Actividad_entregable_1

Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa I

Parcial de estudio: Primero

Introduccin

La programacin lineal (PL) es una clase de modelos de programacin matemtica destinados a la asignacin eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La caracterstica distintiva de los modelos de PL es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales, es decir; inecuaciones o ecuaciones de primer grado. La PL tuvo sus orgenes a raz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Dantzin, realiz investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operacin areo-militar. Leonfiel aport principalmente en relaciones interindustriales a travs de su matriz de insumo-producto. Koopmans incursion profundamente en aplicaciones microeconmicas resolviendo casos de produccin, asignacin de recursos, maximizacin de beneficios, minimizacin de costos, entre otras aplicaciones. La PL es un modelo sistemtico y matemtico de enfocar determinado problema para lograr una solucin ptima o la mejor posible, empleando una ecuacin objetivo (propsito del problema), un conjunto de restricciones lineales y una condicin de eliminar valores negativos (condicin de no negatividad). Asesora didctica A partir del presente semestre para la asignatura de Investigacin de Operaciones I en el Departamento se ha decidido optar por el texto Investigacin de operaciones, novena edicin, 2010, del autor Hamdy A.TAHA. En lo personal considero que este texto, a travs de sus captulos, le presenta una secuencia lgica llevndolo a travs de los mtodos matemticos de la investigacin de operaciones, iniciando con una importante introduccin sobre Qu es la investigacin de operaciones?, adems de constituirse en un material de mucha utilidad para la segunda parte de la asignatura Investigacin de Operaciones II. Como mencionado fuere, importante es la revisin analtica por su parte del captulo 1, Qu es la investigacin de operaciones?. Esta parte introductoria le permite hacer conocer de manera integral la programacin lineal, los modelos matemticos, trminos especficos que sern utilizados a lo largo del recorrido del texto y en detalle las fases de un estudio de investigacin de operaciones. A partir del captulo 2 entraremos directamente en materia con el Modelado a travs de la programacin lineal y los trminos y conceptos empleados, as como la metodologa de solucin grafica de la programacin lineal, objetivo especfico del primer parcial de nuestra asignatura. Veremos la metodologa de solucin de los dos modelos y los aplicativos informticos que pueden apoyar nuestras actividades. A travs de los conceptos emitidos en el captulo 3, podremos comprender la metodologa de solucin empleando el mtodo simplex y su correspondiente anlisis de sensibilidad, actividad final del primer parcial e inicio del segundo parcial respectivamente. Para poder detenernos en cada uno de los temas expuesto en los captulos del 1 al 3, deberemos ir resolviendo ejercicios que nos permita comprender de manera prctica la metodologa expuesta por el autor, con lo que obtendremos las competencias necesarias para resolver grfica, analtica y algbricamente los mtodos sugeridos, con ello nos ser ms fcil comprender el procedimiento de los aplicativos informticos que ahora estn disponibles para facilitar la solucin de los ejercicios planteados, pues las reas de aplicacin a donde se orienta es la industria en general y dentro de esta con mejores opciones en la industria qumica, hierro y acero, papel y cartn, petrleo, farmacuticos, alimenticios y textil. Con aplicaciones tambin en la agricultura, construccin, aviacin, sistemas hidroelctricos, transporte, etc.



Recuerde realizar una revisin detallada de los ndices que el autor presenta antes del captulo 1, donde recomienda el material disponible en el sitio web del libro y la categorizacin por herramienta de los archivos en el sitio web, que le ser de mucha utilidad y lo emplearemos en el presente semestre. Conceptos bsicos Linealidad Todo proceso, actividad o relacin lineal utilizada se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los dems y a las cantidades de cada uno de los productos. Divisibilidad Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos. Finitud Tanto el nmero de procesos identificados cuanto los recursos disponibles, debern corresponder a cantidades finitas, esto es, conocidas y cuantificadas en forma determinstica. Algoritmos o iteraciones Como se dijo anteriormente, la Investigacin de Operaciones en lo que a PL se refiere utiliza mtodos matemticos con aproximaciones sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o iteraciones, y segn los cuales se determinan pasos o etapas hasta obtener el meta planteada. El problema general de la PL Los problemas de la PL se presentan por la limitacin de recursos que se tratan de distribuir de la mejor forma. Los recursos a la vez que son limitados en trminos per se (por s mismo) pueden ser distribuidos en tantas formas como combinaciones matemticas permitan relacionarlos a un mismo objetivo, de all que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armnica entre los factores que intervienen en el problema, a fin de encontrar las mejores alternativas de uso, cumpliendo con el propsito fijado. Un problema de PL trae implcitamente el sentido de funcin, propsito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisin). Los problemas de PL planteados y resueltos por cualquiera de los mtodos debern cumplir cuatro condiciones necesarias y suficientes: 1. Funcin objetivo Planteamiento de la funcin objetivo, es la ecuacin que expresa la cantidad que va a ser maximizada o minimizada segn sea el propsito del problema planteado y es de la forma: nnXCXCXCXCXCZ ......................44332211

Z(MAX) para los casos de maximizacin Z(MIN) para los de minimizacin DONDE:



nCCCCC .............,,, 4321 Son los coeficientes de la funcin objetivo, que pueden ser mrgenes de beneficios, precios, costos unitarios, etc.

nXXXXX ............,,, 4321 Son las variables del problema, lo que queremos lograr.

2. Limitaciones y restricciones Determinacin del conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan las condiciones finitas del problema, denominadas tambin COEFICIENTES TCNICOS de produccin, tecnolgicos, de transporte, etc., segn sea el caso de estudio. Su planteamiento responde a una expresin matricial.

nnnmnmmm

nn

nn

nn

bTXAXAXAXA

bTXAXAXAXAbTXAXAXAXAbTXAXAXAXA

..............

......................................................................................

......................................................................................

...............

...............

...............

332211

333333232131

222323222121

1113132121.11

Donde:

mnmmm

n

n

n

AAAA

AAAAAAAAAAAA

.........

............................

............................

..........

..........

..........

321

3333231

2232221

1131211

Son los coeficientes tcnicos

nXXXX ..........,, 321 Son las variables o incgnitas del problema

nTTTT .............,, 321 Son los signos o lmites del sistema

Igual o menor que Mayor o igual que Igual

3. No negatividad Condicin de la resolucin de los problemas de PL, que indica que en ningn caso se aceptar resultados negativos en las respuestas, pues, no se concibe produccin negativa, gastos negativos, tendrn que ser por lo menos igual o mayor que cero.

Xn 0 4. Condiciones de optimizacin



Esto es parte del desarrollo del modelo, donde se van obteniendo por aproximaciones sucesivas, hasta llegar a la solucin factible, aquella que satisface las limitaciones y restricciones planteadas del problema. Entonces, solucin bsica factible, es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones, como la funcin objetivo del problema (optimizacin). Para su solucin se emplea un procedimiento muy eficiente llamado, mtodo Simplex, Captulo 3, se fundamenta en el lgebra, pero es necesario comprender inicialmente conceptos geomtricos, sobre la forma en que opera el mtodo y las razones de su eficiencia, tanto en problemas de maximizacin como de minimizacin. Por ello la necesidad de inicialmente revisar y trabajar en ejercicios del Captulo 3, donde nos centramos en la solucin grafica de problemas de PL, trabajando paso a paso en la formulacin del modelo y en la solucin de ejercicios planteados solo a travs de solucin de ecuaciones. Posterior a ello, analizaremos y trabajaremos en el mtodo Simplex, que es un proceso repetitivo numrico que permite alcanzar la solucin ptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solucin bsica; si esta solucin bsica factible tomada como punto de partida no satisface, es necesario tomar otra solucin que nos da un valor para Z mayor o menor y as sucesivamente hasta llegar a la solucin final. Es un mtodo iterativo (aproximaciones sucesivas), fue ideado por George Dantrig (1947) quien realiz investigaciones basado en relaciones matemticas de carcter lineal. Existen tres requisitos en la solucin de un problema de programacin lineal por el mtodo simplex.

a) Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. b) El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. c) Todas las variables estn restringidas a valores no negativos.

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1

Planteamientos

Del texto enunciado, lea con detenimiento el captulo 1: Qu es la investigacin de operaciones? Constituye una excelente introduccin para el planteamiento de ejercicios de programacin lineal. Recuerde leer todo el captulo 1, no llegue solamente a la p. 4, donde debe resolver los siguientes ejercicios, finalice con la lectura comprensiva del captulo. Del captulo 1, en la pgina 4, conjunto de problemas 1.2 A, resuelva los ejercicios 1 y 4. Captulo 2, lea de manera comprensiva todo el captulo y le ser de mucha utilidad para la solucin y planteamiento de los ejercicios que a continuacin se solicitan. Del conjunto de problemas 2.1 A (a partir de la p. 15) resuelva los ejercicios 1, 2 y 4. Seguidamente, del conjunto de problemas 2.2 A (a partir de la pgina 20), resuelva el ejercicio 3.

Objetivos 1. Comprender la metodologa de la PL, empleando inicialmente el planteamiento y



la geometra, para llegar a determinar las soluciones ptimas a los problemas. 2. Comprender los criterios pesimista, optimista y de valor esperado.

Orientaciones didcticas

Solucin grfica El mtodo grfico permite una comprensin visual de la resolucin de un problema. De acuerdo con las condiciones deber cumplir con los cuatro requisitos bsicos.

1. Funcin objetivo 2. Conjunto de limitaciones o restricciones 3. Condicin de no negatividad 4. Condiciones u optimizacin

4.1. Solucin factible 4.2. Solucin bsica factible 4.3. Solucin ptima factible Mediante el mtodo grfico se trata de resolver por aproximaciones o interacciones grficas las posibilidades de mejorar las soluciones de conformidad a la funcin objetivo determinada. Maximizacin 2211)( XCXCMAXZ Cuando se trata de problemas de maximizacin, la solucin est determinada por la regin interior formada por el polgono convexo. Para este caso se utilizarn las expresiones (menor o igual) lo que indica que la empresa no podr utilizar ms recursos de los que dispone (Finitud) y los coeficientes de X1 y X2 corresponden a las necesidades tcnicas de produccin. Las restricciones o limitaciones sern:

3232131

2222121

1212111

bXAXAbXAXAbXAXA

0, 21 XX La funcin objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas paralelas con pendiente.

2

1

CCM

Donde C1 es el coeficiente de X1 y C2 el coeficiente de X2. Cada recta indica un conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idntico.

Criterios de evaluacin

Desarrollo de ejercicios y la evaluacin de los mismos.



Actividad de aprendizaje 1.2. Planteamiento

Realice una lectura del tema Mtodo SIMPLEX del captulo 3 (a partir de la pgina 70) y del conjunto de problemas 3.1B, resuelva el ejercicio 1.

Objetivos

1. Resolver manualmente problemas de PL empleando el mtodo SIMPLEX. 2. Explicar detalladamente por qu el mtodo simplex encuentra soluciones ptimas

para problemas de programacin lineal.


Procedimiento

Cualquiera que sea el nmero de inecuaciones y de incgnitas de un sistema, este por s mismo se ajusta a un tratamiento de identificacin que nos d una idea de que sea sujeto de solucin.

Cuando el sistema rene a un nmero de ecuaciones inferior al nmero de incgnitas, existen muchas soluciones. Justamente este es el caso ms frecuente de los problemas de programacin lineal, de all que es necesario introducir (+) variables de Holgura en los casos de la expresin (igual o menor), restar (-) variables de holgura e introducir variables artificiales en los casos de (mayor o igual) y en los casos de = se introducen variables artificiales con signo ms.

+ VARIABLE DE HOLGURA - VARIABLE DE HOLGURA + VARIABLE ARTIFICIAL = + VARIABLE ARTIFICIAL

Cada caso se comprender con un ejemplo y as podremos establecer su similitud y diferencias.

MAXIMIZACIN MEDIANTE SIMPLEX En problemas de matizacin (Ej. Produccin) se debe tomar en cuenta. PLANTEAMIENTO Identificacin de Producto I = X1

Variables Producto II = X2 Producto III = X3 Producto IV = X4

Funcin objetivo Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + C3X3+ ------------ + CnXn

Limitaciones o restricciones A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----------------- + A1nXn b1 A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----------------- + A2nXn b2 A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----------------- + A3nXn b3 ................................................................................... Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----------------- + AmnXn bn

No negatividad



Xj 0 SOLUCIN

Cuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe solucin nica, si no que implica muchas posibilidades, razn por la cual el mtodo simplex va generando soluciones bsicas.

Introduccin de variables de holgura

Como el primer miembro de la inecuacin es inferior al otro, es necesario introducir una variable denominada de HOLGURA que cubra imaginariamente el valor faltante, para convertirlo en igualdad.

S1, S2, S3, ..... Sn = Variables de Holgura

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----- + A1nXn + S1 = b1 A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----- + A2nXn + S2 = b2 A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----- + A3nXn + S3 = b3 ............................................................................................... Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----- + AmXn + ---------------+ Sn = bn

Al convertir el sistema de desigualdades en un sistema de ecuaciones mediante la introduccin de variables de holgura, se ha logrado un importante punto de partida. Estas variables en la funcin objetivo irn antepuestas de un coeficiente cero de beneficio.

Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + ---- + CnXn + 0S1 + 0S2 + ---- + 0Sn Generacin de una solucin bsica factible

En el caso de un ejemplo de produccin, el primer supuesto o alternativa del mtodo simplex es no fabricar nada de los productos reales (variables fundamentales), esto quiere decir dar respuesta al sistema manteniendo inutilizados los recursos existentes, es decir:

X1 = 0 S1 = b1 X2 = 0 S2 = b2 X3 = 0 S3 = b3 ...................................... Xn = 0 Sn = bn Proceso iterativo

En funcin de los criterios del mtodo simplex se van obteniendo ensayos, interacciones o algoritmos hasta lograr la respuesta ideal.

El objetivo es ir eliminando las variables de holgura e irlas reemplazando por alternativas en funcin de variables fundamentales, propsito del problema.

El proceso se lo desarrolla por cuadros o etapas. Cada una de ellas nos representar una mejor combinacin de produccin y un mayor beneficio, para lo cual se necesita aplicar el mtodo matricial de coeficientes.

Cj = Coeficiente de la funcin objetivo

Xj = Solucin bsica de cada etapa: es la base vectorial que da solucin al sistema.



* = Elemento Pivote = Elementos semipivotales

bn = Parmetros; datos conocidos, nos indican la cuantificacin de recursos.

Zj = Valores que va tomando la funcin objetivo en cada posicin.

Se la conoce como el "Criterio del simplex; permite continuar o no con la generacin de alternativas.

Cuando la expresin Cj - Zj corresponde en todas las posiciones a valores NEGATIVOS O CEROS habr terminado el problema de maximizacin.

Pasos para formar la nueva tabla

Se elige el elemento (Cj - Zj) de mayor valor positivo, la variable que le corresponde debe entrar a la base de la nueva tabla para mejorar la solucin.

Para determinar que fila sale, se obtiene el elemento pivote, el que es la interseccin de la columna que ingresa y la fila que sale, para lo cual se dividen los elementos de la columna de bn para los elementos de la columna que ingres, se escoge el menor cociente que representar al pivote, los restantes elementos de la columna son los semipivotes. No se toma en cuenta la divisin para nmeros negativos o cero.

Formar los nuevos elementos de la fila de la variable de holgura que es reemplazada por la variable fundamental, basndose en el elemento PIVOTE, que se encuentra en la interseccin de la columna que entra y la fila que sale.

Los restantes elementos de la columna que entra se denominan SEMIPIVOTES ()

Los elementos de las dems filas se obtienen restando los elementos anteriores de dicha fila menos los elementos de la nueva fila que ingres, multiplicados por el semipivote correspondiente.

Elementos de otra fila Zj se obtiene multiplicando el coeficiente de la variable fundamental que ingres por todos los elementos de dicha fila.

Obtenemos la fila Cj - Zj, restando los elementos de la fila de Cj menos los elementos de la fila Zj, si todos sus elementos son negativos o ceros el proceso ha terminado, esto quiere decir que la tabla es ptima, caso contrario construimos una nueva tabla, eliminando el mayor positivo que exista y realizar el mismo proceso anterior.

El mximo beneficio est dado por el valor del elemento de Zj de la columna bn. EL MTODO SIMPLEX EN LOS CASOS DE MINIMIZACIN Los casos de minimizacin se resuelven empleado tambin la metodologa conocida Simplex, con algunas variaciones. En los problemas de minimizacin se introduce variables de holgura con signo negativo y las variables artificiales con signo positivo.

Sj = Variables de holgura

PIVOTEANTERIORESELEMENTOS

FILANUEVALADEELEMENTOS ""



mj = Variables artificiales Las variables artificiales tienen un coeficiente (M) que es un valor indeterminado. Cuando hay variables de holgura y artificiales, primero se eliminan las artificiales, luego las de holgura. Si la restriccin es una igualdad, entonces se introduce solamente variables artificiales con signo positivo. Maximizacin () + SJ Minimizacin () Sj + mj Igualdad (=) + mj Para resolver un problema de minimizacin, se empieza eliminando los mayores valores positivos M de la fila Cj - Zj. El proceso habr concluido cuando en la fila Cj Zj queden valores negativos o ceros. La funcin objetivo se representar por Z(MIN) y las variables artificiales llevarn en esta funcin un coeficiente M. Z(MIN) = ?X1 + ?X2 ---- + 0S1 + 0S2 + ------ + Mn1 + Mm2 --- Mmn Restricciones, variables de holgura y artificiales

A11X1 + A12X2 - S1 + m1 = b1 A21X1 + A22X2 - S2 + m2 = b2 A31X1 + A32X2 -S3 + m3 = b3 ------------------------------------------------------------------

Xj 0



Actividad de aprendizaje 1.3.

Planteamiento

Como se haba manifestado inicialmente, el inters tambin es introducirle en la experiencia del empleo de las herramientas informticas para la soluciones de este tipo de ejercicios; en consecuencia, y empleando las herramientas de software sugeridas por el autor en el texto o el programa explicado a continuacin en la presente actividad, resuelva: - Del captulo 3 (a partir de la pgina 70), del conjunto de problemas 3.1 B,

resuelva el problema 1, empleando nicamente las herramientas informticas que usted considere ms apropiadas.

Objetivo Emplear las herramientas de software sugeridas por los autores del texto gua para resolver problemas bsicos de PL.


PROGRAMA EXCEL SOLVER En su programa de EXCEL deber incluir las herramientas y complementos para resolver los pedidos. De manera que cuente con las instrucciones superiores que a continuacin de la pestaa VISTA en Excel se presenta, como en el grafico siguiente.



UTILIZACIN DEL PROGRAMA QM for windows EJERCICIO

Un fabricante produce tres modelos I, II y III de cierto producto utilizando materias primas A y B. La siguiente tabla proporciona los datos para el problema.

Requerimientos por unidad

Materia prima I II III Disponibilidad

A 2 3 5 4.000

B 4 2 7 6.000

Demanda mnima 200 200 150

Unidad por unidad ($) 30 20 50

El tiempo de mano de obra por unidad del modelo I es el doble del II y el triple del III. Todos los trabajadores de la fbrica pueden producir el equivalente de 1.500 unidades del modelo I. Los requerimientos del mercado especifican las proporciones de 3:2:5 para la produccin de los tres modelos respectivos. a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solucin ptima. b) Supongamos que el fabricante puede comprar unidades adicionales de la

materia prima A a 12 dlares por unidad. Sera aconsejable hacerlo? c) Recomendara usted que el fabricante comprara unidades adicionales de la

materia prima B a 5 dlares por unidad? Funcin objetivo

321 502030)(

XXXMAXZ

producidasunidadesdeNX J



Restricciones y limitaciones ORIGINALES TRANSFORMADAS

0150200200

51

21

21

31

150031

21

60007244000532

3

2

1

32

1

321

31

321

JXXXX

XX

XX

XXX

XXXXXX

0150200200

025032

900023660007244000532

3

2

1

32

21

321

31

321

JXX

XX

XXXX

XXX

XXXXXX



Para regresar a los datos de clic en Solve



Formato de entrega Archivo de Microsoft Office 2003.



Puntaje por actividad

El tutor de la asignatura

Enviar a

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Actividades de aprendizaje Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1 (captulo 1, un punto; captulo 2, 2 puntos cada ejercicio)

10

Actividad de aprendizaje 1.2 (seis puntos) 6 Actividad de aprendizaje 1.3. 4 TOTAL DE LA ACTIVIDAD DEL PRESENTE PERIODO 20

En caso de que el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, frmulas, esquemas o grficos, estos sern incluidos como parte del examen

o en un anexo. El examen ser sin consulta.

Documents

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