Adrian Paenza - a Estas Ahi - Episodio Desbloqueado

8/6/2019 Adrian Paenza - a Estas Ahi - Episodio Desbloqueado

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siglo veintiuno editores

M A T EM T I C A E ST S A H ?Sobre nm eros , pe r sona jes , p rob lem as

y cu r ios idades

por

A DRIN PAEN Z AFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Coleccin Ciencia que ladra

Dirigida por D IEGO G O L O M B E K

Siglo

veintiuno

editores

Argentina


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ESTE LIBRO(y esta coleccin)

Ha y libros que duran un da, y son bueno s. Hay otros que du-ran un ao, y son mejores. Ha y los que duran muchos a os, y sonmuy buenos. Pero hay los que duran toda la vida: esos son losimprescindibles. Y este libro es uno de los que d uran toda la vi-da: un cofre del tesoro que, al abrirse, nos inunda de preguntas

y enigmas, de n meros qu e de tan grandes son infinitos (y distin-tos infinitos), de personajes que un o querra tener enfrente en un acharla de amigos.

Adrin Paenza no slo se pregunta p or qu la matemtica tie-ne mala prensa: se preocupa muy especialmente por acercarnosa esta bsqueda d e patron es y regularidades y logra contagiarnossu entusiasmo a toda prueba. Preguntn como poco s, Paenza no senvuelve en un universo en el que reina la ciencia, pero dondeno quedan afuera los amigos, los enigmas, la educacin y lasancdotas de un a vida dedicada a contar y ensear.

Alguno s de estos cuentos forman pa rte de las historias que el

autor nos regala en el ciclo Cientficos Ind ustria A rgentina, po-siblemente la seccin ms esperada por el pblico, que semanaa semana se esmera en resolver problemas de sombreros, rule-tas o cumpleaos. Pero todas las historias son parte de un uni-verso amplio y generoso qu e gracias a este libro incorporar nue-vos habitantes: el universo de Adrin Paenza.

El libro n os lleva por estos nuevos paisajes a travs de nume-

siglo veintiuno editores siglo veintiuno editores

Siglo veintiuno editores Argentina s.a.TUCUMN 1621 7 N (C1050AAG), BUENOS AIRES, REPBLICA ARGENTINA

Siglo veintiuno editores, s.a. de c.v.CERRO DEL AGUA 248, DELEGACIN COYOACN, 04310, MXICO, D. F.

Siglo veintiuno de Espaa editores, s.a.PRNCIPE DE VERGARA 78, 2 (28006) MADRID

Portada de Mariana Nemitz

2005, Siglo XXI Editore s Argen tina S.A.

ISBN: 987-1220-19-7

Impre so en Artes Grficas Delsur

Alte. Solier 2450, Avellaneda,

en el mes de noviembre de 2005

Hecho el depsito que marca la ley 11.723

Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, Adrin

Matemtica... ests ah? Sobre n mero s, personajes, prob lemas y curiosi-dades - 1a ed., 3a reimp. - Buen os Aires : Siglo XXI Editores Argentina, 2005.

240 p. ; 19x14 cm. (Ciencia que ladra... dirigida por Diego Golombek)

ISBN 987-1220-19-7

1. Matemtica-Enseaza I. Ttulo

CDD 510.7.

R. Senz Pea 180, (B1876BXD) Bernal,

Pcia. de Buenos Aires, Repblica Argentina


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Dedico este libro a mis padres, Ernesto y Fruma,a quienes les debo todo.

A mi querida hermana Laura. A mis sobrinos: Lorena, Alejandro, Mximo, Paula, Ignacio,

Brenda, Miguelito, Sabina, Viviana, Soledad, Mara Jos, Valentn,Gabriel, Max, Jason, W hitney, Ama nda

Jonathan , Meagan y Chad.A Carlos Griguol.

Y a la mem oria de mis tas Elena, Miriam y Delia,as como a las de Gu ido Peskin, Len Najnu del, Manny Kreiter

y Noem Cuo.

Agradecimientos

A Diego Golombek : sin l, no ha bra libro.A Claudio Martnez: porque fue el primero que insisti para que

contara estas historias por televisin y me estimul para qu e lo hiciera.A mis alumnos: de ellos aprend a ensear y entend lo que era

aprend er. A mis amigos, porque s, porque son mis amigos, me quiereny eso es lo nico que me importa.

A Carmen Sessa, Alicia Dickenstein, Miguel Herrera, BaldomeroRubio Segovia, Eduardo Dubuc, Carlos D Andrea, Cristian Czubara, En-

zo G entile, ngel Larotonda y Luis Santal.A quienes leyeron el man uscrito (bueno, no tan m anuscrito) y lo ata-

caron trata ndo d e salvarlo pero n o s si lo lograron: Gerardo Garbulsky,Alicia Dickenstein y Carlos DAndrea.

A Marcelo Bielsa, Alberto Kornblihtt, Vctor Hu go Morales y Ho ra-cio Verbitsky, por su p ostura tica en la vida. Gracias a ellos soy una me-

jor persona .

rosos ejemplos con diverso grado de dificultad. As, hay curio-sidades que podrn ser ledas con el mayor deleite y comodidady tambin otros captulos que desafan al lector a razonamien-tos audaces y demostraciones que a veces se les presentan a losmismsimos estudian tes de ciencias (algunas de las secciones in-cluyen temas de las mismas materias que Paenza dicta en la Fa-

cultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA). Entonces,mientras nos maravillamos con las aventuras de Paenza en el pasde las matem ticas, podremo s tambin, como lectores, jugar a serestudiantes de ciencias frente a la pizarra de lgebra o de An-lisis Matemtico.

Matemtica Ests ah? Tal vez se est poniendo las pre-guntas, pero lo qu e es seguro es que s, est a la vuelta d e la es-quina, en nuestra vida cotidiana y esperando a que la descubra-mos. He aqu una inmejorable gua para lanzarnos a explorar.

Esta coleccin d e divulgacin cientfica est escrita por cien-tficos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fueradel laboratorio y co ntar las maravillas, grandezas y miserias de laprofesin. Porque d e eso se trata: de contar, de compa rtir un sa-ber que, si sigue en cerrado, pu ede volverse intil.

Ciencia que ladra no muerde, slo da seales de que ca-balga.

Diego Golombek

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La m ano de la pr incesa

Cada vez que tengo que dar u na charla de m atemtica parapblico no matemtico, elijo una forma de empezar. Y es siem-pre la m isma. Pido p ermiso, y leo un texto que escribi PabloAmster, el excelente matemtico, msico, experto en kabbalahy, adems, una extraordinaria persona.

Esta historia la utiliz Pablo en un cu rso de matem tica quedio para un grupo de estudiantes d e Bellas Artes en la Capital Fe-deral. Se trata de un texto maravilloso que quiero (con la anuen -cia de l) compartir con ustedes.

Aqu va. El ttulo es: La man o de la princesa.

Una conocida serie checa de dibujos animados cuenta, ensucesivos captulos, la historia de u na princesa cuya man o esdisputada por un gran nmero de pretendientes.

stos deben convencerla: distintos episodios muestran losintentos de seduccin qu e despliega cada uno de ellos, de los

ms variados e imaginativos. As, empleando diferentes recursos, algunos ms sencillos

y otros verdaderamente m agnficos, uno tras otro pasan los pre-tendientes pero nadie logra conmover, siquiera un poco, a la

princesa.Recuerdo por ejemplo a uno de ellos mostrando una lluvia

de luces y estrellas; a otro, efectuando u n m ajestuoso vuelo y lle-

Probabi lidades y estim aciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Un poco de combinatoria y probabilidades. Encuesta con pregunta prohi-bida. Cmo estimar el nmero de peces en el agua. El problema del palo-mar o Pigeon Hole. Afinadores de piano (en Boston). Aldea global. Paten-tes de los autos. Cunta sangre hay en el mundo? Cun tas personas tieneque haber en un a pieza para saber que la probabilidad de que dos cumplan

aos el mismo da sea mayor que un medio? Moneda cargada.

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Pensamiento lateral. Problema de los tres interruptores. 128 participantesen un torneo de tenis. Problema de las tres personas en un bar y pagan con30 pesos una cuenta de 25. Antepasados comunes. Problema de Monty Hall.Sentido Comn (bocas de tormenta). El acertijo de Einstein. Problema de lasvelas. Sombreros (parte 1). Sombreros (parte 2). Sobre cmo mejorar una es-trategia. Mensaje interplanetario. Qu nmero falta? Acertijo sobre cun-tas veces le gustara a una p ersona comer fuera de su casa.

Reflexiones y curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Lgica cotidiana. Diferencia entre un m atemtico y un bilogo. El proble-ma de los Cuatro Colores. Santa Claus. Cmo construir un ngulo recto. Al-fabetos del siglo XXI . Cirujanos y maestros del siglo XXI . Sobre monos y ba-nanas. Q u es la matemtica? Universidad de Cambridge. Teclado qwerty.La excepcin que confirma la regla. Preguntas que le hacen a un m atemti-co. Votaciones. Jura tica. Cmo tomar u n examen . Nios prodigio. Histo-ria de los cinco minutos y los cinco aos. Por qu escrib este libro?

Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231



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te curso, quizs se sorprenderan ahora como se sorprendieroncon el final de la historia anterior: vamos a hablar (o estamoshablando) de m atemtica.

En efecto, hablar de matemtica no es solamente demostrarel teorema de Pitgoras: es, adems, hablar del amor y contarhistorias de princesas. Tambin en la matemtica hay belleza.

Como dijo el poeta Fernando Pessoa: El binomio de Newtones tan hermoso como la Venus de Milo; lo que pasa es que muypoca gente se da cuenta.

Muy poca gente se da cuenta Por eso el cuento de la prin-cesa; porque el problema, com o adivina el ltimo de los preten-dientes, es que Lo ms interesante que hay en este pas, no selo ve (Henri Michaux, El pas de la magia).

Muchas veces me sent en el lugar de los primeros galanes. As, siempre me esforc por exponer las cuestiones matemti-cas ms bellas, pero la mayora de las veces, debo reconocerlo,mis apasionados intentos no tuvieron la respuesta esperada.

Trato esta vez d e acercarme a l galn hu milde d el ltimo ca-ptulo. De la matem tica, segn W hitehead la creacin m s ori-ginal del ingenio h um ano, hay b astante para decir. Por eso es-te curso. Slo que hoy prefiero tambin yo mirar las cosas deesa otra manera , y empezar contando un cuento

Esta presentacin de Pablo Amster apunta directamente alcorazn de este libro. La idea es poder recorrer varias historias,pensar libremente, imaginar con osada y parar cuando uno lle-

ga a algo que lo entusiasma. Pero buscar esos pun tos. No slo es-perar que lleguen. Estas lneas tienen ese propsito: entusiasmar-los, conm overlos, enam orarlos, sea con la matemtica o con un ahistoria que no conocan. Espero lograrlo.

MATEMTICA ESTS AH? 15

nando el espacio con sus movimientos. Nada. Al fin de cadacaptulo aparece el rostro de la princesa, el cual nu nca d eja vergesto algun o.

El episodio que cierra la serie nos proporciona el impensa-do final: en contraste con las maravillas ofrecidas por sus an-tecesores, el ltimo de los pretendientes extrae con humildad

de su capa un par de anteojos, que da a probar a la princesa:sta se los pone, sonre y le brinda su mano.

***

La historia, ms all de las posibles interpretaciones, es muyatractiva, y cada episodio por separado resulta d e un a gran be-lleza. Sin embargo, slo la resolucin final nos da la sen sacinde que todo cierra adecuadamente.

En efecto: hay u n interesante m anejo de la tensin, que nos ha-ce pensar, en cierto punto, qu e nada conformar a la princesa.

Con el paso de los episodios y por consiguiente, el agota-miento cada vez mayor de los artilugios de seduccin, nos eno-

jamo s con esta princesa insaciable. Qu cosa tan extraordina-ria es la que est esperando? Hasta que, de pronto, aparece eldato que descono camos: la princesa no se emocionaba an te lasmaravillas ofrecidas, pues n o pod a verlas.

As que se era el problema. Claro. Si el cuento mencionaraeste hecho un poco antes, el final no nos sorprendera. Podramosadmirar igualmente la belleza de las imgenes, pero encontra-ramos algo tontos a estos galanes y sus mltiples intentos de

seduccin, ya que nosotros sabramos qu e la princesa es m iope.No lo sabem os: nuestra idea es que la falla est en los pre-

tendientes, que ofrecen, al parecer, dema siado poco. Lo que h a-ce el ltimo, ya enterado del fracaso de los otros, es cambiar elenfoque del asunto. Mirar al problema de otra manera.

De no saber ya ustedes [Pablo se refiere aqu a los estudian-tes de Bellas Artes que eran sus interlocutores] de qu trata es-

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N m e r o s

N m e r o s g r a n d e s

N meros grand es? S. Gran des. Difciles de imaginar. Unoescucha que las deudas externas se manejan en miles de millonesde dlares, que las estrellas en el cielo estn a aos luz de la Tie-rra, que la molcula de ADN contiene tres mil millones de nucle-tidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis milgrados centgrados, etctera. Estoy seguro de que cada uno que es-

t leyendo este prrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.Lo que yo h ago frente a estas magnitudes es compararlas,

contrastarlas con algo que me sea ms fcil representar.En el mundo hay ms de seis mil quinientos millones de

personas. En realidad ya somos (en a gosto de 2005) ms de seismil trescientos millones. Parece mucho. Pero qu es mucho ?Veamos. Q u diferencia hay entre un milln y mil millones?(aparte de qu e el ltimo tiene tres ceros ms). Para ponerlo enperspectiva, transformmo slos en segundos. Por ejemplo, supon -gamos que en un pueblo en donde el tiempo slo se mide en se-

gundos, una persona est acusada de h aber cometido un delito.Se enfrentan el fiscal y el abogado d efensor delante del juez queinterviene en la causa. El fiscal pide mil millones de segundo spara el reo. El defensor lo tilda de loco y slo est dispuestoa aceptar un milln d e segundo s, y slo como un hecho sim-blico. El juez, acostumbrado a medir el tiempo de esa forma,sabe que la diferencia es abismal. Entienden las razones?



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Qu es un ao luz?

Un a o luz es una med ida de distancia y no de tiempo. Mi-de la distancia que la luz tarda un a o en recorrer. Para po-ner en perspectiva esto, digamos que la velocidad d e la luz esde 300.000 kilmetros por segundo. El resultado de multipli-

car este nmero por 60 (para transformarlo en minutos) es18.000.000 km po r minuto . Luego, nuevamente multiplicadopor 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilmetros por hora (milochenta millones de k ilmetros por hora). Multiplicado por 2 4resulta que la luz viaj 25.920.000.000 (25 mil millones de ki-lmetros en un da).

Finalmente, multiplicado por 365 das, un ao luz (o sea, ladistancia que la luz viaja por ao) es de (aproximadamente)9.460.000.000.000 (casi n ueve billones y medio) de kilmetros.

De manera tal que cada vez que les pregunten cunto es unao luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de me-dir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casinueve billones y medio d e kilmetros. Es lejos, vean.

N m e ro s i n t e re s a n t e s

Voy a probar ah ora que todos los nm eros naturales son n -m eros interesantes . Claro, la primera pregun ta que surge es: qu quiere decir que un nmero sea interesante? Vamos a d ecir que unnmero lo es cuando tiene algn atractivo, algo que lo distinga, al-

go que merezca destacarlo de los otros, que tenga algn bo rde oalguna particularidad. Creo que todos entendemos ahora lo quequiero decir con interesante. Ahora, la demostracin.

El nmero uno es interesante porque es el primero de to-dos. Lo distingue enton ces el hecho de ser el ms chico de to-dos los nmeros naturales.

El nmero d os es interesante por varias razones: es el primer


adems, si pudiera ir ponindo se en el bolsillo una pepita po r se-gundo, cunto tardara?

Como h ay 64 cuadraditos en el tablero de ajedrez, se tendranun trilln de pep itas de oro! Seguro qu e aqu los nmer os vuel-ven a ser confusos, porque uno no tiene la ms vaga idea de loque significa un trilln de ningn objeto. Comparmoslo en-

tonces con algo que nos sea ms familiar. Si como dijimos an-tes, cada una de las pepitas pesa slo un gramo, la pregunta es:cunto es un trilln de gramos ?

Esto representa un billn de ton eladas. Igual es un pro blema,porque quin tuvo alguna vez un billn d e algo? Este peso se-ra equivalente a tener cuatro mil millones de Boeing 777 con440 pasajeros a bordo, su tripulacin y combustible para viajar20 hora s! Y aun as, si bien avanzam os un poco , uno pod ra pre-guntarse cunto es cuatro mil millones de algo.

Y cunto tiempo tarda ra uno en p onerse las pepitas de oroen el bolsillo, si uno pudiera hacerlo a una velocidad sper rpi-da de un a pepita po r segundo? Tardara, nuevamente, un trillnde segundos! Pero cunto es un trilln de segundos? Cmo me-dirlo con algo que n os resulte familiar? Por ejemplo, basta pen-sar que n os llevara ms de cien m il millones de aos. No s us-tedes, pero yo tengo previsto ha cer otras cosas con mi tiempo.

t o m o s e n e l u n i v e rs o

Slo como u na cu riosidad y a efectos de mostrar otro n-

mero enorme, piensen que en el universo se estima que hay 2

300

tomo s. Si 210

es aproximadamente 103, entonces, 2

300es apro-

ximadamente 1090

. Y escrib todo esto pa ra pod er decir entoncesque en el Universo hay tantos tomos como po ner el nmero unoseguido de noven ta ceros.

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nmeros naturales, o sea, enteros positivos tiene que tener unprimer elemento. Es decir, un n mero que sea el menor de to-dos los que estn en la bolsa.

Pero entonces, el supuesto primer nmero no interesante setransforma en interesante. El hecho que lo distingue es que serael primero de todos los nmeros no interesantes, una razn ms

que suficiente p ara d eclararlo interesante. No les parece? El error,entonces, provino de haber pensado que haba nmeros no inte-resantes. No es as. Esa bolsa (la de los nmeros no interesantes)no puede contener elementos, porque si los tiene, alguno tiene queser el primero, con lo que pasara a ser interesante un nmeroque por estar en la bolsa debera ser no interesante.

MORALEJA: Todo n mero natu ral ES interesante.

C m o c o n s e g u ir u n c o n t ra t o c o m oconsu l to r usando un po co de ma tem t ica

Uno puede h acerse pasar por adivino o por una persona muyentrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar enla Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la quecrecen las potencias de un nmero.

ste es un ejemplo muy interesante. Supongamos que te-nemos una base de datos de 128.000 personas. (Por las du-das, no crean que son ta ntas, ya que la mayora de las gran-des empresas las tienen, las compran o las averiguan). De todasformas, para lo que quiero invitarlos a pensar, podramos em-

pezar con un n mero ms chico, e igualmente el efecto sera elmismo.Supongamo s que uno elige alguna accin o algn commo-

dity cuyo precio co tice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas,que uno elige el precio del oro. Supongamos tambin que us-tedes se sientan frente a su computadora un domingo por la tar-de. Buscan la base de d atos que tienen y seleccionan las direc-


nmero par, es el primer nmero primo.2

Creo que con estosdos argumentos ya podemos distinguirlo.

El nmero tres tambin es interesante, porque es el primernmero impar que es primo (por elegir una razn de las muchasque habra).

El nmero cuatro es interesante porque es una potencia de dos.

El nmero cinco es interesante porque es un nmero primo.Y de aqu en adelante deberamos ponerno s de acuerdo en quecuando un n mero es primo, ya tiene una caracterstica fuerteque lo distingue y lo podramos considerar interesante sin bus-car otros argumentos.

Sigamos un po co ms.El nmero seis es interesante porque es el primer n mero

compuesto (o sea, no es un nm ero primo) qu e no sea una po-tencia de dos. Recuerde que el primer nm ero compuesto queapareci es el cuatro, pero es una potencia de dos.

El nmero siete es interesante, y no h ace falta argumentarms porque es primo.Y as podramos seguir. Lo que quiero probar con ustedes

es que:Dado un nmero entero positivo cualquiera siempre

siempre hay algo que lo tran sforma en interesante o atracti-vo o distinguible.

Cmo hacer para p robar esto con todos los nm eros, si soninfinitos? Supo ngamos que n o fuera as. Enton ces, eso quiere de-cir que hay nmeros que llamaremos no interesantes. A esos n-meros los ponemos en u na bolsa (y supondremos que esta bol-

sa no est vaca). Es decir, tenemos una bolsa llena de nmerosno interesantes. Vamos a ver que esto nos lleva a una contra-diccin. Esa bolsa como todos los n meros que c ontien e son

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2 Como se ver ms adelante, los nmeros primos son aqu ellos que slo sondivisibles por uno y por s mismos.


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personas a las que les fueron diciendo, da por da, durante diezdas, lo que pasara con el precio del oro.

Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contra-taran como consultor pagndole, digamos, mil dlares por ao(no lo quiero poner por mes, porque tengo cierto pudor an)n o creen qu e contrataran sus servicios? Recuerden que uste-

de s acertaron siempre por diez das con secutivos.Con esta idea, empezando con una base de datos o bien ms

grande o ms chica, o parand o antes en el envo de correos elec-trnicos, ustedes se pueden fabricar su propio grupo de person asque crean en ustedes o que crean sus predicciones. Y ganar di-nero en el intento.

3

Hot e l de H i lbe r t

Los conjuntos infinitos tienen siempre un costado a tracti-

vo: atentan contra la intuicin. Supongamos que h ubiera un n-mero infinito de personas en el mundo. Y supongamos tambinque hay un hotel, en una ciudad, que contiene infinitas habita-ciones. Estas habitaciones estn numeradas, y a cada una le co-rresponde un nmero natural. As entonces, la primera lleva elnmero 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etctera. Es decir: enla puerta de cada habitacin h ay una placa con un n mero, quesirve de identificacin.

Ahora, supongamos que todas las habitaciones estn o cupa-


ciones electrnicas de todas las persona s que all figuran. En -tonces, a la mitad de ellas (64.000) les envan un mail dicin-doles que el precio del oro va a subir al da siguiente (lunes).Y a la otra mitad les envan un mail dicindoles lo contrario:que el precio del oro va a bajar. (Por razones que qu edarn msclaras a medida que avance con el ejemplo, excluiremos los

casos en los que el oro permanece con el precio constante enla apertura y el cierre.)

Cuand o llega el lunes, al finalizar el da, el precio d el oro obien subi o bien ba j. Si subi, hay 64.000 personas que ha -brn recibido un mail de ustedes dicindoles que subira.

Claro, qu importan cia tendra. Ha ber acertado un da lo quepasara con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con laidea: el lunes a la noche, de las 64.000 personas que haban re-cibido su primer mail dicindoles que el precio del oro subira,ustedes seleccionan la mitad (32.000) y les dicen que el martesvolver a subir. Y a la otra mitad, los otros 32.000, les envanun mail dicindoles que va a bajar.

Llegado el ma rtes por la noch e, ustedes estn seguros de qu ehay 32.000 para los cuales ustedes no slo acertaron lo del mar-tes, sino que ya haban acertado el lunes. Ahora repitan el pro-ceso. Al dividir por la mitad, a 16.000 les dicen que va a subir yal resto, los otros 16.000, que va a bajar. Resultado, el mirco-les ustedes tienen 16.000 personas a las que les avisaron el lunes,el martes y el mircoles lo que pasara con el precio del oro. Yacertaron las tres veces (para este grupo).

Reptanlo u na vez ms. Al finalizar el jueves, ustedes tienen

8.000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la n o-che, tienen 4.000. Piensen bien: el viernes por la n oche, ustedestienen 4.000 personas que los vieron acertar todos los das co nlo que pasara con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro queel proceso podran seguirlo a la semana siguiente, y podran te-ner dos mil al siguiente lunes, mil al martes y, si queremos esti-rarlo an ms, el mircoles de la segunda semana, tendrn 500

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3 Exclu adrede el caso en que el p recio del oro perman ece igual en la aper-tura y en el cierre, porque para el ejemplo es irrelevante. Ustedes podran deciren sus mensajes a algunos que el precio del oro subir o permanecer constan-te, y al otro grupo que bajar o perm anecer constante. Si el precio del oro que-da quieto, repiten el proceso sin dividir por dos. Es como hacer de cuenta queese da no existi. Y por otro lado, si ustedes pueden conseguir una base de da-tos ms grande que 128.000, sigan adelante. Tendrn ms clientes a los diez das.


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temente del nmero de personas que aparezcan buscando unapieza para dormir?

d) Y si llegaran infinitas personas? Qu pasara en esecaso?

Las soluciones las pueden buscar en el apndice.

R e p i t a n c o n m i g o : n o s e p u e d e d i v id i r p o r c e r o !

Imaginen que entran en un negocio en donde toda la mer-cadera que se pued e compra r cuesta mil pesos. Y ustedes entranjustamente con esa cantidad: mil pesos. Si yo les preguntara:cu ntos artculos pueden co mprar? , creo que la respuesta es ob-via: uno solo. Si en cambio en el negocio todos los objetos va-lieran 500 pesos, entonces, con los mil pesos que trajeron podrancomprar, ahora, dos objetos.

Esperen. No crean que enloquec (estaba loco de antes). S-ganme en el razon amiento. Si ahora los objetos que vende el ne-gocio costaran slo un peso cada un o, ustedes podran comp rar,con los mil pesos, exactamente mil artculos.

Como se apr ecia, a medida que disminuye el precio, aumen-ta la cantidad de objetos que ustedes pueden adquirir. Siguien-do con la misma idea, si ahora los artculos costaran diez cen-tavos, ustedes podran comprar diez mil. Y si costaran uncentavo, sus mil pesos alcanzaran para adquirir cien mil.

O sea, a medida que los artculos son cada vez ms baratos,se pueden comp rar ms unidades. En todo caso, el nmero deunidades aumenta tanto como uno quiera, siempre y cuando un ologre que los productos sean cada vez de menor valor.

Ahora bien: y si los objetos fueran gratuitos? Es decir:y si no costaran nada? cun tos se pueden l levar? Piensenun poco.


das y slo por una persona. En un momento determinado, llegaal hotel un seor con cara de muy cansado. Es tarde en la nochey todo lo que este hombre espera es terminar rpido con el pape-lero para irse a descansar. Cuando el empleado de la recepcinle dice: lamentablemente n o tenemo s ninguna h abitacin dispo-nible ya que todas las habitaciones estn ocupadas, el recin lle-

gado no lo puede creer. Y le pregunta:Pero c mo No tienen u stedes infinitas habitaciones?S respo nd e el e mplea do del h otel.Entonces, cmo me dice que no le quedan h abitaciones

disponibles?Y s, seo r. Estn tod as ocu pad as.Vea. Lo que m e est con testan do n o tiene sen tido. Si us-

ted no tiene la solucin al problema, lo ayudo yo.Y aqu conviene que ustedes piensen la respuesta. Puede ser

correcta la respuesta del conserje no hay ms lugar, si el ho-tel tiene infinitas habitaciones? Se les ocurre alguna solucin?

Aqu va:Vea con tinu el pa sajero. Llame al se or de la h abita-

cin que tiene el nm ero 1 y dgale que pase a la que tiene el 2.A la persona que est en la habitacin 2, que vaya a la del 3. Ala del 3, que pase a la del 4. Y as siguiendo. De esta forma, todapersona seguir teniendo una habitacin, que no compartir connadie (tal como era an tes), pero con la diferencia de que ah ora que-dar un a habitacin libre: la nmero 1.

El conserje lo mir incrdulo, pero com prend i lo que le de-ca el pasajero. Y el problema se solucion.

Ahora bien, algunos problemas ms:a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, qu suce-de? Tiene solucin el problema?

b) Y si en lugar de dos, llegan cien?c) Cmo se puede resolver el problema si llegan n pasaje-

ros inesperadamente durante la noche (donde n es un nmerocualquiera). Siempre tiene solucin el problema independien-

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Los invito aho ra a que elijamos cualquier otro n mero pa-ra empezar, digamos el 24. La sucesin que se tiene es:

{24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Si ahora empezamos con el 100, se sigue:

{100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52,26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Como se alcanza a ver, todas las sucesiones que eleg termi-nan en el nmero 1.

En realidad, aunque n o lo dije antes, al llegar al nmero 1el proceso se detiene, porque si uno siguiera, entrara en un la-

zo o crculo, ya que del 1 pasa ra al 4, del 4 al 2 y del 2 otra vezal 1. Por eso es que cuando al construir la sucesin llegamos alnmero 1, detenemos el proceso.

Ha sta hoy, agosto de 20 05, en todos los ejemplos con ocidos

siempre se termina la sucesin en el nmero 1. Pero no se tie-ne ninguna demostracin que pruebe que el resultado es vlidopara cualquier nmero con el que comencemos el ejercicio.

Este problema se conoce con el nombre de problema 3x+ 1, o tambin como el Problema de Collatz, o Problema deSyracusa, o Problema de Kaku tani o Algoritmo d e H asse oProblema de Ulam. Como ven, tiene muchos n ombres pero n in-guna solucin. Es una buena oportun idad para empezar. Con to-do, permtanme intercalar algo aqu: es muy poco probable queuna persona lega tenga las herramientas suficientes para re-

solverlo. Se estima que h ay slo veinte persona s en el mu ndocapaces de atacarlo. Pero como escrib en alguna o tra partede este mismo libro, eso no significa que alguno de ustedes, enalgn lugar del planeta, por mayor o menor entrenamiento ma-temtico que tengan, est impedido para que se le ocurra unaidea que nadie tuvo antes y el problema quede resuelto por unapersona que no pertenezca a ese privilegiado grupo de veinte.


E l p rob lem a 3x + 1

Les propongo un ejercicio para que hagamos juntos. Natu-ralmente, ni yo estoy aqu para acompaarlos (aqu significadonde estn ustedes ahora leyendo este libro) ni ustedes estnconmigo aqu (aqu es donde estoy yo, sentado frente a mi com-

putadora escribiendo estas lneas). De todas formas, digresinaparte, sganme en este razonamiento.

Vamos a con struir juntos un a sucesin de nm eros naturales(enteros po sitivos). La regla es la siguiente: empezamos p or un ocualquiera. Digamos, a manera de ejemplo, que elegimos el n-mero 7. se va a ser el primer elemento de nuestra sucesin.

Para generar el segund o elemento, h acemos lo siguiente: si elque elegimos primero es par, lo dividimos por dos. En cambio,si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. En nuestroejemplo, al haber elegido el 7, como no es par, tenemos que mul-tiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el nmero 22,

ya que 3 x 7 = 21 y sumando uno, queda 22.Tenemos en tonces los primeros dos elementos de nu estra su-

cesin: {7, 22}.Para generar el tercer elemento de la sucesin, como el 22

es un nmero par, lo dividimos por dos, y obtenemos 11. Aho-ra tenemos {7, 22, 11}.

Como 11 es impar, la regla dice: multiplquelo por 3 y s-mele 1. O sea, 34. Se tiene {7, 22, 11, 34}.

Luego, como 34 es par, el prximo elemento de la sucesines 17. Y el siguiente es 52. Luego 26. Y despus 13. Y sigue 40.

Luego 2 0. (ha sta ac ten emos {7, 22, 11, 34 , 17, 52, 26, 13, 4 0, 20})y seguimos dividiendo por dos los pares y multiplicando por 3y sumando 1 a los impares:

{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Y en el nmero 1, paramos.

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A propsito, los roman os ignoraban al cero. La d ificultad pa-ra hacer c lculos se puede resum ir en algo que escribi Juan En -rquez en As the Future Catches You : trate de multiplicar 436por 618 en nmeros romanos, y despus me cuenta.

Ahora bien. Cuando uno escribe el nmero

2.735.896

en realidad, est abreviando o simplificando la siguiente ope-racin:

(a) 2.000.000 + 700.000 + 30.000 + 5.000 + 800 + 90 + 6.

Claro: uno no se da cuenta de que est haciendo esto (ninecesita hacerlo). Pero en realidad, la notacin es un acuerdoque hacemos originalmente para abreviar todo lo que escribi-mos en la fila (a).

Puesto de otra manera, sera como escribir:

(b) 2 .106 + 7 .105 + 3 .104 + 5 .103 + 8.102 + 9 .101 + 6 .100,

con la convencin de que el nmero 100

= 1

Es lo que estudibamos en la escuela primaria y que la maes-tra no s enseaba como las unidades d e milln, las centena s demil, las decenas de mil, las unidades de mil, las centenas,las decenas y las unidades, as, a secas. Uno n unca ms u ti-

liz esa nomenclatura ni le hizo falta tampoco.Lo curioso es que para poder escribir los nmeros de la for-ma en la que los escribimos, necesitamos decir, por ejemplo,cuntas decenas de mil, cuntas unidades de mil, cuntas cen-tenas, etctera.

Para eso, necesitamos los nmero s que en la ecuacin (b),puse en letras negritas y con un tamao un poco ms grande.


de los factores no a ltera el produ cto. Es decir, indepen dientemen-te de cu l sea el resultado (que al final es 28,86), da lo mismo cual-quiera de los dos. Es decir, los nmeros son iguales.

Car tas b inar ias

Piensen en el siguiente hecho: no importa si ustedes ha-blan ingls, alemn, francs, portugus, dan s, sueco Si unoescribe

153 + 278 = 431

toda person a que viva en Inglaterra o Estados Unidos, o Ale-mania o Francia o Portugal o Brasil o Dinamarca (por poner al-gunos ejemplos de pases en donde se h ablen idiomas distintos),entienden.

Esto quiere decir: el lenguaje de los n meros es ms u ni-versal que el de los diferentes idiomas. Lo trasciende. Es que noshemos puesto de acuerdo (aun sin saberlo) en que los nmerosson sagrados. Bueno, no ta nto, pero lo que quiero d ecir es quehay ciertas convenciones (los nm eros obviamente son una con-vencin) que trascienden los acuerdos que hicimos alguna vezpara comun icarnos.

Europa tard ms de cuatrocientos aos en adoptar la nu-meracin arbiga (o sea, los nmeros que usamos hoy) y cam-biar lo que se usaba hasta entonces (los nmeros romanos).El primero que los introdujo en Europa fue el famoso Fibo-nacci, hacia 1220. Fibonacci, cuyo padre italiano lo haba lle-vado de nio a l norte de frica, entendi claramente la nece-sidad de u sar otra num eracin ms apropiada. Pero si bien n oquedaban du das de las ventajas que la nueva numeracin ten-dra, los mercaderes de la poca se ocuparon de evitar el pro-greso que les impedira a ellos hacer tramp a en las cuent as.

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Ahora, necesitamos pasar al siguiente caso, o sea, cuan do n e-cesitamos usar dos d gitos (y curiosamente, necesitamos ya usardos dgitos para escribir el nmero dos):

10 = 211 = 3

Aqu, ya agotamos las posibilidades con dos dgitos. Nece-sitamos usar ms:

100 = 4101 = 5110 = 6111 = 7

Y necesitamos uno ms para seguir:

1 000 = 81 001 = 91 010 = 101 011 = 111 100 = 121 101 = 131 110 = 141 111 = 15

Escribo slo un paso ms:

10 000 = 1610 001 = 1710 010 = 1810 011 = 1910 100 = 2010 101 = 21


Y esos nmeros son los que llamamos dgitos, que como todoel mundo sabe, supongo, son diez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Supongamos que ahora uno contara solamente con dos d gi-

tos: 0 y 1.Cmo hacer para poder escribir un nmero?Si uno sigue la misma lgica que cuando tiene los diez d-

gitos, primero los usa a todos por separado. Es decir, usa: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Cuando llega hasta aqu, ya no los puede usar a los dgitossolos. Necesita combinarlos. Es decir, necesitamos u sar ah orados de los dgitos. Y empieza co n el 10 . Y sigue, 11, 12, 13, 1419 (aqu necesita emp ezar con el siguiente dgito), y usa el 20,21, 22, 23 29, 30 etctera hasta que llega al 97, 98, 99.En este punto , ya agot todas las posibilidades de escribir n-

meros que tengan dos d gitos. Y sirvieron para enum erar los pri-meros cien (porque empezamos con el 0. Hasta el 99, hay jus-to 100).

Y ahora? Necesitamos usar tres dgitos (y que no empie-cen con cero, porque si no, es como tener dos dgitos pero en for-ma encu bierta). Entonces, empezamos con 100, 101, 102 etc-tera. Despus de llegar a los mil, necesitamos cuatro dgitos. Yas siguiendo. Es decir: cada vez qu e agotamo s todos los posiblesnmeros que podemos escribir con un dgito, pasamos a dos.Cuando agotamos los de dos, pasamos a los de tres. Y luego alos de cuatro. Y as siguiendo.

Cuando uno tiene dos dgitos solamente, digamos el 0 y el1, cmo hacer? Usamos primero los dos dgitos por separado:

0 = 01 = 1

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2 . q2 = p2 (* )

Luego, la ecuacin (*) dice que el nmero p2

es un nmeropar (ya que se escribe como el producto de 2 porun entero).

Como vimos un poco ms arriba, si el nmero p2

es par, esporque el propio nmero p es un nmero par. Entonces, el n-

mero p, como es un nmero par, se puede escribir as:

p = 2k

Al elevarlo al cua drado , se tiene:

p2 = 4k2

Reemplazando en la ecuacin (*), se tiene:

2q2 = p2 = 4k2

y simplificando por 2 en ambos lados,

q2 = 2k2

Por lo tanto, el nmero q2

es par tambin. Pero ya vimosque si q2 es par, es porque el nmero q es par. Y en ese caso,juntan do lo que h emos demostrado, resultara que tanto p co-mo q seran pares. Y eso no es posible, porque habamos su-puesto qu e si fuera as, los ha bramos simplificado.

MORALEJA: el nm ero 2 no es racional. Y eso abri un cam-po nuevo, inexplorado y muy fructfero: el de los nmeros irra-cionales. Juntos, los racionales y los irracionales compon en elconjunto de n meros reales. Son todos los nmeros que n ece-sitamos para medir en n uestra vida cotidiana. (Nota: no todos losnm eros irracionales son ta n fciles defabricarcomo 2. En rea-lidad, si bien 2 y son ambos nmeros irracionales, son esen-


x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4m + 1(en donde llam m = k2 + k).

Luego, si x2 = 4m + 1, entonces x 2 es un nmero impar.

LA MORALEJA es que si el cuadrado de un nmero es par, esporque el nmero ya era par.

Con todos estos datos, ahora estamos en condiciones deabordar el problema que se les plante a los pitagricos. Serverdad que el nmero 2 es racional tambin? Insisto: piensenque, en aquel momen to, los n icos nm eros que se conocan eranlos racionales. Por lo tanto, era natural que uno tratara de pro-barque cualquier nmero con el que tropezaba fuera racional.Es decir: si en esa poca los nicos nm eros que se conocan eranlos racionales, era razonable que trataran de encontrarle unaescritura como p/q a cualquier nmero nuevo que apareciera.

Supon gamos, entonces (como hicieron los griegos) que 2 esun n mero racional. Si es as, enton ces, tienen que existir dos n -

meros enteros p y q, de manera tal que

2= (p/q).

Al escribir (p/q), suponemo s ya que h emos simplificado losfactores comunes que pueda n tener p y q. En particular, supo-nemos que ambos no son pares, ya que si lo fueran, simplifica-ramos la fraccin y eliminaramos el factor dos tanto en el nu-merador como en el denominador. O sea: podemos suponer queo bien p o bien q no son pares.

Luego, elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos:

2 = (p/q)2 = p2/q2

y si ahora pasamos multiplicando el denominador del se-gundo miembro al primer miembro, se tiene:

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73.590

Entonces, ya tenemos dos nm eros que van a formar parte denuestra suma. El original, 12.345 y este segundo nm ero 73.590.

Para seguir, les pido otro n mero de cinco dgitos. Por ejemplo

43.099

Entonces, tenemos ya tres nmeros de cinco dgitos cadauno, que sern tres de los cinco sumandos:

12.34573.59043.099

Una vez llegado a este punto, rpidamente anoto encolum-nados otros dos nmeros:

26.409y56.900

D e dnde saqu estos nmeros?Hice as: teniendo en cuenta el 73.590, agrego abajo lo que

hace falta para que sume 99.999. O sea, abajo del nmero 7 unnmero 2, abajo del 3, un 6. Abajo del 5 un 4, abajo del 9 un 0y abajo del 0, un 9.

73.590

+ 26.40999.999

De la misma forma, teniendo en cuenta el otro nmero queme dieron, 43.099, el nmero que hay que poner es el que ha-ga falta para que la suma d otra vez 99.999. En este caso, elnmero ser 56.900.


cialmente bien distintos por razones que escapan al objetivo deeste libro. El primero, 2, pertenece al conjunto de los nme-ros algebraicos, mientras que pertenece al de los nmerostrascendentes).

S u m a d e c in c o n m e ro sCada vez que estoy con un grupo de jvenes (y no tan jvenes)

y los quiero sorprend er con un juego con nmeros, siempre utili-zo el siguiente. Voy a hacerlo aqu con un ejemplo, pero despusvamos a analizar cmo hacerlo en general y por qu funciona.

Les pido a mis interlocutores que me den u n n mero de cin-co dgitos. Digamos 12.345 (aunque los invito a que ustedes,mientras leen, hagan otro ejemplo al mismo tiempo). Entoncesanoto 12.345 y les digo que en la parte de atrs del papel (o enotro pap el), voy a anotar el resultado d e una suma. Natural-

mente, las personas se ven sorprendidas porque no entiendende qu suma les estoy hablando si hasta ac slo me han da-do un nmero.

Les digo que tengan paciencia, y que lo que yo voy a haceres anotar (como queda dicho en la parte de atrs del papel) otronmero que va a ser el resultado de una suma, cuyos sumandosan no conocemos, salvo uno: el 12.345.

En la parte de atrs anoto el siguiente nmero:

212.343

Ustedes se preguntarn por qu anoto ese nmero. Se tratade agregar un 2 al principio del nmero y restarle dos al final.

Por ejemplo, si haban elegido 3 4.710, el nmero que ano ta-rn detrs ser 23.4708. Una vez hecho esto, pido n uevamente alinterlocutor que me d otro n mero. Como ejemplo, digamos

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d) Agrega rpido dos nmeros que sumen con los dos an-teriores 99.999 (64.097 y 28 .611).

e) Invita a que la persona qu e tiene adelante haga la sumaY da!

Ahora bien, por qu da?sta es la parte ms interesante. Fjense que al nmero ini-

cial que la persona n os dio usted le agrega un 2 a delante y le res-ta do s, como si estuviramos sumn dole al nm ero 200.000 y lue-go le restramos dos. O sea, sera como sumarle (200.000 - 2).

Cuando la persona n os da los otros dos nmeros que com-pletamos hasta que lleguen a sumar 99.999, pensamos que 9 9.999es exactamente (100.000 - 1). Pero como usted hace esto dos ve-ces, al sumar (100.000 - 1) dos veces, se tiene (200.000 2).

Y eso es exactamen te lo que h icimos! Agregarle al nmerooriginal (200.000 2). Por eso da: porque lo que termina hacien-do uno es sumar dos veces (100.000 - 1) o, lo que es lo mismo,(200.000 - 2).

Un a ten tado con t ra e l t eo remafundamen ta l de l a a r i tm t i ca?

El teorema fundamental de la aritmtica dice que todo n -mero entero (diferente de +1, -1 o 0) o bien es primo o bien sepuede descomponer como el producto de nmeros primos.

Ejemplos:

a) 14 = 2 . 7b) 25 = 5 . 5c) 18 = 2 . 3 . 3d) 100 = 2 . 2 . 5 . 5e) 11 = 11 (ya que 11 es primo)f) 1.000 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 5g) 73 = 73 (ya que 73 es primo)


Es decir:

56.900+ 43.099

99.999

Resumiendo todo lo que hicimos, tenemos ahora cinco n-meros de cinco dgitos cada uno. Los tres primeros correspon-den a nmeros que n os dio nuestro interlocutor:

12.345, 73.590 y 56.900

Con el primero, fabriqu la suma total (y escrib detrs delpapel, 212.343) y con los otros dos, construotros dos nmerosde cinco d gitos (en este caso, 26.409 y 43.099), de manera tal degarantizar que la suma con cada uno d 99.999. Ahora, muy tran-quilo, invito al interlocutor a que haga la suma .

Y los invito a ustedes a que la hagan:

12.34573.59056.90026.40943.099212.343

Es decir, un o obtiene el n mero que hab a escrito en la par-te de atrs del papel.

Los pasos son los siguientes:a) Usted primero pide un nm ero de cinco d gitos (43.871).b) Luego escribe detrs del papel otro n mero (aho ra de seis

dgitos) que resulta de agregarle al anterior un nmero2 al principio y restar dos (243.869).

c) Pide dos n meros de cinco dgitos ms (35.902 y 71.388).

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MATEMTICA ESTS AH? 5352 A P


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d) H ay alguna frmula que produzca primos?e) Cmo estn distribuidos?f) Si bien un o sabe que no puede haber primos consecutivos,

salvo el 2 y el 3, cuntos n meros consecutivos podemos en-contrar sin que aparezca ningn primo?

g) Qu es una laguna de primos?

h) Qu son los primos gemelos? (la respuesta estar en elcaptulo siguiente).

En este libro slo me propongo responder algunas, pero lomejor que podra pasar es que quien est leyendo estas notassienta la suficiente curiosidad como para po nerse a pen sar al-gunas de las respuestas o bien a buscar en los diferentes librosdel rea (Teora de N meros) qu es lo que se sabe de ellos al dade hoy y qu problemas permanecen abiertos.

El objetivo es exhibir ahora una prueba de que los nmerosprimos son infinitos. Es decir, que la lista no termina n unca. Su-

pongamos que no fuera as. O sea, supongamos que al tratar delistarlos, se agotan en a lgn momen to.

Los llamaremos entonces

p1, p2, p3, p4, p5,, pn

de manera tal que ya estn ordenados en forma creciente.

p1< p2 < p3 < p4 < p5


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p1, p2, p3, p4, p5, , pn

enton ces, alguno de ellos, digamos el p k tiene que dividirlo.O lo que es lo mismo, N tiene que ser mltiplo de pk.

Esto quiere decir que

N

= pk . A

Ahora, como el nmero (p1 . p2 . p 3 . p4 . p5 p n) es tam-bin mltiplo de pk, llegaramos a la conclusin de que tanto Ncomo (N 1) son m ltiplos de pk. Y eso es imposible. Dos nm e-ros consecutivos no pueden ser nunca mltiplos de un mismo n-mero (salvo del uno).

Ahora miremos en un ejemplo cmo sera esta demostracin.Supongamos que la lista de primos (que suponemos es finita) fue-ra la siguiente:

2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19

O sea, estaramos suponiendo que 19 es el primo ms gran-de que se puede encontrar. En ese caso, fabricamos el siguientenmero N:

N = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9.699.691

Por otro lado, el nmero

(2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19) = 9.699.690 = N 1.

El nmero N = 9.699.691 no podra ser primo, porque esta-mos suponiendo que el ms grande de todo s es el nmero 19. Lue-go, este nmero N tiene que ser divisible por un primo. Ahorabien, este primo debera ser uno de los que conocemos: 2, 3, 5,7, 11, 13, 17 y/ o 19. Elijamos uno cualquiera p ara p oder seguir con


que sea el ms grande de todos. Es decir: si uno tiene un con-junto finito de nmeros, uno de ellos tiene que ser el ms gran-de de todos. No podramos decir lo mismo si el conjunto fuerainfinito, pero en este caso, como estam os suponiendo que hay s-lo finitos primos, uno de ellos tiene que ser el mayor, el ms gran-de. A ese nmero lo llamamos p n.

Vamos a fabricar ahora un nmero que llamaremos N.

N = (p1 . p2 . p3 . p4 . p5 pn ) + 14

Por ejemplo, si todos los nmeros primos fueran:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

entonces, el nuevo nmero N sera:

2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9.699.691

Ahora bien. Como este nmero N es mayor que el ms gran-de de todos los primos,5 es decir, es mayor que pn, entonces, nopuede ser un n mero primo (ya que hemos supuesto que pn esel mayorde todos).

Luego, como N no p uede ser primo, tiene que ser divisiblepor un primo.

6Por lo tanto, como todos los primos son

54 ADRI N PAENZA


4 Al smbolo . lo usaremos para representar multiplicacin o producto.5 Para convencerse de esto, observe que N > pn 2 + 1, y esto es suficiente pa-

ra lo que queremos probar.6 En realidad, hara falta una demostracin de este hecho, pensemos que si

un nmero no es primo es porque tiene ms divisores que uno y l mismo. Este di-visor que tiene es un n mero men or que el nmero y m ayor que uno. Si este di-visor es primo, el problema est resuelto. Si en cambio este divisor no es primo,repetimos el proceso. Y como cada vez vamos obteniendo divisores cada vez mschicos, llegar un momento (y esto es lo que prueba una demostracin ms for-mal) en que el proceso se agote. Y ese nmero al cual uno llega es el nm ero pri-mo que estamos buscando.

MATEMTICA ESTS AH? 5756 ADRI N PAENZA


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Ms pares de primos gemelos:

{29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109}, {137,139}, {149, 151}, {179, 181}, {191, 193}, {197, 199}, {227, 229}, {239,241}, {281, 283}

La conjetura es que hayinfinitos primos gemelos.

Pero has-ta hoy, agosto de 2005, todava no se sabe si es cierto.El par de primos gemelos ms grande que se cono ce hasta

hoy es

(33.218.925) . 2169.690 1

y

(33.218.925) . 2169.690 + 1

Son nmeros que tienen 51.090 dgitos y fueron descubier-tos en el ao 2002. Hay mu chsimo m aterial escrito sobre este te-ma, pero an hoy la conjetura de la infinitud de primos geme-los sigue sin solucin.

L ag u n a s d e p r i m o s

Uno de los problemas ms interesantes de la matemtica estratar de descubrir un patrn en la distribucin de los nmerosprimos.

Es decir: ya sabemos que son infinitos. Ya vimos tambin quson los primos gemelos. Miremos ahora los primeros cien n-meros naturales. En este grupo hay 25 que son primos (apare-cen en bastardilla). Es fcil encon trar tres n meros consecuti-vos que no sean primos : 20, 21, 22. Hay ms en la lista, perono importa. Busquemos ahora una tira de cuatro nmeros con-


el argumento (aun que ustedes, si quieren, comprueben que es fal-so ninguno de ellos divide a N). Supongamos que 7 es el n-mero que d ivide a N.

7Por otro lado, el nmero (N 1) es obvia-

mente mltiplo de 7 tambin.Entonces tend ramos dos nm eros consecutivos, (N 1) y

N, que seran ambos mltiplos de 7, lo que es imposible. Por lo

tanto, esto demuestra que es falso suponer que hay un nmeroprimo que es mayor que todos8

y concluye la demostracin.

P r i m o s g e m e l o s

Sabemos que no p uede ha ber primos consecutivos, salvo el par{2, 3}. Esto resulta obvio si uno piensa que en cualquier par denmeros consecutivos, uno de ellos ser par. Y el nico primo pares el 2. Luego, el nico par de primos consecutivos es el {2, 3}.

Ahora bien: si bien uno sabe que n o va a encon trar primos

consecutivos, qu pasa si uno se saltea uno? Es decir, h ay dosimpares consecutivos que sean primos? Por ejemplo, los pares{3, 5}, {5, 7}, {11, 1 3}, {17, 19} son pr imo s, y son do s imp are s co n-secutivos.

Justamente, se llama primos gemelos a dos nmeros primosque difieren en dos un idades, como en los ejemplos que acaba-mos de ver. O sea, son de la forma {p, p+2}.

El primero en llamarlos primos gemelos fue Paul Stackel(1892-1919), tal como aparece en la bibliografa que public Tiet-ze en 1965.

56 ADRI N PAENZA


7 Haber elegido el nmero 7 como divisor del nmero N es slo para poderinvitarlos a pensar cm o es el argumento que se usa, pero claramente h ubiera fun-cionado con cualquier otro.

8Esto que hemos hecho suponiendo que 19 era el primo ms grande fue slo co-

mo un ejemplo que debera servir para entender el razonamiento general que est ex-

puesto ms arriba, en donde el nmero primo p n es el que hace el papel del 19.


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(1+1/3) + 1/3 (1+1/3) = (1+1/3)(1+1/3) = (1+1/3)2

(Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de(1+1/ 3) y al cabo de otros cuatro m eses, tendr el capital ms u ntercio de ese capital. La cuenta que sigue despus, (1+1/3)

2, se

obtiene de sacar factor comn (1+1/3) en el trmino de la iz-quierda en la ecuacin.

Ahora bien: cuando el seor invierte (1+1/3)2

por otros cua-tro meses, al llegar justo al fin del ao, el seor tendr el capi-tal (1+1/ 3)

2m s (1/3) de ese capital. O sea:

(1+1/3)2 + 1/3(1+1/3)2 = (1+1/3)2(1+1/3) = (1+1/3)3 =2,37037037

10

Como seguramente advierten, ahora nos queda la tentacinde hacerlo no slo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Los

invito a que hagan la cuenta ustedes, pero el resultado lo escri-bo yo. Al cabo de un ao, el seor tendr:

(1 + 1/4)4 = 2,44140.625

Si lo hiciera cada dos meses, tendra que reinvertir su dine-ro seis veces en el ao:

(1 + 1/6)6 = 2,521626372

Si lo hiciera una vez por m es, reinvertira doce veces por ao

Al finalizar el ao, el seor tiene

1,5 + 1/2 (1,5) = 2,25

Por qu? Porque el capital que tena a los 6 meses inicia-les, no se toca: $ 1,5. El nuevo inters que cobra es de la mitaddel capital, porque el dinero lo pone a un inters del 100% pe-ro slo por seis meses. Por eso, tiene 1/2 (1,5) = 0,75 como n ue-vo dinero que le aporta el banco como prod ucto de los intere-ses devengados.

MORALEJA: al seor le conviene (siempre que el ban co se lopermita) depositar el dinero primero a seis meses y luego reno-var el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo quele hubiera tocado en el primer caso, al finalizar el ao tena dospesos. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de 36 5 dastiene $ 2,25.

Supongamos ah ora que el seor coloca el mismo peso que te-

na originalmente, pero ah ora por cuatro meses. Al cabo de esoscuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Yfinalmen te, hace una ltima reinversin (siempre con el mismo ca-pital) hasta concluir en el ao. Cu nto dinero tiene ah ora?

Yo s que ustedes pueden seguir leyendo en esta misma pgi-na y encontrar la solucin, pero siempre es d eseable que los lec-tores hagan un mnimo esfuerzo (si as lo desean) de pensar solos.

De todas maneras, aqu va. Veamos si se entiende.Al principio del ao el seor tiene:

1

A los cuatro meses (o sea, transcurrido 1/3 del ao) tiene:

(1 + 1/3)

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:


10 A partir de ahora, voy a usar los primeros dgitos del desarrollo decimal decualquier nmero que aparezca en el texto. En este caso, el nmero (1+1/ 3)3 noes igual a 2,37037037, sino que es una aproximacin o redondeo que usa los pri-meros nueve dgitos.



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Veces que renueva capital al ao su depsito

1 vez al ao, 22 veces al ao , 2,253 veces al ao (cuatrimestral), 2,370370374 veces al ao (trimestral), 2,441406256 veces al ao (bimestral), 2,52162637212 veces al ao (mensual), 2,61303529365 veces al ao (diario), 2,7145674828.760 veces al ao (por minuto), 2,718126692

525.600 veces al ao(una vez por minuto), 2,718279243

34.536.000 veces al ao(una vez por segundo), 2,718281793

Lo que es mu y interesante es que estos nm eros, si bien cre-cen cada vez que el inters se cobra ms frecuentemente, no lo

hacen en forma ni arbitraria ni desbocada. Al contrario: tienenun tope, estn acotados. Y la cota superior (es decir, si uno pu-diera imaginariamente estar ren ovndolo instantneamente) eslo que se conoce como el nm ero e (que es la base de los loga-ritmos naturales, cosa que no importa en este contexto). No s-lo es una cota superior, sino que es el nmero a l cual se est acer-cando cada vez ms la sucesin que estamos generando almodificar los plazos de reinversin.

El nmero e es un nmero irracional, cuyas primeras cifrasdecimales son:

e = 2,71828182811

(1+1/12)12 = 2,61303529

Como usted ve, al seor le conviene poner su dinero a pla-zo fijo, pero hacerlo con un plazo cada vez ms corto y reinver-tir lo que obtiene (siempre con el mismo inters).

Supongamos que el banco le permitiera al seor renovar su

plazo diariamente. En este caso, el seor tendra

(1+1/365)365 = 2,714567482

Y si lo hiciera una vez por hora (como en el ao hay 8.760horas), tendra:

(1+1/8760)8.760 = 2,718126692

Y si se le permitiera hacerlo un a vez por minuto , como enel ao hay 525.600 minutos, su capital resultara

(1+1/525.600)525.600 = 2,718279243

Y por ltimo, supongamos que le permitieran hacerlo unavez por segundo.

En ese caso, como en el ao hay 34.536.000 segundos, elcapital que tendra al cabo de un ao sera:

(1+1/34.536.000)34.536.000 = 2,718281793

MORALEJA: si bien un o advierte que el dinero al finalizar el

ao es cada vez mayor, sin embargo, el dinero que uno tiene alfinal no aum enta indiscriminadamente.

Voy a hacer un resumen d e la lista que hem os escrito recin:


11 Este nmero tiene un desarrollo decimal infinito y pertenece a la mismacategora que el n mero (pi), en el sentido de que, adems de irracionales, sonnmeros trascendentes (dado que no son la raz de ningn polinomio con coefi-cientes enteros).


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intuicin. Y eso es maravilloso: la intuicin, como cualquier otracosa, se desarrolla, se mejora. Un o intuye distinto cuanto msdatos tiene. Cuanto ms acostumbra do est a pensar en cosa s di-ferentes, mejor se prepara para tener ideas nuevas.

Agrrense fuerte enton ces, porque em pezamo s ahora un via-je por el mund o de los conjuntos infinitos. Abrchense el cin-turn y preprense para pensar distinto.

P R O B LE M A

Unos prrafos ms arriba vimos cmo hacer para d ecidir culde dos con juntos tiene ms elementos (o si tienen el mismo car-dinal). Decimos, para fijar las ideas, que do s conjunto s son coor-dinables si tienen el mismo cardinal. O sea, si tienen el mismonmero de elementos. Como vimos, ya no necesitamos conta r enel sentido clsico. Por ejemplo, el conjunto de to dos los nm erosnaturales sabemos que es un conjunto infinito.

Q u pasar con los nmeros pares? Les propongo que ha-

gan el ejercicio de demostrarque tam bin son infinitos, o lo quees lo mismo, los nmeros pares son un conjunto infinito.Pero la pregunta cuya respuesta parece atentar contra la

intuicin es la siguiente: si N son todos los nmeros y P sonlos nmeros pares, en qu conjunto hay ms elementos? Yos que esto invita a una respuesta inmediata (todos los nm e-ros tienen que ser ms, porque los nmeros pares estn con-tenidos entre todos). Pero esta respuesta est basada en algoque no sabemos ms si es cierto para conjuntos infinitos: esverdad que por el simple hecho de que los pares forman par-te de todos los nm eros entonces son menos? Por qu no tra-

tamos de ver si podemos usar lo que ap rendimos en el ejemplode las butacas y las personas? Qu h abra que hacer? Debe-ramos tratar de coordinar o aparear o unir con flechitas a to-dos los nm eros y a los nmeros pa res. Eso no s va a dar la res-puesta correcta.

Veamos. De un lado, en una bolsa, estn todos los nmeros

La definicin que voy a da r de con junto infinito les va a pa-recer sorprendente, pero lo curioso es que es la m s obvia: vamosa decir que un conjunto es infinito si no es finito. Qu quieredecir esto? Que si nos dan un conjunto A y nos piden que deci-damos si es finito o infinito, lo que uno tiene que tratar de haceres buscar un segmento natural para coordinarlo o aparearlo conl. Si uno encuentra algn nmero natural n, de manera tal que

el segmento [1, n] y el conjunto A se pueden aparear, uno tienela respuesta: el conjunto es finito. Pero, si por ms que uno trate,no puede encontrar el tal segmento natural, o lo que es lo mis-mo, cualquier segmento natural que un o busca siempre se quedacorto, entonces es porque el conjunto A es infinito.

Ejemplos de con juntos infinitos:

a) Los nmeros naturales (todos)b) Los nmeros pares

c) Los nmeros mltiplos de cincod) Los puntos de un segmentoe) Los puntos de un tringulof) Los nmeros que no son mltiplos de 7.

Los invito a que busquen otros ejemplos.12

Hablemos ahora un poco de los conjuntos infinitos. En es-te mismo libro hay varios ejemplos (hotel de Hilbert, cantidady distribucin de los nmeros de primos) que atentan contra la


12 El conjunto vaco es el nico que tiene cardinal cero. Esto, para salvar elbache lgico que se generara, ya que como el conjunto vaco no se pu ede apa-rear con ningn segmento natural, entonces, no sera finito. Luego, sera in-finito. Ese obstculo lgico se salva o bien excluyendo al vaco de la discusino bien, como elijo hacer, diciendo que el conjunto vaco es el nico que tienecardinal cer o.



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En el camino queda destruido un argumento que slo es v-lido para conjuntos finitos: aunqu e un conjunto est contenidoen otro, eso no significa qu e por eso tenga menos elementos. Pa-ra con juntos infinitos, eso no necesariamente es cierto, como aca-bamos de ver en el ejemplo de todos los nmero s y los nme-ros pares.

13

ste es ya un juguete nuevo. Con esto podemos divertirnos

un rato y empezar a preguntar: y los impares? Bueno, supon-go que cualquiera que haya seguido el argumento de los prra-fos anteriores est en con diciones de decir que tambin ha y tan-tos impares como nm eros todos. Y por supuesto que ha y tantosimpares como pares.

A esta altura, conviene que diga que al cardinal de estos con-junto s infinitos que vimos hasta a c (na turales, pares, impares),se lo llama aleph cero. (Aleph es la primera letra del alfabetohebreo, y aleph cero es la notacin que se usa universalmente pa-ra indicar el nmero de elementos de conjuntos infinitos coor-

dinables con el conjunto de los nmeros naturales).Qu pasar ahora si consideramos los nmeros enteros?Recuerden que los nmeros enteros son todos los natu rales, pe-ro a los que se les agregan el cero y todos los nmeros negati-vos. A los enteros se los denomina con la letra Z (del alemnZahl) y son:

{ -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }

Est claro, entonces, que los enteros forman un conjunto in-finito. De paso, es bueno observar que si un conjunto contiene

como subconjunto a un conjunto infinito, ste tiene que ser in-finito tambin (no les dan ganas de pensarlo solos?).

naturales, los que forman el conjunto N. Del otro lado, en otrabolsa, estn los nmeros pares, los que forman el conjunto P.

Si yo hago la siguiente asignacin (teniendo en cuenta quea la izquierda estn los nmeros del conjunto N y a la derecha,los elementos del conjunto P):

1 2

2 43 64 85 106 127 14

(Entienden lo que estoy haciendo? Estamos asignand o acada nmero de N un nmero de P)

Es decir, a cada nmero de la izquierda, le hacemos corres-

ponder su doble. Si siguiramos a s, al nmero n le hacemos co-rresponder el nmero 2n . Por ejemplo, al nmero 10 3 le corres-pond e el 206. Al nmero 1.751, le correspond e el 3.502, etctera.

Ahora bien: est claro que a todo nmero d e la izquierdale corresponde un nm ero de la derecha? Y que cada nmerode la derecha es par? Y est claro tambin que a cada nm e-ro par (de la derecha) le corresponde un nmero d e la izquier-da (justamente la mitad)? Q ueda claro que hay un a correspon-dencia biunvoca o u na coordinacin entre ambos conjun tos?Q ueda claro que este proceso muestra que hay la misma can-tidad de nmeros naturales que de nmeros pares? Esta afir-

macin es algo que en principio atenta contra la intuicin. Pe-ro es as. Liberados del problema d e tener que contar, ya que eneste caso no podramos hacerlo porque el proceso no termina-ra nunca en la medida en que los conjuntos son infinitos, lo queacabamos de h acer es mostrar que N y P son coordinables. O sea,que tienen el mismo nmero de elementos.


13 Es ms: en algunos libros se da como definicin de conjun to infinito a unconjunto que tiene subconjuntos propios (o sea, que no son todo el conjunto) coor-dinables con el todo.



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los nmeros racionales, que llevan el nombre de Q (por quo-tient, o cociente en ingls). Un nmero se llama racional sies el cociente de dos nmeros enteros: a/b (excluyendo el caso,obviamente, en que b sea cero). Ya sabemos, como hemos vistoen otra parte del libro, que no se puede dividir por cero.

En realidad, los nmeros racionales son los que se conocencomo las fracciones, con numerador y denominador nmerosenteros. Por ejemplo, (-7/3), (17/5), (1/ 2), 7, son nm eros racio-nales. Es interesante no tar, que cualquier nmero en tero es tam-bin un nmero racional, porque todo nmero entero a se pue-de escribir como una fraccin o como cociente de l mismo por1. O sea:

a = a/1

Lo interesante es tratar de ver que, aunque parezcan much-simos m s, los racionales tambin tienen a aleph cero como car-

dinal. O sea, tambin son coord inables con los naturales. As,en el lenguaje comn (que es el til), hay tantos racionales comonaturales.

La demostracin es interesante porque lo que vamos a h a-cer es una asignacin que ir en espiral. Ya se va a entender.Hacemos as:

Pero volvamos al problema original. Qu pasa con Z? Esdecir, qu pasa con los enteros? Son ms que los naturales?

Para mostrar que el cardinal de ambos conjuntos es el mis-mo, lo que tenemos que h acer es encontrar una correspondenciabiunvoca (es decir, flechitas que salgan de un conjunto y lleguenal otro sin dejar libre ningn elemento de ninguno de los dosconjuntos).

Ha gamos las siguientes asignaciones:

Al 0 le asignamos el 1Al -1 le asignamos el 2Al +1 le asignamos el 3Al -2 le asignamos el 4Al +2 le asignamos el 5Al -3 le asignamos el 6Al +3 le asignamos el 7

Y as podremos asignarle a cada nmero entero un nmeronatural. Est claro que no quedar ningn entero sin que le co-rresponda un natural, ni recprocamente, ningn natural sin quetenga un entero asignado a su vez. Es decir, hemos comprob a-do con esto que el conjunto Z de los nmeros enteros y el con-

junto Nde los nm eros natura les tienen el mismo card inal. Am-bos tienen cardinal aleph cero. Es decir, los enteros y naturalestienen la misma cantidad de elementos.

Como ejercicio, los invito a qu e prueben que tam bin tie-nen card inal aleph cero (y por lo tanto tienen la misma canti-dad de elementos que los enteros o los naturales) los nm eros

mltiplos de cinco, las poten cias de dos, de tres, etctera. Si lle-garon hasta ac y todava estn interesados, no dejen de pensarlos distintos casos y cmo en contra r la correspondencia que de-muestra que todos estos conjuntos (aunque parezca que no) tie-nen todos el mismo cardinal.

Ahora peguemos un peque o salto de calidad. Consideremos


Al 0/1 le asignamos el 1Al 1/1 le asignamos el 2Al 1/2 le asignamos el 3

Al 2/2 le asignamos el 4Al 2/1 le asignamos el 5Al 3/1 le asignamos el 6Al 3/2 le asignamos el 7Al 3/3 le asignamos el 8Al 2/3 le asignamos el 9

Al 1/3 le asignamo s el 10Al 1/4 le asignamos el 11Al 2/4 le asignamos el 12

Al 3/4 le asignamos el 13Al 4/4 le asignamo s el 14Al 4/3 le asignamos el 15Al 4/2 le asignamos el 16Al 4/1 le asignamos el 17Al 5/1 le asignamos el 18



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Con todo derecho, entonces, uno podra decir: Bueno. Yasabemos cules son los conjuntos infinitos. Ha br much os o po-cos, pero todos tienen el mismo cardinal. Y aqu es donde apa-rece un punto central en la teora de conjuntos. Hubo un seorque hace muchos aos, alrededor de 1880, se tropez con unproblema. Tratando de dem ostrar que todos los conjuntos infini-tos tenan el mismo cardina l, encon tr uno qu e no. El seor, por

ms esfuerzos que haca por encontrar las flechitas para po-der coordinar su conjunto con los n meros naturales, no poda.Tal era su desesperacin que en un momento cambi de idea (ehizo algo genial, claro, porque tu vo una idea mara villosa) y pen-s: y si no puedo encontrar las flechitas porque no es posibleencontrarlas? No ser preferible que trate de demo strar que nose pued en enco ntrar las flechitas porque no exist en?.

Este seor se llam Georg Cantor. Van a encontrar una bre-ve resea biogrfica de l en o tra parte d el libro, pero al m ar-gen de lo que a ll diga, a Cantor lo volvieron loco. La comun idad

cientfica especialista en el tema lo enloqu eci, literalmente.Cuando Cantor descubri que haba infinitos ms grandesque o tros, dijo: Lo veo y no lo creo.

Pero qu es lo que hizo Cantor? Para entenderlo, necesitorecordar aqu por un momento qu es el desarrollo decimal deun nmero (sin entrar en demasiados detalles). Por ejemplo,cuando defin los nmeros racionales, digamos el nmero 1/2,qued claro que este nmero tambin se puede escribir as:

1/2 = 0,5

Y agrego otros ejemplos:

1/3 = 0,333337/3 = 2,33333

15/18 = 0,833337/49 = 0,75510204

Como se ve, a cada nm ero racional no n egativo (o sea, ma-yor o igual que cero) le asignamos un nm ero natu ral. Esta asig-nacin es biunvoca, en el sentido de que a todo racional le co-rresponde un natural y viceversa. La nica observacin quehabra que considerar es que hice todo esto para los racionalespositivos. Si uno quiere agregar los negativos, la asignacin de-be ser diferente, pero creo que el lector sabr ingeniarse parahacerla (en todo caso, en la pgina d e soluciones hay un a pro-puesta para hacerlo).

Una observacin que surge es que en la columna de la iz-

quierda yo estoypasando varias veces por el mismo n mero. Porejemplo, el 1 en la columna de la izquierda aparece com o 1/ 1,2/2, 3/3, 4/4, etctera; o sea, aparece muchas veces. Afecta es-to la cardinalidad? Al contrario. En todo caso, si uno tiene queconjeturar algo a priori, es que el conjunto d e los racionalespa-rece tener ms elementos que los na turales y, sin emb argo, la asig-nacin que acabo de ofrecer muestra que tienen el mismo car-dinal. En todo caso, muestra que a pesar de repetir varias vecesel mismo racional, sigue habiendo natura les para todos ellos. Locual es un hecho francamente notable y antiintuitivo.

Y ahora llegamos al punto central. La pregunta que uno tie-

ne que hacerse es la siguiente: da la sensacin de que todos losconjuntos in finitos tienen el m ismo cardinal. Es decir, hemos re-visado los naturales, los pares, los impares, los enteros, los ra-cionales, etctera. Todos los ejemplos que h emos visto de conjun-tos infinitos resultaron ser coordina bles a los naturales, o lo quees lo mismo, tienen todos el mismo cardinal: aleph cero.


Al 5/2 le asignamo s el 19Al 5/3 le asignamos el 20Al 5/4 le asignamos el 21Al 5/5 le asignamos el 22Al 4/5 le asignamos el 23

Al 3/5 le asignamos el 24Al 2/5 le asignamos el 25Al 1/5 le asignamos el 26

Al 1/6 le asignamo s el 27



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El nmero e tiene un desarrollo decimal que empieza as:

e =2,71828183

La particularidad que tienen todos estos nmeros es que tie-nen un desarrollo decimal que no termina nu nca (en el sentidode que no ap arecen ceros a la derecha de la coma a partir de nin-

gn momento) y tampoco son peridicos (en el sentido de queno hay un lugar del desarrollo a partir del cual se repita indefi-nidamente un segmento de nm eros). Estos dos hechos estn ga-rantizados porque los n meros en cuestin no son racionales. Esms: las cifras de cada nm ero son impo sibles de predecir en fun-cin de las anteriores. No siguen ningn patrn.

Creo que se entiende entonces cules son esta clase de n-meros. Ms an: todo nmero real que no sea racional se llamairracional. Los tres ejemplos que acabo de poner son tres n-meros irracionales.

Cantor propuso entonces: voy a probar que h ay un conjun-to infinito que no se puede coordinar con los naturales. Y pa-ra eso, sigui diciendo: el conjunto que voy a to mar es el de to-dos los nmeros reales que estn en el segmento [0,1].

14

Un momento: tomen una recta, marquen un punto cual-quiera y llmenlo cero. Los puntos que estn a la derecha se lla-man positivos y los que estn a la izquierda se llaman negati-vos.

NEGATIVOS CERO POSITIVOS

Cada punto de la recta corresponde a una distancia del ce-ro. Ahora marquen un punto cualquiera ms a la derecha del ce-

Es decir, cada nmero racional tiene un desarrollo decimal(que se obtiene, justamente, haciendo el cociente entre los dosnmeros enteros). Lo que sabemos de los nmeros racionaleses que al h acer el cociente, el desarrollo decimal es, o bien fini-to (como en el caso de 1/ 2 = 0,5, porque despus vendran s-lo ceros a la derecha de la coma), o bien es peridico, como 1/3= 0,33333, en donde se repite un nmero (en este caso el 3),

o podra ser un con junto de nmeros (que se llama perodo), co-mo e n el caso de (17/ 99) = 0,17171717 en do nd e el perodo es17, o bien, en el caso de (1743/9900) = 0,176060606 en don-de el perodo es 60.

Es ms: podemos decir que todo n mero racional tiene undesarrollo decimal finito o peridico. Y al revs: dado un desa-rrollo decimal finito o peridico cualquiera, eso corresponde aun n ico nmero racional.

A esta altura, yo creo qu e puedo supon er que los lectores en -tienden lo que es el d esarrollo decimal.

Con todo, hay nmeros que no son racionales. Son nme-ros que tienen u n desarrollo decimal pero que se sabe que no sonracionales. El ejemplo ms famoso es (pi). Se sabe (no lo voya probar aqu) que no es un nmero racional. Si siguen inte-resados en ms ejemplos, en este mismo libro est la demostra-cin que enloqueci a los pitagricos de que la raz cuadra-da de 2 (2) no es racional. Y por otro lado, por all tambinanda el nmero e, que tampoco es racional.

Ustedes saben que el nmero tiene un desarrollo decimalque empieza as:

= 3,14159

El nmero 2 tiene un desarrollo decimal que empieza as:

2 = 1,41421356


14 Aqu conviene decir que los nmeros reales consisten en la unin del con-junto de los racionales y el de los irracionales (o sea, los que no son racionales).


82 ADRI N PAENZA


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conjunto (segmento unitario) se puede coordinar con los na-turales. O sea, supuso que tenan el mismo cardinal. Si estofuera cierto, entonces debera haber una asignacin (o lo quellamamos las flechitas) entre los elemento s del segmento [0,1]y los nmeros naturales. Resultara posible, como en los ejem-plos anteriores, que podramos poner en una lista a todos loselementos del segmento [0,1].

Y eso hizo:

1 0, a11 a12 a13 a14 a15 a162 0, a21 a22 a23 a24 a25 a263 0, a31 a32 a33 a34 a35 a364 0, a41 a42 a43 a44 a45 a46n 0, an1 an2 an3 an4 an5 an6

En este caso, lo que rep resentan los distintos smbolos de la

forma apq , son los dgitos del desarrollo de cada nmero. Porejemplo, supon gamos que stos son los desarrollos decimales delos primeros nmeros de la lista:

1 0,7837980999372 0,5237871234783 0,5287343400024 0,001732845

Es decir,0, a11a12 a13 a14 a15 a16 = 0,7837980999370, a21 a22 a23 a24 a25 a26 = 0,523787123478

y as siguiendo.O sea, lo que Cantor hizo fue suponer que existe una ma-

nera de pon er flechitas, o de hacer asignaciones, de man eratal que todos los nmeros reales del segmento [0,1] estuvierancoordinados con los naturales.

ro. se va a ser el nmero 1 para ustedes. A partir de all, uno pue-de construir los nmeros reales. Cualquier otro punto de la rec-ta est a una distancia del cero que est medida por la longituddel segmento que va desde el cero hasta el punto que usted eli-gi. Ese punto es un nmero real. Si est a la derecha del cero,es un n mero rea l positivo. Si est a la izquierda, es un nm eroreal negativo. Por ejemplo el 1/ 2 es el punto que est a la m itad

de la distancia de la que usted marc como 1. El (4/ 5) est a cua-tro quintas partes del cero (es como haber partido el segmentoque va desde el 0 hasta el 1 en cinco pa rtes iguales, y uno se que-da con el punto que queda al elegir las primeras cuatro).

Est claro, entonces, que a cada pun to del segmento qu e va en-tre el 0 y el 1, le corresponde u n n mero rea l. Ese nm ero real, pue-de ser racional o irracional. Por ejemplo, el nmero (2 - 1) =0.41421356. es un nmero irracional que est en ese segmento.El nmero (/4), tambin. Lo mismo que el nmero (e - 2).

Cantor tom entonces el segmento [0,1]. Son todos los n-meros reales del segmento unitario. Este conjunto es un con-junto infinito de puntos. Pinsenlo as: tomen el 1, dividan al seg-mento por la mitad: tienen el 1/2. Divdanlo ahora por la mitad:

tienen el nmero (1/4). Divdanlo por la mitad: tienen el (1/8).Como se advierte, dividiendo por la mitad cada vez, uno obtie-ne siempre un p unto qu e est en la mitad de la distancia del quetena antes. Eso va generando una sucesin infinita de puntos:(1/2

n), todos los cuales estn en el segmento [0,1].

Falta poco. Cantor dijo ento nces: voy a supon er que este


cero uno

1/5 2/5 3/5 4/5


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S e g m e n t o s d e d i s t in t a lo n g i t u d

Como hemos visto reiteradamente en este libro, todo lo quetenga que ver con los conjuntos infinitos es ciertamente fascinan-te. La intuicin es p uesta a p rueba y los sentidos tambin. Lafamosa frase de Cantor (lo veo, pero no lo creo) caracterizabien lo que nos ocurre cuan do tropezam os con ellos (los conjun-

tos infinitos) las primeras veces.Otro ejemplo muy ilustrativo es el de los segmentos.Tomemos dos segmentos de distinta longitud. Llammolos

[A,B] y [C,D]. Uno sabe (sabe?) que todo segmento tiene infi-nitos puntos. Si necesitan una confirmacin, marquen el puntomedio d el segmento. Ahora tienen dos segmentos iguales. Tomencualquiera de ellos, marquen el punto medio y continen con elproceso. Como advierten, siempre hay un punto en el medio dedos y, por lo tanto, el nmero de p untos que con tiene un segmen-to es siempre infinito.

17

Lo interesante es preguntarse, cmo se comparan los infi-nitos? Es decir, quin tiene ms pu ntos si dos segmentos tie-nen distintas longitudes como [A,B] y [C,D]? La respuesta es sor-prendente tambin y es que ambos tienen el mismo nmero de

puntos. Infinitos, ciertamente, pero el m ismo n mero. Cmoconvencerse de esto?

Como ya hemos visto en el captulo de los distintos tipos deinfinitos, es imposible tratar de contar. Necesitamos otros m-todos de comp aracin. Y la herramienta qu e us en otras par-tes, es la de las asignaciones o flechitas que un en los elemen-tos de uno con los elementos de otro (recuerden el apaream iento

de n meros naturales con los enteros, o con los racionales, et-ctera). En este caso, entonces, hago lo mismo.18

tantemente, es porque dio un nmero irracional. Si re-pite o empieza a dar siempre cero es racional. Qu lesparece que es ms posible que pase? De las dos alterna-tivas, cul les parece ms factible? Esto sirve para queintuitivamente advirtamos cuntos ms son los irracio-nales qu e los racionales.

b) Si uno tuviera una recta, y pudiera excluir los raciona-

les, no se no taran virtualmente los agujeros. En cambio,si excluyramos a los irracionales, casi no se veran lospuntos que quedan. Tanto ms grande en tamao es elconjunto de los reales comparado con el de los natura-les. (La palabra casi est usada adrede, porque no es queno se veran los racionales sino que la idea que quierodar es que los irracionales son muchsimos ms que losracionales).

c) Hay muchas preguntas para hacerse, pero la ms inme-diata es la siguiente: es el conjunto de nmeros realesel que tiene infinito ms grande? La respuesta es no. Unopuede con struirse conjuntos arbitrariamente grandes ycon un cardinal infinito ms grande que el anterior. Yeste proceso no termina nun ca.

d) O tra direccin de p regunta pod ra ser la siguiente: vi-mos recin qu e los reales son ms que los naturales, pe-ro hay algn conjunto infinito que tenga cardinal m sgrande que el de los naturales y ms chico que el delos reales? Este problema es un problema abierto de lamatemtica, pero se supone que no hay conjuntos in-finitos en el medio. Sin embargo, la hiptesis del con-

t inuo dice que la ma temtica seguir siendo co nsisten-te, se pruebe que h ay o no h ay conjuntos con infinitosms grandes que el de los naturales y ms chicos queel de los reales.


17 Este argumento ya lo utilic en el captulo sobre los diferentes infinitos deCantor.

18 Excluyo los segmentos que contienen un solo punto, lo que p odramos lla-mar un segmento degenerado [A,A]. Este segmento contiene un solo punto: A.


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P j


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Persona jes

P o r q u u n o n o e n t i en d e a l g o

Esta breve historia reproduce lo que escribi un amigo nti-mo que falleci ya hace muchos aos: Ricardo Noriega. Ricar-do fue un matemtico argentino, fallecido a una edad muy tem-prana, especialista en geometra diferencial. Trabaj durantemuchos aos con Luis Santal

19y, ms all de sus co ndiciones

profesionales, fue un tipo brbaro. Siempre de buen h umor, edu-cado y muy generoso con su tiempo y en la actitud siempre pa-ternal con alumnos y otros colegas. Un gran tipo.

Con l estudi cuand o ambo s ramos jvenes. En su libroClculo Diferencial e Integral escribi sobre una idea que mesubyug siempre: por qu uno no entiende algo? Y por qulo entiende despus? Y por qu se lo olvida ms tarde?

Ricardo escribi, y no lo voy a parafrasear porque prefierocontar mi propia versin:

Muchas veces, cuando uno est leyendo algo de matemti-ca tropieza con un problema: no entiende lo que ley. Enton-ces, para, piensa y relee el texto. Y la mayora de las veces, si-gue sin entend er. Uno n o avanza. Quiere comprender, pero no

puede. Lee el prrafo nuevamen te. Piensa. Y dedica mucho tiem-


19 Santal fue uno de los gemetras ms importantes de la historia. Naci enEspaa, pero escapando de la guerra civil espaola, pas la mayor parte de suvida en la Argentina. Fue un verdadero maestro y sus con tribuciones tanto per-sonales como profesionales son invalorables.


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cibe Si el muchacho se parece a su padre no dudo que crece


Einstein : Ah s? Y po r qu?

96 ADRI N PAENZA


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cibe. Si el muchacho se parece a su padre no dudo que crece-r hasta con vertirse en el hombre del que am bos estaremos or-gullosos.

Y el granjero acept.El hijo del granjero Fleming asisti a las mejores escuelas

y luego de u n tiempo se gradu en la Escuela Mdica del SaintMarys Ho spital, en Lond res, convirtindose en un renombra -

do cientfico conocido en todo el mun do po r el descubrimien-to que revolucion el tratamiento de las infecciones: la peni-cilina.

Aos despus, el hijo del m ismo noble que fue salvado dela muerte en el pantano enferm de pulmona. Qu salv suvida esta vez? La penicilina, por supuesto!!!

El nombre del noble? Sir Randolph ChurchillEl nombre de su hijo? Sir Winston Churchill.

L o s m a t em t ic o s h a c e m o sr az o n a m i en t o s , n o n m e ro s

Luis Caffarelli me dio un a serie de ejemplos sobre el traba-jo de los matemticos, que quiero compartir aqu. Caffarelli esuno de los mejores matemticos argentinos de la historia (y ca-si con seguridad el mejor h oy, en 2005). A l le ped que m e die-ra argumentos para publicar sobre lo que haca un matemticoprofesional. Lo primero que hizo fue darme el ttulo que utilizopara este captulo.

Pero antes de compartir sus reflexiones, vale la pena recor-

dar que Caffarelli naci en 1948, obtuvo el ttulo de licenciado enmatemtica cuando tena veinte aos y se doctor cuando tenaveinticuatro. En 1994 fue nombrado miembro de la AcademiaPointificia de Ci

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Adrian Paenza - a Estas Ahi - Episodio Desbloqueado