คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์

Nature speaks to us in the languageof mathematics

Richard P. Feynman

รูปจาก http://discovermagazine.com/2005/mar/feynman-file#.Ua1OJ2SMHbo

http://discovermagazine.com/2005/mar/

คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์

● ฟังก์ชัน – เส้นตรง เส้นโค้ง ตรีโกณฯ exponential & logarithm● การแก้สมการ● ปริมาณพื้นฐาน และ หน่วย● การวิเคราะห์เชิงมิติ (dimensional analysis)● เวกเตอร์● แคลคูลัส

ฟังก์ชันy = f(x)

การย้ายจาก set หน่ึงไปอีก set หน่ึงx คือค่าของตัวเลขใดๆ หรือ domain ของฟังก์ชันy คือผลลัพธ์ของฟังก์ชัน หรือ range ของฟังก์ชันf คือฟังก์ชัน

x y

f

ฟังก์ชัน เส้นตรง

y = f(x) = mx+c

m หมายถึง ความชันc หมายถึงจุดตัดแกน y (y-intercept)

m>0

m

y

x

c

y = mx+c , m>0

y = mx+c , m

ฟังก์ชัน เส้นโค้ง พาราโบลา

y = f(x) = ax2+bx+d a, b และ d เป็นค่าคงที่

หรือ

(x-h)2=4c(y-k)

(h,k) คือจุด vortexc คือระยะจาก vortex ถึงจุดโฟกัส

ฟังก์ชัน เส้นโค้ง พาราโบลา

y = f(x) = ax2+bx+d

y=(√ax)2+2(√ax)( b2√a

)+( b2√a

)2

−( b2√a

)2

+d

y=(√ax+ b2√a

)2

−( b2√a

)2

+d

y+( b2√a

)2

−d=a(x+ b2a )2

4 14a (y+(b

2√a)2

−d)=(x+ b2a )2

a>0 หรือ c>0

a

ฟังก์ชัน เส้นโค้ง พาราโบลา

(y−k)2=4c(x−h)จุดยอด (vortex) (h,k) จุดโฟกัส (h+c,k)

ฟังก์ชัน เส้นโค้ง พาราโบลา

c>0 c

a>0 หรือ c>0

a

ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ

sinθ cscθ=1/sinθcosθ secθ=1/cosθtanθ = sinθ/cosθ cotθ=1/tanθ

θ เป็นตัวแปร อยู่ใน domain ของฟังก์ชัน

sin= yr

สามเหล่ียมมุมฉาก

cos=xr

tan= yx

csc= 1sin

sec= 1cos

cot = 1tan

กฎ ของฟังก์ชัน Sines

asinA=

bsinB=

csinC

กฎ ของฟังก์ชัน Cosines

a2=b2c2−2cbcosA

b2=a2c2−2cacosB

c2=a2b2−2abcosC

เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณฯ

sin2cos2=1

tan21=sec2

cot21=csc2

คุณสัมบัติของฟังก์ชันตรีโกณฯ

sin=sincoscossin

sin −=sincos−cossin

cos=coscos−sinsin

cos−=coscossinsin

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณฯ (ต่อ)

sin−sin =2cos 2 sin −2

sinsin =2sin 2 cos−2

coscos=2cos 2 cos−2

cos−cos=−2sin 2 sin −2

ฟังก์ชัน exponential & logarithm

y x=ax โดย a เป็น จำนวนจริงใดๆ

ฟังก์ชัน exponential & logarithm

inverse function ของ exponential function คือ logarithm function

y x=logax

คุณสมบัติ exponential & logarithm

am×an=am+n

am

an=am−n

loga(m×n)=logam+logan

loga mn =logam−logan

loga1=0a0=1

logbac=c logba a

logab=b

การแก้สมการ (Solving Equation)

การหาคำตอบทางฟิสิกส์บางครั้งอาจจำเป็นต้องแก้สมการ โดยเฉพาะสมการกำลังสอง

ax2bxc=0

คำตอบของสมการน้ีสามารถหาได้จาก

x=−b±b2−4ac

2a

การแก้สมการ (Solving Equation)ตัวอย่าง

−12t2+3t+10=0

คำตอบของสมการน้ีสามารถหาได้จาก

จงคำนวณหาเวลาในสมการ

การแก้สมการ (Solving Equation)ตัวอย่าง

−12t2+3t+10=0

คำตอบของสมการน้ีสามารถหาได้จาก

t=−3±√32−4(−12)(10)

2×(−12)=−3±√9+480

−24

จงคำนวณหาเวลาในสมการ

การแก้สมการ (Solving Equation)ตัวอย่าง

−12t2+3t+10=0

คำตอบของสมการน้ีสามารถหาได้จาก

t=−3±√32−4(−12)(10)

2×(−12)=−3±√9+480

−24

จงคำนวณหาเวลาในสมการ

t=3∓√48924

การแก้สมการ (Solving Equation)การบ้าน

4t2+5t−8=0

จงคำนวณหาเวลาสำหรับการเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วง

การแก้สมการ (Solving Equation)ในบางครั้งการแก้ปัญหาอาจมีตัวแปรหลายตัวแปร

5x-4y = -3 และ 3x+2y = 7

สำหรับสมการ 2 ตัวแปร เราสามารถกำจัดตัวแปรหนึ่งโดยการแทนค่าลงไปในอีกสมการหนึ่ง เช่น x = (-3+4y)/5 ดังนั้น

3(-3+4y)/5+2y = 7 -9/5+12y/5+2y = 7

(12+10)y =5x(7+9/5) 22y = 44 หรือ y = 2

ดังนั้น x = (-3+4x2)/5=(-3+8)/5=1

ปริมาณพื้นฐาน และ หน่วยการพัฒนาของวิชาฟิสิกส์ในช่วง 1900 ถึง 1925 ทำให้เราแบ่งวิชาฟิสิกส์ออกเป็น 2 แบบ คือ● ก่อนปี 1900 จะเรียกฟิสิกส์คลาสสิค (classical physics)● หลังปี 1900 จะเรียกฟิสิกส์ยุคใหม่ (modern physics)เรานึกถึงฟิสิกส์ในเทอมของขนาดก็ได้

Scanning Tunneling Microscope Crab nebula

รูปจาก physics for scientists and engineers;Fishbane et.al.

ปริมาณพื้นฐาน และ หน่วย

เราสามารถใชก้ฎของนิวตันกับพฤติกรรมของสิ่งของต่างๆที่อยู่รอบตัว

เราสามารถใชก้ลศาสตร์ควอนตัมกับพฤติกรรมของสิ่งต่างๆในระดับอะตอม

เราสามารถใชส้ัมพันธภาพพิเศษกับพฤติกรรมของสิ่งต่างๆที่กำลังวิ่งด้วยความเร็วที่เข้าใกล้ความเร็วแสง

การอธิบายพฤติกรรมต่างๆน้ี จะอธิบายได้จากปริมาณในวิชาฟิสิกส์ไม่ว่าจะเป็น มวล ระยะทาง หรือ เวลา ซ่ึงเป็นปริมาณพื้นฐานของวิชาฟิสิกส์

ปริมาณพื้นฐาน และ หน่วย

ปริมาณพื้นฐานน้ี เราจะใช้หน่วย SI (Le Système International d' Unites) เป็นมาตราฐาน

มวล จะใช้ กิโลกรัม (kg)เวลา จะใช้ วินาที (s)ระยะทาง จะใช้ เมตร (m)กระแสไฟฟ้า จะใช้ แอมแปร์ (A)อุณหภูมิ จะใช้ เคลวิน (K)ความเข้มแสง จะใช้ Candela (cd)จำนวนสสาร จะใช้ โมล (mol)

ปริมาณพื้นฐาน และ หน่วย

คำนำหน้าหน่วย

จาก physics for scientists and engineers;Serway, R.A.

ตัวอย่างจงเปลี่ยนหน่วยเหล่าน้ีให้ถูกต้อง

a) 1.4 MHz = GHzb) 1.45 kN = mNc) 2.7 m3 = cm3 d) 1.5 nm = kme) 5.2 m2 = nm2

การบ้าน

จงเปลี่ยนหน่วยจาก 2.5x103 kg/m3 เป็น g/cm3

จงเปลี่ยนหน่วยจาก 13 cm/s เป็น km/min

การวิเคราะห์เชิงมิติ

ปริมาณต่างๆทางฟิสิกส์สามารถเขียนให้อยู่ในปริมาณพื้นฐาน (มวล,เวลา, และ ระยะทาง) ซ่ึงเป็นการวิเคราะห์เชิงมิติ

เช่น อัตราเร็วสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ ระยะทาง/เวลา สัญลักษณ์ที่

ระยะทาง → [L]เวลา → [T]มวล → [M]

[v] = [L]/[T]

ตัวอย่าง

จงหามิติ (dimensions) ของค่าคงที่ของแรงทางประจุไฟฟ้า

F=kQ1Q2r2

เวกเตอร์ (vectors)

เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาด และ ทิศทาง

A⃗=a î+b ĵ+c k̂

โดย î เป็นเวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศแกน xĵ เป็นเวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศแกน y

เป็นเวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศแกน zk̂

เวกเตอร์ (vectors)

A

B

การหาขนาดของเวกเตอร์

A=a ib jc k

ขนาดของเวกเตอร์ สามารถหาได้จาก

∣A∣=a2b2c2

y

xa

b

A

(a,b)

ระยะทาง คือขนาดของ A A

∣A∣=a2b2

tan=ba

a=∣A∣cos

b=∣A∣sin

ตัวอย่าง การหาขนาด x และ y

300

x

y

15

ตัวอย่าง การหาขนาด x และ y

600

x

y

12

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector)

การหาเวกเตอร์หน่ึงหน่วย

A=A

∣A∣

การบวกเวกเตอร์

A=a ib j B=c id j

AB=ac ibd j

A

BAB

a c

b

d

x

y

การลบเวกเตอร์

A=a ib j B=c id j

A−B=a−c ib−d j

A −B

ABa c

b

d

x

y

B

ตัวอย่าง

จากรูปจงหา และAB B⃗− A⃗

ตัวอย่าง

A⃗=3 î+5 ĵ+2 k̂ B⃗=−6 ĵ+4 k̂

จงหา

AB

A⃗− B⃗3

∣A∣

∣B∣

y

x

A⃗B⃗

300

5 m3 m

จงหา A⃗+ B⃗ A⃗−2 B⃗

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง

A⃗=2 î+3 ĵ+4 k̂ B⃗= î−10 ĵ+8 k̂

จงหาABC

A D−B

∣2 A⃗+ D⃗∣

C⃗=−5 î+7 ĵ−9 k̂

D⃗=2 î−3 k̂

จงหา R⃗

ตัวอย่าง

การบ้าน

จงหาขนาดของ และ ตามแนวแกน x และ แกน y A⃗ B⃗

ชายคนหน่ึงเดินจากจุดเริ่มต้นไปทางทิศเหนือเป็นระยะทาง 2.6 km แล้วเดิน

ไปทางทิศตะวันออกอีก 4.0 km ก่อนจะเดินขึ้นไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ

ทำมุมกับทิศตะวันออก 450 อีก 3.1 km แล้วจึงหยุด จงหาการกระจัดของชาย

คนน้ี

การบ้าน

การบ้านจากรูป แสดงเส้นทางการแล่นเรือใบโดยแล่นจากจุดเริ่มต้นไปจุดสิ้นสุดได้ระยะกระจัด 5.8 km จงหาระยะทาง และทิศทางของช่วงที่สาม (third leg) ของการแล่นครั้งน้ีเพื่อให้ถึงจุดสิ้นสุด

การคูณเวกเตอร์

การคูณแบบ scalar ผลคูณจะเป็น scalar

การคูณแบบ vector ผลคูณจะเป็น vector

การคูณแบบ scalar (scalar product)

A⃗=a î+b ĵ+c k̂ B⃗=d î+e ĵ+ f k̂

A⃗⋅B⃗=ad+be+cf =∣A∣∣B∣cosθ= B⃗⋅A⃗

เป็นมุมระหว่าง เวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ B

î⋅̂i= ĵ⋅ ĵ= k̂⋅k̂=1

î⋅ ĵ= ĵ⋅k̂=k̂⋅̂i=0

การคูณแบบ vector (vector product)

A⃗=a î+b ĵ+c k̂ B⃗=d î+e ĵ+ f k̂

A⃗× B⃗=∣ î ĵ k̂a b cd e f ∣= î [bf −ce ]− ĵ [af −cd ]+ k̂ [ae−bd ]A⃗× B⃗=−B⃗× A⃗

î× î= ĵ× ĵ= k̂× k̂=0

î× ĵ= k̂ ĵ×k̂= î k̂× î= ĵ

B⃗=−2 î+4 ĵ+4 k̂

จงหา

A⃗⋅B⃗3A×B

B×A

ตัวอย่าง

A⃗= î+4 k̂

y

x

AB

300

5 m3 m

จงหา A⋅B A×B

ตัวอย่าง

แคลคูลัส (calculus)

เป็นวิชาที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณโดยเมื่อปริมาณหน่ึงมีการเปลี่ยนแปลง จะทำให้อีกปริมาณหน่ึงมีการเปลี่ยนแปลง

ddx y=lim x0

y x x−y x x

เมื่อ x เปลี่ยนแปลง จะทำให้ y เปลี่ยนแปลงด้วย

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ddx x

n=nxn−1 n เป็น จำนวนเต็ม

ddx sin x=cosx

ddx cosx=−sin x

ddx uv =u

ddx vv

ddx u

ddx

uv =

v ddx u−uddx v

v2

ddx a

x=ax logeaddx logax=

1x logae

ตัวอย่าง

ddx

cot (x)= ddx

cos (x)sin (x)

=sin (x) d

dxcos(x)−cos(x) d

dxsin (x)

sin2(x)

ddx cot (x)=

−cos2(x)−sin2(x)sin2(x)

=− 1sin2(x)

=−csc2(x)

การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน

∫xndx= xn+1

n+1+cn เป็น จำนวนเต็ม ไม่เท่ากับ -1

∫sinx dx=−cosx+ c ∫cosxdx=sin x+ c

∫udv=u×v−∫vdu

∫axdx= ax

logea+ c ∫ 1x dx=logex+ c=lnx+ c

ตัวอย่าง∫ sec2(x)sin ( tan x)dx