Adcp gelombang

JTM Vol. XVII No. 3/2010

171

ESTIMASI TINGGI GELOMBANG MENGGUNAKAN

KECEPATAN ARUS DENGAN PERSAMAAN STOKES ORDE 2

Taufik Suprayogo1, Totok Suprijo

1

Sari

Kemampuan teori gelombang Stokes order 2 dalam memprediksi tinggi dan periode gelombang di pantai telah diuji

dalam penelitian ini. Hubungan parameter gelombang, yaitu tinggi gelombang dan kecepatan partikel air di bawah

gelombang progresif telah dijelaskan dengan baik di dalam teori Stokes tersebut diatas, oleh karena itu kami

menggunakan hasil pengukuran kecepatan partikel air untuk memprediksi tinggi dan periode gelombang.Data

kecepatan partikel air diperoleh dari ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) yang telah dipasang di perairan

Pulau Pramuka. Selanjutnya, kami diverifikasi hasil estimasi tinggi gelombang dengan data observasi. Hasil

verifikasi terhadap data observasi menunjukkan bahwa estimasi tinggi gelombang menggunakan komponen vertikal

dari kecepatan partikel air lebih mendekati hasil pengukuran jika dibandingkan dengan estimasi tinggi gelombang

menggunakan komponen horisontal dari kecepatan partikel air. Perbedaan rata-rata tinggi gelombang yang

diestimasi dari komponen kecepatan vertikal terhadap data pengamatan adalah 0,33 m, sedangkan perbedaan rata-

rata estimasi menggunakan komponenkecepatan horizontal adalah 0,45 m.

Kata kunci: stokes, estimasi, spektrum energi

Abstract

Applicability of the Stokes 2nd order wave theory to predict coastal wave have been examined in this study.

Relationship of wave high and water particle velocity under progressive wave is explained in the Stokes theory,

therefore we used measured water particle velocities to estimate wave high and period. Water particle velocities

data was obtained from ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) equipment that had been deployed in the

Pramuka Island waters. Further, we verified estimation result of wave high with observation data. The verification

results show that wave high estimation using vertical component of water particle velocities is closer to observation

than estimation using horizontal component of water particle velocities. Averaged discrepancy of wave high

estimated from vertical velocity component to the observation data is 0.33 m, whereas the averaged discrepancy of

estimation using horizontal velocity component is 0.45 m.

Keywords : stokes, estimation, spectrum energy

1) Program Studi Oseanografi, Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, ITB,Jl. Ganesa No. 10 Bandung 40132,

Telp.: +62 22-2500494,Fax.:+62 22-2534139 email: [email protected]

I. PENDAHULUAN

Gelombang laut adalah pergerakan naik dan

turunnya air dengan arah tegak lurus

permukaan air laut yang membentuk

sinusoidal.Gelombang laut biasanya

disebabkan oleh angin (gelombang angin),

daya tarikanbumi-bulan-matahari (gelombang

pasang-surut) dan gelombang yang

disebabkan oleh gempa di dasar laut

(gelombang tsunami). Gelombang yang kita

amati di lapangan mempunyai bentuk sangat

kompleks dan tidak beraturan.Untuk

mempelajarinya maka kita lakukan

pendekatan bahwa satu gelombang yang tak

beraturan merupakan superposisi dari tak

berhingga gelombang yang sinusoidal. Maka

untuk mendekati tinggi gelombang pada

keadaan sebenarnya pada penelitian ini

digunakan teori stokes orde kedua. Estimasi

ini digunakan pada setiap frekuensi

gelombang atau pada setiap gelombang.

Walaupun terdapat galat pada penelitian ini,

namun pendekatan dengan menggunakan

persamaan stokes orde 2 cukup baik.

II. PERSAMAAN PENGATUR

Gaya gravitasi, tekanan, dan inersia

mendominasi pergerakan gelombang kecuali

di lapisan-lapisan batas yang tipis (= 1 cm)

pada perbatasan (interface) udara-air dan

dasar perairan. Teori-teori gelombang yang

ditinjau mengacu pada asumsi dasar bahwa

aliran adalah irrotational, yang

mengimplementasikan bahwa tidak ada stress

geser internal dan efek viscosity (kekentalan).

Secara fundamental rotasi terjadi pada

lapisan-lapisan batas tipis permukaan dan

dasar, sehingga teori-teori gelombang yang

digunakan tidak valid (sah) di lapisan-lapisan

tersebut.

Untuk mempermudah penyelesaian dalam

gelombang digunakan asumsi-asumsi sebagai

berikut:

1. Fluida tidak termampatkan

(incompressible) sehingga divergensi

kecepatan:

∇.𝑞 = 0

dimana:

𝑞 = kecepatan fluida

(1)

Taufik Suprayogo, Totok Suprijo

172

Asumsi ini dipakai untuk menghindari

gelombang gravitasi internal

mempengaruhi aliran.

2. Fluida tidak kental (inviscid), berarti gaya

yang berkerja terhadap fluida hanyalah

tekanan normal pada permukaan. Gaya

lain yang bekerja hanyalah gaya badan

yang ditimbulkan oleh kecepatan

grafitasi. Dengan asumsi ini hukum II

Newton menjadi:

𝐷𝑞

𝐷𝑡= −

1

𝜌∇𝑝 − 𝑔 (2)

dimana:

𝜌 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑗𝑒𝑛𝑖𝑠

𝑝 = 𝑡𝑒𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛

𝑔 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖

3. Aliran irotasional sehingga:

X 𝑞 = 0 (3)

4. Akibat asumsi 1 dan 3 maka untuk suatu

fungsi skalar dapat ditulis:

𝑞 = ∇∅ (4)

dimana Ф adalah potensial kecapatan, dan

dari persamaan (1) didapatkan:

∇. ∇∅ = ∇2 ∅ = 0 (5)

Persamaan ini dikenal sebagai persamaan

laplace. Karena ∅ memenuhi persamaan (4)

maka ∅ disebut sebagai fungsi harmonik.

Keempat asumsi di atas adalah asumsi pokok

yang akan digunakan untuk menyusun

persamaan pengatur dengan syarat batas.

Persamaan pengatur adalah persamaan laplace

yang dapat ditulis sebagai berikut:

𝜕2∅

𝜕2𝑥+

𝜕2∅

𝜕2𝑦+

𝜕2∅

𝜕2𝑧= 0 (6)

Agar persamaan ini dapat diselesaikan harus

diberikan syarat batas yang sesuai. Ada dua

syarat batas yang diperlukan untuk

menyelesaikan persamaan laplacedi atas yakni

syarat batas kinematik dan syarat batas

dinamik.

2.1 Syarat Batas Kinematik

Syarat batas kinematik adalah syarat batas

suatu permukaan S yang dibentuk oleh

partikel yang sama, dan fluida yang semula

berada di dalam permukaan S tersebut akan

tetap ada di dalam permukaan S. Bila

permukaan S kita nyatakan sebagai 𝑥 , 𝑡 = 0 , maka untuk setiap partikel yang bergerak

dalam arah dalam arah x,y,z dan pada t yang

berubah akan tetap pada permukaan tersebut,

atau:

𝐷𝑆

𝐷𝑡= 0 (7)

Syarat batas kinematik dapat diambil pada

pemukaan bebas dan pada dasar. Permukaan

bebas dapat dinyatakan sebagai:

Z = η (x,y,t) (8)

dan pada permukaan S adalah

S = η (x,y,t) – z = 0 (9)

disini η tidak tergantung pada Z, dan Z tidak

tergantung pada variabel lainnya. Dengan

menggunakan persamaan (7) didapat:

(10)

dimana:

𝜂 = 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑠𝑖 𝑢 = 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥

𝑣 = 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦

Cara yang sama akan digunakan untuk syarat

batas pada dasar. Misalnya, batas dasar adalah

tegar.

Z= -h(x,y)(11)

yang berarti dasar tidak berubah terhadap

waktu. Dengan menggunakan (6) akan di

peroleh :

𝑢 𝜕h

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕h

𝜕𝑦+ 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑧 = −h (12)

Dengan menggunkan potensial kecepatan,(9)

dan (11) menjadi: 𝜕η

𝜕𝑡+

𝜕∅

𝜕𝑥

𝜕η

𝜕𝑥+

𝜕∅

𝜕𝑦

𝜕η

𝜕𝑦−

𝜕∅

𝜕𝑧= 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑧 = η

𝜕∅

𝜕𝑥

𝜕h

𝜕𝑥+

𝜕∅

𝜕𝑦

𝜕h

𝜕𝑦−

𝜕∅

𝜕𝑧= 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑧 = h

2.2 Syarat Batas Dinamik

Syarat batas dinamik diambil dari persamaan

euler yang sudah diubah bentuknya jadi

persamaan bernaulli seperti di bawah ini:

(13)

(14)

Estimasi Tinggi Gelombang Menggunakan Kecepatan Arus dengan Persamaan Stokes Orde 2

173

𝜕∅

𝜕𝑡+

1

2𝑞2 +

𝑝

𝜌+ 𝑔𝑧 = 𝑓(𝑡)(15)

f(t) adalah fungsi sembarang yang bergantung

terhadap waktu, karena alirannya dipenuhi

garadien tekanan maka f(t) dapat diambil

sama dengan nol atau konstan lainnya. Jarang

sekali dipilih fungsi yang benar-benar

bergantung terhadap waktu.

Syarat batas di atas berbentuk non linier

karena suku-sukunya mengandung turunan ∅

dan η. Untuk menyelesaikan persamaan

laplace yang linier maka syarat batasnya

haruslah dibuat linier untuk itu perlu diadakan

pendekatan matematis yang sesuai.Untuk

menyelesaikan persamaan laplace yang linier

maka syarat batasnya haruslah di buat linier.

Dalam teori gelombang linier syarat batas di

permukaan dilinierkan denagn asumsi

amplitudo gelombang lebih kecil

dibandingkan panjang gelombangnya. Maka

persamaan diatas menjadi:

(16)

yang berpengaruh terhadap h dapat ditulis:

(17)

𝜕∅

𝜕𝑡+ 𝑔𝜂 = 0(18)

dengan mengeliminasi η dari kedua

persamaan di atas, syarat batas berikut hanya

dalam bentuk ∅menghasilkan:

𝜕∅

𝜕𝑧= −

1

𝑔

𝜕2∅

𝜕𝑡2 (𝑧 = 0)(19)

sedangkan tekanan dapat diperoleh dengan

melinierkan persamaan (16) menjadi:

𝑝 = −𝜌 𝜕∅

𝜕𝑡− 𝜌𝑔𝑧 = 0(20)

III. TEORI GELOMBANG STOKES

Pada tahun 1847,Stokes mengembangkan

teori gelombang orde 2 untuk gelombang

amplitudo berhingga.Keakuran dari teori ini

berkurang seiring dengan bertambahnya

kecuraman gelombang sampai terjadi

gelombang pecah. Potensial kecepatan orde

2Stokes:

∅ =ɡ𝐻

2𝜍

𝑐𝑜𝑠𝑕𝑘(𝑑+𝑧)

𝑐𝑜𝑠𝑕𝑘𝑑sin 𝑘𝑥 − 𝜍𝑡 +

3𝜋𝑐𝐻²

16𝐿

𝑐𝑜𝑠𝑕2𝑘(𝑑+𝑧)

𝑠𝑖𝑛𝑕4(𝑘𝑑 )𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜍𝑡)

dimana suku pertama pertama pada ruas

kanan adalah potensial kecepatan untuk teori

gelombang amplitudo kecil. Magnitude dari

suku orde 2 tergantung pada kecuraman

gelombang dan frekuensinya dua kali dari

suku orde pertama. Kecepatan fasanya sama

dengan kecepatan untuk orde pertama. Profil

permukaan air stokes orde kedua:

ƞ𝜂 =𝐻

2cos 𝑘𝑥 − 𝜍𝑡 +

𝜋𝐻

8 𝐻

𝐿

𝑐𝑜𝑠𝑕𝑘𝑑

𝑠𝑖𝑛𝑕ᵌ𝑘𝑑 2 +

𝑐𝑜𝑠𝑕2𝑘𝑑 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜍𝑡) Dari persamaan 18 terlihat bahwa frekuensi

orde kedua besarnya dua kali orde pertama

dan akan menambah amplitudo pada puncak

gelombang (sefasa dengan orde pertama),

sedangkan pada lembah akan mengurangi

amplitudo (beda fasa). Dengan demikian

profil vertikalnya tidak simetris.

Ketidaksimetrisan ini akan semakin

bertambah dengan semakin besarnya

kecuraman gelombang H/L. Dengan

menggunakan persamaan hiperbolik di

perairan dalam persamaan 18 akan menjadi:

Partikel kecepatan air pada stokes orde ke 2:

𝑢

=𝐻𝑔𝑘

2𝜍

cosh 𝑘 (𝑑 + 𝑧)

cosh 𝑘𝑑cos 𝑘𝑥 − 𝜍𝑡

+3𝐻2𝜍𝑘

16

cosh 2𝑘 𝑑 + 𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑕4(𝑘𝑑)𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥

− 𝜍𝑡)

𝑤 =𝐻𝑔𝑘

2𝜍

sinh 𝑘 (𝑑+𝑧)

cosh 𝑘𝑑sin 𝑘𝑥 − 𝜍𝑡 +

3𝐻2𝜍𝑘

16

sinh 2𝑘 𝑑+𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑕4(𝑘𝑑)𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜍𝑡)

Rumusan inilah yang nantinya akan

digunakan untuk mengestimasi tinggi

gelombang.

IV. ESTIMASI

4.1 Mengestimasi Tinggi Gelombang

Signifikan Menggunakan Kecepatan

Arus Horizontal

Data kecepatan arus ini diambil menggunakan

ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) dan

pengolahan pada data arus digunakan layer

teratas yang mewakili pergerakan

(21)

(22)

(24)

(23)


174

gelombang.Untuk estimasi tinggi gelombang

dengan kecepatan horisontal ini, penulis

menngunakan kecepatan arus residu, dengan

asumsi bahwa kecepatan arus residu ini

merupakan kecepatan arus yang diakibatkan

oleh gelombang.

Gambar1. Arus pasang surut, arus lapangan

dan arus residu

Pada Gambar 1 kita dapat melihat arus pasut

maksimum sebesar 0,77 m/s dan untuk data

observasinya arus maksimum sebesar 0,78 m/s.

Sedangkan arus residu (arus non pasut) lebih

kecil dibandingkan arus pasutnya, arus residu

ini lah yang akan di anggap sebagai arus yng di

sebabkan oleh gelombang, walaupun

sebenarnya arus residu tersebut sebenarnya

bukan hanya disebabkan oleh gelombang saja

tetapi oleh beberapa faktor.

Gambar2. Tinggi gelombang signifikan

Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa hasil

estimasi tinggi signifikan menggunakan

kecepatan arus horisontal belum cukup baik

karena data arus yang digunakan untuk

mendekati tinggi gelombang signifikan hanya

satu data (untuk 1 jam) untuk satu tinggi

gelombang signifikan, sedangkan gelombang

signifikan sendiri merupakan rata-rata dari 1/3

gelombang tertinggi. Dengan demikian, untuk

mendekati tinggi gelombang signifikan

menggunakan satu data arus hasilnya belum

cukup baik.

Gambar3. Spektrum densitas energi

Gambar3 merupakan spektrum densitas energi

gelombang dengan menggunakan Hs. Dari

Gambar tersebut dapat dilihat bahwa spekturm

densitas energi hasil perhitungan (estimasi)

relatif lebih kecil dibandingkan dengan hasil

lapangan, kecuali pada frekuensi 0,25-0,26 hasil

perhitungan lebih besar.


Menggunakan Kecepatan Arus Vertikal

Untuk estimasi tinggi gelombang dengan

kecepatan vertikal ini, penulis menngunakan

kecepatan arus vertikal lapangan, dengan asumsi

bahwa kecepatan arus vertikal lapangan ini

merupakan kecepatan arus akibat gelombang.

Berbeda dari estimasi gelombang signifikan

dengan menggunakan kecepatan arus horisontal,

pada estimasi tinggi gelombang signifikan

dengan kecepatan arus vertikal ini mengestimasi

dahulu tinggi setiap gelombang setelah itu baru

menghitung tinggi gelombang

signifikan.Gambar 4 merupakan kecepatan arus

vertikal pada burs 1, dalam penelitian ini

banyaknya burs kecepatan arus vertikal

sebanyak 30 burs dalam waktu 30 jam, setiap

melakukan 1 burs selama 10 menit. Jadi setiap 1

jam dilakukan pengambilan data kecepatan arus

vertikal dan tinggi gelombang (data tekanan)

selama 10 menit dalam selang waktu perdetik.

Gambar 4. Kecepatan arus vertikal


175

Dari Gambar 5 dan 6 dapat dilihat bahwa hasil

perhitungan (estimasi) tinggi gelombang lebih

besar dibandingkan hasil lapangannya.

Pada Gambar7 terlihat bahwa Hs perhitungan

relativ lebih besar dibandingkan Hs lapangan,

hal ini sama dengan hasil perbandingan tinggi

gelombangnya di mana perhitungan (estimasi)

lebih besar dibandingkan dengan lapangannya.

Estimasi dengan menggunakan kecepatan arus

vertikal lebih baik dibandingkan dengan

kecepatan arus horisontal yang dapat dilihat

pada hasil Hs nya.

Pada Gambar 8 dan 9 dapat dilihat bahwa

spektrum densitas energi hasil perhitungan lebih

besar dari pada hasil lapangan hal ini sama

dengan hasil perhitungan (estimasi) tinggi

gelombangnya. Spektrum densitas energi

dengan menggunakan tinggi gelombang lebih

mendekati spektrum densitas energi

lapangannya dibandingkan spektrum densitas

energi yang menggunakan Hs karena pada

spektrum densitas energi dengan menggunakan

tinggi gelombang mewakili semua tinggi

gelombang sedangkan spektrum densitas energi

yang menggunakan Hs tidak mewakili semua

gelombang dilapangan.Nilai estimasi tinggi

gelombang pada frekuensi tinggi lebih baik

dibandingkan dengan estimasi tinggi gelombang

pada frekuensi rendah, hal ini dapat terlihat pada

Gambar 9.

V. VERIFIKASI

5.1 Verifikasi Tinggi Gelombang Signifikan

Menggunakan Kecepatan Arus

Horisontal

Dari Gambar 10 dapat dilihat bahwa Hs

hitungan dengan menggunakan kecepatan arus

horisontal belum cukup baik untuk mendekati

nilai Hs lapangan, dimana data lapangan

cenderung lebih besar dari pada data

perhitungan.Kesalahan ini terjadi karena galat

(error) pada perhitungan bilangan

gelombang,serta kesalahan pada sudut

gelombang dan data arus yang dipakai dalam

menghitung Hs merupakan arus perjam.Galat

RMS pada perhitungan ini sebesar 0,45 m dan

variansnya sebesar 0,16 m.

Gambar 5. Tinggi gelombang lapangan

Gambar 6. Tinggi gelombang hitungan


176

Gambar 7. Tinggi gelombang signifikan

Gambar 8. Spektrum densitas energi berdasarkan tinggi gelombang signifikan

Gambar 9. Spektrum densitas energi berdasarkan tinggi gelombang


177

Gambar 10. Verifikasi data Hs lapangan

dengan data Hs perhitungan dengan

menggunakan kecepatan arus horizontal


Menggunakan Kecapatan Arus Vertikal.

Terlihat dari grafik tinggi gelombang pada

Gambar 11bahwa tinggi gelombang hitungan

cenderung lebih besar dari pada tinggi

gelombang lapangan dengan nilai galat RMS

sebesar 0,47m dan variansnya sebesar 0,22m,

dengan nilai galat tersebut maka dapat

dinyatakan bahwa perhitungan tinggi

gelombang dengan menggunakan arus vertikal

cukup baik.

Gambar 11. Verifikasi data tinggi gelombang

lapangan dengan tinggi gelombang hasil

perhitungan dengan menggunakan kecepatan

arus vertikal

Dari Gambar12dapat dilihat bahwa nilai

estimasi Hs dengan menggunakan perhitungan

kecepatan arus vertikal lebih baik dibandingkan

dengan nilai estimasi Hs dengan menggunakan

arus horisontal, dengan nilai galat lebih kecil

dibandingkan estimasi dengan perhitungan

kecepatan arus horisontal.Nilai galat RMS 0,33

m dan variansnya sebesar 0,04m.

Gambar 12. Verifikasi data Hs lapangan dengan

data Hs perhitungan dengan menggunakan

kecepatan arus vertikal

Hasil estimasi dengan menggunakan kecepatan

arus vertikal lebih baik karena data yang

digunakan untuk mengestimasi Hs adalah data

kecepatan arus vertikal perdetik yang diambil

selama selang waktu perdetik selama 512 detik,

sehingga hasilnya lebih baik dari pada estimasi

dengan menggunakan kecepatan arus horisontal

yang menggunakan data perjam. Galat yang

terjadi pada estimasi ini disebabkan karena

perhitungan bilangan gelombang, serta

kesalahan pada sudut gelombang dimana arah

gelombang datang diasumsikan tegak lurus.

VI. KESIMPULAN

Dari penelitian ini dapat disimpulkan sebagai

berikut:

1. Estimasi tinggi gelombang signifikan dengan

menggunakan kecepatan arus horisontal

memiliki galat RMS sebesar 0,45 m

sedangkan dengan menggunakan kecepata

arus vertikal memiliki galat RMS seberar

0,33 m.

2. Estimasi tinggi gelombang signifikan dengan

menggunakan kecepatan vertikal lebih baik

dari perhitungan dengan menggunakan

kecepatan horisontal berdasarkan nilai galat

RMSnya.

3. Dalam estimasi tinggi gelombang dengan

persamaan Stokes memiliki galat pada

perhitungan nilai bilangan gelombang

sebesar 0,05% dan pada penentuan sudut

gelombang yang diasumsikan bahwa arah

datang gelombang tegak lurus.

4. Pada perhitungan spektrum energi dengan

menggunakan H lebih baik dibandingkan

dengan menggunakan Hs.


178

5. Estimasi tinggi gelombang pada frekuensi

tinggi lebih baik dari pada pada frekuensi

rendah hal ini terlihat pada nilai spektrum

densitas energinya.

DAFTAR PUSTAKA

1. Coastal Engineering Manual, 2002. Part

2, Institut Teknologi Bandung (ITB).

2. Dean and Dalrymple, 1984.Water Wave

Mechanics for Engineers and Scientists.

Prentice-Hall, New Jersey.

3. Halerow and Patners, 1969. Coastal

Hydraulics, London.

4. Holthuijsen, 2007. Waves In Oceanic And

Coastal Waters, New York.

5. www.antaranews.com

6. www.kennisbank-waterbouw.nl

7. www.uni-leipzig.com

8. www.wavebrakefl.com

http://www.antaranews.com/

http://www.kennisbank-waterbouw.nl/

http://www.uni-leipzig.com/

http://www.wavebrakefl.com/

Documents

Adcp gelombang