• Funtzio linealak • Funtzio afinak • Funtzio kuadratikoak • Alderantzizko funtzioa • Funtzio esponentziala • Funtzio logaritmikoa • Funtzio irrazionalak • Balio absolutua duten funtzioak • Funtzio trigonometrikoak

• Adierzapen orokorra y = mx da. • Bere adierazpen grafikoa , ardatz koordenatuen jatorritik (0 , 0)

tik pasatzen den zuzen bat da. • m-ek , zuzenaren malda adierazten du (hau da, inklinazioa,

m=x

y eginaz lortzen da bere balioa)

m >0 bada, funtzioa gorakorra da. m<0 bada, funtzioa beherakorra da. • m ≠ 0 da beti.

Aderazpen grafikoa

• Adierazpen orokorra y = mx + n da. • Bere adierazpen grafikoa zuzen bat da. • Beti (0 , n) puntutik pasatzen da. • m zuzenaren malda da. Zuzeneko bi puntu ezagun baditugu

( ) ( )2211 yxetayx ,, malda kalkulatzeko 12

12

xx

yym

−−

=

m>0 bada, funtzioa gorakorra da. m<0 bada, funtzioa beherakorra da. • Beti 0≠nm, dira. • n = jatorriko ordenatua. ( funtzioak ordenatu ardatza mozten

duen puntua). Adierazpen grafikoa

• Adierazpen orokorra : cbxaxy ++= 2

• Adierazpen grafikoa parabola bat da. • 0≠a da beti, bestela funtzio afina izango litzake.

• Erpinaren koordenatuak

−−ab

fab

22, dira.

• Funtzioko parametroen balioak: a >0 bada → funtzioa ahurra izango da, (adarrak goruntz), eta erpina minimo absolutu bat izango da. a <0 bada → funtzioa ganbila izango da, (adarrak beheruntz) eta erpina maximo absolutua izango da. c-ren balioak, parabolak ordenatu ardatza non mozten duen adierazten digu (0 , c) puntua.

Adierazpen grafikoa

• Adierazpe orokorra xk

y = da.

• Bere adierazpen grafikoa hiperbolea da. • k zenbaki erreal bat da eta beti 0≠k da. • Funtzioko parametroen balioak:

k >0 bada → funtzioa beherakorra da k <0 bada → funtzioa gorakorra izango da.

Adierazpen grafikoa

k>0 bada beherakorra da k<0 bada gorakorra da

ALDARANTZIZKO FUNTZIOAREN ANALISIA.

• Izate eremua : ( ) ( )∞∪∞−∈∀ ,, 00x • Ibilbidea : ( ) ( )∞∪∞−∈∀ ,, 00y

• Ez ditu ardatz koordenatuak mozten. • Ardatz koordenatuak funtzioaren asintotak dira. • Izate eremu osoan jarraia da. • Ez du maximorik ez eta minimorik ere. • Funtzio bakoitia da, hau da , simetria inparra du,

( ) ( )xfxf −=−

• Adierazpen orokorra → xay =

• Lehenengo kasua a>1 denean

- Izate eremua Rx ∈∀ - Irudi multzoa ( )∞∈ ,0y . Funtzio hauek ibilbide positiboa dute izate eremu osoan. - X ardatza ez dute mozten. - Ardatz koordenatuekin duten ebakitze puntua (0 , 1) da. - Beti (0 , a) puntutik pasatzen dira. - Izate eremu osoan jarraiak eta gorakorrak dira. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik. - ∞→x doanean , funtzioa ere ∞ doa. - ∞−→x doanean, funtzioa 0 runtz doa.

• Bigarren kasua 0<a<1 denean

- Izate eremua Rx ∈∀ - Irudi multzoa ( )∞∈ ,0y . Funtzio hauek ibilbide positiboa dute izate eremu osoan.

- X ardatza ez dute mozten. - Ardatz koordenatuekin duten ebakitze puntua (0 , 1) da. - Beti (0 , a) puntutik pasatzen dira. - Izate eremu osoan jarraiak eta beherakorrak dira. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik - ∞→x doanean , funtzioa ere 0 runtz doa. - ∞−→x doanean, funtzioa ∞ runtz doa.

Adierazpen grafikoa: 0<a<1

Beste adierazpen grafiko batzuk:

• Adierazpen orokorra xy alog=→

• Lehengo kasua a>1

- Izate eremua Rx ∈∀ . - Ibilbidea R osoa du. - Ez dute ardatz ordenatua mozten . (Y ardatza). - Abzisa ardatza (1 , 0) puntuan mozten du. (X ardatza). - Beti (a,0) puntutik pasatzen dira. - Jarraiak eta gorakorrak dira izate eremu osoan. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik. - ∞→x doanean , funtzioa ere ∞ runtz doa. - 0→x runtz doanean, funtzioa - ∞ runtz doa.

Adierazpen grafikoa a>1 denean:

• Bigarren kasua 0 < a < 1

-- Izate eremua ( )∞∈∀ ,0x - Ibilbidea R osoa du. - Ez dute ardatz ordenatua mozten . (Y ardatza). - Abzisa ardatza (1 , 0) puntuan mozten du. (X ardatza). - Beti (a,0) puntutik pasatzen dira. - Jarraiak eta beherakorrakdira izate eremu osoan. - Ez dute minimorik ez eta ere maximorik. - ∞→x doanean , funtzioa ere - ∞ runtz doa. - 0→x runtz doanean, funtzioa ∞ runtz doa.

Adierazpen grafikoa: 0<a<1

Funtzio espenentzial eta logaritmikoen adierazpen grafikoak. Funtzio hauek elkarren artean alderantzizkoak dira, simetrikoak dira y = x zuzenarekiko.

• Adierazpen orokorra n mxy =→ - Kasu hauetan honako hau bete behar da : m eta n N∈ - n 2≥ • Funtzio hauen berezitasunak m eta n –ren parekotasunean

datza • Agertu daitezkeen lau kasuak aztertuko ditugu.

i. n bikoitia, m bikoitia ii. n bikoitia, m bakoitia iii. n bakoitia , m bikoitia iv. n bakoitia, m bakoitia

7.i n BIKOITIA, m BIKOITIA

• Adierazpen orokorra n mxy =→

• Izate eremua Rx ∈∀ • Simetria bikoitia dute, hau da ( ) ( )xfxf −= • Ardatzekin duten ebakitze puntua ( )00 , da. • ( )11 , puntutik pasatzen dira. • Ibilbidea ( )∞∈ ,0y da.

• Jarraiak dira izate eremu osoan. • Ez dute ez maximo ez eta minimorik. • Beti ganbilak dira. • Beherakorrak dira ( )0,∞− , eta gorakorrak ( )∞,0 n bikoitia eta m bikoitia duten funtzioen adierazpen grafikoa

• 7iii n BAKOITIA, m BIKOITIA

• Adierazpen orokorra n mxy =→

• Izate eremua Rx ∈∀ • Simetria bikoitia dute, hau da ( ) ( )xfxf −= • Ardatzekin duten ebakitze puntua ( )00 , da. • ( )11 , puntutik pasatzen dira. • Ibilbidea ( )∞∈ ,0y da.

• Jarraiak dira izate eremu osoan. • Ez dute ez maximo ez eta minimorik. • Beti ahurrak dira. • Beherakorrak dira ( )0,∞− , eta gorakorrak ( )∞,0

n bakoitia eta m bikoitia duten funtzioen adierazpen grafikoa:

n bikoitia eta m bakoitia duten funtzioen adierazpen grafikoak

n bakoitia eta m bakoitia duten funtzioen adierazpen grafikoa

• Adierazpen orokorra xy =

• Honela berdefinitu daitezke:

><−

=badaxx

badaxxy

0

0

• Izate eremua Rx ∈∀ • Ibilbidea [ )∞∈ ,0y

• Ardatzekin duen ebaki puntua (0 , 0) da. • Jarraia da izate eremu osoan. • Beherakorra da ( )0,∞− , eta gorakorra ( )∞,0 .

• Radianetan adierazitako x edozein angeluri , emandako arrazoi trigonometrikoaren balioa ezartzen dien funtzioak dira.

• Ikasiko ditugun funtzio trigonometrikoak honako hauek izango dira: xtgyxyxy === ,cos,sin .

• Ondorengo taularen balioetan oinarrituko gera:

• Zirkunferentzia goniometrikoa : bere zentro ardatz koordenatuen zentroan du eta bere radioak , bat balio du.

9 a. SINU FUNTZIOAREN ANALISIA

• Adierazpen orokorra xy sin= da.

• Izate eremua Rx ∈∀ • Ibilbidea [ ]11 ,−∈y

• Funtzio periodikoa da., periodoa koaπ2 delarik. Hau da ( )π2+= xx sinsin

• Funtzio bakoitia da, simetria zentroa du (0 , 0) da.

• Gorakorra da

∪

πππ2

2

3

20 ,, eta beherakorra da

2

3

2

ππ, .

• Maximoa

1

2,

π du eta minimoa

−12

3,

π

Sinuaren adierazpen grafikoak

• xy 2sin= funtzioaren periodoa π da. (erdia).

• 2

xy sin= funtzioaren periodoa π4 da. (bikoitza).

9b. KOSINU FUNTZIOAREN ANALISIA

• Adierazpen orokorra xy cos= da.

• Izate eremua Rx ∈∀ • Ibilbidea [ ]11 ,−∈y

• Funtzio periodikoa da., periodoa koaπ2 delarik. Hau da ( )π2+= xx coscos

• Funtzio bikoitia da, simetria ardatza Y ardatza da. • Gorakorra da ( )ππ 2, eta beherakorra da ( )π,0 . • Maximoa ( )10 , du eta minimoa ( )1−,π

Kosinu funtzioaren aldaketa batzuk:

Sinu eta kosinu funtzioen konparaketa:

9C. TANGENTE FUNTZIOAREN ANALISIA

• Adierazpen orokorra xtgy = da.

• Izate eremua Rx ∈∀ -

+ ππ

k2

• Ibilbidea Ry ∈

• Funtzio periodikoa da., periodoa koaπ delarik. Hau da ( )π+= xtgxtg

• Funtzio bakoitia da, simetria zentroa (0 , 0) puntua da. • Gorakorra da izate eremu osoan. • Ez du muturrik.

• Etena da x=

+ ππk

2 puntuetan, eta jauzia infinitokoa

du.