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PROGRAMACIรN LINEAL Y MATRICES_ENUNCIADOS_SOLUCIONES
Pรกgina 1 de 28 C2ACADEMIA.COM
A1 B1 MATRICES (JUNIO 2020 A1)
Se considera la ecuaciรณn matricial:
๐ด โ ๐ = ๐ด! โ ๐ต๐๐๐๐๐๐ด = +1 2 โ10 1 21 2 0
0 ๐ฆ๐ต = +1020
1. ยฟQuรฉ dimensiรณn debe tener la matriz X? 2. Resuelve la ecuaciรณn matricial
(JULIO 2020 B1)
Sean las matrices ๐ด = 20 1 21 2 34 ๐ฆ๐ต = 22 1
0 โ14.
1. Calcular la inversa de la matriz (๐ด โ ๐ด!) 2. ยฟAdmite inversa la matriz (๐ด โ ๐ด!)? 3. Calcular cuando sea posible ๐ด โ ๐ต๐ฆ๐ด! โ ๐ต
(JUNIO 2019 B1)
Sena las matrices ๐ด = 22 00 14 ,๐ต = 21 0
1 24 ๐ฆ๐ถ = 210 114 7 4
a) Determina la matriz inversa de la matriz ๐ผ + ๐ต, sienod ๐ผ la matriz identidad de orden 2. b) Calcula las matrices X e Y que verifican que:
?๐ด๐ + ๐ต๐ = ๐ถ๐ด๐ = ๐
CON SOLUCIรN
(JULIO 2019 A1)
Sean A y B las siguientes matrices; ๐ด = 23 โ10 2 4 , ๐ต = 2 1 โ2
โ1 1 4
a) Hallar la matriz inversa de ๐ด โ ๐ต b) Hallar la matriz X tal que ๐(๐ด โ ๐ต) = 2๐ด โ 3๐ต
CON SOLUCIรN
(JUNIO 2018)
PROGRAMACIรN LINEAL Y MATRICES_ENUNCIADOS_SOLUCIONES
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a) Dadas las matrices ๐ = B ๐ฅ 3โ1 + ๐ฅ 3๐ฆD ๐ฆ๐ = 21 โ15
0 36 4,determina el valor de las
componentes ๐ฅ > 0๐๐ฆ para que se verifique ๐ " = ๐, donde ๐ " = ๐ โ ๐ . b) Se conoce la longitud, ๐ = 2, ๐ = 3๐ฆ๐ = 5, de un lado de cada rectangulo de la
figura X, Y, Z y la otra medida es x, y, z. Determinar x, y, z para que se cumpla: a. La suma del area de los tres rectangulos vale 64. b. La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 c. La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48.
๐น๐๐๐ข๐๐๐น๐๐๐ข๐๐๐๐น๐๐๐ข๐๐๐
(JULIO 2018)
a) Calcula los paremtros a, b, c, d para que se cumpla la igualdad ๐น โ ๐บ = ๐ป โ ๐พ con las siguientes matrices:
๐น = 21 + ๐ โ ๐ โ12 + ๐ 1 4 ,๐บ = 2โ2 1
4 3 โ ๐4 ๐ป = 22๐ + 2 โ2๐ โ24 ,๐พ
= 2โ1 2๐ 34
b) Determina el exponente n de la matriz A para que se cumpla :
๐ด# = 2โ2048 00 โ20484 , ๐๐๐๐๐๐ด = 20 โ2
1 0 4
CON SOLUCIรN
(JUNIO 2017)
Sean las matrices ๐ด = 2 ๐ฅ 6โ3 โ54 , ๐ต = B3 2
๐ฆ โ1D , ๐ถ = 2 9 ๐งโ๐ง โ14 ๐ฆ๐ธ = 21 2
2 โ14
c) ยฟquรฉ valores deben tomar los parametrois desconococidos x,y,z para que se verifique la igualdad matricial ๐ด โ ๐ต = ๐ถ?
d) Calcula las componentes de la matriz ๐ธ"$.Pista: aprovecha las simetrias en la matriz E o el calculo de sus primera potencias para identificar un patron.
CON SOLUCIรN
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(JULIO 2017)
Dadas las matrices ๐ด = 22 00 โ14 , ๐ต = 2 1 3
โ2 24 ๐ฆ๐ถ = 214 โ6โ9 โ114. encontrar las
componentes de las matrices de dimensiรณn 2x2, ๐ = 2๐ ๐๐ ๐ 4 ๐ฆ๐ป = 2๐ ๐
โ ๐4 para que se
cumplan las siguientes igualdades matriciales:
a) ๐ด๐๐ต = ๐ถ b) ๐ด๐ป๐ต%& = ๐ถ
CON SOLUCIรN
(JUNIO 2016)
Considerense las siguinetes matrices y los parametros desconocidos ๐ข๐ฆ๐ฃ:
๐ด = 2 2 โ1โ3 3 4 ,๐ต = 2 0 2
โ1 24 ,๐ถ = 2โ2 0โ1 44 ,๐ท = 22 ๐ข
๐ฃ โ24
a) Determinar los valores de los parametros ๐ผ, ๐ฝ, ๐ข๐ฆ๐ฃ para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo ๐ต! la matriz traspuesta de B.
๐ด B๐ผ 00 ๐ฝD๐ต
! + ๐ถ B0 ๐ผ๐ฝ 0D = ๐ท
b) Siendo ๐ด%& la matriz inversa de A, encontrar los valores de las constantes a y b que verifiquen:
๐ด%& 2๐๐4 = ๐ต 2๐๐4 + 2124
CON SOLUCIรN
(JULIO 2016)
a) Dada la matriz ๐ด = 23 โ3๐ ๐ 4, determinar los valores de los parametros a y b para que
se verifique la ecuacion matricial ๐ด" = 2๐ด.
b) Dadas las matrices ๐ต = 2 1 0โ1 14 ๐ฆ๐ถ = 21 2
0 14,calcula la matriz ๐ท = ๐ต'$ โ ๐ถ!
(JUNIO 2015)
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a) Sean las matrices ๐ด = 22 10 โ14 , ๐ต = 21 โ1
2 0 4 , ๐ถ = 2โ2 41 โ14.Calcular la matriz X
para la que se verifica la ecuacion matricial ๐ด๐ = ๐ต โ ๐ถ b) Halla la matriz Y para la que se verifica la ecuacion matricial ๐๐ด = ๐ต"
CON SOLUCION
(JULIO 2015)
a) Calcular los valores de a, b, c, d, que verifiquen la siguiente ecuacion matricial:
22๐ โ 2 2๐๐ + 1 ๐ + 24 + 2
4 ๐ โ 22๐ 2๐ 4 = 2๐ ๐
4 04
b) Dada la matriz ๐ด = 2 1 0โ1 14,calcular ๐ด"$.Razona tu respuesta.
CON SOLUCION
(JUNIO 2014 A1)
Sean las matrices ๐ด = 2โ1 01 โ14 ๐ฆ๐ต = 2โ1 โ1
2 โ24.Calcular la matriz X para la que se verifica
la ecuaciรณn matricial ๐๐ด" = ๐ต
Hallar la matriz ๐ด&(. Razona el procedimiento.
CON SOLUCIรN
(JULIO 2014 B1).- Calcular las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matricial:
d๐ โ 2๐ = 25 โ5
1 โ34
2๐ + ๐ = 20 52 44
Hallar la matriz ๐" + ๐"
CON SOLUCIรN
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(JULIO 2013 B1) Sean las matrices ๐ด = 2 0 10โ3 โ64 ๐ฆ๐ต = 2โ7 6
15 โ54. Hallar las matrices X, Y,
para que se cumpla el siguiente sistema matricial:
? 2๐ + ๐ = ๐ดโ3๐ + 2๐ = ๐ต
Siendo ๐ด! la matriz traspuesta de la matriz A, calcular el producto ๐ด โ ๐ต โ ๐ด!
CON SOLUCIรN
JUNIO 2013 B1.- Sea la matriz ๐ด = 2โ2 13 โ14, y la ecuaciรณn 2๐ด" + ๐ฅ๐ด โ ๐ฆ๐ผ = 0. Calcular los
valores de x e y para los que se verifica dicha ecuaciรณn.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciรณn matricial:
๐ด + 2๐ = 3๐ด!
CON SOLUCIรN
JUNIO 2012 B1.- Sean las matrices:
๐ด = 2 1 2โ3 โ14 ๐ฆ๐ต = 2โ1 1
โ2 14
Encuentra la matriz X que cumpla la ecuaciรณn ๐ต๐ = ๐ด + ๐ต
Siendo ๐ด! la matriz traspuesta de la matriz A, calcula ๐ด๐๐ด!
CON SOLUCIรN
JULIO 2012 B1.- Sea la matriz ๐ด = 2 2 2โ2 14,y la ecuacion ๐ด" โ ๐ฅ๐ด โ ๐ฆ๐ผ = 0 . Calcular los
valores de x e y para que se verifique la ecuaciรณn.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciรณn matricial:
21 2 30 โ1 24 +
32๐ = 22 3 โ5
0 7 8 4 + 2๐
CON SOLUCIรN
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JULIO 2011 A1.- Un individuo invirtiรณ un total de 60000 โฌ en tres empresas (A, B , C) y obtuvo 4500 โฌ de beneficio. Averiguar cuanto invirtiรณ en cada una de ellas, sabiendo que la cantidad invertida en A fue el doble que en B y C juntas y que las rentabilidades fueron; el 5% en A, el 10% en B y el 20% en C.
JUNIO 2011 B1.- Dada la matriz:
๐ด = 23 11 24
Hallar la matriz inversa de ๐ด โ ๐ผ
Hallar la matriz B tal que ๐ด + ๐ต = ๐ด๐ต
CON SOLUCIรN
JUNIO 2010 B1.- En la exposiciรณn de un establecimiento de material de oficina hay 400 unidades, entre lรกmparas, sillas y mesas, con un valor total de 15000โฌ. Si el valor de una lรกmpara es de 16โฌ, el de una silla 50โฌ y el de una mesa 80โฌ, y , ademรกs, hay tantas lรกmparas como sillas y mesas juntas, ยฟCuantas lรกmparas, sillas y mesas hay en la exposiciรณn?.
JULIO 2010 B1.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalรณn, que se vende a 30โฌ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalรณn, que se vende a 50โฌ. Se van a poner a la venta al menos 20 lotes de la oferta A y al menos 10 lotes de la B. Averiguar cuantos lotes debe vender de cada tipo para la ganancia sea mรกxima.
JUNIO 2010 A1.-Dadas las matrices:
๐ด = 2๐ 21 ๐4 , ๐ต = 21 1
1 24 , ๐ถ = 2โ11 4
Las matrices ๐ต๐ด๐ถ๐ฆ๐ด!๐ถ
Los valores que deben tener a y b para que se cumpla que ๐ต๐ด๐ถ = ๐ด!๐ถ
CON SOLUCIรN
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SOLUCIONES
(JUNIO 2019)
Sena las matrices ๐ด = 22 00 14 ,๐ต = 21 0
1 24 ๐ฆ๐ถ = 210 114 7 4
c) Determina la matriz inversa de la matriz ๐ผ + ๐ต, siendo ๐ผ la matriz identidad de orden 2. d) Calcula las matrices X e Y que verifican que:
?๐ด๐ + ๐ต๐ = ๐ถ๐ด๐ = ๐
Lo primero que tienes que hacer es calcular la matriz ๐ผ + ๐ต
๐ผ + ๐ต = 21 00 14 + 2
1 01 24 = 22 0
1 34
Ahora tienes que hacer la inversa de esa matriz, puedes elegir el procedimiento que te de la gana, yo voy a aplicar la definicion de inversa:
(๐ผ + ๐ต)%&(๐ผ + ๐ต) = ๐ผ
2๐ ๐๐ ๐4 โ 2
2 01 34 = 21 0
0 14 โ 22๐ + ๐ 3๐2๐ + ๐ 3๐4 = 21 0
0 14
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
f2๐ + ๐ = 13๐ = 0 โ ๐ = 0 โ ๐ =
12
Ahora con los otros colores (Rojo y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
f2๐ + ๐ = 03๐ = 1 โ ๐ =
13โ ๐ =
โ16
Entonces;
(๐ผ + ๐ต)%& = g
12 0โ16
13
h
Ahora para el siguiente apartado, tienes que resolver un sistema de ecuaciones matriciales:
?๐ด๐ + ๐ต๐ = ๐ถ๐ด๐ = ๐ โ ๐โ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐ข๐ ๐ก๐๐ก๐ข๐๐รณ๐:
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๐ด๐ + ๐ต๐ = ๐ถ โ ๐ + ๐ต๐ = ๐ถ โ (๐ผ + ๐ต)๐ = ๐ถ โ ๐ = (๐ผ + ๐ต)%&๐ถ
๐ = g
12 0โ16
13
h 210 114 7 4 = g
5112
โ13
12
h
Ahora lo siguiente que tienes que hacer para terminar es calcular el valor de la incognita X;
๐ด๐ = ๐ โ ๐ด%&๐ด๐ = ๐ด%&๐ โ ๐ = ๐ด%&๐
ยกCuidado! Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz A, usa el procedimiento que quieras;
๐ด%&๐ด = ๐ผ โ 2๐ฅ ๐ฆ๐ง ๐ก4 2
2 00 14 = 21 0
0 14 โ 22๐ฅ ๐ฆ2๐ง ๐ก4 = 21 0
0 14 โ ๐ด%& = +
12
0
0 10
๐ = ๐ด%&๐ โ ๐ = +12
0
0 10g
5112
โ13
12
h = g
52
114
โ13
12
h
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(JULIO 2019)
Sean A y B las siguientes matrices; ๐ด = 23 โ10 2 4 , ๐ต = 2 1 โ2
โ1 1 4
c) Hallar la matriz inversa de ๐ด โ ๐ต d) Hallar la matriz X tal que ๐(๐ด โ ๐ต) = 2๐ด โ 3๐ต
Lo primero que tienes que hacer es calcular la matriz A menos la matriz B:
23 โ10 2 4 โ 2
1 โ2โ1 1 4 = 22 1
1 14
Para calcular la inversa puedes hacerlo siguiendo el procedimiento que mas te interese o el que mejor sepas hacer, en este caso voy a utilizar la definiciรณn de inversa:
(๐ด โ ๐ต)%&(๐ด โ ๐ต) = ๐ผ โ
2๐ ๐๐ ๐4 2
2 11 14 = 21 0
0 14 โ 22๐ + ๐ ๐ + ๐2๐ + ๐ ๐ + ๐4 = 21 0
0 14 โ
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
?2๐ + ๐ = 1๐ + ๐ = 0 โ๐ดโ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐ โ ๐ = 1 โ ๐ = โ1
Ahora con los otros colores (Morado y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
?2๐ + ๐ = 0๐ + ๐ = 1 โ๐ ๐๐๐ข๐๐๐รณ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐๐ โ ๐ = โ1 โ ๐ = 2
(๐ด โ ๐ต)%& = 2 1 โ1โ1 2 4
Ahora tienes que resolver la siguiente ecuacion matricial;
๐(๐ด โ ๐ต) = 2๐ด โ 3๐ต
๐(๐ด โ ๐ต)(๐ด โ ๐ต)%& = (2๐ด โ 3๐ต)(๐ด โ ๐ต)%&
๐ = (2๐ด โ 3๐ต)(๐ด โ ๐ต)%&
๐ = m2 23 โ10 2 4 โ 32
1 โ2โ1 1 4n โ 2
1 โ1โ1 2 4 = 23 4
3 14 โ 21 โ1โ1 2 4 = 2โ1 5
2 โ14
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(JUNIO 2018)
a) Dadas las matrices ๐ = B ๐ฅ 3โ1 + ๐ฅ 3๐ฆD ๐ฆ๐ = 21 โ15
0 36 4,determina el valor de las
componentes ๐ฅ > 0๐๐ฆ para que se verifique ๐ " = ๐, donde ๐ " = ๐ โ ๐ . b) Se conoce la longitud, ๐ = 2, ๐ = 3๐ฆ๐ = 5, de un lado de cada rectangulo de la
figuraX, Y, Z y la otra no x, y, z. Determinar x, y, z para que se cumpla: a. La suma del area de los tres rectangulos vale 64. b. La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 c. La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48.
๐น๐๐๐ข๐๐๐น๐๐๐ข๐๐๐๐น๐๐๐ข๐๐๐
Lo primero que tienes que hacer en este ejercicio que a simple vista puede asustar, es leerlo detenidamente y empezar por el principio, paso por paso.
Lo primero que quiere que calcules es los valores de los parรกmetros, x e y para que se cumpla la siguiente igualdad:
๐ " = ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐ โ B ๐ฅ 3โ1 + ๐ฅ 3๐ฆDB
๐ฅ 3โ1 + ๐ฅ 3๐ฆD = 21 โ15
0 36 4
o ๐ฅ" + 3๐ฅ โ 3 3๐ฅ + 9๐ฆโ๐ฅ + ๐ฅ" โ 3๐ฆ + 3๐ฅ๐ฆ โ3 + 3๐ฅ + 9๐ฆ"
p = 21 โ150 36 4
โฉโจ
โง ๐ฅ" + 3๐ฅ โ 3 = 13๐ฅ + 9๐ฆ = โ15
โ๐ฅ + ๐ฅ" โ 3๐ฆ + 3๐ฅ๐ฆ = 09๐ฆ" + 3๐ฅ โ 3 = 36
โ ๐ ๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐ โ ๐ฅ = 1๐ฆ๐ฅ = โ4
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐ฅ๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐, ๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐รณ๐๐๐
๐ฅ = 1
Ahora sabiendo el valor del parรกmetro x tienes que calcular el valor de y;
3๐ฅ + 9๐ฆ = โ15 โ ๐ฆ =โ15 โ 3๐ฅ
9โ ๐ฆ =
โ15 โ 39
โ ๐ฆ = โ2
Ahora viene lo que quizรกs te de un poco de miedo, resolver la segunda parte del ejercicio:
Este ejercicio para llegar a la soluciรณn correcta solo requiere de paciencia.
La suma del area de los tres rectangulos vale 64 โ 2๐ฅ + 3๐ฆ + 5๐ง = 64
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La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 โ 4 + 2๐ฅ + 6 + 2๐ฆ = 34 โ 2๐ฅ +2๐ฆ = 24
La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48 โ 4 + 2๐ฅ + 6๐ฆ = 48 โ 2๐ฅ +6๐ฆ = 44
Ahora si quieres puedes utilizar el mรฉtodo de reducciรณn con las dos ultimas ecuaciones y sacar los parรกmetros x e y:
2๐ฅ + 2๐ฆ = 24
2๐ฅ + 6๐ฆ = 44
โ4๐ฆ = โ20 โ ๐ฆ = 5
Sabiendo que ๐ฆ = 5 โ 2๐ฅ + 2๐ฆ = 24 โ 2๐ฅ = 24 โ 10 โ ๐ฅ = 7
Por ultimo, para sacar el valor de z, tienes que ir a la primera ecuaciรณn y sustituir:
2๐ฅ + 3๐ฆ + 5๐ง = 64 โ 2(7) + 3(5) + 5๐ง = 64 โ ๐ง = 7
(JULIO 2018)
a) Calcula los paremtros a, b, c, d para que se cumpla la igualdad ๐น โ ๐บ = ๐ป โ ๐พ con las siguientes matrices:
๐น = 21 + ๐ โ ๐ โ12 + ๐ 1 4 ,๐บ = 2โ2 1
4 3 โ ๐4 ๐ป = 22๐ + 2 โ2๐ โ24 ,๐พ
= 2โ1 2๐ 34
b) Determina el exponente n de la matriz A para que se cumpla :
๐ด# = 2โ2048 00 โ20484 , ๐๐๐๐๐๐ด = 20 โ2
1 0 4
Lo primero que tienes que hacer son las multiplicaciones a ambos lados de la igualdad para poder posteriormente, igualar las dos matrices y determinar el valor de los parรกmetros:
๐น โ ๐บ = ๐ป โ ๐พ โ 21 + ๐ โ ๐ โ12 + ๐ 1 4 โ 2
โ2 14 3 โ ๐4 = 22๐ + 2 โ2
๐ โ24 โ 2โ1 2๐ 34
2โ2 โ 2๐ + 2๐ โ 4 1 + ๐ โ ๐ โ 3 + ๐โ4 โ 2๐ + 4 2 + ๐ + 3 โ ๐ 4 = 2โ2๐ โ 2 โ 2๐ 4๐ + 4 โ 6
โ๐ โ 2๐ 2๐ โ 6 4 โ
tโ2๐ + 2๐ โ 6 = โ2๐ โ 2๐ โ 2
๐ โ ๐ + ๐ โ 2 = 4๐ โ 2โ2๐ = โ๐ โ 2๐
๐ โ ๐ + 5 = 2๐ โ 6
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐ โ 4๐ = 4 โ ๐ = 1
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Sabiendo que el parรกmetro b tiene valor 1, puedes despejar de la tercera ecuaciรณn, el valor de c;
โ2๐ = โ๐ โ 2๐ โ ๐ = 0
Ahora en la ultima ecuaciรณn; ๐ โ ๐ + 5 = 2๐ โ 6 โ 1 โ ๐ + 5 = โ6 โ ๐ = 12
Por รบltimo, en la segunda ecuaciรณn: ๐ โ ๐ + ๐ โ 2 = 4๐ โ 2 โ โ3๐ = ๐ โ ๐ + 2 โ 2 โ
๐ =113
NO DUDES NUNCA DE ESTE TIPO DE RESULTADOS Y MENOS EN LA SELECTIVIDAD, LO HACEN PARA QUE PIERDAS EL TIEMPO Y TE PONGAS NERVISO.
Para terminar con el ejercicio, en el apartado b, quiere que le digas cual tiene que ser el exponente de la matriz A para que se cumpla;
๐ด# = 2โ2048 00 โ20484 , ๐๐๐๐๐๐ด = 20 โ2
1 0 4
๐ด" = ๐ด โ ๐ด = 20 โ21 0 4 โ 2
0 โ21 0 4 = 2โ2 0
0 โ24
๐ด) = ๐ด" โ ๐ด = 2โ2 00 โ24 โ 2
0 โ21 0 4 = 2 0 4
โ2 04
๐ด* = ๐ด) โ ๐ด = 2 0 4โ2 04 โ 2
0 โ21 0 4 = 24 0
0 44
๐ด' = ๐ด* โ ๐ด = 24 00 44 โ 2
0 โ21 0 4 = 20 โ8
4 0 4
๐ด+ = ๐ด' โ ๐ด = 20 โ84 0 4 โ 2
0 โ21 0 4 = 2โ8 0
0 โ84
Como puedes comprobar, dependiendo de si el exponente es par o impar, tienes un resultado o un patron diferente, por eso, quiero que te centres unicamente en el que a ti te interesa, que es un exponente par, ya que 20 es un numero par. Y ademas de eso, tambien quiero que preste especial atenciรณn al signo, ya que en los exponentes pares el signo es alterno. Entonces;
Como tu estas trabajando con una matriz de exponente par y el resultado del signo es negativo, la vas a comparar con ๐ด", ๐ด+โฆ
๐ด# = oโ2#" 0
0 โ2#"p
๐ด# = 2โ2048 00 โ20484
โ2#" = โ2048 โ 2
#" = 2048 โ
๐2= log" 2048 โ
๐2= 11 โ ๐ = 22
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(JUNIO 2017)
Sean las matrices ๐ด = 2 ๐ฅ 6โ3 โ54 , ๐ต = B3 2
๐ฆ โ1D , ๐ถ = 2 9 ๐งโ๐ง โ14 ๐ฆ๐ธ = 21 2
2 โ14
a) ยฟquรฉ valores deben tomar los parametrois desconococidos x,y,z para que se verifique la igualdad matricial ๐ด โ ๐ต = ๐ถ?
b) Calcula las componentes de la matriz ๐ธ"$.Pista: aprovecha las simetrias en la matriz E o el calculo de sus primera potencias para identificar un patron.
Lo primero que tienes que hacer, es plantear la igualdad y realizar los cรกlculos:
2 ๐ฅ 6โ3 โ54 โ B
3 2๐ฆ โ1D = 2 9 ๐ง
โ๐ง โ14 โ B3๐ฅ + 6๐ฆ 2๐ฅ โ 6โ9 โ 5๐ฆ โ1 D = 2 9 ๐ง
โ๐ง โ14
Ahora lo siguiente que tienes que hacer, es igualar las dos matrices, para componente a componente ir determinando los parรกmetros:
3๐ฅ + 6๐ฆ = 9
2๐ฅ โ 6 = ๐ง
โ9 โ 5๐ฆ = โ๐ง โ ๐ง = 9 + 5๐ฆ
โ1 = โ1
Con las dos ecuaciones que tienes en amarillo; 2๐ฅ โ 6 = 9 + 5๐ฆ
Ahora con las dos ecuaciones que estรกn subrayadas en verde, puedes hacer un sistema para determinar el valor del parรกmetro x e y;
f3๐ฅ + 6๐ฆ = 92๐ฅ โ 5๐ฆ = 15 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐ โ ๐ฅ = 3 โ 2๐ฆ โ 2(3 โ 2๐ฆ) โ 5๐ฆ = 15 โ โ9๐ฆ = 9
โ ๐ฆ = โ1
Por tanto, ๐ฅ = 3 โ 2(โ1) โ ๐ฅ = 5
Ahora sabiendo estos parรกmetros, puedes calcular el valor de z;
๐ง = 2๐ฅ โ 6 โ ๐ง = 10 โ 6 โ ๐ง = 4
En el apartado b, el ejercicio quiere que calcules la potencia 20 de la matriz E, por tanto,
๐ธ" = ๐ธ โ ๐ธ = 21 22 โ14 โ 2
1 22 โ14 = 25 0
0 54
๐ธ) = ๐ธ" โ ๐ธ = 25 00 54 โ 2
1 22 โ14 = 2 5 10
10 โ54
๐ธ* = ๐ธ) โ ๐ธ = 2 5 1010 โ54 โ 2
1 22 โ14 = 225 0
0 254
Como puedes comprobar, tal y como te adelanta el enunciado, tienes que diferenciar entre las matrices de potencia par y de las que tienen potencia impar:
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๐ธ# โ ๐: ๐๐๐ โ ๐ธ# = o5#" 00 5
#"p
Como el enunciado quiere que calcules ๐ธ"$ = 25&$ 00 5&$
4
(JULIO 2017)
Dadas las matrices ๐ด = 22 00 โ14 , ๐ต = 2 1 3
โ2 24 ๐ฆ๐ถ = 214 โ6โ9 โ114. encontrar las
componentes de las matrices de dimensiรณn 2x2, ๐ = 2๐ ๐๐ ๐ 4 ๐ฆ๐ป = 2๐ ๐
โ ๐4 para que se
cumplan las siguientes igualdades matriciales:
a) ๐ด๐๐ต = ๐ถ b) ๐ด๐ป๐ต%& = ๐ถ โ ๐ด๐ป = ๐ถ๐ต
Lo primero que vas hacer en este caso es calcular la matriz inversa de B y la inversa de A, ya que las vas a necesitar, en este caso lo hare aplicando la definicion de inversa:
๐ต โ ๐ต%& = ๐ผ
2 1 3โ2 24 โ 2
๐ ๐๐ ๐4 = 21 0
0 14
2 ๐ + 3๐ ๐ + 3๐โ2๐ + 2๐ โ2๐ + 2๐4 = 21 0
0 14 โ d๐ + 3๐ = 1โ2๐ + 2๐ = 0๐ + 3๐ = 0โ2๐ + 2๐ = 1
Ahora con lo que esta subrayado de amarillo vas hacer un sistema y con lo que esta de verde otro sistema para sacar los elementos que forman la matriz inversa de B:
Sistema amarillo:
๐ = 1 โ 3๐ โ โ2(1 โ 3๐) + 2๐ = 0 โ โ2 + 6๐ + 2๐ = 0 โ ๐ =14
๐ = 1 โ 314โ ๐ =
14
Sistema verde:
๐ = โ3๐ โ โ2(โ3๐) + 2๐ = 1 โ 6๐ + 2๐ = 1 โ ๐ =18
๐ = โ3 โ18โ ๐ =
โ38
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Por tanto,
๐ต%& = g
14
โ38
14
18
h
Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz A, para este caso voy a utilizar un procedimiento diferente, lo hare con GAUSS (hacer ceros):
22 00 โ1 y
1 00 14 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐2๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ 1 โ +1 0
0 1 z12
0
0 โ10
Por tanto la inversa de la matriz A:
๐ด%& = +12
0
0 โ10
Ahora con toda esta informacion lo unico que tienes que hacer es despejar bien de cada una de las ecuaciones matriciales la incognita correspondiente:
๐ด๐๐ต = ๐ถ โ ๐ = ๐ด%&๐ถ๐ต%&
๐ = +12
0
0 โ10 โ 214 โ6
โ9 โ114 โ g
14
โ38
14
18
h = 21 โ35 โ24
๐ด๐ป๐ต%& = ๐ถ โ ๐ป = ๐ด%&๐ถ๐ต
๐ป = +12
0
0 โ10 โ 214 โ6
โ9 โ114 โ 21 3โ2 24 = 2 13 15
โ13 494
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(JUNIO 2016)
Considerense las siguinetes matrices y los parametros desconocidos ๐ข๐ฆ๐ฃ:
๐ด = 2 2 โ1โ3 3 4 ,๐ต = 2 0 2
โ1 24 ,๐ถ = 2โ2 0โ1 44 ,๐ท = 22 ๐ข
๐ฃ โ24
a) Determinar los valores de los parametros ๐ผ, ๐ฝ, ๐ข๐ฆ๐ฃ para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo ๐ต! la matriz traspuesta de B.
๐ด B๐ผ 00 ๐ฝD๐ต
! + ๐ถ B0 ๐ผ๐ฝ 0D = ๐ท
b) Siendo ๐ด%& la matriz inversa de A, encontrar los valores de las constantes a y b que verifiquen:
๐ด%& 2๐๐4 = ๐ต 2๐๐4 + 2124
๐ดB๐ผ 00 ๐ฝD๐ต
! + ๐ถ B0 ๐ผ๐ฝ 0D = ๐ท
โ ๐ฟ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐:
2 2 โ1โ3 3 4 B
๐ผ 00 ๐ฝD 2
0 2โ1 24
!+ 2โ2 0
โ1 44 B0 ๐ผ๐ฝ 0D = 22 ๐ข
๐ฃ โ24
Bโ2๐ผ โ๐ฝโ3๐ผ 3๐ฝD 2
0 โ12 2 4 + B
0 โ2๐ผ4๐ฝ โ๐ผ D = 22 ๐ข
๐ฃ โ24
Bโ2๐ฝ 2๐ผ โ 2๐ฝ6๐ฝ 3๐ผ + 6๐ฝD + B
0 โ2๐ผ4๐ฝ โ๐ผ D = 22 ๐ข
๐ฃ โ24
Bโ2๐ฝ โ2๐ฝ10๐ฝ 2๐ผ + 6๐ฝD = 22 ๐ข
๐ฃ โ24 โ t
โ2๐ฝ = 2โ2๐ฝ = ๐ข10๐ฝ = ๐ฃ
2๐ผ + 6๐ฝ = โ2
โ ๐ฝ = โ1; ๐ข = 2; ๐ฃ = โ10๐ผ = 2
Para el segundo apartado es algo muy parecido, pero con otro tipo de operaciones:
๐ด%& 2๐๐4 = ๐ต 2๐๐4 + 2124
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Primero tienes que calcular la inversa de A:
2 2 โ1โ3 3 4 โ 2
๐ ๐๐ ๐4 = 21 0
0 14 โ d2๐ โ ๐ = 1โ3๐ + 3๐ = 02๐ โ ๐ = 0โ3๐ + 3๐ = 1
โ ๐ ๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐ โถ g1
13
123
h = ๐ด%&
Ahora cuando ya tienes la inversa, hacer los cรกlculos es relativamente sencillo:
g1
13
123
h2๐๐4 = 2 0 2โ1 24 2
๐๐4 + 2
124 โ g
๐ +๐3
๐ +2๐3
h = 2 2๐ + 1โ๐ + 2๐ + 24
t๐ +
๐3 = 2๐ + 1
๐ +2๐3= โ๐ + 2๐ + 2
โ ? 3๐ + ๐ = 6๐ + 33๐ + 2๐ = โ3๐ + 6๐ + 6 โ ?3๐ โ 5๐ = 3
6๐ โ 4๐ = 6 โ ?6๐ โ 10๐ = 66๐ โ 4๐ = 6
Ahora aplicando el mรฉtodo de reducciรณn y restando la primera ecuaciรณn con la segunda:
โ6๐ = 0 โ ๐ = 0๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐ = 1
(JUNIO 2015)
c) Sean las matrices ๐จ = 2๐ ๐๐ โ๐4 ,๐ฉ = 2๐ โ๐
๐ ๐ 4 , ๐ช = 2โ๐ ๐๐ โ๐4.Calcular la matriz X
para la que se verifica la ecuacion matricial ๐จ๐ฟ = ๐ฉโ ๐ช d) Halla la matriz Y para la que se verifica la ecuacion matricial ๐๐จ = ๐ฉ๐
Estos ejercicios los puedes hacer de dos formas diferentes:
1. Reolviendo la ecuacion matricial utilizando la definicion de inversa: ๐ด๐ = ๐ต โ ๐ถ โ ๐ = ๐ด%&(๐ต โ ๐ถ)
2. Realizando un sistema:
22 10 โ14 2
๐ ๐๐ ๐4 = 21 โ1
2 0 4 2โ2 41 โ14
Tu decides el metodo que mejor sabes hacer, pero ambos caminos tienen que llevarte al mismo resultado. Yo lo hare en este caso siguiendo el segundo camino:
22 10 โ14 2
๐ ๐๐ ๐4 = 21 โ1
2 0 4 2โ2 41 โ14
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22๐ + ๐ 2๐ + ๐โ๐ โ๐ 4 = 2โ3 5
โ4 84 โ d2๐ + ๐ = โ3โ๐ = โ42๐ + ๐ = 5โ๐ = 8
โ ๐ = 4; ๐ = โ8; ๐ =โ72; ๐ =
132
๐ = oโ7
2๏ฟฝ13
2๏ฟฝ4 โ8
p
En el siguiente apartado tienes que calcular la matriz Y. En este caso voy a utilizar el calculo de la inversa para hacerlo.
๐๐ด = ๐ต" โ ๐ = ๐ต"๐ด%&
๐ต" = 21 โ12 0 4 2
1 โ12 0 4 = 2โ1 โ1
2 โ24
El calculo de la inversa de la matriz A:
๐ด๐ด%& = ๐ผ โ 22 10 โ14 2
๐ ๐๐ ๐4 = 21 0
0 14 โ 22๐ + ๐ 2๐ + ๐โ๐ โ๐ 4 = 21 0
0 14
d2๐ + ๐ = 1โ๐ = 0
2๐ + ๐ = 0โ๐ = 1
โ ๐ = 0; ๐ =12; ๐ = โ1; ๐ =
12โ ๐ด%& = +
12
12
0 โ10
๐ = 2โ1 โ12 โ24+
12
12
0 โ10 = +โ
12
12
1 30
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(JULIO 2015)
c) Calcular los valores de a, b, c, d, que verifiquen la siguiente ecuacion matricial:
2๐๐ โ ๐ ๐๐๐ + ๐ ๐ + ๐4 + 2
๐ ๐ โ ๐๐๐ ๐๐ 4 = 2๐ ๐
๐ ๐4
d) Dada la matriz ๐จ = 2 ๐ ๐โ๐ ๐4,calcular ๐จ๐๐.Razona tu respuesta.
22๐ โ 2 2๐๐ + 1 ๐ + 24 + 2
4 ๐ โ 22๐ 2๐ 4 = 2๐ ๐
4 04
22๐ + 2 2๐ + ๐ โ 23๐ + 1 2๐ + ๐ + 24 = 2๐ ๐
4 04 โ d2๐ + 2 = ๐ โ ๐ = โ23๐ + 1 = 4 โ ๐ = 1
2๐ + ๐ โ 2 = ๐ โ ๐ + ๐ = 2 โ ๐ = 02๐ + ๐ + 2 = 0 โ ๐ = 2
Para realizar el segundo apartado de este ejercicio tienes que ver el patron que se da en las primera potencias de la matriz de A:
๐ด" = ๐ด๐ด โ 2 1 0โ1 14 2
1 0โ1 14 = 2 1 0
โ2 14
๐ด) = ๐ด"๐ด โ 2 1 0โ2 14 2
1 0โ1 14 = 2 1 0
โ3 14
Practicamente ya puedes ver el patron que se esta desarrollando;
๐ด# = 2 1 0โ๐ 14 โ ๐ ๐๐๐๐๐๐ 20 โ ๐ด"$ = 2 1 0
โ20 14
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(JUNIO 2014 A1)
Sena las matrices ๐ด = 2โ1 01 โ14 ๐ฆ๐ต = 2โ1 โ1
2 โ24.Calcular la matriz X para la que se verifica
la ecuaciรณn matricial ๐๐ด" = ๐ต
Hallar la matriz ๐ด&(. Razona el procedimiento.
Para resolver la primera pregunta que nos hace el ejercicio, tienes que despejar la incรณgnita X de la siguiente ecuaciรณn matricial:
๐๐ด" = ๐ต โ ๐ = ๐ต(๐ด")%&
Date cuenta que primero tienes que calcula ๐ด" = ๐ด โ ๐ด
๐ด" = ๐ด โ ๐ด = 2โ1 01 โ142
โ1 01 โ14 = 2 1 0
โ2 14
Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz que acabas de calcular, puedes hacer el procedimiento que te de la gana:
(๐ด")%& โ ๐ด" = ๐ผ โ 2๐ ๐๐ ๐4 2
1 0โ2 14 = 21 0
0 14 โ 2๐ โ 2๐ ๐๐ โ 2๐ ๐4 = 21 0
0 14
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
?๐ โ 2๐ = 1๐ = 0 โ๐ = 0 โ ๐ = 1
Ahora con los otros colores (Morado y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
?๐ โ 2๐ = 0๐ = 1 โ๐ = 1 โ ๐ = 2
(๐ด")%& = 21 02 14
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๐ = ๐ต(๐ด")%& โ ๐ต = 2โ1 โ12 โ242
1 02 14 = 2โ3 โ1
โ2 โ24
Ahora tienes que hallar la matriz ๐ด&(, para eso tienes que realizar varios cรกlculos: ๐ด", ๐ด), ๐ด*, โฆ
๐ด" = ๐ด โ ๐ด = 2 1 0โ2 14
๐ด) = ๐ด" โ ๐ด = 2 1 0โ2 14 2
โ1 01 โ14 = 2โ1 0
3 โ14
๐ด* = ๐ด" โ ๐ด" = 2 1 0โ2 14 2
1 0โ2 14 = 2 1 0
โ4 14
๐ด' = ๐ด* โ ๐ด = 2 1 0โ4 14 2
โ1 01 โ14 = 2โ1 0
5 โ14
Entonces, tienes que diferenciar cuando el exponente es par e impar:
๐ โ ๐๐๐ โ 2 1 0โ๐ 14 ๐ โ ๐๐๐๐๐ โ 2โ1 0
๐ โ14
Entonces; ๐ด&( โ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ โ 2โ1 017 โ14
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(JULIO 2014 B1).- Calcular las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matricial:
d๐ โ 2๐ = 25 โ5
1 โ34
2๐ + ๐ = 20 52 44
Hallar la matriz ๐" + ๐"
Para resolver este sistema de ecuaciones matriciales, el metodo que te aconsejo que utilices es el de reducciรณn;
d๐ โ 2๐ = 25 โ5
1 โ34
2๐ + ๐ = 20 52 44
โ ๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐ d๐ โ 2๐ = 25 โ5
1 โ34
4๐ + 2๐ = 20 104 8 4
5๐ = 25 55 54 โ ๐ = 21 1
1 14
Sabiendo ahora que la matriz X tiene ese valor, solo tienes que despejar la incognita โโyโโ;
๐ โ 2๐ = 25 โ51 โ34 โ ๐ =
25 โ51 โ34 โ ๐
โ2โ ๐ =
25 โ51 โ34 โ 2
1 11 14
โ2โ
๐ = 2โ2 30 24
Ahora el ejercicio quiere que hagamos una operaciรณn muy sencilla;
๐" + ๐"
๐" = 21 11 14 2
1 11 14 = 22 2
2 24
๐" = 2โ2 30 24 2
โ2 30 24 = 24 0
0 44
๐" + ๐" = 22 22 24 + 2
4 00 44 = 26 2
2 64
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(JULIO 2013 B1) Sean las matrices ๐ด = 2 0 10โ3 โ64 ๐ฆ๐ต = 2โ7 6
15 โ54. Hallar las matrices X, Y,
para que se cumpla el siguiente sistema matricial:
? 2๐ + ๐ = ๐ดโ3๐ + 2๐ = ๐ต
Siendo ๐ด! la matriz traspuesta de la matriz A, calcular el producto ๐ด โ ๐ต โ ๐ด!
Lo primero que vas hacer es resolver el problema utilizando en este caso el metodo de reduccion:
? 2๐ + ๐ = ๐ดโ3๐ + 2๐ = ๐ต โ ๐ฅ(โ2)๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐ โ ?โ4๐ โ 2๐ = โ2๐ด
โ3๐ + 2๐ = ๐ต
โ7๐ = โ2๐ด + ๐ต
Ahora tienes que hacer las operaciones correspondientes para despejar el valor de la matriz X, recuerda que un numero si que puede pasar dividiviendo al otro lado de la igualdad:
๐ =1โ7
mโ22 0 10โ3 โ64 + 2
โ7 615 โ54n โ ๐ = 2 1 2
โ3 โ14
Ahora sabiendo X despejamos de cualquiera de las dos ecuaciones la matriz Y:
2๐ + ๐ = ๐ด โ ๐ = ๐ด โ 2๐ โ ๐ = 2 0 10โ3 โ64 โ 22
1 2โ3 โ14 โ ๐ = 2โ2 6
3 โ44
Para terminar con el ejercicio, quiere que hagas una operaciรณn muy sencilla, multiplicar tres matrices;
๐ด โ ๐ต โ ๐ด! = 2 0 10โ3 โ64 โ 2
โ7 615 โ54 โ 2
0 โ310 โ64 = 2150 โ50
111 12 4 โ 20 โ310 โ64
= 2โ500 โ150120 135 4
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JUNIO 2013 B1.- Sea la matriz ๐ด = 2โ2 13 โ14, y la ecuaciรณn 2๐ด" + ๐ฅ๐ด โ ๐ฆ๐ผ = 0. Calcular los
valores de x e y para los que se verifica dicha ecuaciรณn.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciรณn matricial:
๐ด + 2๐ = 3๐ด!
Antes de empezar con este ejercicio, quiero que recuerdes que, en este tipo de ejercicios, cuando las letras son minรบsculas representan nรบmeros, cuando las letras son mayรบsculas, representan matrices.
Una vez recordado lo anterior, adelante con los cรกlculos de la siguiente ecuaciรณn matricial:
2๐ด" + ๐ฅ๐ด โ ๐ฆ๐ผ = 0
Fรญjate que primeramente necesitas calcular ๐ด" = ๐ด โ ๐ด = 2โ2 13 โ14 โ 2โ2 1
3 โ14 =
2 7 โ3โ9 4 4
Sabiendo el resultado de esta operaciรณn ya casi tienes el ejercicio resuelto, plantea toda la ecuaciรณn y resuelve la igualdad:
2๐ด" + ๐ฅ๐ด โ ๐ฆ๐ผ = 0 โ 22 7 โ3โ9 4 4 + 2
โ2๐ฅ ๐ฅ3๐ฅ โ๐ฅ4 โ B
๐ฆ 00 ๐ฆD = 20 0
0 04
B14 โ 2๐ฅ โ ๐ฆ โ6 + ๐ฅโ18 + 3๐ฅ 8 โ ๐ฅ โ ๐ฆD = 20 0
0 04 โ t
14 โ 2๐ฅ โ ๐ฆ = 0โ6 + ๐ฅ = 0โ18 + 3๐ฅ = 08 โ ๐ฅ โ ๐ฆ = 0
โ ๐ฅ = 6; ๐ฆ = 2
La segunda parte del ejercicio quiere que calcules la matriz X para que se verifique la siguiente ecuaciรณn matricial:
๐ด + 2๐ = 3๐ด! โ 2๐ = 3๐ด! โ ๐ด โ ๐ =12(3๐ด! โ ๐ด)
๐ =12m3 2โ2 3
1 โ14 โ 2โ2 13 โ14n โ ๐ = 2โ2 4
0 โ14
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JUNIO 2012 B1.- Sean las matrices:
๐ด = 2 1 2โ3 โ14 ๐ฆ๐ต = 2โ1 1
โ2 14
Encuentra la matriz X que cumpla la ecuaciรณn ๐ต๐ = ๐ด + ๐ต
Siendo ๐ด! la matriz traspuesta de la matriz A, calcula ๐ด๐๐ด!
๐ต๐ = ๐ด + ๐ต
Lo primero que tienes que hacer es despejar de forma correcta la matriz X aplicando la inversa de la matriz B, recuerda que el calculo de la matriz inversa lo puedes hacer siguiendo el procedimiento que te de la gana, usa el que mejor sepas hacer;
๐ต๐ = ๐ด + ๐ต โ ๐ต%&๐ต๐ = ๐ต%&(๐ด + ๐ต) โ ๐ = ๐ต%&(๐ด + ๐ต)
ยฟCรณmo calcula la inversa de la matriz B?
2โ1 1โ2 1 y
1 00 14 โ ๐น๐๐๐1๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐2 โ 2 1 0
โ2 1 y1 โ10 1 4 โ ๐น๐๐๐2๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐๐๐1
21 00 1 y
1 โ12 โ14 โ ๐ต%& = 21 โ1
2 โ14
๐ = ๐ต%&(๐ด + ๐ต) โ ๐ = 21 โ12 โ14o2
1 2โ3 โ14 + 2
โ1 1โ2 14p โ ๐ = 21 โ1
2 โ14 20 3โ5 04
๐ = 25 35 64
Ahora el ejercicio quiere que hagas unas multiplicaciones entre matrices muy sencilla, el problema de este apartado es que para hacerlo, tienes que tener bien el apartado anterior.
๐ด๐๐ด! โ 2 1 2โ3 โ14 2
5 35 64 2
1 2โ3 โ14
!โ 2 1 2
โ3 โ14 25 35 64 2
1 โ32 โ14
= 2 15 15โ20 โ154 2
1 โ32 โ14 = 2 45 โ60
โ50 75 4
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JULIO 2012 B1.- Sea la matriz ๐ด = 2 2 2โ2 14,y la ecuacion ๐ด" โ ๐ฅ๐ด โ ๐ฆ๐ผ = 0 . Calcular los
valores de x e y para que se verifique la ecuaciรณn.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciรณn matricial:
21 2 30 โ1 24 +
32๐ = 22 3 โ5
0 7 8 4 + 2๐
Lo primero que tienes que hacer es plantear la matriz ๐ด":
๐ด" = ๐ด โ ๐ด = 2 2 2โ2 14 โ 2
2 2โ2 14 = 2 0 6
โ6 โ34
2 0 6โ6 โ34 โ 2
2๐ฅ 2๐ฅโ2๐ฅ ๐ฅ 4 โ 2
๐ฆ ๐๐ ๐ฆ4 = 20 0
0 04 โ
t
โ2๐ฅ โ ๐ฆ = 06 โ 2๐ฅ = 0โ6 + 2๐ฅ = 0โ3 โ ๐ฅ โ ๐ฆ = 0
โ ๐ฅ = 3; ๐ฆ = โ6
Ahora tienes que despejar la incognita X de la siguiente ecuaciรณn matricial:
21 2 30 โ1 24 +
32๐ = 22 3 โ5
0 7 8 4 + 2๐
+32๐ โ 2๐ = 22 3 โ5
0 7 8 4 โ 21 2 30 โ1 24 โ โ
12๐ = 21 1 โ8
0 8 6 4 โ
๐ = 2โ2 โ2 160 โ16 โ124
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JUNIO 2011 B1.- Dada la matriz:
๐ด = 23 11 24
Hallar la matriz inversa de ๐ด โ ๐ผ
Hallar la matriz B tal que ๐ด + ๐ต = ๐ด๐ต
Lo primero que tienes que hacer es la resta de la matriz A menos la matriz identidad:
23 11 24 โ 2
1 00 14 = 22 1
1 14
Ahora que ya sabes cual es la matriz resultante, tienes que hacer su inversa, recuerda que puedes hacer el procedimiento que te de la gana, elige el que mejor sepas hacer:
22 11 1 y
1 00 14 โ ๐น๐๐๐1 โ ๐น๐๐๐2 โ 21 0
1 1 y1 โ10 1 4 โ ๐น๐๐๐2 โ ๐น๐๐๐1 โ 21 0
0 1 y1 โ1โ1 2 4
Por tanto, despues dehacer las transformaciones necesarias, ya tienes la inversa: 2 1 โ1โ1 2 4
Para terminar tienes que calcula la matriz B para que cumpla la siguiente expresiรณn:
๐ด + ๐ต = ๐ด๐ต โ 23 11 24 + 2
๐ฅ ๐ฆ๐ง ๐ก4 = 23 1
1 24 โ 2๐ฅ ๐ฆ๐ง ๐ก4 โ 23 + ๐ฅ 1 + ๐ฆ
1 + ๐ง 2 + ๐ก4
= B3๐ฅ + ๐ง 3๐ฆ + ๐ก๐ฅ + 2๐ง ๐ฆ + 2๐กD
t
3 + ๐ฅ = 3๐ฅ + ๐ง1 + ๐ง = ๐ฅ + 2๐ง1 + ๐ฆ = 3๐ฆ + ๐ก2 + ๐ก = ๐ฆ + 2๐ก
โ
โ2๐ฅ โ ๐ง = โ3โ๐ฅ โ ๐ง = โ1โ2๐ฆ โ ๐ก = โ1โ๐ฆ โ ๐ก = โ2
โ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ฅ = 2; ๐ง = โ1
๐ถ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ข๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ฆ = โ1; ๐ก = 3๐๐๐๐ก๐๐๐ก๐; ๐ต = 2 2 โ1โ1 3 4
Otro procedimiento mas sencillo: ๐ด + ๐ต = ๐ด๐ต โ ๐ด = ๐ด๐ต โ ๐ต โ ๐ด = (๐ด โ ๐ผ)๐ต โ (๐ด โ๐ผ)%&๐ด = ๐ต
PROGRAMACIรN LINEAL Y MATRICES_ENUNCIADOS_SOLUCIONES
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JUNIO 2010 A1.-Dadas las matrices:
๐ด = 2๐ 21 ๐4 , ๐ต = 21 1
1 24 , ๐ถ = 2โ11 4
Las matrices ๐ต๐ด๐ถ๐ฆ๐ด!๐ถ
Los valores que deben tener a y b para que se cumpla que ๐ต๐ด๐ถ = ๐ด!๐ถ
Para empezar tienes que calcular las dos multiplicaciones entre matrices por separado:
๐ต๐ด๐ถ = 21 11 24 โ 2
๐ 21 ๐4 โ 2
โ11 4 = 2๐ + 1 2 + ๐
๐ + 2 2 + 2๐4 โ 2โ11 4 = 2 โ๐ โ 1 + 2 + ๐โ๐ โ 2 + 2 + 2๐4
๐ด!๐ถ = 2๐ 21 24
!2โ11 4 = 2๐ 1
2 ๐4 2โ11 4 = 2โ๐ + 1โ2 + ๐4
Ahora tienes que igualar los dos resultados que has obtenido y asi poder despejar los valores de los parametros:
2 โ๐ โ 1 + 2 + ๐โ๐ โ 2 + 2 + 2๐4 = 2โ๐ + 1โ2 + ๐4 โโ๐ โ 1 + 2 + ๐ = โ๐ + 1โ๐ โ 2 + 2 + 2๐ = โ2 + ๐ โ ๐๐ผ๐๐๐ธ๐๐ด โ ๐ = 0
๐ = 2