บทท 2

สถตพรรณนา

จากความหมายของสถตทเปนทงศาสตรและศลปนนหมายความวาการใชสถตเปนเครองมอประกอบการตดสนใจ และวางแผนเรองตาง ๆ จะตองมความรและขนตอนทเหมาะสม ดงนนหลงจากการเกบรวบรวมขอมลตามจ านวนตวอยาง และวธการทเหมาะสมแลว ขนตอมาในระเบยบวธทางสถตคอการน าเสนอขอมล หรอการวเคราะหขอมลเบองตน โดยอาศยสถตเชงพรรณนาเพออธบายลกษณะ หรอบอกภาพกวาง ๆ ของขอมลทเกบรวบรวมมาตามวตถประสงคของผใชจะท าใหเกดความเขาใจในขอมลมากขน เทคนคการวเคราะหขอมลทใชในสวนนไดแกการแจกแจงความถ การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง การวดการกระจาย สดสวนเปนตน

เทคนคการวเคราะหขอมลในสวนของสถตพรรณนา

สถตพรรณนาเปนสถตทวาดวยวธการวเคราะหขอมลเบองตน เพอใหทราบวาลกษณะโดยรวม หรอภาพกวาง ๆ ของขอมลทเกบรวบรวมมาตามวตถประสงคของผใช ซงดวยเทคนคในการวเคราะหขอมลแตละเทคนคทมวตถประสงคและวธการทแตกตางกน ดงน

1 การแจกแจงความถ

เทคนคการแจกแจงความถ เปนเทคนคทท าการจ าแนกขอมลตามลกษณะตาง ๆ ทซ า ๆ กนเพอใหทราบวาขอมลสวนใหญมคาอยทใด มคาทผดปกตหรอไม และนอกจากนยงเปนการจดเตรยมขอมลเพอความสะดวกในการวเคราะหขอมลขนตอไป

2. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

เทคนคการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนเทคนคทท าการหาตวแทนของขอมลชดหนง หรอทเรยกวาคากลาง เพอใหทราบวาในภาพรวมขอมลชดนมคามากหรอนอย

44

3. การวดการกระจาย

เทคนคการวดการกระจาย เปนเทคนคทท าการหาความแตกตาง หรอการกระจายของขอมล เพอใหทราบลกษณะของขอมลวามคาสอดคลองกน มความแตกตางกน หรอมการกระจายมากนอยเพยงใด

4. สดสวน

เทคนคสดสวน เปนเทคนคทท าการหารอยละของสงทสนใจเทยบกบจ านวนทงหมด เพอใหทราบวาในภาพรวมสงทสนใจมสดสวนเปนอยางไร

การแจกแจงความถ (frequency distribution)

เทคนคการแจกแจงความถ เปนเทคนคทจ าแนกขอมลตามลกษณะตาง ๆ ทซ า ๆ แลวนบจ านวน หรอเรยกวาความถ (frequency) จงท าใหทราบวาขอมลสวนใหญมคาเปนเทาไรและนอกจากนยงเปนการจดเตรยมขอมลเพอความสะดวกในการวเคราะหขอมลขนตอไป สวนวธการในการแจกแจงความถมหลายวธ ในเอกสารฉบบนจะกลาวถง 3 วธ คอ

1. การแจกแจงความถดวยแผนภาพล าตนและใบ 2. การแจกแจงความถดวยตาราง 3. การแจกแจงความถดวยกราฟ 4. สดสวนของสงทสนใจ

1. การแจกแจงความถดวยแผนภาพล าตนและใบ ( Stem and Leaf )

การแจกแจงความถดวยแผนภาพล าตนและใบ เปนการแจกแจงความถโดยใชคาของขอมลจรงทกคา ดงนนหลงการจ าแนกขอมลแลวยงสามารถเหนลกษณะทแทจรงของขอมล การแจกแจงความถดวยแผนภาพล าตนและใบมขนตอน ดงน

ขนท 1 เรยงล าดบขอมลจากนอยไปมาก ขนท 2 แบงคาของขอมลออกเปน 2 สวนตามจ านวนหลกของตวเลข ตวเลขสวน

แรกอยในสวนของล าตน (stem) และตวเลขทเหลออยในสวนของใบ (leaf) เชน ถาขอมลเปนเลขสองหลก หลกสบจะอยในสวนของล าตน และหลกหนวยจะอยในสวนของใบ ถาขอมลเปนเลข

45

สองหลกและสามหลกผสมกน ส าหรบเลขสองหลกใหเรยงล าดบเลขหลกสบในสวนของล าตน ส าหรบเลขสามหลกใหเรยงล าดบเลขหลกรอย และหลกสบ ในสวนของ ล าตน เปนตน

ขนท 3น าขอมลทเรยงล าดบในขอ 1 มาบนทก โดยเรยงคาตามล าตนและใบ

ตวอยาง 2.1 จากการเลอกตวอยางยอดขายรายวน (บาท) ของรานอาหารแหงหนงจ านวน 25 วน ไดขอมลดงน 660 595 1060 500 630 899 1295 749 820 843 710 950 720 575 760 1090 770 682 1016 650 425 367 1480 945 1120 จงแจกแจงความถของขอมลขางตนดวยแผนภาพล าตนและใบ

วธท า คาต าสดและสงสดของยอดขายคอ 367 และ 1480 บาท ซงเปนเลขสามหลก และสหลก จงเรยงล าดบเลขหลกแรกส าหรบเลขสามหลก และเลขสองหลกแรกส าหรบเลขสหลกเปนล าตน โดยใหอยในแนวตงฉาก จากนนในแตละล าตนในแถวนอนจงจะเรยงล าดบของเลขจากนอยไปมาก เชน เลขสามหลก ทมคาตงแต 600 ขนไปม 660,630,650 และ 682 คอเรยงเปน 630 650 660 682 ซงสามารถเขยนไดดงน 6 30 50 60 82

ดงนนสามารถจดขอมลทงหมด 25 คาไดดงน 3 67 4 25 5 00 75 95 6 30 50 60 82 7 10 20 49 60 70 8 20 43 90 9 45 50 10 16 60 99 11 20 12 95 13 14 80

จากการเกบรวบรวมขอมลยอดขายรายวนของรานคาแหงนจ านวน 25 วน พบวาโดยสวนใหญมยอดขายรายวนประมาณ 600 – 800 บาท

46

2. การแจกแจงความถดวยตาราง (Frequency Table)

การแจกแจงความถวธนเปนการจ าแนกขอมลทมคาซ า ๆ กน แลวนบจ านวนครงของการเกดซ าเรยกวา ความถ (frequency) ในรปของตารางทเรยกวาตารางแจกแจงความถ (frequency table) และสามารถจ าแนกขอมลคาตาง ๆ ในรปของรอยละไดอกดวย ตารางแจกแจงความถแบงได 2 ประเภท ดงน

1. ตารางแจกแจงความถชนดไมจดขอมลเปนหมวดหม (ungrouped frequency table) 2. ตารางแจงความถชนดจดขอมลเปนหมวดหม (grouped frequency table)

2.1 ตารางแจกแจงความถชนดไมจดขอมลเปนหมวดหม เปนวธการทเหมาะสมกบขอมลเชงคณภาพ และขอมลเชงปรมาณทมคาแตกตางกนไมมากนก และมบางคาทซ ากน มขนตอนการสราง ดงน

ขนท 1 เขยนลกษณะตาง ๆ ของขอมลส าหรบขอมลเชงคณภาพ หรอเขยนเรยงล าดบขอมลตงแตคาต าสดไปจนถงคาสงสดส าหรบขอมลเชงปรมาณในคอลมนแรก

ขนท 2 พจารณาแตละคาของขอมลวามจ านวนซ าเทาใด โดยเขยนรอยขดแทนจ านวนซ าของขอมลในคอลมนท 2 คอคอลมนรอยขด เพอความสะดวกในการนบความถ (การท ารอยขดควรท าใหเปนหมวดหม เชน ////)

ขนท. นบจ านวนรอยขดแลวเขยนจ านวนนนในคอลมนท 3 คอคอลมนความถ ซงมกจะเขยนแทนดวยสญลกษณ f ถาขอมลคาใดไมมรอยขดเลย แสดงวามความถเปน 0 ทงนผลรวมของความถของขอมลทกคาตองเทากบจ านวนของขอมล

ตวอยาง 2.2 จงสรางตารางแจกแจงความถของขอมลผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพฯ - เชยงใหมจ านวน 20 คน ดงน

คนท เพศ น าหนกกระเปา (kg)

1 ช 8 2 ช 7 3 ญ 10 4 ช 9 5 ช 11 6 ช 7 7 ช 8 8 ญ 10

47

คนท เพศ น าหนกกระเปา (kg)

9 ญ 11 10 ช 7 11 ญ 8 12 ญ 9 13 ช 11 14 ญ 11 15 ญ 10 16 ญ 8 17 ช 7 18 ช 8 19 ญ 10 20 ช 7

วธท า เนองจากเพศเปนขอมลเชงคณภาพ และจ าแนกไดเปน 2 ลกษณะ สามารถสรางตารางแจกแจงความถได ดงน

ตารางท 2.1 จ านวนผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพ ฯ - เชยงใหมจ าแนกตามเพศ เพศ รอยขด ความถ ชาย //// //// / 11 หญง //// //// 9

รวม 20

จากตารางแจกแจงความถหมายความวา จากผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพ ฯ ถงเชยงใหมจ านวน 20 คน เปนเพศชาย 11 คน และเพศหญง 9 คน

เนองจากน าหนกสมภาระเปนขอมลเชงปรมาณมคาต าสดเปน 7 และคาสงสดเปน 11 ซงแตกตางกนไมมากนก และมขอมลบางคาทซ ากนจงสรางตารางแจกแจงความถได ดงน

48

ตารางท 2.2 จ านวนผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพ ฯ – เชยงใหมจ าแนกตามน าหนกสมภาระ (kg) น าหนกสมภาระ(kg) รอยขด ความถ

7 //// 5 8 //// 5 9 // 2

10 //// 4 11 //// 4

รวม 20

จากตารางแจกแจงความถหมายความวา จากผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพ ฯ ถงเชยงใหมจ านวน 20 คน สวนใหญน าสมภาระตดตวมาหนก 7 - 8 กโลกรม

หมายเหต ในกรณทขอมลเชงปรมาณมคาแตกตางกนมาก คอลมนแรกของตารางแจกแจงความถชนดไมจดขอมลเปนหมวดหมทแสดงแตละคาของขอมลกจะมความยาวมากเกนไป ดงนนตารางแจกชนดนจงเหมาะสมกบขอมลเชงคณภาพมากกวา แตเรากสามารถแจกแจงความถของขอมลเชงปรมาณในรปตารางแจกแจงความถได โดยแบงขอมลเชงปรมาณเปนชวง ๆ เสยกอน ดงตารางแจกแจงความถชนดจดขอมลเปนหมวดหม

2.2 การแจกแจงความถชนดจดขอมลเปนหมวดหม เปนการแจกแจงความถของขอมลเชงปรมาณทมคาแตกตางกนมากเพอแกปญหาจ านวนชนขอมลมากเกนไปโดยจดขอมลใหเปนชวง ๆ หรอเปนหมวดหมเสยกอนแลวจงเขยนรอยขด และนบความถตามขนตอนของการสรางตารางแจกแจงความถทผานมา ดงตาราง 2.3

ตารางท 2.3 การแจกแจงน าหนกสมภาระ (kg) ของผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพ ฯ - เชยงใหม น าหนกสมภาระ (kg) รอยขด ความถ

7-9 // 2 10-12 //// /// 8 13-15 //// //// //// 14 16-18 //// //// //// //// 19 19-21 //// // 7

รวม 50

49

จากตารางท 2.3 เปนตารางแจกแจงความถน าหนกสมภาระของผโดยสาร 50 คน ซงขอมลถกบนทกในลกษณะปดเศษใหเปนจ านวนเตมในหนวยกโลกรม โดยน าหนกสมภาระถกแบงออกเปน 5 ชวง หรอทเรยกวาอนตรภาคชน (class interval) ดงคอลมนแรก คอ 7-9 10-12 13-15 16-18 และ 19-21 เรยกคาต าสดของแตละอนตรภาคชนวาขดจ ากดลางของอนตรภาคชน (lower class limit) และเรยกคาสงสดของแตละอนตรภาคชนวาขดจ ากดบนของอนตรภาคชน (upper class limit) ดงนนอนตรภาคชน 13-15 ม 13 เปนขดจ ากดลาง และ 15 เปนขดจ ากดบน อนตรภาคชนนจะครอบคลมคาน าหนกตงแต 12.5 กโลกรม แตนอยกวา 15.5 กโลกรม เรยก 12.5 วาขอบเขตลางของอนตรภาคชน (lower class boundary) และเรยก 15.5 วาขอบเขตบนของอนตรภาคชน (upper class boundary) ซงเปนขดจ ากดทแทจรงของอนตรภาคชน 13-15 ขอบเขตลาง และขอบเขตบนจะมคาเปนเทาไรนนขนอยกบวาขดจ ากดบนและขดลางของอนตรภาคชนถดไปตางกนอยเทาไร หรอเรยกวาผลตางของขดจ ากดบนและขดลางของอนตรภาคชนถดไป เชน ขดจ ากดบนของอนตรภาคชน 10-12 ตางจากขดจ ากดลางของอนตรภาคชน 13-15 เทากบ 1 หรอผลตางของขดจ ากดบนและขดลางของอนตรภาคชนถดไปเทากบ 1 ดงนนขอบเขตลางของอนตรภาคชน 13-15 มคานอยกวาขดจ ากดลางอย 0.5 และขอบเขตบนมคามากกวาขดจ ากดบนอย 0.5 ถาอนตรภาคชนตางกนอย 0.1 ขอบเขตลางของอนตรภาคชนมคานอยกวาขดจ ากดลางอย 0.05 และขอบเขตบนมคามากกวาขดจ ากดบนอย 0.05 เปนตน หรอสามารถหาขอบเขตลางและขอบเขตบนจากสตร ดงน

2

กวาคชนทต าของอนตรภาขดจ ากดบนนนภาคชนางของอนตรขดจ ากดลขอบเขตลาง

2

สงกวาภาคชนทางของอนตรขดจ ากดลคชนนนของอนตรภาขดจ ากดบนขอบเขตบน

ตารางท 2.4 การแจกแจงน าหนกสมภาระ (kg) ของผโดยสารเครองบนเทยวกรงเทพ ฯ - เชยงใหม ขอบเขตลาง น าหนกสมภาระ (kg) ขอบเขตบน จ านวนชน

6.5 7-9 9.5 2 9.5 10-12 12.5 8

12.5 13-15 15.5 14 15.5 16-18 18.5 19 18.5 19-21 21.5 7

รวม 50

50

ตารางท 2.5 การแจกแจงความสง (cm) ของนกเรยน ขอบเขตลาง ความสง(cm) ขอบเขตบน จ านวนนกเรยน

139.45 139.5-144.4 144.45 5 144.45 144.5-149.4 149.45 18 149.45 149.5-154.4 154.45 42

รวม 65

ตารางท 2.6 การแจกแจงปรมาณสนคา (ลานตน) ขอบเขตลาง ปรมาณสนคา (ลานตน) ขอบเขตบน จ านวนป

0-0.99 0.995 3 0.995 1.00-1.99 1.995 4 1.995 2.00-2.99 2.995 3

รวม 10

จากตารางการแจกแจงความถขางตน นอกจากจะสามารถท าความเขาใจกบลกษณะของขอมลไดโดยงายแลว ตารางดงกลาวยงประกอบขอมลทจ าเปนตอการวเคราะหในขนตอไปอยางเพยงพอ แตในขณะเดยวกนเราจะสญเสยรายละเอยดตาง ๆ ของขอมลไป เชน ในตารางท 2.4 เราไมทราบวาคน 14 คนในอนตรภาคชน 13-15 มสมภาระหนกนอยทสด หรอมากทสดกกโลกรม และไมทราบวามกคนทมสมภาระหนก 13 กโลกรม 14 กโลกรม

ดงนนจ านวนอนตรภาคชนของตารางแจกแจงความถจงมความส าคญ เพราะถามจ านวนอนตรภาคชนนอยเกนไปจะท าใหสญเสยรายละเอยดของขอมลมากขน แตในขณะเดยวกนถามจ านวนอนตรภาคชนมากเกนไปจะท าใหตารางมขนาดใหญโดยไมจ าเปนโดยทวไปแลวตารางแจกแจงความถนยมใชจ านวนอนตรภาคชนตงแต 5-15 แตอยางไรกตามมใชกฎเกณฑตายตว เพราะตองพจารณาถงคาและจ านวนของขอมลแตละชดเปนส าคญ

เนองจากเราไมทราบวาคนจ านวน 14 คนในอนตรภาคชน 13-15 มสมภาระหนกเปนคาตาง ๆ จ านวนกคน ดงนนถาตองการหาตวแทนของน าหนกสมภาระในแตละอนตรภาคชนกคอการหาจดกงกลางของอนตรภาคชน ดงน

2างขดจ ากดลขดจ ากดบนาคชนงของอนตรภจดกงกลา

51

เชนอนตรภาคชน 13-15 มจดกงกลางชน คอ 2

1513 = 14 ซงเปนตวแทนของ

น าหนกสมภาระในอนตรภาคชน 13-15 เปนตน ผลตางระหวางขอบเขตลางและขอบเขตบนของแตละอนตรภาคชน คอ ความกวาง

ของอนตรภาคชน (class width) หรอแทนดวยสญลกษณ I ดงนน

I = (ขดจ ากดบน - ขดจ ากดลาง) + ผลตางของขดจ ากดบนและขดลางของอนตรภาคชนถดไป

จากตารางท 2.4 มความกวางของอนตรภาคชนเปน 3 เทากนทกอนตรภาคชน ในการสรางตารางแจกแจงความถนนไมจ าเปนทจะตองใหอนตรภาคชนมความกวางเทากนทกอนตรภาชนกได เพราะตองพจารณาถงคาและจ านวนของของมลแตละชดเปนส าคญ

ในบางกรณทขอมลบางคามคานอยหรอมากผดปกต บางอนตรภาคชนของตารางแจกแจงความถจะมลกษณะเปนอนตรภาคชนเปด (open class) โดยในชนดงกลาวจะระบขดจ ากดลางหรอขดจ ากดบนของอนตรภาคชนเพยงคาเดยว และจะมค าวานอยกวา หรอมากกวารวมอยดวย ทงนเพอใหมจ านวนชนทครอบคลมขอมลทงหมดไมเกนไปนนเอง ดงตารางท 2.7

ตารางท 2.7 การแจกแจงความถระดบเชาวปญญาของนกเรยน เชาวปญญา ความถ นอยกวา 80 5

80-89 10 90-99 19

100-109 23 110-119 20 120-129 16

มากกวา 129 7 รวม 100

หมายเหต โดยทวไปทงกรณทความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน และมบางอนตรภาคชนเปนอนตรภาคชนเปดนนไมเปนทนยม เนองจากไมสะดวกในการพจารณา และจะท าใหการวเคราะหขอมลในขนตอไปนนท าไดยาก

52

2.2.1 การสรางตารางแจกแจงความถชนดจดขอมลเปนหมวดหม ในการสรางตารางแจกแจงความถประเภทนตองค านงถงความเหมาะสมของจ านวนและความกวางของอตรภาคชน ซงมขนตอนในการสราง ดงน

ขนท 1. ก าหนด หรอค านวณจ านวนอนตรภาคชนจากสตรของ Sturges

k = 1+3.3log(n)

เมอ k แทนจ านวนอนตรภาคชน และ n แทนจ านวนขอมล ขนท 2. ค านวณหาพสย (range) จาก

R = คาสงสด – คาต าสด

เมอ R แทนพสย ขนท 3. ค านวณหาความกวางของอนตรภาคชนจาก

ภาคชนจ านวนอนตรพสยI

เมอ I แทนความกวางของอนตรภาคชน ขนท 4. ก าหนดขดจ ากดลางของอนตรภาคชนแรกซงควรเปนคาท

สอดคลองกบขอมล เชนถาขอมลเปนเลขจ านวนเตม ขดจ ากดลางกควรเปนเลขจ านวนเตมดวยถาขอมลเปนทศนยม 1 ต าแหนง ขดจ ากดลางกควรเปนทศนยม 1 ต าแหนงดวยเปนตน แลวค านวณหาขดจ ากดบน โดยน าขอบเขตลางบวกดวยความกวางของอนตรภาคชนจะไดขอบเขตบนของอนตรภาคชน จากนนเขยนอนตรภาคชนใหครบตามทตองการ หรอค านวณคาขดจ ากดลางของอนตรภาคชน จาก

ขดจ ากดลาง = คาต าสด - 2

RIk

เมอ I แทนความกวางของอนตรภาคชน R แทนพสย k แทนจ านวนอนตรภาคชน

และค านวณขดจ ากดบน จาก

ขดจ ากดบน = (ขดจ ากดลาง+I) - ผลตางของขดจ ากดบนและขดลางของอนตรภาคชนถดไป

5. เขยนรอยขด และนบความถของแตละอนตรภาคชน

53

หมายเหต ถาความกวางของอนตรภาคชนทค านวณไดเปนทศนยมและขอมลมคาแตกตางกนมาก เพอความสะดวกในการสรางอนตรภาคชนอาจปดขนเปนจ านวนเตมได

ตวอยาง 2.3 จงสรางตารางแจกแจงความถทม 9 อนตรภาคชนของรายไดตอเดอน (รอยบาท) ของแมคาในตลาดหวยพลจ านวน 150 คน

27 79 69 40 51 88 55 48 36 61 53 44 85 61 59 94 51 65 42 58 55 69 63 70 48 61 55 62 57 48 60 25 47 78 61 54 57 76 73 62 36 67 80 57 42 40 51 59 68 27 67 62 43 54 83 59 12 89 60 51 72 57 82 45 54 52 71 53 82 69 60 35 69 76 52 41 65 62 85 60 42 55 34 49 45 49 64 45 59 44 40 61 73 44 59 46 71 86 43 69 54 31 81 53 58 56 51 75 44 66 53 80 71 53 56 91 60 49 45 54 41 29 56 57 35 51 43 39 56 27 62 44 68 73 55 26 77 67 41 33 61 70 39 58 69 51 85 46 55 67

วธท า สรางตารางแจกแจงความถตามขนตอน ดงน ขนท 1 ก าหนดจ านวนอนตรภาคชน เทากบ 9 ขนท 2 ค านวณหาคาพสย จาก

R = คาสงสด - คาต าสด = 94 – 12 = 82

ขนท 3 ค านวณความกวางของอนตรภาคชน จาก

9.119

82ภาคชนจ านวนอนตร

พสยI

เนองจากขอมลเปนเลขจ านวนเตม และมคาแตกตางกนมาก เพอความสะดวกจงประมาณความกวางของอนตรภาคชนเปนเลขจ านวนเตมได ดงนนความกวางของอนตรภาคชนเทากบ 10

ขนท 4 ก าหนดขดจ ากดลางเปน 10 และค านวณหาขดจ ากดบน ดงน

54

ขอบเขตลาง + ความกวางของอนตรภาคชน

ขอบเขตบน ขดจ ากดบน อนตรภาคชน

9.5 + 10 19.5 19 10-19 19.5 + 10 29.5 29 20-29 29.5 + 10 39.5 39 30-39 39.5 + 10 49.5 49 40-49 49.5 + 10 59.5 59 50-59 59.5 + 10 69.5 69 60-69 69.5 + 10 79.5 79 70-79 79.5 + 10 89.5 89 80-89 89.5 + 10 99.5 99 90-99

ขนท 5 เขยนรอยขดและนบความถ จะไดตารางแจกแจงความถ ดงตารางท 2.8

ตารางท 2 8 จ านวนแมคาในตลาดหวยพล จ าแนกตามรายไดชวงตาง ๆ รายได (รอยบาท) รอยขด จ านวน

10-19 / 1 20-29 //// / 6 30-39 //// //// 9 40-49 //// //// //// //// //// //// 30 50-59 //// //// //// //// //// //// //// //// // 42 60-69 //// //// //// //// //// //// /// 33 70-79 //// //// //// 15 80-89 //// //// // 12 90-99 // 2

รวม 150

จากตารางจะเหนวาแมคาในตลาดหวยพล 150 คนมรายไดในชวง 50 – 59 รอยบาทจ านวนมากทสด

55

ตวอยาง 2.4 จากตวอยาง 2.3 จงค านวณหาคาจ านวนอนตรภาคชน ขดจ ากดลาง ขดจ ากดบน และสรางตารางแจกแจงความถ

ขนท 1 ค านวณคาจ านวนอนตรภาคชนจาก

k = 1+3.3log(n) = 1+3.3log(150) = 1+3.3(2.18) = 8.194 9

ขนท 2 พสยเทากบ 82 ขนท 3 ความกวางของอนตรภาคชนเทากบ 10 ขนท 4 ค านวณคาขดจ ากดลางของอนตรภาคชนจาก

ขดจ ากดลาง = คาต าสด - 2RIk

= 12 - 282(10)(9)

= 8

และค านวณขดจ ากดบนจาก

ขดจ ากดบน = (ขดจ ากดลาง+I) – ผลตางของขดจ ากดบนและขดลางของอนตรภาคชนถดไป = (8 + 10) – 1 = 17

จะไดอตรภาคชนดงน 8 – 17 18 – 27 28 – 37 ... 88 – 97

ขนท 5 จะไดตารางแจกแจงความถ ดงตารางท 2.9

56

ตารางท 2.9 จ านวนแมคาในตลาดหวยพลจ าแนตามรายไดชวงตาง ๆ

รายได (รอยบาท) จ านวน 8 – 17 1

18 – 27 5 28 – 37 8 38 – 47 26 48 – 57 40 58 – 67 33 68 – 77 21 78 – 87 12 88 – 97 4 รวม 150

ในบางครงขอมลทเกบรวบรวมมานนอาจเปนทศนยม และมคาแตกตางกนนอย เชน ขอมลจาการวด การชง การแจกแจงความถของขอมลลกษณะนจะแสดงดวยตวอยาง 2.5

ตวอยาง 2.5 ขอมลจากการวดความยาวของไมทตดโดยการประมาณดวยสายตามหนวยเปนเซนตเมตร เปนดงน 7.5 6.3 7.7 … 9.5 จงสรางอนตรภาคชนจ านวน 5 อนตรภาคชน วธท า 1. ก าหนดจ านวนอนตรภาคชน เทากบ 5

2. พสย = 9.5 – 6.3 = 3.2 3. ความกวางของอนตรภาคชน (I) = 3.2/5 = 0.64 และเนองจากขอมลมคาเปนทศนยมหนงต าแหนงดงนน ความกวางของอนตรภาคชนเทากบ 0.7 4. ก าหนดขดจ ากดลางเปน 6.2 จะไดขดจ ากดบน และอนตรภาคชน ดงน

ความยาว 6.2 – 6.8 6.9 – 7.5 7.6 – 8.2 8.3 – 8.9 9.0 – 9.6

57

2.2.2 การแจกแจงความถสมพทธ การน าเสนอขอมลทดดแปลงมาจากตารางแจกแจงความถ คอ ตารางแจกแจงความถสมพทธ (relative frequency table) โดยท

ความถสมพทธของอนตรภาคชน = ความถรวม

นอนตรภาคชความถของ

และผลรวมของความถสมพทธจะเทากบ 1 ถาคณแตละคาของความถสมพทธดวย 100 เพอท าใหเปนรอยละผลรวมของคาดงกลาวทงหมดจะเทากบ 100% และเรยกวาการแจกแจงรอยละ(percentage distribution) จากตวอยาง 2.3 ไดตารางแจกแจงความถสมพทธ ดงน

ตารางท 2.10 จ านวนและรอยละของแมคาในตลาดหวยพลจ าแนกตามรายไดชวงตาง ๆ รายได (รอยบาท) ความถ ความถสมพทธ รอยละ

10-19 1 0.0067 0.67 20-29 6 0.0400 4.00 30-39 9 0.0600 6.00 40-49 30 0.2000 20.00 50-59 42 0.2800 28.00 60-69 33 0.2200 22.00 70-79 15 0.1000 10.00 80-89 12 0.0800 8.00 90-99 2 0.0133 1.33 รวม 150 1.00 100

จากตารางท 2.10 บอกใหทราบวาจากแมคาในตลาดหวยพลจ านวน 150 คน มรายได 50-59 รอยบาทจ านวน 42 คน หรอคดเปน 28%

2.2.3 การแจกแจงความถสะสม ในบางกรณเราไมไดมงความสนใจเพยงแตความถของแตละอนตรภาคชน แตสนใจความถทงหมดทมคามากกวา หรอนอยกวาของอนตรภาคชนใดชนหนง เราเรยกความถทไดนวาความถสะสม (cumulative frequency) และเรยกตารางทไดนวา ตารางแจกแจงความถสะสม (cumulative frequency table) การแจกแจงความถสะสม ม 2 วธ คอ

1) การแจกแจงความในถสะสมชนดนอยกวา (less-than cumulative distribution) เปนตารางทแสดงความถสะสมของทกอนตรภาคชนทมคานอยกวาขอบเขตบนของแตละอนตรภาคชน

58

ตารางท 2.11 จ านวนแมคาในตลาดหวยพลจ าแนกตามรายไดชวงตาง ๆ รายได (รอยบาท) ความถ คะแนน ความถสะสม

10-19 1 นอยกวา 19.5 1 20-29 6 นอยกวา 29.5 7 30-39 9 นอยกวา 39.5 16 40-49 30 นอยกวา 49.5 46 50-59 42 นอยกวา 59.5 88 60-69 33 นอยกวา 69.5 121 70-79 15 นอยกวา 79.5 136 80-89 12 นอยกวา 89.5 148 90-99 2 นอยกวา 99.5 150

จากแมคาในตลาดหวยพลจ านวน 150 คนมแมคาทมรายไดนอยกวา 59.5 รอยบาทจ านวน 88 คน

2) การแจกแจงความถสะสมชนดมากกวา (more-than cumulative distribution) เปนตารางแสดงความถสะสมของทกอนตรภาคชนทมคามากกวาขอบเขตลางของแตละอนตรภาคชน

ตารางท 2.12 จ านวนแมคาในตลาดหวยพลจ าแนกตามรายไดชวงตาง ๆ รายได (รอยบาท) ความถ คะแนน ความถสะสม

10-19 1 มากกวา 9.5 150 20-29 6 มากกวา 19.5 149 30-39 9 มากกวา 29.5 143 40-49 30 มากกวา 39.5 134 50-59 42 มากกวา 49.5 104 60-69 33 มากกวา 59.5 62 70-79 15 มากกวา 69.5 29 80-89 12 มากกวา 79.5 14 90-99 2 มากกวา 90.5 2

59

จากแมคาในตลาดหวยพลจ านวน 150 คนมแมคาทมรายไดมากกวา 49.5 รอยบาทจ านวน 104 คน

ในท านองเดยวกนเราสามารถสรางตารางแจกแจงความถสมพทธสะสมได ดงน

ตารางท 2.13 การแจกแจงความถสมพทธสะสมรายไดของแมคา รายได (รอยบาท) ความถ ความถสมพทธ ความถสมพทธสะสม

10-19 1 0.0067 0.0067 20-29 6 0.0400 0.0467 30-39 9 0.0600 0.1067 40-49 30 0.2000 0.3067 50-59 42 0.2800 0.5867 60-69 33 0.2200 0.8067 70-79 15 0.1000 0.9067 80-89 12 0.0800 0.9867 90-99 2 0.0133 1.0000

รวม 1.00

จากแมคาในตลาดหวยพลจ านวน 150 คนมแมคาทมรายไดนอยกวา 59.5 รอยบาทจ านวน 88 คน คดเปน 58.67%

3 การแจกแจงความถดวยกราฟ (graphing frequency distribution)

การแจกแจงความถดวยกราฟเปนการแจกแจงความถตอจากตารางแจกแจงความถในลกษณะทเปนรปกราฟ ซงท าได 3 วธ คอ

1. ฮสโตแกรม (histogram) 2. รปหลายเหลยมความถ (frequency polygon) 3. โคงความถ (frequency curve) 3.1 ฮสโตแกรม การน าเสนอขอมลวธนมลกษณะเปนการแสดงความถของขอมล

ดวยพนทของรปสเหลยมผนผาทสรางขนตดตอกนบนแกนนอน ดงนนผลรวมของพนทของรปสเหลยมผนผาทกแทงจะเทากบจ านวนขอมลทงหมดทน ามาแจกแจง วธการสรางฮสโตแกรมในกรณจดขอมลเปนหมวดหมมขนตอน ดงน

60

ขนท 1 ลากแกน X และแกน Y ตดกนเปนมมฉากทจด 0 โดยแกน X แสดงคาของขอมลในแตละอนตรภาคชน และแกน Y แสดงความถในแตละอนตรภาคชน เฉพาะในแกน X สามารถระบคาไดสองแบบ คอแบบแรกระบคาขอบเขตลางและขอบเขตบนของแตละอนตรภาคชน แบบทสองระบจดกงกลางของแตละอนตรภาคชน

ขนท 2 บนแกน X เขยนแทงสเหลยมผนผาใหเรยงชดตดกน โดยใหจดกงกลางของแตละแทงคอจดกงกลางของแตละอนตรภาคชน ดงนนจ านวนแทงตองเทากบจ านวนอนตรภาคชนเสมอ

ขนท 3 ในกรณทความกวางของแตละอนตรภาคชนเทากนสเหลยมผนผาแตละแทงมความกวางเทากน และใหความถของแตละอนตรภาคชนเปนความสงของแตละแทงไดเลย แตในกรณทความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน จะตองหาความสงของสเหลยมผนผาจาก

ตรภาคชนนนมกวางของอนสดสวนควานนชนอนตรภาคความถของความสง

ตวอยาง 2.6 จากตารางท 2.8 จงสรางฮสโตแกรมความถ

รายได (รอยบาท) จดกงกลางของอนตรภาคชน ความถ 10-19 14.5 1 20-29 24.5 6 30-39 34.5 9 40-49 44.5 30 50-59 54.5 42 60-69 64.5 33 70-79 74.5 15 80-89 84.5 12 90-99 94.5 2

150

จากตารางขางตนจะเหนวาความกวางของอนตรภาคชนทกอนตรภาคชนเทากน คอ 10 ดงนนความกวางของแทงสเหลยมผนผาจงเทากบ 1 หนวยเทากนทกแทง ดงนนความสงของแทงสเหลยมผนผาแตละแทงจงสงเทากบความถของแตอนตรภาคชน ดงน

61

อสโตแกรมความถของรายได

รายได(รอยบาท)

แตถารวมอนตรภาคชน 80-89 และ 90-99 ไวดวยกน จะท าใหความกวางของอนตรภาคชน 80-99 เทากบ 20 ดงนนความกวางของแทงสเหลยมสดทายจะเทากบ 2 หนวย ดงนนความสงของแทงสเหลยมเทากบ 14/2 = 7 จะได ฮสโตแกรม ดงน

อสโตแกรมความถของรายได

รายได(รอยบาท)

จากรปฮสโตแกรมทแกน X แสดงคาขอมล (หรออนตรภาคชน) และแกน Y แสดงความถเรยกวาฮสโตแกรมความถ ซงมพนททกแทงรวมกนเทากบความถรวม

สวนฮสโตแกรมทแกน X แสดงคาขอมล (หรออนตรภาคชน) และแกน Y แสดงความถสมพทธ หรอรอยละเรยกวาฮสโตแกรมความถสมพทธ (relative frequency histogram) หรอฮสโตแกรมรอยละ (percentage histogram) ซงมพนททกแทงรวมกนเทากบ 1 หรอ 100% ดงน

ฮสโตแกรมคะแนนนกศกษา 150 คน

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5

คะแนน

ความ

ถ

ฮสโตแกรมคะแนนนกศกษา 150 คน

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 89.5

คะแนน

ความ

ถ

89.5

62

อสโตแกรมความถสมพทธของรายได

รายได(รอยบาท)

3.2 รปหลายเหลยมความถ คอกราฟเสนทไดจากการลากเสนตรงเชอมจดกงกลางปลายยอดทกแทงของฮสโตแกรม ซงเปนผลมาจากรปฮสโตแกรม ดงน

รปหลายเหลยมความถของรายได

รายได(รอยบาท)

จากรปสงเกตวามการขยายคากงกลางอนตรภาคชนออกไปทงสองดาน คอดานทต ากวาอนตรภาคชนทหนงและดานทสงกวาอนตรภาคชนสดทาย เพอใหเสนกราฟสมผสกบแกน X จะท าใหพนทระหวางรปหลายเหลยมความถและแกน X มคาเทากบผลรวมพนททกแทงของฮสโตแกรม และเรยกรปหลายเหลยมความถทแกน X แสดงคาขอมล (หรออนตรภาคชน) และแกน Y แสดงความถสมพทธวารปหลายเหลยมความถสมพทธ ซงมพนททกแทงรวมกนเทากบ 1

ฮสโตแกรมความถสมพทธของคะแนนนกศกษา 150 คน

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5

คะแนน

ความ

ถสมพ

ทธ

รปหลายเหลยมความถของคะแนนนกศกษา 150 คน

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

4.5

14

.5

24

.5

34

.5

44

.5

54

.5

64

.5

74

.5

84

.5

94

.5

10

4.5

คะแนน

ความ

ถ

63

3.3 โคงความถ คอเสนโคงทไดจากการปรบรปหลายเหลยมความถใหเรยบโดยพนทภายใตเสนโคงความถจะเทากบพนทของรปหลายเหลยมความถ และเรยกเสนโคงทเกดจากการปรบรปหลายเหลยมความถสมพทธใหเรยบวาโคงความถสมพทธ (relative frequency curve) โดยพนทใตโคงความถสมพทธจะเทากบ 1

รปโคงความถของรายได

รายได(รอยบาท)

4. ชนดของโคงความถ

จากโคงความถ หรอโคงความถสมพทธ บอกใหทราบถงลกษณะการแจกแจงความถของขอมล สามารถแบงตามรปรางของโคงความถได 6 ชนด คอ

4.1 รปสมมาตรหรอระฆง (symmetrical หรอ bell-shaped) ไดแกโคงทมยอดแสดงความถสงสดอยตรงกลางพอด และถาพบครงโคง ณ จดดงกลาวปลายโคงทงสองดานจะทบกนพอด ซงหมายความวาทงสองดานมความถเทากน ลกษณะโคงแบบนเรยกอกอยางวาโคงปกต (normal curve) ซงเปนโคงทมความส าคญเปนอยางมากในวชาสถต

รปโคงปกต (normal curve)

รปโคงความถของคะแนนนกศกษา 150 คน

0

5

10

15

20

25

30

35

40

454

.5

14

.5

24

.5

34

.5

44

.5

54

.5

64

.5

74

.5

84

.5

94

.5

10

4.5

คะแนน

ความ

ถ

64

4.2 รปไมสมมาตรหรอเบ (moderately asymmetrical หรอ skewed) ไดแกโคงทมปลายโคงดานใดดานหนงลาดยาวกวาอกดานหนง ถาปลายดานหนงลาดยาวไปทางดานขวาจะเรยกวาโคงเบขวา (skewed to right) หมายความวาขอมลทมคานอยมความถมากกวาขอมลทมคามาก ถาปลายดานหนงลาดยาวไปทางดานซายจะเรยกวาโคงเบซาย(skewed to left) หมายความวาขอมลทมคามากมความถมากกวาขอมลทมคานอย

รปโคงเบขวา (skewed to right) รปโคงเบซาย(skewed to left)

หมายเหต จะเหนไดวาเทคนคการแจกแจงความถเปนเทคนคทเหมาะสมกบขอมลเชงคณภาพ แตถาเปนขอมลเชงปรมาณจะเหมาะสมกบขอมลเชงปรมาณทมคาซ า ๆ กน

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง (Measures of Central Tendency)

ในบางกรณจากขอมลทเกบรวบรวมมาไดนน ผวเคราะหอาจตองการทราบตวแทนของขอมลชดนน เรยกตวแทนนนวาคากลาง คากลางทดควรมคาใกลเคยงกบคาสวนใหญของขอมล คากลางจะชวยใหเขาใจภาพรวมของขอมลชดนนไดเรวกวาการพจารณาจากตารางแจกแจงความถ หรอกราฟแจกแจงความถ ทตองพจารณาทงตารางหรอรป

การค านวณหาคากลาง หรอทเรยกวาการวดแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมลมวธการค านวณหลายวธ ทงนขนอยกบลกษณะขอมล และวตถประสงคของการน าไปใช

1. คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean)

คาเฉลยเลขคณตหรอเรยกวาคาเฉลย ซงแทนดวยสญลกษณ อานวามว แทนคาเฉลยทคดจากขอมลของประชากร เปนพารามเตอรทไมทราบคา ดงนนในทางปฏบตจงหาไดเพยงคาเฉลยทคดจากขอมลของตวอยาง หรอคาสถต ซงแทนดวยสญลกษณ x อานวาเอกซ-บาร ในเอกสารฉบบนจะใชสญลกษณ x วธการหาคาเฉลยสามารถท าไดดงน

65

ก าหนดใหขอมลดบ n ตวแทนดวยสญลกษณ n321 x,,x,x,x แลว

n

xxxxx n321

เขยนเปนสตรไดดงน

n

x

x

n

1ii

เมอ i = 1,2,3,...,n และ n แทนจ านวนตวอยาง

ตวอยาง 2.7 จากการส ารวจราคาน ามนเบนซนตอลตรในเดอน ธนวาคม-มนาคม 2554 ของปมน ามนแหงหนง ไดขอมลดงน 11.30 12.10 13.45 12.40 บาท จงหาราคาน ามนเบนซนเฉลยใน 4 เดอน

x x x x1 2 3 41130 1210 1345 1240 . . . . วธท า

x

xii

1

4

4

1130 1210 1345 12 40

4

1231

. . . .

.

ราคาน ามนเบนซนเฉลยตอลตรใน 4 เดอนราคา 12.31 บาท หมายเหต 1. คาเฉลยนใชกบขอมลเชงปรมาณ 2. คาเฉลยเหมาะสมกบขอมลทมคาสอดคลองกน นนคอไมมคาผดปกต (คาทมากหรอนอยจนเกนไป) หรอมโคงความถเปนโคงสมมาตร 3. คาเฉลยเหมาะสมกบขอมลทมจ านวนมาก ถาตดคาทมากหรอนอยเกนไปแลวจะไมมผลตอคาเฉลย

2. มธยฐาน (median)

มธยฐานซงแทนดวยสญลกษณ Me หมายถงคากลางทมต าแหนงอยตรงกลางของขอมลทจดเรยงจากนอยไปหามาก หรอมากไปหานอยเรยบรอยแลว คามธยฐานจงแบงขอมล

66

ออกเปน 2 กลมเทา ๆ กน คอกลมทมคานอยกวาคามธยฐาน และกลมทมคามากกวาคามธยฐาน การหาคากลางโดยวธนมขนตอน ดงน

ขนท 1 เรยงล าดบขอมลจากมากไปหานอย หรอนอยไปหามาก

ขนท 2 หาต าแหนงตรงกลางของขอมลจาก 2

1n

ขนท 3 หาคามธยฐาน โดยท กรณ n เปนเลขค เชน x x x x x1 2 3 4 5, , , , ต าแหนงตรงกลางของขอมล คอ

5 1

23

ดงนนคามธยฐาน = x3

กรณ n เปนเลขค เชน x x x x1 2 3 4, , , ต าแหนงตรงกลางของขอมล คอ 4 1

225

. ดงนนคามธยฐาน = x x2 3

2

ตวอยาง 2.8 จากการส ารวจคณภาพของสนคาชนดหนงจากผบรโภค 10 คน ก าหนดใหคะแนนเตม 5 คะแนน โดย 0 หมายถงคณภาพไมด 5 หมายถงคณภาพดมาก ตามล าดบ ไดผลดงน 1 4 3 5 1 2 2 4 5 4 จงหาคากลางของขอมลชดนโดยใชคามธยฐาน

วธท า 1. เรยงล าดบขอมลจากนอยไปหามาก จะได 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5

2. ต าแหนงตรงกลางของขอมล คอ 10 1

2

11

255

.

3. คามธยฐาน คอ 3 4

2

7

235

.

คามธยฐานเทากบ 3.5 หมายความวาจากการส ารวจคณภาพของสนคาชนดหนงจากผบรโภค 10 คน ผบรโภคคดวาคณภาพของสนคาชนดนอยในระดบคะแนน 3.5 คะแนน หมายเหต 1. มธยฐานเหมาะส าหรบขอมลเชงปรมาณ หรอขอมลทมระดบการวดเรยงอนดบขนไป เพราะเปนวธใชการจดอนดบ สวนขอมลเชงคณภาพหรอขอมลทมระดบการวดแบงกลมไมควรใชมธยฐานเพราะการจดอนดบขอมลไมสามารถท าได 2. มธยฐานเหมาะกบขอมลทมคาผดปกต เพราะมธยฐานเปนคากลางทมคาอย ณ ต าแหนงตรงกลาง ดงนนคาผดปกตจงไมมผลตอคามธยฐาน

67

3. ฐานนยม (mode)

ฐานนยมซงแทนดวยสญลกษณ Mo หมายถงคากลางทไดจากขอมลทมความถสงสด ปกตมกใชเกยวกบการส ารวจ เชน การส ารวจความนยมทางการเมอง การส ารวจอาชพ การส ารวจความนยมของการใชบรการรถประจ าทาง เปนตน ดงนนคากลางหรอขอมลนจงออกมาในรปความถ

ตวอยาง 2.9 จากการส ารวจของบรษทแหงหนงเกยวกบการเลอกอาชพหลงจบการศกษาปรญญาตรของนกศกษา 1700 คนโดยบรษทแยกอาชพออกเปน 7 ประเภท คอ A B C D E F และ G ปรากฏผลดงน B F D E C F F G A F B E C D D F G … F จงหาฐานนยมของขอมลชดน

วธท า อาชพ A มความถ 100 อาชพ B มความถ 200 อาชพ C มความถ 200 อาชพ D มความถ 300 อาชพ E มความถ 200 อาชพ F มความถ 500 อาชพ G มความถ 200

จากผลการแจกแจงความถ พบวาอาชพ F มความถมากทสด ดงนนคากลางฐานนยมของขอมลชดน อาชพ F หมายความวาการเลอกอาชพหลงจบการศกษาปรญญาตรของนกศกษาสวนใหญเลอกอาชพ F หมายเหต ฐานนยมสามารถใชไดกบขอมลเชงคณภาพ และเชงปรมาณ แตเหมาะสมกบขอมลเชงคณภาพมากกวา เพราะเปนการละทงขอสนเทศบางอยางทมอยในขอมลไป

การหาคากลางของขอมลชดเดยวกนโดยวธตาง ๆ อาจไดคากลางแตละวธไมเทากน ขนอยกบการแจกแจงของขอมลทน ามาวเคราะห วามการแจกแจงแบบปกตหรอไม นนหมายความวาถาทราบวาขอมลมการแจกแจงแบบใด จะสามารถเลอกวธการหาคากลางไดเหมาะสม โดยพจารณาจากความสมพนธของคาเฉลย มธยฐาน และฐานนยม กบโคงการแจกแจงของขอมล ดงน

68

4. ความสมพนธระหวางคากลางกบโคงการแจกแจงของขอมล

ถาลกษณะของขอมลทน ามาวเคราะหมการแจกแจงสมมาตร หรอโคงความถเปนรปสมมาตร (โคงปกต) คาเฉลย คามธยฐาน และคาฐานนยมจะมคาเทากน ดงน

ถาลกษณะของขอมลทน ามาวเคราะหมการแจกแจงแบบเบขวา หรอเบซายคาเฉลย คามธยฐาน และคาฐานนยมจะมคา ดงน

ถาการแจกแจงของขอมลมลกษณะเปนโคงเบขวา แสดงวาขอมลสวนใหญมคานอย แสดงวามขอมลบางคาทมคามากเกนไปจงมผลกระทบท าใหคาเฉลยมคามากกวาทควรจะเปน และคาฐานนยมจะอย ณ ต าแหนงทโคงสงทสด แตไมมผลกระทบตอคามธยฐานจงท าใหมธยฐานมคานอยกวาคาเฉลย แตมากกวาฐานนยม ดงนนกรณโคงเบขวาจะไดวาคา Mo Me x และในลกษณะตรงกนขามกรณการแจกแจงของขอมลมลกษณะเปนโคงเบซายจะไดวาคา x Me Mo

ในทางสถตขอมลทด และเหมาะสมทจะน าไปวเคราะหขอมลตอไปในสวนของสถตอางองจะตองมลกษณะการแจกแจงแบบปกต ไมเบซาย หรอขวา ซงสามารถพจารณาไดจากลกษณะความเบของขอมล ดงน

คาเฉลย<มธยฐาน<ฐานนยม ฐานนยม<มธยฐาน<คาเฉลย

คาเฉลย มธยฐาน ฐานนยม

69

5. ความเบ (Skewness)

ความเบ คอระดบความเอนเอยงหรอความไมสมมาตรของการแจกแจงของขอมล โดยพจารณาไดจากโคงความถ หรอวดความเบ (measure of skewness) จากคาสมประสทธความเบซงมวธการค านวณหลายวธ ในเอกสารฉบบนจะใช MS EXCEL ในการค านวณ ความหมายของคาสมประสทธความเบทค านวณไดเปนดงน

สมประสทธความเบ = 0 แสดงวาขอมลมการแจกแจงแบบสมมาตร(Symmetrical distribution)

สมประสทธความเบ < 0 แสดงวาขอมลมการแจกแจงแบบเบซาย (Negatively skewed distribution)

สมประสทธความเบ > 0 แสดงวาขอมลมการแจกแจงแบบเบขวา (positive skewed distribution)

การวดการกระจาย (measures of dispersion)

ในขอมลแตละชด เมอพจารณาตวแทนของขอมลจากคากลางของขอมลแลว กรณทขอมลแตละชดมคากลางเทากน อาจท าใหเขาใจวาขอมลแตละชดนนมลกษณะทคลายกน ซงในความเปนจรงอาจไมเปนเชนนน ดงนนการวเคราะหขอมลยงมสงทนาสนใจตอไปวาขอมลในชดนน ๆ คาแตกตางกนมากนอยแคไหน ลกษณะเชนนเรยกวา การวดการกระจาย ถาขอมลทกตวมคาเทากนหมดเรยกวาขอมลชดนนมคาไมแตกตางกน หรอไมมการกระจาย แตถาขอมลชดนนมคาไมเทากนถอวาขอมลชดนนมการกระจายเกดขน หรอมความแตกตางระหวางขอมล ขนาดการกระจายของขอมลขนอยกบความแตกตางภายในขอมลชดนน ถาขอมลแตกตางกนมากถอวามการกระจายมาก ถาขอมลแตกตางกนนอยถอวามการกระจายนอย ดงตวอยาง 2.10

ตวอยาง 2.10 ในการคดเลอกพนกงาน 1 ทมเพอรบรางวลทมงานทมประสทธภาพในการขายดเดนโดยพจารณาจากยอดขาย (หมนบาท) จากพนกงานแตละทม ดงน

ทมงาน ยอดขาย (หมนบาท) คาเฉลย A 55 55 55 55 55 55 55 55 B 47 51 54 55 56 59 63 55 C 39 47 53 55 57 63 71 55

70

จากยอดขายของพนกงานทง 3 ทมน ถาพจารณาทคาเฉลยจะพบวาพนกงานทง 3 ทมมยอดขายเฉลยเทากบ 55 หมนบาท หมายความวาทง 3 ทมมความสามารถในการขายเหมอนกน แตเมอพจารณายอดขายของพนกงานแตละคนในแตละทมจะเหนวา

ทม A พนกงานมยอดขายเทากนทกคน นนคอไมมการกระจายของขอมล หมายความวาพนกงานในทม A มความสามารถในการขายเหมอนกนทกคน

ทม B พนกงานแตละคนมยอดขายแตกตางกนเลกนอย นนคอมการกระจายของขอมลมากกวาทม A หมายความวาพนกงานในทม B มความสามารถในการขายตางกนเลกนอย

ทม C พนกงานแตละคนมยอดขายแตกตางกนมาก นนคอมการกระจายของขอมลมากกวาทม A และทม B หมายความวาพนกงานในทม C มความสามารถตางกนมาก

จะเหนวาในภาพรวมของพนกงานทง 3 ทมมยอดขายเฉลยเทากน แตเมอพจารณาความสามารถของพนกงานแตละคนในทม พนกงานทม A มความสามารถเทากน นนหมายถงพนกงานทมนท างานไดมประสทธภาพไมมใครเอาเปรยบเทยบใครสามารถท างานเปนทมไดเปนอยางด ดงนนควรใหรางวลทมงานทมประสทธภาพในการขายดเดนแกทม A

วธการวดการกระจายของขอมลนนมอยหลายวธ ในเอกสารฉบบนจะกลาวถงวธ พสย ความแปรปรวน และสมประสทธความแปรผน

1. พสย (range)

พสยซงแทนดวยสญลกษณ R เปนการวดการกระจายของขอมลจากความแตกตางระหวางคาสงสดกบคาต าสด ดงนน

R = คาสงสด - คาต าสด

จากตวอยาง 2.10 พสยของยอดขายของพนกงานทม A = 55 - 55 = 0 พสยของยอดขายของพนกงานทม B = 63 - 47 = 16 พสยของยอดขายของพนกงานทม C = 71 - 39 = 32

จะเหนวาคาพสยของยอดขายของพนกงานทม C มคามากทสด และตามดวยคาพสยของยอดขายของพนกงานทม B และ ทมA ตามล าดบ หมายความวายอดขายของพนกงานทม C แตกตางกนมากกวา ทม B และทม A

71

จะเหนวาการวดการกระจายโดยใชวธพสยนนเปนวธทงายและรวดเรว แตเปนคาวดการกระจายแบบหยาบ ๆ เนองพจารณาจากคาเพยง 2 คาเทานน คอคาสงสด และคาต าสด มไดพจารณาการกระจายของขอมลทอยระหวางคาสงสดและคาต าสดเลย ดงนนพสยจงไมเหมาะสมในการบอกการกระจายของขอมลทมคาแตกตางกน

2. ความแปรปรวน (variance)

ความแปรปรวนซงแทนดวยสญลกษณ 2 อานวาซกมาก าลงสอง แทนคาความแปรปรวนทคดจากขอมลของประชากร เปนพารามเตอรทไมทราบคา ในทางปฏบตหาไดเพยงคาความแปรปรวนทคดจากขอมลของตวอยาง หรอคาสถตซงแทนดวยสญลกษณ s2 ในเอกสารฉบบนจะใชสญลกษณ s2

ความแปรปรวนค านวณจากผลรวมก าลงสองของความแตกตางระหวางขอมลแตละตวกบคาเฉลย หารดวย จ านวนขอมลทงหมดลบดวยหนง อยในรปสตรคณตศาสตร ดงน

ถาให n321 x,,x,x,x แทนขอมล n ตว แลว

1n

)xx(

s

n

1i

2i

2

จากสตรขางตนเขยนในรปแบบใหมเพอใหงายตอการค านวณ จะได

1n

)x(n)x(

s

2n

1i

2i

2

เมอ i = 1,2,3,...,n และ n แทนจ านวนตวอยาง

ถาขอมลทกตวมคาเทากน คาความแปรปรวนจะเทากบศนย ถาขอมลมคาแตกตางกนมากขน คาความแปรปรวนกจะมากขน แตเนองจากคาความแปรปรวนของขอมลมหนวยเปนหนวยขอมลก าลงสอง จงท าใหการแปลความหมายของความแปรปรวนนนยากตอการท าความเขาใจ ดงนนเพอใหงายตอการท าความเขาใจจงหารากทสองของความแปรปรวนเพอใหหนวยการกระจายเปนหนวยเดยวกบขอมล เรยกรากทสองของความแปรปรวนวาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) เขยนแทนดวยสญลกษณ s .หรอ sd

72

s s 2 หรอ 1n

)xx(

s

n

1i

2

i

หรอ

1n

)x(n)x(

s

2n

1i

2

i

เมอ i = 1,2,3,...,n และ n แทนจ านวนตวอยาง

ตวอยาง 2.11 จากตวอยาง 2.10 จงค านวณหาคาความแปรปรวน

วธท า ความแปรปรวนของยอดขายของพนกงานในทม A

0s

6

)5555()5555()5555(

1n

)xx(

s

2

222

7

1i

2i

2

ความแปรปรวนของยอดขายของพนกงานในทม B

27s

6

162

6

2117521337

17

)55(7)63545147(

1n

)x(n)x(

s

2

22222

n

1i

22i

2

ความแปรปรวนของยอดขายของพนกงานในทม C

108s

6

648

6

2117521823

6

)55(7)71534739(

1n

)x(n)x(

s

2

22222

7

1i

22i

2

73

ยอดขายของพนกงานทม A มคา 0s0s2 , หมายความวายอดขายของพนกงานแตละคนในทม A ไมแตกตางจากยอดขายเฉลย

ทม B มคา 19625s27s2 ., หมายความวายอดขายของพนกงานแตละคนในทม B มคาแตกตางกนมากกวาทม A โดยแตกตางจากยอดขายเฉลย 5.1962 หมนบาท

ทม C มคา 392310s108s2 ., หมายความวายอดขายของพนกงานในทม C มคาแตกตางกนมากกวาทม B และทม A โดยแตกตางจากยอดขายเฉลย 10.3923 หมนบาท

จากการวดการกระจายของขอมลดวยวธการหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบน

มาตรฐานนน จะเหนวาคาการกระจายของขอมลมความละเอยดมากขน แตคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานนนจะมคาเปนเลขจ านวนมากหรอนอยขนอยกบคาของขอมลทสนใจ ถาขอมลทสนใจมคามากคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานจะมคามากดวย ในทางตรงกนขาม ถาขอมลทสนใจมคานอยคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานจะมคานอยดวย นนหมายความวาถาตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 กลม หากเราพจารณาวาคาความแปรปรวนของขอมลชดใดมคามากแสดงวาขอมลกระจายมาก ซงในบางครงอาจไมเปนเชนนน คาความแปรปรวนมากนนอาจเปนเพราะขอมลทน ามาค านวณมคามากกได ดงน นหากตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 กลม ควรเปรยบเทยบดวยคาสมประสทธความแปรผน

3. สมประสทธความแปรผน (coefficient of variation)

สมประสทธความแปรผนซงแทนดวยสญลกษณ C.V. หมายถงคาทใชในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด หรอมากกวา ทมหนวยเหมอนกนหรอแตกตางกน ซงค านวณไดจาก

C Vs

x. . 100

เมอ s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐาน x แทนคาเฉลย

โดยอาจใชเกณฑพจารณาเบองตนวาขอมลชดใด ๆ จะมระดบความแปรปรวนมาก คอนขางมาก ปานกลาง คอนขางนอย และนอย ดงเกณฑตอไปน

74

สมประสทธความแปรผนของขอมล(%) ระดบความแปรปรวนของขอมล 0 – 5 นอย 6 – 10 คอนขางนอย 11 – 20 ปานกลาง 21 – 25 คอนขางมาก ตงแต 26 ขนไป มาก

ตวอยาง 2.12 ถานกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลย 78 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน และวชาภาษาองกฤษไดคะแนนเฉลย 73 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 7.6 คะแนน อยากทราบวานกเรยนหองนเรยนวชาไหนไดคะแนนเกาะกลมกนมากกวา

จากขอมลขางตนจะเหนวาวชาคณตศาสตร กบวชาภาษาองกฤษนนเนอหาวชาไมเกยวของกน ดงนนการพจารณาการกระจายของคะแนนไมสามารถพจารณาจากความแปรปรวนเพยงอยางเดยวจะตองพจารณาสมประสทธความแปรผนดวย

วธท า จาก C Vs

x. . 100

C.V. วชาคณตศาสตร 8

78100 10 26%.

C.V. วชาภาษาองกฤษ 7 6

73100 10 41%

..

เนองจากคา C.V. ของคะแนนวชาคณตศาสตรมคานอยกวา แสดงวาการกระจายของคะแนนวชาคณตศาสตรของนกเรยนในหองนนอยกวาการกระจายของคะแนนวชาภาษาองกฤษ ดงนนนกเรยนในหองนเรยนวชาคณตศาสตรไดคะแนนเกาะกลมกนมากกวาวชาภาษาองกฤษ

จากวธการวดการกระจายของขอมลทกลาวมาขางตนนนเปนการวดการกระจายโดยพจารณาจากตวเลขทค านวณได ซงเราสามารถทจะพจารณาการกระจายของขอมลไดจากลกษณะของโคงความถ หรอการแจกแจงของขอมลไดจากความสมพนธของการกระจายกบการแจกแจงของขอมล ดงน

75

4. ความสมพนธของการกระจายกบการแจกแจงของขอมล

พจารณาโคงความถของขอมล 3 กลม คอ A B และ C จะเหนวาโคงความถของขอมลกลม A B และ C เปนโคงสมมาตร นนแสดงวาขอมลทง 3 กลม มคาเปนไปตามธรรมชาตไมมขอมลทผดปกต คากลางของขอมลทง 3 กลมจะเทากน แตเมอพจารณาความสงของโคงความถจากขอมลทง 3 กลม จะเหนวาแตกตางกน

ขอมลกลมใดทมโคงความถสงแสดงวาขอมลกลมนนมการกระจายนอย หรอขอมลมคาแตกตางกนนอย และถาขอมลกลมใดทมโคงความถแบนแสดงวาขอมลกลมนนมการกระจายมาก หรอขอมลมคาแตกตางกนมาก ดงนนขอมลกลม A มการกระจายนอยทสด ขอมลกลม C มการกระจายมากทสด

ในทางสถตขอมลทด และเหมาะสมทจะน าไปวเคราะหขอมลตอไปในสวนของสถตอางองนนจะตองมการกระจายไมมากหรอนอยจนเกนไป ซงสามารถพจารณาการกระจายของขอมลจากความโดงของโคงความถ ดงน

5. ความโดง (Kurtosis)

ความโดง คอความสงหรอความเตยของโคงความถของขอมลทใชพจารณาลกษณะการแจกแจงขอมลในชดใด ๆ ความโดงของโคงความถแบงไดเปน 3 ประเภท ดงน

5.1 โคงความถชนด Meso Kurtic เปนโคงความถทมความโดงเปนปกต ซงหมายถงขอมลทการกระจายเปนปกต ลกษณะของโคงความถเปนดงรป

A

B

C

76

5.2 โคงความถชนด Platy Kurtic เปนโคงความถทมความโดงแบนราบกวาปกต ซงหมายถงขอมลทการกระจายมากกวาปกต ลกษณะของโคงความถเปนดงรป

5.3 โคงความถชนด Lepto Kurtic เปนโคงความถทมความโดงสงกวาปกต ซงหมายถงขอมลทการกระจายนอยกวาปกต ลกษณะของโคงความถเปนดงรป

นอกจากพจารณาความโดงจากรปโคงความถแลว เราสมารถวดความโดง (measure of kurtosis) จากคาสมประสทธความโดงซงมวธการค านวณหลายวธ ในเอกสารฉบบนจะใช MS EXCEL ในการค านวณ ความหมายของคาสมประสทธความโดงทค านวณไดเปนดงน

สมประสทธความโดง = 0 แสดงวาการแจกแจงของขอมลมความโดงแบบปกต (Meso Kurtic)

สมประสทธความโดง < 0 แสดงวาการแจกแจงของขอมลมความโดงราบกวาปกต (Platy Kurtic)

สมประสทธความโดง > 0 แสดงวาการแจกแจงของขอมลมความโดงมากกวาปกต (Lepto Kurtic)

ขอมลทดและเหมาะสมทจะใชในการวเคระหขอมลตอไปในสวนของสถตอางองจะตองไมมคาทผดปกต และมความแตกตางไมมากหรอนอยเกนไป หรอมการแจกแจงแบบปกต ถาพจารณาดวยสมประสทธความเบและความโดงควรไดเทากบ 0 ซงในทางปฏบตนนเปนไปไดยาก เนองจากขอมลทสนใจนนมาจากกลมตวอยาง ดงนนคาสมประสทธทงสองจงเปนคาสถต การพจารณาคาสมประสทธความเบและความโดงจงเปนเพยงการพจรณาเบองตนวาขอมลมการแจกแจงแบบปกตหรอไมเทานน

77

ตวอยาง 2.13 นายตรรตนเปนนกธรกจทชอบการเลนหนมาก ซงในขณะนนายตรรตนสนใจหนอย 2 ตว คอ หน A และหน B นายตรรตนตองการตดสนใจเลอกซอหนเพยงตวเดยวเทานน เพอการตดสนใจอยางมเหตผล นายตรรตนจงเกบรวบรวมขอมล อตราผลตอบแทนของหนทง 2 ตว ในระยะเวลา 5 วน ไดผลดงน

วนท อตราผลตอบแทนของหน ( บาท ) หน A หน B

1 15 14 2 15 15 3 16 15 4 16 17 5 15 16

ถาทานเปนนายตรรตนจงใชขอมลทมอยประกอบการตดสนใจในการเลอกซอหนโดยมเงอนไขวาหนนนตองมผลตอบแทนมากทสด และมความเสยงนอยทสด วธท า อตราผลตอบแทนเฉลยของหน A ในระยะเวลา 5 วน 4.15xA บาท

อตราผลตอบแทนเฉลยของหน B ในระยะเวลา 5 วน 4.15xB บาท ความแปรปรวนของอตราผลตอบแทนของหน A ในระยะเวลา 5 วน 3.0s2

A บาท2

ความแปรปรวนของอตราผลตอบแทนของหน B ในระยะเวลา 5 วน 3.1s2B บาท2

สมประสทธความแปรผนของอตราผลตอบแทนหน A ในระยะเวลา 5 วน C.V.A = 3.57% สมประสทธความแปรผนของอตราผลตอบแทนหน B ในระยะเวลา 5 วน C.V.B = 7.40% สมประสทธความเบของอตราผลตอบแทนของหน A ในระยะเวลา 5 วน เทากบ 0.61 สมประสทธความเบของอตราผลตอบแทนของหน B ในระยะเวลา 5 วน เทากบ 0.40 สมประสทธความโดงของอตราผลตอบแทนของหน A ในระยะเวลา 5 วน เทากบ -3.33 สมประสทธความโดงของอตราผลตอบแทนของหน B ในระยะเวลา 5 วน เทากบ -0.18

จากการวเคราะหขอมลขางตน จะเหนวาอตราผลตอบแทนเฉลยในระยะเวลา 5 วนของหน A และ B เทากน แตความแปรปรวน และสมประสทธความแปรผนของอตราผลตอบแทนของหน B นนมากกวา แสดงวาอตราผลตอบแทนของหน B ในเวลา 5 วนนนขนและลงมากกวาหน A หรอความเสยงของหน B มากกวา หน A นนเอง สวนสมประสทธความเบมคาใกลเคยงกบศนย แสดงวาอตรผลตอบแทนหน A และ B ไมมคาผดปกต สมประสทธความโดงตดลบแสดงวาอตรผลตอบแทนหน A และ B มคาแตกตางกน ดงนนนายตรรตนควรเลอกซอหน A

78

ตวอยาง 2.14 นายขจรตองการเลอกซอเครองชงทมความเทยงตรงในการชงน าหนกวว จงท าการชงน าหนกววตวหนงดวยเครองชง 2 ประเภท คอเครองชงแบบดจตอล กบเครองชงแบบตมน าหนก จ านวน 5 ครง ไดผลดงน

ครงท น าหนกวว (kg) เครองชงแบบดจตอล (A) เครองชงแบบตมน าหนก (B)

1 70.1 69.9 2 69.3 70.0 3 69.8 70.0 4 70.1 70.1 5 69.8 70.0

ถาทานเปนนายขจรทานจะเลอกซอเครองชงประเภทใด

วธท า ในการชงน าหนกวว 5 ครงไดผลการวเคราะหสถตพรรณนา ดงน น าหนกเฉลยของววทชงดวยเครองชงแบบดจตอล

Ax = 69.82 kg

น าหนกเฉลยของววทชงดวยเครองชงแบบตมน าหนก B

x = 70 kg ความแปรปรวนของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบดจตอล 2

As = 0.107 kg2

ความแปรปรวนของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบตมน าหนก 2

Bs = 0.005 kg2

สมประสทธความแปรผนของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบดจตอล C.V.A = 0.0046 สมประสทธความแปรผนของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบตมน าหนก C.V.B = 0.0010 สมประสทธความเบของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบดจตอล เทากบ -1.15 สมประสทธความเบของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบตมน าหนก เทากบ 0.00 สมประสทธความโดงของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบดจตอล เทากบ 1.33 สมประสทธความโดงของน าหนกววทชงดวยเครองชงแบบตมน าหนก เทากบ 2.00

จากการวเคราะหขอมลขางตน จะเหนวาในการชงน าหนกววจ านวน 5 ครง เครองชงแบบตมน าหนกชงน าหนกววไดสม าเสมอกนมากกวาเครองชงแบบดจตอล ดงนนนายขจรควรเลอกซอเครองชงแบบตมน าหนกเพราะมความเทยงตรงมากกวา

79

สดสวนของสงทสนใจ (Proportion)

ในบางครงสงทเราสนใจหรอตองการอธบายลกษณะขอมลอาจไมใช คากลาง หรอ คาการกระจาย แตเปนรอยละของสงทสนใจเทยบกบจ านวนทงหมด คา ๆ นนเรยกวาสดสวนของสงทสนใจ สญลกษณทใชแทนสดสวนของสงทสนใจในประชากรทงหมด คอ p เปนคาพารามเตอรทไมทราบคา ดงนนในทางปฏบตจงหาไดเพยงสดสวนของสงทสนใจในตวอยางเปนคาสถต เขยนแทนดวยสญลกษณ คอ p เราสามารถหาคาสดสวนไดจาก

มดจ านวนทงหใจจานวนสงทสน)p( จสงทสนใสดสวนของ ˆ

ตวอยาง 2.15 จากการส ารวจตวอยางเดกชนประถมจ านวน 500 คน ในเขตเมองหลวง เพอตรวจสอบการฉดวคซนปองกนโรคหดเยอรมน พบวามเดกชนประถมจ านวน 150 คนทไดรบวคซน จากขอมลขางตนเดกชนประถมทไดรบวคซนปองกนโรคหดเยอรมนคดเปนสดสวนเทาใด วธท า ก าหนด p แทนสดสวนของเดกชนประถมทไดรบวคซนปองกนโรคหดเยอรมน

p = จ านวนเดกชนประถมทไดรบวคซนปองกนโรคหดเยอรมน จ านวนเดกชนประถมทงหมด

= 500

150

= 0.3

3.0p หมายความวาเดกชนประถมรอยละ 30 ไดรบวคซนปองกนโรคหดเยอรมน

ตวอยาง 2.16 บรษทแหงหนงผลตกระถางดวยวธการผลตทแตกตางกน 2 วธ จงตองการตรวจสอบวาวธการผลตใดผลตกระถางไดดกวากน จงเกบรวบรวมขอมลลกษณะของกระถางทออกจากเตา พบวา

วธการผลต จ านวนกระถางทใสในเตา(ใบ) จ านวนกระถางทแตกในเตาเผา(ใบ) วธท 1 200 20 วธท 2 300 45

จากขอมลขางตนวธการผลตวธใดทผลตกระถางไดดกวากน วธท า ก าหนด 1p แทนสดสวนของกระถางทแตกในเตา เมอผลตดวยวธท 1

2p แทนสดสวนของกระถางทแตกในเตา เมอผลตดวยวธท 2

80

1p = จ านวนกระถางทผลตดวยวธท 1 และแตกในเตา จ านวนกระถางทผลตดวยวธท 1

= 10.0200

20

2p = จ านวนกระถางทผลตดวยวธท 2 และแตกในเตา จ านวนกระถางทผลตดวยวธท 2

= 15.0300

45

10.0p1 หมายความวามกระถางรอยละ 10 ทแตกในเตา เมอใชวธการผลตวธท 1และ 15.0p2 หมายความวามกระถางรอยละ 15 ทแตกในเตาเมอใชวธการผลตวธท 2 ดงนนควรเลอกวธการผลตวธท 1

หมายเหต สดสวนเปนวธทใชไดกบขอมลเชงปรมาณและเชงคณภาพ แตจากตวอยางขางตนจะเหนวาสดสวนมกใชกบขอมลเชงคณภาพ หรอขอมลในระดบการวดนามบญญต และเรยงอนดบ มากกวาขอมลเชงปรมาณ

การตรวจสอบขอมลกอนการวเคราะห

การวเคราะหขอมลในสวนของสถตอางองนนตองใชขอมลทเกบรวบรวมจากตวอยาง เพอหาคาสถต และน าไปอางอง หรอหาขอสรปในพารามเตอรทสนใจ ซงตองอาศยขนตอน และวธการทางสถต เพอใหการอางองนนมความถกตองแมนย ามากทสดนนเอง วธการวเคราะหทางสถตในสวนของสถตอางองนน มดวยกน 2 ประเภท ดงน

1. สถตพาราเมตรก (Parametric Statistics)

เปนการวเคราะหขอมลในสวนของสถตอางองทถกคดคนขนมาจากการจ าลองขอมลทมการกระจายเปนแบบปกต หรอทเรยกวาการแจกแจงแบบปกตดงนนเทคนคตาง ๆ ในสถตพาราเมตรกจงมเงอนไขวาขอมลตองมการกระจายแบบปกต

2. สถตนอนพาราเมตรก (Nonparametric Statistics)

เปนการวเคราะหขอมลในสวนของสถตอางองทไมมเงอนไขวาขอมลตองมการกระจายแบบปกต

81

ในเอกสารฉบบนจะกลาวถงวธการในสวนของสถตพาราเมตรกเทานน ดวยเหตนกอนทจะน าขอมลไปวเคราะหตามวธทางสถตอางองในเอกสารฉบบน เชน การประมาณคา การทดสอบสมมตฐาน ควรตรวจสอบเบองตนกอนวาขอมลทเกบรวบรวมมานนมการกระจายของขอมลเปนแบบปกตหรอไม ซงวธการตรวจสอบขอมลกอนการวเคราะหนมหลายวธ ดงน

1. พจารณาจากฮสโตแกรม หรอโคงความถ 2. พจารณาจากคากลาง สมประสทธความเบ และความโดง 3. การทดสอบสมมตฐานเกยวกบการแจกแจงของขอมล แตละวธมวธการและความเหมาะสมทแตกตางกนไป เชนในบางกรณหากมขอมล

จ านวนไมมากพอตารางแจกแจงความถ ฮสโตแกรม และโคงความถจะมรปรางไมชดเจน อาจใชวธการหาคาเฉลย คามธยฐาน และคาฐานนยมของขอมลชดนนถาทง 3 คานน มคาเทากน หรอใกลเคยงกน แสดงวาขอมลทเกบรวบรวมมานนมการกระจายเปนแบบปกต

การใชโปรแกรมส าเรจรป

ในสวนนจะใชขอมลในตวอยาง 2.3 เพอวเคราะหขอมลในสวนสถตพรรณนา

1. การสรางตารางแจกแจงความถ และฮสโตแกรม

ขนตอนท 1 ใสขอมล และขอบเขตบนของตารางแจกแจงความถทจะสราง ไวใน cell ทตองการ เลอกเมน Data เลอก Data Analysis

82

ขนตอนท 2 ในหนาตาง Data Analysis เลอก Histogram เลอก OK

ขนตอนท 3 ในหนาตาง Histogram ในสวน Input Range ระบ cell ทเปนขอมลทงหมด ในสวน Bin Range ระบ cell ทเปนขอบเขตบน ในสวน Output เลอกต าแหนงผลลพธ และประเภทของแผนภม ดงน - Pareto (sorted histogram) หมายถงแผนภาพพาเรโต - Cumulative Percentage หมายถงความถสมพทธสะสม และกราฟความถสะสม - Chart Output หมายถงฮสโตแกรม

83

ขนตอนท 4 จะไดผลลพธ ดงน

จากผลลพธตารางแจกแจงความถ คอลมน Bin หมายถงขอบเขตบนของแตละอนตรภาคชน เชนขอบเขตบน 19.5 หมายถงอนตรภาคชน 10-19 ขอบเขตบน 29.5 หมายถงอนตรภาคชน 20-29 เปนตน คอลมน Frequency หมายถงความถของแตละอนตรภาคชน

จากตารางแจกแจงความถพบวาสวนใหญแมคามรายไดในชวง 40-69 รอยบาท และจากฮสโตแกรมของรายไดของแมคาทตลาดหวยพล 150 คน มลกษณะคลายโคงสมมาตร แสดงวารายไดของแมคามการกระจายเปนปกต

2. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง และการวดการกระจาย

ขนตอนท 1 เลอกเมน Data เลอก Data Analysis เลอก Descriptive Statistics ดงน

84

ขนตอนท 2 ในสวน Input Range ใหระบ cell ทเปนขอมลทงหมด ในสวน Group By เปนการเลอกการแบงกลมของขอมล

- Columns หมายถงแบงกลมขอมลตามคอลมน - Rows หมายถงแบงกลมขอมลตามแถว

ในสวน Output options ระบต าแหนงผลลพธ และเลอกการแสดงคาสถต - Summary statistics หมายถงแสดงคาสถตเบองตน - Confidence Level for Mean หมายถงแสดงชวงความเชอมนตามทระบ - Kth Largest หมายถงแสดงคามากสดตามล าดบทระบ เชนล าดบ 5 - Kth Smallest หมายถงแสดงคานอยสดตามล าดบทระบ เชนล าดบ 1

ขนตอนท 3 จะไดผลลพธ ดงน

คาเฉลย ความคลาดเคลนมาตรฐาน

มธยฐาน ฐานนยม

สวนเบยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน

สมประสทธความโดง สมประสทธความเบ

พสย คานอยสด คามากสด ผลรวม

จ านวนขอมล คามากสดล าดบท 5 คานอยสดล าดบท 1

85

หมายความวาแมคาทตลาดหวยพล 150 คน มรายไดเฉลย 56.90 รอยบาท แตละคนมรายไดแตกตางจาก 56.90 รอยบาท เทากบ 15.31 รอยบาท หรอคดเปนการกระจาย 26.90%

สรปทายบท

การวเคราะหขอมลในสวนของสถตพรรณนาเปนวธการวเคราะหขอมลเบองตน เพอใหทราบวาลกษณะของขอมลทเกบรวบรวมมาในภาพรวม หรอภาพกวาง ๆ วาเปนอยางไรตามวตถประสงคของผใช เชนสวนใหญขอมลทเกบรวบรวมมามคามาก หรอนอย ขอมลมการกระจายหรอมความแตกตางกนมากหรอนอย ขอมลทมคาตามทสนใจมรอยละเทาใดเปนตน ซงเทคนคในการวเคราะหขอมลเพอตอบวตถประสงคเหลานมเทคนคและวธการทแตกตางกนไป แตละเทคนคแตละวธจะใหผลลพธทมความหมายและสารสนเทศทแตกตางกน จงตองเลอกเทคนคและวธทถกตองในการตอบวตถประสงค และถาน าผลลพธในแตละเทคนคแตละวธมาอธบายรวมกนจะท าใหไดสารสนเทศจากขอมลเพอใชในการประกอบการตดสนใจ และการวางแผนไดดยงขน

แบบฝกหดทายบท

1. จงแจกแจงความถของคาใชจายรายวนของนกศกษา (บาท) ในระดบอดมศกษา 80 คน ดวยแผนภาพล าตนและใบ ดงน

53 57 59 60 60 60 61 61 62 62 62 62 63 63 65 65 65 65 67 67 68 68 68 69 71 71 71 72 72 73 73 73 73 74 74 74 75 75 75 75 75 75 75 76 76 76 76 77 77 78 78 78 78 78 79 79 79 81 81 82 82 83 84 85 85 85 86 87 88 88 88 89 90 93 93 94 95 95 96 97

2. รานขายยาแผนปจจบนรานหนงสอบถามอาย (ป) ของผทเขามาซอยาในรานในวนหนงจ านวน 40 ราย ปรากฏวาไดผลดงน 53 58 61 64 40 34 21 12 40 37 24 13 42 38 28 13 43 38 31 16 10 21 33 39 52 52 39 33 21 10 49 7 19 20 31 32 39 39 47 48 จงสราง 2.1 ตารางแจกแจงความถและความถสมพทธ โดยใหมอนตรภาคชน 6 อนตรภาคชน 2.2 จากตารางขอ 2.1. จงสรางฮสโตแกรม รปหลายเหลยมความถ และโคงความถ

86

3. จงหาคาเฉลย มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลตอไปน 3.1 7 4 10 9 15 12 7 9 7 3.2 8 11 4 3 2 4 10 6 4 1 10 7 12 6 6 10 3.3 129 114 169 141 167 144 123 105 134 132

4. ขอมลตอไปนถกวดดวยระดบใด คากลางทเหมาะสมทสดคอคากลางวธใด และมคาเทาไร 4.1 รานคาแหงหนงตองการทราบเกยวกบยอดเงนคางช าระเฉลยของลกคา 15 คน ซงมยอดคาง

ช าระ (บาท) ของแตละราย ดงน 55.20 4.88 271.95 18.06 180.29 365.29 28.16 399.11 807.80 44.14 97.47 9.98 61.61 56.89 82.73

4.2 บรษทแหงหนงตองการส ารวจวาพนกงานในบรษทสวนใหญมวฒการศกษาอยในระดบใด จงท าการเกบขอมลโดยก าหนดให 1 หมายถงการศกษาระดบประถมหรอต ากวา 2 หมายถงการศกษาระดบมธยมศกษา 3 หมายถงการศกษาระดบปรญญาตร 4 หมายถงการศกษาระดบปรญญาโท 5 หมายถงการศกษาระดบปรญญาเอก ปรากฏผลดงน 1 5 2 4 3 2 5 4 2 1 3 1 2 3 3 4 5 3 3 3

4.3 ขส.มก. ตองการทราบวารถประจ าทางสายใดทมผใชบรการมากทสด จงท าการเกบขอมลปรากฏผลดงน สายรถประจ าทาง 1 2 3 4 5 6 จ านวนรถ 21 38 18 30 38 19

5. บรษทโตโยตานครปฐม ตองการใหเงนสมนาคณแกพนกงานขายคนใดคนหนงในจ านวน 3 คน ทมยอดขายรวม 5 ปอยในระดบแนวหนา ดงขอมลตอไปน (หนวย: 100,000 บาท)

ประณต 74 80 72 65 78 ประดษฐ 82 76 69 70 84 ประเสรฐ 77 80 75 69 73

ถาบรษทจะใหเงนสมนาคณดงกลาวแกพนกงานทมยอดขายคงเสนคงวามากทสด จงใชเหตผลจากการวเคราะหขอมลเบองตนเพอสรปวาพนกงานขายคนใดจะไดรบเงนนน

6. จากการส ารวจธนบตรทช ารดจากการใชงาน จ านวน 15100 ฉบบ พบวาเกดมาจากสาเหตตาง ๆ คอขาด 2580 ใบ มรอยทเยบกระดาษ 5120 ใบมรอยขดเขยน 400 ใบ และมรอยพบ 7000 ใบ ทางธนาคารแหงประเทศไทยสนใจวาธนบตรทช ารดเนองจากมรอยทเยบกระดาษ และมรอยพบคดเปนสดสวนเทาไร