ภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติคณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์

การสอบกลางภาค ภาคการศึกษาที่ 2 ปีการศึกษา 2556 วันที่ 5 มกราคม 2557

วิชา 322− 172 คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์กายภาพ 2 เวลา 13:30− 16:30 น.

สำหรับนักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร์. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ชื่อ-สกุล รหัส 1 0 1 1 0 ตอน 0

คำสั่ง

1. ข้อสอบฉบับนี้มี 4 หน้า โดยแบ่งเป็น 2 ตอน คือตอนที่ 1 เป็นข้อสอบแบบเลือกคำตอบ มี 12 ข้อตอนที่ 2 เป็นข้อสอบแบบเขียน มี 11 ข้อ ให้แสดงวิธีทำทุกข้อ ยกเว้นข้อที่ให้เติมเฉพาะคำตอบ

โดยใช้ปากกาดำหรือน้ำเงินทำข้อสอบเท่านั้นคะแนนรวมทั้งหมดคือ 93 คะแนน คิดเป็น 50% ของคะแนนทั้งวิชา

2. ให้เขียนรหัสประจำตัวนักศึกษาลงบนกระดาษคำตอบทุกแผ่น

3. ถ้ากระดาษคำตอบที่เว้นไว้ไม่เพียงพอ ให้เขียนคำตอบต่อด้านหลังของกระดาษแผ่นนั้นเท่านั้น

4. ห้ามใช้เครื่องคำนวณทุกชนิดและไม้บรรทัดที่มีสูตร

5. ให้เขียนด้วยลายมือที่อ่านง่าย และชัดเจน หากอาจารย์ผู้ตรวจอ่านไม่ออก นักศึกษาจะไม่ได้

คะแนนข้อนั้นทันที

6. ทุจริต ถูกลงโทษตามระเบียบมหาวิทยาลัย

********** สำหรับผู้ตรวจเท่านั้น **********

หน้า 1 2 3 4 5 6 7 8 9

คะแนน

รวม

322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 1 / 4

ตอนที่ 1 (24 คะแนน) ในการตอบคำถามแต่ละข้อ จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องเพียงตัวเลือกเดียว

สำหรับข้อ 1− 5 ให้วงกลมคำตอบที่ถูกต้อง (ข้อละ 2 คะแนน)

ข้อ 1. ค่าของ limn→∞

n∑k=1

(1

k− 1

2k

)มีค่าเท่ากับเท่าใด

(ก) 0 (ข) 1 (ค) 2 (ง) 4 (จ) ∞

ข้อ 2. ค่าของ∞∑k=1

(1

k− 1

2 + k

)มีค่าเท่ากับเท่าใด

(ก)1

2(ข) 1 (ค)

3

2(ง) 2 (จ) ∞

ข้อ 3. ถ้ารัศมีการลู่เข้าของอนุกรม∞∑n=0

cnxn มีค่าเท่ากับ 10 แล้ว รัศมีการลู่เข้าของอนุกรม

∞∑n=0

cn2nxn

มีค่าเท่ากับเท่าใด

(ก) 2 (ข) 5 (ค) 10 (ง) 20 (จ) 40

ข้อ 4. ถ้ารัศมีการลู่เข้าของอนุกรม∞∑n=0

c2n+1x2n+1 มีค่าเท่ากับ 10 แล้ว รัศมีการลู่เข้าของอนุกรม

∞∑n=0

2nc2n+1x2n+1 มีค่าเท่ากับเท่าใด

(ก) 5 (ข) 5√2 (ค) 10 (ง) 10

√2 (จ) 20

ข้อ 5. ฟังก์ชัน f(x, y) ในข้อใดที่ทำให้ lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) หาค่าไม่ได้

(ก) f(x, y) =x3 + y3

x− y(ข) f(x, y) =

x3 + y3

x+ y

(ค) f(x, y) =x2 − y2

x− y(ง) f(x, y) =

x2 − y2

x+ y

(จ) f(x, y) = x5 + y5

322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 2 / 4

สำหรับข้อ 6− 12 ให้เลือกสมการจากกรอบสี่เหลี่ยมทางด้านขวาที่สอดคล้องกับรูปภาพในแต่ละข้อโดยเขียนเฉพาะหมายเลขของสมการ แต่ละข้อมีเพียงคำตอบเดียว (ข้อละ 2 คะแนน)(อัตราส่วนของ แกน X:แกน Y :แกน Z ในรูปเท่ากับ 1 : 1 : 1)

(1) 9x2 + 4y2 + z2 = 1

(2) y2 + 3z2 = 1

(3) x2 + y2 − z2 = 1

(4) y = x2 − z2

(5) x2 + y2 + z2 = 1

(6) y = 2x2 + z2

(7) y2 = 2x2 + 2z2

(8) −x2 + y2 − z2 = 1

(9) x = y2 + z2

(10) x+ 2y + 3z = 4

(11) 2x2 + y2 = 1

(12) z = x2 − y2

(13) 4x2 + z2 = 1

(14) x2 − y2 + z2 = 1

(15) z2 = x2 + y2

ข้อ 6. สมการ

ข้อ 7. สมการ

ข้อ 8. สมการ

ข้อ 9. สมการ

ข้อ 10. สมการ

ข้อ 11. สมการ

ข้อ 12. สมการ

322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 3 / 4

ตอนที่ 2 (69 คะแนน) ให้แสดงวิธีทำทุกข้อ ยกเว้นข้อที่ให้เติมเฉพาะคำตอบ

ข้อ 1. (13 คะแนน) จงทดสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก

ข้อ 1.1)∞∑n=1

1

n3 + 1(3 คะแนน)

ข้อ 1.2)∞∑n=1

n2013

n2014 + 1(5 คะแนน)

ข้อ 1.3)∞∑n=1

ln(n2 + 3)

nn(5 คะแนน)

ข้อ 2. (10 คะแนน) จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ ลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข หรือลู่ออก

ข้อ 2.1)∞∑n=1

(−1)nnen

(4 คะแนน)

ข้อ 2.2)∞∑n=2

cos(nπ)√n ln(n)

(6 คะแนน)

ข้อ 3. (2 คะแนน) เราสามารถใช้การทดสอบแบบปริพันธ์เพื่อทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม∞∑n=2

1

n lnnได้

หรือไม่ ตอบ......................เพราะเหตุใด

ข้อ 4. (5 คะแนน) จงหาช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง∞∑n=1

(x− 1)n

n3 + 1

(สามารถใช้ผลลัพธ์จากข้อ 1 ได้)ข้อ 5. (8 คะแนน)

ข้อ 5.1) จงแสดงการหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ f(x) =1

(1 + x)2รอบจุด x = 1 (4 คะแนน)

ข้อ 5.2) จงพิจารณาว่าอนุกรมเทย์เลอร์ในข้อ 5.1) เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกเมื่อ x = 3

(2 คะแนน)จงเติมเฉพาะคำตอบสำหรับข้อ 5.3) และข้อ 5.4)

ข้อ 5.3)1

22− 2

23+

3

24− 4

25+

5

26− · · · = (1 คะแนน)

ข้อ 5.4) อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f(x) = (1 + x)2 รอบจุด x = 1 คือ (1 คะแนน)

322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 4 / 4

0x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3ข้อ 6. (3 คะแนน) กำหนดให้

f(x, y) =

√x+ y

x2 + y2 − 1

จงหา Df พร้อมทั้งวาดรูป แสดงบริเวณที่เป็น Df

ในระนาบ xy

Df ={

...........................................................................................

}ข้อ 7. (8 คะแนน) จงหาจุดที่ให้ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ

f(x, y) = x2 + y2

ภายใต้เงื่อนไขxy = 1

ข้อ 8. (6 คะแนน) กำหนดให้

w = u sin v, u = 2ts, v = s− t

t = ln y, s = 2xy

8.1) จงเขียนแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของ 8.2) โดยกฎลูกโซ่ จงเขียนสูตรของ∂w

∂xตัวแปร (1 คะแนน) (2.5 คะแนน)

∂w

∂x=

8.3) จงหา∂w

∂xโดยใช้สูตรจากข้อ 8.2) (2.5 คะแนน)

ข้อ 9. (5 คะแนน) กำหนดให้ z cos(x

y) + 2xz = 5 จงแสดงวิธีทำเพื่อหา

∂z

∂xข้อ 10. (4 คะแนน) กำหนดให้ f(x, y) = ex sin(2y) + eyx lnx จงหา

fxx = fxy =

fyy = fyxx =

ข้อ 11. (5 คะแนน) กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันของ x และ y โดยที่

fx = 3− 3x2 และ fy = 4y3 − 4y

จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) หรือจุดอานม้า (ถ้ามี) ของ f