สมการเชิงอนุพันธ์ · 7.4 จงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ ในตัวอย่างที่ 7.1

บทที่ 7

สมการเชงิอนุพนัธ์

สมการเชิงอนพุนัธ์สามารถน าไปประยกุต์ใช้แก้ปัญหาในหลายสาขาวิชา เช่น ปัญหาการเคล่ือนท่ีของโปรเจคไทล์ การพิจารณาประจแุละกระแสในวงจรไฟฟ้า ในวิชาฟิสิกส์ ปัญหาเก่ียวกบัปฏิกริยาทางเคมี ในวิชาเคมี รวมทัง้ปัญหาการหาคา่ความชนั ในวิชาคณิตศาสตร์

7.1 ความหมายของสมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนพุนัธ์สามารถให้นิยามได้ดงันีคื้อ

บทนิยามที่ 7.1 สมการเชิงอนุพันธ์ คือสมการท่ีแสดงความสมัพนัธ์ระหวา่งฟังก์ชนักบัอนพุนัธ์ของฟังก์ชนันัน้

ตัวอย่างที่ 7.1 ตวัอย่างของสมการเชิงอนพุนัธ์

วิธีท า 1. 2

2

20

dy d yxy

dx dx

2. 3

2 2 3y y x

3. 2

5v v

vs t

4. 2 2

2 23 0

u vx

x y

บทนิยามที่ 7.2 อันดับของสมการเชิงอนพุนัธ์ คืออนัดบัสงูสดุของอนพุนัธ์ท่ีแสดงอยู่ในสมการนัน้

ตัวอย่างที่ 7.2 จงพิจารณาอนัดบัของสมการเชิงอนพุนัธ์ในตวัอยา่งท่ี 7.1


2

20

dy d yxy

dx dx เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 2

2. 3

2 2 3y y x เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 3

3. 2

5v v

vs t

เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 1

4. 2 2

2 23 0

u vx

x y

เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 2

264

บทนิยามที่ 7.3 เรียกเลขชีก้ าลงัท่ีเป็นจ านวนเตม็บวกของอนพุนัธ์อนัดบัท่ีสงูท่ีสดุท่ีแสดงอยูใ่นสมการเชิงอนพุนัธ์วา่ ดีกรี

ตัวอย่างที่ 7.3 จงพิจารณาดีกรีของสมการเชิงอนพุนัธ์ในตวัอยา่งท่ี 7.1


2

20

dy d yxy

dx dx เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 2 ดีกรี 1

2. 3

2 2 3y y x เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 3 ดีกรี 3

3. 2

5v v

vs t

เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 1 ดีกรี 2

4. 2 2

2 23 0

u vx

x y

เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัท่ี 2 ดีกรี 1

บทนิยามที่ 7.4

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ คือสมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีเก่ียวกบัอนพุนัธ์ของฟังก์ชนัท่ีมีเพียงตวัแปรเดียว

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย คือสมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีเก่ียวกบัอนพุนัธ์ย่อยของฟังก์ชนั

ตัวอย่างที่ 7.4 จงพิจารณาสมการเชิงอนพุนัธ์ ในตวัอยา่งท่ี 7.1 วา่เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์สามญั หรือสมการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ย


2

20

dy d yxy

dx dx เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์สามญั

2. 3

2 2 3y y x เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์สามญั

3. 2

5v v

vs t

เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ย

4. 2 2

2 23 0

u vx

x y

เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ย

บทนิยามที่ 7.5 สมการเชิงอนพุนัธ์จะเป็นสมการเชิงเส้นเม่ือ 1. ทกุๆ ตวัแปรตามและทกุๆ อนพุนัธ์ของตวัแปรตามท่ีแสดงอยูใ่นสมการมีเลขชีก้ าลงัเป็น 1 2. ไมมี่พจน์ในรูปผลคณูของตวัแปรตามหรืออนพุนัธ์ของตวัแปรตามในสมการ 3. ไมมี่พจน์ในรูปของฟังก์ชนัอดศิยัของตวัแปรตามหรืออนพุนัธ์ของตวัแปรตามในสมการ

265

ตัวอย่างที่ 7.5 จงพิจารณาสมการเชิงอนพุนัธ์ตอ่ไปนีว้่าข้อใดเป็นสมการเชิงเส้น


36 7

d y dy

dxdx เป็นสมการเชิงเส้น

2. 2 2 xx y xy e เป็นสมการเชิงเส้น

3. 2

2

22

d y dyy

dxdx ไมเ่ป็นสมการเชิงเส้น

4. 22

20

d y dyy

dxdx

ไมเ่ป็นสมการเชิงเส้น

5. 2

29 0

d y dyy y

dxdx ไมเ่ป็นสมการเชิงเส้น

7.2 ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์

ผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์สามารถนิยามได้ดงันี ้

บทนิยามที่ 7.6 จะเรียกฟังก์ชนัท่ีไมไ่ด้อยูใ่นรูปของอนพุนัธ์ของฟังก์ชนัและสอดคล้องกบัสมการเชิงอนพุนัธ์วา่ผลเฉลย โดยท่ีจะอยูใ่นรูปของฟังก์ชนัท่ีนิยามอย่างชดัแจ้งหรือฟังก์ชนัโดยปริยาย

ตัวอย่างที่ 7.6 จงแสดงวา่ 2xy e เป็นผลเฉลยของ 4 0y y วิธีท า จาก y 2xe

y 2xde

dx 22 xe

y 22 xde

dx 24 xe

แทนคา่ใน 4 0y y

จะได้ 2 24 4 0x xe e เป็นจริง ดงันัน้ 2xy e เป็นผลเฉลยของ 4 0y y

ตัวอย่างที่ 7.7 จงแสดงวา่ 3 23 1x xy เป็นฟังก์ชนัโดยปริยายซึง่เป็นผลเฉลยของ 2 22 0

dyxy x y

dx ในชว่ง 0 1x

วิธีท า จาก 3 23x xy 1

3 23d

x xydx

1d

dx

3 2 23 3d d dx

x x y ydx dx dx

0

266

2 23 3 2 3dy

x x y ydx

0

6dy

xydx

2 23 3x y

dy

dx

2 23 3

6

x y

xy

2 2

2

x y

xy

แทนคา่ใน 2 22 0dy

xy x ydx

จะได้ 2 2

2 2 2 2 2 22 02

x yxy x y x y x y

xy

เป็นจริง

ดงันัน้ 3 23 1x xy เป็นฟังก์ชนัโดยปริยายซึง่เป็นผลเฉลยของ 2 22 0dy

xy x ydx

ในชว่ง 0 1x

7.3 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง

สมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบัหนึ่งสามารถเขียนให้อยูใ่นรูปทัว่ๆ ไปได้ในรูป ,dy

f x ydx

เม่ือ

,f x y เป็นฟังก์ชนัท่ีมีความตอ่เน่ืองบน R ของระนาบ xy สมการอนัดบัหนึง่ (First Order Equations) แบง่เป็นประเภทตา่งๆ โดยอาศยัรูปแบบของสมการ แบง่ออกได้เป็น 4 ประเภทดงันี ้

1. สมการแยกตวัแปรได้ (Separable Equations)

2. สมการเอกพนัธ์ (Homogeneous Equations) 3. สมการแมน่ตรง (Exact Equations) 4. สมการเชิงเส้น (Linear Equations)

7.3.1 สมการแยกตัวแปรได้

สมการแยกตวัแปรได้สามารถนิยามได้ดงัตอ่ไปนี ้

บทนิยามที่ 7.7 จะเรียกสมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีอยูใ่นรูปของสมการ 0F x dx G y dy วา่สมการแยกตัวแปรได้

ตัวอย่างที่ 7.8 จงแก้สมการ 2

3

dy x

dx y

วิธีท า จดัสมการให้อยูใ่นรูป 0F x dx G y dy 2 3xdx y dy 0

2 3xdx y dy 0

267

2 22

32 2

x yy

c

2

2 32

yx y c

ดงันัน้ สมการผลเฉลยคือ 2 ln 3x y c

ตัวอย่างที่ 7.9 จงแก้สมการ 2 22 0dy

x y xydx

วิธีท า จดัสมการให้อยูใ่นรูป 0F x dx G y dy

จาก 2 22dy

x y xydx

0

2 dyx y

dx 22xy

2

ydy

y

2

2xdx

x

1dy

y

2dx

x

2 1dx dy

x y 0

2ln lnx y c

ดงันัน้ สมการผลเฉลยคือ 2ln lnx y c

ตัวอย่างที่ 7.10 จงแก้สมการ 4 2 32 0xxy dx y e dy

วิธีท า จดัสมการให้อยูใ่นรูป 0F x dx G y dy จาก 4 2 32 xxy dx y e dy 0

4xy dx 2

3

2

x

ydy

e

3xxe dx

2

4

2ydy

y

3 2 42xxe dx y y dy 0

3 3 1 32

3 9 1 3

x xxe e y y

c

3 3

3

1 2

3 9 3

x xxe e

y y c

ดงันัน้ สมการผลเฉลยคือ 3 3

3

1 2

3 9 3

x xxe ec

y y

268

ตัวอย่างที่ 7.11 จงแก้สมการ 2 23 2 5 0x y dx y x dy

วิธีท า จดัสมการให้อยูใ่นรูป 0F x dx G y dy

จะได้ 2 23

5 2

x ydx dy

x y

0

22 4

5 25 2

x dx y dyx y

0

22 4

5 25 2

x dx y dyx y

0

1 1

5 22 5 2 4 25 2

xdx dx d x ydy dy d yx y

0

2 2

5 22ln 5 2 4ln 22 2

x yx x y y 1c

2 210 44ln 5 4 8ln 2x x x y y y c

ดงันัน้ สมการผลเฉลยคือ 2 210 44ln 5 4 8ln 2x x x y y y c


2

5

2

dy xy x

dx x y y

วิธีท า จดัสมการให้อยูใ่นรูป 0F x dx G y dy จะได้ 2 25 2xy x dx x y y dy 0

2 25 2x y dx y x dy 0

2 22 5

x ydx dy

x y

0

2 2

2 2

2 5

2 22 5

d x d yx y

x yx y

0

2 21 1ln 2 ln 5

2 2x y 1c

2

2

2

5

x

y

c

ดงันัน้ สมการผลเฉลยคือ 2

2

2

5

xc

y

269

7.3.2 สมการเอกพันธ์

สมการเอกพนัธ์สามารถนิยามได้ดงัตอ่ไปนี ้

บทนิยามที่ 7.8 ฟังก์ชนั ,f x y จะเรียกวา่ฟังก์ชันเอกพันธ์ ถ้ามีจ านวนเตม็บวก n ท่ีท าให้ , ,nf kx ky k f x y โดยท่ี 0k และเรียกคา่ k วา่ ดีกรี ของฟังก์ชนัเอกพนัธ์ ,f x y

และสมการ ,dy

f x ydx

เรียกวา่ สมการเอกพันธ์

ตัวอย่างที่ 7.13 จงหาดีกรีของ 2, 5f x y xy

วิธีท า ,f kx ky 2

5kx ky

2 25kx k y

3 25k xy

3 ,k f x y

ดงันัน้ 2, 5f x y xy เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 3

ตัวอย่างที่ 7.14 จงหาดีกรีของ , 3 4f x y x y วิธีท า ,f kx ky 3 4kx ky

3 4k x y

,kf x y

ดงันัน้ , 3 4f x y x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 1

บทนิยามที่ 7.9 สมการเชิงอนพุนัธ์ , , 0M x y dx N x y dy เป็นสมการเอกพนัธ์ก็ตอ่เม่ือ

,M x y และ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรีเดียวกนั

ตัวอย่างที่ 7.15 จงพิจารณาสมการตอ่ไปนีว้่าเป็นสมการเอกพนัธ์หรือไม ่ 2 2 0y dx xy x dy วิธีท า ,M x y 2y

,M kx ky 2

ky

2 2k y

2 ,k M x y

ดงันัน้ ,M x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 2

,N x y 2 2xy x x xy

,N kx ky 2

kx kx ky

2 2k x xy

270

,N kx ky 2 ,k N x y

ดงันัน้ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 2

เน่ืองจาก ,M x y และ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรีเดียวกนั จะได้วา่ 2 2 0y dx xy x dy เป็นสมการเอกพนัธ์

ตัวอย่างที่ 7.16 จงพิจารณาสมการตอ่ไปนีว้่าเป็นสมการเอกพนัธ์หรือไม ่

3 3 4 33 0x y dx y xy dy วิธีท า ,M x y 3 33x y

,M kx ky 3 3

3kx ky

3 3 33k x y

3 ,k M x y

ดงันัน้ ,M x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 3

,N x y 4 3y xy

,N kx ky 4 3

ky kx ky

4 4 3k y xy

4 ,k N x y

ดงันัน้ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 4

เน่ืองจาก ,M x y และ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ท่ีมีดีกรีไมเ่ทา่กนั จะได้วา่ 2 2 0y dx xy x dy ไมเ่ป็นสมการเอกพนัธ์

การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์แบบสมการเอกพนัธ์ โดยสามารถจดัให้อยูใ่นรูป

ของ dy yF

dx x

และท าการจดัสมการให้อยูใ่นรูปของสมการเชิงอนพุนัธ์แบบแยกตวัแปรได้

จากสมการ dy yF

dx x

ก าหนดให้ y vx

จะได้ dy dvv x

dx dx

แทนคา่ลงใน dy yF

dx x

จะได้

y dvF v x

x dx

dv

F v v xdx

dv

F v v xdx

271

F v vdv

dx x

dx dv

x F v v

dx dv

x F v v

แล้วแทนคา่ yv

x จะได้ผลเฉลยของสมการเอกพนัธ์ท่ีต้องการ

ตัวอย่างที่ 7.17 จงแก้สมการ 3 3 23 0x y dx xy dy วิธีท า ,M x y 3 3x y

,M kx ky 3 3

kx ky

3 3 3k x y

3 ,k M x y

,N x y 23xy

,M kx ky 2

3kx ky

3 23k xy

3 ,k N x y

เน่ืองจาก ,M x y และ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 3 จะได้วา่ 2 2 0y dx xy x dy เป็นสมการเอกพนัธ์

จาก 3 3 23 0x y dx xy dy

จดัรูป dy

dx

3 3

23

x y

xy

ก าหนดให้ y vx และ dy dvv x

dx dx

จะได้ dvv x

dx

3 3 3

2 23

x v x

xv x

dvv x

dx

3 3

3 2

1

3

x v

x v

dvx

dx

3

2

1

3

vv

v

dvx

dx

3

2

1 2

3

v

v

2

3

3

1 2

vdv

v dx

x

3

2

3 2

1 23

1 2 6

d vv

v v

dx

x

272

31ln 1 2

2v 1ln x c

32ln ln 1 2x v 2c

2 3ln 1 2x v 2c

2 31 2x v 3c

แทนคา่ yv

x

3

2 1 2y

xx

3c

3 32x y c

ดงันัน้ 3 32x y c เป็นผลเฉลยของ 3 3 23 0x y dx xy dy

ตัวอย่างที่ 7.18 จงแก้สมการ 2 2 2 0y x dx xydy วิธีท า ,M x y 2 2y x

,M kx ky 2 2

ky kx

2 2 2k y x

2 ,k M x y ,N x y 2xy

,M kx ky 2kxky

2 2k xy

2 ,k N x y

เน่ืองจาก ,M x y และ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 2 จะได้วา่ 2 2 2 0y x dx xydy เป็นสมการเอกพนัธ์

จาก 2 2 2 0y x dx xydy


dx

2 2

2

y x

xy


dx dx


dx

2 2 2

2

v x x

xvx

dvv x

dx

2 2

2

1

2

x v

x v

dvx

dx

2 1

2

vv

v

273

dvx

dx

2 1

2

v

v

2

2

1

vdv

v dx

x

2

2

12

21

d vv

vv

dx

x

2ln 1v 1ln x c

2ln ln 1x v 2c

2ln 1x v 2c

2 1x v 3c


x

2

1y

xx

3c

2 2x y c

ดงันัน้ 2 2x y c เป็นผลเฉลยของ 2 2 2 0y x dx xydy

ตัวอย่างที่ 7.19 จงแก้สมการ yy

x xy

วิธีท า จดัรูปได้ 0ydx x xy ,M x y y

,M kx ky ky

,kM x y

,N x y x xy

,M kx ky kx kxky

k x xy

,kN x y

เน่ืองจาก ,M x y และ ,N x y เป็นฟังก์ชนัเอกพนัธ์ดีกรี 1

จะได้วา่ yy

x xy

เป็นสมการเอกพนัธ์


dx y

x xy


dx dx


dx vx

x xvx

274

dvv x

dx

1

xv

x v

dvx

dx

1

vv

v

dvx

dx

1

v v

v

1 v

dvv v

dx

x

3

21

v dv dvv

dx

x

2ln v

v

1ln x c

2ln xv

v 2c


x

2ln

yx

x y

x

2c

ln 2x

xy

c

ดงันัน้ ln 2x

xy

c เป็นผลเฉลยของ yy

x xy

7.3.3 สมการแม่นตรง

สมการแมน่ตรงสามารถนิยามได้ดงัตอ่ไปนี ้

บทนิยามที่ 7.9 สมการแม่นตรง คือสมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีสามารถเขียนให้อยูใ่นรูปของ

, , 0M x y dx N x y dy และ , ,M x y N x yy x

หมายเหตุ , yM x y My

และ , xN x y N

x

ตัวอย่างที่ 7.20 จงพิจารณาวา่สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีก าหนดให้เป็นสมการแมน่ตรงหรือไม่ 22 1 3 0xy dx x y dy

วิธีท า ,M x y 2 1xy จะได้ yM 2x

275

,N x y 2 3x y จะได้ xN 2x

จะเห็นวา่ y xM N ดงันัน้ 22 1 3 0xy dx x y dy เป็นสมการแมน่ตรง

ตัวอย่างที่ 7.21 จงพิจารณาวา่สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีก าหนดให้เป็นสมการแมน่ตรงหรือไม ่

0xy xyye dx xe dy วิธีท า ,M x y xyye จะได้ yM xy xyxye e

,N x y xyxe จะได้ xN xy xyxye e

จะเห็นวา่ y xM N ดงันัน้ 0xy xyye dx xe dy เป็นสมการแมน่ตรง

ตัวอย่างที่ 7.22 จงพิจารณาวา่สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีก าหนดให้เป็นสมการแมน่ตรงหรือไม ่

sin cos sin cos 0x y dx y x dy วิธีท า ,M x y sin cosx y จะได้ yM sin sinx y

,N x y sin cosy x จะได้ xN sin sinx y

จะเห็นวา่ y xM N ดงันัน้ sin cos sin cos 0x y dx y x dy ไมเ่ป็นสมการแมน่ตรง

การแก้สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีอยูใ่นรูปของสมการแมน่ตรง สามารถท าได้ดงันี ้

จาก , , 0M x y dx N x y dy

จะมีฟังก์ชนั ,g x y ท่ีท าให้ , , ,dg x y M x y dx N x y dy

และ , , ,dg x y g x y dx g x y dyx y

จะได้วา่ , ,g x y M x yx

และ , ,g x y N x y

y

จาก , , 0M x y dx N x y dy

นัน่คือ ,dg x y 0 ,dg x y 0dx

,g x y c โดยท่ี c เป็นคา่คงท่ี เป็นผลเฉลยของสมการเอกพนัธ์ หาคา่

,g x y c ท าได้โดย

จาก , ,g x y M x yx

และ , ,g x y N x y

y

จะสามารถหา ,g x y ได้ 2 วิธี โดยการอินทิเกรตทัง้สองข้าง โดยเทียบกบัตวัแปร x หรือตวัแปร y ก่อนก็ได้

วิธีที่ 1 ท าการอินทิเกรต ,g x y เทียบกบัตวัแปร x ก่อนและให้ y เป็นคา่คงท่ี

จากสมการ ,g x yx

,M x y

276

จะได้ ,g x y ,M x y dx h y 1

โดยท่ี h y เป็นฟังก์ชนัแบบไมเ่จาะจง หาอนพุนัธ์ของฟังก์ชนั ,g x y เทียบกบั y

,g x yy

,M x y dx h y

y

,d

M x y dx h yy dy

เน่ืองจาก , ,g x y N x yy

ดงันัน้

,N x y ,M x y dx h yy

ดงันัน้ h y , ,N x y M x y dxy

จากนัน้ หาคา่ของ h y แล้วน าคา่ท่ีได้ไปแทนในสมการท่ี 1 จะได้ ,g x y วิธีที่ 2 ท าการอินทิเกรต ,g x y เทียบกบัตวัแปร y ก่อนและให้ x เป็นคา่คงท่ี

จากสมการ ,g x yy

,N x y

จะได้ ,g x y ,N x y dy f x 2

โดยท่ี f x เป็นฟังก์ชนัแบบไมเ่จาะจง หาอนพุนัธ์ของฟังก์ชนั ,g x y เทียบกบั x

,g x yx

,N x y dy f x

x

,d

N x y dy f xx dx

เน่ืองจาก , ,g x y M x yx

ดงันัน้

,M x y ,N x y dy f xx

ดงันัน้ f x , ,M x y N x y dyx

จากนัน้ หาคา่ของ f x แล้วน าคา่ท่ีได้ไปแทนในสมการท่ี 2 จะได้ ,g x y

ตัวอย่างที่ 7.23 จงแก้สมการ 32 3 3 1 0x y dx x y dy

วิธีท า ,M x y 32 3x y จะได้ yM 3

,N x y 3 1x y จะได้ xN 3

จะเห็นวา่ y xM N ดงันัน้ 32 3 3 1 0x y dx x y dy เป็นสมการแมน่ตรง

277



,M x y 32 3x y

จะได้ ,g x y 32 3x y dx

32 3x dx ydx

4

32

xxy h y 1


,g x yy

3x h y


3 1x y ดงันัน้

3 1x y 3x h y ดงันัน้ h y 1y

h y 1y dy

2

12

yy c

น าคา่ h y2

12

yy c แทนคา่ในสมการท่ี 1 จะได้

,g x y 4 2

132 2

x yxy y c

จากผลเฉลยของสมการแมน่ตรงจะได้ ,g x y c ดงันัน้ 4 2

132 2

x yxy y c c

4 26 2x xy y y k เป็นผลเฉลยของ 32 3 3 1 0x y dx x y dy

วิธีที่ 2 ท าการอินทิเกรต ,g x y เทียบกบัตวัแปร y ก่อนและให้ x เป็นคา่คงท่ี


,N x y 3 1x y

จะได้ ,g x y 3 1x y dy

3 1xdy ydy dy

,g x y 2

32

yxy y f x 1


278

,g x yx

3y f x


32 3x y ดงันัน้

32 3x y 3y f x ดงันัน้ f x 32x

f x 32x dx

4

12

xc

น าคา่ f x4

12

xc แทนคา่ในสมการท่ี 1 จะได้

,g x y 4 2

132 2

x yxy y c

จากผลเฉลยของสมการแมน่ตรงจะได้ ,g x y c ดงันัน้ 4 2

132 2

x yxy y c c

4 26 2x xy y y k เป็นผลเฉลยของ 32 3 3 1 0x y dx x y dy

ตัวอย่างที่ 7.24 จงแก้สมการ 2 3 23 2 2 0x y xy dx x x y dy

วิธีท า ,M x y 23 2x y xy จะได้ yM 23 2x x

,N x y 3 2 2x x y จะได้ xN 23 2x x

จะเห็นวา่ y xM N ดงันัน้ 2 3 23 2 2 0x y xy dx x x y dy เป็นสมการแมน่ตรง



,M x y 23 2x y xy

จะได้ ,g x y 23 2x y xy dx

3 2x y x y h y 1


,g x yy

3 2x x h y


3 2 2x x y ดงันัน้

3 2 2x x y 3 2x x h y ดงันัน้ h y 2y

279

h y 2y dy

21y c

น าคา่ h y 21y c แทนคา่ในสมการท่ี 1 จะได้

,g x y 3 2 21x y x y y c

จากผลเฉลยของสมการแมน่ตรงจะได้ ,g x y c ดงันัน้ 3 2 2

1x y x y y c c 3 2 2x y x y y k เป็นผลเฉลยของ 2 3 23 2 2 0x y xy dx x x y dy

วิธีที่ 2 ท าการอินทิเกรต ,g x y เทียบกบัตวัแปร y ก่อนและให้ x เป็นคา่คงท่ี


,N x y 3 2 2x x y

จะได้ ,g x y 3 2 2x x y dy

3 1xdy ydy dy

3 2 2x y x y y f x 1


,g x yx

23 2x y xy f x


23 2x y xy ดงันัน้

23 2x y xy 23 2x y xy f x ดงันัน้ f x 0

f x 0 dx

1c

น าคา่ f x 1c แทนคา่ในสมการท่ี 1 จะได้

,g x y 3 2 21x y x y y c

จากผลเฉลยของสมการแมน่ตรงจะได้ ,g x y c ดงันัน้

3 2 21x y x y y c c

3 2 2x y x y y k เป็นผลเฉลยของ 2 3 23 2 2 0x y xy dx x x y dy

280

ตัวอย่างที่ 7.25 จงแก้สมการ sin cos sin 1 0y x xy x dx x x dy วิธีท า ,M x y sin cosy x xy x จะได้ yM sin cosx x x

,N x y sin 1x x จะได้ xN cos sinx x x

จะเห็นวา่ y xM N ดงันัน้ sin cos sin 1 0y x xy x dx x x dy เป็นสมการแมน่ตรง ท าการอินทิเกรต ,g x y เทียบกบัตวัแปร x ก่อนและให้ y เป็นคา่คงท่ี


,M x y sin cosy x xy x

จะได้ ,g x y sin cosy x xy x dx

sin cosy xdx y x xdx

cos sin cosy x y x x x h y

sinxy x h y 1


,g x yy

sinx x h y


sin 1x x ดงันัน้

sin 1x x sinx x h y ดงันัน้ h y 1

h y 1 dy

1y c

น าคา่ h y 1y c แทนคา่ในสมการท่ี 1 จะได้

,g x y 1sinxy x y c

จากผลเฉลยของสมการแมน่ตรงจะได้ ,g x y c ดงันัน้

1sinxy x y c c

ysin 1

k

x x

เป็นผลเฉลยของ sin cos sin 1 0y x xy x dx x x dy

ตัวอย่างที่ 7.26 จงแก้สมการ 3 33 2 0t te y t dt e dy

วิธีท า ,M t y 33 2te y t จะได้ yM 33 te

,N t y 3te จะได้ tN 33 te

จะเห็นวา่ y tM N ดงันัน้ 3 33 2 0t te y t dt e dy เป็นสมการแมน่ตรง

281

ท าการอินทิเกรต ,g t y เทียบกบัตวัแปร t ก่อนและให้ y เป็นคา่คงท่ี

จากสมการ ,g t yt

,M t y 33 2te y t

จะได้ ,g x y 33 2te y t dx

3 33 2

3

t d ty e t dt

3 2tye t h y 1

โดยท่ี h y เป็นฟังก์ชนัแบบไมเ่จาะจง หาอนพุนัธ์ของฟังก์ชนั ,g t y เทียบกบั y

,g t yy

3te h y

เน่ืองจาก , ,g t y N t yy

3te ดงันัน้

3te 3te h y ดงันัน้ h y 0

h y 0dy

1c

น าคา่ h y 1c แทนคา่ในสมการท่ี 1 จะได้

,g t y 3 21

tye t c

จากผลเฉลยของสมการแมน่ตรงจะได้ ,g t y c ดงันัน้ 3 2

1tye t c c

3 2tye t k เป็นผลเฉลยของ 3 33 2 0t te y t dt e dy

7.3.4 ตัวประกอบปริพันธ์

กรณีท่ีสมการในรูป , , 0M x y dx N x y dy ไม่เป็นสมการแม่นตรง แต่ถ้าสามารถหาฟังก์ชันมาคณูกับสมการดงักล่าวแล้ว สมการนัน้กลายเป็นสมการแม่นตรง จะเรียกฟังก์ชันท่ีน ามาคณูวา่ตวัประกอบปริพนัธ์ ซึง่สามารถเขียนนิยามได้ดงันี ้

บทนิยามที่ 7.10 ถ้า , , 0M x y dx N x y dy ไมเ่ป็นสมการแมน่ตรงแล้ว จะเรียก ,x y วา่เป็นตวัประกอบปริพนัธ์ เม่ือ ,x y คือฟังก์ชนัท่ีท าให้ , , , 0x y M x y dx N x y dy

ตัวอย่างที่ 7.27 จงพิจารณาวา่ 1

x เป็นตวัประกอบปริพนัธ์ส าหรับ ln 0x y dx x x dy

วิธีท า จาก ln 0x y dx x x dy

282

น า 1

x คณูตลอด

1 1lnx y dx x x dy

x x 0

1 lny

dx x dyx

0

,M x y 1y

x จะได้ yM

1

x

,N x y ln x จะได้ xN1

x

จาก y xM N

ดงันัน้ 1

x เป็นตวัประกอบปริพนัธ์ส าหรับ ln 0x y dx x x dy

ตัวอย่างที่ 7.28 จงพิจารณาวา่ y เป็นตวัประกอบปริพนัธ์ส าหรับ 2 0yydx x ye dy

วิธีท า จาก 2 0yydx x ye dy

น า y คณูตลอด 2 22 yy dx xy y e dy 0

,M x y 2y จะได้ yM 2y

,N x y 22 yxy y e จะได้ xN 2y

จาก y xM N

ดงันัน้ y เป็นตวัประกอบปริพนัธ์ส าหรับ 2 0yydx x ye dy

การหาตัวประกอบปริพันธ์ สามารถหาได้ดังนี ้

กรณีที่ 1 ถ้า ,x y เป็นฟังก์ชนัของ x อยา่งเดียว

ให้ , , 0M x y dx N x y dy ไมเ่ป็นสมการแมน่ตรง

,x y x เป็นตวัประกอบปริพนัธ์

จะได้ , ,x M x y dx x N x y dy 0 เป็นสมการแมน่ตรง

และ , ,x M x y x N x yy x

,x M x yy

, ,

dx N x y N x y x

x dx

,x N x y M N

xy x

x

x

1 M N

N y x

ให้ 1 M N

F xN y x

จะได้วา่

xF x

x

และ

d x

x

F x dx

283

ดงันัน้ ln x F x dx

และ x F x dxe

สรุปได้วา่ ถ้า 1 M N

N y x

เป็นฟังก์ชนัของ x อยา่งเดียว แล้ว x

F x dxe เม่ือ

1 M N

F xN y x

กรณีที่ 2 ถ้า ,x y เป็นฟังก์ชนัของ y อยา่งเดียว

ให้ , , 0M x y dx N x y dy ไมเ่ป็นสมการแมน่ตรง

,x y y เป็นตวัประกอบปริพนัธ์

จะได้ , ,y M x y dx y N x y dy 0 เป็นสมการแมน่ตรง

และ , ,y M x y y N x yy x

, ,d

y M x y M x y yy dy

,y N x yx

,y M x y N M

yx y

y

y

1 N M

M x y

ให้ 1 N M

G yM x y

จะได้วา่

yG y

y

และ

d y

y

G y dy

ดงันัน้ ln y G y dy

และ y G y dxe

สรุปได้วา่ ถ้า 1 N M

M x y

เป็นฟังก์ชนัของ y อยา่งเดียว แล้ว y

G y dxe เม่ือ

1 N M

G yM x y

ตัวอย่างที่ 7.29 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์ 22 0yydx xy e dy วิธีท า ,M x y y ,N x y 22 yxy e

yM 1 xN 2y

284

ให้ G y 1 N M

M x y

1

2 1yy

1

2y

G y dy 12 dy

y

2 lny y

จาก y G y dye

2 lny ye

ดงันัน้ 2 lny ye เป็นตวัประกอบปริพนัธ์

2 ln 2 ln 22y y y y ye ydx e xy e dy 0

2 ln 2 ln ln2y y y y ye ydx xye e dy 0

,M x y 2 lny ye y ,N x y 2 ln ln2 y y yxye e

จะใช้วิธีอินทิเกรตเทียบกบัตวัแปร x ก่อนและให้ y เป็นคา่คงท่ี

,g x yx

,M x y 2 lny yye

,g x y 2 lny yye dx

2 lny yxye h y 1


,g x yy

2 ln 2 lny y y y y

xy e xe h yy y

2 ln 2 ln12y y y yxye xe h y

y

2 ln 2 ln 2 ln2 y y y y y yxye xe xe h y

2 ln2 y yxye h y

เน่ืองจาก ,g x yy

,N x y 2 ln ln2 y y yxye e

h y ln ye ln

1ye

1

y

h y 1dy

y

1ln y c

285

แทนคา่ใน 1 จะได้ ,C g x y 2 ln1lny yxye y c

ผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์คือ 2 ln lny yxye y k

ตัวอย่างที่ 7.30 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์ sin cos 0xe y dx y dy วิธีท า ,M x y sinxe y ,N x y cos y

yM cos y xN 0

ให้ F x 1 M N

N y x

1

cos 0cos

yy

1

F x dx 1dx

x

จาก y F x dxe

xe

ดงันัน้ xe เป็นตวัประกอบปริพนัธ์

sin cosx x xe e y dx e y dy 0

1 sin cosx xe y dx e y dy 0

,M x y 1 sinxe y ,N x y cosxe y


,g x yx

,M x y 1 sinxe y

,g x y 1 sinxe y dx

sinxx e y h y 1


,g x yy

cosxe y h y


,N x y cosxe y

h y 0

h y 0dy

1c

แทนคา่ใน 1 จะได้

286

,C g x y 1sinxx e y c

ผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์คือ sinxx e y k

ตัวอย่างที่ 7.31 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์ 22 1 cot 1 0xdx x y dy

วิธีท า ,M x y 2x ,N x y 2 1 cot 1x y

yM 0 xN 2 cotx y

ให้ G y 1 N M

M x y

1

2 cot 02

x yx

cot y

G y dy cot ydy

lnsin y

จาก y G y dye

ln sin ye

sin y

ดงันัน้ sin y เป็นตวัประกอบปริพนัธ์

22 sin sin 1 cot 1x y dx y x y dy 0

22 sin 1 cos sinx y dx x y y dy 0

,M x y 2 sinx y ,N x y 2 1 cos sinx y y


,g x yx

,M x y 2 sinx y

,g x y 2 sinx y dx

2 sinx y h y 1


,g x yy

2 cosx y h y


,N x y 2 1 cos sinx y y

h y cos siny y

h y cos siny y dy

1sin cosy y c

287

แทนคา่ใน 1 จะได้

,C g x y 21sin sin cosx y y y c

ผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์คือ 2 sin sin cosx y y y k

7.3.5 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหน่ึง

สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัหนึง่สามารถเขียนนิยามได้ดงันี ้

บทนิยามที่ 7.11 สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีสามารถเขียนในรูป dy

a x b x y c xdx

หรือ

dy

p x y q xdx

จะเรียกวา่เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัหนึง่หรือเรียกสัน้ๆ วา่ สมการ

เชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 7.32 ตวัอยา่งสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัหนึง่

1. 5 xxy e y cos x

2. 2 4 3x dy xdx 7

3. 28dy

x ydx

sin x

4. 23 5 4x y x y 0

ในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัหนึง่มีหลกัการดงัตอ่ไปนี ้

จาก dy

p x ydx

q x

p x y q x dx dy 0 จะได้ ,M x y p x y q x ,N x y 1

yM p x p xN 0

พิจารณา 1 M N

N y x

10

1p p

ตวัประกอบปริพนัธ์คือ p x dx

x e

น า p x dxe คณูสมการเร่ิมต้นจะได้

p x dx dye p x y

dx

p x dx

q x e

p x dxdye

dx

p x dx

q x e

p x dxd ye

p x dx

q x e dx

288

p x dx

ye p x dx

q x e dx c

y

p x dx p x dxe q x e dx c

เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้น

ส าหรับกรณีท่ี 0q x จะเรียก 0dy

p x ydx

วา่สมการประกอบของสมการเดมิ

ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ 0dy

p x ydx

คือ p x dxy ce

เรียกวา่ค าตอบประกอบ

ส าหรับผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์ทัว่ๆ ไป จะได้วา่

ผลเฉลยทัว่ไป = ผลเฉลยประกอบ + ผลเฉลยเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 7.33 จงแก้สมการ 2 4dy

xy xdx

วิธีท า จาก 2 4dy

xy xdx

1

เป็นสมการเชิงเส้นในรูป dy

p x y q xdx

โดยท่ี 2p x x และ 4q x x

หา x p x dxe

2x dxe

2xe

น า 2xe คณู 1 จะได้

2 2

2x xdye xe y

dx 2

4 xxe

2xd

e ydx

2

4 xxe

2xd e y 2

4 xxe dx

2xd e y 2

2

42

xd x

xex

2xe y 2

12 xe c

y 2 k

จากตวัอย่างข้างต้น สามารถใช้สตูร y


y 22

4xdx xe xe dx c

2 2

2x xe e k 2 k

289

ตัวอย่างที่ 7.34 จงแก้สมการ 3xdyy e

dx

วิธีท า จาก 3xdyy e

dx 1


p x y q xdx

โดยท่ี 1p x และ 3xq x e

หา x p x dxe

1dxe

xe

น า xe คณู 1 จะได้

x xdye e y

dx 4xe

xde y

dx 4xe

xd e y 4xe dx

xd e y 4 4

4

x d xe

xe y 4

14

xec

y 3

4

xek



y 1 13dx dxxe e e dx c

4x xe e dx c

3

4

xek


5 2 5dy

x y xdx

วิธีท า จาก 21

2 55

dyy x

dx x

1


p x y q xdx

โดยท่ี 1

5p x

x

และ

22 5q x x

หา x p x dxe

1

5dx

xe

ln 5xe

1

5x

290

น า 1

5x คณู 1 จะได้

2

1 1

5 5

dyy

x dx x

2 5x

1

5

dy

dx x

2 5x

1

5d y

x

2 5 5x d x

1

5y

x

25x

y 3

5x k



y 1 1

25 52 5dx dx

x xe x e dx c

2ln 5 ln 52 5

x xe x e dx c

5 2 5 5x x d x c

3

5x k

7.3.6 สมการแบร์นูลลี

สมการแบร์นลูลีสามารถเขียนนิยามได้ดงันี ้

บทนิยามที่ 7.12 สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีสามารถเขียนในรูป ndyp x y q x y

dx เม่ือ 0,1n จะ

เรียกวา่ สมการแบร์นูลลี

ตัวอย่างที่ 7.36 ตวัอยา่งสมการแบร์นลูลี

1. 5y xy 2y

2. dy

ydx

3xy

3. 5

yy

x

4

x

y

ถ้า 0,1n แล้ว สมการแบร์นลูลี ndyp x y q x y

dx สามารถเขียนในรูปของ

สมการเชิงเส้นของ z ได้ ถ้า 1 nz y

จาก ndyp x y q x y

dx

291

น า ny คณูตลอด

1n ndyy p x y q x

dx

1

ให้ 1 nz y ดงันัน้ 1 ndzn y y

dx

แทนใน 1 1

1

dzp x z

n dx

q x

1dz

n p x zdx

1 n q x 2

จะเห็นวา่ สมการ 2 เป็นสมการเชิงเส้น ดงันัน้ สามารถแก้สมการ โดยวิธีการแก้สมการเชิงเส้นได้

ตัวอย่างที่ 7.37 จงแก้สมการ 5dyy xy

dx

วิธีท า ให้ 1 1 5 4nz y y y ดงันัน้ 54dz dy

ydx dx

แทนคา่ในโจทย์จะได้ 51

4

dzy y

dx 5xy

น า 54y คณูตลอด 4dz

zdx

4x

เป็นสมการเชิงเส้นในรูป dz

p x z q xdx

โดยท่ี 4p x และ 4q x x

ดงันัน้ z


4 4

4dx dx

e xe dx c

4 44x xe xe dx c

4 4 41

4

x x xe xe e c

ผลเฉลยคือ 4y 4 4 41

4

x x xe e xe c

4y 1

4x k

7.4 สมการเชงิอนุพันธ์เชงิเส้นอันดับสอง สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสองสามารถเขียนนิยามได้ดงันี ้

บทนิยามที่ 7.14 สมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีสามารถเขียนอยูใ่นรูป a x y b x y c x y f x

จะเรียกวา่ สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสอง เม่ือ 0a x และ ,b x c x และ f x เป็นฟังก์ชนัตอ่เน่ือง

292

ตัวอย่างที่ 7.38 ตวัอยา่งสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสอง 1. 23 3 8 5x y x y xy 3 2x

2. 2 2 3xe y xy y 0

3. 32sin xx y e y 3x

เน่ืองจาก 0a x เม่ือน า a x หารทัง้สองข้างของสมการ

a x y b x y c x y f x จะได้

b x c x f xy y y

a x a x a x

แทนคา่

,

b x c xp x q x

a x a x และ

f xr x

a x

จะได้สมการ y p x y q x y r x โดยท่ี ,p x q x และ r x เป็นฟังก์ชันต่อเน่ือง และถ้า 0r x จะได้ 0y p x y q x y จะเรียกสมการเชิงอนุพันธ์นีว้่า สมการเชิงอนพุนัธ์เอกพนัธ์ และเม่ือ 0r x จะเรียกสมการเชิงอนพุนัธ์นีว้า่ สมการเชิงอนพุนัธ์ไมเ่อกพนัธ์

ยกตวัอย่างเชน่

1. 7y y y 23x เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์ไมเ่อกพนัธ์

2. 2

25

d y dyx

dxdx cos x เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์ไมเ่อกพนัธ์

3. 2

2

d y

dx 2 11x เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์ไมเ่อกพนัธ์

4. 2

2

27 5

d y dyx y

dxdx 0 เป็นสมการเชิงอนพุนัธ์เอกพนัธ์

7.4.1 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองเอกพันธ์

ก าหนดสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสองเอกพนัธุ์ 0y p x y q x y

เม่ือ p x และ q x เป็นคา่คงท่ี

เพ่ือสะดวกในการแก้สมการเชิงอนพุนัธ์จะใช้สญัลกัษณ์ของตวัด าเนินการ D และ 2D

แทนอนพุนัธ์อนัดบั 1 และ 2 ตามล าดบั นัน่คือ

dyDy y

dx และ

22

2

d yD y y

dx

ดงันัน้ สมการข้างต้นจะเขียนได้ในรูป

2 0D y p x Dy q x y

เรียกค าตอบของสมการว่า ค าตอบประกอบ ซึง่ใช้แทนด้วย cy ถ้าให้ 1y x และ 2y x เป็นค าตอบของสมการ 0F D y จะได้ผลเฉลย 1 1 2 2cy c y x c y x

293

พิจารณา 0F D y แทน y ด้วย mxe จะได้ mx mxD e me

2 2mx mxD e m e

ดงันัน้ mx mxF D e F m e

เม่ือแทน mxy e ลงใน 0F D y

จะได้ 0mxF D e

0mxF m e

0F m

จะเรียกสมการ 0F m นีว้่า สมการช่วย (Auxiliary Equation) ของสมการ 0F D y เม่ือ แก้สมการ 0F m จะได้ m ทัง้หมด 2 คา่ ซึ่งอาจเป็นจ านวนจริงหรืออาจเป็นจ านวนเชิงซ้อนซึ่งถ้าพิจารณา สมการช่วย 2 0m pm q ซึ่งเป็นสมการก าลังสองท่ีมีค าตอบของสมการคือ

2 4

2

p p qm

และก าหนดให้ 2

1

4

2

p p qm

และ

2

2

4

2

p p qm

เม่ือ

1. 2 4 0p q จะได้วา่ 1m และ 2m เป็นจ านวนจริงท่ีมีคา่แตกตา่งกนั 2. 2 4 0p q จะได้วา่ 1m และ 2m เป็นจ านวนจริงท่ีมีคา่เทา่กนักนั 3. 2 4 0p q จะได้วา่ 1m และ 2m เป็นจ านวนเชิงซ้อนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั

สามารถพิจาณาผลเฉลยของ 0y py qy จากลกัษณะของค าตอบของสมการชว่ยดงัตอ่ไปนี ้

กรณีที่ 1 ถ้าค าตอบของสมการ 2 0m pm q คือ 1m และ 2m เป็นจ านวนจริงท่ีมีคา่แตกตา่งกนัจะได้ 1

1m xy e และ 2

2m xy e ซึง่เป็นอิสระเชิงเส้น และผลเฉลยทัว่ไปของสมการ

0y py qy คือ 1 21 2

m x m xy c e c e เม่ือ 1c และ 2c เป็นคา่คงท่ีใดๆ

ตัวอย่างที่ 7.39 จงแก้สมการ 4 21 0y y y

วิธีท า เม่ือเทียบกบัสมการ 0y py qy จะได้ 4p และ 21q มีสมการชว่ยเป็น 2 4 21m m 0

7 3m m 0

m 7, 3 จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 7 3

1 2x xy c e c e เม่ือ 1c และ 2c เป็นคา่คงท่ี

294

กรณีที่ 2 ถ้าค าตอบของสมการ 2 0m pm q คือ 1m และ 2m เป็นจ านวนจริงท่ีมีคา่เทา่กนั จะได้ 1

mxy e และ 2mxy xe ซึง่เป็นอิสระเชิงเส้น และผลเฉลยทัว่ไปของสมการ

0y py qy คือ 1 2mx mxy c e c xe เม่ือ 1c และ 2c เป็นคา่คงท่ีใดๆ

ตัวอย่างที่ 7.40 จงแก้สมการ 6 9 0y y y วิธีท า เม่ือเทียบกบัสมการ 0y py qy จะได้ 6p และ 9q มีสมการชว่ยเป็น 2 6 9m m 0

3 3m m 0

m 3, 3 จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 3 3

1 2x xy c e c xe เม่ือ 1c และ 2c เป็นคา่คงท่ี

กรณีที่ 3 ถ้าค าตอบของสมการ 2 0m pm q คือ 1m และ 2m เป็นจ านวนเชิงซ้อนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ 1m a bi และ 2m a bi ดงันัน้จะได้ผลเฉลยเป็น 1 cosaxy e bx และ

2 sinaxy e bx ซึง่เป็นอิสระเชิงเส้น และผลเฉลยทัว่ไปของสมการ 0y py qy คือ 1 2cos sinaxy e c bx c bx เม่ือ 1c และ 2c เป็นคา่คงท่ีใดๆ

ตัวอย่างที่ 7.41 จงแก้สมการ 2 5 0y y y วิธีท า เม่ือเทียบกบัสมการ 0y py qy จะได้ 2p และ 5q มีสมการชว่ยเป็น 2 2 5m m 0

m 2

2 2 4 1 5

2

2 4 204 1 5

2

2 16

2

i

1 2i

ถ้าให้ 1m a bi และ 2m a bi จะได้ 1a และ 2b

จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 1 2cos2 sin 2xy e c x c x เม่ือ 1c และ 2c เป็นคา่คงท่ี

ปัญหาบางปัญหาต้องการทราบผลเฉลยท่ีเป็นค าตอบเฉพาะ นัน่คือ ต้องการทราบคา่

1c และ 2c สามารถท าได้ดงัตวัอย่างตอ่ไปนี ้

295

ตัวอย่างที่ 7.42 จงหาผลเฉลยของปัญหาเร่ิมต้นของสมการ 4 5 0y y y เม่ือ 0 4y และ

0 8y วิธีท า เม่ือเทียบกบัสมการ 0y py qy จะได้ 4p และ 5q มีสมการชว่ยเป็น 2 4 5m m 0

1 5m m 0

m 1, 5 จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 5

1 2x xy c e c e 1

นัน่คือ 51 25x xy c e c e 2

เน่ืองจาก 0 4y จาก 1 จะได้ 1 24 c c

0 8y จาก 2 จะได้ 1 28 5c c

จะได้ 1

14

3c และ 2

2

3c

ดงันัน้ ผลเฉลยของปัญหาเร่ิมต้นคือ 514 2

3 3

x xy e e

7.4.2 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองไม่เอกพันธ์

สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสองเอกพนัธ์ท่ีอยูใ่นรูป y py qy r x

เม่ือ p และ q เป็นคา่คงท่ี และ r x เป็นฟังก์ชนัตอ่เน่ืองของ x ผลเฉลยทัว่ไปคือ 1 1 2 2 py x c y x c y x y x โดยท่ี 1 1 2 2c y x c y x เป็นผลเฉลยทัว่ไปของสมการ

0y py qy และ py x วา่ผลเฉลยเฉพาะ ข้อสังเกต การสมมตผิลเฉลยเฉพาะของฟังก์ชนัท่ี r x เป็นฟังก์ชนัท่ีอยูใ่นรูปของฟังก์ชนัพหนุามและผลบวกเชิงเส้นของฟังก์ชนั sin x และ cos x อ่ืนๆ ให้ใช้หลกัการดงันี ้

สมการเชิงอนพุนัธ์ ก าหนดฟังก์ชนั py x เร่ิมต้น y py qy

20 1 2 ... n

na a x a x a x

py x 20 1 2 ... n

nA A x A x A x

y py qy axke py x axAe

y py qy 1 2cos sina bx a bx py x 1 2cos sinA bx A bx

ตัวอย่างที่ 7.43 จงหาผลเฉลยทัว่ไปของ 52 3 xy y y e 1 วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 2 2 3m m 0

3 1m m 0

296

m 1,3 จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของ 2 3 0y y y คือ 3

1 2x x

cy x c e c e

เน่ืองจาก 5xr x e ได้ 5

55x

xdee

dx และ

2 55

225

xxd e

edx

ดงันัน้ ผลเฉลยเฉพาะอยูใ่นรูป 5xpy x Ae

55 xpy x Ae และ 525 x

py x Ae แทนคา่ใน 1 จะได้

5 5 525 10 3x x xAe Ae Ae 5xe

512 xAe 5xe

12A 1

A 1

12

ได้ผลเฉลยเฉพาะคือ 51

12

xpy x e ท าให้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ 52 3 xy y y e จะอยูใ่น

รูป c py y x y x หรือ 3 51 2

1

12

x x xy c e c e e

7.5 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ n

แบง่การพิจารณาสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบั n เป็น 2 แบบ คือ 1. สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบั n เอกพนัธ์ 2. สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบั n ไมเ่อกพนัธ์

7.5.1 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ n เอกพันธ์

สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบั n เอกพนัธ์ สามารถเขียนอยูใ่นรูป 1 2

1 2 2 1 0... 0n n n

n ny a y a y a y a y a y

โดยท่ี 1 2 2 1 0, ,..., , ,n na a a a a เป็น

คา่คงท่ี

สมการชว่ยอยูใ่นรูป 1 2 21 2 2 1 0... 0n n n

n nm a m a m a m a m a หลกัการใน

การหาผลเฉลยมีขัน้ตอนในการคิดเชน่เดียวกบัสมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสอง คือ ก าหนดสมการชว่ยก่อน แล้วจงึพิจารณาตามลกัษณะของค าตอบดงัตวัอยา่งตอ่ไปนี ้

กรณีที่ 1 ถ้าค าตอบของสมการ 1 21 2 2 1 0... 0

n n nn ny a y a y a y a y a y

คือ

1 2 3, , ,... nm m m m เป็นจ านวนจริงท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ คือ 3 11 2

1 2 3 1... n nm x m x m xm x m xn ny c e c e c e c e c e เม่ือ 1 2 3, , ,..., nc c c c เป็นคา่คงท่ีใดๆ

297

ตัวอย่างที่ 7.44 จงแก้สมการ 3 4 12 0y y y y วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 3 23 4 12m m m 0

2 2 3m m m 0

m 2, 2,3 จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนจริง 3 จ านวนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 2 2 3

1 2 3x x xy c e c e c e เม่ือ 1 2,c c และ 3c เป็นคา่คงท่ี

ตัวอย่างที่ 7.45 จงแก้สมการ 4 2

4 25 4 0

d y d yy

dx dx

วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 4 25 4m m 0

1 1 2 2m m m m 0

m 1, 1,2, 2 จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนจริง 4 จ านวนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 2 2

1 2 3 4x x x xy c e c e c e c e เม่ือ 1 2 3, ,c c c และ 4c เป็น

คา่คงท่ี



คือ

1 2 3, , ,... nm m m m ก าหนดให้ 1 1 1 2 2 2, ... n n nm a b i m a b i m a b i เป็นจ านวนเชิงซ้อนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ คือ

3 11 21 2 3 1... n nm x m x m xm x m x

n ny c e c e c e c e c e เม่ือ 1 2 3, , ,..., nc c c c เป็นคา่คงท่ีใดๆ

ตัวอย่างที่ 7.46 จงแก้สมการ 4 3 2

4 3 22 6 8 8 0

d y d y d y dyy

dxdx dx dx

วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 4 3 22 6 8 8m m m m 0 2 24 2 2m m m 0

m 2 , 2 ,1 ,1i i i i จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนเชิงซ้อน 4 จ านวนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 1 12 2

1 2 3 4i x i xix ixy c e c e c e c e เม่ือ 1 2 3, ,c c c และ 4c

เป็นคา่คงท่ี หรือเขียนให้อยูใ่นรูป 1 2 3 4cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos sin cos sinx xy c x i x c x i x c e x i x c e x i x

298



คือ

1 2 3, , ,... nm m m m ก าหนดให้ 1 1 1 2 2 2, ... k k km a b i m a b i m a b i เป็นจ านวนเชิงซ้อนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั และ 1 1 1 2 2 2, ...k k k k k k n n nm a b i m a b i m a b i เป็นจ านวนจริงท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ คือ

3 11 21 2 3 1... n nm x m x m xm x m x

n ny c e c e c e c e c e เม่ือ 1 2 3, , ,..., nc c c c เป็นคา่คงท่ีใดๆ


2 6 16 6m m m 0

2 16 6m m 0

m 6,4 , 4i i จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนจริงและจ านวนเชิงซ้อน 3 จ านวนท่ีมีคา่แตกตา่งกนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 6 4 4

1 2 3x ix ixy c e c e c e เม่ือ 1 2,c c และ 3c เป็นคา่คงท่ี หรือ

เขียนให้อยูใ่นรูป 61 2 3cos4 sin 4 cos4 sin 4xy c e c x i x c x i x



คือ m มีคา่ซ า้กนั nตวั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ คือ 2 1

1 2 3 ...mx mx mx n mxny c e c xe c x e c x e

เม่ือ 1 2 3, , ,..., nc c c c เป็นคา่คงท่ีใดๆ หรือ 2 11 2 3 ...mx n

ny e c c x c x c x

ตัวอย่างที่ 7.48 จงแก้สมการเชิงอนพุนัธ์ 70y

วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 7m 0

m 0,0,0,0,0,0,0 จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนจริงซ า้กนั 7 ตวั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 0 0 2 0 6 0

1 2 3 7...x x x xy c e c xe c x e c x e เม่ือ 1 2 3 7, , ,...,c c c c เป็นคา่คงท่ี หรือ 2 6

1 2 3 7...y c c x c x c x


3

4m 0

m 4,4,4 จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนจริง 3 จ านวนท่ีซ า้กนั

299

จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 4 4 2 41 2 3

x x xy c e c xe c x e เม่ือ 1 2,c c และ 3c เป็นคา่คงท่ี หรือ 4 2

1 2 3xy e c c x c x

ตัวอย่างที่ 7.50 จงแก้สมการ 450 625 0y y

วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 4 250 625m m 0 2 225 25m m 0

5 5 5 5m i m i m i m i 0

m 5 , 5 ,5 , 5i i i i จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนเชิงซ้อน 4 จ านวนท่ีซ า้กนัอยา่งละ 2 ตวั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการคือ 5 5 5 5

1 2 3 4ix ix ix ixy c e c xe c e c xe เม่ือ 1 2 3, ,c c c และ 4c

เป็นคา่คงท่ี

7.5.2 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ n ไม่เอกพันธ์ สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบั n เอกพนัธ์ สามารถเขียนอยูใ่นรูป 1 2

1 2 2 1 0...n n n

n ny a y a y a y a y a y r x

โดยท่ี 1 2 2 1 0, ,..., , ,n na a a a a เป็นคา่คงท่ี เน่ืองจากผลเฉลยทัว่ไปอยูใ่นรูป c py y x y x โดยท่ี py x เป็นผลเฉลยทัว่ไปของ 1 2

1 2 2 1 0... 0n n n

n ny a y a y a y a y a y

เป็นผลเฉลยเฉพาะของสมการ

1 21 2 2 1 0...

n n nn ny a y a y a y a y a y r x

ในการหาผลเฉลยสามารถท าได้ดงัตวัอยา่งตอ่ไปนี ้

ตัวอย่างที่ 7.51 จงแก้สมการ sinxy y e x

วิธีท า มีสมการชว่ยเป็น 3 2m m 0

2 1m m 0

m 0,0, 1 จะเห็นวา่รากของสมการเป็นจ านวนจริง 3 จ านวนและมี 2 รากท่ีซ า้กนั จะได้ผลเฉลยทัว่ไปของสมการ 0y y คือ 1 2 3

xcy x c c x c e เม่ือ 1 2,c c และ 3c เป็น

คา่คงท่ี จาก sinxr x e x ดงันัน้จงึก าหนดให้ 1 2cos sinx x

py x Ae x A e x

py x 1 2 1 2cos sinx xA A e x A A e x

py x 2 12 cos 2 sinx xA e x A e x

และ py x 1 2 1 22 2 cos 2 2 sinx xA A e x A A e x

300

แทนคา่ใน 1 จะได้ 1 2 1 2 2 12 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 sinx x x xA A e x A A e x A e x A e x sinxe x

1 2 1 22 4 cos 4 2 sinx xA A e x A A e x sinxe x

เทียบสมัประสิทธ์ิจะได้ 1 22 4A A 0

1 24 2A A 1

จะได้ 1

1

3A และ 2

1

6A

ดงันัน้ 1 1

cos sin3 6

x xpy x e x e x

ผลเฉลยทัว่ไปของ sinxy y e x จะอยูใ่นรูปของ c py y x y x

จะได้ 3 51 2

1 1 1cos sin

12 3 6

x x x x xy c e c e e e x e x

บทสรุป

การแก้สมการเชิงอนุพนัธ์เป็นการหาผลเฉลยท่ีอยู่ในรูปของฟังก์ชนั สามารถน ามาประยกุต์เพ่ือหาค าตอบทางวิทยาศาสตร์ได้ นับว่าเป็นประโยชน์อย่างยิ่ง ส าหรับเนือ้หาในบทท่ี 7 เป็นการอธิบายความหมายและชนิดของสมการเชิงอนุพันธ์ ตลอดจนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์แบบตา่ง ๆ เทา่นัน้ซึง่จะเป็นพืน้ฐานในการแก้สมการเชิงอนพุนัธ์ขัน้สงูตอ่ไป

แบบฝึกหัด

1. จงบอกอนัดบัและดีกรีของสมการเชิงอนพุนัธ์ท่ีก าหนดให้ตอ่ไปนี ้

1.1 23 5xy y y 1.2 cos

dyxy x

dx

1.3 4

8 0y y x 1.4 2

4 3 2 0y xy y y xy

2. จงแสดงวา่ 1 2cos siny c x c x x เป็นค าตอบทัว่ไปของสมการเชิงอนพุนัธ์ y y x

3. จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์ตอ่ไปนีโ้ดยใช้วิธีแยกตวัแปร

3.1 5 7

3 9

dy x

dx y

3.2

2 2

7 9

2dy x y

dx x y

3.3 5 7 0xdy y dx 3.4 6

10dx dt

x

3.5 24

3 1 0x dx y dy 3.6 3tdx

edt

301

4. จงหาผลเฉลยของสมการเอกพนัธ์ตอ่ไปนี ้

4.1 dy y x

dx x

4.2

2 2

2dy xy

dx x y

4.3 2 2

3dy xy

dx x y

4.4

2

2

2dy y xy

dx x

4.5 2 20

dyx y y x

dx 4.6 1 2 2 1 0

x x

y y xe dx e dy

y

5. จงพิจารณาวา่สมการท่ีก าหนดให้เป็นสมการแม่นตรงหรือไม ่ถ้าเป็นให้หาผลเฉลยของสมการแมน่ตรงนัน้ด้วย

5.1 3 20x xy y dx xdy

5.2 sin cos 0x

e y dx y dy

5.3 2 3 2 2 0x y y

5.4 2 3 4 3 4 5 0t x dt t x dx

5.5 3 3 4 21 14 3 0x y dx x y dy

x y

5.6 sin 2 0x x

ye x dx e y dy

6. จงแก้สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัหนึง่ของสมการตอ่ไปนี ้ 6.1 7 0y y 6.2 2 0y xy

6.3 23 0y x y 6.4 2

3 1x

y y e

6.5 2y y x

x 6.6 sin cos 1y x y x

7. จงแก้สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบัสองของสมการตอ่ไปนี ้ 7.1 4 5 0y y y 7.2 8 16 0y y y

7.3 3 0y y y 7.4 56 0y y y 7.5 2

xy y y e

7.6 24y y x

8. จงแก้สมการเชิงอนพุนัธ์เชิงเส้นอนัดบั n ของสมการตอ่ไปนี ้

8.1 42 0y y y 8.2 12 36 0y y y

8.3 47 18 0y y y 8.4 4

7 18 20 8 0y y y y y 8.5 7 6 0y y y 8.6 2

4 5x x

y y y e e

Documents

สมการเชิงอนุพันธ์ · 7.4 จงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ ในตัวอย่างที่ 7.1