1

1

I.­TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1

21

3

4

5

6

7

1

.

.

. ln

.ln

.

. sen cos

. cos sen

a du a u c

u du un

c

duu

u c

a du aa

c

e du e c

u du u c

u du u c

nn

uu

u u

8

9

10

11

12

13

14

15

2

2

. ln (cos )

. cot ln sen

. sec ln(sec )

. csc ln(csc cot )

. sec

. csc cot

. sec sec

. csc cot csc

tan u du u c

u du u c

u du u tan u c

u du u u c

u du tan u c

u du u c

u tan u du u c

u u du u c

16

17 1

18 1

19 12

2 2

2 2

2 2

2 2

. sen

.

. sec

. ln

du

a uarc u

ac

duu a a

arc tan ua

c

du

u u a aarc u

ac

duu a a

u au a

c

20 1

2

21

2 2

2 2

2 2

. ln

. ln

dua u a

a ua u

c

du

u au u a c

22

1

2

1

2

231

2

1

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

. sen

. ln

a u du u a u a arcu

ac

u a du u u a a u u a c

II.­ PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

INDEFINIDA 1. La integral indefinida de la suma o resta de dos o más funciones es igual a la suma o resta de sus integrales.

f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( ) 2. El factor constante se puede sacar del signo de la integral.

c f x dx c f x dx( ) ( ) III.­ INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

En algunos casos, para obtener integrales que no se pueden calcular en forma inmediata, se arregla el integrando mediante un cambio de variable de tal manera que tome la forma de una integral inmediata. Esto es, si la integral existe en la forma

f x dx f g x g x dx

Inte l noinmediata

Funcionerna

Derivadade la funcionerna

( ) ( ( )) ' ( )

gra intint

haciendo el cambio de variable: u = g (x) y por tanto du = g’(x) dx , se facilita la integración

f x dx f u du( ) ( )

IV.­ INTEGRACION POR PARTES

Cuando la integral no es inmediata, pero el integrando es igual al producto o al cociente de dos funciones; es decir, de la forma

f g dx o dx f

gdxf

g

1

,la integración se hace aplicando la fórmula de integración por partes:

u dv uv v du ,

donde se debe:1) Identificar a las funciones u y dv2) Determinar du diferenciando, y v integrando3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula de integración por partes y calcular la integral

v du

V.­ INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

2

2

Si el integrando contiene una expresión de la forma:

a u u a o a u2 2 2 2 2 2 , elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:

FORMA DEL TRIANGULO SUSTITUCION RADICAL RECTANGULO TRIGONOMETRICA

a u2 2 sen = u / a a sen = u

a cos d = du

a u2 2 tan = u / a a tan = u a sec2 d = du

u a2 2 sec = u / aa sec = u

a sec tan d = du

VI.­ INTEGRACION DE FRACCIONES PARCIALES

La integración por el método de fracciones parciales consiste en descomponer una fracción propia de la forma P (x) Q (x) , en una suma de dos o más fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen mediante la factorización de Q (x) en factores lineales y cuadráticos. Se tienen así los siguientes casos:

1.­ Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir, el denominador se descompone en raíces reales de primer grado y diferentes. La descomposición se da en la forma:

P xQ x

Ax a

Bx b

Cx c

Dx d

( )( )

2. Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos se repiten; es decir, las raíces del denominador son números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada factor de Q(x) de la forma (ax + b)n le corresponde una suma de n fracciones parciales :

A

ax bA

ax b

A

ax b

A

ax bn

n1 2

23

3

3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos con raíces complejas que no se repiten. Para cada

factor cuadrático ax2 + bx + c existe la fracción parcial

Ax Bax bx c

2

4. El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos con raíces complejas que se repiten. A cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n le corresponde la suma de n fracciones parciales

A x B

ax bx cA x B

ax bx c

A x B

ax bx c

n nn

1 12

2 2

2 2 2

VII.­ FORMULAS DE REDUCCION

Las fórmulas de reducción se obtienen integrando por partes, y entre las más comunes se encuentran las siguientes:

1

2

3

4

5

6

1 1 1 2

1 1 1 2

1

11 2

1

11 2

1

1

2 2

12

1

1

2 2

12

.

.

.

.

.

.

sen sen cos sen

cos cos sen cos

cot cot cot

sec sec sec

csc cot csc csc

n x dxn

n x xn

nn x

n x dxn

n x xn

nn x

tann x dxn

tann x tann x dx

n x dxn

n x n x dx

dx

dx

n x dxn

tan x n xn

nn x dx

n x dxn

x n xn

nn x dx

71 1

1 2

. cos sencos sen

cos sen

m x n x dxm x n x

m nmm n

m x n x dx

8

9

10

11

1 1

1 2

1

1

1

.

.

sen cossen cos

sen cos

. sen cos cos

. cos sen sen

m x n x dxm x n x

m nm

m nm x n x dx

xn x dx xn x n xn x dx

xn x dx xn x n xn x dx

xn ex dx xn ex xn ex dx

VIII.­ SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

3

3

Si f es una función continua en [a , b y F (x) una función primitiva de f, entonces:

f x dx F x F b F aa

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )

IX.­ AREA ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son dos funciones continuas en [a , b , y si g (x) f (x) para toda x en [a , b entonces el área entre f y g está dada por la fórmula:

A f x g x dxmayor menora

b

( ) ( )

Es bastante útil graficar las funciones f y g , y encontrar los límites de integración resolviendo la ecuación resultante de f (x) = g (x).

X..­ LONGITUD DE UNA CURVA

La longitud de una curva se determina con la fórmula:

L f x dxa

b 1 2' ( ) ,

cuando se conoce el intervalo [ a , b y la expresión algebraica de la función f.

XI.­ VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

Al hacer girar alrededor del eje x el área bajo una función f (x) continua en [ a , b , donde f(x) 0 , se obtiene un sólido de revolución, cuyo volumen se determina con la fórmula:

V f x dxa

b ( ) 2

Si se realiza el giro alrededor del eje y , el volumen se calcula mediante la fórmula:

V g y dya

b ( ) 2

El volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje x dos funciones positivas f (x) y g (x) , continuas en [ a , b , y que satisfagan f (x) g (x) para toda x en [ a , b , se calcula con la fórmula:

V f x g x dxmayor menora

b

2 2( ) ( )

XII.­ IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Las identidades que más se aplican al calcular integrales trigonométricas son:

1 2

31

41

51

6 2 2 1

7 1 2 2 8 1 2 2

)sencos

) cotcossen

) cscsen

) seccos

) cot ) sen cos

) sec ) cot csc

tan

tan

tan

9 2 12

1 2

10 2 12

1 2

1212

1312

1412

11 2 2

) sen cos

) cos cos

) sen cos sen ( ) sen ( )

) sen sen cos ( ) cos ( )

) cos cos cos ( ) cos ( )

) sen sen cos