เฉลยโจทย์ MATHEMATICS FOR ENGINEERING ข้อที่ 1. ตอบข้อ 2 ...theideal.xyz/images/answer/detail_pdf/Engineering V.pdf · เฉลยโจทย์

เฉลยโจทย : MATHEMATICS FOR ENGINEERING

ขอท 1. ตอบขอ 2

วธท ำ

16

20

1i

1i

= 16

20

i1

i1

= 8 2

10 2

i1

i1

= 8

10

2i

2i

= 8

10

i2

i2

= 2i2

= 4

ดงนน 16

20

1i

1i

= 4



วธท ำ แผนกรองแสง 1 แผน กรองแสงออกได

20% = 100

20 = 0.2 เทาของเดม จะเหลอ

80% = 0.8 ของเดม ถาคดแผนท 5

แสดงวา กรองออกไป = 100 – 32.8 = 67.2% ดงนน คาประมาณ 60% คอ = 100 – 40.96 = 59.04% นนคอ ตองใช 4 แผน



วธท ำ “ถาพอกกตนนาตาล แลวราคานาตาลจะสงขน” เปนความจรง ให p แทน พอคากกตนนาตาล q แทน ราคานาตาลจะสงขน p q T 1. q p 2. ~p ~q 3. ~q ~p p q T ดงนน “เนองจากราคานาตาลไมสงขน จงสรปไดวา พอคาไมไดกกตนนาตาล”



วธท ำ

det A = 200

120

021

= 4

det B = 103

021

00a

= 2a

และ det(AB) = 8 det A det B = 84 4(2a) = 8 ดงนน a = 1



วธท ำ nπ3cos 38n5

nn4lim

5

35

n

= nπ3coslim

38n5

nn4lim

n5

35

n

= 35

4

= 5

12

= 4.2

ดงนน nπ3cos 38n5

nn4lim

5

35

n

= 4.2



วธท ำ

เสนรอบของวงกลม C1 ยาว

2

d2 = d

เมอ r1 = 2

d

จากรป rn+1 = rn cos 45o = 2

2 rn

ดงนน r2 = 2

2

2

d =

4

d2


d

4

22 = d

2

2

และ r3 = 2

2

4

2d =

4

d


4

d2 = d

2

1

จะได ผลบวกของเสนรอบวงของวงกลมทงหมด

= .d2

1d

2

2d

=

2

1

2

11d เปนอนกรมเรขาคณต

จากสตร S = r1

a1

2

1

2

11d =

2

11

1d

= 12

d2

ดงนน ผลบวกของเสนรอบวงของวงกลมทงหมด คอ 12

d2



วธท ำ 1. l1 : 3x - 5y + 10 = 0 จะได m l1 =

5

3

l2 : x + 4y - 6 = 0 จะได m l2 =

4

1

l3 : 6x - 10y - 1 = 0 จะได m l3 =

10

6 = 5

3

l1 // l3 ไมเกดรปสามเหลยม

2. l1 : x - 3y + 1 = 0 จะได m l1 =

3

1

l2 : 3x + y + 1 = 0 จะได m l2 = -3

l3 : -2x + 6y + 5 = 0 จะได m l3 =

3

1

l1 // l3 ไมเกดรปสามเหลยม

3. l1 : x - 4y + 2 = 0 จะได m l1 =

4

1

l2 : 2x + y = 0 จะได m l2 = -2

l3 : 2x + 3y - 5 = 0 จะได m l3 =

3

2

l1 , l2 , l3 ไมตงฉากกนเลย

4. l1 : 5x - 3y + 7 = 0 จะได m l1 =

3

5

l2 : 2x - y = 0 จะได m l2 = 2

l3 : 9x + 15y - 4 = 0 จะได m l3 =

5

3

l1 l3

ดงนน สมการในชดขอ 4 เปนสามเหลยมมมฉาก



วธท ำ ให y เปนคาใชจาย

คานามน 5

V 2

บาทตอชวโมง

คาจางพนกงานเดนรถ 40 บาทตอชวโมง ความเรว V กโลเมตรตอชวโมง

แตระยะทาง 500 กโลเมตร ตองใชเวลา V

500 ชวโมง

จะได y = V

50040

5

V2

= 100 V + V

20000

y = 100 V + 20000 V -1 y = 100 - 20000 V -2

ให 100 - 2V

20000 = 0

V 2 = 200 V = 200 = 210

ดงนน จะแลนดวยความเรว 210 กโลเมตรตอชวโมง จงจะเสยคาใชจายนอยทสด



วธท ำ เครอง 1 เครอง 2 เครอง 3 เครอง 4 จานวน (N) 30 30 30 30 คาเฉลยเลขคณต X 1 1 1 1 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (S.D.) 0.1 0.32 0.01 0.1

X

S 0.1 0.32 0.01 0.1

ดงนน เครองบรรจนาอตโนมตเครองท 1 และ 4 ควบคมการประจไดดทสด



วธท ำ เมอมวล M มหนวย = X ระยะทาง S0 มหนวย = Y เวลา t มหนวย = Z

ดงนน กาลง = P = t

W = t

SF 0 = S

m

S

mkg

2

=

3

2

0

t

MS

P = 3

2

Z

XY

และ ความดน P = A

F =

22 m

1

S

mkg =

2

0 tS

M

= 2YZ

X



วธท ำ แบงคน 10 คน ออกเปน 2 กลม กลมละ 5 คน

จะได 2! 5! 5!

10! = 126 วธ



วธท ำ

dt f(t)

2

0

= พนท ABC

= 5 2 2

1

= 5



วธท ำ ให y แทนปรมาณรถทวงผาน x แทนจานวนประชากรในเมอง A

จะได y α x นนคอ y = k x เมอ k เปนคาคงตว

ปจจบน ; x = 9 , y = y1 y1 = k 9 y1 = 3k

อก 10 ปขางหนา ; x = 16 , y = y2 y2 = k 16 y2 = 4k

นนคอ 1

2

y

y = 3k

4k = 3

4



วธท ำ รปท 1 เสนรอบรปยาว 4a

รปท 2 ∆ ABC , o90sin

x = o45sin

2

a

x = 2

a

จะได เสนรอบรปยาว

2

a 4

รปท 3 ∆ CDE ; o90sin

y = o45sin

22

a

y = 2

a

จะได เสนรอบรปยาว

2

a 4

ผลรวมเสนรอบรป

จะได ... 2

a 4

2

a 4 4a

=

2

1-1

4a

(ใช 1) r ; r-1

a S 1

ดงนน ผลรวมเสนรอบรป = 1 - 2

a 24



วธท ำ จาก x1 , x2 , x3 , ... , xn ซง n > 0 และ x1 , x2 , x3 , ... , xn I ; n I +

จะได X = n

Xn

1i

i

X = n

X...XXX n321

X = I

I

ดงนน X เปนจานวนตรรกยะ หมายเหต I Q และ N Q


ขอท 16. ตอบ 90%

วธท ำ ให A แทนเซตของการขนสงดวยรถไฟ B แทนเซตของการขนสงดวยรถบรรทก จากโจทย จากการสารวจการขนสงสนคาทางบกจากกรงเทพไปยงจงหวดอดรธาน จะได n(A B) = 0 % และ n(A B) = 100 % มการขนสงดวยรถไฟและรถบรรทกอยรอยละ 20 จะได n(A B) = 20 % มการขนสงดวยรถไฟรอยละ 30 จะได n(A) = 30% จากสตร n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 100 = 30 + n(B) – 20 ดงนน n(B) = 90%


ขอท 17. ตอบ 60 วธ

วธท ำ แผนกซอมบารงม ชางกลโรงงาน 5 นาย ชางไฟฟา 4 นาย ตองการจดทมซอมบารงใหมชางกลโรงงาน 3 นาย ชางไฟฟา 2 นาย

จะได

2

4

3

5 = 2! 2!

4!

3! 2!

5!

= 10 6

= 60

ดงนน จะได 60 วธ



วธท ำ ความผดพลาดไมเกนรอยละ 5

จะได ความผดพลาด 100

5 ของจานวนผลต

แต ผลต 1,500 ใบ

ความผดพลาด 100

5 1500

ความผดพลาด 75

ดงนน จะตองสม 75 ใบ


ขอท 19. ตอบ 0000.13

วธท ำ

โจทย CPU = SD 3

xUSL

,

CPL = SD 3

xLSL

Cpk = 1

จะได ถา CPU = 1;

1 = SD 3

xUSL

3 = SD

xUSL



วธท ำ เสนโคงการกระจายของ A มการกระจายนอยกวา เปนเสนโคงการกระจายของ B หมายเหต โดงนอยกระจายมาก ไมด โดงมากกระจายนอย ด



วธท ำ ปรมาตรของแกว = π r2h จากรป r = x , h = y = x2 ปรมาตรของแกว = π (x)2 (x)2 = π x4 ปรมาตรของนาทเหลอ หาจากการหมนเสนโคง y = x2 รอบแกน y สตร ปรมาตรจากการหมนเสนโคง =

x

02π x f(x) dx

= x

02π x x2dx

= 2π x

0x3dx

= 2π0

x

4

x 4

= 2π

0

4

x 4

= 2

1πx4

= 2

1 (ปรมาตรของแกว)

ดงนน นาทเหลออยในแกวมปรมาตรมากกวา 3

1 ของแกว



วธท ำ สมการของรปพาราโบลา เมอจดโฟกสผานจากกนจานรบสญญาณ c = 0.5

คอ x2 = 4cy

หรอ y = c4

x 2

= )5.0(4

x 2

y = 2

x 2

………. (1)

กราฟของสมการท (1) แสดงดงรป ขอ ก. ผด เพราะพนทชองเปดของจาน < พนทจรงของจาน

A0 < A ; 2

2

D

< A ;

2

D <

A ดงนน D <

A2

ขอ ข. ถก จากรป กราฟระยะ S จะสนสดเมอ S = 0.5 m (เขยนกราฟใหถกตองตามสเกลจะเหนไดชดเจน)

ขอ ค. ผด สายอากาศแบบจาน นยมใชกบไมโครเวฟ (Microwave) ซงมความถในชวง 30 - 300 GHz (โดย 1G = 109) ความถทจะรบไดดทสดขนกบอตราขยายของอากาศ ซงเขยนเปน

อตราขยาย G = 2

D

เมอ = ประสทธภาพของชองเปด

D = เสนผานศนยกลางของสายอากาศ λ = ความยาวคลนไมโครเวฟ ขอ ง. ถก ความแรงของสญญาณทไดรบ ขนกบองคประกอบตอไปน

1. อตราขยายของสายอากาศ G = 2

D

2. ความไมสมาเสมอของสนามแมเหลกไฟฟาบนชองเปด 3. การลนจาน (spil over) คอ การทพลงงานบางสวนของคลนไมโครเวฟไมไดสะทอนดวยจาน 4. ผลจากการบงคลน (blocking) ซงเกดจากอปกรณบางอยางทยงยดตดบนจานบงคลนบางสวนไว 5. ผลจากการบงคลนไมโครเวฟ โดยอปกรณทยดตดอยกบจาน เชน โครงยดจดรบสญญาณ ความไมเรยบของผวสะทอนคลน เปนตน


ขอท 23. ตอบ 1,812 ชวโมง

วธท ำ

จากตาราง A = 0.47 , Z = -1.88

จากสตร Z = SD

XX i

-1.88 = 100

2000X

ได X = 1,812 ชวโมง

นคอ ตองบารงรกษาเครองจกร เมอทางานไปแลว 1,812 ชวโมง



วธท ำ

คะแนน ความถ ความถสะสม 0 - 9 15 15

10 - 19 10 25 20 - 29 20 45 30 - 39 30 75 40 - 49 10 85 50 - 59 5 90 60 - 69 5 95 70 - 79 3 98 80 - 89 1 99 90 - 99 1 100

ฐานนยม : Mod = L + I

21

1

dd

d

= 29.5 + 10

0201

10

= 32.83 ..... (1)

มธยฐาน : Med = L +

L

M

f2

N

f

I

= 29.5 +

45

2

100

30

10

= 31.16 ..... (2) ดงนน ฐานนยม มากกวา มธยฐาน

Mod d1

d2

d1 = 30 - 20 = 10 d2 = 30 - 10 = 20



วธท ำ ขอ 1 ถก : ลาดบคอ ฟงกชนทสงจากจานวนเตมบวกไปยงจานวนจรง ขอ 2 ถก : a1 , a2 , a3 , ….. , an+1 เปนลาดบเรขาคณต

เมอ r a

a .....

a

a

a

a

a

a

n

1n

3

4

2

3

1

2

ขอ 3 ถก : L a lim nn

เมอ n มคามากขนเปนอนนต แลว

an เขาใกลหรอ เทากบ L เพยงจานวนเดยว ขอ 4 ผด :



วธท ำ เพราะ 2

21ZZ = 2121 ZZ ZZ = 2121 ZZ ZZ = 2211 ZZ ZZ = 2

2

2

1 Z Z

21ZZ = 21 Z Z


ขอท 27. ตอบ 6000

วธท ำ

ความนาจะเปนทนมในกลองจะมปรมาตรเกนกวา 250 ลกบาศกเซนตเมตร เปนรอยละ 50 แสดงวา x ของแตละกลอง คอ 250 ลกบาศกเซนตเมตร ดงนน ปรมาตรเฉลยของนมกลองทงสองลง คอ 250 24 = 6000 ลกบาศกเซนตเมตร



วธท ำ กลองบรรจสนคา 12 ชน สมหยบกลองละ 3 ชน โดยไมใสคน

n(s) =

1

10

1

11

1

12 = 12 11 10

หาความนาจะเปนทกลองทมผลตภณฑ ชารด 3 ชน จะไดวา สนใจกลองทมผลตภณฑชารด 3 ชน ไมชารด 3 ชน แตสม 3 ชน แบบไมใสคนจากสนคา ทไมชารด

n(E) =

1

7

1

8

1

9 = 9 8 7

ดงนน P(E) = 101112

789

= 55

21



วธท ำ ระบบไฟฟา 4 ระบบ ตามรป

P(E1) แทนระบบท 1 ทางาน โดย P(E1) = 0.9 , P(E1) = 0.1 P(E2) แทนระบบท 2 ทางาน P(E2) = 0.9 , P(E2) = 0.1 P(E3) แทนระบบท 3 ทางาน P(E3) = 0.8 , P(E3) = 0.2 P(E4) แทนระบบท 4 ทางาน P(E4) = 0.8 , P(E4) = 0.2 ความนาจะเปนทไฟไมสามารถเดนทางจากจด A ไปยงจด B

กรณ 1 ไมทางานทง 4 ระบบ 0.1 0.1 0.2 0.2 = 0.0004

กรณ 2 ระบบ 1 หรอ 2 ไมทางานเพยงระบบเดยว และระบบ 3 กบ 4 ไมทางาน

1

2 0.1 0.9 0.2 0.2 = 0.0072

ดงนน ความนาจะเปนทไฟไมสามารถเดนจาก A ไป B คอ 0.0004 + 0.0072 = 0.0076



วธท ำ f : R R เปนฟงกชนชงเสน กตอเมอ (1) f (x + y) = f (x) + f (y) (2) αf (x) = f (αx) เมอ α เปนคาคงตว

ขอ 1 ไมเปน เพราะ f (x) = n

1

x เมอ n เปนจานวนเตมค

f (x + y) = n

1

)yx(

f (x) + f (y) = n

1

n

1

y x f (x + y) f (x) + f (y)

ขอ 2 ไมเปน เพราะ f (x) = ax + b f (x + y) = a (x + y) + b f (x) + f (y) = ax + b + by + b f (x + y) f (x) + f (y)

ขอ 3 เปน เพราะ f (x) = - ax จะได f (x + y) = - a (x + y) = - ax - ay f (x) + f (y) = (-ax) + (-ay) = - ax - ay f (x + y) = f (x) + f (y) จะได αf (x) = - αax f (αx) = - a(αx) = - 2ax จะได αf (x) = f (αx)

ขอ 4 ไมเปน เพราะ f (x) = a f (x + y) = a f (x) + f (y) = a + a = 2a f (x + y) f (x) + f (y)


ขอท 31. ตอบ 100 (หนวย 1000 บาท)

วธท ำ หาจดดลยภาพ (จดตด) ของ f : y = 0.01x - 0.01 _______(1) g : y =

1x

1

_______(2)

(1) = (2) ; 0.01x - 0.01 =

1x

1

100

1

100

x =

1x

1

(x – 1)2 = 100 x - 1 = 10 , -10 x = 11 , -9

g = 10

1

ตองใชเงนลงทน 10

1 (1,000,000) = 100,000 บาท

ดงนน ตอบ 100 (หนวย 1,000 บาท)

X



วธท ำ A พดวา “B เปนคนพดความจรงเสมอ” B พดวา “ฉนและ A เปนคน คนละประเภทกน”

เพราะ ถา A เปนคนพดความจรงเสมอ แต A พดวา “B เปนคนพดความจรงเสมอ” สรปไดวา B เปนคนพดจรงเสมอดวย แต B พดวา “ฉนและ A เปนคนคนละประเภทกน” จะขดแยงกน ถา A เปนคนพดเทจเสมอ แต A พดวา “B เปนคนพดความจรงเสมอ” สรปไดวา B เปนคนพดเทจเสมอ ดวย แต B พดวา “ฉนและ A เปนคนคนละประเภทกน” แสดงวา B พดโกหก ไมขดแยง ดงนน A และ B เปนคนทพดโกหกเสมอ



วธท ำ ตองถามวา “ทานเปนพลเมองของประเทศน ใชไหม’’ เพราะ ถานาย x อยดานเมอง x และนาย y อยดานเมอง y ถาถาม x ตองตอบวา ใช แตถาถาม y ตองตอบวา ไมใช แตถานาย y อยดานเมอง x และนาย x อยดานเมอง y ถาถาม y ตองตอบวา ใช แตถาถาม x ตองตอบวา ไมใช

ดงนน คนเฝาดานเมอง x ตองตอบวา ใช เสมอ



วธท ำ การเดนจาก a ไป b ตองเดนไปทางขวา 4 กาว ลงลาง 4 กาว ตองจดเรยงทางขวา 4 และ ลาง 4 สลบกน

จะได 4! 4!

8! = 70 วธ



วธท ำ n (ห) = 50 n (แวน) = 70 n (ผาอยางเดยว) = n () = 20 n (แวนอยางเดยว) = n () = 15 n (ผาและห) = n (+) = 20 n (แวนและผา) = n (+) = 28 100 = 50 + 20 + 15 + (28 – n () + 3 n () = 16 หา n () = 70 – 28 – 15 = 27 n () = 20 – 16 = 4 n (+) = 28 คนทใสอยางนอย 2 อยาง ม n ( + + + ) = 27 + 4 + 28 = 59

โอกาสทพนกงานจะสวมใสอปกรณถกตองตามมาตรฐาน = 100

59



วธท ำ ขนตอนท 1 ใหบรษท A อยชนท 5 ขนตอนท 2 ใหบรษท B หางจาก A และ C เทากน (แบงได 2 กรณ) ขนตอนท 3 ใหบรษท D ไมตดกบบรษท E และบรษท F ตองอยชนสงกวาบรษท D เสมอ

ดงนน ขอสรป I ถกตองเพยงขอเดยว


ขอท 37. ตอบ 53 คะแนน

วธท ำ จากโจทย Z = 1.5 , X = 50 และ S2 = 4

จากสตร Z = S

Xx

1.5 = 2

50x

x = 53

ดงนน ผเขาสอบจะมสทธสอบสมภาษณ กตอเมอทาขอสอบไดรอยละ 53 ขนไป


ขอท 38. ตอบ 3 ตารางเซนตเมตร

วธท ำ

รปสหลยมผนผาทใหญทสดอยทจดกงกลางของแตละดาน พนทรปสเหลยมผนผา = กวาง ยาว = 1.5 2 = 3 cm2

ดงนน รปสเหลยมผนผาทใหญทสดมพนท 3 ตารางเซนตเมตร



วธท ำ

จากสตร dt

dC = dx

dC dt

dx

dt

dC = (3x2 + 1)

2x2

1 = 2x2

1x3 2

โจทยกาหนดให t = 4 นาไปแทนในสมการ t = x2 – 2x + 7 4 = x2 – 2x + 7 x2 – 2x + 3 = 0

จากสตร x = a2

aC4bb 2

= )1(2

)3)(1(4)2()2( 2

= 2

1242 = 2

82

จะพบวา ไมสามารถหาคา x ในระบบจานวนจรงได ดงนน ไมสามารถหาอตราการเปลยนแปลงของตนทนตอเวลาในเดอนท 4 ได (ไมมขอถก)

จาก C = x2 + x

= 3x2 + 1

จาก t = x2 – 2x + 7

= 2x – 2

จะได =



วธท ำ กาหนดให หอง A มขนาด x แถว หอง B มขนาด y แถว เขยนเปนสมการได ดงน 5x + 6y = 55 โดยท x และ y จะตองเปนจานวนเตมเทานน จากสมการ พบวา เมอ x = 5 และ y = 5 ทาใหสมการเปนจรง

ดงนน จานวนแถวของหอง A = จานวนของหอง B



วธท ำ ชวงเวลาระหวางโทรเขาแตละครง นอยกวา 2 ชวโมง คอ ในชวงเวลา 2 ชวโมง มคนโทรเขามา 1 ครง แทนคา t = 2 และ n = 1

ในสตร P[N(t) = n] = tn

2!n

t

P[N(2) = 1] = 21

2!1

2 = 4

2 = 2

1

ดงนน ความนาจะเปนซงชวงเวลาระหวางโทรเขาแตละครงนอยกวา 2 ชวโมง เทากบ 2

1



วธท ำ นาหนกคลาดเคลอน = ± 5% ของ 200 g นาหนกจะอยระหวาง 200 ± 10 = 190 - 200 g

ดงนน กราฟขอ 1 แสดงใหเหนวากระบวนการผลตเปนปกต



วธท ำ พจารณา อตราการไหลเขา - ออกของอปกรณท 3 จาก Qเขา = Qออก 22 + 15 = 2 + Q3 Q3 = 35 m3/h M3 = (35 m3/h) (1 mg/L) = 35 103 mg/L พจารณา มวลเขา - ออกของอปกรณท 3 มวลไหลเขา = (7.44 106) + (4.8 106) = 12.24 106 mg มวลไหลออก = (2.4 106) + (35 103) = 2.435 106 mg มวลทถกกาจด = มวลไหลเขา - มวลไหลออก = (12.24 106) - (2.435 106) = 9.8 106



วธท ำ วธการบรรจทรงกระบอกลงในกลอง มดงน วธท 1 บรรจโดยเรยงซอนกนเปนรปสามเหลยม ปรมาตรกลอง = 2r )34(2 วธท 2 บรรจโดยใหทรงกระบอกเรยงขนานกน 3 อน ปรมาตรกลอง = 2r 6r = 2r 21 วธท 3 บรรจโดยใหทรงกระบอกตอกนไปตามแนวยาว ปรมาตรกลอง = 32r 2r = 2r 21

ดงนน ปรมาตรทวางภายในของกลองขนาดเลกทสด ทสามารถบรรจทรงกระบอกทงสามได เทากบ 2r 21





วธท ำ กราฟเบขวา มลกษณะดงน

X > Me > Mo


ขอท 47. ตอบ 589 แผน

วธท ำ ตองการจานวนชนงาน =

000,20

100

3 + 20,000

= 600 + 20,000 = 20,600 ชน

ชนงานหกเหลยม 1 ชน จะใชแผนทองเหลองยาว 16 mm แผนทองเหลอง 1 แผน จะปมชนงานได

= 16

575 = 35.9 = 35 ชน

(ปดเศษลง เนองจากเศษไมสามารถปมไดเตมชนงาน)

จานวนแผนทองเหลอง = 35

600,20 = 588.57 = 589 แผน

(ปดเศษขน เนองจากตองสงซอแผนทองเหลอง ใหเพยงพอกบจานวนชนงานทตองการ)

ดงนน จะตองสงซอแผนทองเหลองทงหมด 589 แผน


ขอท 48. ตอบ 0.375

วธท ำ ใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในการแกปญหา

จากโจทย P(A) = P(B) = P(C) = 2

1

P(A B) = P(A) × P(B) = 2

1 × 2

1 = 4

1

P(A B C) = P(A) × P(B) × P(C) = 2

1 × 2

1 × 2

1 = 8

1

ดงนน พนททไมซากบสวนไหนเลย = 8

1

8

1

8

1 =

8

3 = 0.375

เปนความนาจะเปนทระบบจะทางานอยได

P(A B) - P(A B C) =

P(A B C) =

P = =





วธท ำ พจารณาตวเลอก 3 เนองจากมกาไรสงสด = 3,800 บาท ปรมาณแปงสาลทใช = (10)(400) + (30)(200) = 10,000 g = 10 kg ปรมาณนาตาลทใช = (10)(200) + (30)(400) = 14,000 g = 14 kg

จากการคานวณพบวา ปรมาณแปงสาลและนาตาลทใช ไมเกนปรมาณแปงสาล และนาตาลทรานสงซอ ในแตละวน

ดงนน ทางรานควรผลตขนมออกมาขาย โดยแบงเปนขนมเคก 10 ชน ขนมพาย 30 ชน กาไร 3,800 บาท



วธท ำ โอกาสทพบลกคา A และไดเงน = 0.75 1,000 = 750 บาท โอกาสทพบลกคา B และไดเงน = 0.5 1,500 = 750 บาท ดงนน นาย ก ควรไปพบลกคา A หรอ B กได



วธท ำ

จากรป tan 60o = r

a

3 = r

a

a = 3 r 2a = r32 ความยาวของรปสามเหลยมดานเทาแตละดานไมมากกวา r32



วธท ำ ถาโรงงานใชไฟฟา n ชวโมง จะเสยคาไฟ 2(1,000)n บาท

จะได 2(1,000)n = 50,000 + 1,975n

n = 5.2

000,50 = 2,000 ชวโมง

ดงนน โรงงานควรท างาน 2,000 ชวโมง



วธท ำ โจทยก าหนดให ความนาจะเปนในการผลตสนคาต ากวามาตรฐานของ A , B และ C เปน 20% , 20% และ 10% ตามล าดบ ดงนน ความนาจะเปนทจะผลตสนคาไดมาตรฐานของ A , B และ C จงเปน 80% , 80% และ 90% ตามล าดบ

ความนาจะเปนทงสายการผลต =

100

90

100

80

100

80 = 0.575

ดงนน ความนาจะเปนทสายการผลตน จะผลตสนคาไดคณภาพตามเกณฑมาตรฐาน เทากบ 0.575



วธท ำ P(E) = 3

6

1

3

2

3

C

C C

= 02

3 3 = 02

9

ดงนน ความนาจะเปนทพนกงานทบรษทสมเลอกมา

จะเปนวศวกรชาย 2 คน และวศวกรหญง 1 คน เทากบ 02

9




ขอท 57. ตอบ 705.1 พนบาท

วธท ำ เรมฝาก มเงน 100 พนบาท

สนปแรก ไดดอกเบย 10% (100) = 10 พนบาท ฝากเพม 200 พนบาท รวมเปนเงน 300 พนบาท

สนปท 2 ไดดอกเบย 10% (310) = 31 พนบาท ฝากเพม 300 พนบาท รวมเปนเงน 310 + 31 + 300 = 641 พนบาท

สนปท 3 ไดดอกเบย 10% (641) = 64.1 พนบาท

ขนปท 4 จะมเงนรวม = 641 + 64.1 = 705.1 พนบาท

ดงนน ผจดการคนนจะมเงนเกบรวม 705.1 พนบาท



วธท ำ ความนาจะเปนทจะไดลกแกวสแดง = 1

6

1

3

C

C = 1! 1)!-(6

6!

1! 1)!-(3

3!

= 6

3

ความนาจะเปนทจะไดลกแกวสเหลอง = 1

6

1

1

C

C = 1! 1)!-(6

6!

1! 1)!-(1

1!

= 6

1

ความนาจะเปนรวม 6

3 +6

1 = 6

4 = 3

2

ดงนน โอกาสทเดกคนนจะหยบไดลกแกวสแดง และสเหลอง อยางละลก เทากบ 3

2



วธท ำ จากสตร P(E) = n(S)

)E(n

หา n(E) n(E) = 3 (3 - 1) = 3 2

หา n(S) n(S) = (6 - 1) = 5

จะได P(E) = )S(n

n(E) = 5!

2! 3! = 10

1

ดงนน ความนาจะเปนทจะจดใหแยกนงสลบชาย – หญง เทากบ 10

1



วธท ำ จะพบวา 121 6 = 726 721 7 = 5,047 5,041 8 = 40,328 40,321 9 = 362,889

ดงนน เทอมทหายไปคอ 5,047



เหตผล ควรเลอกเครองจกร B เนองจากราคาไมแพง คาใชจายในการบ ารงรกษาไมสง และอายการใชงานยาวนาน



วธท ำ จากสมการเสนตรง y = mx + c แทนคา จากโจทย จะได 4,000 = 40m + c ………(1) 8,000 = 30m + c ………(2) น าสมการ (1) – (2) จะได - 4,000 = 10m m = - 400

น า m = - 400 แทนคาในสมการท (1) จะได 4,000 = 40(- 400) + c c = 4,000 + 16,000 = 20,000 จะได f(x) = - 400x + 20,000

ดงนน ฟงกชนเชงเสน f(x) = - 400x + 20,000



วธท ำ พนทรปสามเหลยม = 2

1 × ฐาน × สง

= 2

1 × 2 × 2 = 2

พนท 8

1 ของวงกลม = 8

R 2 = 8

)1( 2 = 8

พนททแรเงา = พนทรปสามเหลยม – พนท 8

1 ของวงกลม

= 2 - 8



วธท ำ

คลอไรดไอออนทมม = 8 × 8

1 = 1 หนวย

คลอไรดไอออนทอยตรงกลาง = 6 × 2

1 = 3 หนวย

คลอไรดไอออนทงหมด = 1 + 3 = 4 หนวย

ดงนน จ านวนคลอไรดไอออน เทากบ 4 หนวย



วธท ำ ความนาจะเปนของการตอแบบอนกรม (ใชและ)

P (A ∩ B) = P(A) × P(B)

ความนาจะเปนของการตอแบบขนาน (ใชหรอ) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B) พจารณารปจากโจทย ขนท 1

ขนท 2

ขนท 3 P(ขนาน) = 0.72 + 0.9 - (0.72)(0.9) = 0.972

ขนท 4 P (รวม) = (0.8)(0.972)(0.9) = 0.70 ดงนน ความนาจะเปนรวมของวงจรนทจะท างานได เทากบ 0.70


ขอท 66. ตอบ 0.75 นาท

วธท ำ จากสตร X = i

ii

N

XN

= 321

332211

NNN

XNXNXN

= 352540

)35)(1()25)(8.0()40)(5.0(

= 100

75 = 0.75 นาท

ดงนน ควรจะเผอเวลาส าหรบความลาชา โดยเฉลยประมาณ 0.75 นาท


ขอท 67. ตอบ 2,625 หนา

วธท ำ ก าหนดให x = จ านวนหนาทพมพ ถาจางพมพจะเสยเงน = 8x บาท ถาซอเลเซอรพรนเตอร จะเสยเงน = 2x + 15,000 8x = 2x + 15,000 6x = 15,000 x = 2,500 หนา (ตองซอตลบหมก 3 ตลบ)

เขาจะตองซอตลบหมก 3 ตลบ รวมเปนเงน 6,000 บาท คาใชจายทงหมด = 15,000 + 6,000 = 21,000 บาท จะได 8x = 21,000 x = 2,625 หนา

ดงนน เขาควรจะพมพเอกสาร 2,625 หนา



วธท ำ จ านวนรถเฉลยใน 1 ชวโมง = (0)(0.5) + (1)(0.25) + (2)(0.2) + (3)(0.05) = 0.8 คน

รถ 0.8 คน วงผานในเวลา 60 นาท

รถ 1 คน วงผานในเวลา 8.0

160 = 75 นาท

ดงนน เวลาเฉลยทรถรบจางแตละคน จะผานถนนสายนเทากบ 75 นาท



วธท ำ พจารณาตวอกษร จ านวนวธในการเรยงตวอกษร = (40 × 40) - 500 = 1,100 วธ พจารณาตวเลข จ านวนวธในการเรยงตวเลข = 9 × 10 × 10 × 10 = 9,000 วธ หาจ านวนวธทงหมด โดยใชกฎการคณ จ านวนวธทงหมด = 1,100 × 9,000 = 9.9 ลานแบบ

ดงนน จะมวธการจดเรยงปายทะเบยน 9.9 ลานแบบ



วธท ำ พจารณาในแตละตวเลอก

ขอ 1 n

n

nn

= n

n

n2

= 2n

เมอ n มากขน คา 2n มคามากเปนอนนต

ขอ 2 n

n

1n

เมอ n มากขน คา n

n

1n

มคาประมาณ 2.71828

ขอ 3 n

2n

nn

= n

2n

n2

= n

n

2


n

2

มคาประมาณ 0

ขอ 4 n

1n

n


1n

n

มคานอยกวา 0



วธท ำ ก าหนดให P แทนประพจน “ฝนตกนานกวา 1 ชวโมง” Q แทนประพจน “น าทวมรฐสภา”

โจทยก าหนดให P → Q ≡ F แสดงวา P มคาความจรงเปน T Q มคาความจรงเปน F

พจารณาในแตละตวเลอก ขอ 1 T ↔ F ≡ F ขอ 2 T F ≡ F ขอ 3 T F ≡ F T ≡ F ขอ 4 T F ≡ F T ≡ T

ดงนน ค ากลาว “ฝนตกนอยกวา 1 ชวโมง หรอน าไมทวมรฐสภา” มคาความจรงเปนจรง


ขอท 72. ตอบ 30 วธ

วธท ำ เลอกเครองกลง 2 เครอง จาก 5 เครอง ใหแผนก A

2

5 C = 2! 2)!-(5

5! = 2! 3!

5! = 10 วธ

เลอกเครองเจาะ 2 เครอง จาก 3 เครอง ใหแผนก A

2

3 C = 2! 2)!-(3

3! = 2! 1!

3! = 3 วธ

จ านวนวธทงหมด = 10 × 3 = 30 วธ

ดงนน โรงงานจะมวธจดเครองจกรได 30 วธ



วธท ำ จากสตร X = ii

N

1 i

x)P(x

= (0.1 × 1,500) + (0.2 × 2,000) + (0.6 × 3,000) + (0.1 × 4,000) = 150 + 400 + 1,800 + 400 = 2,750 ชวโมง

อายการใชงานเฉลย = 250

2,750 = 11 เดอน

ดงนน ใบมดชนดนจะมอายการใชงานเฉลย 11 เดอน



วธท ำ จากเงอนไขค าสง I จะเพมคาขนทละ I คา S จะเพมคาขนทละ I คา เมอ I หารดวย 3 หรอ 5 ลงตว เมอ I = 1 S = 0 I = 3 S = 0 + 3 = 3 I = 5 S = 3 + 5 = 8 I = 6 S = 8 + 6 = 14 I = 9 S = 14 + 9 = 23



วธท ำ 1. เรมใหชนงาน (3) เขากอน

Ⓐ

ใชเวลา 2 ชวโมง เรมชวโมงท 1 ถงชวโมงท 2

Ⓑ

รบชนท (3) ใชเวลา 7 ชวโมง เรมชวโมงท 3 ถงชวโมงท 9 ท าเสรจแลวรบชนท (1) ตอไดเลย เพราะเครอง A ผลตเสรจตอนชวโมงท 7 แลว

2. สงชนงาน (1) ตาม

Ⓐ


Ⓑ

รบชนท (1) มาท าตอจากชนท (3) ใชเวลา 5 ชวโมง เรมทชวโมงท 10 ถงชวโมงท 14 เสรจแลวรบชนท (2) มาตอไดเลย

3. สงชนงาน (2) ตาม

Ⓐ


Ⓑ

รบชนท (2) มาท าตอจากชนท (1) ใชเวลา 3 ชวโมง เรมทชวโมงท 15 ถงชวโมงท 17

กระบวนการตามตวเลอก 4 กระบวนการผลต (3) , (1) , (2) ใชเวลาท าเสรจ 17 ชวโมง ซงเรวทสด สวนกระบวนการผลตตามตวเลอกอนๆ สามารถคดไดในลกษณะเดยวกน จะพบวาใชเวลามากกวา 17 ชวโมงทกตวเลอก

ดงนน กระบวนการผลตรวมนอยทสด คอ (3) , (1) , (2)



วธท ำ y = y1 + y2 + … + yn = [4(1) + 10] + [4(2) + 10] + ... + [4(n) + 10] = [4(1) + 4(2) + ... + 4(n)] + 10 n = 4 (1 + 2 + ... + n) + 10 n

= 4

2

1)n(n + 10 n

= 2n (n + 1) + 10n = 2n [(n + 1) + 5] = 2n (n+6)

ดงนน ถาบรษทแหงนด าเนนการ n ป จะมคาใชจายรวม 2n (n+6)



วธท ำ จากสตร P(E) = (n(E))/(n(S))

เหตการณทลกเตาขนหนาเดยวกน E = {(1, 1, 1) , (2, 2, 2) , … , (6, 6, 6)} n(E) = 6 n(S) = 6 × 8 × 10 P(E) =

n(S)

)En( = 1086

6

=

80

1

ดงนน ความนาจะเปนในการโยนลกเตา 1d6 , 1d8 และ 1d10 พรอมกน แลวไดหนาลกเตาเหมอนกน เทากบ

80

1


ขอท 78. ตอบ 12,000 บาท

วธท ำ ก าหนดให ใชถานหน A x kg ใชถานหน C y kg ซอถานหน A เปนเงน 30x บาท เสยคาบ ารงรกษาหมอน า = )x30(

100

10 บาท

ซอถานหน C เปนเงน 20y บาท เสยคาบ ารงรกษาหมอน า = )y20(100

5 บาท

รวมคาใชจายทงหมด =

)y20(

100

5y20)x30(

100

10x30

คาใชจายทงหมด = 33x + 21y ก าลงไฟฟาทผลตไดทงหมด = 3x + 1.8y kW

จากโจทย 3x + 1.8 ≫ 1.08 × 103 x ≫ 100 y ≫ 100

พจารณาจด A

3

1,300 , 100

คาใชจายทงหมด = (33 × 100) +

3

1,300 21

= 3,300 + 9,100 = 12,400 บาท พจารณาจด B (300 , 100) คาใชจายทงหมด = (33 × 300) + (21 × 100) = 9,900 + 2,100 = 12,000 บาท ดงนน คาใชจายทงหมดทต าสดในการผลตไฟฟา เทากบ 12,000 บาท



วธท ำ จากสตร Z = S.D.

XX

คามาตรฐานของการขายไอศกรมรสกาแฟของ ด.ช. ต Z =

6

45)49( = 6

9 = -1.5

คามาตรฐานของการขายไอศกรมรสกะทของ ด.ช.ต

Z = 5

22)47( = 5

6 = -1.2

ดงนน ด.ช. ต ขายไอศกรมรสกะทไดดกวารสกาแฟ โดยมคามาตรฐานเทากบ 1.2



เหตผล พจารณาเงอนไขการหยบทละขอ (โดยมขอแมวา nb เปนค)

ขอ ก ไดสด าทงสองลก ใหทงไปทงสองลก และใสลกแกวสขาวเขาไปในกลอง กรณน ลกแกวสด าทเหลอกยงเปนจ านวนค (ลดลงสองลก)

ขอ ข ไดสขาวทงสองลก ใหทงไปลกหนง และอกลกหนงใสกลบลงไปในกลอง กรณน ลกแกวสด าจะยงคงมจ านวนเทาเดม (มจ านวนเปนค)

ขอ ค ไดสด าหนงลก สขาวหนงลก ใหทงลกสขาว และเกบลกสด าไวในกลอง กรณน ลกแกวสด ากคงมจ านวนเทาเดมเชนกน (มจ านวนเปนค)

ดงนน จะเหนวา เมอหยบไปเรอยๆ สด าจะหมด ขณะสขาวไมหมด



วธท ำ ก าหนดให A = จอแสดงผลช ารด B = ปมกดช ารด C = อณหภมแบตเตอรสงเกนก าหนด

n(A ∪ B ∪ C) = 135 + (150 - 18) = 135 + 132 = 267

P(A ∪ B ∪ C) = 1,000

267 = 0.267

P(A ∪ B ∪ C) = 1- 0.267 = 0.733 ดงนน ความเปนไปไดทจะพบเครองทไมมความบกพรองเลยเทากบ 0.733



วธท ำ

จากโจทย จะพบความสมพนธระหวาง a , b และ c ดงสมการ (a - b)c = 12 ดงนน คา Y มคาเทากบ 4



วธท ำ เชอก 200 เมตร น ามาลอม

1) สเหลยมจตรส 4x = 200 m x = 50 m Area = 50 50 = 2,500 m2 2) วงกลม 2r = 200 m

r =

100 m

A = (r2) = 2

π

100 π

= π

10,000 m2

If = 3.14 then A 3.14

10,000 > 2,500 m2

3) สเหลยมผนผา 2x + 2y = 200 x + y = 100 y = 100 – x then A = x(100 – x) = 100x – x2

= 2

22

50

)50100x(x

= – (x – 50) 2 + 502

มากสด = 2,500

ดงนน พนทมากสดคอ วงกลม นนเอง

x

(3184.71)

x y

จะเหนวามากสด กรณ – (x – 50) 2 = 0



วธท ำ ถงเทาสด า 10 ขาง และถงเทาสขาว 10 ขาง จ านวนถงเทาทนอยทสดทจะหยบมา และ จะมนใจไดวา มหนงคทมสเดยวกน คอ 3 ขาง

ตวอยางเชน - ไดขางท 1 และขางท 2 คนละส ยงไงขางท 3 กตองซ ากบขางท 1 หรอ 2 สกส ท าใหไดหนงคทมสเดยวกน 100%

- หรอถาไดขางท 1 และขางท 2 สเดยวกน กตรงตามทโจทยสง แตโอกาสทจะหยบ 2 ขางไดสเดยวกน 100%

ตองหยบอยางนอย 3 ขาง จงจะมนใจไดวาไดหนงคทมสเดยวกน



วธท ำ เดอนท 1 เดอนท 2 เดอนท 3 500 500 + 100 500 + 200

เหมอนอนกรมเลขคณต ท a1 = 500 ( เมอครบ 2 ป ) d = 100 n = 24

S24 = 2

n ( a1 + an )

= 2

24 ( 500 + 500 + 23(100) )

= 39,600 บาท

...



วธท ำ ประเทศ ข มรถยนตน าเขา 7,500 คน = 2.5

1 = 5.2

7500 คน = 25

7500 = 3000

ดงนน ประเทศ ก + ค รวมกนได 3.5 + 4.5 = 8 = 8(3,000) = 24,000 คน



วธท ำ สมมต ราคาทน X บาท ตงราคาขายไวตอนแรก ก าไร Y %

ดงนน ราคาปกตทปก ตอนแรก = X 100

Y100

บาท

ลด 10% (ทน 100 บาท ขาย 90 บาท) = X 100

Y100

100

90

บาท

ยงไดก าไร 8% แสดงวา เทยบเทากบ X 100

108 บาท

X 100

Y100

100

90

= X 100

108

100 + Y = 120 Y = 20%



วธท ำ สมมต ลองผาแบบขนมเคก จะไดขนมหมอแกงทงหมด 12 ชน ดงนน จะเหนไดวา ถาผาแบบมจดศนยกลางรวมกน ยอมมจ านวนชนนอยกวาการผาทเสนตดกนคนละจด เชน ได 6 ชน ได 7 ชน

ลองตแบบตารางหมากรก จะไดขนมหมอแกงทงหมด 16 ชน สงเกตวา ยงเสนทตมาทหลง พาดขามเสนทตอยกอนน มากเทาไหร จ านวนชนจะเพมขน เชน

ได 6 ชน ได 7 ชน

จากตวเลอกขอน แสดงวามโอกาสไดมากกวา 16 ชนอก จะไดขนมหมอแกงทงหมด 18 ชน ลองวาดด จะตดไดถง 22 ชนเลย

เสนใหม ผานเสนเดยว ผาน 2 เสน



วธท ำ สามารถสรปเปน flow chart ไดดงน C 3 5 รอบท 1 (5, 3, 2) B 10 13 A 2(3) + 2 = 8 13 new (A, B, C) = (13, 13, 5) ผาน flow chart รอบท 2 C 3 B 10 A 2(13) + 5 = 31 8 23 44 จะไดชดใหมเปน (44, 23, 8) คราวน C 8 กหยดผาน A สดทาย = 44

(A, B, C)

C 8

B 10 C 3 A (2 B) + C

new (A, B, C)

stop (final (A, B, C) yes



วธท ำ สมมต ด ามเงน x บาท , ขาวมเงน y บาท

กรณท 1 : 4

3 x + y คอเงนทสามารถซอสวน ราคาหกแสนบาทได

4

3 x + y = 600,000

ด าเหลอเงน x - 4

3 x = 4

1 x = ราคาบานทอยในสวน

กรณท 2 : 3

2 y + x = 600,000

3

1 y = ราคาบานทอยในสวน

4

1 x = 3

1 y x = 3

4 y หรอ y = 4

3 x

4

3 x + y = 4

3

y

3

4 + y = 2y = 600,000

y = 300,000

ดงนน ราคาบานทอยในสวน = 3

1 y = 100,000 บาท

หรอถาใช y = 4

3 x แทนในกรณท 1

จะได 4

3 x + 4

3 x = 2

3 x = 600,000

x = 400,000

4

1 x = 100,000 เชนเดยวกน



วธท ำ จากโจทย มการปลอยรถจาก 3 แหง เรมตนพรอมกน ณ เวลา 14.00 น. โดย สถานตนทาง จะปลอยทกๆ 4 นาท สถานปลายทาง จะปลอยทกๆ 5 นาท และสถานกลางทาง จะปลอยทกๆ 6 นาท

ดงนน จะปลอยรถพรอมกนอกครง เรวสดคอ ค.ร.น.ของ 4, 5, 6 ซงเทากบ 60 นาท 14.00 น. 1 ชวโมง = 15.00 น.



วธท ำ จากรป สงเกต A แตละชองจะเทากน และรวมกนเทากบ A = = 4 -

สเทา 1 ชน = 4

-4 ; ม 12 ชน

ดงนน พนทสเทา = 4

-4 12 = 12 - 3

หรอคดอกแบบหนง พจารณา จะพบวา พนทสด า มพนทเปนสเทาอยางละ 3 สวน พอด

A เทา = 3 A ด า = 3(4 - ) = 12 - 3



วธท ำ กานไมขดไฟ เปรยบเสมอน เสนตรง 7 เสน 1 จดตด ตองเกดจาก 2 เสนตรง จดตดทงหมดทเปนไปได แตละจดเกดจากการเลอกเสนตรง 2 เสนทตดกน กานทงหมด 7 กาน เปนไปไดทงหมด 7C2

ดงนน จะตดกนมากสด 7C2 = 2! 5!

!7 = 21 จด



วธท ำ สมมตวาใชพนธบตร ราคา 20 บาท x ฉบบ ราคา 50 บาท x – 9 ฉบบ

ดงนน 20x = 50 (x - 9) 20x = 50x - 450 450 = 30x x = 15

ราคา 20 (15) = 300 บาท



วธท ำ อา จ อ พ พฤ ศ ส 7 วน อา ส 7 วน อา ส 7 วน อา กรณท วนอาทตยสดทาย เปนวนท 30 มถนายน แสดงวา ตองมวนกอนหนานน 29 วน ซงจะมวนอาทตย 4 วน (ไมนบวนท 30 มถนายน) ท าใหขดแยงกบเงอนไขของโจทย

เชนเดยวกน ถาวนท 30 มถนายน เปนวนจนทร แสดงวา วนอาทตยเปนวนท 29 มถนายน แปลวา ตองมวนกอนหนานน 28 วน ซงจะท าใหมวนอาทตยกอนหนาวนน 4 วน (ไมนบวนท 29 มถนายน) ท าใหขดแยงกบเงอนไขของโจทย



วธท ำ นายสมโชค ขายรถ 2 คน ราคาคนละ 700,000 บาท

คนท 1 ก าไร 25% >> ทน x บาท ขายไดก าไร 25% แสดงวา ขาย x

100

125

แปลวา x100

125 = 700,000

x = 5

4 (700,000)

ก าไร 5

1 (700,000) = 140,000 บาท

คดจาก [ 700,000 - 5

4 (700,000) ]

คนท 2 ขาดทน 25% >> ทน y บาท ขายขาดทน 25% แสดงวา ขาย y

100

75

แปลวา y100

75 = 700,000

y = 3

4 (700,000)

ขาดทน 3

1 (700,000) = 233,333.33 บาท

คดจาก [3

4 (700,000) - 700,000 ]

ดงนน สรปวานายสมโชค ขาดทนมากกวาก าไร



วธท ำ การทจะเปรยบเทยบขอมล (คะแนน) ของแตละวชา ตองท าใหเปนคามาตรฐานกอน

Z =

x

Math ; ZMath = 3

5861 = 1

Chemistry ; ZChem = 2

5255 = 1.5

Thai ; ZThai = 6

5862 = 3

2 (< 1)

นายสมชาต ท าคะแนนวชา เคม > คณตศาสตร > ภาษาไทย



วธท ำ สมมต เดกหญงเขยว อาย X ป ตอนน เดกหญงฟา อาย X + 6 ป ; X + 6 = 3 (X – 4) [ เขยวเมอสปทแลว ] X + 6 = 3X – 12 18 = 2X X = 9 ดงนน เมอสปทแลว เขยว อาย 9 – 4 = 5 ป ฟา อาย 9 + 6 – 4 = 11 ป

อายรวมของพนองสองคนนเมอ 4 ปกอน คอ 16 ป


ขอท 99. ตอบ 75 นาท

วธท ำ เปนเรอง expected value E(x) = X1 P1 + X2 P2 + X3 P3 + ….. = 0(0.5) + 1(0.25) + 2(0.2) + 3(0.05) = 0.8 * หมายเหต จะใชไดกตอเมอ ความนาจะเปนแตละเหตการณรวมแลวเทากบ 1

แสดงวา มรถ 0.8 คน วงผานใน 1 ชวโมง

คน 0.8ชวโมง 1 = คน 0.8

นาท 60 = 4

300 นาท/คน = 75 นาท/คน

ดงนน เวลาเฉลยทรถรบจางแตละคนวงผานถนนสายน คอ 75 นาท


ขอท 100. ตอบ 2,500 ใบ

วธท ำ สมมต พมพเอกสาร x หนา หมก 2,000 บาท พมพได 1,000 หนา

วธท 1 พมพเอง จะเสยคาพมพทงหมด = 15,000 + 2,000

000,1

x = 15,000 + 2x บาท

วธท 2 จางทรานพมพ ราคาหนาละ 8 บาท = 8x บาท ตองพมพอยางนอยกใบถงจะคม แสดงวา 15,000 + 2x 8x 15,000 6x x 2,500 จะเหนไดวา พมพ 2,500 ใบ วธท 1 และวธท 2 จะราคาเทากน แตจะสงเกตไดวา ใบท 2,501 วธท 1 จะถกกวาวธท 2 15,000 + 2(2501) < 8(2501) หรอถามองอกนยหนง เราเสยคาตลบหมกตลบท 3 มาแลว จะพมพ 2,001 ใบหรอมากกวา กเสยคาหมกเทากน

ดงนน พมพอยางนอย 2,500 ใบ จะคมกวาไปจางพมพทราน


ขอท 101. ตอบขอ 2 (แกไขค าตอบเปน 357819)

วธท ำ จากโจทย สมมตใหเลขหลกแรกเปน x , หลกสดทายเปน y จะไดเลขหกหลก ดงน

แต y = (y – 1) + (x – 2) x = 3

ผลรวมของเลขทกหลกเทากบ 33 นนคอ 33 = x + (x + 2) + (x + 4) + (y – 1) + (x – 2) + y

แทนคา x ลงไป จะได 33 = 3 + 5 + 7 + (y – 1) + 1 + y 33 = 15 + 2y 2y = 18 y = 9 ดงนน เลขหกหลกคอ 3 5 7 8 1 9

1 2 3 4 5 6

x x + 2 x + 4 y – 1 x – 2 y

(หลกหนวย)



วธท ำ สมมต จ านวนคนทเชญมาทงหมด ม x คน แสดงวา คาจดงานทงหมด = 30x บาท เมอมคนไมมารวมงาน 8 คน คาจดงานทงหมดจงเปน 50(x – 8) บาท

จะได 30x = 50(x – 8) 3x = 5x – 40 x = 20 ดงนน จ านวนคนทเชญมาทงหมดตอนตน ม 20 คน



วธท ำ สมมต มงบประมาณทงหมด x บาท

- คาเนอ = 2

x + 20 บาท

- คาขาวสาร = 2

202

xx

+ 10 บาท

- คาผก = 2

102

202

xx

202

xx

+ 5 บาท

- คาเครองปรง = 3

2 [ x – คาเนอ – คาขาวสาร – คาผก ]

=

15

8

x

3

2 บาท

เหลอ

15

8

x

3

1 = 20

8

x = 75

x = 600 บาท

ดงนน งบประมาณตงตนทน าไปจายตลาด เปนเงน 600 บาท

เหลอ

เหลอ

เหลอ



วธท ำ แนวคดเหมอนขอ 84. สงเกตวา โจทยขอนมสถงเทา 4 ส อยางละ 24 ขาง ดงนน เมอเราหยบมา 5 ขาง กจะรบประกนไดวา มสเดยวกนอยางนอย 1 คแนนอน



วธท ำ สมมตจ านวนลกโปงทงหมดม x ลก ลองเรยงตามทเดกๆ นบได คอ 43, 45, 46, 49, 50 จากเงอนไข ค าวานบผด อาจจะนบเกนหรอขาดกได ลองดจากตวเลอก จะเหนไดวา 43 เปนไปไมได ; กรณนบผดไปหาลก แปลวา นบได 38, 48 เทานน ซงไมม 49 เปนไปไมได ; กรณนบผดไปสองลก แปลวา นบได 47, 51 เทานน ซงไมม 50 เปนไปไมได ; ไมมกรณทได 43

ดงนน จ านวนลกโปงทถกตองคอ 45 ลก



วธท ำ สมมตใหเลขแตละชด เปน a b c จะเหนความสมพนธวา (a + b) × 3 = c X = (2 + 6) × 3 = 24

ดงนน เครองหมาย X ควรแทนดวยเลขจ านวน 24



วธท ำ พ.ท. ใหญ = 2(10) 4

3 = 325 cm2

พ.ท. = 2

(5) 2 = 2

25 cm2

– = 325 – 2

25

หาสวนทแรเงาจาก –

6

r π 2

– 2)5(4

3

① = ② ① + ② =

4

)5(3

6

)5(2

22

= 3

25 – 2

325

③ เกดจาก –

= – ( – (① + ②) ) พนทแรเงา = ① + ② + ③

= – + 2(① + ②)

= 325 – 2

25 + 3

50 – 325

= 6

25

ดงนน พนทแรเงาทงหมด 13.1

สตรดานเทา = ดาน2


ขอท 108. ตอบขอ 3 แกโจทยจาก 40 เปน 4 หนวยกต

วธท ำ เกรดเฉลย = คาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนก (หนวยกต)

= 13234

)1(4)3(0)2(2)3(3)4(1

= 13

21

= 1.6

ดงนน นกศกษาคนนไดเกรดเฉลยเปน 1.6



วธท ำ อตสาหกรรมแตละประเภท จะเหนไดวา ป 2551 มมลคาเพมขนหมด โดยประเมนคาทเพมขนมากสดไดจาก × 100

ยานยนต : 80

80160 × 100 = 100%

สงทอ : 60

60120 × 100 = 100%

เครองจกร : 20

20100 × 100 = 400%

อาหาร : 40

40140 × 100 = 250%

ดงนน อตสาหกรรม เครองจกร มอตราเพมสงสด

มลคา (ป 51 – ป 50)

ป 50



วธท ำ f rms = เฉลย)f( 2

จากโจทย พจารณากราฟ

หา (f2)เฉลย =

2

T5

32

TA 2

= 5

A3 2

f rms = 5

3A ไมมในตวเลอก

แตถาพจารณาดๆ กราฟ 1 ลก คอ = T

2

TA 2

จะได f rms = 2

A



วธท ำ จากโจทย เวลารวมทเครองจกรทงสามหยดท างานไป = ① + ② + ③

= 6 × 5 + 8 × 4 + 6 × 3

= 80 นาท



วธท ำ

นบไดทงหมด = 7

จากโจทย นกศกษาภาควศวกรรมเครองกลมจ านวน 40 คน

= 40 7 × 40 = 280 ดงนน จ านวนนกศกษาทงหมด เทากบ 280 คน



วธท ำ เงน 300,000 บาท จะไปลงทนกบธรกจทไดก าไร % เยอะสดกอน และเรยงไปเรอยๆ

4 3 2 5 1

50,000 ×100

8 80,000 ×100

7 100,000 ×100

6 70,000 ×100

5

ก าไร = 4,000 + 5,600 + 6,000 + 3,500 = 19,100 บาท ดงนน โอกาสท าไรสงสด เทากบ 19,100 บาท

ยอดสดทาย



วธท ำ ปแรก เงน 200,000 บาท จะไปลงทนกบธรกจทไดก าไร % เยอะสดกอน

4 3 2

50,000 ×100

8 80,000 ×100

7 70,000 ×100

6

ก าไร = 4,000 + 5,600 + 4,200 = 13,800 บาท

ปแรก จะมเงนทงหมด 213,800 บาท ซงจะใชเปนเงนลงทนตอในปท 2

4 3 2 50,000 ×

100

8 80,000 ×100

7 83,800 ×100

6

ก าไร = 4,000 + 5,600 + 5,028 = 14,628 บาท ดงนน โอกาสท าไรสงสดเฉพาะในปท 2 เทากบ 14,628 บาท





วธท ำ (x - 1) เปนตวประกอบ แสดงวา f (1) = 0 (ท.บ.เศษเหลอ) แทนคา จะได 2(1)3 + (1)2 – 5(1) + C = 0 2 + 1 – 5 + C = 0 C = 2 ดงนน f (x) = 2x3 + x2 – 5x + 2

จะไดวา 2x – 3 หาร f (x) เศษเทากบ

2

3f

22

35

2

3

2

32

23

= 3.5

ดงนน จะเหลอเศษเทากบ 3.5



วธท ำ จากโจทย f – 1(x) = 2x – 4 จะไดวา f (f – 1(x)) = f (2x – 4) f (2x – 4) = x

ตองการหา f (0) แทนคา x ทท าให 2x – 4 = 0 x = 2 จะไดวา f (0) = 2 สวน g (x – 1) = x2 – 1 ตองการหา g (1) แสดงวา แทนคา x = 2 จะได g (2 – 1) = 22 – 1 g (1) = 3 f (0) + g (1) = 5



วธท ำ จากทก าหนด จะได g (–2) = –2 ; (–2 < 0)

f (–1) = )1(3

)1(2

= 3

3

= –1

g (–2) + f (–1) = –2 + (–1) = –3

จงหาคา f – 1(–3) = ?

จากโจทย f (x) = x3

x2

f – 1( f (x) ) =

x3

x2f 1

x =

x3

x2f 1

หาคา x ทท าให x3

x2 = –3

2 – x = –9x 2 = –8x

x = 4

1

ดงนน เมอแทนคา x = 4

1 จะได f – 1(–3) =

4

1



วธท ำ สมมต แทนคา –1 ใน x2 + 4x + 3 จะเทากบ 0 ใน x2 – 2x – 3 จะเทากบ 0

ถาแทนคา –1 ใน

3x4x

3x2xlim

2

2

1x จะเทากบ

0

0 (ซงเปน 0 ปลอม)

; (เนองจาก x ใน 1)x(flim1x

)

1)(x 3)(x

1)(x 3)(x

; (แทนคา x = -1 ท าให 0

0 ปลอม)

3x4x

3x2xlim

2

2

1x =

3x

3xlim

1x =

2

4 = – 2

ดงนน จะไดคาอยในชวง (-3 , 0)



วธท ำ จากโจทย f (x) = 3x2 + 12 f (x) = x3 + 12x + C

; f (1) = 3 3 = 13 + 12(1) + C C = – 10 f (x) = x3 + 12x – 10

จะไดวา f (–1) = (–1)3 + 12(–1) – 10 = –23



วธท ำ เกรดเฉลย = คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก

คนท 1 = 113334

)1(4)1(4)3(4)3(4)3(4)4(3

= 15

56 = 3.73

คนท 2 = 15

)1(3)1(3)3(4)3(4)3(4)4(4

= 15

58 = 3.87 คนท 2 > คนท 1

; ถาไมคดวชาปฏบตการ คนท 1 = 15

48 , คนท 2 = 15

52 คนท 2 > คนท 1

ดงนน นกเรยนคนท 1 ไดเกรดเฉลยนอยวาคนท 2 ทงสองกรณ

วชาปฏบตการ



วธท ำ n(S) = 6 × 6 = 36 n(E) = จ านวนครงทผลรวมแตมทงสองเปนจ านวนเฉพาะ ( 2, 3, 5, 7, 11) คดไดดงน (1,1) (1,2) (2,1) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5) = 15

P(E) = 36

15



วธท ำ จากโจทย s(t) = x(t) + 2

)t(y ; y(t) = 4x(t) + 2

= (3t + C) + 2

2 + 4x(t)

= (3t + C) + 2(3t + C) + 1 = 3(3t + C) + 1 เนองจาก C คดจากตวท 6 ของล าดบ 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , C C = 15 + 6 = 21 s(t) = 3(3t + 21) + 1 = 9t + 64 s(7) = 63 + 64 = 127 cm ดงนน ระยะทางทสารเคมกระจายจากจดศนยกลางในวนาทท 7 คอ 127 เซนตเมตร

2 4 6

3 5



วธท ำ วธท 1 y = 2 sin x + 3 cos x max, min ตองมาจากอนพนธอนดบ 1

dx

dy = dx

xsind2 +dx

xcosd3

y = 2 cos x – 3 sin x

คาวกฤตคอ คา x ทท าให y = 0 0 = 2 cos x – 3 sin x 3 sin x = 2 cos x

tan x = 3

2

จะไดวา x อยใน Q1 , Q3 x = 3

2arctann

จากโจทย y = 2 sin x + 3 cos x แทนคาวกฤตลงไป

= 2 sin

3

2arctann + 3 cos

3

2arctann

สงเกตวา n เปนจ านวนค คา x อยใน Q1 จะให ymax ; บวกทง sin และ cos

ymax = 2 sin

3

2arctan + 3 cos

3

2arctan

= 2 sin

7

2arcsin + 3 cos

7

3arccos

ymax = 7

3

7

4 =

7

7 = 7

ในท านองเดยวกน n เปนจ านวนค คา x อยใน Q3 จะให ymin ; ลบทง sin และ cos

ymin = – 2 sin

3

2arctan – 3 cos

3

2arctan = 7

min

max

y

y = 7

7

= – 1

วธท 2 y = 2 sin x + 3 cos x พจารณา ท

=

xcos

7

3xsin

7

27

= x)cosθcosxsinθsin( 7 = )x)θcos(( 7 จะให ymax เมอ x)θcos( = 1 ; ymin เมอ x)θcos( = – 1


min

max

y

y = – 1


วธท ำ จากโจทย f (x) = – ax2 – 22 x + 4

f (x) = 3

a x3 – 2 x2 + 4x + C _____ ①

ผานจด )22 , (1 22 = 3

a (1)3 – 2 (1)2 + 4(1) + C

22 = 3

a – 2 + 4 + C _____ ②

ผานจด (0 , 1) 1 = 3

a (0)3 – 2 (0)2 + 4(0) + C

จะได C = 1

แทนคาใน ② 22 = 3

a – 2 + 4 + 1

3

a = 3

จะได a = 9 แทนคาใน ① f (x) = – 3x3 – 2 x2 + 4x + 1 f (-3) = – 3(-3)3 – 2 (-3)2 + 4(-3) + 1 = 81 – 9 2 – 12 + 1 = 70 – 9 2

(C = 1)

(a = 9, C = 1)



วธท ำ จากโจทย A คอ โดเมนของ r1 ( Dr1 ) คอคา x ทท าให

9 – x2 0 x2 – 9 0 (x + 3)(x – 3) 0 Dr1

= [ -3 , 3 ] = A

B คอ เรนจของ r2 ( Rr2

) คอคา y ทท าให

5 – | y | 0 ; y R+ | y | 5 -5 y 5 Rr2

= [ 0 , 5 ] = B

ดงนน B – A = ( 3 , 5 ]



วธท ำ ขอเปลยนโจทยเปน K...343

1

98

1

49

1

14

1

7

1

2

11

A...49

1

7

11 ...

98

1

14

1

2

1

=

...

49

1

7

11

2

1

= A2

1

; ...49

1

7

11 =

r1

a1

=

7

11

1

= 7

6

1 = 6

7

K = A2

3 =

6

7

2

3 = 4

7



วธท ำ จากโจทย logba = 10

1 ; logab = 10

balog

)ba(logalog

b10 =

balog

10alog

b10

= 10blog

b10

= 1010



วธท ำ จากโจทย มตวละครทงหมด 5 คน คอ สมหญง สมทรง แดง สม ด า ถาประโยค 1 หรอ 3 เปนจรง แปลวา ประโยคท 2 เปนเทจ มความหมายเทากบ แดง หรอ สม เปนแม ซงขดแยงกบประโยคท 1 หรอ 3 ทจะเปนจรง (แม 1 คน ลกอก 4 คน) แสดงวา ประโยคท 1 และ 3 เปนเทจ แปลวา สมหญง กบ สมทรง เปนลก

พจารณา ถาประโยคท 2 เปนจรง แปลวา ลกจะมครบ 4 คน แลว แสดงวา แมคอ ด า ซงในกรณน ประโยคท 4 ตองเปนเทจ ซงจะขดแยง ( ∵ ด า ในประโยคท 2 เปนแม แตในประโยคท 4 ด าหามเปนแม) ประโยคทเปนจรง คอ ประโยคท 4 ; ประโยคท 2 เปนเทจ ( = แดง หรอ สม เปนแม)

ประโยคท 2 + ประโยคท 4 หากจะเปนตามเงอนไขน สมตองเปนแม



วธท ำ กรณน

นบได A B E G A C E G A C F G A D F G

ได 4 วธ


ขอท 130. ตอบ 121 กโลเมตร/ชวโมง

วธท ำ จากโจทย x = 40 (ให x แทนความเรงของรถแตละคน)

8

x = 40 x = 320

นบเพมอกคน xใหม = 320 + y ; y คอ ความเรงของรถอกคนทนบขาด

x = 49

9

y320 = 49

320 + y = 441

y = 121

ดงนน ความเรวของรถคนทนบขาดไปเปน 121 กโลเมตรตอชวโมง

(N = 8)

(N = 9)


ขอท 131. ตอบ 17

วธท ำ สมมต เลข 7 ตวเรยงกน x – 3 x – 2 x – 1 x x + 1 x + 2 x + 3

7

x = 20

7x = 140 x = 20

ดงนน ตวนอยทสดคอ 20 – 3 = 17


ขอท 132. ตอบ 147

วธท ำ หาคา g(4) จากโจทย g (x) = x2 – x จะได g (4) = 42 – 4 = 12 ดงนน f (2 , g(4)) = f (2 , 12) = 122 + 2 + 1 = 147


ขอท 133. ตอบ 72 คะแนน

วธท ำ สอบครงท 1 : N = 49 ; x = 52 Xเดม = 52(49) แตกรอกคะแนนผด จาก 30 เปน 50 คะแนน

Xใหม = 52(49) – 50 + 30 = 2,528

สอบครงท 2 : N = 50 ; X50 = ? x = 52

50

X528,2 50 = 52

2,528 + X50 = 2,600

X50 = 72

ดงนน คนท 50 ตองท าคะแนนใหได 72 คะแนน


ขอท 134. ตอบ 14 ป

วธท ำ จากโจทย เรยงล าดบอายบตร 5 คน ไดดงน 4 x – 4 12 x 15 คาเฉลยคอ x = 11 อก 3 ปขางหนา จะไดวา อายของแตละคน yi = xi + 3 ; xi คอ อายของแตละคนปปจจบน yi คอ อายอก 3 ปขางหนา y = x + 3 = 11 + 3 = 14

ดงนน คาเฉลยของอายบตรทงหมดในอก 3 ปขางหนา คอ 14 ป

คนสดทอง

คนท 3

คนโต


ขอท 135. ตอบ 2 คน

วธท ำ n(S) = 8C1 = 8 n(E1) + n(E2) + n(E3) = n(S) P(E1) + P(E2) + P(E3) = 1 0.25 + 0.5 + P(E3) = 1

8

)E(n 3 = 0.25

n(E3) = 2 ดงนน จ านวนวศวกรเคมในโรงงาน มอย 2 คน

E1 คอเหตการณทวศวกรคอมพวเตอรไดไปดงาน

E2 คอเหตการณทวศวกรเครองกลไดไปดงาน

E3 คอเหตการณทวศวกรเคมไดไปดงาน



วธท ำ จากโจทย 6(25x) + 11(23x) – 3(2x) = 25x + 1 = 225x 4(25x) + 11(23x) – 3(2x) = 0 2x [ 424x + 1122x – 3 ] = 0 สมมต 2x = A 4A2 + 11A – 3 = 0 (4A – 1)(A + 3) = 0

A = 4

1 , – 3 ∵ 2x > 0

22x = 2 – 2 x = – 1 ดงนน | x | = 1



วธท ำ xy = 176 176 = 2 × 2 × 2 × 2 × 11 x + y = 27 = 16 × 11 x = 16 , y = 11

ดงนน ตวเลขทมากกวา คอ 16 นอยกวา 50 อย 50 – 16 = 34



วธท ำ จากโจทย X1 : X2 = 2 : 3 × 5 X2 : X3 = 5 : 6 × 3 X3 : X4 = 9 : 10 × 2

X1 = 10A , X2 = 15A , X3 = 18A , X4 = 20A

X1 + X2 + X3 + X4 = 126 10A + 15A + 18A + 20A = 126 63A = 126 A = 2 X2 = 30 , X3 = 36

ดงนน คาเฉลย = 2

3630 = 33

X1 : X2 : X3 = 10 : 15 : 18

X1 : X2 : X3 : X4 = 10 : 15 : 18 : 20



วธท ำ 1. log7

log49 2 = log7

log7 22 = 4

2. 10 log102 + log105 = 10 log1010 = 10

3. 2 log41024 + log100.001 = 2 log445 + log1010- 3 = 10 – 3 = 7 4. 4 log48[log3[7 + log2[1 + log28]]] ; log28 = 3 = 4 log48[log3[7 + log2[4]]] ; log2[4] = 2 = 4 log48[log3[9]] ; log3[9] = 2 = 4 log48[2] = 8 5. 2.5(log5175 – log57) = 2.5(log525) = 5 ดงนน ตวเลอกขอ 2 มคามากทสด



วธท ำ จากโจทย 32x+4 = 240 + 32x 34 32x = 240 + 32x 81 32x – 1 32x = 240 80 32x = 240 32x = 31

คา x = 2

1



วธท ำ หาคาของ

n000,10n

n3lim

2

2

n =

n

000,101

3limn

= 0

= 1

3

จะได = 3



วธท ำ จากโจทย f (x) = 2)3x(x

= 3xx

f (x) =

f (–2) = –2 (–2) + 3 = 7 f (0) = –2 (0) + 3 = 3 f (3) = 2 (3) – 3 = 3

ดงนน f (–2) + f (0) + f (3) = 13

x (x – 3) = x2 – 3x เมอ x 3

–x (x – 3) = –x2 + 3x เมอ x < 3

2x – 3 เมอ x 3

–2x + 3 เมอ x < 3



วธท ำ จากโจทย y = f (x) = 6x – 1 f (x) = 3x2 – x + C ผาน (1 , 6) 6 = 3(1)2 – 1 + C จะได C = 4 f (x) = 3x2 – x + 4

ลองแทนจดในตวเลอก จะไดวา f (x) ผาน (0 , 4)



วธท ำ เสนสมผส y = mx + c ตองหา slope ณ จดสมผส (f (x)) และจดผาน (7 , f (7))

1) จดผาน : y = 3 2 157 = 3 64 = 4

2) y = dx

15x d 3 2 = xd

15)d(x

15)(xd

15)(xd2

2

3

1

2

= )x2(15)(x3

13

2

2

ณ x = 7 ; = )14(4)6(3

13

2

= )14(6

1

3

1

= 24

7

สมการเสนสมผส y = 24

7 x + c ; ผาน (7 , 4)

จะได c = 24

47

y = 24

47x

24

7

24y – 7x – 47 = 0



วธท ำ จากโจทย N = 9 , ผด = 8 คะแนน

9

x ผด = 8

Xผด = 72 Xถก = 72 – 6 + 8 – 10 + 7 = 71

N = 10 Xถก + 9 = 71 + 9 = 80

= 10

80 = 8

ดงนน คาเฉลยทถกตอง = 8

คะแนนจรง 8 กรอกเปน 6 และ คะแนนจรง 7 กรอกเปน 10



วธท ำ จากโจทย y = x(x – 1)(x – 5) จดตดแกน x คอ (0 , 0), (1 , 0), (5 , 0) = x3 – 6x2 + 5x

พนทใตกราฟ แบงเปน 2 สวน

คอ

2

1

23

1

0

23 5x)dx 6x(x 5x)dx 6x(x

= 2

1

234

1

0

234 x2

52xx

4

1 x

2

52xx

4

1

=

2

52

4

1 10) 16 (4

2

52

4

1

= 4

3 2) (

4

3

= 4

3 2

4

3

= 3.5

พนทปดลอมทได คอ 3.5


ขอท 147. ตอบขอ 5 (แกไขตวเลอกสดทาย)

วธท ำ จากโจทย log r

2

r = log r r – log r 2

= 1 – log r 2

พจารณา log r 6 = S ; log r 3 = T

S – T = log r 3

6 = log r 2

log r

2

r = 1 – (S – T)

= 1 – S + T



วธท ำ จากสมการ 3x

13x

= x + 4 (คณ 3x ตลอด)

x + 3 + 1 = (x + 4)( 3x )

x + 4 – (x + 4)( 3x ) = 0

x + 4 (1 – 3x ) = 0

x = – 4 or 1 = 3x

∵ x > – 3 x = – 2

คาของ 2x = 2– 2 = 4

1



วธท ำ จากสมการ (log5 x) (logx 3x) = (logy 3x) (logx x3)

xlog

3x log

5 log

xlog =

xlog

x3log

y log

3x log

∵ log 0

จะได 5 log

1 = y log

3

log y = log 53

y = 125 = (53)



วธท ำ จากโจทย สามารถแบงไดเปน 3 อนกรม

1) ...49

1

7

11 = S1 ( a1 = 1 , r =

7

1 )

S1 = 7

11

1

= 6

7

2) ...98

1

14

1

2

1 = S2

S2 =

...

49

1

7

11

2

1

= )S(2

11 =

12

7

3) ...256

1

32

1

4

1 = S3 ( a1 =

4

1 , r = 8

1 )

S3 = 8

11

4

1

= 8

7

4

1

= 7

2

S1 + S2 + S3 = 7

2

12

7

6

7

= 7

2

12

7 =

84

73



วธท ำ จากโจทย ex2 In 2 = 2x

eloge 2(x2) = 2x

2x2 = 2x x2 = x x(x – 1) = 0 x = 1 , 0 ; a = 1 , b = 0

ดงนน คาของ a – b = 1 – 0 = 1



วธท ำ จากโจทย แปลงรป (– 1)1– n = (– 1)– 2n + 2 (– 1) n – 1 ; – 2n + 2 เปนจ านวนค

= 1 (– 1) n – 1

จะได 3n

1n1n

)1(5

)1()1(

= 1n4

1n

)1()1(5

)1(2

= 5

2

1n

n

3n

1n1n

)1(5

)1()1( =

1n

n

5

2 = 5

21

5

2

= 3

2



วธท ำ จากโจทย 2 + 4 + 6 + … + 2n = 2(1 + 2 + 3 + … + n)

= 2

)1n)(n(2

= n2 + n

3 + 12 + 27 + … + 3n2 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2)

= 6

)1n2)(1n)(n(3

= 2

)1n2)(1n(n

2n3...27123

n2...642

= 2

1)1)(2nn(n

1)n(n

= 1n2

2

=

110

20

ดงนน คาของ n = 5



วธท ำ จากสมการทก าหนดให

พจารณา 11 xx122 = )x1(x121 11

= 21x11

22 xx448 = )x4(x4)2(22 22

2

= 22x42

33 xx9618 = )x9(x9)3(23 33

2

= 23x93

จะได 21x11 + 22x42 + 23x93 = 0

1x11 = 0 และ

2x42 = 0 และ 3x93 = 0 1 – x1 = 1 4 – x2 = 4 9 – x3 = 9 x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0

ดงนน x1 + x2 + x3 = 0


ขอท 155. ตอบ 10 เมตร

วธท ำ จากโจทย A จะมความสง f (7) = f (6) + f (4) = f (5) + f (3) + f (3) + f (1) = f (4) + f (2) + 2f (3) + 1 = f (3) + f (1) + f (2) + 2f (3) + 1 = 4 + 3f (3) จากเงอนไข f (3) = f (2) + f (0) = 2 f (7) = 4 + 3(2) = 10

ดงนน ตนไม A จะมความสงเทากบ 10 เมตร



วธท ำ จากโจทย y = 2 – x สมผส f (x) ท (a , b) แปลวา slope ณ (a , b) = – 1 f (x) = 3x2 – 1 = – 1 x = 0 จะได จดสมผส คอ (0 , 2) f (x) = x3 – x + c ผาน (0 , 2) f (0) = 0 + c = 2 c = 2 ลองแทนคาตามตวเลอก จะได f (x) – 5 = 3


ขอท 157. ตอบ 5 จ านวน

วธท ำ จากโจทย 25(x – 2)2 + 16y2 = 400

25

y

16

)2x( 22

= 1

น ามาวาดกราฟ จะไดวงรแนวตง มจดศนยกลางท (2 , 0) และ a = 5 , b = 4 ดงรป

A เปนโดเมนของ r1 Dr = [-2 , 6] B เปนเรนจของ r1 Rr = [-5 , 5] A B = [-2 , 5]

ดงนน มจ านวนเตมบวก คอ 1, 2, 3, 4, 5 ( 5 จ านวน )



วธท ำ จากโจทย a18 = 25 = a1 + 17d

a21 = 2

132 = a1 + 20d

3d = 2

132 – 25 =

2

17 =

2

15

d = 2

5

จะได a1 = 2

35

Sn = )aa(2

nn1 = )d)1n(aa(

2

n11

2750 =

2

5)1n(

2

35

2

35

2

n

=

)15n(

2

5

2

n

55 × 40 = n (n – 15)

n = 55



วธท ำ จากโจทย f (x) = 1x

1

= 1x 2

1

f (x) = Cxx2 2

1

เมอ f (1) = 0 f (1) = 2(1) + 1 + C = 0 จะได C = -3

ดงนน คาของ f (4) = 34)4(2 2

1

= 5



วธท ำ จากสมการในโจทย

จะไดวา 1x1 = 1 , 4x2 = 2 , 9x 3 = 3 , 16x 4 = 4

x1 = 2 , x2 = 8 , x3 = 18 , x4 = 32

ดงนน ผลบวกของ x1 + x2 + x3 + x4 = 60



วธท ำ จากโจทย dx)Kx2x(

3

1

2

= 3

1

23

CKxx3

x

3

26 = (9 – 9 + 3K + C) – (3

1 – 1 + K + C)

3

26 = 2K + 3

2

2K = 8

K = 4



วธท ำ สมมต ตวเลขทอาจารยคดไวคอ x1 , x2 , x3 , x4 x1 + x2 + x3 + x4 = 50

x1 + 4 = x2 – 4 = 4 x3 = 4

x 4

จะไดวา x2 = x1 + 8

x3 = 4

4x1

x4 = 4 (x1 + 4)

แสดงวา x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + x1 + 8 + 4

4x1 + 4 (x1 + 4)

50 = 2x1 + 8 + 4

x1 + 1 + 4x1 + 16

25 = 6x1 + 4

x1

100 = 25x1

x1 = 4 , x2 = 12 , x3 = 2 , x4 = 32

ดงนน ผลรวมของตวเลขตวท 1 กบตวท 2 มคา 4 + 12 = 16



วธท ำ สมมต มเหรยญสะสมอยทงหมด x เหรยญ จะไดวา 2 หาร x เหลอเศษ 1 3 หาร x เหลอเศษ 1 2 และ 3 และ 4 หาร x – 1 ลงตว 4 หาร x เหลอเศษ 1 x – 1 = 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 x = 13 , 25 , 37 , 49 , 61 , 73 , 85 , 97 แต 5 | x x = 85


ขอท 164. ตอบ 31 ครง

วธท ำ แดง เขยว น าเงน กรณตองการสแดง : แตะสเขยวตวละ 2 ครง 2 × 16 = 32 ครง แตะสน าเงนตวละ 1 ครง 1 × 9 = 9 ครง แตะทงหมด = 41 ครง

กรณตองการสเขยว : แตะสแดงตวละ 1 ครง 1 × 13 = 13 ครง แตะสน าเงนตวละ 2 ครง 2 × 9 = 18 ครง แตะทงหมด = 31 ครง

กรณตองการสน าเงน : แตะสแดงตวละ 2 ครง 2 × 13 = 26 ครง แตะสเขยวตวละ 1 ครง 1 × 16 = 16 ครง แตะทงหมด = 42 ครง ตองแตะกงกาทงหมดรวมกนอยางนอยทสด 31 ครง


ขอท 165. ตอบ 6 ขวบ

วธท ำ สมมต ลกชายอาย X ป X – Y = 6Y X = 7Y ลกสาวอาย Y ป B – X = 5X B = 6X นายวายอาย A ป A = 1.5B A = 9X ภรรยาอาย B ป

จะได Y = 7

X , B = 6X , A = 9X

จากโจทย X + 7

X + 6X + 9X = 97

7

X113 = 97

X 6

ดงนน ลกชายนายวาย อายประมาณ 6 ขวบ



วธท ำ จากโจทย Dr ; 9 – x2 0 x2 – 9 0 (x + 3)(x – 3) 0 จะได Dr = [-3 , 3] จากโจทย Rr ; y = 2x9 ; y 0 y2 = 9 – x2 x2 = 9 – y2 9 – y2 0 y2 – 9 0 ; y 0 จะได Rr = [0 , 3]



วธท ำ เกรดเฉลย = 12

)1(4)2(2)3(5.3)3(3)3?( 3

3? + 27.5 3 3? 8.5 ? 2.8 ตองไดเกรดวชาคณตศาสตรอยางนอย เกรด 3



วธท ำ จากโจทย 2(x+2) + 2(3–x) = 33

4 2x + x2

8 = 33 : 2x = A

4A2 – 33A + 8 = 0 (4A – 1)(A – 8) = 0 2x = 2-2 , 23 x = 3 , – 2

ดงนน ผลบวกของค าตอบ x = 1


ขอท 169. ตอบขอ 5 แกไขโจทยเปน f (x) = x2 – 3x + 4

วธท ำ แทนคา f (0) = 0 – 3(0) + 4 = 4 f (f (0)) = f (4) = 42 – 3(4) + 4 = 8 f (f (f (0))) = f (8) = 82 – 3(8) + 4 = 44



วธท ำ จากโจทย f (8) = f (g (x)) แสดงวา ตองหา x ท g (x) = 8 8 = 3x + 3

x = 3

5

จะไดวา f (8) = f (g (3

5 ))

= 182

3

5

+ 36

3

5 + 36

= 146

ดงนน f (8) มคาเทากบ 146



วธท ำ ตนไมชนด A ใชเวลาปลก 5 ป (2553 – 2558) แทนคา f (5) = 2(5) + 2 ; t 3 = 12

จะไดความสงของตนไมชนด A เปน 12 เมตร จากโจทย ขาย 50 ตน ทราคา 500 บาท/เมตร

ดงนน ขายไดทงหมด 12 × 500 × 50 = 300,000 บาท



วธท ำ ตนไมชนด B ใชเวลาปลก 4 ป (2554 – 2558) แทนคา g (4) = f (3) + g (3) ; t 3 = 8 + f (2) + g (2) = 8 + 4 + 4 = 16

จะไดความสงของตนไมชนด B เปน 16 เมตร จากโจทย ขาย 50 ตน ทราคา 500 บาท/เมตร

ดงนน ขายไดทงหมด 16 × 500 × 50 = 400,000 บาท



วธท ำ จากโจทย ตวอกษรไทย ตวเลข 0 – 9 ; ใชซ าได จ านวนวธทงหมด = 44 × 44 × 10 × 10 × 10



วธท ำ จากโจทย 52x – 12(5x) + 35 = 0 (5x – 7)(5x – 5) = 0 5x = 7 , 5 52x = 49 , 25

ดงนน คาของ 52x + 1 = 5 × 49 , 5 × 25 = 245 , 125



วธท ำ จากโจทย y = 2x3 – 5x2 – 4x + 2 (หมายเหต : ถาพดแคคาต าสด | สงสด ไมมสมพทธ อาจไมมคาตอบได)

y = 6x2 – 10x – 4 คาวกฤต 6x2 – 10x – 4 = 0 y = 12x – 10 3x2 – 5x – 2 = 0 (3x + 1)(x – 2) = 0

x = 3

1 , 2

คาวกฤต จะท าใหเกด คาสงสดสมพทธ เมอคานนแทนใน y < 0 คาวกฤต จะท าใหเกด คาต าสดสมพทธ เมอคานนแทนใน y > 0

x = 3

1 y = – 14 Relative max

x = 2 y = 14 Relative min



วธท ำ คามาตรฐาน math : z = 15

8085 = 3

1 = 0.33

english : z = 20

6075 = 4

3 = 0.75

แปลวา ท าคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษไดดกวาวชาคณตศาสตร



วธท ำ จากโจทย 1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = ผลบวกจ านวนค n ตวแรก = n2

3 + 6 + 9 +…+ 3n = 3(1 + 2 + 3 +…+ n) =

2

)1n(n3

จะได 2

)1n(n3

n 2

=

81

52

)1n(3

n2

=

81

52

1n

n

=

27

26

n = 26



วธท ำ จากโจทย แบงเปน 3 อนกรม

S1 = ...49

1

7

11 ; a1 = 1 , r =

7

1 7

11

1

= 6

7

S2 = ...98

1

14

1

2

1 =

...

49

1

7

11

2

1 2

1 S1 = 12

7

S3 = ...256

1

32

1

4

1

=

...

64

1

8

11

4

1 ; a1 = 1 , r = 8

1

=

8

11

1

4

1 = 7

2

S1 + S2 + S3 = 7

2

12

7

6

7 =

84

123



วธท ำ จากโจทย G1 (x) = G0 (G0 (x)) = 1

0 x1G

= 1

x1

11

= x

x1 =

x

1x

G2 (x) = G0 (G1 (x)) =

x

1xG0

= x

G3 (x) = G0 (G2 (x)) = G0 (x)

หาคา G2553 (2553) สงเกตวา 32553 เขาไดกบ G2553 (x) = G3 (x) = G0 (x)

จะได G2553 (2553) = (1 – 2553)– 1 = 2552

1



วธท ำ พนทใตแกน x =

2

2

3

2

1

dx x

8x1

=

2

2

2

1

dx 8x x

1

= x4x 2

2

121

= 2

113



วธท ำ จากโจทย จะไดคาจด P และ Q ตามรป

แทนคา f (1) = 2(1) + 21

8 – 5 = 5

f (4) = 2(4) + 24

8 – 5 = 3.5

A + B = ; A = 4

1

dx)x(f

4

1

Bdx)x(f = 2

1 × 3 × (5 + 3.5)

Bx5x

8x

4

1

2 = 2

2 (8.5)

(16 – 2 – 20) – (1 – 8 – 5) + B = 1.5(8.5) – 6 + 12 + B = 12.75 B = 6.75 = 6

4

3

3.5

3

5



วธท ำ คนทมเพศเดยวกน ① A , E , F , B ② C , D , G , H จากโจทย H เปนแมบาน แปลวา ② คอผหญง แสดงวา ผจดการ (C) = ผหญง วศวกร (A , B , E , F) = ผชาย ; (G) = ผหญง ประชาสมพนธ (D) = ผหญง


ขอท 183. ตอบ 42 ป

วธท ำ จากโจทย 6

x เดม = 32

จะได เดมx = 192

สมมต ลาออก 1 คน ใหมอาย x ป

ใหมx = 192 – x ; ใหม = 30 ป

ดงนน 5

x192 = 30

x = 42

วศวกรทลาออกมอาย 42 ป


ขอท 184. ตอบ 693

วธท ำ สมมต a1 = 3 , a3 = 27 a3 = a1 + 2d 27 = 3 + 2d จะได d = 12

S11 = 2

11 (a1 + a11)

= 2

11 (3 + 3 + 120)

= 693 ผลรวมของ 11 พจนแรก คอ 693


ขอท 185. ตอบขอ 3 ( แกไขโจทย ลงสด ำ กนกลวย 1 หวตอมอ )

วธท ำ จากโจทย ลงสด า - กนกลวย (7 ตว) ลงสน าตาล - กนสม (10 ตว) ลงสเทา - กนมะละกอ (13 ตว)

จากเดม ลงสด า 13 ตว ลงสน าตาล 8 ตว ลงสเทา 9 ตว

ล าดบการเปลยนส ด า น าตาล เทา ดงนน อยางนอยทสด จบหางสด า 6 ครง จบหางสน าตาล 4 ครง

ผดแลตองจบหางลงทงหมด 10 ครงเปนอยางนอย



วธท ำ จากโจทย จะได f (x) = 5x – 4x–1 + C ; f (2) = 2f (1)

5(2) – 2

4 + C = 2(5 – 4 + C)

8 + C = 2 + 2C C = 6

แทนคา f (x) = 5x – 4x–1 + 6

f (4) – f (2) = 5(4) – 4

4 + 6 – 5(2) – 2

4 – 6

= 11

อาจไมจ าเปนตองหา

หา f (4) – f (2) C จะตดกนเอง



วธท ำ สมมต log9 x = A

จะได 2A + A

1 = 3

2A2 – 3A + 1 = 0 (2A – 1)(A – 1) = 0 A =

2

1 , 1

ดงนน log9 x = 2

1 , 1

x = 3 , 9

ผลบวกของคา x ทกตว คอ 12


ขอท 188. ตอบ 0.5

วธท ำ

1x

23xlim

2

1x =

)23x)(1x(

1xlim

2

2

1x ; Conjugate )23x( 2

=

23x

1xlim

21x

= 4

2 = 2

1 = 0.5


ขอท 189. ตอบ 420 ชน (แกไขโจทย หากแยกขนมทงหมด เปนกอง กองละ 5 ชน จะไมเหลอขนมเลย)

วธท ำ จากโจทย สมมตนองนภามขนม x ชน แปลวา 3 x , 4 x , 5 x , 7 x x เปนจ านวนเทาของ ค.ร.น. ของ 3 , 4 , 5 และ 7

; x < 500 x = 420 ชน



วธท ำ จากโจทย a1 = 200 , d = 20 หา a48 a48 = 200 + 47(20) = 1,140

S48 = 2

48 (200 + 1140)

= 32,160

นกศกษาจะเกบเงนไดทงหมด 32,160 บาท



วธท ำ จากโจทย f (0) = 0 + 2(0) + 6 = 6 f (f (0) – 2) = f (6 – 2) = f (4) = 42 + 2(4) + 6 = 30

f (f (0) – 2) – 2 = 30 – 2 = 28



วธท ำ จากโจทย จะได v (t) = 15t2 – 16t + 10 a (t) = 30t – 16 a (2) = 30(2) – 16 = 44 ความเรงทวนาทท 2 คอ 44 เมตร/วนาท2



วธท ำ เรยงขอมลเปน 8 , 10 , 12 , 17 , 22 , 24 , 26

สวนเบยงเบนควอรไทล = 13

13

QQ

QQ

N = 7 ; Q3 ต าแหนงคอ 4

)17( 3 = 6 คาเทากบ 24

Q1 ต าแหนงคอ 4

)17( 1 = 2 คาเทากบ 10

13

13

QQ

QQ

= 1024

1024

= 34

14 = 17

7 0.41



วธท ำ n(S) = เลอก 10 คน จาก 35 คน = 35C10 n(E) = หวหนาแผนกทกคนจะถกเชญ (5 คน) = วธทหวหนาแผนกทกคนจะถกเชญ × วธเลอก 5 คนทเหลอจาก 30 คน

=

5

30

5

5

P(E) =

10

35

5

5

5

30

= 35! 5!

30! 10!



วธท ำ สมมต มแขกในงาน n คน

จ านวนวธทจะเลอกคน 2 คน มาท า La bise = nC2 = 2! 2)!-(n

n!

โดยการท า La bise 1 ครง มการแนบแกมทงหมด 3 ครง

จ านวนการแนบแกมกน 32! 2)!-(n

n! = 108

n (n – 1) = 72 n = 9

มแขกในงานเลยงทงหมด 9 คน



วธท ำ สงเกตวา y = 3x2 จะไดกราฟดงรป

พนทปดลอม =

1

3

2dxx3 = 1

3

3x

= 26



วธท ำ จากโจทย f (x) = x2x2 = 2xx2

=

2 x; 2xx

2 x; 2x x 2)(xx23

232

f (x) =

2 x;4x x3

2 x;4x 3x2

2

f (-3) = (-3)(-3)2 + 4(-3) = -39 f (0) = (-3)(0)2 + 4(0) = 0 f (3) = (3)(3)2 – 4(3) = 15

คาของ f (-3) + f (0) + f (3) = -24



วธท ำ จดกงกลางแตละขน = 10.5 , 30.5 , 50.5 , 70.5 , 90.5

= 44642

)4(5.90)4(5.70)6(5.50)4(5.30)2(5.10

คาเฉลยเลขคณต = 54.5 หรอใชอกวธ โดยการเปลยนขอมล

yi = 20

5.50x i

yi = 20

5.50x

20

1i

ขอมลแตละตว (y) : -2 , -1 , 0 , 1 , 2

y = 20

)4)(2()4)(1()6)(0()4)(1()2)(2(

= 5

1

y = 20

5.50

20

1x

x = 20y + 50.5

= 4 + 50.5

คาเฉลยเลขคณต = 54.5



วธท ำ จากโจทย แบงออกเปน 3 อนกรม

S1 = ...49

1

7

11 ; a1 = 1 , r =

7

1 711

1

=

6

7

S2 = ...75

1

15

1

3

1 ; a1 =

3

1 , r = 5

1 51

31

1 =

12

5

S3 = ...80

1

20

1

5

1 ; a1 =

5

1 , r =

4

1 41

51

1

= 15

4

S1 + S2 + S3 = 15

4

12

5

6

7 =

60

162570 = 60

79 = 180

237



วธท ำ จากโจทย H0 (x) = x11

11

=

1x

x1

=

1x

1

H1 (x) = H0 (H0 (x)) =

1x

1H0

= 1

1

1x1

= x

1x

H2 (x) = H0 (H1 (x)) =

x

1xH0

= 1

1

x1x

= x

H3 (x) = H0 (x)

สงเกตวา 2552 หารดวย 3 เหลอเศษ 2 H2 (x)

H2552 (x) = H2 (x) = x

ดงนน H2552 (2552) = 2552



วธท ำ 11 xx223 = 2

11

2 )x2()x2)(1(21

= 2

1 )x21(

22 xx6410 = 2

22

2 )x6()x6)(2(22

= 2

2 )x62(

2

1 )x21( + 2

2 )x62( = 0

1x2 1 ; 0 x62 2

1 x1 ; 0 x 2

21 xx = 1 – 2 = –1



วธท ำ จากโจทย y = 2x2 + 6x + 7 จะไดกราฟดงรป

= 2

5

4

9x3x2 2

= 2

5

2

3x2

2

Area = dx 7x6x2

0

5

2

= x7x3x3

20

5

23

=

)5(7)5(3)5(

3

2 23

= 3

130



วธท ำ จากโจทย จะได f (x) = -3x2 + 12x x ท f (x) = 0 ; 0 = -3x2 + 12x x2 – 4x = 0 x = 0 , 4

จดทความชน = 0 คอ (0 , f (0)) , (4 , f (4)) = (0 , 2) , (4 , 34)

ความชนระหวางจดสองจด = 04

234

= 8

สมการเสนตรงคอ y = 8x + C ผาน (0 , 2) y = 8x + 2

ดงนน 8x – y + 2 = 0



วธท ำ จากทฤษฎบท ถา y = ax + b จะได y = a x

จากโจทยถามวา ความแปรปรวนใน 2 ปขางหนา ตางจากปจจบนเทาไร ดงนน อายใน 2 ปขางหนา จะเขยนในรป yi = xi + 2 y = x

; ความแปรปรวน คอ 2 จะไดวา 2

y = 2x

ตางกนอย 0 ป



วธท ำ จากโจทย f o g (y) = f (y2 + 1) = 3y2 + 3

g o f (y) = g (3y) = 9y2 + 1

3y2 + 3 = 9y2 + 1

2 = 6 y2

y2 = 3

1

ดงนน f o g (y) = 3y2 + 3

= 3

3

1 + 1 = 4



วธท ำ จากโจทย เครองจกรเอ ผลตชนงานได 10 ชน/ชวโมง เครองจกรบ ผลตชนงานได 30 ชน/ชวโมง เครองจกรซ ผลตชนงานได 20 ชน/ชวโมง

สมมต ใชเวลา x ชวโมง ในการผลตชนงานใหได 240 ชน 10x + 30x + 20x = 240 60x = 240 x = 4

ดงนน ผลตชนงานดวยเครองจกรทง 3 เครองพรอมกน ใชเวลา 4 ชวโมง


ขอท 207. ตอบ 119

วธท ำ จากโจทย a7 = 41 = a1 + 6d a13 = 77 = a1 + 12d 6d = 77 – 41 = 36 d = 6

แทนคา จะได a1 = 5 a20 = a1 + 19d = 5 + 19(6) = 119

ดงนน พจนท 20 คอ 119



วธท ำ จากโจทย 2)log (x x 339

= -1 ) 2log 3(log2x 3

x333

= -1

x3 3 2log2x 33

= -1

1323 x2x = 0 2x )1(3 = 0

จะไดคา x = 0



วธท ำ จากโจทย g (3) = )3(ylog

ylog2

= 6

จะได h o g (3) = h (6)

= 62 + 9 = 45



วธท ำ จากโจทย 13 + 23 + 33 + ... + n3 = K2

2

2

)1n(n

= K2

2

)1n(n = K

-10 < K < 16

จะได n = 1 K = 1 n = 2 K = 3 n = 3 K = 6 n = 4 K = + 10 n = 5 K = + 15

ดงนน ผลรวมของคา K = ( – 1 + 1 – 3 + 3 – 6 + 6 + 10 + 15 ) = 10 + 15 = 25


ขอท 211. ตอบ 45 กโลเมตร/ชวโมง

วธท ำ สรางตารางใหม โดยหาจดกงกลางแตละชน จาก 2

minmax

ความเรงเฉลย หาจาก = i

ii

f

xf

สงเกตวา ตวเลขจะเยอะมาก จงท าจาก

ถา y = ax + b y = ax + b ; a = 5

1 , b = 5

5.47

หา 146 ตวหลง

y = 146

)16(2)28(1)42(0)33)(1()17)(2()10)(3(

= 146

37 ; x = 5y + 47.5

x = 5.47146

375

ความเรงเฉลย (N = 150) = 150

)0(4146 x = 45 km/hr

จดกงกลางชน (xi) F 5

5.47x

5

1y ii

0 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5

4 10 17 33 42 28 16

-3 -2 -1 0 1 2



วธท ำ ใหจ านวนเตม 5 จ านวนเปนดงน x – 2 , x – 1 , x , x + 1 , x + 2

= 5

x5 = 27

x = 27 จะได max = 27 + 2 = 29

ดงนน เลขจ านวนเตมทมคามากทสดคอ 29


ขอท 213. ตอบ 50 แผน/สปดาห

วธท ำ จากโจทย มนกศกษาใชงานเครองพมพทงหมด 16+18+26 = 60 คน

ดงนน เฉลย 1 คน ใชพมพ 60

000,12 = 200 แผน / 4 สปดาห

= 50 แผน / สปดาห



วธท ำ ความนาจะเปน ทชนท 1 จะไมผดพลาด = 100

90

ความนาจะเปน ทชนท 2 จะไมผดพลาด = 100

90


95


99

ความนาจะเปน ทจะประกอบทง 4 ชน

โดยไมผดพลาดเลย = 100

99

100

95

100

90

100

90 =

100

18.76



วธท ำ จากกราฟ : – อนพนธของเสนตรง bc คอ slope ซงคงท

– เสนตรง cd และ ef ม slope = จงหาอนพนธเทยบ x ไมได

– เสนตรง fg มสมการเปน y = mx + c ; m = 0 y dy = c dx ปรพนธของ fg = y dy = cx + d กยงเปนเสนตรง เสนโคง

– ชวงของ cd และ ef สงเกตวา คา )c(f))x(f(lim

cx

ไมตอเนอง

ดงนน ผลสรปขอ 3 จงไมถกตอง



วธท ำ เรยงขอมลใหม จากนอยไปมากไดดงน 56 , 60 , 62 , 70 , 71 , 72 , 72 , 75 , 82 , 83 , 86 , 87 , 89 , 91 , 92 P50 ; ขอมลไมแจกแจงความถ ต าแหนง : 8 1)(15

100

50

ตวท 8 มคาเทากบ 75



วธท ำ จากกราฟ หมน f (a) รอบแกน X

ใหดเหมอนมสมการ (เสนตรง) เปนแกน หมนจะไดวงกลม (รศมคงท เนองจากระยะหางไปยงแกน X คงท) สวนหมน f (x) รอบแกน X เหมอน

จะไดผวของกรวย

สวนขอ 4 a

0

dx )x(f จะไดพนทแรเงาดงรป จรง

สวนขอ 5 dx

f(x) d = slope = a

b จรง

สวนขอ 3 ไมสามารถใช f (x) ได ตองเปน f (y) ถงจะถก



วธท ำ จากโจทย เหมอนอนกรมเลขคณต ; a1 = 500 , d = 50 , n = 60

S60 = )50(595005002

60

= 30 (3950) = 118,500

ดงนน หลงจาก 5 ป เขาจะมเงนสะสม 118,500 บาท



วธท ำ – นยามของฟงกชน จากกราฟ จะตรวจสอบโดย เสนตรงขนานแกน y ดงนน y = f (x) จงเปนฟงกชน โดยจากกราฟ รากของสมการ คอ กรณ f (x) = 0 (จดตดแกน x) ในภาพม 4 จดแลว

– พนทปดลอมดวยกราฟ และ แกน x สงเกตวามพนทใตแกน x มากกวาเหนอแกน x ซงนาจะเปนคาลบ

– สวนคาสงสดของกราฟ ( สงสดสมพทธ) จากกราฟ พบวา เปนคนละจดกบจดวกกลบ

– โดยจดวกกลบ คอจดท slope เปน 0 ดงนน ถา x = 0 ม y = -x + 2 (slope = -1) มาสมผส แปลวา ไมใชจดวกกลบนนเอง



วธท ำ สมมต อตราการท างานของผใหญหนงคน x หนวยตอวน อตราการท างานของเดกหนง คน y หนวยตอวน

งานหนงชน 60x + 80y = 52x + 96y 8x = 16y x = 2y จะได งานหนงหนวย = 200y

ถาผใหญ 15 คน และเดก 20 คน ท างาน A วน ได 200y 15x (A) + 20y (A) = 200y 50y (A) = 200y A = 4 ดงนน จะชวยกนท างานเสรจใน 4 วน



วธท ำ จากโจทย y = 6x5 + 5x4 + 3x2 – 4x “y (x) = f (x)” ; y = x6 + x5 + x3 – 2x2 + C y (–1) = 1 – 1 – 1 – 2 + C y (1) = 1 + 1 + 1 – 2 + C จะไดวา y (–1) = – y (1) – 3 + C = – 1 – C C = 1 f (0) = C = 1



วธท ำ จากโจทย f (x) = 2ax3

13

คาวกฤต ; f (x) = 0

2ax3

13 = 0

3 = 2ax3

1

9ax2 = 1 มคาสงสด

(นาจะบอกเปน สงสดสมพทธท x = 3

4 = คาวกฤต)

แทนคา ; 2

3

4)a(9

= 1

a = 16

1



วธท ำ การใหเหตผล (สมเหตสมผล) ในตรรกศาสตร (3) แปลงใหมเปน สมพรนอนพกผอน แลวสมหวงไปวายน า = (5)

q)p p~ q(~ (1) กบ (5) ไดขอสรปเปน ถาสมพรนอนพกผอน แลวสมใจไปดภาพยนตร = (6) (2) กบ (4) ไดขอสรปเปน สมพรนอนพกผอน = (7)

ขอทสรปไดคอ 1) สมพรนอนพกผอน 2) สมใจไปดภาพยนตร 3) สมหวงไปวายน า

ดงนน ขอความในขอ 4. กลาวไดถกตอง



วธท ำ 2log3

64log1024log128log = 2log3

2log2log2log 6107

= 2log3

2log62log102log7

= 2log3

2log3

= 1



วธท ำ สงเกตวา X เรยงเปน 1 , 2 , 3 , 4 , 5 Y เรยงเปน -1 , 2 , 7 , 14 , ? X = 5 , Y จะมคาเทากบ 14 + 9 = 23

+5 +9

+3 +7


ขอท 226. ตอบ 70.5

วธท ำ จากโจทย ความแปรปรวน = 49 จะได สวนเบยงเบนมาตรฐาน = 49 = 7 สมมต คะแนนชวทย = x x – = 1.5 x – 60 = 1.5(7) x = 70.5

ดงนน ชวทยตองท าคะแนนไดอยางนอย 70.5 คะแนน


ขอท 227. ตอบ 14 เซนตเมตร

วธท ำ พนทผวภายนอก 2(6x2) + 3xy + 4xy + 5xy = 7200 12x2 + 12xy = 7200 x2 + xy = 600

y = x

x600 2

ปรมาตร = พนทฐาน × สง

=

x

x600)x4)(x3(

2

1 2

= 3600x – 6x3

v (x) = 3600x – 6x3 v(x) = 3600x – 18x2

หาคาวกฤต ; 3600x – 18x2 = 0 x2 = 200 x = 210 14 cm


ขอท 228. ตอบ 64.8%

วธท ำ โอกาสทจะโยนลงหวง = 0.6 โยนไมลงหวง = 0.4 โยนลงหวง อยางนอย 2 ครง

กรณท ① ; 2 ครง =

!1! 2

!3) 4.0)(6.0)(6.0(

กรณท ② ; 3 ครง = ) 6.0)(6.0)(6.0(

① + ② = 6.02.1)6.0)(6.0( = ) 6.0)(6.0)(6.0(3 = 3(0.216) = 0.648

โอกาสทจะโยนลกบาสลงหวง คดเปน 64.8%

เลอก 2 ครง จาก 3 ครงทจะลง


ขอท 229. ตอบ 16.47 ชวโมง

วธท ำ จากโจทย n

100

120000,5

= 100,000 ; n = จ านวนชวโมง

(1.2)n = 20 n log 1.2 = log 20 n(log 3 + log 0.4) = log 4 + log 5 n(log 3 + log 4 – log 10) = 2 log 2 + 1 – log 2 n =

12log23log

12log

= 1)301.0(2477.0

301.1

= 079.0

301.1

16.47 ใชเวลาประมาณ 16.47 ชวโมง



วธท ำ จากโจทย จะไดความชนของเสนตงฉาก เทากบ 4 จดสมผส คอ จดทความชนเทากน ; y = x2 + 2x y = 2x + 2 สมผสท Slope = 4 4 = 2x + 2 x = 1 จดสมผส (1 , 12 + 2(1)) = (1 , 3)

สมการเสนตรงดงกลาวคอ y = 4x + C ผาน (1 , 3) C = -1

จะไดสมการเสนตรง y – 4x + 1 = 0



วธท ำ สงเกตล าดบ a1 = 3 = 3(1) + 3(0) a2 = 9 = 3(2) + 3(1) a3 = 18 = 3(3) + 3(3) a4 = 30 = 3(4) + 3(6) สงเกตวา จ านวน รปใน จะมเปนตามอนกรมเลขคณต ; 1 ตอ 3 ไมขด ; เรมตนท a2 S1 จะไดวา an = 3n(n) + 3Sn – 1 ; S0 = 0 ตวอยางเชน a4 = 3(4) + 3S3

= 3(4) + 3

)13(

2

3

= 3(4) + 3(6)

ดงนน a10 = 3(10) + 3S9 = 30 + 3

2

)10)(9(

= 165 จะตองใชไมขดไฟจ านวน 165 กาน

รปนอก

รปใน

(a1 = 1 , d = 1)



วธท ำ absolute minimum พจารณาท x = -2 , 2 , คาวกฤตทท าใหเกด relative min. คาวกฤต ; f (x) = 6x2 – 4x – 2 ; f (x) = 12x – 4 0 = 6x2 – 4x – 2 0 = 3x2 – 2x – 1 0 = (3x + 1)(x – 1) x =

3

1 , 1

สงเกตวา x = 3

1 f (x) < 0

= 1 f (x) > 0

จะได x = 1 ท าใหเกดจดต าสดสมพทธ

x = -2 ได y = -18 ม 3 จด x = 1 ได y = 0 x = 2 ได y = 6

x = -2 ท าใหคา y มคาต าสด



วธท ำ a – 4 , a + 1 , b เปนล าดบเลขคณต b = a + 6 ; a + 1 , a + 6 , 5a เปนล าดบเรขาคณต

1a

6a

= 6a

a5

a2 + 12a + 36 = 5a2 + 5a

0 = 4a2 – 7a – 36

0 = (a – 4)(4a + 9)

a = 4 , 4

9 และ b = 10 ,

4

15

d = 5



วธท ำ ขอ 1 : y = x ; f –1(x) : x = y f (x) = f –1(x)

ขอ 2 : y = - x ; f –1(x) : x = - y y = - x f (x) = f –1(x)

ขอ 3 : 2y = 2x + 5 ; f –1(x) : 2x = 2y + 5 2y = 2x – 5 f (x) f –1(x)

ขอ 4 : 3y = -3x + 7 ; f –1(x) : 3x = -3y + 7 3y = -3x + 7 f (x) = f –1(x)



วธท ำ ขอ 1 ; y = 3x2 กราฟคอ เสนตรง // y ตดแคจดเดยว ขอ 2 ; y = x กราฟคอ เสนตรง // y ตดแคจดเดยว ขอ 3 ; y = sin–1(2x) เนองจาก กราฟ y = sin–1(x) ใดๆ เปน function เสมอ ขอ 4 ; y = 7x + 5 กราฟคอ เสนตรง // y ตดแคจดเดยว หรอลองพสจนจากทฤษฎบท ถา y1 = f (x1) และ y2 = f (x2) และ x1 = x2 แลว y1 = y2

ตวอยางเชน y1 = 1x : y2 =

2x x1 = x2

1x = 2x

y1 = y2 เปนฟงกชน



วธท ำ สงเกตจากตาราง พบวา X เพมขนทละหนง แต Y ชวงแรก จะเพมขนนอยกวา Y ชวงหลง

ตวอยาง X1 = 1 Y1 = 4.5

X2 = 2 Y2 = 14.0

X3 = 3 Y3 = 28.5

X4 = 4 Y4 = 48.0

พดอกแงหนงคอ Slope (ความชน) ของกราฟ จะคอยๆ ชนมากขน ; Slope เปน + มากขน

+1

+1

+1

+9.5

+14.5

+19.5



วธท ำ จดสมผสของกราฟ คอ ณ จดยอด โดยท xy = -1 จดยอดคอ ( -1 , 1 ) , ( 1 , -1 ) y =

x

1

y = 2x

1

ผลคณของความชนของเสนสมผส ณ จดยอดคอ 1 × 1 = 1

Slope ณ x = -1 มคาเทากบ 1 Slope ณ x = 1 มคาเทากบ 1



วธท ำ ทน 1,000,000 บาท ดอกเบย 5% ตอป

ฝาก n ป n

100

105000,000,1

= 2,000,000

n

100

105

= 2

100

105logn = log 2

n (log 105 – log 100) = 0.301 n (log 3 + log 5 + log 7 – 2) = 0.301 n (0.477 + 0.699 + 0.845 – 2) = 0.301 n (0.021) = 0.301 n = 14.33 แสดงวา ตองฝากครบ 15 ป ถงจะมเงน 2 ลานบาท



วธท ำ มะพราว ม )10(100

10 6 = 105 ไร 7500 × 105 บาทป

= 750 ลานบาทป

ถวเหลอง ม )10(100

8 6 = 8 × 104 ไร 8 × 104 × 8000 บาทป


ทานตะวน ม )10(100

5 6 = 5 × 104 ไร 5 × 104 × 8500 บาทป


(มะพราว + ถวเหลอง = 1390 ลานบาท/ป)

มะพราว > ถวเหลอง > ทานตะวน พจารณาจากตวเลอก ค าตอบคอขอ 4.



วธท ำ เนองจาก เกบขอมลในระยะเวลาทเทากน สามารถเทยบกนไดเลย จากตาราง สรปไดวา ผขบขรถยนตสขาว มโอกาสฝาไฟแดงมากทสด 30 คน8 ชวโมง ผขบขรถยนตสด า มโอกาสฝาไฟแดงนอยทสด 5 คน8 ชวโมง สแดง + น าเงน = 22 คน8 ชวโมง ไมใกลเคยงกบสขาว ขอสงเกต ก. กบ ข. ถกตอง



วธท ำ n(S) = จ านวนหนาทงหมดทจะเกดจากการหยบเหรยญ 1 เหรยญ = จ านวนหนาหว + จ านวนหนากอย = (แบบ 1 + แบบ 3) + (แบบ 2 + แบบ 3) = ( 4(2) + 3 ) + ( 5(2) + 3 ) = 24

n(E) = จ านวนหนากอย = 5(2) + 3 = 13

P(E) = 24

13 (ความนาจะเปนทจะออกหนากอย)



วธท ำ n(S) = จ านวนวธการเลอกรถ 3 ชนด 5 เทยว = 35 = 243

n(E) = จ านวนวธการเลอกรถ 3 ชนด ใหเฉลยนอยกวา 11 กโลเมตรลตร

5 ครงรวมกน < 55 กโลเมตรลตร

สงเกตจาก รถทเปลองน ามน 15 กโลเมตรลตร วงไดอยางมาก 3 รอบ กรณท 1 15 kmL 3 รอบ อก 2 รอบ รวมกน < 10 kmL _เปนไปไมได กรณท 2 15 kmL 2 รอบ อก 3 รอบ รวมกน < 25 kmL _เปนไปไมได

กรณท 3 15 kmL 1 รอบ อก 4 รอบ รวมกน < 40 kmL คอ 9, 9, 9, 11 เรยงไดเปน 9, 9, 9, 11, 15 เรยงได

1! 1! !3

!5 = 20 วธ

9, 9, 9, 9 เรยงไดเปน 9, 9, 9, 9, 15 เรยงได

1! !4

!5 = 5 วธ

ม 30 กรณ

กรณท 4 15 kmL 0 รอบ อก 5 รอบ รวมกน < 55 kmL คอ 9, 9, 9, 9, 9 เรยงได 1 แบบ 9, 9, 9, 9, 11 เรยงได

1! !4

!5 = 5 แบบ

9, 9, 9, 11, 11 เรยงได 2! !3

!5 = 10 แบบ

9, 9, 11, 11, 11 เรยงได 2! !3

!5 = 10 แบบ

ม 26 กรณ P(E) =

243

2630 = 243

56

( 15×4 55)

( 9×3 25)


ขอท 243. ตอบ 0.301

วธท ำ x = 1 ; f (1) = 1log2)1( 2

)1( log 20)2(log!22

= 2

2log2

= log 2 = 0.301



วธท ำ dx 2x4x3

2

0

2

= 2

0

23 x2x2x

= (8 – 8 + 4) – 0 = 4 พนทใตกราฟ = 4


ขอท 245. ตอบ 66.4%

วธท ำ P(E) = 1 – P(E) ; E คอโอกาสทมอยางนอย 1 คน มชวตอย

กรณทงหมด = ตายหมดเลย + ม 1 คนทมชวต + ม 2 คนทมชวต + ม 3 คนทมชวต

P(E) = 1 – P(E) = 1 – (1 – 0.4)(1 – 0.3)(1 – 0.2) = 1 – (0.6)(0.7)(0.8) = 1 – 0.336 = 0.664

ความนาจะเปน อยางนอย 1 คนยงมชวตอยคอ 66.4%



วธท ำ จากโจทย A =

01

23

13

21

12

512

201

=

01

23

920

38

A21 เกดจาก แถวท 2 กบ หลกท 1 จะไดคา A21 = 20(3) + 9(1) = 69



วธท ำ จากโจทย จะได P(x) = 200

1

x2

492

คาวกฤต ; P(x) = 0

200

1

x2

492 = 0

2x2

49 = 200

1

x = 70 kmhr (ใชไดแต x = 70)

P(70) = 200

70

)70(2

49

= 0.35 + 0.35

= 0.7

ดงนน อตราการสนเปลองประหยดทสดคอ 0.7 ลตรตอกโลเมตร



วธท ำ เดม ฐานนยม = 140 พสย = 150 – 110 = 40 พอเอาออก 2 ลก ฐานนยมกตวเดม | พสยกเทาเดม

ดงนน คาฐานนยม และ คาพสย ไมเปลยนแปลง



วธท ำ ก. f (g (x)) = f (25x2 – 3) = 33x25 2 = 2x25 = 5 |x|

ข. f (– 0) = – f (0) f (0) + f (0) = 0 f (0) = 0

ค. f (x) = a |x|

=

0x ; ax

0x ; ax

dx

dy = f (x) =

0x ; a

0x ; a

f (x)

a

-a

x



วธท ำ f (x) = x log e ; log e เปนคาคงท = a f (x) = ax เหมอนกราฟเสนตรง slope = a ผาน (0,0)


ขอท 251. ตอบขอ 3 (แกโจทย ตวเครองมรอยแตกราวอยางเดยว 25 เครอง)

วธท ำ จากโจทย น ามาวาดเปนเซตไดดงรป

n (ABC) = 46 + 2 + 1 + 1 + 17 + 20 + 25 = 112

เปนเครองทมคณภาพ .. พรอมใชงาน = 500 – 112 = 388 เครอง P (E) =

500

388 = 0.776

ดงนน ความนาจะเปนทจะผลตไดคอ 0.776

50 – 4

= 46

B

C

A

25

1 1 2

20 17

A คอ เซตทมหนาจอแสดงผลช ารด B คอ เซตทปมกดช ารด C คอ เซตทมตวเครองมรอยแตกราว



วธท ำ จากโจทย จะได

y22

y54 =

8

x

2 + 2y = 8 y = 3 ; 4 + 5y = x x = 19



วธท ำ

y4 z8

= x32

; y2 x32

x ตงฉากกบ y

จะไดวา y2 x32

ไดคาเทากบ 0

4 × 2 z

y

x = - 8

2 × 2 z

y

x = - 4

(ก ามอขวา)



วธท ำ เนองจาก โปบยงปนเกง ดงนน โปบตองเปนคนสายตาด จากประโยคท 1 กบ 3



วธท ำ dx )1x(2

1

1

3

= dx )1x( 2

1

1

3

พจารณา (x – 1)3 =

1x ; 0

1x ; )1x( 3

เนองจาก หาปรพนธในชวง [-1 , 1] ซง 1 ดงนน (x – 1)3 = 0 ในชวง [-1 , 1]

dx 0 2

1

1

= 0



วธท ำ

BD = 22 )42()17( = 40

สมการเสนตรง BD ; slope = 17

42

= 6

2 =

3

1

x + 3y + C = 0 ผาน (1 , 4) 1 + 12 + C = 0 C = -13 สมการเสนตรง BD คอ x + 3y – 13 = 0

h1 ระยะระหวาง C กบ BD = 10

13)6(34 = 10

9

h2 ระยะระหวาง A กบ BD = 10

1302 = 10

11

พนท = 2

1 × BD × h1 + 2

1 × BD × h2

= 2

1 × BD × (h1 + h2)

=

10

2040

2

1

= 20

ดงนน สเหลยม ABCD มพนทเทากบ 20



วธท ำ ก. dx

xlnd = x

1

y = (ln (x))x

ln y = x ln (ln (x))

dx

ylnd = dx

))x( (ln lndx

dx

dy

dy

ylnd =

dx

dx))x( (ln ln

dx

))x( (ln lndx (diff ผลคณ)

dx

dy

y

1 = ))x( (ln ln

dx

xlnd

))x( (ln d

))x( (ln lndx

dx

dy

))x( (ln

1x = ))x( (ln ln

x

1

xln

1x

dx

dy = ))x( (ln ln))x( (ln))x( (ln x1x

= ))x( (ln ln)x( ln1))x( (ln 1x

ข. dx

xsind = cos x ; dx

xcosd = – sin x

y = )xcosxsin2(2

1 = x2sin 2

1

dx

dy = dx

x2sin d21

= dx

x2 d

x2 d

x2sind

2

1 = cos 2x

ค. y = 2

e

2

e xx

; dx

e d x

= ex

dx

dy = dx

2

ed

dx

2

ed

xx

= dx

)x( d

)x( d

e d

2

1e

2

1 xx

= xx e2

1e

2

1

2

2

dx

yd = dx

ed

dx

ed x

21x

21

= dx

)x(d

)x(d

)ed(

2

1e

2

1 xx

= xx e2

1e

2

1 = y



วธท ำ จากโจทย 1 , 27 , 125 , 343 , … จะได 13 , 33 , 53 , 73 , …

ตวถดไปคอ 93 = 729



วธท ำ จากโจทย f (x) = x1

1

; f (b) = b1

1

= 2

1 – b = 4

1

f (1 – b) =

4

1f =

411

1

= 43

1 = 3

2 = 3

4



วธท ำ จากสมการ กราฟทไดคอ กราฟวงร ม center ท (0 , 0) ดงรป

หรอ ลองเอาแตละสมการไปแทนคา ดวาจะหาคา x ไดหรอไม



วธท ำ สมมต ใหอายของพนองคนเปน x , y

2

yx = 35

x + y = 70 ; y – x = 4 ดงนน จะไดคา y = 37 , x = 33



วธท ำ 1) เลอกผหญงมา 2 คน จาก 6 คน ได 6C2 และผหญง 2 คนนมโอกาสเปนประธานและรองประธาน ได 2! เลอกผหญง ได 6C2 × 2! = 30

2) เลอกผชายมา 2 คน จาก 3 คน ได 3C2 และผชาย 2 คนนมโอกาสเปนประธานและรองประธาน ได 2! เลอกผชาย ได 3C2 × 2! = 6

ดงนน จะมวธการเลอกทงหมด = 30 × 6 = 180 วธ



วธท ำ จากโจทย 2x – 2 = (2– 3) 3x x – 2 = – 9x 10x = 2 x =

5

1 = 0.2



วธท ำ จากสมการ 3x – 2y = 20 คณดวย 2 จะได 6x – 4y = 40 และ 8x + 4y = 16 น า 2 สมการบวกกน 14x = 56 x = 4 แทน x ในสมการ จะได y = – 4

ดงนน สมการ 2x + 3y = 2(4) + 3(– 4) = – 4



วธท ำ จากโจทย

31

21

321

x 0 x2

0xx

xxx

=

1

1

1

จะไดวา 2x1 + 2x2 = 3 x1 + x2 = 1.5 x3 = 1 – 1.5 = – 0.5 2x1 + 2x2 + 2x3 = 2(1.5) – 2(0.5) = 2



วธท ำ จากโจทย 100

10log

2

1016log

5

= 100

1

2log10log16log 5

=

2log

2

1

5

12log4100

= 100 (3.5 log 2 + 0.2) = 125.35



วธท ำ ข. สมมลกบ ถาสมประสงคไมเลนเทนนส หรอ สมหมายอยบาน แลว วนนฝนตก วนน สมประสงคไมไปเลนเทนนส แปลวา วนนฝนตก

ก. วนนฝนตก แปลวา สมหมายอยบาน และ สมศรจะไปชอปปงกบสมทรง



วธท ำ จากโจทย an = 3n + 3Sn – 1 ; Sn = 1 + 2 + 3 + … + n ; S0 = 0

an = )n(2

1n3n3

=

2

1n1n3

=

2

1nn3

แปลวา 2

)1n(n3 204

n (n+1) 68 × 2 n (n+1) 136 nmax = 1 n = 12 ; 12(13) > 136

Documents

เฉลยโจทย์ MATHEMATICS FOR ENGINEERING ข้อที่ 1. ตอบข้อ 2 ...theideal.xyz/images/answer/detail_pdf/Engineering V.pdf · เฉลยโจทย์