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ACTIVIDADES
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ACTIVIDADES PARA ESTUDIANTES DE OCTAVO GRADO 2010-2011
MATEMÁTICA DE OCTAVO GRADO
GUIA DE MATEMÁTICA -8º
1. IDENTIFICACACIÓN: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO
ASIGNATURA: MATEMÁTICA PERIODO: 1
TEMAS: MAGNITUDES INCONMENSURABLES- NÚMEROS IRRACIONALES- NÚMEROS REALES
DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ GÓMEZ
LOGROS: Identifica las propiedades del conjunto de los números reales, su utilidad, su representación gráfica y orden,
mediante situaciones determinadas.
2. SITUACION INICIAL
Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz
de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir
como fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen
valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, tiraron a
Hipaso por la borda y se ahogó!
¿Qué piensas de la historia anterior? ¿ Por qué crees que se dio la situación anterior?
3. ACTIVIDAD
Construye 4 cuadrados de diferentes dimensiones. Mide sus lados y diagonales.
Con la información anterior completa la tabla:
Medida
Figura
L
Lado
D
Diagonal r=
𝐷
𝐿 r como
decimal
1
2
3
4
Ahora verifica si la medida de la diagonal que obtuviste corresponde al valor que se determina con el teorema de
Pitágoras.
El valor obtenido de r, ¿lo puedes expresar como un número racional? ¿Es decimal exacto? ¿Es decimal periódico, puro o
mixto?
4. ORIENTACION TEMÁTICA
Números Irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3.1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22
/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras
decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han
calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los
primeros decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1.61803398874989484820... (y más...)
REPRESENTACIÓN DE LOS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos
que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos
números irracionales en la recta numérica.
Veamos como se puede representar, por ejemplo, :
hay que tener claro que =1,414...,es decir, 1< < 2
Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su diagonal comprendemos esto:
Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente en la recta numérica. Sabemos que es un número
irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.
En esta recta representamos los números irracionales y -
5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
a. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales:
Radicales
Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.
Ejemplo: √2 (la raíz cuadrada de 2) no se puede simplificar más así que es un radical.
Pero √4 (la raíz cuadrada de 4) sí se puede simplificar (queda 2), así que no es un radical.
Fíjate en estos:
Número Simplificado En decimal ¿Radical
o no?
√2 √2 1.4142135(etc) Radical
√3 √3 1.7320508(etc) Radical
√4 2 2 No es radical
√(1/4) 1/2 0.5 No es radical
3√(11)
3√(11) 2.2239800(etc) Radical
3√(27) 3 3 No es radical
5√(3)
5√(3) 1.2457309(etc) Radical
Como ves, los radicales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, y por eso son números irracionales.
Conclusión
Si es una raíz e irracional, es un radical. Pero no todas las raíces son radicales.
OPERACIONES CON RADICALES
1. Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo
radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5.
Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
Se suman los que son semejantes
y ya no podemos hacer nada más
2. Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d) e)
f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
Ahora si se pueden multiplicar
g)
Ejercicios de aplicación.
Sumar los siguientes radicales indicados:
Multiplicar los Siguientes radicales indicados:
DIVIDIR
LOS NÚMEROS REALES (R)
El conjunto de los números reales corresponde al conjunto de todos los números que pueden escribirse como
decimales.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Los números no son un invento artificial destinado a fastidiar a los escolares de todos los tiempos, sino que han ido
surgiendo como una necesidad. Los números reales son los que usamos para contar o medir: 1, 2, 3, 250, – 12, – 100,
1.85, 34.95, , etc. No son números reales los siguientes: etc. Observa
que los números negativos que están
dentro de raíces cuadradas NO son considerados números reales, sino números imaginarios, que estudiaremos en otro
curso.
Los Números Irracionales.- son todos aquellos números que NO se pueden expresar como una fracción común. En
palabras sencillas son los números que resultan de sacar la raíz cuadrada o cúbica o cuarta, etc. y que no es exacta.
Ejemplo: . Este conjunto se representa con I. Otros números
irracionales que vas a tratar frecuentemente o que ya usas, son π (que indica las veces que la circunferencia es más
grande que el diámetro, 3.14159265359…), e (que aparece en cualquier problema donde hay crecimiento continuo, y
su valor es 2.71828182846…), φ (llamado número áureo (llamado así porque indica la relación perfecta que debe
haber en lo que a los ojos se ve armonioso; su valor es 1.6180…) Para identificar un racional de un
irracional
cuando se escriben en forma decimal, al final de la parte decimal del número irracional se escriben tres puntos
decimales para indicar que siguen más decimales pero que no podemos predecir cuáles son los siguientes.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales.
Así, el conjunto de los números reales que se le simboliza con la letra R se origina como la unión del conjunto de los
números racionales y el conjunto de los irracionales, es decir el nombre de número real se propuso
como
antónimo de número imaginario.
Se presenta mediante una gráfica todo el conjunto de los números reales y los conjuntos de números que los forman.
CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales se definen de manera intuitiva como el conjunto de números que completan la recta
numérica, es decir, para todo punto de la recta le corresponde un número real y recíprocamente.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de los números racionales, y éste a su vez
contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sigue que el conjunto de los números
reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números
reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales,
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Si es falsa escribe un ejemplo.
a. No todos los enteros son racionales ( ).
b. Algunos números irracionales son números enteros ( ).
c. Los números racionales tienen expresión decimal periódica ( ).
d. Los números naturales son números reales ( ).
e. Los números reales forman un conjunto infinito ( ).
f. Todo número racional es real ( ).
g. Cualquier número decimal es irracional ( ).
h. Ningún número entero es irracional ( ).
i. Cualquier número real es racional o irracional ( ).
j. tiene infinitas cifras decimales no periódicas ( ).
k. La raíz impar de un número negativo no es real ( ).
2. Completar la tabla con (PERTENECE) o (NO PERTENECE).
3. Escribir un número que cumpla cada condición.
a. Es un entero pero no es natural
b. Es real pero no es racional.
c. Es racional, entero y natural.
d. Es real pero no irracional.
e. Es real y natural.
4. Representa en la recta: ,
5. Encuentra dos números reales comprendidos entre:
1. IDENTIFICACION: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO
AREA: MATEMÁTICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA
UNIDAD 2 : POLINOMIOS GRADO: OCTAVO DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ
LOGRO 4: identifica las propiedades de las expresiones algebraicas y su utilidad en situaciones determinadas.
2. SITUACION INICIAL
La figura muestra un cuadrado de lado b.
Determina el perímetro y el área de la figura.
Determina la diagonal en función de b.
¿Cuál es el área del cuadrado, si la medida del
lado se duplica?
3. INTRODUCCIÓN
En el tiempo transcurrido del año hemos
trabajado con números reales; ahora en
adelante, utilizaremos los mismos números, ya
no escritos explícitamente, sino que los
representaremos mediante números y letras,
así:
El doble de una cantidad o número: 2 X,
El triple de un número es igual a 12: 3 X = 12.
Cada letra representa un número real, y por lo
tanto se comporta como tal, obedeciendo a
las mismas propiedades y operaciones de los
reales; en esto, consiste el trabajo del álgebra.
Para representar cantidades en álgebra, se
utilizan números y letras, que se relacionan
por medio de operaciones matemáticas
(adición, sustracción, multiplicación y división).
Se puede concluir diciendo que el álgebra es
una generalización de la aritmética.
4. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA
Ingenio matemático 8. Ed Voluntad.
Matemáticas soluciones 8. Ed Futuro.
Matemática Nova 8. Ed. Voluntad.
http://maralboran.org/wikipedia/inde
x.php/Expresiones_algebraicas
http://www.sectormatematica.cl/educ
media.htm
5. METODOLOGIA
Para desarrollar esta guía los estudiantes
deberán profundizar acerca de los contenidos
teóricos que aquí se exponen y desarrollar las
actividades individuales y grupales, cuentan
con una hora de asesoría del docente y
posteriormente socializaran las actividades en
el día previsto.
6. ORIENTACION TEMÁTICA
EXPRESION ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es una combinación
de letras, números y signos de operaciones.
Las letras suelen representar cantidades
desconocidas y se
denominan variables o incógnitas. Las
expresiones algebraicas nos permiten traducir
al lenguaje matemático expresiones del
lenguaje habitual. Ejemplos de Expresiones algebraicas
El perímetro y el área de un terreno
rectangular que mide X metros de
largo e Y metros de ancho, es:
Perímetro = 2X + 2Y
Área = X. Y
ELEMENTOS DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA:
PARTES LITERALES: Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.
COEFICIENTES O PARTES NUMÉRICAS: Son los números que aparecen multiplicando a las variables.
EXPONENTES: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.
−7X´yµ → Coeficiente: − 7 Variables: X, Y Exponentes: 4, 5
TÉRMINO ALGEBRAICO: Es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separados entre sí por operadores + ó −.
1. - 5 x
2. 4 x²
3. x y
GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN TÉRMINO.
El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de cada una de las letras que conforman la parte literal.
El grado relativo de un término está indicado por los exponentes del término con relación a cada letra.
En el término 9X´YµZ², el grado absoluto es 11, porque 4 + 5 + 2 = 11. El grado relativo respecto a X es 4, a Y es 5 y a Z es 2.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIOS: Son las expresiones algebraicas que constan de un solo término algebraico.
BINOMIO: Expresión algebraica que consta de dos términos algebraicos.
TRINOMIO: Expresión algebraica que consta de tres términos algebraicos.
2X + 3Y + 4Z; Xµ − 3X´− 8
POLINOMIOS: Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos más términos algebraicos.
BB POLINOMIOS: Son todas aquellas expresiones
algebraicas que están formadas por dos más términos algebraicos.
BB, SEPARADOS POR EL SIGNO De
ahora en adelante toda expresión algebraica se llamará polinomio a excepción de los monomios o términos algebraicos.
GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN POLINOMIO
El grado absoluto de un polinomio está indicado por el mayor exponente entre todos los términos del polinomio.
El grado relativo, está indicado por el mayor exponente de cada literal.
En el polinomio ⅞ X²Y´ + 8X´Yµ - 11XY + 4, el grado absoluto es 9 y el grado relativo a X es
4, para Y es 5.
ORDEN DE UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es escribir sus términos consecutivamente, teniendo en cuenta una letra escogida, de tal manera que sus exponentes estén ubicados de mayor a menor o de menor a mayor.
VALOR NÚMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El valor numérico de una expresión algebraica es la cantidad que se obtiene al reemplazar las letras o
variables por una cantidad dada, y luego efectuar las operaciones indicadas en la expresión.
Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, entonces el valor
numérico de las expresión 3a²b´ es
3a²b´ = 3. (1)². (2)´ = 3. (1).
(16)
= 48 7. ACTIVIDADES
A. Calcula el valor numérico de cada
polinomio
a. X² + 3 Xµ – 9X ; si X = − 1
b. 3XY² − X³Y³ + ⅖XY ; si X = 2 , Y = 1 C. ⅞ X²Y´ + 8X´Yµ - 11XY + 4 ; si X = 1, Y
= 1
d. ( X + Y )³ ; si X = ⅙ , Y = ⅖
B. Completa la siguiente tabla
Expresión Grado
absoluto
Coeficiente. Parte.
Literal
-x
-987xy
43 yx
0365 yx
y
23723 xyz
233 xz
y
x24
0003 xyz
58
7
9
5
z
x
jah
52
65
yw
xywz3
C. Escribe la expresión simbólica de cada enunciado
a. El triple de un número disminuido en 2 b. la quinta parte de la diferencia entre un
número y 8 c. la cuarta parte de un número aumentado
en p d. el sucesor de un número X
D. Escribe expresiones algebraicas que satisfagan las siguientes condiciones:
a. Un polinomio de tres términos que tenga grado absoluto de 8
b. Un monomio que tenga grado relativo
respecto a m de 4. c. Una expresión que tenga grado
absoluto 0 d. Un binomio de grado 1 e. Un polinomio ordenado que tenga 5
términos algebraicos y que su grado absoluto sea 12.
f. Un término que tenga parte numérica 1, cuyas partes literales sean W,Z.
1. IDENTIFICACION: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO
AREA: MATEMÁTICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA
UNIDAD 2 : POLINOMIOS GRADO: OCTAVO DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ
TEMA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS.
LOGRO 5: Plantea y resuelve situaciones aditivas de expresiones algebraicas
2. SITUACIÓN INICIAL
El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un
lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?
3. INTRODUCCIÓN
En esta guía operaremos con expresiones algebraicas,
relacionaremos el álgebra con muchos elementos
estudiados en cursos anteriores de la geometría, y
descubriremos que el álgebra es una herramienta
poderosa para llegar a la solución de problemas.
4. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA
Ingenio matemático 8. Ed. Voluntad.
Matemáticas soluciones 8. Ed. Futuro.
Matemática Nova 8. Ed. Voluntad.
http://www.disfrutalasmatematicas.co
m/algebra/polinomios- sumar-
restar.html
http://www.sectormatematica.cl/
educmedia.html
http://www.slideshare.net/lacienciama
tematica/o4-operaciones-con-
polinomios
5. METODOLOGIA
Para desarrollar esta guía los estudiantes deberán
profundizar acerca de los contenidos teóricos que aquí
se exponen y desarrollar las actividades individuales y
grupales, cuentan con una hora de asesoría del docente
y posteriormente socializaran las actividades en el día
previsto.
6. ORIENTACION TEMÁTICA
TÉRMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal y sus exponentes coinciden. Los Términos
Semejantes se pueden sumar o restar, sumando o
restando sus coeficientes numéricos y conservando la
parte literal.
Ejemplo:El término 3x2y y el término 2x2y , son
semejantes. (Tiene partes literales iguales con sus
respectivos exponentes) y al sumarlo da 5x2y.
EXPLORANDO A TRAVÉS DE MODELOS
Usemos mosaicos (Rectángulos que puedes construir
con cartulinas de diferentes colores).
Los términos semejantes están representados por
mosaicos de la misma forma y tamaño.
Veamos
−x² x²
−xy 3xy
−y² 2y²
7. ACTIVIDAD GRUPAL
A. Para cada modelo escribe su expresión algebraica.
MODELOS PLINOMICOS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
B. Usa los rectángulos para construir el
modelo que representa cada expresión
polinominal.
Expresión Polinominal
Modelo
3x2
4xy
2xy + y2
5x2 - 2y2
-3x2 - xy - 2y2
-5xy + 3y2
C. Reduce los términos semejantes en cada
una de las expresiones siguientes:
8. ACTIVIDAD INDIVIDUAL
A. Representa el polinomio 2x² + 3xy + y².
Construye tus propios rectángulos.
B. Representa el polinomio − x² −y²
C. Si se tiene el siguiente modelo
¿A qué polinomio corresponde?
D. Con los rectángulos que construiste, forma
modelos polinómicos.
E. ¿Cómo harías para sumar estos modelos
polinomicos del punto anterior? Escribe las
expresiones algebraicas correspondientes
en cada caso.
9. ADICIÓN DE POLINOMIOS
La suma de dos o más polinomios es el polinomio que se
obtiene adicionando los términos semejantes de los
sumandos.
Puedes adicionar los polinomios en forma horizontal o
vertical.
En forma horizontal puedes proceder así :
Se eliminan los paréntesis, si los hay.
Se identifican los términos semejantes y se
asocian.
Luego, reducen los términos semejantes.
Ejemplo:
(2x2 + x - 1) + ( 3x
3 + 4x
2 - 5 )
2x2 + x – 1 + 3x
3 + 4x
2 - 5
3x3 + 2x
2 + 4x
2 + x – 1 – 5
3x3 + 6 x
2 + x –6
En forma vertical
Se ordenan los polinomios de modo que los
polinomios que los términos semejantes
queden ubicados en columnas.
Luego, se reducen los términos semejantes
y se obtiene la suma.
2x2 + x – 1
3x3 + 4x
2 – 5
3x3 + 6 x
2 + x – 6
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
La sustracción de polinomios es equivalente a la adición
del minuendo con el polinomio opuesto del sustraendo.
Ejemplo: Sustraer los polinomios
( -3a2 - 4a + 2) - (5a
3 + 2a - 6)
( -3a2 - 4a + 2) es el polinomio minuendo.
(5a3 + 2a - 6) es el polinomio sustraendo.
Y el polinomio opuesto al sustraendo es:
- 5a3 - 2a + 6
Luego, se procede a realizar la adición del polinomio
minuendo con el polinomio opuesto como se trabajo
en la operación adición vertical u horizontal.
Esto es, en forma vertical.
-3a2 - 4a + 2
-5a3 - 2a + 6
-5a³ -3a² - 6a + 8
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos
y separar operaciones. Para suprimirlos debes tener
presente:
Si un paréntesis es precedido por el signo
positivo (+), éste se puede suprimir sin
cambiar o variar los signos de los términos
que estén dentro del paréntesis.
2yz + (m - n)
2yz + m – n
Si un paréntesis es precedido de un signo (-)
negativo, se puede suprimir cambiando los
signos de los términos que están dentro del
paréntesis.
18x -(2r + k –n)
18x – 2r – k + n
Si una expresión algebraica tiene términos
agrupados entre paréntesis y ellos a su vez
se encuentran dentro de otros paréntesis,
se pueden resolver las operaciones que
anteceden a los paréntesis desde dentro
hacia fuera.
Ejemplo:
{[(2x+1) - (xy-1)]+2xz}=
{(2x+1) - (xy-1)+2xz}=
{2x+1 – xy +1+2xz}=
2x+1 – xy + 1+ 2xz
10. ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Efectúa las adiciones en cada caso
a) - (3x +2) + (-2x +3) =
b) - ( 5x2 + 6x +1) + (-7x +2)=
c) (-4x2 +6x –3) + (-7x2 – 4x + 5)=
Resuelve las sustracciones:
a) - (b2 – 2b +4) - (b2 –4b –3)=
b) (-7y +2y2 +5) – (y2 –6-5y) =
c) (5x2 +4) –(2x2 –1)=
d) (5p2 –3p +6) – (9p2 – 5p –3)=
Dados los polinomios
A: 2b2c –3b + 6c
B: 4b - c2b + 12 b2c
C: 4 – 2c
Efectúa las siguientes operaciones:
a) A + B=
b) A - C=
c) B - A=
d) A + B + C
Eliminar paréntesis y reducir términos
semejantes en los siguientes polinomios
a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=
b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=
Calcular el perímetro de las siguientes
figuras:
a)
x2 + x
2x2 +x x
3x2 + x –3
b) 2mn
4m +n
c)
X + y ⅓y
Yy y
X
d) 2a
0,7a
1,4 a
0,5a
3b
4/3b 4/3 b
e)
b
5/3 b
5/2 b
EL Club de los ñeros del LUPARO convierte
m goles en su primer partido, m-5 en el
segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos
goles convierte en el cuarto partido si en
total hizo 4m goles?
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES. LOGROS 6 Y 7
Para estudiar estos temas puede acceder a la siguiente BIBLIOGRAFIA:
Soluciones matemáticas 8. Editorial Futuro
Desafíos Matemáticos 8. Editorial Norma.
CIBERGRAFIA:
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
http://docente.ucol.mx/elizabeth_daz/productos%20pdf/PRODUCTOS%20Y%20COCIENTES%20NOTABLES.pdf
http://www.slideshare.net/lacienciamatematica/06-multiplicacin-y-divisin-de-polinomios
GUIA DE MATEMÁTICA -8º - LOGRO 9
1. IDENTIFICACACIÓN: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO
ASIGNATURA: MATEMÁTICA PERIODO: 4
TEMA: CASOS DE FACTORIZACIÓN
DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ GÓMEZ
LOGROS: Plantea y resuelve situaciones donde aplique los distintos casos de factorización.
2. SITUACION INICIAL
Observa los siguientes rectángulos
¿Cuál es el polinomio que representa el área de todos los rectángulos anteriores?
Si se organizan los rectángulos, obtenemos un cuadrado. ¿Cual es el área del cuadrado que se forma?
Compara los dos resultados obtenidos. ¿Qué puedes concluir?
3. INTRODUCCIÓN
La factorización es muy importante en el álgebra. No sólo la aprendemos para expresar un polinomio como un
producto de factores también la utilizamos para: simplificar expresiones racionales, efectuar operaciones (suma,
resta, multiplicación y división) de expresiones racionales y resolver ecuaciones que contienen expresiones
racionales, ecuaciones e inecuaciones cuadráticas.
Practica mucho la factorización, puesto que es una herramienta esencial en el desarrollo de tu formación
matemática. La práctica te ayudará a factorizar los ejercicios con mayor rapidez y aplicarlos en la solución de las
diferentes situaciones que lo requieran.
4. ORIENTACION TEMÁTICA
La factorización consiste en transformar una expresión polinómica en un producto de varios factores.
Es el proceso inverso al desarrollo de un producto notable.
EJEMPLO:
a) ab + b² = b(a + b);
b) a² ₋ b² = (a + b)(a – b)
CASOS DE FACTORIZACIÓN
1º CASO: Factor Común.
Toda expresión algebraica es susceptible de tener un factor común. El factor común de una expresión algebraica
está formado por:
1) El M.C.D. de los coeficientes, si lo hay
2) El producto de las letras comunes con su menor exponente.
REGLA: Para factorizar un polinomio con un factor común, dejamos el factor común fuera de un paréntesis y
dentro del paréntesis los resultados de dividir cada término del polinomio por el factor común.
Ejemplo 1:
X² Y²
XY XY
Factorizar: 3t³ – 6t²+ 12𝑡4
Factor común: 3t²
Luego: 3t³– 6t² + 12𝑡4 = 3t² (t – 2 + 4t²)
Ejemplo 2:
Factorizar: 4x³ + 8x⁸ – 16x¶ - 12x
Factor común: 4x
Luego: 4x³ + 8x⁸ – 16x¶ - 12x = 4x(x² + 2𝑥7- 4𝑥5- 3)
2º CASO: Factor común por agrupación de términos.
Se procede agrupando los términos del polinomio dado y luego sacando factor común de cada uno de los
grupos formados. Luego se agrupan los resultados.
Ejemplo1:
Factorizar: 6am – 4ac – 3bm + 2bc
Agrupamos los términos: (6am – 4ac) – (3bm - 2bc) Nótese que el último término cambia de signo.
Sacamos factor común de cada paréntesis:
2a (3m – 2c) – b (3m – 2c)
Se agrupan los resultados:
(2a – b)(3m – 2c)
Ejemplo 2:
Factorizar: m + n – am – an
Agrupamos los términos: (m + n) – (am + an)
Sacamos factor común de cada paréntesis:
1(m + n) – a (m + n)
Agrupamos los resultados: (1 – a) (m + n)
5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
1) 21m2n2 + 24mn2 – 15mn3 =
2) a2 + ab + ac + bc =
3) (x + a)(x - 1) – 2a (x - 1) =
4) bx2 – b – x2 + 1
5) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =
6) x2 + xy + xz + yz =
7) 21ax + 35ay + 20y + 12x
8) 2x2 + 6x + 8x
3 - 12x
4 =
9) a2 + ab + ax + bx
10) ab - 2a - 5b + 10 =
11) ac - a - bc + b + c2 - c =
12) 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
13) am - bm + an - bn
14) 3x2 - 3bx + xy - by
15) ac - a - bc + b + c2 - c =
16) 6x - 12 =
17) 14m2n + 7mn =
18) 10x2y - 15xy
2 + 25xy
19) 3ab + 6ac - 9ad =
20) 10p2q
3 + 14p
3q
2 - 18p
4q
3 - 16p
5q
4
21) babaabba 3322
25
16
15
8
5
12
35
4
22) 6ab + 4a - 15b - 10
CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un Trinomio cuadrado Perfecto es el resultado de desarrollar El Cuadrado de un Binomio. Un trinomio es cuadrado perfecto cuando cumple lo siguiente: a) El primer término tiene raíz cuadrada exacta. b) El tercer término tiene raíz cuadrada exacta. c) El segundo término es igual al doble producto de las dos raíces. Así, X²+ 2XY + Y² es un trinomio cuadrado perfecto porque: ↓ ↑ ↓
X 2(x)(y) Y
Luego, X²+ 2XY + Y² = (X + Y)²
En conclusión: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio elevado al cuadrado y formado por: La raíz cuadrada del
primer término, el signo del segundo término y la raíz cuadrada del tercer término.
Ejemplo 1:
Factorizar: m² – 4m + 4 ↓ ↑ ↓ m 2(m)(2) 2 Luego: m² – 4m + 4 = (m – 2)² Ejemplo 2:
Factorizar: x´ – x² + ¼ ↓ ↑ ↓ X² 2(x²) (1/2) ½ Luego: x´ – x² + ¼ = (X - ½)² CASO 4: Diferencia de Cuadrados:
Una diferencia de cuadrados es el resultado de desarrollar el producto de una suma por la diferencia de dos cantidades. Una diferencia de cuadrados se reconoce cuando cada término tiene raíz cuadrada exacta. Así, X² – Y² es una diferencia de cuadrados. Luego: X² – Y² = (x + y) (x – y) En conclusión: Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces por la diferencia de las mismas raíces. Ejemplo 1:
Factorizar: 25x² – a²b¶ = (5x + ab³) (5x - ab³)
↓ ↓
5X ab³
Ejemplo 2:
Factorizar: 9m² – 16y² = (3m + 4y) (3m - 4y)
ACTIVIDAD
CASO 5: TRINOMIO DE LA FORMA X² + bX + c
Este polinomio tiene su origen en el producto de dos binomios de la forma (x + m) (x + n) = x² + (m+n)x + mn. En este caso la factorización consiste en hallar el valor de n y m, puesto que b = m + n, y c = mn. Ejemplo 1 Factorizar : x² + 8x + 15
En el ejemplo b = 8 y c = 15. Entonces buscamos dos números que sumados den 8 y multiplicados den 15. Estos números son: 5 y 3. Luego x² + 8x + 15 = (x + 5) (x + 3). Ejemplo 2 Factorizar: x² + x ₋ 72 Se buscan dos números cuya diferencia sea 1, su producto -72. Estos son 9 y -8. Luego: x² + x ₋ 72 = (x + 9) (x – 8) Ejemplo 3 Factorizar: a´ - 2a² -24 Se tiene que 4 + (-6) = -2 y (4) (-6) = -24. Luego a´ - 2a² -24 = (a² + 4) (a² - 6)
CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA aX² + bX + c
Para factorizar esta clase de polinomios hacemos transformaciones para reducirlos a expresiones de la forma X² + bX + c, se factorizan como en el caso anterior. El primer paso, consiste en multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente de x², y escribimos el trinomio de la forma x² + bx +c. Se factoriza el numerador de la expresión obtenida como en el caso 5. Al final se factoriza uno de los factores obtenidos (Paréntesis) o ambos y luego se simplifica para eliminar el denominador.
Ejemplo 1 Factorizar 3x² ₋ 5x ₋ 2 El coeficiente de x² es 3. Por lo tanto, 9x² ₋ 5(3x) ₋ 6 = (3x)² ₋ 5(3x) ₋ 6 = (3x –6) (3x + 1) = 3(x – 2) (3x +1) = (x – 2) (3x + 1) 3 3 3 3 Luego: 3x² ₋ 5x ₋ 2 = (x – 2) (3x + 1). Ejemplo 2 Factorizar 4m² + m – 33
16m² + 4m – 132 = (4m)² + 4m -132 = (4m + 12) (4m – 11) = 4 (m + 3) (4m – 11) = (m + 3) (4m – 11)
4 4 4 4 Luego: 4m² + m – 33 = (m + 3) (4m – 11).
CASO 7: FACTORIZACIÓN DE CUBOS PERFECTOS
Un cubo perfecto es el que resulta de elevar un binomio al cubo, es decir, el producto de tres binomios iguales. Esto es a³ + 3a²b +
3ab² + b³ = (a + b)³.
Un cubo perfecto tienen las siguientes características:
El primero y el último término de sus cuatro términos, ordenados con relación a una letra, son cubos perfectos.
El segundo término es más o menos tres veces el cuadrado de la raíz cúbica del primer término, multiplicado por la raíz
cubica del último término.
El tercer término es tres veces la raíz cubica del primer termino, multiplicado por el cuadrado de la raíz cubica del último
termino.
Si todos los términos son positivos, la expresión dada es el cubo de una suma, y si los términos son alternados positivos y
negativos, la expresión dada es el cubo de una diferencia.
Para factorizar un cubo perfecto, se conforma un binomio con las raíces cúbicas del primer y cuarto término separados por el signo
del segundo término.
Ejemplo 1 Factorizar: 8 + 36a + 54a² + 27a³ ↓ ↓ Raíz cubica 2 3a 3(2)²(3a) = 36a 3(2)(3a)² = 54a² Luego: 8 + 36a + 54a² + 27a³ = (2 + 3a)³
Ejemplo 2 Factorizar 8x³ - 12x² + 6x – 1 ↓ ↓ 2x 1 3(2x)²(1) = 12x² 3(2x) (1)² = 6x Luego: 8x³ - 12x² + 6x – 1 = (2x – 1)³
CASO 8: FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES.
Teniendo en cuenta los cocientes notables y sus criterios de divisibilidad se factoriza asi:
Si n es impar : (𝑎𝑛+ 𝑏𝑛 ) = ( a + b) (𝑎𝑛−1₋ 𝑎𝑛−2b + 𝑎𝑛−3b²- … + 𝑏𝑛−1)
Si n es par o impar: (𝑎𝑛 - 𝑏𝑛 ) = ( a - b) (𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2b + 𝑎𝑛−3b²+ … + 𝑏𝑛−1)
Si n es par : (𝑎𝑛 - 𝑏𝑛 ) = ( a + b) (𝑎𝑛−1₋ 𝑎𝑛−2b + 𝑎𝑛−3b²- … + 𝑏𝑛−1)
Ejemplo 1
Factorizar: y3 – 27 Como n es impar entonces se tiene: Y³ - 27 = Y³ - 3³ = (Y – 3) (Y² + Y (3) + 3²) = (Y – 3) (Y² + 3Y + 9).
Ejemplo 2 Factorizar : 243 + 32bµ 243 + 32bµ = 3µ + (2b)µ = (3 + 2b) (3´ - 3³(2b) + 3²(2b)² - 3(2b)³ + (2b)´) = (3 + 2b) (81 – 54b + 36b² - 24b³ + 16b´) ACTIVIDAD Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
1. m2n2 + 24mn2 – 15mn3 =
2. a2 + ab + ac + bc =
3. y2 – 13y – 14 =
4. x2 + 21x – 100 =
5. 16x2 –24xy + 9y2 =
6. 4a6 – 4b4 =
7. 0,25 – 0,09x2 =
8. 21ax + 35ay + 20y + 12x =
9. b¶- b3 =
10. (x + a)(x - 1) – 2a (x - 1) =
11. 6m2 - 7m - 3 =
12. 3x2 - 5x - 2 =
13. 8y2 - 18 =
14. x4 - 64y4
CIBERGRAFIA
http://recursostic.educacion.es/descartes/we
b/materiales_didacticos/Polinomios/polinomi
os2.htm
http://sites.google.com/site/rinconmatematic
oesmauxi/rinconmatematico/math-8o-
2010/estudiemos-expresiones-
algebraicas/factorizando-ando/caso-i-
factorizacin-de-polinomios
http://wikieducator.org/Matematicas_GECen
eval286/Algebra/Polinomios/Factorizacion