ฟังก์ชันตรีโกณมิติelsd.ssru.ac.th/alongkot_wo/pluginfile.php/262/course...ค าว าตร โกณม ต ตรงก บค าในภาษาอ

เอกสารประกอบการสอน วชา คณตศาสตรเพมเตม 3 (ค 32201)

ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรนท 1 ปการศกษา 2563

ฟงกชนตรโกณมต

อาจารยอลงกต วงศศรยา โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฎสวนสนนทา

คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต

1

A

B

C

a

b

c

ฟงกชนตรโกณมต ตรโกณมตกอก าเนดมาตงแตยคอยปตโบราณ ไดแกยค Mesopotamia และ ยค Indus Valley ซงผานมาแลวมากกวา 4,000 ป โดยมนกดาราศาสตรชอ Hipparchus ซงเกดในป 190 B.C.ใน Bithymia ในปจจบนคอประเทศตรก และเสยชวตในป 120 B.C. ในกรซ

Hipparchus เปนผบกเบกผหนงในการน าความรเรองตรโกณมตมาใชค านวณหาต าแหนงของดวงดาวตางๆ ค าวาตรโกณมต ตรงกบค าในภาษาองกฤษวา Trigonometry ทเปนภาษากรกวา Trigonon ซงแปลวา มม 3 มม และค าวา metro แปลวา การวด ในสมยกอนตรโกณมตจงเปนวชาทวาดวยการวดมม ตลอดจนความสมพนธระหวางดานและมมของรปสามเหลยม ตอมาในศตวรรษท 17 พรอมๆกบการเกดวชาแคลคลส กมการน าความรเรองฟงกชนมาใชในวชาตรโกณมต จงเกดเปนฟงกชนตรโกณมตทเกยวเนองกบวงกลมหนงหนวยซงสามารถน าไปใชประยตในศาสตรสาขาตางๆ มากมาย

บทน า ความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมต ก าหนดรป ABC เปนรปสามเหลยมทม ˆACB เปนมมฉาก ดงรป เรยกอตราสวนระหวางดาน 2 ดานของรปสามเหลยมมมฉากใดๆ วา อตราสวนตรโกณมต ซงไดแก

sin A = a

c cosec A = 1

sinA

cos A = b

c sec A = 1

cosA

tan A = a

b cot A = 1

tan A

ตวอยาง 1 รปสามเหลยมมมฉาก ABC มมม C เปนมมฉาก และ AB ยาว 8 หนวย AC ยาว 6 หนวย จงหาความยาวของดาน และขนาดของมมทเหลอของรปสามเหลยมน ตวอยาง 2 ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยมมม C เปนมมฉาก ลากเสนจากจด C ไปตงฉากกบ

AB ทจด D ถา AC และ BC ยาว 8 และ 15 เซนตเมตร ตามล าดบ จงหาความยาวของ CD , BD และ AD


2

1. วงกลมหนงหนวย (Unit Circle) บทนยาม วงกลมหนงหนวย หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดก าเนด รศม 1 หนวย ซงมสมการดงน x2 + y2 = 1 เนองจากวงกลมหนงหนวย มรศมยาว 1 หนวย ท าให ความยาวเสนรอบวงเปน 2 หนวย

1

4 ของความยาวของเสนรอบวง = 1

4(2)

=

หนวย

1


2(2)

= หนวย

3


4(2)

= 3

2 หนวย

ให a เปนความยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทวดจากจด (1, 0) ไปยงจดโดยก าหนดทศทางดงน ถา a > 0 ถา a < 0 เปนการวดไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เปนการวดไปในทศทางตามเขมนาฬกา จากความรเกยวกบการวดมมทมหนวยเปนเรเดยน จะไดวา

a a

r 1

a

เรยกจด (x, y) วาเปนจดปลายสวนโคงทยาว ทวดจากจด (1, 0) ไปตามสวนโคงของวงกลมยาว หนวย เขยนแทนดวย P() = (x, y) ซงเราสามารถหาจด P() บนวงกลมหนงหนวย ซงมจดเดยวทจบคกบ

x 0

(0,1)

(–1,0)

(0,–1)

(1,0)

y

ความยาวสวนโคง a คอมมทวดเปนแบบเรเดยนนนเอง....

Y

X 0 (1,0)

a > 0 P

O

Y

X 0

(1,0)

a < 0 P

O


3

ตวอยาง 3 จงหาจดปลายสวนโคงทยาว

P(0) = …………. P(

) = …………. P( 32) = ………….

P(2) = …………. P( 52

)= …………. P(3) = ………….

P(–

)= …………. P(–)= …………. P(– 3

2)= ………….

P(–2) = …………. P(– 5

2)= …………. P(–3)= ………….

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O


4

ส าหรบ และเนองจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเทากบ 2 หนวยเทานน

ดงนน จะมจ านวนจรงอกมากมายนบไมถวนทจบคกบจด P() ดวยเชนกน จ านวนจรงเหลานคอจ านวนท เพมขนหรอลดลงจาก ครงละ 2 ซงไดแกจ านวนจรงท อยในรป + 2n เมอ n เปนจ านวนเตม เพราะฉะนน

ถา เปนจ านวนใด ๆ แลว P() = P( + 2n) เมอ n เปนจ านวนเตม ตวอยาง 4 จงหา P(

4) , P(

6) และ P(

3)


5

ตวอยาง 5 จงหา P() = (x, y) จากวงกลมหนงหนวยตอไปน

Y

X

P(2

) P( )

3

4P( )

3

2P( )

3

5P( )

3

P( 3

2)

P() P(0)

P( )6

5

P( )6

7P( )

6 11

P( )6

P( )4

3P( )

4

5P( )

4

7

P( )4


6

2. ฟงกชนตรโกณมต

เราจะอาศยวงกลมหนงหนวยเปนเครองมอในการสรางฟงกชนตรโกณมต ดงน ใหจด P(x, y) เปนจดใดๆ บนวงกลมหนงหนวย

ซงเปนจดปลายของสวนของเสนรอบวงกลมทยาว หนวย ลากสวนของเสนตรง PA ตงฉากกบแกน X ทจด A จะไดรปสามเหลยมมมฉาก OAP และจะพบวา

PA y

sin yOP 1OA x

cos xOP 1

นนคอ x = cos และ y = sin

จากลกษณะการก าหนดจดบนเสนรอบวงดงกลาว จะพบวาทกครงทก าหนดคา มาให เราสามารถ

หาจด P(x, y) ซงเปนจดปลายของสวนโคงทวดตามแนวเสนรอบวงทเรมตนทจด (1, 0) ทยาว หนวย ไดเพยงจดเดยว นนคอ แตละคา จะท าใหเกดคา x เพยงคาเดยว และคา y เพยงคาเดยว จากความเขาใจดงกลาวนเราสามารถน าไปสรางฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน ไดดงน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน sine : ℝ ℝ ซงนยามวา sine = {(, y) ℝℝ| P() = (x, y)} ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน cosine : ℝ ℝ ซงนยามวา cosine = {(, x) ℝℝ| P() = (x, y)} จากบทนยามอาจกลาวไดวา ถาจด (x, y) เปนจดปลายของสวนโคงทวดตามแนวเสนรอบวงทเรมตนทจด (1, 0) ทยาว หนวย แลว

sin = y และ cos = x เนองจาก P() = (x, y) อยบนวงกลมหนงหนวย ดงนน –1 x 1 และ –1 y 1 นนคอ ถา ℝ แลว –1 cos 1 และ –1 sin 1 ดงนน

cosD = ℝ และ cosR = [–1, 1]

sinD = ℝ และ sinR = [–1, 1]

เนองจากมจ านวนจรงทมากมายทไมเทากน แตใหจดปลายสวนโคงเปนจดเดยวกน ดงนนฟงกชนไซนและโคไซน จงไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

Y

X 0 (1,0)

O

P(x, y)

y x A

cos sin


7

จากสมการวงกลมหนงหนวย 2 2x y 1

ดงนน 2 2cos sin 1 เมอ เปนจ านวนจรง

นอกจากนยงมฟงกชนตรโกณมตชนดอนๆ อก ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม ก าหนดให เปนจ านวนจรง (1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

tangent =

sin

cos เมอ cos 0

(2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา

cotangent =

cos

sin เมอ sin 0

(3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา

secant =

1

cos เมอ cos 0

(4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา

cosecant =

1

sin เมอ sin 0

หมายเหต tan =

1

cot เมอ cot 0

และ cot =

1

tan เมอ tan 0

จากนยามขางตน อาจหาความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมตตาง ๆ ไดเชน

2 2csc – cot 1 เมอ sin 0

และ 2 2sec – tan 1 เมอ cos 0


8

คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงทควรสนใจ

เมอก าหนดจ านวนจรง และตองการหาคา sin และ cos เราสามารถหาไดโดยการหา P() = (x, y) ทไดแสดงแลวในหวขอ 3 คาของ x จะเทากบ cos และ y จะเทากบ sin ตอไปนเปนตารางหาคาของฟงกชนตรโกณมต เมอ เปนจ านวนจรงบางจ านวนทควรทราบ

0

3

2 2

6

4

3

P()=(x,y)

sin

cos

tan

cosec

sec

cot

ตวอยาง 6 จงหาคาของ sin , cos tan , cot , sec และ cosec เมอ ดงตอไปน

(1) = 2

3 (2) = 5

4

sin = ……… sin = …….…

cos = ……… cos = ………

tan = ……… tan = ………

cosec = …… cosec = ……

sec = ……… sec = ………

cot = ……… cot = ………

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O


9

(3) = – 6

(4) = 9

4

sin = ……… sin = …….…

cos = ……… cos = ………

tan = ……… tan = ………


sec = ……… sec = ………

cot = ……… cot = ………

(5) = – 3

2 (6) =

29

6

sin = ……… sin = …….…

cos = ……… cos = ………

tan = ……… tan = ………


sec = ……… sec = ………

cot = ……… cot = ………

(7) = 21

4 (8) = – 23

3

sin = ……… sin = …….…

cos = ……… cos = ………

tan = ……… tan = ………


sec = ……… sec = ………

cot = ……… cot = ………

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O

y

x 0

(1,0)

O


10

ตวอยาง 7 จงหาจ านวนจรง มา 5 จ านวนซงท าใหแตละขอตอไปนเปนจรง (1) sin = 0 (2) cos = –1

(3) sin = 2

2 (4) sin = 3

2

(5) cos = 1

2 (6) cos = 3

2

ตวอยาง 8 จงหาคาของ

(1) sin cos tan sec3 4 4 6


11

(2)

5 9 5 7cos sin tan cos cot

2 3 4 6 6

(3) 2 2 2 21 1 43 tan sin cos ec cos

6 3 3 2 4 3 6

(4) 2 23sin sec cos ec sec sin cot

2 4 6 6 4

(5) 5 13 11 11 13 5sin cos tan cos ec( ) sec( ) cot( )

4 6 6 6 6 4


12

3. คาของฟงกชนตรโกณมต 3.1 การหาคาของ sin(–) และ cos(–) เมอ เปนจ านวนจรงบวก

ถาก าหนดให เปนจ านวนจรงบวกแลว – จะเปนจ านวนจรงลบ การหาคาของ sin(–) และ

cos(–) สามารถหาไดจาก sin และ cos ซงมความสมพนธกนดวยสตรทจะกลาวตอไปน ดงนน จงสรปความสมพนธระหวาง sin กบ sin(–) และ cos กบ cos(–) ไดดงตอไปน ตวอยาง 9 จงหาคาของ

(1) cos(–

6) = …………………………………………………………………..

(2) cos(– 7

6) = …………………………………………………………………..

(3) cos(–

4) = …………………………………………………………………..

(4) cos(– 3

4) = …………………………………………………………………..

(5) sin(–

3) = …………………………………………………………………..

(6) sin(– 2

3) = …………………………………………………………………..

(7) sin(– 5

6) + cos(– 4

3) = …………..………………………………………

sin(–) = –sin cos(–) = cos

จากบทนยาม เราจะไดวา sin = y และ sin(–) = –y cos = x และ cos(–) = x

y

x 0 A(1,0)

P() = (x, y)

P(–) = (x, –y)

0


13

3.2 การหาคาของ sin และ cos เมอ > 2

การหาคาของ sin และ cos เมอ ท > 2 มวธการดงน

ใหน า 2 ไปหาร และสมมตใหผลหารเทากบ n และเหลอเศษ ดงนน = 2n +

เมอ n เปนจ านวนเตมบวก หรอศนย และ 0 < 2 ดงนน จากทฤษฎบท 1 เราทราบแลววา

P(2n + ) = P() ดงนน P() = P() จงสรปเปนสตรการค านวณหา sin และ cos ไดดงน ตวอยาง 10 จงหาคาของ

(1) sin( 323) = …………………………………………………………………..

(2) cos( 25

6) = …………………………………………………………………..

(3) sin( 25

4) = …………………………………………………………………..

(4) sin( 25

4) + cos( 35

4) = …………………………………………………

= …………………………………………………

(5) cos( 653) – sin( 89

8) = …………………………………………………

= …………………………………………………

sin = sin (2n + ) = sin cos = cos (2n + ) = cos


14

3.3 การหาคาของ sin และ cos เมอ 2

< <

ก าหนด โดยท 2

< < ดงนน P() = P(x, y) เปนจดทอยในควอดรนตท 2


(1) sin( 56) และ cos( 5

6) (2) sin(– 20

3) และ cos(– 20

3)

ตวอยาง 12 ก าหนดให sin(

10) = 0.309 และ cos(

10) = 0.951 จงหา

(1) sin( 9

10) (2) cos( 9

10)

ตวอยาง 13 ก าหนดให sin( 2

15) = 0.407 และ cos(

15) = 0.208 จงหาคาของ

sin(– 73

15) + cos( 104

15)

y

x 0 A(1,0)

P() = (x, y) Q(–x, y) = P( – )

B(–1,0) 0 sin = sin( – ) = sin cos = cos( – ) = –cos


15

3.4 การหาคาของ sin และ cos เมอ < < 3

2

ก าหนด โดยท < < 3

2 ดงนน P() = P(x, y) เปนจดทอยในควอดรนตท 3

ตวอยาง 14 จงหาคาของ sin( 5

4) และ cos( 5

4)


12) = 0.259 และ cos(


sin( 1312) และ cos(– 13

12)


10) = 0.309 และ cos(


sin( 2910) + cos( 31

10) + sin(– 51

10)

y

x

A(1,0) P() = (x, y)

Q(–x, –y) = P( – )

0 0

sin = sin( + ) = –sin cos = cos( + ) = –cos


16

3.5 การหาคาของ sin และ cos เมอ 3

2 < < 2

ก าหนด โดยท 3

2 < < 2 จะไดวา P() = P(x, y) อยในควอดรนตท 4

ตวอยาง 17 จงหาคาของ sin( 11

6) และ cos( 11

6)

ตวอยาง 18 จงหาคาของ sin(– 5

3) และ cos(– 5

3)

ตวอยาง 19 ก าหนดให cos(

18) 0.98 และ sin(

18) 0.17

จงหาคาของ cos( 3518) และ sin( 35

18)

sin = sin(2 – ) = –sin cos = cos(2 – ) = cos

A(1,0)

P() = (x, y)

Q(x, –y) = P(2 – )

y

x 0 0


17

จากหวขอ 3.3 ถง 3.5 เราสามารถสรปการหาคาของ sin และ cos โดยท ไดดงน

(1) หาจ านวนจรง โดยท 0

2 ซงท าให

= ความยาวสวนโคงระหวางจด P() และแกน x (2) หาคาของ sin และ cos (3) คาของ sin = sin และ cos = cos โดยเลอกเครองหมาย + หรอ – ตามจ านวนจรง ทท าให P() อยในควอดรนตทเทาใด ซงสรปเครองหมายของฟงกชนไซนและโคไซนไดดงน

คาของ tan , cot , cosec และ sec จะเปนจ านวนจรงบวก หรอลบนน กท านองเดยวกบ

คาของ sin , cos

นนคอ sin (–) = – sin cos (–) = cos tan(–) = – tan cot(–) = – cot cosec(–) = – cosec sec(–) = sec

y

x 0 0

sin > 0 cos > 0

sin > 0 cos < 0

sin < 0 cos < 0

sin < 0 cos > 0

y

x 0 0

sin > 0 csc > 0 cos > 0 sec > 0 tan > 0 cot > 0

sin > 0 csc > 0 cos < 0 sec < 0 tan < 0 cot < 0

sin < 0 csc < 0 cos < 0 sec < 0 tan > 0 cot > 0

sin < 0 csc < 0 cos > 0 sec > 0 tan < 0 cot < 0


18

ตวอยาง 20 ก าหนดให 0 2

และ sin = 0.5075 และ cos = 0.8090 จงหาคา

(1) sin(–) = ………………………………………………………………………

(2) cos(–) = ………...……………………………………………………………

(3) sin( – ) = ………………………………………………………………………

(4) sin( + ) = ……………………………………………………………………...

(5) sin( – ) = ………………………………………………………………………

(6) sin(2 – ) = ………………………………………………………………………

. (7) sin( – 2) = ……………………………………………………………………..

(8) cos( – ) = ………………………………………………………………………

(9) cos( – ) = ………………………………………………………………………

(10) cos(2 – ) = …………………...…………………………………………………

(11) cos( – 3) = ………………………………………………………………………

(12) cos( + ) = ………………………………………………………………………

ตวอยาง 21 จงหาคาแตละขอตอไปน

(1) cos(– 13

6

) + sin(– 7

6) – tan2 ( 5

6) sec2 ( 11

6)

(2) sin( 405 ) cos780

cos ec( 390 )


19

4. การวดมม ในการวดขนาดของมมจะมลกษณะของการวดมม 2 แบบ ดงรป (1) การวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา (2) การวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา คาของมมทวดไดแสดงเปนจ านวนบวก คาของมมทวดไดแสดงเปนจ านวนลบ หนวยของมมทเกดจากการวดจะม 2 ลกษณะ คอ (1) หนวยของมมเปนองศา เปนการวดขนาดมมในระบบองกฤษ (Sexagesimal system) โดยถอวามมทเกดจากการหมนสวนของเสนตรงรอบจดๆหนงไปครบหนงรอบจะมขนาด 360 และแบงหนวยองศาออกเปนหนวยยอยๆ คอ ลปดา ( ) และ ฟลปดา ( ) โดยท 1 = 60 และ 1 = 60 (2) หนวยของมมเปนเรเดยน (Radean system) คอมมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน ถอวาเปนมมทมขนาด 1 เรเดยน

จะเหนไดวา ส าหรบมมทจดศนยกลางของวงกลมทมรศม r หนวย ซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลม

ทยาว a หนวย จะมขนาด a

r เรเดยน และถาใหขนาดของมมดงกลาวเปน เรเดยน

จะได = a

r เรเดยน

ดงนนมมทจดศนยกลางของวงกลมรศม 1 หนวย ทไดจากการหมนรศมไปครบ 1 รอบ มขนาด 2 เรเดยน แตมมดงกลาวเมอวดเปนองศาวดได 360 องศา ดงนน 360 = 2 เรเดยน 180 = เรเดยน 1 =

180 เรเดยน 0.01745 เรเดยน

1 เรเดยน =

180 องศา 57 18 57.2958

ดานเรมตน

ดานสนสด

ดานเรมตน

ดานสนสด

r

r

r

O 1 เรเดยน a

r

r

O a

rเรเดยน


20

ขอตกลง : ในกรณทเขยนมมโดยไมมหนวยก ากบ แสดงวาเปนการวดมมทมหนวยเปนเรเดยน ตวอยาง 22 จงเปลยนหนวยขนาดมมตอไปน (1 =

180 เรเดยน 0.01745 เรเดยน)

(1) 10 o = …………………………………………………………..

(2) 612 o = …………………………………………………………..

(3) 30 o = …………………………………………………………..

(4) 45 o = …………………………………………………………..

(5) 60 o = …………………………………………………………..

(6) 180 o = …………………………………………………………..

(8) 270 o = …………………………………………………………..

(9) – 135 o = …………………………………………………………..

(10) – 300 o = …………………………………………………………..

ตวอยาง 23 จงเปลยนหนวยขนาดมมตอไปน (1 เรเดยน =

180 องศา 57 18 57.2958)

(1) 1.4 เรเดยน = …………………………………………………………..

(2) 10 เรเดยน = …………………………………………………………..

(3) 7

8

เรเดยน = …………………………………………………………..

(4) 9

5

เรเดยน = …………………………………………………………..

(5) 11

6

เรเดยน = …………………………………………………………..

(6) 5

4

เรเดยน = …………………………………………………………..

(8) 5

3

เรเดยน = …………………………………………………………..

(9) – 3

4

เรเดยน = …………………………………………………………..

(10) – 76

เรเดยน = …………………………………………………………..

เ เพอใหเหนภาพพจนนกเรยนสงเกตขนาดของมม ทมขนาด 1 o และ 1 เรเดยน วามขนาดตางกนอยางไร o1

r

r 1 เรเดยน 57 18


21

5. ฟงกชนตรโกณมตของมม

เนองจากมมในต าแหนงมาตรฐาน(จดก าเนด)สามารถก าหนดไดดวยความยาวสวนโคงบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเชนกน ดงนน เราจงสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ไดเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงทกลาวไปแลว

นนคอ สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม เรเดยน จะยาว หนวย จะเหนไดวา ไมวา

จะใชวธการวดมม หรอวดความยาวสวนโคงของวงกลม ดานสนสดของมมตดกบวงกลมหนงหนวยจะเปนจดเดยวกบจดปลายของสวนโคง ดงนนจงสรปวาไมวาจะนยามฟงกชนตรโกณมต ในแงของมม หรอในแงของความยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม(จ านวนจรง) คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงเหลานนจะมคาเทากน นนคอ sin อาจหมายถง sin ของมม เรเดยน หรอ อาจเปนจ านวนจรงกได ตวอยาง 24 จงหาคาของ

sin cos tan cot cosec sec

0

30

45

60

90

180

270

360

y

x

0 A (1,0) 0

B

ใหจดยอดของมมอยทจด (0, 0) และดานเรมตนของมมทาบไปตามแกน x ทางดานบวก เราจะกลาววามมนนอยในต าแหนงมาตรฐาน ให AOB มขนาด เรเดยน อยในต าแหนงมาตรฐาน จะได AB ยาวเทากบ หนวย


22

จากตวอยางจะพบวา การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ซงมหนวยเปนองศา สามารถใชสตรตางๆ ทกลาวไปแลวของฟงกชนตรโกณมตของมมทมหนวยเปนเรเดยน หรอของจ านวนจรงได ซงจะไดรวบรวมใหเหนชดเจนอกครง ดงตอไปน

ระบบเรเดยน ระบบองศา ระบบเรเดยน ระบบองศา


tan(–) = –tan cot(–) = –cot sec(–) = sec

csc(–) = –csc


tan(–) = –tan cot(–) = –cot sec(–) = sec

csc(–) = –csc

sin( + ) = –sin cos( + ) = –cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot

sec( + ) = –sec csc( + ) = –csc

sin(180 + ) = –sin cos(180 + ) = –cos tan(180 + ) = tan cot(180 + ) = cot

sec(180 + ) = –sec csc(180 + ) = –csc

ระบบเรเดยน ระบบองศา ระบบเรเดยน ระบบองศา

sin( – ) = sin cos( – ) = –cos tan( – ) = –tan cot( – ) = –cot sec( – ) = –sec csc( – ) = csc

sin(180 – ) = sin cos(180 – ) = –cos tan(180 – ) = –tan cot(180 – ) = –cot sec(180 – ) = –sec csc(180 – ) = csc

sin(2 – ) = –sin cos(2 – ) = cos tan(2 – ) = –tan cot(2 – ) = –cot sec(2 – ) = sec csc(2 – ) = –csc

sin(360 – ) = –sin cos(360 – ) = cos tan(360 – ) = –tan cot(360 – ) = –cot sec(360 – ) = sec csc(360 – ) = –csc

ระบบเรเดยน ระบบองศา

ถา n แลว

sin(2n + ) = sin cos(2n + ) = cos tan(2n +) = tan cot(2n + ) = cot sec(2n + ) = sec csc(2n + ) = csc

ถา n แลว

sin(n360 + ) = sin cos(n360 + ) = cos tan(n360 + ) = tan cot(n360 + ) = cot sec(n360 + ) = sec csc(n360 + ) = csc


23

7. เอกลกษณบางประการของตรโกณมต

จากสมการวงกลมหนงหนวย 2 2x y 1 และ x = cos และ y = sin เมอ เปนจ านวนจรง จะได 2 2cos sin 1 ….. (1) ถา cos ≠ 0 น า 2cos หารตลอด จะได สมการ (1) จะได 2 21 tan sec ..... (2)

ถา sin ≠ 0 น า 2sin หารตลอด จะได สมการ (1) จะได 2 21 cot csc ..... (3) ตวอยาง 25 จงแสดงวาสมการตอไปนเปนจรงส าหรบทกจ านวนจรง

(1) sin 1 cos

1 cos sin

(2) sin

1 coscsc cot

(3) 2 2 2 2sec csc sec csc (4) 2 2 2sec csc (tan cot )


24

ตวอยาง 26 จงพจารณาวาสมการตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ

(1) 2 2

2 2

1 sin A 1 cos A

cos A sin A = 2

(2) 2 2

2 2

sec A 1 cos ec A 1

tan A cot A = 2

(3) tan2A + cot2A – sec2A – cosec2A = 2 (4)

2 o 2 o 2 o 2 o

1 1 1 1

cos 18 sin 18 cot 18 tan 18 = 1

(5) ถา sec A + tan A = 2 แลวคาของ sec A – tan A = 0.5


25

ตวอยาง 27 จงตอบค าถามตอไปน

(1) จงหาคาของ cos

1 sin เมอก าหนดให sec – tan = 5

(2) จงหาคาของ 2

2

(1 cos )(1 cos ) cos

(1 sin )(1 sin )sin

(3) จงหาคาของ 1(csc cot )(csc cot )

(sec tan )(sec tan )

ตวอยาง 28 จงหาเซตค าตอบของสมการ

(1) 22sin x 1 cosx เมอ 0 x 2

(2) 2tan x 2tanx 3 0 เมอ 0 x 360


26

A B = 90

sin A = a

c = cos B

tan A = a

b = cot B

sec A = c

b = cosec B

A = 90 – B

จะได sin A = sin(90 – B) = cos B tan A = tan(90 – B) = cot B sec A = sec(90 – B) = cosec B

ขอสงเกต ถา ABC เปนสามเหลยมมมฉาก ทมมม C เปนมมฉาก

ฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนจะมการจบคกนเปนค ๆ ไดแก sin คกบ cos, tan คกบ cot, sec คกบ cosec ฟงกชนในแตละคเรยกวา โคฟงกชน (Co – Functions) ซงกนและกน เชน sin 30 = sin(90 – 60) = cos 60 tan 75 = tan(90 – 15) = cot 15 sec 55 = sec(90 – 35) = csc 35

ตวอยาง 29 (1) ก าหนดให sin 20 = a, –1 a 1 จงหา cos 70

(2) จงหาคาของ tan 1 tan 2 tan 3 … tan 89

(3) จงหาคาของ

sin( 234 ) cos216tan 36

sin144 cos126

B

C A

a c

b


27

8. กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนทเปนคาบ (period function) หมายถง ฟงกชนทสามารถแบงแกน x ออกเปนชวงยอยๆ โดยทความยาวของแตละชวงเทากน และกราฟของฟงกชนในชวงยอยแตละชวงมลกษณะเหมอนกน ความยาวของชวงยอยทสนทสด ซงมลกษณะดงกลาว เรยกวา คาบ (period) ของฟงกชน

ฟงกชนทเปนคาบซงมคาต าสด และคาสงสด จะเปนฟงกชนทมแอมพลจด ซงมคาเทากบครงหนงของผลตางระหวางคาสงสด และคาต าสดของฟงกชน นนคอ

แอมพลจด = 1

2(คาสงสดของฟงกชน – คาต าสดของฟงกชน)

1. กราฟของ y = sin x 2. กราฟของ y = cos x

โดเมน เรนจ คาบ คาสงสด คาต าสด แอมพลจด

y = sin x (–, ) [–1, 1] 2 1 –1 1

y = cos x (–, ) [–1, 1] 2 1 –1 1

3. กราฟของ y = tan x 4. กราฟของ y = cot x

โดเมน เรนจ คาบ คาสงสด คาต าสด

และ แอมพลจดไมม

y = tan x ℝ – { 3 5 7, , , ,...

2 2 2 2

} (–, )

y = cot x ℝ – { , 2 , 3 , 4 ,... } (–, )

1

Y

–1

X

2

–2

3

2

– –2 –3

2

2 0

1

Y

–1

X

2

–2

3

2

– –2 –3

2

2 0

1

Y

–1

X

2

–2

3

2

– –2 –3

2

2 0

1

Y

–1

X

2

–2

3

2

– –2 –3

2

2 0


28

5. กราฟของ y = sec x 6. กราฟของ y = cosec x

โดเมน เรนจ คาบ คาสงสด คาต าสด และ

แอมพลจดไมม y = sec x ℝ – { 3 5 7, , , ,...

2 2 2 2

} (– –1] [1, ) 2

y = cosec x ℝ – { , 2 , 3 , 4 ,... } (– –1] [1, ) 2

ตวอยาง 30 จงวาดกราฟ y = sin x และ y = cos x ลงบนแกนเดยวกน

และจงหาจ านวนจรง x ซง 0 x 2 และท าให sin x cos x ตวอยาง 31 จงวาดกราฟของ y = – cos x และ

จงหา x [0, 2] พรอมทงหาจ านวนจรง x ซงท าให sin x + cos x > 0

1

Y

–1

X

2

–2

3

2

–

–2 –3

2

2

0

1

Y

–1

X

2

–2

3

2

– –2 –3

2

2 0


29

9. ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม ก าหนดให A และ B เปนจ านวนจรงหรอมมใดๆ ตวอยาง 32 จงหาคาตอไปน 1. cos 15o 2. cos

12

3. cos 75o 4. cos 7

12

5. sin 15o 6. sin 512

7. tan 15o 8. tan 7

12

cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

tan(A – B) = tanA tanB

1 tanAtanB

tan(A + B) = tanA tanB

1 tanBtanB


30

ตวอยาง 33 ก าหนด A และ B เปนมมในควอดรนตท 1 ซง

sin A = 4

5 และ cos B = 5

13

จงหาคาของ

(1) cos(A – B) = ...........................................................................................

= ...........................................................................................

(2) cos(A + B) = ...........................................................................................

= ...........................................................................................

(3) sin(A – B) = ...........................................................................................

= ...........................................................................................

(4) sin(A + B) = ...........................................................................................

= ...........................................................................................

(5) tan(A – B) = ............................................................................................

= ...........................................................................................

(6) tan(A + B) = ............................................................................................

= ........................................................................................... ตวอยาง 34 ก าหนด A และ B เปนมมในควอดรนตท 1 และในควอดรนตท 2 ตามล าดบ ซง

sin A = 4

5 และ cos B = 12

13

จงหาคาของ

(1) sin(A + B) = ...........................................................................................

= ...........................................................................................

(2) tan(A + B) = .................................................................................. .........

= ...........................................................................................

(3) มม A + B เปนมมในควอดรนตท .....................................................................


31

ตวอยาง 35 ถา cos(A + B) = 3

4 และ sin B = 1

4 เมอ 0 < B <

2 และ 0 < A <

2

จงหาคาของ sin A ตวอยาง 36 จงหาคาของ tan 15o + tan 30o + tan 15o tan 30o ตวอยาง 37 จงหาคาของ cos2 A + cos2(60o + A) + cos2(60o – A)

ตวอยาง 38 จงหาคาของ o o

o

cos10 sin40

sin70


32

ตวอยาง 39 ถา A + B = 495o, tan A 0 และ tan B 0 จงหาคา tanA tanB

1 tanA 1 tanB

ตวอยาง 40 จงหาคาของ cos 65o cos 20o + sin 65o sin 20o ตวอยาง 41 จงหาคาของ sin 110o cos 40o + cos 110o sin 40o

ตวอยาง 42 จงหาคาของ sin( )3

cos ( )6

+ cos ( )3

sin ( )6


33

10. เอกลกษณของโคฟงกชน ฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน จะมการจบคเปนคๆ ไดแก ฟงกชนไซนคกบฟงกชนโคไซน ฟงกแทนเจนตคกบฟงกโคแทนเจนต และ ฟงกเซแคนตคกบฟงกโคเซแคนต ฟงกชนในแตละค เรยกวา โคฟงกชนของกนและกน ซงเอกลกษณของโคฟงกชน เปนเอกลกษณทหาคาฟงกชนตรโกณมตจากฟงกชนทเปนโคฟงกชน ซงมหลายรปแบบดงตอไปน

ถา เปนจ านวนจรง หรอ มมใดๆ

คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนหรอมมในรป 2

หรอ 3

2

ขนาดมม คาของฟงกชนตรโกณมต

2

มมในควอดรนตท 1

sin(2

– ) = cos cosec(2

– ) = sec

cos(2

– ) = – sin sec(2

– ) = – cosec

tan(2

– ) = – cot cot(2

– ) = – tan

2

+


sin(2

+ ) = cos cosec(2

+ ) = sec

cos(2

+ ) = – sin sec(2

+ ) = – cosec

tan(2

+ ) = – cot cot(2

+ ) = – tan

3

2

–


sin( 3

2

– ) = – cos cosec( 3

2

– ) = – sec

cos( 3

2

– ) = – sin sec( 3

2

– ) = – cosec

tan( 3

2

– ) = cot cot( 3

2

– ) = tan

3

2

+


sin( 3

2

+ ) = – cos cosec( 3

2

+ ) = – sec

cos( 3

2

+ ) = sin sec( 3

2

+ ) = cosec

tan( 3

2

+ ) = – cot cot( 3

2

+ ) = – tan

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


34

ตวอยาง 43 จงหาคาของ (1) sin 75o = .............................................................................................

(2) cos(–40o) = .............................................................................................

(3) tan( )3

= .............................................................................................

(4) cot( )12

= .............................................................................................

(5) sec 5( )

4 = .............................................................................................

(6) cosec(–105o) = .......................................................................................... ...

ตวอยาง 44 จงเขยนคาตรโกณมตตอไปนในรปของโคฟงกชนของมม เมอ 0 < < 90o

(1) sin 115o = .............................................................................................

(2) cos(–160) = .............................................................................................

(3) tan(–500) = ......................................................................... ....................

ตวอยาง 45 ก าหนดให sin 35o = 0.5736 และ cos 35o = 0.8192 จงหาคาของ (1) sin 235o = ............................................................................................

(2) cos(–235o) = ............................................................................................

(3) tan 595o = ............................................................................................

(4) cot(–595o) = ................................................................................ ............

ตวอยาง 46 จงเขยนคาตรโกณมตตอไปนในรปโคฟงกชนของ เมอ 0 < < 2

หรอ 0o < < 90o

7(1) sin

4 = ............................................................................................

o(2) cos 320 = ............................................................................................

8(3) tan

5 = ............................................................................................

o(4) cot( 350 ) = ............................................................................................

17(5) sec( )

10 = ............................................................................................

o(6) cos ec 665 = ............................................................................................


35

11. ฟงกชนตรโกณมตของสองเทาของจ านวนจรงหรอมม

เราสามารถใชความรเรอง sin(A + B), cos(A + B) และ tan(A + B) ชวยหาคาของ sin2A, cos2A และ tan2A ได ซงสรปไดเปนสตรดงน

ถา A เปนจ านวนจรงหรอมมใดๆ แลว sin 2A = 2 sin A cos A

= 2

2 tanA

1 tan A

cos 2A = cos2 A – sin2 A = 1 – 2 sin2 A = 2 cos2 A – 1

= 2

2

1 tan A

1 tan A

2

2 tanAtan 2A

1 tan A

ตวอยาง 47 จงหาคาของแตละขอตอไปน

(1) sin 15o (2) cos 22.5o (3) cos 105o (4) sin(–67.5o) (5) tan 75o (6) tan 105o


36

ตวอยาง 48 ก าหนด 0 < < 2

และ sin = 4

5 จงหาคา sin 2, cos 2 และ tan 2

ตวอยาง 49 ก าหนดให tan = 3

4 และ 0

2 จงหาคา sin 2, cos 2 และ tan 2


(1) 2 oo

2 2

1 tan 752 tan15(2)

1 tan 15 1 tan 75

ตวอยาง 51 ก าหนดให 1tan

2 2 แลว จงหาคาของ sin + cos + tan


37

ตวอยาง 52 จงหาคาของ 2

2

1 tan ( )4 ;

81 tan ( )

4

ตวอยาง 53 จงหาคาของ sin 3 cos 3

sin cos

ตวอยาง 54 ถาก าหนดให tan 10o = a จงหาคาของ o o

o

tan178 tan108

1 tan178 tan108

ตวอยาง 55 ก าหนดให 0o < A < 90o และ 0o < B < 90o และ 3sin2 A + 2sin2 B = 1 3 sin 2A – 2 sin 2B = 0 จงหาคาของ A + 2B


38

ตวอยาง 56 ถา A และ B เปนจ านวนจรง โดยท A B2

และ

cos(A – B) = a , sin 2A = b และ sin 2B = c จงหา cos(A + B) ตวอยาง 57 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2cos2 + 2cos 2 = 1 เมอ 0o 360o ตวอยาง 58 จงหาเซตค าตอบของสมการ cos2 + sin = 0 เมอ 0 2

Documents

ฟังก์ชันตรีโกณมิติelsd.ssru.ac.th/alongkot_wo/pluginfile.php/262/course...ค าว าตร โกณม ต ตรงก บค าในภาษาอ