หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com...จะเร ยก J ว า จำนวนค (even number) ก ต อเม อ ม จ านวนเต ม G ซ

02 วธีิการพิสูจน์ ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ เราจ าเป็นต้องรู้โครงสร้างของวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยโครงสรา้งต่างๆ ดงันี้ ค ำอนิยำม (Undefined term) หมายถึง พจน์ที่ไม่สามารถให้ความหมายหรอืค าจ ากัดความได ้แต่เมือ่เหน็แลว้จะเขา้ใจตรงกนั ค ำนิยำม (Defined term) หมายถงึ พจน์ทีส่ามารถใหค้วามหมายหรอืค าจ ากดัความได้ สจัพจน์ (Axiom) หมายถงึ ขอ้ความทีย่อมรบัว่าเป็นจรงิโดยไมต่อ้งพสิจูน์ ทฤษฎีบท (Theorem) หมายถงึ ขอ้ความทีก่ าหนดขึน้มา และสามารถพสิจูน์ไดว้่าเป็นจรงิ ซึง่อาจจะเรยีกแตกต่างกนัได ้เช่น บทตัง้ (Lemma), บทแทรก (Corollary) เป็นตน้

ในบทนี้กล่าวถึงวธิกีารพิสูจน์ข้อความในรูปแบบต่างๆ ที่มกัจะพบในทฤษฎีบทของวิชาคณติศาสตร ์ซึง่จะน าไปใชเ้ป็นแนวทางในการพสิูจน์ทฤษฎบีทในบทต่อๆ ไป

2.1 กำรพิสจูน์ข้อควำมรปูแบบ 𝒑 ⇒ 𝒒

ทฤษฎบีทส่วนใหญ่ในวชิาคณติศาสตรจ์ะอยูใ่นรปูแบบ “ ถา้....แลว้....” ซึง่ในการพสิูจน์ขอ้ความในรปูแบบ 𝑝 ⇒ 𝑞 นี้ สามารถท าได ้3 วธิ ีดงันี้คอื

บทที่

30 ห ลั ก ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

∎ กำรพิสจูน์โดยตรง

จากขอ้ความ 𝑝 ⇒ 𝑞 จะมคี่าความจรงิเป็นเทจ็ในกรณีเดยีวเมื่อ 𝑝 เป็นจรงิ และ 𝑞 เป็นเทจ็ ดงันัน้ในการพสิูจน์ ข้อความ 𝑝 ⇒ 𝑞 เพยีงพอที่จะแสดงว่า เมื่อเราก าหนดให้ 𝑝 เป็นจรงิ จะต้องแสดงไดว้่า 𝑞 เป็นจรงิดว้ยเช่นกนั ส าหรบักรณทีี ่𝑝 เป็นเทจ็ ขอ้ความ 𝑝 ⇒ 𝑞 จะเป็นจรงิเสมอ

รปูแบบการพสิจูน์ สมมตวิ่า 𝑝 เป็นจรงิ จะตอ้งแสดงใหเ้หน็ว่า 𝑞 เป็นจรงิ

⋮ ดงันัน้ 𝑞

บทนิยำม 2.1.1 ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ จะเรยีก 𝑛 ว่า จ ำนวนคู่ (even number) กต่็อเมือ่ มจี านวนเตม็ 𝑘 ซึง่ 𝑛 = 2𝑘

และจะเรยีก 𝑛 ว่า จ ำนวนค่ี (odd number) กต่็อเมือ่ มจี านวนเตม็ 𝑘 ซึง่ 𝑛 = 2𝑘 + 1 นัน่คอื 𝑛 เป็นจ านวนคู่ ⇔ ∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑛 = 2𝑘 𝑛 เป็นจ านวนคี ่⇔ ∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑛 = 2𝑘 + 1

หมำยเหตุ ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้่า 𝑛 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 𝑛 ไมเ่ป็นจ านวนคู่

ทฤษฎีบท 2.1.1 ถา้ 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑚 + 𝑛 เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ จะมจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑙 ซึง่ 𝑚 = 2𝑘 และ 𝑛 = 2𝑙

นัน่คอื 𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 + 2𝑙 = 2(𝑘 + 𝑙)

ดงันัน้ 𝑚 + 𝑛 เป็นจ านวนคู่ ∎

ทฤษฎีบท 2.1.2 ถา้ 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑚 + 𝑛 เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่ จะมจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑙 ซึง่ 𝑚 = 2𝑘 + 1 และ

𝑛 = 2𝑙 + 1 นัน่คอื 𝑚 + 𝑛 = (2𝑘 + 1) + (2𝑙 + 1) = 2(𝑘 + 𝑙 + 1)

ดงันัน้ 𝑚 + 𝑛 เป็นจ านวนคู่ ∎

ตวัอย่ำง 2.1.1 เนื่องจาก − 5 = 2(−3) + 1 ดงันัน้ −5 เป็นจ านวนคี ่ และเนื่องจาก 8 = 2(4) ดงันัน้ 8 เป็นจ านวนคู่

วิ ธี ก า ร พิ สู จ น์ 31 ทฤษฎีบท 2.1.3 ถา้ 𝑚 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑚 + 𝑛 เป็นจ านวนคี ่พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑚 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่จะมจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑙 ซึง่ 𝑚 = 2𝑘 และ 𝑛 = 2𝑙 + 1 นัน่คอื

𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 + (2𝑙 + 1) = 2(𝑘 + 𝑙) + 1 ดงันัน้ 𝑚 + 𝑛 เป็นจ านวนคี ่ ∎

ทฤษฎีบท 2.1.4 ถา้ 𝑚 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑛 เป็นจ านวนเตม็ แลว้ 𝑚𝑛 เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑚 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑛 เป็นจ านวนเตม็ จะมจี านวนเตม็ 𝑘 ซึง่ 𝑚 = 2𝑘 นัน่คอื

𝑚𝑛 = (2𝑘)𝑛 = 2(𝑘𝑛) ดงันัน้ 𝑚𝑛 เป็นจ านวนคู่ ∎

บทแทรก 2.1.5 ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑛2 เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.4 จะไดว้่า 𝑛𝑛 = 𝑛2 เป็นจ านวนคู่ ∎

ทฤษฎีบท 2.1.6 ถา้ 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑚𝑛 เป็นจ านวนคี ่พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่จะมจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑙 ซึง่ 𝑚 = 2𝑘 + 1 และ

𝑛 = 2𝑙 + 1 นัน่คอื 𝑚𝑛 = (2𝑘 + 1)(2𝑙 + 1) = 4𝑘𝑙 + 2𝑘 + 2𝑙 + 1 = 2(2𝑘𝑙 + 𝑘 + 𝑙) + 1

ดงันัน้ 𝑚𝑛 เป็นจ านวนคี ่ ∎

บทแทรก 2.1.7 ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛2 เป็นจ านวนคี ่พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 เป็นจ านวนคี ่โดยทฤษฎบีท 2.1.6 จะไดว้่า 𝑛𝑛 = 𝑛2 เป็นจ านวนคี ่ ∎

ทฤษฎีบท 2.1.8 ให ้𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก ถา้ 𝑥 ≤ 𝑦 แลว้ √𝑥 ≤ √𝑦 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑥 ≤ 𝑦 เนื่องจาก

(√𝑥 − √𝑦)(√𝑥 + √𝑦) = √𝑥2 − √𝑦2 = 𝑥 − 𝑦 ≤ 0 และ √𝑥 + √𝑦 > 0 ดงันัน้ √𝑥 − √𝑦 ≤ 0 นัน่คอื √𝑥 ≤ √𝑦 ∎

ตวัอย่ำง 2.1.2 จงพสิจูน์ว่า ถา้ 𝑎 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑎2 + 7𝑎 + 5 เป็นจ านวนคี ่พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎 เป็นจ านวนคู่ โดยบทแทรก 2.1.5 จะไดว้่า 𝑎2 เป็นจ านวนคู่ เนื่องจาก 𝑎 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.4 จะไดว้่า 7𝑎 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.1 จะไดว้่า 𝑎2 + 7𝑎 เป็นจ านวนคู่ และโดยทฤษฎบีท 2.1.3 จะไดว้่า

𝑎2 + 7𝑎 + 5 เป็นจ านวนคี ่


ทฤษฎีบท 2.1.9 ถา้ 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก แลว้ 2√𝑥𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก เนื่องจาก 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)2 ดงันัน้

0 ≤ 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 บวกทัง้สองขา้งของอสมการดว้ย 4𝑥𝑦 จะไดว้่า

4𝑥𝑦 ≤ 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)2

โดยทฤษฎบีท 2.1.8 จะไดว้่า √4𝑥𝑦 ≤ √(𝑥 + 𝑦)2 ดงันัน้ 2√𝑥𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ∎

บทนิยำม 2.1.2 ให ้𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ โดยที ่𝑚 ≠ 0 จะกล่าวว่า 𝑚 หำร 𝑛 ลงตวั กต่็อเมือ่ มจี านวนเตม็ 𝑞 ซึง่ 𝑛 = 𝑚𝑞 เขยีนแทนดว้ย 𝑚|𝑛

และถา้ 𝑚 หาร 𝑛 ไมล่งตวั เราเขยีนแทนดว้ย 𝑚 ∤ 𝑛

ข้อตกลง ในการเขยีน 𝑚|𝑛 จะหมายถงึ 𝑚 และ 𝑛 เป็นจ านวนเตม็ และ 𝑚 ≠ 0

ทฤษฎีบท 2.1.10 ถา้ 𝑘|𝑚 และ 𝑚|𝑛 แลว้ 𝑘|𝑛 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑘|𝑚 และ 𝑚|𝑛 จะมจี านวนเตม็ 𝑥 และ 𝑦 ซึง่ 𝑚 = 𝑘𝑥 และ 𝑛 = 𝑚𝑦 นัน่คอื

𝑛 = 𝑚𝑦 = (𝑘𝑥)𝑦 = 𝑘(𝑥𝑦) ดงันัน้ 𝑘|𝑛 ∎

ทฤษฎีบท 2.1.11 ถา้ 𝑘|𝑚 และ 𝑘|𝑛 แลว้ 𝑘|(𝑚 + 𝑛) พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑘|𝑚 และ 𝑘|𝑛 จะมจี านวนเตม็ 𝑥 และ 𝑦 ซึง่ 𝑚 = 𝑘𝑥 และ 𝑛 = 𝑘𝑦 นัน่คอื

𝑚 + 𝑛 = 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 = 𝑘(𝑥 + 𝑦) ดงันัน้ 𝑘|(𝑚 + 𝑛) ∎

ทฤษฎีบท 2.1.12 ถา้ 𝑘|𝑚 และ 𝑘|𝑛 แลว้ ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ จะไดว้่า 𝑘|(𝑚𝑥 + 𝑛𝑦)

พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑘|𝑚 และ 𝑘|𝑛 จะมจี านวนเตม็ 𝑎 และ 𝑏 ซึง่ 𝑚 = 𝑘𝑎 และ 𝑛 = 𝑘𝑏 ให ้𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ จะไดว้่า

𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = (𝑘𝑎)𝑥 + (𝑘𝑏)𝑦 = 𝑘(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) ดงันัน้ 𝑘|(𝑚𝑥 + 𝑛𝑦) ∎

ตวัอย่ำง 2.1.3 เนื่องจาก 35 = 7(5) ดงันัน้ 7|35 และเนื่องจาก −24 = 6(−4) ดงันัน้ 6| − 24

วิ ธี ก า ร พิ สู จ น์ 33

∎ กำรพิสจูน์โดยกำรแย้งสลบัท่ี

จากกฎการแยง้สลบัที ่ 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 ดงันัน้ ในการพสิูจน์ขอ้ความ 𝑝 ⇒ 𝑞 เราอาจแสดง ~𝑞 ⇒ ~𝑝 แทนไดโ้ดยการสมมตวิ่า ~𝑞 เป็นจรงิ และแสดงใหไ้ดว้่า ~𝑝 เป็นจรงิ

รปูแบบการพสิจูน์ สมมตวิ่า ~𝑞 เป็นจรงิ จะตอ้งแสดงใหเ้หน็ว่า ~𝑝 เป็นจรงิ

⋮ ดงันัน้ ~𝑝

ทฤษฎีบท 2.1.13 ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ ถา้ 𝑛2 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 ไมเ่ป็นจ านวนคี ่ดงันัน้ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑛 = 2𝑘 นัน่คอื

𝑛2 = (2𝑘)2 = 4𝑘2 = 2(2𝑘2) ดงันัน้ 𝑛2 เป็นจ านวนคู่ ∎

ทฤษฎีบท 2.1.14 ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ ถา้ 𝑛2 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 ไมเ่ป็นจ านวนคู่ ดงันัน้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑛 = 2𝑘 + 1 นัน่คอื

𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2 + 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘2 + 2𝑘) + 1 ดงันัน้ 𝑛2 เป็นจ านวนคี ่ ∎

ตวัอย่ำง 2.1.4 จงพสิจูน์ว่า ถา้ 4|𝑚 และ 4|𝑛 แลว้ 16|(𝑚2 + 𝑛2) พิสจูน์ สมมตวิ่า 4|𝑚 และ 4|𝑛 จะมจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑙 ซึง่ 𝑚 = 4𝑘 และ 𝑛 = 4𝑙 นัน่คอื 𝑚2 + 𝑛2 = (4𝑘)2 + (4𝑙)2 = 16𝑘2 + 16𝑙2 = 16(𝑘2 + 𝑙2)

ดงันัน้ 16|(𝑚2 + 𝑛2)

ตวัอย่ำง 2.1.5 ให ้𝑥 เป็นจ านวนเตม็ จงพสิูจน์ว่า ถา้ 7𝑥 + 9 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑥 เป็นจ านวนคี ่

พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑥 ไมเ่ป็นจ านวนคี ่ดงันัน้ 𝑥 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑥 = 2𝑘 นัน่คอื 7𝑥 + 9 = 7(2𝑘) + 9 = 14𝑘 + 9 = 14𝑘 + 8 + 1 = 2(7𝑘 + 4) + 1

ดงันัน้ 7𝑥 + 9 เป็นจ านวนคี ่


∎ กำรพิสจูน์โดยข้อขดัแย้ง

ในการพสิูจน์ 𝑝 ⇒ 𝑞 โดยการหาขอ้ขดัแยง้ สามารถท าได้โดย สมมต ิ𝑝 และ ~𝑞 เป็นจรงิ ซึ่งต่อไปจะเกดิขอ้ความขดัแยง้ ดงันัน้ จะต้องมบีางอย่างที่สมมตไิว้ไม่เป็นจรงิ นัน่คอื 𝑝 หรอื ~𝑞

เป็นเทจ็

รปูแบบการพสิจูน์ สมมตวิ่า 𝑝 และ ~𝑞 เป็นจรงิ ⋮

เกดิขอ้ขดัแยง้

ดงันัน้ 𝑞 (หรอื ~𝑝)

ตวัอย่ำง 2.1.6 ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ จงพสิูจน์ว่า ถา้ 4 ∤ 𝑛2 แลว้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 ไมเ่ป็นจ านวนคี ่ดงันัน้ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑛 = 2𝑘 นัน่คอื

𝑛2 = (2𝑘)2 = 4𝑘2 ดงันัน้ 4|𝑛2

ตวัอย่ำง 2.1.7 ให ้𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิ จงพสิจูน์ว่า ถา้ 𝑦3 + 𝑦𝑥2 ≤ 𝑥3 + 𝑥𝑦2 แลว้ 𝑦 ≤ 𝑥

พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑦 ≰ 𝑥 ดงันัน้ 𝑦 > 𝑥 นัน่คอื 𝑦 − 𝑥 > 0 เนื่องจาก 𝑥2 + 𝑦2 > 0 จะไดว้่า (𝑦 − 𝑥)(𝑥2 + 𝑦2) > 0 นัน่คอื

𝑦𝑥2 + 𝑦3 − 𝑥3 − 𝑥𝑦2 > 0

ดงันัน้ 𝑦3 + 𝑦𝑥2 > 𝑥3 + 𝑥𝑦2

ตวัอย่ำง 2.1.8 ให ้𝑥 เป็นจ านวนจรงิ จงพสิูจน์ว่า ถา้ 3𝑥 + 1 > 10 แลว้ 5𝑥 − 1 ≠ 14 พิสจูน์ สมมตวิ่า 3𝑥 + 1 > 10 และ 5𝑥 − 1 = 14 เนื่องจาก 5𝑥 − 1 = 14 จะไดว้่า 𝑥 = 3 นัน่คอื 3𝑥 + 1 = 3(3) + 1 = 10 ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้กบัสมมตฐิาน 3𝑥 + 1 > 10 ดงันัน้ 5𝑥 − 1 ≠ 14

ตวัอย่ำง 2.1.9 ให ้𝑎 เป็นจ านวนเตม็ จงพสิูจน์ว่า ถา้ 𝑎2 + 4𝑎 + 7 เป็นจ านวนคู่แลว้ 𝑎 เป็นจ านวนคี ่

พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎2 + 4𝑎 + 7 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑎 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑎 = 2𝑘 นัน่คอื 𝑎2 + 4𝑎 + 7 = (2𝑘)2 + 4(2𝑘) + 7 = 4𝑘2 + 8𝑘 + 7 = 2(2𝑘2 + 4𝑘 + 3) + 1 ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้กบัสมมตฐิาน ดงันัน้ 𝑎 เป็นจ านวนคี ่


แบบฝึกหดั 2.1

1. จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้ โดยวธิกีารพสิจูน์โดยตรง 1) ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑛3 เป็นจ านวนคู่ 2) ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛3 เป็นจ านวนคี ่3) ถา้ 𝑎 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑎2 + 3𝑎 + 5 เป็นจ านวนคี ่4) ถา้ 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑥𝑦 เป็นจ านวนคี ่5) ถา้ 𝑥 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑦 เป็นจ านวนเตม็ แลว้ 𝑥𝑦 เป็นจ านวนคู่ 6) ถา้ 𝑎|𝑏 แลว้ 𝑎2|𝑏2 7) ถา้ 5|2𝑎 แลว้ 5|𝑎

8) ถา้ 7|4𝑎 แลว้ 7|𝑎 9) ถา้ 𝑎|𝑏 แลว้ 𝑎|(3𝑏3 − 𝑏2 + 5𝑏)

10) ถา้ 𝑎|𝑏 และ 𝑐|𝑑 แลว้ 𝑎𝑐|𝑏𝑑

2. จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้ โดยวธิกีารพสิจูน์โดยการแยง้สลบัที่ 1) ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ ถา้ 𝑛3 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑛 เป็นจ านวนคู่ 2) ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ ถา้ 𝑛3 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่3) ให ้𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ถา้ 𝑎2(𝑏2 − 2𝑏) เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนคี ่ 4) ให ้𝑥 ∈ ℝ ถา้ 2𝑥3 + 2𝑥 < 0 แลว้ 𝑥 < 0 5) ให ้𝑥 ∈ ℝ ถา้ 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 2 > 0 แลว้ 𝑥 > −1 6) ให ้𝑥 ∈ ℝ ถา้ 𝑥5 + 7𝑥3 + 5𝑥 ≥ 𝑥4 + 𝑥2 + 8 แลว้ 𝑥 ≥ 0 7) ให ้𝑎 เป็นจ านวนเตม็ ถา้ 8 ∤ 𝑎2 แลว้ 4 ∤ 𝑎 8) ให ้𝑥 ∈ ℝ ถา้ 𝑥5 − 4𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 4 ≥ 0 แลว้ 𝑥 ≥ 0

ตวัอย่ำง 2.1.10 จงพสิจูน์ว่า ถา้ 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก แลว้ 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥𝑦 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก และ 𝑥 + 𝑦 < 2√𝑥𝑦 ยกก าลงัสองทัง้สองขา้งของอสมการ จะไดว้่า 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 < 4𝑥𝑦 นัน่คอื 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 < 0

(𝑥 − 𝑦)2 < 0 ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้

ดงันัน้ 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥𝑦


9) ให ้𝑛 ∈ ℤ ถา้ 3 ∤ 𝑛2 แลว้ 3 ∤ 𝑛 10) ให ้𝑥, 𝑦 ∈ ℤ ถา้ 𝑥2(2𝑦 + 3) เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑥 เป็นจ านวนคู่

3. จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้ โดยวธิกีารพสิจูน์ขอ้ขดัแยง้ 1) ให ้𝑥 ∈ ℤ ถา้ 𝑥3 − 1 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑥 เป็นจ านวนคี ่2) ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛3 เป็นจ านวนคี ่3) ถา้ 𝑛3 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่4) ถา้ 𝑥 ∈ ℝ และ 0 < 𝑥 < 4 แลว้ 4

𝑥(4−𝑥) ≥ 1 5) ถา้ 𝑛 ∈ ℤ แลว้ 5𝑛2 + 3𝑛 + 7 เป็นจ านวนคี ่6) ถา้ 𝑛 ∈ ℤ แลว้ 𝑛2 + 3𝑛 + 4 เป็นจ านวนคู่ 7) ให ้𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก ถา้ 𝑥 < 𝑦 แลว้ 𝑥2 < 𝑦2 8) ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 8|(𝑛2 − 1) 9) ถา้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนเตม็ แลว้ 𝑎2 − 4𝑏 − 2 ≠ 0 10) ถา้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนเตม็ แลว้ 𝑎2 − 4𝑏 − 3 ≠ 0

วิ ธี ก า ร พิ สู จ น์ 37 2.2 การพิสจูน์ข้อความรปูแบบ 𝒑 ⇔ 𝒒

เนื่องจาก 𝑝 ⇔ 𝑞 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) ดงันัน้การพสิจูน์ขอ้ความ 𝑝 ⇔ 𝑞 จะตอ้งแสดง

2 ขัน้ตอน คอื (1) 𝑝 ⇒ 𝑞 ซึง่เรยีกขัน้ตอนนี้ว่า 𝒑 เป็นเง่ือนไขท่ีเพียงพอ (sufficiency) ส าหรบั 𝒒

(2) 𝑞 ⇒ 𝑝 ซึง่เรยีกขัน้ตอนนี้ว่า 𝒒 เป็นเง่ือนไขท่ีจ าเป็น (necessary) ส าหรบั 𝒑

ข้อสงัเกต จากการพสิูจน์ในตวัอยา่ง 2.2.2 จะเหน็ว่าในการพสิูจน์ 𝑝 ⇒ 𝑞 ใชว้ธิกีารพสิจูน์โดยตรงแต่ในการพสิูจน์ 𝑞 ⇒ 𝑝 เราใชว้ธิกีารพสิจูน์โดยการแยง้สลบัที่

บทนิยาม 2.2.1 จะเรยีกจ านวนจรงิ 𝑟 ว่าเป็น จ านวนตรรกยะ (rational number) กต่็อเมือ่ มจี านวนเตม็ 𝑎 และ 𝑏 ซึง่ 𝑟 = 𝑎𝑏 เมือ่ 𝑏 ≠ 0 และเรยีกจ านวนจรงิทีไ่มเ่ป็นจ านวน

ตรรกยะว่าเป็น จ านวนอตรรกยะ (irrational number)

ตวัอย่าง 2.2.1 ให ้𝑎 เป็นจ านวนเตม็ จงพสิูจน์ว่า 4|𝑎2 กต่็อเมือ่ 𝑎 เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์(⇒) สมมตวิ่า 4|𝑎2 จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑎2 = 4𝑘 จะไดว้่า 𝑎2 = 2(2𝑘) ดงันัน้ 𝑎2 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.14 จะไดว้่า 𝑎 เป็นจ านวนคู่ (⇐) สมมตวิ่า 𝑎 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑎 = 2𝑘 ดงันัน้

𝑎2 = 4𝑘2

นัน่คอื 4 หาร 𝑎2 ลงตวั

ตวัอย่าง 2.2.2 ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ จงพสิูจน์ว่า 𝑛 + 2 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 𝑛3 เป็นจ านวนคี ่ พิสจูน์(⇒) สมมตวิ่า 𝑛 + 2 เป็นจ านวนคี ่จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑛 + 2 = 2𝑘 + 1 ดงันัน้ 𝑛 = 2𝑘 − 1 นัน่คอื 𝑛3 = (2𝑘 − 1)3 = 8𝑘3 − 12𝑘2 + 6𝑘 − 1 = 2(4𝑘3 − 6𝑘2 + 3𝑘 − 1) + 1 ดงันัน้ 𝑛3 เป็นจ านวนคี ่ (⇐) สมมตวิ่า 𝑛 + 2 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑛 + 2 = 2𝑘 จะไดว้่า 𝑛 = 2(𝑘 − 1) นัน่คอื

𝑛3 = 8(𝑘 − 1)3 = 2[4(𝑘 − 1)3]

ดงันัน้ 𝑛3 เป็นจ านวนคู่


ทฤษฎีบท 2.2.1 ให ้𝑎 เป็นจ านวนตรรกยะ จะไดว้่า 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ กต่็อเมือ่ 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ พิสจูน์ เนื่องจาก 𝑎 เป็นจ านวนตรรกยะ ดงันัน้ 𝑎 = 𝑚

𝑛 เมือ่ 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ และ 𝑛 ≠ 0 (⇒) สมมตวิ่า 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ จะม ี𝑘, 𝑙 ∈ ℤ และ 𝑙 ≠ 0 ซึง่ 𝑎 + 𝑏 = 𝑘

𝑙 จะไดว้่า

𝑏 =𝑘𝑙 − 𝑎 =

𝑘𝑙 −

𝑚𝑛 =

𝑘𝑛 −𝑚𝑙𝑙𝑛

ดงันัน้ 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ (⇐) สมมตวิ่า 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ นัน่คอื 𝑏 = 𝑘

𝑙 เมือ่ 𝑘, 𝑙 ∈ ℤ และ 𝑙 ≠ 0 จะไดว้่า 𝑎 + 𝑏 =

𝑚𝑛 +

𝑘𝑙 =

𝑚𝑙 + 𝑘𝑛𝑛𝑙

ดงันัน้ 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ ∎

ทฤษฎีบท 2.2.2 ให ้𝑎 เป็นจ านวนตรรกยะ และ 𝑎 ≠ 0 จะไดว้่า 𝑎𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ กต่็อเมือ่ 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ พิสจูน์ เนื่องจาก 𝑎 เป็นจ านวนตรรกยะและ 𝑎 ≠ 0 ดงันัน้ จะม ี𝑚, 𝑛 ∈ ℤ,𝑚 ≠ 0 และ 𝑛 ≠ 0 ซึง่ 𝑎 = 𝑚

𝑛

(⇒) สมมตวิ่า 𝑎𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ จะม ี𝑘, 𝑙 ∈ ℤ และ 𝑙 ≠ 0 ซึง่ 𝑎𝑏 = 𝑘𝑙 จะไดว้่า

𝑏 =1𝑎 (𝑎𝑏) = (

𝑛𝑚) (

𝑘𝑙 ) =

𝑛𝑘𝑚𝑙

ดงันัน้ 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ (⇐) สมมตวิ่า 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ นัน่คอื 𝑏 = 𝑘

𝑙 เมือ่ 𝑘, 𝑙 ∈ ℤ และ 𝑙 ≠ 0 จะไดว้่า 𝑎𝑏 = (

𝑚𝑛) (

𝑘𝑙 ) =

𝑚𝑘𝑛𝑙

ดงันัน้ 𝑎𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ ∎

วิ ธี ก า ร พิ สู จ น์ 39 แบบฝึกหดั 2.2

จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้ 1) ให ้𝑛 ∈ ℤ จะไดว้่า 𝑛 เป็นจ านวนคู่ กต่็อเมือ่ 3𝑛2 + 5 เป็นจ านวนคี ่2) ให ้𝑛 ∈ ℤ จะไดว้่า 3𝑛 + 5 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 5𝑛2 + 8 เป็นจ านวนคู่ 3) ให ้𝑎 ∈ ℤ จะไดว้่า 𝑎 เป็นจ านวนคู่ กต่็อเมือ่ 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎 เป็นจ านวนคู่ 4) ให ้𝑎 ∈ ℤ จะไดว้่า 7𝑎 + 5 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 𝑎2 + 4𝑎 + 5 เป็นจ านวนคี ่5) ให ้𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ จะไดว้่า 𝑎|𝑏 กต่็อเมือ่ 𝑎𝑐|𝑏𝑐 โดยที ่𝑐 ≠ 0

6) ให ้𝑎, 𝑏 ∈ ℤ และ 𝑎|𝑏 จะไดว้่า 𝑏|𝑎 กต่็อเมือ่ 𝑎 = ±𝑏 7) ให ้𝑎 เป็นจ านวนคู่ จะไดว้่า 7|𝑎 กต่็อเมือ่ 14|𝑎 8) ให ้𝑎 ∈ ℤ จะไดว้่า 8 ∤ 𝑎3 กต่็อเมือ่ 𝑎 เป็นจ านวนคี ่9) ให ้𝑎 ∈ ℤ+ จะไดว้่า 𝑎2|𝑎 กต่็อเมือ่ 𝑎 = 1

10) ให ้𝑛 ∈ ℤ จะไดว้่า 3|(𝑛 + 15) กต่็อเมือ่ 3|(4𝑛 + 9)

11) ให ้𝑛 ∈ ℤ จะไดว้่า 7|(3𝑛 + 1) กต่็อเมือ่ 7|(13 − 3𝑛)


2.3 การพิสจูน์ข้อความรปูแบบ 𝒑 ⇒ (𝒒 ∨ 𝒓)

ในการพสิูจน์ขอ้ความรูปแบบ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑟) เริม่ต้นการพสิูจน์ เราจะต้องสมมต ิ𝑝 เป็นจรงิและแสดงใหไ้ดว้่า 𝑞 ∨ 𝑟 เป็นจรงิ ดงันัน้ ถา้ 𝑞 เป็นจรงิ หรอื 𝑟 เป็นจรงิ จะไดว้่า 𝑞 ∨ 𝑟 เป็นจรงิตามต้องการ โดยไม่เสียนัย (without loss of generality) เราจะสมมติว่า 𝑞 เป็นเท็จ ดงันัน้ ต้องพสิจูน์ใหไ้ดว้่า 𝑟 เป็นจรงิ รปูแบบการพสิจูน์ สมมตวิ่า 𝑝 และ ~𝑞 เป็นจรงิ จะตอ้งแสดงใหเ้หน็ว่า 𝑟 เป็นจรงิ

⋮ ดงันัน้ 𝑟

ทฤษฎีบท 2.3.1 ให ้𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ถา้ 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑎 หรอื 𝑏 เป็นจ านวนคี ่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนคี ่และ 𝑎 เป็นจ านวนคู่ จะตอ้งแสดงว่า 𝑏 เป็นจ านวนคี ่ดงันัน้ จะม ี𝑘, 𝑙 ∈ ℤ ซึง่ 𝑎 + 𝑏 = 2𝑘 + 1 และ 𝑎 = 2𝑙 นัน่คอื จะไดว้่า

𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 = 2𝑘 + 1 − 2𝑙 = 2(𝑘 − 𝑙) + 1 ดงันัน้ 𝑏 เป็นจ านวนคี ่ ∎

ทฤษฎีบท 2.3.2 ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนเตม็ แลว้ 4|𝑛2 หรอื 4|(𝑛2 − 1) พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 เป็นจ านวนเตม็ และ 4 ∤ 𝑛2 จะตอ้งแสดงว่า 4|(𝑛2 − 1) จากตวัอยา่ง 2.1.6 จะไดว้่า 𝑛 เป็นจ านวนคี ่ดงันัน้ จะม ี𝑙 ∈ ℤ ซึง่ 𝑛 = 2𝑙 + 1 นัน่คอื

𝑛2 = (2𝑙 + 1)2 = 4𝑙2 + 4𝑙 + 1 = 4(𝑙2 + 𝑙) + 1 ดงันัน้ 𝑛2 − 1 = 4(𝑙2 + 1) นัน่คอื 4|(𝑛2 − 1) ∎

ทฤษฎีบท 2.3.3 ให ้𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ถา้ 𝑎𝑏 = 0 แลว้ 𝑎 = 0 หรอื 𝑏 = 0 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎𝑏 = 0 และ 𝑎 ≠ 0 จะตอ้งแสดงว่า 𝑏 = 0

𝑏 = 1𝑏 = (1𝑎 𝑎) 𝑏 =

1𝑎

(𝑎𝑏) =1𝑎

(0) = 0

ดงันัน้ 𝑏 = 0 ∎


2.4 การพิสจูน์ข้อความรปูแบบ (𝒑 ∨ 𝒒) ⇒ 𝒓

ในกรณีทีข่อ้ความทีต่้องการพสิูจน์อยู่ในรปูแบบ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟 สามารถท าไดโ้ดยใช้รปูแบบสมมูลของประพจน์ คือ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) ดงันัน้ การพิสูจน์ข้อความรูปแบบ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟 นี้จะต้องพสิูจน์ 2 ขัน้ตอน คอื 𝑝 ⇒ 𝑟 และ 𝑞 ⇒ 𝑟 ซึง่เราเรยีกการพสิูจน์รปูแบบนี้ว่า การพิสจูน์โดยการแจงกรณี (Proof by cases) รปูแบบการพสิจูน์

กรณทีี ่1 สมมตวิ่า 𝑝 เป็นจรงิ ⋮ 𝑟 เป็นจรงิ กรณทีี ่2 สมมตวิ่า 𝑞 เป็นจรงิ ⋮ 𝑟 เป็นจรงิ

ดงันัน้ 𝑟 จรงิทุกกรณี

ต่อไปจะกล่าวถงึทฤษฎบีทขัน้ตอนวธิกีารหารส าหรบัจ านวนเตม็ดงันี้

ทฤษฎีบทขัน้ตอนวิธีการหาร ส าหรบัจ านวนเตม็ 𝑚 และ 𝑛 โดยที ่𝑚 > 0 จะมจี านวนเตม็ 𝑞 และ 𝑟 เพยีงชุดเดยีวเท่านัน้ ซึง่

𝑛 = 𝑚𝑞 + 𝑟 โดยที ่ 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑚 − 1 เราเรยีก 𝑞 ว่าผลหาร (quotient) และเรยีก 𝑟 ว่าเศษ (remainder) จากการหาร 𝑛 ดว้ย 𝑚

หมายเหตุ ถา้ 𝑟 = 0 จะไดว้่า 𝑛 = 𝑚𝑞 นัน่คอื 𝑚|𝑛

ตวัอย่าง 2.4.1 ให ้𝑎 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ จงแสดงว่า 3|𝑎(𝑎2 + 2) พิสจูน์ ให ้𝑎 เป็นจ านวนเตม็ โดยทฤษฎบีทขัน้ตอนวธิกีารหาร มจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑟 ซึง่

𝑎 = 3𝑘 + 𝑟 โดยที ่ 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 กรณทีี ่1 𝑟 = 0 จะไดว้่า 𝑎 = 3𝑘 ดงันัน้ 𝑎(𝑎2 + 2) = 3𝑘(𝑎2 + 2) กรณทีี ่2 𝑟 = 1 จะไดว้่า 𝑎 = 3𝑘 + 1 ดงันัน้

𝑎(𝑎2 + 2) = 𝑎(9𝑘2 + 6𝑘 + 1 + 2) = 3𝑎(3𝑘2 + 2𝑘 + 1) กรณทีี ่3 𝑟 = 2 จะไดว้่า 𝑎 = 3𝑘 + 2 ดงันัน้

𝑎(𝑎2 + 2) = 𝑎(9𝑘2 + 12𝑘 + 4 + 2) = 3𝑎(3𝑘2 + 4𝑘 + 2)

ดงันัน้ 3|𝑎(𝑎2 + 2)


ตวัอย่าง 2.4.2 ให ้𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนเตม็ จงแสดงว่า ถา้ 𝑎𝑏 เป็นจ านวนคี ่ แลว้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนคี ่ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎𝑏 เป็นจ านวนคี ่

กรณทีี ่1 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.4 จะไดว้่า 𝑎𝑏 เป็นจ านวนคู่ ซึง่ เกดิขอ้ขดัแยง้ กรณทีี ่2 𝑎 เป็นจ านวนคี ่และ 𝑏 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.4 จะไดว้่า 𝑎𝑏 เป็น

จ านวนคู่ ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้ กรณทีี ่3 𝑎 เป็นจ านวนคู่ และ 𝑏 เป็นจ านวนคี ่โดยทฤษฎบีท 2.1.4 จะไดว้่า 𝑎𝑏 เป็น

จ านวนคู่ ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้

ดงันัน้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนคี ่

ตวัอย่าง 2.4.3 จงแสดงว่า ถา้ 𝑛 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 𝑛2 จะอยูใ่นรปูแบบของ 8𝑘 + 1 เมือ่ 𝑘 ∈ ℤ พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑛 เป็นจ านวนคี ่ดงันัน้ โดยทฤษฎบีทขัน้ตอนวธิกีารหาร จะม ี𝑘, 𝑟 ∈ ℤ ซึง่

𝑛 = 4𝑘 + 𝑟 โดยที ่ 0 ≤ 𝑟 ≤ 3 กรณทีี ่1 𝑟 = 0 จะไดว้่า 𝑛 = 4𝑘 ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้กบัสมมตฐิาน กรณทีี ่2 𝑟 = 1 จะไดว้่า 𝑛 = 4𝑘 + 1 ดงันัน้

𝑛2 = (4𝑘 + 1)2 = 16𝑘2 + 8𝑘 + 1 = 8(2𝑘2 + 𝑘) + 1 กรณทีี ่3 𝑟 = 2 จะไดว้่า 𝑛 = 4𝑘 + 2 = 2(2𝑘 + 1) ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้กบัสมมตฐิาน กรณทีี ่4 𝑟 = 3 จะไดว้่า 𝑛 = 4𝑘 + 3 ดงันัน้

𝑛2 = (4𝑘 + 3)2 = 16𝑘2 + 24𝑘 + 9 = 8(2𝑘2 + 3𝑘 + 1) + 1

ดงันัน้ 𝑛2 จะอยูใ่นรปูแบบของ 8𝑘 + 1

ตวัอย่าง 2.4.4 จงพสิจูน์ว่า ส าหรบัจ านวนเตม็ 𝑛 ใดๆ จะไดว้่า 3|(𝑛3 − 𝑛) พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนเตม็ โดยทฤษฎบีทขัน้ตอนวธิกีารหาร จะม ี𝑘, 𝑟 ∈ ℤ ซึง่

𝑛 = 3𝑘 + 𝑟 โดยที ่ 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 กรณทีี ่1 𝑟 = 0 จะไดว้่า 𝑛 = 3𝑘 ดงันัน้

𝑛3 − 𝑛 = 𝑛(𝑛2 − 1) = 3𝑘(𝑛2 − 1) กรณทีี ่2 𝑟 = 1 จะไดว้่า 𝑛 = 3𝑘 + 1 ดงันัน้

𝑛3 − 𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(3𝑘 + 1 − 1) = 3𝑘(𝑛2 + 𝑛) กรณทีี ่3 𝑟 = 2 ดงันัน้ 𝑛 = 3𝑘 + 2 จะไดว้่า

𝑛3 − 𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 − 1)(3𝑘 + 2 + 1) = 3(𝑘 + 1)(𝑛2 − 𝑛)

ดงันัน้ 3|(𝑛3 − 𝑛)


2.5 การพิสจูน์ข้อความรปูแบบ 𝒑 ⇒ (𝒒 ∧ 𝒓)

ในการพสิูจน์ขอ้ความรปูแบบ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) เราจะใชส้มมลูของประพจน์ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) กบั (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ⇒ 𝑟)ดงันัน้ ในการพสิจูน์ขอ้ความรปูแบบ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) จงึตอ้งพสิจูน์ 2 ตอน คอื 𝑝 ⇒ 𝑞 และ 𝑝 ⇒ 𝑟

รปูแบบการพสิจูน์ สมมตวิ่า 𝑝 เป็นจรงิ จะตอ้งแสดงใหเ้หน็ว่า 𝑞 เป็นจรงิและ 𝑟 เป็นจรงิ

⋮ ดงันัน้ 𝑞 ∧ 𝑟

2.6 การพิสจูน์โดยวิธีขดัแย้ง

ในการจะพสิูจน์ว่าขอ้ความ 𝑝 จะเป็นจรงิ เราสามารถท าได้โดยการหาขอ้ขดัแยง้ กล่าวคอื เราจะสมมตวิ่า ~𝑝 เป็นจรงิ นัน่คอื สมมตวิ่า 𝑝 เป็นเทจ็ ซึง่จะน าไปสู่ขอ้ขดัแยง้ ดงันัน้เราสรุปไดว้่า 𝑝 เป็นจรงิ

ตวัอย่าง 2.5.1 จงพสิจูน์ว่า ถา้ 𝑎 เป็นจ านวนคู่ แลว้ 𝑎2 หารดว้ย 4 ลงตวั และ 𝑎2 เป็นจ านวนคู่

พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎 เป็นจ านวนคู่ จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑎 = 2𝑘 ดงันัน้ 𝑎2 = (2𝑘)2 = 4𝑘2 = 2(2𝑘2)

นี้แสดงว่า 4|𝑎2 และ 𝑎2 เป็นจ านวนคู่

ตวัอย่าง 2.5.2 ให ้𝑎 เป็นจ านวนเตม็ ถา้ 10|𝑎 แลว้ 5|𝑎 และ 2|𝑎 พิสจูน์ สมมตวิ่า 10|𝑎 จะม ี𝑘 ∈ ℤ ซึง่ 𝑎 = 10𝑘 ดงันัน้

𝑎 = 5(2𝑘) และ 𝑎 = 2(5𝑘) นัน่คอื 5|𝑎 และ 2|𝑎

ตวัอย่าง 2.6.1 ให ้𝑎 เป็นจ านวนคู่ จงพสิูจน์ว่า 4 ∤ (𝑎2 + 3) พิสจูน์ สมมตวิ่า 4|(𝑎2 + 3) จะมจี านวนเตม็ 𝑘 ซึง่ 𝑎2 + 3 = 4𝑘 จะไดว้่า

𝑎2 = 4𝑘 − 3 = 2(2𝑘 − 2) + 1 นัน่คอื 𝑎2 เป็นจ านวนคี ่โดยทฤษฎบีท 2.1.13 จะไดว้่า 𝑎 เป็นจ านวนคี ่ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้

ดงันัน้ 4 ∤ (𝑎2 + 3)


2.7 การพิสจูน์ข้อความการมีอยู่จริง

การพสิูจน์ขอ้ความการมอียู่จรงิ มกัจะเขยีนในรปูแบบ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) ซึง่แทนขอ้ความว่า “ ม ี𝑥 ในเอกภพสมัพทัธ ์ซึง่ท ำให ้𝑃(𝑥) เป็นจรงิ ”

การพสิจูน์ในลกัษณะน้ีจะตอ้งเลอืกสมาชกิในเอกภพสมัพทัธท์ีก่ าหนดใหท้ีม่สีมบตั ิ𝑃(𝑥)

ตวัอย่าง 2.6.2 จงพสิจูน์ว่า √2 เป็นจ านวนอตรรกยะ พิสจูน์ สมมตวิ่า √2 เป็นจ านวนตรรกยะ จะมจี านวนเตม็ 𝑎 และ 𝑏 ซึง่ √2 = 𝑎

𝑏 เมือ่ 𝑏 ≠ 0 และตวัหารรว่มมากของ 𝑎 และ 𝑏 เท่ากบั 1 ดงันัน้ 2 = (𝑎

𝑏)2

= 𝑎2

𝑏2 นัน่คอื 2𝑏2 = 𝑎2

นี้แสดงว่า 𝑎2 เป็นจ านวนคู่ โดยทฤษฎบีท 2.1.14 จะไดว้่า 𝑎 เป็นจ านวนคู่ ดงันัน้ จะมจี านวนเตม็ 𝑘 ซึง่ 𝑎 = 2𝑘 จะไดว้่า 𝑎2 = (2𝑘)2 = 4𝑘2 นัน่คอื 2𝑏2 = 4𝑘2 หรอื𝑏2 = 2𝑘2 ท านองเดยีวกนั จะไดว้่า 𝑏 เป็นจ านวนคู่ ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้กบัตวัหารรว่มมากของ

𝑎 และ 𝑏 เท่ากบั 1

ดงันัน้ √2 เป็นจ านวนอตรรกยะ

ตวัอย่าง 2.6.3 จงพสิจูน์ว่า ผลบวกของจ านวนตรรกยะกบัจ านวนอตรรกยะ เป็นจ านวนอตรรกยะ

พิสจูน์ ให ้𝑎 เป็นจ านวนตรรกยะและ 𝑏 เป็นจ านวนอตรรกยะ ดงันัน้ 𝑎 = 𝑛𝑚 เมือ่ 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ

และ 𝑚 ≠ 0 สมมตวิ่า 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ ดงันัน้ 𝑎 + 𝑏 = 𝑐

𝑑 เมือ่ 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ และ 𝑑 ≠ 0 จะไดว้่า

𝑏 =𝑐𝑑 −

𝑛𝑚 =

𝑐𝑚 − 𝑛𝑑𝑑𝑚

ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้กบัสมมตฐิาน ดงันัน้ 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนอตรรกยะ

ตวัอย่าง 2.7.1 ให ้𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ จงพสิูจน์ว่า ถา้ 𝑎 < 𝑏 แลว้ จะมจี านวนตรรกยะ 𝑟 ซึง่ 𝑎 < 𝑟 < 𝑏

พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ โดยที ่𝑎 < 𝑏 โดยทฤษฎบีท 2.2.1 จะไดว้่า 𝑎 + 𝑏 เป็นจ านวนตรรกยะ และโดยทฤษฎบีท 2.2.2 จะไดว้่า 12 (𝑎 + 𝑏) เป็นจ านวนตรรกยะ เลอืก 𝑟 = 1

2 (𝑎 + 𝑏) ดงันัน้ 𝑎 < 𝑟 < 𝑏


2.8 การพิสจูน์การมีได้เพียงหน่ึงเดียว

ทฤษฎบีทในทางคณติศาสตร ์ถา้ตอ้งการเน้นถงึการม ี 𝑥 ในเอกภพสมัพทัธเ์พยีงตวัเดยีว ทีม่สีมบตั ิ𝑃(𝑥) จงึมคีวามหมายเดยีวกบั

∃𝑥, 𝑃(𝑥) ∧ [∀𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥) ∧ 𝑃(𝑦) ⇒ 𝑥 = 𝑦]

ซึง่เราเขยีนแทนดว้ยสญัลกัษณ์ ∃! 𝑥, 𝑃(𝑥) ในการพสิูจน์ขอ้ความการมไีดเ้พยีงหนึ่งเดยีว จะตอ้งท า 2 ขัน้ตอนคอื (1) พสิจูน์ว่า ∃𝑥, 𝑃(𝑥) เป็นจรงิ (2) พสิจูน์ว่า ส าหรบั 𝑥, 𝑦 ใดๆ ในเอกภพสมัพทัธ ์ ถา้ 𝑃(𝑥) และ 𝑃(𝑦) เป็นจรงิ แลว้ จะตอ้งแสดงใหเ้หน็ว่า 𝑥 = 𝑦

ตวัอย่าง 2.7.2 จงแสดงว่า มจี านวนจรงิบวก 𝑥 ซึง่ 𝑥2 < √𝑥

พิสจูน์ เลอืก 𝑥 = 14 จะไดว้่า 𝑥2 = 1

16 และ √𝑥 = √14 = 1

2 ดงันัน้ 𝑥2 < √𝑥

ตวัอย่าง 2.7.3 จงแสดงว่า มจี านวนนบั 𝑛 ซึง่ 11|(2𝑛 − 1) พิสจูน์ เลอืก 𝑛 = 10 จะไดว้่า 2𝑛 − 1 = 210 − 1 = 1,023 = 11(93) ดงันัน้ 11|(210 − 1)

ตวัอย่าง 2.7.4 จงแสดงว่า มจี านวนอตรรกยะเป็นค าตอบของสมการ 𝑥3 − 5𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0

พิสจูน์ เนื่องจาก 𝑥3 − 5𝑥2 + 5𝑥 + 3 = (𝑥 − 3)(𝑥2 − 2𝑥 − 1) = (𝑥 − 3) [(𝑥 − 1)2 − √2

2]

= (𝑥 − 3)(𝑥 − 1 − √2)(𝑥 − 1 + √2) โดยตวัอยา่ง 2.6.2 จะไดว้่า √2 เป็นจ านวนอตรรกยะ และโดยตวัอยา่ง 2.6.3 จะไดว้่า 1 + √2

เป็นจ านวนอตรรกยะ เลอืก 𝑥 = 1 + √2 จะไดว้่า 𝑥3 − 5𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0


แบบฝึกหดั 2.3 จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้ เมือ่ก าหนดให ้𝑥, 𝑦 ∈ ℝ และ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ

1) 𝑎 เป็นจ านวนคู่ กต่็อเมือ่ 7𝑎2 + 5 เป็นจ านวนคี ่ 2) 𝑎 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 5𝑎2 + 4 เป็นจ านวนคี ่ 3) 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 𝑎 + 5 เป็นจ านวนคู่ 4) 𝑎2 + 4𝑎 + 5 เป็นจ านวนคี ่กต่็อเมือ่ 𝑎 เป็นจ านวนคู่ 5) ถา้ 𝑎 เป็นจ านวนนบั 2 และ 3 หาร 𝑎 ไมล่งตวั แลว้ 24| (𝑎2 − 1)

6) ถา้ 𝑎 เป็นจ านวนนบั แลว้ 4|[1 + (−1)𝑎(2𝑎 − 1)]

7) ถา้ 𝑎|𝑏 และ 𝑎|(𝑏2 − 𝑐) แลว้ 𝑎|𝑐

ตวัอย่าง 2.8.1 ให ้𝑥 เป็นจ านวนจรงิใดๆ จงพสิจูน์ว่า มจี านวนจรงิ 𝑦 เพยีงจ านวนเดยีว ซึง่ 𝑥 + 𝑦 = 0

พิสจูน์ เลอืก 𝑦 = −𝑥 ดงันัน้ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิ และ 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + (−𝑥) = 0

สมมตวิ่า 𝑦 และ 𝑧 เป็นจ านวนจรงิ ซึง่ 𝑥 + 𝑦 = 0 และ 𝑥 + 𝑧 = 0 ดงันัน้ 𝑦 = 𝑦 + 0 = 𝑦 + (𝑥 + 𝑧) = (𝑦 + 𝑥) + 𝑧 = 0 + 𝑧 = 𝑧

นี้แสดงว่า จะมจี านวนจรงิ 𝑦 เพยีงจ านวนเดยีว ซึง่ 𝑥 + 𝑦 = 0

ตวัอย่าง 2.8.2 ให ้𝑎 เป็นจ านวนจรงิ ซึง่ 𝑎 ≠ 0 จงพสิจูน์ว่า มจี านวนจรงิ 𝑥 เพยีงจ านวนเดยีว ซึง่ 𝑎𝑥 = 0

พิสจูน์ เลอืก 𝑥 = 0 ดงันัน้ 𝑎𝑥 = 𝑎(0) = 0 สมมตวิ่า 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิ ซึง่ 𝑎𝑥 = 0 และ 𝑎𝑦 = 0 ดงันัน้ 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 นัน่คอื 𝑎(𝑥 − 𝑦) = 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 โดยทฤษฎบีท 2.3.3 จะไดว้่า 𝑥 − 𝑦 = 0 นัน่คอื 𝑥 = 𝑦

ดงันัน้ จะมจี านวนจรงิ 𝑥 เพยีงจ านวนเดยีว ซึง่ 𝑎𝑥 = 0

ตวัอย่าง 2.8.3 ให ้𝑥 เป็นจ านวนจรงิ ซึง่ 𝑥 ≠ 0 จงพสิจูน์ว่า มจี านวนจรงิ 𝑦 เพยีงจ านวนเดยีว ซึง่ 𝑥𝑦 = 1

พิสจูน์ เนื่องจาก 𝑥 ≠ 0 เลอืก 𝑦 = 1/𝑥 ดงันัน้ 𝑦 ∈ ℝ และ 𝑥𝑦 = 𝑥(1/𝑥) = 1 สมมตวิ่า 𝑦 และ 𝑧 เป็นจ านวนจรงิ ซึง่ 𝑥𝑦 = 1 และ 𝑥𝑧 = 1 ดงันัน้

𝑦 = 1𝑦 = (𝑥𝑧)𝑦 = (𝑧𝑥)𝑦 = 𝑧(𝑥𝑦) = 𝑧(1) = 𝑧

ดงันัน้ 𝑦 = 𝑧 นี้แสดงว่า มจี านวนจรงิ 𝑦 เพยีงจ านวนเดยีว ซึง่ 𝑥𝑦 = 1


8) มจี านวนนบั 𝑛 ∈ ℕ ซึง่ 13|(3𝑛 − 1)

9) ถา้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนคี ่แลว้ 8|(𝑎2 − 𝑏2)

10) 𝑥3 + 𝑥2𝑦 = 𝑦2 + 𝑥𝑦 กต่็อเมือ่ 𝑦 = 𝑥2 หรอื 𝑦 = −𝑥

11) (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 𝑦2 กต่็อเมือ่ 𝑥 = 0 หรอื 𝑦 = 0

12) 14|𝑎 กต่็อเมือ่ 7|𝑎 และ 2|𝑎

13) (𝑎 − 3)𝑏2 เป็นจ านวนคู่ กต่็อเมือ่ 𝑎 เป็นจ านวนคี ่หรอื 𝑏 เป็นจ านวนคู่ 14) √23 เป็นจ านวนอตรรกยะ

15) √6 เป็นจ านวนอตรรกยะ

16) มจี านวนจรงิบวก 𝑥 ซึง่ 𝑥3 < √𝑥

17) ทุกๆ จ านวนจรงิทีเ่ป็นค าตอบของ 𝑥3 + 𝑥 + 3 = 0 เป็นจ านวนอตรรกยะ

18) ไมม่จี านวนเตม็ 𝑎 และ 𝑏 ซึง่ 21𝑎 + 30𝑏 = 1

19) ไมม่จี านวนเตม็ 𝑎 และ 𝑏 ซึง่ 18𝑎 + 6𝑏 = 1

20) จงแสดงว่าไมม่จี านวนเตม็ใดทีเ่ป็นค าตอบของสมการ 6𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0

21) 13|𝑎 และ 5|𝑎 กต่็อเมือ่ 65|𝑎


2.9 การพิสจูน์โดยหลกัอปุนัยเชิงคณิตศาสตร ์

พจิารณาผลรวมของจ านวนคี ่ต่อไปนี้

1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

จากผลรวมดงักล่าว เราสรปุขอ้ความคาดเดา ไดว้่า

∑(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2𝑛

𝑖=1

ส าหรบัจ านวนเต็มบวก 𝑛 ใดๆ ซึ่งจากข้อความคาดเดานี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ตามวิธีการทางคณติศาสตร ์โดยใชอ้ปุนัยเชิงคณิตศาสตร ์(Mathematical induction)

การพสิูจน์โดยใช้หลกัอุปนัยเชงิคณิตศาสตร ์ใชใ้นกรณีทีต่้องพสิูจน์ขอ้ความทีเ่กี่ยวขอ้งกบัจ านวนเตม็บวกในรปูแบบ ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛)

หลกัอปุนัยเชิงคณิตศาสตร ์ (Principle of Mathematical Induction) ให ้𝑆 ⊆ ℕ ซึง่มสีมบตัวิ่า (1) 1 ∈ 𝑆 (2) ส าหรบัทุก 𝑘 ∈ ℕ ถา้ 𝑘 ∈ 𝑆 แลว้ 𝑘 + 1 ∈ 𝑆 จะไดว้่า 𝑆 = ℕ

เราจะน าหลกัอุปนัยเชงิคณิตศาสตร์นี้ ไปพสิูจน์ข้อความในรูปแบบ ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) โดยก าหนดให ้𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ | 𝑃(𝑛) ≡ 𝑇} ดงันัน้ ถ้าเราสามารถแสดงไดว้่า 1 ∈ 𝑆 หรอื 𝑃(1) เป็นจรงิ และส าหรบัจ านวนนับ 𝑘 ใดๆ จะต้องแสดงว่าข้อความ 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยหลักอุปนยัเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า 𝑆 = ℕ นัน่คอื 𝑃(𝑛) เป็นจรงิส าหรบัจ านวนเตม็บวก 𝑛 ใดๆ

สรุปได้ว่า ในการพิสูจน์ข้อความในรูปแบบ ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) โดยอาศัยหลักอุปนัยเชิงคณติศาสตรจ์ะตอ้งแสดง 2 ขัน้ตอนดงันี้ (1) แสดงว่า 𝑃(1) เป็นจรงิ เรยีกขัน้ตอนน้ีว่า “ ขัน้ตอนพ้ืนฐาน ” (basic step) (2) แสดงว่า ส าหรบัจ านวนนับ 𝑘 ใดๆ 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เรยีกขัน้ตอนน้ีว่า “ ขัน้ตอนแบบอปุนัย ” (inductive step)


เพื่อใหเ้หน็ภาพในการพสิูจน์ เราจะแสดงเปรยีบขอ้ความเหมอืนโดมโินทีเ่รยีงตัง้ไว ้โดยเราตอ้งการแสดงว่าโดมโินทุกตวัลม้ เริม่ตน้ จะตอ้งแสดงว่า โดมโินตวัแรกลม้

ต่อไปสมมตวิ่าโดมโินตวัที ่𝑘 ลม้ จะตอ้งแสดงใหไ้ดว้่า โดมโินตวัที ่𝑘 + 1 ลม้

ดงันัน้ เราสรุปไดว้่า โดมโินทุกตวัจะตอ้งลม้ ตามตอ้งการ

ตวัอย่าง 2.9.1 จงแสดงว่า ส าหรบัจ านวนนับ 𝑛 ใดๆ 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 ขัน้ตอนพืน้ฐาน จะเหน็ว่า 1 = 12 ดงันัน้ 𝑃(1) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื

1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2 จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เนื่องจาก 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + [2(𝑘 + 1) − 1] = 𝑘2 + [2(𝑘 + 1) − 1] = 𝑘2 + 2𝑘 + 2 − 1 = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยหลกัอุปนยัเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า

∀𝑛 ∈ ℕ, 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2


ตวัอย่าง 2.9.2 จงแสดงว่า ส าหรบัจ านวนนับ 𝑛 ใดๆ 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 =

𝑛6

(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 =𝑛6

(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

ขัน้ตอนพืน้ฐาน จะเหน็ว่า 12 = 16

(1 + 1)(2(1) + 1) ดงันัน้ 𝑃(1) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื

12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 = 𝑘6 (𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)

จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ นัน่คอื 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = 𝑘

6 (𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)2

= (𝑘 + 1) [𝑘6 (2𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)]

= (𝑘 + 1) (2𝑘2+7𝑘+66 )

= (𝑘 + 1) [(𝑘+2)(2𝑘+3)6 ]

= (𝑘+1)6 [(𝑘 + 1) + 1][2(𝑘 + 1) + 1]

ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยหลกัอุปนยัเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า

∀𝑛 ∈ ℕ, 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 = 𝑛6 (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

ตวัอย่าง 2.9.3 จงพสิจูน์ว่า ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ใดๆ 𝑛(𝑛 + 1) เป็นจ านวนคู่ พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 2|𝑛(𝑛 + 1) ขัน้ตอนพืน้ฐาน จะไดว้่า 2|2 = 1(1 + 1) ดงันัน้ 𝑃(1) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั ละ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื 2|𝑘(𝑘 + 1) ดงันัน้ จะมจี านวนเตม็ 𝑚 ซึง่ 𝑘(𝑘 + 1) = 2𝑚 จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เนื่องจาก (𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) = 𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1) = 2𝑚 + 2(𝑘 + 1) = 2[𝑚 + (𝑘 + 1)] ดงันัน้ 2|(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] ฉะนัน่ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยหลกัอุปนยัเชงิคณิตศาสตร ์จะได ้ 𝑛(𝑛 + 1) เป็นจ านวนคู่ ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ


ในบางครัง้การพสิูจน์โดยอุปนัยเชงิคณิตศาสตร ์ส าหรบัขัน้ตอนพื้นฐาน เราอาจไม่จ าเป็น จะตอ้งเริม่ตน้จาก 𝑛 = 1 กไ็ด ้

ตวัอย่าง 2.9.4 ให ้𝑥 ∈ ℝ โดยที ่𝑥 > −1 จงพสิจูน์ว่า ทุก 𝑛 ∈ ℕ, (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥 พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥 ขัน้ตอนพืน้ฐาน จะไดว้่า (1 + 𝑥)1 = 1 + (1)𝑥 นัน่คอื 𝑃(1) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื

(1 + 𝑥)𝑘 ≥ 1 + 𝑘𝑥 จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เนื่องจาก (1 + 𝑥)𝑘+1 = (1 + 𝑥)𝑘(1 + 𝑥) ≥ (1 + 𝑘𝑥)(1 + 𝑥) = 1 + 𝑘𝑥 + 𝑥 + 𝑘𝑥2 ≥ 1 + 𝑘𝑥 + 𝑥 = 1 + (𝑘 + 1)𝑥 ดงันัน้ (1 + 𝑥)𝑘+1 ≥ 1 + (𝑘 + 1)𝑥 นัน่คอื 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ

โดยหลกัอุปนัยเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥 ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ

ตวัอย่าง 2.9.5 จงพสิจูน์ว่า ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2 จะไดว้่า 6|(𝑛3 − 𝑛) พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ ซึง่ 𝑛 ≥ 2 และ

𝑃(𝑛) ≡ 6|(𝑛3 − 𝑛) ขัน้ตอนพืน้ฐาน ส าหรบั 𝑛 = 2 จะไดว้่า 𝑛3 − 𝑛 = 23 − 2 = 6

ดงันัน้ 6|(𝑛3 − 𝑛) จะไดว้่า 𝑃(2) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั โดยที ่𝑘 ≥ 2 และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื 6|(𝑘3 − 𝑘) ดงันัน้ จะม ีจ านวนเตม็ 𝑚 ซึง่ 𝑘3 − 𝑘 = 6𝑚 โดยตวัอยา่ง 2.9.4 จะม ี𝑙 ∈ ℤ ซึง่ 𝑘(𝑘 + 1) = 2𝑙 พจิารณา (𝑘 + 1)3 − (𝑘 + 1) = (𝑘3 + 3𝑘2 + 3𝑘 + 1) − (𝑘 + 1) = (𝑘3 − 𝑘) + (3𝑘2 + 3𝑘) = 6𝑚 + 3𝑘(𝑘 + 1) = 6𝑚 + 3(2𝑙) = 6(𝑚 + 𝑙) ดงันัน้ 6|[(𝑘 + 1)3 − (𝑘 + 1)] นัน่คอื 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ

โดยหลกัอุปนัยเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า 6|(𝑛3 − 𝑛) ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2


การอปุนัยเชิงคณิตศาสตรแ์บบเข้ม (Strong Mathematical Induction) ให ้𝑆 ⊆ ℕ ซึง่มสีมบตัวิ่า (1) 1 ∈ 𝑆 (2) ส าหรบั 𝑘 ∈ ℕ ถา้ ทุก 𝑛 ≤ 𝑘, 𝑛 ∈ 𝑆 แลว้ 𝑘 + 1 ∈ 𝑆 จะไดว้่า 𝑆 = ℕ

ตวัอย่าง 2.9.6 จงพสิจูน์ว่า ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ≥ 3 จะไดว้่า 𝑛2 ≥ 2𝑛 + 1 พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ ซึง่ 𝑛 ≥ 3 และ

𝑃(𝑛) ≡ 𝑛2 ≥ 2𝑛 + 1 ขัน้ตอนพืน้ฐาน ส าหรบั 𝑛 = 3 จะไดว้่า 32 ≥ 2(3) + 1 ดงันัน้ 𝑃(3) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั โดยที ่𝑘 ≥ 3 และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื 𝑘2 ≥ 2𝑘 + 1 เนื่องจาก 𝑘 ≥ 3 ดงันัน้ 2𝑘 + 2 ≥ 3 ดงันัน้ (𝑘 + 1)2 = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 ≥ (2𝑘 + 1) + (2𝑘 + 1) ≥ 2𝑘 + 3 = 2(𝑘 + 1) + 1 ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยหลกัอุปนยัเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า

𝑛2 ≥ 2𝑛 + 1 ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ≥ 3

ตวัอย่าง 2.9.7 จงพสิจูน์ว่า ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 4 จะไดว้่า 2𝑛 ≥ 𝑛2 พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ ซึง่ 𝑛 ≥ 4 และ

𝑃(𝑛) ≡ 2𝑛 ≥ 𝑛2 ขัน้ตอนพืน้ฐาน ส าหรบั 𝑛 = 4 จะไดว้่า 24 = 16 ≥ 16 = 42 ดงันัน้ 𝑃(4) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั โดยที ่𝑘 ≥ 4 และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื 2𝑘 ≥ 𝑘2 โดยตวัอยา่ง 2.9.6 จะได ้𝑘2 ≥ 2𝑘 + 1 พจิารณา 2𝑘+1 = (2)2𝑘 ≥ (2)𝑘2 = 𝑘2 + 𝑘2 ≥ 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยหลกัอุปนยัเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า

2𝑛 ≥ 𝑛2 ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 4


ตวัอย่าง 2.9.8 จงพสิจูน์ว่า ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ จะไดว้่า 12|(𝑛4 − 𝑛2) พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 12|(𝑛4 − 𝑛2) ขัน้ตอนพืน้ฐาน ถา้ 𝑛 = 1 จะไดว้่า 12 หาร 𝑛4 − 𝑛2 = 14 − 12 = 0 ลงตวั

ถา้ 𝑛 = 2 จะไดว้่า 12 หาร 𝑛4 − 𝑛2 = 24 − 22 = 12 ลงตวั ถา้ 𝑛 = 3 จะไดว้่า 12 หาร 𝑛4 − 𝑛2 = 34 − 32 = 72 ลงตวั ถา้ 𝑛 = 4 จะไดว้่า 12 หาร 𝑛4 − 𝑛2 = 44 − 42 = 240 ลงตวั ถา้ 𝑛 = 5 จะไดว้่า 12 หาร 𝑛4 − 𝑛2 = 54 − 52 = 600 ลงตวั ถา้ 𝑛 = 6 จะไดว้่า 12 หาร 𝑛4 − 𝑛2 = 64 − 62 = 1,260 ลงตวั

ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั ซึง่ 𝑘 ≥ 6 และ 𝑃(𝑚) เป็นจรงิ ทุกจ านวนนับ 𝑚 ที ่𝑚 ≤ 𝑘 นัน่คอื 12|(𝑚4 − 𝑚2) จะแสดงว่า 12|((𝑘 + 1)4 − (𝑘 + 1)2) เป็นจรงิ ให ้𝑚 = 𝑘 − 5 โดยสมมตฐิาน จะไดว้่า 12|(𝑚4 − 𝑚2) จะม ี𝑎 ∈ ℤ ซึง่ 𝑚4 − 𝑚2 = 12𝑎 ดงันัน้ (𝑘 + 1)4 − (𝑘 + 1)2 = (𝑚 + 6)4 − (𝑚 + 6)2 = 𝑚4 + 24𝑚3 + 216𝑚2 + 864𝑚 + 1,296 − (𝑚2 + 12𝑚 + 36) = (𝑚4 − 𝑚2) + 24𝑚3 + 216𝑚2 + 852𝑚 + 1,260 = 12𝑎 + 24𝑚3 + 216𝑚2 + 852𝑚 + 1,260 = 12(𝑎 + 2𝑚3 + 18𝑚2 + 71𝑚 + 105)

ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยการอุปนยัเชงิคณติศาสตรแ์บบเขม้ จะไดว้่า 12|(𝑛4 − 𝑛2) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ

ตวัอย่าง 2.9.9 ให ้𝑎1 = 1, 𝑎2 = 3 และส าหรบัจ านวนเตม็บวก 𝑛 ≥ 3 ก าหนดให ้ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 จงแสดงว่าส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ใดๆ 𝑎𝑛 < (7

4)𝑛

พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 𝑎𝑛 < (74)

𝑛

ขัน้ตอนพืน้ฐาน เนื่องจาก 𝑎1 = 1 ดงันัน้ 𝑎1 = 1 < (74)

1 นัน่คอื 𝑃(1) เป็นจรงิ

ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั และ 𝑃(𝑚) เป็นจรงิ ทุกจ านวนนับ 𝑚 ที ่𝑚 ≤ 𝑘 นัน่คอื 𝑎𝑚 < (7

4)

𝑚

จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เนื่องจาก 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘−1 < (7

4)

𝑘+ (7

4)

𝑘−1

= (74)

𝑘−1[ 7

4 + 1] = (7

4)

𝑘−1(11

4)

< (74)

𝑘−1(49

16) = (7

4)

𝑘−1(7

4)

2 = (7

4)

𝑘+1

ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยการอุปนยัเชงิคณติศาสตรแ์บบเขม้ จะไดว้่า

𝑎𝑛 < (74)

𝑛 ส าหรบัทุกจ านวนนับ 𝑛


ตวัอย่าง 2.9.10 ให ้𝑎1 = 1, 𝑎2 = 8, และส าหรบัจ านวนเตม็บวก 𝑛 ≥ 3 ก าหนดให ้ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2

จงแสดงว่า ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ใดๆ 𝑎𝑛 = 3(2𝑛−1) + 2(−1)𝑛 พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 𝑎𝑛 = 3(2𝑛−1) + 2(−1)𝑛 ขัน้ตอนพืน้ฐาน 𝑎1 = 1 และ 3(21−1) + 2(−1)1 = 1 ดงันัน้ 𝑃(1) เป็นจรงิ

𝑎2 = 8 และ 3(22−1) + 2(−1)2 = 8 ดงันัน้ 𝑃(8) เป็นจรงิ ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบัซึง่ 𝑘 ≥ 2 และ 𝑃(𝑚) เป็นจรงิ ทุกจ านวนนบั 𝑚 ที ่𝑚 ≤ 𝑘 นัน่คอื 𝑎𝑚3(2𝑚−1) + 2(−1)𝑚

จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เนื่องจาก 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 2𝑎𝑘−1 = [3(2𝑘−1) + 2(−1)𝑘] + 2[3(2𝑘−2) + 2(−1)𝑘−1] = 3(2𝑘−1) + 2(−1)𝑘 + 3(2𝑘−1) + 4(−1)𝑘−1 = 3(2𝑘) + 2[(−1)𝑘 + 2(−1)𝑘−1] = 3(2𝑘) + 2(−1)𝑘+1 ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยการอุปนยัเชงิคณติศาสตรแ์บบเขม้ จะไดว้่า

𝑎𝑛 = 3(2𝑛−1) + 2(−1)𝑛 ส าหรบัทุกจ านวนนับ 𝑛

ตวัอย่าง 2.9.11 ให ้𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 1, และส าหรบัจ านวนเตม็บวก 𝑛 ≥ 4 ก าหนดให ้ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−3

จงแสดงว่า ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ใดๆ 𝑎𝑛 < 2𝑛 พิสจูน์ ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และ

𝑃(𝑛) ≡ 𝑎𝑛 < 2𝑛 ขัน้ตอนพืน้ฐาน ส าหรบั 𝑛 = 1,2,3 เหน็ไดช้ดัว่า 𝑃(𝑛) เป็นจรงิ

และ 𝑎4 = 1 + 1 + 1 < 24 นัน่คอื 𝑃(4) เป็นจรงิ

ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบัซึง่ 𝑘 ≥ 4 และ 𝑃(𝑚) เป็นจรงิ ทุกจ านวนนบั 𝑚 ที ่𝑚 ≤ 𝑘 นัน่คอื 𝑎𝑚 < 2𝑚

จะแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ เนื่องจาก 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘−2 < 2𝑘 + 2𝑘−1 + 2𝑘−2

= 2𝑘+1 (12

+ 14

+ 18)

= 2𝑘+1 (78)

< 2𝑘+1 ดงันัน้ 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจรงิ โดยการอุปนยัเชงิคณติศาสตรแ์บบเขม้ จะไดว้่า

𝑎𝑛 < 2𝑛 ส าหรบัทุกจ านวนนับ 𝑛


แบบฝึกหดั 2.4 จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้โดยใชห้ลกัอุปนยัเชงิคณติศาสตร ์

1) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 11∙2 + 1

2∙3 + 13∙4 + ⋯ + 1

𝑛∙(𝑛+1) = 𝑛𝑛+1

2) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)3

3) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2𝑛 − 1)2 = 𝑛(4𝑛2−1)3

4) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = [𝑛(𝑛+1)2 ]

2

5) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛5

5 + 𝑛4

2 + 𝑛3

3 − 𝑛30 เป็นจ านวนนบั

6) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็บวก 𝑛 ใดๆ 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ⋯ + 𝑛(𝑛!) = (𝑛 + 1)! − 1

7) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็บวก 𝑛 ใดๆ 12! +

23! +

34! + ⋯ +

𝑛(𝑛 + 1)! = 1 −

1(𝑛 + 1)!

8) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ,

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1)

9) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ,

𝑎2𝑛+1 + 𝑏2𝑛+1 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2𝑛 − 𝑎2𝑛−1𝑏 + 𝑎2𝑛−2𝑏2 − ⋯ − 𝑎𝑏2𝑛−1 + 𝑏2𝑛)

10) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 7|(32𝑛+1 + 2𝑛+2)

11) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 11|(8 ∙ 102𝑛 + 6 ∙ 102𝑛−1 + 9)

12) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 5|(22𝑛−1 + 32𝑛−1)

13) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 10|(1𝑛 + 8𝑛 − 3𝑛− 6𝑛)

14) ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ, 33|(52𝑛+1 + 112𝑛+1 + 172𝑛+1)

15) ให ้𝑎1 = 1 , 𝑎2 = 1 และส าหรบัทุก 𝑛 ≥ 3, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 2𝑎𝑛−1 จงพสิจูน์ว่า

∀𝑛 ∈ ℕ, 3|(𝑎𝑛+6 − 𝑎𝑛)


16) ให ้𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2 และ ∀𝑛 ≥ 3, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 จงพสิจูน์ว่า

∀𝑛 ∈ ℕ, 2 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 4

17) ให ้𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 และ ∀𝑛 ≥ 3, 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 3𝑎𝑛−2 จงพสิูจน์ว่า

ส าหรบัทุก 𝑛 ≥ 3, 𝑎𝑛 > 3𝑛 − 2

18) ให ้𝑎1 = 1 , 𝑎2 = 2 , 𝑎3 = 3 และ ∀𝑛 ≥ 4, 𝑎𝑛+3 = 𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 จงพสิจูน์ว่า

ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 < 2𝑛

19) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 2, (1 − 12) (1 − 1

3) (1 − 1

4) … (1 − 1

𝑛) = 1

𝑛

20) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 2 จะไดว้่า 2𝑛 ≤ 2𝑛+1 − 2𝑛−1 − 1

21) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 4 จะไดว้่า 2𝑛 ≤ 𝑛!

22) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 5 จะไดว้่า 4𝑛 > 𝑛4

23) ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑛 ≥ 10 จะไดว้่า 1,000(2𝑛−10) < 2𝑛 − 2𝑛−6

Documents

หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com...จะเร ยก J ว า จำนวนค (even number) ก ต อเม อ ม จ านวนเต ม G ซ