Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
AI-34D Instrumentação IndustrialFísica
Dinâmica de Rotação
Profa Daniele Toniolo Dias F. Rosahttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/danieletdias
Universidade Tecnológica Federal do ParanáTecnologia em Automação Industrial
Sumário
• Velocidade angular e aceleração angular
• Relações entre grandezas rotacionais e translacionais
• Energia cinética rotacional
• Torque e o produto vetorial
• Movimento angular
• Conservação do momento angular
• Aplicações.
• Estudando os parâmetros que caracterizam a dinâmica de rotação de um sistema de partículas obtêm-se informações importantes sobre a natureza da velocidade de rotação
Somos cercados completamente pelo movimento de rotação...• Elétrons e prótons
• Sistema de engrenagens
• Pião• Terra, planetas e galáxias
• Hélices e rotores
• Rodas e ponteiros
• Saltos ornamentais e acrobatas
Velocidade angular e aceleração angular
Movimento translacional e rotacional...
• Começamos no estudo do movimento translacionaldefinindo os termos posição, velocidade e aceleração. Por exemplo, localizamos uma partícula no espaço unidimensional com a variável x.
• Pensemos agora sobre um corpo em rotação: Como você descreveria sua posição nesse movimento rotacional?
• Considere um corpo plano girando ao redor de um eixo fixo que é perpendicular ao corpo e passa pelo ponto O
Figura 1
• Observe que uma partícula sobre o corpo, indicada pelo ponto preto está a uma distância r da origem e gira ao redor de O em um círculo de raio r (toda partícula no corpo realiza movimento circular o redor de O).
• É conveniente representar a posição da partícula com suas coordenadas polares: (r, ).
• Quando uma partícula sobre o corpo movimenta-se ao longo do círculo de raio r a partir do eixo x positivo (=0) até o ponto P, ela se desloca por um arco de comprimento s, que está relacionado com pela relação:
• O ângulo é a razão entre um comprimento de arco e o raio do círculo, portanto é um número puro.
(1.a)
(1.b)
• Contudo, é comum dizer-se que a unidade de é o radiano (rad).
• Um radiano é o ângulo submetido por um comprimento de arco igual ao raio do arco. Como a circunferência de um círculo mede 2r, segue-se que 3600 correspondem a um ângulo de 2r/r rad, ou 2rad.
• Portanto, 1 rad=3600/ 257,30. Para converter um ângulo em graus para um ângulo em radianos podemos utilizar o fato de que 2 rad=3600, ou rad=1800 , portanto:
Ex: 600 é igual a /3 rad, e 450 é igual a /4 rad
Figura 2
• Na Figura 2 quando a partícula vai de P para Q em um tempo t, o raio vetor percorre um ângulo de =2-1
(deslocamento angular).
• O número de revoluções que a partícula realiza em um intervalo de tempo é o deslocamento angular durante o intervalo de tempo dividido por 2.
• Definimos a velocidade angular média (ômega) como a razão do deslocamento angular para o intervalo de tempo t :
• Por analogia com a velocidade translacional, a velocidade angular instantânea é definida como o limite da razão (2) quando t se aproxima de zero:
• A velocidade angular tem unidade de rad/s (ou s-1, pois os radianos não são dimensionais). Consideramos como + quando estiver aumentando (sentido anti-horário)...
(2)
(3)
• Se a velocidade angular instantânea de uma partícula muda de 1 para 2 no intervalo de tempo t, a partícula tem uma aceleração angular. A aceleração angular média (alfa) de uma partícula em movimento em uma trajetória circular é definida como a razão da variação na velocidade angular no intervalo de tempo t :
• Por analogia, a aceleração angular instantânea :
• A aceleração angular tem unidade de rad/s2 (ou s-2).
(5)
(4)
• Para rotação ao redor de um eixo fixo, toda partícula de um corpo rígido tem a mesma velocidade angular e a mesma aceleração angular.
• Isto é, as grandezas e que discutimos para partículas caracterizam o movimento rotacional do corpo rígido inteiro.
• Para determinar o sentido do vetor velocidade angular (que até então utilizamos em módulo) utiliza-se a regra da mão direita.
• Os quatro dedos da mão direita curvam-se na direção de rotação. O polegar estendido da mão direita aponta na direção de . Em que a direção é a direção do eixo de rotação.
Natureza vetorial
• Todas as grandezas lineares podem ser substituídas pelas grandezas angulares de tal forma que podemos escrever as equações angulares a partir das lineares.
Fórmula(movimento translacional)
Variáveis Fórmula(movimento rotacional)
x
v0 0
v
a
Tabela 1
Relações entre grandezas rotacionais e translacionais
Movimento rotacional e translacional...
• Considere uma partícula sobre um corpo rígido em rotação, deslocando-se em um círculo de raio r ao redor do eixo z, como na Figura 3.
• Como a partícula descreve uma trajetória circular, seu vetor velocidade translacional v é sempre tangente à trajetória, por isso é frequentemente denominada velocidade tangencial (periférica).
Figura 3
• O módulo da velocidade tangencial da partícula é, por definição a velocidade escalar tangencial, dada por v=ds/dt, em que s é a distância percorrida pela partícula ao longo da trajetória circular.
• Lembrando da Eq. (1a) que s=r (em que r é constante):
• A velocidade escalar tangencial da partícula é igual à distância da partícula até o eixo de rotação multiplicado pela velocidade angular da partícula.
(6)
• A velocidade de um ponto devido à rotação (v=r) está associada estritamente à rotação.
• Devemos imaginar o corpo sem movimento de translação.
• Essa é a velocidade percorrida por alguém que observaa partícula ou corpo em rotação em torno do eixo.
• Podemos relacionar a aceleração angular da partícula à sua aceleração tangencial at (que é a componente da aceleração tangente à trajetória do movimento) fazendo a derivada temporal de v:
• Sabe-se que uma partícula girando em uma trajetória circular tem uma aceleração centrípeta, ou radial, de módulo v2/r direcionada para o centro de rotação (ver a Figura 4).
(7)
• Como v=r, podemos expressar a aceleração centrípeta da partícula em termos da velocidade angular como:
• A aceleração translacional total da partícula é a=at+ar. O módulo da aceleração translacional total da partícula é, portanto, dada por:
Figura 4
(8)
(9)
Energia cinética rotacional
Movimento rotacional...
• Supondo um corpo rígido que gira ao redor do eixo fixo z com velocidade angular (Figura 5).
• Cada partícula do corpo rígido está em movimento e tem, assim uma energia cinética, determinada por sua massa e velocidade escalar tangencial.
• A -iésima partícula tem massa mi
e velocidade tangencial vi. Figura 5
• Se a massa da -iésima partícula é mi e sua velocidade tangencial é vi, a energia cinética dessa partícula é:
• A energia cinética total KR será a soma das energias cinéticas das partículas individuais:
• A grandeza entre parênteses é chamada momento de inércia I do corpo rígido:
• Podemos expressar a energia cinética:
é comum a todas as partículas
(10)
(11)
• O momento de inércia tem dimensões ML2 (kg m2 no SI).
• O momento de inércia é uma medida da resistência à variação na velocidade angular de um sistema (mesmo papel da massa no movimento translacional). Entretanto ele depende além da massa também de como a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação.
• Dependendo do eixo em torno do qual um objeto gira, seu momento de inércia varia, apesar da massa ser a mesma.
• O momento de inércia sempre é relativo a um eixo de rotação.
Torque e produto vetorial
Movimento rotacional...
• Quando uma força é exercida sobre um corpo rígido que pode girar em torno de um eixo e a linha de ação da força não passa através do ponto de apoio no eixo, o corpo tende a girar ao redor desse eixo.
• Por exemplo quando você empurra uma porta, aplica uma força sobre a mesma, como consequência a porta gira ao redor de um eixo passando pelas dobradiças.
• A tendência de uma força em girar um corpo ao redor de algum eixo é medida por uma grandeza vetorial chamada torque.
• O torque é a causa das variações no movimento rotacional e é análogo à força, que causa variações no movimento translacional. Definimos o torque (tau) que resulta da força F com a expressão:
𝜏 = 𝑟 × 𝐹 (12)
Lembrando produto vetorial:
Área do paralelogramo
• O módulo do vetor é:
• É importante reconhecer que o torque é definido apenas quando é especificado um eixo de referência, a partir do qual a distância r é determinada.
• Note na figura que a componente Fcos paralelo a r não causa uma rotação ao redor do ponto de apoio, pois sua linha de ação passa exatamente pelo ponto de apoio no eixo.
• Você não pode abrir uma porta empurrando as dobradiças!
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛∅
Regra da mão direita
(13)
• Experimente fechar uma porta empurrando no centro da porta (Figura a) e depois, aplicando a mesma força empurre na extremidade (Figura b).
• A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na extremidade da porta.
• “Dê-me uma alavanca que moverei o mundo” Arquimedes
• Alavanca: Barra rígida apoiada (ponto de apoio O) usada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.
• Braço de Alavanca (L) é a distância do ponto de apoio (O, por onde passa o eixo de rotação), à linha de ação da força (F)
• O momento linear p=mv também possui uma correspondente grandeza angular, o momento angular L.
unidade kgm2/s ou J.s. A rotação não é necessária para o momento angular, a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto.
Momento angular
Movimento rotacional...
(14)
• O módulo do vetor é:
• Assim como o torque, o momento angular só faz sentido quando especificamos o ponto de referência.
• O movimento rotacional tem uma lei de movimento semelhante à Segunda Lei de Newton (F=dp/dt).
• Válida também para um sistema de partículas e para um corpo rígido. O torque resultante agindo sobre um sistema é igual a taxa temporal de variação do seu momento angular.
(15)
(16)
• O momento angular de um corpo rígido que gire em torno de um eixo fixo pode ser definido em função do momento de inércia I:
• Em que I=miri2 nos diz como a massa de um corpo
girando se distribui em torno do eixo de rotação e é denominada inércia rotacional ou momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de rotação.
• O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação.
(17)
Para um corpo rígido em equilíbrio:
• A força externa resultante tem que ser nula:
• O torque externo resultante tem que ser nulo ao redor de qualquer eixo:
• O torque resultante agindo sobre um corpo é proporcional à aceleração angular do corpo e a constante de proporcionalidade é o momento de inércia I:
𝐹 = 0
(19)
Equilíbrio translacional
𝜏 = 0
(18)
Equilíbrio rotacional
(20)
• Para o caso particular de um sistema em rotação em torno de um eixo fixo (Eq. 16) quando nenhum torque externo atua sobre o sistema (Eq. 19) temos a seguinte lei de conservação do momento angular:
• “Quando nenhum torque externo atua sobre um sistema L permanece constante, qualquer que seja a alteração ocorrida no interior do sistema”
Conservação do momento angular
Movimento rotacional...
(21)
• A Eq. 21 permanece válida para um sistema não rígido neste caso, a velocidade angular também varia de i
para f, tal que:
• Se I diminui tem de aumentar.
(22)
• Exemplos clássicos de sistemas em que existem apenas forças internas e, portanto:
• Com a aproximação dos halteres (If<<Ii) a velocidade angular do sistema aumenta (f>>i)
assim como a patinadora do gelo que encolhe os braços para girar mais rapidamente,...
• (I2<<I1) e (2>>1)
a mergulhadora que dá um salto múltiplo dobrando os joelhos e juntando os braços para girar o corpo e os esticando após para cair mais lentamente na água,...
• (I>>I’) e (<<’)
L’
a ginasta que durante o salto varia o momento de inércia e proporcionalmente varia sua velocidade,...
• As mudanças no momento de inércia são obtidas com a manipulação dos segmentos resultando nos saltos carpado e estendido
o gato que faz girar a cauda e encolhe as patas para cair de pé...
• A rotação no eixo transverso tem menor distribuição de massa o que facilita o movimento.
• Bibliografia:
1. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janerio: LTC, vol 1.
2. SERWAY, Raymond A., JR JEWETT John W. Princípios de física. São Paulo: Thomson, vol 1.
4. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro, RJ: LTC, vol 1.
5. CHAVES, Alaor. Física Básica: Mecânica. Rio de Janeiro: LTC.
Referências