adu.by...© Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В., Сокольский А. А., 2010 © Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В

Минск «Народная асвета»

2015

УтвержденоМинистерством образования

Республики Беларусь

Учебник для 9 класса учреждений общего среднего образования

с русским языком обучения

Под редакцией А. А. Сокольского

2-е издание, переработанное

Правообладатель Народная асвета

© Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В., Сокольский А. А., 2010

© Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В., Сокольский А. А., 2015, с измене-ниями

© Оформление. УП «Народная асве-та», 2015

ISBN 978-985-03-2401-6

УДК 53(075.3=161.1)ББК 22.3я721 И85

Рецен з ен ты:

кафедра инженерной физики учреждения образования «Витебский государственный университет имени П. М. Машерова» (кандидат педагогических наук, доцент И. В. Галузо); учитель физики высшей категории государственного учреждения образования «Гимназия № 5 г. Минска»,

кандидат физико-математических наук В. И. Анцулевич


Как работать с учебником

Перед вами учебник по физике для 9-го класса. В нем изло-жены основы механики — одного из самых важных разделов фи-зики. С механикой вы познакомились в 7-м классе. В этом учеб-ном году вы будете изучать механику на более высоком уровне, решать более сложные задачи. Справиться с этим поможет наш учебник. Чтобы работа с ним принесла больше пользы, дадим не-сколько советов.Внимательно прочитайте заданный вам параграф. Не заучи-

вайте текст наизусть. Важнее всего понять смысл изложенного. Старайтесь связать содержание параграфа с материалом, который был дан учителем на уроке.Уделите особое внимание определениям физических величин,

физическим законам и формулам. Они выделены в тексте. Если дан вывод формулы — самостоятельно повторите его в тетради.В текст параграфов включены вопросы. Не оставляйте без

ответа ни один из них! Обращайте серьезное внимание на описание опытов. Многие

из них можно провести дома. Это поможет вам лучше понять изу-чаемые явления.Проанализируйте главные выводы в конце каждого парагра-

фа. Полезно записать их в тетрадь и сделать к ним собственные дополнения.Для проверки понимания материала после главных выводов

даны контрольные вопросы. Обязательно дайте ответ на каждый из них. В некоторых случаях для этого полезно обратиться к до-полнительным источникам информации.Изучив теоретический материал и ответив на контрольные

вопросы, необходимо решить задачи, приведенные в упражнении в конце параграфа. Наиболее сложные вопросы и задачи отмече-

ны значком .


4

Если вам удалось решить все задачи, значит, материал усво-ен хорошо. Вы можете рассчитывать на достойную оценку ваших знаний учителем.В некоторых параграфах имеется материал, отмеченный слева

вертикальной линией. Он предназначен для тех, кто стремится к более глубоким знаниям.Дополнительный материал, набранный мелким шрифтом,

можно изучать по желанию.Приложение в конце книги поможет вам при выполнении ла-

бораторных работ.Желаем творческих успехов и хороших отметок!

Авторы

Как работать с учебником


ВВЕДЕНИЕ

Неотъемлемой частью нашей жиз ни является движение. Движутся люди, автомобили, самолеты, косми-ческие корабли, планеты (рис. 1). Дви-жутся молекулы, атомы, электроны.В 7-м классе вы получили пер-

вые представления о механическом движении. В этом году мы изучим механику более глубоко, заложим основу для освоения других разделов физики.

§ 1. Материя. Пространство и время. Механическое движение

При изучении физики вы уже познакомились с очень важным поняти-ем — «материя». Все, что существует в окружающем нас мире, и есть материя.

Материя — это не только вещество (физические тела и частицы, из которых они состоят), но и физические силовые поля: поле тяготения, электрическое поле, магнитное поле. Без учета физических полей картина мира была бы неполной.

На рисунке 2 изображена звездная система, которая удерживается от распада полем тяготения.

Рисунок 3 показывает, как магнитное поле действует на железные опилки.

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3


6 Введение

В окружающем нас мире все непрерывно изменяется. И во Вселенной (мегамире), и в окружающих нас телах (макромире), и в атомах и элемен-тарных частицах (микромире) все время происходят разнообразные явления. Перемещаются небесные и земные тела, происходят вспышки на Солнце, из-меняются давление и температура воздуха, идут химические реакции, рас-тут и развиваются живые организмы, распадаются радиоактивные ядра атомов и т. д.

«Все течет, все изменяется. Невозможно дважды войти в одну и ту же реку», — говорил древнегреческий философ Гераклит. Непрерывные изме-нения, происходящие в окружающем мире, — одно из основных свойств ма-терии.Наиболее простой формой этих изменений является механическое движе-

ние — изменение положения одних тел относительно других в пространстве с течением времени.

Наука, которая изучает механическое движение, называется механикой.Слово «механика» произошло от греческого mechanike — машина.Цель механики — установление закономерностей механического дви-

жения и причин, его вызывающих.Зачем нужно изучать механику?Во-первых, законы механики чрезвычайно важны для человеческой деятель-

ности.От современных фабрик и заводов до научных лабораторий — всюду исполь-

зуются различные машины и механизмы (рис. 4), совершающие сложные движе-ния. Без глубокого понимания законов механики сконструировать такие устрой-ства невозможно.

Рис. 4 Рис. 5


7

Использование законов механики необходимо при производстве автомобилей, кораблей, самолетов, строительстве зданий, мостов (рис. 5), при составлении прогнозов погоды, в космических исследованиях. Расчеты, основанные на законах механики, необходимы и для достижения высоких спортивных результатов.Во-вторых, не зная законов механики, невозможно объяснить основные фи-

зические явления: тепловые, электрические, магнитные и т. д. Все они сопровож-даются движением частиц.Механика — основа всей физики.Основными разделами механики являются кинематика, которая отвечает на

вопрос, как движутся тела, и динамика, которая выявляет причины движения и объясняет, почему тела движутся так, а не иначе.Как было сказано, механическое движение — это перемещение одних тел

относительно других в пространстве с течением времени.Понятия пространство и время играют в физике исключительно важную

роль. Все, что существует в материальном мире, существует в пространстве и во времени.

Всякое тело занимает определенную часть про-странства и определенное место по отношению к дру-гим телам.Электрическое и другие поля также находятся в

той или иной области пространства.Время служит для описания изменений, проис-

ходящих в материальном мире. Одно событие проис-ходит раньше, другое — позже; одно явление длится дольше, другое — занимает меньше времени.Дать точное определение понятий пространства и

времени сложно. Мы судим о них при помощи наших органов чувств и измерительных приборов.

Время измеряют с помощью различных часов (рис. 6, а), секундомеров, хронометров. Современные атомные часы (рис. 6, б) измеряют время с точностью 10−16 с. Такие часы могут уйти вперед или отстать на одну секунду не раньше чем через сотни миллио-нов лет!

Физика имеет дело с промежутками времени от чрезвычай-но малых — 10−24 с (в ядерной физике) — до миллиардов лет(в физике космоса). Столь же огромен и диапазон расстояний — от размеров ядер (10−15 м) до масштабов Вселенной (1026 м).

Материя. Пространство и время. Механическое движение

Рис. 6


8 Введение

Главные выводы1. Материя — это вещество и физические силовые поля. Материя суще-

ствует в пространстве и во времени.2. Механическое движение — это изменение положения тела в простран-

стве относительно других тел с течением времени.3. Цель механики — установление закономерностей механического дви-

жения и его причин.4. Кинематика описывает, как движутся тела, а динамика выявляет при-

чины движения.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под материей в физике?2. Какое свойство материи является одним из основных?3. Что такое механическое движение?4. Что изучает механика? Кинематика? Динамика?5. Почему важны законы механики? В каких областях человеческой деятельности они используются?



10 Кинематика

§ 2. Задача кинематики. Виды механического движения

Изучение механики начинается с кинематики. Понятия кинематики лежат в основе всей физики. В чем состоит задача кинематики? Какие модели она использует?

Говоря, что автомобиль сначала ехал прямо, затем повернул направо и вско-ре остановился, мы даем словесное описание того, как двигался автомобиль. Для такой точной науки, как физика, этого недостаточно. Задача кинематики — дать математически строгое, количественное опи-

сание движения тел.В 7-м классе вы изучали самый простой вид движения — прямолинейное

движение. Движение реальных тел может быть очень сложным. Понаблюдайте за самолетом, выполняющим фигуры высшего пилотажа (рис. 7, а), или за чело-веком, совершающим прыжок в воду (рис. 7, б).

Каким образом кинематика опи-сывает такие сложные движения?Кинематика представляет слож-

ное движение как состоящее из трех основных. Каковы эти основные дви-жения?Начнем с того, что каждое тело

в каждый момент времени обладает некоторой геометрической формой, определенным образом ориентиро-вано в пространстве и занимает в нем некоторое место. Проведем опыт с обыкновенной

линейкой. Линейку можно изогнуть (изменить ее форму) (рис. 8, а), ли-нейку можно повернуть (т. е. сори-ентировать по-другому относительно стола) (рис. 8, б) и, наконец, линей-ку можно перенести в другое место без изменения формы и ориентации в пространстве (рис. 8, в).Значит, и форма, и ориентация в

пространстве, и местоположение тела Рис. 7


11

с течением времени могут изменяться. Каждому из этих изменений соответствует один из трех видов механического движения.

1. Процесс изменения формы и (или) объема тела называется деформи-рованием (от лат. deformatio — искажение). При деформировании тела изменя-ются расстояния между его точками (см. рис. 8, а).Деформировать одни тела очень легко (растянуть пружину, изогнуть линейку,

смять кусок пластилина). Другие — гораздо труднее (стальной шарик, кусок гра-нита и т. д.). Недеформируемых тел не существует.

2. Изменение ориентации тела в пространстве называется поворотом, а происходящее при этом движение — вращательным движением тела.Простейший случай вращательного движения — вращение вокруг неподвиж-

ной оси (поворот открываемой двери (рис. 9, а), вращение диска в дисководе и т. д.). В более сложных случаях, таких как движение самолета (см. рис. 7, а), вол-

чка (рис. 9, б), вращение происходит вокруг оси, которая тоже изменяет свое на-правление в пространстве.

Рис. 8

Рис. 9

Задача кинематики. Виды механического движения



3. Перемещение тела без деформирования и поворота называют посту-пательным движением. При поступательном движении (см. рис. 8, в) прямая, проходящая через лю-

бые две точки тела, остается параллельной своему первоначальному положению (рис. 10).Поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволи-

нейным (рис. 11). Траектории точек тела, движущегося поступательно, одинако-вы. Они лишь смещены друг относительно друга (см. рис. 11).

В общем случае движение тела представляет собой результат сложения трех движений: деформирования, вращения и поступательного движения.Во многих задачах деформированием тела можно пренебречь. В таких случа-

ях используют модель абсолютно твердого тела, т. е. тела, у которого рас-стояние между любыми его точками не изменяется.Движение абсолютно твердого тела сводится к поступательному перемеще-

нию и вращению.Если же в задаче несущественны и деформирование, и вращение тела, то ос-

тается рассмотреть только его поступательное движение. Значит, для таких задач достаточно изучить движение только одной из точек тела, т. е. использовать модель мате-риальной точки.

Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной задаче мож-но пренебречь.Именно от поставленной задачи зависит,

можно ли считать данное реальное тело ма-териальной точкой. Например, если нас инте-ресует движение крыльев бабочки (рис. 12), то бабочку нельзя рассматривать как матери-

Рис. 10 Рис. 11

Рис. 12


13

альную точку. В то же время Землю можно считать материальной точкой (рис. 13), если интересоваться ее движением вокруг Солнца (а не вращением вокруг своей оси).При решении конкретной задачи механики выби-

рают ту из моделей (деформируемое тело, абсолютно твердое тело, материальная точка), которая данной задаче наиболее соответствует.

Не надо забывать, что материальная точка — это лишь модель реального тела. Реальных объектов, которые вели бы себя точно так же, как материальная точка, не существует ни в макромире, ни в микромире. В макромире — потому что все макроскопические тела имеют протяженность, могут деформироваться и вращаться. В микромире — потому что мик-рочастицы вообще не имеют определенной траектории.

К такому неожиданному выводу физики пришли, проводя и анализируя опыты с микрочас-тицами. В результате этого к 1930 г. была создана квантовая механика — наука, способная описать и объяснить, как движутся микрочастицы.

Главные выводы1. Задача кинематики — математически строгое описание механического

движения тел.2. В общем случае движение тела есть результат сложения трех движений:

деформирования, вращения и поступательного движения.3. Если деформирование и вращение тела несущественны, то можно

использовать модель материальной точки.4. Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной за-

даче можно пренебречь.


1. В чем состоит задача кинематики?2. Какие виды механического движения вам известны?3. Какие модели реального тела используются в механике?4. Что такое абсолютно твердое тело? При каких условиях реальное тело можно рас-сматривать как абсолютно твердое?5. Какое движение называют вращательным? Поступательным?6. Может ли поступательное движение быть криволинейным?7. При каких условиях реальное тело можно рассматривать как материальную точку?

Рис. 13

Задача кинематики. Виды механического движения



§ 3. Относительность движения. Система отсчета

Вы сидите в кресле самолета, летящего со скоростью v кмч

= 900 . Дви-

жетесь вы или покоитесь? Один человек ответит, что вы движетесь, а другой — что вы находитесь в состоянии покоя. Кто из них прав?

Правы оба. Пассажир, сидящий в кресле летящего самолета, относительно Земли движется, а относительно самолета — находится в состоянии покоя.

Тело, относительно которого рассматривается движение других тел, назы-вается телом отсчета. Тело отсчета условно принимается за неподвижное.Если в приведенном примере за тело отсчета принята Земля, то самолет и

его пассажиры движутся. Если за тело отсчета принят самолет, то пассажиры находятся в состоянии покоя, а Земля движется.

Понятия и величины, зависящие от выбора тела отсчета, называ-ют относительными. Таким образом, «состояние покоя» и «состояние движе-ния» — понятия относительные.А относительны ли скорость движения, траектория, путь?В нашем примере скорость движения авиапассажира относительно Земли

равна v = 900 кмч

, а относительно самолета — нулю. Значит, скорость — ве-

личина относительная. Убедимся, что относительна и траектория. Рассмотрим второй пример. Вагон движет-

ся с постоянной скоростью по прямолинейно-му участку дороги. Какова траектория яблока, выпавшего из рук человека, находящегося в вагоне?Траектория движения яблока относитель-

но вагона — это вертикальная прямая АВ (рис. 14, а). А относительно человека, стоя-

Рис. 14


15

щего на платформе, траектория яблока — это кривая линия AC (рис. 14, б). Зна-чит, траектория движения тела — понятие относительное.Относительны и понятия «прямолинейное движение» и «криволинейное дви-

жение».А будет ли относительным путь? Легко подсчитать, что если телом отсчета

служит Земля, то в первом примере путь авиапассажира за одну минуту полета равен 15 км. Если же за тело отсчета принят самолет, то путь авиапассажира равен нулю.Путь зависит от выбора тела отсчета и в примере с яблоком. Таким образом,

путь также величина относительная.Сделаем вывод. Основные характеристики движения: скорость, траекто-

рия, путь — относительны. Они зависят от выбора тела отсчета.Пусть тело отсчета выбрано. Что еще необходимо для описания движения

тел (яблока, самолета, ракеты и т. д.)?Вспомним, что механическое движение — это изменение положения тела в

пространстве с течением времени. Следовательно, необходимо иметь устройства для определения положения тела и для измерения времени.

Например, чтобы отслеживать движение самолетов относительно Земли, используют ра-диолокационные станции. Они оснащены установками для определения положения объектов — радарами и аппаратурой для измерения времени (рис. 15).

Тело отсчета, снабженное устройствами для определения положения других тел и для измерения времени, называется системой отсчета.

Мы будем использовать систему отсчета, которая состоит из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов (рис. 16).


Относительность движения. Система отсчета



Покажем на примерах, как с помощью системы отсчета производится описа-ние движения тел (рассматриваемых как материальные точки).

Пример 1. Движение пешехода по прямолинейному участку дороги. За тело отсчета выбрана Земля. Ось координат Ох направлена вдоль рассматриваемо-го участка вправо (рис. 17). За начало координат взята точка О вблизи основа-ния дерева. В момент времени t1 = 3 ч 10 мин положение пешехода определялось координатой х1 = −800 м. В момент времени t2 = 3 ч 50 мин его координата стала равной х2 = 600 м и т. д. Таким образом, для описания движения тела по прямой достаточно для каждого момента времени указать значение только одной коор-динаты.

Пример 2. Движение куска мела по школьной доске (рис. 18). Это движе-ние по плоскости. Чтобы определить положение куска мела на плоскости, одной

координаты недостаточно. Исполь-зуем две координатные оси Ох и Оу (см. рис. 18).В начальный момент времени

t1 = 0 мел находился в точке А с координатами: х1 = −3 дм, у1 = 1 дм. В момент времени t2 = 3 с — в точ-ке В (х2 = 3 дм, у2 = 4 дм) и т. д. Значит, для описания движения тела по плоскости следует использовать две координатные оси и в каждый момент времени знать две коорди-наты движущегося тела.

Рис. 17

Рис. 18


17

Пример 3. Движение тела в пространстве (мяча, птицы, ракеты). В этом слу-чае для описания движения необходимы три координатные оси — Ох, Оу, Оz (рис.19).

Главные выводы1. Движение и покой, а также основные характеристики механическо-

го движения — понятия относительные. Они зависят от выбора системы отсчета.

2. Тело отсчета — это тело, относительно которого рассматривается дви-жение других объектов.

3. Тело отсчета, связанная с ним система координат и часы образуют сис-тему отсчета.

4. Движение материальной точки определяется зависимостью ее коорди-нат от времени.


1. Как понимать утверждение: «Механическое движение относительно»?2. Какие характеристики движения относительны? Объясните почему.3. Что такое тело отсчета? Что понимают под системой отсчета?4. Чем определяется выбор системы координат? Покажите на примерах.5. Герои романа Р. Стивенсона «Остров сокровищ» ищут клад легендарного пирата капитана Флинта. Определите координаты клада, используя рисунок 20 и следующие указания. Отойти на сто футов от дерева по направлению тени в полдень. Повернуть на запад. Пройти двадцать ярдов. Копать на глубину девяносто дюймов. Остров находится в Cеверном полушарии Земли. 1 ярд = 3 фута = 36 дюймов = 91,44 см. Выберите тело отсчета и систему координат. Сделайте чертеж.


Относительность движения. Система отсчета



§ 4. Скалярные и векторные величины. Действия над векторами

В курсе физики мы рассматривали различные величины. Для определе-ния одних (массы, пути, температуры) достаточно знать числовое зна-чение и единицу измерения. Например, m = 25 кг, s = 10 км. Такие физические величины называются скалярными. Для других величин необходимо знать еще и направление. Их называют векторными. Векторной, например, является известная вам физическая величина — сила. Почему?

На рисунке 21, а, б девочка дей-ствует на санки силой, имеющей одно и то же числовое значение. Но в пер-вом случае санки лишь сильнее погру-зились в снег, а во втором — пришли в движение. Значит, сила определяется не только числовым значением, но и направлением. Сила — величина век-торная. Векторной величиной является и

скорость движения (подумайте почему), и многие другие физические величины.

Что нужно знать о векторных величинах?1. Векторные величины (векторы) характеризуются числовым значением

и направлением в пространстве.Вектор изображают в виде направленного отрезка (стрелки). Стрелка указы-

вает, куда направлен вектор. Длина стрелки определяет числовое значение век-тора (рис. 22).Вектор обозначают буквой, над которой поставлена стрелка, например

ra. Его

можно обозначить также двумя буквами со стрелкой над ними, например ABu ruu

, где

точка A — начало вектора, точка B — конец вектора (см. рис. 22).

Числовое значение вектора называется модулем. Модуль вектора обозначают буквой без стрелки или символом |…|. На-

пример, на рисунке 22 модуль вектора ra равен

a a AB= = =r u ruu

4.

Модуль любого (не равного нулю) вектора — чис-ло положительное.

Рис. 21

Рис. 22


19

2. Векторы равны между собой, если рав-ны их модули и одинаковы их направления.Равные векторы лежат на одной и той же

прямой или на параллельных прямых и направле-ны в одну и ту же сторону. На рисунке 23

r ra b= ,

r rc d= . Однако

r ra c≠ , хотя модули векторов

ra и

rc одинаковы. Одного только равенства модулей для равенства векторов недостаточно!

3. Угол между векторами. Чтобы найти угол ϕ между векторами (рис. 24, а), нужно совместить начала этих векторов (рис. 24, б). Если направ-ления векторов одинаковы, то ϕ = 0° (рис. 24, в), если противоположны, то ϕ = 180° (рис. 24, г).

Рис. 23

Рис. 24

4. Умножение вектора на число. Произведение вектора ra на число β есть

вектор r rb a= β . Чему равен модуль вектора

rb ? Куда он направлен?

• Модуль вектора rb равен b a= β .

• Направление вектора rb совпадает с направлением вектора

ra, если β 0,

и противоположно вектору ra, если β 0.

Рассмотрите внимательно рисунок 25. Вы увидите, что, умножив вектор ra

на 2, мы увеличили его в два раза, а умножив на 0,5, — в два раза уменьшили (см. рис. 25, а, б). При умножении на (−3) модуль вектора увеличивается в три раза и вектор поворачивается на 180° (см. рис. 25, а, в).

5. Противоположные векторы. Вектор rd называется противоположным

вектору ra, если

r rd a= − . У векторов

rd и

ra одинаковые модули, но противопо-

ложные направления (см. рис. 25, а, г).

Рис. 25

Скалярные и векторные величины. Действия над векторами



6. Сложение векторов. Если векторы ra и

rb на-

правлены одинаково, то их сумма — это вектор rc того

же направления, имеющий модуль c = a + b (рис. 26, а). Если же направления векторов

ra и

rb противополож-

ны (рис. 26, б), то их сумма — вектор rc направлен

так, как вектор, модуль которого больше. При этом модуль вектора

rc равен разности модулей слагаемых

векторов.А как сложить векторы, направленные под любым

углом друг к другу?а) Правило параллелограмма. Совместим нача-

ла векторов ra и

rb (рис. 27, а). Построим параллело-

грамм ABCD, принимая векторы ra и

rb за его сто-

роны. Суммой векторов ra и

rb является вектор

rc ,

совпадающий с диагональю AC параллелограмма: r r rc a b= + .

б) Правило треугольника. Совместим конец век-тора

ra и начало вектора

rb (рис. 27, б). Вектор

rc ,

проведенный из начала вектора ra в конец вектора

rb,

равен сумме r ra b+ .

Сравнив рисунки 27, а и 27, б, докажите, что правило треугольника следует из правила параллело-грамма.

7. Вычитание векторов. Совместим начала век-

торов ra и

rb (рис. 28). Проведем вектор

rd из конца вычитаемого вектора

rb в

конец уменьшаемого вектора ra (см. рис. 28). Вектор

rd есть искомая разность:

r r rd a b= − .Найдите самостоятельно вектор

r r rf b a= − . В чем различие векторов

rd и

rf ?

Проверьте на примерах, что r r r ra b a b− = + −( ). Значит, разность

r ra b− можно

найти, прибавляя к вектору ra вектор, противоположный вектору

rb.

8. Правило многоугольника. Чтобы найти сумму нескольких векторов (например,

ra1,

ra2 ,

ra3 ,

ra4 ), каждый следующий вектор нужно прово-

дить из конца предыдущего (рис. 29).

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29


21

Замыкающий вектор rc , проведенный из начала первого вектора

ra1 в конец

последнего ra4 , есть сумма данных векторов:

r r r r rc a a a a= + + +1 2 3 4 . Такой спо-

соб сложения называется правилом многоугольника. Оно следует из правила треугольника.

9. Модуль суммы векторов. Не путайте модуль суммы векторов, т. е. r ra b� � �+

и сумму их модулей �r ra b+ . Равенство

r ra b+ =

r ra b+ выполняется только

для одинаково направленных векторов. В остальных случаях r ra b� �+

r ra b+ :

модуль суммы меньше суммы модулей. Так получается потому, что в любом тре-угольнике (см. рис. 27, б) длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон. Проверьте это на примерах.

10. Нуль-вектор. Пусть вектор ra равен вектору

rb. Тогда их разность

r r ra b− = 0. Нуль-вектор

r0 не имеет направления, а его модуль равен нулю:

�r0 0= .

Главные выводы1. Векторные величины характеризуются числовым значением и направле-

нием, скалярные — только числовым значением.2. Сумму двух векторов находят по правилу параллелограмма или тре-

угольника.3. Разность двух векторов находят, проводя вектор из конца вычитаемого

вектора в конец уменьшаемого (при совмещенных началах векторов).4. Разность векторов

r ra b− можно найти как сумму

r ra b+ −( ).

5. Произведение вектора ra на число β есть вектор

rb a= β . Его направ-

ление совпадает с направлением вектора ra, если β 0, и противоположно

вектору ra, если β 0. Модуль вектора

rb равен b a= β .


1. В чем различие между векторными и скалярными величинами?2. В каком случае векторы

ra и β

ra одинаково направлены? Противоположно на-

правлены?3. Может ли модуль вектора β

ra быть меньше модуля вектора

ra? В каком случае?

4. Как сложить два одинаково направленных вектора? Два вектора противоположных направлений?5. Как найти сумму векторов по правилу треугольника? Параллелограмма?6. Как найти разность двух векторов? Покажите, что вычитание векторов есть дей-ствие, обратное сложению.7. Какой смысл имели бы векторы BD

u ru и DB

u ruu на рисунке 27, а?

Скалярные и векторные величины. Действия над векторами



А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция век-тора равна нулю (рис. 32).Проекцию вектора можно выразить через его модуль и

угол между вектором и осью. На рисунке 31, a в треугольнике ABB2 гипотенуза

AB = a, катет AB2 = ax, а угол между ними равен ϕ. Следова-тельно, ax = a cos ϕ. (1)

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

§ 5. Проекция вектора на ось

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Каковы ее свойства?

Начнем с понятия проекция точки на ось. Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось. На рисунке 30 точка M1 — это проекция точки M на ось Ox, точка N1 — проекция точки N на эту ось.А что такое проекция вектора на ось?Проекция вектора на ось — это длина отрезка между

проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «−». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «−» — если угол тупой.Обозначать проекцию вектора будем той же буквой, что и вектор, но с ин-

дексом внизу (например, ax — проекция вектора ra на ось Ox).

На рисунке 31, a угол ϕ между вектором и осью Ox острый, а на рисун-ке 31, б угол ϕ — тупой. Поэтому проекция вектора

ra на ось Ox положительна

(ax = A1B1 0), а проекция вектора rb — отрицательна (bx = −D1C1 0).

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32


23

Это правило справедливо при любых значениях угла ϕ. Для тупых углов (см. рис. 31, б) cos ϕ 0, и по формуле bx = b cos ϕ полу-

чится bx 0 (как и должно быть по определению проекции).А можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на коор-

динатные оси?Рассмотрим вектор

r u ruud AC= , лежащий в плоскости xOy (рис. 33). Его проек-

ции на оси Ох и Oу легко определить из рисунка: dx = 8, dy = 6. Из треугольника

ACD по теореме Пифагора находим модуль: d = d dx y2 2+ = 8 62 2+ = 10. Раз-

делив AD на AC, получим cos ϕ = d

dx = 0,8. По значению косинуса находим угол

ϕ ≈ 37°. Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, определяется двумя проекциями на оси координат. Вектор, произвольно направленный в про-странстве, определяется тремя проекциями ax, ay, az (рис. 34).Обратим внимание на важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.С помощью рисунка 35, а, б проверьте, что из равенства

r r rc a b= + следует

cx = ax + bx. При проверке не забывайте о знаках проекций.


Рис. 35

Проекция вектора на ось



Главные выводы

1. Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав его проекции на оси координат.

2. Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного меж-ду проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «−».

3. Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.

4. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.

5. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.


1. Что такое проекция точки на ось? Проекция вектора на ось?2. Когда проекция вектора на ось: а) равна нулю; б) положительна; в) отрица-тельна?3. Как найти проекцию вектора на ось, зная его модуль и угол между вектором и осью?4. При каком значении угла между вектором и осью его проекция будет: а) мак-симальна; б) равна половине модуля вектора?5. Как найти модуль вектора по его проекциям на координатные оси?6. Равна ли проекция разности двух векторов на ось разности проекций этих векто-ров на ту же ось? Поясните ответ с помощью чертежа.

Примеры решения задач

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов ra и

rb

(рис. 36). Найдите модули векторов суммы r r rc a b= + и разности

r r rd a b= − .

Решение. Сумму векторов r r rc a b= + находим по правилу треугольника

(рис. 37, а) или параллелограмма (рис. 37, б). Так как векторы ra и

rb взаимно



25

перпендикулярны, модуль вектора rc � нахо-

дим по теореме Пифагора: c a b= +2 2 =

= 3 4 52 2+ = . Разность век торов rd � =

r ra b= − определим по правилам вычитания векторов (рис. 38, а, б).

Модуль вектора rd находим аналогично: d a b= +2 2 = 3 4 52 2+ = .

Отве т: с = 5; d = 5.

2. Выразите вектор ra через векторы

rb и

rc � (рис. 39). Как связаны между

собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?Решение. По правилу треугольника находим:

r r rc a b= + . Отсюда

r r ra c b= − .

Проецируя векторы ra,

rb и

rc на оси Ох и Оу, получаем: ax = 2, ay = 4, bx = 4,

by = −2, cx = 6, cy = 2. Вычислением убедимся, что проекции связаны так же, как и векторы:

ax = cx − bx, ay = cy − by.

Отве т: r r ra c b= − ; ax = cx − bx; ay = cy − by.

Упражнение 1

1. Постройте векторы r ra b+ ,

r ra b− и

r rb a− для каждой пары векторов

ra и

rb, изображенных на рисунке 40, а, б, в.

2. Модуль вектора ra равен 5. Постройте векторы: 4

ra; 0 2, ;

ra −3

ra; −

ra5

.

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Проекция вектора на ось



3. Найдите проекции векторов (рис. 41) на координатные оси Ох и Оу.4. Вектор

ra перпендикулярен вектору

rb. Модули a = b = 4. Постройте сумму

векторов αr ra b+ β и разность α

r ra b− β , если: 1) α = 2, β = 4; 2) α = −2, β = 0,5.

5. Вектор r r rc a b= + и вектор

r r rd a b= − взаимно перпендикулярны. Найдите

соотношение между модулями векторов ra и

rb. Сделайте чертеж.

6. Сила rF , приложенная к телу, направлена под углом α = 30° к горизон-

тальной поверхности (рис. 42). Модуль этой силы F = 60 H. Найдите проекции силы

rF на оси Ох и Оу.

§ 6. Путь и перемещениеАвтобус с футбольными болельщиками отправился с Октябрьской

площади г. Минска в 9 часов утра. Можно ли определить, где окажется автобус в 11 часов, если известно, что за два часа он проделал путь s = 100 км?

В 11 часов автобус мог нахо-диться в самых различных местах (удаленных от Минска не более чем на 100 км) (рис. 43). Он мог при-быть, например, в Столбцы или Мо-лодечно. Не исключено, что к 11 ча-сам автобус вернулся в Минск. Зна-чит, для определения конечного положения тела недостаточно знать его начальное положение и пройденный им путь.


Рис. 43


27

Кроме начального положения тела и пройденного пути, для оп-ределения конечного положения тела следует знать и траекторию его движения. В на шем примере траектория движения автобуса проходила по автомагистрали до Логойска (где к минчанам при-соединились местные болель-щики), а затем — по шоссе до Борисова (рис. 44). Отсчитав от начальной точки маршрута 100 км вдоль траектории, мы убедимся, что в 11 часов автобус прибыл в Борисов.А можно ли, зная начальное положение тела (рассматриваемого как матери-

альная точка), найти его конечное положение с помощью всего одной физической величины? Можно. Такая величина называется перемещением. Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела

с его конечным положением (для заданного промежутка времени). Обозначается перемещение символом ΔΔ

rr . На рисунке 44 вектор Δ

rr1 — пе-

ремещение автобуса из Минска в Логойск, вектор Δrr2 — из Логойска в Бори-

сов, а вектор Δrr3 — из Минска в Борисов.

Видно, что для каждого из участков вектор Δrr определяет и направление из

начальной точки траектории в конечную, и расстояние между ними. Оно равно Δr, т. е. модулю данного перемещения. Из рисунка 44 понятно также и следующее. Если известны начальная точка

траектории и вектор Δrr , то, проведя его из этой точки, мы найдем конечную точ-

ку данного участка движения. Например, если начало вектора Δrr2 совмещено с

точкой «Логойск» (см. рис. 44), то конец этого вектора совпадет с местоположе-нием стадиона «Борисов-Арена» (рис. 45). Можно ли сравнивать путь, пройден-

ный телом, с его перемещением? Нельзя, поскольку путь s — скаляр, а перемеще-ние Δ

rr — вектор. Сравнивать путь s мож-

но с модулем перемещения Δr, который является скалярной величиной. Равен ли путь модулю перемещения?В рассматриваемом примере путь, прой-

денный автобусом за два часа, s3 = 100 км.

3

Рис. 44

Рис. 45

Путь и перемещение



Это длина траектории движения автобуса от Минска через Логойск до Борисова. Ясно, что модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Мин-ска до Борисова. Оно составляет 70 км. Значит, Δr3 = 70 км, т. е. путь автобуса был больше модуля его перемещения: s3 Δr3.Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус дви-

гался все время по прямой, не изменяя направления движения. Значит, во всех случаях путь не меньше модуля перемещения, т. е.

s Δr.

Как складываются между собой пути и как — перемещения? Пройденные пути складываются арифметически: s1 + s2 = s3, а перемеще-

ния — по правилам сложения векторов.Из рисунка 44 видно, что Δ Δ Δ

r r rr r r1 2 3+ = (по правилу треугольника). Равен

ли при этом модуль Δr3 сумме модулей Δr1 + Δr2? Ответьте самостоятельно.При решении задач важно уметь находить

проекции перемещения. Построим вектор перемещения куска мела по школьной доске (см. рис. 18) из точки A в точку С. Из рисун-ка 46 видно, что проекции вектора Δ

r u ruur AC=

на координатные оси Ох и Оу выражаются через координаты начальной и конечной точек следующим образом:

Δrx = xС − xA = Δx; Δrу = yС − yA = Δy. (1)

Проекция вектора перемещения на координатную ось равна разности ко-ординат конца и начала этого вектора.Для точки, движущейся в пространстве (см. рис. 19), к равенствам (1) сле-

дует добавить:Δrz = Δz.

Главные выводы1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за опреде-

ленный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.2. Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение

тела с его конечным положением (для заданного промежутка времени).3. Модуль перемещения не больше пути, пройденного за тот же проме-

жуток времени.4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по

правилам сложения векторов.5. Проекция вектора перемещения на координатную ось равна разности

координат конца и начала этого вектора.

Рис. 46


29


1. Что такое путь и что такое перемещение?2. Может ли перемещение равняться нулю, если путь не равен нулю? Приведите примеры.3. Может ли путь равняться нулю, если перемещение не равно нулю?4. Почему путь нельзя сравнивать с перемещением, а только с его модулем?5. В каком случае путь равен модулю перемещения?6. Зависит ли перемещение тела от выбора системы отсчета? Ответ подтвердите примерами.

Пример решения задачи

Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площад-ку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В по краю площадки (рис. 47). Размеры площадки 60 80 м. Определите модули перемещений пешехода и конькобежца и пути, пройденные ими.

Дано:

а = 60 мb = 80 м

Решение

Из рисунка 47 видно, что перемещения пешехода и конькобежца одинаковы. Модуль перемещения:

Δr = a b2 2+ = 3600 64002 2м м+ = 100 м.

Путь пешехода: s1 = а + b = 60 м + 80 м = 140 м.

Путь конькобежца: s2 = Δr = 100 м.

Δr1 — ?Δr2 — ?s1 — ?s2 — ?

Отве т: Δr1 = Δr2 = 100 м; s1 = 140 м; s2 = 100 м.


1. Численное значение пути или модуля перемещения показывает счетчик пробега автомобиля? Почему?

2. Такси совершило рейс по маршруту Минск — Червень — Березино. Изобразите в тетради перемещения такси на участках Минск — Червень ( Δ

rrМЧ ),

Червень — Березино ( ΔrrЧБ ) и Минск — Березино ( Δ

rrМБ ). Докажите, что

Δ Δ Δr r rr r rМБ МЧ ЧБ= + . Используя рисунок 44 и численные данные, приведенные в тексте параграфа, найдите модули этих перемещений. Сравните сумму модулей Δ Δr rМЧ ЧБ+ с модулем ΔrМБ .

3. Воспроизведите рисунок 46 в тетради, дополнив его векторами переме-щений Δ

r u rur AВ1 = и 2Δ

r u rur BC= . Какое равенство выполняется для векторов Δ

rr1,

Δrr2 и Δ

rr ? Найдите числовые значения для проекций этих векторов на оси Ох и

Оy и для модулей этих векторов. Равен ли модуль Δr сумме модулей Δr1 и Δr2?4. Спортсмен на тренировке пробежал N = 6,5 круга радиусом R = 50 м. Ка-

кой путь проделал спортсмен? Чему равен модуль его перемещения?

Рис. 47

Путь и перемещение



5. Строительный кран поднимает груз на высоту h = 30 м. Одновременно кран передвигается на расстояние l = 10 м. Определите перемещение груза, его вертикальную и горизонтальную составляющие. Изобразите их соответствующи-ми векторами. Чему равны модули этих векторов?

6. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной l = 6,0 см за промежутки времени Δt1 = 3,0 ч; Δt2 = 6,0 ч; Δt3 = 12 ч; Δt4 = 24 ч. Решение подтвердите рисунком.

§ 7. Равномерное прямолинейное движение.Скорость

В 7-м классе вы изучали равномерное прямолинейное движение, по-знакомились с понятием «скорость». Сравним скорости движения разных тел. За одну секунду черепаха (рис. 48, а) может преодолеть несколько сантиметров, человек — до 10 м, гепард (рис. 48, б) — до 30 м, гоноч-ный автомобиль — около 100 м. Около 8 км за секунду пролетает по ор-бите спутник Земли (рис. 49, а). Но даже скорости космических кораб-лей — «черепашьи» по сравнению со скоростью микрочастиц в ускорителях. В современном ускорителе (рис. 49, б) электрон за одну секунду пролета-ет почти 300 000 км!

Скалярная или векторная величина — скорость? Каковы закономер-ности равномерного прямолинейного движения?

Из 7-го класса мы знаем, что движение, при котором за любые равные про-межутки времени тело проходит одинаковые пути, называется равномерным. Равномерно можно двигаться как по прямолинейной, так и по криволинейной тра-ектории. В каком случае одинаковыми будут не только пути, но и перемещения?Проделаем опыт. Проследим за падением металлического шарика в

вертикальной трубке, заполненной вязкой жидкостью (густым сахарным

Рис. 48


31

сиропом) (рис. 50). Будем отмечать положение шари-ка через равные промежутки времени. Опыт показы-вает, что за равные промежутки времени, например за Δt1 = Δt2 = Δt3 = … = 5 с, шарик совершает одина-ковые перемещения: Δ

rr1 = Δ

rr2 = Δ

rr3 = … . Уменьшим

промежутки времени. Во столько же раз уменьшатся и перемещения шарика, но по-прежнему за равные промежутки времени они будут равны.Сделаем вывод. При равномерном прямолиней-

ном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. В 7-м классе вы находили скорость равномерно-

го движения тела как отношение пути к промежут-

ку времени, за который путь пройден: v st

=Δ

. Это

отношение показывает, насколько быстро движется тело, но ничего не говорит о направлении движения. Чтобы охарактеризовать одной величиной и быстро-ту движения, и его направление, определим скорость как векторную величину.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называется вектор-ная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку вре-мени, за который оно совершено:

r rv r

t= Δ

Δ. (1)

Модуль скорости численно равен модулю перемещения за единицу времени, а направление скорости совпадает с направлением перемещения (т. к. Δt 0).

Рис. 49

Рис. 50

Равномерное прямолинейное движение. Скорость



Как мы видели, отношение ΔΔ

rrt

для всех участков движения было одинако-

во: ΔΔ

rr

t1

1 = Δ

Δ

rr

t2

2 =

ΔΔ

rr

t3

3 = … . Значит, скорость

rv равномерного прямолинейного

движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление. Из формулы (1) легко найти, что при равномерном прямолинейном движении

тело совершает перемещение

Δ Δr rr v t= (2)

и проходит путь s (равный модулю перемещения Δr)

s = vΔt. (3)

Теперь мы можем определить положение равномерно и прямолинейно движу-щегося тела в любой момент времени. Рассмотрим пример. Автомобиль движется с постоянной скоростью по пря-

молинейному шоссе. Воспользуемся осью координат Ох с началом отсчета в точ-ке О (рис. 51). Автомобиль рассматриваем как материальную точку. Согласно формуле (2) проекция перемещения автомобиля на ось Ох

Δ Δr v tx x= . (4)

Согласно рисунку 51 в момент времени t координата автомобиля равна x = x0 + Δrx. Отсюда, учитывая, что Δrx = vxΔt, а Δt = t − t0, получим: x = x0 + vx(t − t0).Приняв t0 = 0, запишем формулу для координаты автомобиля в виде:

x = x0 + vxt. (5)

Зависимость координаты движущегося тела от времени называется кинема-тическим законом движения.Для равномерного прямолинейного движения этот закон выражается равен-

ством (5) и формулируется так:координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зави-

сит от времени.

Рис. 51


33

Напомним, что за единицу скорости в СИ принят 1 метр в секунду 1 мс

.

Для измерения скорости используются специальные приборы. В автомобилях имеется спидометр (рис. 52), на самолетах — указатель скорости. Эхолокаторы измеряют скорость тел, движущихся под водой, а радиолокаторы (радары) — дви-жущихся в воздухе и по земле. Сотрудники службы дорожного движения с по-мощью устройств, снабженных портативным радаром и видеокамерой (рис. 53), могут оперативно регистрировать скорость любого транспортного средства.

Главные выводы1. При равномерном прямолинейном движении за любые равные проме-

жутки времени тело совершает одинаковые перемещения.2. Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течени-

ем времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.3. При равномерном прямолинейном движении тела модуль перемещения

равен пути, пройденному за тот же промежуток времени.4. Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно за-

висит от времени.


1. Дайте определение скорости равномерного прямолинейного движения.2. Что показывает модуль скорости равномерного прямолинейного движения?3. Как направлена скорость при равномерном прямолинейном движении?4. Как зависит координата тела от времени при равномерном прямолинейном дви-жении? Какой будет эта зависимость, если начальное положение тела совпадает с началом координат?5. В каком случае проекция скорости движения будет отрицательной? Равной нулю?


Равномерное прямолинейное движение. Скорость




Кинематический закон прямолинейного движения лодки вдоль оси Ох за-дан уравнением х = А + Вt, где А = 100 м, В = 7,2 кмч . Определите проекции скорости и перемещения на ось Ох, а также путь, пройденный лодкой за время t1 = 1,2 мин.

Дано:

х = А + ВtА = 100 м В = 7,2 кмч = 2,0 мсt1 = 1,2 мин = 72 с

Решение

Сделаем рисунок к задаче (рис. 54).

s Рис. 54

По условию задачи координата лодки линейно за-висит от времени. Значит, лодка движется равномерно. Сравнив х = А + Вt и х = х0 + vxt, получим х0 = А = 100 м, vx = В = 2,0 мс .

vx — ?Δrx — ?s — ?

Найдем x1 = 100 м + 2,0 мс 72 с = 244 м.

Из рисунка 54 Δrx = x1 − x0 = 244 м − 100 м = 144 м.

Путь s = Δrx = 144 м.

Отве т: vx = 2,0 мс ; Δrx = s = 144 м.


1. Какие из характеристик движения — путь, скорость, перемещение, коор-дината — являются векторными?

2. Переведите в метры в секунду мс следующие значения модуля скорости:

v1 = 18 кмч ; v2 = 36 кмч ; v3 = 1,2 кммин

; v4 = 8 кмс

(первая космическая скорость).

3. Равномерно движущийся электропоезд за время t = 5,0 мин прошел путь s = 6,0 км. Найдите модуль скорости движения электропоезда.

4. Футболист проделал по футбольному полю путь s1 = 40 м на север, затем s2 = 30 м на восток и путь s3 = 20 м на юг. Какой суммарный путь проделал фут-болист? Какое он совершил перемещение? Сколько времени потребуется фут-болисту на возвращение в исходную точку по прямой, если модуль его скорости постоянен и равен v = 4,0 мс ?

5. По прямой дороге навстречу друг другу двигались легковой автомобиль со скоростью, модуль которой v1 = 90 кмч , и мотоцикл со скоростью, модуль которой


35

v2 = 20 мс . На переезде они встретились и продолжили равномерное движение. На каком расстоянии от переезда и друг от друга находились автомобиль и мото-цикл через время t = 0,50 ч после встречи?

6. Два пешехода движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, модули которых v = 5,0 кмч . Можно ли утверждать, что скорости движения пешехо-дов одинаковы? Каким будет расстояние между ними через время t1 = 30 мин пос-ле их встречи? Какой путь к этому времени пройдет каждый из пешеходов, если в начальный момент времени они находились на расстоянии l = 2,0 км друг от друга?

7. В течение одного часа самолет летел прямолинейно. Кинематический закон его движения имеет вид: х = А + Bt, где А = 5,0 км, В = 720 кмч . Определите коор-динату самолета в начале и в конце этого часа, модуль скорости его движения, путь и модуль перемещения за время t = 20,0 мин полета. Решение поясните рисунком.

8. Решите предыдущую задачу, приняв В = −720 кмч .

9. Поездка велосипедиста от дома до озера и обратно состояла из двух эта-пов. На первом этапе, двигаясь со скоростью, модуль которой v = 12 кмч , он

преодолел половину пути до озера. На втором, двигаясь со скоростью, модуль которой был постоянен, он доехал до озера и вернулся обратно к дому. Найдите модуль этой скорости, если промежутки времени, затраченные на каждый из эта-пов, были одинаковы.

§ 8. Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Зависимости между различными величинами можно наглядно изобра-зить с помощью графиков. Исполь-зование графиков облегчает реше-ние научных и практических задач.

Например, по графику зависи-мости температуры больного от времени (рис. 55) видно, что на 5-е сутки температура достиг-ла своего максимума, затем резко упала, а еще через сутки стала приближаться к норме. График дал наглядное представление о течении болезни. Рис. 55

Графическое представление равномерного прямолинейного движения



В физике роль графиков чрезвычайно велика. Умение строить и «читать» графики помогает глубже понять физические закономерности и легче их за-помнить.Рассмотрим конкретный пример. Дима и Таня идут навстречу друг другу

(рис. 56). Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Димы v1 = 2,0 м

c, Тани — v2 = 1,5 м

c. Выберем координатную ось Ох так, как показано

на рисунке 56. Пусть в начальный момент времени t0 = 0 координата Димы х01 = 1,8 м,

Тани — х02 = 6,0 м.Построим графики зависимости проекции скорости vx, проекции перемеще-

ния Δrx, пути s и координаты x от времени t.1. График проекции скорости. Согласно условию примера и рисунку 56 для

проекций скорости движения Тани и Димы на ось Ох получим: v1x = v1 = 2,0 мc

, v2x = − v2 = −1,5 м

c. Так как проекции v1x

и v2x постоянны, графики их зависимос-ти от времени t — это прямые, парал-лельные оси времени (рис. 57, прямые I и II). Графики показывают: проекция скорости при равномерном прямоли-нейном движении с течением времени не изменяется.

2. График проекции перемещения. Согласно равенству (4) из § 7 проекция перемещения Δrx, совершенного за про-межуток времени от 0 до t, определяет-ся формулой Δrx = vxt.Графики зависимости проекции пере-

мещения от времени для Димы Δr1x = v1xt

Рис. 56

Рис. 57


37

(прямая I) и для Тани Δr2x = v2xt (пря-мая II) изображены на рисунке 58.Они показывают, что при рав-

номерном прямолинейном движе-нии проекция перемещения прямо пропорциональна времени.

3. График пути. При равно-мерном прямолинейном движе-нии путь равен модулю перемеще-ния: s = Δr = vt. График пути s = vt совпадает с графиком проекции перемещения при vx 0 (см. рис. 58, прямая I). Если vx 0, то график пути (см. рис. 58, прямая III) яв-ляется «зеркальным отражением» от оси времени графика II проекции пере мещения.Графики пути показывают, что

при равномерном прямолинейном движении пройденный путь прямо пропорционален времени.

4. График координаты. Его на-зывают также графиком движения.По формуле (5) из § 7 с помо-

щью рисунка 56 находим зависи-мость координат Димы x1 и Тани x2 от времени: x1 = x01 + v1xt, x2 = x02 + v2xt, где v1x 0, v2x 0. Графики этих зави-симостей — прямые I и II на рисунке 59. Они параллельны соответствующим графикам проекций перемещения на рисунке 58.Графики движения показывают: при равномерном прямолинейном движе-

нии координата тела линейно зависит от времени.По точке пересечения графиков I и II (точке А) легко найти момент и коор-

динату места встречи Димы и Тани. Определите их самостоятельно.Что еще можно определить по графикам?По графику проекции скорости можно найти проекцию перемещения и

пройденный путь.Рассмотрим прямоугольник ABCD на рисунке 57. Его высота численно равна

vx, а основание — промежутку времени от 0 до t. Значит, его площадь равна vxt = Δrx. Таким образом, проекция перемещения численно равна площади пря-

,

,

Рис. 58

Рис. 59




моугольника между графиком проекции скорости и осью времени. При vx 0 проекция перемещения отрицательна, и площадь надо брать со знаком минус.Проверьте также, что при любом знаке vx площадь между графиком проек-

ции скорости и осью времени численно равна пройденному пути.

При вычислении площадей за единицу нужно брать площадь прямоугольни-ка, одна сторона которого принята за единицу скорости, а другая — за единицу времени.

По графикам проекции перемещения и координаты можно найти скорость движения.Рассмотрим треугольник ABC на рисунке 58. Длина катета ВС прямо

пропорциональна проекции перемещения Δrx, длина катета АС — промежутку

времени Δt. Следовательно, tg α = BCAC

прямо пропорционален отношению ΔΔr

tx ,

т. е. tg α ∼ vx. Чем больше угол наклона α, тем больше проекция vx.

Если при этом единицам длины и времени на осях графика соответствуют рав-ные отрезки, то имеет место числовое равенство tg α = vx: тангенс угла накло-на графика проекции перемещения к оси времени равен проекции скорости. То же самое выполняется и для графика координаты. Докажите это самостоя-

тельно.

Главные выводы1. Для равномерного прямолинейного движения график проекции скоро-

сти — прямая, параллельная оси времени.2. Графики проекции перемещения и координаты — прямые, наклон ко-

торых к оси времени определяется проекцией скорости.3. Площадь фигуры между графиком проекции скорости и осью времени

определяет проекцию перемещения.


1. Что представляют собой графики проекции скорости, проекции перемещения и пути для равномерного прямолинейного движения? 2. Какой график называется графиком движения? Чем он отличается от графика проекции перемещения? 3. Можно ли по графику проекции скорости найти проекцию перемещения? Координату?4. Как по графику проекции перемещения найти проекцию скорости?


Мотоциклист едет из города по прямолинейному шоссе со скоростью, модуль которой постоянен и равен v1 = 54 км

ч. Через время t1 = 20 с после проезда пере-


39

крестка он встречает едущего в город велосипедиста, движущегося равномерно со скоростью, модуль которой v2 = 36 км

ч. Определите расстояние между участника-

ми движения через время t2 = 10 с после их встречи. Запишите кинематические законы их движения, постройте графики проекции и модуля скорости, проекции перемещения, координаты и пути для обоих участников движения.

Дано:v1 = 54 км

ч = 15 м

с

v2 = 36 кмч

= 10 мс

t1 = 20 сt2 = 10 с

РешениеИзобразим координатную ось Ох, вдоль которой идет

движение (рис. 60). За начало координат О примем пере-кресток.

Рис. 60l — ?В начальный момент времени мотоциклист нахо-

дился на перекрестке, а велосипедист — в точке В (см. рис. 60). Значит, кинематический закон движения мотоциклиста имеет вид: x1 = v1xt, где v1x = v1 = 15 м

с, а

велосипедиста: x2 = x02 + v2xt, где v2x = − v2 = −10 мс

.

Найдем координату х02 велосипедиста в начальный момент времени. Пусть точка С на оси Ох — это место встречи участников движения. Тогда

х02 = ОС + СВ = v1t1 + v2t1 = 15 мс

20 c + 10 мс

20 c = 500 м.

Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом через время t2 = 10 с пос-ле их встречи равно сумме путей, которые они проделают за это время. Значит,

l = v1t3 + v2t3 = 15 мс

10 c + 10 мс

10 c = 250 м.

Построим графики проекций и модулей скоро-сти. Для мотоциклиста графики проекции скорос-ти 1 и модуля скорости 1′ совпадают (рис. 61). Для велосипедиста график проекции скорости — пря-мая 2, а модуля скорости — прямая 2′.Графиками пути s, проекции перемещения Δrx и

ее модуля Δr (рис. 62) будут прямые, выражающие прямую пропорциональную зависимость от времени t. Для мотоциклиста: s1 = Δr1x = Δr1 = v1t = 15 м

с t.

Графики пути, модуля и проекции перемещения мо-тоциклиста совпадают (прямая 1).

Рис. 61

Рис. 62




Для велосипедиста: s2 = Δr2 = v2t = 10 мс

t; Δr2x = v2xt = −10 мс

t. Прямая 2

является графиком пути и модуля перемещения велосипедиста. Прямая 2′ — гра-фик проекции его перемещения. Графики координат представлены на рисунке 63. Они выражают зависимости

x1 = v1xt (прямая 1) и x2 = x02 + v2xt (прямая 2). Точка А (см. рис. 63) определяет время встречи и координату места встречи. Ответ: l = 250 м; x1 = v1xt; x2 = x02 + v2xt, где v1x = 15 м

с, x02 = 500 м, v2x = −10 м

с.

кмч,

,

Рис. 63

,

,

мс

Рис. 64

Рис. 65


1. Что показывают точки А и В на рисунке 59?2. На рисунке 64 изображен график зависимости проекции скорости от вре-

мени. Опишите движение, соответствующее этому графику. Найдите модуль пе-ремещения и путь за промежуток времени от t0 = 0 до t1 = 4 ч. Может ли данный график описывать реальное движение тела? Почему?

3. На рисунке 65 представлены графики проекции на ось Ox скорости движе-ния катера, байдарки и резиновой лодки по озеру. Охарактеризуйте эти движения.


41

Какому из транспортных средств принадлежит график I? График II? График III? Чему равны пути, пройденные катером, байдаркой и резиновой лодкой за время t = 50,0 с движения? Чему равны модули и проекции их перемещений за это время?

4. Координаты теплоходов изменяются по закону: x1 = A1 + B1t, х2 = А2 + B2t, где A1 = 6,0 км, В1 = 24 км

ч, А2 = −6,0 км, В2 = 60 км

ч. Для каждого из теплоходов

найдите начальные координаты и проекции скоростей на ось Ох. Изобразите гра-фики движения теплоходов. Через какое время второй теплоход догонит первый?

5. На рисунке 66 изображены пешеход и велосипедист. Модуль скорости пе-

шехода v1 = 3,6 кмч

, велосипедиста v2 = 12,0 кмч

. Данные об их координатах

в момент времени t0 = 3 ч 10 мин определите по рисунку. Запишите кинематичес-кие законы движения и постройте графики движения пешехода и велосипедиста. Найдите модули их перемещений за промежуток времени Δt = 20 мин. Выполните задание снова, приняв за начало координат точку A на оси Ох, расположенную под часами. Какие из кинематических величин зависят от выбора начала коор-динат, а какие — нет?

6. На рисунке 67 даны графики дви-жения трех тел. Найдите проекции

скорости движения этих тел на ось Ох и их начальные координаты. Запишите ки-нематические уравнения движения каж-дого тела. О чем говорят точки пере-сечения А и В графиков? Каким было расстояние между телами в начальный момент времени t0 = 0 и в момент t1 = 5,0 с?

Рис. 66

Рис. 67




§ 9. Неравномерное движение. Мгновенная скорость

Мы изучили равномерное прямолинейное движение. Однако реальные тела — автомобили, корабли, самолеты, детали механизмов и др. чаще всего движутся и не прямолинейно, и не равномерно. Каковы закономер-ности таких движений?

Рассмотрим пример. Автомобиль движется по участку дороги, изображен-ному на рисунке 68. На подъеме движение автомобиля замедляется, при спус-

ке — ускоряется. Движение автомобиля и не прямолинейное, и не равномерное. Как описать такое движение?Прежде всего, для этого необходимо

уточнить понятие скорость.Из 7-го класса вам известно, что такое

средняя скорость. Она определяется как отношение пути к промежутку времени, за который этот путь пройден: v s

t=

Δ. (1)

Будем называть ее средней скоростью пути. Она показывает, какой путь в среднем проходило тело за единицу времени.Кроме средней скорости пути, необходимо ввести и среднюю скорость пе-

ремещения: r r

v rt

= ΔΔ

. (2)

Каков смысл средней скорости перемещения? Она показывает, какое пере-мещение в среднем совершало тело за единицу времени.

Сравнив формулу (2) с формулой (1) из § 7, можно сделать вывод: средняя скорость

rv равна скорости такого равномерного прямолинейного дви-

жения, при котором за промежуток времени Δt тело совершило бы пере-мещение Δ

rr .

Средняя скорость пути и средняя скорость перемещения — важные харак-теристики любого движения. Первая из них — величина скалярная, вторая — векторная. Так как Δr s, то модуль средней скорости перемещения не больше средней скорости пути

rv v .

Средняя скорость характеризует движение за весь промежуток времени в це-лом. Она не дает информации о скорости движения в каждой точке траектории (в каждый момент времени). С этой целью вводится мгновенная скорость — скорость движения в данный момент времени (или в данной точке).

Рис. 68


43

Как определить мгновенную скорость? Рассмотрим пример. Пусть шарик скатывается по наклонному желобу из

точки А1 (рис. 69). На рисунке показаны положения шарика в различные момен-ты времени. Нас интересует мгновенная скорость шарика в точке О. Разделив перемеще-

ние шарика Δrr1 на соответствующий промежуток времени Δt1, найдем среднюю

скорость перемещения r r

vrt11

1 = Δ

Δ на участке A1B1. Скорость rv1 может намного

отличаться от мгновенной скорости в точке О. Рассмотрим меньшее перемеще-ние Δ

r u ruuuur A B2 2 2= . Оно произойдет за меньший промежуток времени Δt2. Средняя

скорость r r

vrt22

2= Δ

Δ хотя и не равна скорости в точке О, но уже ближе к ней,

чем .rv1 При дальнейшем уменьшении перемещений ( Δ

rr3 , Δ

rr4 , …) и проме-

жутков времени (Δt3, Δt4, …) мы будем получать средние скорости, которые все меньше отличаются друг от друга и от мгновенной скорости шарика в точке О.Значит, достаточно точное значение мгновенной скорости можно найти по

формуле ΔΔ

rrt

при условии, что промежуток времени Δt очень мал:

r rv r

tt= Δ →Δ

Δ( 0). (3)

Обозначение Δt → 0 напоминает, что скорость, определенная по формуле (3), тем ближе к мгновенной скорости, чем меньше Δt.Мгновенную скорость криволинейного движения тела находят аналогично

(рис. 70).Как направлена мгновенная скорость? Ясно, что в первом примере направ-

ление мгновенной скорости совпадает с направлением движения шарика (см. рис. 69). А из построения на рисунке 70 видно, что при криволинейном движении мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в той точке, где в этот момент находится движущееся тело.


Неравномерное движение. Мгновенная скорость



Понаблюдайте за раскаленными частицами, отрывающимися от точильного камня (рис. 71, а). Мгновенная скорость этих частиц в момент отрыва направ-лена по касательной к окружности, по которой они двигались до отрыва. Анало-гично спортивный молот (рис. 71, б) начинает свой полет по касательной к той траектории, по которой он двигался при раскручивании метателем.Мгновенная скорость

rv постоянна только при равномерном прямолинейном

движении. При движении по криволинейной траектории изменяется ее направление (объясните почему). При неравномерном движении изменяется ее модуль.

Если модуль мгновенной скорости возрастает, то движение тела называют ускоренным, если он убывает — замедленным.Приведите самостоятельно примеры ускоренных и замедленных движений тел. В общем случае при движении тела может изменяться и модуль мгновенной

скорости, и ее направление (как в примере с автомобилем в начале параграфа) (см. рис. 68).В дальнейшем мгновенную скорость мы будем называть просто скоростью.

Главные выводы1. Быстрота неравномерного движения на участке траектории характеризу-

ется средней скоростью, а в данной точке траектории — мгновенной скоростью.2. Мгновенная скорость приближенно равна средней скорости, опреде-

ленной за малый промежуток времени. Чем меньше этот промежуток време-ни, тем меньше отличие средней скорости от мгновенной.

3. Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории дви-жения.

4. Если модуль мгновенной скорости возрастает, то движение тела назы-вают ускоренным, если он убывает — замедленным.

5. При равномерном прямолинейном движении мгновенная скорость оди-накова в любой точке траектории.

Рис. 71


45


1. Какое движение называется неравномерным? Можно ли утверждать, что тело дви-жется равномерно, если пути, проходимые телом за каждый час, одинаковы?2. Что показывает средняя скорость пути? Средняя скорость перемещения? Как их вычисляют?3. Что такое мгновенная скорость? Как найти ее приближенное значение? Как повы-сить точность определения мгновенной скорости?4. Как направлена мгновенная скорость при прямолинейном движении? При криво-линейном движении?5. Как ведет себя модуль мгновенной скорости при равномерном движении? При неравномерном?6. Какое движение называют ускоренным? Замедленным?


Первую половину прямолинейной дистанции лыжник двигался с постоянной скоростью

rv1, а вторую половину — с постоянной скоростью

rv2 . Определите

среднюю скорость движения лыжника на всей дистанции, если v1 3 0= , мс

, v2 6 0= , .м

с

Дано:

v1 = 3,0 мс

v2 = 6,0 мсАO = OВ

Решение


Рис. 72v — ?

Так как лыжник двигался без изменения направления, его средняя скорость направлена так же, как скорости

rv1 и

rv2 .

Модуль средней скорости v st

= , где s — длина дистанции, t = t1 + t2, tsv1 2 1

= —

время прохождения первой, а t sv2 2 2

= — второй половины дистанции.

Найдем v :v s

t ts

sv

sv

= =+ +1 2

1 22 2

= 2 1 2

2 1

v v

v v+;

v = =2 3 0 6 0

9 04 0

, ,

,, .

мс

мс

мс

мс

Отве т: v = 4 0, .мс

Неравномерное движение. Мгновенная скорость




1. Туристы прошли путь s1 = 10,0 км за время t1 = 2,0 ч, затем сделали привал длительностью t2 = 0,50 ч, после чего прошли оставшийся путь s2 = 6,0 км за вре-мя t3 = 1,5 ч. Чему равна их средняя скорость пути на всем маршруте? Скорость на каждом из его участков?

2. Автобус двигался прямолинейно. Гра-фик зависимости модуля скорости его дви-жения от времени показан на рисунке 73. Определите модуль мгновенной скорости ав-тобуса в моменты времени: t1 = 5 с, t2 = 15 с, t3 = 22,5 с.

3. На рисунке 74 даны графики зависи-мости координаты от времени для прямоли-нейного движения велосипедиста и пешехода. Во сколько раз отличаются проекции их сред-ней скорости перемещения за время t = 3 ч движения?

4. Управляемая игрушка прошла участок пути s1 = 3,0 м за время t1 = 20 с, а затем, двигаясь перпендикулярно этому участку, еще путь s2 = 4,0 м за время t2 = 30 с. Участки пути прямолинейны. Сделайте чертеж и найдите среднюю скорость пути и среднюю скорость перемещения игрушки.

5. Учащийся на уроке физкультуры пробежал N = 2,5 круга радиусом R = = 60 м за промежуток времени Δt = 10 мин. Найдите путь и перемещение учаще-гося. Чему равен модуль средней скорости перемещения учащегося? Чему равна средняя скорость пути?

6. Пассажирский катер половину времени двигался с постоянной скоростью, модуль которой v1 = 30 км

ч. С какой постоянной по модулю скоростью он должен

двигаться в течение оставшегося времени, чтобы модуль его средней скорости равнялся v = 40 км

ч?

7. Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью, модуль которой v1 = 60 км

ч, а вторую — в том же направлении со скоростью

мс

Рис. 73

Рис. 74


47

в k = 1,5 раза меньше. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.

8. Числовое значение какой физической величины показывает спидометр автомобиля?

§ 10. Сложение скоростей

В повседневной жизни мы часто видим, как одни тела движутся относительно других движущихся тел. Например, авиапассажир перемещается по салону летящего самолета, человек идет по движущемуся эс-калатору (рис. 75), катер пересекает реку с быстрым течением и т. д.

Каковы закономерности таких движений?

Проведем опыт. В вертикальную стеклянную трубку, заполненную сахарным сиропом, опустим металлический шарик (рис. 76). Трубку будем равномерно перемещать от-носительно школьной доски в горизонтальном направлении.

Систему отсчета с осями координат О1 х и О1 y, связанную с трубкой, назовем движущейся, а систему отсчета с осями О2 х и О2 y, связанную с доской, — не под-вижной.Наблюдая за движением шарика, бу-

дем отмечать на доске его положения через каждые 10 с (точки A, B, C, D).Из рисунка 76 видно, что относительно

трубки шарик за 30 с совершил перемеще-ние Δ

rr1. За это время трубка совершила

перемещение Δrr12 относительно школь-

ной доски. Видно также, что перемеще-ние Δ

rr2 шарика относительно доски равно

векторной сумме перемещений Δrr1 и Δ

rr12 :

Δ Δ Δr r rr r r2 1 12 .= + (1)

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме его перемещения относительно движущейся системы и пере-мещения движущейся системы относительно неподвижной.

Рис. 75

Рис. 76

Сложение скоростей



Все эти перемещения произошли за один и тот же промежуток времени Δt. Разделив в формуле (1) каждое из перемещений на Δt, получим:

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

r r rr

t

r

t

r

t2 1 12= + . (2)

Вектор ΔΔ

r rr

tv2

2= — это скорость движения шарика относительно доски,

вектор ΔΔ

r rr

tv1

1= — скорость движения шарика относительно трубки, а век-

тор ΔΔ

r rr

tv12

12= — скорость, с которой трубка движется относительно доски

(см. рис. 76).Таким образом,

r r rv v v2 1 12 .= + (3)

Скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме его скорости относительно движущейся системы и скорости движущейся системы относительно неподвижной.Это утверждение называют законом сложения скоростей Галилея.Формула (3) справедлива и для тел, движущихся неравномерно. В этом слу-

чае векторы rv1 и

rv2 являются мгновенными скоростями.

Отметим, что неподвижной мы могли бы считать и систему отсчета, связан-ную с трубкой. Тогда система отсчета, связанная с доской, считалась бы движу-щейся. Докажите, что закон сложения скоростей от этого не изменится.

Закон сложения скоростей (3) используется при решении многих практичес-ки важных задач. Он позволяет найти скорость снаряда, выпущенного из дви-жущегося танка, скорость самолета, заходящего на посадку при сильном ветре (рис. 77), и т. д.

Закон сложения скоростей Га-лилея применим только для движе-ний со скоростями v, во много раз меньшими, чем скорость света:

v c; c � � .= 3 108 мс

С законом сложения скоростей, сравнимых со скоростью света, вы познакомитесь в 11-м классе. Рис. 77


49

Главные выводы1. Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно

векторной сумме его перемещения относительно движущейся системы и пе-ремещения движущейся системы относительно неподвижной.

2. Скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме его скорости относительно движущейся системы и скорости движущейся сис-темы относительно неподвижной.


1. Почему не имеет смысла говорить о скорости тела, не указав систему отсчета?2. Как определить скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, зная его скорость относительно движущейся системы?3. Можно ли поставить опыт с шариком в трубке так, чтобы скорость шарика относи-тельно школьной доски равнялась нулю? Как это сделать?4. В чем смысл закона сложения скоростей Галилея?


Путь от одной пристани до другой моторная лодка прошла по течению реки за время t1 = 0,30 ч, а обратный путь — за время t2 = 0,70 ч. Модуль скорости течения воды vт = 7,2 км

ч. Определите модуль скорости движения лодки относи-

тельно воды, считая его постоянным.

Дано:

vт = 7,2 кмч

t1 = 0,30 ч t2 = 0,70 ч

Решение


Рис. 78vл — ?

Относительно берега лодка плыла по течению (от пристани 1 к пристани 2) со скоростью, модуль которой v12 = vл + vт, а обратно (от пристани 2 к приста -ни 1) — со скоростью, модуль которой v21 = vл − vт .Значит, путь от пристани 1 до пристани 2: s = (vл + vт)t1, а путь от пристани 2

до пристани 1: s = (vл − vт)t2 . Приравнивая пути, получим: vлt1 + vтt1 = vлt2 − vтt2. Отсюда

vv t t

t tлт

кмчч

чкмч

= = =+−

( ) ,

,.1 2

2 1

7 2 1

0 418

Отве т: vл = 18 кмч

.

Сложение скоростей




1. Как найти скорость пловца относительно берега реки, зная его скорость относительно воды и скорость течения воды в реке?

2. Для чего перед метанием копья спортсмен делает разбег?3. Одинаковы ли дальности полета снарядов, выпущенных из неподвижного и

из движущегося танков? Почему?4. Может ли модуль перемещения тела относительно движущейся систе-

мы отсчета равняться модулю его перемещения относительно неподвижной системы?

5. Модуль скорости движения катера относительно воды v1 = 4,0 мс

. Какие

значения может принять модуль скорости движения катера относительно берега, если модуль скорости течения воды v2 = 1,5 м

с?

6. Вертолет летит из Минска на юг. Модуль скорости движения вертолета от-носительно воздуха v1 = 54 км

ч. В направлении с севера на юг дует ветер, модуль

скорости которого v2 = 10 мс

. Найдите модуль скорости вертолета относительно

Земли и его перемещение за время t = 30 мин полета.7. Решите предыдущую задачу для случаев, когда ветер дует: а) с юга на се-

вер; б) с запада на восток. Решение подтвердите чертежом.8. Плот шириной l = 10 м плывет по реке со скоростью, модуль которой

v1 = 3,0 мс

. Находящийся на плоту сплавщик перешел с одного края плота на

другой и вернулся обратно. Чему равны модули перемещения сплавщика за это время относительно плота и относительно берега, если скорость движения сплавщика относительно плота

rv2 направлена перпендикулярно скорости течения

воды, а ее модуль v2 = 1,0 мс

? Найдите также модуль скорости движения сплав-

щика относительно берега.9. Поперек реки натянут трос. Пловец должен переправиться через реку,

плывя параллельно тросу. Модуль скорости течения воды v1 = 0,50 мс

. Под ка-

ким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца rv2 относи-

тельно воды, если ее модуль v2 = 1,0 мс

? Чему равен модуль скорости движения

пловца относительно берега? Сколько времени займет переправа при ширине реки l = 98 м?

10. Докажите, что проплыть на катере расстояние l вверх и вниз по реке займет больше времени, чем проплыть такое же расстояние вперед и назад по озеру.


51

11. Эскалатор метро поднимет стоящего на нем пассажира за время t1 == 0,5 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднялся бы за время

t2 = 1,5 мин. За какое время поднимется пассажир, идущий вверх по движущему-ся эскалатору?

§ 11. Ускорение

Всем известно, что плавное торможение автомобиля практически неощутимо, а резкое — очень опасно. Значит, важно знать не только изменение скорости, но и уметь определять, насколько быстро она изме-няется. Какая физическая величина характеризует быстроту изменения скорости?

Рассмотрим движение самолета при разбеге перед взлетом (рис. 79). Пусть в точке B, в конце четвертой секунды движения самолета, модуль его скорости v1 = 8 м

с, а в конце десятой секунды, в точке С, v2 = 17 м

с.

Рис. 79

Изменение скорости движения самолета на участке АВ равно вектору Δ

r r rv v v1 1 0= − . На участке ВС — вектору Δ = −

r r rv v v2 2 1. Так как Δ

rv1 8 0= , ,м

с

Δ =rv2 9 0, ,м

с то на втором участке изменение скорости было больше.

А на каком участке скорость изменялась быстрее? Разделив изменение ско-рости Δ

rv на промежуток времени Δt, за который оно произошло, мы найдем,

что за одну секунду на участке AB модуль скорости изменялся на 2 мс

, а на участке ВС — на 1 5, .м

с На первом участке изменение скорости происходило

быстрее.

Таким образом, быстроту изменения скорости характеризует отношение ΔΔ

rvt

.

Величину r ra v

t= Δ

Δ называют ускорением.

Ускорение



Ускорение — это физическая векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение про-изошло:

r ra v

t= Δ

Δ. (1)

Формула (1) определяет среднее ускорение. Оно показывает, насколько в среднем изменяется скорость за единицу времени. Формулу (1) можно исполь-зовать и для определения мгновенного ускорения

ra. Следует лишь (как и при

переходе от средней скорости к мгновенной, см. § 9) вычислять ускорение за как можно меньший промежуток времени:

r ra v

tt= Δ

ΔΔ →( 0). (2)

Единицей ускорения в СИ является 1 мс2 — ускорение прямолинейно дви-

жущегося тела, модуль скорости которого изменяется на 1 мс за секунду.

Ускорение — одна из самых важных величин в механике. Контролировать ускорение необходимо при движении транспорта, при работе различных механиз-мов, при запуске космических кораблей и т. д. Для измерения ускорения сущест-вуют специальные приборы — акселерометры (рис. 80) (лат. accelero — ускоряю и греч. metreо — измеряю).В автомобиле можно установить устройство, снабженное акселерометром и

передатчиком, которое в случае аварии практически мгновенно сообщит о ней в службу спасения. Устройство сработает от огромного кратковременного ускоре-ния, возникающего при столкновении.Большие ускорения при соударении тел получаются из-за малой длительности

удара. Рассмотрим пример. Стальной шарик ударяется о стенку со скоростью rv1,

перпендикулярной стенке, и отражается от нее со скоростью r rv v2 1= − (рис. 81).

Пусть v1 10= мс

, а продолжительность удара Δt = 10−4 с. Тогда модуль изме-нения скорости шарика в результате удара Δ = − =

r r rv v v v2 1 12 = 20 м

с, а модуль



53

его ускорения a v

t= =

ΔΔ

r

мс

2 1052 . Ускорение шарика

во время удара в тысячи раз больше, чем ускорение кос-мической ракеты на участке разгона!Ускорение — векторная величина. Куда направлено

ускорение?Из формулы (1) видно, что направление среднего

ускорения совпадает с направлением вектора измене-ния скорости ΔΔ

r r rv v v== −−2 1.

А как направлено ускорение по отношению к скоро-сти в тот же момент времени?Как видно из рисунка 82, а, при разбеге самоле-

та направления ускорения и скорости самолета совпа-дают.При посадке самолет замедляет свое движение

(рис. 82, б). В этом случае ускорение и скорость имеют противоположные направления. Сделаем выводы.

При прямолинейном движении ускорение направ-лено либо по скорости, либо противоположно ей.

В первом случае модуль скорости растет, и тело движется ускоренно. Во втором — модуль скорости убывает, и тело движется замедленно.Прямолинейное движение с постоянным ускорением называют равнопере-

менным движением.А как направлено ускорение при криволинейном движении? Этот вопрос мы

рассмотрим в § 15. Отметим лишь, что при криволинейном движении из-за изме-нения направления скорости ускорение будет отлично от нуля, даже если модуль скорости не изменяется. Только при равномерном прямолинейном движении скорость постоянна, а ускорение в любой момент времени равно нулю.

Главные выводы1. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.2. Среднее ускорение направлено по вектору изменения скорости.3. При прямолинейном движении ускорение направлено либо по скорости,

либо противоположно ей.4. Если ускорение направлено по скорости, то движение будет ускорен-

ным, если противоположно — то замедленным.5. Только при равномерном прямолинейном движении ускорение в любой

момент времени равно нулю.

Рис. 82

Ускорение




1. Куда направлено среднее ускорение? Как найти его модуль? 2. В каких единицах измеряется ускорение? 3. Как направлено ускорение по отношению к скорости

rv при прямолинейном дви-

жении? К ее изменению Δrv?

4. Равно ли нулю ускорение движения, при котором модуль скорости остается посто-янным, а траектория движения криволинейна? Ответ подтвердите построением. 5. Какое движение называют равнопеременным? 6. Может ли ускорение быть не равным нулю в тот момент, когда равна нулю ско-рость? Ответ обоснуйте.

7. От чего зависит знак проекции ускорения? Разберите оба примера (см. рис. 82, а, б). В каждом из них рассмотрите два варианта направления оси Ох (вправо и влево на рисунке).

§ 12. Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением

Самое простое из всех неравномерных движений — прямолинейное дви-жение с постоянным ускорением. Его называют равнопеременным.

Как изменяется скорость тела при равнопеременном движении?

Рассмотрим движение стального шарика по наклонному желобу. Опыт пока-зывает, что его ускорение практически постоянно:

r u ruuuuua = const. (1)

Пусть в момент времени t = 0 шарик имел начальную скорость rv0 (рис. 83).

Как найти зависимость скорости шарика от времени?

Ускорение шарика r rа v

t= Δ

Δ. В нашем примере Δt = t, Δ

r r rv v v= − 0 . Значит,

r r r

av v

t= − 0 , откуда

r r rv v at= +0 . (2)

При движении с постоянным ускоре-нием скорость тела линейно зависит от времени.Из равенств (1) и (2) следуют форму-

лы для проекций:

ax = const; (3)

v v a tx x x= +0 . (4)Рис. 83


55

Построим графики зависимости ax(t) и vx(t) (рис. 84, а, б). Согласно рисунку 83 ax = a 0, v0x = v0 0.

Тогда зависимости ax(t) соответствует график 1 (см. рис. 84, а). Это прямая, параллельная оси времени. Зависимости vx(t) соответствует гра-фик 1′, описывающий возрастание проекции ско-рости (см. рис. 84, б). Понятно, что растет и мо-

дуль скорости. Шарик движется равноускоренно.Рассмотрим второй пример (рис. 85). Теперь начальная скорость шарика

rv0

направлена вдоль желоба вверх. Двигаясь вверх, шарик будет постепенно терять скорость. В точке А он на мгновение остановится и начнет скатываться вниз. Точку А называют точкой поворота.Согласно рисунку 85 ax = −a 0, v0x = v0 0, и формулам (3) и (4) соответ-

ствуют графики 2 и 2′ (см. рис. 84, а, б).График 2′ показывает, что вначале, пока шарик двигался вверх, проекция

скорости vх была положительна. Она уменьшалась и в момент времени t = tп ста-ла равной нулю. В этот момент шарик достиг точки поворота А (см. рис. 85). В данной точке направление скорости шарика изменилось на противоположное и при t tп проекция скорости стала отрицательной.Из графика 2′ (см. рис. 84, б) видно также, что до момента поворота модуль

скорости уменьшался — шарик двигался вверх равнозамедленно. При t tп мо-дуль скорости растет — шарик движется вниз равноускоренно.Постройте самостоятельно графики зависимости модуля скорости от времени

для обоих примеров.Какие еще закономерности равнопеременного движения необходимо знать?В § 8 мы доказали, что для равномерного прямолинейного движения пло-

щадь фигуры между графиком vх и осью времени (см. рис. 57) численно равна проекции перемещения Δrx. Можно доказать, что это правило применимо и для

)(

)(

Рис. 84

Рис. 85

Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением



неравномерного движения. Тогда согласно рисун-ку 86 проекция перемещения Δrx при равнопере-менном движении определяется площадью трапеции АВСD. Эта площадь равна полусумме оснований

трапеции AB DC+2

, умноженной на ее высоту АD.

В ре зультате:

Δ = Δ+r tx

v vx x0

2. (5)

Так как среднее значение проекции скорости vxr

tx= Δ

Δ, то из формулы (5)

следует:

vxv vx x= +0

2. (6)

При движении с постоянным ускорением соотношение (6) выполняется не только для проекций, но и для векторов скорости:

r r r

vv v= +0

2. (7)

Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.Формулы (5), (6) и (7) нельзя использовать для движения с непостоянным

ускорением. Это может привести к грубым ошибкам.

Проверьте самостоятельно, что площадь фигуры, ограниченной графиком проекции ускоре-ния ах и осью времени t (см. рис. 84, а), взятая со знаком «+» при ах 0 и со знаком «−» при ах 0, численно равна изменению проекции скорости Δvx за время от 0 до t.

Докажите также, что тангенс угла наклона графика проекции скорости vx к оси времени t (см. рис. 86) численно равен проекции ускорения ах .


1. При движении с постоянным ускорением скорость линейно зависит от времени.

2. При равноускоренном движении направления мгновенной скорости и ускорения совпадают, при равнозамедленном — они противоположны.

3. Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Рис. 86


57


1. Как зависит скорость от времени при движении с постоянным ускорением?2. Что представляет собой график проекции скорости при равнопеременном движении?3. Может ли при равнопеременном движении повториться значение модуля скорос-ти тела? Приведите примеры.4. Как, зная проекции vx и аx, определить, ускоряется или замедляется движение тела?5. В каких случаях проекции векторов vx, v0x и аx равны модулям векторов v, v0 и а?6. Что происходит со скоростью и с ускорением в точке поворота (см. рис. 84, б)?

Пример решения задачиАвтомобиль двигался со скоростью, модуль которой v1 = 72 км

ч. Увидев крас-

ный свет светофора, водитель на участке пути s = 50 м равномерно снизил скорость до v2 = 18 км

ч. Определите характер движения автомобиля. Найдите направление

и модуль ускорения, с которым двигался автомобиль при торможении.

Дано:

v1 = 72 кмч

= 20 мс

v2 = 18 кмч

= 5,0 мс

s = 50 м

Решение

Движение автомобиля было равнозамедленным. Уско-рение автомобиля направлено противоположно скорости его движения. Модуль ускорения:

a v v

t

v v

t= =− −r r

2 1 2 1

Δ Δ.a — ?

Время торможения:

Δt sv

= , где vv v= +2 1

2.

Тогда

a v v v v

s

v v

s= = = ≈− + − −

( )( ) , .2 1 2 1 22

12

2

2

2

2

22 2

400 25

2 503 8

мс

мс

ммс

Отве т: a = 3,8 мс2

.


1. Проекция ускорения материальной точки, движущейся вдоль оси Ox, ax = 2 2

мс

. Проекция ее начальной скорости v x0мс

= −4 . Постройте графики за-

висимости от времени проекции скорости и проекции ускорения на ось Ox.2. Шарику сообщили начальную скорость, направленную вдоль наклонного

желоба вверх. Сколько времени он будет двигаться вверх до точки поворота? Сколько времени будет возвращаться обратно? Модуль начальной скорости ша-рика v0 96= см

с. Модуль его ускорения а = 40 см

с2.

Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением



3. Велосипедист, двигаясь равноускоренно по наклонному участку шоссе, увеличил модуль скорости своего движения с v1 = 3,0 м

с до v2 = 6,0 м

с за время

Δt = 10 с. С каким ускорением двигался велосипедист? Постройте графики зави-симости от времени проекции скорости и проекции ускорения велосипедиста.

4. При приближении к станции модуль скорости движения локомотива из-менился от v1 = 72 км

ч до нуля за промежуток времени Δt = 1,5 мин. Определите

модуль ускорения движения локомотива. Куда было направлено ускорение? По-стройте графики зависимости от времени проекции скорости и проекции ускоре-ния локомотива.

5. На сколько увеличится скорость санок, на которых дети съезжают с горы, за время t = 12 с, если модуль ускорения санок а = 0,80 м

с2?

6. Моторная лодка двигалась с постоянным ускорением, проекция кото-рого ах = −0,30 м

с2. Проекция скорости лодки изменилась от v1x = 4,0 м

с до

v2x = 1,0 мс

. За какой промежуток времени произошло это изменение?

7. Проекция vx мгновенной скорости шарика, которому сообщили начальную скорость, направленную вдоль наклонного желоба вверх (см. рис. 85), изменя-ется со временем по закону: vx = A − Bt, где A = 90 cм

с, В = 75 cм

с2. Определи-

те модули ускорения и начальной скорости шарика. Как направлено ускорение по отношению к начальной скорости шарика? Какой будет проекция скорости шарика через время t1 = 0,6 с и t2 = 1,8 с от начала движения? Через какое вре-мя шарик достигнет наивысшей точки своего подъема? Постройте графики за-висимости от времени проекции скорости и проекции ускорения шарика наось Оx.

8. По графикам проекций скорости движения мотоциклиста I и бегуна II

(рис. 87) определите: а) проекции ускоре-ния их движения; б) проекции их скорости в момент времени t = 3,0 мин; в) время движения мотоциклиста до остановки и мо-дуль его перемещения за это время. Най-дите зависимости проекций скорости vx от времени для каждого из движений. Что означает точка А пересечения графиков проекций скорости?

кммин,

,

Рис. 87


59

§ 13. Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении

Мы знаем, что при равнопеременном движении скорость тела линейно зависит от времени. А как при этом зависит от времени перемещение? Координата? Пройденный путь?

В предыдущем параграфе для равнопеременного движения были получены выражения для проекции скорости:

v v a tx x x= +0 (1)

и проекции перемещения: Δr tx

v vx x= +0

2. (2)

Подставляя vx из формулы (1) в формулу (2), получаем зависимость проек-ции перемещения от времени:

Δr v tx xa tx= +0

2

2. (3)

Учитывая, что проекция перемещения Δrx = x − x0, из формулы (3) находим координату:

x x v txa tx= + +0 0

2

2. (4)

Формула (4) выражает кинематический закон равнопеременного движе-ния. Функции (3) и (4) называются квадратичными. Следовательно,

при равнопеременном движении проекция перемещения тела и его коор-дината квадратично зависят от времени.Сравним зависимости основных кинематических величин для двух видов пря-

молинейного движения (табл. 1). Таблица 1

Равномерное движение Равнопеременное движение

Проекция ускорения ax = 0 ax = const

Проекция скорости vx = v0x = const vx = v0x + axt

Проекция перемещения Δrx = v0xt Δr v tx xxa t

= +0

2

2

Координата x = x0 + v0xt x x v txxa t

= + +0 0

2

2

Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении



Из таблицы видно, что при ax = 0 формулы равнопеременного движения пе-реходят в формулы равномерного. Зададим конкретные значения v0x и ax и с помощью формулы (1) построим

графики проекции скорости. При v0смсx = 20 и трех вариантах значений проек-

ции ускорения: ax = 0, ax = 5 2смс

и ax = −5 2смс

— получатся прямолинейные гра-

фики 0, 1 и 2 соответственно (рис. 88). Такие графики мы изучали в § 12 на при-мерах движения шарика по наклонной плоскости (см. рис. 83—85). График 0 — это график проекции скорости равномерного движения, график 1 — равноуско-ренного, а график 2 — равнопеременного движения с ускорением, направленным противоположно начальной скорости. Теперь по формуле (3) построим графики проекции перемещения. При ax = 0,

т. е. для равномерного движения, графиком является наклонная прямая 0* (рис. 89).Как видно из таблицы 1, формулы для проекции перемещения при равномер-

ном и равнопеременном движении отличаются только на слагаемое a tx

2

2.

Поэтому для построения графика 1* (ax 0) точки графика 0* для каждого

значения t следует поднять на at2

2, а для построения графика 2* (ax 0) — на

столько же опустить (см. рис. 89).Так как Δrx квадратично зависит от времени, графики проекции перемеще-

ния при равнопеременном движении являются участками парабол.На графике 1* проекция перемещения все время растет, а на графике 2* —

растет до момента времени tп = 4 с, а затем уменьшается (см. рис. 89). Так проис-

смс



61

ходит потому, что в момент времени tп скорость тела

rv = 0, а направле-

ние движения тела изменяется на противоположное (см. график 2 на рис. 88, а также рис. 85). Моменту времени tп на графике 2* соответ-ствует вершина параболы.

А каким будет график пути? Для движения, при котором на-правление скорости не изменя-ется, график пути совпадает с графиком проекции перемещения (рис. 90, графики 1а и 1б). Если же скорость меняет свое направ-ление, то эти графики совпадают лишь при 0 t tп (см. рис. 90, графики 2а и 2б). После момента поворота tп проекция перемещения начинает уменьшаться, а путь продолжает расти. Он увеличивается на столько, на сколько за то же время уменьшается проекция перемещения. Графики пути изображены на рисунке 90 штриховыми линиями.

Так как координата x = x0 + Δrx, то график координаты получается из графика проекции перемещения смещением на |x0| (вверх при х0 0 или вниз при х0 0). На рисунке 91 сплошная линия — это график Δrx, линия 1

+ — график координаты при х0 = 80 см, ли-ния 1− — график координаты при х0 = −80 см.Скорость при равноперемен-

ном движении линейно зависит от времени. А как зависит скорость от перемещения?Выразим время из фор-

мулы (1): tv v

ax x

x= − 0 . Подста-

вив t в равенство (2), получим:

Δrxv v v v

ax x x x

x= + −0 0

2.

Следовательно,

Δrxv v

ax x

x= −2 2

20 , (5)

Рис. 90

Рис. 91




откуда v v a rx x x x

2 2 2= +0 Δ . (6)

Формула (6) показывает: при равнопеременном движении квадрат скоро-сти линейно зависит от перемещения.Отметим, что при движении с постоянным ускорением соотношения, имею-

щие вид (1) и (3), выполняются не только для проекций, но и для векторов:

r r rv v at= +0 ; (7)

Δr r rr v t at= +0

2

2. (8)

Формулы (7) и (8) справедливы и для прямолинейного, и для криволинейного

движения при r u ruuuuua = const.

Главные выводы1. При равнопеременном движении перемещение и координата движуще-

гося тела — квадратичные функции времени.2. Графики зависимости проекции перемещения и координаты от времени

для равнопеременного движения являются участками парабол.3. Вершина параболы на графике проекции перемещения соответствует

моменту времени, при котором мгновенная скорость равна нулю.


1. Как, используя график проекции перемещения при равномерном движении, полу-чить график этой величины для равнопеременного движения?2. Как зависят перемещение и координата от времени при равнопеременном дви-жении?3. Как, зная график проекции перемещения, получить график координаты? Что еще при этом надо знать?4. В каком случае графики проекции перемещения и координаты совпадают?5. Где расположена вершина параболы на графике координаты, если v0x 0, ax 0?


Шарику, находящемуся в точке А, расположенной посередине наклонного желоба длиной l = 100 см (рис. 92), сообщили начальную скорость, направлен-ную вдоль наклонного желоба вверх. Ее модуль v0 = 40 cм

с. Ускорение шарика

направлено вдоль желоба вниз. Модуль ускорения а = 20 cмс2

. Найдите координа -

ту точки поворота и время, за которое шарик ее достигнет. Определите момент


63

времени t2, когда шарик вернется в точ-ку А, и момент времени t3, когда шарик окажется в нижней точке О желоба. По-стройте графики проекций скорости, пе-ремещения, а также график координаты шарика за время от начала движения до момента времени t3.

Дано:

l0 = 100 cмv0 = 40 cм

с

а = 20 cмс2

x0 = 50 см

Решение

Сделаем рисунок к задаче (см. рис. 92). Решим задачу графически. Выберем ось Oх, как показано на рисунке. Тогда проекция ско-

рости vx = v0 − at, проекция перемещения Δr vx t at= −0

2

2, коорди-

ната x x v t at= + −0 0

2

2, где x0 = 0,5l0 = 50 см, v vx0

cмс

= =0 40 ,

a ax = − = −20 cмс2

. По этим формулам найдем значения vx и Δrx

для моментов времени t = 0; 1,0 c; 2,0 с; 3,0 с; 4,0 с; 5,0 с и зане-

сем результаты в таблицу.

t1 — ?t2 — ?t3 — ?x1 — ?

t, с 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

vx, cмс

40 20 0 − 20 − 40 − 60

Δrx, см 0 30 40 30 0 − 50

Используя полученные значения, строим графики проекций скорости (рис. 93, а) и перемещения (рис. 93, б, график 1) за промежуток времени от 0 до 5 с.

Рис. 92

Рис. 93

60-20

20

40

60

80100

-40-60




График координаты получим, сдвинув график проекции перемещения на x0 = 50 см вверх (см. рис. 93, б, график 2). Из графиков и таблицы находим: ко-ордината точки поворота x1 = 90 см; шарик достиг ее в момент t1 = 2,0 с; в точ-ку А шарик вернулся в момент t2 = 4,0 с, а в точке О оказался в момент t3 = 5,0 с.Отве т: t1 = 2,0 с; t2 = 4,0 с; t3 = 5,0 с; x1 = 90 см.


1. Тележка съезжает с вершины наклонной плоскости за время t = 4,0 с, дви-гаясь с постоянным ускорением, модуль которого а = 20 см

с2. Начальная скорость

тележки равна нулю. Определите длину наклонной плоскости. 2. Электровоз, подходя к станции со скоростью, модуль которой v = 20 м

с,

начинает тормозить и через время t = 1,0 мин останавливается. Определите тор-мозной путь электровоза. С каким средним ускорением двигался электровоз?

3. Проекция скорости шарика, движущегося по прямолинейному желобу, за-висит от времени по закону: vx = А + Bt, где А = 10 cм

с, В = 2,0 cм

с2. Определите

проекцию начальной скорости и проекцию ускорения шарика. Найдите зависимость проекции перемещения Δrx шарика от времени. Найдите значения vx и Δrx в момент времени t = 6,0 с. Постройте графики проекций скорости и перемещения шарика.

4. По графикам проекции скорости прямолиней-но движущихся тел А и В (рис. 94) постройте графики проекций их ускорения и перемещения. Охарактеризуй-те эти движения. Чему равно отношение путей, прой-денных каждым телом к моментам времени t1 = 4,0 с и t2 = 8,0 с от начала движения? Запишите кинематиче-ский закон движения каждого из тел, если x0 = 0.

5. Подъемный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением, модуль которого

а = 0,3 мс2

. Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды

движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля скорости движения груза от времени.

6. Кинематический закон движения брошенной вверх металлической дробин-ки имеет вид: у = At − Bt 2, где А = 20,0 м

с, В = 5,0 м

с2. Определите путь, модуль

перемещения и координату дробинки к моментам времени t1 = 1,0 с, t2 = 2,0 с и t3 = 3,0 с от начала движения. Постройте графики зависимости от времени про-екций ускорения и скорости, координаты дробинки, модуля перемещения и пути.

мс

Рис. 94


65

Пусть тело движется по криволи-нейной траектории, изображенной на рисунке 96. Ее (как и любую другую) можно приближенно разбить на прямо-линейные участки (МK, АВ, …) и дуги окружностей (KА, BD, …) соответствую-щих радиусов.

Кинематику прямолинейного движения мы уже изучили. Рассмотрим теперь движение тела (прини-мая его за материальную точку) по окружности ради-усом R (рис. 97). Двигаясь по траектории, в каждый момент време-

ни тело имеет мгновенную скорость rv. При рассмот-

рении движения по окружности ее принято называть линейной скоростью. Чтобы охарактеризовать положение движущего-

ся тела, проведем вектор rR из центра окружности

в ту точку траектории, где в данный момент находит-ся тело (см. рис. 97). Вектор

rR называют радиус-

вектором.

§ 14. Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости

Мы изучили прямолинейное движение — равномерное и равнопе-ременное. Однако криволинейное движение встречается гораздо чаще (рис. 95, а, б). Каковы закономерности такого движения?

1

1

2

2

Рис. 95

Рис. 96

Рис. 97

Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости



На рисунке 97 радиус-вектор rR1 характеризует положение тела в момент

времени t1 , а радиус-вектор rR2 — в момент времени t2.

За время Δt = t2 − t1 радиус-вектор rR повернется на угол Δϕ. Тело движется

по окружности, а его радиус-вектор совершает вращательное движение.В СИ угол поворота измеряется в радианах (сокращенно — рад). 1 рад —

это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см. рис. 97, угол COD). Значит, если тело пройдет по окружности путь s, то значение угла поворота его радиус-вектора в радианах будет равно:

Δϕ = sR

. (1)

Например, если радиус-вектор совершает один полный оборот, то путь будет

равен длине окружности s1 = 2πR, а угол поворота Δϕ1 = s

R1 = 2π рад. Так как в гра-

дусной мере угол Δϕ1 = 360°, то 2π рад = 360°, а 1 рад = 3602

°π ≈ 57,30° ≈ 57°18 .

Рассмотрим самое простое из криволинейных движений — равномерное движение по окружности.В этом случае за любые равные промежутки времени тело проходит одина-

ковые пути и модуль линейной скорости v = const. Однако направление вектора rv непрерывно изменяется (см. рис. 97). Значит, при равномерном движении по окружности (как и при любом криволинейном движении) линейная скорость тела

непостоянна: r u ruuuuuv ≠ const.

Если тело движется по окружности равномерно, то его радиус-вектор совер-шает равномерное вращение. Быстроту вращательного движения характеризуют угловой скоростью. Ее обозначают буквой ω (омега). При равномерном враще-нии угловая скорость равна отношению угла поворота радиус-вектора к про-межутку времени, за который этот поворот произошел:

ω ϕ= ΔΔt

. (2)

Числовое значение угловой скорости показывает, на какой угол повернется радиус-вектор за единицу времени. При равномерном вращении угловая скорость постоянна.

Единицей угловой скорости в СИ является 1 радиан в секунду 1 радс

.

Как связаны между собой модуль линейной скорости v тела, движущегося по окружности, и угловая скорость ω вращения его радиус-вектора?


67

Подставив Δϕ из формулы (1) в формулу (2), получим: ω = sR tΔ

. Отношение st

vΔ

= . Значит, ω = v

R. (3)

Важной характеристикой равномерного движения тела по окружности явля-ется период обращения.

Период обращения равен времени, за которое тело (материальная точка) делает один полный оборот по окружности.Обозначим период буквой Т. За время Т радиус-вектор поворачивается на

угол Δϕ = 2π. Значит, согласно формуле (2) угловая скорость равномерного вра-щения: ω π= 2

T. (4)

С периодом и угловой скоростью связана частота вращения. Ее обычно обозначают греческой буквой ν (ню).

Частота вращения равна отношению числа оборотов к промежутку време-ни, за которое они совершены. Ее числовое значение показывает, сколько оборотов совершается за единицу

времени. Пусть за 2 с сделано N = 10 оборотов. Тогда частота вращения равна 5 оборотам в секунду, а время одного оборота, т. е. период Т = 0,2 с. Таким об-разом, частота есть величина, обратная периоду:

ν = 1 .T

(5)

Единицей частоты вращения в СИ является 1 оборот в секунду, или 1сс= −1. Из формул (4) и (5) находим:

ω = 2πν. (6)

Мы рассмотрели движение тела по окружности. Рассмотрим теперь тело, равномерно вращающееся вокруг не-подвижной оси (рис. 98).Точки, находящиеся на оси, поко-

ятся. Остальные точки тела описыва-ют окружности, лежащие в плоскостях, Рис. 98




перпендикулярных оси вращения. Если тело в процессе вращения не деформиру-ется, то углы поворота ϕ радиус-векторов этих точек за одно и то же время оди-наковы (см. рис. 98). Значит, период, частота и угловая скорость для точек такого тела также одинаковы. В то же время модули линейной скорости точек тела зависят от их рассто-

яния до оси (см. рис. 98). Согласно формуле (3)

v = ωR.

Модули линейных скоростей точек вращающегося тела прямо пропорци-ональны расстоянию до оси вращения (см. рис. 98).

Главные выводы1. Угловая скорость вращательного движения численно равна углу пово-

рота радиус-вектора за единицу времени.2. Единица угловой скорости — 1 радиан в секунду. 3. Частота вращения есть величина, обратная периоду.4. Модули линейных скоростей точек вращающегося тела прямо пропор-

циональны расстоянию до оси вращения.


1. Постоянна ли скорость тела при его равномерном движении по окружности? По-стоянен ли модуль этой скорости? Почему?2. Какой физический смысл имеет угловая скорость? В каких единицах она изме-ряется?3. Как угловая скорость связана с линейной?4. Как связан период обращения с угловой скоростью? С частотой вращения?5. Одинаковы ли периоды обращения точек тела, вращающегося вокруг оси? Одина-ковы ли линейные скорости этих точек? Почему?


Вал электродвигателя кофемолки совершает N = 45 оборотов за время t = 6,0 с. Определите период, частоту и угловую скорость равномерного враще-ния вала.

Дано:

N = 45t = 6,0 с

РешениеЧастота вращения:

ν = Nt

; ν = 456 0, c

= 7,5 c−1.

Учитывая связь между периодом и частотой, находим:

T = 1ν

= 17 5 1, c− = 0,13 c.

T — ?ν — ? ω — ?


69

Угловая скорость:

ω = 2πν = 6,28 рад 7,5 с−1 = 47 радс

.

Отве т: Т = 0,13 с; ν = 7,5 с−1; ω = 47 радс

.


1. Сколько радиан содержит центральный угол, длина дуги которого равна диаметру окруж-ности? Половине длины окружности?

2. Желоб, изогнутый в виде половины окруж-ности радиусом R, лежит на столе (рис. 99, видсверху). По желобу из точки А в точку С равно-мерно катится шарик. Какой путь он прошел? Чему равны перемещение и модуль перемеще-ния шарика? Изобразите векторы линейной ско-рости шарика в точках А, В и С.

3. Используя решение предыдущей задачи, найдите и изобразите векторы: Δ

r r rv v vВ A1 = − , Δ

r r rv v vС В2 = − и Δ

r r rv v vС A3 = − .

4. Чему равно отношение пути к модулю перемещения при движении шарика (см. рис. 99): а) из точки А в точку В; б) из точки А в точку С? Какой вывод из этих расчетов можно сделать?

5. Определите угловую скорость, частоту вращения и период равномерно вращающегося велосипедного колеса, если за промежуток времени Δt = 1,0 с оно делает четверть оборота.

6. При равномерном вращении одно колесо за время t1 = 8 c совершает N1 = 240 оборотов, а другое за время t2 = 40 c — N2 = 600 оборотов. Во сколько раз отличаются их угловые скорости?

7. Барабан центрифуги для отжима белья вращается равномерно с частотой ν = 600 1

мин. Диаметр барабана d = 40 см. Определите период и угловую ско-

рость вращения барабана. Найдите модуль линейной скорости точек на его по-верхности.

8. Определите периоды, частоты и угловые скорости вращения часовой, ми-нутной и секундной стрелок часов.

9. Определите угловую и линейную скорости обращения Земли вокруг Солн-ца. Расстояние от Земли до Солнца принять равным R = 150 000 000 км.

Рис. 99




§ 15. Ускорение точки при ее движениипо окружности

При равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю. А почему оно не равно нулю при равномерном движении по окружности? Как это ускорение направлено? Чему равен его модуль?

Пусть тело (рассматриваемое как материальная точка) движется равномер-но по окружности радиусом R. За проме-жуток времени Δt тело переместилось из точки А в точку В (рис. 100). Хотя модуль скорости v при этом был постоянным, изменение скорости Δ

r r r rv v vB A= − ≠ 0.

Поэтому не равно нулю и ускорение тела, определяемое как

r ra v

t= Δ

Δ (Δt → 0). (1)

Найдем это ускорение.Перенесем вектор

rvB в точку А (см. рис. 100) и построим вектор Δ

rv. По-

лучившиеся треугольники АCD и ОАВ подобны: они оба равнобедренные и име-ют равные углы Δϕ (так как АC OA, АD OB). Из подобия треугольников следует:

Δ Δvv

rR

= , (2)

где Δv — модуль изменения скорости, а Δr — модуль перемещения ABu ruu

. Разде-лим обе части равенства (2) на Δt:

ΔΔ

ΔΔ

vt v

rt R

1 1= . (3)

При малых промежутках времени отношение ΔΔ

=vt

a, т. е. равно модулю уско-

рения, а отношение ΔΔ

rt

v= . С учетом этого равенство (3) примет вид av

vR

= , откуда a v

R=

2. (4)

Формула (4) определяет модуль ускорения при равномерном движении тела по окружности. А как направлено это ускорение?Направление вектора

ra совпадает с тем направлением, которое примет век-

тор Δrv при Δt → 0 (см. формулу (1)). Из рисунка 100 видно, что чем меньше Δt

Рис. 100


71

и вместе с ним Δϕ, тем направление вектора Δrv ближе к направлению на центр

окружности. Значит, ускорение

ra направлено по радиусу к центру окружности. По этой

причине его называют центростремительным.При этом вектор

ra перпендикулярен скорости

rv (т. е. направлен по нормали

к ней). Поэтому центростремительное ускорение называют также нормальным ускорением.

Доказать, что r ra v⊥ , можно непосредственно. Из треугольника ACD нахо-

дим угол между векторами Δrv и

rvA . Он равен 90

2° − Δϕ . Значит, при уменьше-

нии Δt (и вместе с ним Δϕ) угол между Δrv и

rv будет все ближе к прямому. Это

и доказывает утверждение о том, что r ra v⊥ .

Используя материал предыдущего параграфа, можно связать центростреми-тельное ускорение с угловой скоростью, частотой вращения и периодом. Под-ставляя v = ωR в формулу (4), находим:

a = ω2R. (5)

Учитывая, что ω πν π= =2 2T

, из формулы (5) получим:

a R RT

= =4 2 2 4 2

2π ν π . (6)

Самое простое выражение для центростремительного ускорения имеет вид:

a = ωv. (7)

Выведите его самостоятельно. При решении задач следует выби-

рать ту формулу центростремительного ускорения, которая быстрее приведет к ответу.

А как направлено ускорение, если тело движется по окружности неравномерно?Пусть на участке АB кольцевой

трассы (рис. 101, вид сверху) автогон-щик набирает скорость. Тогда ускоре-ние автомобиля

ra будет суммой двух

составляющих: r r ra a a= +цс кас . Век-

1

2

Рис. 101

Ускорение точки при ее движении по окружности



тор raцс — это центростремительное ускорение. Оно, как мы знаем, обусловле-

но изменением направления скорости при движении и направлено к центру.Вектор

raкас направлен по касательной к траектории. Касательная составля-

ющая ускорения возникает из-за изменения модуля скорости. При наборе ско-рости вектор

raкас направлен по скорости

rv, и вектор

ra составляет с вектором

rv острый угол ϕ1 (см. рис. 101, участок АB). На участке ВС гонщик тормозит. Модуль скорости убывает, составляющая

raкас направлена против скорости, и угол ϕ2 между ускорением

ra и скоростью

rv

будет тупым (см. рис. 101).

Модуль ускорения а а а= +цс кас2 2 .

Главные выводы1. Тело, движущееся равномерно по окружности, обладает центростреми-

тельным ускорением.2. Центростремительное ускорение перпендикулярно скорости и направ-

лено к центру окружности. 3. Модуль центростремительного ускорения a v

R=

2.


1. Модуль какого ускорения (среднего или мгновенного) определяет формула a vR

=2

?

2. В каком случае ускорение вызвано: а) изменением только модуля скорости; б) из-менением только направления скорости?3. Почему ускорение при равномерном движении точки по окружности называют: а) центростремительным; б) нормальным?4. Как связано центростремительное ускорение с линейной скоростью?


Период вращения T1 первого колеса в k = 4 раза больше периода враще-ния T2 второго колеса, а его радиус R1 в n = 2 раза меньше радиуса R2 второго колеса. Во сколько раз отличаются модули центростремительных ускорений точек на ободе каждого колеса при их равномерном вращении?

Дано:T

T1

24=

R

R2

12=

Решение

Согласно формуле (6) отношение модулей центростремительных ускорений точек на ободе второго и первого колеса:

a

a

R

T

R

T

R

R

T

T2

1

22

22

21

12

2

1

12

22

4 4= =π π: .

По условию задачи:R2 = 2R1; T1 = 4T2.

a

a2

1 — ?


73

Тогдаa

a

R

R

T

T2

1

1

1

12

12

2 1632= = .

Отве т: a

a2

132= .


1. Карусель равномерно вращается (рис. 102, вид сверху) с частотой ν = 0 10 1, .

c Определите

угловую скорость вращения карусели. Найдите модуль линейной скорости движения «ракеты», находящейся на расстоянии R = 5,0 м от оси вра-щения карусели. С каким ускорением движет-ся «ракета»? «Ракету» считать материальной точкой.

2. Радиус-вектор, задающий положение ве-лосипедиста, движущегося по окружности диа-метром d = 13 м на арене цирка, повернулся на угол Δϕ = 5π рад за время t = 22 c. Определите модули угловой и линейной скорости движения велосипедиста, путь и перемеще-ние, совершенные велосипедистом.

3. Во сколько раз модули линейной скорости и ускорения конца минутной стрелки часов на башне Привокзальной площади Минска больше модулей ско-рости и ускорения конца часовой стрелки? Длина минутной стрелки R1 = 1,70 м, длина часовой стрелки R2 = 1,30 м.

4. Определите центростремительное уско-рение автомобиля, проезжающего середину выпуклого моста со скоростью, модуль которой v = 36 км

ч. Радиус дуги моста R = 40 м.

5. Мотоциклист совершает цирковой номер, двигаясь в горизонтальной плоскости по верти-кальной стене (рис. 103, вид сверху) по окруж-ности радиусом R = 9,0 м. Определите модуль линейной скорости движения мотоциклиста, если модуль его центростремительного ускоре-ния a = 16 м

с2. Мотоциклиста считать матери-

альной точкой.

Рис. 102

Рис. 103

Ускорение точки при ее движении по окружности



6. Определите модули линейной скорости и центростремительного ускорения точек на поверхности Земли: а) на экваторе; б) на широте ϕ = 60°. Радиус

Земли принять равным R = 6400 км.

7. Вертолет равнозамедленно снижается вертикально с некоторой высоты. Модуль ускорения вертолета a = 0 20, .м

с2 Лопасть винта, равномерно вращаясь

с частотой ν = 300 обмин

, совершила за время снижения вертолета N = 120 обо-

ротов. С какой высоты снижался вертолет, если к моменту посадки его скорость уменьшилась до нуля?

8. По формуле a vR

=2

центростремительное ускорение обратно пропорцио-

нально радиусу R, а по формуле a = ω2R — прямо пропорционально ему. Нет ли в этом противоречия?



76 Динамика

§ 16. Основная задача динамики. Сила

Скатываясь по наклонной плоскости, шарик движется ускоренно. Если ускорение шарика известно, то по формулам кинематики можно найти его скорость, путь, перемещение. А почему шарик движется ускоренно? От чего зависит его ускорение? На такие вопросы кинематика ответане дает.

Описывая, как движется тело, как по одним характеристикам движения най-ти другие, кинематика не отвечает на вопрос: «Почему тело в данных условиях движется именно так, а не иначе?» Раздел механики, который выявляет причи-ны, определяющие характер движения, и объясняет, каким образом они влияют на движение, называется динамикой.

Законы динамики были установлены более трехсот лет тому назад. Ведущую роль в этом сыграли Галилео Галилей и Исаак Ньютон. Открыв законы динамики, они заложили основы на-учных представлений об окружающем нас мире.

Динамика дает ответы на многие вопросы. Например: как изменяется ско-рость мяча при ударе? Какова скорость спутника на орбите? Когда наступает не-весомость? Законам динамики подчиняется движение любых тел — от пылинки до громадного корабля, планет, звезд и т. д.Начнем изучение динамики с вопроса: «От чего зависит движение тела?»Проведем опыт. Из пружинного пистолета (рис. 104, а) выстрелим железным

шариком. Отметим место его приземления. Повторим опыт при более сжатой пружине. Шарик вылетит с большей начальной скоростью (v2 v1) и призем-лится дальше (l2 l1).

Рис. 104


77Основная задача динамики. Сила

Изменим угол наклона пистолета (рис. 104, б) и тем самым направление начальной скорости шарика. Движение шарика снова станет другим.Изменим начальное положение ша-

рика, например выпустим шарик с мень-шей высоты (h H) (рис. 104, в). Это также повлияет на дальность полета (l4 l3).Продолжим опыт. Изменим внешние

условия. Недалеко от пистолета распо-ложим магнит (рис. 105). Траектория движения шарика стала иной, так как на шарик теперь действует еще и магнит.Наконец, вместо железного шарика

возьмем пластмассовый. Это также при-ведет к изменению движения.Итак, движение тела зависит:а) от его начального положения и

начальной скорости; б) от действия на него окружающих тел; в) от свойств самого тела.Что означают в механике слова

«действие одного тела на другое»?Такое действие может быть очень

сложным. Нелегко разобраться, как действует на лодку несущий ее поток (рис. 106, а) или как действуют друг на друга борцы во время поединка(рис. 106, б).Однако, если тела можно считать

материальными точками, ответ очень прост: одно тело либо отталкивает от себя другое тело, либо притягивает его. Шары при ударе отталкивают друг дру-га (рис. 107). Земля притягивает к себе Луну, а Луна — Землю. Электрически заряженные тела либо притягиваются,

Рис. 105

Рис. 106

Рис. 107


78 Динамика

либо отталкиваются (рис. 108). И силы притяжения, и силы отталкивания на-правлены по линии, соединяющей тела (см. рис. 108). А сложная картина дей-ствия тел друг на друга (см. рис. 106, а, б) есть результат притяжений и оттал-киваний частиц, из которых они состоят.Опыт показывает, что механическое действие может происходить как при со-

прикосновении тел, так и на расстоянии. Действие пружины на тело (рис. 109), отталкивание шаров при соударении (см. рис. 107) происходят при непосред-ственном контакте. На расстоянии действуют друг на друга заряженные шарики (см. рис. 108), Земля на тело (см. рис. 109), магнит на железный шарик (см. рис. 105). На огромных расстояниях проявляется действие Солнца на планеты, Земли на Луну и т. д.Для количественного описания действия одного тела на другое в механике

вводится понятие «сила». Сила — одно из основных понятий динамики. Не слу-чайно слово «динамика» происходит от греческого dynamis — сила.

Сила — это физическая векторная величина, являющаяся количественной мерой действия одного тела на другое.Направление силы совпадает с направлением действия одного тела на другое,

а модуль силы показывает, насколько это действие велико.Рассматривая конкретную силу, мы должны четко понимать:• на какое тело и со стороны какого тела эта сила действует;• в какой точке она приложена;• как она направлена и каков ее модуль.Единицей силы в СИ является 1 ньютон (1 Н).

Сила зависит от расстояния между телами и от их свойств (от способности намагничивать-ся, от электрического заряда, от деформации тел и т. д.). Выяснение природы сил и законов, по которым можно их определить, — одна из важнейших задач физики в целом.

Если известны все силы, действующие на тело, то для определения его дви-жения из всех характеристик тела достаточно знать лишь его массу. Представле-ние о силах и о массе тела вы получили в 7-м классе. Более подробно свойства сил и массы мы рассмотрим в следующих параграфах.

Рис. 108 Рис. 109


79

Сформулируем основную задачу динамики:зная массу тела и действующие на него силы, а также его начальные по-

ложение и скорость, определить положение и скорость тела в любой момент времени.

Главные выводы1. Движение тела зависит от его начального положения и начальной ско-

рости, от действия на него других тел и от его массы. 2. Сила — это количественная мера действия одного тела на другое.3. Основная задача динамики: определить положение и скорость тела в

любой момент времени, считая известными массу тела, действующие на него силы, а также начальные положение и скорость тела.


1. Что изучает кинематика? Динамика?2. От чего зависит движение тела?3. К чему сводится действие одной материальной точки на другую? Как направлено это действие?4. Почему сила — величина векторная? Что нужно знать о каждой конкретной силе?5. Какие силы действуют на шарик на рисунках 104, 105 и 109? Действие каких тел на шарик выражает каждая из них?6. В чем состоит основная задача динамики?

§ 17. Условия равновесия. Момент силы.Сложение и разложение сил

В предыдущем параграфе мы рассматривали влияние сил на движение тела. А может ли тело под действием сил находиться в состоянии покоя?

Если, несмотря на действие приложенных к телу сил, оно остается в состоянии покоя, то говорят, что эти силы уравновешивают (или компенсируют) друг друга, а тело находится в состоянии равновесия.Рассмотрим рисунок 110. Почему шарик покоится?

Потому что сила rF1, с которой его притягивает Земля,

уравновешивается силой rF2, приложенной к шарику со

стороны нити. Модули этих сил равны, а направления —

противоположны: r rF F1 2= − , или

r r rF F1 2 0+ = . Рис. 110

Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил


80 Динамика

А если на тело действуют три силы? Проведем опыт. Используем доску с от-верстиями для штырей и три динамометра. Каждый из динамометров одним кон-цом присоединим к проволочному кольцу K, а другим — к штырю, вставленному в доску (рис. 111, а). Положение штырей выберем так, чтобы пружины динамо-метров были растянуты.Обозначим через

rF1,

rF2 и

rF3 силы, с которыми динамометры действуют

на кольцо. Модули этих сил определим по показаниям динамометров. Построим векторы

rF1,

rF2 и

rF3 с учетом их направлений и модулей (рис. 111, б). По правилам

сложения векторов найдем векторную сумму r r rF F F1 2 3+ + . Опыт показывает, что

при равновесии r r r rF F F1 2 3 0+ + = .

Аналогичные опыты, проведенные при любом числе сил, приводят к выводу:для равновесия тела необходимо, чтобы векторная сумма всех сил,

приложенных к нему, равнялась нулю:

r r r rF F Fn1 2 0+ + + = … . (1)

Но достаточно ли выполнения условия (1) для того, чтобы тело находилось в состоянии равновесия?Приложим к книге, лежащей на столе, две силы:

rF1

и rF2 (рис. 112). Хотя их векторная сумма

r r rF F1 2 0+ = ,

книга не останется в покое. Под действием сил rF1 и

rF2

К

Рис. 111

Рис. 112


81

она начнет вращаться. Значит, выполнения условия (1) для равновесия тела недостаточно.Какое условие необходимо, чтобы тело не вращалось? Рассмотрим пример. Приложим силы

rF1 и

rF2 к

диску, имеющему неподвижную ось О′О′ (рис. 113).В 7-м классе вы узнали, что в таких случаях телобудет в равновесии, если моменты сил, приложен-ных к нему, компенсируют друг друга. Момент силывы находили как произведение модуля силы на ее плечо: M = Fl, а плечо l —как расстояние от оси до линии действия силы (см. рис. 113). Для более полной характеристики момента силы его рассматривают как ве-

личину, имеющую знак «+» или «−». Считают, что M = + Fl, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и M = − Fl, если по ее ходу. На ри-сунке 113 момент силы

rF1 положителен, а момент силы

rF2 — отрицателен.

Если алгебраическая сумма моментов M1 + M2 = 0, то F1l1 = F2l2. Моменты сил компенсируют друг друга, и диск находится в состоянии равновесия. А если к телу, имеющему неподвижную ось вращения, приложено n сил? Тогда, как показывают опыты, условие равновесия тела есть равенство

нулю алгебраической суммы моментов всех этих сил относительно данной оси:

(2)

Условие равновесия в виде F1l1 = F2l2 — «правило рычага» — связывают с именем Архи-меда. Правило показывает: с помощью рычага, имеющего «точку опоры» (т. е. закрепленную ось вращения), большую силу можно уравновесить в k раз меньшей силой, если приложить еев k раз дальше от оси О (рис. 114).

Единица момента силы в СИ — 1 ньютон-метр (1 Н м).Момент силы называют также вращающим моментом. Его очень важно

контролировать на практике. Например, если при закручивании болта или гай-ки мы приложим слишком большой вращающий момент, резьба будет сорвана. Поэтому гаечные ключи снабжают датчиками вращающих моментов (рис. 115).

M1 + M2 + … + Mn = 0.M1 + M2 + … + Mn = 0.

M

M

Рис. 113

Рис. 114 Рис. 115



82 Динамика

А если тело может и вращаться, и двигать-ся поступательно? Чтобы такое тело находилось в равновесии, должны выполняться как усло-вие (1), так и условие (2) относительно любой оси.Для равновесия материальной точки доста-

точно выполнения только условия (1).

Условия равновесия (1) и (2) служат осно-вой расчетов механических устройств, строи-тельных объектов (рис. 116) и т. д. Тем самым соотношения (1) и (2) получили подтверждение в огромном количестве экспериментов.В механике важную роль играют поня-

тия результирующая сила и равнодейству-ющая сила.

Результирующая двух или нескольких сил — это сила, равная их векторной сумме. Например, на рисунке 111, б

rF12 — это результирующая двух сил:

rF1 и

rF2 .

Равнодействующей двух или нескольких сил называется сила, которая оказывает такое же действие, как эти силы совместно. Иначе говоря, равно-действующая может полностью заменить исходные силы.

Всегда ли результирующая сила будет равнодействующей? Рассмотримпримеры. На рисунке 112 результирующая сил

rF1 и

rF2 равна нулю. Сила, равная

нулю, не может вызвать вращение тела, а силы rF1 и

rF2 заставляют книгу вра-

щаться. Значит, в этом примере результирующая сила не заменяет действия данных сил, т. е. не является их равнодействующей.В примере с динамометрами (см. рис. 111) результирующую силу

rF12 мож-

но считать равнодействующей сил rF1 и

rF2 только при пренебрежении деформа-

цией кольца K. Если же деформация кольца существенна, то считать, что сила rF12 заменяет силы

rF1 и

rF2 , нельзя. Одна сила никогда не сможет вызвать такую

же деформацию кольца, как две силы, приложенные в разных точках. Значит,и в этом случае результирующая не будет равнодействующей. Мы будем рассматривать чаще всего силы, приложенные к некоторому телу

в одной точке (или к телу, которое принято за материальную точку). В таких случаях результирующую силу можно считать равнодействующей.

Мы говорили о замене нескольких сил одной силой. А можно ли заменить одну силу двумя или несколькими силами?

Рис. 116


83

Можно. Такая замена называется разложением силы на составляющие. Разложение силы на две со-ставляющие можно провести по правилу параллело-грамма. Рассмотрим пример. Пусть кубик находится на глад-

кой наклонной плоскости (рис. 117). На него действу-ет сила тяжести

rFт и сила упругости

rFупр . Разложим

вектор rFт на составляющие

rFт1 и

rFт2 . Теперь мож-

но считать, что вместо силы тяжести на кубик действуют две силы: rFт1 и

rFт2 .

Отметим, что на рисунке 117 начало вектора rFупр помещено в центр кубика,

хотя сила rFупр приложена к его основанию. Так можно делать, когда тело рас-

сматривается как материальная точка.Переносить точку приложения можно и для силы, действующей на абсолют-

но твердое тело, но только вдоль линии действия этой силы.Могут ли модули составляющих быть больше модуля исходной силы? Ответь-

те самостоятельно и подтвердите рисунками.

Главные выводы1. Тело находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, прило-

женных к нему, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно лю-бой оси равны нулю.

2. Результирующая двух или нескольких сил — это сила, равная их век-торной сумме.

3. Сила, оказывающая такое же действие, как несколько сил вместе, на-зывается равнодействующей.

4. Равнодействующая сил, приложенных к телу, которое можно считать материальной точкой, равна векторной сумме этих сил.


1. Что означают утверждения: «силы уравновешивают друг друга»; «тело находится в равновесии»?2. Как находят векторную сумму (результирующую) нескольких сил?3. Что такое плечо силы? Момент силы относительно оси? В каком случае момент силы считается положительным? Отрицательным?4. Каковы условия равновесия тела? Материальной точки?5. Что такое равнодействующая нескольких сил?6. Как разложить силу на составляющие?7. Приведите примеры, когда результирующая сила является равнодействующей,и примеры, когда это не так.

Рис. 117



84 Динамика


1. Фонарь массой m = 2,0 кг подвешен на двух тросах одинаковой длины, об-разующих между собой угол α = 120°. Тросы закреплены на одинаковой высоте. Определите модули сил натяжения тросов. Примите g = 10 Н

кг.

Дано:

т = 2,0 кгα = 120°g = 10 H

кг

Решение

Сделаем рисунок к задаче (рис. 118).К точке А троса (см. рис. 118) приложены три силы: вес фона-

ря rP , модуль которого равен gm, а также силы натяжения тросов

rF1 и

rF2 . При равновесии точка А находится в состоянии покоя,

и результирующая этих сил равна нулю:r r rrF PF1 2 0+ + = .

F1 — ?F2 — ?

Рассмотрим векторную сумму r rF F1 2+ =

rF12= (см. рис. 118). Так как треугольни-ки ABC и ACD — равносторонние, то мо-дули F1 = F2 = F12. Из условия равновесия F12 = gm, значит, F1 = F2 = gm. Тогда

F1 = F2 = 2,0 кг 10 Hкг

= 20 Н.

Решим теперь эту задачу методом проекций. Сумма проекций на любую ось

всех сил, приложенных к телу, находящемуся в равновесии, равна нулю. Исходя из этого, для проекций на оси Ох и Оу получим:

Ох: − F1 cos 30° + F2 cos 30° = 0;Оу: F1 sin 30° + F2 sin 30° − gm = 0.Отсюда F1 = F2 = gm = 20 H.Отве т: F1 = F2 = 20 Н.2. Разложите силу

rF на составляющие по заданным направлениям (прямые

I и II, рис. 119). Вектор rF и прямые I, II лежат в одной плоскости.

Решение

Проведем через конец вектора rF прямые, па-

раллельные заданным направлениям (штриховые ли-нии на рис. 119). Составляющие силы

rF (векторы

rF1

и rF2 ) совпадают со сторонами полученного параллело-грамма. По правилам векторного сложения проверяем: r r rF F F1 2+ = . Рис. 119

Рис. 118


85


1. К телу приложены две силы, модули которых равны F1 = 60 Н, F2 = 80 Н. Определите максималь-ное и минимальное значения модуля результирую-щей силы.

2. Какой будет результирующая сила, если силы

rF1 и

rF2 из условия предыдущей задачи будут

направлены под углом α = 90° друг к другу? Сделай-те рисунок.

3. Под действием алюминиевого цилиндра мас-сой m = 100 г, подвешенного к середине горизон-тального резинового жгута, его половины AC и CB образовали угол α = 120°(рис. 120). Определите модули сил натяжения каждой половины жгута. Какизменятся модули этих сил, если точки подвеса А и В приближать друг к другу

так, что угол α станет равным: а) α = 90°; б) α = 60°; в) α = 0°? Считать g = 10 Hкг

.

4. Между плоскими стенками лежит однородный стальной шарик (рис. 121). Стенки действуют на шарик силами

rF1 и

rF2 , которые перпендикулярны стенкам.

Модули этих сил F1 = F2 = 18 Н. Угол между стенками α = 60°. Плотность стали ρ = 7800 кг

м3 . Определите объем шарика.

5. Разложите силу rF на составляющие по направлениям, которые заданы

штриховыми линиями (рис. 122, а, б, в). Вектор rF и штриховые линии лежат

в плоскости рисунка.6. Может ли сила

rF1 создать боЂльший вращающий момент, чем сила

rF2 ,

если их модули: F1 = 5 Н, F2 = 500 Н? Ответ обоснуйте.7. К телу приложены две силы. Модули сил равны. Расстояния от оси враще-

ния до точек приложения этих сил одинаковы. Следует ли из этого, что моменты данных сил относительно этой оси равны? Почему?

8. На полу гаража лежит лом массой m = 20 кг и длиной L = 2,0 м. Какую минимальную силу нужно приложить к нему, чтобы оторвать конец лома от пола? В какой точке ее следует приложить? Как должна быть направлена эта сила?

C

1 2

Рис. 120

Рис. 121 Рис. 122



86 Динамика

9. Чертежная линейка выступает за край стола на 20 % своей длины. Когда на выступающий конец линейки положили гирьку массой m = 60 г, дру-гой конец линейки оторвался от стола. При какой массе линейки это моглопроизойти?

§ 18. Движение по инерции. Первый закон Ньютона.Инерциальные системы отсчета

Вы уже знаете, что тело сохраняет состояние покоя, если на него не действуют силы или приложенные к нему силы компенсируют друг друга. А при каких условиях тело сохраняет состояние равномерногопрямолинейного движения?

Повседневный опыт говорит: чтобы тело двигалось рав-номерно, его надо тянуть или толкать (рис. 123), прилагая силу. Прекратится действие силы — движущееся тело рано или поздно остановится. Так считали и известные ученые древности, например Аристотель. Опровергнуть эти пред-ставления удалось в первой половине XVII в. итальянско-му ученому Галилео Галилею. Он применил метод, ставший в физике основным методом исследования: изучая явления природы, следует проверять каждую догадку, предположение, идею на опыте.Проведем опыт, подобный опытам Галилея. Пустим с

некоторой высоты железный шарик по наклонному жело-бу (рис. 124). Шарик скатывается с желоба и продолжает движение по горизонтальной поверхности стола, покрытого: либо тканью (см.рис. 124, а), либо картоном (см. рис. 124, б), либо стеклом (см. рис. 124, в).Опыт показывает, что по стеклу шарик прокатится дальше всего. По-

чему? Потому что в этом случае трение было наименьшим. А если бы трения не было совсем? На шарик действовали бы только две силы: сила тяжести

rFт

и сила упругости rFупр (рис. 125), ком-

пенсирующие друг друга. Шарик дви-гался бы с постоянной скоростью как угодно долго.

Рис. 123

Рис. 124 Рис. 125


87

Галилей сделал вывод: скорость движения тела остается постоянной, если на тело не действуют силы или силы действуют, но они компенсируют другдруга.Такое движение называют движением по инерции.

В земных условиях на тело всегда действуют силы. Астрономические наблюдения за космическими аппаратами, запущенными для исследования отдаленных планет и поки-нувшими Солнечную систему, подтверждают: для движения по инерции никакие силы ненужны.

Идеи Галилея получили развитие в работах Ньютона. В 1687 г. Ньютон вы-сказал важнейшее утверждение, которое можно сформулировать так:

всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолиней-ного движения до тех пор, пока на него не подействуют силы.Это утверждение является первоначальной формулировкой первого закона

Ньютона, или закона инерции.В нем заключена главная идея механики. Действовать на тело силой необхо-

димо не для того, чтобы сохранить его скорость постоянной, а чтобы изменить ее. Сила нужна как для изменения модуля скорости, так и для изменения ее на-правления.Всякое тело как бы «стремится» сохранить состояние покоя или равно-

мерного прямолинейного движения. Именно поэтому автомобиль «заносит» на повороте, пассажиров «бросает» вперед, когда автобус резко тормозит(рис. 126), и т. д.Назовем тело, на которое не действуют силы (или действуют, но компенсиру-

ют друг друга), свободным телом. Согласно Галилею и Ньютону свободные тела должны двигаться с постоянной скоростью.Мы знаем, что характеристики движения относительны, т. е. зависят от

выбора системы отсчета. В любой ли системе отсчета скорость свободноготела остается постоянной?

Рис. 126

Движение по инерции. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета


88 Динамика

Проведем опыт. Тележку с нахо-дящимся на ней игрушечным авто-мобилем будем двигать равномерно и прямолинейно (рис. 127, а). Относи-тельно тележки автомобиль покоится, а относительно Земли — движется с постоянной скоростью, равной скоро-сти тележки

rvтел . Резко ускорим дви-

жение тележки. Автомобиль покатится по тележке назад (рис. 127, б). А если резко замедлить движение тележки? Автомобиль покатится по тележке вперед (рис. 127, в).Кажется, что автомобиль двигала

какая-то сила. На самом деле такой силы нет. Силы тяжести и упругости, действующие на автомобиль, компен-сируют друг друга. Сила трения пре-небрежимо мала. Автомобиль дви-

гался как свободное тело. При этом он сохранял неизменной свою скорость относительно Земли, но не относительно тележки во время ее разгона и тор-можения.Таким образом:• относительно системы отсчета «Земля» свободное тело (автомобиль) дви-

жется с постоянной скоростью;• относительно системы отсчета «тележка»:а) свободное тело сохраняет свою скорость постоянной, только когда тележ-

ка движется равномерно;б) во время разгона и торможения тележки скорость свободного тела изме-

няется.Системы отсчета, относительно которых свободные тела покоятся или дви-

жутся равномерно и прямолинейно, называются инерциальными. Системы отсчета, относительно которых свободные тела движутся с ускорением, — не-инерциальными.Судя по результатам данного опыта, система отсчета, связанная с Зем-

лей, инерциальна. Система же, связанная с тележкой, инерциальна только, когда тележка движется относительно Земли равномерно и прямолинейно илипокоится.

Рис. 127


89

А что говорят более точные опыты? Они показывают, что систему отсче-та, связанную с Землей, — геоцентрическую систему (рис. 128, а) — мож-но считать инерциальной только приближенно. С гораздо большей точностью близка к инерциальной гелиоцентрическая система отсчета. Ее начало ко-ординат связано с Солнцем, а оси координат направлены на далекие звезды(рис. 128, б).Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы

поступательно, равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной. Если же система отсчета движется ускоренно или вращается относительно инерци-альных систем, то она будет неинерциальной. Например, неинерциальны систе-мы отсчета, связанные с тормозящим или ускоряющимся поездом, вращающей-ся каруселью, ракетой на участке разгона и т. п.Мы не замечаем неинерциальности геоцентрической системы из-за того,

что Земля вращается вокруг своей оси медленно (совершает один оборотза 24 ч).Пользоваться неинерциальными системами «не запрещено». При решении

задач динамики с использованием таких систем вводят поправки на неинерци-альность.

Существование систем отсчета, близких к инерциальным, — важнейший экспериментальный факт. В связи с этим первому закону Ньютона дают следую-щую формулировку:

существуют системы отсчета, относительно которых свободные тела дви-жутся равномерно и прямолинейно.

Первый закон Ньютона подтвержден всем развитием физики и применением ее законов на практике на протяжении почти четырех столетий. Теперь для образованных людей естественны представления о движении Галилея и Ньютона, а не Аристотеля.

Рис. 128

Движение по инерции. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета


90 Динамика

Главные выводы1. Закон инерции в формулировке Ньютона: всякое тело находится в со-

стоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на него не подействуют силы.

2. Первый закон Ньютона в современной формулировке: существуютсистемы отсчета, относительно которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно.

3. Системы отсчета, относительно которых свободные тела покоятся или движутся равномерно и прямолинейно, называются инерциальными.


1. Как в результате работ Галилея изменились взгляды на причины движения?2. Что такое движение по инерции?3. Какие тела в механике называют «свободными»?4. В чем смысл первого закона Ньютона? Как его формулируют?5. Как называются системы отсчета, в которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно?6. Какие системы отсчета близки к инерциальным, а какие — нет? Приведитепримеры.

§ 19. Масса

Мы часто вместо слова «масса» говорим «вес», а слова «массивный»и «тяжелый» считаем синонимами. Однако с точки зрения физики — это грубая ошибка. Представим, что на Луне установлена обитаемая косми-ческая станция. Находясь на ней, любой учащийся вашего класса смог бы поднять стокилограммовую штангу! Меньше ли на Луне вес штанги? Да. Меньше ли на Луне масса штанги? Нет.

Так что такое масса? Каковы ее свойства?

Вы уже знаете, что:• масса — мера инертности тела;• сила тяжести прямо пропорциональна массе тела;• массу тела можно найти взвешиванием;• масса тела зависит от количества вещества, содержащегося в нем;• единицей массы в СИ служит 1 килограмм (1 кг).Что еще нужно знать о массе? Как ее измеряют?1. Измерение массы тел путем взвешивания. Существуют различные

типы весов: рычажные (рис. 129, а), пружинные (рис. 129, б, в), электронные


91

(рис. 129, г). Во всех случаях весы — это прибор для определения массы тела по действующей на него силе тяжести. Как вы знаете, сила тяжести прямо пропорциональна массе тела:

F = gm. (1)

Рычажные весы с равными плечами находятся в равновесии, если силы тяжес-ти взвешиваемого тела и набора гирь равны: gmтела = gmгирь, т. е. при mтела = mгирь. Значит, результат взвешивания на рычажных весах не зависит от значения коэф-фициента g и будет одним и тем же на любой планете. А как измерить массу тела на пружинных весах? Их показания пропорцио-

нальны силе тяжести. Сила тяжести на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Во столько же раз меньше будут и показания пружинных весов. Чтобы определить массу тела, нужно провести «контрольное» взвешивание гири массой mэт = 1 кг. Из равенства (1) следует:

m

m

F

Fэт эт

= . (2)

Получаемое из пропорции (2) значение

m m FF

= этэт

(3)

будет равно массе тела, независимо от того, где проводилось взвешивание. А можно ли найти массу тела, не используя силу тяжести? Можно.2. Сравнение масс по инертности тел. Любое тело обладает свойством дви-

гаться по инерции, сохраняя свою скорость неизменной, пока на это тело не по-действуют силы. При этом одни тела легче разогнать (а разогнав, остановить),а другие — труднее. Для разгона или остановки нагруженной тележки на нее сле-дует действовать гораздо большей силой (или гораздо дольше), чем на порожнюю.

Рис. 129

Масса


92 Динамика

Тело, которое труднее разогнать (и оста-новить), называется более инертным. Как определить, во сколько раз одно

тело более инертно, чем другое?Проведем опыт. Поставим на гори-

зонтальную поверхность две легкие тележ-ки с разными грузами (тело 1 и тело 2) (рис. 130), способные катиться практи-чески без трения. Будем разгонять тележ-ки так, чтобы они ускорялись одинаково, не обгоняя и не отставая друг от друга.

Пусть на тело 1 пришлось действовать силой в три раза большей, чем на тело 2 (см. рис. 130). Значит, первое тело в три раза труднее разогнать, чем второе,т. е. тело 1 в три раза инертнее тела 2. Такие опыты дают возможность определить массу тела как меру его инерт-

ности. Пусть второе тело — это эталон массы. Тогда массу первого тела можно

найти из данного опыта по формуле (3). Но теперь в ней Fэт — это модуль силы, ускоряющей тело массой 1 кг, а F — модуль силы, придающий такое же ускоре-ние телу, массу которого мы измеряем.Не забывайте о том, что массивные тела трудно не только ускорить, но

и замедлить.Помните — никакими тормозами автомобиль нельзя остановить мгновенно!

Массу как меру инертности называют инертной массой, а массу, определяемую по силе притяжения тел друг к другу, — гравитационной массой. Равенство инертной и гравитаци-онной масс неоднократно проверялось на опыте. Современные эксперименты гарантируют, что различие инертной и гравитационной масс (если оно есть) для тела массой в одну тонну меньше одной миллионной доли грамма.

Напомним еще о двух практически важных свойствах массы:• общая масса m нескольких тел равна сумме их масс:

m = m1 + m2 + m3 + …; (4)

• масса однородного тела объемом V пропорциональна этому объему:

m = ρV, (5)

где ρ — плотность вещества, из которого состоит тело.

Свойство массы (4) кажется очевидным. Однако оно выполняется лишь приближенно. Если два или несколько тел объединяются в одно с выделением энергии, то масса объединенного тела будет меньше, чем сумма масс исходных тел! Так происходит потому, что масса является мерой

Рис. 130


93

заключенной в теле энергии. Такой вывод был сделан А. Эйнштейном в 1905 г. Оказывается,в одном грамме любого вещества запасено столько энергии, сколько ее выделяется при сгорании 20 000 т нефти! Подробнее об этом будет сказано в 11-м классе.

То, что одна физическая величина — масса — характеризует самые важные свой-ства материи (инертные, гравитационные и энергетические) — один из самых важных законов природы.

Главные выводы1. Масса тела — мера его инертности.2. Масса тела — мера его гравитационных свойств.3. Масса данного тела на Земле, на Луне и т. д. одинакова.


1. Мерой каких свойств тела является его масса?2. Какую тележку труднее разогнать: нагруженную или порожнюю? А остановить?3. Какими способами можно сравнить массы двух тел? Какой из этих способов можно использовать на орбитальной станции?4. Изменится ли масса тела при его переносе с Земли на другую планету?


На одной чашке равноплечих весов лежит яблоко. Весы будут в равновесии, если на другую чашку положить гири массами m1 = 100 г и m2 = 50 г. Определите массу яблока и его вес на Земле и на Луне.

Дано:

m1 = 100 гm2 = 50 гgЗ = 9,81 Н

кг

gЛ = 1,62 Нкг

Решение

Масса яблока на Земле и на Луне одинакова:

mЗ = mЛ = m1 + m2 = 150 г = 0,15 кг.

Вес яблока численно равен модулю силы тяжести: на Земле PЗ = gЗmЗ, на Луне PЛ = gЛmЛ.Тогда

PЗ = 9,81 Нкг

0,150 кг = 1,47 Н;

PЛ = 1,62 Нкг

0,150 кг = 0,243 Н.

mЗ — ? mЛ — ?PЗ — ? PЛ — ?

Отве т: mЗ = mЛ = 0,15 кг; PЗ = 1,5 Н; PЛ = 0,24 Н.


1. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли? Луны? Электрона?2. Чему равна масса воды в заполненном аквариуме размерами 1 1 1 м?

Чему равна масса воздуха в таком же объеме (при нормальных условиях)? Что

Масса


94 Динамика

больше: масса кубометра бетона или кубометра алюминия? Чему равна масса одного литра воды, ртути, бензина?

3. Показания динамометра, к которому подвешен металлический цилиндр объемом V = 100 см3, равны P = 2,70 H. Изменятся ли показания динамометра, если опыт проводить на Луне? Чему равна масса цилиндра и его плотность на

Земле? На Луне? Принять g = 10 Нкг

.

4. Определите массу детали, если на неравноплечих весах ее уравновесила

гиря массой m = 250 г. Отношение плеч l

l1

22= . Рассмотрите два случая.

5. При взвешивании тела на рычажных весах, его уравновесила гиря массой m1 = 200 г. Тело переложили на другую чашку этих же весов. Тогда его урав-

новесил набор гирь общей массой m2 = 288 г. Чему равна масса тела?

§ 20. Второй закон Ньютона —основной закон динамики

Ускорение тела возникает только под действием сил. Как найти это ускорение? Куда оно направлено? Каков его модуль?

Проведем опыт. Поставим тележку на наклонную плоскость и будем удержи-

вать ее динамометром (рис. 131). На тележку будут действовать сила тяжести rFт ,

сила реакции опоры r

N и сила упругости пружины динамометра rFдин .

дин

Рис. 131


95

В состоянии покоя r r r rF F Nдин т+ + = 0, или

r r rF F Nдин т= − +( ). (1)

Отпустим тележку. Она начнет скатываться вниз с некоторым ускорением ra.

В этом опыте можно пренебречь силой трения качения и сопротивлением воздуха. Поэтому результирующая сил, действующих на движущуюся тележку, r r rF F N= +т . Тогда из формулы (1) следует: модуль результирующей всех сил, приложенных к тележке при ее движении, равен показаниям динамометра при ее покое (F = Fдин). Продолжим опыт. Выясним, как зависит ускорение тележки от действующих

на нее сил и от ее массы.1. Зависимость ускорения тела от результирующей сил, приложенных

к нему. Пусть тележка за время t прошла путь s. Модуль ускорения тележки

найдем по формуле кинематики a st

= 22 . Путь s (см. рис. 131) измерим рулеткой,

время t — секундомером. Модуль F измерим динамометром до начала движения.Пусть F = F1, a = a1. Увеличивая угол наклона, проведем опыты при F, равном

2F1, 3F1 и т. д. Опыт показывает, что при увеличении модуля силы F в 2, 3, 4, … раза модуль ускорения увеличится тоже в 2, 3, 4, … раза.Следовательно, модуль ускорения тела прямо пропорционален модулю

результирующей всех приложенных к нему сил:

а ∼ F (2)

(знак ∼ обозначает прямую пропорциональность двух величин).2. Зависимость ускорения от массы тела. Будем теперь проводить измерения

для тел разных масс при одном и том же значении модуля силы F (см. рис. 131). Постоянство F будем поддерживать, регулируя наклон плоскости и контролируя значение F динамометром. Массу будем изменять, нагружая тележку гирьками. Мы убедимся, что при заданном F тело в 2, 3, 4, … раза большей массы приобрететв 2, 3, 4, … раза меньшее ускорение. Значит, модули ускорений, приобретаемых телами под действием одинаковых сил, обратно пропорциональны массам этих тел: a .

m∼ 1 (3)

Закономерности (2) и (3) выражаются одной формулой: a k Fm

= , где k —

постоянный коэффициент. В СИ коэффициент k = 1, и модуль ускорения

a Fm

= . (4)

Второй закон Ньютона — основной закон динамики


96 Динамика

Равенство (4) показывает, что единица силы в СИ — 1 ньютон — это такая сила, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение 1 м

с2 .

А как направлено ускорение? В нашем опыте оно направлено так же,как результирующая всех сил, приложенных к телу (см. рис. 131). Многочисленные опыты показывают, что направления ускорения и резуль-

тирующей силы совпадают всегда (и для прямолинейного, и для криволиней-ного движения).

Проверить это для движения по окруж-ности можно на опытах с шариком (рис. 132).Результирующую силу находят по правилу параллелограмма

r r rF F F= +н т , модуль силы

натяжения нити Fн — по показаниям ди-намометра, модуль силы тяжести — по фор-муле F gmт = .

Из того, что мы узнали о причине уско-рения, о его направлении и модуле, можно сделать вывод.

Ускорение тела прямо пропорциональ-но результирующей приложенных к нему сил и обратно пропорционально массе тела.Это основной закон динамики — второй

закон Ньютона. Его математическим выра-жением является векторное равенство:

r r

a Fm

= , (5а)или

ma Fr r

= . (5б)

Векторный характер формул (5) говорит о том, что ускорение всегда направ-лено по результирующей силе. Почему второй закон Ньютона является основным законом динамики?

Потому что он дает возможность решить ее основную задачу: по начальному положению тела, по его начальной скорости и по действующим на него силам определить положение и скорость тела в любой момент времени. Покажем, как решается эта задача для тела массой m, на которое в течение

промежутка времени Δt действует постоянная сила rF.

Рис. 132


97

Находим ускорение тела: r r

a Fm

= . Подставляем ускорение в формулы кинемати-

ки (7) и (8) из § 13. Получаем ответ: конечная скорость тела r r r

v v tFm

= +0 Δ , пе-

ремещение тела Δ Δ Δr r r

r v t tFm

= +02

2.

А если сила была непостоянной? Тогда промежуток времени Δt следует разбить на та-кие малые интервалы (шаги), чтобы на каждом из них сила

rF не успевала существенно из-

мениться. Решая задачу шаг за шагом, можно найти положение тела и его скорость в любой момент времени. При большом числе шагов расчеты проводят на компьютере. Именно так вычисляют, на каком расстоянии от Земли пройдет комета или метеорит, как вывести спутникна орбиту и т. д.

Отметим, что второй закон Ньютона выполняется только в инерциаль-ных системах отсчета. При расчетах с использованием неинерциальных системв формулы вносят необходимые поправки.А можно ли применять формулы (5), если тело нельзя рассматривать как

материальную точку? Можно. В таких случаях вектор ra следует понимать как

ускорение точки, называемой центром масс данного тела. Определение центра масс будет дано в § 25.

Достаточно ли проделанных нами опытов, чтобы утверждать, что второй закон Ньютона справедлив всегда? Конечно, нет. Этот закон прошел проверку в течение более чем трех сто-летий в миллионах опытов. Расчеты движения механизмов и транспортных средств, воздушныхи водных потоков, планет и их спутников и т. д. основаны на механике Ньютона. Совпадение ре-зультатов таких расчетов с тем, что происходит реально, является надежной экспериментальной проверкой второго закона Ньютона.

В то же время из опытов с микрочастицами следует, что к явлениям микромира механи-ка Ньютона неприменима. Формулы (5) нельзя использовать также и при скоростях движения, сравнимых со скоростью света.

Главные выводы1. Ускорение тела прямо пропорционально результирующей приложенных

к нему сил и обратно пропорционально массе тела. 2. Ускорение тела направлено так же, как результирующая приложенных

к нему сил.3. Единица силы в СИ — 1 ньютон — это сила, под действием которой

тело массой 1 кг приобретает ускорение 1 2мс

.

4. Второй закон Ньютона дает возможность решить основную задачу ди-намики.



98 Динамика


1. Как направлено ускорение по отношению к силам, действующим на тело?2. Как найти модуль ускорения, если на тело действует несколько сил?3. Куда направлена результирующая приложенных к телу сил, если оно движется равномерно по окружности?4. Какой физический смысл имеет единица силы СИ — 1 Н?5. Как с помощью второго закона Ньютона решить основную задачу механики? По-кажите на простом примере.6. Можно ли применять второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета? Покажите на примерах.


1. Сани массой m = 120 кг тянут по горизонтальному участку пути, приклады-вая силу F под углом α = 45° к горизонту. Модуль силы F = 400 Н. Модуль силы трения скольжения Fтр = 100 Н. Определите модуль ускорения саней.

Дано:

m = 120 кгF = 400 Нα = 45°Fтр = 100 Н

Решение

Сделаем рисунок к задаче (рис. 133).К саням приложены четыре

силы: сила тяжести rFт , сила тре-

ния rFтр , сила реакции опоры

rN

и сила rF. По второму закону

Ньютона:

ma F F F Nr r r r r

= + + +т тр .

а — ?

В проекции на ось Ох (см. рис. 133):

ma F F F Nx x x x x= + + +т тр , где Fx = F cos α; Fтx = 0; Fтр х = −Fтр; Nx = 0.

Отсюда

ma F Fx = −cos ;трα a ax

F F

m= = = = .

− −cos Н 0,71 Нкг

мс

тр2

α 400 100120

1 53,

Отве т: a = .1 53, мс2

2. Два цилиндра — стальной и алюминиевый — одинакового объема подве-шены к концам нити, перекинутой через неподвижный блок. Какой путь пройдет каждый цилиндр за промежуток времени Δt = 0,50 с? Силами сопротивления пре-небречь. Блок считать невесомым, нить — невесомой и нерастяжимой. Принять g = 10 Н

кг.

Рис. 133


99

Дано:

V1 = V2

Δt = 0,50 сg = 10 H

кг

ρалкгм

= 2700 3

ρсткгм

= 7800 3

Решение

Сделаем рисунок к задаче (рис. 134). На каждую гирю действуют сила тя-

жести rFт и сила натяжения нити

rFн .

Изобразим эти силы (см. рис. 134). Согласно второму закону Ньютона:

m a F Fст т1 н1

r r r1 = + ; (1)

m a F Fал т н2 2

r r r1 = + . (2)s — ?

Так как нить нерастяжима, r ra a a1 2= = . Так как блок

и нити невесомы, r rF F Fн1 н2 н= = . Выберем ось Оу (см.

рис. 134) и запишем уравнения (1) и (2) в проекции наэту ось: ст ст нm a gm F= − ; (3)

− = −m a gm Fал а нл . (4)

Вычтя из уравнения (3) уравнение (4), получим: ( ) ( ).ст ал ст алm m a g m m+ = −Отсюда

( )ст ал

ст алa .

m m g

m m= −

+Массы цилиндров:

mст = ρстV; mал = ρалV.Тогда

( )ст ал

ст алa .

g= −+

ρ ρρ ρ

Путь, пройденный каждым из цилиндров:

s a t= Δ 2

2;

( )

( )

скгм

Нкгк

ст ал

ст алs

g t= =−+

ρ ρρ ρ

Δ 22

3

2

0 25

2 10

5100 10

500

,

ггм

м3

0 61= , .

Отве т: s = 0,61 м.


1. На каком физическом явлении основано стряхивание снега с шапки?2. Тело массой m = 6,0 кг перемещают по гладкой горизонтальной поверх-

ности, действуя горизонтальной силой, модуль которой F = 4,2 Н. Определитемодуль ускорения тела.

Рис. 134

т

т



100 Динамика

3. Ведро с песком массой m = 20 кг поднимают, действуя вертикально вверх силой, модуль которой F = 0,25 кН. С каким ускорением поднимается ведро? Коэффициент g здесь и в после-дующих задачах принять равным 10 Н

кг.

4. Две гири массами m1 = 2,0 кг и m2 = 1,0 кг подвешены на концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через неве-сомый неподвижный блок (рис. 135). Каждая гиря прошла путь s = 0,80 м. Определите модули ускорения и скорости движения гирь в конце пути.

5. Два груза массами m1 = 400 г и m2 = 200 г связаны не-весомой нерастяжимой нитью (рис. 136), рассчитанной на предельную нагрузку Fпр = 8,20 Н. Определите модуль макси-

мальной силы F, с которой можно тя-нуть груз массой m1 по гладкой горизон-тальной поверхности, чтобы нить не по-рвалась.

6. Определите ускорение санок, скаты-вающихся с горки высотой h = 2 м и длиной l = 4 м. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

7. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона α = 30° (рис. 137) на-

ходится брусок массой m = 5,0 кг, на кото-рый действует горизонтальная сила, мо-дуль которой F = 15 Н. Определите ускоре-ние и силу давления тела на плоскость.

§ 21. Третий закон Ньютона.Принцип относительности Галилея

Земля притягивает Луну силой, модуль которой F = 2, 44 1015 Н. Масса Луны в 81 раз меньше, чем масса Земли. А притягивает ли Луна Землю? Если да, то с какой силой?

Рассмотрим несколько примеров. Заряженное тело 1 отталкивает такое же заряженное тело 2 силой

rF1 2→

(рис. 138, а), Земля притягивает шарик силой rFЗ ш→ (рис. 138, б), магнит

Рис. 135

Рис. 137

Рис. 136


101

притягивает железный брусок силой rFм б→ (рис. 138, в). Действует ли при этом

заряженное тело 2 на заряженное тело 1? Шарик на Землю? Железный брусок на магнит? Если действует, то с какой силой? Ответ очевиден лишь для случая, изображенного на рисунке 138, а. Заря-

женные тела 1 и 2 «равноправны». Тело 2 отталкивает тело 1 точно так же, как тело 1 отталкивает тело 2. Модули сил

rF1 2→ и

rF2 1→ равны, а их направления

противоположны. А если тела отличаются друг от друга (см. рис. 138, б, в)? Проведем опыт. Поместим магнит на тележку 1, а железный брусок — на

тележку 2. Будем удерживать тележку 1 с магнитом (рис. 139, а). Тележка 2 поедет в сторону магнита. Удержим теперь тележку 2 (рис. 139, б), а тележкус магнитом отпустим. Она начнет движение в сторону бруска. Значит, и желез-ный брусок притягивает к себе магнит. Одинаковы ли модули сил

rFм б→ и

rFб м→ , с которыми магнит и брусок при-тягивают друг друга? Равенство показаний динамометров (рис. 140) говорит о том, что модули этих сил равны: F Fм б б м→ →= .Этот результат не случаен. Механи-

ческое действие тел друг на друга всегда взаимно — это либо взаимное притяже-ние, либо взаимное отталкивание. Одно-стороннего действия не бывает. Существу-ет лишь взаимодействие. При этом силы,

N S

Рис. 138

0,5 0,5

Рис. 139

Рис. 140

Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея



с которыми два тела действуют друг на друга, имеют равные модули, противо-положные направления и лежат на одной прямой:

r rF F1 2 2 1.→ = − → (1)

Это утверждение справедливо для тел любых масс, размеров, формы и соста-ва вещества. Оно носит название третьего закона Ньютона. Что еще необходимо знать о силах взаимодействия? Силы взаимодействия приложены к разным телам (

rF1 2→ — к телу 2,

а rF2 1→ — к телу 1) (см. рис. 138, а). Поэтому они не могут уравновесить (ком-пенсировать) друг друга.

Силы взаимодействия двух тел имеют одну и ту же «природу». Например, обе являются элек-трическими силами или обе — гравитационны-ми и т. д.

Если одновременно взаимодействует несколь-ко тел, то равенство (1) выполняется для каждой пары тел (рис. 141).

В связи с третьим законом Ньютона часто воз-никает вопрос: «Почему яблоко падает на Землю,а не Земля на яблоко, хотя модули сил, с которыми они притягивают друг друга, равны?» Равенство модулей сил не означает равенства результатов их действия. При

одинаковых модулях сил, но огромном различии масс, расстояние, которое про-ходит Земля навстречу яблоку, крайне мало по сравнению с расстоянием, прой-денным яблоком.

Докажем это. Для взаимодействующих тел по третьему закону Ньютона rF1 2→ = − →

rF2 1 , а по второму закону

r rF m a1 2→ = 2 2 ,

r rF m a2 1→ = 1 1. Отсюда

a

a

m

m2

1

1

2= . (2)

Модули ускорений, приобретаемых телами из-за взаимодействия друг с другом, обратно пропорциональны массам тел.Если в начальный момент оба тела покоились, то по законам кинематики

a

a

s

s2

1

2

1= , (3)

Рис. 141


103

где s1 и s2 — пути, пройденные телами. Выведите соотношение (3) самостоя-тельно, считая движение тел равноускоренным. Из формул (2) и (3) следует:

s2

1

1

2s

m

m= . (4)

Рассчитайте путь, который пройдет Земля навстречу яблоку, падающему с высоты h = 3 м. Масса яблока m1 = 200 г, масса Земли m2 = 6 1024 кг. Равенства (2) и (4) можно использовать для сравнения масс. Предложите спо-

соб измерения массы тела с помощью установки, изображенной на рисунке 142.

Рис. 142

Третий закон Ньютона объясняет многие явления повседневной жизни. На-пример, при прыжке на батуте (рис. 143)спортсмен отталкивает опору силой

rFс о→ .

Эта сила приложена к опоре. Ответная — «противодействующая» — сила

rFо с→ ,

приложенная к спортсмену, придает ему направленное вверх ускорение. Человек при ходьбе, автомобиль при

движении отталкиваются от дорожного покрытия. В ответ на это, дорожное по-крытие действует на них с силой, имеющей горизонтальную составляющую, направ-ленную вперед. Корабль, лодка отталкиваются от воды,

винтовой самолет — от воздуха, реактив-ный — от выбрасываемых двигателем газов. На рисунке 144 показана сила, дей-

ствующая со стороны вращающегося вин-та лодки на воду

rFл в→ , и возникающая

в ответ сила rFв л→ , с которой вода толкает

лодку вперед.

Рис. 143

т

Рис. 144




Опыты показывают, что третий за-кон Ньютона выполняется с большой точностью для механических явлений в макромире при нерелятивистских (v c) скоростях движения тел.Мы изучили законы Ньютона —

основные законы динамики. Они согласуются с еще одним

важнейшим положением механики — принципом относительности Га-лилея. Рассмотрим пример. На столике

в купе вагона лежит мячик (рис. 145).Пока поезд движется относительно Земли с постоянной скоростью, мячик по-коится относительно вагона. Если же движение поезда относительно Земли станет ускоренным или замедленным, то мячик начнет двигаться относительно вагона. Значит, в системах отсчета «вагон, движущийся с постоянной скоро-стью» и «вагон, движущийся с ускорением» механические явления происходятпо-разному.Эти системы «неравноправны»: первая система отсчета инерциальна, а вто-

рая — неинерциальна.А равноправны ли между собой инерциальные системы? Одинаково ли, на-

пример, движение тел в покоящемся вагоне и в вагоне, движущемся относитель-но Земли равномерно и прямолинейно? Опыты показывают, что относительно поезда, самолета и т. д., имеющих

в системе отсчета «Земля» постоянную скорость, тела движутся точно так же, как они двигались бы относительно Земли. Сравнивать при этом следует движе-ние одинаковых тел при одинаковых условиях относительно «своих» систем отсчета.На основе подобных опытов был сделан вывод: во всех инерциальных систе-

мах отсчета механические явления при одинаковых условиях происходят оди-наково. Данное утверждение выражает равноправие всех инерциальных систем

в механике. Оно носит название принцип относительности Галилея. Этот принцип можно сформулировать и так: «никакими механически-

ми опытами, проводимыми в любой инерциальной системе, нельзя уста-новить, покоится ли она или движется равномерно и прямоли-нейно».

Рис. 145


105

Основоположником принципа относительности заслуженно считается Галилео Галилей.В 1632 г. в своей книге «Диалоги о двух системах мира» после убедительных рассуждений он дает такую формулировку данного принципа: «Для предметов, захваченных равномерным движением, это движение как бы не существует».

Законы Ньютона и принцип относительности Галилея — основа классиче-ской механики, ее наиболее общие положения. Но их недостаточно для того, чтобы решить любую задачу механики. Необходимо знать, какие виды сил существуютв механике и какие закономерности характерны для каждого вида сил.

Главные выводы1. Действие тел друг на друга всегда взаимно. Взаимодействие тел в меха-

нике — это либо взаимное притяжение, либо взаимное отталкивание.2. Силы взаимодействия двух тел имеют одинаковую природу, равные мо-

дули и направлены по одной прямой в противоположные стороны.3. Силы взаимодействия двух тел не компенсируют друг друга, так как они

приложены к разным телам.4. Во всех инерциальных системах отсчета механические явления при оди-

наковых условиях происходят одинаково.


1. К чему сводится взаимодействие тел в механике?2. Что общего у сил, с которыми два тела действуют друг на друга? Чем они отличаются?3. Могут ли силы взаимодействия компенсировать друг друга? Почему? 4. Одинаковы ли ускорения, приобретаемые телами в ре-зультате их взаимодействия? 5. В чем состоит принцип относительности Галилея?


1. Гиря находится на куске поролона (рис. 146). Изобразите силы взаимодействия этих тел друг с другом. Как направлены эти силы? Какова их природа? Где нахо-дятся точки приложения этих сил?

2. На нити, перекинутой через неподвижный блок, висят два груза (рис. 147). Определите и изобразите силы, действующие на блок, на нити и на каждый из гру-зов. Укажите, какие из этих сил связаны между собой третьим законом Ньютона.

3. Почему по льду трудно разогнаться без коньков, но легко — на коньках?

Рис. 146

Рис. 147




4. Изобразите и назовите силы, которые действу-ют на мяч, плавающий в воде (рис. 148). Для каждой из этих сил укажите силу, связанную с ней по треть-ему закону Ньютона.

5. Для смягчения соударений вагоны оборудова-ны буферными пружинами (рис. 149, а, б, в).

Рис. 149

У какого из двух одинаковых вагонов при столкновении пружины сожмутся силь-нее? Рассмотрите три случая: а) вагоны двигались навстречу друг другу с одина-ковыми скоростями, но вагон А был загружен, а вагон Б — нет; б) оба вагона были одинаково загружены, но вагон А до столкновения покоился; в) один из вагонов до столкновения стоял вплотную к неподвижной стене.

§ 22. Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука

Сила придает телам ускорение и вызывает деформацию. Мы знаем, как определить ускорение. А как найти деформацию?

Деформацией тела называют изменение его размеров и формы. Деформа-ция происходит в результате перемещения одних частей тела относительно дру-гих. На рисунке 150, а — г показаны различные виды деформаций: а) сжатие; б) сдвиг; в) изгиб; г) кручение.

Рис. 148


107

Для рисунка 150, а — г использована модель тела, состоящая из пластин и пружинок. Вы сами сможете моделировать любые деформа-ции с помощью обычного ластика или кубика из поролона, на грани которого нанесены параллельные прямые (рис. 151).

Основными видами деформаций являются растяже-ние, сжатие (см. рис. 150, а) и сдвиг (см. рис. 150, б). При сжатии и растяжении изменяются расстояния

между слоями, а при сдвиге слои смещаются друг относи-тельно друга.

Деформацию изгиба можно представить как комбинацию сжатия и растяжения, которые неодинаковы в разных частях тела (см. рис. 150, в). Деформация кручения сводится к комбинации деформаций сдвига (см.рис. 150, г).

Деформации возникают под действием при-ложенных к телу внешних сил (см. рис. 150).Проведем опыт. Надавим на ластик (рис. 152, а).Он деформируется. Прекратим действие силы. Деформация исчезла (рис. 152, б). Если раз-меры и форма тела полностью восстанавли-ваются после прекращения действия силы, то деформацию называют упругой. Деформируем теперь кусок пластилина

(рис. 152, в). После прекращения действия силы его форма не восстановилась (рис. 152, г).Такую деформацию называют неупругой или пластической.

Характер деформации зависит не только от ве-щества, из которого состоит тело, но и от того, на-сколько велика внешняя сила, как долго она дей-

Рис. 151

Рис. 152

Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука

Рис. 150



ствует, а также от температуры тела. Например, если железную пластину немного изогнуть и отпустить, она восстановит свою форму. Однако если ее долго держать под такой же нагрузкой, то деформация станет неупругой. Если же температура тела высока, то деформация будет пластической даже при действии малой кратковремен-ной силы.

Пластической деформации подвергают ме-талл при прокатке, ковке (рис. 153), штамповке и т. д.Рассмотрим самую простую деформацию:

упругое растяжение. Как зависит величина дефор-мации тела от приложенной к нему силы?Проведем опыт. Закрепим один конец ре-

зинового шнура, а к другому подвесим груз(рис. 154). Под действием деформирующей силы rFдеф (веса груза Р) шнур растянется. Его длина l

станет больше начальной длины l0 на величину Δl = l − l0 (см. рис. 154). Бу-дем увеличивать нагрузку, подвешивая два, три и т. д. одинаковых груза. При увеличении деформирующей силы

rFдеф в два, три и т. д. раза (Fдеф = Р1,

2Р1, 3Р1, …) удлинение шнура Δl возрастет во столько же раз (см. рис. 154). Значит, удлинение шнура прямо пропорционально модулю деформирующейсилы: Δl ∼ Fдеф.

P

P

P

Рис. 153

Рис. 154


109

Проведя аналогичные опыты по сжатию пружины (рис. 155), можно сделать вывод: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль изменения длины тела прямо про-порционален модулю деформирующей силы:

| Δl | ∼ Fдеф. (1)

Пропорциональность сохраняется, пока де-формация находится в пределах упругости. При неупругой деформации зависимость удлинения от деформирующей силы становится более сложной. При дальнейшем увеличении дефор-мирующей силы наступает разрушение тела.

В опытах по растяжению шнура и сжатию пружины в ответ на действие де-формирующей силы

rFдеф возникала противодействующая ей сила упругости

rFупр (см. рис. 154 и 155).

Сила упругости приложена к телу, которое вызывает деформацию, и на-правлена противоположно деформирующей силе.Согласно третьему закону Ньютона

r rF Fупр деф= − . (2)

Из формул (1) и (2) следует

F k lупр ,= Δ (3)

где k — постоянный коэффициент. При упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости

прямо пропорционален модулю изменения длины тела.Это утверждение носит название закон Гука.

Постоянная kF

l= упр

| |Δ называется коэффициентом упругости или жест-

костью тела. Она численно равна модулю силы упругости при удлинении (или сжатии) тела на единицу длины. В СИ жесткость измеряется в нью-

тонах на метр Нм .

Жесткость тела зависит от материала, из которого оно изготовлено, от фор-мы и размеров тела, от его температуры. Для тела постоянного поперечного сечения (шнура, проволоки и т. д.) жесткость прямо пропорциональна площа-

ди сечения S и обратно пропорциональна начальной длине тела l0: k Е Sl

=0

.

Рис. 155




Коэффициент Е называют модулем упругости. Он характеризует упругиесвойства вещества. Например, модуль упругости стали в десятки тысяч раз больше, чем резины.

Из рисунков 154 и 155 видно, что и при растяжении, и при сжатии сила упругости направлена противоположно перемещению точки приложения дефор-мирующей силы (точки А). С учетом этого закон Гука записывают в виде:

(4)

где Fупр x — проекция силы упругости на ось Ох, х — координата точки А(см. рис. 154 и 155). Начало координат на оси Ох выбирается так, чтобыпри x = 0 деформация отсутствовала.

На рисунках 156, а, б представлены графики, по-строенные по формулам (3) и (4). Прямолинейность графиков соответствует прямой пропорциональной за-висимости модуля силы упругости от | Δl | и от х. Не забывайте, что закон Гука, а значит, и соотно-

шения (1), (3) и (4) выполняются только для упругих деформаций! Все окружающие нас тела в той или иной степе-

ни деформированы. Хотя чаще всего эти деформации незаметны, связанные с ними силы упругости играют весьма существенную роль. Например, сила упругости полки уравновешивает силу тяжести книги (рис. 157, а),сила упругости подвеса компенсирует силу тяжести люстры (рис. 157, б), сила упругости рельсов удержи-вает железнодорожный состав и т. д.Упругую силу, возникающую в ответ на действие

тела на опору, часто называют силой реакции опо-ры. Силу упругости растянутой нити, веревки, тросаи т. д. — силой натяжения.

Fупр x = −kx,Fупр x = −kx,

Рис. 156

Рис. 157


111

Почему при деформации возникают силы упруго-сти? Какова их природа?Силы упругости возникают потому, что молекулы,

из которых состоят тела, взаимодействут между собой. Когда внешние силы сжимают тело, молекулы сильнее отталкивают друг друга и препятствуют сжатию. Если же внешние силы растягивают тело, молекулы сильнее притягиваются друг к другу и противодействуют растя-жению.А почему молекулы взаимодействуют? Потому что

они состоят из микрочастиц, обладающих электричес-ким зарядом: положительно заряженных ядер атомов и отрицательно заряженных электронов в их оболочках.Следовательно, силы упругости имеют электро-

магнитную природу. Упругие и пластические свойства тела зависят и

от того, как расположены его молекулы (или атомы). На рисунке 158 изобра-жены кристаллические решетки алмаза и графита. Различие в расположении одних и тех же частиц (атомов углерода) приводит к резким отличиям свойств этих веществ.

Главные выводы1. Изменение размеров или формы тела называется деформацией. 2. Если после прекращения действия внешних сил размеры и форма тела

полностью восстанавливаются, то деформация называется упругой. Если не полностью, то — пластической.

3. Силы упругости направлены противоположно деформирующим силам.4. При упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости

прямо пропорционален модулю изменения длины тела: Fупр = k|Δl|.


1. При каких условиях возникает деформация тела? Назовите виды деформаций.2. Что такое упругая деформация? Пластическая деформация?3. Когда возникают силы упругости? Как они направлены?4. Что утверждает закон Гука? При каких условиях он выполняется?5. Что такое жесткость тела? От чего она зависит?6. Будет ли удлинение тела пропорционально деформирующей силе при любых ее значениях? 7. Какова природа сил упругости?

Рис. 158





Под действием пружинного динамометра железный кубик с длиной ребра l = 20,0 см движется по гладкой горизонтальной поверхности с постоянным уско-рением, модуль которого a = 10 см

с2. Определите удлинение пружины динамометра

жесткостью k = 100 Нм .

Дано:

l = 20,0 см = 0,200 м

a = 10 смс2

= 0,10 мс2

k = 100 Нм

ρж = 7800 кгм3 = 7,8 10 кг

м3

3

Решение

Сделаем рисунок к задаче (рис. 159).На брусок действуют: сила

тяжести rFт , сила реакции по-

верхности r

N и сила упругости пружины

rFупр (см. рис. 159).

Трение по условию задачи от-сутствует.Δl — ?

По второму закону Ньютона:

ma N F Fr r r r

= + +т упр . (1)

В проекции на горизонтальную ось Ох:

ma = Fупр. (2)

Масса кубика m = ρжV, объем кубика V = l3. Тогда

m = ρж l3. (3)

Модуль силы упругости по закону Гука:

Fупр = k | Δl |. (4)

Подставив выражения (3) и (4) в формулу (2), получим:

ρж l3a = k | Δl |.

Отсюда

| Δl | = ρжl a

k

3

= 7 8 10 8 0 10 0 10

100

3 3 33 2

, , ,кг м мсм

−

Нм

= 0,062 м.

Отве т: Δl = 6,2 см.

Рис. 159


113


1. Ведро с песком массой m = 15 кг равномерно поднима-ют с помощью веревки и неподвижного блока (рис. 160, а). Определите модуль силы натяжения веревки. Массой блока, веревки и трением пренебречь. В этой и последующих задачах

g = 10 Нкг

.

2. Каким будет модуль силы натяжения веревки, еслив условии предыдущей задачи используется подвижный блок (рис. 160, б)?

3. Определите модуль силы натяжения веревки, если при подъеме ведро движется равноускоренно. Модуль ускорения ведра a = 1 6 2, ,м

с масса m = 15 кг. Рассмотрите два случая

(см. рис. 160, а и 160, б).4. По гладкой горизонтальной поверхности по окружнос-

ти радиусом R = 30,0 см равномерно движется шарик массой m = 200 г, удерживаемый нитью (рис. 161, вид сверху). Пе-риод обращения шарика Т = 3,14 с. Определите удлинение

нити, если ее жесткость k = 60 0, .Нм

5. Трос имеет жесткость k = 4 0 105, .Нм Предельноеудлинение, при котором он еще сохраняет упругие свойства, Δl = 12 мм. Сохра-нит ли трос упругие свойства, если к нему подвесить груз массой: а) m1 = 240 кг;б) m2 = 600 кг?

6. На рисунке 162 представлены графики зависимости модулей силыупругости от удлинения для двух пружин. Во сколько раз отличаются жесткостипружин?

7. Пружина имеет жесткость k = 150 Нм

. Какой будет жесткость системы

из двух пружин, соединенных: а) «последовательно»; б) «параллельно»?

Рис. 160

Рис. 161 Рис. 162




§ 23. Cилы трения. Силы сопротивления среды

Согласно первому закону Ньютона для движения с постоянной ско-ростью силы не нужны. Почему же движущиеся санки, тележка, лодкаи т. д. остановятся, если мы перестанем действовать на них? Какие силы препятствуют их движению?

Санки останавливает сила трения скольжения, тележку — сила трения качения, лодку — сила сопротивления среды.Рассмотрим силу трения скольжения. Куда она направлена? Чем определя-

ется ее модуль?Проведем опыт. С помощью динамометра будем равномерно перемещать

деревянный брусок по поверхности стола (рис. 163, а). Модуль силы тре-ния Fтр будем определять по показаниям динамометра F (т. к. при равномерном

движении r rF Fтр = − ).

Рис. 163

С помощью гири увеличим силу давления rFд бруска на стол (рис. 163, б).

Опыт показывает, что при увеличении силы давления в 2, 3, 4, … раза пока-зания динамометра F увеличиваются также в 2, 3, 4, … раза. Значит, модульсилы трения скольжения прямо пропорционален модулю силы давления тела на опору:

(1)

где μ — коэффициент трения скольжения. Он зависит от свойств соприкаса-ющихся поверхностей тел: от материалов, из которых они изготовлены, от шеро-ховатости этих поверхностей, от наличия примесей и загрязнений. В таблице 2 приведены приближенные значения коэффициентов трения для

некоторых материалов.

Fтр = μ Fд,Fтр = μ Fд,


115

Таблица 2. Коэффициенты трения скольжения

Материалы Коэффициент трения

Дерево по дереву 0,3—0,5

Лед по льду 0,03

Сталь по льду 0,02

Резина по сухому асфальту 0,7

Резина по мокрому асфальту 0,4

Резина по льду 0,15

По третьему закону Ньютона сила давления бруска на стол rFд вызывает от-

ветную силу r r

N F= − д , приложенную к бруску со стороны стола (см. рис. 163). Сила

rN направлена по нормали к поверхности опоры. Ее называют нормальной

реакцией опоры. Модуль N (как и Fд) показывает, насколько сильно тело прижа-то к поверхности опоры. Поэтому вместо равенства (1) часто используют формулу

(2)

Чему в данном примере равна сила, с которой опора действует на брусок, т. е. реакция опоры? Она равна

r r rR N F= + тр (рис. 164). Значит, при наличии

силы трения реакция опоры имеет две составляющие: нормальную реакциюопоры

rN , перпендикулярную поверхности опоры, и силу трения

rFтр , параллель-

ную этой поверхности.

Зависит ли сила трения скольжения от площади сопри-косновения тел? Сравним силу трения при двух положе-ниях 1 и 2 бруска (рис. 165). Хотя площадь его контакта с доской в положении 2 меньше, показания динамометра почти не изменились. Опыты показывают: сила трения практически не зависит от площади соприкосновения тел.

Fтр = μ N.Fтр = μ N.

Рис. 164

1

2

Рис. 165

Cилы трения. Силы сопротивления среды



Этот вывод неприменим к случаям, когда площадь контакта настолько мала, что одно тело (например, игла, нож, стеклорез) может нарушить состояние поверхности другого тела — на-нести царапину, проделать бороздку и т. п.

Куда направлена сила трения скольжения? Опыты показывают (см. рис. 163, 164): сила трения скольжения направ-

лена противоположно скорости движения тела относительно опоры.

При своем движении тело тоже действует на опору си-лой трения

rF ′тp (рис. 166). Она приложена к опоре, направ-

лена по скорости тела и имеет такой же модуль, как сила трения

rFтp , действующая на тело.

Отметим, что коэффициент трения скольжения μ зависит от скорости движения тела относительно опо-ры vотн. Изменение μ незначительно (рис. 167). При решении задач, как правило, принимают μ = const. А может ли сила трения действовать на непо-

движное тело? Рассмотрим пример. Шкаф стоит на горизон-

тальном полу. На него действуют две силы: сила тяжести

rFт и сила реакции опоры

rN . Они уравно-

вешивают друг друга. Сила трения равна нулю. Приложим к шкафу внешнюю силу

rFгор , па-

раллельную полу (рис. 168). Появится сила трения покоя

rFтрпок . Пока внешняя сила мала, сила тре-

ния покоя компенсирует ее (r rF Fтрпок

гор= − ), и шкафостается в покое. При увеличении внешней силы будет расти

и сила трения покоя (рис. 169), пока шкаф не сдви-нется с места. В этот момент модуль силы трения покоя достигает своего максимального значения Fтрмакс . Оно, как показывает опыт, прямо пропор-ционально модулю силы давления Fд = N. Таким образом, 0 F Fтр

поктрмакс ;

F Fтрмакс

пок д .= μμ (3)

Коэффициент трения покоя μпок , как правило, немного больше, чем коэффициент трения сколь-жения μ (см. рис. 167, 169). Поэтому тело труднее сдвинуть с места, чем затем его перемещать.

Рис. 166

гор

макс

= 0= 0

Рис. 167

Рис. 168

Рис. 169


117

Сила трения покоя направлена противоположно горизонтальной составляю-щей внешней силы, стремящейся сдвинуть тело. Это следует из условия равно-весия

r rF Fтрпок

гор= − (см. рис. 168).

Под действием внешней силы шкаф может не сдвинуться, а перевернуться! От чего это зависит? Вы узнаете это, решив задачу 10 в конце параграфа.Отметим также, что в отличие от силы трения скольжения сила трения

покоя — это частный случай сил упругости.

А какой будет сила трения при качении тела? Опыт показывает, что при замене скольжения качением (рис. 170, а, б)

сила трения резко уменьшится (в десятки раз — для дерева по дереву, почтив сто раз — для стали по стали и т. д.).

Трение играет важную роль в технике и в повседневной жизни. Так, при отсут-ствии трения любой предмет соскользнул бы с полки при малейшем ее наклоне.И автомобиль, и пешеход не смогли бы ни начать движение, ни остановиться. По-этому трение часто стремятся увеличить. Обувь и автопокрышки делают «рельеф-ными» (рис. 171, а), дорогу зимой посы-пают песком и т. д.В то же время трение в подшипниках,

в шарнирных соединениях и т. д. является вредным. Оно приводит к износу и нагре-ванию деталей, к потерям энергии. В та-ких случаях трение стремятся уменьшить. Трущиеся поверхности шлифуют, на них наносят специальные смазки, скольжение заменяют качением (рис. 171, б). Отметим, что действие смазки состоит

в замене непосредственного контакта твер-дых тел на их контакт со слоем жидкости.

Рис. 170

Рис. 171




Можно ли путем тщательной шлифовки (полировки) поверхности свести силу трения к нулю? Оказывается, нет. Чем лучше отполированы поверхности, тем большая часть молекул одного тела вступает во взаимодействие с молекулами другого. Силы межмолекулярного притя-жения между ними препятствуют скольжению, и сила трения даже возрастает.

Рассмотрим движение тела в жидкости или газе. Здесь тоже есть силы, пре-пятствующие движению. Их называют силами сопротивления. Силы сопротив-ления в жидкости и газе возникают только при движении тела и среды друг относительно друга.Значит, сила трения покоя в жидкостях и газах равна нулю.

Поэтому человек, который не смог бы сдвинуть с места лежащую на берегу лодку, лег-ко приведет ее в движение, если она находится на плаву.

От чего зависит сила сопротив-ления? Выяснить это можно на опыте, из-

меряя силу, с которой поток газа или жидкости действует на тело (рис. 172).

Сила сопротивления зависит от следующих факторов.

а) От свойств среды: для данного тела при одной и той

же скорости сила сопротивления в воз-духе намного меньше, чем в воде, а в воде — меньше, чем в сахарном сиро-пе, и т. д.

б) От размеров тела:для тел одинаковой геометричес-

кой формы сила сопротивления прямо пропорциональна площади их попереч-ного сечения.

в) От формы тела:на рисунке 173 изображены тела

с одинаковой площадью поперечного сечения, но разной формы. Наибольшую силу сопротивления испытывает вогнутая полусфера, а наименьшую — тело кап-левидной (обтекаемой) формы. Обтекаемая форма тела у птиц и рыб сводит до минимума силу сопротивления воздуха или воды. С этой же целью обтекаемую форму придают самолетам (рис. 174, а), речным и морским судам, подводным лодкам (рис. 174, б) и т. д.

Рис. 172

Рис. 173


119

А чем обусловлена форма парашюта (рис. 174, в)? Объясните самосто-ятельно.

г) От скорости движения: сила сопротивления возрастает с увеличением скорости движения тела отно-

сительно среды. При малых скоростях она растет прямо пропорционально моду-лю скорости, а при больших — еще быстрее. Силы трения и сопротивления среды (как и силы упругости) определяются

взаимодействием молекул и, следовательно, имеют электромагнитную природу.


1. Сила трения скольжения прямо пропорциональна модулю силы давле-ния (силы нормальной реакции опоры) и направлена против скорости движе-ния тела.

2. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и состояния со-прикасающихся поверхностей, но практически не зависит от их площади.

3. Сила трения качения существенно меньше силы трения скольжения.4. Сила трения покоя возникает при наличии внешней силы, стремящейся

вызвать движение тела.5. Силы сопротивления движению тела в газе или жидкости зависят от

свойств среды, размеров и формы тела и от скорости его движения относи-тельно среды.


1. Какие виды трения вам известны?2. От чего зависит сила трения скольжения? Сила трения покоя?3. От чего зависят силы сопротивления движению тела в жидкости или газе?4. Какова природа сил трения и сил сопротивления среды?

Рис. 174





Автомобиль, имея скорость, модуль которой v1 54= кмч

, тормозит на гори-

зонтальном участке дороги до полной остановки. Коэффициент трения скольже-

ния μ = 0,30. Приняв g = 10 Нкг

, определите время торможения и тормозной путь.

Дано:

v1 54 15= =кмч

мс

v2 0=μ = 0,30g = 10 м

с2

Решение

Изобразим схематически автомо-биль и действующие на него силы (рис. 175). Сила тяжести

rFт и сила реакции

опоры r

N компенсируют друг дру-га. Их модули равны: Fт = N. Резуль-тирующая всех сил, приложенных к

t — ?s — ?автомобилю (см. рис. 175), равна силе трения. По второ-му закону Ньютона ma F

r r= тр . В проекции на ось Ох (см.

рис. 175) ma F= тр .

Поскольку F N F gmтр т= = =μ μ μ , модуль ускорения a g= μ . Учитывая, что

av

t= 1 , получим: v

tg1 = μ , откуда t

v

g= 1

μ. Подставив численные значения, находим:

t = =15

0,30 0

мс

12

5 0мс

с.,

Тормозной путь:

s at v t

t

v t= = =2

12

1

2 2 2; s = ≈

15 5 0

238

мс

с м.

,

Отве т: t = 5,0 с; s = 38 м.


1. Почему опасна езда с большой скоростью по мокрой или обледенелойдороге?

2. Почему с наступлением зимы запрещается использование «летних»автошин?

3. Как направлено ускорение, если результирующая всех сил, действующих на движущееся тело, равна силе трения?

4. График зависимости модуля силы трения от модуля внешней силы пред-ставлен на рисунке 169. При Fвнеш = 0 тело покоилось. Как двигалось тело по мере

Рис. 175


121

роста постоянной по направлению внешней силы Fвнеш? Как при этом изменялась сила трения? Какой точке графика соответствует модуль максимальной силы трения покоя? Почему точка В графика лежит ниже точки А?

5. По данным рисунка 176 найдите коэффициент трения скольжения де-ревянного бруска по деревянной доске. Движение бруска считайте равно-мерным.

6. На доске лежит книга массой т = 0,60 кг. Доску медленно наклоняют. Книга начала скользить по доске, как только угол между доской и горизонтом стал больше, чем α = 30°. Определите максимальную силу трения покоя и коэф-фициент трения покоя. Коэффициент g в данной и последующих задачах принять

равным 10 Нкг

.

7. К вертикальной стене прижали кирпич. Модуль прижимающей горизон-тальной силы F = 40 Н. Определите максимальную массу кирпича, при которой он еще не будет скользить по стене вниз. Коэффициент трения кирпича о стену μ = 0,5.

8. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m = 3,0 т, имев-

ший скорость, модуль которой v1 72= кмч

, тормозит до скорости, модуль ко-

торой v2 36= кмч

. Определите время торможения, если коэффициент трения

μ = 0,40.

9. На краю горизонтального диска радиусом R = 40 см, вращающегося

равномерно с частотой ν = 0,5 1с

, лежит шайба. Определите минимальный ко-

эффициент трения шайбы о диск, при котором шайба еще не соскальзываетс диска.

10. Человек пытается сдвинуть шкаф, прикладывая горизонтальную силу(см. рис. 168). На какой высоте h от пола ее можно прикладывать без

риска, что шкаф опрокинется? Сила тяжести шкафа приложена в его гео-метрическом центре. Ширина шкафа a = 1,2 м. Коэффициент трения покояμпок = 0,4.

11. Почему стальной шарик в воздухе падает ускоренно, а в концентрирован-ном сахарном сиропе — практически равномерно?

12. Какая из дождевых капель достигает земли быстрее — крупная или мел-кая? Считайте, что капли имеют одинаковую форму (но не размеры) и падают

с одинаковой высоты.

Рис. 176




§ 24. Движение тела под действием силы тяжести

Законы падения тел интересовали людей с древних времен. Счита-лось очевидным, что тяжелые тела падают быстрее легких. А как насамом деле?

Проведем опыт. Поместим на дно стеклянной трубки дробинку, кусочек пробки и птичье перышко. Перевернем трубку. Быстрее всех падает дробинка, медленнее всех — перышко (рис. 177, а). Означает ли это, что тяжелые тела падают быстрее легких? Не торопитесь с ответом. Откачаем из трубки воздух(рис. 177, б) и перевернем ее снова (рис. 177, в). Теперь дробинка, пробка и пе-рышко достигают дна одновременно! Тела падают по-разному не из-за различия масс, а из-за сопротивления воз-

духа. Такой вывод сделал Галилей еще в XVI в. Опыт с падением тел в трубке, из которой откачан воздух, был осуществлен Ньютоном.

Движение тела, на которое действует только сила тяжести, называ-ется свободным падением.

Почему свободно падавшие дробинка, пробка, перышко двигались одинаково? Найдем ускорение свободного падения

raсв тела

массой m. На него действует только сила тяжести rFт , модуль которой равен gm. По второму закону

Ньютона r

r

amсвт= F

. Значит, ускорение всех свобод-

но падающих тел направлено по вертикали вниз,а его модуль

a ggmсв = =m . (1)

Ускорение свободного падения для всех тел(в одном и том же месте) одинаково! В чем причина такой удивительной закономер-

ности? В том, что масса является одновременно:• мерой гравитационных свойств тел (сила

тяжести прямо пропорциональна массе);• мерой инертности тел (ускорение обратно

пропорционально массе).Именно поэтому при выводе формулы (1) масса

m попадает и в числитель, и в знаменатель и сокра-щается.Рис. 177


123

При использовании векторных обозначений ускорение свободного падения обозначают символом

rg, а силу тяжести записывают в виде mg

r.

В 7-м классе коэффициент g мы выражали в Нкг

, а согласно формуле (1)

g измеряется в мс2

. В этом нет противоречия. Докажите самостоятельно, что Нкг

мс

= 2 .

На широте Минска g = 9 813 2, ,мс

на экваторе — g = 9 780, ,мс2

на полю-

сах — g = 9 832, .мс2

Причиной зависимости ускорения свободного падения от

географической широты является вращение Земли вокруг своей оси, а также «сплюснутость» Земли у полюсов. При удалении от поверхности Земли ускоре-ние свободного падения постепенно уменьшается.

Характеристики движения свободно падающих тел (траектория, время полета и т. д.) зависят от положения точки бросания и от начальной скорости. Рассмот-рим движение металлического шарика, брошенного (рис. 178, а, б, в, г): а) вер-тикально вниз; б) горизонтально; в) вертикально вверх; г) под углом α к горизон-ту, где 0 α 90°.

Придать шарику начальную скорость можно с помощью пружинного пис-толета (см. рис. 178, б). Сила сопротивления движению шарика со стороны воздуха мала. Шарик можно считать телом, свободно падающим с ускорением r u ruug = const.

1. Тело, падающее с высоты h без начальной скорости. Движение шарика будет прямолинейным, равноускоренным. Такое движение мы изучали в кинема-тике. Для его описания выберем ось Oy (рис. 179, а) и с помощью формул из § 13 (см. табл. 1) при ay = g, v0y = 0 получим:

vy gt= ; y = gt2

2. (2)

Рис. 178

Движение тела под действием силы тяжести



Из формул (2) можно опреде-лить любую характеристику движе-ния шарика. Например, приравни-вая y = ОА = h, находим время паде-

ния: t hgпад = 2 . Затем, подставляя

tпад в формулу для vy , определяем скорость шарика в конце падения: vпад = 2gh .

2. Тело, брошенное горизон-тально. Из рисунка 179, б видно, что

шарик, брошенный горизонтально, движется по криволинейной траектории ОВ.При этом он участвует одновременно в двух движениях: перемещается вправо по горизонтали и снижается по вертикали. Для описания движения шарика введем две координатные оси (Ox и Oy). Во

время полета на шарик действует одна постоянная сила mgr

, направленная по оси Oy. Следовательно, проекции ускорения шарика: ax = 0, ay = g. В результате: • проекция скорости шарика vx и его координата x изменяются по законам

равномерного движения с начальной скоростью v0 : vx = v0; x = v0t; (3)

• проекция скорости vy и координата y — по законам равноускоренного движения без начальной скорости. Для них выполняются те же формулы (2), что и для шарика в предыдущем примере.Отсюда следует неожиданный вывод. Время полета шарика в случаях, изо-

браженных на рисунке 179, а, б, одинаково! Оно равно t hgпад = 2 и не зависит

от начальной скорости. Проверим это на опыте с помощью установки, показанной на рисунке 180.

В результате удара молотком по пластине шарик б приобретает горизонтальную на-

x

y

Рис. 179

Рис. 180


125

чальную скорость rv0 . В тот же момент шарик а начинает падение по вертикали без

начальной скорости. Шарики достигают горизонтальной поверхности одновременно. Дополнительную информацию дают фотографии шариков, сделанные через

равные промежутки времени (см. рис. 180). Они подтверждают, что движение обоих шариков по вертикали было равноускоренным (и одинаковым), а движение шарика б по горизонтали — равномерным.

Подчеркнем, что такая картина движения получается лишь при определенных условиях: ускорение

rg направлено по вертикали и одинаково для обоих шариков во всех точках тра-

екторий. Предположите, что модуль g увеличивается по мере роста координаты х. Какой из шариков упал бы первым?

Найдем горизонтальную дальность полета шарика — расстояние l от точ-ки А до места падения шарика — точки В (см. рис. 179, б). Из рисунка видно, что

расстояние l равно значению координаты x в момент падения: l hg

= v02 .

Скорость движения шарика в каждой точке направлена по касательнойк траектории (см. рис. 179, б). С помощью формул (2) и (3) находим зависи-

мость модуля скорости от времени: v v v v g tx y= + = +2 202 2 2 . В конце полета

v v gh= +02 2 . Докажите это самостоятельно.

Определим теперь форму траектории. Выразив время t из формулы (3)

и подставив его в выражение для у из формулы (2), находим: yg x

v=

2

022

.

Обозначим постоянную g

vC

2 02 = . Тогда y = Cx2 (уравнение параболы). Сле-

довательно, траектория движения тела, брошенного горизонтально, есть участок параболы с вершиной в точке бросания.

3. Тело, брошенное вертикально вверх. Шарик движется прямолиней-но: равнозамедленно при подъеме и равноускоренно при спуске. Согласно ри-сунку 181 и формулам из таблицы 1 § 13 для проекций на ось Oy имеем:

v v gty = −0 ; y v t gt= −0

2

2. (4)

Приравнивая vy = 0, находим время подъема:

t v

gп = 0 . Приравнивая y = 0, получаем полное время по-

лета: t vпол

2= 0

g. Подставляя tп в формулу для координа-

ты y из (4), определяем максимальную высоту подъема:

Hv

g= 0

2

2.

Рис. 181




4. Тело, брошенное под углом 0° α 90° к горизонту. Тело участву-ет одновременно в двух движениях: равнопеременном по вертикали с началь-ной скоростью v0y и равномерном по горизонтали со скоростью v0x (сравнитерис. 181 и 182). Зависимости от времени для проекций скорости и координат тела на оси Ox и Oy имеют вид:

vx = v0x; x = v0xt; (5)

vy = v0y − gt; y v tygt= −0

2

2. (6)

Рис. 182 L

H

Из рисунка 182 видно, что v0x = v0 cos α, v0y = v0 sin α. Поэтому максималь-ная высота H, время подъема на эту высоту tп и время полета tпол определяются формулами для шарика, брошенного вертикально вверх, в которых v0 заменили на v0 sin α:

Hv

g= 0

2 2

2

sin;

α t

v

gп = 0 sin;

α t

v

gпол = 2 0 sin.

α (7)

Умножив проекцию скорости vx на время полета tпол, получим горизонталь-ную дальность полета:

L v tx

v v

g

v

gx y= = =пол

2 20 0 02 sin

.α

(8)

При выводе формулы (8) использовалось тригонометрическое соотношение 2 sin α cos α = sin 2α. Формула (8) показывает: максимальная дальность полета получается при значении угла бросания α = 45°. Из нее также следует, что даль-ность полета прямо пропорциональна квадрату начальной скорости.С помощью формул (5) и (6) можно доказать (сделайте это самостоятель-

но), что траектория свободно падающего тела, брошенного под углом к горизон-ту, является параболой с направленными вниз ветвями и вершиной в верхней точке траектории. Этот вывод можно подтвердить на опыте со струйкой подкрашенной воды,

вытекающей из сосуда через гибкий шланг с тонким наконечником (рис. 183). Движение капель, образующих водяную струю, служит хорошей моделью дви-

жения свободно падающих тел. Для выяснения характера траектории капель фор-му струи можно сравнить с параболами, заранее нарисованными на листе картона.


127

На этой же установке можно определить экспериментально угол, при кото-ром дальность полета максимальна. Движение тел под действием силы тяжести с учетом сопротивления воздуха

и других факторов изучает баллистика (греч. ballо — бросаю).Влияние сопротивления воздуха на движение тел большой массы и малых

размеров при небольших скоростях невелико (брошенный камень, спортивное ядро и др.). В других случаях, например для волейбольного мяча, ружейной пули и т. д., сопротивление воздуха весьма существенно. На рисунке 184 изобра-жены траектории реального движения (сплошные линии) и траектории движе-ния без учета сопротивления воздуха (штриховые линии): а) для спортивного ядра; б) для артиллерийского снаряда; в) для ружейной пули.

˜̃

Рис. 183

L

Рис. 184





1. Свободным падением называют движение тела, на которое действует только сила тяжести.

2. Ускорения всех свободно падающих тел в одном и том же месте оди-наковы. Вблизи поверхности Земли модуль ускорения свободного падения g ≈ 9 8 2, .м

с

3. Свободно падающее тело участвует одновременно в двух движениях: в равнопеременном по вертикали и в равномерном — по горизонтали.

4. Траектория движения тела, брошенного горизонтально, является участ-ком параболы (если сопротивлением воздуха можно пренебречь).


1. Чем отличается движение свободного тела от свободного падения тела?2. При каких условиях падение тел можно считать свободным?3. Почему при обычном давлении воздуха перышко движется медленнее, чем дробин-ка? Движение какого из тел ближе к свободному падению?4. Почему ускорение свободного падения не зависит от массы движущегося тела?5. Что общего у движений тел, брошенных вертикально и горизонтально?6. Что такое горизонтальная дальность полета? Как ее найти?


1. С балкона десятого этажа девочка бросает своему брату связку ключей, придав ей начальную скорость

rv0 , направленную вертикально вниз. К момен-

ту приземления скорость связки стала равной rv1. Определите высоту, с которой

были сброшены ключи, и время их падения, если v0 = 5,0 мс

, v1 = 25 мс

. Сопро-

тивление воздуха не учитывать; g = 10 2мс

.

Дано:

v0 = 5,0 мс

v1 = 25 мс

g = 10 2мс

Решение

Сделаем рисунок к задаче (рис. 185).Скорости

rv0 и

rv1 связаны соотношением

r r rv v gt1 0 1= + , где

t1 — время падения. Переходя к проекциям на ось Оy, полу-чим: v1 = v0 + gt1. Тогда время падения:

tv v

g11 0

2

25 5 0

102 0= = =− −м

смс

мс

с.,

,t1 — ? h — ?


129

Высота, с которой сброшены ключи, равна значению коорди-наты y в момент их приземления:

h v ty gt= = + = + =1 0 121

2

225 0 2 0 5 0 4 0 30, , , ,м

смс

с с м.

Высоту h можно найти также по формуле v v a ry y y y2

02 2= + Δ .

Учитывая, что Δry = h, находим:

h = = = =− −

−v v

a

v v

gy y

y

12

02

12

02

2

2

2

2

22 2

625 25

2030

мс

мс

мс

м.

Отве т: t1 = 2,0 с; h = 30 м. 2. Стоящий на краю берега человек бросает в озеро камешек.

Точка бросания находится на высоте h = 1,8 м над поверхностью воды. Начальная скорость камешка

rv0 направлена горизонтально.

Камешек падает в воду на расстоянии l = 4,8 м от берега. Опреде-лите время полета камешка, модуль его начальной скорости и мо-дуль скорости, с которой он вошел в воду. Сопротивление воздуха не учитывать; g = 10 2

мс

.

Дано:

h = 1,8 мl = 4,8 мg = 10 2

мс

Решение


v0 — ?v — ?t — ?

Камешек участвует одновременно в двух движениях: равномерном со скоро-стью

rv0 по горизонтали и равноускоренном без начальной скорости по вертика-

ли. В конце полета проекции скорости на оси Ох и Оy и координаты камешка:

vx = v0; x = l = v0t; vy = gt; y h gt= =2

2.

Отсюда

t hg

= 2 ; v lt0 = ; v v v v g tx y= + = +2 2

02 2 2 .

Рис. 185

h Рис. 186




Тогда

t = =2 1 8

100 6, ,м

мс2

c; v04 80 6

8 0= =,,

, ;мс

мс

v = + =64 36 12

2

2

2мс

мс

мс

0 .

Отве т: t = 0,6 с; v0 = 8,0 мс

; v = 10 мс

.


В задачах данного упражнения пренебречь сопротивлением воздуха и принять g = 10 2

мс

.

1. С крыши 6-этажного дома высотой h = 20 м оторвался кусок льда. На ка-кой высоте он окажется через время t = 1,0 с? Через какое время он упадет на землю? Какой максимальной скорости достигнет? Выразите эту скорость в км

ч.

2. С какой скоростью нужно бросить мяч вертикально вверх, чтобы он вер-нулся назад через время t = 2,0 с? Какой высоты он достигнет?

3. Мяч брошен вертикально вверх с балкона, находящегося на высоте h = 18,2 м, со скоростью, модуль которой v0 6 0= , .м

с Через какое время он ока-

жется на уровне точки бросания? Сколько времени после этого он еще будет падать? С какой скоростью приземлится?

4. Шарик катится по направлению к краю письменного стола со скоростью, модуль которой v = 40 cм

с. Высота стола h = 125 см. На каком расстоянии от

стола упадет шарик?5. Разогнавшись до скорости

rv0 , человек прыгает с отвесной скалы в воду и

достигает поверхности воды через время t = 2,0 с. Скорость rv0 направлена гори-

зонтально, ее модуль v0 3 0= , .мс

Определите высоту скалы и расстояние от ее

подножия до точки погружения человека в воду.6. Тело брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью, мо-

дуль которой v0 20= мс

. Определите проекции этой скорости на горизонталь-ную и вертикальную оси координат. Через какое время тело достигнет верхней точки траектории? Через какое время и на каком расстоянии от точки бросания приземлится? Какой максимальной высоты достигнет?

7. Брандспойт выбрасывает воду со скоростью, модуль которой v0 15= мс

.

Под каким углом к горизонту надо направить наконечник брандспойта, что-бы вода достигла поверхности на расстоянии l = 22 м? Будет ли этот угол единственным? Высоту, на которой находится брандспойт, считать равнойнулю.


131

8. Докажите, что при значениях углов бросания α и 90°− α дальности поле-та тела будут одинаковы.

9. Чему равна горизонтальная дальность полета, если тело брошено подуглом α = 30° к горизонту с высоты h = 24 м с начальной скоростью, модулькоторой v0 14= м

с?

§ 25. Центр тяжести. Виды равновесия

Устойчивость автомобиля, корабля и т. д. зависит от расположения их центра тяжести. Что такое центр тяжести? Что такое устойчивость?

До сих пор мы рассматривали силу тяжести как одну силу, действующую на тело в целом. На самом же деле сила тяжести mg

r — это сумма сил, приложенных

к каждой части данного тела (рис. 187). Чтобы однасила mg

r произвела такое же действие, как все эти силы

вместе, она должна быть приложена к телу в строго определенной точке.

Рис. 187 Рис. 188

Точка приложения силы тяжести называется центром тяжести тела.У однородных тел правильной формы центр тяжести совпадает с его гео-

метрическим центром (рис. 188, а, б, в). Он может находиться и вне тела(рис. 188, г).Центр тяжести любого тела мож-

но найти на опыте. Подвесим тело на нити, прикрепленной к нему в точке А1 (рис. 189, а). Прочертим верти-кальную прямую А1В1. Изменим точ-ку подвеса (рис. 189, б). Прочертим вертикальную прямую А2В2.

Так как сила тяжести mgr

урав-

новешивает силу упругости нити rFупр , Рис. 189

Центр тяжести. Виды равновесия



центр тяжести тела находится на одной верти-кали с точкой подвеса. В первом случае — на прямой А1В1, а во втором — на прямой А2В2. Значит, точка пересечения этих прямых (точ-ка С) есть центр тяжести тела. Положение центра тяжести влияет на

устойчивость высотных сооружений, подъемных кранов, транспортных средств и т. д. Смещение центра тяжести из-за неправильной загрузки ко-рабля может привести к нарушению равновесия и опрокидыванию (рис. 190).Условия равновесия мы изучили в § 17. Рас-

смотрим вопрос о видах равновесия и об устойчивости тела. Проведем опыт. Установим диски А, Б и В так, чтобы они могли свобод-

но вращаться вокруг горизонтальной оси ОО (рис. 191). Пусть в начальный момент у диска А центр тяжести С находится под осью ОО (см. рис. 191, а),

Рис. 190

Рис. 191

Рис. 192

у диска Б — над ней (см. рис. 191, б), а у диска В — на этой оси (см. рис. 191, в). Все тела находятся в состоянии равновесия.Однако виды равновесия каждого из тел различны. Продолжим опыт. От-

клоним поочередно каждый из дисков от положения равновесия на малый угол и отпустим (рис. 192, а, б, в). Диск А вернется обратно, диск Б отклонитсяот положения равновесия еще больше. Диск В останется в равновесии.


133

Сделаем вывод. Существует три вида равновесия: устойчивое, неустойчи-вое и безразличное.

Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении тело возвращается в исходное положение, неустойчивым — если отдаляется от него, безразличным — если тело остается в равновесии. Почему в наших опытах тела вели себя по-разному? Все зависело от вра-

щающего момента М силы тяжести mrg относительно оси вращения (см.

рис. 192). При отклонении от начального положения в случае А момент Мстремился вернуть тело в положение равновесия, а в случае Б — еще боль-ше отклонить. В случае В вращающий момент оставался равным нулю.Рассмотрим другой практически важный случай — равновесие тела, находя-

щегося на опоре. Проведем опыт с тремя одинаковы-

ми брусками А, Б и В, расположеннымина горизонтальной доске так, как пока-зано на рисунке 193. Какой из них на-ходится в равновесии? Все три. У какого из брусков равновесие устойчиво? У всех трех (объясните почему). Но одинакова ли степень устойчи-

вости этих тел? Продолжим опыт. Нач-нем постепенно наклонять опору. Первым опрокинется брусок А, вто-

рым — брусок Б (рис. 194). Опроки-дывание бруска В произойдет при еще большем угле наклона (чтобы брусок при этом не соскальзывал, к доске приделана небольшая ступенька).Чем отличались начальные положения

брусков? Высотой расположения центра тяжести и площадью опорной площадки. Ниже всего центр тяжести у бруска В, выше всего — у бруска А. Самая

малая опорная площадка у бруска А, самая большая — у бруска В.

Значит, чем ниже расположен центр тяжести тела и чем больше опорная площадка, тем тело устойчивее.

Чем это объясняется? Опрокидывание тела происходит при таком угле на-клона, когда линия действия силы тяжести выходит за пределы опорной площад-ки (см. рис. 194). Из рисунка видно, что угол наклона тем больше, чем больше размеры этой площадки и чем ниже центр тяжести.

Рис. 193

Рис. 194




Найдите построением углы, при которых должно происходить опрокидывание тел А, Б и В, и сравните их с результатами опыта. При оценке устойчивости тела надо учиты-

вать, что опорная площадка — это часть плос-кости опоры, ограниченная прямыми, проведен-ными через крайние точки контакта тела с опорой (рис. 195). Площадь S опорной площадки может быть во много раз больше, чем площадь непо-средственного соприкосновения тела и опоры.

Положение центра тяжести можно найти путем расчетов. Рассмотрим тело, состоящее из двух гру-зов, соединенных легким стержнем, подвешенное на нити (рис. 196). При равновесии точка подвеса С совпадает с центром тяжести тела. По правилу мо-

ментов m1gl1 = m2gl2, откуда l

l

m

m1

2

2

1= . Значит, рас-

стояния от грузов до центра тяжести тела обратно пропорциональны массам грузов, и центр тяжести всегда расположен ближе к грузу большей массы.

Рассчитаем теперь положение центра тяжести тела, состоящего из трех грузов (рис. 197). Обозначим координаты грузов через x1, x2, x3, а координату центра тяжести тела — через XС.

Условие равенства моментов имеет вид: m1g l1 + m2g l2 = m3g l3, или

m1(XС − x1) + m2(XС − x2) = m3(x3 − XС).

Раскрывая скобки и перенося слагаемые с координатой XС в левую часть, получим:(m1 + m2 + m3)XC = m1x1 + m2x2 + m3x3. Отсюда

XCm x m x m x

m m m=

+ ++ +

1 1 2 2 3 3

1 2 3

.

S

Рис. 195

Рис. 196

Рис. 197


135

Аналогично для тела, состоящего из n материальных точек

XCn nm x m x m x

m=

+ + +1 1 2 2 ..., (1)

где m = m1 + m2 + … + mn. Если материальные точки не находятся на одной прямой, то для опре-деления центра тяжести вычисляют также и координаты YС и ZC:

YCn nm y m y m y

m=

+ + +1 1 2 2 ...; Z

m z m z m zm

n nC =

+ + +1 1 2 2 .... (2)

А как найти центр тяжести сплошного тела? Это можно сделать по формулам (1) и (2), рассматривая тело как состоящее из малых частей (см. рис. 187) массами m1, m2, …, mn.

Отметим также, что действие сил тяжести на деформируемое тело нельзя заменять дей-ствием одной силы mg

r, если деформациями, вызванными силами тяжести, нельзя пренебречь.

Точку с координатами XC, YC, ZC, которые определяются формулами (1), (2), называют также центром масс (или центром инерции) тела. Она важна не только как точка приложения силы тяжести. Можно доказать, что при любых приложенных к телу силах центр масс тела движется так, как двигалась бы материальная точка под действием результирующей этих сил.

Главные выводы1. Точка приложения силы тяжести тела называется центром тяжести.2. Существует три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безраз-

личное.3. Чем ниже расположен центр тяжести тела, тем оно более устойчиво.


1. Что такое центр тяжести тела?2. Где находится центр тяжести тел правильной формы? 3. Как определить центр тяжести на опыте?4. Какие виды равновесия существуют? 5. От чего зависит степень устойчивости тела?


Из однородной квадратной пластинки со стороной

а = 10 см вырезана 14

часть (рис. 198, а). Определите

положение центра тяжести пластинки с вырезом.

Дано:

а = 10 см

Решение

Для определения положения центра тяжести (точки С) вернем на свое мес-то вырезанную часть (рис. 198, б). СилахС — ? Рис. 198




тяжести всей пластинки будет равна сумме сил тяжести вырезанной части m1g и оставшейся части m2g. Относительно точки О алгебраическая сумма моментов этих сил равна нулю:

m2 g хС = m1 g l.

Отсюда xCm l

m= 1

2.

Так как m m114

= , а m m234

= , то x lС = 13

.

Поскольку плечо l

a aa= =

+2 2

4 42

24

, то xСa= =212

1 2, см.

Отве т: xС = 1,2 см.


1. Определите положение центра тяжести для однородных тел, изображен-ных на рисунке 199.

2. В каких из положений (рис. 200) шарик находится в равновесии? Какое из них устойчивое? Неустойчивое? Безразличное?

3. Два шара одинакового объема массами m1 = 2,0 кг и m2 = 4,0 кг укреплены на тонком стержне так, что их центры находятся на расстоянии l = 20 см друг от друга. Определите положение центра тяжести системы. Массу стержня не учи-тывать.

Рис. 199

Рис. 200


137

4. Одна половина прямоугольного бруска состоит из меди, другая — изалюминия. Определите положение центра тяжести бруска, если его длина l = 20 см. Плотность меди ρм

гсм3 ,= 8 9, алюминия ρал

гсм3 .= 2 7,

5. Определите угол ϕ, при котором опрокинется кубик в каждом из случаев, изображенных на рисунке 201, а, б, в. В случае а кубик деревянный, в случа-

ях б и в — склеен из двух половинок — деревянной и железной. Плотность дерева ρд

гсм3 ,= 0 7, железа

ρжгсм3= 7 8, .

6. Докажите, что у любого треугольника, выре-занного из однородной пластины, центр тяжести

находится в точке пересечения его медиан.

7. Из однородной пластинки в виде круга(рис. 202) радиусом R вырезано круглое отверстие ра-

диусом R2

. На каком расстоянии от точки О находится

центр тяжести пластинки?

Рис. 201

Рис. 202




§ 26. Закон всемирного тяготения

Скорость движения Земли по орбите превышает сто тысяч километ-ров в час. Почему же Земля не покинула Солнечную систему? Какая сила удерживает ее на орбите?

В 7-м классе вы узнали о всемирном тяготении. Силами тяготения (гра-витационными силами) притягивают друг друга все физические тела: атомы, мо-лекулы, тела обычных размеров, планеты, звезды и т. д. Почему мы не замечаем взаимного притяжения окружающих нас предметов? С какой силой Солнце при-тягивает Землю? Ответы на такие вопросы дает закон всемирного тяготения, установленный

И. Ньютоном в 1667 г. Любые два тела притягивают друг друга силами, прямо пропорцио-

нальными произведению масс этих тел и обратно пропорциональнымиквадрату расстояния между ними.

Силы тяготения rF12 и

rF21 (рис. 203) направ-

лены по линии, соединяющей тела, в противопо-ложные стороны. Их модули равны: F F F12 21= = . По закону всемирного тяготения

F G m m

r= 1 2

2 , (1)

где m1 и m2 — массы тел, r — расстояние между ними, G — гравитационная постоянная. Согласно формуле (1) гравитационная постоянная G численно равна силе

притяжения двух материальных точек массами по 1 кг, находящихся на рас-стоянии 1 м друг от друга.

Формула (1) дает точное значение F для материальных точек и однородных тел, имеющих форму шара (тогда r — расстояние между их центрами). Силу тяготения для тел произвольной формы вычисляют, разбивая условно каждое тело на малые части и суммируя силы притяжения частей одного тела к частям другого.

Значение гравитационной постоянной можно найти на опыте. Впервые такой опыт был проведен Генри Кавендишем в 1798 г. Схема установки представлена на рисунке 204. На стержне АВ закреплены

два одинаковых свинцовых шарика массой m = 775 г. Стержень подвешен на тон-кой упругой металлической нити OC и снабжен легким зеркальцем S. Такое уст-ройство называется крутильными весами.

Рис. 203


139

Притяжение шариков к тяже-лым неподвижным свинцовым ша-рам массами M = 49,5 кг вызывает поворот стержня АВ и закручивание нити OC. Угол закручивания чрез-вычайно мал. Его определяют с по-мощью луча света, отраженного от зеркальца S, и шкалы (см. рис. 204).По углу закручивания нити находят силу притяжения.

Зная массы m и M, расстояние r(см. рис. 204) и модуль силы при-тяжения F, с помощью формулы (1) можно найти гравитационную пос-тоянную G. Современные эксперименты дают значение G = −6 67384 10 11, .Н м

кг

2

2

При решении задач мы будем использовать G = −6 7 10 11, .Н м

кг

2

2

Значение гравитационной постоянной очень мало. В связи с этим крайне мала сила притяжения обычных тел друг к другу. Например, гравитационное притяжение двух стоящих рядом пудовых (16 кг) гирь меньше, чем 10−6 Н! Силы притяжения к Земле обычных тел не малы, потому что масса Земли огромна (около 6 1021 т). Закон всемирного тяготения объясняет очень многое в окружающем

мире. С помощью данного закона можно найти ускорение свободного паде-ния тел, определить массу Солнца, Земли и других планет, вычислить скорость движения орбитальной станции и т. д.

1. Ускорение свободного падения на пла-нетах. Мы знаем, что на поверхности Земли

g = 9 8 2, .мс

А как ускорение свободного падения

изменяется с высотой? Чему оно равно на других планетах? Рассмотрим тело массой m, находящееся на

расстоянии r от центра планеты массой M и ра-диусом R (рис. 205). Сила притяжения

rF тела к

планете придает ему ускорение r r

grFm

= . С уче-

том формулы (1) модуль ускорения свободного падения g Gr

Mr

= 2 . (2)

Рис. 204

Рис. 205

Закон всемирного тяготения



Так как r = R + h, где h — расстояние до поверхности планеты (см. рис. 205), то с ростом высоты h ускорение свободного падения убывает. Уменьшение не-заметно на малых высотах (т. е. при h R), но очень существенно при боль-ших h. На поверхности планеты, т. е. при h = 0, согласно формуле (2)

g GMR

= 2 . (3)

Ускорение свободного падения на поверхности планеты прямо пропорцио-нально массе планеты и обратно пропорционально квадрату ее радиуса. Рассмотрите внимательно таблицу 3.

Таблица 3. Массы, радиусы и ускорения свободного падениядля некоторых планет и их спутников

Меркурий Венера Земля Луна Марс Фобос Юпитер

Масса М, кг 3,33 1023 4,87 1024 5,97 1024 7,35 1022 6,42 1023 1,2 1016 1,90 1027

Радиус R, км 2440 6050 6370 1740 3390 12 69 900

g, мс2 3,7 8,9 9,8 1,6 3,7 0,0054 24

Сравните ускорение свободного падения на Юпитере, Луне, Фобосе с уско-рением g на Земле.

2. «Взвешивание» Земли. Выразим из формулы (3) массу планеты:

M gRG

=2

. (4)

Значит, зная ускорение свободного падения на поверхности планеты, еерадиус и гравитационную постоянную, можно определить массу планеты. Под-

ставив в формулу (4) g = 9 8, ,мс2

R = 6,4 106 м, G = −6 7 10 11, ,Н м

кг

2

2 получим

для массы Земли значение MЗ кг.= 6 0 1024,

3. Скорость движения спутника Земли по круговой орбите. За пределами ат-мосферы силы сопротивления движению спутника отсутствуют. На него действует


141

только сила притяжения к Земле. Поэтому спут-ник движется как свободно падающее тело сускорением

rgr . Оно направлено к центру ор-

биты и является центростремительным ускоре-нием:

r rg ar = цс (рис. 206). Как мы знаем из ки-

нематики, av

rцскр=2

, где vкр — модуль скорости

движения спутника на круговой орбите. Следо-

вательно, gr

v

r= кр

2

, откуда

v g rrкр .= (5)

Скорость движения тела по круговой орбите, близкой к поверхности планеты (r ≈ R), называется первой космической скоростью. Из формулы (5) значение первой космической скорости для Земли:

v gR1 7 9 8= = ≈Зкмc

кмc

, .

Второй космической скоростью v2 называют наименьшую начальную ско-рость, приобретя которую, тело сможет без дополнительных воздействий на него «уйти на бесконечность» (т. е. удалиться от планеты как угодно далеко).

Можно доказать, что v v2 12= . Для Земли v2 11≈ кмс

.

Скорость движения по круговой орбите радиусом r можно выразить через массу планеты и радиус орбиты. Подставляя gr из формулы (2) в формулу (5), получим:

v GMrкр = . (6)

Видно, что скорость vкр уменьшается при увеличении радиуса орбиты.«Взвешивание» Солнца. Чтобы «взвесить» Солнце, достаточно знать

гравитационную постоянную G, расстояние от Земли до Солнца r = 1,5 1011 ми продолжительность года T = 365,25 сут = 3,16 107 с. По значениям r и T

определяем скорость движения Земли по орбите: v rTорб

мс

= =2 3 0 104π , .

Выражая массу M из формулы (6), получим: Mr v

G= орб

2

. Подставляя сюда vорб

и r, находим массу Солнца: М = 2,0 1030 кг. Она в 330 000 раз больше массыЗемли. Аналогично про массу планеты могут «рассказать» ее спутники.

Рис. 206




Главные выводы1. Любые два тела притягивают друг друга силами, прямо пропорциональ-

ными произведению масс этих тел и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.

2. Гравитационная постоянная G показывает, с какой силой притягиваются материальные точки массами по 1 кг на расстоянии 1 м друг от друга.

3. Ускорение свободного падения на поверхности планеты прямо пропор-ционально ее массе и обратно пропорционально квадрату радиуса планеты.

4. Скорость движения спутника по круговой орбите, близкой к поверхности

планеты, называется первой космической скоростью. Для Земли v1 8≈ кмс

.


1. Какая сила действует между всеми телами? Почему мы не замечаем взаимного притяжения окружающих нас предметов?2. Как изменяется сила тяготения при увеличении расстояния между телами?3. Какой физический смысл имеет гравитационная постоянная G? Как найти ее на опыте?4. Что понимают под первой космической скоростью? Чему равна эта скорость для Земли?5. Как определить массу Земли?6. Как, зная период обращения вокруг планеты ее спутника и радиус его орбиты, найти массу планеты?7. Почему Луна не падает на Землю? Почему Земля не падает на Солнце, но и не покидает Солнечную систему?


Геостационарным называют спутник, постоянно находящийся над определен-ной точкой поверхности Земли. Такие спутники широко используются как спут-ники связи. Определите радиус орбиты геостационарного спутника и его высоту над поверхностью Земли.

Решение

Орбита геостационарного спутника — окружность, лежащая в экваториаль-ной плоскости Земли (рис. 207). Период обращения такого спутника должен сов-падать с периодом Т вращения Земли вокруг своей оси (24 ч). Хотя геостационарный спутник неподвижен относительно Земли, он дви-

жется ускоренно относительно инерциальной системы, связанной со звездами.

Его центростремительное ускорение a rTцс = 4 2

2π создано силой тяготения Земли.


143

Приравнивая aцс к ускорению свободного падения gr, которое согласно формулам

(2) и (3) равно g Rr

2

2 , получим: 4 2

2

2

2π rT

Rr

g= .

Отсюда радиус орбиты r g R T=2 2

243

π. Подставляя g = 9,8 м

с2, радиус Земли

R = 6,4 106 м и период обращения Т = 24 ч = 8,64 104 с, находим: r = 4,23 107 м. При таком радиусе орбиты расстояние до поверхности Земли составит: h = r − R = 3,6 104 км. Более точные расчеты дают: h = 35 786 км.


1. Как изменится сила тяготения между двумя материальными точками, если расстояние между ними уменьшится в k = 3 раза?

2. Изменится ли сила тяготения между двумя телами, если массу одного из них увеличить в два раза, а расстояние между ними в два раза уменьшить?

3. В одном из опытов по проверке закона всемирного тяготения сила притя-жения между свинцовым шаром массой m1 = 5,0 кг и шариком массой m2 = 100 г была равна F = 6,8 10−9 Н. Расстояние между центрами шаров r = 7,0 см. По этим данным определите гравитационную постоянную.

4. Определите ускорение, вызванное силой тяготения, на высоте h = 2RЗ от поверхности Земли, если на ее поверхности оно равно g = 9,81 м

с2.

5. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в k = 3 раза? Радиус Земли RЗ = 6,4 106 м.

6. Определите период обращения Международной космической станции (МКС), считая, что она движется по круговой орбите, находящейся на рас-

стоянии h = 430 км от поверхности Земли.7. Вокруг одной из планет Солнечной системы по круговой орбите радиусом R = 9400 км обращается спутник. Период его обращения Т = 7 ч 40 мин. Оп-

ределите массу планеты. О какой планете идет речь?

Рис. 207




§ 27. Вес. Невесомость и перегрузки

Всегда ли вес равен силе тяжести? При каких условиях наступает не-весомость? Можно ли испытать состояние невесомости, не отправляясь в космос?

В 7-м классе вы узнали, что вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или на подвес из-за притяжения тела к Земле.

Вес нельзя путать с силой тяжести. Сила тяжести mg

r — это сила тяготения,

действующая со стороны Земли на тело. Она приложена к телу в его центре тяжести (рис. 208, а, б). Вес

rP — это сила, с которой тело дейст-

вует на опору (см. рис. 208, а) или на подвес (см. рис. 208, б). Он приложен к опоре или к подвесу. В дальнейшем, для краткости, будем говорить только об опоре.

Вес возникает от того, что под действием силы тяжести тело стремится дви-гаться вниз, а опора препятствует этому движению. Именно поэтому тело давит на опору силой

rP. В ответ на силу

rP опора действует на тело силой реакции

rN (см. рис. 208, а, б). Вес

rP и сила

rN имеют одинаковую природу — это силы

упругости. Непосредственное измерение веса тела можно провести на пружинных весах.Как связаны между собой вес и сила тяжести? Проведем простой опыт. На чашку пружинных весов положим тело массой

m = 1 кг. Весы покажут P = 9,8 Н, т. е. P = mg. Результат находится в полном согласии с законами Ньютона. По первому закону силы, действующие на по-коящееся тело, компенсируют друг друга:

mg Nr r

= − . (1)

По третьему закону Ньютона

r rP N= − . (2)

Из равенств (1) и (2) следует: r rP mg= .

Но всегда ли вес равен силе тяжести?Продолжим опыт в кабине лифта. Если лифт движется равномерно, то пока-

зания весов будут такими же, как в состоянии покоя. Вес rP тела, движущегося

Рис. 208


145

равномерно и прямолинейно (как и покояще-гося), равен силе тяжести mg

r.

Пусть теперь кабина лифта движется с ускорением

ra. При ускорении, направ-

ленном вверх (рис. 209, а), тело сильнее давит на опору и его вес увеличивается(P mg).При ускорении лифта, направлен-

ном вниз (рис. 209, б), вес уменьшается (P mg). Если же кабина лифта будет дви-гаться с ускорением

r ra g= , то опора не бу-

дет препятствовать свободному падению гру-за, и показания весов станут равными нулю. Исчезнет не только давление любого тела на опору, но и давление одних частей тела на другие. Возникнет состояние невесомости.

В состоянии невесомости находятся все свободно падающие тела.Как вычислить вес ускоренно движущегося тела?Для тела в ускоренно движущемся лифте по второму закону Ньютона

mg N mar r r

+ = . Значит, при r ra ≠ 0 вместо равенства (1) получится:

mg ma Nr r r

− = − . (3)

Из равенств (3) и (2) следует:

r r rP m g a= −( ). (4)

Формула (4) справедлива при любом направлении ускорения. Необходимо только помнить, что

ra — это ускорение движения тела (вместе с опорой) отно-

сительно инерциальной системы отсчета. Числовое значение веса тела определяется модулем вектора

rP:

P m g a= −r r

. (5)

Найдите, каким будет вес тела массой m = 1 кг для значений a = 4 9, мс2

и

a = 9 8, мс2

при ускорении, направленном: а) вверх; б) вниз.

Рассмотрим еще один пример. Пусть космический корабль находится далеко от планет и Солнца. Силы их гравитационного действия на корабль пренебре-жимо малы. Двигатель корабля сообщает ему ускорение

ra.

Каким будет вес находящегося на корабле космонавта? Так как сила тя-жести отсутствует, то по формуле (4) его вес

r rP ma= − . Вес не равен нулю

Рис. 209

Вес. Невесомость и перегрузки



и направлен противоположно ускорению корабля. Значит, вес может воз-никнуть и при отсутствии силы тяжести! Если при этом a = 9 8, ,м

с2 то

вес (и все связанные с ним ощущения) у космонавта будут такими же, как наЗемле.

Изменение веса тела, обусловленное ускоренным движением, характеризуют перегрузкой Q. Ее определяют как отношение веса тела Р в рассматриваемых условиях к весу неподвижного тела на поверхности Земли. Согласно формуле (5)

Q Pmg

g a

g= =

−r r

.

При r ra g= (т. е. при невесомости) Q = 0. В ракете, стартующей с Земли вер-

тикально с ускорением ra, перегрузка Q a

g= +1 .

Большие перегрузки испытывают космонавты на участке разгона космичес-кого корабля ракетой-носителем. По окончании работы двигателей и выходу за пределы атмосферы перегрузки сменяются состоянием невесомости. В состоя-нии длительной невесомости находится экипаж орбитальной станции.Чтобы благополучно перенести перегрузки и длительную невесомость, тре-

буется специальная подготовка. Для получения контролируемых перегрузокиспользуется центрифуга (рис. 210, а). Состояние невесомости, длящееся около одной минуты, достигается в самолете (рис. 210, б), движущемся по баллисти-ческой траектории (для этого двигатели самолета должны все это время компен-сировать силу сопротивления воздуха). Для подготовки к работе в невесомости эффективны и тренировки под во-

дой (рис. 210, в). Подчеркнем, однако, что в этом случае вес человека имеет

Рис. 210


147

обычное значение: опорой служит вода, а силой реакции опоры является сила Архимеда.

Перегрузки и невесомость можно испытать, не отправляясь в полет. Пере-грузки возникают при движении с разго-ном, торможением, резкими поворотами (рис. 211). Состояние, близкое к неве-сомости, испытывает человек во время прыжка.

Главные выводы1. Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору (подвес) из-за

силы тяжести (или ускоренного движения).2. Сила тяжести приложена к телу, а вес тела — к опоре или подвесу. 3. Свободно падающие тела находятся в состоянии невесомости.


1. Что такое вес? Чем он отличается от силы тяжести?2. В каких условиях вес P равен силе тяжести mg? P mg? P mg? 3. При каких условиях наступает состояние невесомости?4. Что называется перегрузкой?

5. Может ли вес быть направлен вертикально вверх?

6. Может ли вес быть не равен нулю, если сила тяжести равна нулю?


Человек массой m = 60 кг, находящийся в кабине лифта, движущейся вниз, давит на пол кабины силой

rF (рис. 212).

Определите ускорение кабины лифта, если F = 690 Н. Примите g = 10 2

мс

.

Дано:

m = 60 кгF = 690 Hg = 10 2

мс

Решение

На человека в кабине лифта (cм. рис. 212) действуют сила тяжести mg

r и сила реакции

пола r

N .

По второму закону Ньютона ma mg N

r r r= + .a — ?

Рис. 211

Рис. 212

Вес. Невесомость и перегрузки



По третьему закону Ньютона r r

N F= − .

Тогда ma mg Fr r r

= − . В проекции на ось Оу: maу = mgy − Fy = −mg + F.

Отсюда aуF mg

m= −

; aу = =−690 60060

1 5 2

Н Нкг

мс

.,

Так как ay 0, ускорение кабины направлено вверх, хотя она опускается. Значит, кабина движется замедленно (с торможением).

Отве т: a = 1 5 2, ;мс

ускорение кабины лифта направлено вверх.


Во всех задачах данного упражнения считать g = 10 2мс

.

1. В кабине подъемника лежит груз. Когда кабина неподвижна, вес груза P = 2,0 кН. В движущейся с постоянным ускорением кабине вес груза больше на ΔP = 200 H. Определите модуль и направление ускорения кабины подъемника.

2. Шарик, висящий на пружине в кабине неподвижного лифта, растягивает пружину на x1 = 3,0 см. В движущейся вверх с постоянным ускорением кабине лифта растяжение пружины стало равным x2 = 6,0 см. Определите модуль уско-рения кабины лифта.

3. Автомобиль массой m = 4,0 т движется по выпуклому мосту радиусом кривизны R = 100 м. Модуль скорости автомобиля постоянен и равен v = 54 км

ч.

Найдите вес автомобиля в верхней точке траектории.4. Используя числовые данные предыдущей задачи, найдите вес автомобиля

в нижней точке траектории при движении по вогнутому мосту.5. Время разбега самолета перед взлетом с палубы авианосца t = 3,0 с. Дли-

на разбега s = 108 м. Каким был вес пилота массой m = 70 кг во время разбе-га самолета? Какую перегрузку испытывал пилот? Движение самолета считать равноускоренным, палубу — горизонтальной.

6. Груз подвешен к пружинному динамометру. Показания динамометра F = 34 Н. Определите массу груза, если взвешивание проведено в вагоне поез-да, который движется по закругленному участку пути радиусом R = 75 м. Учас-ток пути горизонтален. Модуль скорости поезда постоянен и равен v = 72 км

ч.



150 Законы сохранения

§ 28. Импульс тела. Импульс системы тел

Еще в XVII в. в механике появилось понятие «количество движения».В настоящее время количество движения тела называют импульсом тела. Чему он равен? Зачем введена эта физическая величина?

В механике Ньютона импульсом тела называется произведение массы тела на скорость его движения:

r rp mv== . (1)

Слово «импульс» происходит от ла-тинского impulses — толчок. Импульс тела — векторная величина. Он на-правлен так же, как скорость движения тела. Единица импульса в СИ — 1 ки-

лограмм-метр в секунду 1кг мс( ).

Импульс тела определяется не толь-ко скоростью, но и массой. Например, импульс перевозящего груз самосвала БЕЛАЗ во много раз больше импульса

мчащегося гоночного автомобиля (рис. 213, а, б).Согласно первому закону Ньютона скорость свободного тела, а значит, и

его импульс постоянны. Изменить импульс тела можно, только приложив к нему силу.Рассмотрим пример. Тележку массой m, имеющую начальную скорость

rv1, в

течение промежутка времени Δt разгоняют, действуя постоянной силой rF

(рис. 214). Насколько изменится импульс тележки? Силами сопротивления можно пренебречь, силы

rN и mg

r компенсируют

друг друга. Тогда по второму закону Ньютона

ma Fr r

= .

Подставляя в эту формулу ускорение r r r

av v

t= −2 1

Δ, полу-

чим mv mv F tr r r

2 1− = Δ . Действие сил привело к изменению

импульса тележки:

Δr rp F t= Δ . (2)

1

2

2

Рис. 214

Рис. 213


151Импульс тела. Импульс системы тел

Опыты показывают: равенство (2) справедливо для любого тела при движе-нии под действием любых сил. При этом под

rF следует понимать результирую-

щую всех сил, приложенных к телу.

Если силы, действующие на тело, были непостоянными, то rF надо считать

средней за промежуток времени Δt результирующей силой.

Величину rF tΔ называют импульсом силы.

Импульс силы — это векторная величина, равная произведению силы и времени ее действия.Формула (2) выражает закон изменения импульса тела.Изменение импульса тела равно импульсу результирующей всех сил, при-

ложенных к нему.Из данного закона следует:• изменение импульса тела Δ

rp направлено так же, как результирующая сила

rF ;

• изменение импульса тела тем больше, чем больше приложенная к нему сила и чем продолжительнее время ее действия.Формулу (2) можно записать в виде

ΔΔ

r rpt

F= . (3)

Равенство (3) соответствует формулировке, которая была дана основному закону динамики самим Ньютоном: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по прямой, по которой эта сила действует».

Закон изменения импульса объясняет целый ряд явлений повседневной жизни. Проделаем простой опыт. Возь-

мем две нити: обычную 1 и резиновую 2 (рис. 215) одинаковой прочности и длины. Привяжем их к одинаковым грузам и да-дим им возможность падать с одинаковой высоты. Нить 1 порвется, а нить 2 — нет (см. рис. 215). Почему это происходит?Дело в том, что время торможения Δt

для груза на обычной нити было во много раз меньше, чем для груза на резиновой, легко деформируемой нити. А из формулы (3) следует, что сила тем больше, чем меньше Δt (при равных изменениях имульса).Это необходимо учитывать в технике. Нельзя делать резких рывков при

подъеме грузов и при буксировке транспортных средств. Может произойти обрыв троса.

Рис. 215



Чтобы избежать тяжелых последствий при столкновениях, следует увеличить время, за которое «гасится» импульс. Для этого вагоны снабжают буферными пру-жинными амортизаторами (рис. 216, а), автомобили — бамперами, ремнями без-опасности, автоматически срабатывающими воздушными подушками (рис. 216, б).И наоборот, для получения больших сил используют удар, при котором им-

пульс изменяется очень быстро. Примерами служат забивание свай падающим «молотом» (рис. 217), разрушающее действие пуль, снарядов и т. д.Мы рассмотрели изменение импульса одного тела. А как изменяется суммарный

импульс нескольких тел? В механике группу из несколькх тел называют механи-ческой системой. Тела, не входящие в систему, называются внешними телами.Например, механической системой является пассажирский вагон В2

(рис. 218). В механическую систему В2 входят: корпус вагона, его ходовая часть,

Рис. 217Рис. 216

Рис. 218


153

люди, находящиеся в вагоне, багаж и т. д. Внешними телами будут: Земля, локомотив, рельсы, остальные вагоны поезда и т. д. Силы взаимодействия тел системы друг

с другом называют внутренними. Силы, действующие на тела системы со стороны внешних тел, — внешними силами. Раз-беритесь самостоятельно, какие силы бу-дут внутренними, а какие внешними в при-мере с вагоном. Каждое из тел механической системы

имеет свой импульс. Векторная сумма им-пульсов всех тел, входящих в систему, на-зывается импульсом механической си-стемы: r r r r

p p p pnсист = + + +1 2 ... ,

где n — количество этих тел. На рисунке 219 n = 6. Рассмотрим систему из двух тел (1 и 2) (рис. 220). Силы их взаимодействия

rF12 и

rF21 — это внутренние силы. На тела 1 и 2 действуют также и внешние

силы: rF1 и

rF2 (см. рис. 220). За время Δt из-за действия сил произойдет из-

менение импульса:

• для тела 1: Δ Δr r rp F F t1 21 1= +( ) ;

• для тела 2: Δ Δr r rp F F t2 12 2= +( ) ;

• для всей системы:

Δ Δ Δ Δr r r r r r rp p p F F F F tсист = + = + + +1 2 21 1 12 2( ) .

По третьему закону Ньютона сумма сил взаи-модействия

r r rF F21 12 0+ = . С учетом этого

Δ Δ Δr r r rp F F t F tсист внеш= + =( ) .1 2

А если в механическую систему входит больше двух тел? Сумма всех внут-ренних сил будет по-прежнему равна нулю, и результат останется таким же:

Δ Δr rp F tсист внеш ,= (4)

где rFвнеш — результирующая всех внешних сил, действующих на тела системы.

Формула (4) выражает закон изменения импульса механической системы.

3

cист

4

5

6

Рис. 219

Рис. 220

Импульс тела. Импульс системы тел



Изменение импульса механической системы равно импульсу результирую-щей внешних сил.Таким образом, только внешние силы могут вызвать изменение импульса ме-

ханической системы. Внутренние силы могут изменить импульс любого тела си-стемы, но не импульс механической системы в целом.Вернемся к примеру с движущимся вагоном. Какая сила увеличивает им-

пульс вагона на участке разгона? Какие силы уменьшают импульс вагона при его торможении? Могут ли пассажиры, находящиеся в вагоне, вызвать изменение импульса механической системы В2? Обсудите это с учителем.

Равенства (3) и (4) так же, как и (2), можно использовать при непостоянных силах, считая, что

rF и

rFвнеш — это средние за промежуток времени Δt силы.

Главные выводы1. Импульс тела равен произведению массы тела на скорость его дви жения. 2. Направление импульса тела совпадает с направлением его скорости.3. Изменение импульса тела равно импульсу результирующей всех сил,

приложенных к нему.4. Изменить импульс механической системы могут только внешние силы.

Это изменение равно импульсу результирующей внешних сил.


1. Что такое импульс тела? Как он направлен? В каких единицах измеряется?2. Как можно изменить импульс тела? Чему равно это изменение? Куда оно направ-лено?3. Что такое механическая система? Чему равен ее импульс?4. Что такое внутренние силы? Внешние силы?5. Какие силы могут вызвать изменение импульса механиче-ской системы? Почему?


Шарик массой m = 0,10 кг свободно падает без началь-ной скорости с высоты h = 0,20 м на горизонтальную пли-ту и отскакивает от нее. Считая, что модули скорости ша-рика перед ударом и сразу после удара равны (рис. 221), определите среднюю силу, с которой шарик во время уда-ра действовал на плиту. Время соударения Δt = 5,0 10 −3 с; g = 10 м

с2.

Рис. 221


155

Дано: m = 0,10 кгh = 0,20 мΔt = 5,0 10−3 сv2 = v1 g = 10 м

с2

РешениеТак как на шарик во время удара действуют сила тяжести

и сила, приложенная к нему со стороны плиты, то изменение импульса шарика за время удара Δ Δ

r r rp mg F t= +( ) ,пл где

rFпл —

средняя сила действия плиты на шарик.Отсюда

r r rr r r

F mg mgpt

mv mv

tпл = − = −−ΔΔ Δ

2 1 ,F — ?

где rv1 — скорость шарика перед ударом, а

rv2 — сразу после удара.

В проекции на ось Оу:rF mg mg

mv mv

t

m v v

tпл = = +− −+

+2 1 2 1( ) ( ).

Δ Δ

Так как шарик свободно падал без начальной скорости с высоты h, то

v gh1 2= . По условию задачи v2 = v1. Значит,

F mgm gh

tпл .= +2 2

Δ

По третьему закону Ньютона средняя сила, с которой шарик во время удара

действовал на плиту, r rF F= − пл . В результате для модуля F получим:

F F mgm gh

t= = ++ = −пл

кгмс

м

скг

2 2 2 0 102 10 0 20

5 0 10

2

3 0 10 10Δ

,,

,, мм

с2Н.= 81

Сила, с которой шарик во время удара действовал на плиту, направлена по вертикали вниз. Модуль средней силы удара в 81 раз больше, чем вес шарика.

Отве т: F = 81 Н.


1. Пуля массой m = 20,0 г вылетает из ствола пневматического пистолета со

скоростью, модуль которой v = 200 мс

. Определите модуль импульса пули.

2. При движении по прямолинейному участку шоссе модуль скорости автомо-биля массой m = 1,0 т изменился от v1 = 36 к

чм до v2 = 72 к

чм . Определите мо-

дуль изменения импульса автомобиля. Чему равен модуль результирующей всех сил, приложенных к автомобилю, если он разгонялся равноускоренно в течение промежутка времени Δt = 3,0 мин? Как направлена результирующая сила?

Импульс тела. Импульс системы тел



3. Легкоатлет массой m бежит по круговой дорожке со скоростью, мо-дуль которой v постоянен. Определите модуль изменения импульса легкоатлета за каждый из промежутков времени: Δt1 = T

4, Δt2 = T

2, Δt3 = Т, где Т — вре-

мя пробега одного круга.4. Молекула массой т = 2,0 10−26 кг летит со скоростью, направленной

под углом α = 60° к поверхности стенки сосуда. Модуль скорости v = 450 мс

. После удара о стенку молекула под таким же углом и с такой же по модулю ско-ростью отскакивает от нее. Определите изменение импульса молекулы.

5. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» приведен рассказ барона: «Однажды попробовал я перепрыгнуть через болото верхом на коне. Но конь не допрыгнул до берега, и мы шлепнулись в жидкую грязь. Шлепнулись и стали тонуть... Что было делать?.. Схватив себя за волосы, я изо всех сил дернул вверх и без большого труда вытащил из болота и себя, и своего коня, которого сжал обеими ногами...» Докажите, что такой способ спасения невозможен.

§ 29. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Знаменитый французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650) утверждал: «Во Вселенной есть известное количество движения, которое никогда не изменяется. И если одно тело приводит в движение другое, то оно теряет столько своего движения, сколько его сообщает». Как вывести это утверждение из закона изменения импульса?

В предыдущем параграфе мы доказали, что импульс системы тел может из-мениться только под действием внешних сил:

Δ Δr rp F tсист внеш= . (1)

А если внешних сил нет или их результирующая rFвнеш равна нулю? Тогда из-

менение импульса Δr rpсист = 0, и импульс системы остается постоянным (сохраня-

ется):

r u ruuuuupсист const.= (2)

Векторное равенство (2) выражает закон сохранения импульса.Импульс механической системы сохраняется, если векторная сумма внеш-

них сил, действующих на нее, равна нулю.

Закон сохранения импульса — один из наиболее точных и общих законов физики. Он под-твержден огромным количеством экспериментов и наблюдений в обычных масштабах, в микро-мире и космосе. Он справедлив как в механике Ньютона, так и в механике релятивистских ско-ростей (v c).


157

Систему тел, на которую не действуют внешние тела, называют замкнутой системой. Импульс такой системы сохраняется всегда, как и предполагал Декарт.Реальные механические системы никогда не бывают абсолютно замкнутыми.

На все окружающие нас тела действует Земля, на Землю действует Солнце и т. д. Однако закон сохранения импульса можно применять не только для замк нутых систем, но и для незамкнутых, если:

• внешние силы действуют, но их результирующая равна нулю; • внешними силами можно пренебречь по сравнению с внутренними.Это можно сделать, например, в задачах о столкновениях тел, выстрелах,

взрывах, когда в течение крайне малых промежутков времени внутри системы возникают огромные силы.Рассмотрим пример. Деревянный кубик

массой М лежит на горизонтальном столе.В кубик попадает пуля массой m и застревает в нем (рис. 222). Скорость пули горизонталь-на, модуль скорости пули перед попаданием равен v0. Требуется найти скорость

rv, которую

приобрел кубик. Замкнута ли система «кубик + пуля»? Нет. Но сила тяжести системы урав-

новешивается реакцией опоры, а сила трения кубика о поверхность стола гораздо меньше силы, с которой на кубик действует пуля во время удара. Тогда согласно равенству (2) можно приравнять импульс системы «кубик + пуля» до попадания пули к импульсу этой системы после попадания:

mv m М vr r

0 = +( .)

Значит, скорость кубика вместе с пулей после удара

r rv vm

m М=

+ 0. (3)

Соударения, в результате которых тела объединяются и затем движутся (или покоятся) как единое целое, называют абсолютно неупругим ударом.Рассмотренный пример — частный случай такого удара. Другими примерами

являются соединение вагонов при сцепке, слипание пластилиновых шариков при соударении и т. д.

Для абсолютно неупругого удара легко найти конечную скорость при лю-бом числе тел и любых начальных скоростях. Пусть т1, т2, … тп — массы тел,а

rv1,

rv2 , ...

rvn — их скорости до удара. По закону сохранения импульса

m v m v m v m m m vn n n1 2 2 1 21

r r r r+ + + + + + ... ( ... ) ,=

где rv — скорость объединенного тела после удара. Из полученного равенства

Рис. 222

Закон сохранения импульса. Реактивное движение



r r r r

vm v m v m v

m m mn

n

n= + + ++ + +

1 1 2 2

1 2

...

.... (4)

Рассмотрим еще один пример абсолютно неупругого удара, который легко осуществить на опыте (рис. 223). Тележка с ящиком, наполненным песком, стоит на гладкой горизонтальной

поверхности. Масса тележки (вместе с ящиком и песком) равна М. Шар массой m, скатываясь по желобу, имеющему угол наклона ϕ, набирает скорость

rv1 и

попадает в песок. Тележка приобретает скорость rv.

N

МРис. 223

Как найти эту скорость? Введем оси Оx и Oy и рассмотрим изменение проекций импульса системы

«шар + тележка» на эти оси. Из векторного равенства (1) следует:

Δ Δp F tx xсист внеш = ; Δ Δp F ty yсист внеш = .

Так как по условию задачи силой сопротивления движению тележки можно пренебречь, то все внешние силы, действуюшие на систему (сила тяжести ша-рика mg

r, тележки Mg

r и реакция опоры

rN ), направлены по вертикали. Зна-

чит, проекция Fвнеш х = 0, Δрсист х = 0 и рсист х = const.Приравнивая значения проекции рсист х до и после удара, получим:

mv m M v1 cos ( ) .ϕ = + Отсюда модуль скорости движения тележки вместе с ша-ром:

vmv

m M=

+1cos ϕ

.

В то же время проекция рсист у и вектор rpсист в результате падения шара на

тележку изменились. Почему? Чтобы ответить на этот вопрос, обратите внима-ние на то, что во время удара шара о песок реакция опоры была гораздо боль-ше силы тяжести.Сделаем вывод. Если равна нулю проекция результирующей внешних

сил на какую-либо ось координат, то для решения задачи можно исполь-зовать «закон сохранения проекции импульса системы» на эту ось.


159

Рассмотрим теперь пример, в котором происходит не объединение, а раз-деление частей системы.На горизонтальном рельсовом пути находится платформа (рис. 224) с закре-

пленной на ней пушкой. Установка может свободно катиться по рельсам. Ствол ору-дия горизонтален. Пушка производит вы-стрел. Платформа приобретает скорость, направленную противоположно выстрелу. Как найти скорость платформы? Сила тяжести, действующая на уста-

новку, компенсирована силой реакции рельсов. Трением качения можно пренебречь. Значит, результирующая внешних сил

r rFвнеш = 0. Поэтому к системе «установка + снаряд» можно применить закон

сохранения импульса.Так как импульс системы до выстрела был равен нулю, то

m v m v1 1 2 2 0r r r

+ = , (5)

где m1 — масса установки, m2 — масса снаряда, а rv1 и

rv2 — их скорости пос-

ле выстрела. Из равенства (5) находим скорость платформы:

r rv v

m

m1 22

1= − . (6)

А какую скорость приобретет платформа, если выстрел произведен под углом α к горизонту? Убедитесь, что в этом случае сохраняется проекция им-пульса системы на горизонтальное направление. Докажите, что модуль скорости

платформы после выстрела будет равен v vm

m1 22

1= cos α.

Почему платформа пришла в движение? Потому что пороховые газы, обра-зовавшиеся в канале ствола, действовали как на снаряд, так и на пушку. Сила, приложенная к пушке, вызвала «отдачу». Явление «отдачи» можно показать на простом опыте. Прикрепим к игру-

шечному автомобилю надутый воздушный шарик (рис. 225). Проколем его в точ -ке А иглой. Образуется струя воздуха, выры-вающегося из шарика, и автомобиль приходит в движение. Обычно для набора скорости тело отталкивается от окружающих тел: дорожногопокрытия, водной или воздушной среды и т. п. В нашем опыте автомобиль вместе с шари-ком «отталкивался» от воздуха, запасенного внутри системы.

Рис. 224

Рис. 225

А




Сила, ускорявшая автомобиль, называется реак-тивной.

Реактивная сила возникает при отделении от тела какой-либо его части с некоторой скоростью. Устройство, создающее реактивную силу, называет-

ся реактивным двигателем.

Реактивную силу используют некоторые морские животные, например кальмары, осьминоги. Они засасывают воду внутрь, а затем резко выталкивают ее. «Реактивный двигатель» кальмара

позволяет ему развивать скорость до 100 кмч

! Первые реактивные

двигатели, созданные человеком (пороховые фейерверочные и сиг-нальные ракеты), появились в Китае около десяти веков тому назад.

Выдающуюся роль реактивные технологии приобре-ли во второй половине ХХ в. Реактивными двигателями оснащены скоростные самолеты, современные космиче-ские корабли (рис. 226). Так как в космосе нет среды, от которой можно «отталкиваться», единственная воз-можность достичь космических скоростей и управлять движением космических аппаратов — использование реактивных двигателей. Упрощенная схема реактивного двигателя показана на рисунке 227.

Какую скорость приобретет ракета, если ее двига-тель выбросит порцию газа массой m со скоростью

rvг ?

Для решения можно использовать формулу (6) (объясните самостоятельно почему). Тогда модуль ско-рости, приобретаемой ракетой

v vmM

= г, (7)

где M — масса ракеты с оставшейся частью топлива.Значит, ракета набирает тем боЂльшую скорость,

чем больше скорость истечения газов из ее сопла и чем меньше ее масса. Отсюда понятна выгода исполь-зования многоступенчатых ракет (см. рис. 226). По мере выгорания топлива в ступенях их отделяют. Уменьшение массы ракеты об-легчает ее дальнейший разгон. С помощью многоступенчатых ракет выводят на орбиту искусственные спутники Земли, исследуют околоземное и межпланетное космическое пространство.

Рис. 226

Рис. 227


161

Идея использования ракет для космических полетов развивалась уже в на-чале ХХ в. Русский ученый К. Э. Циолковский (1857—1935) разработал схему многоступенчатой ракеты, рассмотрел влияние атмосферы на ее движение, под-твердил расчетами реальность выхода в космическое пространство с помощью ракет, высказал идею создания околоземных станций.

4 октября 1957 г. в СССР под руководством С. П. Королева был запущен первый в мире искусственный спутник Земли, а 12 апреля 1961 г. был осущест-влен первый полет человека в космическом пространстве. Летчик-космонавтЮ. А. Гагарин облетел земной шар на космическом корабле «Восток». В 1969 г. американские астронавты Н. Армстронг и Э. Олдрин впервые в истории высади-лись на поверхность Луны.Ракетно-космические исследования стали неотъемлемой частью современной

цивилизации.Среди космонавтов есть уроженцы Беларуси: П. И. Климук, В. В. Коваленок,

О. В. Новицкий.Беларусь входит в число космических держав. С космодрома «Байконур»

22 июля 2012 г. на орбиту высотой 500 км был запущен Белорусский космиче-ский аппарат (БКА) — спутник массой 400 кг. Он обеспечивает дистанционное зондирование территории Беларуси путем съемки из космоса.

Главные выводы1. Если сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы сохраняется.2. Закон сохранения импульса можно применить к незамкнутым систе-

мам, если внутренние силы значительно больше внешних.3. Реактивная сила возникает при отделении от тела какой-либо его ча-

сти с некоторой скоростью.


1. Что произойдет с импульсом системы, если на нее перестанут действовать внеш-ние силы?2. В каких случаях к незамкнутой системе можно применять закон сохранения им-пульса?3. В каких случаях сохраняется проекция импульса на данную координатную ось?4. Какую силу называют реактивной? Приведите примеры.5. За счет чего увеличивается скорость ракеты в процессе ее движения?6. Почему для запуска космических кораблей используются многоступенчатые ра-кеты?





1. Два вагона массами m1 10 т и m2 20 т двигались по горизонталь-ному участку пути навстречу друг другу. Модули скорости движения вагонов

v1 = 0,1 мс

и v2 = 0,2 мс

соответственно. Определите модуль и направление ско-

рости движения вагонов после срабатывания автосцепки.

Дано:

m1 = 10 т = 1 104 кгm2 = 20 т = 2 104 кг

v1 = 0,1 мс

v2 = 0,2 мс

Решение

rv — ?

На систему из двух вагонов (рис. 228) действуют внешние силы: силы тя-

жести m g1

r и m g2

r и компенсирующие их силы реакции

rN1 и

rN2 . Сила трения

качения мала, ею можно пренебречь.В итоге сумма внешних сил, действующих на вагоны, равна нулю. Значит, к

системе из двух вагонов можно применить закон сохранения импульса:

m v m v m m v1 1 2 2 1 2( ) .r r r

+ = +

Здесь rv — скорость вагонов после сцепки. В проекции на ось Ох получим:

m v m v m m vx1 1 2 2 1 2( ) .− = +Отсюда

vxm v m v

m m= −

+1 1 2 2

1 2;

vx = =−

+

−1 10 кг 0, мс

2 10 кг , мс

(1 2) 10 кг

0, мс

, мс

3,0

4 4

4

1 0 2 1 0 4== −0, .м

с1

Знак «−» указывает на то, что после автосцепки вагоны будут двигаться про-тивоположно направлению оси Ох.

Отве т: скорость rv направлена противоположно оси Ох; v = 0,1 м

с.

2. Снаряд, вылетевший из пушки под углом к горизонту, разорвался в верх-

ней точке траектории, имея скорость, модуль которой v = 100 мс

. Отношение масс

осколков m

m2

13.= Меньший из осколков полетел горизонтально в обратном на-

правлении со скоростью, модуль которой v1 = 200 мс

. Определите модуль ско-

рости и направление движения большего осколка сразу после разрыва снаряда.

Рис. 228


163

Дано:

v = 100 мс

m

m2

13=

v1 = 200 мс

Решение

Снаряд не является замкнутой системой из-за действия внешней силы — силы тяжести. Однако внутренние силы, ра-зорвавшие снаряд на осколки, намного больше внешней силы. Поэтому к системе «разрывающийся снаряд» можно приме-нить закон сохранения импульса:

v2 — ? mv m v m v

r r r= +1 1 2 2 . (1)

Так как по условию, m2 = 3m1, то масса снаряда m = m1 + m2 = 4m1.

Тогда из формулы (1) следует: 4 31 1 1 1 2m v m v m vr r r

= + , откуда 4 31 2

r r rv v v= + .

В проекции на ось Ох: 4v = −v1 + 3v2x. В результате:

v xv v

21

100 200200= = =+ +4

3

4 мс

мс

3мс

.

Отве т: направление движения большего осколка совпадает с направлением

скорости снаряда перед разрывом. Модуль скорости большего осколка v2 = 200 мс

.Проверим ответ. Импульс снаряда

r rp m v= 4 1 , импульс меньшего осколка

r r rp m v m v1 1 1 12= = − ,

так как v1 = 2v. Изобразим импульсы на рисунке 229. Из рисунка видно, что суммарный импульс осколков:

r r rp p p1 2+ = .

Рис. 230

Рис. 229

Рис. 231


1. На рисунке 230, а представлен импульс rp замкнутой системы из двух взаи-

модействующих тел в момент времени t. В момент времени t1 t импульс пер-вого тела стал равен

rp1 (рис. 230, б). Изобразите импульс второго тела системы

в момент времени t1. Каким будет импульс второго тела, если импульс первого тела станет равным −

rp1 ?

2. Импульсы тел замкнутой системы в момент времени t представлены на рисунке 231. Каков импульс системы в момент времени t1 t? В момент времени t2 t?




3. Лодка массой m1 = 100 кг движется по озеру с постоянной скоростью,

модуль которой v1 = 1,5 мс

. С лодки прыгает мальчик массой m2 = 40 кг. Опре-

делите модуль скорости и направление движения лодки после прыжка мальчи-ка, если мальчик прыгнет: а) с носа лодки в направлении ее движения со ско-

ростью, модуль которой v2 = 2,0 мс

; б) так же, как в предыдущем случае, но

при v2 = 6,0 мс

; в) с кормы в направлении, противоположном движению лод-

ки, при v2 = 2,0 мс

. Определите также направление и модуль скорости, с ко-

торой должен прыгнуть мальчик, чтобы лодка остановилась. Все скорости рас-сматриваются в системе отсчета «берег». Силой сопротивления воды пре- небречь.

4. На озере в состоянии покоя находится плот массой m1 = 300 кг. На плоту стоит человек массой m2 = 60 кг. Определите расстояние, на которое относитель-но берега переместится плот, если человек пройдет по плоту путь s = 6,0 м пер-пендикулярно берегу. Силой сопротивления воды пренебречь.

5. Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты и взорвался. При этом образовалось три осколка одинаковой массы. Два осколка разлетелись симметрично под углом α = 60° к направлению полета сна-

ряда со скоростями, модули которых v1 = v2 = 300 мс

. Определите модуль и на-правление скорости третьего осколка.

§ 30. Работа силы. Мощность

В 7-м классе вы узнали о физической величине, называемой «работой». Как она определяется? В каких единицах измеряется? Какое значение име-ет для практической деятельности человека?

Если направление силы совпадает с направлением движения тела, то работа, которую совершает эта сила, равна произведению модуля силы на путь, прой-денный телом:

А = Fs.

Это вы знаете из 7-го класса. А если сила направлена под углом к переме-щению?Рассмотрим пример. Трактор передвигает бетонный блок, действуя на него

силой rF. Она составляет угол α с перемещением блока Δ

rr (рис. 232). Разложим

силу rF на две составляющие:

rFr и

rF⊥ .


165

В направлении силы rF⊥ тело не перемещается. Эта сила работы не совер-

шает. Значит, работа силы rF равна работе ее составляющей

rFr , направленной

по движению тела:A = Fr Δr.

Так как Fr = F cos α, то

A = F Δr cos α. (1)

Работа равна модулю силы, умноженному на модуль перемещения и на ко-синус угла между силой и перемещением.

Формула (1) применима при постоянной силе и постоянном угле между силой и перемеще-нием. В общем случае работу можно найти, разбивая траекторию движения тела на малые участ-ки, вычисляя работы на этих участках по формуле (1) и суммируя их.

Работа — скалярная величина.Единицей работы в СИ является 1 джоуль (1 Дж). Он равен работе, со-

вершаемой силой 1 ньютон при перемещении тела на 1 метр в направлении этой силы (1 Дж = 1 Н м).Работа силы может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Это зависит от угла между силой и перемещением. Из формулы (1) следует:• если угол α острый, то работа положительна;• если прямой — равна нулю;• если тупой — отрицательна.В нашем примере на бетонный блок, кроме силы натяжения троса

rF , дейст-

вуют: сила тяжести rFт , сила реакции

rN и сила трения

rFтр . Положительна, от-

рицательна или равна нулю работа каждой из этих сил? Определите самостоя-тельно.Построим график зависимости проекции силы Fr от модуля перемещения Δr

при Fr = const. Из рисунка 233, а видно, что площадь закрашенного прямоуголь-ника численно равна работе, совершенной этой силой при перемещении Δr1.

Рис. 232

Работа силы. Мощность



А если сила — переменная величина? В этом случае работа силы также определяется площадью фигуры под графиком зависимости Fr от модуля пе-ремещения (рис. 233, б).

Для доказательства разобьем площадь на узкие полоски (см. рис. 233, б). Изменением силы на малом перемещении можно пренебречь. Значит, площадь каждой из полосок числен-но равна работе на этом перемещении. Суммируя все эти ра-боты, приходим к выводу: работа численно равна площади под графиком при любой зависимости Fr от перемещения.

Среди других физических величин работа зани-мает особое место в практической деятельности че-ловека. Не совершив работы, нельзя вывести тело из состояния покоя или увеличить его скорость. Не-возможно разогнать поезд, автомобиль, корабль, са-молет, ракету и т. д.Совершать работу приходится не только для из-

менения скорости тел. Работа необходима и для преодоления сил трения и со-противления среды (воздуха или воды) при перемещении тел, а при их подъ-еме — для преодоления силы тяжести. Значит, не совершив работы, невозможно ни перевезти груз, ни подняться на нужный этаж, ни построить дом и любое дру-гое сооружение.Не совершив работы, нельзя деформировать тело: сжать или растянуть пру-

жину, выковать или отштамповать деталь.Производственная деятельность невозможна без совершения работы.Не случайно именно работа имеет реальный денежный эквивалент. Какова

цена одного джоуля? Попробуйте определить ее самостоятельно. Подсказка дана в конце параграфа.На самом деле значение работы еще шире. Совершать работу

необходимо для поддержания самой жизни! Непрерывно трудит-ся наше сердце. При каждом его ударе совершается работа око-ло одного джоуля. Подсчитаем работу для двух практически важных случаев.1. Работа по подъему тела. Тело массой m равномерно под-

нимают вверх. Для этого к нему прикладывают силу rF , кото-

рая компенсирует силу тяжести mgr

(рис. 234). Значит, работа силы, необходимой для подъема груза по вертикали на высоту h,равна A = mgh. (2)

Рис. 233

Рис. 234


167

Рис. 235

k

2. Работа по деформированию пружины. Растянем пружину внешней си -лой

rF (рис. 235, а). При упругих деформациях модуль внешней силы прямо про-

порционален растяжению пружины х: F = kx , где k — жесткость пружины. Рабо-та силы

rF численно равна площади треугольника ОАВ на графике зависимости F

от x (рис. 235, б). Так как ОВ = х, АВ = kx, то работа по растяжению пружины из ее недеформированного состояния

Аkx=

2

2. (3)

Понятно, что равенство (3) выполняется и для работы по сжатию пружины.

Работа силы зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим пример. Вы находитесь в кабине движущегося лифта. Совершает ли работу действующая на вас сила тяжести? Да, если определять работу этой силы в системе отсчета, свя-занной с Землей. Нет, если в системе отсчета, связанной с лифтом. Докажите это самостоятельно.

Быстроту совершения работы характеризует мощность. Мощностью назы-вают физическую величину, равную отношению работы к промежутку времени, за который работа совершена: P A

t=

Δ. (4)

Мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени.Единицей мощности в СИ является 1 ватт (1 Вт) — мощность, при ко-

торой работа 1 джоуль совершается за 1 секунду.Широко используются кратные единицы мощности: киловатт (1 кВт =

= 1 103 Вт), мегаватт (1 МВт = 1 106 Вт). Мощность автомобильных двигателей до сих пор указывают в лошадиных силах (л. с.). 1 л. с. ≈ 736 Вт.Работу можно выразить через мощность и время: A = PΔt. В связи с этим в

качестве единицы работы часто используют 1 киловатт-час (1 кВт ч), равный 3 600 000 Дж.Именно за потребленное количество киловатт-часов (а не киловатт!) мы пла-

тим ежемесячно при расчете за электроэнергию.




Установим связь мощности со скоростью движения тела. Из формул (1) и (4)

следует: P F rt

= ΔΔcos .α Учитывая, что Δ

Δrt

= v, получим:

P = Fv cos α. (5)

Равенство (5) показывает, что при одной и той же мощности двигателя можно:• либо двигаться с большой скоростью при сравнительно малой силе сопро-

тивления движению (рис. 236, а);• либо преодолевать большую силу сопротивления, двигаясь с небольшой

скоростью (рис. 236, б).

Главные выводы1. Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения на ко-

синус угла между ними.2. Если угол между силой и перемещением острый, то работа силы поло-

жительна, если тупой — отрицательна.3. Силы, перпендикулярные перемещению тела, работу не совершают.4. Мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени.5. Мощность пропорциональна произведению действующей силы и ско-

рости движения тела.


1. Положительной или отрицательной будет работа силы тяжести, действующей на тело, движущееся вверх? Падающее вниз? Почему?2. Положительной или отрицательной будет работа силы сопротивления воздуха при движении мяча вверх? При его движении вниз? Почему? 3. Чему равна суммарная работа, которую совершила сила тяжести, действующая на брошенный вверх мяч, при его движении из точки бросания в верхнюю точку и обратно?4. Совершает ли работу нормальная составляющая силы реакции поверхности, дей-ствующая на движущееся по этой поверхности тело? Почему?5. Можно ли при заданной мощности выиграть и в силе, и в скорости одновременно?

Рис. 236


169


1. Из колодца глубиной l = 12 м равномерно поднимают ведро воды массой m1 = 10 кг с помощью каната, каждый метр которого имеет массу m0 = 0,20 кг.

Определите совершенную при этом работу. Принять g = 10 мс2

.

Дано:

m1 = 10 кг l = 12 мm0 = 0,20 кг l0 = 1,0 м

g = 10 мс2

Решение

Учтем, что при подъеме ведра различные точки каната проходят разные пути (от s = 0 для верхней точки каната до s = l для его нижней точки). Тогда работа против сил тяжести, действующих на ведро и канат:

A m gl m g s= +1 2 ,

где m m ll2 00

= — масса каната, s l=2

— среднее значение

пути для точек каната.А — ?

Отсюда A m glm l

l= +1

0

02.

A = + = =10 10 12 1344 1 30 20 12

2 1 0 2кг м Дж , кДж ., кг м

, ммc

Отве т: А = 1,3 кДж.

2. Автомобиль массой m = 2,0 т, развивающий мощность Р = 40 л. с., подни-мается в гору с постоянной скоростью, модуль которой v = 3,0 м. Определите угол наклона горы к горизонту. Силами сопротивления движению пренебречь. При-

нять g = 10 мс2

.

Дано:

m = 2,0 т = 2,0 103 кгP = 40 л. с. = 2,9 104 Втv = 3 0, м

с

g = 10 мс2

Решение


Рис. 237α — ?

Мощность двигателя P = Fv. Модуль силы F (см. рис. 237), движущей ав-томобиль, равен модулю составляющей силы тяжести: F1 = mg sin α. Тогда мощ-ность P = mgv sin α.




Отсюда sin , ; .,

, ,α = = = =P

mgv

2 9 10

2 0 10 3 0

4

32

0 5Вт

кг 10 мс

мс

30α °

Отве т: α = 30°.


1. Какую работу по подъему штанги массой m = 200 кг на высоту h = 2,00 м совершила сила мускулов тяжелоатлета? Чему равна работа силы тяжести, дей-ствовавшей на штангу? Ускорение свободного падения в этой и последующих за-

дачах принять равным g = 10 мс2

.

2. Определите силу, с которой мальчик переместил тележку на расстояние l = 20,0 м. Сила постоянна и направлена под углом α = 30° к горизонту. Работа, совершенная силой, равна А = 1,73 кДж.

3. Шарик массой m = 300 г скатывается по наклонному желобу длинойl = 1,6 м с верхней точки желоба. При этом сила тяжести совершила работуА = 2,4 Дж. Определите угол наклона желоба к горизонту.

4. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы растянуть пру-жину динамометра на x = 3 см, если показания динамометра при такой деформа-ции пружины равны F = 8 Н?

5. Чтобы растянуть пружину динамометра на 2 см, необходимо совершитьработу 5 Дж. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть эту пружину еще на 2 см?

6. Поезд, движущийся со скоростью, модуль которой v = 20 0, ,мс

начинает

тормозить. Сила торможения постоянна, ее модуль F = 500 кН. До полной ос-тановки поезд проходит путь s = 400 м. Определите массу поезда и работу силы торможения.

7. Шкаф массой m = 100 кг необходимо передвинуть на расстояниеl = 3,0 м. Коэффициент трения скольжения шкафа по полу μ = 0,20. Определите минимальную работу, которую при этом необходимо совершить.

8. Почему водители груженых автомобилей преодолевают крутые подъемы на малой скорости?

9. Поддон с кирпичами массой m = 800 кг равномерно поднимают краном на девятый этаж строящегося дома. Высота одного этажа h0 = 3,5 м. Модуль скоро-сти подъема v = 0,20 м

с. Определите работу, которую совершают силы натяжения

троса крана при подъеме этого поддона. Какая при этом развивается мощность?10. Определите работу силы, которая поднимает груз массой m = 40 кг на

высоту h = 15 м с ускорением, направленным вертикально вверх. Модуль уско-

рения а = 0,6 мс2

. Какую мощность развивает эта сила в конце подъема?


171

§ 31. Потенциальная энергия

Вы уже знаете, что и для подъема тела на некоторую высоту, и для его деформирования необходимо совершить работу. Можно ли«запасти» эту работу и использовать ее через какое-то время?

Проведем опыт. Медленно, без разгона поднимем гирю массой m с поверх-ности стола на высоту h (рис. 238, а). Сила натяжения нити

rFн совершит работу

А = mgh над гирей.Убедимся, что при этом механическая система «гиря + Земля» приобретет

способность совершать работу. С помощью нити и блока соединим гирю с цилиндром массой m1 ≈ m

(рис. 238, б). Гиря вернется на прежний уровень, а цилиндр поднимется (рис. 238, в). За счет чего совершалась работа по подъему цилиндра? За счетработы силы mg

r, с которой Земля притягивает гирю. Значит, способность со-

вершать работу по подъему цилиндра приобрела не гиря сама по себе, а силы взаимодействия системы «гиря + Земля». Мерой этой способности является фи-зическая величина, называемая потенциальной энергией.

Потенциальная энергия — это количественная мера способности силвзаимодействия механической системы совершать работу.Измеряется потенциальная энергия в тех же единицах, что и работа (в СИ —

в джоулях). Обозначим ее символом Еп.Как определить потенциаль-

ную энергию механической си-стемы?

1. Примем, что потенциаль-ная энергия равна нулю для одно-го из состояний системы. На-зовем его нулевым состоянием (или нулевым уровнем). Напри-мер, можно принять, что потенци-альная энергия системы «гиря ++ Земля» равна нулю, когда гиря находится на поверхности стола(см. рис. 238).

2. Затем следует найти ра-боту, которую совершают силы взаимодействия тел системы при переходе системы из данного со-

Потенциальная энергия

1

Рис. 238



стояния в нулевое (в нашем опыте — при перемещении гири с высоты h на по-верхность стола). Эта работа и определяет потенциальную энергию сис-темы:

Еп = Авз. (1)

Для системы «тело массой m + Земля» силой взаимодействия является сила тяжести mg

r. Работа этой силы при перемещении тела с высоты h на нулевой

уровень равна mgh. Значит, потенциальная энергия такой системы:

Eп = mgh. (2)

Выражение (2) совпадает с формулой работы внешней силы по подъему тела на высоту h (см. § 30). Это совпадение не случайно. Какая работа необходима для подъема тела (см. рис. 238, а), такую работу совершит сила тяжести при воз вра-щении этого тела обратно (см. рис. 238, б).Пользуясь формулой (2), надо иметь в виду, что:• если тело нельзя считать материальной точкой, то под h следует понимать

высоту, на которой находится его центр тяжести;• формула применима только для высот h, малых по сравнению с радиусом

Земли.Для краткости энергию mgh допустимо называть «потенциальной энер-

гией тела» (не забывая, что на самом деле она принадлежит системе «тело ++ Земля»).Определим теперь потенциальную энергию упруго деформированной пружи-

ны. Для этого не надо делать новых расчетов. В § 30 было доказано, что работа

внешней силы, необходимая для деформации пружины, равна kx2

2. Значит, по-

тенциальная энергия пружины:

Е kxп

2

2.= (3)

Формула (3) определяет потенциальную энергию любого упругого тела при деформациях сжатия или растяжения.

Формулы (2) и (3) отличаются друг от друга, хотя они описывают одну иту же физическую величину — потенциальную энергию. Причина различия фор-мул (2) и (3) состоит в том, что сила тяжести постоянна (график 1 на рис. 239), а сила упругости изменяется при деформировании (график 3). Поэтому на ри-сунке 239 различаются и графики соответствующих потенциальных энергий: на-клонная прямая 2 и участок параболы 4.


173

Сделаем выводы. Потенциальная энергия: • обусловлена взаимодействием тел или частей тела;• зависит от взаимного расстояния между телами (или частями тела);• равна работе сил взаимодействия (т. е. внутренних сил системы) при пе-

реходе системы из данного состояния в нулевое: Еп = Авз;• равна работе внешних сил, необходимой для перевода системы из ну-

левого состояния в данное: Еп = Авнеш.

Проверьте самостоятельно на рассмотренных выше примерах:• если внутренние силы системы совершают положительную работу (Авз 0),

то ее потенциальная энергия уменьшается;• увеличение потенциальной энергии происходит, когда внешние силы, пре-

одолевая внутренние, совершают положительную работу (Авнеш 0).

Мы определили потенциальную энергию как величину, равную работе сил взаимодействия при переходе системы из начального состояния в нулевое. Но та-кой переход можно совершить различными способами.

Рис. 239




Например, шарик массой m мож-но переместить из точки a в точку b как по траектории C, так и по траектории D (рис. 240). В обоих случаях работа силы тяжести должна равняться потенциаль-ной энергии начального состояния mgh. Значит, эти работы должны быть равны между собой: AC = AD.Сделаем вывод. Потенциальную

энергию можно вводить только для сил, работа которых не зависит от способа перехода из одного состоя-ния в другое.Такие силы называются консерва-

тивными (или потенциальными). Кон-сервативны и сила тяжести, и сила упру-гости.

Убедимся, что сила тяжести кон-сервативна. Рассмотрим тело массой mна наклонной плоскости, составля-ющей угол α с вертикалью (рис. 241). При перемещении тела Δ

rr1 работа

силы тяжести равна А1 = mgΔr1 cos α. Так как Δr1 cos α = Δy1, то при любом угле наклона работа равна А1 = mgΔy1, т. е. работе по перемещению тела по вер-тикали.Вернемся к рисунку 240. Выделим на траектории D один из малых участ-

ков, например n-ный. Работа силы тяжести на этом участке равна mgΔyn, а ра-бота на всей траектории равна сумме таких работ, т. е. mgh. Этот результатполучится и для траектории C, и для любой траектории, соединяющей заданные точки (a и b на рис. 240), что и требовалось доказать.

Существуют и силы, работа которых зависит от формы траектории, например сила трения скольжения, сила сопротивления движению тел в газе или жидкости. Такие силы называют диссипативными.

Убедимся в том, что сила трения диссипативна. Переместим книгу по по-верхности стола из точки а в точку b по двум траекториям (C и D) разной дли-ны (рис. 242, вид сверху). Работы сил трения, прямо пропорциональные прой-денным путям, будут различными.

Рис. 240

( )

Рис. 241


175

Отличие консервативных сил от дис-сипативных проявится еще нагляднее, если сравнить их работы на замкнутом пути. Работа консервативной силы на любом замкнутом пути будет равна нулю, а диссипативной — отлична от нуля (до-кажите эти утверждения на примерах силы тяжести и силы трения).Рассмотрим еще два свойства потен-

циальной энергии.1. Изменение потенциальной энергии равно работе, совершаемой силой

взаимодействия, взятой со знаком «минус». Например, при движении тела массой m вниз с высоты h1 до высоты h2:

А h Е mgh Аmg h mghвз п вз= = =( – ) ; – � – .1 2 2 10 0ΔРавенство

ΔЕ Ап вз= – (4)

выполняется для всех видов потенциальной энергии. 2. Нулевой уровень потенциальной энергии можно выбрать произвольно.Значение потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня. На-

пример, если перенести нулевой уровень с поверхности стола на уровень пола, то для любого тела на рисунке 238 потенциальная энергия увеличится на mgH,где m — масса этого тела, H — высота стола. Однако в любой задаче представля-ет интерес не потенциальная энергия сама по себе, а работа сил взаимодействия, равная разности значений потенциальной энергии (см. формулу (4)). Ясно, что эта разность от выбора нулевого уровня не зависит (докажите это самостоятельно). В каждом конкретном случае его выбирают так, чтобы задачу было проще решать.

Главные выводы1. Потенциальная энергия характеризует способность сил взаимодействия

механической системы совершать работу. Она зависит от расстояния между взаимодействующими телами (либо частями одного тела).

2. Потенциальная энергия равна работе сил взаимодействия, совершае-мой при переходе системы из данного состояния на нулевой уровень.

3. В случае силы тяжести Eп = mgh, в случае силы упругости Eп = kx2

2.

4. Если работа силы не зависит от способа перехода системы из начально-го состояния в конечное, то сила называется консервативной, а если зависит, то диссипативной.

Рис. 242

C

D





1. В каких случаях система тел обладает потенциальной энергией?2. Как определить потенциальную энергию любой системы? От чего она зависит?3. Чему равна потенциальная энергия системы «тело + Земля»?4. Чему равна потенциальная энергия упругой деформации?5. Какие силы называются консервативными, а какие — диссипативными? Приведите примеры тех и других.


Недеформированную пружину жесткостью k = 200 Н растянули от начальной длины l0 = 16 см до длины l = 20 см. Определите работу внешней силы по растяже-нию пружины, работу силы упругости и изменение потенциальной энергии пружины.

Дано:

l0 = 16 см = 0,16 мl = 20 см = 0,20 мk = 200 Нм

Решение


Рис. 243

Aвнеш — ?Aупр — ?ΔEп — ?

Работа внешней силы: A kxвнеш =

2

2. Из рисунка следует: x = l − l0.

Тогда

Ak l l

внеш(

Нм

мДж.= = =−

−0

2 3 2

2

200 1 6 10

20 16

) ,,

Работа силы упругости: Aупр = −Aвнеш = − 0,16 Дж.Изменение потенциальной энергии: ΔEп = Aвнеш = 0,16 Дж.Работа внешней силы пошла на увеличение потенциальной энергии пружины.Отве т: Aвнеш = 0,16 Дж; Aупр = − 0,16 Дж; ΔEп = 0,16 Дж.


1. Определите массу камня, при медленном подъеме которого из ямы глу-биной h = 2,0 м на поверхность совершена работа А = 100 Дж. В задачах 1 и 2 ускорение свободного падения принять равным g = 10 м

с2.


177

2. Железный лом массой m = 12 кг и длиной l = 1,5 м лежит на горизонталь-ной поверхности. Найдите минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы поставить лом вертикально.

3. В результате растяжения пружины на Δl = 8,0 см она приобрела потенци-альную энергию Еп = 0,32 Дж. Определите жесткость пружины.

4. Недеформированная пружина жесткостью k = 20 Нсм

под действием внешней силы удлинилась на Δl1 = 3,0 см. Определите работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы удлинить эту пружину еще на Δl2 = 2,0 см. Сравните эту ра-боту с работой сил упругости пружины и с изменением ее потенциальной энергии.

5. Как следует изменить расстояние между электрически заряженными ша-риками (уменьшить или увеличить его), чтобы потенциальная энергия си-

стемы возросла? Ответьте на этот вопрос для каждого случая, показанного на ри-сунке 244, а, б, в. Подсказка: для этого нет необходимости знать формулу для по-тенциальной энергии взаимодействия электрических зарядов. Достаточно опре-делить, в каком случае работа внешних сил будет положительной.

Рис. 244

§ 32. Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел

Из 7-го класса вы знаете, что, кроме потенциальной энергии, суще-ствует и кинетическая. Что такое кинетическая энергия? Как она свя-зана со скоростью тела? С его массой?

Обратимся к известным примерам. Молоток забивает в доску гвоздь (рис. 245). Пуля, попав в деревянный кубик, пере-мещает его (см. рис. 222). Движущийся вагон, сталкиваясь с покоящимся, сжи-мает буферные пружины (см. рис. 149).В этих примерах работу совершали

силы, действующие со стороны движущих-ся тел (молотка, пули, вагона). Значит, движущиеся тела обладают способностью совершать работу. Меру этой способности называют кинетической энергией. А как тело приобретает кинетическую

энергию? В результате работы, произве- Рис. 245

Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел



Рис. 246

рез рез

Рис. 247

денной над ним. При толкании ядра, метании молота или копья (рис. 246, а) ра-боту совершает мускульная сила спортсмена. Работу, необходимую для разгона пули, совершает сила давления пороховых газов (рис. 246, б) и т. д.Чем больше работа, совершенная над телом, тем сильнее оно разгонится и

тем боЂльшую кинетическую энергию приобретет.Кинетическую энергию определяют как величину, равную работе, ко-

торую необходимо совершить, чтобы разогнать тело из состояния покоя до данной скорости: Eк = Aразг. (1)

Найдем эту работу. Пусть тело массой m разгоняется до скорости

rv

из состояния покоя под действием сил, результирующая которых

rFрез посто-

янна (рис. 247). Тело будет двигаться равноускоренно, а работа по разгону тела равна:

Aразг = FрезΔr, (2)

где Δr — модуль перемещения тела. При таком движении квадрат модуля ско-рости связан с модулем перемещения (см. § 13) формулой:

v2 = 2aΔr. (3)

Из равенств (2) и (3) с учетом второго закона Ньютона получим:

Aразг = FрезΔr = maΔr = m v2

2.

Значит, кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела и квадрата модуля его скорости:

E mvк

2

2.= (4)


179

Кинетическая энергия — величина скалярная. Она зависит от модуля скоро-сти, но не зависит от ее направления. Измеряется кинетическая энергия в тех же единицах, что и работа (в СИ — в джоулях).А на что пойдет работа сил, приложенных к телу, если его начальная ско-

рость r rv0 0≠ ? Работа пойдет на изменение кинетической энергии тела:

mv mv

A2

02

2 2 рез.− = (5)

Формула (5) выражает теорему об изменении кинетической энергии.Изменение кинетической энергии тела равно работе результирующей всех

сил, приложенных к нему.

Теорему легко доказать для тела, движущегося прямолинейно в направлении

действующей на него постоянной силы rF. С помощью формулы из кинематики

v v a r202 2= + Δ получаем: v v rF

m2

02 2− = Δ . Отсюда mv mv

F r A2

02

2 2− = =Δ рез .

Теорема об изменении кинетической энергии верна и при криволинейном движении, и при непостоянной результирующей силе. В формулах (1) и (5) работу можно понимать и как работу результирующей

всех сил, приложенных к телу, и как алгебраическую сумму работ, совершенных каждой из этих сил. Работа результирующей силы может быть положительной, отрицательной

или равной нулю. Из теоремы об изменении кинетической энергии следует.1. Если Арез 0 (например, работа силы тяжести, действующей на свободно

падающее вниз тело), то кинетическая энергия тела увеличивается.2. Если Арез 0 (например, работа силы трения скольжения), то кинетичес-

кая энергия тела уменьшается.3. Если Арез = 0, то кинетическая энергия не изменяется. Так бывает не только

при r rFрез = 0. Кинетическая энергия не изменяется и в случае, когда сила

rFрез пер-

пендикулярна скорости движения тела (как, например, сила, создающая центро-стремительное ускорение при движении тела по окружности).Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. Например, ки-

нетическая энергия пассажира, покоящегося относительно вагона, равна нулю в системе отсчета «вагон» и отлична от нуля в системе отсчета «Земля».

Формула (4) определяет кинетическую энергию поступательно движущегося тела. Если тело вращается, то к ней следует прибавить кинетическую энергию вращательного движения. Она пропорциональна квадрату угловой скорости вращения тела.




Мы рассмотрели потенциальную и кинетическую энергии. А как определить полную энергию системы тел?Рассмотрим пример. Пусть падающий мячик массой m

в некоторый момент времени находится на высоте h и имеет скорость

rv (рис. 248). Чему равна полная энергия системы

«Земля + мячик»?Найдем сумму кинетической и потенциальной энергий

данной системы (считая Землю неподвижной):

E E E mghmvмех к п= + = +

2

2. (6)

Мы получили величину, которую называют «механичес-кой энергией системы». Найдена ли полная энергия системы «Земля + мячик»? Нет. Как вы уже знаете, все тела состоят из микрочастиц —

атомов, молекул. Эти частицы участвуют в хаотическом теп-ловом движении (рис. 249) и взаимодействуют (притягивают и отталкивают друг друга). Сумма кинетической энергии тепло-вого движения микрочастиц и потенциальной энергии их взаи-модействия друг с другом называется внутренней энергией тела. Значит, полная энергия системы «Земля + мячик» равна:

Eполн = Eмех + Eвнутр, (7)

где Eвнутр есть сумма внутренних энергий Земли и мячика.Таким образом, для любой системы тел:• механическая энергия системы есть сумма кинетических энергий тел

системы и потенциальных энергий их ваимодействий;• полная энергия системы складывается из ее механической энергии

и суммы внутренних энергий тел системы.

Главные выводы1. Кинетическая энергия тела прямо пропорциональна его массе и ква-

драту скорости его движения.2. Значение кинетической энергии зависит от выбора системы отсчета.3. Изменение кинетической энергии равно работе результирующей всех

сил, приложенных к телу.4. Механическая энергия системы есть сумма кинетических энергий тел

системы и потенциальных энергий их ваимодействий. 5. Полная энергия системы складывается из ее механической энергии и

суммы внутренних энергий тел системы.

Рис. 248

Рис. 249


181


1. В каком случае тело обладает кинетической энергией?2. Скалярной или векторной величиной является кинетическая энергия?3. Как связано изменение кинетической энергии тела с работой результирующей силы?4. В каком случае кинетическая энергия тела увеличивается? Уменьшается? Не из-меняется?5. Зависит ли кинетическая энергия от выбора системы отсчета?6. Что такое механическая энергия системы тел? Из чего складывается полная энер-гия системы?


Камень массой m = 0,50 кг брошен вертикально вверх со скоростью, модуль которой v0 = 20 м

с. Какой кинетической энергией будет обладать камень через

время t1 = 1,0 с и t2 = 2,0 с от начала движения? Сопротивлением воздуха пре-небречь. Принять g = 10 м

с2.

Дано:

m = 0,50 кгv0 = 20 м

сt1 = 1,0 сt2 = 2,0 сg = 10 м

с2

Решение

Найдем модули скорости камня v1 и v2 при t1 = 1,0 с иt2 = 2,0 с:

v1 = v0 − gt1; v1 = 20 мс

− 10 мс2

1,0 с = 10 мс

.

v2 = v0 − gt2; v2 = 20 мс

− 10 мс2

2,0 с = 0.

Кинетическая энергия камня при t1 = 1,0 с:Ек1 — ?Ек2 — ?

Emv

к

0,50 кг 100 мс Дж.1

12 2

2 225= = =

2

Кинетическая энергия камня в момент времени t2 = 2,0 с: Emv

к .222

20= =

Отве т: Ек1 = 25 Дж; Ек2 = 0.


1. Камень массой m = 1,5 кг упал в воду. Какой кинетической энергией об-ладал камень в момент падения в воду, если модуль его скорости в этот момент v = 20 м

с?

2. Как изменится кинетическая энергия трамвая, если его скорость увеличит-ся в k = 2 раза? Уменьшится в n = 3 раза?




3. Пуля массой m = 5,0 г, вылетевшая из винтовки со скоростью, модуль ко-торой v0 = 600 м

с, пробивает деревянную плиту. На вылете из плиты модуль ско-

рости пули стал равен v = 200 мс

. Определите работу, которая была совершена силами сопротивления дерева.

4. Брошенный вертикально вверх металлический шарик массой m = 200 г вернулся в точку бросания через время t = 4,0 с. Определите механическую энер-гию системы «Земля + шарик» через время t1 = 3,0 с от момента бросания. Со-противлением движению шарика пренебречь. Принять g = 10 м

с2.

5. Заводная детская игрушка равномерно движется по окружности радиусом R = 1,0 м с периодом Т = 10 с. Определите массу игрушки, если ее кинетическая энергия Ек = 0,020 Дж.

§ 33. Закон сохранения энергии

Полная энергия системы складывается из ее механической энергии и суммы внутренних энергий тел, входящих в систему. При каких условиях механическая и полная энергии системы изменяются? При каких условиях остаются постоянными?

Мы знаем, что при подъеме тела увеличивается потенциальная энергия, а при его разгоне — кине-тическая. А могут ли измениться и кинетическая, и потенциальная энергии одновременно?Рассмотрим пример. Будем поднимать гирю

массой m (рис. 250) с помощью нити. Для ме-ханической системы «гиря + Земля» сила натя-жения нити является внешней силой:

r rF Fн внеш= .

При F mgвнеш гиря не только поднимется на вы-соту h, но и увеличит свою скорость от

rv0 до

rv

(см. рис. 250). Работа внешней силы вызовет из-менение как кинетической, так и потенциальной энергии системы «гиря + Земля». Найдем связь между этими величинами.По теореме об изменении кинетической энергии

mv mvA

202

2 2− = рез .

Из рисунка 250 A F mg hрез внеш .= −( )Рис. 250


183

Следовательно, mv mvmgh F h

202

2 2− + = внеш , или ΔЕк + ΔЕп = Авнеш. Значит, в

нашем примере ΔЕмех = Авнеш. (1)

Это равенство применимо к любой консервативной механической системе, т. е. системе, в которой действуют только консервативные (отсутствуют дис-сипативные) силы. Напомним, что к консервативным относятся силы тяжести, силы упругости, а к диссипативным — силы сопротивления среды, силы трения скольжения и т. д. Следовательно, изменение механической энергии консервативной системы

равно работе внешних сил. При этом в числе внешних сил могут быть как кон-сервативные, так и диссипативные силы. Например, если внешней силой являет-ся сила трения

rFтр , то

Авнеш = −Fтр s,где s — пройденный путь.Если консервативная система замкнута, т. е. на нее не действуют внешние

силы, то из равенства (1) следует ΔЕмех = 0, а значит,

Емех = const. (2)

Механическая энергия замкнутой консервативной системы остается по-стоянной (сохраняется). Это утверждение называют законом сохранения механической энергии.Отметим, что сохраняются не кинетическая и потенциальная энергии по от-

дельности, а их сумма. В результате в замкнутой консервативной системе при уменьшении кинетической энергии настолько же возрастает потенциальная (и на-оборот): ΔЕк = −ΔЕп. Проследите, как кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно

при движении: а) мячика; б) шарика, подвешенного на нити; в) тела, связанного с пружиной (рис. 251, а, б, в).

Закон сохранения энергии

Рис. 251



Закон сохранения механической энергии выполняется и для незамкнутых консервативных систем, если работа внешних сил равна нулю. Для примера об-ратимся к рисунку 132 (§ 20, с. 96). Проследим за движением шарика. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то его механическая энергия будет по-стоянной. Однако результирующая сил, приложенных к шарику,

r rF ≠ 0. Значит,

шарик является незамкнутой системой. Почему же его механическая энергия сохраняется? Объясните самостоятельно.

А что происходит, если система замкнута, но среди ее внутренних сил имеются диссипа-тивные силы? Проведем простой опыт. Придадим на-

чальную скорость rv0 деревянному бру-

ску массой m, находящемуся на поверх-ности деревянного стола. Пройдя некото-рое расстояние, брусок остановится из-за дей-ствия силы трения — внутренней диссипативной силы системы «брусок + стол» (рис. 252). Несмотря на то что внешние силы работу не совершали, механическая

энергия этой системы уменьшилась на величину mv0

2

2.

Из-за диссипативных сил потери механической энергии происходят в любом реальном устройстве. Колебания тел, изображенных на рисунке 251, б, в, посте-пенно затухают, при выключенном двигателе теряет скорость автомобиль и т. д.Исчезает ли при этом механическая энергия бесследно? Продолжим опыты с бруском. Прижмем его к быстро вращающемуся дере-

вянному диску. Брусок и диск быстро нагреются. Через 1—2 минуты их поверхно-сти начнут дымиться и могут даже воспламениться. Нагревание тел происходило и при движении бруска по столу. Только оно было крайне малоЂ и потому незаметно.

При торможении поезда, автомобиля нагреваются тормозные устройства. Под действием сил сопротивления воздуха рас-каляются метеориты (рис. 253). При тре-нии друг о друга нагреваются и даже мо-гут расплавиться куски льда.Нагревание происходит и при не-

упругих деформациях. Согните и разо-гните несколько раз подряд металличе-скую проволоку. Вы почувствуете, что онанагрелась.

Рис. 252

Рис. 253


185

Что общего у всех этих явлений? То, что действие диссипативных сил приводит к увеличению внутренней энергии тел. Хаотическое тепловое движение атомов и молекул становится более быстрым — растет внутрен-няя кинетическая энергия. Может увеличиться и внутренняя потенциальная энергия (например, при плавлении тел). Весь накопленный опыт и специально поставленные эксперименты показы-

вают, что в любой замкнутой системе уменьшение механической энергии в точ-ности равно увеличению внутренней, а их сумма (т. е. полная энергия) остается постоянной:

Еполн= const. (3)

Полная энергия замкнутой системы сохраняется. Так формулируется один из важнейших законов природы — закон сохране-

ния энергии.Закон сохранения энергии не знает исключений. Он выполняется для всех

физических, химических, биологических и других явлений. Этот закон использу-ется в самых различных областях науки и техники; служит научной основой важ-нейшей области производства — энергетики.В начале параграфа мы показали, что, не совершив работы, нельзя увели-

чить запас энергии. Но и совершить работу нельзя, не уменьшив этого запаса (приведите примеры самостоятельно). Поэтому добыча энергоносителей (нефти, газа, угля), использование различ-

ных источников энергии (воды, ветра, солнечного излучения, ядерного топлива и т. д.), передача энергии на большие расстояния, борьба с потерями энергии (энергосбережение) являются важнейшими задачами всего мирового сообщества. Решение этих задач невозможно без использования законов физики и дальней-шего развития этой науки.

Главные выводы1. Изменение механической энергии консервативной системы равно ра-

боте внешних сил.2. Полная энергия замкнутой системы сохраняется всегда, а ее механиче-

ская энергия — при отсутствии диссипативных сил.3. Закон сохранения энергии выполняется для всех явлений природы.


1. При каких условиях полная энергия системы сохраняется?2. При каких условиях сохраняется механическая энергия системы?3. Действие каких сил вызывает переход механической энергии во внутреннюю?




Применение законов сохранения импульса и энергии к задачамо соударениях телВ § 29 мы рассматривали абсолютно неупругий удар. После такого удара

тела движутся как единое тело со скоростью, которую легко найти из закона сохранения импульса. А сохраняется ли при абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия системы? Полная энергия? Внутренняя энергия?Рассмотрим пример. Пластилиновый шарик массой m1 = 40 г, имевший

скорость rv0 , модуль которой v0 = 2,0 м

с, ударился о деревянный кубик массой

m2 = 360 г, покоившийся на гладкой го-ризонтальной поверхности (рис. 254), и прилип к нему. Произошел абсолют-но неупругий удар. Определим харак-теристики движения тел после удара.Влиянием внешних сил за время удара можно пренебречь. Значит, и им-

пульс, и полная энергия системы «шарик + кубик» сохраняются. Приравнивая сумму импульсов тел до и после удара, получим: m v m m v1 0 1 2

r r= +( ) , откуда

r rv v

m

m m=

+1

1 20 . (1)

Так как потенциальная энергия тел не изменилась, разность кинетических энергий системы после и до удара равна изменению механической энергии:

ΔЕ v vm m

мех .= −+m1 2 1

2 22

02

Подставляя сюда модуль скорости v из формулы (1) (вычисления проведите самостоятельно), находим:

ΔЕ m

m

vмех – .=

+m

m1 2

1 2

02

20 (2)

В результате удара механическая энергия системы уменьшилась. Так как полная энергия системы не изменилась, внутренняя энергия системы увеличи-лась настолько, насколько уменьшилась механическая: ΔЕвнутр = −ΔЕмех.Подставляя численные значения m1, m2 и v0, по формулам (1) и (2) на-

ходим:v E E= = =0 2 72 72, ; –м

сΔ Δмех внутрмДж; мДж.

Легко подсчитать, что в данном примере во внутреннюю энергию преврати-лось 90 % начальной кинетической энергии. Докажите самостоятельно, что при абсолютно неупругом ударе:

Рис. 254


187

• часть механической энергии обязательно переходит во внутреннюю;• доля перешедшей энергии может доходить до 100 % (приведите примеры).

А если удар не является абсолютно неупругим? Может ли внутренняя энер-гия соударяющихся тел остаться неизменной? Опыты показывают, что при со-ударении реальных тел какая-то часть их кинетической энергии обязательно пе-рейдет во внутреннюю. Насколько велика эта часть, зависит от материала, из которого состоят тела. Например, для стекла она меньше, чем для стали, для стали — меньше, чем для дерева и т. д.Однако в качестве модели рассматривают и со-

ударения, при которых переход кинетической энергии во внутреннюю отсутствует. Такой удар называют аб-солютно упругим.Рассмотрим соударение стальных шаров масса-

ми m1 и m2, подвешенных на нитях так, чтобы во вре-мя удара их центры находились на одинаковой высоте (рис. 255). Отведем первый шар в сторону и отпустим. Скорость, которую он приобретет к моменту столкно-вения со вторым шаром, обозначим через

rv0 . Удар бу-

дем считать абсолютно упругим.Составим уравнения для определения скоростей шаров

rv1 и

rv2 после уда-

ра. По закону сохранения испульса:

m v m v m v1 0 1 1 2 2

r r r= + . (3)

По закону сохранения энергии (с учетом того, что ни потенциальная, ни внутренняя энергия шаров за время удара не изменились):

m v m v m v1 0

21 1

22 2

2

2 2 2= + . (4)

Так как скорость rv0 направлена на центр второго шара, силы взаимодействия

шаров при ударе, а значит, и изменения их скорости, будут иметь отличные от нуля проекции только на горизонтальную ось Ох. Тогда из формул (3) и (4) следует:

m v v m vx x1 0 1 2 2( )− = ; (5)

m v v m vx x1 02

12

2 22( )− = . (6)

Используя тождество v v v v v vx x x02

12

0 1 0 1− − += ( )( ), из уравнений (5) и (6) легко получить равенство v0 + v1х = v2х. С его помощью из уравнения (5) находим:

v v v vx xm m

m m

m

m m1 0 2 01 2

1 2

1

1 2

2= =−+ +

; . (7)

Рис. 255




Вычислим значения проекций скоростей движения шаров после абсолютно упругого удара при тех же значениях m1, m2 и v0, что и в предыдущем примере:

v x140 36040 360

2 0 1 6= = −−+г гг г

мс

мс

, , ; v x22 40

40 3602 0 0 4= =

+г

г гмс

мс

, , .

Мы видим, что в результате удара второй шар пришел в движение со ско-ростью, большей, чем при абсолютно неупругом ударе, а у первого шара измени-лись и модуль скорости, и ее направление. При каком соотношении масс скорость первого шара не изменила бы свое направление? Ответ подскажут формулы (7).Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары представляют собой два

предельных случая. В первом из них внутренние энергии тел при ударе не из-меняются, во втором — во внутреннюю энергию переходит максимально воз-можная при данных массах и начальных скоростях часть кинетической энергии.Если при соударении часть кинетической энергии переходит во внутреннюю,

но удар не является абсолютно неупругим, то его называют неупругим.


Пакет с цементом массой m = 20 кг поднимают вертикально вверх, прикла-дывая постоянную силу, модуль которой F = 0,24 кН. Определите кинетическую энергию пакета в момент, когда он окажется на высоте h = 2,0 м от начально-го положения. Начальная скорость пакета равна нулю. Сопротивлением воздуха

пренебречь; модуль ускорения свободного падения принять g = 10 мс2

.Дано:

m = 20 кгF = 0,24 кН == 240 Нh = 2,0 мg = 10 м

с2

Решение

Система «пакет + Земля» не яв-ляется замкнутой. На пакет действует внешняя сила

rF. Работа этой силы рав-

на изменению механической энергии па-кета при его движении из точки 1 в точ-ку 2 (рис. 256).

A = Fh; Fh = ΔЕк + ΔЕп; ΔЕк = Ек2,Ек2 — ?

так как Ек1 = 0; ΔЕп = mgh.Тогда Fh = Ек2 + mgh, откуда

Ек2 = (F − mg)h; Ек2 = (240 Н − 200 Н) 2,0 м = 80 Дж.Отве т: Ек2 = 80 Дж.


1. Легковой автомобиль массой m = 800 кг движется со скоростью, модуль

которой v = 20 мс

. Определите кинетическую энергию автомобиля.

Рис. 256


189

Рис. 257

2. Кинетическая энергия брошенного вертикально вверх мяча массойm = 0,50 кг в момент бросания Ек = 20 Дж. Определите модуль скорости движения мяча в этот момент. На какую максимальную высоту поднимется мяч, если сопро-

тивление воздуха пренебрежимо мало? Здесь и в последующих задачах g = 10 мс2

.3. Автобус массой m = 12 т трогается с места и движется с постоянным

ускорением, модуль которого а = 0,5 мс

.2 Определите кинетическую энергию

автобуса через время t = 10 с от начала егодвижения.

4. На рисунке 257 представлен график зависимости кинетической энергии тела от модуля скорости его движения. Чему рав-на масса тела? Определите работу, которую совершила результирующая всех сил, при-ложенных к телу, для его разгона от скоро-

сти, модуль которой v1 4= мс

, до скорости,

модуль которой v2 8= мс

.

5. Камень массой m = 400 г бросают с высоты h = 25 м со скоростью, модуль кото-

рой v0 10= мс

. Определите модуль скорости движения камня и его кинетическую и по-тенциальную энергии на высоте h1 = 10 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. Насколько изменится потенциальная энергия бруска, если его перевести из го-ризонтального положения в вертикальное (рис. 258)? Масса бруска m = 8,0 кг, а его размеры a b c = 40 25 10 см.

7. Гиря висит на легком резиновом шнуре жесткостью k = 40 Нм

. Определите

потенциальную энергию резинового шнура, который удлинился на Δl1 = 5,0 см под действием гири. Какую работу должна совершить внешняя сила, чтобы рас-тянуть шнур еще на Δl2 = 3,0 см?

8. К нижнему концу легкой недеформированной пружины прикрепили груз массой m = 500 г и отпустили. Жесткость пружины k = 40 Н

м. Определите

модуль максимальной скорости движения груза. Сопротивлением движению гру-за пренебречь.

Рис. 258




Рис. 260

9. На легкой нерастяжимой нити подвешен железный ша-рик. Нить с шариком отклоняют от вертикали на некоторый

угол (рис. 259) и отпускают. Определите угол отклонения нити от вертикали, при котором сила натяжения нити в нижнем по-ложении будет в k = 4 раза больше минимальной. Сопротивле-нием движению шарика пренебречь.

10. С вершины снежной горки высотой h = 4,0 м и длиной основания с = 10,0 м (рис. 260) на санках съезжает ребенок. Съехав с горки, санки продолжают движение по горизонталь-ному участку и останавливаются. Коэффициент трения поло-зьев санок о снег μ = 0,12. Определите длину горизонтального участка движения.

Рис. 259

11. Два тела одинаковой массы сталкиваются друг с другом. Какая часть механической энергии в результате удара превратилась во внутреннюю, если до удара они двигались по взаимно перпендикулярным направлениям, а удар был абсолютно неупругим?

12. Скользящая по льду шайба массой 180 г, налетает на покоящуюся шай-бу неизвестной массы. После удара шайбы движутся со скоростями, перпенди-кулярными друг другу. Определите массу второй шайбы, считая удар абсолютно упругим.

13. Шары массами m1 = 6 кг, m2 = 2 кг двигались по одной прямой навстречу друг другу со скоростями, модули которых: v1 4 0= , ,м

с v2 3 0= , .м

с В резуль-

тате соударения скорость второго шара изменила свое направление на противо-положное, а ее модуль остался прежним. Определите направление и модульскорости первого шара после удара. Найдите изменение внутренней энергиисистемы, произошедшее в результате удара. Определите среднюю силу удара, считая, что его длительность Δt = 0,02 с. Каким был характер удара (абсолютно упругим, неупругим или абсолютно неупругим)? Ответ обосновать.



192 Лабораторный эксперимент

Лабораторная работа 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений (выполняется вместе с учителем)

Ц е л ь: научиться определять абсолют-ную и относительную погрешности прямых измерений и представлять результат измере-ний в интервальной форме.

Оборудование: металлический ша-рик на нитке длиной l = 1 м, секундомер, штатив со стержнем, треугольник (рис. 261).

Вывод расчетных формул

Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины нахо-дится непосредственно по шкале прибора. Результат любого измерения содержит по-грешность. Систематическая погреш-ность связана в основном с несовершен-

ством измерительного прибора и округлениями при отсчетах и вычислениях. При повторении измерений систематическая погрешность остается неизменной.

Случайная погрешность — это погрешность, которая от одного измерения к другому изменяется непредсказуемым образом. Для определения случайной по-грешности необходимо провести серию повторных измерений. Абсолютная погрешность Δt измерений промежутка времени равна:

Δt = Δtсист + Δtслуч. (1)

Абсолютная систематическая погрешность Δtсист = Δtпр + Δtотсч определяется суммой предельной абсолютной погрешности прибора (секундомера) Δtпр и аб-солютной погрешности отсчета Δtотсч.Значение Δtпр берется из таблицы 4. Абсолютная погрешность отсчета Δtотсч

равна половине цены деления шкалы секундомера. Если секундомер механиче-ский, то его стрелка от штриха к штриху движется скачками. Ее остановка между штрихами невозможна. Поэтому абсолютная погрешность отсчета Δtотсч для се-кундомера равна цене деления его шкалы.Максимальное значение абсолютной случайной погрешности измерения про-

межутка времени Δ Δt t kслуч случ

max ,= (2)

где Δtслуч — среднее значение абсолютной случайной погрешности.

Рис. 261


193Лабораторный эксперимент

Коэффициент k зависит от числа повторных измерений. Например, при пяти повторных измерениях k = 3, при семи k = 2, при десяти и более — k = 1.Относительная погрешность εt определяет, какую часть в процентах от сред-

него значения измеряемой величины (промежутка времени) составляет значение абсолютной погрешности:

εtt

t= Δ 100%. (3)

Окончательный результат записывается в интервальной форме:

t t t= ± Δ ; εtt

t= Δ 100%.

Например, t = (5,0 ± 0,1) с, тогда

εt = =0 15 0

100 2,,

% %.

Порядок выполнения работы1. К стержню штатива прикрепите нить с шариком (см. рис. 261). Отведи-

те шарик в сторону (точку А) так, чтобы нить составила с вертикалью угол α = 30° (определяется треугольником). Отпустите шарик и, одновременно на-жав на кнопку секундомера, измерьте минимальный промежуток времени, через который шарик снова окажется в точке А.

2. Повторите опыт не менее 5 раз.3. Вычислите среднее значение промежутка времени:

tt t t t t= + + + +1 2 3 4 5

5.

4. Вычислите абсолютную случайную погрешность при каждом измерении и среднее значение Δtслуч при пяти измерениях х:

Δt t tслуч1 = −1 ;

Δt t tслуч2 = −2 ;...Δt t tслуч5 = −5 ;

Δ =Δ + Δ + + Δ

tt t t

случслуч случ случ1 2 5

5

....

5. Определите максимальное значение случайной погрешности:

Δ Δt tслуч случ= 3 .

6. Определите абсолютную систематическую погрешность:

Δtсист = Δtпр + Δtотсч.



Предельную абсолютную погрешность Δtпр секундомера найдите в табли -це 4. Абсолютную погрешность отсчета Δtотсч определите как цену деления механи-ческого секундомера.

7. Вычислите абсолютную Δt погрешность прямого измерения промежутка времени:

Δt = Δtслуч + Δtсист.

8. Вычислите относительную εt погрешность измерения:

εtt

t= Δ 100%.

9. Запишите окончательный результат в интервальной форме:

t t t= ± Δ ;

εt = … %.


1. Почему нельзя абсолютно точно измерить прибором физическую величину?2. Будет ли одинаковой относительная погрешность измерения промежутка времени, если нить с шариком отклонить на угол 45°? Почему?3. Если при трех и более повторных измерениях данным прибором получены одинаковые значения физической величины, то чему равны абсолютные случайная и систематическая погрешности? Относительная погрешность?

Таблица 4. Предельные абсолютные погрешности некоторых мер и приборов

Приборы и мерыЗначение меры, диапазон

измеренийПредельная абсолютная

погрешность

Линейки:деревянныепластмассовыеМерная лента

400, 500, 750 мм200, 250, 300 мм

150,0 см

0,5 см1 мм

0,3 см

Гири для технических анализов

10—100 мг200 мг500 мг

1 г2 г5 г

10 г20 г50 г

100 г

1 мг2 мг3 мг4 мг6 мг8 мг

12 мг20 мг30 мг40 мг



Приборы и мерыЗначение меры, диапазон

измеренийПредельная абсолютная

погрешность

Секундомеры механические 30 — 60 с(один оборот)

1,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки

Секундомеры электрические30 с

0,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки

Секундомеры электронные 30 с 0,5 цены деления

Лабораторная работа 2. Измерение ускорения при равноускоренном движении тела

Ц е л ь: измерить модуль ускорения шарика, движущегося по наклонному же-лобу, и определить абсолютную и относительную погрешности прямых измерений пути, движения шарика.О б о р у д о в а н и е: металлический желоб, штатив, стальной шарик, ци-

линдрический упор, секундомер, мерная лента (линейка).

Вывод расчетных формулТак как движение шарика по наклонному желобу является равноускоренным

с начальной скоростью v0 = 0, то пройденный за промежуток времени t путь бу-дет определяться по формуле:

s at=2

2. (1)

Измерив пройденный шариком путь s и промежуток времени t, можно вы-

числить модуль ускорения a st

= 22 . Путь s равен длине желоба l. Тогда

a lt

= 22 . (2)

Порядок выполнения работы1. Укрепите желоб (рис. 262) в штативе под не-

большим углом (5—10°) к горизонту. В конце желоба положите цилиндрический упор.

2. Отпустите шарик из верхней точки желоба и по часам с секундной стрелкой определите промежуток времени от начала движения до момента соударения шарика с упором.

3. Повторите опыт пять раз, измеряя каждый раз промежуток времени движения шарика.

Продолжение

Рис. 262



4. Измерьте мерной лентой длину l желоба от точки А начала движения до цилиндрического упора В не менее трех раз.

5. Найдите среднее значение l , t .6. Вычислите среднее значение ускорения шарика по формуле:

al

t=

22 .

7. Рассчитайте абсолютную погрешность Δl прямых измерений пути l.8. Найдите относительную погрешность прямых измерений пути l по формуле:

εll

l= Δ 100%.

9. Запишите результаты прямых измерений пути l в интервальной форме:

l l l= ±( )Δ см, εl = … %.


1. Что представляет собой модуль перемещения шарика? Как направлен вектор перемеще-ния?2. Будут ли равными средние скорости движения шарика на первой и второй половинах пути? Почему?

Суперзадание. Во сколько раз отличаются промежутки времени движения шарика на первом и последнем сантиметрах пути?

Лабораторная работа 3. Изучение закономерностей равноускоренного движения

Ц е л ь: используя стробоскопическую фотографию равноускоренного дви-жения тела, определить модули ускорения и мгновенной скорости, соотноше-ние путей, проходимых телом за равные последовательные промежутки вре-мени.О б о р у д о в а н и е: стробоскопическая фотография, линейка (рис. 263, а).


Равноускоренно движущееся из состояния покоя тело за промежуток вре-мени t проходит путь, равный

s at=2

2. (1)

Измерив путь s и зная промежуток времени движения t, можно вычислить ускорение:

a st

= 22 . (2)



Модуль мгновенной скорости равноускоренного дви-жения тела без начальной скорости (v0 = 0) изменяется по закону

v = at. (3)

Если в уравнении (1) исключить параметр t, выразив его из формулы (3), получим:

s va

=2

2.

Тогда, измерив s, можно определить скорость в данной точке траектории:

v as= 2 . (4)

Из графика скорости (рис. 263, б) равноускоренного движения тела найдем отношение путей, проходимых телом за равные последо-вательные промежутки времени.Из графика следует: s1 : s2 : s3 : s4 : ... : s n = 1 : 3 : 5 : 7 : ... : (2n − 1), где n = 1,

2, 3, 4, ... .Пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки

времени при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, относятся как ряд нечетных чисел.

Порядок выполнения работы1. Рассмотрите внимательно рисунок, на котором представлены последова-

тельные положения равноускоренно движущегося шарика через 0,02 с.Цифрой 0 обозначено начальное положение шарика (t0 = 0,00 с).2. Рассчитайте промежутки времени, через которые шарик окажется в по-

ложениях 1, 2, 3, 4, ..., 10.

Рис. 263



3. По миллиметровой шкале линейки определите путь, проходимый шариком (например, до положения 10) и промежуток времени t. По формуле (2) вы-числите ускорение.

4. Выполните задание 3 еще для двух положений (5, 8) шарика и определи-те модуль ускорения а. Сравните результаты и сделайте выводы.

5. Определите модуль мгновенной скорости движения шарика в положениях 5, 8, 10, используя формулу (4).

6. По полученным значениям постройте график зависимости модуля скорости от времени движения.

7. По шкале линейки найдите пути s4, s7, s10, проходимые шариком за 0,02 с на участках 3—4, 6—7, 9—10, и их отношения: s4 : s7 : s10. Сравнив эти от-ношения с соответствующими отношениями нечетных чисел 7 : 13 : 19, сделайте выводы.


1. Какие положения шарика (в верхней или нижней частях снимка) целесообразнее брать для определения ускорения? Почему?2. В каком соотношении будут модули перемещений шарика за равные последовательные промежутки времени?3. Что представляет собой график зависимости пути от времени движения шарика из со-стояния покоя? Начертите график.

Суперзадание. Выведите формулу: v v22

12− = 2as для равноускоренного дви-

жения и проверьте ее выполнение для любых двух положений шарика.

Лабораторная работа 4. Изучение движения тела по окружности

Ц е л ь: определить период обращения, модули центростремительного ускоре-ния, угловой и линейной скорости при движении тел по окружности со скоростью, модуль которой постоянен; рассчитать абсолютную и относительную погрешности прямых измерений промежутка времени движения тела.О б о р у д о в а н и е: штатив с лапкой или кольцом, нить, два двойных ли-

ста бумаги, приклеенных друг к другу (на листах начерчена окружность радиусом 10 см), металлический шарик, секундомер, линейка.

Вывод расчетных формулДвижение тела (материальной точки) по окружности радиусом R со скорос-

тью, модуль которой постоянен, характеризуется:а) угловой скоростью, модуль которой определяется как

ω π= 2T

, (1)



где Т — период обращения тела. Модули линейной v и угловой ω скоростей свя-заны соотношением:

v = ω R; (2)

б) центростремительным (нормальным) ускорением, модуль которого

anvR

=2

.

С учетом формул (1) и (2) an

RT

= 4 2

2π . (3)

Измерив период обращения Т шарика, можно определить ап, ω и v.

Порядок выполнения работы

1. Нить длиною 40—45 см привяжите одним концом к шарику, а другим — к лапке или коль-цу штатива. Лист бумаги положите так, чтобы центр начерченной на нем окружности находился под центром (рис. 264) шарика. Взявшись за нить вблизи точки подвеса, приведите шарик в дви-жение по окружности. Небольшой тренировкой добейтесь того, чтобы он двигался над окружнос-тью, начерченной на листе бумаги.

2. С помощью секундомера определите про-межуток времени t, за который шарик совершит N = 10 оборотов. Для чего один из учащихся фик-сирует начало отсчета времени словом «нуль», а второй с этого момента начинает вслух отсчет оборотов движения шарика. Пос-ле совершения шариком 10 оборотов отсчет времени прекращается. Опыт по-вторите пять раз. Результаты измерений занесите в таблицу.Рассчитайте среднее значение времени t .

Рассчитайте среднее значение периода обращения T шарика:

Tt

N= .

3. Найдите среднее значение модуля ускорения по формуле:

a R

T= 4 2

2π .

4. Определите, используя формулы ( 1 ) и (2), средние значения модулей угловой и линейной скоростей.

Рис. 264



5. Аналогично, как в лабораторной работе 2, рассчитайте абсолютную Δt и относительную εt погрешности прямых измерений промежутка времени движения шарика. Результат прямых измерений промежутка времени t запишите в интер-вальной форме.


1. Как изменяется линейная скорость rv при движении шарика по окружности, если модуль

скорости v = const?2. Как доказать соотношение v = ωR?3. Как зависит период обращения Т шарика от модуля его линейной скорости?

Суперзадание. Определите ускорение материальной точки при ее движении

по окружности, если за Δt = 1 с она прошла 16

длины окружности с линейной ско-

ростью, модуль которой v = 10 смс = const.

Лабораторная работа 5. Проверка закона Гука

Ц е л ь р а б о т ы: измерить жесткость пружины, проверить для нее вы-полнение закона Гука.О б о р у д о в а н и е: штатив, динамометр со шкалой, закрытой миллиметро-

вой бумагой, набор грузов массой по 100 г.

Вывод расчетных формулЕсли к пружине (рис. 265) с начальной длиной l0 подвесить груз мас-

сой т, то под действием веса груза пружина удлиняется. Еe длина будет рав-на l, а абсолютное удлинение х = l − l0.

На покоящийся груз действуют две компенсирую-щие друг друга силы — тяжести mg

r и упругости

rFупр:

r rF mgупр = .

Так как по закону Гука Fупр = k|x|, то жесткость пружины:

k mgx

= .

Порядок выполнения работы1. Соберите установку согласно рисунку 265, за -

крыв шкалу динамометра миллиметровой бумагой.Рис. 265



2. Отметьте на бумаге положение стрелки-указателя ненагруженной пружи-ны черточкой с цифрой 0.

3. Подвесьте к пружине один груз массой m = 100 г и отметьте положение стрелки-указателя черточкой с цифрой 1. Измерьте расстояние между цифрами 0—1. Это и есть абсолютное удлинение х1 пружины под действием груза. По - в торите измерения x1 три раза.

4. Выполните задание 3, подвесив к пружине поочередно 2, 3, 4 груза. Опре-делив соответствующие абсолютные удлинения пружины х2, х3, х4, занесите дан-ные в таблицу.

5. Используя метод подсчета цифр (см. Приложение), рассчитайте силу упру-

гости пружины Fупр = mg при подвешивании одного, двух, трех и четырех грузов

g � � , �= 9 81 мс2

и занесите данные расчетов в таблицу.

Количествогрузов

Масса груза m, кг

Сила упругости

Fупр, Н

Абсолютное удлинение x , м

Повторные изменения

x1 x2 x3 <x>

1

2

3

4

6. Для нахождения k постройте график зависимости силы упругости Fупр от

абсолютного удлинения x при различном количестве грузов.

7. Выбрав точку С на графике так, чтобы сила Fупр С и удлинение хС были по

возможности большими, но не выходили за интервалы измерения силы, опре-

делите среднее значение k :

kF

xС

С= упр .



Контрольные вопросы1. К чему приложены сила упругости пружины и вес груза?2. Для любого ли количества грузов будет выполняться прямая пропорциональная зависи-мость силы упругости Fупр от абсолютного удлинения х? Почему?

Суперзадание. Как изменится жесткость пружины, если ее длину уменьшить на одну треть?

Лабораторная работа 6. Измерение коэффициента трения скольжения

Ц е л ь р а б о т ы: измерить коэффициент трения скольжения дерева по дереву. О б о р у д о в а н и е: деревянный брусок, доска, грузы массой m = 100 г

каждый, штатив, мерная лента (линейка).

Вывод расчетных формулЕсли деревянный брусок движется равномерно по доске (рис. 266, а), то

векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На брусок действуют силы упругости пружины динамометра

rFупр , тре -

ния rFтр , тяжести mg

r и реакции опоры

rN (рис. 266, б):

mg N F Fr r r r r

+ + + =тр упр 0. (1)

В проекции на ось Ох уравнение (1) примет вид:

−Fтр + Fупр = 0, или Fтр = Fупр. (2)

Но модуль силы трения Fтp = μN.

Рис. 266



Силу реакции опоры N можно определить, найдя проекции всех сил в урав-нении (1) на ось Оу:

−mg + N = 0;

mg = N.

Тогда сила трения Fтp = μmg. В итоге коэффициент трения скольжения:

μ = =F

mg

F

mgтр упр . (3)

Порядок выполнения работы1. С помощью динамометра измерьте вес бруска. Измерения повторите не

менее трех раз. Результаты занесите в таблицу.2. На брусок положите груз, прикрепите динамометр и равномерно пе-

ремещайте брусок по доске. Измерьте силу упругости Fупр пружины динамо-метра. Опыт повторите не менее 5 раз. Результаты измерений занесите в таблицу.

3. Опыты 1—2 повторите с двумя, тремя грузами. Данные занесите в таб-лицу.

Количествогрузов

Р, Н

P , Н

Fтp, Н

Fтр , НПовторныеизмерения

Повторные измерения

1

2

3

4. Найдите средние значения P и Fтр в опытах с 1, 2 и 3 грузами.

5. Постройте график зависимости Fтр от P бруска с грузами. По графику

определите среднее значение коэффициента трения μ (аналогично пункту 7) ла-бораторной работы 5:

μ =F

PС

трС .

6. По методу цены деления (см. Приложение) рассчитайте абсолютную ΔР и относительную εР погрешности прямых измерений веса бруска с грузами. За-пишите окончательный результат прямых измерений веса в интервальной форме.



Контрольные вопросы1. Что показывает коэффициент трения скольжения?2. Почему коэффициент трения скольжения является безразмерной величиной?3. От чего зависит коэффициент трения скольжения?

Суперзадание. Как с помощью линейки, бруска с грузами и наклонной доски определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву?

Лабораторная работа 7. Изучение движения тела, брошенного гори-зонтально

Ц е л ь р а б о т ы: измерить начальную скорость, сообщенную телу в гори-зонтальном направлении при его движении под действием силы тяжести. Об о р у д о в а н и е: штатив с лапкой, шарик, лоток, листы белой и копиро-

вальной бумаги, линейка.

Вывод расчетных формулТело, брошенное горизонтально, движется по ветви параболы (рис. 267), уча-

ствуя в двух движениях: равномерном по горизонтали и равноускоренном с уско-рением

rg по вертикали. Скорость равномерного движения равна

rv0 . Ее модуль

можно определить, зная дальность полета l и время движения t:

v lt0 = . (1)

При равноускоренном движении по вертикали hgt=

2

2, откуда

t hg

= 2 . (2)

Тогда, подставив формулу (2) в формулу (1), получим:

v l gh0 2

= . (3)

Рис. 267




1. Укрепите в штативе лоток так, чтобы загнутый конец лотка был располо-жен горизонтально (см. рис. 267).

2. Отметьте мелом положение на лотке, откуда будете пускать шарик. Сде-лайте пробный опыт и заметьте, в какую точку стола упал шарик. Положите лист копировальной бумаги на лист белой бумаги в месте падения шарика. Лист белой бумаги предварительно зафиксируйте.

3. Положите шарик на лоток там, где проведена метка, и отпустите его. От-метьте на белом листе цифрой 1 точку приземления шарика.

4. Повторите опыт не менее 5 раз, отмечая каждый раз точки приземления шарика цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Лист бумаги при этом не должен сдвигаться.

5. Измерьте во всех пяти опытах высоту падения и дальность полета шарика. Данные занесите в таблицу.

№ опыта h, м l, м

1

2

3

4

5

Среднее значение

6. Найдите среднее значение h и l .

7. Вычислите среднее значение скорости v0 по формуле:

v l gh0 2

= , g = 9,81 мс2

.

8. Рассчитайте абсолютную Δl и относительную εt погрешности прямых измерений дальности полета шарика.Результат прямых измерений l запишите в интервальной форме.


1. Почему траектория движения тела, брошенного горизонтально, искривляется?2. Как направлен вектор мгновенной скорости в различных точках траектории движения тела, брошенного горизонтально?3. Является ли криволинейное движение шарика движением с постоянным ускорением? Почему?



Суперзадание. Используя результаты работы, определите конечную ско-рость шарика (в момент соприкосновения его с листом бумаги). Какой угол с поверхностью листа образует эта скорость?

Лабораторная работа 8. Проверка закона сохранения импульса

Ц е л ь р а б о т ы: измерить импульсы системы до и после взаимодействия тел, входящих в нее; проверить выполнение закона сохранения импульса.Об о р у д о в а н и е: штатив с лапкой, лоток, два шара одинакового объема и

разной массы, листы белой и копировальной бумаги, линейка, весы, разновес.

Вывод расчетных формулШар массой т1, скатываясь с лотка, конец которого расположен горизон-

тально (рис. 268), приобретает в конце движения по лотку горизонтальную ско-рость

rv1, а следовательно, и импульс

r rp m v1 1 1= .

Проекцию скорости v x1 на ось Ох легко определить, измерив дальность по-лета l и высоту h:

v lxgh1 1 2

= . (1)

Тогда проекция импульса первого шара на ось Ох будет равна:

p m lxgh1 1 1 2

= . (2)

Поместим на краю лотка второй шар массой т2, импульс которого r rp2 0=

(r rv2 0= ), а первому шару дадим возможность двигаться из того же положения 1

(положение 1 отмечено мелом).Первый шар, имеющий в конце лотка горизонтально направленный импульс

p x1 , взаимодействует с лежащим неподвижно вторым шаром. После взаимодей-

ствия оба шара имеют скорости ′v x1 и ′v x2 , направленные горизонтально, а следо-

Рис. 268



вательно, и импульсы ′ = ′p m vx x1 1 1 и ′ = ′p m vx x2 2 2 . Так как внешние действующие

на шары силы (тяжести и реакции опоры) скомпенсированы, то для системы двух шаров выполняется закон сохранения импульса:

p p px x x1 1 2= ′ + ′ , (3)или

m v m vx x1 1 1 1= ′ + m v x2 2′ . (4)

Подставив в выражение (4) проекции скоростей (формула (1)), получим:

m l m l m l1 1 1 1 2 2= ′ + ′ . (5)

Порядок выполнения работы1. Измерьте массы т1 и т2 шаров на весах, повторив измерения три раза.2. Укрепите лоток в лапке штатива, чтобы конец лотка был расположен го-

ризонтально на высоте h = 15 см от поверхности стола.3. Сделав мелом метку на лотке, пустите с этого положения шар большей

массы т1 и понаблюдайте, в каком месте стола приземлится шар. Положите здесь лист белой бумаги, зафиксировав его, а сверху — лист копировальной бу-маги.

4. Поместите первый шар (массой т1) на метку и отпустите. По отметке на белом листе определите дальность полета l1. Опыт повторите пять раз, данные занесите в таблицу. Найдите среднее значение l1 .

5. Установите на краю лотка второй шар меньшей массы и пустите первый шар с того же места, что и в задании 3. По отметкам на белом листе найдите дальности полета шаров ′l1 и ′l2 . Опыт повторите пять раз и найдите среднее зна-чение ′l1 и ′l2 . Все данные занесите в таблицу.

№ опыта т1, кг т2, кг l1, м ′l1, м ′l2 , м

1

2

3

4

5

Среднеезначение



6. Проверьте выполнение закона сохранения импульса, подставив значения m1 , m2 , l1 , ′l1 , ′l2 в формулу (5).

7. Определите абсолютную и относительную погрешности прямых измерений дальности полета одного из шаров. Результаты прямых измерений дальности по-лета шара запишите в интервальной форме.


1. Как направлен импульс тела?2. При каких условиях выполняется закон сохранения импульса?3. Почему для системы двух шаров можно применять закон сохранения импульса?

Суперзадание. Можно ли утверждать, что суммарный импульс шаров не бу-дет изменяться и при их дальнейшем полете по параболической траектории вплоть до соударения с поверхностью стола? Аргументируйте ответ.

Лабораторная работа 9. Проверка закона сохранения механической энергии

Ц е л ь р а б о т ы: проверить выполнение закона сохранения механической энергии.Об о р у д о в а ние: два штатива, лоток, шар на нити, динамометр, листы бе-

лой и копировальной бумаги, линейка, весы, разновес.


Если растянутая пружина (рис. 269), обладающая потенциальной энер -гией Еп, взаимодействует с телом, то при переходе ее в недеформированноесостояние потенциальная энергия пружины при отсутствии сопротивления дви-жению полностью превращается в кинетическую энергию Ек тела:

Еп = Ек; (1)

Рис. 269



Е kxп =

2

2; (2)

Е mvк =

2

2; (3)

kx mv2 2

2 2= . (4)

Так как k x F= упр — сила упругости пружины, то

kx F x2

2 2= yпр . (5)

Скорость тела можно определить по дальности его полета l и высоте паде -

ния h: vl g

h2

2

2= (вывод формулы см. в лабораторной работе 8).

Тогда

mv ml gh

2 2

2 4= . (6)

С учетом выражений (5) и (6) формула (4) примет вид:

F x ml g

hупр

2 4

2

= , или F xml g

hупр =2

2. (7)

Формулу (7) можно проверить экспериментально.


1. Измерьте на весах массу шара.2. Укрепите на штативах лоток и динамометр на одинаковой высоте h ≈ 30 см

от поверхности стола. Нить длиной 40—45 см одним концом привяжите к крюч-ку динамометра, а другим — к шару (см. рис. 269). Расстояние между штативами должно быть таким, чтобы шар находился на самом краю горизонтальной части лотка при недеформированной пружине динамометра и горизонтальном положе-нии ненатянутой нити.

3. В предполагаемом месте 3 падения шара положите лист белой бумаги и сверху лист копировальной бумаги. Отведите шар в положение 2 так, чтобы по-казания динамометра стали Fyпр = 2,0 H. Отпустите шар и отметьте место падения его на столе по метке на листе белой бумаги (положение 3). Опыт проведите пять раз. Измерьте дальность полета шара во всех пяти опытах.

4. Измерьте линейкой абсолютную деформацию пружины x при силе упру-гости Fyпр = 2,0 H. Все данные занесите в таблицу.



№ опыта m, кг h, м l, м x , м

1

2

3

4

5

Среднее значение

5. Определите средние значения h , l и x .

6. Подставьте h , l и x в формулу (7) и проверьте выполнение закона сохранения энергии.

7. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешности прямых измерений одной из величин (h, l, х) и запишите результат в интервальной форме.

Контрольные вопросы1. Какую энергию называют механической?2. При каких условиях выполняется закон сохранения механической энергии?3. Чем можно объяснить только приближенное равенство потенциальной энергии пружины и кинетической энергии шара?

Суперзадание. Какую пружину (с большей или меньшей жесткостью) луч-ше использовать в работе для более точного выполнения закона сохранения механической энергии? Почему?


Приложение

Обработка результатов измерений. Оценка погрешностей

ВведениеИзмерением называется определение значения физической величины с

помощью измерительных средств экспериментальным путем.При выполнении лабораторных работ вы встретитесь с двумя видами изме-

рений: прямыми и косвенными.Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины

определяется непосредственно отсчетом по шкале прибора.Косвенное измерение — это измерение, при котором значение определя-

емой величины находится по формуле как функция других величин.Результат любого измерения является приблизительным, т. е. содер-

жит погрешность. Причин погрешности много: несовершенство измери-тельных приборов, округления при отсчетах и вычислениях, влияние внеш-них факторов (толчки, изменение температуры, давления и т. п.) и др. По-этому бессмысленно рассчитывать на получение точного (без погрешности) результата.

1. Случайные и систематические погрешности. ПромахиСлучайными называют такие погрешности, которые oт опыта к опыту из-

меняются непредсказуемым образом. Случайную погрешность при одном изме-рении обнаружить нельзя. Надо провести серию повторных измерений (при оди-наковых начальных условиях опыта). Многократное повторение опыта позволяет также уменьшить влияние случайных погрешностей на конечный результат из-мерений.Если при повторных измерениях получается один и тот же результат, то это

не означает, что случайной погрешности нет. Просто чувствительность измери-тельного прибора так низка, что случайная погрешность не проявляется.

Систематические погрешности — это погрешности, которые при повторе-нии измерения остаются постоянными. Эти погрешности связаны в основном с несовершенством измерительной техники, приближенной методикой измерений и обработки результатов.

Промахи — грубые ошибки, намного превосходящие ожидаемую при дан-ных условиях погрешность. Они вызываются невнимательностью при снятии ре-зультата, неисправностью прибора или резким изменением условий опыта.Во избежание промаха необходимо измерение одной и той же случайной

величины проводить несколько раз и результат, резко отличающийся от других (промах), отбросить.


212

2. Абсолютная и относительная погрешностиПусть мы с помощью секундомера измеряем промежуток времени t дви-

жения шарика по желобу. Проведя пять повторных измерений, мы по-лучили разные значения t1, t2, t3, t4, t5. Это приближенные значения. До-пустим, что истинное значение промежутка времени движения tист (рис. 270), т. е. измеренные значения отклоняются от истинного как в большую (t2, t3,t5 tист), так и в меньшую сторону (t1, t4 tист). Модуль максимального откло-нения полученного результата измерения от истинного значения величины на-зывается максимальной абсолютной погрешностью или верхней границей по-грешности. В данном примере она обозначается Δt:

Δt = ⎜t4 – tист⎜,

Рис. 270

так как именно значение t4 наиболее сильно отличается от tист.В большинстве случаев истинное значение tист величины неизвестно. Но если

произвести многократные измерения и найти среднее значение измеренной ве-

личины tt t t

nn= + + +( ... )

,1 2 то, чем большее число п измерений, тем ближе сред-

нее значение величины к ее истинному.Тогда окончательный результат измерений промежутка времени следует за-

писать так:t t t t t− +Δ Δист ,

илиt t t= ± Δ .

Относительная погрешность ε определяет, какую часть в процентах от из-меряемой величины составляет абсолютная погрешность:

ε = Δtt

100%.

Например, если среднее значение промежутка времени скатывания шарика с наклонного желоба t = 16,12 с определено с точностью до Δt = 0,08 с, то от-носительная погрешность:

ε = ≈0 0816 12

100 0 5,,

% , %.

Окончательный ответ следует записывать так: t = (16,12 ± 0,08) с; ε = 0,5 %.



213

3. Точные и приближенные числаПри обработке результатов измерений надо различать точные и приближен-

ные числа и знать правила точных и приближенных вычислений.Точные числа — это числовые коэффициенты; показатели степени в фор-

мулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения, и

др. Например: в формуле hgt=

2

2 коэффициент 1

2 и показатель степени 2 —

точные числа. Или: 4 км = 4 1000 м, 1 с = 13600

ч. Коэффициенты 1000, 1

3600 — точные числа.

Приближенными числами являются результаты измерения величин, таблич-ные значения величин, а также округленные значения точных чисел. Значения погрешностей тоже приближенные числа.Например, значение высоты h = 10,2 см, измеренное линейкой; ускорение

свободного падения g = 9,8 мс2

, значение абсолютной погрешности Δt = 0,08 с;

относительная погрешность ε = 0,5 %.4. Значащие цифрыВсе цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале числа, называются зна-

чащими. Например, в числах 9,8; 1005; 0,001 = 1 10–3 число значащих цифр со-ответственно равно: 2, 4 и 1.В точных числах число значащих цифр может быть бесконечно большим. На-

пример, число 2 можно записать и как 2,0; 2,00; 2,000 и т. д. Все цифры в этих записях значащие.При записи числа в стандартной форме первую значащую цифру ставят в

разряд единиц, а остальные — в десятичные разряды после запятой. Например, 0,001 = 1 10–3; 0,000172 = 1,72 10–4; 1328 = 1,328 103.Абсолютная погрешность в окончательном виде записывается с одной зна-

чащей цифрой.Например, l = (112,48 ± 0,02) см; Δl = 0,02 см = 2 10–2 см.5. Верные и сомнительные цифрыРезультаты измерений и вычислений могут содержать разное количество зна-

чащих цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные.Цифра приближенного числа считается верной, если его абсолютная погреш-

ность не превышает одной единицы того разряда, в котором стоит данная цифра.Например, для измеренной длины l = (93± 2) мм абсолютная погрешность

2 10, значит, цифра 9, стоящая в разряде десятков, верная. Цифра 3 стоит в разряде единиц. Погрешность 2 1, значит, цифра 3, стоящая за верной цифрой, является сомнительной.



214

Еще один пример. Пусть измеренная величина массы записывается так: m = (2,58 ± 0,04) 102 кг. Абсолютная погрешность 0,04 1 (2 — верная цифра), 0,04 0,1 (5 — верная цифра), наконец, 0,04 0,01, значит, цифра 8 — сом -нительная.Цифры, стоящие за сомнительной, — неверные. Например, в приближенном

числе 17,45 ± 2 цифры 4, 5 — неверные.Неверные цифры следует отбросить и записать: 17 ± 2.У точных чисел все значащие цифры верные, а погрешность точного числа

всегда равна нулю.6. Округление чиселТочные и приближенные числа можно округлять, т. е. уменьшать количество

значащих цифр.При округлении чисел руководствуются следующим правилом: если первая

отбрасываемая цифра равна или больше 5, то последняя сохраняемая цифра уве-личивается на единицу, если меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не из-меняется.Например, округлить до десятых, или до трех значащих цифр, числа:

13,273 ≈ 13,3 (отбрасываемая цифра 7 5);

13,253 ≈ 13,3 (отбрасываемая цифра 5);

13,233 ≈ 13,2 (отбрасываемая цифра 3 5);

83 128 ≈ 83 100 = 8,31 104(2 5).

Абсолютную погрешность округляют с избытком до одной значащей цифры. Например, l = (62 ± 2,4) мм следует записать: l = (62 ± 3) мм.

7. Математические операции с приближенными числамиа) Сложение и вычитаниеПри сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует оста-

вить столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим их количе-ством.Например: 4,87

2,30,4827,652 ≈ 7,7

+ 102,328 7,21 95,118 ≈ 95,1

−

б) Умножение и делениеПри умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохра-

нить столько значащих цифр, сколько значащих цифр в исходном данном с наи-меньшим их количеством.



215

Например:35,2 0,24 = 8,448 ≈ 8,4;87,6779 : 7,1 = 12,349 ≈ 12.в) Возведение в степень и извлечение корняПри возведении в степень приближенного числа в результате следует сохра-

нить столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет возводимое в степень число:

0,372 = 0,1369 = 0,14.

При извлечении корня из приближенного числа в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет подкоренное число:

3 0 1 73205 1 7, , ... , ;= ≈

81 9 0= , ;

64 4 03 = , .г) Вычисление тригонометрической функцииПри вычислении тригонометрической функции (sinα, cosα, tgα, ctgα), если

значение угла α задано с точностью до 1°, в значении тригонометрической функ-ции следует сохранить две значащие цифры.Например:

sin23° ≈ 0,39; tg30° ≈ 0,53.

8. Оценка погрешностей прямых измерений методом цены деленияНесовершенство школьных измерительных приборов приводит к тому, что

повторные измерения дают один и тот же результат. Например, мерной лентой измеряют длину желоба, и во всех трех измерениях получается результат 62 см.В таком случае:1) достаточно трех повторных измерений;2) приближенное значение измеряемой величины

l ll l l

изм = = + +1 2 3

3

равно любому из трех значений.3) абсолютную погрешность определяют равной цене деления шкалы при-

бора Δl = 1 см. Ответ измерения следует представить в виде l = (62 ± 1) см.9. Метод подсчета цифр (МПЦ)Метод подсчета цифр (MПЦ) используется для обработки результатов

косвенных измерений, в то время как метод цены деления — для прямых из-мерений.



216

При обработке результатов измерений МПЦ необходимо придерживаться следующих правил.

1. Результаты всех прямых измерений записывают в таблицу, оставляя толь-ко верные цифры (иногда для повышения точности окончательного ответа остав-ляют одну сомнительную цифру).

2. Все вычисления выполняют согласно правилам проведения математиче-ских операций над приближенными числами (пункт 7). Эти правила называют правилами подсчета цифр.

3. Погрешность результата непосредственно не вычисляют. Результат изме-рения при МПЦ записывается без указания погрешности.



Ответы к упражнениям


3. Δr1x = 6; Δr1y = 3; Δr2x = 1; Δr2y = –1; Δrx = 7; Δry = 2.4. s = 2,0 км; Δr = 0,10 км. 5. Δr = 32 м; Δrвер = 30 м; Δrгор = 10 м.6. s1 = 9,4 см; Δr1 = 8,5 см; s2 = 19 см; Δr2 = 12 см; s3 = 38 см; Δr3 = 0; s4 = 75 см; Δr4 = 0.


4. s = 90 м; Δr = 36 м; t = 9,0 c. 5. l1 = 45 км; l2 = 36 км; l12 = 81 км.

6. l12 = 5,0 км; s1 = s2 = 3,5 км. 7. x0 = 5,0 км; x1 = 725 км; v = 720 кмч

; s = Δr = 240 км.

8. x0 = 5,0 км; x1 = –715 км; v = 720 кмч

; s = Δr = 240 км. 9. v = 36 кмч

.


2. Δr = 0; s = 180 км. 3. s1 = 1,0 км; s2 = 0,25 км; s3 = 0,13 км; Δr1 = 1,0 км; Δr2 = −0,25 км; Δr3 = 0,13 км.

4. x01 = 6,0 км; x02 = − 6,0 км; v x1 24= кмч

; v x2 60= кмч

; t = 20 мин.

5. xп = A1 + B1(t − t0), где A1 = −0,80 км, B1 3,6 кмч

= ; Δrп = 1,2 км; xв = A2 + B2(t − t0), где A2 = 1,6 км,

B2 12 кмч

= − ; Δrв = 4,0 км; t0 = 3 ч 10 мин.

6. v x1 2 5= , ;мc

v x2 20= − мc

; v x3 10= мc

; x01 = x02 = 10 м; x03 = −20 м; l12 = 0; l13 = l23 = 30 м;

′ =l12 113 м; ′ =l13 7 5, м; ′ =l23 120 м.


1. v = 4 0, ;кмч

v1 5 0= , ;кмч

v2 0= ; v3 4 0= , .кмч

3. vv

x

x

1

2

5=3

. 4. v = 0 14, ;мс

rv = 0 10, .м

с 5. s = 0,94 км; Δr = 0,12 км;

rv = 0 20, ;м

с v = 1 6, .м

с6. v2 50= км

ч. 7. v = 48 км

ч.


5. 2 5, мс

v 5 5, .мс

6. v = 25 мс

; Δr = 45 км. 7. а) v = 5 мс

, Δr = 9 км; б) v = 18 мс

, Δr = 32 км.

8. Δrпл = 0; Δrб = 60 м; v = 3 2, .мс

9. α = 30°; t = 1,9 мин; мсбv = 0 87, . 11. t = 23 с.


2. t1 = t2 = 2,4 с. 6. t = 10 с. 7. a = 752смс

; v0 90= мс

; v х1 45= мс

; v х2 45= − мс

; tп = 1,2 c.

8. a x1 20 1= − , ;кммин

a x2 20 03= , ;км

мин v vх х1 2 0 1= = , ;км

мин t1 = 4 мин; Δr1 = 0,8 км.


2. a s= =0 33 0 602

, ; , .мс

км 3. vх = 22 смс

; Δrx = 96 см. 4. ss

A

B

( )( )

;44

2011

cc

= ss

A

B

( )( )

;88

87

cc

=

xA = А1t + B1t2, где А1 = 30 мс

, B1 = −1,25 мс2

; xB = А2t + B2t2, где А2 = 10 мс

, B2 = 0,94 мс2

.

6. s1 = Δr1 = y1 = 15 м; s2 = Δr2 = y2 = 20 м; s3 = 25 м; Δr3 = y3 = 15 м.


218


4. sr

sr

AB

AB

AC

ACΔ Δ≈ ≈11 1 6, ; , . 5. ω = 1 6, ;

радс

ν = −0 25 1, ;с Т = 4,0 с.

6. ωω

1

22= . 7. Т = 0,10 с; ω = 63

радс

; v = 13 мс

. 8. Тч = 12 ч; Тм = 1 ч; Тс = 1 мин;

νч1

12ч= −1; νм 1 ч= −1; νс

160с= −1; ω π

чрадч

=6

; ω πмрадч

= 2 ; ω πс

радс

.=30

9. ω = 2 0 10 7, ;– радс

v = 30 кмс

.


1. ω = = =0 63 3 14 2 02

, ; , ; , .радс

мс

мс

v a 2. ω = 0 71,радс

; v = 4 6, ;мс

s = 0 10, км; Δr = 13 м.

3. vvм

ч= 16;

aaм

ч= 188. 5. v = 12 м

с. 6. а) м

с v = 465 , a = 0 034

2, ;м

с б) м

с v = 233 , a = 0 017

2, .м

с

7. h = 58 м.


3. FА = FB = 1,0 Н; а) FА = FB = 0,71 Н; б) FА = FB = 0,58 Н; в) FА = FB = 0,50 Н.

4. V = 0,23 дм3. 8. F = 0,10 кН. 9. mлин < 40 г.


3. Да; mЗ = mЛ = 0,27 кг; ρ ρЗ Лг

cм= = 2 7

3, . 4. m1 = 500 г; m2 = 125 г. 5. m = 240 г.


4. a = 32

,3 мс

; v = 2,3 мс

. 5. Fmax = 24,6 Н. 6. a = 5 мс2

. 7. a = 72

,6 мс

; Fд = 36 Н.


3. а) F1 = 174 Н; б) F2 = 87 Н. 4. Δl = 4,0 мм. 6. kk

1

2

37

= . 7. а) k = 75 Нм

; б) k = 300 Нм

.


6. Fмакс. тр. пок = 3,0 Н; μпок = 0,58. 7. m = 2,0 кг. 8. t = 2,5 c. 9. μmin = 0,4. 10. h 1 5, м.


1. h1 = 15 м; t1 = 2,0 с; v = =20 72мс

кмч

. 2. v = 10 мс

; h = 5 м. 3. t1 = 1,2 с; t2 = 1,4 с; v = 20 мс

.

4. l = 20 см. 5. h = 20 м; l = 6,0 м. 7. α1 = 39°; α2 = 51°. 9. L = 21 3 м 36 м.≈


3. xС = 10 см (от центра шара 2). 4. xС = 2,3 см (от центра медной части). 5. α1 = 45°; α2 = 35°;

α3 = 60°. 7. x R=6

.



219


4. gh = 112

, .мc

5. h = 4,7 106 м. 6. T = 93 мин. 7. M = 6,4 1023 кг.


1. a = 1 0, мс2

(вверх). 2. a = 10 мс2

.

3. Р = 31 кН. 4. Р = 49 кН. 5. Р = 1,8 кН; Q = 2,6. 6. m = 3,0 кг.


3. Δ p mv1 2= ; Δ p mv2 2= ; Δ p3 0= . 4. Δ p = −1 23,6 10кг мс

.


3. а) ′ =v1 1,3 мс

; б) ′ = −v1 0 3, мс

(в противоположном направлении); в) ′ =v1 2,9 мс

, ′ =v2 5,3 мс

.

4. l = 1,0 м. 5. v3 300= мс

.


3. α = 30°. 4. А = 0,12 Дж. 5. А = 15 Дж. 6. m = 1,0 106 кг; А = −200 МДж. 7. А = 0,6 кДж.9. А = 0,22 МДж; Р = 1,6 кВт. 10. А = 6,4 кДж; Р = 1,8 кВт.


2. A = 90 Дж. 3. k = 100 Нм

. 4. А = 1,6 Дж.


3. А = −0,8 кДж. 4. Ек = 40 Дж. 5. m = 0,10 кг.


3. Ек = 0,15 МДж. 4. m = 0,1 кг; А = 2,4 Дж. 5. v = 20 мс

; Ек = 80 Дж; Еп = 40 Дж. 6. ΔЕп = 12 Дж.

7. Еп = 50 мДж; А = 18 мДж. 8. vmax 1,1 мс

.= 9. α = 60°. 10. l = 23 м. 11. 0,5. 12. ′ =m 180 г.

13. ′ = =v E1 362,0 мс

Дж; внутрΔ ; F = 600 H.



СОДЕРЖАНИЕ

Как работать с учебником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§ 1. Материя. Пространство и время. Механическое движение . . . . . . . . . . . —

Глава 1. КИНЕМАТИКА

§ 2. Задача кинематики. Виды механического движения . . . . . . . . . . . . . . . . . 10§ 3. Относительность движения. Система отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14§ 4. Скалярные и векторные величины. Действия над векторами . . . . . . . . . 18§ 5. Проекция вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22§ 6. Путь и перемещение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 7. Равномерное прямолинейное движение. Скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§ 8. Графическое представление равномерного прямолинейного движения . . 35§ 9. Неравномерное движение. Мгновенная скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42§ 10. Сложение скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 11. Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51§ 12. Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением . . 54§ 13. Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении . . . . 59§ 14. Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости . . . . . . . . . . . . 65§ 15. Ускорение точки при ее движении по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Глава 2. ДИНАМИКА

§ 16. Основная задача динамики. Сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76§ 17. Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил . . . . 79§ 18. Движение по инерции. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86§ 19. Масса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90§ 20. Второй закон Ньютона — основной закон динамики . . . . . . . . . . . . . . . 94§ 21. Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея . . . . . . . . . 100§ 22. Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106§ 23. Cилы трения. Силы сопротивления среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114§ 24. Движение тела под действием силы тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122§ 25. Центр тяжести. Виды равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131§ 26. Закон всемирного тяготения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138§ 27. Вес. Невесомость и перегрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


221221

Глава 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§ 28. Импульс тела. Импульс системы тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150§ 29. Закон сохранения импульса. Реактивное движение . . . . . . . . . . . . . . . . 156§ 30. Работа силы. Мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164§ 31. Потенциальная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171§ 32. Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел . . . . . . . . . . . . . . . 177§ 33. Закон сохранения энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Глава 4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Ответы к упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Содержание


Учебное издание

Исаченкова Лариса АртемовнаПальчик Геннадий ВладимировичСокольский Анатолий Алексеевич

ФИЗИКА

Учебник для 9 класса учреждений общего среднего образования

с русским языком обучения

2-е издание, переработанное

Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. В. Гринкевич. Оформление Е. Г. Дашкевич. Художественный редактор Е. П. Протасеня. Технический редактор И. И. Дубровская.Компьютерная верстка Г. А. Дудко, Л. И. Шевко, Т. В. Свириденко. Корректоры В. С. Бабеня,

Е. П. Тхир, А. В. Алешко.

Подписано в печать 31.03.2015. Формат 70 901/16. Бумага офсетная. Гарнитура лите-ратурная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,38 + 0,29 форз. Уч.-изд. л. 13,51 + 0,29 форз.

Тираж 93 000 экз. Заказ .

Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета»Министерства информации Республики Беларусь.

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/2 от 08.07.2013.Пр. Победителей, 11, 220004, Минск, Республика Беларусь.

ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа».Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,

распространителя печатных изданий № 2/3 от 04.10.2013.Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск, Республика Беларусь.


Исаченкова, Л. А.И85 Физика : учеб. для 9-го кл. учреждений общ. сред. образования с

рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Соколь-ский ; под ред. А. А. Сокольского. — 2-е изд., перераб. — Минск : Народная асвета, 2015. — 221 с. : ил.

ISBN 978-985-03-2401-6.Предыдущее издание вышло в 2010 году.

УДК 53(075.3=161.1)ББК 22.3я721


____________________________________________________________________________________________________________________(Название и номер учреждения образования)

Учебный год Имя и фамилия учащегося

Состояние учебника при

получении

Оценкаучащемуся за пользованиеучебником

20 /

20 /

20 /

20 /

20 /


Documents

adu.by...© Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В., Сокольский А. А., 2010 © Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В