Advanced con 42014 - Ferdowsi University of Mashhadkarimpor.profcms.um.ac.ir/imagesm/354/stories/adv_con/advanced_con_4.pdf · lecture 4 Dr. Ali Karimpour May 2014 2 Lecture 4 State

Ali KarimpourAssociate Professor

Ferdowsi University of Mashhad

ADVANCEDADVANCEDCONTROLCONTROL

Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

lecture 4

Dr. Ali Karimpour May 2014

2

Lecture 4State Space Solutions and State Space Solutions and

RealizationRealizationTopics to be covered include: Introduction. Solution of State Equations. Equivalent State Equations. Realizations. Solution of Linear Time-Varying (LTV) Equations. Equivalence Time-Varying Equations. Time-Varying Realizations.

lecture 4


3

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزیدLTIفضاي حالت سیستمهاي معادالتحل •

) جبري(سیستم هاي همانند یا معادل •

هم ارز یا معادل حالت صفر •

شرط وجود پیاده سازي در سیستمهاي خطی •

سازي نحوه پیاده •

LTVفضاي حالت سیستمهاي معادالتحل •

گذار حالت و خواص آنها ماتریساساسی و ماتریس •

LTVهم ارز یا معادل در سیستمهاي •

LTVپیاده سازي سیستمهاي •

• Solution of LTI state equations

• Equivalent(algebraic) state equations

• Zero state equivalent

• Realizable state equations

• Some different realization

• Solution of LTV state equation

• Fundamental matrix and stste transition matrix and their properties

• State Space Representation for LTV Systems

• Realization of LTV Systems

lecture 4


4

Introduction

فرم کلی معادالت فضاي حالت در سیستمهاي غیر خطی

مقدمه

If initial condition and input are defined, then x(t), y(t) ?

چند است؟ y(t)و x(t)اگر شرائط اولیه و ورودي مشخص باشد مقدار

LTIفضاي حالت سیستمهاي معادالت

LTVفضاي حالت سیستمهاي معادالت

)()()()()()(tDutCxtytButAxtx

)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx

lecture 4


5

Solution of LTI state equation LTIحل معادالت فضاي حالت

)()()(:روش اول tButAxtx

AeAeedtd AtAtAt

در فصول قبل دیدیم

dBuexetx t tAAt )()( 0

)(

0

:داریم e-Atبا ضرب معادله حالت در )()()( tBuetAxetxe AtAtAt

)()( tBuetxedtd AtAt )()()( tBuetAxetxe AtAtAt

:با انتگرال از طرفین داریم dBuexe t AtA

00)()(

و نهایتا

معادله انتقال حالت dBuexetx t

t

tA

t

ttA )()(00

0 )()(

00|)( ttt xtx

lecture 4


6


)()()( 0 sBusAxxssx

)()()()( 10

1 sBuAsIxAsIsx


)(

0 Convolutionintegral

معادله انتقال حالت

روش دوم

با تبدیل الپالس داریم

dBuexetx t

t

tA

t

ttA )()(00

0 )()(

)()()( tButAxtx 00

|)( ttt xtx

lecture 4


7



)(

0

)()()( tButAxtx 00

|)( ttt xtx

eAtروشهاي محاسبه

...:سري نمایی -1!

...!2

22

nn

At AntAttAIe

n-1 :)(AheAtیافتن چند جمله اي درجه -2

ˆ1....و جردناستفاده از فرم -3 QQee tAAt

معکوس الپالساستفاده از تبدیل -4 11 )( AsILeAt

lecture 4


8


.سیستم مقابل را در نظر بگیرید: 1-4مثال uxx

10

2110

x(t) مطلوبست


)(

0

می دانیم : حل

.را تعیین نمود eAtپس ابتدا باید

1

111

211

)(s

sLAsILeAt

12121

121

122

22

221

sss

ss

sssss

LeAt

tt

tt

At

etteteet

e)1(

)1(

t t

t t

tt

tt

duetduet

xette

teettx

0

)(

0

)(

)())(1()()(

)0()1(

)1()(

lecture 4


9

uxx

10

3012

1

111

3012

)(s

sLAsILeAt

310

)3)(2(1

21

1

s

sssL


.سیستم مقابل را در نظر بگیرید : 2-4مثال با فرض اعمال پله واحد x(t) مطلوبست

)0()0(

0)(

2

13

322

xx

eeee

txt

ttt

due

eeet

t

ttt

)(10

00 )(3

)(3)(2)(2

)0()0(

0)(

2

13

322

xx

eeee

txt

ttt

de

eet

t

tt

0 )(3

)(3)(2

.....

.....

t

ttt

At

eeee

e3

322

0

lecture 4


10

Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند

.با توجه به متغیرهاي حالت انتخاب شدهفضاي حالت معادالت مطلوبست) الف: 3-4مثال

.با توجه به متغیرهاي حالت انتخاب شدهفضاي حالت معادالت مطلوبست) ب

2

1

2

1

2

1

10

01

1110

xx

y

uxx

xx

2

1

2

1

2

1

11

11

0111

xx

y

uxx

xx

lecture 4


11

ddcPc

PbbPAPA

ˆˆ

ˆˆ1

1ducxybuAxx

udwcy

ubwAwˆˆ

ˆˆ

1- It can lead to a simpler system. امکان ساده سازي سیستم -1

Pxw

Similarity transformation

2- It doesn’t change the eigenvalues. عدم تغییر مقادیر ویژه -23- Similar transfer function. توابع انتقال یکسان - 34- It doesn’t change observability. عدم تغییر رویت پذیري -4


5- It doesn’t change controllability. عدم تغییر کنترل پذیري - 5

lecture 4


12

ddcPc

PbbPAPA

Pxw

ˆˆ

ˆˆ1

1

ducxybuAxx

udwcy

ubwAwˆˆ

ˆˆ

تبدیل همانندي مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد

0 AsI 0ˆ AsI

AsI ˆ 11 PAPsPP 1)( PAsIP 1 PAsIP

AsI


عدم تغییر مقادیر ویژه

lecture 4


13

ddcPc

PbbPAPA

Pxw

ˆˆ

ˆˆ1

1

ducxybuAxx

udwcy

ubwAwˆˆ

ˆˆ

تبدیل همانندي تابع انتقال را تغییر نمی دهد


توابع انتقال یکسان

dbAsIcsg ˆˆ)ˆ(ˆ)(ˆ 1 dPbPAPsIcP 111 )(

dPbPAsIPcP 111 )( dbAsIc 1)(

)(sg

lecture 4


14


همانندي تبدیالتکاربرد

یافتن سیستمهاي همانند ساده تر•

............. و مودال، فرم جردنفرمهاي کانونی، فرم

مدرج سازي براي پیاده سازي بهتر•

lecture 4


15


همانندي در مدرج سازي تبدیالتکاربرد . سیستم مقابل را در نظر بگیرید: 5-4مثال

2

1

2

1

2

1

12.0

1.010

1021.0

xx

y

uxx

xx

[y,x,t]=step(A,b,c,d);plot(t,x,t,y)grid onxlabel('Time(sec)')

1x

2x

y

10±براي پیاده سازي تماما داخل بازه

؟؟؟ yتاثیر تبدیل همانندي بر خروجی

؟؟؟ xتاثیر تبدیل همانندي بر حاالت

2211 ?ˆ,?ˆ xxxx

xPxx

?00?

ˆ01.0

lecture 4


16


همانندي در مدرج سازي تبدیالتکاربرد

2

1

2

1

2

1

12.0

1.010

1021.0

xx

y

uxx

xx

1x̂

2x̂

y 10±در بازه متغیرهاتمام

ddcPc

PbbPAPA

Pxx

ˆˆ

ˆˆˆ

1

1

2

1

2

1

2

1

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

xx

y

uxx

xx

lecture 4


17

Zero state equivalent هم ارز حالت صفر

ماتریسحالت صفر گویند اگر ) هم ارز(معادله فضاي حالت را معادل دو دسته : 1- 4تعریف .تابع انتقال آنها یکسان باشد

معادله فضاي حالت زیر همانند هستند؟ معادل حالت صفر چطور؟آیا ) الف: 4-4مثال

2

1

2

1

2

1

11

01

1002

xx

y

uxx

xx

xyuxx

2

. واضح است که همانند نیستند

21)(

ssg

21)(

ssg

. فضاي حالت داده شده معادل حالت صفر هستند معادالت

lecture 4


18

هستند )داراي تابع انتقال یکسان (حالت زیر معادل حالت صفر معادالتدو دسته : 1- 4قضیه . اگر و فقط اگر روابط زیر برقرار باشد

udwcyubwAw

ducxybuAxx

....,2,1,0

mbAcbcAdd

mm

:حالت فوق داراي توابع انتقال زیر هستند معادالتدو دسته : اثبات

bAsIcdbAsIcd 11 )()( : با استفاده از بسط سري داریم

...... 32213221 sbAcsbAcsbcdbscAcAbscbsd

Zero state equivalent هم ارز حالت صفر

lecture 4


19

Realization

EuCxyBuAxx

معادالت فضاي حالتThis transformation

is uniqueEBAsICsG 1)()(

خروجی-توصیف ورودي)تابع انتقال(

EBAsICsG 1)()(

خروجی-توصیف ورودي)تابع انتقال( Realization

EuCxyBuAxx

معادالت فضاي حالت

This transformationis not unique

براي چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضاي حالتی وجود دارد؟: نکته مهم

پیاده سازي

lecture 4


20

Realization پیاده سازي

.واضح است که براي اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد: اثبات

قابل پیاده سازي G(s)انتقال ماتریس G(s) گویاي مناسب ماتریس

گویاي مناسب ماتریس G(s) قابل پیاده سازي G(s)انتقال ماتریس

:ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم

فضاي حالت مقابل وجود دارد معادالتقابل پیاده سازي است لذا G(s)چون DuCxyBuAxx

پس تابع انتقال برابر است با DBAsICsG 1)()( DB

AsIAsIadjC

)( ..........................................

گویاي مناسب باشد ماتریس G(s)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر Gqp(s)انتقال ماتریس: 2- 4قضیه

lecture 4


21



گویاي مناسب ماتریس G(s) قابل پیاده سازي G(s)انتقال ماتریس

:حال طرف دوم قضیه را اثبات می کنیم

)()()( sGGsG sp

G(s) گویاي مناسب است لذا داریم ماتریس : rr

rr NsNsNsNsd

G

1

2

2

1

1 ...)(

1)(

: در رابطه فوقrr

rr ssssd

1

1

1 ...)(فضاي حالت سیستم عبارتست از معادالتحال ادعا می کنیم

uGxNNNNy

u

I

x

I

II

IIII

x

rr

p

p

p

p

pppp

pppp

ppp

prprpp

)(...

0

00

0...00

00...00...0

...

121

121

)(....)( 1 sGDBAsIC

lecture 4


22



فضاي حالت سیستم عبارتست از معادالتحال ادعا می کنیم

uGxNNNNy

u

I

x

I

II

IIII

x

rr

p

p

p

p

pppp

pppp

ppp

prprpp

)(...

0

00

0...00

00...00...0

...

121

121

)(....)( 1 sGDBAsIC

rZ

ZZ

BAsI

2

1

1)(

rZ

ZZ

AsIB

2

1

)(

12 ZsZ

23 ZsZ

34 ZsZ

1 rr ZsZPrr IZZZsZ ...22111 Pr

r IZss

sZ

11

211 ...

lecture 4


23



فضاي حالت سیستم عبارتست از معادالتحال ادعا می کنیم

uGxNNNNy

u

I

x

I

II

IIII

x

rr

p

p

p

p

pppp

pppp

ppp

prprpp

)(...

0

00

0...00

00...00...0

...

121

121

)(....)( 1 sGDBAsIC

12 ZsZ 23 ZsZ 1...

rr ZsZ

Pr

r IZss

sZ

11

211 ...

P

r

IsdsZ

)(

1

1

P

r

Isd

sZ)(

2

2

Pr Isd

Z)(

1

)(...)(

1)()( 2

2

1

1

2

1

1

GNsNsNsd

D

Z

ZZ

CGBAsIC r

rr

r

lecture 4


24

Realization پیاده سازي.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 6-4مثال

2)2(

1)2)(12(

12

312

104

)(

ss

ss

sss

sG

22 )2(

1)2)(12(

12

312

12

0002

)2(1

)2)(12(1

23

12104

)(

ss

ss

ss

ss

ss

sss

sG

)5.0)(1()2(5.0)5.0)(2(3)2(6

265.41

0002

)(2

23 ssssss

ssssG

5.01324

5.15.05.724

1036

265.41

0002

)( 2

23ss

ssssG

lecture 4


25

Realization پیاده سازي.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 6-4مثال

2)2(

1)2)(12(

12

312

104

)(

ss

ss

sss

sG

5.01324

5.15.05.724

1036

265.41

0002

)( 2

23ss

ssssG

uxy

uxx

0002

5.015.15.0103245.72436

000000001001

00100000010000001000000120605.40

020605.4

lecture 4


26


pu

uu

sGsusGsy

2

1

)()()()(

pcpcc usGusGusGsusGsy )()()()()()( 2211

)()()()()()( 21 sysysysusGsy cpcc

2

1

21

2

1

2121

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

00

00

uu

ddxx

CCyyy

uu

bb

xx

AA

xx

cc

lecture 4


27


.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 7-4مثال

2)2(

1)2)(12(

12

312

104

)(

ss

ss

sss

sG

)2)(12(1

12104

)(1:,

ss

ss

sG

2

2:,

)2(12

3

)(

ssssG

5.0)2(6

15.21

02

)(21:,

sss

sG

5.012

06

15.21

02

)(21:,

sss

sG

111

11

02

5.00126

01

0115.2

uxy

uxx

c

1)2(3

441

00

)(22:, s

sss

sG

16

13

441

00

)(22:, s

sssG

222

222

00

1163

01

0144

uxy

uxx

c

:ستون اول :ستون دوم

lecture 4


28


.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 7-4مثال

2)2(

1)2)(12(

12

312

104

)(

ss

ss

sss

sG

111

111

02

5.00126

01

0115.2

uxy

uxx

c

222

222

00

1163

01

0144

uxy

uxx

c

:ستون اول :ستون دوم

2

1

2

1

0002

115.0063126

00100001

01004400

00010015.2

uu

xy

uu

xx

lecture 4


29

Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت

.مقابل است معادالتدر این بخش هدف حل

)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx

:ابتدا قسمت همگن را حل می کنیم)()()( txtAtx

شرط اولیه nاست nnداراي ابعاد Aبا فرض اینکه : )اساسی ماتریس(2- 4تعریف و x1(t) ،x2(t)فرض کنید .در نظر میگیریم xn(t0)... و x1(t0) ،x2(t0)مستقل

...xn(t) اساسی ماتریسپاسخ سیستم به شرایط اولیه انتخاب شده است در اینصورت.زیر تعریف می شود بصورت

)()()()( 21 ttttX nxxx

lecture 4


30


)(000

)( txt

tx

.....اساسی ماتریس: نکته

.اساسی سیستم مقابل را بدست آورید ماتریس: 8-4مثال

.مقابل در نظر گرفته می شود بصورتشرایط اولیه مستقل

01

)0(1x

21

)0(2

x

.مقابل در نظر گرفته می شود بصورتشرایط اولیه مستقل همچنین می تواند

25.05.0

11)(

22 tttX

21 5.01

)(t

tx

25.0

1)(

22 ttx

01

)0(1x

10

)0(2

x

15.001

)(2t

tX

21 5.01

)(t

tx

10

)(2 tx

lecture 4


31


. در معادله همگن زیر صدق می کند X(t)اساسی ماتریس: نکته )()()( txtAtx

:پس داریم

)()()( tXtAtX

. تمام زمانها غیر منفرد است ازايبه X(t)اساسی ماتریس: 1- 4لم

lecture 4


32


: )گذار حالت ماتریس(3- 4تعریف : اساسی معادله همگن زیر باشد ماتریسهر X(t)فرض کنید

)()()( txtAtx

:زیر تعریف میشود بصورتگذار حالت ماتریسدر اینصورت

)()(),( 0

1

0 tXtXtt

:دستگاه معادله زیر است بفردجواب منحصر گذار حالت ماتریس

Itt

tttAttt

),(

),()(),(

00

00

lecture 4


33


)(000

)( txt

tx

.گذار حالت سیستم مقابل را بدست آورید ماتریس: 9-4مثال

25.05.0

11)(

22 tttX

15.001

)(2t

tX

.اساسی سیستم محاسبه شد ماتریسدر مثال قبل

5.025.05.0125.0

25.05.011

)()(),(2

0

2

0

220

1

0 tt

tttXtXtt

1)(5.001

),(2

0

20 tttt

اساسی بعدي ماتریسو براي

15.001

15.001

)()(),(2

0

20

1

0 tttXtXtt

1)(5.001

),(2

0

20 tttt

.....ماتریس گذار حالت : نکته

lecture 4


34

1- Φ(t,t) = I

خواص ماتریس انتقال حالت

2- Φ-1(t,t0)= Φ(t0,t)

3- Φ(t2,t1)Φ(t1,t0) = Φ(t2,t0)

Property of state transition matrix

lecture 4


35


.مقابل بود معادالتدر این بخش هدف حل )()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx

:ازعبارت است ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق

:می کند ارضابراي اثبات ادعاي فوق ابتدا باید نشان دهیم معادله فوق شرط اولیه را

:و همچنین باید رابطه داده شده در معادله باال صادق باشد)()()()(.................................)( tutBtxtAtx

t

tt

t

tt

duBtxtt

duBtxtttx

00

00

)()(),(),(

)()(),(),()(

00

0

0

0

00)()(),(),()( 000 t

t

tt xduBtxtttx

:ازعبارت است پس خروجی

t

tt tutDduBttCxtttCty00

)()()()(),()(),()()( 0

lecture 4


36




t

tt

t

tt

duBtxtt

duBtxtttx

00

00

)()(),(),(

)()(),(),()(

00

0

:ازعبارت است پس خروجی t


)()()()(),()(),()()(0

:ازعبارت است پاسخ ورودي صفر

0),()( 0 txtttx

0),()()(

0 txtttCty :ازعبارت است پاسخ حالت صفر

t

t tutDduBttCty0

)()()()(),()()(

t

t duttDBttCty0

)()()()(),()()(

lecture 4


37




t

tt

t

tt

duBtxtt

duBtxtttx

00

00

)()(),(),(

)()(),(),()(

00

0

:ازعبارت است پس خروجی t


)()()()(),()(),()()(0

:ازعبارت است پاسخ حالت صفر t

t duttDBttCty0

)()()()(),()()(

t

t dutGty0

)(),()( :قبال دیدیم

)()()(),()(),( ttDBttCtG )()()()()()( 1 ttDBXtXtC

lecture 4


38

ddcPc

PbbPAPA

ˆˆ

ˆˆ1

1ducxybuAxx

udwcy

ubwAwˆˆ

ˆˆ

عدم تغییر مقادیر ویژه و توابع انتقال یکسان: خواص مهم

Equivalent state equation for LTV systemsLTVمعادالت فضاي حالت همانند در سیستم

:داریم LTVاما در مورد سیستمهاي

.....)(ˆ tA

utdxtcyutbxtAx

)()()()(

utdwtcy

utbwtAw

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

ddtcPtcbtPtb ˆ),()(ˆ,)()(ˆ 1

عدم تغییر پاسخ ضربه: خواص مهم

Pxw

Similarity transformation

P(t)xw

Similarity LTV transformation

lecture 4


39


utdxtcyutbxtAx

)()()()(

utdwtcy

utbwtAw

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

اي بگونهرا P(t)ثابت دلخواه باشد در اینصورت در رابطه باال تبدیل ماتریس A0فرض کنید : 3- 4قضیه ˆ)(0می توان انتخاب نمود که AtA

:اثبات

)(matrix lFundumenta

tX

tAetW 0)(matrix lFundumenta

)()()( 0 tXtPetW tA )()( 10 tXetP tA

0............................)(ˆ AtA

P(t)xw


utdxtcyutbxtAx

)()()()(

utdwtcy

utbwAw

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ0

P(t)xw


lecture 4


40


داریم A0=0در حالت خاص در قضیه قبل با فرض

xtPW )(

lecture 4


41


utdxtcyutbxtAx

)()()()(

P(t)xw

ation transformLTV Similarity

utdwtcy

utbwtAw

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

نامیده می شود اگر لیاپانوفیتبدیل P(t) ماتریس: )لیاپانوفیتبدیل (4- 4تعریف

1- P(t) غیر منفرد باشد.

2- P(t) وP’(t) پیوسته باشد.

3- P(t) وP-1(t) براي تمامt باشد کراندار.

lecture 4


2

1

2

1

2

1

11

01

1002

xx

y

uxx

xx

42


براي سیستم مقابل تبدیل همانندي اي بیابید که: 11-4مثال

است؟ لیاپانوفیآیا تبدیل بدست آمده . و سیستم جدید را نمایش دهید

0000

)(ˆ0AtA

)()( 10 tXetP tA :تبدیل همانندي مورد نظر عبارتست از

t

t

t

t

ee

ee

tP0

00

01001

)(212

)()()()(ˆ 1 tPtPAtPtA )(0

0210

020

01

22

tPe

ee

et

t

t

t

0000

)()()(ˆ tbtPtb

01

002

t

t

ee

0

2 te tt eetPtctc 21 )()()(ˆ 0)(ˆ td

. نیست لیاپانوفیتبدیل بدست آمده

lecture 4


43

Realization for LTV systems

utDxtCyutBxtAx)()()()(

معادالت فضاي حالت This transformation

is unique)()(

)()()()(),( 1

ttDBXtXtCtG

پاسخ ضربه

Realization

This transformationis not unique

براي چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضاي حالتی وجود دارد؟: نکته مهم

LTVپیاده سازي سیستمهاي

)()()()()()(),( 1

ttDBXtXtCtG

پاسخ ضربه


معادالت فضاي حالت

lecture 4


44

.واضح است که براي اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد: اثبات

قابل پیاده G(t,)پاسخ ضربه ماتریسسازي


:ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم

فضاي حالت مقابل وجود دارد معادالتقابل پیاده سازي است لذا G(t,)پاسخ ضربه چون


:پس پاسخ ضربه عبارتست از

)()()()(.........)()()(),()(),( ttDNtMttDBttCtG

زیر بصورترا G(t,)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر بتوان Gqp(t,)پاسخ ضربه ماتریس: 4- 4قضیه .بیان نمود

Realization for LTV systems LTVپیاده سازي سیستمهاي

)()()()(),( ttDNtMtG



lecture 4


45


:حال به اثبات قسمت دوم می پردازیم

utDxtMy

utNxx

)()(

)(00

00

:فضاي حالت سیستم مقابل عبارتست از معادالتادعا می کنیم

)()()(),()(),( ttDBttCtG

زیر بصورترا G(t,)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر بتوان Gqp(t,)پاسخ ضربه ماتریس: 4- 4قضیه .بیان نمود




)()()()( ttDINtM

)()()()( ttDNtM

lecture 4


46


در صورت . نظر بگیریددر g(t)=teλtرا به صورت LTIضربه یک سیستم پاسخ : 12-4مثال .بدست آورید LTVو یک پیاده سازي LTIامکان یک پیاده سازي

ttetg )(

222 21

)(1)(

ssssg

: LTIپیاده سازي

: LTVپیاده سازي xy

uxx

1001

012 2

)()()( tettg

ee

teetg tt)( xteey

uete

xx

tt

t

t

0000

lecture 4


47

Exercises تمرینها

xx: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید: 1-4تمرین

0110

پاسخ سیستم به شرط اولیه مطلوبست

11

)شرط اولیه صفر است(مطلوبست پاسخ پله واحد سیستم مقابل : 2-4تمرین

xy

uxx

3211

2210

:مطلوبست فرم کانونی جردن و فرم مودال سیستم مقابل: 3-4تمرین

xy

uxx

011101

220101002

lecture 4


48


: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید: 4-4تمرین

معادله حاالت مقابل را در نظر بگیرید آیا این دو معادله حالت همانند هستند؟: 5-4تمرین . آیا هم ارز حالت صفر هستند

xy

uxx

011101

220101002

xy

uxx

011011

100220212

xy

uxx

011011

100120112

اگر به ورودي . تبدیل همانندي اي بیابید که دامنه متغیرهاي حالت با خروجی یکسان باشداي تنظیم کنید که کلیه حاالت و خروجی در بگونهرا aاعمال شود مقدار aپله با دامنه

. باشد ±10بازه

lecture 4


49


: انتقال مقابل را بیابید ماتریسپیاده سازي : 6-4تمرین

انتقال مقابل را از طریق یافتن معادله حالت براي هر ستون و ماتریسپیاده سازي : 7-4تمرین : الحاق آنها را بیابید

212

)2)(1(32

12

)(

ss

ss

sss

ssG

212

)2)(1(32

12

)(

ss

ss

sss

ssG

lecture 4


50


: انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید ماتریساساسی و ماتریس: 8-4تمرین



xt

x

010

xe

xt

101 2

xt

tx

cos00sin

xt

tx

cos00sin

: یک سیستم غیر متغیر با زمان براي سیستم مقابل بیابید: 11-4تمرین

lecture 4


51


براي سیستم LTVو یک پیاده سازي LTIدر صورت امکان یک پیاده سازي : 12-4تمرین tettg.مقابل بیابید 2)(

براي سیستم LTVو یک پیاده سازي LTIدر صورت امکان یک پیاده سازي : 13-4تمرین .مقابل بیابید

cos)(sin),( )( tettg ماتریسبراي : 14-4تمرین

:نشان دهید

)()()()(

2221

1211

tatatata

A

t

t daatt0

)()(exp),(det 22110

:جواب معادله زیر است X(t)=eAtCeBtنشان دهید که : 15-4تمرین

CXXBAXX )0(

lecture 4


52


فرض کنید : 16-4تمرین

: انتقال حالت سیستم مقابل است ماتریس

: نشان دهید که

نشان دهید که جواب معادله: 17-4تمرین

:عبارتست از

.مستقل است tاز X(t)و همچنین مقادیر ویژه

11 )()()( AtXtXAtX

),(),(),(),(

),(022021

012011

0 tttttttt

tt

xtAtAtA

x

)(0)()(

22

1211

2,1),(),(

0),(

00

0021

iforttAttt

tandtallfortt

iiiiii

tAtA eXetX 11 )0()(

lecture 4


53

Answers to selected problems

:1- 4جواب

:2- 4جواب

.همانند نیستند ولی هم ارز حالت صفر هستند: 5- 4جواب

:6- 4جواب

uxy

uxx

tfortety

tttt

tx

t

1100

26233422

00001001

001000012030

0203

0sin5)(

sincossincos

)(

lecture 4


54

Answers to selected problems:8- 4جواب

:9- 4جواب

:10- 4جواب

:12- 4جواب

Documents

Advanced con 42014 - Ferdowsi University of Mashhadkarimpor.profcms.um.ac.ir/imagesm/354/stories/adv_con/advanced_con_4.pdf · lecture 4 Dr. Ali Karimpour May 2014 2 Lecture 4 State