ACES - GIUGNO 2013

1. Il dominio della funzione f(z) =2 + cos z

2− cos ze

(a) C \ log(2±√

3) + 2kπi : k ∈ Z(b) C \ −2kπ + i log(2±

√3) : k ∈ Z

(c) C \ − log(2±√

3) + 2kπi : k ∈ Z(d) C \ 2kπ − log(2±

√3) : k ∈ Z

(e) C \ 2kπ − i log(2±√

3) : k ∈ Z

2. Lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) =1

(z − 1)(z − 2), convergente per 1 < |z| < 2, e

(a) −+∞∑k=0

(−1)k

zk+1−

+∞∑k=0

1

2k+1zk

(b) −+∞∑k=0

1

zk+1−

+∞∑k=0

zk

2k+1

(c) −+∞∑k=0

1

zk+1−

+∞∑k=0

(−1)kzk

2k+1

(d)

+∞∑k=0

(−1)k

zk+1+

+∞∑k=0

zk

2k+1

(e)

+∞∑k=0

(1− 1

2k+1

)zk

3. Se γ(t) = 2 cos t+ i(1 + sin t), t ∈ [0, 2π], l’integrale

∫γ

z + 1

z2 + 1dz vale

(a) (1− i)/2(b) π(1− i)(c) −π(1 + i)

(d) π(1 + i)

(e) nessuna delle altre risposte e corretta

4. Detta IA(x) la funzione caratteristica di un intervallo A ⊂ R, sia f(x) = I[−1,0](x) · (x + 1) +I(0,1](x) + I(1,2](x) · (2− x). La derivata seconda della distribuzione Tf e

(a) δ−1 − δ0 − δ1 + δ2

(b) δ−1 + δ0 − δ1 + δ2

(c) δ−1 − δ0 + δ1 + δ2

(d) δ−1 − δ0 − δ1 − δ2(e) −δ−1 − δ0 − δ1 + δ2

1

5. Sia f(t) = e2πit(t2 − 4t+ 4). La trasformata di Fourier della distribuzione Tf vale

(a) − 1

4π2δ′′1 +

4

2πiδ′1 + 4δ1

(b) − 1

4π2δ′′−1 +

4

2πiδ′−1 + 4δ−1

(c) − 1

4π2δ′′0 +

4

2πiδ′0 + 4δ0

(d) −δ′′1 + 4δ′1 + 4δ1

(e) −δ′′−1 + 4δ′−1 + 4δ−1

6. Detta H(t) la funzione di Heaviside, la antitrasformata di Laplace della funziones

s− 1+

1

(s+ 1)3

e

(a) [et +1

2t2e−t]H(t)

(b) δ0 + [et + t2e−t]H(t)

(c) δ0 + [et +1

2t2e−t]H(t)

(d) δ0 + [e−t +1

2t2et]H(t)

(e) [e−t + t2et]H(t)

7. Sia f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) dove u, v sono funzioni a valori reali e di classe C1 su un apertoΩ ⊂ C. Allora f e analitica in Ω se e solo se

(a) il campo (u,−v) e conservativo e solenoidale in Ω

(b) il campo (u, v) e irrotazionale e solenoidale in Ω

(c)∂u

∂x=∂v

∂ye∂u

∂y=∂v

∂xin Ω

(d)∂u

∂x=∂v

∂xe∂u

∂y=∂v

∂yin Ω

(e) il campo (u,−v) e irrotazionale e solenoidale in Ω

8. Supponiamo che un intervallo di confidenza di livello 90% per una media teorica incognita sia(3.14,6.28). Allora

(a) la probabilita che la media appartenga a (3.14,6.28) e 90%

(b) la probabilita che la media appartenga a (3.14,6.28) e meno di 0.90

(c) la media incognita e piu di un angolo piatto

(d) (3.14,6.28)/90 dovrebbe contenere la media teorica incognita

(e) l’affidabilita della procedura usata e 90%

9. Un punto estremo x.10 di ordine 10% di una variabile aleatoria qualsiasi e

(a) il suo novantesimo percentile

(b) un numero tale che P (X < x.10) = .10

(c) 1.282

(d) 1.645

(e) un numero tale F (x.10) = .10

2

10. Consideriamo una variabile aleatoria binomiale con parametri n = 5 e p = 0.3. Allora

(a) la probabilita che X sia minore o uguale a 2 e 0.83692

(b) la probabilita che X sia minore di 2 e 0.83692

(c) la probabilita che X sia minore di 2 e 1

(d) la probabilita che X sia uguale a 2 e 0.83692

(e) la probabilita che X sia maggiore di 2 e 0.83692

11. Consideriamo una variabile aleatoria binomiale con parametri n = 5 e p = 0.3. Allora

(a) la probabilita che X sia maggiore di 0 e 0.16807

(b) la probabilita che X sia minore di 0 e 0.16807

(c) la probabilita che X sia minore di 7 e 1

(d) la probabilita che X sia maggiore di 7 e 0.16807

(e) la probabilita che X sia maggiore o uguale a 0 e 0.16807

12. Solo una delle seguenti affermazioni e vera.

(a) tutti gli eventi disgiunti sono indipendenti

(b) un evento puo avere probabilita uguale a 2

(c) tutti gli eventi indipendenti sono disgiunti

(d) se un evento e impossibile, allora la sua probabilita e uguale a 0

(e) se un evento e possibile, allora ha probabilita maggiore di 0

13. Sia X una variabile con densita f(x) = 1/2e−x/2 quando x > 0. Allora

(a) la probabilita che X sia minore di 2 e 0.3678794

(b) la probabilita che X sia maggiore di 2 e 1/2

(c) la probabilita che X sia minore di 2 e 1/2

(d) la probabilita che X sia maggiore di 2 e 0.3678794

(e) la probabilita che X sia minore o uguale a 2 e 1/2

14. Sia Z una variabile normale standard e X una variabile normale con media 0 e varianza 4. Allorapnorm(2) rappresenta in R:

(a) la probabilita che Z sia minore di 2

(b) la probabilita che Z sia maggiore di 2

(c) la probabilita che X sia maggiore di 0

(d) la probabilita che X sia minore di 0

(e) un numero molto piccolo

—————————————SOLUZIONI: 1e, 2b, 3d, 4a, 5a, 6c, 7e, 8e, 9a, 10a, 11c, 12d, 13d, 14a

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