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Sesión TresSesión TresDistribuciones de probabilidad Distribuciones de probabilidad
discretas y continuas discretas y continuas
Dr. Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
De la sesión anterior
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Nuestro interés es el número de éxitosNuestro interés es el número de éxitos que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.
Tomamos x como el número de éxitosTomamos x como el número de éxitos que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.
Distribución Binomial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
donde: f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos n = el número de intentos p = la probabilidad de éxito de cualquier intento
Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
Probabilidad de una Probabilidad de una secuencia particular de resultados secuencia particular de resultados
con x éxitos en n intentoscon x éxitos en n intentos
Número de resultadosNúmero de resultados experimentales que danexperimentales que dan
x éxitos en intentosx éxitos en intentos
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Ejemplo
La empresa está preocupada por la alta rotación de sus empleados. Para un empleado seleccionado al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la persona no esté el próximo semestre trabajando. Si se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando el próximo semestre en el CITEC?
Distribución Binomial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Diagrama de árbol 1st Worker 1st Worker 2nd Worker2nd Worker 3rd Worker3rd Worker xx Prob.Prob.
Leaves (.1)Leaves (.1)
Stays (.9)Stays (.9)
33
22
00
22
22
Leaves (.1)Leaves (.1)
Leaves (.1)Leaves (.1)
S (.9)S (.9)
Stays (.9)Stays (.9)
Stays (.9)Stays (.9)
S (.9)S (.9)
S (.9)S (.9)
S (.9)S (.9)
L (.1)L (.1)
L (.1)L (.1)
L (.1)L (.1)
L (.1)L (.1) .0010.0010
.0090.0090
.0090.0090
.7290.7290
.0090.0090
11
11
.0810.0810
.0810.0810
.0810.0810
1111
Distribución Binomial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Utilizando la función de probabilidad Binomial
tome: p = .10, n = 3, x = 1tome: p = .10, n = 3, x = 1
Distribución Binomial
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0)!13(!1
!3)1( )13(1
f 243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0
)!13(!1!3
)1( )13(1
f
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
utilizando Tablas de Probabilidad Binomial
n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
pn x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
p
Distribución Binomial
X P(X)
0 0.729
1 0.243
2 0.027
3 0.001
Utilizando excelBinomial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
El valor El valor esperadoesperado;;
La varianza;La varianza;
La desviación estándar, La desviación estándar, = =
Var(Var(xx) = ) = 22 = = np(1-pnp(1-p)Var(Var(xx) = ) = 22 = = np(1-pnp(1-p)
EE((xx) = ) = = = npnpEE((xx) = ) = = = npnp
Distribución Binomial
)1( pnp )1( pnp
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E(x) = E(x) = npnp = 3(.1) = .3 = 3(.1) = .3 empleadosempleados de 3 de 3
Var(Var(xx) =) = 22 = = 3(.1)(.9) = .273(.1)(.9) = .27
Distribución Binomial
empleados52.)9)(.1(.3 empleados52.)9)(.1(.3
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Una variable aleatoria con una distribución Poisson Una variable aleatoria con una distribución Poisson es útil para estimar el número de ocurrencias sobre es útil para estimar el número de ocurrencias sobre un intervalo especificado de tiempo o espacio.un intervalo especificado de tiempo o espacio.
Es una variable aleatoria discreta que puede tomar Es una variable aleatoria discreta que puede tomar una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).
Distribución Poisson
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Ejemplo de variables aleatorias con Ejemplo de variables aleatorias con distribución Poissondistribución Poisson
La cantidad de fugas en 10 km. de un La cantidad de fugas en 10 km. de un gaseoductogaseoducto
Los automóviles que pasan por Los automóviles que pasan por una caseta en una horauna caseta en una hora
Distribución Poisson
Distribución Poisson
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Propiedades de los experimentos Poisson
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquierLa ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia ointervalo es independiente de la ocurrencia o no-occurrencia en cualquier otro intervalo.no-occurrencia en cualquier otro intervalo.
La probabilidad de una ocurrencia es la mismaLa probabilidad de una ocurrencia es la mismapara dos intervalos cualesquiera de igual longitudpara dos intervalos cualesquiera de igual longitud
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Distribución Poisson
Función de probabilidad Poisson
en donde:en donde:f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalof(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo µ= media de ocurrencias en un intervaloµ= media de ocurrencias en un intervalo e = 2.71828e = 2.71828
!)(
xe
xfx
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MERCYMERCY
• Ejemplo: Hospital López Mateos
Los fines de semana en la tarde
a la sala de emergencias del
Hospital LM llegan en promedio
6 pacientes por hora .
Cuál es la probabilidad de que
lleguen 4 pacientes en 30 minutos
en la tarde de un fin de semana?
Distribución Poisson
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Utilizando la Función de Probabilidad Poisson
MERCYMERCY
= 6/hora = 3/media-hora, x = 4 = 6/hora = 3/media-hora, x = 4
Distribución Poisson
1680.0!4
)71828.2(3)4(
34
f 1680.0!4
)71828.2(3)4(
34
f
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Utilizando las tablas de probabilidad Poisson
MERCYMERCY
Distribución Poisson
Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)
Distribución Poisson
Dr Jorge Ramírez MedinaITESM EGADE Zona Centro
MERCYMERCY
Poisson Distribution of Arrivals
Poisson Probabilities
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de llegadas en 30 Minutos
Pro
bab
ilid
ad
La La secuencia secuencia continua:continua:11, 12, …11, 12, …
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Una propiedad de la distribución Poisson es queUna propiedad de la distribución Poisson es queLa media y la varianza son iguales. La media y la varianza son iguales.
= 2
Distribución Poisson
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MERCYMERCY
Varianza de las llegadas durante el periodo de 30 minutos.
= 2 = 3
Distribución Poisson
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SLOW
Distribución de probabilidad exponencial
• Útil para describir el tiempo que toma el completar una tarea.
• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser utilizadas para describir:
Tiempo de llegada Entre vehículos
a una caseta.
Tiempo requerido para llenar un cuestionario
Distancia entre baches en una
autopista
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• Función de densidad
donde: = media e = 2.71828
Para x Para x ≥0, ≥0, μ≥μ≥00
Distribución de probabilidad exponencial
x
exf
1)(
x
exf
1)(
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• Probabilidades acumulativas
donde: x0 = algún valor específico de x
Distribución de probabilidad exponencial
ox
exxP 1)( 0
ox
exxP 1)( 0
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• Ejemplo; gasolinera las Torres
El tiempo entre carros que llegan a la gasolinera las Torres sigue una distribución de probabilidad exponencial con una media entre llegadas de 3 minutos. Se quiere saber cuál es la probabilidad de que el tiempo entre 2 llegadas sea menor o igual de 2 minutos.
Distribución de probabilidad exponencial
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xx
f(x)f(x)
.1.1
.3.3
.4.4
.2.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo entre llegadas (mins.)
P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866 P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866
Distribución de probabilidad exponencial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Una propiedad de la distribución exponencial es Una propiedad de la distribución exponencial es que la media, que la media, , y la desviación estándar, , y la desviación estándar, , son iguales , son iguales
La desviación estándar, La desviación estándar, , y la varianza, , y la varianza, 22, para el , para el tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:
= = 3 minutes
2 = (3)2 = 9
Distribución de probabilidad exponencial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
La distribución exponencial está sesgada positivamente.La distribución exponencial está sesgada positivamente.
La medición del sesgo para la distribución La medición del sesgo para la distribución exponencial es 2.exponencial es 2.
Distribución de probabilidad exponencial
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
La distribución PoissonLa distribución Poissonda una descripción apropiadada una descripción apropiadadel número de ocurrenciasdel número de ocurrenciaspor intervalopor intervalo
La distribución exponencialLa distribución exponencialda una descripción apropiadada una descripción apropiadade la longitud del intervalode la longitud del intervaloentre las ocurrenciasentre las ocurrencias
Relación entre las distribuciones
exponencial y Poisson
Reflexión en clase
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Uso y abuso de la estadística
• Cuidado con lo que asume.• Sea claro acerca quiere descubrir.• No tome la causalidad por sentado.• Con estadística no se puede probar cosas
con el 100% de certeza• Un resultado que es numéricamente
significativo puede ser inútil.
Tomado de The Use and Misuse of statistics HBP.
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Fin Sesión 3