Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
1
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I
Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001
Fecha Actualización
Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum
Carrera/s Todas N°
APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)
Reconoce el límite como el valor de tendencia de una función
Calcula el límite de una función.
Resuelve problemas aplicando el concepto de límite.
NOMBRE DE LA ACTIVIDAD
Aplicaciones de límites de funciones y límites laterales.
Modalidad
□ Presencial
□ No Presencial
Duración de la actividad (horas):
__________________________
Forma de trabajo:
□ Individual
□ Grupal
- Tamaño del grupo:
□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8
Lugar:
□ Sala de clases
□ Laboratorio (especifique)_____________
□ Taller (especifique)_____________
□ Terreno (especifique)_____________
□ Otros (especifique)_____________
Recursos de información:
□ Impreso
___________________________________________
□ Tecnológico
___________________________________________
□ Informático
___________________________________________
Material de apoyo para la actividad:
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
2
I Límite de funciones.
1. Considere la función 5)( xxf
a) ¿Existe )1(f ?
b) Haga una tabla de valores de )(xf con x cercanos a -1 (por cualquiera de
los lados de -1). Investigue qué pasa con las imágenes )(xf cuando x se
acerca a -1.
2. Considere la función 2
4)(
2
x
xxf
a) ¿Existe )2(f ?
b) Haga una tabla de valores de )(xf con cercanos a -2 (por cualquiera de los
lados de -2). Investigue qué pasa con las imágenes )(xf cuando x se
acerca a -2.
3. Calcule los siguientes límites:
a) 4
32
2lim
x
x
b) 2122
423320
lim
x
x
x
c) )1632( 32
4lim
xx
x
d) )12( 2
2lim
tx
x
e) 1
542
1lim
x
xx
x
DEFINICIÓN Significado intuitivo de límite
Decir que Lxfcx
)(lim significa que cuando x está cerca de c , pero diferente de
c , entonces )(xf está cerca de L .
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
3
4. Calcule los siguientes límites:
a) 2
234
0
2lim
x
xxx
x
b) 3
92
3lim
x
x
x
c) 7
2142
7lim
t
tt
t
d) h
h
h
4)2( 2
0lim
e) h
xhx
h
22
0
)(lim
II Límites Laterales.
LÍMITES LATERALES
DEFINICIÓN Límites por la derecha y por la izquierda
Decir que Lxfcx
)(lim , significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de c ,
entonces )(xf está cerca de L . De manera análoga, decir que Lxfcx
)(lim ,
significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de c , entonces )(xf está
cerca de L .
TEOREMA:
LxfxfLxfcxcxcx
)(lim)(lim)(lim
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
4
5. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 2x , indicando si existe el
límite de la función para ese valor.
2;13
2;3)(
x x
x xxf
6. A continuación se muestra el gráfico de una función )(xg . Calcule el límite de la
función en 0x :
7. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 3x , indicando si existe el
límite de la función para ese valor.
3;3
128
3;3
9
)(
2
x x
x
x x
x
xf
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
5
8. A continuación se muestra el gráfico de una función )(xf . Calcule el límite de la
función en 1x :
9. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 3x , e indique si existe el
límite de la función para dicho valor.
3;3
642
3;8
3;3
152
)(
2
2
xx
xx
x
xx
xx
xf
10. Calcule los límites laterales de la función )(xf en el punto 0x y 2x , cuyo
gráfico está a continuación:
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
6
11. El costo de arriendo diario de un vehículo está dado por: xxC 100000.10)( ,
donde x representa la cantidad de kilómetros recorridos, con la restricción de
que el vehículo debe recorrer menos de 1.500 km al día. Determine a que valor
tiende el costo de arriendo cuando los kilómetros recorridos tienden a los 1.500
km.
12. La pendiente de la recta tangente a la curva 2)( xxf , en 2x , está dada por
la expresión: h
hh
h
42
0lim
. Determine la pendiente de la recta tangente a la curva
en ese punto.
13. Supongamos que bajo una intensidad luminosa x, el diámetro (en milímetros) de
la pupila viene dado por: 4,0
4,0
154
90160)(
x
xxf
. Hallar el diámetro de la pupila bajo
una intensidad casi nula.
14. En estos tiempos eliminar la contaminación en un 100% es muy difícil, casi
imposible. Si el costo (en dólares) de eliminar x% de la contaminación del agua
en cierto riachuelo está dado por: x
xxC
100
000.75)( ; 1000 x . Determine que
ocurre con el costo cuando el porcentaje de contaminación eliminado tiende al
100%.
15. Suponga que la cantidad de horas-trabajador requeridas para distribuir nuevas
guías telefónicas al x% de las familias de una cierta comunidad rural está dada
por la función: x
xxf
300
600)( . Determine a qué cantidad de horas-trabajador
tiende la función cuando se han repartido casi el 100% de las guías telefónicas.
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
7
III Límites al infinito.
LÍMITES AL INFINITO ELEMENTALES
i) 0lim nx x
C , Si 0n y C es un número real
ii) CCx
lim , Si C es un número real
16. Cuesta 574 xxc miles de dólares producir x unidades de un artículo. La
función costo medio está dada por x
xcxA , para 0x .
¿Qué sucede con el costo medio xA cuando la producción aumenta
indefinidamente?
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
8
17. El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la
función:
03,05,0
1002
2
xx
xxp
donde xp es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando se utilicen
x unidades de droga.
¿Qué sucede con el porcentaje de alivio
xp cuando el número de unidades de
droga aumenta indefinidamente?
18. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis, x días
después del primer caso reportado, está dado por:
322
1002
x
xxp
¿Qué sucede con el porcentaje de
estudiantes que sufre de mononucleosis
xp a largo plazo?
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
9
19. Para estudiar la tasa de aprendizaje de los animales, se realizo un experimento
en el que se enviaba una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga
que el tiempo requerido para que la rata atraviese el laberinto en el n-ésimo
intento era aproximadamente n
nnT
175)(
minutos.
¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto a medida
que aumenta indefinidamente el número de intentos n ?
20. Un alambre se estira horizontalmente, como se muestra en la figura. Se realiza
un experimento en el cual se fijan diferentes pesas en el centro y se miden los
desplazamientos verticales correspondientes. Si la resistencia del alambre está
dado por: 1
100)(
3
2
w
wwR
¿Qué ocurre con la resistencia del alambre a medida que aumenta
indefinidamente el peso w ?
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
10
SOLUCIONES
1. a) 4)1( f
b)
x -0.9 -0.999 -0.9999 -1.001 -1.01 -1.1
)(xf 4,1 4,001 4,0001 3,999 3,99 3,9
Respuesta: Examinando las imágenes de elementos cercanos a -1, se observa que las
imágenes se acercan a 4.
Luego 4)(1
lim
xfx
2. a) 0
0)2( f , no existe imagen
b)
x -1.9 -1.999 -1.9999 -2.001 -2.01 -2.1
)(xf -3,9 -3,999 -3,9999 -4,001 -4,01 -4,1
Respuesta: Examinando las imágenes de elementos cercanos a -2, se observa que
las imágenes se acercan a -4.
Luego 4)(2
lim
xfx
3.
a) 4
1
b) 2
c) 240
d) 32 t
e) 4
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
11
4.
a) 1
b) 6
c) 10
d) 4
e) x2
5. 5)3( 2
lim
xx
7)13(2
lim
x x
;
)()(22
limlim xfxfxx
)(2
lim xfx
6. 2)( 0
lim
xfx
; 1)( 0
lim
xfx
;
)()(00
limlim xfxfxx
)(0
lim xfx
7. 6)3(3
9
33
limlim
xx
x
x
2
x
63
128
3
lim
x
x
x
; 6)()()(333
limlimlim
xfxfxfxxx
8. 6)(1
lim
xf x
; 6)(1
lim
xf x
; 6)()()(111
limlimlim
xfxfxfxxx
9. 8)5(3
152
33
limlim
xx
xx
x
2
x
8)1(23
642
3
2
3
limlim
x x
xx
xx
; 8)()()(333
limlimlim
xfxfxfxxx
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
12
10. Para el punto 0x , tenemos que:
2)( 0
lim
xfx
; 2)( 0
lim
xfx
; 2)()()(000
limlimlim
xfxfxfxxx
Para el punto 2x , tenemos que
0)( 2
lim
xfx
; 0)(2
lim
xfx
; 0)()()(222
limlimlim
xfxfxfxxx
11. 000.160)100000.10(500.1
lim
x x
Respuesta: El costo del arriendo tiende a $160.000.
12. 4)4()4(4
00
2
0limlimlim
h
h
hh
h
hh
hhh
Respuesta: La pendiente de la recta tangente a la curva 2xxf en 2x es 4.
13. 404
160
154
901604,0
4,0
0lim
x
x
x
Respuesta: El diámetro de la pupila es de 40 mm.
14. existeNox
x
x
0
000.500.7
100
000.75
100lim
Respuesta: El costo aumenta indefinidamente.
15. 300200
000.60
300
600
100lim
x
x
x
Respuesta: La cantidad de horas tiende a 300 horas.
Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
13
16. El costo medio xA tiende a 4.000 dólares.
17. El porcentaje de alivio del dolor xp se acerca al 100%.
18. El porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis xp se acerca al 0%.
19. El tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto a medida que aumenta
indefinidamente el número de intentos se acerca a 5 minutos.
20. La resistencia del alambre tiende a 0.