Activités avec GeoGebra

Optimisation

Christine Docq, Sabine Hausmann, Dany Legrand, André Malo, Rosane Tossut

avec la collaboration de

Anne Baudhuin, Jean-Baptiste Coulaud, Cristobald de Kerchove

GEM – Juin 2016

1

IntroductionCedocumentproposeuneséquenced’apprentissagedel’optimisationàl’aidedeGeoGebra.Lelogicielestutilisépourvisualiserlessituationsetconjecturerlessolutions.Ilfautcependantgarder à l’esprit que l’objectif principal est la maitrise de l’usage de la dérivée dans lesproblèmesd’optimisation.Lesquatresituationsprésentéesdanscetteséquencesontclassiquesetontétéchoisiesenfonctiondel’utilisationdulogiciel.1. Levolumemaximald’uneboiteobtenueencoupantlesquatrecoinsd’unefeuillecarrée

estl’occasiondepasserdelamanipulationpapieràlaconstructiond’unefiguremobileenGeoGebradanstroisfenêtresdifférentes:lafeuilledécoupéeen2D,lavisualisationdelaboiteen3Detlegraphiquedelafonctionvolume.La capsule vidéo jointe présente un exemple de résolution. Voici deux manières del’utiliser:-leprofesseurpeufamiliariséaveclelogicielpeutsuivrepasàpaslescommandespourlaréalisationetrefaireensuitesapropreconstruction;-lesélèvespeuventlavisionneravecl’objectifderéalisereux-mêmeslafigurepourlesproblèmessuivants.Larésolutionalgébriqueassezsimpleconfirmeetpréciselasolution.

2. Leproblèmedeminimisationdelalongueurdestuyauxd’unedescented’eausymétrique

permetdefaireconstruireauxélèvesunefigureen2Dsansgrossedifficulté.3. Le cylindre de volume maximal dans une sphère est l’occasion de construire une

visualisationen3D.4. Leproblèmedemaximisationduvolumed’unepyramidedroiteàbasecarréepourune

surfacelatéraledonnéedonnel’occasiond’unréinvestissement.Il va de soi que de nombreux autres exercices sont nécessaires pour lamaitrise de cettematière.Quelquesindicationsméthodologiquessontprésentéessurfondgrisé.

GEM – Juin 2016

2

Problème1Onveutconstruireuneboitesanscouvercleendécoupantquatrecarrésauxcoinsd’ungrandcarréetenrepliantverslehautlesbordslibres.Déterminezlaboitedeplusgrandvolumequ’ilestpossibled’obtenir.a)Réalisezconcrètementlaboiteenpartantducarréconstruitsurlepetitcôtéd’unefeuilleA4etcalculezsonvolume.b)ÉlaborezunfichierGeoGebraavecunepremièrefenêtrepourdessinerlasituationendeuxdimensions,unesecondepourvisualiserlasituationentroisdimensionsetunedernièrepourconstruirelegraphiqueduvolumeenfonctionducôtédespetitscarrés.c)Vérifiezanalytiquementlaréponsepressentieàl’aidedesmanipulationsconcrètesetdulogiciel.a)ConstructionsconcrètesPourquelesélèvesprennentconsciencedelavariabilitéduvolumeenfonctiondelalongueurdes côtés des carrés découpés, on leur fait réaliser au préalable la boite en ayant répartidifférentesmesuresdescôtésdespetitscarrés,de1à10cm;ondemandeaussiàchaqueélèvedecalculerlevolumedesaboite. Onproposeauxélèvesdecomparerlesboitesconstruites:sioncouchelesplushautes,onremarquequ’ellesrentrentdanslespluslargesetontdoncunvolumeinférieur.Oncollectelesrésultatsdesvolumesdansuntableauendésignantpar𝑙lalongueurdescôtésdespetitscarrésetpar𝑉(𝑙)levolumecalculé.Onfaitensuiteélaboreruneconjecturerelativeaumaximumdecevolume.b)TravailaveclelogicielGeoGebraVoustrouverezlacapsulevidéoici:https://www.dropbox.com/s/6gni9ls6an6flu6/Capsule_Volume_Maxi_Boite.wmv?dl=0LefichierGeoGebraestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/UaQaCTpQ?doneurl=%2Fgem_llnIls’agitd’unexempled’utilisationdeGeoGebra; ilyad’autresrésolutionspossibles.Nousn’avonspaslimitélavariationdesobjetsauxsituationsvraisemblables,pourattirerl’attentionsurlesdomainesdevalidité.LetravailavecGeoGebrasedérouleentroisétapes:-réaliserledécoupagedelafeuilledansunepremièrefenêtre2D,-construirelaboitedansunefenêtre3D,-réaliser legraphiqueduvolumeen fonctionde lahauteurde laboitedansunenouvellefenêtre2D.

GEM – Juin 2016

3

Legraphiqueduvolumeestintéressantàplusieurspointsdevue:-ilpermetdevérifierlescalculseffectuésàl’étapea)etderepérerl’endroitapproximatifdumaximum;

-onpeutsedemandersitouslespointsdugraphiqueontunsenspourleproblèmeinitialetàqueltypedefonctionlegraphiquecorrespond.

c)RechercheanalytiquedumaximumOnespèrequelesélèvestrouverontd’eux-mêmesqu’ilfautrecouriràladérivée;danslecascontraire,ondirigeraleurrecherchedanscesens.Ilfautd’abordélaboreranalytiquementlafonction𝑉(𝑙),volumedelaboiteetensuiteutilisersadérivéepourconfirmerouinfirmerlesconjecturesfaitesauxétapesa)etb).Commelefonddelaboiteaunelargeurde21cmdiminuéededeuxfoislalongueur𝑙ducôtéducarréetquelahauteurdelaboiteestcelledelalongueurducôtéducarré,onobtientpourlevolume

𝑉 𝑙 = 21 − 2𝑙 )𝑙.Dérivonscettefonction

𝑉* 𝑙 = 2 21 − 2𝑙 −2 𝑙 + 21 − 2𝑙 ).Eneffectuantunemiseenévidence,onobtient

𝑉* 𝑙 = 21 − 2𝑙 −4𝑙 + 21 − 2𝑙 ouencore

𝑉* 𝑙 = 21 − 2𝑙 21 − 6𝑙 .

Ladérivéeduvolumes’annuledoncsoiten𝑙 = 212 =10,5cm,soiten𝑙 = 21

6 = 3,5cm.Ilestclairquelapremièreracineneconvientpaspuisqu’iln’yauraitplusdeboite.Vérifionsqueladeuxièmeracinedonnebienunmaximumlocalàlafonctionvolume.- Soit on analyse le signede la dérivée à gaucheet à droitede cette racine: on a une

expressionduseconddegréenlavariable𝑙avecuncoefficientpositifpourletermeduseconddegré:l’expressionpassedoncbiendusignepositifausignenégatifdepartetd’autredelavaleur3,5.

- Soitonanalyselesignedeladérivéesecondeencetteracine

𝑉** 𝑙 = −2 21 − 6𝑙 + 21 − 2𝑙 −6

𝑉** 𝑙 = 24𝑙 − 168

GEM – Juin 2016

4

etdonc

𝑉** 3,5 = −84.Lesignedeladérivéesecondeétantnégatif,onauneconcavitéverslebasetlepointstationnairecorresponddoncbienàunmaximumlocal.

Calculonsensuitelavaleurdumaximum

𝑉 3,5 = 686𝑐𝑚³.

Dans la résolution de ce problème, nous avons abordé l’optimisation de trois manièresdifférentes:expérimentale,informatiqueetanalytique.-Lesessaisconcretslaissentsupposerquelasolutionsesitueentre3et4cm.-Legraphiquedelafonctionvolume,donnéparlelogiciel,permetd’approchermieuxcettesolution.-Lecalculanalytiqueapporteunesolutionpréciseauproblème.Problème2Surlepignonlatérald’unbâtiment,onveutrécolter,enuneseuledescentecentrale,leseauxdepluiedesdeuxgouttièresdesfaçadesopposées.Aquellehauteurplacerleraccordpourminimiserlalongueurtotaledestuyaux?Quelanglefaitchaqueportionobliqueparrapportàl’horizontale?

a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.

GEM – Juin 2016

5

a)TravailaveclelogicielLeprofesseurpeutproposerauxélèvesdesvaleursdifférentespourlesdimensionsdupignon.Lesvaleursobtenuespourleshauteursoptimalessontdifférentes,maisl’angleobtenuestàchaquefoisde30°.LaréalisationestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/X8nsC5fV?doneurl=%2Fgem_llnLes personnes qui désirent suivre la construction pas à pas peuvent utiliser la fenêtre«Protocoledeconstruction»dulogiciel.b)RésolutionanalytiqueChaqueélèverésoutleproblèmeaveclesvaleursnumériquesde𝐻et𝑙utiliséesàl’étapea).Larésolutiongénéraleestprésentéeci-dessous.La longueur totale des tuyaux correspondà la longueurh augmentéedesdeux longueursobliques notées𝑥 . On peut exprimer ces longueurs𝑥 comme l’hypoténuse d’un trianglerectangle

𝑥 = 𝐻 − ℎ ) + 9²;.

Notonsf(h)lalongueurtotaledestuyaux,avecℎ𝜖 0, 𝐻

𝑓 ℎ = ℎ + 2 ∙ 𝐻 − ℎ ) + 9²;.

Dérivonscettefonction

𝑓* ℎ = 1 +2 ∙ 12 ∙ 2(𝐻 − ℎ)(−1)

𝐻 − ℎ ) + 𝑙²4

= 1 −2(𝐻 − ℎ)

𝐻 − ℎ ) + 𝑙²4

Annulonscettedérivée

𝑓* ℎ = 0 ⇔ 𝐻 − ℎ ) +𝑙)

4 = 2 𝐻 − ℎ

ouencore

𝐻 − ℎ ) +𝑙)

4 = 4 𝐻 − ℎ )

3(𝐻 − ℎ)) =𝑙²4

GEM – Juin 2016

6

𝐻 − ℎ =𝑙

2 3

etfinalement

ℎ = 𝐻 − 𝑙2 3

.

Vérifieranalytiquementqu’ils’agitd’unminimumestunetâcheardue.Maislesgraphiquesobtenusparlesélèvesnousindiquentqu’ils’agitbiend’unminimum.Calculonsàprésentl’angle𝛼entreuneportionobliqueetl’horizontalegrâceàlatangente

𝑡𝑔 𝛼 =𝑙

2 3𝑙2= 1

3.

Donc𝛼 = 30°.Remarquonsquelahauteuroptimaledépenddesdimensionsdupignon,maisquel’angle𝛼,aucontraire,enestindépendant.Problème3QuellessontlesdimensionsducylindredevolumemaximalquenouspouvonsinscriredansunesphèrederayonRdonné?a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.a)RésolutionaveclelogicielGeoGebraCe problème relativement simple donne l’occasion aux élèves de se familiariser avec lesconstructionsen3DdeGeoGebra.Ilpermetaussidetravaillersurunefonctiondu3èmedegréetsadérivée.Nousdonnonsiciunemanièredeprocéder.Nous avons remarqué que GeoGebra ne donne pas toujours des valeurs exactes pour levolume,nousavonspréférédéfinirmanuellementlecalcul.CetteréalisationestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/gb9jYWvE?doneurl=%2Fgem_lln

GEM – Juin 2016

7

Construisons:-unpointOdecoordonnées(0,0,0),- unesphèredecentreOetderayonR=1,parexemple,-unpointCsurl’axedesz,-unplanpassantparlepointCetparallèleauplanxOy,-l’intersectiondeceplanetdelasphère,-C’,lepointsymétriquedupointCparrapportaucentreO,-uncylindre,Cestlecentred’unebase,C’lecentredel’autrebase,lerayonestégalaurayonducercledel’intersection.

EndéplaçantlepointC,nousfaisonsvarierlecylindre.PouréviterlessautsdanslesdéplacementsdupointC,ilconvientdedésactiverlemagnétismepar l’outil Capture de la Barre de style de la fenêtre 3D, après avoir sélectionné l’outilDéplacer/sélectionner.

Pourfaireapparaitrelesvaleursdurayon,delahauteuretduvolume,écrivonsdansleChampdesaisielesdéfinitionsdesnombressuivants:-r=Rayon[e],eétantlenomdonnéaucylindre,-h=Distance[C,C’],-v=pi*r^2*h.LesvaleursnumériquesserontlisiblesdanslafenêtreAlgèbre.Pourobtenirlegrapheduvolumeducylindreenfonctiondelahauteur:-ouvronslafenêtreGraphique2parlemenuAffichage,-créonsunpointPenécrivantdansleChampdesaisie:P=(h,v),-faisonsafficherlepointPdanslafenêtreGraphique2parunclicdroitsurP,Propriétés…,Avancé,etencochantlacasecorrespondante,

-faisonsafficherlatraceparunclicdroitsurlepointP.En déplaçant le point C, nous pouvons repérer un volume maximum pour des valeursapproximativesdeℎetde𝑅.b)RésolutionanalytiqueNotons𝑅lerayondelasphère,𝑟lerayonducylindreetℎlahauteurdecelui-ci.Levolumeducylindres’écrit:

𝑉(ℎ, 𝑟) = 𝜋𝑟)ℎ

GEM – Juin 2016

8

LethéorèmedePythagorenousdonnelarelation

ℎ) + 2𝑟 ) = 2𝑅 )

ℎ) + 4𝑟) = 4𝑅)

𝑟) =4𝑅) − ℎ)

4

𝑟) = 𝑅) − ℎ2

4 .

Pourexprimer levolumeen fonctiond’uneseulevariable,nouspourrionsremplacerℎpar4𝑅) − 4𝑟²,maisilestplusfacilederemplacer𝑟)parl’expressionquenousvenonsd’obtenir

𝑉 ℎ = 𝜋ℎ 𝑅) − ℎ2

4 = 𝜋𝑅)ℎ − 𝜋ℎ3

4 .

Remarquonsqu’enfactorisant𝑉(ℎ) = 𝜋ℎ 𝑅 + ℎ2 𝑅 − ℎ

2 nousfaisonsapparaitrequecettefonctiondu3èmedegréadmettroisracines:ℎ = 2𝑅,ℎ = 0,ℎ = −2𝑅,mais ledomainedevaliditédecettefonctionest[0, 2𝑅].Pourtrouverlesextrémumsde𝑉 ℎ ,dérivonscettefonction

𝑉*(ℎ) = 𝜋𝑅) − 3𝜋ℎ²4 .

Cherchonslesracinesde𝑉′(ℎ)

𝑉* ℎ = 0 ⇔ 𝜋𝑅) −3𝜋ℎ)

4 = 0

3𝜋ℎ)

4 = 𝜋𝑅)

ℎ) = 4𝑅)

3

ℎ = ±4𝑅)

3

ℎ = ±2 33 𝑅.

Laracinenégativeestàrejeter,carunehauteurdoitavoirunevaleurpositive.

GEM – Juin 2016

9

Ensuite,nouspouvonscalculerlerayon𝑟correspondant

𝑟) = 𝑅) −𝑅)

3 =2𝑅)

3

𝑟 = ± 63 𝑅.

Laracinenégativeestàrejeter,carunrayondoitavoirunevaleurpositive.Doncnotresolutionest

ℎ = 2 33 𝑅 ≅ 1,155𝑅et𝑟 = 6

3 𝑅 ≅ 0,816𝑅.

Ces valeurs sont cohérentes avec les valeurs approximatives obtenues avec GeoGebra àl’étapea).Remarquonsquelediamètreducylindreobtenuestplusgrandquelahauteur,etestégalà2ℎ.

Bien que le graphique du volumemontre qu’il s’agit d’unmaximum, nous pouvons nousentraineràlevérifieranalytiquement.Calculonsladérivéeseconde

𝑉"(ℎ) = −3𝜋ℎ2 .

Cettedérivéesecondeseranullesiℎ = 0,positivesiℎ < 0,négativesiℎ > 0.Donc,pourℎ ∈ 0, 2𝑅 ,elleseratoujoursnégative,laconcavitéde𝑉(ℎ)seratournéeverslebas,ils’agitbiend’unmaximum.Nouspouvonségalementutiliseruntableaudesignes:

ℎ −2𝑅 −2 33

𝑅 0 2 33

𝑅 2𝑅

𝑉′(ℎ) - - - 0 + + + 0 - - -

𝑉(ℎ) ↘ 0 ↘ … ↗ 0 ↗ 4 39

𝜋𝑅T ↘ 0 ↘

Lesvaleursdescasesgriséessontàexclurecarℎ ∈ 0, 2𝑅 .

GEM – Juin 2016

10

Problème4On veut fabriquer une tente pyramidale à base carrée. On dispose d’un mât centraltélescopique.Lepoidsmaximumpourlatoiledelasurfacelatéraleestde10kg.Quellesdimensionsdoitavoir latentepourquesonvolumesoitmaximum,sachantquelatoilepèse500gparm2?Sionchoisitlepoidsde10kgpourlatoiledelasurfacelatérale,ellemesureraautotal20m².a)RésolutionaveclelogicielGeoGebraNousdonnonsiciunemanièredeprocéder,utilisantuncurseur. CetteréalisationestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/Qwm9HxZU?doneurl=%2Fgem_llnNousdéfinissons:-uncurseurnomméavariantde0à10,quireprésentelecôtédelabasedelapyramide,- unpointA=(0,0),- unpointB=(a,0),Ensuite,nousconstruisonslabasedelapyramideavecl’outilPolygone,puisnousutilisonsl’outilExtrusionpourconstruireunepyramide(désignéeparlalettreedansnotrefichier)dehauteurégaleàsqrt(400-x(B)^4)/(2x(B)),enutilisantlethéorèmedePythagore.Grâce au curseur, nous faisons varier le côté de la base de la pyramide. Dans la fenêtreAlgèbre,nouspouvonssuivrelesvaleursdelahauteuretduvolumecorrespondants.Pourobtenirlegrapheduvolumeducylindreenfonctiondelahauteur:-ouvronslafenêtreGraphique2parlemenuAffichage,-créonsunpointPeninscrivantdanslechampdesaisieP=(a,Volume[e]),-faisonsafficherlepointPdanslafenêtreGraphique2parunclicdroitsurP,Propriétés…,Avancé,etencochantlacasecorrespondante,

-faisonsafficherlatrace(clicdroitsurlepointP).En utilisant le curseur, nous pouvons encadrer le volume maximum par des valeursapproximativesducôtéaetdelahauteur.En bonus, l’outil Patron de GeoGebra crée un nouveau curseur et une animation dudéveloppementdelapyramideobtenue.

b)RésolutionanalytiqueUnepyramidedroiteàbasecarréeestdéterminéeparlalongueur𝑥desarêtesdelabaseetparlahauteur𝐻;nousauronsaussibesoindelahauteurℎdestrianglesdelasurfacelatérale.

GEM – Juin 2016

11

Lasurfacelatéraleestcomposéedequatretrianglesidentiquesdebase𝑥etdehauteurℎ.Saformuleestdonc

𝑆 = 4 VW)= 2𝑥ℎ.

Nousdevonsrespecterlacontrainte

2𝑥ℎ = 20ou𝑥ℎ = 10.

Nousvoulonsmaximiserlevolumedonnéparlaformule

𝑉(𝑥, 𝐻) = 13 𝑥²𝐻.

Ilfauttrouverlelienentreleshauteurs𝐻etℎ.Ilestdonnéparlaformule

𝐻 = ℎ² − 𝑥²4 = 100

𝑥² −𝑥²4 = 400−𝑥4

4𝑥² = 12𝑥 400 − 𝑥;.

Levolumes’écritdonccommefonctiondelaseulevariable𝑥

𝑉(𝑥) = 13 𝑥² ∙

12𝑥 400 − 𝑥; =

𝑥 400−𝑥46 .

Dérivonscettefonction

𝑉* 𝑥 =16 400 − 𝑥; + 𝑥 ∙

12 400 − 𝑥;

−4𝑥T

=16 ∙

2 400 − 𝑥; − 4𝑥;

400 − 𝑥;

= 16 ∙

800−6𝑥4

400−𝑥4.

Annulonscettedérivée

𝑉* 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥; = 8006 ⟺ 𝑥 = 400

34

≅ 3,398𝑚.

Déterminonslahauteurdelatente

𝐻 =1

2. 4003

4∙ 400 −

4003 =

1

2. 4003

4∙23 ∙ 400

GEM – Juin 2016

12

ouencore

𝐻 = 12 ∙

23∙400

Z[\

13∙400

[\= 400

12;

≅ 2,4𝑚.

Commepourleproblème2, lecalculdeladérivéesecondeestardu,mais legraphiquedevolumemontrequ’ilyabienunmaximum. Réflexions sur l’utilisation de Geogebra : Terminonscetteséquenceenrelevantlesapportsspécifiquesdulogiciel.D'une part, beaucoup d'élèves ont encore à cet âge de réelles difficultés avec lesreprésentations planes d'objets de l'espace. L'utilisation de GeoGebra est une occasiond'exercercettecompétence.Danslepremierproblème,laconstructionconcrèted’unesériedeboitesetlamanipulationd’uneimage3Doùl’onpeutfairevarierlahauteurdelaboite,lafairebasculerettourner,permetdesefamiliariseraveccesreprésentations.Lesfiguresmobilescrééesen3Dpourlesproblèmes3et4peuventégalementaméliorerlaperceptionspatialedecesreprésentations.D'autrepart,legraphed'unefonctionestsouventperçucommeunobjetstatiqueetsonlienavecunphénomènen'estpasforcémentfacileàfaire.Latracedemandéed'unegrandeurenfonctiond'uneautredansladeuxièmefenêtre2Dpermetdevoirlafonctionsetracerpointparpoint,enrelationaveclareprésentationdelasituation.Lafenêtrealgébriquefournitenpluslesvaleursnumériquescorrespondantes.Onpeut également, après la résolutionalgébrique, tracerdans ladeuxième fenêtre2D lafonctiontrouvéeetconstaterlasuperpositionaveclatraceobtenue.Letravailaveclelogicielnechangepasfondamentalementl'apprentissagedel'optimisationmaisilenfacilitelacompréhension,l'enrichitparlesrelationsentrelesdifférentsaspects.Ilpeutégalementconstituerunattraitpourlesélèvesparlecôtéludiquedelamanipulationd'objetsmobiles.

GEM – Juin 2016

13

DOCUMENTSProblème1Onveutconstruireuneboitesanscouvercleendécoupantquatrecarrésauxcoinsd’ungrandcarréetenrepliantverslehautlesbordslibres.Déterminezlaboitedeplusgrandvolumequ’ilestpossibled’obtenir.a)Réalisezconcrètementlaboiteenpartantducarréconstruitsurlepetitcôtéd’unefeuilleA4etcalculezsonvolume.b)ÉlaborezunfichierGeoGebraavecunepremièrefenêtrepourdessinerlasituationendeuxdimensions,unesecondepourvisualiserlasituationentroisdimensionsetunedernièrepourconstruirelegraphiqueduvolumeenfonctionducôtédespetitscarrés.c)Vérifiezanalytiquementlaréponsepressentieàl’aidedesmanipulationsconcrètesetdulogiciel.Problème2Surlepignonlatérald’unbâtiment,onveutrécolterenuneseuledescentecentraleleseauxdepluiedesdeuxgouttièresdesfaçadesopposées.Aquellehauteurplacerleraccordpourminimiserlalongueurtotaledestuyaux?Quelanglefaitchaqueportionobliqueparrapportàl’horizontale?

a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.

GEM – Juin 2016

14

Problème3QuellessontlesdimensionsducylindredevolumemaximalquenouspouvonsinscriredansunesphèrederayonRdonné?a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.Problème4On veut fabriquer une tente pyramidale à base carrée. On dispose d’un mât centraltélescopique.Lepoidsmaximumpourlatoiledelasurfacelatéraleestde10kg.Quellesdimensionsdoitavoir latentepourquesonvolumesoitmaximum,sachantquelatoilepèse500gparm2?