ชุดการสอนที่ 6 43202 - kroobannok.com · จุดมุมที่ไดจ้ากกราฟอสมการข้อจากดัคือ (0 ,

1

ชดการสอนท 6 เรอง การหาคาสงสดและคาต าสด

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม รหสวชา ค43202 ชนมธยมศกษาปท 6 จ านวน 3 ชวโมง

******************************************************************************

1. มาตรฐานการเรยนร

มาตรฐาน ค 4.2 : ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจ าลองทางคณตศาสตรอน ๆ

แทนสถานการณตาง ๆ ตลอดจนตวแปรความหมายและน าไปใชแกปญหาได

2. มาตรฐานการเรยนรชวงชน

ค 4.2.6 เขยนกราฟของสมการ อสมการ ฟงกชน และน าไปใชแกปญหาได

3. ผลการเรยนรทคาดหวง

3.1 ดานความร

หาคาสงสดและคาต าสดจากแบบจ าลองทางคณตศาสตรทก าหนดใหได

3.2 ดานทกษะกระบวนการ 3.2.1 ทกษะกระบวนการการแกปญหา 3.2.2 ทกษะกระบวนการการใหเหตผล 3.2.3 ทกษะกระบวนการการสอความหมาย และการน าเสนอ

3.3 ดานคณธรรม จรยธรรม และคณลกษณะอนพงประสงค

3.3.1 มความรบผดชอบ

3.3.2 มการท างานอยางเปนระบบรอบคอบ

2

4. สาระการเรยนร

เมอก าหนดเสนตรง L เปนกราฟของสมการเชงเสน ax + by = P เมอ P เปนตวแปรเสรม

(Parameter ) จะไดวา

1. ถา b < 0 แลว L ตดแกน y ในต าแหนงสงขน เมอ P เพมขน และ L ตดแกน y ในต าแหนง

ลดลง เมอ P ลดลง

2. ถา b > 0 แลว L ตดแกน y ในต าแหนงสงขน เมอ P ลดลง และ L ตดแกน y ในต าแหนง

ลดลง เมอ P เพมขน

ฟงกชนจดประสงคมเงอนไขบงคบเปนเซตทมขอบเขต (บรเวณทมพนทจ ากด) จะมท ง

คาสงสดและคาต าสด ซงคาทงสองจะเกดขนทจดมมของกราฟ และในกรณทเงอนไขบงคบเขตไมม

เขต (บรเวณทมพนทไมจ ากด)ฟงกชนจดประสงคจะมคาสงสด (คาต าสด) หรอไมกไดแตถามคานน

จะเกดขนทจดมมของกราฟเชนกน ส าหรบในกรณทหาค าตอบทเหมาะสมทสดได 2 จด จะไดวาจดท

อยระหวางจดทงสองนนเปนค าตอบทเหมาะสมดวย

การแกปญหาเพอหาคาสงสดหรอต าสด ของคาทตองการอนเนองมาจากทรพยากรทมอย

อยางจ ากด ท าไดดงน

1. น าอสมการขอจ ากดจากแบบจ าลองทางคณตศาสตรมาเขยนกราฟทสอดคลองกบระบบ

อสมการขอจ ากดคอ อาณาบรเวณทหาค าตอบได (Feasible Region)

2. หาพกดของจดมมของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได

3. น าพกดของจดมมในขอ 2 แทนฟงกชนจดประสงคเพอหาค าตอบทเหมาะสมทสด (คาท

สงสดหรอคาทต าสด)

เชน จงหาคาสงสดของ P ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดให

P = 5x + 3y

2x + 4y ≤ 80

5x + 2y ≤ 80

x ≥ 0

y ≥ 0

3

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดทง 4 อสมการจะไดบรเวณทแรเงาเปนอาณาบรเวณทหาค าตอบ

ไดดงรป

จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 0) , (16 , 0) , (0 , 20) และ (10 , 15) เมอแทนคา

พกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมมของ (10 , 15) จะใหคา P สงสดและมคา เทากบ 95

การแกปญหาเพอหาคาต าสดมวธการเหมอนกบการแกปญหาเพอหาคาสงสดแตค าตอบให

พจารณาจดมมทใหคาต าสด

(x , y) P = 5x + 3y (0 , 0) (16 , 0) (0 , 20) (10 , 15)

0 80 60 95

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140

80

70

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

-40

-50

g x = -x

2+20

f x = -5x

2+40

X

Y

4

5. กระบวนการเรยนร

ชวโมงท 1

1. ขนน า

1.1 ใหนกเรยนแตละคนท าแบบทดสอบกอนเรยนโดยใชเวลาประมาณ 15 นาท ครเปน

ผตรวจค าตอบและแจงคะแนนทนกเรยนแตละคนได

1.2 ครทบทวนการพจารณาค าตอบของระบบอสมการเชงเสนซงจะแทนไดดวยบรเวณท

ซอนทบกนของกราฟของอสมการทงหมด

2. ขนสอน

จดนกเรยนเขากลมคละความสามารถกลมละ 4 คน แลวใหนกเรยนจบคกนประจ าเครอง

คอมพวเตอรเพอศกษาการหาคาสงสด และคาต าสดจากบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนชดท 6 และ

ศกษาใบความรท 6 โดยมครคอยอธค าตอบของระบบอสมการนนรวมทงจดมมบางบรเวณทเปน

ค าตอบ (slide 2-27)

3. ขนสรป

ครและนกเรยนชวยกนสรปวา การแกปญหาเพอหาคาสงสดหรอต าสด ของคาทตองการอน

เนองมาจากทรพยากรทมอยอยางจ ากด(slide 28) ท าไดดงน

3.1 น าอสมการขอจ ากดจากแบบจ าลองทางคณตศาสตรมาเขยนกราฟทสอดคลองกบระบบ


3.2 หาพกดของจดมมของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได

3.3 น าพกดของจดมมในขอ 2 แทนฟงกชนจดประสงคเพอหาค าตอบทเหมาะสมทสด (คาท


4. ขนฝกทกษะ

ใหนกเรยนแตละคท าแบบฝกหดเสรมทกษะคณตศาสตรชดท 6.1

5


1. ขนน า

ครทบทวนการหาค าตอบของระบบอสมการ บรเวณทหาค าตอบไดและการหาจดมมของรป

หลายเหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได

2. ขนสอน

ครสมนกเรยนออกมาเฉลยแบบฝกหดเสรมทกษะคณตศาสตรชดท 6.2 จ านวน 3 ค โดยมคร

และนกเรยนคอน ๆ ชวยกนตรวจ และ ครอธบายเพมเตมวาแบบฝกหดเสรมทกษะคณตศาสตรชดท

6.2 เปนการหาคาสงสดและแกปญหาเพอหาคาต าสดมวธการเหมอนกบการแกปญหาเพอหาคาสงสด

แตค าตอบใหพจารณาจดมมทใหคาต าสด (slide 29-31)

3. ขนสรป

ครและนกเรยนชวยกนสรป การแกปญหาเพอหาคาสงสดหรอต าสด ของคาทตองการอน

เนองมาจากทรพยากรทมอยอยางจ ากด ท าไดดงน







ใหนกเรยนท าแบบฝกหดเสรมทกษะคณตศาสตรชดท 6.2 และแบบฝกหดเสรมทกษะ

คณตศาสตรชดท 6.3

6


1. ขนน า

ครทบทวน การแกปญหาเพอหาคาสงสดหรอต าสด ของคาทตองการอนเนองมาจาก

ทรพยากรทมอยอยางจ ากด ท าไดดงน







ใหนกเรยนท า แบบทดสอบหลงเรยน

6. วสดอปกรณ สอ แหลงการเรยนร

6.1 แบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

6.2 ใบความรท 6

6.3 แบบฝกทกษะคณตศาสตรชดท 6.1



6.6 หองคอมพวเตอรของโรงเรยน

6.7 บทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนเรองก าหนดการเชงเสนทสรางโดยโปรแกรม Power Point

7

7. การวดผลและการประเมนผล

สงทตองการวด วธการวด เครองมอทใชวด เกณฑการประเมน

1. หาคาสงสดและคาต าสดจาก

แบบจ าลองทางคณตศาสตรท

ก าหนดใหได

2.1 ทกษะกระบวนการการ

แกปญหา

2.2 ทกษะกระบวนการการให

เหตผล

2.3 ทกษะกระบวนการสอ

ความหมาย และการน าเสนอ

3.1 มความรบผดชอบ

3.2 ท างานเปนระบบรอบคอบ

1.1 ตรวจแบบฝก

ทกษะคณตศาสตรชด

ท 6.1,6.2,6.3

2. สงเกตการปฏบต

กจกรรมและกระบวน

กลม

3. สงเกตพฤตกรรม

ดานคณลกษณะทพง

ประสงค

1.1 แบบฝกทกษะ

คณตศาสตรชดท

6.1,6.2,6.3

2. แบบประเมนดาน

ทกษะกระบวนการ

และกระบวนการกลม

3. แบบประเมนดาน

คณลกษณะทพง

ประสงค

1. ระดบคณภาพ

พอใชขนไป





8

เกณฑการประเมนดานความร

รายการ

ประเมน

5 4 3 2 1 น าหนก

คะแนน

รวม

แบบฝก

ทกษะชดท

6.1

แบบฝก


6.2

แบบฝก


6.3

การแสดง

วธท า

ชดเจน

สมบรณ

ค าตอบ

ถกตอง

ครบถวน


วธท า

ชดเจน

ค าตอบ

ถกตอง

ครบถวน


วธท ายงไม

ชดเจน

ค าตอบ

ถกตอง

ครบถวน


วธท ายงไม

ชดเจน

หรอไม

แสดงวธ

ท า ค าตอบ

ถกตอง


วธท าไม

ชดเจน

และ

ค าตอบไม

ถกตอง

4

6

4

20

30

20

แบบทดสอบ

หลงเรยน

ตอบถกไดขอละ 1 คะแนน 10

รวม 80

เกณฑการผาน ไดระดบคณภาพพอใชขนไปถอวาผานผลการประเมนดานทกษะกระบวนการ

เกณฑการประเมน คะแนน ระดบคณภาพ

70 - 80 ดเยยม

60 - 69 ดมาก

50 - 59 ด

40 - 49 พอใช

0 - 39 ปรบปรง

9

เกณฑการประเมนดานทกษะกระบวนการ

รายการ

ประเมน

5 4 3 2 1 น า

หนก

คะแนน

คะ

แนน

ทกษะ

กระบวนการ

แกปญหา

ใชยทธวธ

ด าเนนการ

แกไขปญหา

ส าเรจ อยางม

ประสทธภาพ

อธบายถง

เหตผลในการ

ใชวธดงกลาว

ไดเขาใจ

ชดเจน

ใชยทธวธ



ส าเรจ แต

นาจะอธบาย

ถงเหตผล

ในการใช

วธการ

ดงกลาวได

บางสวน

มยทธวธ



ส าเรจเพยง

บางสวน

อธบายถง

เหตผลในการ

ใชวธการ

ดงกลาวได

บางสวน

มรองรอยการ



บางสวน เรม

คดวาท าไมจง

ตองใชวธการ

เหลานนแลว

หยด อธบาย

ตอไมได

แกปญหาไม

ส าเรจ

ท าไมไดถง

เกณฑขางตน

หรอไมม

รองรอยการ

ด าเนนแกไข

ปญหา

2 10

ทกษะ


การใหเหตผล

มการอางอง

เสนอแนวคด

ประกอบการ

ตดสนใจ

อยาง

สมเหตสมผล

มการอางองท

ถกตอง

บางสวน และ


ประกอบ

การตดสนใจ


ไม

สมเหตสมผล

ในการ


ตดสนใจ

มความ

พยายามเสนอ

แนวคด


ตดสนใจ

ไมมแนวคด


ตดสนใจ

2 10

10

เกณฑการประเมนดานทกษะกระบวนการ(ตอ)

รายการ

ประเมน

5 4 3 2 1 น า

หนก

คะแนน

คะ

แนน

ทกษะ


การสอ

ความหมาย

ใชภาษาและ

สญลกษณ

ทาง

คณตศาสตร

ทถกตอง

น าเสนอ

แสดงขอมล

ประกอบ

ตามล าดบ

ขนตอนได

เปนระบบ

กระชบ

ชดเจน และม

รายละเอยด

สมบรณ


สญลกษณ

ทาง


น าเสนอโดย

ใชการแสดง

ขอมล

ประกอบ

ตามล าดบ

ขนตอนได

ถกตอง


สญลกษณ

ทาง


แสดงขอมล

ประกอบ

ชดเจน

บางสวน


สญลกษณ

ทาง


อยางงายๆ

ไมไดและ

การน าเสนอ

ไมชดเจน


สญลกษณ

ทาง


และน าเสนอ

ไมได

2 10

รวม 30

11

เกณฑการผาน ไดระดบคณภาพพอใชขนไปถอวาผาน


26 - 30 ดเยยม

21 - 25 ดมาก

16 - 20 ด

11 - 15 พอใช


12

เกณฑการประเมนดานคณลกษณะทพงประสงค

รายการ

ประเมน

5 4 3 2 1 น าหนก

คะแนน

รวม

มความ

รบผดชอบ

สงงานกอน

หรอตรง

ก าหนดเวลา

นดหมาย


ในงานท

ไดรบ

มอบหมาย

และปฏบต

เองจนเปน

นสย เปน

ระบบแก

ผอน และ

แนะน า

ชกชวนให

ผอนปฏบต


หรอตรง


นดหมาย


ในงานท

ไดรบ




นสย เปน

ระบบแก

ผอน


หรอตรง


นดหมาย


ในงานท

ไดรบ




นสย

สงงานชา

กวาก าหนด

แตไดมการ

ตดตอชแจง

ครผสอนม

เหตผลทรบ

ฟงได


ในงานท

ไดรบ


สงงานชา

กวาก าหนด

ปฏบตงาน

โดยตอง

อาศยการ

ชแนะ

แนะน า

ตกเตอน

หรอให

ก าลงใจ

2 10

รวม รวม 20

13

เกณฑการประเมนดานคณลกษณะทพงประสงค(ตอ)

รายการ

ประเมน

5 4 3 2 1 น าหนก

คะแนน

รวม

ท างานเปน

ระบบ

มความ

รอบคอบ

มการวาง

แผนการ

ด าเนนงาน


การท างานม

ครบทก

ขนตอน จด

เรยงล าดบ

ความส าคญ

กอน – หลง

ของงาน

ถกตอง

ครบถวน


แผนการ



การท างานม

ครบทก





ของงาน

ถกตอง


แผนการ


การท างาน

ครบทก





ของงานได


แผนการ



ไมครบทก





ของงานได

เปน

บางสวน

ไมมการ

วาง

แผนการ



ไมจด



ของงาน

2 10

เกณฑการผาน ไดระดบคณภาพพอใชขนไปถอวาผาน


18 - 20 ดเยยม

15 - 17 ดมาก

12 - 14 ด

9 - 11 พอใช


14

แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท 6

เรอง การหาคาสงสดและคาต าสด

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. ดานความร

หาคาสงสดและคาต าสดจากแบบจ าลองทางคณตศาสตรท

ก าหนดใหได

2. ดานทกษะกระบวนการ

มความสามารถในการแกปญหา

3. ดานคณธรรม จรยธรรม และคณลกษณะอนพงประสงค

มความรบผดชอบ

15

แบบทดสอบกอนเรยน


1. จงหาคาต าสดของ L ภายใตอสมการขอจ ากดตอไปน

L = x + 0.9y

x + 0.8y ≥ 4

x + y ≥ 4.5

x ≥ 0

y ≥ 0

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

16

2. จงหาคาต าสดของ H ภายใตอสมการขอจ ากดตอไปน

H = 5x + 2y

x + y ≤ 10

y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥ 0

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

17

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน


1. จงหาคาต าสดของ L ภายใตอสมการขอจ ากดตอไปน

L = x + 0.9y

x + 0.8y ≥ 4

x + y ≥ 4.5

x ≥ 0

y ≥ 0

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดทง 4 อสมการจะไดบรเวณทแรเงาเปนอาณาบรเวณทหา

ค าตอบไดดงรป

จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 5) , (4.5 , 0)

และ (2 , 2.5) เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงค

จะไดคา L ดงน

L มคาต าสด เทากบ 4.25

(x , y) L = x + 0.9y (0 , 5) (4.5 , 0) (2 , 2.5)

4.5 4.5

4.25

-15 -10 -5 5 10 15

8

6

4

2

-2

-4

H(2,2.5)

g x = -x+4.5

f x = -x

0.8+

4

0.8

X

Y

18

2. จงหาคาต าสดของ H ภายใตอสมการขอจ ากดตอไปน

H = 5x + 2y

x + y ≤ 10

y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥ 0



จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 0) , (10, 0) , (0 , 5) และ (5 , 5) เมอแทนคาพกด

ของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา H ดงน

H มคาสงสด เทากบ 50

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

I (5,5)

f x = 5

g x = -x+10

X

Y

(x , y) H = 5x + 2y (0 , 0) (10, 0) (0 , 5) (5 , 5)

0 50 10 35

19

ความคดพนฐานและเทคนคการแกปญหาในแตละสภาพการณเปาหมายตางตองการปรมาณ

สงสด (หรอปรมาณต าสด) โดยไมละเมดขอจ ากดทมอย โดยการก าหนดฟงกชนจดประสงค

(Objective function) และอสมการขอจ ากด (Constraint inequalities) ขน แลวเขยนกราฟตามอสมการ

ขอจ ากด แรเงาอาณาบรเวณทเปนไปได (Feasible region) คอ บรเวณทผลลพธของตวแปรทงสองตว

เปนค าตอบได ตอไปคอการหาผลลพธหรอค าตอบทดทสดจากค าตอบทอยในอาณาบรเวณทแรเงาไว

โดยการแทนคาจดยอดมม (Extreme points) ของรปเหลยมทปดลอมบรเวณทแรเงาไว ค าตอบคอคา

ของตวแปรทท าใหฟงกชนจดประสงคมคาสงสด (หรอต าสด) ตามตองการ หรออกวธ ท าไดโดยการ

เลอนเสนตรงทสรางจากฟงกชนจดประสงคซงผานจด (0 ,0) เขาไปในอาณาบรเวณทแรเงา ถาพบจด

แรกจะไดคา (x , y) ทท าใหเกดคาต าสด ถาพบจดใดเปนจดสดทายจะไดคา (x , y) ทท าใหเกดคาสงสด

ตามตองการ ซงบางครงอาจมมากกวา 1 จด เชน

P = 8x + 10y

2x + y ≤ 50

x + 2y ≤ 70

x ≥ 0

y ≥ 0

สมการแรกเรยกวา “ฟงกชนจดประสงค” (Objective function) สวนอสมการทงหมดเรยกวา

“อสมการขอจ ากด” (Constraint inequalities)

ค าตอบของสถานการณปญหานกคอคา x และ y ตามเงอนไขของอสมการขอจ ากดทท าให P

มคามากทสด การหาค าตอบท าไดโดยพจารณากราฟของอสมการขอจ ากด ดงน

ใบความรท 6


20

เซตของจดทสอดคลองอสมการ 2x + y ≤ 50 และอสมการ x + 2y ≤ 70 เมอพจารณาแยกสวน

คอ อาณาบรเวณทแรเงาในรป 6.1 และ 6.2 ตามล าดบ

รป 6.1

รป 6.2

-120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120

70

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

-40

J (25,0)

K(0,50)

f x = -2x+50

X

Y

-100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

k'''

j''''M(70,0)

L(0,35)

f x = -x

2+35

X

Y

21

เมอพจารณาเซตของจดทสอดคลองอสมการทงสอง จะไดบรเวณทแรเงาในรป 6.3

รป 6.3

และเมอพจารณาขอจ ากด x ≥ 0 และ y ≥ 0 รวมกน จะไดวาเซตของจดทสอดคลองอสมการขอจ ากด

คอ อาณาบรเวณทแรเงาในรป 6.4

รป 6.4

-100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

N(10,30)

g x = -x

2+35

f x = -2x+50

X

Y

-100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

R(70,0)

Q(25.04,009)

P (0,35) N (10,30)

S (0,50)

g x = -x

2+35

f x = -2x+50

X

Y

22

เซตของจดทอยบรเวณทแรเงารวมทงจดทเสนขอบเรยกวา อาณาบรเวณทหาค าตอบได

(Feasible region) ซงจดทกจดในอาณาบรเวณนสอดคลองอสมการขอจ ากด

ค าตอบของปญหาไดจากจดใดจดหนง (หรอหลายจด) ในอาณาบรเวณทหาค าตอบได

ดงกลาวซงไดคาสงสดของฟงกชนจดประสงค P = 8x + 10y สงเกตคาของ P เมอก าหนดให P เปนคา

คงตวใด ๆ คา P ทตางกนท าใหไดกราฟเสนตรงทขนานกนขนชดหนง เชน

เมอ P = 0 จะได 8x + 10y = 0

P = 200 จะได 8x + 10y = 200

P = 400 จะได 8x + 10y = 400

P = 600 จะได 8x + 10y = 600

ซงจากสมการขางตนจะไดกราฟดงรป 6.5

รป 6.5

เขยนกราฟเสนตรงของฟงกชนจดประสงค P = 8x + 10y ใหตดกบอาณาบรเวณทหาค าตอบ

ได สงเกตวาถาเลอนเสนตรงของฟงกชนจดประสงคออกหางจากจดก าเนดมากขน คาของ P จะ

เปลยนไปโดยเพมขนเรอย ๆ ตามไปดวย และจะเปนคาทมากสด ณ ต าแหนงจดมมของรปหลาย

เหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได ดงรป 6.6

-200 -150 -100 -50 50 100 150 200

120

100

80

60

40

20

-20

-40

-60

j x = -8x

10+20

g x = -8x

10

h x = -8x

10+40

f x = -8x

10+60

X

Y

23

รป 6.6

ในทนจด B คอค าตอบของปญหาทท าใหคาของ P ในฟงกชนจดประสงคมคามากทสด พกด

ของ B ซงหาไดจากการแกระบบสมการ 2x + y ≤ 50 และ x + 2y ≤ 70 คอ (10 , 30) และเมอแทนคา x

และ y ในฟงกชนจดประสงค P = 8x + 10y ดวย 10 และ 30 ตามล าดบ จะได P = 380

ดงนนจงสรปไดวา คา x = 10 และ y = 30 จะไดคา P สงสด และมคาเทากบ 380 ในตวอยางน

เราอาจตรวจสอบไดวาจดอน ๆ ทอยในอาณาบรเวณทหาค าตอบไดนนจะใหคา P ทจด B(10 , 30)

ทงหมด

ดงไดแสดงแลวขางตน ค าตอบทตองการจะอยทจดมมของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณ

ทหาค าตอบได ดงนน ในการแกปญหาก าหนดการเชงเสน อาจแสดงวธท าอยางกระชบโดยอาจเรมตน

ดวยการเขยนกราฟและระบพกดของจดมมของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได

จากนนหาคา P แลวเปรยบเทยบคา P ทไดจากจดมมแตละจดวาคาใดคอคาทตองการ (มากทสดหรอ

นอยทสดแลวแตสถานการณปญหา)

จากตวอยาง จด O จด A จด B และจด C คอจดมมของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณทหา

ค าตอบได หาพกดของจดมมและคา P ไดดงตารางตอไปน

-60 -40 -20 20 40 60

40

30

20

10

-10

-20

T

u

v

X

Y

24

จากการเปรยบเทยบคา P พบวาทจดมม B(10 , 30) ใหคา P มากทสด

จดมม (x , y) P = 8x + 10y O(0 , 0) 0

A(0 , 35) 350 B(10 , 30) 380 C(25 , 0) 200

-60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60

40

35

30

25

20

15

10

5

-5

-10

-15

-20

k''''j''

(0,0) (0,25)

(10,35)(0,35)

X

Y

25

1. การแกปญหาเพอหาคาสงสด

เชน จงหาคาสงสดของ P ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดให

P = 5x + y

4x + 3y ≤ 24

x + 3y ≤ 15

x ≥ 0

y ≥ 0



จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 0) , (6 , 0) , (0 , 5) และ (3 , 4) เมอแทนคาพกดของจด

มมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมมของ (6 , 0) จะใหคา P

สงสดและมคา เทากบ 30

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

g x = -x

3+5

f x = -4x

3+8

X

Y

จดมม (x , y) P = 5x + y (0 , 0) (6 , 0) (0 , 5) (3 , 4)

0 30 5

19

26

จากตวอยางขางตนอาจสรปล าดบขนในการหาคาสงสดไดดงน

เมอก าหนดเสนตรง 1 เปนกราฟของสมการเชงเสน ax + by = P เมอ P เปนตวแปร

เสรม (Parameter ) จะไดวา

1. ถา b > 0 แลว 1 ตดแกน y ในต าแหนงสงขน เมอ P เพมขน และ 1 ตดแกน y ใน

ต าแหนงลดลง เมอ P ลดลง

2. ถา b < 0 แลว 1 ตดแกน y ในต าแหนงสงขน เมอ P ลดลง และ 1 ตดแกน y ใน

ต าแหนงลดลง เมอ P เพมขน

ฟงกชนจดประสงคมเงอนไขบงคบเปนเซตทมขอบเขต (บรเวณทมพนทจ ากด) จะมทง

คาสงสดและคาต าสด ซงคาทงสองจะเกดขนทจดมมของกราฟ และในกรณทเงอนไขบงคบเขต

ไมมเขต (บรเวณทมพนทไมจ ากด)ฟงกชนจดประสงคจะมคาสงสด (คาต าสด) หรอไมกไดแต

ถามคานนจะเกดขนทจดมมของกราฟเชนกน ส าหรบในกรณทหาค าตอบทเหมาะสมทสดได 2

จด จะไดวาจดทอยระหวางจดทงสองนนเปนค าตอบทเหมาะสมดวย

การแกปญหาเพอหาคาสงสด ของคาทตองการ อนเนองมาจากทรพยากรทมอยอยาง

จ ากด ท าไดดงน

1. น า............................................จากแบบจ าลองทางคณตศาสตรมาเขยนกราฟท

สอดคลองกบระบบอสมการขอจ ากดคอ อาณาบรเวณทหาค าตอบได (Feasible Region)

2. หาพกดของจด.....................ของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได

3. น าพกดของจด.....................ในขอ 2 แทน........................................เพอหาค าตอบท

เหมาะสมทสด (คาทสงสด)

27

แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท 6.1

จงหาคาสงสดของ P ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดให

1. P = x + 2y

4x + 3y ≤ 12

2y + x ≤ 6

x ≥ 0

y ≥ 0

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดทงหมด ไดดงรป

จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ .........................................................................................

เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมม................................ จะใหคา P

สงสดและมคา เทากบ.......................

X

Y

(x , y) P = x + 2y

28

2. P = 6x + y

x + y ≤ 8

2x - y ≤ 4

x ≥ 0

y ≥ 0



เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมม................................ จะใหคา P


X

Y

(x , y) P = 6x + y

29

3. P = 2x + y

2x + 3y ≤ 23

x + 4y ≤ 24

2x + y≤ 24

x ≥ 0

y ≥ 0


……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………………………………….…

X

Y

30

2. การแกปญหาเพอหาคาต าสด

จงหาคาต าสดของ M ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดใหตอไปน

M = x + 2y

3x + 2y ≤ 12

x + 3y ≤ 11

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 6) , (2 , 3) และ (11 , 0) เมอแทนคาพกดของจด

มมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา M ดงน

ดงนนจดมม (2 , 3) จะใหคา M

ต าสด และมคา เทากบ 8

-15 -10 -5 5 10 15 20

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

B(11,0)

C(2,3)

D(0,6)

s x = -x

3+

11

3

r x = -3x

2+6

X

Y

(x , y) M = x + 2y (0 , 6) 12 (2 , 3) 8 (11 , 0) 11

การแกปญหาเพอหาคาต าสดมวธการเหมอนกบการแกปญหาเพอหาคาสงสดแตค าตอบ

ใหพจารณาจดมมทใหคาต าสด

31


จงหาคาต าสดของ C ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดใหตอไปน

1. C = 10x + 6y

5x + y ≥ 10

2x + y ≥ 7

x ≥ 0

y ≥ 0



เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา C ดงน

ดงนนจดมม................................ จะใหคา C

ต าสดและมคา เทากบ.......................

X

Y

(x , y) C = 10x + 6y

32

2. C = 2x - y

2x + 3y ≥ 12

2x - 3y ≥ 0

x ≥ 0

y ≥ 0






X

Y

(x , y) C = 2x - y

33

3. C = 20x + 30y

4x + y ≥ 8

2x + 5y ≥ 18

2x + 3y ≥ 14

x ≥ 0

y ≥ 0






X

Y

(x , y) C = 20x + 30y

34


1. จงหาคาต าสดของ L ตามอสมการขอจ ากดตอไปน

L = 2x + 3y

x + 2y ≥ 4

x + y ≥ 3

x ≥ 0

y ≥ 0



เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา L ดงน

ดงนนจดมม................................ จะใหคา L


X

Y

(x , y) L = 2x + 3y

35

2. จงหาคาสงสดของ H ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดให

H = 30x + 70y

2x + y ≤ 800

2x + 3y ≤ 1200

x ≥ 0

y ≥ 0



เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา H ดงน

ดงนนจดมม................................ จะใหคา H


X

Y

(x , y) H = 30x + 70y

36

เฉลยแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท 6.1

จงหาคาสงสดของ P ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดให

1. P = x + 2y

4x + 3y ≤ 12

2y + x ≤ 6

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 0) , (0 , 3) , (1.2 , 2.4) และ (3 , 0) เมอแทนคาพกดของ

จดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมม (0 , 3) หรอ (1.2 , 2.4) จะใหคา P

สงสด และมคา เทากบ 6

-10 -5 5 10 15

8

6

4

2

-2

-4 g x = -4x

3+4

f x = -x

2+3

X

Y

(x , y) P = x + 2y (0 , 0) 0 (0 , 3) 6

(1.2 , 2.4) 6 (3 , 0) 3

37

2. P = 6x + y

x + y ≤ 8

2x - y ≤ 4

x ≥ 0

y ≥ 0



มมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมม (4 , 4) จะใหคา P


-15 -10 -5 5 10 15 20

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

F(4,4)

g x = 2x-4f x = -x+8

X

Y

(x , y) P = 6x + y (0 , 0) 0 (0 , 8) 8 (2 , 0) 12 (4 , 4) 28

38

3. P = 2x + y

2x + 3y ≤ 23

x + 4y ≤ 24

3x + y ≤ 24

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 0) , (0 , 6) , (4 , 5) , (7 , 3) และ (8 , 0) เมอแทนคาพกด

ของจดมมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา P ดงน

ดงนนจดมม (7 , 3) จะใหคา P


-50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60

35

30

25

20

15

10

5

-5

-10

-15

-20

G(7,3)

H(4,5)g x = -3x+24

h x = -x

4+6

f x = -2x

3+

23

3

X

Y

(x , y) P = 2x + y (0 , 0) 0 (0 , 6) 6 (4 , 5) 13 (7 , 3) 17 (8 , 0) 16

39


จงหาคาต าสดของ C ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดใหตอไปน

1. C = 10x + 6y

5x + y ≥ 10

2x + y ≥ 7

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 10) , (1 , 5) และ (3.5 , 0) เมอแทนคาพกดของจดมม

ขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา C ดงน

ดงนนจดมม (3.5 , 0) จะใหคา C

ต าสดและมคา เทากบ 35

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

f x = -2x+7

g x = -5x+10

X

Y

(x , y) C = 10x + 6y (0 , 10) 60 (1 , 5) 40 (3.5 , 0) 35

40

2. C = 2x - y

2x + 3y ≥ 12

2x - 3y ≥ 0

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (3 , 2) และ (6 , 0) เมอแทนคาพกดของจดมมขางตนใน

ฟงกชนจดประสงคจะไดคา C ดงน

ดงนนจดมม (3 , 2) จะใหคา C


-15 -10 -5 5 10 15

8

6

4

2

-2

-4

-6

g x = -2x

3+4

f x = 2x

3

X

Y

(x , y) C = 2x – y (3 , 2) 60 (6 , 0) 40

41

3. C = 20x + 30y

4x + y ≥ 8

2x + 5y ≥ 18

2x + 3y ≥ 14

x ≥ 0

y ≥ 0



มมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา C ดงน

ดงนนจดมม (1 , 4) และ (4 , 2) จะใหคา C


-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

k''''

M(4,2)

N(1,4)

h x = -2x

5+

18

5

g x = -2x

3+

14

3

f x = -4x+8

X

Y

(x , y) C = 20x + 30y (0 , 8) 240 (1 , 4) 140 (4 , 2) 140 (10 , 0) 200

42


1. จงหาคาต าสดของ L ตามอสมการขอจ ากดตอไปน

L = 2x + 3y

x + 2y ≥ 4

x + y ≥ 3

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 3) , (2 , 1) และ (4 , 0) เมอแทนคาพกดของจดมมขางตน

ในฟงกชนจดประสงคจะไดคา L ดงน

ดงนนจดมม (2 , 1) จะใหคา L


-15 -10 -5 5 10 15

8

6

4

2

-2

-4

F(4,0)

G(2,1)

H(0,3)

g x = -x

2+2

f x = -x+3

X

Y

(x , y) L = 2x + 3y (0 , 3) 9 (2 , 1) 7 (4 , 0) 8

43

2. จงหาคาสงสดของ H ตามอสมการขอจ ากดทก าหนดให

H = 30x + 70y

2x + y ≤ 800

2x + 3y ≤ 1200

x ≥ 0

y ≥ 0


จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 400) , (300 , 200) และ (400 , 0) เมอแทนคาพกดของจด

มมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา H ดงน

ดงนนจดมม (0 , 400) จะใหคา H

สงสด และมคา เทากบ 28,000

-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

-100

-200

-300

-400

-500

-600

j'''

J(400,0)

I(300,200)

K(0,400)

f x = -2x

3+400

g x = -2x+800

X

Y

(x , y) H = 30x + 70y (0 , 0) 0 (0 , 400) 28,000 (300 , 200) 23,000 (400 , 0) 12,000

44

แบบทดสอบหลงเรยน


1. จงหาคาต าสดของ L ภายใตเงอนไขของจ านวนจรง x และ y ดงตอไปน

L = x + 0.9y

x + 0.8y ≥ 4

x + y ≥ 4.5

x ≥ 0

y ≥ 0

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

45

2. จงหาคาต าสดของ H ภายใตเงอนไขของจ านวนจรง x และ y ดงตอไปน

H = 5x + 2y

x + y ≤ 10

y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥ 0

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

46

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน


1. จงหาคาต าสดของ L ภายใตเงอนไขของจ านวนจรง x และ y ดงตอไปน

L = x + 0.9y

x + 0.8y ≥ 4

x + y ≥ 4.5

x ≥ 0

y ≥ 0



จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 5) , (4.5 , 0) และ (2 , 2.5) เมอแทนคาพกดของจดมม

ขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา L ดงน

L มคาต าสด เทากบ 4.25

-10 -5 5 10 15

8

6

4

2

-2

-4

N(4.5,0)

o(2,2.5)

P(0,5)

u x = -x+4.5

t x = -x

0.8+

4

0.8

X

Y

(x , y) L = x + 0.9y (0 , 5) (4.5 , 0) (2 , 2.5)

4.5 4.5

4.25

47

2. จงหาคาต าสดของ H ภายใตเงอนไขของจ านวนจรง x และ y ดงตอไปน

H = 5x + 2y

x + y ≤ 10

y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥ 0

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากดทง 4 อสมการจะไดบรเวณทแรเงาเปนอาณาบรเวณทหาค าตอบไดดง

รป

จดมมทไดจากกราฟอสมการขอจ ากดคอ (0 , 0) , (10, 0) , (0 , 5) และ (5 , 5) เมอแทนคาพกดของจด

มมขางตนในฟงกชนจดประสงคจะไดคา H ดงน

ดงนน H มคาสงสด เทากบ 50

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

Q(5,5)

g x = -x+10

f x = 5

X

Y

(x , y) H = 5x + 2y (0 , 0) (10, 0) (0 , 5) (5 , 5)

0 50 10 35

Documents

ชุดการสอนที่ 6 43202 - kroobannok.com · จุดมุมที่ไดจ้ากกราฟอสมการข้อจากดัคือ (0 ,