ACTIVIDAD 4 MATEMATICA 1. Gustavo Miguel Fernndez.

PARTE A - Enunciado 27 :

B se obtiene de A realizando s intercambios de filas y t intercambios de columnas, det detB s t A ? Si B se obtiene de A realizando s intercambios de filas tenemos que:det = (1) det Si B se obtiene de A realizando t intercambios de columnas tenemos que:det = (1) det Por lo tanto si B se obtiene de A realizando s intercambios de filas y t intercambios de columnastenemos:

= ()() (. )(Solo se cumple para s = t = 1)

PARTE B - Enunciado 21 :

La actividad consiste en seleccionar un enunciado. Luego:

Modelice matemticamente la situacin.En particular y previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL. Construya el SEL.

Resuelva el SEL por Regla de Cramer usando alguno de los paquetes informticos OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alphahttp://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, Wiris http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Si usa los tres podr comparar resultados y/o practicar su manejo. Capture imgenes.

Resuelva el SEL por Mtodo de la matriz inversa, usando alguno de los paquetes informticos: OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alphahttp://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, Wiris http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Si usa los tres podr comparar resultados y/o practicar su manejo. Capture imgenes.

Los resultados coinciden?

Puntaje mximo: 10 puntos.

Una empresa piensa pagar un premio anual por productividad a sus empleados, el monto total es de $100.000, distribuido de la siguiente forma: los jefes debern cobrar el doble que los encargados, y los encargados el doble que los empleados comunes. La empresa cuenta con 3 departamentos, el 1 cuenta con 1 jefe, 2 encargados y 13 empleados comunes, el 2 con 1 jefe, 3 encargados y 23 empleados comunes y el 3 con 1 jefe, 2 encargados y 18 empleados

comunes. Cunto cobrar cada jefe, cada encargado y cada empleado comn? Cunto se distribuye en cada departamento? Recopilemos los datos del problema : Premio anual : $100000. Premio jefes = 2 x Premio encargados. Premio encargados = 2 x Premio empleados. Por lo tanto: Premio jefes = 4 x Premio empleados. Llamemos premio bsico al premio designado a los empleados, en la siguiente tabla vemos como se asignan los premios segn las distintas categoras:

Categora Premio Empleado 1 premio bsico Encargado 2 premios bsicos Jefe 4 Premios bsicos En la siguiente tabla visualizamos como se distribuye el personal y los premios entre los distintos departamentos:

Jefes Encargados Empleados Premio x depto (en premios bsicos) Departamento 1 1 2 13 1 x 4 + 2 x 2 + 13 x 1 = 21 Departamento 2 1 3 23 1 x 4 + 3 x 2 + 23 x 1 = 33 Departamento 3 1 2 18 1 x 4 + 2 x 2 + 18 x 1 = 26

Podemos ver que se pagaran en total : 21 + 33 + 26 = 80 premios bsicos. Como el dinero total destinado a premios es $100000, tenemos que cada premio bsico es de $10000/80 = $1250. Podemos rehacer la tabla anterior donde mostraremos el dinero que recibe cada sector en concepto de premios :

Jefes Encargados Empleados Premio x depto en $ Departamento 1 1 2 13 21 x 1250 = 26250 Departamento 2 1 3 23 33 x 1250 = 41250 Departamento 3 1 2 18 26 x 1250 = 32500

Nota importante : desde mi punto de vista el problema ya est resuelto puesto que hemos calculado el valor del premio bsico que es el que cobran los empleados. El premio de encargados y jefes se calculan en base al premio bsico multiplicando por 2 y por 4 respectivamente. Como estamos estudiando la resolucin de SEL, vamos a plantearlo de ese modo. Podemos ahora asignar las variables del SEL:

Premio en $ de cada jefe x Premio en $ de cada encargado y Premio en $ de cada empleado z

Basndonos en las ltimas tablas podemos construir el siguiente SEL: x + 2y + 13z = 26250 x + 3y + 23z = 41250 x + 2y + 18z = 32500 y en forma matricial :

1 2 131 3 231 2 18 . = 262504125032500

Vamos a resolver el SEL aplicando la regla de Cramer.

Y ahora resolvemos el SEL por el mtodo de la inversa:

Y por ltimo en la siguiente tabla dejamos plasmados todos los resultados obtenidos:

Monto asignado para premios $100000 Premio de cada jefe $ 5000

Premio de cada encargado $ 2500 Premio de cada empleado $ 1250

Monto para premios asignado al departamento 1 $ 26250 Monto para premios asignado al departamento 2 $ 41250 Monto para premios asignado al departamento 3 $ 32500

PARTE B - Enunciado 27 :

Use Wiris (http://www.wiris.net/demo/wiris/es/index.html)

Determine el valor de k para la cual el SEL asociado a la correspondiente matriz de coeficientes A no pueda resolverse usando la Regla de Cramer ni el mtodo de la inversa 1X A B . Comparta en el foro la respuesta.

1 1 12 0 11 2 3

Ak k

Para que el SEL no pueda resolverse usando Regla de Cramer o mtodo de la inversa, se debe cumplir que el

determinante de la matriz de coeficientes es cero.

Calculamos el determinante de A.

Hacemos : 0 = det A = 4k + 1 4k + 1 = 0 4k = 1 =

Conclusin : Para que el SEL no pueda resolverse usando Regla de Crter o mtodo de la inversa, se debe cumplir

que k=1/4.

Parte C. Individual.

La actividad consiste en seleccionar un enunciado de cada apartado de la autoevaluacin y fundamentar su respuesta correcta.

Puntaje mximo: 20 puntos.

La definicin de determinante segn nuestro apunte dice:

Dada un matriz cuadrada A se define el nmero real Determinante de A a la suma de todos los productos elementales con signo tomados de A.

Por otra parte vemos que los productos elementales son productos entre elementos de una matriz, es decir entre nmeros reales.

Por lo Tanto el determinante es un numero real.

Apartado 2:

La primera igualdad es la formula dada en el apunte para el clculo de la matriz inversa.

La segunda igualdad es igual a la primera pero conmutando los trminos del segundo miembro.

La tercera igualdad es igual a la primera pero expresando el cociente || ||. La cuarta igualdad es falsa puesto que el determinante es un numero real y el segundo miembro es una matriz producto de A con su adjunta.

La quinta igualdad se cumple puesto que : ||. = ||.. = ||.. || . = . La sexta igualdad es falsa puesto que. = . ||. = .. || = . || ||. La sptima igualdad se cumple puesto que ||. = ||.. = ||. || . . = .

Apartado 3:

La primera opcin se cumple puesto que = . (). Aplicando la propiedad de los determinantes que dice que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una, tenemos

= det(. .) = . () = ()

Apartado 4:

Para esta respuesta usamos onlinemschool.com