ชดท

ชดการสอน

ชนมธยมศกษาปท 2 เรองอตราสวนและรอยละ

อตราสวน

นางสพตรา วเศษวสย ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ

โรงเรยนหนองชมแสงวทยาคม

อ าเภอหนองกงศร จงหวดกาฬสนธ

สงกดองคการบรหารสวนจงหวดกาฬสนธ

ทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร

ค ำน ำ

ชดการสอนทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เรอง อตราสวนและรอยละ ชนมธยมศกษาปท 2 ชดท 1 เรอง อตราสวน เปนเอกสารทางวชาการทจดท าขนและปรบปรงมาอยางตอเนองตามหลกวชาการ สอดคลองกบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 จตวทยาการเรยนรกระบวนการจดการเรยนร การวดผลและประเมนผล โดยมวตถประสงค ดงน

1. เพอพฒนาทกษะกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร ของนกเรยนชนมธยมศกษา ปท 2

2. เพอชวยใหครผสอนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบชนมธยมศกษาปท 2 มสอประกอบการจดการเรยนร และสามารถน าชดการสอนทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เรอง อตราสวนและรอยละ ชดท 1 เรอง อตราสวน ไปใชในการเรยนการสอนนกเรยน เพอพฒนาทกษะกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตรได

3. เพอชวยใหนกเรยนมความร ความเขาใจ เรอง อตราสวน สามารถน าชดการสอนทเนน กระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เรอง อตราสวนและรอยละ ชดท 1 เรอง อตราสวน ไปศกษาดวยตนเอง เพอเสรมความรและพฒนาทกษะกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตรได

4. เพอใชสอนซอมเสรมนกเรยนทเรยนออนหรอเรยนชา และเสรมนกเรยนทเกง โดยสามารถท าความเขาใจเนอหาไดนอกเวลาทครท าการสอน

การจดท าชดการสอนทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เรอง อตราสวนและรอยละ ชดท 1 เรอง อตราสวน ไดรบการสนบสนน และค าแนะน า จากผอ านวยการสถานศกษา ผเชยวชาญ ตลอดทงคณะครเปนอยางดยง จงขอขอบพระคณ ไว ณ โอกาสนและหวงวาชดการสอนทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เรอง อตราสวนและรอยละ ชดท 1 เรอง อตราสวน นจะเปนประโยชนตอคร นกเรยน ทจะไดน าไปใชประกอบการจดการเรยนการสอน อนจะสงผลให การจดการเรยนการสอนกลมสาระ การเรยนรคณตศาสตร เปนไปอยางมประสทธภาพ

สพตรา วเศษวสย

ก

สำรบญ หนา ค าน า......................................................................................................................... .................... ก สารบญ...................................................................................................... ................................... ข ค าแนะน าในการใชชดการสอน............................................................................................ ........ ค จดประสงคการเรยนร...................................................................... ............................................. ง สาระการเรยนร.............................................................................................................. .............. ง ชวโมงท 1............................................................................................................................. .... 1 อตราสวน....................................................................................................... ............. 1 ปญหาท 1................................................................................................................... 2 ปญหาท 2............................................................................ ....................................... 3 แบบฝกหดระหวางเรยนท 1.1.................................................................................... 5 ใบกจกรรมท 1.1.......................................................... ............................................... 8 ใบค าตอบกจกรรมท 1.1............................................................................................. 10 เฉลย............................................................ ................................................................ 11 เฉลยแบบฝกหดระหวางเรยนท 1.1............................................................................ 12 เฉลยใบกจกรรมท 1.1................................................................................................. 16 เอกสารอางอง.............................................................................................................. 17

ข

ค ำแนะน ำในกำรใชชดกำรสอน

เมอครผสอนน าชดการสอนมาใชควรปฏบต ดงน 1. กอนการสอนทกครง ควรศกษาชดการสอนทกขนตอนอยางละเอยดเพอใหเกดความเขาใจ 2. เตรยมสอการเรยนการสอนใหพรอมและควรทดลองใชกอนเสมอ 3. แนะน าใหผเรยนมความเขาใจในขนตอนและกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร เพอใหนกเรยนปฏบตกจกรรมดวยความเขาใจ ถกตอง และชดเจน

4. แจงจดประสงคการเรยนรใหผเรยนทราบวาเมอผเรยนไดใชชดการสอนนจบแลว ผเรยนตองมความรความสามารถตามจดประสงคการเรยนรใดบาง

5. ด าเนนการสอนโดยใชชดการสอนทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร ตามขนตอนในแผนการจดการเรยนร

6. ในชดการสอนแตละชดจะมแบบฝกหดระหวางเรยนใหผเรยนไดท ากจกรรม เปนรายบคคล บนทกผลการท าแบบฝกหดระหวางเรยนเปนคะแนนเกบระหวางเรยน

7. เมอผเรยนใชชดการสอนทเนนกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตรครบทง 6 ชด แลว ใหผเรยนท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนแบบเลอกตอบชนด 4 ตวเลอก จ านวน 40 ขอ ใชเวลา 50 นาท แลวบนทกผลการสอบเปนคะแนนหลงเรยน

8. ครผสอนควรมพฤตกรรม ดงน เปดใจใหกวาง เปดโอกาสใหผเรยนไดแสดง ความคดเหนของตนเองอยางทวถง สงเกตพฤตกรรมของผเรยนในกรณทผเรยนมปญหา ในการเรยนรผสอนตองคอยใหค าแนะน าใหการเสรมแรงทางบวกแกผเรยน เชน กลาวชมเชย ใหของรางวลเลกๆ นอยๆ

ค

กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร

ม. 2 1 ชวโมง

1. นกเรยนสามารถเขยนอตราสวนแทนการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณ ทก าหนดใหได 2. นกเรยนสามารถใชความรเรองอตราสวนในการแกปญหาหรอสถานการณท ก าหนดใหได

อตราสวน a ตอ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ba

เรยก a วาจ านวนแรก หรอ จ านวน

ทหนง และเรยก b วาจ านวนหลง หรอจ านวนทสอง

ต าแหนงของจ านวนในแตละอตราสวนมความส าคญ กลาวคอ อตราสวน a : b ไมใช อตราสวนเดยวกบ b : a ในการแกปญหาโจทยเราสามารถน ากระบวนการแกปญหา ซงประกอบดวย 5 ขนตอน

คอ ท าความเขาใจปญหา วางแผนแกปญหา ด าเนนการแกปญหา ตรวจสอบค าตอบ และเขยนแสดงวธแกปญหามาเปนแนวทางในการหาค าตอบของปญหา

ง

1

ใหนกเรยนพจำรณำรปภำพตอไปน

รปท 1 รปท 2

จากรปท 1 จะเหนวา มผหญง 2 คน และมผชาย 3 คน

กลาวไดวา อตราสวนของจ านวนผหญงตอจ านวนผชายเปน 2 ตอ 3

หรอ อตราสวนของจ านวนผชายตอจ านวนผหญงเปน 3 ตอ 2

เขยนแทน อตราสวน 2 ตอ 3 เขยนแทนดวย 2 : 3 หรอ 32

อตราสวน 3 ตอ 2 เขยนแทนดวย 3 : 2 หรอ 23

เรามาศกษาเนอหา เรอง อตราสวนกอนนะคะนกเรยน

การเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกนเราไมนยมเขยนหนวยก ากบไว

แตการเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยตางกน ซงไมสามารถเปลยนใหเปน

หนวยเดยวกนได จะตองเขยนหนวยก ากบไวเสมอ

จ ำใหไดนะ

คะ

จากรปท 2 จะเหนวา มจ านวนปากกา 4 ดาม และจ านวน

สมด 5 เลม

กลาวไดวา อตราสวนของจ านวนปากกาเปนดามตอจ านวน

สมดเปนเลมเปน 4 ตอ 5

หรอ อตราสวนของจ านวนสมดเปนเลมตอจ านวน

ปากกาเปนดามเปน 5 ตอ 4

เขยนแทน อตราสวน 4 ตอ 5 เขยนแทนดวย 4 : 5 หรอ 4

5

อตราสวน 5 ตอ 4 เขยนแทนดวย 5 : 4 หรอ 5

4

2

อตราสวนของปรมาณ a ตอปรมาณ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ba

เรยก a วา

จ ำนวนแรก หรอ จ ำนวนทหนง และเรยก b วา จ ำนวนหลง หรอจ ำนวนทสอง

อตราสวนแตละอตราสวน เปนการเปรยบเทยบจ านวนสองจ านวนหรอปรมาณสองปรมาณ เชน น าหนก

ความสง ความกวาง ความยาว พนท จ านวนสงของ จ านวนคน หรออนๆ ทตองการน ามาเปรยบเทยบกน

ปญหำท 1 พจารณาสงของทก าหนดดงรป

จำกสงของทก ำหนดใหจงเขยนอตรำสวนแสดงกำรเปรยบเทยบจ ำนวนของสงตำงๆ

จากภาพม จ านวนหนงสอ..........................................เลม

จ านวนรถยนต...........................................คน

จ านวนโทรศพทมอถอ...............................เครอง

ดงนน จ านวนหนงสอ ตอ จ านวนรถยนต เปน .................................................

จ านวนรถยนต ตอ จ านวนโทรศพท เปน .................................................

จ านวนโทรศพท ตอ จ านวนหนงสอ เปน .................................................

3

ปญหำท 2 ในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสมตางๆ ดงน

จงหาวาถาตองการท าน าสมคนเพอรบประทาน 6 คน จะตองใชสวนผสมตางๆ อยางละกกรม

กำรแกปญหำ

1. ท ำควำมเขำใจปญหำ

ปญหำตองกำรทรำบอะไร

............................................................................................................................. .............................................

ปญหำก ำหนดขอมลอะไรบำง

สวนผสมในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 2 คน ดงน

น าสมคน 50 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 150 กรม

ปญหำตองกำรค ำตอบเปนหนวยใด

............................................................................................................................. .............................................

2. วำงแผนแกปญหำ

จะใชวธการใดในการหาสวนผสมตางๆ ในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 6 คน

............................................................................................................................. .............................................

3. ด ำเนนกำรแกปญหำ

ในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 6 คน ตองใชสวนผสมดงน

น าสมคน 3 × 50 = ……………………………………. กรม

เกลอปน 3 × 1 = ……………………………………. กรม

น าเชอม 3 × 150 = ……………………………………. กรม

น ำสมคน

สวนผสม

น าสมคน 50 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 150 กรม

4

4. ตรวจสอบค ำตอบ

ตรวจสอบขนตอนการคดค านวณ ความสอดคลองของค าตอบกบเงอนไขทก าหนดในปญหาโดย

พจารณาจากสวนผสมในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 2 คน

ในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 6 คน ตองใชสวนผสม ดงน

น าสมคน 150 กรม เกลอปน 3 กรม และน าเชอม 450 กรม

ดงนน ถาตองการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสม ดงน

น าสมคน 150 3 = 50 กรม

เกลอปน 3 3 = 1 กรม

น าเชอม 450 3 = 150 กรม

5. เขยนแสดงวธแกปญหำ

ในการท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสมตางๆ ดงน

น าสมคน 50 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 150 กรม

ดงนน การท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 6 คน ตองใชสวนผสมทงหมด ดงน

น าสมคน 3 × 50 = ……………………………………. กรม

เกลอปน 3 × 1 = ……………………………………. กรม

น าเชอม 3 × 150 = ……………………………………. กรม

ตอบ การท าน าสมคนส าหรบรบประทาน 6 คน ใชสวนผสมทงหมด ดงน

น าสมคน ……………………………………. กรม

เกลอปน ……………………………………. กรม

น าเชอม ……………………………………. กรม

5

แบบฝกหดระหวำงเรยนท 1.1

จดประสงคกำรเรยนร 1. เขยนอตราสวนแทนการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทก าหนดใหได

2. ใชความรเรองอตราสวนในการแกปญหาหรอสถานการณทก าหนดใหได

ค ำชแจง ใหนกเรยนแตละคนท าแบบฝกทกษะระหวางเรยน โดยใชเวลา 20 นาท

1.จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน

1) คร 2 คนดแลนกเรยน 55 คน

............................................................................................................................. ......................

2) สมด 3 เลม ราคา 20 บาท

............................................................................................................................. ......................

3) นกเรยนใชคอมพวเตอรเครองละ 2 คน

...................................................................................................................................................

2.จากภาพทก าหนดให มสบปะรด และสมโออยางละ 2 ผล ขนนและทเรยนอยางละ 1 ผล ฝรง 5 ผล

มะมวง 4 ผล ชมพ 7 ผล กลวย 1 หว และผลไมอนๆ จงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบในแตละขอ

ตอไปน

1) จ านวนสบปะรดตอจ านวนทเรยน

............................................................................................................................. ......................

2) จ านวนขนนตอจ านวนสมโอ

............................................................................................................................. ......................

3) จ านวนกลวยเปนหวตอจ านวนฝรงเปนผล

............................................................................................................................. ......................

4) จ านวนชมพตอจ านวนมะมวง

................................................................................ ...................................................................

6

3. ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสมดงน

จงเขยนอตราสวนของสวนผสมตอไปน

1) น าแตงโม ตอ เกลอปน

............................................................................................................................. ........................

2) เกลอปน ตอ น าเชอม

................................................................................................................................................... ..

3) น าเชอม ตอ น าแตงโม

............................................................................................................................. ........................

4) ถาตองการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน ตองใชสวนผสมตางๆ อยางละกกรม

กำรแกปญหำ

1. ท ำควำมเขำใจปญหำ

ปญหำตองกำรทรำบอะไร

............................................................................................................................. .............................................

ปญหำก ำหนดขอมลอะไรบำง

.................................................................................................................................................. ........................

.......................................................................................................... ................................................................

............................................................................................................................. .............................................

................................................................................................................................................. .........................

ปญหำตองกำรค ำตอบเปนหนวยใด

............................................................................ ..............................................................................................

2. วำงแผนแกปญหำ

จะใชวธการใดในการหาสวนผสมตางๆ ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน

............................................................................................................................. .............................................

น าแตงโม 60 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 200 กรม

7

3.ด ำเนนกำรแกปญหำ

............................................................................................................................. ...............................................

................................................................................... ..........................................................................................

............................................................................................................................. ................................................

............................................................................................................................. ................................................

4. ตรวจสอบค ำตอบ

............................................................................................................................. .............................................

..................................................................................... .....................................................................................

............................................................................................................................. .............................................

............................................................................................................................. .............................................

............................................................................................................................. .............................................

..................................................................................... .....................................................................................

............................................................................................................................. .............................................

5.เขยนแสดงวธแกปญหำ

............................................................................................................................. .............................................

..........................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .............................................

............................................................................................................................. .............................................

............................................................................................................................. .............................................

..................................................................................... .........................................................................................

............................................................................................................................. .............................................

............................................................................................................................. .............................................

................................................................................. .........................................................................................

............................................................................................................................. .............................................

............................................................................................................................. .............................................

.............................................................................. ...........................................................................................

8

ใบกจกรรมท 1.1

จดประสงคกำรเรยนร 1. นกเรยนสามารถสรปไดวาอตราสวน a : b ไมใชอตราสวนเดยวกบ

อตราสวน b : a

รปแบบกำรจดกจกรรม เปนกจกรรมกลม ใหแตละกลมศกษาปญหาแลวรวมกนตอบค าถามและ

ใหตวแทนกลมแตละกลมน าเสนอผลงานกลมของตนเอง

ค ำชแจง ใหนกเรยนแตละกลมพจารณาขอความและรปภาพในแตละขอแลวตอบค าถาม

จ ำนวนแอปเปลตอจ ำนวนสตรอเบอรเปน 2 : 3

หมายถง แอปเปล 2 ผล สตรอเบอร 3 ผล ดงรป

จ ำนวนแอปเปลตอจ ำนวนสตรอเบอร 3 : 2

หมายถง แอปเปล 3 ผล สตรอเบอร 2 ผล ดงรป

ค ำถำม

1) จ านวนแอปเปลในอตราสวน 3 : 2 กบจ านวนแอปเปลในอตราสวน 2 : 3 เทากนหรอไม

2) จ านวนสตรอเบอรในอตราสวน 3 : 2 กบจ านวนสตรอเบอรในอตราสวน 2 : 3 เทากนหรอไม

3) นกเรยนคดวาอตราสวนของจ านวนแอปเปลตอจ านวนสตรอเบอรเปน 3 : 2 กบอตราสวนของ

จ านวนแอปเปลตอจ านวนสตรอเบอรเปน 2 : 3 เปนอตราสวนเดยวกนหรอไม

9

จ ำนวนนกตอจ ำนวนผเสอ 4 : 5 หมายถง

นก 4 ตว ผเสอ 5 ตว ดงรป

จ ำนวนนกตอจ ำนวนผเสอ 5 : 4 หมายถง

นก 5 ตว ผเสอ 4 ตว ดงรป

4) จ านวนนกในอตราสวน 4 : 5 กบจ านวนนกในอตราสวน 5 : 4 เทากนหรอไม

5) จ านวนผเสอในอตราสวน 4 : 5 กบจ านวนผเสอในอตราสวน 5 : 4 เทากนหรอไม

6) นกเรยนคดวาอตราสวนของจ านวนนกตอจ านวนผเสอเปน 4 : 5 กบอตราสวนของ

จ านวนนกตอจ านวนผเสอเปน 5 : 4 เปนอตราสวนเดยวกนหรอไม

10

ใบค ำตอบใบกจกรรมท 1.1

ชอ........................................................................ .......................ชน.....................เลขท......................

1) ตอบ.......................................................................................................................... ....................

2) ตอบ......................................................................................... ....................................................

3) ตอบ........................................................................................................................ .....................

4) ตอบ.............................................................................................................................................

5) ตอบ.......................................................................................................................... ...................

6) ตอบ ............................................................................................................................. ...............

สรป............................................................................................................................. .........................................

......................................................................................... .................................................................................

............................................................................................................................. .............................................

................................................................................................................................ ..........................................

งายมากเลยใชไหมคะนกเรยน

เฉลย

12

เฉลยแบบฝกหดระหวำงเรยนท 1.1

1.จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน

1) คร 2 คนดแลนกเรยน 55 คน

อตราสวนของจ านวนครตอจ านวนนกเรยน เปน 2 : 55

2) สมด 3 เลม ราคา 20 บาท

อตราสวนของจ านวนสมดเปนเลมตอราคาเปนบาท เปน 3 : 20

3) นกเรยนใชคอมพวเตอรเครองละ 2 คน

อตราสวนของจ านวนคอมพวเตอรเปนเครองตอจ านวนนกเรยนเปนคน เปน 1 : 2

2.จากภาพทก าหนดให มสบปะรด และสมโออยางละ 2 ผล ขนนและทเรยนอยางละ 1 ผล ฝรง 5 ผล

มะมวง 4 ผล ชมพ 7 ผล กลวย 1 หว และผลไมอนๆ จงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบในแตละขอ

ตอไปน

1) จ านวนสบปะรดตอจ านวนทเรยน

2 : 1

2) จ านวนขนนตอจ านวนสมโอ

1 : 2

3) จ านวนกลวยเปนหวตอจ านวนฝรงเปนผล

1 : 5

4) จ านวนชมพตอจ านวนมะมวง

7 : 4

13

3.ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสมดงน

จงเขยนอตราสวนของสวนผสมตอไปน

1) น าแตงโม ตอ เกลอปน

60 : 1

2) เกลอปน ตอ น าเชอม

1 : 200

3) น าเชอม ตอ น าแตงโม

200 : 60

4) ถาตองการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน ตองใชสวนผสมตางๆ อยางละกกรม

กำรแกปญหำ

1. ควำมเขำในปญหำ

ปญหำตองกำรทรำบอะไร

สวนผสมในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน

ปญหำก ำหนดขอมลอะไรบำง

สวนผสมในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 2 คน

น าแตงโม 60 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 200 กรม

ปญหำตองกำรค ำตอบเปนหนวยใด

กรม

น าแตงโม 60 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 200 กรม

14

2. วำงแผนแกปญหำ

จะใชวธการใดในการหาสวนผสมตางๆ ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน

วธการคณ

3. ด ำเนนกำรแกปญหำ

ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน ตองใชสวนผสมดงน

น าแตงโม 5 × 60 = 300 กรม

เกลอปน 5 × 1 = 5 กรม

น าเชอม 5 × 200 = 1,000 กรม

4. ตรวจสอบค ำตอบ

ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน ตองใชสวนผสม ดงน

น าแตงโม 300 กรม เกลอปน 5 กรม และน าเชอม 1, 000 กรม

ดงนน ถาตองการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสมดงน

น าแตงโม 300 5 = 60 กรม

เกลอปน 5 5 = 1 กรม

น าเชอม 1,000 5 = 200 กรม

นนคอ ค าตอบทไดถกตอง

5.เขยนแสดงวธแกปญหำ

ในการท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 2 คน ตองใชสวนผสมตางๆ ดงน

น าแตงโม 60 กรม

เกลอปน 1 กรม

น าเชอม 200 กรม

ดงนน การท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน ตองใหสวนผสมทงหมด คอ

น าแตงโม 5 × 60 = 300 กรม

เกลอปน 5 × 1 = 5 กรม

น าเชอม 5 × 200 = 1,000 กรม

15

ตอบ การท าน าแตงโมส าหรบรบประทาน 10 คน ใชสวนผสมทงหมด ดงน

น าแตงโม 300 กรม

เกลอปน 5 กรม

น าเชอม 1,000 กรม

16

7

เฉลยใบกจกรรมท 1.1

1) ตอบ ไมเทากน

2) ตอบ ไมเทากน

3) ตอบ ไมเปนอตราสวนเดยวกน

4) ตอบ ไมเทากน

5) ตอบ ไมเทากน

6) ตอบ ไมเปนอตราสวนเดยวกน

สรป อตราสวน a : b ไมใชอตราสวนเดยวกบอตราสวน b : a

ไมยากเลยใชไหมครบ

17

กนกวล อษณกรกล และคณะ. (ม.ป.ป.).คมอคร อจท.คณตศำสตร เลม 1 ชน มธยมศกษำปท 2. กรงเทพฯ :

ไทยรมเกลา.

กนกวล อษณกรกล และคณะ. (ม.ป.ป.).หนงสอเรยน รำยวชำพนฐำน คณตศำสตร เลม 1 ชนมธยมศกษำ

ปท 2. พมพ ครงท 3. กรงเทพฯ : ไทยรมเกลา.

ยพน พพธกลและสรพร ทพยคง. (2559). ชดกจกรรมพฒนำกำรคด เสรมสรำงสมรรถนะส ำคญ และ คณลกษณะอนพงประสงคของผเรยน คณตศำสตร. กรงเทพฯ : สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.). สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย.(2540). กำรแกปญหำ. กรงเทพฯ : ครสภา ลาดพราว. . (2554). คมอครรำยวชำพนฐำนคณตศำสตร เลมท 1 ชนมธยมศกษำปท 2. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : สกศค. ลาดพราว. . (2559). หนงสอเรยน รำยวชำพนฐำน คณตศำสตร เลม 1 ชน มธยมศกษำปท 2. พมพครงท 9. กรงเทพฯ : สกศค. ลาดพราว. สมทบ เลยงนรตนและคณะ.(2557).แบบฝกหดคณตศำสตร ม.2พนฐำน เทอม 1.กรงเทพฯ :บรษท ส านกพมพวบค จ ากด.

เอกสำรอำงอง