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Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas
Disciplina de Estruturas de Edifícios Altos
Apontamentos sobre a
Acção Longitudinal do Vento em Edifícios Altos
Ricardo M. de Matos Camarinha
Junho de 2009
Estes apontamentos, da autoria de Ricardo M. de Matos Camarinha, surgem de um trabalho
contínuo de investigação na área dos Edifícios Altos e procuram dar apoio à disciplina de
Estruturas de Edifícios Altos do Diploma de Formação Avançada em Engenharia Civil do
Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do Instituto Superior Técnico.
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ii Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Índice
1 Introdução ............................................................................................................................. 1
2 Caracterização do comportamento do vento ......................................................................... 3
2.1 Velocidade média .......................................................................................................... 4
2.2 Parcela aleatória da velocidade ..................................................................................... 5
2.3 Caracterização da Turbulência ...................................................................................... 5
3 Escoamentos em torno de Edifícios ...................................................................................... 7
3.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura ........................................................... 7
3.2 Coeficientes de Força e Pressão .................................................................................... 7
3.3 Características do Escoamento ...................................................................................... 8
3.4 Forças e pressões flutuantes .......................................................................................... 9
3.5 Escoamento Tridimensional .......................................................................................... 9
4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica .............................................................. 11
4.1 Função densidade espectral de um processo estocástico ............................................. 11
4.2 Relação entre as funções densidades espectrais de potência dos processos de acção e
resposta .................................................................................................................................... 12
5 Sistema dinâmico de um grau de liberdade generalizado ................................................... 15
5.1 Descrição do sistema dinâmico ................................................................................... 15
5.2 Expressão geral de resposta de um sistema de um um g.d.l. generalizado ................. 16
5.3 Resposta de uma estrutura de um g.d.l. generalizado a duas forças concentradas,
aleatórias e estacionárias ......................................................................................................... 17
6 Resolução da acção do vento .............................................................................................. 21
6.1 Hipótese Quasi-Estacionária ....................................................................................... 21
6.2 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício ........................................ 22
6.3 Método DGLF ............................................................................................................. 24
6.4 Método MGLF ............................................................................................................ 30
6.4.1 Algumas notas sobre os modelos quasi-estáticos ................................................ 33
6.5 Outras abordagens ....................................................................................................... 34
6.5.1 Túnel de Vento .................................................................................................... 34
6.5.2 Computação dinâmica de fluidos ........................................................................ 35
7 Análise do vento de acordo com o Eurocódigo ................................................................... 37
7.1 Enquadramento............................................................................................................ 37
7.2 Caracterização do vento em escoamento livre ............................................................ 38
7.2.1 Velocidade básica do vento ................................................................................. 38
7.2.2 Função velocidade média do vento ..................................................................... 38
iii
7.2.3 Intensidade da turbulência do vento .................................................................... 39
7.2.4 Pressão de pico do vento em escoamento livre ................................................... 40
7.3 Caracterização along-wind da acção do vento ............................................................ 40
7.3.1 Definição dos coeficientes de força ..................................................................... 41
7.3.2 Factor de estrutura – structural factor cscd ......................................................... 41
7.3.3 Determinação do factor de fundo - 𝐵2 ................................................................ 42
7.3.4 Determinação do factor de ressonância - 𝑅2 ....................................................... 43
7.3.5 Factor de pico - 𝑘𝑝 .............................................................................................. 44
7.4 Análise dos edifícios em Serviço ................................................................................ 44
7.5 Comparação do EC1 com outras normas mundiais (along-wind) ............................... 46
7.5.1 Velocidade Básica do Vento ............................................................................... 46
7.5.2 Comportamento médio do vento ......................................................................... 47
7.5.3 Intensidade da turbulência ................................................................................... 49
7.5.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e Correlação
da estrutura do vento ........................................................................................................... 49
7.5.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF) ........................................... 50
8 Exemplo de aplicação do Eurocódigo 1.4 ........................................................................... 53
8.1 Caracterização do vento em escoamento livre ............................................................ 53
8.2 Coeficiente de força .................................................................................................... 54
8.3 Factor estrutural – cscd ............................................................................................... 54
8.3.1 Factor de fundo – 𝐵2 ........................................................................................... 54
8.3.2 Factor de Ressonância– 𝑅2 ................................................................................. 55
8.4 Factor de pico .............................................................................................................. 56
8.5 Máxima aceleração na direcção along-wind ............................................................... 56
9 Bibliografia ......................................................................................................................... 59
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iv Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Simbologia
𝑢 - Velocidade instantânea do vento na direcção longitudinal
𝑢 - Parcela média da velocidade do vento
𝑢′ - Parcela flutuante instantânea da velocidade do vento
𝑧 - altura genérica de um ponto ao solo
𝛿 - altura da camada limite ao solo
𝜌 - massa volúmica do ar
𝜏 - tensão de corte na camada de superfície
𝑘 - constante de von Karman
𝑧0 - comprimento de rugosidade do terreno
𝑢∗ - velocidade de fricção
𝜍 - desvio padrão de uma amostra
𝑣 - componente transversal da velocidade instantânea do vento
𝑤 - componente vertical da velocidade instantânea do vento
𝜔 - frequência angular de um sinal de vento
𝑓 - frequência de vibração de um edifício, força flutuante
𝑡 - instante de tempo
𝐶𝑝 - coeficiente de pressão
𝐶𝑓 - coeficiente de força
𝑝 - pressão estática do vento
𝑏, 𝐵 - largura do edifício
, 𝐻 - altura do edifício
𝑔𝑌 - factor de pico
𝑘𝑃 - factor de pico (Eurocódigo)
𝜑 - função de forma
v
𝑚 - massa do edifício
𝑘 - rigidez do edifício
𝜆 - esbelteza do edifício
휁 - coeficiente de amortecimento do edifício
𝜒 - função de admitância aerodinâmica
𝐻(𝑖𝜔) - função de transferência mecânica
𝜉 - função genérica da resposta de um edifício
𝛼 - expoente da função exponencial da velocidade
𝑅𝑋 - função de autocorrelação de um sinal
𝑆𝑋 - função densidade espectral
𝑇 - tempo de medição das médias da velocidade do vento
𝑅 - factor de resposta de ressonância
𝐵 - factor de resposta de fundo
* Esta secção não se encontra completa (nem ordenada)
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1 Introdução
Considere-se o seguinte sistema de um grau de liberdade generalizado submetido à acção de
rajadas de vento com velocidade 𝑢(𝑧, 𝑡).
Figura 1 – Edifício esbelto atacado por rajadas de vento 𝑢(𝑧, 𝑡)
A solução deste problema obriga à contabilização da aleatoriedade da velocidade do escoamento
bem como a indução de efeitos dinâmicos no sistema estrutural. A resolução matemática deste
fenómeno exige o domínio de diversos conceitos de dinâmica estrutural estocástica e da teoria
de probabilidades de variáveis aleatórias.
Procura-se neste documento descrever os conceitos fundamentais e apresentar os principais
métodos desenvolvidos para resolução da acção do vento em edifícios esbeltos. Esta descrição
passa ainda pela abordagem proposta nas actuais normas e regulamentações.
A parte final deste documento é dedicada à resolução de um caso prático com a aplicação do
método proposto no Eurocode 1.4 – Wind action.
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2 Caracterização do comportamento do vento
A constante alteração dos factores que originam as movimentações de ar atmosférico, i.e. vento,
provocam uma variação bastante irregular da sua velocidade abaixo da camada limite. A
formação de turbilhões no escoamento provoca flutuações na velocidade.
A irregular ocorrência deste tipo de fenómenos está na origem da sucessiva alteração das
condições de escoamento, que por isso apresenta um comportamento aproximadamente
aleatório. É frequente recorrer-se a conceitos estatísticos para caracterização deste tipo de
escoamentos. Em teoria, o registo da variação de velocidade no tempo é contínuo. Contudo, na
prática, o tratamento computacional estatístico deste registo requer a sua discretização em
pontos finitos.
Figura 2 - (a) Registo da velocidade do vento no tempo (b) Registo da velocidade do vento em altura
O registo da velocidade do vento no domínio do tempo assume de uma forma genérica a forma
apresentada na Figura 2(a). Esta figura demonstra que a velocidade é definida por variações
aleatórias no tempo em torno de um valor médio. No conjunto de normas da FIB, actual CEB,
nomeadamente em (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures) é
sugerida uma representação ilustrativa deste fenómeno no domínio da altura. Verifica-se então
que a aleatoriedade do fenómeno se expande do domínio do tempo ao domínio espacial.
Em termos médios, o vento é habitualmente caracterizado por uma velocidade crescente em
altura. No entanto, as flutuações do escoamento conduzem à consideração da sobreposição de
duas componentes, tal como descrito em (2.1).
𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝑢 (𝑧) + 𝑢′ (𝑧, 𝑡) (2.1)
A primeira componente de comportamento quasi-estacionário é por isso apenas função da altura
ao solo e denomina-se de velocidade média do vento, 𝑢 . A segunda componente de
comportamento variável é por sua vez função também do tempo e como não contribui para a
média do vento é definida por um processo de média zero, como ilustrado na Figura 2(a). Note-
se que esta componente apesar de irregular no interior da camada limite é eliminada para alturas
tais que > 𝛿, altura para a qual o regime atinge a velocidade geostrófica, 𝑉𝑔𝑟 , em regime
uniforme não perturbado.
u(z,t)
z
vgr
z
u(z)
Velocidade do vento
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A soma das duas parcelas, 𝑢(𝑧, 𝑡), denomina-se velocidade de rajada. É esta velocidade que
importa caracterizar adequadamente para dimensionamento em estado limite último bem como
de serviço.
2.1 Velocidade média
Historicamente a primeira expressão representativa da componente média do vento 𝑢 (𝑧) sobre
superfície horizontal homogénea foi a lei exponencial, definida em 1916 (Simiu & Scanlan,
1996).
𝑢(𝑧𝑔1) = 𝑢(𝑧𝑔2) 𝑧𝑔1
𝑧𝑔2
𝛼
(2.2)
onde 𝑧𝑔1 e 𝑧𝑔2 são as alturas nos pontos 1 e 2 e 𝑢 as respectivas velocidades médias, e 𝛼 é um
factor que depende da rugosidade do terreno. A power law, termo utilizado nas referências para
esta lei (exponencial), converge com valores constastes de 𝛼 para alturas superiores à espessura
da camada limite 𝛿 , o que implica
𝑢 𝑧𝑔
𝐺=
𝑧𝑔
𝛿
𝛿 (2.3)
Por outro lado, Davenport assume que 𝛼 é função unicamente de 𝛿 , o que resulta numa
aproximação da mecânica do escoamento governada pelas equações da continuidade e da 2ª Lei
de Newton.
Mais recentemente, outro tipo de abordagens que não relacionadas directamente com os
pressupostos supracitados permitiram chegar a outras expressões.
De acordo com (Simiu & Scanlan, 1996), uma abordagem em que se divide a camada limite em
duas regiões, uma camada de superfície e uma camada exterior através de uma análise
adimensional e de algumas simplificações matemáticas permite chegar à Lei Logarítmica
𝑢 𝑧 =1
𝑘𝑢∗ ln
𝑧
𝑧0 (2.4)
𝑢∗ = 𝜏0
𝜌
1/2 (2.5)
Onde 𝑧0 o comprimento de rugosidade, 𝜏0 a tensão de corte na camada de superfície e 𝑘 a
constante de von Karman que assume geralmente o valor de 0,4.
Actualmente, existe um grande número de expressões propostas para a velocidade média do
vento. Os principais regulamentos mundiais adoptam geralmente expressões idênticas que são
individualizadas nos parâmetros característicos da rugosidade do terreno e orientação do vento.
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2.2 Parcela aleatória da velocidade
A componente variável da velocidade dada a sua instabilidade com origem na turbulência do
vento é de natureza mais complexa do que a da componente média.
A turbulência é causada essencialmente pela existência de obstáculos naturais e artificiais e é
habitualmente representada em espectros para um largo domínio de frequências.
A velocidade do vento flutua no espaço e no tempo, o mesmo é dizer que num determinado
local é uma função aleatória do tempo e, por outro lado, num dado instante é função aleatória da
posição espacial.
As flutuações de velocidade num escoamento num ponto podem ser consideradas como a
sobreposição de inúmeros turbilhões transportados com a parcela média do vento. Cada
movimento turbilhonar pode ser caracterizado como um movimento periódico com frequência
angular 𝜔 = 2𝜋𝑛, onde 𝑛 representa a sua frequência. Por outro lado, o movimento de um
turbilhão tem um comportamento análogo ao de uma onda. Nestas condições, o comportamento
de onda de um movimento turbilhonar singular é descrito pela seguinte relação 𝜆 = 𝑈𝑛 , onde
𝑈 representa a velocidade do vento e o respectivo número de onda por 𝐾 = 2𝜋𝜆 .
2.3 Caracterização da Turbulência
A intensidade da turbulência é definida pelo rácio do desvio padrão da função velocidade do
vento para cada componente flutuante em relação ao valor médio . Desta forma definem-se para
as direcções longitudinal, transversal e vertical, de acordo com as três direcções do vento, as
seguintes relações
𝐼𝑢 = 𝜍𝑢 𝑈 (2.6)
𝐼𝑣 = 𝜍𝑣 𝑈 (2.7)
𝐼𝑤 = 𝜍𝑤 𝑈 (2.8)
Medições efectuadas junto ao solo permitem verificar que 𝜍𝑢 = 2,5. 𝑢∗, onde 𝑢∗ é definida a
velocidade de fricção. Desta forma pode-se definir a intensidade da turbulência através da
seguinte equação (Holmes, 2007),
𝐼𝑢 =2,5.𝑢∗
𝑢∗/0.4 loge 𝑧/𝑧0 =
1
loge 𝑧/𝑧0 (2.9)
Pela expressão (2.9) constata-se que a intensidade da turbulência longitudinal é função apenas
da altura ao solo, 𝑧 e da rugosidade do terreno 𝑧0 . Esta função permite perceber que a
intensidade da turbulência diminui com o decréscimo da altura ao solo.
À semelhança da expressão anterior, são também apresentados valores aproximados para as
turbulências nas restantes direcções (Holmes, 2007), igualmente funções da altura e rugosidade
do solo.
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𝐼𝑣 ≅0.88
loge 𝑧/𝑧0
(2.10)
𝐼𝑤 ≅0.55
loge 𝑧/𝑧0 (2.11)
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3 Escoamentos em torno de Edifícios
Uma quantidade de ar em movimento na atmosfera ao encontrar um obstáculo procura
contorná-lo, contudo, este processo reveste-se de um conjunto de fenómenos característicos dos
chamados “bluff-bodies”, termo inglês correntemente utilizado para denominar corpos
achatados ou em regra com uma grande dimensão na direcção perpendicular à do escoamento.
Estes fenómenos dependem de vários factores, incluindo a forma do edifício. Na generalidade,
os edifícios em estudo podem ser englobados na categoria descrita.
3.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura
Quando determinado escoamento atravessa um obstáculo geram-se pressões e,
consequentemente, forças nesse obstáculo. No domínio da aerodinâmica esse conjunto de forças
é correntemente dividido em três parcelas.
Figura 3-1 – Forças resultantes da interacção do escoamento-estrutura em torno de um corpo
A primeira parcela, D, corresponde às forças na direcção do escoamento denominadas de forças
de arraste. A parcela L corresponde às forças na direcção transversal à direcção do escoamento
sendo denominada de força de sustentação. O desvio destas forças em relação ao centro de
torção da secção produz um momento torsor no edifício correspondente à parcela M, como
representado na figura.
3.2 Coeficientes de Força e Pressão
As forças num determinado corpo são geralmente traduzidas por coeficientes adimensionais,
denominados coeficientes de força.
De acordo com a convenção das forças habitualmente definidas num corpo atravessado pelo
escoamento são definidos os coeficientes de arraste, sustentação e de momento.
Vinf
L
D
M
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Estas três grandezas são definidas pelas seguintes expressões, onde o parâmetro 𝐹 generalizado
pode assumir qualquer uma das duas forças definidas no ponto anterior, D,L e M refere-se ao
momento introduzido na estrutura.
𝐶𝐹 =𝐹
1
2𝜌𝑎𝑈0
2𝐴 (3.1)
𝐶𝑀 =𝑀
1
2𝜌𝑎𝑈0
2𝐴𝐻𝑟
(3.2)
Nestas expressões, 𝜌𝑎 define a massa volúmica do ar. 𝑈0 a velocidade do escoamento e 𝐴 a área
onde é aplicada a correspondente força F. Na expressão (3.2) o termo 𝐻𝑟 define uma altura de
referência onde é aplicado o carregamento generalizado. Esta expressão relaciona a força
esperada sob determinadas condições com a pressão estática do vento, 1
2𝜌𝑎𝑈0
2.
3.3 Características do Escoamento
O escoamento em torno dos edifícios altos contrasta com os escoamentos em torno de edifícios
“aerodinâmicos” uma vez que as linhas de corrente do escoamento em torno do edifício não
seguem geralmente a forma da secção. Por exemplo, no caso das asas de aviões as linhas de
corrente aproximam relativamente bem a forma da sua secção permitindo um estudo
matemático mais acessível que no caso dos edifícios.
Figura 3-2 – Zonas de separação do escoamento em torno de formas rectangulares
O escoamento, por exemplo, em torno de uma secção rectangular (Figura 3-2) causa a
separação do escoamento nos vértices rectos dando origem a camadas de recirculação e
formação de vórtices. A camada de separação destaca duas zonas, uma zona exterior
suficientemente afastada onde o escoamento se comporta continuamente e uma zona interior
junto às faces da secção com grandes características de corte e vorticidade. Esta camada,
denominada camada de corte livre, é bastante instável, sendo esta formada por um lençol de
vórtices que tendem a concentrar-se na zona de levantamento formando turbilhões concentrados
e que se vão arrastando com o escoamento. A formação das zonas de separação varia com a
geometria, no entanto, o fenómeno de desprendimento de vórtices na esteira do corpo é mais ou
menos idêntica em todas as formas. Como é natural, este fenómeno é de grande importância em
edifícios esbeltos.
Separação
Ponto de
estagnação
Recirculação
Zona turbilhonar
Separação
Zona
turbilhonar
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3.4 Forças e pressões flutuantes
Os fenómenos de turbulência e instabilidade dos escoamentos atmosféricos são abordados nos
capítulos anteriores. A natureza instável dos escoamentos em torno de obstáculos de grandes
dimensões, tais como edifícios, resulta na separação do escoamento e, por vezes, em
recirculações produzindo pressões e, consequentemente, forças altamente instáveis.
Estas variações têm usualmente três causas (Holmes, 2007):
A turbulência natural das rajadas do vento em escoamento livre, normalmente
denominadas por “buffeting”.
Instabilidade do escoamento causada pelo atravessamento do obstáculo, que geralmente
resulta na separação do escoamento, recirculações e formação de turbilhões nas faces do
obstáculo.
Forças flutuantes devidas ao movimento do corpo, forças aeroelásticas.
Estes fenómenos acoplados têm uma importância crescente, tanto quanto mais flexíveis forem
as estruturas em movimento com o escoamento. Na verdade, as características dinâmicas na
resposta das estruturas são os parâmetros governantes do dimensionamento da estrutura e
respectivos amortecimentos. Desta forma, torna-se importante conhecer matematicamente estas
grandezas no âmbito do estudo dos edifícios altos.
3.5 Escoamento Tridimensional
Os conceitos apresentados neste trabalho são inerentes a condições de fluxo geralmente
bidimensional. Um escoamento é dito bidimensional quando a velocidade do fluido na direcção
normal ao plano de fluxo é desprezável, de maneira que o padrão de escoamento em todo o
comprimento é idêntico. Contudo, as vibrações em torres sob a acção de vento apresentam-se
muito mais complexas que as de um obstáculo atravessado por um escoamento bidimensional.
Figura 3-3 – Escoamento tridimensional esquemático em torno de obstáculos (Pinheiro, 2004).
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Existem diversos factores que introduzem efeitos tridimensionais ao escoamento, entre eles:
A secção transversal dos edifícios ser geralmente variável, geometricamente ou por
introdução de acessórios que afectam o escoamento;
Aos edifícios têm dimensões finitas, não sendo desprezável o efeito do escoamento que
atravessa o topo do edifício, criando o chamado efeito de topo;
A variabilidade do vento que não deve ser desprezável para edifícios com alturas
superiores a 50m;
A turbulência do vento.
Alguns destes fenómenos são visíveis na Figura 3-3, onde se denota a complexidade do
escoamento tridimensional em torno de um edifício.
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4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica
4.1 Função densidade espectral de um processo estocástico
Considere-se um sinal 𝑥𝑟 𝑡 retirado de um processo estocástico estacionário com média nula.
𝐸 𝑥 𝑡 = 0 (4.1)
Um sinal com tais propriedades pode ser separado no seu conjunto de frequências, por
consequência do teorema de Fourier, numa série que para um intervalo finito genérico −𝐿 2 <𝑡 < 𝐿 2 é representada por
𝑥𝑟 𝑡 = 𝐶𝑛𝑟 𝑒−𝑖𝑛𝜛0𝑡∞
𝑛=−∞ (4.2)
em que,
𝐶𝑛𝑟 =1
𝐿 𝑥𝑟 𝑡
𝐿 2
−𝐿 2 𝑒−𝑖𝑛𝜛0𝑡𝑑𝑡 (4.3)
Note-se ainda que nestas expressões 𝜛0 = 2𝝅 𝐿 . No caso em que 𝑥𝑟 𝑡 é periódico, então a
série de Fourier resulta numa representação perfeita do sinal desde que integrada ao longo de
um período completo.
A equação (4.2) corresponde à sobreposição finita de harmónicas discretas com frequências
… , 𝑛 − 1 𝜛0, 𝑛𝜛0, 𝑛 + 1 𝜛0,… e amplitudes … ,2 𝐶 𝑛−1 𝑟 , 2 𝐶 𝑛 𝑟 , 2 𝐶 𝑛+1 𝑟 , …
respectivamente.
Na grande generalidade dos casos, a grandeza que mais importa analisar em processos deste tipo
é a média quadrática do processo e define-se por meio de
𝑥𝑟 𝑡 2 =
1
𝐿 𝑥𝑟 𝑡
2𝐿 2
−𝐿 2 𝑑𝑡 (4.4)
A introdução da expressão (4.2) nesta equação permite obter a seguinte igualdade
𝑥𝑟 𝑡 2 = 𝐶𝑛𝑟 2∞
𝑛=−∞=
𝐴𝑛𝑟
2
2∞
𝑛=1 (4.5)
Considerando agora a introdução de (4.3) na primeira parte da expressão (4.5), e tratando o
espaçamento entre as harmónicas como 𝛥𝜛 = 2𝜋 𝐿 , resulta que
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𝑥𝑟 𝑡 2 =
𝑥𝑟 𝑡 𝐿 2
−𝐿 2 𝑒−𝑖𝑛 𝜛 0𝑡𝑑𝑡 2
𝑠2
∞
𝑛=−∞
= 𝑥𝑟 𝑡
𝐿 2
−𝐿 2 𝑒−𝑖𝑛 𝜛 0𝑡𝑑𝑡 2
2𝜋𝑠𝛥𝜛 (4.6)
cuja expressão análoga no domínio contínuo quando 𝛥𝜛 ⟶ 𝑑𝜛 e 𝑛𝜛0 ⟶ 𝜛 é definida por
meio de
𝑥𝑟 𝑡 2 = limn⟶∞
𝑥𝑟 𝑡 𝐿 2
−𝐿 2 𝑒−𝑖𝑛 𝜛 0𝑡𝑑𝑡 2
2𝜋𝑠
∞
−∞
𝑑𝜛 = 𝑆𝑥𝑟(𝜛)
∞
−∞𝑑𝜛 (4.7)
A função 𝑆𝑥𝑟(𝜛) é denominada de função densidade espectral do sinal 𝑥𝑟 𝑡 . De acordo com
esta definição, a média quadrática do processo é obtida pela integração da função densidade
espectral em todo o domínio de 𝜛.
A função densidade espectral de todo o processo estacionário é obtida pela média simples das
densidades espectrais de todas as ondas que o compõe.
𝑆𝑥(𝜛) = limn⟶∞
1
n 𝑆𝑥𝑟
(𝜛)nr=1 (4.8)
Note-se ainda que se o processo além de estacionário for também ergódico, i.e. se as suas
propriedades estatísticas forem passíveis de dedução a partir de apenas uma amostra
suficientemente longa, a média definida atrás pode ser desfeita.
4.2 Relação entre as funções densidades espectrais de potência dos
processos de acção e resposta
Considere-se o r-ésimo sinal de um processo estocástico de acção 𝑝𝑟(𝑡) e a respectiva resposta
𝑣𝑟(𝑡), denominados processos de entrada e saída, relacionados pela seguinte expressão
𝑣𝑟(𝑡) = 𝑝𝑟(𝜏)𝑡
−∞(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 (4.9)
Assumindo 𝑝𝑟(𝑡) de média nula resulta que
𝐸 𝑣𝑟(𝑡) = 𝐸 𝑝𝑟(𝜏)𝑡
−∞(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0 (4.10)
Simplificando a expressão anterior verifica-se que 𝑣𝑟(𝑡) é também um processo estocástico de
média nula.
𝐸 𝑣𝑟(𝑡) = 𝐸 𝑝𝑟(𝜏) 𝑡
−∞(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0 (4.11)
Esta é uma conclusão importante e que permite algumas simplificações no processo de
transformação matemática de acção em resposta.
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Admita-se agora sem perca de generalidade a função de autocorrelação do processo estocástico
de resposta 𝑣(𝑡) definida como
𝑅𝑣 𝜏 = 𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) (4.12)
A autocorrelação está directamente ligada à função densidade espectral. Posto isto, importa
agora relacionar a autocorrelação dos processos de entrada e saída.
Para isso, aplique-se à expressão (4.12) a relação (4.9)
𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(𝛿1)𝑡
−∞(𝑡 − 𝛿1)𝑑𝛿1 𝑝(𝛿2)
𝑡
−∞(𝑡 + 𝜏 − 𝛿2)𝑑𝛿2 (4.13)
Note-se que nesta expressão, 𝛿1 e 𝛿2 têm significado análogo a 𝜏 na expressão(4.10). Separando
agora as funções integradas, a função de autocorrelação é passível de tomar a seguinte
reorganização
𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(𝛿1)𝑡
−∞𝑝(𝛿2)(𝑡 − 𝛿1)(𝑡 + 𝜏 − 𝛿2)𝑑𝛿1𝑑𝛿2
𝑡
−∞ (4.14)
À semelhança da simplificação em (4.11), pode-se obter a seguinte relação entre médias funções
de entrada e saída
𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(𝛿1)𝑝(𝛿2) 𝑡
−∞(𝑡 − 𝛿1)(𝑡 + 𝜏 − 𝛿2)𝑑𝛿1𝑑𝛿2
𝑡
−∞ (4.15)
Assim, para que esta a equação nos permita relacionar as autocorrelações de entrada e saída,
considere-se por fim a seguinte mudança de variáveis
𝑢1 = 𝑡 − 𝛿1 ⟺ 𝛿1 = t − 𝑢1 (4.16)
𝑢2 = 𝑡 + 𝜏 − 𝛿2 ⟺ 𝛿2 = 𝑡 + 𝜏 − 𝑢2 (4.17)
Aplicando as expressões (4.16) e (4.17) em (4.15), obtém-se a seguinte expressão
𝐸 𝑣(𝑡)𝑣(𝑡 + 𝜏) = 𝐸 𝑝(t − 𝑢1)𝑝(𝑡 + 𝜏 − 𝑢2) ∞
0(𝑢1)(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2
∞
0 (4.18)
Desta forma, demonstra-se que
𝑅𝑣 𝜏 = 𝑅𝑝 𝜏 − 𝑢2 + 𝑢1 ∞
0(𝑢1)(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2
∞
0 (4.19)
Esta relação evidencia que autocorrelação de entrada 𝑅𝑣 𝜏 e a autocorrelação do processo de
saída 𝑅𝑝 𝜏 se relacionam mediante a mudança de variáveis efectuada atrás.
Posto isto, define-se agora a relação entre a função densidade espectral de potência do processo
estocástico de resposta (i.e. saída) e a sua autocorrelação.
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𝑆𝑣 𝜛 =1
2𝜋 𝑅𝑣 𝜏 𝑒−𝑖𝜛𝜏 𝑑
∞
−∞𝜏 (4.20)
Introduzindo a equação (4.19), obtém-se
𝑆𝑣 𝜛 =1
2𝜋 𝑅𝑝 𝜏 − 𝑢2 + 𝑢1
∞
0(𝑢1)(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2
∞
0 𝑒−𝑖𝜛𝜏 𝑑
∞
−∞
𝜏 (4.21)
De acordo com a equação (4.20), para se poder relacionar densidades espectrais de potência de
entrada e saída, é necessário efectuar uma mudança de variável
𝛿 = 𝜏 − 𝑢2 + 𝑢1 (4.22)
Tendo agora em conta a mudança de variável, a relação (4.21) pode ser definida tal que
𝑆𝑣 𝜛 =1
2𝜋 𝑅𝑝 𝛿
∞
0(𝑢1)(𝑢2)𝑑𝑢1𝑑𝑢2
∞
0 𝑒−𝑖𝜛 𝛿+𝑢2−𝑢1 𝑑
∞
−∞
𝛿 (4.23)
Reorganizando os termos, vem
𝑆𝑣 𝜛 =1
2𝜋 𝑅𝑝 𝛿 𝑒𝑖𝜛𝛿 𝑑
∞
−∞𝛿 (𝑢1)𝑒𝑖𝜛𝑢1𝑑𝑢1
∞
0 (𝑢2)𝑒−𝑖𝜛𝑢2𝑑𝑢2∞
0 (4.24)
Tomando novamente em consideração a expressão (4.20), pode-se agora definir a relação entre
densidades espectrais de entrada e de saída por
𝑆𝑣 𝜛 = 𝑆𝑃 𝜛 𝐻(−𝑖𝜛)𝐻(𝑖𝜛) = 𝑆𝑃 𝜛 𝐻(𝑖𝜛) 2 (4.25)
Nesta expressão, 𝑆𝑃 𝜛 reprensenta a densidade espectral de entrada e 𝐻(𝑖𝜛) 2 é denominada
a função de transferência mecânica.
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5 Sistema dinâmico de um grau de liberdade generalizado
5.1 Descrição do sistema dinâmico
Esta é a definição dinâmica mais corrente para analisar um edifício alto. Na generalidade, um
edifício deste género é uma estrutura muito esbelta que se deforma continuamente ao longo de
uma linha em princípio curva, passível de uma descrição matemática por meio de uma função
de uma só variável.
Figura 5-1 - Estrutura em consola tratada com um grau de liberdade generalizado
Este tipo de análise é efectuado contemplando uma distribuição de flexibilidade da estrutura.
Considere-se uma estrutura esbelta, aproximada por uma consulta vertical bastante esbelta, com
uma relação geométrica na ordem de h/b=10.
A deformada imposta por uma acção horizontal pode ser descrita por um único grau de
liberdade já que a estrutura se deforma com um comportamento contínuo. A função que traduz
esse andamento é designada por função de forma, 𝛹 𝑥 , definida pela sequinte equação.
𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑍(𝑡) (5.1)
Para um sistema definido desta forma é corrente formular-se as equações do movimento por
equilíbrio de energias. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais chega-se a uma expressão
em tudo idêntica à equação do movimento até aqui descrita, no entanto, os parâmetros com
igual significado físico têm uma formulação diferente em virtude do novo conceito de grau de
liberdade.
𝑚∗𝑍 (𝑡) + 𝑐∗𝑍 (𝑡) + 𝑘∗𝑍(𝑡) = 𝑝∗(𝑡) (5.2)
Definida a equação do movimento em função das coordenadas generalizadas no domínio do
tempo, torna-se necessário definir as expressões de massa, amortecimento e rigidez
generalizadas. De acordo com a expressão (5.1) a função de forma deverá estar incluída na
Y(zmax,t)
H
y(z,t)
m(x) EI(x)
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equação do movimento. Esta função é englobada nos termos de massa generalizada
𝑚∗,amortecimento generalizado 𝑐∗ e rigidez generalizada 𝑘∗ (v.d. 5).
𝑚∗ = 𝑚(𝑥)𝜓 𝑥 2𝑑𝑥𝐻
𝑜 (5.3)
𝑐∗ = 𝑎1 𝐸𝐼(𝑥)𝜓′′ 𝑥 2𝑑𝑥𝐻
𝑜 (5.4)
𝑘∗ = 𝐸𝐼(𝑥)𝜓′′ 𝑥 2𝑑𝑥𝐻
𝑜 (5.5)
Note-se que o termo da rigidez pode combinar duas parcelas caso seja necessário.
Habitualmente quando se fala de rigidez de um sistema refere-se à rigidez de flexão. Em todo o
caso, a esta rigidez deverá ser subtraída uma parcela relativa às acções normais ao edifício que
estão associadas à instabilidade do mesmo.
Posto isto, o termo da rigidez 𝑘∗ deverá ser substituído por um termo 𝑘 ∗ que se relaciona com o
primeiro por meio das seguintes expressões
𝑘 ∗ = 𝑘∗ − 𝑘𝐺∗ (5.6)
𝑘𝐺∗ = 𝑁 𝜓′ 𝑥 𝑑𝑥
𝐻
𝑜 (5.7)
O termo 𝑘𝐺∗ denomina-se rigidez geométrica generalizada. Quanto este termo for igual à rigidez
de flexão e se anular a rigidez resultante 𝑘 ∗ atinge-se 𝑁𝑐𝑟 .
Note-se porém, que apesar dos parâmetros descritos serem definidos na forma integral da
função de forma 𝜓 𝑥 , podem existir singularidades na estrutura como por exemplo sistemas de
amortecimento, que deverão ser contabilizados em parcelas discretas.
A título justificativo, por exemplo no caso referido atrás dever-se-ia introduzir no termo de
amortecimento generalizado uma parcela semelhante a
𝑐 = 𝑐𝑖 𝜓𝑖 𝑥 2 (5.8)
5.2 Expressão geral de resposta de um sistema de um g.d.l. generalizado
Considere-se o sistema analisado no ponto anterior. Assumindo um amortecimento pequeno e
dividindo a equação (5.2) correspondente ao modo i pela sua massa modal, obtém-se
𝑍 𝑖(𝑡) + 2
𝑖 2𝑛𝑖 𝑍
𝑖(𝑡) + 2𝑛𝑖 2𝑍𝑖(𝑡) =
𝑝∗𝑖(𝑡)
𝑀𝑖 (5.9)
em que 𝑖, 𝑛𝑖 e 𝑀𝑖 correspondem ao amortecimento, frequência natural e massa generalizada do
modo i. A força generalizada para este modo é por sua vez definida por
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𝑝∗𝑖 𝑡 = 𝑝 𝑧, 𝑡
𝐻
0𝑦𝑖 𝑧 𝑑𝑧 (5.10)
Esta força quando comparada com uma força concentrada aplicada na estrutura obedece à
relação
𝑝 𝑧, 𝑡 = 𝐹 𝑡 𝑧 − 𝑧1 (5.11)
Quando esta é aplicada num ponto da estrutura, então a relação de 𝑝∗𝑖 𝑡 com essa força pode
ser definida por
𝑝∗𝑖 𝑡 = lim∆𝑧→0 𝑝 𝑧, 𝑡
𝑧1+∆𝑧
𝑧1𝑦𝑖 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑦𝑖 𝑧1 𝐹 𝑡 (5.12)
o que resulta num resultado importante para a análise do sistema. Esta expressão permite-nos
relacionar o carregamento da estrutura para um determinado modo i pela sua função modal
𝑦𝑖 𝑧 .
Atendendo agora que o carregamento concentrado 𝐹 𝑡 aplicado num ponto 𝑧1 apresenta um
comportamento aleatório e estacionário, i.e. mantêm as suas propriedades estatísticas ao longo
do tempo, a resposta da estrutura 𝑦 𝑧, 𝑡 é definida por
𝑦 𝑧, 𝑡 = 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝑡 𝐹 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞
0 (5.13)
O carregamento aleatório 𝐹 𝑡 deverá ser entendido como a soma elementar de impulsos de
magnitude 𝐹 𝜏′ 𝑑𝜏′. Entenda-se a função 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝑡 como a função de transferência mecânica
entre acção e resposta.
Escrevendo esta expressão na sua forma espectral, vem que
𝑆𝑦 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 = 𝑆𝐹 𝜛 𝐻(𝑧, 𝑧1 , 𝑛)2 (5.14)
onde 𝑆𝑦 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 representa a função de densidade espectral da resposta, 𝑆𝐹 𝜛 a função de
densidade espectral da força 𝐹 𝑡 e 𝐻(𝑧, 𝑧1 , 𝑛)2 a função de transferência mecânica entre acção
e resposta.
5.3 Resposta de uma estrutura de um g.d.l. generalizado a duas forças
concentradas, aleatórias e estacionárias
Considere-se novamente a função de resposta da estrutura 𝑦 𝑧, 𝑡 . A autocovariância deste
processo é definida pela expressão
𝑅𝑦 𝑧, 𝜏 = lim𝑇→∞ 𝑦 𝑧, 𝑡 𝑦 𝑧, 𝑡 + 𝜏 𝑑𝑡𝑇/2
−𝑇/2 (5.15)
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Atendendo a que esta função é originada pela acção de duas cargas concentradas 𝐹1 𝑧1 , 𝑡 e
𝐹2 𝑧2 , 𝑡 , actuando à cota 𝑧1 e 𝑧2 respectivamente, a função de autocovariância pode ser defina
redefinida por meio da expressão (5.13) tal que
𝑅𝑦 𝑧, 𝜏 = lim𝑇→∞ 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏1 𝐹1 𝑡 − 𝜏1 𝑑𝜏1∞
0+ 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏1 𝐹2 𝑡 − 𝜏1 𝑑𝜏1
∞
0 ×
𝑇/2
−𝑇/2
𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏2 𝐹1 𝑡 + 𝜏 − 𝜏2 𝑑𝜏2 + 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝐹1 𝑡 + 𝜏 − 𝜏2 𝑑𝜏2∞
0
∞
0 𝑑𝑡 (5.16)
A covariância cruzada da resposta da estrutura em 𝑧1 e 𝑧2 é estatisticamente definida por
𝑅𝑦1𝑦2 𝜏 = lim𝑇→∞ 𝑦1 𝑡 𝑦2 𝑡 + 𝜏 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2 (5.17)
Com recurso a esta definição, a autocovariância do processo 𝑦 𝑧, 𝑡 pode ser simplificado por
𝑅𝑦 𝑧, 𝜏 = 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏1 𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏2 𝑅𝐹1 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2
∞
0 𝑑𝜏1 +
∞
0
𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝑅𝐹2 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2
∞
0 𝑑𝜏1 +
∞
0
𝐺 𝑧, 𝑧1 , 𝜏1 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏2 𝑅𝐹1𝐹2 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2
∞
0 𝑑𝜏1 +
∞
0
𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏1 𝐺 𝑧, 𝑧2 , 𝜏1 𝑅𝐹2𝐹1 𝑡 + 𝜏1 − 𝜏2 𝑑𝜏2
∞
0 𝑑𝜏1
∞
0 (5.18)
Onde a expressão da resposta global, nomeadamente a sua autocovariância é descrita por termos
dependentes da autocovariância das forças 𝐹1 𝑧1 , 𝑡 e 𝐹2 𝑧2 , 𝑡 . Esta expressão permite
relacionar a resposta e acção através de um conjunto de funções de transferência mecânica.
Demonstra-se que esta expressão no domínio da frequência toma a seguinte forma (Simiu &
Scanlan, 1996)
𝑆𝑦 𝑧, 𝑛 =
𝐻2 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 𝑆𝐹1 𝑛 + 𝐻2 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 𝑆𝐹2
+ 2𝐻 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 𝐻 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 ∙ 𝑆𝐹1𝐹2
𝐶 (𝑛) cos 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 −
𝑧, 𝑧2 , 𝑛 + 𝑆𝐹1𝐹2
𝑄 (𝑛) sin 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 − 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 (5.19)
Nesta expressão 𝑆𝐹𝑖 representa as funções de densidade espectral das forças Fi e e 𝑆𝐹1𝐹2
𝐶 e 𝑆𝐹1𝐹2
𝑄
representam os termos de co-espectro e de quadratura das forças 𝐹1 𝑧1 , 𝑡 e 𝐹2 𝑧2 , 𝑡 .
Note-se por fim, que quando considerada uma acção contínua sobre uma área A, a expressão
anterior pode ser reescrita no domínio contínuo como
𝑆𝑦 𝑧, 𝑛 = 𝐻 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 𝐴𝐴
𝐻 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 × 𝑆𝑝1′ 𝑝2
′𝐶 (𝑛) cos 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 − 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 +
𝑆𝑝1
′ 𝑝2′
𝑄 (𝑛) sin 𝑧, 𝑧1 , 𝑛 − 𝑧, 𝑧2 , 𝑛 𝑑𝐴1𝑑𝐴2 (5.20)
É corrente relacionar os termos de co-espectro e de quadratura num único termo designado de
função de coerência. Esta função representa uma medida do comprimento em que os dois sinais
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𝑦1(𝑡) e 𝑦2(𝑡) são correlacionados. A raíz quadrada desta função é matematicamente definida
tal que
𝐶𝑜𝑦1𝑦2 = 𝑆𝑦1𝑦2
𝐶 (𝑛) 2
+ 𝑆𝑦1𝑦2𝑄
(𝑛) 2
𝑆𝑦1 𝑛 𝑆𝑦2 𝑛
1/2
(5.21)
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6 Resolução da acção do vento
6.1 Hipótese Quasi-Estacionária
A hipótese quasi-estacionária fundamenta a base da grande maioria dos modelos utilizados para
quantificação da acção do vento em edifícios altos, nomeadamente os métodos propostos nos
regulamentos internacionais.
No Capítulo 2 descreveu-se o vento com duas parcelas. De acordo com a expressão (2.1), a
velocidade instantânea do vento é definida por uma componente média e uma componente
flutuante.
Considere-se a invariabilidade desta expressão no espaço, ou seja, restrita a um determinado
ponto no espaço. A relação entre pressões no corpo e velocidade no escoamento é definida por:
𝑝 𝑡 =1
2𝐶𝑃0
𝜌𝑎 𝑢(𝑡) 2 (6.1)
em que 𝐶𝑃0 representa um coeficiente de pressão quase-estacionário.
Introduzindo esta expressão na relação entre pressões e velocidades obtém-se o seguinte
resultado
𝑝 𝑡 =1
2𝐶𝑃0
𝜌𝑎 𝑢 + 𝑢′ (𝑡) 2 =1
2𝐶𝑃0
ρa 𝑢 2 + 𝑢′ (𝑡)2 + 2𝑢 𝑢′ (𝑡) (6.2)
Escrevendo esta expressão em termos de valores médios têm-se
𝑝 𝑡 =1
2𝐶𝑃0
𝜌𝑎 𝑢 2 + σ𝑢2 (6.3)
Para intensidades de turbulência pequenas, o parâmetro variável da velocidade σ𝑢2 é muito
menor que o valor médio 𝑢 2 , o que permite considerar que a pressão média no corpo bem
aproximada por:
𝑝 𝑡 ≅1
2𝐶
𝑃𝜌𝑎𝑢 2 (6.4)
admitindo que o coeficiente de pressão médio, 𝐶 𝑃 , aproxima razoavelmente o coeficiente de
pressão quase-estacionário. Como descrito nos capítulos anteriores, para números de Reynolds
elevados, característicos das aplicações no domínio da engenharia civil, este coeficiente é bem
comportado.
Voltando à componente flutuante do vento, considere-se novamente a expressão (6.2).
Subtraindo a componente média da pressão de ambos os lados obtém-se a seguinte relação entre
componentes flutuantes
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𝑝′ 𝑡 =1
2𝐶𝑃0
ρa 𝑢′(𝑡)2 + 2𝑢 𝑢′ (𝑡) (6.5)
Novamente para baixas intensidades de turbulência, a média quadrática da última expressão é
definida por:
𝑝′2 𝑡 ≅1
4C P
2ρa
2 4𝑢 2𝑢′ 2 = C P2ρa
2𝑢 2𝑢′ 2 (6.6)
Esta equação define uma relação quasi-estacionária entre a média quadrática das flutuações das
pressões e a média quadrática das flutuações longitudinais das velocidades.
Posto isto, a estimativa de pressões extremas segundo a hipótese quasi-estacionária é definida
por:
𝑝 , 𝑝 =1
2𝐶𝑃0
𝜌𝑎 𝑈 2 ≅1
2𝐶𝑃 𝜌𝑎 𝑈 2 (6.7)
o que representa uma expressão de grande utilidade na aplicação à engenharia, servindo de base
aos métodos descritos neste capítulo. De acordo com esta expressão, pode-se obter estimativas
de pressões de dimensionamento utilizando coeficientes de pressão médios e velocidades de
pico. A grande desvantagem desta expressão reside no facto de não serem consideradas as
flutuações de pressões induzidas pelo edifício. No entanto, esta aproximação é conservativa, já
que na consideração de um coeficiente de pressão médio com a função de velocidade extremas
está implícita a correlação completa das pressões extremas (Holmes, 2007). Por isso, todas as
secções do corpo analisado estão relacionadas estatisticamente. A teoria da correlação de forças
flutuantes é abordada no seguinte ponto.
6.2 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício
O coeficiente de correlação espacial de duas forças flutuantes em dois pontos ao longo da
secção transversal de um edifício é definido por:
𝜌 =𝑓1
′ 𝑡 𝑓2′ 𝑡
𝜍𝑓2 (6.8)
Com o aumento da distância espacial entre os dois pontos, o coeficiente de correlação
aproxima-se de zero. Por outro lado, quando esta distância tende para zero o valor da função 𝜌
aproxima-se de 1. No primeiro caso dizem-se sem relação estatística e no segundo caso
completamente correlacionadas.
O comprimento de correlação é obtido pela seguinte expressão:
ℓ = 𝜌 𝑦 𝑑𝑦∞
0 (6.9)
Considere-se agora um corpo esbelto formado por N secções transversais acopladas.
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Figura 6-1 – Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais (Pinheiro, 2004).
A força instantânea flutuante que actua no corpo como um todo pode ser definida como
𝐹′ 𝑡 = 𝑓𝑖′ 𝑡 𝛿𝑦𝑖
𝑁1 (6.10)
A função quadrática da força flutuante pode então ser escrita como
𝐹′ 𝑡 2 = 𝑓𝑖′ 𝑡 𝑓𝑗
′ 𝑡 𝛿𝑦𝑖𝛿𝑦𝑗𝑁1
𝑁1 (6.11)
Quando na expressão anterior as distâncias tendem para zero pode-se adoptar a forma integral
da expressão. Transformando ambos os lados nos seus valores médios, tem-se como resultado
que:
𝐹′2 = 𝑓𝑖′ 𝑡 𝑓𝑗
′ 𝑡 𝐿
0
𝐿
0 𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 (6.12)
Assumindo que a função integrada pode ser escrita em função do coeficiente de correlação, vem
𝐹′2 = 𝑓 ′2 ρ yi − yj 𝐿
0
𝐿
0 𝑑𝑦𝑖𝑑𝑦𝑗 (6.13)
Por meio de uma transformação matemática, pode-se ainda escrever
𝐹′2 = 𝑓 ′2 𝑑𝑦𝑖 ρ yi − yj 𝐿−𝑦𝑗
−y j
𝐿
0 𝑑 yi − yj (6.14)
Daqui se tiram duas conclusões importantes:
No caso de correlação completa entre as forças actuantes em cada uma das N secções, a média
quadrática da força flutuante total é
𝐹′2 = 𝑓 ′2 𝐿2 (6.15)
Considerando um decréscimo rápido do comprimento de correlação, então o integral da
equação(6.14) é aproximado por:
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ρ yi − yj 𝐿−𝑦𝑗
−y j 𝑑 yi − yj = ρ yi − yj 𝑑 yi − yj
∞
−∞= 2ℓ (6.16)
Resultando assim que a o valor “r.m.s.” da força flutuante é aproximada por:
𝐹′2 = 𝑓 ′2 ∙ 𝐿 ∙ 2ℓ (6.17)
Este resultado é de grande importância para estruturas esbeltas, já que a média quadrática da
força flutuante total é directamente proporcional ao comprimento de correlação.
6.3 Método DGLF
O método tradicional DGFL descreve o carregamento de pico por acção do vento tal que:
𝑃 𝑧 = 𝐺 × 𝑃 𝑧 (6.18)
onde G é o factor de rajada que, contemplando os efeitos dinâmicos da rajada e da estrutura,
amplifica a força média do vento 𝑃 𝑧 , função da altura z.
No método DGLF, tal como o nome sugere, 𝐺 é definido em termos da função resposta do
deslocamento da estrutura. Considere-se a função deslocamento 𝑌 𝑧 . O factor de rajada DGLF
para a direcção 𝑦 pode ser descrito da seguinte forma:
𝐺𝑦 =𝑌 𝑧𝑅
𝑌 𝑧𝑅 (6.19)
em que 𝑌 𝑧𝑅 e 𝑌 𝑧𝑅 representam a resposta da função de deslocamento máximo e de
deslocamento médio relativas a uma altura de referência 𝑧𝑅 , respectivamente.
A definição matemática destas grandezas passa agora pela caracterização da acção média do
vento e pela contabilização dos efeitos dinâmicos da acção do vento na estrutura para a sua
acção extrema.
Acção Média do Vento
A caracterização da acção média do vento, na expressão (6.20) pode ser descrita como uma
pressão estática tal que:
𝑃 =1
2𝜌𝐶𝐷𝑊𝑈 𝐻
2
𝑧
𝐻
2𝛼 (6.20)
𝑈 𝑧 = 𝑈 𝐻 𝑧
𝐻
𝛼 (6.21)
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Esta expressão é função de 𝜌, a densidade do ar, 𝐶𝐷 o coeficiente de arrastamento, 𝑊 a largura
do edifício na superfície perpendicular à acção do vento e 𝑈 𝑧 a velocidade média do vento à
altura 𝑧.
A expressão da velocidade média do vento (6.21) varia de acordo com a lei exponencial com
um parâmetro base, 𝑈 𝐻 representando a velocidade média do vento no topo do edifício (𝑧 = 𝐻).
Nesta expressão 𝛼 é um expoente que define a forma da função de acordo com as condições de
exposição e da morfologia do terreno.
Contabilização dos efeitos dinâmicos do vento
O deslocamento médio pode, na grande generalidade dos casos, ser expresso em função da
resposta média do deslocamento do primeiro modo de vibração da estrutura.
𝑌 𝑧 =𝑃 1
∗
𝑘1∗ ∙𝜑 𝑧
(6.22)
Para tal, definem-se três grandezas da teoria da análise dinâmica de uma estrutura tratada como
um grau de liberdade generalizado (v.d.5). O carregamento generalizado 𝑃1∗, a rigidez 𝑘1
∗ e a
massa equivalente 𝑚1∗ no primeiro modo são descritos de acordo com as seguintes três
expressões:
𝑃 1∗ = 𝑃
𝐻
0 𝑧 𝜑 𝑧 𝑑𝑧 (6.23)
𝑘1∗ = 2𝜋𝑓1 2𝑚1
∗ (6.24)
𝑚1∗ = 𝑚 𝑧 𝜑2 𝑧 𝑑𝑧
𝐻
0 (6.25)
A função 𝜑 𝑧 define a forma do modo em função da altura e de constantes 𝛽 e 𝑐, que de
acordo com as características estruturais, tais como amortecimento e rigidez do edifício,
definem a forma da sua deformada modal.
𝜑 𝑧 = 𝑐 𝑧
𝐻
𝛽 (6.26)
Por outro lado, 𝑚 𝑧 é a função que distribui habitualmente de forma linear a massa pela
estrutura em 𝑧 de acordo com o factor de redução 𝜆.
𝑚 𝑧 = 𝑚0 1 − 𝜆 𝑧
𝐻 (6.27)
Considere-se agora a resposta estrutural do deslocamento um processo estocástico 𝜉1. De acordo
com (4.11) 𝜉1 é por consequência da acção um processo estacionário de média nula.
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O desvio padrão da resposta 𝑌 𝑧 relaciona-se com a média e a média quadrática pela seguinte
relação
𝑌2 𝑧 = 𝑌 𝑧 2 + 𝜍𝑌 𝑧 2 (6.28)
em que no caso em estudo a média do processo é nula.
Recorrendo agora à expressão (4.7), a componente relativa às flutuações, 𝜍𝑌 𝑧 , pode ser
determinada em função de 𝜑 𝑧 . Esta relação resulta na seguinte expressão
𝜍𝑌 𝑧 = 𝑆𝜉1 𝑓 𝑑𝑓
∞
0
1
2 ∙ 𝜑 𝑧 (6.29)
Nesta relação, analogamente à equação (4.7), 𝑆𝜉1 representa a função do espectro de potência
das flucutações do deslocamento generalizado 𝑌 𝑧 .
Importa agora relacionar no sistema dinâmico do edifício as funções espectrais de potência da
resposta 𝜉1 com a acção 𝑃 1∗. Recorrendo à expressão (4.25), esta relação é definida por
𝑆𝜉1 𝜛 = 𝑆𝑃 1
∗ 𝜛 𝐻(𝑖𝜛) 2 (6.30)
Daqui se retira que a resposta estrutural se relaciona com a acção do vento apenas pela função
de transferência aerodinâmica. As pressões que caracterizam a acção podem também ser
relacionadas com as propriedades efectivamente conhecidas do vento, a sua velocidade.
Na generalidade dos casos, a velocidade de escoamento é transformada em pressão dinâmica
através de uma expressão função da densidade do escoamento e de um coeficiente de forma, 𝐶𝐷,
que caracteriza o comportamento do escoamento em torno de um obstáculo. No entanto, quando
se tratam de estruturas de grande dimensão, as flutuações de velocidade no escoamento não
ocorrem simultaneamente em toda face do edifício atacada pelas rajadas. Posto isto, deve ser
considerada a correlação entre flutuações na função que define as pressões dinâmicas actuantes
no edifício com base na velocidade do escoamento.
Este conceito é contemplado numa função 𝝌 denominada função de admitância aerodinâmica que traduz a operação completa de transformação de pressões em velocidades, caracterizadas pelas respectivas funções de densidade espectral de potência.
𝑆𝑃 1∗ 𝜛 = 𝑆𝑢 𝜛 χ 𝛽, 𝜛 (6.31)
As relações das pressões em torno do edifício podem ser esquematizadas pela Figura 6-6. Note-
se que apesar de representada na figura, o exemplo estudado não contempla a correlação entre
pressões na face a sotavento e barlavento.
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Figura 6-2 – Diagrama ilustrativo das correlações de acções em torno de uma estrutura sob acção longitudinal do
vento
Atendendo às expressões (5.20) e (5.21) e aos conceitos inerentes à sua demonstração, a
expressão da função de admitância aerodinâmica, pode simplificadamente ser definida por
𝜒 𝛽, 𝑓 = 𝜌𝐶𝐷𝑊𝐻𝑈 𝐻 2
1+𝛼+𝛽 2 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 𝛽, 𝑓 2 (6.32)
em que
𝐽𝑋 𝑓 2 =1
𝑊2 𝑅𝑋 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑓 𝑑𝑥1𝑑𝑥2 (6.33)
𝐽𝑍 𝛼, 𝛽, 𝑓 2 = 1+𝛼+𝛽 2
𝐻2 𝑧1
𝐻 𝛼+𝛽
𝑧2
𝐻 𝛼+𝛽
𝑅𝑍 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑓 𝑑𝑧1𝑑𝑧2𝐻
0
𝐻
0 (6.34)
são denominadas “Joint Acceptance Functions” funções de correlação na direcção horizontal e
vertical, respectivamente (v. Figura 5-2).
𝑅𝑋 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑓 = 𝑒−
𝐶𝑋 𝑓
𝑈 𝑥1−𝑥2 (6.35)
e
𝑅𝑍 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑓 = 𝑒−
𝐶𝑍𝑓
𝑈 𝑧1−𝑧2 (6.36)
são as funções horizontal e vertical de coerência da componente flutuante da velocidade do
vento e, 𝐶𝑋 e 𝐶𝑍, os coeficientes de decaimento exponencial e como já referido, a altura de
referência.
H
z2
z1
Pl(z2,t)
Pw(z1,t)
Pw(z2,t)
Pl(z1,t)
Rpl,pw(z2,f)
Rpl,pw(z1,f)
Pw(z2,t)
Pw(z1,t)
Rpw(x1,x2,t)
v(z1,t)
v(z2,t)
Rpw(z1,z2,f)
Ru(z1,z2,f)
Rpl(z1,z2,f)
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28 Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Retomando novamente a expressão (6.30), o termo de transferência mecânica 𝐻(𝑖𝜛) é
normalmente definido para o primeiro modo por
𝐻𝑑 𝑓 2 = 𝐻1 𝑓 2
𝑘1∗2 (6.37)
onde,
𝐻1 𝑓 2 =1
1− 𝑓
𝑓1
2
2
+ 2𝜎𝑓
𝑓1
2 (6.38)
De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), prova-
se que a função de transferência mecânica depende, não só de características da turbulência, mas
também dos modos de vibração, pelo que a contabilização neste método apenas do primeiro
modo incorre na perda de alguma precisão nos resultados obtidos. Esta afirmação será mais
verdadeira quanto menos preponderante e influente for o modo de vibração fundamental e neste
caso deve ser alvo de um estudo aprofundado.
Como resultado das expressões de (6.29) a (6.38), a parte flutuante da acção do vento pode ser
rescrita como
𝜍𝑌 𝑧
𝑌 𝑧 =
𝑆𝑃 ∗ 𝑓 𝐻1 𝑓 2𝑑𝑓 2
𝑃 ∗ (6.39)
Figura 6-3 – Ilustração das densidades espectrais 𝑆𝑃 ∗(𝑛1) 𝐻(𝑛) 2, 𝑆𝑃 ∗(𝑛) 𝐻(𝑛) 2 e
𝑆𝑃 ∗(𝑛) (Simiu & 𝑆𝑐𝑎𝑛𝑙𝑎𝑛, 𝑊𝑖𝑛𝑑 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑠 𝑜𝑛 𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠, 1996)
Voltando à expressão (6.29), e com tomando como referência a Figura 6-3, a resposta da
estrutura 𝜍𝑌 𝑧 consiste aproximadamente de duas contribuições tal que
𝜍𝑌2 = 𝜍𝑌1
2 + 𝜍𝑌22 (6.40)
com
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𝜍𝑌12 = 𝑆𝑃 ∗(𝑛1) 𝐻(𝑛) 2𝑑𝑛
∞
0 (6.41)
𝜍𝑌22 = 𝑆𝑃 ∗(𝑛)𝑑𝑛
∞
0 (6.42)
As três últimas expressões podem ser compreendidas como as áreas abaixo das curvas definidas
por cada função, podendo-se tomar como boa aproximação que a resposta total de uma estrutura
será bem definida pela resposta do primeiro modo (6.41) e o integral da função espectral da
acção.
No caso da turbulência atmosférica, é corrente admitirem-se funções com andamento idêntico
ao apresentado na Figura 6-3 onde a função de densidade espectral de potência da acção é
sugerida com o decaimento representado (Simiu & Scanlan, 1996).
Demonstra-se que a resolução da acção total sobre uma estrutura de um grau de liberdade é
aproximada por
𝑆𝑃 ∗(𝑛) 𝐻(𝑛) 2𝑑𝑛∞
0≅
1
16𝜋4𝑛14𝑚2 𝑆𝑃 ∗ 𝑛 𝑑𝑛 +
𝜋𝑛1
41
∞
0𝑆𝑃 ∗ 𝑛1 (6.43)
Onde os dois termos na segunda parte da expressão representam a contribuição de fundo e a
contribuição de ressonância respectivamente.
A relação da contribuição de fundo e ressonante é habitualmente contabilizada através de uma
parcela de resposta de fundo e uma contabilizando os efeitos ressonantes da acção do vento
através da seguinte expressão, resultado da simplificação da expressão (6.19) tal que
𝐺𝑦 = 1 +𝑔𝑌𝜍𝑌 𝑧
𝑌 𝑧 = 1 + 2𝑔𝑌𝐼𝐻 𝐵 + 𝑅 (6.44)
Na formulação aqui apresentada, e considerando a estrutura um sistema de um grau de liberdade
generalizado, o factor de fundo pode agora ser definido de acordo com a seguinte expressão
𝐵 = 𝑘 𝛽, 𝑓 𝑆𝑢∗ 𝑓 𝑑𝑓
∞
0 (6.45)
onde,
𝑘 𝛽, 𝑓 = 2+2𝛼
1+𝛼+𝛽
2 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 𝛽, 𝑓 2 (6.46)
e 𝑆𝑢∗ 𝑓 é a função espectral da velocidade do vento normalizada com respeito à média
quadrática da componente variável, 𝜍𝑢2. De acordo com a maioria das regulamentações, toma-se
𝛽 = 1.
O factor de ressonância 𝑅 é, por sua vez, descrito por uma expressão bastante mais simples,
𝑅 = 𝑆𝐸/ em que 𝑆 = 𝑘 𝛽, 𝑓1 é o factor de redução, e o factor de energia de rajada e 𝜎 o
amortecimento crítico da estrutura no primeiro modo (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor:
New Model, 2001).
A expressão (6.44) fica completa definindo agora o factor de pico de ressonância. Para um
processo Gaussiano é usual definir-se
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𝑔𝑌 = 2𝑙𝑛 𝑓1𝑇 + 0.5772 2𝑙𝑛 𝑓1𝑇 (6.47)
em que 𝑇 é o tempo de observação e 𝑓1 a frequência natural do primeiro modo da estrutura.
A expressão (6.44) pode ainda ser simplificada matematicamente de forma a demonstrar para a
resposta flutuante apenas uma contribuição de fundo e outra ressonante tal que
𝐺𝑌 = 1 + 𝐺𝑌𝐵2 + 𝐺𝑌𝑅
2 (6.48)
com,
𝐺𝑌𝐵 = 2𝑔𝑢 𝐼𝐻 𝐵 (6.49)
𝐺𝑌𝑅 = 2𝑔𝑅𝐼𝐻 𝑅 (6.50)
A grande maioria dos métodos DGLF é baseada nas expressões supracitadas, distinguindo-se na
modelação da turbulência e dos modelos estruturais.
Habitualmente, os valores de R, S e E são apresentados nos códigos de dimensionamento
através de ábacos ou relações simplificadas.
6.4 Método MGLF
Considere-se uma função 𝑀 do momento na base do edifício.
O método MGLF proposto por Kareem em 2003 define o factor de rajada tal que
𝐺𝑀 =𝑀 𝐼
𝑀 𝐼 (6.51)
em que analogamente ao descrito em Erro! A origem da referência não foi encontrada. para
DGLF, 𝑀 1 e 𝑀 1 são o máximo e a média do momento induzido na base, respectivamente. É de
notar que este momento é diferente do momento provocado pela acção externa do vento, daí a
utilização do índice 𝐼.
Para um processo gaussiano a expressão (6.51) pode vir rescrita como
𝐺𝑀 = 1 +𝑔𝑀 𝜍𝑀 1
𝑧
𝑀 𝐼 (6.52)
onde mais uma vez 𝑔𝑀 é o factor de pico e 𝜍𝑀 1a média quadrática do momento na base.
O momento na base engloba as propriedades dinâmicas das rajadas e da estrutura e pode ser
obtido da resolução da equação do movimento generalizado da estrutura
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𝑚1∗𝜉 1 𝑡 + 𝑐1
∗𝜉 1 𝑡 + 𝑘1∗𝜉1 𝑡 = 𝑃 1
∗ (6.53)
em que todas as variáveis, massa 𝑚1∗ , amortecimento 𝑐1
∗ , rigidez 𝑘1∗ e carregamento 𝑃 1
∗ são
generalizadas, definidas para o primeiro modo de acordo com o índice apresentado.
Quando a acção quasi-estática generalizada do vento é aplicada no edifício, o deslocamento
generalizado é igual a qualquer outra resposta obtida através de uma análise dinâmica.
A função de densidade espectral de potência desse carregamento é dado por:
𝑆𝑃 1∗ 𝑓 = 𝑘1
∗2𝑆𝜉1 𝑓 = 𝑆𝑃 ∗ 𝑓 𝐻1 𝑓 2 (6.54)
onde a acção generalizada quasi-estática do vento é 𝑃 𝑒∗ = 𝑃 𝑒 𝑧, 𝑡 𝜑1 𝑧 𝑑𝑧 e 𝑃 𝑒 é a acção
estática equivalente do vento.
As relações entre momentos e carregamentos, 𝑃 ∗ = 𝑀 /𝐻 e 𝑃 𝑒∗ = 𝑀 𝐼/𝐻 , permitem re-
-escrever a expressão (6.54) em termos das funções de densidade espectral dos momentos tal
que:
𝑆𝑀 1 𝑓 = 𝑆𝑀 𝑓 𝐻1 𝑓 2 (6.55)
Esta equação define um novo tratamento probabilístico da acção do vento.
Comparado com o DGLF, o MGLF apresenta uma vantagem imediata. O método MGLF dá
uma descrição concisa da relação entre o carregamento aerodinâmico e os efeitos induzidos na
estrutura devido ao vento (v. Figura 5-4). Por outro lado, no DGLF a função de transferência
aerodinâmica é na realidade uma função de transferência entre o comportamento da turbulência
introduzido e o carregamento generalizado do vento, que, por sua vez, é dependente da
normalização utilizada para definir a forma do modo o que cria para a função de transferência
uma dependência da forma do modo. Como tal, este procedimento complica o procedimento de
validação desta função que se revela mais prática no caso do MGLF, já que a relação entre
resposta e carregamento pode ser facilmente validada recorrendo a tecnologias como HFBB.
Figura 6-4 – Diagrama comparativo da metodologia do modelo DGLF e MGLF (Kareem & Zhou, Gust Loading
Factor: New Model, 2001)
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Tal como o DGLF, o MGLF pode também ser descrito em função das componentes de
interferência e ressonância
𝐺𝑀 = 1 + 2𝐼𝐻 𝑔𝑢2𝐵 + 𝑔𝑅
2𝑅 = 1 + 𝐺𝑀𝐵2 + 𝐺𝑀𝑅
2 (6.56)
Para determinação destas grandezas é agora necessário recorrer a expressões indicadas em
Hu,2006.
O momento médio induzido na base da estrutura por integração é definido por
𝑀 𝐼 = 𝑃 𝑧 𝐻
0𝑧𝑑𝑧 =
1
2
𝜌𝑉𝐶𝐷𝑊𝑈𝐻2 𝐻2
2+2𝛼 (6.57)
Onde o parâmetro 𝛼 é, tal como no ponto anterior, o expoente da função velocidade.
O momento devido à resposta de fundo pode ser descrito implementando a função de influência
𝑖 𝑧 = 𝑧 (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001), onde as grandezas têm
igual significado ao do ponto anterior.
𝑀 𝐼𝐵 =
𝑔𝑢 𝜌𝐶𝐷𝑊𝑈 𝐻 2𝐻
0
𝐻
0
𝐻
0
𝐻
0
∞
0
𝑧1
𝐻
𝛼
𝑧2
𝐻
𝛼𝑅𝑧 𝑓 𝑅𝑋 𝑓 𝑆𝑢 𝑓 𝑧1𝑧2𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑧1𝑑𝑧2𝑑𝑓 =
𝑔𝑢𝐼𝐻𝜌𝑉𝐶𝐷𝑊𝑈𝐻
2 𝐻2
2+𝛼 𝑆𝑢
∗ 𝑓 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2𝑑𝑓∞
0 (6.58)
vindo agora
𝐺𝑀𝐵 =𝑀 𝐼𝐵
𝑀 𝐼= 2𝑔𝑢 𝐼𝐻
2+2𝛼
2+𝛼 𝑆𝑢
∗ 𝑓 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2𝑑𝑓∞
0
(6.59)
Para a componente do vento caso o modo não seja linear ou a distribuição de massa não seja
uniforme, o máximo deslocamento do primeiro modo é dado por:
𝑌 𝑅 𝑧 = 𝑔𝑅 𝐼𝐻𝜌𝑈 2
𝐻𝐶𝐷𝑊
2𝜋𝑓1 2𝑚0×
1+2𝛽 2+2𝛽
1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 × 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1
4𝜎𝑆𝑢
∗ 𝑓 ∙ 𝑧
𝐻
𝛽
(6.60)
onde se verifica que, pelo último produto, a função do deslocamento acompanha a forma do
modo.
Assim, o carregamento estático equivalente relativamente a esta parcela pode ser obtido pela
expressão
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𝑃 𝑅 𝑧 = 2𝜋𝑓1 2𝑚 𝑧 𝑌 𝑅 𝑧 =
𝑔𝑅 𝐼𝐻𝜌𝑈 2
𝐻𝐶𝐷𝑊
2𝜋𝑓1 2𝑚0×
1+2𝛽 2+2𝛽
1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 × 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1
4𝜎𝑆𝑢
∗ 𝑓 ∙ 1 − 𝜆𝑧
𝐻
𝑧
𝐻
𝛽
(6.61)
Por sua vez a integração do carregamento permite obter o Momento Induzido na Base devido à
parcela da ressonância
𝑀 𝐼𝑅 = 𝑃 𝑅 𝑧 𝑧𝑑𝑧𝐻
0=
𝑔𝑅𝐼𝐻𝜌𝑈 2𝐻𝐶𝐷𝑊𝐻2 1+2𝛽 2+2𝛽
1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 ×
3+𝛽 −𝜆 2+𝛽
3+𝛽 2+𝛽 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1
4𝜎𝑆𝑢
∗ 𝑓1
(6.62)
Com isto pode-se desde já escrever a expressão que define a contribuição da ressonância para
𝐺𝑀 ,
𝐺𝑀𝑅 =𝑀 𝐼𝑅
𝑀 𝐼= 2𝑔𝑅𝐼𝐻
1+2𝛽 2+2𝛽
1+𝛼+𝛽 2+2𝛽 −𝜆 1+2𝛽 ×
3+𝛽 −𝜆 2+𝛽
3+𝛽 2+𝛽 𝐽𝑋 𝑓 2 𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2 𝜋𝑓1
4𝜎𝑆𝑢
∗ 𝑓1
(6.63)
Ambos os métodos GLF aqui descritos resultam numa distribuição estática equivalente da acção
do vento que proporcionam bons resultados na direcção da acção do vento, tanto para
deslocamento como para momentos na base, no entanto, não apresentam boas estimativas para
outras respostas.
De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), o
MGLF e o DGLF são numericamente iguais para modos de vibração lineares. Contudo, para
modos de vibração não lineares, apesar da componente de fundo do MGLF ser idêntica à do
DGLF, o mesmo não se passa com a componente de ressonância. Esta relação é traduzida pela
variável como demonstrado sinteticamente na tabela seguinte.
DGLF MGLF
𝑮𝑩 (6.49) (6.59) 1 (funções lineares)
𝑮𝑹 (6.50) (6.63) 1 + 2 2 + 2 2 +
1 + + 2 + 2 − 1 + 2
3 + − 2 +
3 + 2 +
𝐽𝑍 𝛼,, 𝑓 2
𝐽𝑍 𝛼, 1, 𝑓 2
Tabela 6-1– Tabela resumo das principais relações dos métodos DGLF e MGLF
6.4.1 Algumas notas sobre os modelos quasi-estáticos
Todos os métodos descritos até agora pretendem quantificar unicamente na direcção do vento
sobre o edifício. Os fenómenos típicos de escoamento de ar atmosférico em torno de edifícios
provocam não só vibrações longitudinais, mas também transversais, resultando desta
combinação efeitos dinâmicos de torção. Na grande maioria dos casos, estes efeitos são tão ou
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mais importantes que os efeitos na direcção do vento, sobretudo quando analisados em serviço
devido ao comportamento oscilatório perceptível ao ser humano.
Ao longo das últimas décadas, como se tem vindo a fazer referência, a acção frontal do vento
sobre as estruturas tem sido eficazmente traduzida pelas teorias quasi-estáticas, no entanto, a
acção transversal e os efeitos de torção não podem ser tratados de igual forma, já que a relação
entre a incidência do escoamento e os efeitos em direcções alternadas não são bem aproximados
por relações lineares.
Contudo, o esforço dedicado à elaboração de modelos tem conduzido a desenvolvimentos dos
métodos apresentados atrás no espaço tridimensional. Baseados no modelo DGLF, Piccardo e
Solari propuseram uma aproximação empírica do espectro para uma acção transversal.
Recentemente, Kareem estende a sua proposta do modelo MGLF aos efeitos laterais e de torção
sobre os edifícios altos.
6.5 Outras abordagens
6.5.1 Túnel de Vento
O cálculo das acções e interacção do vento envolvem interacções entre escoamento e estrutura
muito complexas que, na direcção da acção do vento, têm sido traduzidas com sucesso por
modelos baseados em teorias das faixas - “strip”, e “quasi-steady”. Graças a esses modelos, são
utilizados procedimentos analíticos baseados nas características do escoamento e a geometria do
corpo imerso. Por outro lado, não existem procedimentos numéricos que traduzam eficazmente
o comportamento transversal e de torção.
As dificuldades sentidas neste campo têm destacado a análise em Túnel de Vento como o
procedimento mais fiável e completo, contudo mais dispendioso. Determinados projectistas e
muitas vezes os donos de obra defendem que este investimento inicial, face às análises
regulamentares, permite uma solução final mais económica tanto a nível estrutural como de
fachadas. Esta diferença resulta sobretudo da excessiva majoração de acções e hipóteses
conduzida na aplicação dos regulamentos (Cochran, State of the Art Review of Wind Tunnels
and Physical Modelling to Obtain Structural Loads and Cladding Pressures, 2007).
Para edifícios esbeltos, a vibração transversal e de torção induzidos pelo vento exigem análises
bastante cuidadas, o que torna as análises em túnel de vento bastante importantes nas fases mais
avançadas do projecto.
Existem dois tipos de análises em túnel de vento desenvolvidas no inicio do século XX, em
circuito aberto - NPL (National Physical Laboratory) - ou em circuito fechado – Göttingen type
(Holmes, 2007)
As técnicas de modelos aerolásticos em túnel de vento permitem obter resultados idênticos às
técnicas analíticas através da medição directa das cargas dinâmicas exercidas pela interacção do
escoamento com os edifícios. A obtenção de resultados mais precisos do que os obtidos
analiticamente exigem condições concretas de modelação do escoamento e dos obstáculos
atravessados, nomeadamente o edifício em causa, mas também dos obstáculos vizinhos
susceptíveis de induzirem efeitos importantes no escoamento incidente.
Os métodos propostos na bibliografia (Simiu & Scanlan, 1996)
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Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura 35
baseiam-se nas teorias da análise de semelhança, que em determinadas condições reproduz de
forma satisfatória os fenómenos à escala real.
Além de estudos de carácter estrutural também são frequentemente conduzidos estudos sobre os
efeitos induzidos pelo escoamento sobre outros edifícios ou mesmo sobre a circulação de peões
na envolvente do edifício em causa.
6.5.2 Computação dinâmica de fluidos
A computação dos escoamentos em torno dos edifícios e outros corpos sujeitos à acção do vento
é uma técnica que, a par da grande evolução tecnológica das últimas décadas, tem sofrido
especial destaque. Este tipo de técnicas é útil em situações pouco comuns em que os edifícios
assumem formas pouco características e que dificultam a análise por meios expeditos. Um
exemplo desta aplicação é apresentado na Figura 6-5.
Figura 6-5 – Exemplo de aplicação de CFD a uma edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Z
(esquerda) e distribuição de pressões (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)
Figura 6-6 – Exemplo de aplicação de CFD a um edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Y (esquerda)
e comparação com linhas equipotenciais teóricas (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)
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36 Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Este tipo de técnica exige normalmente um grande esforço computacional, tentando-se criar
várias hipóteses simplificativas nas equações de Navier-Stokes que descrevem o escoamento.
Contudo, o estudo do vento em estruturas esbeltas exige a consideração de várias escalas de
turbulência o que resulta numa análise muito complexa. Como consequência, na generalidade
das ofertas do mercado neste domínio, os softwares de computação dinâmica de fluidos
reproduzem com alguma fiabilidade as pressões médias do vento, não acontecendo o mesmo
com os fenómenos gerados pelas flutuações do vento bem como as acções extremas do vento.
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7 Análise do vento de acordo com o Eurocódigo
7.1 Enquadramento
A norma europeia EN 1991-1-4 procura criar um conjunto de linhas orientadoras para a
determinação das acções do vento sobre estruturas, tanto na sua análise global como
especificamente em elemento singulares.
No enquadramento destas folhas de apoio, importa referir que em 1.1(2) se pode ler que a norma
não é aplicável a edifícios com alturas superiores a 200m, o que limita bastante o domínio da
análise que se pretende efectuar. Contudo, entenda-se que este ponto pretende salvaguardar que
serão efectuados outros tipos de análises e estudos, como análises em túnel de vento, no caso de
edifícios com alturas superiores a 200m. Por isso adoptar-se-ão os procedimentos aplicáveis
segundo a norma EN 1991-1-4 como válidos.
Note-se ainda que em 1.1(4) são referidos anexos nacionais, subjacentes a cada país que
determinam um conjunto de condições físicas e climáticas característica de cada região. Este
tipo de caracterização é de grande importância na correcta definição da acção do vento.
O regulamento é ainda composto por um conjunto de anexos que permitem de forma
simplificada definir um conjunto de características da acção do vento bem como algumas
propriedades dinâmicas dos edifícios. . O regulamento, no que diz respeito aos edifícios altos,
recorre ao MGLF para determinação dos efeitos dinâmicos da interacção vento-estrutura.
Este e outros regulamentos apresentam sem grande excepção, os seguintes factores:
Especificações para velocidades base ou de referência para várias zonas abrangidas pelo
código. Geralmente uma velocidade de referência a 10m de altura e em terreno aberto
(rural);
Factores para cálculo das variações da velocidade em altura, tipo de terreno, direcção do
vento, topografia, etc.;
Coeficientes de força e pressão para várias formas geométricas de edifícios;
Contabilização de efeitos dinâmicos ressonantes em edifícios flexíveis.
O objectivo deste capítulo é enumerar os principais passos e métodos de cálculo adoptados pelo
regulamento, procurando fazer uma analogia com a teoria já apresentada. No final deste capítulo
é também efectuada uma abordagem a outros regulamentos mundiais, baseada em (Zhou,
Kijewski, & Kareem, Along-Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major
International Codes and Standards, 2002).
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7.2 Caracterização do vento em escoamento livre
7.2.1 Velocidade básica do vento
De acordo com o ponto 4.1, a velocidade do vento e a pressão por ele provocada deve ser
caracterizada contabilizando uma componente média e uma componente flutuante.
A velocidade média, 𝑣𝑚 , é calculada tendo por base a velocidade básica do vento, 𝑣𝑏 . Esta
grandeza é definida por
𝑣𝑏 = 𝑐𝑑𝑖𝑟 ∙ 𝑐𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 ∙ 𝑣𝑏 ,0 (7.1)
Nesta expressão, a velocidade fundamental da velocidade básica do vento de referência, 𝑣𝑏 ,0, é
definida a uma altura de 10m acima do solo numa zona de terreno aberto com vegetação baixa
e obstáculos isolados de pelo menos 20 vezes a sua altura. A transformação da velocidade
fundamental na velocidade básica é feita pela afectação da direcção do vento e época do ano.
Estes coeficientes de afectação da velocidade básica deverão ser consultados no Anexo
Nacional da zona a estudar. Na ausência desta informação e em casos gerais, o valor 1.0 pode
ser adoptado.
Note-se ainda que 𝑣𝑏 ,0 se refere ao valor característico de uma média de 10 minutos com uma
probabilidade anual de ser ultrapassada de 0,02, o que equivale a um período de retorno de 50
anos.
No caso de análise de estruturas temporárias, as propriedades de 𝑣,𝑏0 deverão ser afectadas pelo
coeficiente de probabilidade, 𝑐𝑝𝑟𝑜𝑏 que permite a transformação do período de retorno
equivalente à probabilidade 0,02 para a probabilidade 𝑝.
𝑐𝑝𝑟𝑜𝑏 = 1−𝐾.ln(−ln(1−𝑝))
1−𝐾.ln(− ln 0.98 )
𝑛 (7.2)
No caso de uma época bastante restrita do ano a velocidade básica deverá ser também afectada
pelos coeficientes referidos acima.
Em Portugal é usual admitir-se para 𝑣𝑏 ,0 valores na ordem dos 26m/s.
7.2.2 Função velocidade média do vento
A velocidade média do vento, função da altura z, depende da rugosidade do terreno, da
orografia do terreno e ainda da velocidade básica atrás definida.
𝑣𝑚 𝑧 = 𝑐𝑟(𝑧) ∙ 𝑐0(𝑧) ∙ 𝑣𝑏 (7.3)
O factor de rugosidade 𝑐𝑟(𝑧) depende das características do terreno, que de acordo com o EN
1991-1-4 se pode dividir nas classes apresentadas na seguinte Tabela.
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Tabela 7-1– Categorias e parâmetros das classes definidas no EN 1991-1-4
Com recurso aos parâmetros da Tabela 7-1 define-se o coeficiente de rugosidade pela expressão
seguinte:
𝑐𝑟 𝑧 = 𝑘𝑟 ∙ 𝑙𝑛 𝑧
𝑧0 para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑎𝑥 (7.4)
𝑐𝑟 𝑧 = 𝑐𝑟(𝑧min ) para 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑖𝑛
com
𝑘𝑟 = 0,19 ∙ 𝑧0
𝑧0,𝐼𝐼
0.07
(7.5)
Nestas expressões, z representa a altura ao solo, 𝑧0 o comprimento de rugosidade definida para
a classe de terreno pretendida e 𝑧0,𝐼𝐼 o comprimento de rugosidade da classe II, que serve no
fundo como valor de referência na expressão do factor de terreno 𝑘𝑟 . Note-se que este valor de
referência é coerente com a dita velocidade de referência apontada no ponto anterior, ambos
definidos numa zona de terreno aberto com vegetação baixa e obstáculos isolados de pelo
menos 20 vezes a sua altura (v. Tabela 7-1).
Relativamente ao coeficiente de orografia 𝑐0(𝑧), onde esta pode influenciar a velocidade do
vento mais do que 5%, os seus efeitos deverão ser tidos em conta. Para isso deve ser consultado
o ponto 4.3.3 da EN 1991-1-4.
De notar ainda os procedimentos sugeridos no Anexo A para casos específicos em que os
edifícios em estudo se encontram bastante próximos de edifícios vizinhos, podendo ficar
sujeitos a efeitos secundários que podem induzir elevadas velocidades do vento segundo
algumas direcções (v. 4.3.4 EN 1991-1-4). Estes efeitos podem inclusive criar situações de
desconforto nos peões que circulam junto aos edifícios.
7.2.3 Intensidade da turbulência do vento
A intensidade da turbulência 𝐼𝑣 𝑧 é habitualmente definida a determinada altura z como a
razão entre o desvio padrão da turbulência e a velocidade média da velocidade.
O Eurocódigo sugere a seguinte expressão para definição da intensidade da turbulência
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𝐼𝑣 𝑧 =𝜍𝑣
𝑣𝑚 𝑧 =
𝑘𝑙
𝑐𝑜 𝑧 ∙𝑙𝑛 𝑧/𝑧0 para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑎𝑥 (7.6)
𝐼𝑣 𝑧 = 𝐼𝑣 𝑧𝑚𝑖𝑛 para 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑖𝑛
onde 𝑘𝑙 é denominado o factor de turbulência, com valor sugerido de 1.0, salvo indicação do
Anexo Nacional.
7.2.4 Pressão de pico do vento em escoamento livre
Esta grandeza reúne as propriedades médias e flutuantes do vento, como pressão estática. A
pressão de pico é assim definida como a soma de duas parcelas, uma de carácter médio e outra
função da turbulência do escoamento.
𝑞𝑝(𝑧) = 1 + 7 ∙ 𝐼𝑣(𝑧) ∙1
2𝜌𝑣𝑚
2 𝑧 (7.7)
É corrente comparar-se esta grandeza à pressão estática da velocidade básica 𝑞𝑏 , definindo-se
assim uma nova grandeza, o factor de exposição, 𝑐𝑒 𝑧 , que não é mais do que a amplificação
da pressão estática devido à velocidade básica, resultado da diferença de altura z e da
turbulência do escoamento nesse ponto.
𝑐𝑒 𝑧 = 1 + 7 ∙ 𝐼𝑣(𝑧) ∙
1
2𝜌𝑣𝑚
2 𝑧 1
2𝜌𝑣𝑏
2 (7.8)
7.3 Caracterização along-wind da acção do vento
A contabilização da acção do vento sobre o edifício é efectuada com recurso a um ponto de
referência onde todas as propriedades do vento são calculadas. De acordo com 6.3.2, no caso de
edifícios altos a altura de referência de cálculo deverá ser em 𝑧𝑒 = 0.6𝐻, com 𝐻 a altura total
do edifício.
Figura 7-1 – Dimensões estruturais e alturas de referência para estruturas passíveis de análise pelo EN 1991-1-4
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A força do vento, no caso de uma análise global, deverá ser quantificada pela seguinte
expressão
𝐹𝑤 = 𝑐𝑠𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑓 ∙ 𝑞𝑝 𝑧𝑒 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑓 (7.9)
Nesta expressão, 𝑐𝑓 representa o coeficiente de força que depende da forma do edifício e
geralmente do número de Reynolds. 𝑐𝑠𝑐𝑑 é denominado factor de estrutura e contempla os
efeitos aleatórios do vento na ocorrência de picos não simultâneos em toda a superfície do
edifício bem como as vibrações induzidas no edifício devido à turbulência do vento. 𝐴𝑟𝑒𝑓
representa a área de referência sobre a qual actuam as pressões estáticas do vento.
Esta expressão define uma análise quasi-estática, em que se aplica o método MGLF para
definição das propriedades do coeficiente 𝑐𝑠𝑐𝑑 . Recordando a expressão (6.18) e analisando
comparativamente com a expressão (7.9), compreende-se que 𝑐𝑠𝑐𝑑 não representa o factor de
pico, uma vez que as pressões estáticas definidas em (7.9) já se encontram nesta expressão
afectadas da turbulência do escoamento.
7.3.1 Definição dos coeficientes de força
Os coeficientes de força aerodinâmicos dependem de vários factores tais como o número de
Reynolds e a forma geométrica da secção do edifício. O Eurocódigo apresenta sugestões para
um conjunto de formas regulares, cilíndricas e poligonais. DE uma forma geral, o coeficiente de
força é determinado por
𝑐𝑓 = 𝑐𝑓 ,0 (7.10)
em que 𝑐𝑓 ,0 representa o coeficiente de força sem a contabilização dos efeitos tridimensionais do
escoamento em torno do edifico. O valor de tem em conta estes efeitos, de recirculação a
barlavento. Estes efeitos dependem da esbelteza efectiva do edifício e deve ser tida em conta de
acordo com o ponto 7.13 do regulamento.
Outros efeitos específicos de cada forma são tidos em conta no Eurocódigo. Essa análise é
efectuada caso a caso.
Note-se ainda que o EN 1991-1-4 apresenta um conjunto vasto de disposições para outro tipo de
coeficientes, como coeficientes de pressões para os mais variados elementos e formas
estruturais. Estas disposições podem ser encontradas no ponto 7.
7.3.2 Factor de estrutura – structural factor cscd
O factor de estrutura, que como já foi referido, contabilizada a aleatoriedade da acção do vento,
a perda de correlação dessa acção em vários pontos simultaneamente e as vibrações induzidas
na estruturas. Este tipo de análise fará apenas sentido para alguns tipos concretos de estruturas,
nomeadamente os edifícios altos.
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Para edifícios tipicamente baixos ou com frequências de vibração muito elevados, superiores a
5Hz, o valor de 𝑐𝑠𝑐𝑑 pode ser tomado como 1. Edifícios esbeltos, altos e flexíveis não
dispensam o cálculo detalhado de 𝑐𝑠𝑐𝑑 .
Para as estruturas representadas Figura 6-5, o factor de estrutura pode ser calculado por
𝑐𝑠𝑐𝑑 =1 + 2 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝐵2 + 𝑅2
1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 (7.11)
Nesta expressão, 𝑘𝑝 é o factor de pico definido pela maxíma razão entre a flutuação do vento e
o seu desvio padrão. 𝐵2 e 𝑅2 representam o factor de fundo e o facto de ressonância,
respectivamente. O factor de fundo mede a falta de correlação das pressões em toda a estrutura e
o factor de ressonância por sua vez mede a turbulência do vento em ressonância com o modo de
vibração principal da estrutura.
O factor de estrutura pode ainda ser dividido no produto de dois factores, o de dimensão que
tem em conta a ocorrência não simultânea das pressões de pico em toda a estrutura e o factor
dinâmico com respeito à ressonância do edifício.
Esses factores são definidos em 6.3.1 (1) por
𝑐𝑠 =1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝐵2
1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 (7.12)
𝑐𝑑 =1 + 2 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝐵2 + 𝑅2
1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 𝐵2 (7.13)
Note-se que neste procedimento, a par do que é referido na contextualização teórica deste
problema, admite-se que as respostas devido aos modos secundários na direcção do vento são
desprezáveis.
7.3.3 Determinação do factor de fundo - 𝐵2
O factor de fundo é definido pela expressão seguinte
𝐵2 = 1 1 + 0.9 ∙ 𝑏+
𝐿(𝑧𝑒)
0.63 (7.14)
em que 𝑏 e representam a largura e altura da estrutura e 𝐿(𝑧𝑒) a Escala de comprimento da
turbulência.
𝐿 𝑧𝑒 = 𝐿𝑡 ∙ 𝑧𝑒
𝑧𝑡
0.67+0.05ln(𝑧0)= 300 ∙
𝑧𝑒
200
0.67+0.05ln(𝑧0) para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 (7.15)
𝐿 𝑧𝑒 = 𝐿(𝑧min ) para 𝑧𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝑧 (7.16)
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7.3.4 Determinação do factor de ressonância - 𝑅2
A expressão do factor de ressonância é definida com recurso ao espectro do vento sugerido no
Eurocódigo.
Figura 7-2 – Função de densidade espectral do vento 𝑆𝐿 normalizada
A densidade espectral da acção do vento normalizada é descrita pela expressão seguinte, em que
𝑆𝑣(𝑧, 𝑛) representa a função de densidade espectral da velocidade do vento
𝑆𝐿 𝑧, 𝑛 =𝑛∙𝑆𝑣(𝑧,𝑛)
𝜍𝑣2 =
6.8∙𝑓𝐿(𝑧 ,𝑛)
(1+10.2∙𝑓𝐿(𝑧 ,𝑛))5/3 (7.17)
A expressão (7.17) é função da frequência adimensional 𝑓𝐿(𝑧, 𝑛) que por sua vez se relaciona
com a escala de comprimentos da turbulência a e a velocidade média através de
𝑓𝐿 𝑧, 𝑛 =𝑛 ∙ 𝐿(𝑧)
𝑣𝑚 𝑧 (7.18)
Destas expressões importa contabilizar o valor espectral da resposta do primeiro modo para a
altura de referência 𝑧𝑒 .
Posto isto, a expressão do factor de ressonância é definida tal que
𝑅2 =𝜋2
2∙𝛿∙ 𝑆𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 ∙ Rh h ∙ Rb b (7.19)
onde 𝛿 representa o decremento logarítmico do amortecimento global da estrutura e Rh e Rb as
funções de admitância aerodinâmica, vertical e horizontal respectivamente.
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Segundo B.2(6), as funções de admitância aerodinâmica para o modo de vibração fundamental
podem ser definidas por
𝑅 =1
−1
22 (1 − 𝑒−2 ) com =
4.6
𝐿 𝑧𝑒 ∙ 𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 (7.20)
𝑅𝑏 𝑏 =1
𝑏
−1
2𝑏2 (1 − 𝑒−2𝑏 ) com 𝑏 =
4.6
𝐿 𝑧𝑒 ∙ 𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 (7.21)
Para valores de e 𝑏 nulos, as função de admitância aerodinâmica tomam o valor unitário.
O decremento logarítmico do amortecimento global da estrutura deverá ser determinado com
recurso ao Anexo F do regulamento.
7.3.5 Factor de pico - 𝑘𝑝
O factor de pico é normalmente definido por uma expressão do tipo da equação (6.47), sendo no
entanto no Eurocódigo sugerida uma expressão idêntica com a seguinte forma
𝑘𝑝 = 2 ∙ ln 𝑇 + 0.6/ 2 ∙ ln 𝑇 com 𝑘𝑝 ≥ 3
(7.22)
onde 𝑇 é o tempo em segundos da média da velocidade básica considerada no cálculo de
𝑣𝑚 𝑧𝑒 , ou seja no caso das velocidades definidas pela norma europeia 𝑇 = 600𝑠 (10min) e a
frequência cruzada da interacção dos fenómenos de fundo e ressoantes, contabilizando apenas a
frequência do modo de vibração fundamental.
= 𝑛1,𝑥 𝑅2
𝐵2+𝑅2 com ≥ 0.08 𝐻𝑧 (7.23)
Como exercício final, sugere-se que o leitor tente compreender a analogia destas expressões
com as do capítulo anterior de contextualização teórica.
7.4 Análise dos edifícios em Serviço
No anexo B, na continuação do procedimento de cálculo do factor de estrutura, são também
apresentadas algumas disposições relativamente à avaliação de propriedades cinemáticas tais
como os deslocamentos e as acelerações do edifício.
Relativamente aos deslocamentos, é sugerida a determinação dos deslocamentos na direcção do
vento através do carregamento estático equivalente obtido nos pontos anteriores. Para isso
podem-se por exemplo calcular num modelo de barras ou de elementos finitos os deslocamentos
associados à força do vento.
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No que diz respeito às acelerações, é proposta uma expressão para o desvio padrão
característico das acelerações na direcção do vento, num ponto de altura z.
𝜍𝑎 ,𝑥 𝑧 =𝑐𝑓 ∙ 𝜌 ∙ 𝑏 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝑣𝑚
2 (𝑧𝑒)𝑚1,𝑥
∙ 𝑅 ∙ 𝐾𝑥 ∙1,𝑥(𝑧) (7.24)
Nesta expressão, 𝑚1,𝑥 representa a massa modal equivalente para o primeiro modo, 𝑅 a raiz
quadrada do factor de ressonância e 𝐾𝑥 um factor adimensional definido por
𝐾𝑥 = 𝑣𝑚
2 (𝑧)1,𝑥(𝑧)𝑑𝑧
0
𝑣𝑚2 (𝑧𝑒) 1,𝑥(𝑧)𝑑𝑧
0
(7.25)
Tanto nesta expressão como na anterior, 1,𝑥(𝑧) representa a função de forma modal do modo
de vibração principal, definida no regulamento no Anexo F, função do comportamento
estrutural do edifício.
A função de forma modal é dada por
1,𝑥 𝑧 = 𝑧
(7.26)
com a variar com o tipo de estrutura do edifício e pode ser obtido F.3.
A simplificação aproximada da expressão (7.25) considerando a função de formal modal (7.26)
conduz à expressão
𝐾𝑥 = (2 ∙ + 1) + 1 ∙ ln 𝑧𝑒
𝑧0 + 0.5 − 1 + 1 2 ∙ ln
𝑧𝑒
𝑧0 (7.27)
De acordo com os vários tipos de estrutura, a computação da última expressão permite definir o
seguinte gráfico.
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Figura 7-3 – Aproximação do coeficiente adimensional 𝐾𝑥 , de acordo com a expressão (7.27)
Uma vez que a média da aceleração é nula, o valor absoluto da aceleração máxima atingida pelo
edifício é obtido pela multiplicação do desvio padrão por um factor de pico. Pode-se ler em
B.4(4) que o valor de pico característico da acção é obtido através da multiplicação do desvio
padrão pelo factor de pico calculado em (7.22), também contabilizando a frequência de vibração
do primeiro modo na direcção along-wind.
𝑎𝑥 ,𝑚á𝑥 = 𝑘𝑝 ∙ 𝜍𝑎 ,𝑥 (7.28)
7.5 Comparação do EC1 com outras normas mundiais (along-wind)
Com base no artigo supracitado, procura-se demonstrar o paralelismo entre as principais normas
mundiais, nomeadamente:
EN 1991-1-4:2005 - Norma Europeia
ASCE 7 – Norma Norte Americana
AS1170.2 – Norma Australiana
NBC – Norma Canadiana
RLB-AIJ – Norma Japonesa
7.5.1 Velocidade Básica do Vento
Na grande generalidade dos regulamentos mundiais, a velocidade básica do vento, 𝑉0 , é
determinada experimentalmente com medições a 10 m de altura sobre terreno aberto.
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EC 1 ASCE 7 AS1170.2 NBC RLB-AIJ
Velocidade
básica do vento 3s 3s 1h 10min 10min
Factor de rajada
do vento 3s 1h 1h 10min 3s
Resposta
induzida pelo
vento
1h 1h 1h 10min 10min
Tabela 7-2 – Tempos médios nos diferentes regulamentos
São elaboradas médias sobre amostras de dimensões e períodos de amostragem diferentes.
Neste contexto, a Tabela 7-2 relata os tempos médios de amostragem segundo cada código não
só para a velocidade básica mas também para o factor de rajada do vento, bem como a resposta
induzida pelo mesmo.
A velocidade de dimensionamento é obtida no caso geral pela expressão
𝑉 = 𝑉0. 𝐶𝑑 . 𝐶𝑠 . 𝐶𝑖 . 𝐶𝑟 (7.29)
Este conjunto de coeficientes configura a velocidade básica numa aproximação da velocidade de
um determinado local introduzindo a influência do meio ambiente, da direcção do vento, dos
intervalos de amostragem utilizados na obtenção de 𝑉0 e outros factores significativos
associados à estrutura do vento. Desta forma, os índices poderão ser descritos de acordo com a
seguinte enumeração:
-𝐶𝑑 - coeficiente de direccionalidade, “directionality”
-𝐶𝑠 - , coeficiente de protecção/exposição “shield”
-𝐶𝑖 – coeficiente de importância, “importance”
-𝐶𝑟 – coeficiente de retorno, “return”
7.5.2 Comportamento médio do vento
A distribuição que caracteriza a velocidade média do vento em altura é influenciada pela
topografia do terreno, obstáculos na vizinhança, bem como pelos intervalos de amostragem
utilizados na sua definição. A dimensão do intervalo utilizado nas médias influencia o perfil da
velocidade do vento. Note-se que para os intervalos correntes na Tabela 7-2 uma amostra de três
segundos terá com certeza uma distribuição mais regular do que uma amostra de uma hora.
Como referido no capítulo 2, são utilizados predominantemente duas formulações para o
comportamento da velocidade do vento em altura, a lei exponencial e a lei logarítmica. Os
regulamentos abordados e na sua generalidade, recorrem à lei exponencial.
𝑧 = 𝑉0 . 𝑏. 𝑧
10
𝛼 (7.30)
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As constantes 𝛼 e 𝑏, calibram a expressão de acordo com o tipo de terreno. Os valores propostos variam de
variam de regulamento para regulamento e são resumidos na
ASCE -7 AS1170.2 NBC
1h 1h 1h
b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼
A 0.30 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36
B 0.45 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25
C 0.65 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14
D 0.80 0.11 0.69 0.13
E
Tabela 7-3
ASCE -7 AS1170.2 EC 1 RLB-AIJ
3s 3s 10min 10 min
b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼
A 0.66 0.20 0.76 0.14 0.55 0.29 0.39 0.35
B 0.85 0.14 0.91 0.10 0.77 0.21 0.58 0.27
C 1.00 0.11 1.04 0.07 1.00 0.16 0.79 0.20
D 1.09 0.09 1.18 0.04 1.17 0.12 1.00 0.15
E 1.23 0.10
ASCE -7 AS1170.2 NBC
1h 1h 1h
b 𝛼 b 𝛼 b 𝛼
A 0.30 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36
B 0.45 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25
C 0.65 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14
D 0.80 0.11 0.69 0.13
E
Tabela 7-3 – Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos “padronizados”
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É usual recorrer-se à relação adimensional 𝐶𝑒 𝑧 = 𝑉 (𝑧)/𝑉 03𝑠 para caracterizar a variação
média da velocidade. No entanto, como já foi feita a observação, nem todos os regulamentos
utilizam as rajadas medidas em 3s. De acordo com (Zhou, Kijewski, & Kareem, Along-Wind
Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major International Codes and
Standards, 2002), recorre-se neste estudo a uma transformação (citar fórmula/apresentar
fórmula) para uma rajada de 3s.
Considerando esta transformação, é possível desenhar as curvas que representam este
coeficiente adimensional de acordo com o conjunto de gráficos Figura 7-4 (a).
Figura 7-4 – Comparação das funções velocidade normalizada (a), intensidade da turbulência (b) e densidade
espectral (c) nos vários regulamentos – ASCE, AS1170, NBC, AIJ, EC1.
7.5.3 Intensidade da turbulência
O comportamento da intensidade da turbulência é também descrito por uma função exponencial
𝐼 𝑧 = 𝑐. (𝑧/10)−𝑑 (7.31)
Nesta expressão 𝑐 e 𝑑 são também constantes que dependem da caracterização do terreno. Os
valores que podem tomar de acordo com as classes de terreno definidas nos regulamentos são
apresentados na tabela Tabela 7-4
ASCE -7 AS1170.2 EC1 RLB-AIJ NBC
c d c d c d c d c d
A 0.450 0.167 0.453 0.300 0.621 0.360 0.402 0.400 0.434 0.290
B 0.300 0.167 0.323 0.300 0.335 0.250 0.361 0.320 0.285 0.210
C 0.200 0.167 0.259 0.300 0.200 0.140 0.259 0.250 0.189 0.160
D 0.150 0.167 0.194 0.300 0.204 0.200 0.145 0.120
E 0.162 0.150
Tabela 7-4 – Coeficientes para definição do perfil da intensidade de turbulência
A computação da função referida na expressão (7.31) conduz à Figura 7-4(b).
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7.5.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e
Correlação da estrutura do vento
A Tabela 7-5 resume as expressões definidas para a função espectral do vento adimensional,
bem como a escala de comprimentos da turbulência.
Função espectral do vento Escala comp. da turbulência
ASCE 7 𝑓𝑆𝑣(𝑓)
𝜍𝑣2 =
6.868𝑥
(1 + 10.302𝑥)5/3, 𝑥 =
𝑓. 𝐿𝑧(𝑧)
𝑉(𝑧)
𝐿𝑧 𝑧 = 𝑙 𝑧/10 휀
𝑙 e 휀 dependem do tipo de terreno
AS1170.2 𝑓𝑆𝑣(𝑓)
𝜍𝑣2 =
4𝑥
6.667(2 + 𝑥2)5/6, 𝑥 =
𝐿𝐻𝑓
𝑉 𝐻 𝐿𝐻 = 1.00 𝐻/10 0.25
NBC 𝑓𝑆𝑣(𝑓)
𝜍𝑣2 =
2𝑥
3(1 + 𝑥2)4/3, 𝑥 =
1,20𝑓
𝑉 𝐻 𝐿𝐻 = 1200
RLB-AIJ 𝑓𝑆𝑣(𝑓)
𝜍𝑣2 =
4𝑥
(1 + 70.8𝑥2)5/6, 𝑥 =
𝐿𝐻𝑓
𝑉 𝐻
𝐿𝐻 = 100(𝐻/30)0.5
EC1 𝑓𝑆𝑣(𝑓)
𝜍𝑣2 =
6.868𝑥
(1 + 10.302𝑥)5/3, 𝑥 =
𝑓. 𝐿𝑧(𝑧)
𝑉 (𝑧)
𝐿𝑧 𝑧 = 300 𝑧/300 휀
휀 depende do tipo de terreno
Tabela 7-5 – Funções de densidade espectral do vento de acordo com os vários regulamentos
De referir na formulação destas expressões que na definição das escalas de comprimentos da
turbulência apenas para o código europeu e para o americano se têm uma dependência do
terreno, introduzida pelo parâmetro 휀 . De facto, nos restantes regulamentos este parâmetro não
é utilizado, sendo que para o código Canadiano 𝐿𝐻 assume mesmo um comportamento
constante em altura. A Figura 7-4 (c) ilustra os resultados aplicados na computação destas
funções.
7.5.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF)
Os procedimentos para cálculo da acção do vento introduzindo a amplificação de rajada seguem
o modelo referido no capítulo 4 de autoria de Davenport. Nos vários regulamentos a aplicação
deste modelo difere na abordagem feita por cada um para a modelação do campo de velocidades
do vento e das suas características e estrutura dinâmica. Esta abordagem está na origem das
diferenças apresentadas nas expressões que conduzem ao cálculo do carregamento estático
equivalente, de acordo com a Tabela 7-6. De notar que no código americano e europeu a reposta
de fundo é baseada num modelo GLF de autoria de Kareem, no entanto, bastante semelhante à
formulação de Davenport.
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Tabela 7-6 – Definição do Factor de rajada –GLF- de acordo com os vários regulamentos
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8 Exemplo de aplicação do Eurocódigo 1.4
Para resolução do problema seguinte foram considerados os seguintes pressupostos:
Características do edifício
Forma geométrica da secção do edifício (secção constante) –
Npisos – 60 pisos;
Altura – 200 𝑚;
Largura – 25𝑚; Massa modal – 0,74𝑡𝑜𝑛/𝑚2;
Solução estrutural em betão armado formada por um núcleo central e colunas
periféricas com pouca contribuição para as acções horizontais;
Frequência de vibração fundamental – 𝑓 = 46/200 = 0,23𝐻𝑧
Características do Terreno
Zona costeira;
Características do Vento
Velocidade fundamental do vento – 26𝑚/𝑠; Massa volúmica do ar – 1,25𝑘𝑔/𝑚3.
8.1 Caracterização do vento em escoamento livre
Altura de cálculo - 𝑧𝑒 = 0,6 × 𝐻 = 120𝑚
Velocidade básica do vento - 𝑣𝑏 = 𝑐𝑑𝑖𝑟 ∙ 𝑐𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 ∙ 𝑣𝑏 ,0 = 1,0 × 1,0 × 26,0 = 26,0𝑚/𝑠
Velocidade média do vento
𝑣𝑚 𝑧𝑒 = 𝑐𝑟 𝑧 ∙ 𝑐0 𝑧 ∙ 𝑣𝑏 = 0,19 ∙ 0,003
0,05
0.07
× 1,0 × 26,0 = 42,99𝑚/𝑠
Intensidade da turbulência
𝐼𝑣 𝑧𝑒 =𝑘𝑙
𝑐𝑜 𝑧 ∙𝑙𝑛 𝑧/𝑧0 =
1,0
1,0 ∙ 𝑙𝑛 120/0.003 = 0,094
Pressão dinâmica de pico
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𝑞𝑝 𝑧𝑒 = 1 + 7 ∙ 𝐼𝑣 𝑧 ∙1
2𝜌𝑣𝑚
2 𝑧𝑒 = 1 + 7 ∙ 0,094 ∙1
2∙ 1,25 ∙ 42,992 = 1,92𝑘𝑃𝑎
Comprimento de escala da turbulência
𝐿 𝑧𝑒 = 300 ∙ 𝑧𝑒
200
0.67+0.05ln(𝑧0)
= 300 ∙ 120
200
0.67+0.05ln(0,003)
= 247,13𝑚
8.2 Coeficiente de força
De acordo com o ponto 7.6, a resolução do coeficiente de força sem afectação da
tridimensionalidade do edifício é feita pelo ábaco apresentado.
𝑑
𝑏= 1 𝑐𝑓 ,0 = 2,1
O factor de redução para cantos arredondados 𝑟 para uma secção quadrada perfeita é igual à
unidade, virtude da relação 𝑟/𝑏 se aproximar de zero.
O factor de fecho, , deve ser calculado de acordo com o ponto 7.13 do regulamento.
= min 1,4 ∙𝑙
𝑏, 70 = min 1,4 ∙
200
25, 70 = 11,20
Recorrendo agora ao ábaco que nos indica o factor de fecho em função do coeficiente de solidez
e a esbelteza do edifício, obtém-se 0,72.
Assim vem para o coeficiente de força a seguinte expressão:
𝑐𝑓 = 𝑐𝑓 ,0 ∙ 𝑟
∙
= 2,1 ∙ 1,0 ∙ 0,72 = 1,55
8.3 Factor estrutural – cscd
8.3.1 Factor de fundo – 𝐵2
𝐵2 = 1 1 + 0.9 ∙ 𝑏 +
𝐿(𝑧𝑒)
0.63
= 1 1 + 0.9 ∙ 25 + 200
247,13
0.63
= 0,54
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8.3.2 Factor de Ressonância – 𝑅2
Frequência adimensional
𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 =𝑛1,𝑥 ∙ 𝐿(𝑧𝑒)
𝑣𝑚 𝑧𝑒 = 0,23 ∙ 247,13
42,99 = 1,32
Densidade espectral normalizada
𝑆𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 =6.8 ∙ 𝑓𝐿(𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥)
(1 + 10.2 ∙ 𝑓𝐿(𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥))5/3=
6.8 ∙ 1,32
(1 + 10.2 ∙ 1,32)5/3= 0,10
Funções de admitância aerodinâmica
=4.6
𝐿 𝑧𝑒 ∙ 𝑓𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 =
4.6∙200
247,13∙ 1,32 = 4,92
𝑅 =1
−1
22 1 − 𝑒−2 = 0,18
𝑏 =4.6 ∙ 25
247,13∙ 1,32 = 0,62
𝑅𝑏 𝑏 =1
𝑏
−1
2𝑏2 1 − 𝑒−2𝑏 = 0,69
De notar que a correlação das pressões é maior na direcção horizontal do que na direcção
vertical. A grande dimensão em altura do edifício leva a uma perda de correlação das suas
pressões cuja quantificação é de grande importância para o seu correcto dimensionamento.
Amortecimento global do edifício
Tabela F.2 - 𝑠 = 0,10
𝑎 =𝑐𝑓 ∙ 𝜌𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑣𝑚 𝑧𝑒
2 ∙ 𝑛1 ∙ 𝑚𝑒=
1,55 ∙ 1,25 ∙ 25 ∙ 42,99
2 ∙ 0,23 ∙ 138750= 0,026
𝑠 = 0,00
Factor de ressonância
𝑅2 =𝜋2
2 ∙ 𝛿∙ 𝑆𝐿 𝑧𝑒 , 𝑛1,𝑥 ∙ Rh h ∙ Rb b =
𝜋2
2 ∙ 0,126∙ 0,10 ∙ 0,18 ∙ 0,69 = 0,52
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8.4 Factor de pico
Frequência cruzada
= max 𝑛1,𝑥 𝑅2
𝐵2 + 𝑅2, 0.08 = max 0,23
0,522
0,542 + 0,522, 0.08 = 0,16
Factor de pico
𝑘𝑝 = max 2 ∙ ln 𝑇 +0.6
2 ∙ ln 𝑇 , 3 = max 2 ∙ ln 0,16 ∙ 600 +
0.6
2 ∙ ln 0,16 ∙ 600 , 3 = 3,22
8.5 Máxima aceleração na direcção along-wind
Massa generalizada do primeiro modo
𝑚1,𝑥 = 138750 𝑘𝑔/𝑚
O ponto B.3 fornece-nos um ábaco com algumas curvas simplificadas para 𝐾𝑥 válidas
quando o 𝑐0 𝑧 = 1.
𝐾𝑥 𝑧𝑒
𝑧0, 휁 = 𝐾𝑥 40000,1,5 = 1,62
Desta forma a expressão do desvio padrão da aceleração no ponto mais alto (𝑧 = 𝐻)
resulta
𝜍𝑎 ,𝑥 𝐻 =𝑐𝑓 ∙ 𝜌 ∙ 𝑏 ∙ 𝐼𝑣 𝑧𝑒 ∙ 𝑣𝑚
2 (𝑧𝑒)
𝑚1,𝑥∙ 𝑅 ∙ 𝐾𝑥 ∙1,𝑥(𝐻)
𝜍𝑎 ,𝑥 𝐻 =1,51 ∙ 1,25 ∙ 25 ∙ 0,094 ∙ 42,992
138750∙ 0,52 ∙ 1,62 ∙ 1 = 0,0688𝑚/𝑠2
Considerando o factor de pico calculado atrás, obtém-se para a aceleração de pico o
seguinte resultado.
𝑎𝑥 ,𝑚á𝑥 = 𝑘𝑝 ∙ 𝜍𝑎 ,𝑥 = 3,22 ∙ 0,0688 =0,2218𝑚
𝑠2=
22,18𝑐𝑚
𝑠2= 0,0226𝑔
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Como exemplo de aplicação na verificação da resposta do edifício em serviço,
considere-se agora o seguinte ábaco ( (Bulletin D'Information N 209 - Vibration
Problems in Structures).
A localização do edifício considerado apresenta uma resposta não só perceptível como
também já perturbadora, com uma amplitude máxima de deslocamento no topo do
edifício a rondar os 17cm (L/2353).
O correcto dimensionamento deste edifício obrigaria a uma optimização das suas
propriedades físicas e geométricas procurando enquadrar o edifício numa zona mais
inferior do ábaco.
Como exercício final propõe-se que o leitor calcule o deslocamento máximo do edifício
através de um programa de cálculo de elementos finitos e compare com o resultado
obtido no ábaco.
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