Abimael Fernando MoreiraCarmelígia Marchini

Lucimar Donizete GusmãoMaria Neide Freiria

Equipe de MatemáticaDEB/SEED/PR

ebmatematica@gmail.com

(41) 3340 1714

Resolução de Problemas: a arte da descoberta

Resolução de Problemas

Histórico:

• Resolver problemas é natural do ser humano desde os primórdios de nossa

história.• Os problemas serviram de motor para impulsionar o desenvolvimento e a evolução da humanidade nos mais diversos campos.

Resolução de Problemas• A Resolução de Problemas aparece desde muito cedo na história da humanidade.

• Até meados do século XX, a Resolução de Problemas consistia basicamente em resolver problemas de ordem prática, mas não como metodologia de ensino.

STANIC& KILPRATRICK(1989), apud HUAMÁN HUANCA

Resolução de Problemas

• O “Ensinar Matemática” por meio da Resolução de Problemas percorreu um longo caminho no século XX, tomando proporções mais significativas, especialmente nos últimos 40 anos.• As reformas sociais e as mudanças no ensino de matemática nos ajudaram a entender a concepção atual da Resolução de Problemas.

Onuchic & Allevato (2004), apud HUAMÁN HUANCA

Resolução de Problemas• 1960 e 1970, a Resolução de Problemas foi ganhando mais espaço, principalmente em muitas pesquisas, especialmente, em Educação Matemática.

• 1980, os pesquisadores passaram a questionar o ensino, o efeito de estratégias e modelos e a discutir as perspectivas didático-pedagógicas da Resolução de Problemas.

• Ela passa, então, a ser vista como uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática.

Resolução de Problemas• No documento “Uma Agenda para a Ação”, do NCTM - National Council of Teachers of Mathematics, em 1980, diz que Resolução de Problemas deveria ser o foco da matemática escolar nos anos 80. • No início da década de 90, a UNESCO, através da sua declaração mundial sobre Educação para todos, também declara claramente que a Resolução de Problemas deve ser um instrumento essencial da aprendizagem, do mesmo modo que a leitura, a escrita e o cálculo.

(Huamán, 2006, p. 20)

Resolução de Problemas

• No Brasil, apoiados em ideias contidas no NCTM, foram criados os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs.• Apontam o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los como um dos propósitos do ensino de Matemática.• Indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para se fazer matemática na sala de aula.

Resolução de Problemas• Aprender Matemática é muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x na resposta correta; é interpretar, criar significados, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. • Os problemas NÃO são conteúdos e sim uma forma de trabalhar os conteúdos. • Os conceitos básicos deverão ser desenvolvidos a partir de problemas e estes problemas podem ser utilizados também como um desafio à reflexão dos alunos.

Currículo Básico para Escola Pública Estado do Paraná

Resolução de Problemas• Os conteúdos matemáticos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas do campo da Educação Matemática: Resolução de Problemas;• Modelagem Matemática;• Mídias Tecnológicas;• Etnomatemática;• História da Matemática;• Investigação Matemática.

DCE de Matemática do Estado do Paraná

Resolução de Problemas

• A Resolução de Problemas tem sido recomendada em documentos orientadores curriculares como uma metodologia de ensino

• Além disso, a Resolução de Problemas é foco nas avaliações externas

Avaliação Externa

INTERNA x EXTERNA• Avaliação interna: realizada pelo professor, voltada para o desenvolvimento dos processos de ensino e aprendizagem.• Instrumento: trabalhos em grupo ou individuais, testes ou provas, com questões de múltipla escolha ou questões abertas, dramatizações, observação, relatórios.• Avaliação externa: avalia o desempenho de um conjunto de estudantes agrupados por escola ou por sistemas.• Instrumento: testes compostos por itens de múltipla escolha por meio dos quais apenas uma habilidade é avaliada.

SAEB/PROVA BRASIL

Objetivo Geral da Avaliação:

Realizar um diagnóstico dos sistemas educacionais brasileiros. As informações produzidas por essa avaliação visam subsidiar a formulação, reformulação e monitoramento das políticas públicas educacionais nas esferas municipal, estadual e federal, contribuindo para a melhoria da qualidade, equidade e eficiência do ensino.

SAEB/PROVA BRASIL

O SAEB é composto pelos processos:

ANEB/SAEB: Avaliação Nacional da Educação Básica.

Subsidia o cálculo do IDEB dos estados e do IDEB nacional.

ANRESC/Prova Brasil: Avaliação Nacional do Rendimento Escolar.

Subsidia o cálculo do IDEB de municípios e de escolas da rede pública.

SAEB/PROVA BRASIL

• As avaliações que compõem o Saeb são realizadas a cada dois anos, quando são aplicadas provas padronizadas de Língua Portuguesa e Matemática, além de questionários socioeconômicos aos estudantes.

Diretores e professores também preenchem ao questionário socioeconômico.

• SAEB: é realizada por amostragem e é aplicado para alunos do 5º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3ª ano do Ensino Médio.

• Prova Brasil: Avalia todos os estudantes da rede pública matriculados no 5º e 9º anos do Ensino Fundamental.

SAEB/PROVA BRASIL

A Prova Brasil e o SAEB constituem a base para a definição do:

IDEB: Padrões e Critérios que combinam:

PROVA BRASIL (5º e 9º anos dos municípios e das escolas da rede

pública) e SAEB (5º e 9º anos do EF e 3º ano do EM das Unidades da

Federação e do Brasil)

Resultados das Avaliações de Aprendizagem

Taxa de Aprovação

Rendimento Escolar

Observação- Quanto melhor o desempenho dos alunos nos testes e maior a taxa de aprovação, mais elevado será o Ideb.

- Para melhorar o Ideb, as redes de ensino e as escolas têm que trabalhar nas duas dimensões do indicador, simultaneamente:

1. O desempenho obtido pelos alunos nos testes padronizados (Prova Brasil/Saeb)

2. A taxa de aprovação.

O Ideb varia de 0 a 10.

ESCALA DE PROFICIÊNCIA

• Os resultados da avaliação de Matemática e Língua Portuguesa são organizados em uma Escala de Proficiência.

ESCALA DE PROFICIÊNCIA

• Como os números indicam apenas uma posição, é feita uma interpretação pedagógica dos resultados por meio da descrição, em cada nível, do grupo de conceitos que os alunos demonstraram ter desenvolvido, ao responderem as provas.

• É possível saber, pela localização numérica do desempenho na escala, quais conceitos os alunos já construíram, quais eles estão desenvolvendo e quais ainda faltam ser alcançados.

Para encontrar resultados :

http://sistemasprovabrasil2.inep.gov.br

Importante

• Fazer a leitura mais integral da escala observando-se não apenas a posição do desempenho de sua escola, mas também o significado dos intervalos posteriores ou anteriores ao que a escola ficou posicionada.

A metodologia adotada na construção e aplicação dos testes da SAEB/Prova Brasil é adequada para avaliar redes ou sistemas de ensino, e não alunos individualmente.• SAEP: a avaliação fornece resultados da turma e aluno

O que é o SAEP?

Uma avaliação externa realizada com alunos do Ensino Fundamental, Ensino Médio Regular e da Educação Profissional Integrada ao Ensino Médio.

SAEP

Por meio do Sistema de Avaliação da Educação Básica do Paraná – SAEP obteremos informações sobre o desempenho escolar (testes) e dos fatores que se associam a esse desempenho (questionários), possibilitando o monitoramento e a formulação de políticas educacionais mais focalizadas para cada um dos ciclos.

Qual a finalidade?

Subsidiar a prática docente a partir do diagnóstico do estágio de aprendizagem dos alunos e definir ações prioritárias de intervenções voltadas para o processo de melhoria da educação.

O que é avaliado?

Conteúdos desenvolvidos pelas disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática, conforme Diretrizes Curriculares Estaduais e Caderno de Expectativas de Aprendizagem.

Como é realizada a avaliação?

Por meio da aplicação de provas objetivas aos alunos, organizadas por disciplinas, além de questionários sociocontextuais que são aplicados aos alunos, professores e diretores.

Quem participa?Alunos dos 6º e 9º anos do Ensino Fundamental, 1º e 3º anos do Ensino Médio Regular e do ano de conclusão de curso técnico e de formação de docente (integrado).Professores das turmas avaliadas e diretores respondem ao questionário socioeconômico.

SAEB Prova Brasil

SAEP

Ens Fund 9º anoEnsino Médio 3º

Ens Fund 5º e 9º ano

Ensino Fund 6º e 9º ano

Tec Integrado

Por Amostragem

TODOS TODOS

2 em 2 anos 2 em 2 anos anual

• A Matriz Curricular é um documento prescritivo, que direciona o ensino, insere-se no Projeto Pedagógico da instituição e é construído coletivamente pela comunidade escolar, com base em orientações curriculares da área indicadas por órgãos oficiais e na realidade escolar.

• Matriz Curricular é constituída por várias dimensões que direcionam o trabalho em sala de aula:

MATRIZ DE REFERÊNCIA

Matriz de Referência

• Matriz de Referência de Avaliação é um documento descritivo, escrito por técnicos, e que leva em consideração documentos curriculares oficiais.

• A Matriz de Referência de Matemática para o SAEB/Prova Brasil/SAEP, apresenta um conjunto de conhecimentos que se deseja ver desenvolvidas em estudantes no fim de cada etapa escolar, destaca a dimensão conceitual (noções e conceitos matemáticos).

• As matrizes de referência representam um recorte das matrizes curriculares feito com base no que pode ser aferido por meio dos instrumentos utilizados na SAEB/Prova Brasil/SAEP.• Elas não englobam todo o currículo escolar e não podem ser confundidas com procedimentos, estratégias de ensino ou orientações metodológicas, pois um recorte é feito com base naquilo que pode ser aferido.

IMPORTANTE!

Matriz Curricular e Matriz de Referência de Avaliação

• Matrizes Curriculares destacam, no processo de ensino e aprendizagem de matemática, a Resolução de Problemas como eixo norteador.

• Os descritores da Matriz de Referência de Avaliação também apontam que as questões presentes na avaliação do SAEB/Prova Brasil/SAEP tenham como foco a Resolução de Problemas.

• As matrizes de Referencia de Avaliação de Matemática estão estruturadas por anos e séries avaliadas.

• Para cada um deles são definidos os descritores que indicam um determinado conhecimento que deve ter sido desenvolvido nessa fase de ensino.

• Esses descritores são agrupados por tema que relacionam um conjunto de objetivos educacionais.

SAEB/PROVA BRASIL/SAEP

ESTRUTURA DA MATRIZ DE REFERÊNCIA

ESTRUTURA DA MATRIZ DE REFERÊNCIA

SAEB/PROVA BRASIL X DCE

ESTRUTURA DA MATRIZ DE REFERÊNCIA

SAEP e DCE

As Matrizes de Referência estão subdivididas em tópicos ou temas e estes, em descritores.

• O descritor é o detalhamento de uma habilidade cognitiva (em termos de grau de complexidade), que está sempre associada a um conteúdo que o estudante deve dominar na etapa de ensino em análise. • Esses descritores são expressos da forma mais detalhada possível, permitindo-se a mensuração por meio de aspectos que podem ser observados.

SAEB/PROVA BRASIL/SAEP

• Há descritores que permitem a elaboração de itens por meio de situações-problema.

• Outros descritores focalizam conhecimentos de nível técnico (apenas conceitual) e dão origem a itens com textos curtos (calcule, efetue) bastante usuais em livros didáticos e no ensino de matemática, ainda hoje.

Exemplo

EXEMPLO

SAEB 9º ano EF – Tema: Números e operações/Álgebra e funções

D18: Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)

SAEB 3º ano EM – Tema: Grandezas e Medidas

D11: Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas

Exemplo: Maria vai contornar com renda uma toalha circular com 50 cm de raio, conforme a figura abaixo.

Quanto Maria vai gastar de renda?

A) 100 cmB) 300 cmC) 600 cmD) 2 500 cmE) 7 500 cm

Atividade

Aproximações entre Matriz de Referência do SAEP e as Diretrizes Curriculares do Paraná/Caderno de Expectativas de Aprendizagem – Matemática

Discutindo ...

1) Todas as expectativas são contempladas nos descritores?

2) O descritor, em análise, está presente em quais séries?

3) Há expectativas que não podem ser aferidas em uma avaliação de larga escala, como a Prova Brasil?

Padrão de desempenho SAEP

• Os Padrões de Desempenho são cortes importantes das Escalas de Proficiência e representam uma caracterização do desempenho dos estudantes com base no perfil das habilidades que eles demonstram nas avaliações. • Referencial para a interpretação dos resultados do SAEP.

Padrão de desempenho9º Ano do EF

Abaixo do Básico: até 225

Básico: 225-300

Adequado: 300-350

Avançado: Acima de 350

Padrão de desempenho

3º Ano do EM

Abaixo do Básico: até 275

Básico: 275-325

Adequado: 325-375

Avançado: Acima de 375

Atividade

• Analise a descrição (relação de conhecimentos) dos níveis de Escala de Desempenho em Matemática no SAEP (Padrão de desempenho).

ESCALA DE PROFICIÊNCIA

MATEMÁTICA

Escala de Proficiência

Atividade

Compreendo a Escala de Proficiência

Objetivo do ensino de grandezas e medidas: é propiciar ao aluno o desenvolvimento da competência: medir grandezas. Esta competência é desenvolvida nos anos iniciais do Ensino Fundamental quando, por exemplo, solicitamos aos alunos para medirem o comprimento e largura da sala de aula usando algum objeto como unidade. Esta é uma habilidade que deve ser amplamente discutida com os alunos, pois, em razão da diferença dos objetos escolhidos como unidade de medida, os resultados encontrados serão diferentes. E perguntas como: “Qual é medida correta?” É respondida da seguinte forma: “todos os resultados são igualmente corretos, pois eles expressam medidas realizadas com unidades diferentes.” além dessa habilidade, ainda nas séries iniciais do Ensino Fundamental, também é trabalhada a habilidade de medir a área e o perímetro de figuras planas, a partir das malhas quadriculadas ou não. Nos anos finais do Ensino Fundamental, os alunos resolvem problemas envolvendo o cálculo de perímetro e área de figuras planas e problemas envolvendo noções de volume (paralelepípedo). No Ensino Médio, os alunos resolvem problemas envolvendo o cálculo do volume de diferentes sólidos geométricos (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera) e problemas envolvendo a área total de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

As competências

As competências

Proficiência: Paraná – EscolaEscala de proficiência

Proficiência: Paraná - Escola

Proficiência Paraná

Proficiência ESCOLA

As competências

As competências

Item

Item

Item

DistratoresGabarito

Comando

Suporte

ENUNCIADOS

• Propõe a questão de modo que o aluno possa formular uma resposta sem ler as alternativas. • Devem ter linguagem e abordagens adequadas para a faixa etária dos alunos e envolvem conhecimentos previstos para a série em questão e abordados nos Descritores.• Os enunciados devem ser claros e curtos, envolvendo contextos integrados à situação matemática envolvida. • Pode ser composto de ENUNCIADO, SUPORTE, COMANDO.

• Elaboração das alternativas considerando que:haverá apenas uma resposta correta GABARITO;os distratores são as respostas incorretas, porém plausíveis.

Obs.: EF: 4 alternativas (gabarito e três distratores); EM: 5 alternativas (gabarito e 4 distratores)

ALTERNATIVAS

• Os distratores dão informações para a análise dos níveis de proficiência, na medida em que se procuram focalizar erros comuns nessa etapa de escolarização. • As respostas previstas nos distratores de um item devem ser capazes de dar informações acerca do raciocínio desenvolvido pelo estudante na busca da solução para a tarefa proposta. A análise das respostas dos estudantes permite identificar os erros mais comuns nos diversos níveis de proficiência.

Análise de Questões

SAEP 9º ano. O baú de um caminhão tem a forma de um paralelepípedo retângulo, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a medida do volume do baú desse caminhão?

A) 10 m³ (5 + 2 + 3)

B) 15m³ (5 x 3)

C) 16m³ [2 x (3 + 5)]

D) 30m³ (3 x 5 x 2)

A) 55,6%

B) 9,7%

C) 5,5%

D) 26,6%

Análise

D20: Resolver problema envolvendo noção de volume.

Mais de 80% dos estudantes avaliados não souberam calcular corretamente o volume de um bloco retangular. Isso parece indicar que esses estudantes ainda não dominam as noções mais elementares sobre o cálculo de volumes e que, caso não corrijam isso o mais rápido possível, vão ter dificuldade em entender o cálculo dos volumes dos sólidos mais complexos que vão estudar adiante.

SAEP 3º ano EM. A medida da distância da casa de Denise até a padaria é igual a distância, em metros, do ponto P (4,4) ao ponto Q (-4,-2), localizados no mesmo plano cartesiano. Qual é a medida da distância da casa de Denise até a padaria?

A) 2mB) 4m C) 6mD) 8mE) 10m

A) 24,1%

B) 14 %

C) 23,4%

D) 25,7%

E) 12,4%

Análise

D 48: Resolver um problema envolvendo a distância entre dois pontos representados por suas coordenadas cartesianas. Os pontos situam-se nos quadrantes ímpares, e o item foi considerado muito difícil pelos alunos que realizaram o teste.

Análise

Os que marcaram a alternativa A (24,1%) juntaram os valores absolutos dos elementos do segundo par ordenado para montar o número 2, enquanto aqueles que marcaram a alternativa B (14%) utilizaram as duas coordenadas do primeiro par.

Os que marcaram a alternativa C (23,4%) somaram os valores do ponto Q (-2, - 4 ) que marcaram a alternativa D (25,7%) somaram os valores do ponto P (4, 4)

Atividade• Analise os itens de Matemática do 9º ano EF e 3º ano EM - SAEP.• Identifique qual conhecimento matemático está sendo avaliado nesse item.• Qual tema/Conteúdo Estruturante? • Identifique qual descritor.• Qual a alternativa correta?• Os distratores são plausíveis?• Apresente o item para a turma, explicando o gabarito e os distratores.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMA

Exercício x Problema

Exercício: serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas. Não há necessidade de decidir sobre o procedimento a ser utilizado para se chegar à solução. Servem para consolidar e automatizar certas técnicas, habilidades e procedimentos necessários para posterior solução de problemas.

Exercício x Problema

Problema: é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de problema-processo exige uma certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias.

(POLYA, 2006)

O PROBLEMA...

- O que é um problema?

- O que é um problema matemático?

Problema:

É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la

Problema Matemático:

É qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.

(DANTE, 2005)

Resolução de Problemas

Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas

Polya

Resolução de Problemas

Fazer com que os alunos possam pensar matematicamente, levantar ideias matemáticas, estabelecer relações entre elas, saber se comunicar ao falar e escrever sobre elas, desenvolver formas de raciocínio, estabelecer conexões entre temas matemáticos e de fora da matemática e desenvolver a capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles.

(ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 218)

Objetivos – Resolução Problemas

- Proporcionar condições para que o aluno pense matematicamente;

- Desenvolver o raciocínio do aluno;

- Ensinar o aluno a enfrentar situações novas

- Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da matemática;-Tornar as aulas de matemática mais interessantes, dinâmicas e desafiadoras;

- Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas.

Características de um problema

- Ser desafiador;

- Ser real;

- Ser interessante;

- Ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido;

- Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas;

- Ter um nível adequado de dificuldade;

Tipos de Problemas

Exercícios de reconhecimento Reconheça, identifique ou lembre conceito, um fato, uma definição ou uma propriedade

Exemplo:

Uma centena equivale a quantas dezenas?

Tipos de ProblemasExercícios de algoritmo Reforçar conhecimentos já aprendidos, pedem execução de algoritmos. Exemplo:

Tipos de Problemas

Problemas Padrão Aplicação direta de um ou mais algoritmos já aprendidos; não exige estratégias; a solução encontra-se no enunciado. Não aguçam a curiosidade e nem desafiam

Exemplo:

Numa sala de aula há 19 meninos e 23 meninas. Quantos alunos há na sala?

Tipos de ProblemasProblemas processo ou aberto A solução envolve operações que não estão no enunciado; não podem ser traduzidos diretamente pela linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos; desenvolve a curiosidade, a criatividade.Exemplo:Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?

Tipos de ProblemasProblemas de aplicação Retratam situações reais; matematizam uma situação real. Em geral, exige pesquisa, levantamento de dados, investigação.Exemplo1. Calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo do qual são conhecidos o comprimento, a largura e a altura. 2. Para elaborar um relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Como fazer?

Tipos de ProblemasProblemas de quebra-cabeça Desafio, recreativo.

Exemplo:

Formar um quadrado movendo-se apenas dois palitos

Como se resolve um problema?

Etapas:

- Compreender o problema;

- Elaborar um plano;

- Executar o plano;- Fazer o retrospecto ou verificação

(POLYA, 2006)

1ª Etapa: Compreender o problema

- O que se procura no problema?- O que se quer resolver no problema?- O que o problema está perguntando?- Quais os dados e as condições do problema?- O que está dito no problema e que podemos usar?

2ª Etapa: Elaborar um plano

- Qual é o seu plano para resolver o problema?- Que estratégia você tentará desenvolver?- Você já resolveu um problema como este antes?-Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?- É possível resolver problemas por partes?- É possível traçar um ou vários caminhos em busca de soluções?

3ª Etapa: executar o plano

b Os planos traçados na etapa anterior são agora executados.

b Ênfase no processo e não somente na resposta.

Obs.: Discutir a execução mais compreensível.

4ª Etapa: fazer a verificação

- Examine se a solução obtida está correta.- Além de encontrar a resposta é interessante o aluno justificar o que e como se fez.

Questionar....- Existe outra maneira de resolver o problema?- É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

Vamos resolver um problema?

1. Uma escola ganhou, por doação, uma tela de 40 m de comprimento. A direção da escola resolveu, então, cercar um terreno retangular que tivesse a maior área possível, para fazer experiências com plantas. Vamos ajudar a direção da escola a descobrir quais devem ser as dimensões do terreno?

Compreendendo o problemaVamos ler o problema.

• O que o problema está pedindo?• Quais são os dados?• O que é dimensão? • O terreno tem quantas dimensões?• É possível fazer um desenho representando um terreno retangular?

Obs.: Peça que um aluno faça seu desenho na lousa

Estabelecendo um plano• Alguém já resolveu um problema semelhante a este?• Como foi resolvido?• O que perímetro?• O que é área?• Que plano você tem para resolver esse problema?• É possível fazer um desenho representando um terreno retangular?

Executando o Plano

• Os planos traçados na etapa anterior são agora executados.

• Ênfase no processo e não somente no cálculo.

Obs.: Discutir a execução mais compreensível.

Exemplo Executando o Plano

Somando os quatro lados dessa figura, temos?

R. perímetro = 40

Qual é a área desse terreno representado por essa figura?

R. 75

5

15

Mas será que essa área é a maior possível?Obs.: Peça que outro aluno faça seu desenho na lousa e discuta o perímetro e a área.

Alguém encontrou outra resposta?

Executando o Plano

Discussão: precisamos encontrar a maior área possível.

Sugestão: colocar os dados em uma tabela.• Após a elaboração da tabela concluir:

A maior área será o retângulo com 10m de comprimento por 10m de largura.

Obs.: é um retângulo muito particular chamado Quadrado.

Verificação

• Esta etapa é fundamental para completar o processo de resolução de problemas. • Além de encontrar a resposta é interessante o aluno justificar o que e como se fez.

Obs.: O professor poderá ainda explorá-lo ainda mais:

Tente resolver esse mesmo problema com perímetros iguais a 20m, 30m ou 50m, para certificar-se um pouco mais da sua afirmação

Vamos resolver um problema?

2. Um gato está sobre um muro de 4 m de altura quando avista um rato a uma distância de 8 m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha reta até o muro) é seguido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um percorreu?

1ª etapa: compreensão do problema

• O que o problema está perguntando?• Qual é a incógnita?• Quais são os dados?• É possível fazer um desenho?

1ª etapa: compreensão do problema

• Qual é a incógnita?- A distância que cada um percorreu = d.• Quais são os dados?- Altura do muro: 4 m.- Distância do rato à base do muro: 8 m.- A trajetória percorrida pelo gato é uma linha

reta.- O muro é perpendicular ao chão.

2ª etapa: elaborando um plano

É importante perguntar ao aluno:- Este tipo de problema é conhecido?- Conhece problemas semelhantes?- Conhece fórmulas/modelos que possam ajudar?- É possível resolver alguma parte do problema?- Olhe para a incógnita e tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante.• Traçar uma figura para esquematizar o problema.

3ª etapa: executando o plano• Os planos traçados na etapa anterior são agora executados.• Ênfase no processo e não somente no cálculo.• Encontrar a relação entre os dados e a incógnita do problema.• Resolver por meio do triângulo retângulo.• Usar Pitágoras e achar d

Obs.: Discutir a execução mais compreensível.

3ª etapa: execução do plano

4ª etapa: verificação• Esta etapa é fundamental para completar o processo de resolução de problemas.

• Além de encontrar a resposta é interessante o aluno justificar o que e como se fez.• É possível obter a solução por outro caminho?• Qual a essência do problema e do método de resolução aplicado?• É possível aplicar o resultado/método em algum outro problema?• Qual a utilidade deste resultado?

4ª etapa: revisão da solução

• É possível verificar o resultado?• Substituindo d = 5 na figura acima, teremos a seguinte situação:

Podemos resolver de outra forma?

Estratégias para resolução de problemas:

1) Tentativa e erro organizados;

2) Procurar padrões ou generalizações;

3) Resolver primeiro um problema mais simples;

4) Reduzir à unidade;

5) Fazer o caminho inverso

Como contornar fatores que dificultam um problema

- Linguagem usada na redação do problema;

- Tamanho e estrutura das frases;

- Vocabulário matemático específico;

- “Tamanho” e complexidade dos números;

- Número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade;

- Número e complexidade de operações e estratégias envolvidas.

Lembretes

- Começar com exercícios fáceis;

- Evitar longas listas de problemas;

- A resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas;

- Deve-se focalizar, enfatizar e valorizar mais a análise do problema, os procedimentos que podem levar à sua solução e a revisão da solução obtida, do que simplesmente a resposta correta.

Roteiro de atividades

1) Preparação do problema:2) Leitura individual 3) Leitura em conjunto 4) Resolução do problema5) Observar e incentivar6) Registro das resoluções7) Plenária8) Busca de consenso9) Formalização do conteúdo

Atividade

Em grupo, analise uma questão do SAEP.

(seguir roteiro)

REFLEXÕES

1) O problema (item), envolve qual conteúdo (estruturante, básico e específico) matemático?2) É possível envolver outros conteúdos? Quais?3) Pode ser caracterizado como problema ou exercício de fixação? Por quê?4) Aponte questões, seguindo as etapas de Polya, que poderiam facilitar o entendimento do aluno e levá-lo a resolvê-lo.5) Qual a alternativa correta?6) Os distratores são plausíveis?7) Para resolver esse problema, o estudante deve dominar os conceitos...8) Há outra forma de resolver esse problema?9) De qual descritor da matriz de referência do SAEP esse problema se aproxima?10) Identifique a(s) expectativa(s) de aprendizagem que mais se aproxima(m) desse conteúdo?11) Em qual(is) ano(s) é (são) desenvolvido(s) esse conteúdo?

ALGUNS CRITÉRIOS DE ELABORAÇÃO DE ITENS

Item

ELABORANDO ITENS

• Enfocar uma situação-problema evitando a muldimensionalidade.• Propor problemas e alternativas que sejam factíveis e admissíveis.• Considerar o cotidiano – itens significativos, interessantes e atrativos – utilizando situações autênticas (jornais, revistas, atlas, literatura pertinente).

• Não elaborar itens que contenham “pegadinhas” (malicioso, enganoso, induzir ao erro) (Ex: abordagem de conteúdos triviais; detalhes irrelevantes; problema que oferece múltiplas possibilidades de resposta).

• Levar em consideração o tempo de leitura exigido do aluno. No caso de textos associados a tabelas cuidado especial em relação a extensão, volume de informações e itens associados.

• Não usar alternativas do tipo “todas as anteriores” ou “nenhuma das anteriores”.

Atividade

Agora é sua vez...

Escolha um descritor de um tema (cada grupo fará de um tema) da Matriz de Referência de Avaliação de Matemática e elabore uma questão.

REFERÊNCIAS

BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de desenvolvimento da Educação. Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB, Inep, 2008.

_________. Matemática: orientações para o professor, Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5ºano, ensino fundamental. Brasília: Inep, 2009. DANTE, Luiz R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12 ed. São Paulo: Ática, 2005.Guia de Elaboração de itens. Matemática. Disponível em < http://www.portalavaliacao.caedufjf.net/wp-content/uploads/2012/02/Guia_De_-Elabora%C3%A7%C3%A3o_De_Itens_MT.pdf >. Acesso em 28 de abril 2013.PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Curitiba: Seed/DEB-PR, 2008.

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