Activité 1 : Égalités de fractionssesamath.ch/co/9e-harmos/fichiers-a-telecharger/corriges... · 2016. 9. 18. · 01 23 A C D. 5. Conclusion À partir des différents exemples

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Activité 1 : Égalités de fractions

1. De l'observation et de l'imagination...

On a représenté ci-dessous trois fois le même rectangle avec la même surface coloriée.Chacun d'entre eux a été partagé en parts égales de différentes façons.

a. Pour chacun d'entr eux, quelle fraction du rectangle est coloriée en rose ?

La partie coloriée du 1er rectangle correspond à 23

du rectangle entier, celle du 2ème

rectangle à 46

et celle du 3ème à 8

12.

b. À l'aide de la question a., complète l'égalité suivante : 23

= ..........

= ..........

.

23=4

6= 8

12

c. En utilisant une méthode similaire, écris trois fractions égales à 1012

.

1012

=2024

=4048

d. Est-il possible de trouver une fraction égale à 79

ayant pour dénominateur 81 ? Ayant

pour dénominateur 11 ?

Non ce n'est pas possible dans les deux cas car 81 : 7 • 9 n'est pas un nombre entierde même que 11 : 9 • 7.

ÉCRITURE FRACTIONNAIRE – CHAPITRE 8

0 1

0 1

0 1

0 1

2. Avec des demi-droites graduées (d'après IREM de Bordeaux)

Décalque l'ensemble des demi-droites graduées ci-dessous.

a. Choisisisis la demi-droite graduée qui convient le mieux pour placer chacun des

nombres suivants :43

;86

et1612

. Que remarques-tu ?

Pour placer 43

, on choisit la 1ère demi-droite graduée, car l'unité est partagée en 3.

Pour placer 86

, on choisit la 3ème demi-droite graduée, car l'unité est partagée en 6.

Pour placer 1612

, on choisit la dernière demi-droite graduée, car l'unité est partagée

en 12.

On peut remarquer que ces 3 fractions représentent la même longueur sur la demi-droite graduée.

b. Place34

sur la demi-droite graduée appropriée et déduis-en des fractions égales à34

.

Si on partage l'unité en 8 parts égales, on obtient: 34

= 68

.

Si on partage l'unité en 12 parts égales, on obtient: 34

= 9

12.

c. En t'inspirant de ce qui précède, propose des fractions égales à 2 puis à 5.

2 = 42

= 63

= 84

et 5 = 102

= 255

= 204

CHAPITRE 8 – ÉCRITURE FRACTIONNAIRE

0 1

0 1

43

0 1

86

0 1

1612

0 1

34

3. Avec la définition du quotient

a. Calcule les produits suivants.

2 • 1,5 = 3; 6 • 1,5 = 9; 8 • 1,5 = 12; 10 • 1,5 = 15; 12 • 1,5 = 18; 22 • 1,5= 33.

b. À l'aide de la définition du quotient, déduis-en des fractions égales à 1,5.

1,5 = 32

= 96

= 128

= 1510

= 1812

= 3322

.

4. Synthèse

À l'aide de ce qui précède, détermine la condition pour que deux fractions soient égales.

Deux fractions sont égales, si lorsqu'on divise le numérateur par le dénominateur on trouvele même résultat.

5. Des applications

a. Trouve une fraction « plus simple » (c'est-à-dire avec un numérateur et un

dénominateur plus petits) égale à3514

.

3514

= 52

b. En détaillant ta démarche, détermine une fraction égale à5,1

0,75.

Simplifie, si possible, cette fraction.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par 100: 5,1

0,75 =

51075

Pour simplifier cette fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 5:

510 = 5 • 102 et 75 = 5 • 15

donc 51075

= 10215

.


Activité 2 : Comparer une fraction au nombre 1

Le professeur Sésamatheux demande à ses élèves de comparer une fraction à 1. Voicila démarche de plusieurs élèves.

1. 1ère démarche

Julie a choisi le nombre en écriture fractionnaire 34

. Quelle est l'écriture décimale de ce

nombre ? La fraction 34

est-elle supérieure ou inférieure à 1 ?

L'écriture décimale de 34

est 0,75. La fraction 34

est inférieure à 1.

2. 2ème démarche

Ibrahim a choisi la fraction 53

et décide d'utiliser un axe gradué. Reproduis l'axe gradué ci-

dessous et places-y le point A d'abscisse 53

. La fraction 53

est-elle supérieure ou inférieure

à 1 ?

La fraction 53


3. 3ème démarche

Marcel a choisi la fraction 38

. Il a choisi 16 cm comme unité. Trace un segment [AB] de

longueur une unité puis repasse en rouge les 38

de ce segment. La longueur du segment

rouge est-elle supérieure ou inférieure à l'unité ? La fraction 38

est-elle supérieure ou

inférieure à 1 ?

La longueur du segment rouge est inférieure à l'unité. La fraction 38


4. 4ème démarche

Roger a choisi la fraction 74

. Il a choisi 2 cm comme unité. Trace un segment [CD] de

longueur une unité. Trace en bleu un segment de longueur sept fois la longueur du segment[CD] puis coupe le segment bleu en quatre segments de même longueur. La longueur du

segment obtenu est-elle inférieure ou supérieure à l'unité ? La fraction 74

est-elle supérieure

ou inférieure à 1 ?

La fraction 74

est supérieure à l'unité.


0 1 2 3A

C D

5. Conclusion

À partir des différents exemples ci-dessus, peux-tu énoncer une règle pour comparer unefraction à 1 ?

Un fraction positive qui possède un numérateur plus grand que le dénominateur estsupérieure à 1. Une fraction positive qui possède un numérateur plus petit que ledénominateur est inférieure à 1.

Activité 3 : Comparaisons dans les cas simples

Lola la tortue et Jeannot le lapin décident de faire une course sur la demi-droite graduée

ci-dessus. Le point de départ est l'origine de la demi-droite. Lola parcourt 75

d'unité et

Jeannot parcourt 125

d'unité.

1. Reproduis la demi-droite graduée ci-dessus puis places-y les points L et J pour indiquerles positions de Lola et de Jeannot.

2. Lequel des deux a parcouru le plus grand trajet ? Parmi les fractions 75

et 125

, quelle

est la plus grande ?

C'est le parcourt de Jeannot qui est le plus grand. La fraction la plus grande est 125

3. En t'aidant de la question 2. , énonce une règle qui permet de comparer des fractionsde même dénominateur.

Pour comparer des fractions de même dénominateur il suffit de comparer les numérateurs.

4. Applique la règle que tu as trouvée pour comparer 25

109 et

38109

puis 7,923

et 7,0923

.

25109

< 38

109 et

7,0923

< 7,923


0 1 2 3 4

0 1 2 3 4L J

Activité 4 : Comparaisons dans les cas complexes

Zouzou le kangourou et Charlotte la puce décident de faire une course sur la demi-droitegraduée ci-dessus. Le point de départ est l'origine de la demi-droite. Zouzou fait des bonds

de 23

de mètre (en vert) tandis que Charlotte fait des bonds de 19

de mètre (en rose).

1. Charlotte a fait 11 bonds tandis que Zouzou n'en a fait que 2. Reproduis la demi-droitegraduée ci-dessus puis places-y les points C et Z pour indiquer les positions de Charlotte etde Zouzou.

2. Complète les phrases suivantes :

• « Charlotte a parcouru 119

de mètre. »

• « Zouzou a parcouru 43

de mètre, ce qui équivaut à 129

de mètre. »

3. En t'aidant de la question 2. , indique lequel des deux a parcouru le plus grand trajet.

C'est le parcourt de Zouzou qui est le plus grand.

Parmi les fractions 119

et 43

, quelle est la plus grande ?

C'est la fraction 43

qui est la plus grande.

4. Énonce une règle qui permet de comparer des fractions de dénominateurs différents.

Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on amplifie les deux fractions demaniière à ce qu'elles aient le même dénominteur puis on compare les numérateurs.

5. Applique la règle que tu as trouvée pour comparer 83

et 3915

puis 2,112

et 6,0336

.

83=40

15 et

4015

3915

donc 83

> 3915

.

2,112

=6,336

et 6,336

6,0336

donc 2,112

> 6,0336

.


0 1 m 2 m

C Z

Activité 5 : Premières multiplications avec le nombre fraction

1. Effectue chacun des calculs suivants.

a. 6⋅5 : 4

=30 : 4=7,5

b. 6⋅5 : 4

=6⋅1,25=7,5

c. 6 : 4⋅5

=1,5⋅5=7,5

Que remarques-tu ?

On remarque que le résultat est le même pour les trois calculs.

2. Regroupe les écritures qui correspondent à un même nombre dans la liste ci-dessous.

5⋅92

;2⋅9

5; 5⋅2

9; 9⋅2

5;

5⋅29

; 2⋅59

; 9⋅52.

5⋅92= 9⋅5

2 ;

2⋅95

= 9⋅25

; 5⋅29= 5⋅2

9= 2⋅5

9

3. On veut maintenant déterminer le produit de 1,4 par35

, soit 1 ,4⋅35

.

a. Calcule 1 ,4⋅35 ⋅5 et utilise alors la définition d'un quotient pour montrer que le

produit 1 ,4⋅35

est le quotient de 1 ,4⋅3 par 5.

Calcul : 1 ,4⋅35 ⋅5 = 4,2

D'après la définition : deux quotients sont égaux, si on obtient le même résultat.

1 ,4⋅35

=0,84 et le quotient de 1 ,4⋅3 par 5 est égal à 0,84.

Donc 1 ,4⋅35

= 1 ,4⋅3

5

b. En t'aidant de ce qui précède, justifie les égalités : 1 ,4⋅35= 1 ,4⋅3

5= 1 ,4

5⋅3.

En appliquant le même raisonnement qu'à la question précédente, on a :

1 ,4⋅35= 1 ,4⋅3

5= 1 , 4

5⋅3.

4. Déduis des questions précédentes trois méthodes différentes pour calculer le produitd'un nombre décimal par une fraction.

Pour cacluler le produit d'un nombre décimal par une fraction, par exemple pour calculer

1 ,4⋅35

, on peut procéder ainsi:

1ère méthode: on multiplie 1,4 par 3, puis on divise le nombre obtenu par 5.

2ème méthode: on divise 1,4 par 5, puis on multiplie le résultat par 3.

3ème méthode: on divise 3 par 5, puis on multplie le résultat par 1,4.

Quelle que soit la méthode utilisée, par quel nombre divise-t-on toujours ?

Quelle que soit la méthode utilisée, on divise toujours par 5.


Activité 6 : Prendre une fraction d'une quantité

1. C'est pas de la tarte !

a. Florence a acheté une tarte de 400 g qu'elle a partagée enhuit parts égales. Très gourmande, elle en a mangé les troishuitièmes. Calcule la masse d'une part de tarte et déduis-en la quantité, en grammes, mangée par Florence.

Florence partage la tarte en huit parts égales:400 : 8 = 50donc la masse d'une part de tarte est égale à 50 grammes.

Florence mange les trois huitièmes de la tarte, ce qui signifie qu'elle mange trois parts de tarte :

50 • 3 = 150Donc Florence a mangé 150 grammes de tarte.

b. Pour fêter son anniversaire, Patrice a acheté trois tartes identiques à celle de Florence.À la fin de la fête, il annonce fièrement : « J'ai mangé le huitième des tartes ! ». Quellequantité de tarte, en grammes, a-t-il mangée ?

Une tarte pèse 400g, et Patrice en a acheté 3:3 • 400 = 1200 donc trois tartes pèsent 1200 g.Patrice a mangé un huitième des trois tartes soit:

18

• 1200 = 1200

8 = 150

Patrice a donc mangé 150 grammes de tarte.

c. Quelle autre opération permet de retrouver les réponses précédentes ?

Complète alors : « Prendre les38

de 400 revient à … . ».

Le même résultat peut être obtenu en calculant 38

• 400.

« Prendre les38

de 400 revient à multiplier 38

par 400 ».

2. Histoire de sous...

Mario devait 5 sésames (monnaie utilisée en Sésamathie, pays des sésamatheux) à Bastien. Comme il ne les a pas rendus en temps et en heure, Bastien lui réclame des intérêts en luidemandant maintenant de lui donner les sept tiers de cette somme.

a. Mario se dit que « prendre 7 tiers de 5, c'est prendre 7 fois le tiers de 5. Or le tiers de5, c'est le quotient de 5 par 3, soit exactement... ».

Poursuis son raisonnement pour déterminer la somme exacte à rembourser

« … soit environ 1,67 sésames. Et 7 fois 1,67 sésames est égal à 7×1,67 =11,69.La somme à rembourser est donc égale à 11,69 sésames environ.

b. Complète : « Prendre les73

de 5 revient à multiplier 73

par 5. ».


Copyleft Manuel FluryWikimedia commonsLicence GNU-FDL 1.2

Activité 7 : Quelques applications

1. Question de méthode !

a. Calcule chacun des produits suivants de trois façons différentes.

• 8⋅74

8⋅74

= 8 • 1,75 = 14

8⋅74

=8⋅7

4=

564

= 14

8⋅74

= 84⋅7 = 2 • 7 = 14

• 2 ,5⋅25

2 ,5⋅25

= 2,5 • 0,4 = 1

2 ,5⋅25

=2 ,5⋅2

5=

55

= 1

2 ,5⋅25

=2 ,55

⋅2 = 0,5 • 2 = 1

•126

⋅9

126

⋅9 = 2 • 9 = 18

126

⋅9 =12⋅9

6=

1086

= 18

126

⋅9 =96⋅12 = 1,5 • 12 = 18

Dans chaque cas, y a-t-il une méthode plus simple que les autres ? Explique.

Pour le 1er calcul, il est plus facile de commencer par diviser 8 par 4 car le résultat est2, ce qui permet de calculer la multiplication par 7 plus facilement.Pour le 2ème calcul, il est plus facile de commencer par diviser 2,5 par 5, pour lesmêmes raisons.Pour le 3ème calcul, il est également plus facile de commencer par diviser 12 par 6 caron obtient 2

b. Pour trouver une écriture décimale exacte de 21⋅37

, Chloé affirme qu'on ne peut pas

utiliser l'une des méthodes. A-t-elle raison ? Explique.

Chloé a tort. On peut commencer par diviser 21 par 7: 217

= 3.

Puis ensuite de multiplier 3 par 3: 3 • 3 = 9.

Le résultat de 21⋅37

est 9.

c. Choisis la méthode qui te semble la plus astucieuse pour calculer les produits suivants.

• 1 ,89⋅1009

=1 ,89⋅100

9

=189

9= 21

• 15⋅23

=153

⋅2

= 5 • 2 = 10

• 45⋅84

= 45 • 2 = 90

d. On voudrait trouver la valeur exacte de 5⋅73

. Calcule ce produit en utilisant les trois

méthodes. Quelle réponse donnerais-tu à la question posée ?

5⋅73

. ≈ 5 • 2,33 = 11,65

5⋅73

. = 5⋅7

3=

353

≈ 11,67

5⋅73

. = 53

• 7 ≈ 1,67 • 7 = 11,69

On pourrait répondre que 5⋅73

est égal à 11,7 environ.


2. Multiplier par 0,1 ; par 0,01 ; ...

a. En remplaçant 0,1 par une fraction décimale, calcule 5,4 • 0,1.

5,4 • 0,1 = 5,4 •110

= 5,410

= 0,54

De la même façon, calcule 0,791 • 0,001 puis 2 009 • 0,01.

0,791 • 0,001 = 0,791 •1

1000 =

0,7911000

= 0,000791

2 009 • 0,01 = 2 009 •1

100 =

2009100

=20,09

b. Quelle autre opération peut-on effectuer à la place d'une multiplication par 0,1 ? Par0,01 ? Et par 0,001 ?

Au lieu d'effectuer une multiplication par 0,1 on peut effectuer une division par 10.

Au lieu d'effectuer une multiplication par 0,01 on peut effectuer une division par 100.

Au lieu d'effectuer une multiplication par 0,001 on peut effectuer une division par1 000.

3. Des conversions

a. Complète : 56,5 cm = 56,5 • ... cm = 56,5 •1...

m = 56,5⋅ 1... m =

...

...m = ... m.

56,5 cm = 56,5 • 1 cm = 56,5 •1

100m = 56 ,5⋅ 1

100 m =56,5⋅1

100m = 0,565 m.

b. En reproduisant un raisonnement du même type, convertis 87,2 mm en m.

87,2 g = 87,2 • 1 g = 87,2 •1

1 000kg = 87 ,2⋅ 1

1 000 kg =87,2⋅11 000

m = 0,087 2 kg.


Activité 8 : Appliquer un taux de pourcentage

1. Un commerçant consent une remise de 18 % sur tous ses articles.

a. Combien représente cette remise sur un article valant 100 CHF au départ ?

Sur un article valant 100 CHF au départ, une remise de 18% représente 18 CHF.

Même question pour un article valant 1 CHF puis pour un article valant 135 CHF audépart.

Pour un article valant 1 CHF c'est-à-dire 100 fois moins qu'un arcticle de 100 CHF, la

remise sera de 18

100CHF soit 18 centimes.

Pour un article de 135 CHF, la remise sera de :

135 •18

100= 135 • 0,18 = 24,3 CHF.

b. Par quel nombre faut-il multiplier le prix de départ d'un article (en CHF) pour connaîtrele montant de la remise (en CHF) ? (Tu donneras ce nombre sous la forme d'unefraction décimale.)

Pour connaître le montant de la remise, on multiplie le prix de départ par 18

100.

c. Complète : « Prendre 18 % d'un nombre revient à ... . ».

« Prendre 18 % d'un nombre revient à multiplier par 18

100 ».

2. Dans un magasin, un article coûte 240 CHF. Calcule le montant de la remise lorsquecelle-ci est de 50 %.

240 •50

100 = 240 • 0,5 = 120

Le montant de la remise est de 120 CHF.

Que remarques-tu ?

On remarque que la remise est égale à la moitié du prix.

À quelle fraction du prix de cet article correspond cette remise ?

Cette remise correspond à 12

du prix de l'article,

Mêmes questions pour une remise de 25 % puis de 75 %.

Pour une remise de 25%, la fraction correspondante est 25

100 =

14

.

Pour une remise de 75%, la fraction correspondante est 75

100 =

34

.

3. Dans un autre magasin, on accorde 16 % de remise sur un article coûtant 300 CHF.Détermine astucieusement le montant de cette remise.

De la même manière que pour les questions précédentes, on calcule:

16100

• 300 = 16 •300100

= 16 • 3 = 48

La remise est donc de 48 CHF.


Activité 9 : Additions et soustractions dans les cas simples (***)

Lola la tortue et Jeannot le lapin décident de faire une course sur la demi-droite graduée

ci-dessus. Le point de départ est l'origine de la demi-droite. Lola parcourt 95

d'unité et

Jeannot parcourt 45

d'unité de plus que Lola.


2. Écris le calcul à effectuer pour trouver la position de Jeannot puis, à l'aide de la demi-droite graduée, donne le résultat de ce calcul.

95 45= 135

Lola, revancharde, propose à Jeannot de recommencer la course. Lors de cette seconde

épreuve, Lola parcourt 115

d'unité et Jeannot parcourt 25

d'unité de moins que Lola.


4. Écris le calcul à effectuer pour trouver la position de Jeannot puis, à l'aide de la demi-droite graduée, donne le résultat de ce calcul.

115

− 25= 95

5. En t'aidant des questions 2. et 4. , énonce une règle qui permet d'additionner ou desoustraire des fractions de même dénominateur.

Pour additionner ou soustraire des fractions de même donimateur il faut additionner ousoustraires les numérateurs des fractions et de mettre le même dénominateurs que lesfractions additionnées ou soustraites.


0 1 2 3 4

0 1 2 3 4JL

0 1 2 3 4J L

Activité 10 : Additions et soustractions dans les cas complexes (***)

1. Complète par des fractions les phrases suivantes :

• L'aire de la région verte représente 3

.... de l'aire totale.

L'aire de la région verte représente3

16de l'aire totale.

• L'aire de la région rose représente 1

.... de l'aire totale.

L'aire de la région rose représente14

de l'aire totale.

2. Écris le calcul à effectuer pour obtenir l'aire que représente la région coloriée par rapportà l'aire totale.

316

14

3. Reproduis le carré ci-contre puis effectue des tracés judicieux pour obtenir ce quereprésente l'aire des deux régions verte et rose par rapport à l'aire totale.

4. Complète l'égalité suivante : 3

161

4= ....

.....

316

14

=7

16.

5. Que faudrait-il faire pour retrouver ce résultat par le calcul ?

Dans le calcul, il faut remplacer 14

par 4

16, pour pouvoir ensuite additionner les seizièmes.

6. Énonce une règle qui permet d'additionner ou de soustraire des fractions dedénominateurs différents.

Pour additionner des fractions, on les mets au même dénominateurs ; on garde alors cedénominateur commun et on additionne les numérateurs.

7. Applique la règle que tu as trouvée pour effectuer le calcul suivant : 25 1

30.

25 1

30= 2⋅6

5⋅6 1

30= 12

30 1

30= 12 1

30= 13

30


Amplifier, simplifier, égalités

1 Partage de disques

En t'inspirant des schémas ci-dessous, écris deségalités de fractions.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

a.68

b.36

c.34

d.6

10

e.12

f.8

12

g.9

12

h.23

i.35

Les fractions suivantes sont égales :

a. 68

=34

c. =9

12 g.

b. 36

=12

e.

d. 6

10=

35

i.

f. 8

12=

23

h.

2 Numérateur ou dénominateur fixé

Recopie et complète.

a.45

=4⋅35⋅3

=1215

b.27

=2⋅87⋅8

=1656

c.43

=4⋅33⋅3

=129

d.1518

=5⋅36 ⋅3

=56

e.7

14=

1 ⋅72⋅7

=12

f.1220

=2⋅6

2 ⋅10=

610

3 Numérateur ou dénominateur fixé (bis)


a.73

=146

b.14

=28

c.75

=2115

d.34

=75

100

e.128

=64

f.10080

=2520

4 Avec une étape


a.106

=53

=2515

b.1215

=45

=8

10

c.2718

=32

=1510

d.4560

=34

=2128

e.2665

=25

=4

10

f.4942

=76

=8472

5 Égalités de fractions

Dans chaque cas, indique, en justifiant, si lesfractions données sont égales.

a.23

et1015

23

= 2⋅53⋅5

=1015

b.128

et3616

128

= 12⋅38⋅3

=3624

≠3616

c.1215

et45

1215

= 3⋅43⋅5

=45

d.23

et49

23

= 2⋅23⋅2

=46≠4

9

ÉCRITURE FRACTIONNAIRE - CHAPITRE 8

6 À la recherche des nombres égaux

Trouve, parmi les nombres suivants, ceux quisont égaux.

A =1816

B =37

C =125

D =949

E =32

F =33

100

G =2816

H =13

I =2149

J =148

K = 1,5

L =1812

M =1,20,5

N =1510

P = 0,33

Q =45

105

A =74=7⋅2

4⋅2=14

8= J

A =74=7⋅4

4⋅4=28

16= G

B =37=3⋅7

7⋅7=21

49= I

C =125

=1 ,2⋅100 ,5⋅10

=1 ,20 ,5 = M

E =32=3⋅6

2⋅6=18

12= L

E =32=3⋅5

2⋅5=15

10= N

E =32=1,5 = K

F =33

100=0,33 = P

H =13=1⋅45

3⋅45= 45

105= Q

7 Intrus

Dans chacune des listes de fractions suivantesse cache un intrus. Trouve-le en justifiant.

a.80

100;

1620

;45

;3440

;8

10.

80100

= 8⋅1010⋅10

= 810

=4⋅25⋅2

=45=4⋅4

5⋅4=16

20≠34

40

b.1216

;1525

;34

;75

100;

2128

.

75100

=25⋅325⋅4

=34=3⋅4

4⋅4=12

16 et

34=3⋅7

4⋅7=21

28

c.91

115;

6575

;130150

;1315

;2630

.

d.130150

=2⋅652⋅75

=6575

=5⋅135⋅15

=1315

13⋅215⋅2

=2630

13⋅715⋅7

= 91105

≠ 91115

8 À toi de jouer

a. Trouve quatre fractions égales à1215

.

1215

=4⋅35⋅3

=45=4⋅2

5⋅2= 8

10= 8⋅5

10⋅5=40

50=20⋅2

25⋅2=20

25

b. Trouve cinq fractions égales à5134

.

5134

=17⋅317⋅2

=32=3⋅2

2⋅2=6

4=6⋅5

4⋅5=30

20=15⋅2

10⋅2=15

10

9 Fractions égales

a. Recopie la liste de fractions ci-dessous enregroupant celles qui sont égales :

78 ;

52 ;

86 ;

12 ;

43 ;

2124 ;

3012 ;

129 ;

2510 .

78=21

24 ; 52=30

12=25

10 ;

86=4

3=12

9 et

12

.

b. Écris cinq fractions égales à 74

.

74=14

8=21

12=28

16=35

20=70

40

10 Par quoi simplifier ?

Pour chacune des fractions suivantes,détermine un nombre entier (différent de 1) quidivise à la fois le numérateur et ledénominateur.

a.1816

=2⋅92⋅8

b.5

10=

5⋅15⋅2

c.1222

=2⋅62⋅1

d.279

=9⋅39⋅1

e.6036

=12⋅512⋅3

f.8435

=7⋅127⋅5

11 Simplification de fractions

Rends les fractions suivantes irréductibles :

a.64

=2⋅32⋅2

=32

b.8

10=

2⋅42⋅5

=45

c.1216

=4⋅34⋅4

=34

d.1827

=9⋅29⋅3

=32

e.12

f.4535

=5⋅95⋅7

=97


12 Simplification de fractions (bis)

Rends les fractions suivantes irréductibles :

a.137

b.2277

=11⋅211⋅7

=27

c.4836

=12⋅412⋅3

=43

d.6015

=15⋅415⋅1

=41=4

e.1326

=13⋅113⋅2

=12

f.256384

=128⋅2128⋅3

=23

13 Écriture fractionnaire d'un nombredécimal

Écris chacun des nombres suivants sous laforme d'une fraction décimale, puis rendsirréductible cette fraction.

a. 1,2 =1210

=6⋅25⋅2

=65

b. 0,6 =6

10=3⋅2

5⋅2=3

5

c. 2,25 =225100

=9⋅254⋅25

=94

d. 0,02 =2

100= 1⋅2

50⋅2= 1

50

e. 1,125 =11251000

=9⋅1258⋅125

=98

f. 1,24 =124100

=31⋅425⋅4

=3125

14 D'écriture fractionnaire à fraction

Transforme chacune des écritures fractionnairessuivantes en une fraction, puis rendsirréductible cette fraction.

a.1,22

=1220

=3⋅45⋅4

=35

b.7,31,5

=7315

c.1,530

=15

300= 1⋅15

20⋅15= 1

20

d.9,125

2,5=

91252500

=73⋅12520⋅125

=7320

e.7,681,4

=768140

=192⋅435⋅4

=19235

f.1,37

=1370

15 De dénominateur 100

Écris chacun des nombres suivants sous laforme d'une écriture fractionnaire dedénominateur 100.

a.12

=1⋅502⋅50

= 50100

b.34

=3⋅254⋅25

= 75100

c.1

10=

1⋅1010⋅10

= 10100

d.9

20=

9⋅520⋅5

= 45100

e.185

=18⋅205⋅20

=360100

f. 3 =3⋅1001⋅100

=300100

16 De fraction à écriture décimale

Détermine, sans poser de calcul, l'écrituredécimale des nombres suivants.

a.1625

= 0,64

b.7

20= 0,35

c.9

50= 0,18

d.714

= 17,75


Comparer, ordonner

17 Comparer des fractions à des entiers

a. Recopie les fractions suivantes puis entoureen vert celles qui sont inférieures à 1 et enrouge celles qui sont supérieures à 1 :

78

; 94

; 125

; 634628

; 9

10 ;

188

; 182196

; 4

23.

78

; 94

; 125

; 634628

; 9

10 ;

188

; 182196

; 4

23.

b. Recopie puis entoure les fractions inférieuresà 2 en expliquant ta démarche :

6421

; 3518

; 4118

; 1225

; 1430

; 16983

; 12

; 1225

.

6421

; 3518

; 4118

; 1225

; 1430

; 16983

; 12

; 1225

.

Les fractions 1225

, 1430

, 12

1225

sont inférieures

à 1, donc aussi à 2.

2 × 18 = 36 35 donc 3518

2.

18 Recopie en remplaçant les points desuspension par les symboles < ou > :

a. 45 7

5

a. 213

113

b. 1923

3123

c.76

36

d.219

319

e.153

123

19 Recopie en remplaçant les points desuspension par les symboles < ou > :

a. 12 1

4

b. 75 7

6

c. 4151

4149

d.6241

6235

e.126

1218

f. 5 52

20 Recopie en remplaçant les points desuspension par les symboles < ou >. Justifie tesréponses.

a. 23 1

9

b. 12 1

4

c. 34 7

8

d. 1215

43

e. 718

39

f. 1910

105

23

= 2⋅33⋅3

= 69

19

;

12

= 24

et 24

14

;

34

= 68

et 68

78

;

43

= 2015

1215

;

39

= 618

718

;

105

= 2010

1910

.

21 Comparer puis vérifier

a. Compare 75

et 2215

.

75

= 7⋅35⋅3

= 2115

2215

donc 75

2215

.

b. Compare 139

et 43

.

75

= 7⋅35⋅3

= 2115

2215

donc 75

2215

.

c. Avec une calculatrice, donne une valeurapprochée de chacune des fractions et vérifietes réponses.

75

= 1,4 et 2215

≈ 1,47

43

≈ 1,33 et 139

≈ 1,44.


22 Recopie en remplaçant les points desuspension par les symboles <, > ou =. Justifietes réponses.

a. 47 7

14 car 4

7= 8

14 et 8 > 7.

b. 78 16

15 car 7

8<1 et 16

15>1

c. 134

278

car 134

=268

et 26 < 27.

d. 1215

1214

car 15 > 14.

e. 918

= 36

car 36=3⋅3

6⋅3= 9

18.

f. 2410

105

car 105

=2010

et 24 > 20.

g. 784

= 112

car 112

= 1⋅712⋅7

= 784

.

h. 65 6

4 car 5 > 4.

a. 74 2 car 2=2

1=8

4 et 7 < 8.

23 De l'ordre !

a. Trouve une méthode permettant de rangerces fractions dans l'ordre croissant :

316

; 14

; 78

; 32

; 9

16 ;

84

; 12

.

On transforme les fractions pour qu'elles aientle même dénominateur 16 :

14

= 4

16 ;

78

= 1416

; 32

= 2416

; 84

= 3216

;

12

= 8

16.

Comme

316

4

16

816

9

16

1416

2416

3216

on obtient :

3

16

14

12

9

16

78

32

84

b. Trouve une méthode permettant de rangerces fractions dans l'ordre croissant :

163

; 41

; 87

; 23

; 169

; 48

; 21

.

On transforme les fractions pour qu'elles aientle même numérateur 16 :

163

; 41=16

4 ;

87=16

14 ;

23=16

24 ;

169

; 48=16

32

; 21=16

8.

Comme

1632

1624

1614

169

168

164

163

on obtient :

48

23

87

169

21

41

163

.


24 Avec un axe

a. Range ces fractions dans l'ordre décroissant :

23

; 56

; 16

; 7

12 ;

43

; 136

; 53

.

On transforme les fractions pour qu'elles aient

le même dénominateur 12 : 23

= 8

12 ;

56

= 1012

; 16

= 2

12 ;

712

; 43

= 1612

;

136

= 2612

; 53

= 2012

.

2612

> 2012

> 1612

> 1012

> 8

12 >

712

> 2

12

donc 136

> 53

> 43

> 56

> 23

> 7

12 >

16

b. Trace un axe gradué d'unité douze carreaux.Place les fractions précédentes.

A(136

), B(53

), C(43

), D(56

), E(23

), F(7

12),

G(16

)

c. Vérifie que ton classement de la question a.est correct.

On vérifie que les points sont bien rangés de ladroite vers la gauche.

25 Dans chaque cas, réponds à la question encomparant deux fractions :

a. Dans le cirque Pandor, il y a douze animauxdont cinq sont des fauves. Le cirque Zopoutoupossède vingt-quatre animaux dont onzefauves. Quel cirque a la plus grande proportionde fauves ?

512

= 1024

1124

donc c'est Zopoutou qui a la

plus grande proportion de fauves.

b. Dans les parkings, la loi exige que sur50 places, au moins une soit réservée auxpersonnes handicapées. Un parking de600 places met à disposition 10 places pourhandicapés. Ce parking respecte-t-il la loi ?

10600

= 1

60

150

donc ce parking ne respecte

pas la loi.

c. Mon frère a déjà fait 60 parties sur le jeu"Robostrike". Il a gagné 33 fois. Pour ma part, jejoue depuis plus longtemps. J'ai déjà 300 partiesà mon actif dont 153 victoires. Est-ce qu'onpeut dire que je gagne plus souvent que monfrère ?

3360

= 165300

> 153300

donc je gagne MOINS

souvent que mon frère.

d. J'ai eu deux épreuves en maths, pourl'instant : trois points sur cinq et onze points survingt. Quelle est la meilleure de ces deuxépreuves ?

35

= 1220

> 1120

donc c'est 35

la meilleure des

deux notes.


0 1 2F

G E D C B A

26 Intercaler

Dans chaque cas trouve deux fractionscomprises entre :

a.23

et 53

Par exemple 2230

et 4030

.

b.1230

et 2030

Par exemple 1430

et 1830

.

c.47

et 57

Par exemple 4270

et 4570

.

d. 3 et 3,1

Par exemple 302100

et 305100

.

e. 12 et 615

Par exemple 60250

et 60850

.

f. (≥**) −325

et −132

Par exemple −641100

et −643100

.

Prendre une fraction d'un nombre

27 Astucieusement

a. Quelle méthode est la plus astucieuse pour

effectuer le calcul34⋅16 ? Justifie ta réponse.

34⋅16=3⋅16

4=3⋅4=12 Car il est plus facile de

calculer 16 : 4 que 3 : 4.

b. Effectue les calculs suivants sans calculatricele plus astucieusement possible.

•213

⋅5 = 7⋅5=35

•354

⋅12 = 35⋅124

=35⋅3=105

•187

⋅14 = 18⋅147

=18⋅2=36

• 3 ,4⋅ 517

= 3 ,417

⋅5=0 ,2⋅5=1

•8

16⋅4 ,28 =

12⋅5 ,78=2 ,89

•73⋅36 ,9 = 7⋅36 ,9

3=7⋅12 ,3=86 ,1

28 Traduis chaque énoncé par un calcul quetu effectueras.

a. Le quart de cent.

= 14⋅100=100

4=25

b. Les trois quarts de soixante.

= 34⋅60=3⋅60

4=3⋅15=45

c. Les cinq tiers de trois cent soixante.

= 53⋅360=5⋅360

3=5⋅120=600

d. Quatre-vingts centièmes de trente.

= 80

100⋅30=80⋅30

100=2400

100=24


29 Recopie et complète.

a. 7⋅87= 56

7

b.75⋅6 = 42

5

c.9⋅811

= 7211

d. 14⋅87= 16

e.9

14⋅6= 27

7

f.3⋅520

= 34

30 Pour chaque question, dis si les nombresdonnés sont égaux.

a. Trois quarts de seize et 6⋅4824

.

34⋅16=3⋅16

4=3⋅4=12 = 6⋅48

24=6⋅2=12

b. Deux cinquièmes de vingt et23⋅12 .

25⋅20=2⋅20

5=2⋅4=8 =

23⋅12=2⋅12

3=2⋅4=8

c. Cinq douzièmes de trente-deux et 4 ,2⋅3311

.

512

⋅32=5⋅3212

=5⋅83=40

3 ≈ 13,3 et

4 ,2⋅3311

=4 ,2⋅3=12 ,6

31 Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

a. Recopie et complète.

578 ,4⋅0 ,01 = 578 ,4⋅ 1100

= 578 ,4⋅1100

=

578 ,4100

= 5 ,84

b. Sur le même modèle, effectue les calculs.

89,3 • 0,1 ; 0,12 • 0,001 ; 890 001 • 0,01.

89 ,3⋅0 ,1= 89 ,3⋅ 110

= 89 ,3⋅110

= 89 ,310

= 8 ,93

0 ,12⋅0 ,001=0 ,12⋅ 11000

= 0 ,12⋅11000

=0 ,121000

= 0 ,0012

890001⋅0 ,01=890001⋅ 1100

=890001100

= 8900 ,01

32 Avec la calculatrice

À l'aide de la calculatrice, trouve le résultat descalculs suivants (précise si le résultat est exactou approché).

a. 25 361⋅ 84521

≈ 4 088,913

b. 17 232⋅59148

= 212 169

33 Pourcentages de base

Calcule.

a. 25 % de 100 g =25

100⋅100=25⋅100

100=25g

b. 30 % de 200 m =

30100

⋅200=30⋅200100

=30⋅2=60m

c. 70 % de 15 CHF =

70100

⋅15=70⋅15100

=1050100

=10 ,5CHF

d. 150 % de 15 kg = 150100

⋅15=1 ,5⋅15=2 ,25kg

34 Combien de minutes ?

a. Exprime en minutes, en justifiant, chacunedes durées suivantes.

• une demi-heure.12⋅60=30min

• deux tiers d'une heure.23⋅60=2⋅60

3=2⋅20=40min

• trois quarts d'heure.34⋅60=3⋅60

4=3⋅15=45min

• une heure et quart.

6014⋅60=6060

4=6015=75min

b. Transforme les durées suivantes en heures etminutes.

• sept quarts d'heure.74⋅60=7⋅60

4=7⋅15=105min

105 min= 60 min + 45 min = 1h 45 min• un vingtième d'heure.

120

⋅60=1⋅6020

=1⋅3=3min

• neuf demi-heures.92=81

2=8

21

2=4h 1

2h=4h30min

• six dixièmes d'heure.6

10⋅60=6⋅60

10=6⋅6=36min


35 Partage d'un segment

Trace un segment [AB] de 63 mm.

Place un point C appartenant à [AB] tel que [AC]

mesure les57

de [AB].

36 Le partage

Hugo a 43,20 CHF dans sa tirelire. Il décide d'en

donner les 49

à son petit frère Lukas. Combien

Lukas va-t-il recevoir ?

Lukas a reçu 49

de l'argent

49⋅43,2=4⋅43 ,2

9=4⋅4 ,8=19 ,2CHF

37 Le cycliste

Un cycliste fait un trajet de 45 km dont les deuxtiers sont en montée. Quelle est la longueur dela montée ?

La longueur de la montée :23

du trajet

23⋅45=2⋅45

3=2⋅15=30km

38 Le réservoir

Le réservoir de ma voiture a une capacité de

56 litres. Il est rempli aux 3

14 d'essence.

Combien reste-t-il de litres d'essence dans ceréservoir ?

Il reste 3

14 de la capacité

314

⋅56=3⋅5614

=3⋅4=12 litres

39 Les élèves de sixième

252 élèves de sixième ont été interrogés sur lafréquence hebdomadaire de leur pratique dusport en dehors de l'école.

•16

des élèves ne pratique aucun sport ;

•37

des élèves en font une fois ;

•3

14des élèves en font deux fois ;

• le reste des élèves en fait plus de deux foispar semaine. Calcule le nombre d'élèves pourchaque catégorie.

ne pratiquent aucun sport 16

des élèves

16⋅252=42 élèves

n'en font qu'une fois 37

des élèves

37⋅252=108 élèves

n'en font que deux fois 3

14des élèves

314

⋅252=54 élèves

Le reste des élèves 252 – (42 + 108 + 54) = 48élèves

40 Au cinéma

Dans la grande salle de 175 places d'un cinémade quartier, est projeté un film qui a permis deremplir la salle à 76 %. Combien y a-t-il eu despectateurs à cette séance ?

Le nombre de spectateurs : 76% des places

76100

⋅175=0 ,76⋅115=87,4

soit 87 spectateurs


A BC

41 Choisir

a. Vaut-il mieux recevoir 2 % de 3 625 CHF ou80 % de 90 CHF ?

2100

⋅3625=0 ,02⋅3625=72 ,5 CHF

80100

⋅90=0 ,8⋅90=72 CHF

b. Un pull vert, qui coûtait 35 CHF, est vendu à70 % de son prix initial et un pull bleu, quicoûtait 27 CHF, est vendu à 95 % de son prixinitial. Lequel sera le moins cher à l'achat ?

Prix du pull vert 70

100⋅35=24 ,50 CHF

Prix du pull bleu 95

100⋅27=25 ,65 CHF

Le moins cher sera le pull vert

42 Composition d'un aliment

Un plat préparé de 254 g contient 27 % delipides, 55 % de protides et 16 % de glucides.Détermine la masse de ces trois substancesdans ce plat.

La masse de lipides 27

100⋅254=68 ,58g

La masse de protides 55

100⋅254=139 ,7g

La masse de glucides

254 – (68,58 + 139,7) = 45,72 g

43 L'air

L'air est constitué principalement d'azote etd'oxygène. Dans un volume d'air donné, levolume d'azote correspond à 78,6 % du volumetotal et celui d'oxygène à 20,9 %. Sachantqu'une salle de classe a un volume de 125 m3,calcule le volume, en m3, de chacun de ces gazprésents dans cette salle.

Le volume d'azote 78 , 6100

⋅125=98 ,25m³

Le volume d'oxygène 20 , 9100

⋅125=26 ,125m³

44 Du chocolat blanc

Le chocolat blanc contient 20 % de beurre decacao, 14 % de matière sèche d'origine lactiqueet 55 % de sucre.

Calcule la masse de chacun de ces ingrédientsdans une tablette de chocolat blanc de 150 g.

La masse de beurre de cacao 20

100⋅150=30g

La masse de matière sèche 14

100⋅150=21g

La masse de sucre 55

100⋅150=82 ,5g

Additionner, soustraire (***)

45 L'égalité 13

7

12 =

1112

est illustrée par

la figure ci-contre :

a. Explique pourquoi.

En bleu la fraction 13

, en rose la fraction 7

12.

Le total des cases coloriées est bien de 11 sur

12 soit la fraction 1112

.

b. En t'inspirant de la question a., écris uneégalité illustrant chacune des figures suivantes :

Figure 1Figure 2

Figure 3

Figure 1 : 12

26

= 56

.

Figure 2 : 23

1

15 =

1115

.

Figure 3 : 14

7

16 =

1116

.


46 Effectue les opérations suivantes et donnele résultat sous la forme d'une fractionirréductible.

a.79

59

b.198

−158

c.5

12

1312

d.9

11

711

e.7

18

1118

f.2713

−1

13

a.79

+59

= 75

9 =

129

= 12 :39 :3 =

43

.

b.198

–158

= 19−15

8 =

48

= 4 :48 :4 =

12

.

c.5

12+

1312

= 513

12 =

1812

= 18 :612 :6 =

32

.

d.9

11+

711

= 9711

= 1611

.

e.7

18+

1118

= 711

18 =

1818

= 1.

a.2713

–1

13 =

27−113

= 2613

= 2.

47 On considère le nombre 5 23

.

a. Combien y a-t-il de tiers dans une unité ? Etdans cinq unités ?

Il y a trois tiers dans une unité et il y a 15 tiersdans cinq unités.

b. En utilisant la réponse à la question a., écris

5 23

sous la forme d'une seule fraction.

523= 15

32

3= 17

3

c. En procédant de la même manière, écrischacun des nombres suivants sous la formed'une seule fraction.

• 4 52

= 825

2= 13

2

• 12 −14

= 484

−14= 47

4

7 35

−25

= 355

35−2

5= 36

5

48 Effectue les opérations suivantes :

a.2

13

713

b.87

−67

c.94

−5

12

d.12

14

e.13

−16

f.1314

57

g.23

−1

18

h.85

−1610

i.56

5

12

a.2

13+

713

= 2713

= 9

13

b.87

–67

= 8−6

7 =

27

c.94

–5

12 =

9⋅34⋅3

–5

12 =

27−512

= 2212

d.12

14

= 1⋅22⋅2

14

= 21

4 =

34

e.13

–16

= 1⋅23⋅2

– 16

= 2−1

6 =

16

f.1314

57

= 1314

5⋅27⋅2

= 1310

14 =

2314

g.23

–1

18 =

2⋅63⋅6

– 1

18 =

12−118

= 1118

h.85

–1610

= 8⋅25⋅2

– 1610

= 16−16

10 = 0.

a.56

5

12 =

5⋅26⋅2

5

12 =

10512

= 1512

.


49 Effectue les opérations suivantes :

a. 4 −32

b. 2 13

c.94

− 1

d. 7 14

e.163

− 3

f. 4 57

g. 6 −53

−56

h. 234

72

i. 7 −95

–1325

a. 4 –32

= 82

– 32

= 52

b. 2 +13

= 63

13

= 73

c.94

– 1 = 94

– 44

= 54

d. 7 +14

= 284

14

= 294

e.163

– 3 = 163

– 93

= 73

f. 4 +57

= 287

57

= 337

g. 6–53

–56

= 366

– 106

– 56

= 36−10−5

6

= 216

h. 2+34

+72

= 84

34

144

= 8314

4

= 254

a. 7–95

–1325

= 17525

– 4525

– 1325

= 175−45−13

25 =

11725

50 Dans chacun des cas suivants, calcule lavaleur de a b − c.

a. a = 12 ; b =

34 ; c =

14 .

b. a = 76 ; b =

103 ; c =

56 .

c. a = 13 ; b =

19 ; c =

127 .

d. a = 25 ; b =

1315 ; c =

25 .

e. a = −1318 ; b =

196 ; c =

43 .

a.12

34

– 14

= 24

34

– 14

= 44

= 1

b.76

103

– 56

= 76

206

– 56

= 226

c.13

19

– 1

27 =

927

3

27 –

127

= 1127

d.25

1315

– 25

= 1315

a.1318

196

– 43

= 1318

5718

– 2418

= 4618

51 Étonnant !

a. Calcule : 12

14

.

12

14

= 24

14

= 34

b. Calcule : 12

14

18

.

12

+14

+18

= 48

+28

+18

= 78

c. Calcule : 12

14

18

1

16.

12

+14

+18

+1

16 =

816

+4

16+

216

+1

16=

1516

d. Sans calculer, essaie de deviner la valeur de

12

14

18

1

16

132

1

64 puis vérifie.

On peut conjecturer que le résultat est 6364

.

12

+14

+18

+1

16+

132

+1

64

= 3264

+1664

+8

64+

464

+2

64+

164

=6364

.


52 Jimmy a mangé 14

d'un gâteau. Élise a

mangé 38

du même gâteau.

a. Quelle part du gâteau ont-ils mangée à euxdeux ?

14

38

= 28

38

= 58

: ils ont mangé à eux

deux 58

du gâteau

b. Quelle part du gâteau reste-t-il ?

Il reste 1 – 58

= 88

– 58

= 38

du gâteau.

53 Jeu vidéo

Trois frères veulent acheter ensemble un jeu

vidéo. Le premier ne possède que les 35

du prix

de ce jeu vidéo, le deuxième n'en possède que

les 4

15 et le troisième seulement

13

.

a. Ont-ils assez d'argent pour acheter ce jeuvidéo ?

35

4

15

13

= 9

15

415

5

15 =

1815

1815

>1 donc ils ont assez d'argent.

b. Peuvent-ils acheter un second jeu vidéo demême prix ?

Mais 1815

<2 donc ils ne peuvent pas en acheter

un second.

54 Triangle

ABC est un triangle isocèle en A tel que

AB = 57

BC . Quelle fraction de BC représente

son périmètre ?

ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC.

Le périmètre de ABC est donc :

AB AC BC = 57

BC + 57

BC BC

=( 57

+ 57

+ 1)BC

= ( 57

+ 57

+ 77

)BC

AB AC BC = 177

BC.

55 Pyramide

Recopie puis complète la pyramide suivantesachant que le nombre contenu dans une caseest la somme des nombres contenus dans lesdeux cases situées en dessous de lui :

157

1621

2921

821

1642

1=4242

13

121

13

23


56 Le Scrabble®

Le tableau suivant donne le nombre de jetonscorrespondant à chaque lettre de l'alphabet.

Lettre E A INORSTU

L DM

BCFGHPV

Blanc

JKQWXYZ

Nombre 15 9 8 6 5 3 2 1

a. Quel est le nombre total de jetons dans lejeu ?

Il y au total 102 jetons.

b. Quelle fraction des jetons est marquée de lalettre P ? Simplifie, si possible, cette fraction.

P : 2

102= 1

51

Même question pour les lettres D, E puis A.

D : 3

102= 1

34 ; E :

15102

= 534

; A : 9

102= 3

34

c. Quelle fraction des jetons est marquée d'uneconsonne ? Simplifie, si possible, cette fraction.

57102

= 1934

d. Y a-t-il plus ou moins de la moitié des lettresayant un nombre d'exemplaires inférieur ouégal à 5 ? Quelle fraction exactement ?

Il y en a 34 jetons sur les 102. Cela représentemoins de la moitié des lettres.

34102

= 13

57 L'enquête

Un employé utilise le véhicule de sa sociétépour aller faire des livraisons.

La capacité du réservoir du véhicule est de 40 lpour une consommation inférieure à 10 l pour100 km.

Son employeur soupçonne une utilisationsupplémentaire non autorisée et a doncphotographié la jauge à essence du véhicule endébut et en fin de journée pour vérifier.

le matin le soir

Sachant que le circuit journalier de l'employéfait 40 km, détermine si les soupçons del'employeur sont justifiés.

Le matin la jauge indique qu'il reste les 38

du

réservoir. 38⋅40= 15 , il reste 15 l dans le

réservoir.

Le soir la jauge indique qu'il reste les 18

du

réservoir. 18⋅40 = 5 , il reste 5 l dans le

réservoir.

L'employé a donc consommé 10l. Cela signifiequ'il a roulé un peu plus de 100 km et parconséquent il utilise le véhicule de manière nonautorisée.


58 Farandole de fractions

a. On considère les fractions suivantes :

12

; 23

; 34

; 45

; …

• Complète cette suite logique avec trois autresfractions.

56

; 67

; 78

• Ces fractions sont-elles plus petites ou plusgrandes que 1 ? Justifie.

Elles sont plus petites que 1 car les fractions ontle numérateur plus petit que le dénominateur.

• À l'aide de ta calculatrice, indique si cesfractions sont rangées dans l'ordre croissant oudécroissant.

Elle sont rangées dans l'ordre croissant.

b. On considère les fractions suivantes :

32

; 43

; 54

; 65

; …

• Complète cette suite logique avec trois autresfractions.

76

; 87

; 98

• Ces fractions sont-elles plus petites ou plusgrandes que 1 ? Justifie.

Elles sont plus grandes que 1 car les fractionsont le numérateur plus grand que ledénominateur.

• À l'aide de ta calculatrice, indique si cesfractions sont rangées dans l'ordre croissant oudécroissant.

Elle sont rangées dans l'ordre décroissant.

c. En écrivant les fractions sous forme décimale(on arrondira au centième près quand c'estnécessaire), que remarques-tu pour les deuxsuites données en a. et b. ?

Elles s'approchent du nombre 1 mais leursparties décimales sont identiques.

59 Dans le but de faire du béton, Antoine apréparé (avant d'incorporer l'eau) un mélangede 100 kg composé de 30 % de graviers, detrois huitièmes de sable et le reste de ciment.

Calcule la masse de chaque composant de cemélange.

Graviers : 30%⋅100 = 30100

⋅100= 30

Il y a 30 kg de gravier.

Sable : 38⋅100 =3⋅100

8= 37 ,5

Il y a 37,5 kg de sable.

Ciment : 100− 30− 37 ,5=32 ,5Il y a 32,5 kg de ciment.

60 La course

Une course de 4 500 m est organisée autour ducollège. Durant cette course :

• Ahmed doit stopper après avoir parcouru undixième du trajet ;

• Bernard s'essouffle au bout des cinq sixièmesde la course ;

• Carolina, elle, n'atteint que le un quart de lalongueur du parcours ;

• Dieter se blesse alors qu'il ne lui restait plusqu'un quinzième de la course à effectuer.

Calcule la distance parcourue par chacun.

Ahmed : 1

10⋅4500=1⋅4500

10= 450

Il a parcouru 450 m.

Bernard : 56⋅4500=5⋅4500

6= 3750

Il a parcouru 3 600 m.

Carolina : 14⋅4500=1⋅4500

4= 1125

Elle a parcouru 1 125 m.

Dieter : 1

15⋅4500=1⋅4500

15= 300

4500− 300 = 4200 , il a parcouru 4 200 m.

CHAPITRE 8 - ÉCRITURE FRACTIONNAIRE

61 Le club Ludimaths

Un collège comporte 840 élèves dont les huitdixièmes sont demi-pensionnaires.

Les sept douzièmes d'entre eux mangent aupremier service, les autres au second service.Le club de jeux mathématiques a lieu durant lepremier service et accueille un septième desélèves disponibles à ce moment-là.

a. Combien d'élèves participent à ce club ?

810

⋅840 =8⋅84010

= 672 Il y a 672 élèves qui

sont demis-pensionnaires.

712

⋅672 =7⋅67212

= 392 , il y a 392 élèves qui

mangent durant le premier service et donc 280sont libres durant ce moment.

17⋅280 =1⋅280

7= 40 , le club de jeux

mathématiques accueille 40 élèves.

b. Quelle fraction du nombre total d'élèvesreprésentent-ils ? Simplifie-la, si possible.

40840

= 121

62 Les soldes

a. Un article coûtant 30 CHF subit une premièreréduction de 50 %. Calcule son nouveau prix.

Son nouveau prix est de 15 CHF.

b. Lors d'une seconde démarque, le mêmearticle subit une nouvelle réduction de 50 %.Calcule son nouveau prix.

Son nouveau prix est de 7,50 CHF.

c. Le prix de cet article a-t-il diminué de 100 %après ces deux démarques ? Justifie.

Non, car 30−7 ,5

30= 0 ,75 il a donc diminué de

75 %.

63 Le concours

Un concours se déroule en deux étapes :

• tous les candidats passent les épreuvesd'admissibilité à l'écrit ;

• seuls ceux qui sont déclarés "admissibles"passent les épreuves d'admission à l'oral. Cesderniers sont alors déclarés "admis" ou pas.

1 200 candidats se sont présentés à ceconcours. Après l'écrit, un tiers d'entre eux aété recalé. Le reste a passé l'oral où les troisquarts n'ont finalement pas été admis.

Combien de candidats ont été admis à ceconcours ?

13⋅1200= 400 , 800 candidats sont déclarés

admissibles.

34⋅800 = 600 , seulement 200 élèves ont été

admis.

64 La marée

Il est midi à Dunkerque et la marée est basse.La « règle des douzièmes » nous dit que la mer

va monter de1

12de l'amplitude totale pendant

la première heure, de2

12durant la 2e heure, de

312

la 3e heure, encore3

12la 4e heure,

212

la 5e

heure pour finir avec le dernier douzième la 6e

heure et arriver enfin à marée haute. La mer redescend ensuite de la même manièresuivant un cycle d'environ six heures.

Reproduis et complète le tableau suivant ensachant que l'amplitude totale est de 3,60 m.

Heure 12 h 13 h 14 h 15 h 16 h

Hauteur d'eau (m) 0 0,3 0,9 1,8 2,7

Heure 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h

Hauteur d'eau (m) 3,3 3,6 3,3 2,7 1,8

Heure 22 h 23 h 24 h

Hauteur d'eau (m) 0,9 0,3 0


65 Le jardin

Dans un terrain de 3,5 ha, les45

de la surface

sont occupés par des arbres fruitiers. Les

pommiers occupent les27

de la surface occupée

par les arbres fruitiers.

Calcule, en m2, la surface occupée par lespommiers. (1 ha = 1 hm2.)

45⋅3 ,5=4⋅3 ,5

5= 2 ,8 , les arbres fruitiers

occupent 2,8 ha du terrain.

27⋅2 ,8=2⋅2 ,8

7= 0 ,8 , Les pommiers occupent

0,8 ha du terrain.

66 Club sportif

Le diagramme suivant donne la répartition desadhérents d'un club sportif selon leur sexe etselon leur tranche d'âge.

Femmes juniors

Femmes adultes

Femmes vétérans

Hommes juniors

Hommes adultes

Hommes vétérans

a. Reporte ces indications dans un tableau enremplaçant les pourcentages par des fractionssimplifiées.

Fem

mes

junio

rs

Fem

mes

adult

es

Fem

mes

vété

rans

Hom

mes

junio

rs

Hom

mes

adult

es

Hom

mes

vété

rans

320

310

120

15

14

120

54 108 18 72 90 18

b. Le club comporte 360 adhérents. Calcule lenombre d'adhérents de chaque catégorie.


15%

30%

5%20%

25%

5%

67 Triangle de Sierpinski

Étapes de construction :

• Étape 1 : On construit un triangle équilatéralqu'on prend pour unité d'aire.

• Étape 2 : On trace les trois segments joignantles milieux des côtés du triangle et on enlève lepetit triangle central. Il reste trois petitstriangles qui se touchent par leurs sommets etdont les longueurs des côtés sont la moitié decelles du triangle de départ.

• Étape 3 : On répète la deuxième étape avecchacun des petits triangles obtenus.

Étapes suivantes : On répète le processus.

a. Construis sur ton cahier les triangles obtenusaux étapes 3 et 4 (on prendra 8 cm de côtépour le triangle équilatéral de départ).

Étape 3 :

Étape 4 :

b. Quelle fraction d'aire représente la partiehachurée, obtenue aux étapes 1, 2 et 3 ?

À l'étape 1, tout le triangle est hachuré, lafraction hachurée est égale à 1.À l'étape 2, le grand triangle est partagé enquatre triangles égaux, dont trois sont

hachurés : la fraction d'aire hachurée est 34

.

À l'étape 3, 34

de l'aire précédente est

hachurée, donc 34•

34

= 3⋅34⋅4

= 9

16.

c. Même question pour l'étape 4, de deuxfaçons différentes : en regardant le schéma puisen faisant un calcul.

En regardant le schéma, on peut constater qu'ilse « découpe » en 64 petits triangles, dont 27sont hachurés. On peut calculer que trois quartsde l'aire précédente est hachurée, soit :

34•

916

=2764

.

d. Sans construire le triangle, indique quellefraction d'aire la partie hachurée représente àl'étape 5.

On reprend le même calcul à partir de l'étapeprécédente :

34•

2764

= 3⋅274⋅64

= 81

256.

e. Et pour l'étape 8 ?

On multiplie le résultat de l'étape 5 par troisquarts pour obtenir celui de l'étape 6, puisencore par trois quarts, deux autres fois :34•

34•

34•

81256

=3⋅3⋅3⋅81

4⋅4⋅4⋅256=

218716 384

.


1 Coloriages magiques

1re Partie : Le dessin mystère

a. Chaque groupe décalque le dessinci-dessous.

b. Coloriez les zones avec des nombres égauxaux fractions du tableau ci-dessous dans lacouleur correspondante.

53

en rouge52

en vert32

en marron

54

en noir13

en jaune23

en bleu

2e Partie : À votre tour !

c. Chaque groupe produit un dessin avec descouleurs différentes suivant le même principe.

d. Échangez ensuite avec un autre groupe vosdessins. Coloriez alors le dessin que vous avezreçu.


2030

3020

1510

1015

4060

1218

2114

24

16

1545

1133

2012

1812

1030

100300

2060

618

159

128

104

10 6

824

9274

12

23

515

721

46

26

32

96

13

64

13

1,5

1,25

2,5

10 8

2 Dans l'Ancienne Égypte (***)

Dans l'Ancienne Égypte, l'œil du pharaon étaitutilisé pour signifier « 1 sur ».

23

, 34

et 12

avaient leur propre signe :

23

34

12

a. Recopiez puis complétez le tableau suivant :

13

14

15

16

17

18

110

112

114

115

b. Calculez les sommes suivantes puis donnezleur écriture égyptienne :

13

+13

; 16

+16

; 13

+16

; 16

+1

12.

13 1

3= 2

3 ;

16 1

6= 2

6= 1

3 ;

13 1

6= 2

6 1

6= 3

6= 1

2 ;

16 1

12= 2

12 1

12= 3

12= 1

4 ;

c. Pour écrire une fraction, les Égyptiens ladécomposaient en une somme de fractions de

numérateur 1. Par exemple : 38

s'écrivait

comme la somme de 14

et 18

:

Vérifiez en faisant le calcul.

14 1

8= 2

8 1

8= 3

8

À quelles fractions correspondent les écrituressuivantes ?

115

15= 1

15 3

15= 4

15

110

12= 1

10 5

10= 6

10= 3

5

12 1

4= 2

4 1

4= 3

4

15 1

10= 2

10 1

10= 3

10

d. Inversement, pouvez-vous proposer uneécriture égyptienne pour les fractionssuivantes ?

512

= 13 1

12;

314

= 15 1

70;

712

= 12 1

12;

35

= 12 1

10.

La décomposition est-elle toujours unique ?

Non car 1n= 1

n 1 1

n⋅n 1

e. Plus difficile !

Pour effectuer le calcul 23

+12

, le scribe

transformait successivement cette somme en23

+13

+16

puis en 1 +16

, ce qu'il pouvait

alors écrire :

f. Faites comme lui pour les sommes :

23

+23

= 23 1

3 1

3= 1 1

3

12

+35

= 12 1

2 1

10= 1 1

10

34

+7

12 =

34 1

4 1

3= 1 1

3


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Activité 1 : Égalités de fractionssesamath.ch/co/9e-harmos/fichiers-a-telecharger/corriges... · 2016. 9. 18. · 01 23 A C D. 5. Conclusion À partir des différents exemples