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7/21/2019 Actividad 02 Automatas
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Act. 2 Reconocimiento del Curso
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Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería
Autómatas y Lenguajes Formales l. Código 3014!"#$
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AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALESGRUPO 401405_17
ACTIVIDAD N° 02
RECONOCIMIENTO DEL CURSO
PRESENTADO PORSHIRLEY OLARTE GÓMEZ – Código 40922391
CARLOS ALBERTO AMAYA TARAZONATutor
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA –UNAD-ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
INGENIERÍA DE SISTEMASRIOHACHA, LA GUAJIRA
FEBRERO 2014
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INTRODUCCIÓN
La siguiente actividad de reconocimiento marca la pauta del comienzo del Curso de Autómatas y
Lenguajes Formales el cual se realiza acorde a la guía de actividades, donde se conocerá el
contenido y algunas herramientas útiles para el desarrollo del trabajo planteado.
Es un curso de carácter teórico, donde el estudiante a medida que se desarrolla el curso
demuestra la asimilación de los conceptos y mecanismos fundamentales para la definición de
lenguajes (expresiones regulares, gramáticas independientes del contexto y gramáticas
generales).
También se repasará el tema de Teoría de Conjuntos para reforzar nuestros conceptos y así,
asimilar con más rapidez el desarrollo de las actividades que se presentan a lo largo del presente
curso.
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JUSTIFICACIÓN
En la presente actividad se presentan algunas operaciones con conjuntos, con las cuales el
estudiante debe reforzar e interpretar las funciones básicas de los conjuntos, para lograr entender
con claridad cómo se desarrolla cada una de las propiedades que presenta la teoría de conjuntos.
De igual manera aprender a utilizar el Diagrama de Venn para la representación simbólica de los
conjunto.
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ACTIVIDAD A DESARROLLARSean A, B, C conjuntos y U el conjunto Universal: Demuestre las siguientes propiedades con un
ejemplo (asigne libremente símbolos a sus conjuntos) y explica en que consiste cada propiedad
(identifíquela) en caso de que la sea:
1. A U Φ = ?
2. A ∩ Φ = ?
3. A – Φ = ?
4. A U U = ?
5. A ∩ U = ?
6. A U Ac = ?
7. A ∩ Ac = ?
8. A – A = ?
9. (A ∩ B)c = Ac U Bc
10. A U (B - A) = A U B
11. (A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B – A)
12. A U (B U C) = (A U B) U C
13. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B ) ∩ C
14. A U (B ∩ C) = (A U B ) ∩ (A U C)
15. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
16. A U B = B U A
17. A ∩ B = B ∩ A
18. A ∆ B = (A U B) \ (A ∩ B)
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DESARROLLO:1. A U Φ A → Ley de Identidad Propiedad del Conjunto Vacio
Demostración:
A U Φ A En efecto, sea x es un elemento aritrario de U ! Entonces,
x " #A $ %& ' x " A ( x " % )*e+nicin de unin-
' x " A )x " % es falso siempre-
Luego
./ 0/ " # 1 $ %& 23 / " 14
56 789: 896 1 $ % 1
2. A ; Φ % → Ley de Ientidad Propiedad del Conjunto Vacio
Demostración:
A U Φ A <i x es un cual=uiera de U ! Entonces,
x " #A ; %& ' x " A > x " % )*e+nicin de unin-
' x " % )x " % es falso siempre-
Luego 1 ; % %
1 )?,@,-
1 ; % )B-
1 ; % %
3. A B Φ A → Propiedad de la *iferencia
1 )?,@,-
1 B % )?,@,-
1 B % 1
4.
A $ U U → Propiedad de Identidad
Demostración:
A U U U <ea x es un elemento cual=uiera de U ! Entonces,
A UΦ =A
1 ; % %
A %
1 2
3
U
1 B % 1
A %
1 2
3
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x " #A $ U& ' x " A ( x " % )*e+nicin de unin-
' x " U )x " U es erdad siempre- Luego
./ 0/ " # 1 $ D& ' / " 14
6 F6GH 1 $ D D
D )?,@,,J-
1 )?,@-
1 $ D )?,@,,J-
5. A ; U A → Propiedad de Identidad
Demostración:
A U Φ A <ea x es un elemento aritrario de U ! Entonces,
x " #A $ U& ' x " A > x " U )*e+nicin de Interseccin-
' x " A )x " U es erdad siempre-
Luego 1 ; D 1
D )?,@,,J-
1 )?,@-
1 ; D )?,@,,J-
1 ; D 1
6. A $ 1K U → Propiedad de Complemento
A $ 1K U En efecto,sea x cual=uier elemento de U! Entonces
x " #A $ 1K& ' x " A ( x " 1K )*efinicin de unin-
' x " A ( x " 1 )Complementario-
' / " 1 ( #/ " 1& )M6N7GHO-
' / " D )79QRSRN:7-
Luego,
./ 0/ " #1 $ 1T& ' / " D 4
R SR Q7OQR, 1 $ 1T D
A
1
2
U
1
2
3
4
A U U = U
A
1
2
U
1
2
3
4
A ∩ U = A
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D )?,@,,J- 1 )?,@-
1 $ 1T )?,@,,J,-
1 $ 1T D
7. A ; 1K % → Propiedad de Complemento
A ; 1K % En efecto,
A ; 1K )x " U x " A > / " 1T- )x " U x " A > / " 1T-
D )?,@,,J-
1 )?,@-
1 ; 1T )B-
1 $ 1T %
8. A B A % → Propiedad de la *iferencia
1 )?,@,,J-
1 B 1 )B-
1 B 1 )%-
9. # A; W&K 1K $ WK → Ley de XorYan
# A$ W&K 1K ; WK En efecto, sea x un elemento aritrario del conjunto U
Entonces,
x " #A $ W&K ' " #1K $ WK& )*efincin de complementario-
' 0x " #A $ Z&4)[eYacin-
' 0#x " A& ( #x " Z&4)*efinicin de unin-
1
2
3
4
5
A A
1
2
3
4
5
AA
U
1 3
2 4
1 3
4
2
A A
U
1 $ 1T D U
1 $ 1T %
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' #x " A& > #x " Z&)*e XorYan para (-
' #x \ A& > #x \ Z&)[eYacin- ' #/ " 1T& > #/ " WT &)*efinicin de complementario-
' / " # 1T ; WT &)*efinicin de Interseccin-
] 7S 6 / 9O 6S6^6OQR 7_HQ7HR F6 D, 6 HN96 896
./ 0/ " # 1 $ W&T ' / " # 1T ; WT&4
Luego se prueba que
# A; W&K 1K $ WK
D )?,@,,J,`-
1 )?,@-
W ),,J-
1K ),J,`-
WK )?,@,`-
# 1 ; W& % #1 ; W &K )?,@,,J,`-
1K $ WK ),J,?,@,`-
10. A U (B - A) = A U B
1 $ #W B 1& 1 $ #W ; 1K& )R S7 S6] F6 FH66OGH7 F6 GROb9OQR}
#A $ Z& ; #A $ 1&K )R S7 S6] FHQH_9QH7-
#A $ Z& ; D )R S7 S6] F6 GR^S6^6OQR-
1 $ W
D )?,@,,J,`-
1 )?,@,,J-
W )@,`-
W B 1 )`-
1 $ #W B 1& )@,?,,J,`-
1 $ W )?,@,,J,`-
BA
U
1
2
4
35
BA1 4
3 2
2
5
U
#A ; W&K 1K $ WK
A U (B - A) = A U B
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11. (A U B ) – ( A ∩ B) = (A – B) U ( B – A ) Ley Asociativa
Demostración 1 )?,@,- W )J,`-
# 1 $ W& )?,@,,J,`-
#1 ; W % # 1 $ W& B # 1 ; W& )?,@,,J,`-
# 1 B W& )?,@,-
#W B 1& )J,`-
#1 B W& $ #W B 1& )?,@,,J,`-
12.
1 D #W D & # 1 D W&D
Demostración
En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U. Entonces
/ " 1 D #W D & ' / " 1 ( 0/ " #WD&4 )56HOGHO F6 9OHO-
' / " 1 ( #/ " W ( / " )56HOGHO F6 9OHO-
' #/ " 1 ( / " W& ( / " ) 1RGH7QH7 F6 -
' / " # 1 D W& ( / " )56HOGHO F6 9OHO-
' / " 1 $ W& $ )56HOGHO F6 9OHO-
De la arbitrariedad de x se sigue que
./ 0/ " 1 $ #W $ & 23 / " #1 $ W& $ 4
56 789: 896 1 $ #W $ & #1 $ W& $
1.
2.
3.
4.
5.
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1 )?,@-
W ),J-
)`,g-
#W $ & ),J, ,̀g-
#1 $ W& $ )?,@,,J,`,g-
# 1 $ W& )?,@,,J-
#1 $ W& $ )?,@,,J,`,g-
13.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B ) ∩ C Propiedad Asociativa de la Intersección
Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,- )?,,`,,k-
i. 1 )?,@,,J,`-
W ; )%-
1 ; #W ; & )%-
ii. 1 ; W )@,J-
)?,,`,,k-
#1 ; W& ; )%-
7C U
A B
C
1
2
3
4
5
6 U
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14. A U (B ∩ C) = (A U B ) ∩ (A U C) Propiedad Distributiva
Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,- )?,,`,,k- i. 1 )?,@,,J,`-
W ; )%-
1 $ #W ; & )?,@,,J,`-
ii.
1 $ W )?,@,,J,`,g,-
1 $ )?,@,,`,,k-
#1 $ W& ; )?,@,,J,`-
15.
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,- )?,,`,,k-
i. 1 )?,@,,J,`-
W $ )h,?,@,,J,`,,,k-
1 ; #W $ & )?,@,,J,`-
ii. 1 ; W )@,J-
1 ; )?,,`-
#1 ; W& $ #1 ; & )?,@,,J,`-
C U7
9
4 3 5
1 2
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16.
A U B = B U A
Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,-
i. 1 $ W )h,?,@,,J,`,-
ii. W $ 1 )h,?,@,,J,`,g,-
17. A ∩ B = B ∩ A
Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,-
i. 1 ; W )@,J-
ii.
W ; 1 )@,J-
C
7
9 U
1 35
2
4
1 3
5
2
4
0 8
6
A B
U
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18. A ∆ B = (A U B) \ (A ∩ B) Diferencia Simetrica
Sean 1 )?,@,,J,`- W )h,@,J,g,-
i. 1W )h,?,,`,g,-
ii. W ; 1 )h,?,@,,J,`,g,-
1 ; W )@,J-
#1 $ W&#A ; Z& )h,?,,`,g,-
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/01.%20Teoria%20de%20Conjuntos.
http://matematica1.com/wp-content/uploads/2013/04/LIBRO-DE-ARITMETICA-DE-
PREPARATORIA-PREUNIVERSITARIA.pdf
http://www.cs.buap.mx/~fjrobles/Conjun2.pdf