Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธและฟงกชน เปนเนอหาพนฐานทจะไปใชในการศกษาเนอหาบทอนๆ เชน ฟงกชน
ตรโกณมต ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และลอการทม หรอน าความรของเนอหาบทน ไปใชแกปญหา หาชวงคา
ของขอมล เพอไปใชตรวจสอบค าตอบได และเปนอยางยง แคลคลส จ าเปนจะตองใชเนอหาของความสมพนธ
และฟงกชนไปใช
ความสมพนธและฟงกชน
1. ผลคณคารทเชยน
2. ความสมพนธ
3. ฟงกชน
2
1. ผลคณคารทเชยน (Cartesian Product)
1.1 คอนดบ คอการเขยนขอมล 2 ตว มาอยในลกษณะ (a,b) โดยท a, b เปนขอมลอะไรกได
ซงเราไมสามารถสลบต าแหนงระหวาง a, b ไดเพราะถาสลบ ความหมายจะเปลยนไปในทนท
ผลคณคารทเชยน เปนการเซต 2 เซต มากระท าการ คณกน เขยนสญลกษณเครองหมายคณ เชน
A B ท าใหเกดเซตใหมอกเซต ทเกดจากเซต A, B โดยสมาชกตวหนาของคกนดบ มาจากเซต A และตวหลง
มาจากเซต B ซงตองใชสมาชกทกตวจากทง 2 เซต
ผลคณคารทเชยน เขยนแบบไดเปน A B x, y x A, y B
ตวอยาง ให A 1,2,3 ,B a,b,c,d ,C (1,0), (1,a) จงหาผลคณคารทเชยนและจ านวน
สมาชกของ
1. A B
2. B A
3. A C
4. C A
5. B B
6. C C
ขอควรร
1. A B B A กตอเมอ A B หรอ A หรอ B
2. n A B n A n B
3. A A
4. a,b c,d กตอเมอ a=c และ b=d
3
2. ความสมพนธ (Relation)
2.1 นยาม ความสมพนธจาก A ไป B คอเซตของคอนดบทมสมาชกตวหนาอยในเซต A และ
สมาชกตวหลงอยในเซต B แตไมจ าเปนจะตองใชสมาชกทกตว ดงนน ถาให r เปนความสมพนธจาก A ไป B
จะเขยนไดวา r x, y A B ... หรอ r A B
ตวอยาง จงหาความสมพนธจาก A ไป B ทงหมดเมอ A 1,2,3 ,B a,b
ตวอยาง ให A 1,2,3,4,5,6,7 ,B 2,3,4,8,9,12,14 จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบ
แจกแจงสมาชก
1. 1r x, y A B x y
2. 22r x, y A B y x
3. 3r x, y A B 3x 2y 1
4. 4r x, y A A x y
5. 5r x, y A A x y
6. 26r x, y B A y 1 x
ขอควรร
1. ความสมพนธจาก A ไป A เรยกวา “ความสมพนธภายในเซต A”
2. ถาหากไมไดก าหนดความสมพนธจากเซตไหนไปเซตไหน ใหถอวาเปนเซต R R
4
2.2 โดเมน เรนจ (Domain, Range)
นยาม โดเมน คอเซตของสมาชกตวหนาของความสมพนธ rD x x, y r
นยาม เรนจ คอเซตของสมาชกตวหลงของความสมพนธ rR y x, y r
ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปนเมอ A 5, 2,1, 2 ,B 0,3,5,6
1. 1r x, y A B x y 0
2. 22r x, y x y 2
3. 3r x, y y x
4. 24r x, y y 4 x
5
5. 5
2r x, y y
4 x
6.
6
2x 5r x, y y
3x 4
7.
7 2
1r x, y y 3
x 2x 2
8.
8 2
x 3r x, y y
x 2x 1
6
9. 9
1r x, y y x
x
10. 10r x, y x 1 y 2 1
สมาคมฯ 31 ก าหนดความสมพนธ 2
4r x, y I I y 3
x 2 1
จ านวนสมาชกของ r rD R เปนเทาใด
1. 2 2. 4
3. 6 4. เทากบจ านวนสมาชกของ I
NOTE
7
2.3 อนเวอรส, ผกผน (Inverse, 1r )
นยาม 1r เปนอนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธทมซงเกดจากการสลบทของสมาชกตว
หนา และสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r หรอเขยนไดเปน 1r y, x x, y r
ตวอยาง จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปน
1. 1r 0,2 , 1,3 , 4,2 , 1,0 , 3, 3
2. 2r x, y 3x 2y 5
3.
3
x 1r x, y y
2x 3
4. 2
4 2
2x 1r x, y y
x 3
8
5. 3 25r x, y y x 3x 3x
6. 2 26r x, y y x 1; x 3,4
7. 2 27r x, y x y 1; x 0,1
8. 238r x, y y x 2x
Ent มค. 44 ก าหนดความสมพนธ 2
1r x, y y
x 1
พจารณาขอความตอไปน
ก. rD , 1 1, ข. 1 1 xr x, y y
x
ขอใดตอไปถกตอง
1. ขอ ก. และ ข. ถก 2. ขอ ก.ถกขอเดยว
3. ขอ ข.ถกขอเดยว 4. ขอ ก. และ ข. ผด
9
2.4 กราฟของความสมพนธ
กราฟของความสมพนธ r คอเซตของจดบนแกนมมฉาก x, y ซงแตละจดแทนสมาชกใน r
ตวอยาง จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน
1. 1r 1,2 , 3,4 , 5,6
2. 2r x, y I I y x 1
3. 3r x, y y x 1
10
4. 4r x, y y x 1
5. 5r x, y y x
6. 6r x, y y x 2
7. 7r x, y y x และ x 10y 0
11
8. 28r x, y y x
9. 29r x, y x y
NOTE
12
3. ฟงกชน (Function)
3.1 นยาม f เปนฟงกชน กตอเมอ ถาม x, y f และ x,z f แลว y=z
หรอในอกความหมายกคอ x หนงตว ท าใหเกด y แคตวเดยวเทานน
ตวอยาง ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน
1. 1r 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,1 , 2,1 , 3,2
2. 2r a,b , 1,3 , b,a , 2,1 , a,b , 3,1
3. 23r x, y y x
4. 24r x, y x y
5. 5r x, y xy 1
6. 6
1r x, y y x
x
7. 7 2
1r x, y y
x 4x 5
8.
2 28r x, y x y 1; x 0,1
สมาคม 52 ก าหนดฟงกชน f X, Y X 0,1 และY X X เรนจของ f คอเซตในขอใด
1. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 1,1 ,
2. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 1,1 ,
3. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ,
4. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
13
3.2 ฟงกชนจากเซตไปเซต 1. ฟงกชนจาก A ไป B f : A B
f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f มโดเมนเปนเซต A และเรนจเปนสบเซต B
2. ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ontof : A B
f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f มมโดเมนเปนเซต A และเรนจเปนเซต B
3. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B 1 1f : A B
f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B และถา
x, y f และ z, y f แลว x=z
4. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B 1 1onto
f : A B
f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B
และ เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B
ตวอยาง ฟงกชนตอไปนเปน f : R R หรอไม ถาใช เปนฟงกชนประเภทใดบาง
1. 31f x, y y x
2. 22f x, y y 1 x
3. 23f x, y y x
14
4. 4
x 1f x, y y
x 8
5. 5f x, y y x 1 x 1
6. 6f x, y x y x y
ทนเลาเรยนหลวง 52 ให U เปนเซตและ f : U U เปนฟงกชน และส าหรบ T U นยามให
1f T x U f x T ถา U คอเซตของจ านวนจรงทงหมด และก าหนด f โดย x
f x 12
ส าหรบทกๆจ านวนจรงx ถา 1A f 0,1 และ 1B f A แลวจงหาสมาชกของเซต 1 cf B A
ขอควรร
1. ถาหากเขยนความสมพนธอยในรป y=…(ในเทอมx) ไดแบบเดยว จะเปนฟงกชนเสมอ
2. f x เปนคาฟงกชน ไมใชฟงกชน (ฟงกชนจะเขยน f ตวเดยว)
3. ถา f เปนฟงกชน เราสามารถเขยนสญลกษณ f x ... แทน y ... ได และสญลกษณ
f x ... จะมความหมายวาเปนฟงกชนดวย
15
3.3 ฟงกชนทควรรจก 1. ฟงกชนเชงเสน (Linear function) อยในรป y ax b
2. ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic function) อยในรป 2y ax bx c;a,b,c R;a 0
3. ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute function) อยในรป y x a c
4. ฟงกชนคาบนได (Step function) คอฟงกชนทเปนคาคงทเปนชวงๆ
5. ฟงกชนพหนาม (Polynomial function) อยในรป
n n 1n n 1 1 0f x a x a x ... a x a
โดยท n n 1 0a ,a ,...,a เปนคาคงท และ na 0
6. ฟงกชนตรรกยะ (Rational function) อยในรป
p xf x
q x เมอ p x ,q x เปน
ฟงกชนพหนาม
7. ฟงกชนรายคาบ (Periodic function) หมายถงฟงกชนทไมใชฟงกชนทไมใชคาคงท และ
f x p f x ส าหรบทกคา x และ x p อยใน fD
ตวอยาง ฟงกชนใดตอไปนเปนฟงกชนใด (ใน 7 ขอบน)
1. 4f x 3x 5x 1
2. 34x 5
f x2x 7
3. f x 2x 1
4. f x sinx
5. 2f x x 2x 7
6. f x x 4 5
7. x 4 ; x 2
f xx ; x 2
โอลมปก 40 จงหา f 2 เมอก าหนดใหฟงกชน 2f x ax bx c มคาสงสดเทากบ 15 และ
f 1 f 3 3
16
3.4 ฟงกชนเพม ฟงกชนลด (Increase, Decrease function) นยาม f เปนฟงกชนเพมบน A กตอเมอ ส าหรบทกๆ 1 2x , x ใดๆใน A ถา 1 2x x แลว
1 2f x f x
นยาม f เปนฟงกชนลดบน A กตอเมอ ส าหรบทกๆ 1 2x , x ใดๆใน A ถา 1 2x x แลว 1 2f x f x
ตวอยาง ฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเพม ฟงกชนลด หรอไมทง 2 อยาง
1. 1f 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5
2. 2f 1,1 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , 5,6
3. 3f 1,0 , 4,7 , 2,1 , 7,9 , 5,6
4. f x x 3
17
5. 2f x x 4x; x 2
6. 3 2f x x 3x 3x 4
7. f x x 3 4
8. f x 4 x
9. 2f x 4 x
18
10. 3f x x
11. 1
f xx
12.
2x ; x 0f x
x 2 ; x 0
NOTE
19
3.5 การหาคาฟงกชน ในกรณท f เปนฟงกชน เราสามารถแทน x, y f ไดดวย y f x
ตวอยาง ให f 1,2 , 3,4 2,7 , 8,5 จงหาคาของ
1. f 3
2. f 8
3. f f 1
4. f 4
5. ถา f x 5 แลว x =
ตวอยาง ให f x 2x 1 จงหาคาของ
1. f 4
2. f m
3. 2f x 4
ตวอยาง ให f 2x 1 10x 13 จงหาคาของ
1. f 3
2. f k
3. f x
4. 3f x 4
ตวอยาง ก าหนดให 2
5 x ; x 0f x
x 2x 3 ; x 0
คาของ f 3 f 0 มคาเทาไหร
20
ตวอยาง ก าหนดให 2 4 2f 3x 1 9x 6x 2 คาของ f 4 มคาเทาไหร
PAT1 ม.ค. 52 ก าหนดให f x 3x 1 และ
2
12
x , x 0g x
x , x 0
คาของ
1f g 2 g 8 เทากบขอใดตอไปน
1. 1 2
3
2.
1 2
3
3. 1 2
3
4.
1 2
3
PAT1 ม.ค. 54 ก าหนดให I เปนเซตของจ านวนเตม และให 4 2 2
5 2
x 2x a x 75f x
x b x 270
เมอa,b I
ถา A a,b I I f 3 0 และ 2 2B a,b I I a 2ab b 3
แลวจ านวนสมาชกของเซต A B เทากบเทาใด
21
3.6 ฟงกชนประกอบ (Composite function) นยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ f gR D ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย
gof คอฟงกชนทมโดเมน คอ gof f gD x D f x D และก าหนดคาโดย gof x g f x
ทกๆ gofx D
ตวอยาง ก าหนด f 1,3 , 2,5 , 3,7 และ g 2,3 , 3, 1 , 4, 1 , 5,1
จงหาคาของ
1. gof 1
2. gof 2
3. fog 2
4. gof
5. fog
ตวอยาง ก าหนดให 2f x 3x 1 และ 3g x x x จงหา
1. gof x
2. fog x
3. fogD
4. fogR
5. gofD
6. gofR
ตวอยาง ก าหนดให 2f x x x และ g 0,2 , 3,4 , 5,6 จงหา fog
22
สมาคม 47 ให f และ g เปนฟงกชน ซ ง f 3x 2 2x 3 และ
2
3
x ; x 0g x
x 1 ; x 0
ดงนน fog fogD R เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน
1. 4, 2 2. 3, 1 3. 2,0 4. 1,1
สมาคม 50 ถา f และ g เปนฟงกชน ซง 3f x x x และ 1 2gof x x แลว g x
เทากบขอใดตอไปน
1. 6 4 2x 2x x 2. 6 2x x
3. 5 3x 2x x 4. 5 3x x
23
3.7 พชคณตฟงกชน พชคณตฟงกชน คอการน าฟงกชนมาท าการบวก ลบ คณ หรอหารกน โดยผลลพธทไดจะยงเปน
ฟงกชนอย
f g f g
f g f g
f g f g
f g f g
f g x f x g x D D D
f g x f x g x D D D
f g x f x g x D D D
f f xx D D D และ x g x 0
g g x
ตวอยาง ให f 0,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 และ g 0,1 , 1,2 , 2,0 จงหา
1. f g
2. f g
3. f g
4. f
g
ตวอยาง ให 2x x 6
f xx
และ
1g x
x 2
ฟงกชนตอไปนและโดเมนของแตละขอ
1. f g x
f gD
2. f g x
f gD
3. f g x
f gD
4. f
xg
f
g
D
24
สมาคม 48 ก าหนดให f เปนฟงกชนทก าหนดโดย x 1
f xx 1
ทก x R 1, 1 แลว
11
1 1f f x
f f
มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 1 3. 1
x 1 4.
1
x 1
สมาคม 53 ถา f 1,3 , 2,4 , 3,1 , 5,2
g 1,2 , 2,3 , 4,1 , 5,4
และ h 2,4 , 3,1 , 4,2 , 5,1
แลว fog h เทากบขอใดตอปน
1. 2,5 , 4,5 2. 2,5 , 4,4
3. 2,3 , 4,5 4. 2,11 , 3,2 , 4,3 , 5,7
25
เอกสารอางอง
รศ.ดร. ณรงค ปนนม, กนกวล อษณกรกล, สมจตต ตณจนดา, รณชย มาเจรญทรพย, เรณ สทธวาร และ
จนดา อยเปนสข. คมอ-เตรยมสอบ ตรงตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544
คณตศาสตร รวม ม.4-5-6, หจก.ส านกพมพ ภมบณฑต, กรงเทพมหานคร, ม.ป.ป.
Tooru Yasuda. 100 โจทยคณต พชต Admission. แปลจาก Nyushi Suugaku Densetsuno Ryoumon
100 โดย ดร.อรรณพ เรองวเศษ. พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร: บรษท พมพดการพมพ จ ากด.
2551.
“Entrance Problem Book I for successful students”, กรงเทพมหานคร, Tutor Publisher, 2549.
ธระ ตรณานสษฐ, “เฉลยขอสอบคณตศาสตรทนเลาเรยนหลวงป 37-48”, Science Center, ม.ป.ป.
ฝายวชาการ พบซ, รวมโจทย ขอสอบเขามหาวทยาลย O-NET & A-NET, บรษท ส านกพมพ พบซ จ ากด,
กรงเทพมหานคร, ม.ป.ป.
“รวมขอสอบสมาคม Maths”, กรงเทพมหานคร, Tutor Publisher, 2552.
http://pratabong.com/P_web/math/math_m.6.htm
http://www.ocsc.go.th/ocsc/th/index.php?option=com_content&view=article&id=3187&catid
=59&Itemid=133
http://www.studyjapan.go.jp/en/toj/toj0308e.html