como coercitividad.

Se conoce como coercitividad al campo magnético externo que haga que lamagnetización desaparezca en un ferromagnético una vez haya tenido una mag-netización remanente.

133


Al seguir aumentando B + 0 en este otro sentido aumenta la magnetización enel sentido opuesto hasta que se llega a 4 , que correspone a una magnetización desaturación.

Luego se hace decrecer B0 hasta 5 con una magnetización remanente. Luegose llega a 6 donde se da la coercitividad.

Si se empieza a disminuir el campo B0 antes de llegar a la saturación, lacurva de histéresis es más pequeña pero aún se ve una magnetización re-manente, este vez menor.

Si a un imán se lo somete a un campo magnético oscilante y decrecienteen magnitud, se irá reduciendo la magnetización de este hasta que ya nopresente magnetización remanente.

Para presenciar más ejemplos de histéresis se puede ver la demostración deWolfram Demonstration Project.

15.6 Magnetización y la temperatura

A medida que la temperatura aumenta las vibraciones térmicas se hacen másimportantes, desorientando a los momentos dipolares de cada átomo y anulandola magnetización. Por esta razón la magnetización disminuye con el aumento dela temperatura.

M = CBT

Donde C es la constante de Curie.

Si a un ferromagnético se lo calienta por encima de una temperatura determi-nada este pierde sus propiedades, esta temperatura se conoce como temperaturade Curie.

15.7 Materiales según sus propiedades magnéticas

• Paramagnéticos: Sus efector crecen conforme baja la temperatura. Se tieneefectos importantes cerca del cero absoluto.

Se produce por efectos cuánticos relacionados al spin del electrón.

134


• Diamagnetismo: Está presente en casi todas las sustancias.

Se produce por el momento orbital de los electrones, estos se orientan con-trario al campo magnético externo.

• Ferromagnéticos: Su principal característica es la presencia de histéresis.

Se produce por efectos cuánticos relacionados por el spín del electrón.

16. CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS VARIABLES EN EL

TIEMPO

En un experimento se puso un solenoide y un imán cerca de este. Se encontróque mientras el imán se alejaba o acercaba, en el solenoide se crea una corriente.Además, si se hace girar el solenoide o se aumenta su área también se produce unacorriente. Finalmente, mientras más rápido se efectúan los cambios más grande esla corriente en el solenoide.

Resumiendo las observaciones se tiene:

I ∼ d~Bdt

I ∼ d~Sdt

I ∼ Número de espiras

Además, recordando que:

dφ

dt=

ddt

~B · ~S

Se puede resumir en

I ∼ dφ

dtPara que aparezca una corriente se necesita una fem, entonces:

E ∼ dφ

dt

135


16.1 Signo de la fem

Consideremos la siguiente configuración

~B(×)

espira

movil

Para definir un signo en la corriente primeramente se debe definir una direc-ción para el vector de superficie de la espira cerrada con la barra móvil:

~B(×)

×~dS

Ahora, la dirección positiva está dado por el signo de la mano derecha conrespecto al vector de superficie. En este caso una corriente en sentido horario espositiva y una en sentido antihorario es negativa. Ahora, si se tiene el siguienteejemplo:

~B(×)

•~dS

La situación se invierte.

Concentrémonos en el vector de superficie hacia dentro de la pantalla. Haga-mos que la varilla vaya hacia la derecha, en este caso se observa que hay una co-rriente negativa (sentido antihorario). En este caso la superficie aumenta, entonces~dS(+), el campo es constante ~B(+). Entonces la magnitud

136


dφ

dt=

ddt

∫~B · ~dS

Es positiva. Pero, como no existe otro parámetro a analizar y la corriente re-sultó negativa, se debe multiplicar la magnitud anterior por un menos (-) paraobtener el signo de la corriente.

Ahora tomemos el segundo ejemplo, el que tiene el vector de superficie haciaafuera. En este caso la corriente es positiva. Pero la cantidad

dφ

dt=

ddt

∫~B · ~dS

Es negativa, debido al producto punto, pues ~B y ~dS son opuestos. Ahora, nue-vamente hay que multiplicar por un menos para obtener el signo de la corriente.

Estas observaciones se pueden sintetizar en:

Ley 6: –Ley de Faraday–

La fem E inducida en un circuito cerrado debido al cambio en el flujo de cam-po eléctrico (φ) es:

E = −dφ

dtDonde:

φ =∫

~B·

Y el signo menos indica que la fem inducida debe oponerse al efecto delcambio en el flujo. El significado físico del signo negativo se condensa en laLey de Lenz.

Ley 7: –Ley de Lenz–

La dirección de cualquier efecto de inducción magnética es la que se opone ala causa del efecto. Esta ley se basa en la ley de la conservación de la energía.

137


16.1.1. Ejemplos:

Causa Efecto Consecuenciad~Bdt

Genera una corrienteI en sentido horario

~B inducido

La dirección de ~Bind (consecuencia) es contraria a la ded~Bdt

(causa).

La dirección del campo inducido NO se opone al campo magnético inicial,sino a la dirección de su cambio. Por ejemplo, si el campo hubiera sidodecreciente el campo inducido hubiera tenido dirección contraria.

Al inicio la interpretación de la ley de Lenz puede ser un poco confusa, perouna forma fácil de visualizarla es pensar en que la corriente creada "debe tratar" demantener el flujo magnético sin cambios. En el ejemplo anterior el campo crecientehace aumentar al flujo magnético, entonces, se debería crear un campo hacia abajopara contrarrestar al creciente, y esto se puede lograr con una corriente inducidacon la dirección presentada en el gráfico.

Ahora regresemos al ejemplo de la barra móvil y movámosla hacia la derecha:

138


~B(×)

~F

En este caso se está aumentando el flujo magnético, con lo que debe crearse uncampo que contrarreste al existente (hacia afuera) para evitar el cambio en el flujo.Y este campo se consigue con una corriente antihoraria.

16.1.2. Inducción electromagnética

Es el fenómeno que origina la producción de una fem en un medio o cuerpoexpuesto a un campo magnético variable, o bien en un medio móvil respecto a uncampo magnético estático no uniforme.

16.2 Campo eléctrico solenoidal

Tomemos en cuenta la siguiente configuración:

Si se supone que la corriente va aumentando se tiene la dirección del cambioen el campo magnético del solenoide y con esto la corriente inducida. Suponga-mos que la resistencia de la espira es R. Los experimentos han demostrado que lacorriente inducida obedece la ley de Ohm:

139


Iind =ER

Con esto se tienen las siguientes igualdades:

IindR = E = −dφ

dt= − d

dt

∫~B · ~dS

Ahora, buscamos quién realiza el trabajo para mover las cargas desde el repo-so hasta producir la corriente inducida.

Debido al campo magnético variable se crea un campo eléctrico en la espira, elcual realiza el trabajo para producir la corriente. Este trabajo está dado por:

W =∮

q~E · ~d`

Wq

= E =∮

~E · ~d`

Además, E = − dφdt .

De esto:

∮~E · ~d` = − d

dt

∫~B · ~dS

Aplicando el teorema de Stokes se tiene:

∇× ~E = −∂~B∂t

140


Es importante diferenciar que el campo creado no es un campo potencial,si fuera un campo potencial no se podría explicar el fenómeno visto de unacorriente. El campo eléctrico creado es un campo solenoidal y no tiene nifuentes ni sumideros.

Además, no todo lo que genera una fem inducida crea un ~E solenoidal.

Una fem inducida puede surgir por dos razones:

E = − ddt

∫~B · ~dS

• Un cambio en la superficie ~S.

• Un cambio en el campo magnético ~B.

Un campo eléctrico solenoidal puede surgir solo por una razón.

∮~E · ~d` = − d

dt

∫~B · ~dS

• Un campo magnético que cambia en el tiempo.

16.3 Corriente de desplazamiento

Tomemos un capacitor parte de un circuito en donde se ha establecido unacorriente I, y alrededor de un alambre definimos un contorno amperiano

I

Capacitor

Si se define una superficie transversal es obvio que la corriente pasa a travésde ella, y por la ley de Ampere existe un campo magnético ya que la circulaciónes diferente de cero.

I

Capacitor

Ahora, si se toma la siguiente superficie:

141


I

Capacitor

Ninguna corriente traspasa la superficie, entonces en este caso según la leyde Ampere no existe campo magnético. Pero como es el mismo contorno de an-tes, debe existir un campo. Con esto se tiene que la ley de Ampere está incompleta.

Llamemos a la parte que falta~b, entonces:

∇× ~B = µo~J +~b

Ahora, calculamos la divergencia de ambas partes de la igualdad:

div(∇× ~B) = div(µo~J +~b)

0 = µo ∇ ·~J +∇ ·~b

µo ∇ ·~J = −∇ ·~b

De la ecuación de continuidad se tiene

∇ ·~J = −∂ρ

∂tDonde ρ es la densidad de carga. Entonces:

µo∂ρ

∂t= ∇ ·~b

εoµo∂

∂t∇ · ~E = ∇ ·~b

∇ ·(

εoµo∂

∂t~E)= ∇ ·~b

∴ ~b = εoµo∂

∂t~E

Por tanto, la ley de Ampere estaba incompleta. Este comportamiento fue estu-diado por Maxwell, por eso a esta ley se le llama Ley de Ampère-Maxwell

142


Ley 8: –Ley de Ampère-Maxwell–

∇× ~B = µo~J + µoεo∂

∂t~E

Al término εo∂∂t~E se le denomina densidad de corriente de desplazamiento. Y a la

corriente de desplazamiento se la define como

Id =∫

εo∂

∂t~E · ~dS

Este comportamiento ayuda a explicar las leyes de Kirchhoff para los capaci-tores.

17. INDUCTANCIA

Analicemos el siguiente circuito:

E

R

~d`

~B

•~dS

Como se tiene una espira con corriente se crea un campo magnético ~B y por laley de Faraday se crea un campo eléctrico solenoidal, entonces:

∮~E · ~d` 6= 0

Por tanto no se pueden aplicar la ley de Kirchhoff para describir al circuito.Además, por la ley de Faraday:

∮~E · ~d` = − d

dt

∫~B · ~dS

Y por la ley de Biot-Savart

− ddt

∫~B · ~dS = − d

dt

∫µo

4π

∫i~d`× r

r2 · ~dS

143


Como la única magnitud dependiente del tiempo es la corriente i y a su vez nodepende de los otros diferenciales, entonces se puede escribir:

− ddt

∫~B · ~dS = − µo

4π

∫ ∫ ~d`× rr2 · ~dS

didt

La magnitud en el recuadro solo depende de la geometría y es una magnitudconstante. Entonces la llamamos inductancia y la denotamos como L.

Finalmente, la ecuación para el circuito es:

−E + iR = −Ldidt

Es decir que en la espira se genera una diferencia de potencial, esto se da por-que al oponerse al cambio en el flujo magnético se genera una corriente (inducida)opuesta, lo que genera una acumulación de carga en sus terminales. A la espira sela conoce como inductor.

Si se tuviera, en lugar de una espira, un solenoide, la ley de Faraday nos dice:

−Ldidt

= −Ndφ

dtCon φ el flujo de campo magnético.

dLidt

=d(Nφ)

dt

L =Nφ

i

17.1 Autoinductancia

Es la oposición que ofrece un inductor al cambio de corriente.

En un inductor los cambios de corriente tienen que ser paulatinos y continuos.

Si se establece una corriente en el circuito el flujo cambiante a través de la bo-bina induce una fem en esta.

144


Sus unidades son

WbA

= H

H = 1 henrio

17.2 Inductancia mutua

Espira 1 Espira 2

I

Si cambia la corriente en una de los solenoides cambia, el flujo magnético através del segundo lo que produce una fem inducida en el segundo.

E2 = −M12di1dt

Donde M12 se conoce como inductancia mutua. Si se cambia el rol a las espiras,la segunda genera una fem en la primera, entonces se tendría la isma deducción:

E1 = −M21di2dt

M12 = M21 = M. Si no cambian la geometría es una constante. Además":

E2 = −N2dφB2

dt

N2dφB2

dt= M

di1dt

M =N2φB2

i1

Se puede considerar al inductor como el análogo al capacitor para campomagnético.

17.3 Densidad de energía del campo magnético

el inductor al igual que el capacitor almacena energía. El capacitor lo almacenaen forma de ~E y el inductor en forma de ~B.

145


Recordemos que el voltaje asociado al inductor es:

vL = Ldidt

Y la potencia eléctrica es:

P =dUdt

= iv

Con esto:

dUdt

= iLdidt

∫dU =

∫iLdi

∴ U =i2L2

Como en el capacitor, también se queremos saber la densidad, en este caso selo hace con un solenoide toroidal.

u =UV︸︷︷︸

volumen

=i2L2· 1

πr2`

Con ` la longitud del toroide.

El campo en un toroide es:

B = µoni

también recordamos que:

L =NφB

i=

NBSi

Ahora:

u =i2

2NBS

iS`

=i2

nµo

µoB

146


=B2

2µo

u =B2

2µo

Campo eléctrico Campo magnéticoEnergía

AlmacenadaU=

Q2

2CU= L

i2

2

Densidad deEnergía

u = εoE2

2u =

B2

2µo

17.4 Inductor

Se lo representa por:

Su finalidad principal es oponerse a cualquier variación en la corriente de uncircuito.

Es decir, mantiene la corriente estable a pesar de las posibles fluctuaciones quepuedan existir en la fem.

El inductor, a pesar de ser un cable enrollado, tiene un comportamiento total-mente diferente al del cable y al de la resistencia.

a bi

Disipa enegıa

a bi

Almacena enegıa

Además, para el signo del voltaje del inductor se tienen diferentes casos

a b

i = cte⇒ di/dt = 0

Vab = 0

147


a b

i creciente⇒ di/dt > 0

EVab > 0

a b

i decreciente⇒ di/dt < 0

EVab < 0

17.5 Inductores en serie y en paralelo

17.5.1. En serie

L1 L2 L3

i = i1 = i2 = i3

vT = v1 + v2 + v3

LTdidt

= L1didt

+ L2didt

+ L3didt

∴ LT = L1 + L2 + L3

148


17.5.2. En paralelo

L2

L1

L3

v = v1 = v2 = v3

iT = i1 + i2 + i3

diTdt

=di1dt

+di2dt

+di3dt

vTdiTdt

= v1di1dt

+ v2di2dt

+ v3di3dt

∴1

LT+

1L1

+1L2

+1L3

17.6 Circuitos RL

Se analiza el siguiente circuito:

+ −E

L

RI

E = iR + Ldidt

149


i =ER

(1− e−R/L t

)

En este caso el tiempo de relajación τ es:

τ =LR

∴ i =ER

(1− e−t/τ

)

17.6.1. Estados estables

• t → 0: En este caso i = 0, entonces al inductor se lo puede tratar como uncable abierto.

• t → ∞: En este caso i = E/R, entonces al inductor se lo puede tratar comoun cable cerrado.

Corriente inducida

Corriente en el inductor

Figura 27: Fuente: Zemansky, M.

Ahora, el voltaje del inductor es:

vL = E e−t/τ

17.7 Características de circuitos RC y RL

1. La corriente y el voltaje son funciones del tiempo.

150


2. Existe una constante temporal denominada tiempo de relajación que permitecaracterizar el circuito.

3. Existen estados estables que pueden facilitar el análisis del circuito.

Elemento t→ 0 t→ ∞ Motivo

Capacitor Cable abierto Cable comúnImpide cambios

bruscos devoltaje

Inductor Cable común Cable abiertoImpide cambios

bruscos decorriente

17.8 Circuitos LC

+−E

s1

L

R

s2

C

Se cierra s1 y se espera hasta que la corriente se estabilice en el circuito RL.Luego se abre s1 y se cierra s2.

151


Li

C

Usando las leyes de Kirchhoff

−Ldidt− q

C= 0

d2qdt2 +

qCL

= 0

∴ q(t) = A sen(ωt) + B cos(ωt) ω = 1√LC

Si imponemos las condiciones iniciales i(t = 0) = I y q(t = 0) = 0

q(t) =Iω

sen(ωt) = Q sen(ωt)

i(t) = I cos(ωt)

17.9 Circuitos RLC

Se toma en cuenta un circuito RC cerrando el interruptor s1

152


+ −E

s1

C

R1

s2

L

R

Y se espera un tiempo mínimo de 3 tiempos de relajación hasta que el capacitorse cargue. Luego se abre s1 y se cierra s2, de form que se tiene:

Ci

R

L

Usando la ley de Kirchhoff:

qC− L

didt− iR = 0

Como la carga va disminuyebdo cuando el tiempo aumenta en un primer mo-mento:

i = −dqdt

qC+ L

d2qdt2 + R

dqdt

= 0

153


d2qdt2 +

RL

dqdt

+q

LC= 0

Se propone una solución del tipo:

q(t) = emt

reemplazando en a ecuación:

m2 +RL

m +1

LC= 0

m = − R2L± 1

2

√R2

L2 −4

LC

m = − R2L± 1

2L

√R2 − 4L

C

Ahora, se analizan 3 casos

• R2 > 4LC (Sobreamortiguado)

En este caso se tienen 2 raíces reales distintas, entonces las soluciones son:

q(t) = C1 e(−R2L +α)t + C2 e(−

R2L−α)t

Con α = 12L

√R2 − 4L

C

• R2 = 4LC (Críticamente amortiguado)

En este caso se tienen 2 raíces reales e iguales, por el teorema de reducciónde orden se tiene:

q(t) = C1 e−R2L t + C2 t e−

R2L t

• R2 < 4LC (Subamortiguado)

En este caso se tienen 2 raíces imaginarias conjugadas con lo que:

q(t) = e−R2L [C1 cos(ω t) + C2 sen(ω t)]

Con ω = 12L

√4LC − R2. La carga va a oscilar en el circuito.

154


17.10 Gráficas

17.10.1. Subamortiguado

17.10.2. Críticamente amortiguado

17.10.3. Sobre amortiguado

155


La caída de la carga se da debido a la resistencia.

156

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AIDER EPN RESUMEN ELECTROMAGNETISMO · 2020. 11. 18. · Jhon Chiliquinga Electromagnetismo 1. CARGAS ELÉCTRICAS Y LEY DE COULOMB Las interacciones electromagnéticas son parecidas