A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika

A A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK TERMÉSZETTUDOMÁNYOK

ALAPJAIALAPJAI1. 1. MatematikaMatematika

v2.2 kiegészített verzióv2.2 kiegészített verzió

ÓE-KVK-MTIÓE-KVK-MTI

2009-2010.2009-2010.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIA TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

SzámhalmazokSzámhalmazok

Természetes számok: NTermészetes számok: NEgész számok: Z Egész számok: Z (N + 0 + negatív számok)(N + 0 + negatív számok)

Racionális számok: Q Racionális számok: Q (Z + véges törtek)(Z + véges törtek)

Valós számok: R Valós számok: R (Q + irracionális számok)(Q + irracionális számok)

Komplex számok: C Komplex számok: C (R + képzetes számok)(R + képzetes számok)


SzámhalmazokSzámhalmazok

Természetes számok: 1;2;3...Természetes számok: 1;2;3...

Egész számok: ...;-2;-1;0;1;2;...Egész számok: ...;-2;-1;0;1;2;...

Racionális számok: 1; ½; -23/56; 0,01Racionális számok: 1; ½; -23/56; 0,01

Valós számok: 1; ½; 3,1415...; Valós számok: 1; ½; 3,1415...; 2,71828...2,71828...

Komplex számok: 1; -½; i (j); 2+3i; eKomplex számok: 1; -½; i (j); 2+3i; e jjππ

Ha egy buszon 4 ember utazik, és leszáll 6, akkor hány embernek kell felszállnia, hogy Ha egy buszon 4 ember utazik, és leszáll 6, akkor hány embernek kell felszállnia, hogy senki ne legyen a buszon?senki ne legyen a buszon?


Műveletek tulajdonságaiMűveletek tulajdonságaikommutativitás:kommutativitás:összeadás: a+b=b+aösszeadás: a+b=b+aszorzás: ab=baszorzás: ab=ba

asszociativitás:asszociativitás: összeadás: (a+b)+c=a+(b+c)összeadás: (a+b)+c=a+(b+c)szorzás: (ab)c=a(bc)szorzás: (ab)c=a(bc)

disztributivitás:disztributivitás:szorzás az összeadásra nézve: szorzás az összeadásra nézve: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac


Nevezetes szorzatokNevezetes szorzatok

(a+b)(a+b)22 =a=a22+b+b22+2ab +2ab

(a-b)(a-b)22 =a=a22+b+b22-2ab-2ab

(a+b)(a+b)33 =a=a33+3a+3a22b+3abb+3ab22+b+b33

(a-b)(a-b)33 =a=a33-3a-3a22b+3abb+3ab22-b-b33

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b) =a=a22-b-b22

Zárójel felbontása:Zárójel felbontása:

a-(b+c-d)a-(b+c-d)==a-b-c+da-b-c+d

(a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd(a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd


Műveletek törtekkelMűveletek törtekkelTörtek összevonása:Törtek összevonása:Megkeressük a nevezők legkisebb közös Megkeressük a nevezők legkisebb közös többszörösét. Az összevonandó tagokat többszörösét. Az összevonandó tagokat egyenként úgy bővítjük, hogy a egyenként úgy bővítjük, hogy a meghatározott legkisebb közös többszörös meghatározott legkisebb közös többszörös legyen a nevező. Az eredmény számlálóját legyen a nevező. Az eredmény számlálóját az így kapott számlálok összevonásával az így kapott számlálok összevonásával kapjuk, a nevező a meghatározott legkisebb kapjuk, a nevező a meghatározott legkisebb közös többszörös lesz.közös többszörös lesz.


Műveletek törtekkelMűveletek törtekkelTörtek összevonása:Törtek összevonása:1. példa:1. példa:

A legkisebb közös többszörös meghatározása:A legkisebb közös többszörös meghatározása:

9=3*3, 6=2*3; 2*3*3=189=3*3, 6=2*3; 2*3*3=18Az összevonás eredménye:Az összevonás eredménye:

?6

7

9

2

18

25

18

21

18

4

36

37

29

22


Műveletek törtekkelMűveletek törtekkelTörtek összevonása:Törtek összevonása:2. példa:2. példa:


9=3*3, 6=2*3, 4=2*2; 2*2*3*3=369=3*3, 6=2*3, 4=2*2; 2*2*3*3=36Az összevonás eredménye:Az összevonás eredménye:

?4

3

6

7

9

2

36

7

36

27

36

42

36

8

94

93

66

67

49

42


Műveletek törtekkelMűveletek törtekkel

Törtek összevonása:Törtek összevonása:3. példa:3. példa:


a-b, (aa-b, (a22-b-b22)=(a+b)*(a-b); (a+b)*(a-b)=a)=(a+b)*(a-b); (a+b)*(a-b)=a22--bb22

Az összevonás eredménye:Az összevonás eredménye:

?2

22

2

ba

a

ba

ba

22

22

22

222

22

2

22

2 2222)(

ba

baba

ba

ababa

ba

a

ba

ba


Műveletek törtekkelMűveletek törtekkelTörtek szorzása:Törtek szorzása:Az eredő számláló a számlálók szorzata, az Az eredő számláló a számlálók szorzata, az eredő nevező pedig a nevezők szorzata lesz.eredő nevező pedig a nevezők szorzata lesz.1. példa1. példa

2. példa2. példa35

8

75

42

753

342

7

3

5

4

3

2

3223

23

22

2

22

2 22)(22

babbaa

baa

baba

baa

ba

a

ba

ba


Műveletek törtekkelMűveletek törtekkelTörtek osztása:Törtek osztása:Az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.Az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.1. példa1. példa

2. példa2. példa

6

5

12

10

4

5

3

2

5

4:

3

2

baa

babbaa

aba

baba

a

ba

ba

ba

ba

a

ba

ba

23

3223

2

22

2

22

22

2

222

2

2:


Az elsőfokú Az elsőfokú (lineáris)(lineáris) egyismeretlenes egyenletegyismeretlenes egyenlet

Általános alakja:Általános alakja: ax+b=0 , ahol a≠0 ax+b=0 , ahol a≠0

Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. csak ismert mennyiség van.

Ezt rendezéssel érhetjük el.Ezt rendezéssel érhetjük el. ax+b=0 l ax+b=0 l (-b)(-b) ax=-b l ax=-b l :a:a x=-b/a x=-b/a az egyenlet megoldásaaz egyenlet megoldása


Az elsőfokú egyismeretlenes Az elsőfokú egyismeretlenes egyenletegyenlet

A gyök (megoldás) akkor helyes, ha azt az A gyök (megoldás) akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlőséget kapunk.egyenlőséget kapunk.

x=-b/ax=-b/a az egyenlet megoldása. az egyenlet megoldása.

Behelyettesítve:Behelyettesítve:a(-b/a)+b=0a(-b/a)+b=0-ab/a+b=0-ab/a+b=0-b+b=0-b+b=00=00=0


Az elsőfokú egyismeretlenes Az elsőfokú egyismeretlenes egyenletegyenlet

1. példa:1. példa:2x-22+x+11=2x-5-x 2x-22+x+11=2x-5-x összevonásösszevonás

3x-11=x-5 l (-x+11)3x-11=x-5 l (-x+11)2x=2x= 6 l :26 l :2x=3x=3

Ellenőrzés:Ellenőrzés:2*3-22+3+11=2*3-5-32*3-22+3+11=2*3-5-3

6-22+3+11=6-5-36-22+3+11=6-5-3-2=-2 -2=-2 egyenlőség!egyenlőség!


Az elsőfokú egyismeretlenes egyenletAz elsőfokú egyismeretlenes egyenlet

2. példa:2. példa:2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 x-33=3x-5 l (-3x+33) l (-3x+33)-2x=+28 -2x=+28 l :(-2) l :(-2)x=-14x=-14Ellenőrzés:Ellenőrzés:

2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14)14)

-28-(19)=-28-5-14-28-(19)=-28-5-14-47=-47 -47=-47 egyenlőség!egyenlőség!



3. példa:3. példa:2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 x-33=3x-5 l (-3x+33) l (-3x+33)-2x=+28 -2x=+28 l :(-2) l :(-2)x=-14x=-14

Ellenőrzés:Ellenőrzés:2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14)2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14)

-28-(19)=-28-5-14-28-(19)=-28-5-14-47=-47 -47=-47 egyenlőség!egyenlőség!



4. példa:4. példa:(9x+7)/2+(x-2)/7=36+x(9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14

(9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14(9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása l zárójelek felbontása

63x+49+2x-4=504+14x63x+49+2x-4=504+14x l -49+4-14x és l -49+4-14x és összevonás összevonás 51x=459 51x=459 l :(51) l :(51) x=459/51=9x=459/51=9

Ellenőrzés:Ellenőrzés:(9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9(9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9

88/2+7/7=4588/2+7/7=4545=45 45=45 egyenlőség!egyenlőség!


Az elsőfokú egyismeretlenes egyenletAz elsőfokú egyismeretlenes egyenlet5. példa:5. példa:

16/(5x-3)=8/x16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x , feltéve, hogy szorzunk, most (5x-3)*x , feltéve, hogy x≠0 és x≠3/5x≠0 és x≠3/5 16x=8(5x-3)16x=8(5x-3) l zárójelek felbontása l zárójelek felbontása 16x=40x-24 16x=40x-24 l-40x és összevonás l-40x és összevonás -24x=-24-24x=-24 l:(-24) l:(-24) x=1x=1

Ellenőrzés:Ellenőrzés:16/(5*1-3)=8/116/(5*1-3)=8/1

16/2=116/2=18=8 8=8 egyenlőség!egyenlőség!


Az elsőfokú egyismeretlenes egyenletAz elsőfokú egyismeretlenes egyenletAz egyenlet megoldásának lehetséges Az egyenlet megoldásának lehetséges

lépései:lépései:- eltávolítjuk a törteket,- eltávolítjuk a törteket,- elvégezzük a kijelölt műveleteket, - elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, felbontjuk a zárójeleket,- rendezzük az egyenletet,- rendezzük az egyenletet,- összevonunk,- összevonunk,- elosztjuk az ismeretlen - elosztjuk az ismeretlen együtthatójávalegyütthatójával mindkét oldalt, mindkét oldalt,- elvégezzük az ellenőrzést.- elvégezzük az ellenőrzést.


Az egyenletek rendezésének szabályai: Az egyenletek rendezésének szabályai: a.) Valamely számot vagy algebrai egész a.) Valamely számot vagy algebrai egész

kifejezést az egyenlet mindkét oldalához kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk.kapunk.

x-a=c l(+a) x-a=c l(+a) x-a+a=c+ax-a+a=c+ax=c+ax=c+a

Példa:Példa: x-12=27 l(+12)x-12=27 l(+12)x-12+12=27+12x-12+12=27+12x=39x=39

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIA TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIAz egyenletek rendezésének szabályai: Az egyenletek rendezésének szabályai:

b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk.kifejezést kapunk.

x/a=c l( *a) x/a=c l( *a) (x/a)(*a)=c(*a)(x/a)(*a)=c(*a)x=cax=ca

Példa:Példa: x/12=27 l(*12)x/12=27 l(*12)(x/12)*12=27*12(x/12)*12=27*12x=324x=324

12x=36 l(:12)12x=36 l(:12)12x/12=36/1212x/12=36/12x=3x=3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIA TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIAz egyenletek rendezésének szabályai:Az egyenletek rendezésének szabályai:

c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök.egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök.

x-1=0 l ( *(x+1)) x-1=0 l ( *(x+1)) (x-1)(x+1)=0(x-1)(x+1)=0

egyenletnek gyöke az xegyenletnek gyöke az x11=1 , de gyöke az x=1 , de gyöke az x22=-1 is. =-1 is. Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig!mindig!

Példa:Példa: 3x/(x+2)=2 l (*(x+2) 3x/(x+2)=2 l (*(x+2)

3x=2*(x+2)3x=2*(x+2)3x=2x+43x=2x+4

Ekkor azEkkor az x=4x=4gyököt kapjuk , ami az eredeti egyenletnek is gyöke.gyököt kapjuk , ami az eredeti egyenletnek is gyöke.


A másodfokú egyismeretlenes A másodfokú egyismeretlenes egyenletegyenlet

Általános alakja:Általános alakja: axax22+bx+c=0 , ahol a#0+bx+c=0 , ahol a#0

A fenti alakot vegyes másodfokú A fenti alakot vegyes másodfokú egyenletnek nevezzük.egyenletnek nevezzük.Ha b=0, akkor kapjuk a tiszta másodfokú Ha b=0, akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet:egyenletet: axax22+c=0+c=0 Ha c=0, akkor kapjuk a hiányos Ha c=0, akkor kapjuk a hiányos másodfokú egyenletet:másodfokú egyenletet: axax22+bx=0 +bx=0



A tiszta másodfokú egyenlet megoldása:A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: axax22+c=0 +c=0

xx22=-c/a rendezés után=-c/a rendezés után

A két gyököt különválasztva:A két gyököt különválasztva:

Az „a” mindig pozitív, így c<0 esetén két valós Az „a” mindig pozitív, így c<0 esetén két valós gyök van, c>0 esetén nincs valós gyök.gyök van, c>0 esetén nincs valós gyök.

a

cx1,2

a

cx1

a

cx2



A tiszta másodfokú egyenlet megoldása:A tiszta másodfokú egyenlet megoldása:

Példa:Példa: 5x5x22-12=0 -12=0

xx22=12/5=2,4 rendezés után=12/5=2,4 rendezés után

A két gyököt különválasztva:A két gyököt különválasztva:

549,15

12x1,2

549,15

12x1 549,1

5

12x2



A A hiányos másodfokú egyenletet:hiányos másodfokú egyenletet: axax22+bx=0+bx=0 az egyenletből x-et az egyenletből x-et

kiemelve kiemelve x(ax+b)=0x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla:másik tényezője nulla:

xx11=0=0 az egyik gyök, az egyik gyök,

vagyvagy ax+b=0ax+b=0xx22=-b/a=-b/a a másik gyök.a másik gyök.



A hiányos másodfokú egyenletet:A hiányos másodfokú egyenletet: 3x3x22+5x=0+5x=0 az egyenletből x-et az egyenletből x-et kiemelve kiemelve x(3x+5)=0x(3x+5)=0 kapunk, szorzat kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla:vagy a másik tényezője nulla:

xx11=0=0 az egyik gyök,az egyik gyök,

vagyvagy 3x+5=03x+5=0xx22=-3/5=-3/5 a másik gyök.a másik gyök.



A vegyes másodfokú egyenlet:A vegyes másodfokú egyenlet: axax22+bx+c=0+bx+c=0 , ahol a#0 , ahol a#0

Az egyenlet megoldó képlete:Az egyenlet megoldó képlete:

A két gyök:A két gyök:

2a

4acbbx

2

2

2a

4acbbx

2

1

2a

4acbbx

2

1,2



A vegyes másodfokú egyenlet:A vegyes másodfokú egyenlet: 8x8x22+2x-1=0+2x-1=0

Az egyenlet megoldó képlete:Az egyenlet megoldó képlete:

A két gyök:A két gyök:

5,016

62

82

(-1)8422x

2

2

25,016

62

82

(-1)8422x

2

1

82

(-1)8422x

2

1,2


A másodfokú egyismeretlenes egyenletA másodfokú egyismeretlenes egyenletA vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét

a diszkrimináns, a a diszkrimináns, a bb22-4ac-4ac kifejezés határozza kifejezés határozza meg:meg:

a.)a.) ha ha bb22-4ac>0 -4ac>0 két egymástól különböző két egymástól különböző valós gyök van valós gyök van

b.)b.) ha ha bb22-4ac=0 -4ac=0 a gyökök egymással a gyökök egymással egyenlők egyenlők

c.) ha c.) ha bb22-4ac<0 -4ac<0 nincsenek valós gyökök (csak nincsenek valós gyökök (csak komplexek)komplexek)



Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között:együtthatói között:ha az ha az axax22+bx+c=0+bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van:pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van:

Adjuk össze a két gyököt: xAdjuk össze a két gyököt: x11+x+x22=-b/a=-b/a

szorozzuk össze őket:szorozzuk össze őket: x x11*x*x22=c/a =c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor:ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor:

xx22+(b/a)x+c/a=0+(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk. egyenlethez jutunk.

2a

4acbbx

2

1

2a

4acbbx

2

2



A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk:egyszerűen felírhatjuk:legyen xlegyen x11=4, x=4, x22=-2 =-2

4+(-2)=-b/a; 2=-b/a4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a 4*(-2)= c/a -8=c/a

Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: írható fel: xx22+(b/a)x+c/a=0+(b/a)x+c/a=0 , azaz , azaz xx22+(-2)x+(-8)=0+(-2)x+(-8)=0 xx2 2 -2x -8=0 -2x -8=0



A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:az az xx22+(b/a)x+c/a=0+(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján:alakítható a fenti összefüggések alapján:

xx22+(-(x+(-(x11+x+x2)2))x+x)x+x11*x*x22=0=0 megfelelő átalakítások után:megfelelő átalakítások után:

axax22+bx+c=a(x-x+bx+c=a(x-x11)(x-x)(x-x22))a-val osztva:a-val osztva:

xx22+(b/a)x+c/a = (x-x+(b/a)x+c/a = (x-x11)(x-x)(x-x22))

a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.


A másodfokú egyismeretlenes egyenletA másodfokú egyismeretlenes egyenletA fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú

egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk:egyszerűen felírhatjuk:legyen xlegyen x11=4, x=4, x22=-2 =-2

Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: írható fel: xx22+(b/a)x+c/a=(x-x+(b/a)x+c/a=(x-x11)(x-x)(x-x22)=0)=0 , azaz , azaz xx22+(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0+(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0

xx22+(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0+(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0 xx22+(b/a)x+c/a=x+(b/a)x+c/a=x22-4x+2x-8=0-4x+2x-8=0

x x22+(b/a)x+c/a=x+(b/a)x+c/a=x2 2 -2x-8=0 -2x-8=0 tehát atehát a másodfokú egyenlet:másodfokú egyenlet:

x x2 2 -2x-8=0 -2x-8=0


PolinomokPolinomokPolinom: olyan kifejezés, melyben csak számok és Polinom: olyan kifejezés, melyben csak számok és

változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Példa: illetve ilyenek összegei szerepelnek. Példa: axax33+bx+bx22+cx+d+cx+d

Ha a polinomot nullával tesszük egyenlővé, egyenletet Ha a polinomot nullával tesszük egyenlővé, egyenletet vagy függvényt kapunk. Pl. vagy függvényt kapunk. Pl. axax33+bx+bx22+cx+d=0+cx+d=0. Az . Az egyenlet megoldásait nevezzük a polinom egyenlet megoldásait nevezzük a polinom gyökeinek (vagy zérushelyeinek).gyökeinek (vagy zérushelyeinek).

Az algebra alaptétele: Az algebra alaptétele:

A komplex számok körében egy nem konstans A komplex számok körében egy nem konstans polinomnak pontosan annyi gyöke van, ahányad polinomnak pontosan annyi gyöke van, ahányad fokú. fokú. (A fokszám a legnagyobb hatványkitevő.)(A fokszám a legnagyobb hatványkitevő.) A fenti példának A fenti példának tehát 3 gyöke van. A gyökök között lehetnek tehát 3 gyöke van. A gyökök között lehetnek azonosak is (multiplicitás).azonosak is (multiplicitás).


Elsőfokú kétismeretlenes Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerekegyenletrendszerek

Elsőfokú kétismeretlenes Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja:egyenletrendszerek általános alakja:

aa11x+bx+b11y=dy=d11

aa22x+bx+b22y=dy=d22

Az egyenletrendszer csak akkor oldható Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a két egyenlet meg egyértelműen, ha a két egyenlet egymástól független egymástól független (vagyis az egyik nem hozható létre a (vagyis az egyik nem hozható létre a

másikból konstanssal való szorzással)másikból konstanssal való szorzással) és nincs és nincs ellentmondásban egymással.ellentmondásban egymással.


Elsőfokú kétismeretlenes Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásaegyenletrendszerek megoldása

- Helyettesítő módszer:- Helyettesítő módszer:valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.elvégezzük a próbát.



(I)(I) x-2y=-4x-2y=-4(II)(II) 2x+y=-32x+y=-3

Az első egyenletből kifejezzük az x-etAz első egyenletből kifejezzük az x-etx=2y-4 x=2y-4

és behelyettesítjük a (II)-beés behelyettesítjük a (II)-be

2(2y-4)+y=-32(2y-4)+y=-34y-8+y=-3 4y-8+y=-3


Elsőfokú kétismeretlenes Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása egyenletrendszerek megoldása

(folytatás):(folytatás):4y-8+y=-3 4y-8+y=-3 l összevonásl összevonás5y-8=-35y-8=-3 l +8l +8

5y=5 5y=5 l :5l :5y=1y=1

--------------- ---------------behelyettesítés az (I) egyenletbe:behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2(1)=-4 x-2=-4 x-2=-4 l +4l +4 x=-2x=-2



(próba):(próba):(I) (-2)-2(1)=-4 (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás l zárójel felbontás -2-2=-4 -2-2=-4 -4=-4 -4=-4 (II)(II) 2(-2)+1=3 2(-2)+1=3 l zárójel felbontásl zárójel felbontás -4+1=-3 -4+1=-3 -3=-3 -3=-3

tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1



- Az egyenlő együtthatók módszer:- Az egyenlő együtthatók módszer:

Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasztott Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasztott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kiküszöbölendő számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kiküszöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.próbát.



(I)(I) 5x+3y=195x+3y=19(II)(II) 6x-2y= 66x-2y= 6------------ ----------------------------

minkét egyenletet megszorozzuk egy minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel:5-tel:

(I)(I) 5x+3y=19 l*65x+3y=19 l*6 (II)(II) 6x-2y= 6 l*5 6x-2y= 6 l*5

------------ -------------- --------------


Elsőfokú kétismeretlenes Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása egyenletrendszerek megoldása

(folytatás):(folytatás): (I) (I) 30x+18y=114 30x+18y=114 (II) (II) 30x-10y= 30 l*5 30x-10y= 30 l*5

------------ -------------- -------------- (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt(I)-ből vonjuk ki a (II)-öt

28y=84 l :28 28y=84 l :28 y=3 y=3

behelyettesítés az eredeti (I)-be behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=195x+3*(3)=195x+9=19 l -95x+9=19 l -95x=10 l :55x=10 l :5x=2 x=2



(próba):(próba):(I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás (I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 10+9=19 19=19 19=19 (II)(II) 6(2)-2(3)=6 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontásl zárójel felbontás 12-6=6 12-6=6 6=6 6=6

tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3


EgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségnek két olyan kifejezés kapcsolatát Egyenlőtlenségnek két olyan kifejezés kapcsolatát nevezzük, amelyek az alábbi jelek valamelyikével nevezzük, amelyek az alábbi jelek valamelyikével vannak összekötve:vannak összekötve:> nagyobb> nagyobb< kisebb< kisebb≠ ≠ nem egyenlőnem egyenlő> < nagyobb vagy kisebb> < nagyobb vagy kisebb≤ ≤ nagyobb vagy egyenlőnagyobb vagy egyenlő≥ ≥ kisebb vagy egyenlőkisebb vagy egyenlő>, < és ≠ szigorú egyenlőtlenségek, a többi nem >, < és ≠ szigorú egyenlőtlenségek, a többi nem szigorú.szigorú.


EgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségekPéldák: Példák: a>ba>ba<ba<ba≠ba≠ba> <ba> <ba≤ba≤ba≥ba≥b


EgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségekAz a>b és ab és ab, akkor b<a.Ha a>b, akkor b<a.

2. Tranzitivitás:2. Tranzitivitás:Ha a>b és b>c, akkor a>cHa a>b és b>c, akkor a>c

3. Ugyanazon mennyiség hozzáadása vagy 3. Ugyanazon mennyiség hozzáadása vagy kivonása mindkét oldalból:kivonása mindkét oldalból:Ha a>b, akkor a+c>b+c és a-c>b-cHa a>b, akkor a+c>b+c és a-c>b-c



4. Egyenlőtlenségek összeadása:4. Egyenlőtlenségek összeadása:Ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d Ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d (megegyező értelmű kiinduló (megegyező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek)egyenlőtlenségek)

5. Egyenlőtlenségek kivonása:5. Egyenlőtlenségek kivonása:Ha a>b és c<d, akkor a-c>b-d (ellenkező Ha a>b és c<d, akkor a-c>b-d (ellenkező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek!)értelmű kiinduló egyenlőtlenségek!)



6. Egyenlőtlenségek szorzása és osztása:6. Egyenlőtlenségek szorzása és osztása:

Ha a>b és c>0, akkor ac>bc és a/c>b/c Ha a>b és c>0, akkor ac>bc és a/c>b/c (pozitív szorzótényező: megegyező értelmű (pozitív szorzótényező: megegyező értelmű eredmény)eredmény)

Ha a>b és c<0, akkor ac<bc és a/c<b/c Ha a>b és c<0, akkor ac<bc és a/c<b/c (negatív szorzótényező: ellenkező értelmű (negatív szorzótényező: ellenkező értelmű eredmény)eredmény)

EgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségekAz a>b és ab és a<b típusú egyenlőtlenségek megoldásamegoldása::

Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az ismeretlen azon értékeit, amelyekre megkeressük az ismeretlen azon értékeit, amelyekre az egyenlőtlenség igaz.az egyenlőtlenség igaz.Példa 1:Példa 1:5x+3<8x+1 5x+3<8x+1 5x-8x+3<15x-8x+3<15x-8x<1-35x-8x<1-3-3x<-2-3x<-2x>2/3x>2/3


EgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségekAz a>b és ab és a0 x2+6x+9+6>0(x+3)2+6>0 (x+3)2>-6Az egyenlőtlenség x minden értékére igaz, mert bármely szám négyzete nagyobb -6-nál. nagyobb -6-nál.


EgyenlőtlenségekEgyenlőtlenségekAz a>b és ab és a0 x2-7x+10<0(x-7/2)2-49/4+40/4<0 (x-7/2)2<9/4-3/2<x-7/2<3/2-3/2+7/2<x<3/2+7/22<x<5



TrigonometriaTrigonometria

A trigonometria azokkal az A trigonometria azokkal az összefüggé-sekkel foglalkozik, amelyek összefüggé-sekkel foglalkozik, amelyek segítségével a a háromszögek ismert segítségével a a háromszögek ismert elemeiből az isme-retlen elemeket elemeiből az isme-retlen elemeket számítással meghatároz-hatjuk.számítással meghatároz-hatjuk.Minden egyenesekkel határolt síkidom Minden egyenesekkel határolt síkidom háromszögekre és minden háromszög háromszögekre és minden háromszög derékszögű háromszögekre bontható, derékszögű háromszögekre bontható, ezért a derékszögű háromszögek ezért a derékszögű háromszögek vizsgálata meghatározóan fontos.vizsgálata meghatározóan fontos.


Trigonometrikus függvények (hegyes Trigonometrikus függvények (hegyes szögek)szögek)Az ábrán látható derékszögű Az ábrán látható derékszögű háromszögek oldalainak aránya háromszögek oldalainak aránya állandó (hasonló há-romszögek!)állandó (hasonló há-romszögek!)

a/c=aa/c=a11/c/c11=a=a22/c/c22

b/c=bb/c=b11/c/c11=b=b22/c/c2 2

a/b=aa/b=a11/b/b11=a=a22/b/b2 2

b/a=bb/a=b11/a/a11=b=b22/a/a22


Trigonometrikus függvényekTrigonometrikus függvényekA háromszögek megfelelő oldalainak A háromszögek megfelelő oldalainak aránya csak az aránya csak az αα szögtől függ. Ezeket szögtől függ. Ezeket az arányokat az arányokat szögfüggvényszögfüggvényeknek eknek nevezzük. Az egyes arányok külön nevezzük. Az egyes arányok külön megnevezést és jelölést kaptak. Ezek:megnevezést és jelölést kaptak. Ezek:

-szinusz: sin -szinusz: sin αα= a/c=(a szöggel = a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogószembeni befogó)/átfogób/c=bb/c=b11/c/c11=b=b22/c/c2 2

a/b=aa/b=a11/b/b11=a=a22/b/b2 2

b/a=bb/a=b11/a/a11=b=b22/a/a22


Trigonometrikus függvények:Trigonometrikus függvények:-koszinusz: -koszinusz: cos cos αα= b/c= b/c=(a szög =(a szög melletti befogó)/átfogómelletti befogó)/átfogó-tangens: -tangens: tg tg αα= a/b= a/b=(a szöggel =(a szöggel szembeni befogó)/(a szög melletti szembeni befogó)/(a szög melletti befogó)befogó)-kotangens: -kotangens: ctg ctg αα= b/a= b/a=(a szög =(a szög melletti befogó)/(a szöggel szembeni melletti befogó)/(a szöggel szembeni befogó) befogó)


TrigonometriaTrigonometriaDerékszögű háromszögben a következő Derékszögű háromszögben a következő

szögfüggvényeket definiáljuk:szögfüggvényeket definiáljuk:

tg

1ctg

cos

sintg

cos

sin

a

bb

ac

bc

a


Nevezetes szögfüggvények:Nevezetes szögfüggvények:

2

3

3sin60sin

2

2

4sin45sin

5,06

sin30sin

00sin

o

o

o

o

5,03

cos60cos

2

2

4cos45cos

2

3

6cos30cos

10cos

o

o

o

o

)(tg)(tg

)cos()cos(

)sin()sin(

xx

xx

xx

)2

sin()2

sin()cos(

)2

cos()sin(

xxx

xx


Nevezetes szögfüggvények:Nevezetes szögfüggvények:

33

tg60tg

14

tg45tg

3

3

6tg30tg

00tg

o

o

o

o

3

3

3ctg60ctg

14

ctg45ctg

36

ctgctg30

0ctg

o

o

o

o


Trigonometrikus függvények:Trigonometrikus függvények:A szögeket fokokban és radiánokban (rad) A szögeket fokokban és radiánokban (rad) is megadhatjuk. Az SI is megadhatjuk. Az SI mértékegységrendszerben csak a radián mértékegységrendszerben csak a radián használható. Kapcsolatuk: 2használható. Kapcsolatuk: 2ππ(rad)=360(rad)=360oo

Az ábrán látható derékszögű háromszög Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai:adatai:a=6ma=6mb=2,5mb=2,5mHatározzuk meg az Határozzuk meg az αα és a és a ββszögek szögfüggvényeit!szögek szögfüggvényeit!


Trigonometrikus függvények:Trigonometrikus függvények:Az ábrán látható derékszögű háromszög Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: adatai: a=6m b=2,5ma=6m b=2,5mHatározzuk meg az Határozzuk meg az αα és a és a ββ szögek szögek szögfüggvényeit!szögfüggvényeit!A c oldal a Pitagorasz tétellel A c oldal a Pitagorasz tétellel számolhatószámolható

A szögfüggvények:A szögfüggvények:sin sin αα=a/c=6/6,5=0,9230=a/c=6/6,5=0,9230cos cos αα=b/c=2,5/6,5=0,3849 =b/c=2,5/6,5=0,3849 tg tg αα=a/b=6/2,5=2,4 =a/b=6/2,5=2,4 ctg ctg αα=b/a=2,5/6=0,4166=b/a=2,5/6=0,4166

5,625,6365,26bac 2222


Szögfüggvények általánosítása:Szögfüggvények általánosítása:Szögfüggvényeket általánosan a P pont Szögfüggvényeket általánosan a P pont koordinátáival és az egységnyi sugárral a koordinátáival és az egységnyi sugárral a következőképpen értelmezzük:következőképpen értelmezzük:

sin sin αα=ordináta/sugár=y/1=y=ordináta/sugár=y/1=ycos cos αα=abszcissza/sugár=x/1=x =abszcissza/sugár=x/1=x tg tg αα=ordináta/abszcissza=y/x =ordináta/abszcissza=y/x ctg ctg αα=abszcissza/ordináta=x/y=abszcissza/ordináta=x/y

Az Az αα szög bármilyen értékű szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük.értelmezzük.


Szögfüggvények előjele különbözőSzögfüggvények előjele különbözősíknegyedekben:síknegyedekben:


Szögfüggvények előjele és értékei a Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:különböző síknegyedekben:


Szögfüggvények előjele és értékei a Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:különböző síknegyedekben:


Szögfüggvények előjele és számítása Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:a különböző síknegyedekben:


Szögfüggvények előjele és számítása Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:a különböző síknegyedekben:


TrigonometriaTrigonometria

a./ szinusz tétel:a./ szinusz tétel:az általános háromszögben bármely az általános háromszögben bármely

két oldal két oldal aránya az oldalakkal szemben aránya az oldalakkal szemben lévő szögek lévő szögek szinuszának arányával szinuszának arányával egyenlő.egyenlő.

a:b=sina:b=sinαα:sin:sinββ

a:c=sina:c=sinαα:sin:sinγγ

b:c=sinb:c=sinββ :sin:sinγγ


TrigonometriaTrigonometriaa./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az által bezárt szög az αα==ππ/6rad/6rad, azaz 30, azaz 30oo , , mekkora a c oldal?mekkora a c oldal?a/b=sina/b=sinαα/sin/sinββ l vegyük az egyenlet l vegyük az egyenlet reciprokátreciprokát

b/a= sinb/a= sinββ/sin /sin ααsinsinββ=(b/a)*sin=(b/a)*sinααsinsinββ=(12/10)sin=(12/10)sin3030oo sinsinββ=(12/10)sin=(12/10)sin3030oo

sinsinββ=(1,2)*0,5 =(1,2)*0,5 sinsinββ=0,6=0,6ββ=arc sin0,6 =arc sin0,6 ββ=36,87=36,87oo=0,643rad =0,643rad


TrigonometriaTrigonometriaa./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az által bezárt szög az αα==ππ/6rad/6rad, azaz 30, azaz 30oo , , mekkora a c oldal? Folytatás:mekkora a c oldal? Folytatás:ββ=36,87=36,87oo=0,643rad=0,643radγγ=180=180oo--αα--ββ γγ=180=180oo-30-30oo-36,87-36,87oo γγ=113,13=113,13oo c/a=sinc/a=sinγγ/sin/sinααc=(a*sinc=(a*sinγγ)/sin)/sinαα c=(10*sin113,13c=(10*sin113,13oo)/sin30)/sin30oo c=(10*0,9196)/0,5c=(10*0,9196)/0,5c=18,39m,c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39mTehát a c oldal 18,39m


TrigonometriaTrigonometriab./ koszinusz tétel:b./ koszinusz tétel:az általános háromszögben bármely az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá-nak négyzetösszegéből másik két oldalá-nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu-szának a közbezárt szög koszinu-szának kétszeresét.kétszeresét.

aa22=b=b22+c+c22-2*b*c*cos-2*b*c*cosαα

bb22=a=a22+c+c22-2*a*c*cos-2*a*c*cosββcc22=a=a22+b+b22-2*a*b*cos-2*a*b*cosγγ


TrigonometriaTrigonometriaa./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az által bezárt szög az γγ=113,13=113,13oo, mekkora a , mekkora a c oldal?c oldal? cc22=a=a22+b+b22-2*a*b*cos-2*a*b*cosγγ cc22=10=1022+12+1222-2*10*12*cos113,13-2*10*12*cos113,13oo

cc22=100=100 +144-240*(-0,3928)+144-240*(-0,3928) c c22=244+94,2764=244+94,2764 cc22=338,2764=338,2764 c=18,39mc=18,39m

Tehát a c oldal 18,39mTehát a c oldal 18,39m


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletekA goniometrikus egyenletek keretében azokkal A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. függvény argumentumában találhatók. Például:Például:

a./ sin x=aa./ sin x=ab./ cos x=a b./ cos x=a c./ tg x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a d./ ctg x=a

Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté-Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté-keit, amelyek kielégítik goniometrikus keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet. egyenletet.


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenleteka./ a./ sin x=a sin x=a

Lehetőségek:Lehetőségek:a1./ a1./ sin x=a sin x=a Megoldások:Megoldások:a1./1.a1./1. x= arc sin a+2kx= arc sin a+2kππ A mellékelt ábra jobb oldala A mellékelt ábra jobb oldala alapján!alapján!a2./ a2./ sin x=a sin x=a Megoldások:Megoldások:a2./1. a2./1. x= x= ππ(2k+1)- arc sin a (2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala a mellékelt ábra bal oldala alapjánalapjánA k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám!

1x1

1x0

1x0


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenleteka./ a./ sin x=a sin x=a

Lehetőségek:Lehetőségek:a3./ a3./ sin x=a sin x=a Megoldások:Megoldások:a3./1.a3./1. x= arc sin a+2kx= arc sin a+2kππ A mellékelt ábra jobb oldala A mellékelt ábra jobb oldala alapján!alapján!a4./ a4./ sin x=a sin x=a Megoldások:Megoldások:a4./2 a4./2 x= x= ππ(2k+1)- arc sin a (2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala a mellékelt ábra bal oldala alapján!alapján!A k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám!

1x1

0x1

0x1


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletekb./ b./ cos x=a cos x=a

Lehetőségek:Lehetőségek:b1./ b1./ cos x=a cos x=a Megoldások:Megoldások:b1.b1. x=x=±± arc cos a+2k arc cos a+2kππ A mellékelt felső ábra A mellékelt felső ábra alapján!alapján!b2./ b2./ sin x=a sin x=a Megoldások:Megoldások:b2 b2 x=x=±± arc cos a+2k arc cos a+2kππ a mellékelt alsó ábra a mellékelt alsó ábra alapján!alapján!A k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám!

1x1

0x1

1x0


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletekc./ c./ tg x=a tg x=a

Megoldás:Megoldás:x=arc tg a+kx=arc tg a+kππ

A mellékelt ábra alapján!A mellékelt ábra alapján!A k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám!

x


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletekc./ cc./ ctg x=a tg x=a

Megoldás:Megoldás:x=arc ctg a+kx=arc ctg a+kππ

A mellékelt ábra alapján!A mellékelt ábra alapján!A k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám!

x

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIA TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletek

Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 ésPéldák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és


a1./ a1./ x= arc sin a+2kx= arc sin a+2kππ =arc sin,075+2k =arc sin,075+2kππ =(0,848+2k =(0,848+2k ππ) rad) rad

a2./ a2./ x= x= ππ( 2k+1)- arc sin a = ( 2k+1)- arc sin a = ππ( 2k+1)- arc sin 0,75 ( 2k+1)- arc sin 0,75 =(=(ππ(2k+1)-(2k+1)- 0,848)rad0,848)radA k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám!

Tehát eredmények a következők:Tehát eredmények a következők: k=0, xk=0, x0101=0,848rad, és x=0,848rad, és x0202= = ππ- 0,848=2,2936rad; - 0,848=2,2936rad; k=1, xk=1, x1111=0,848+2=0,848+2ππ=7,1312rad x=7,1312rad x1212=3 =3 ππ--0,848=8,576rad, stb.0,848=8,576rad, stb.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAIA TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletek



b1./ b1./ x= arc cos a+2kx= arc cos a+2kππ =arc cos 0,75+2k =arc cos 0,75+2kππ =(0,7227+2k =(0,7227+2k ππ) rad) rad

b2./ b2./ x=-arc cos a+2kx=-arc cos a+2kππ =-arc cos 0,75+2k =-arc cos 0,75+2kππ =(- =(-0,7227+0,7227+

+2k +2k ππ) rad) rad A k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők:Tehát eredmények a következők:

k=0, xk=0, x0101=0,7227rad, és x=0,7227rad, és x0202= - 0,7227rad; = - 0,7227rad; k=1, xk=1, x1111=0,7227+2=0,7227+2ππ=7,0rad x=7,0rad x1212=2=2ππ--0,7227=5,56rad, stb.0,7227=5,56rad, stb.


Goniometrikus egyenletekGoniometrikus egyenletek



c1./ c1./ x= arc tg a+kx= arc tg a+kππ =arc tg 0,75+k =arc tg 0,75+kππ =(0,6435+k =(0,6435+k ππ) rad) rad

A k tetszőleges egész szám!A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők:Tehát eredmények a következők:

k=0, xk=0, x0101=0,6435rad, =0,6435rad, k=1, xk=1, x1111=0,6435+=0,6435+ππ=3,7851rad, stb.=3,7851rad, stb.


HatványozásHatványozása : hatvány alapjaa : hatvány alapja

n: hatványkitevőn: hatványkitevő

n

k

n aa1

tértelmezetnem

tértelmezetnem

aa

a

aa

n

n

nn

0

0

00

1

1

0

0

1

Rbea

Rbaa

Zpqaa

abb

x

bx

b

q pq

p

;

;lim

,;

ln


HatványozásHatványozásAzonosságokAzonosságok

c

bcb

cbcb

bbb

a

aa

aaa

caca

c

cc

bb

cbb

bccbbc

b

a

b

a

aa

aa

aaa

dc

dc

c

Bármilyen számrendszerben a rendszer alapjával való szorzáskor az Bármilyen számrendszerben a rendszer alapjával való szorzáskor az eredményt úgy kapjuk, hogy a szám mögé írunk egy nullát.eredményt úgy kapjuk, hogy a szám mögé írunk egy nullát.


HatványozásHatványozásPéldaPélda

8

1

2

12

642242

256222

82222

33

632332

822

3

33

125,0222

2

8222

2

00000011010)10(

0001001010

77762433232)32(

8822

3747

4

3474

7

63232

532

555

25,044 34

3


HatványozásHatványozásPéldaPélda


LogaritmusLogaritmusA hatványozás egyik inverz művelete (a A hatványozás egyik inverz művelete (a

másik a gyökvonás).másik a gyökvonás).

A pozitív b szám a (a>1) alapú logaritmusa A pozitív b szám a (a>1) alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapjuk.az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapjuk.

xa

ba

bab

xa

b

a

a

log

0;1;loglog

Gyökvonásnál az alapot, logaritmusnál a kitevőt keressük.Gyökvonásnál az alapot, logaritmusnál a kitevőt keressük.


LogaritmusLogaritmusPélda:Példa:

Hatvány:Hatvány:

Gyök:Gyök:

Logaritmus:Logaritmus:

10-es alapú log:10-es alapú log:

természetes log:természetes log:

cb

ca

ac

a

b

b

log

32log5

322

232

2

5

5

...71828.2;1logln

31000log1000lg 10

eee e


LogaritmusLogaritmusAzonosságokAzonosságok

a

bb

xkx

yxy

x

yxxy

ca

ba

c

ca

ak

a

aaa

aaa

c

ba

a

log

loglog

loglog

logloglog

logloglog

loglog

Log alapjánakLog alapjának

változtatása:változtatása:


LogaritmusLogaritmusPéldák:Példák:

097,2699,035log35log

10301,0

01,3

2log

1024log1024log

44816log256log16

256log

3,22log100log1002log200log

32log8log

103

10

10

102

222

10101010

322


Példák: Példák: a./ a./ lg lg 8=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,60208=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,6020== =0,9031=0,9031b./b./ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-1,6094=1,6094= =-0,2231=-0,2231


Példák: Példák:

c./c./ln5ln522=2*ln 5=2*1,6094==2*ln 5=2*1,6094=3,21883,2188

c./ c./ lg lg 881/21/2=(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031==(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031=0,45150,4515

ExponenciálisExponenciális

függvényfüggvény

LogaritmusLogaritmus

függvényfüggvényxa xalog


Exponenciális egyenletek megoldása:Exponenciális egyenletek megoldása:

Az olyan egyenletet, amelyben az Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen a kitevőben található ismeretlen a kitevőben található exponenciális egyenletnek nevezzük.exponenciális egyenletnek nevezzük.

Például:Például:33(x+1)(x+1)-3-3xx=100=100

exponenciális egyenlet.exponenciális egyenlet.


Exponenciális egyenletek megoldása:Exponenciális egyenletek megoldása:a./ Ha az exponenciális egyenlet a./ Ha az exponenciális egyenlet

mindkét oldala egytagú kifejezés, mindkét oldala egytagú kifejezés, akkor vagy logaritmálással, vagy a akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyenletet következtetéssel algebrai egyenletet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk.írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk.

Például:Például:a1./a1./ 33xx=81 =81 l logaritmálva:l logaritmálva:

x*lg3=lg81 x*lg3=lg81 l :lg3l :lg3x=lg81:log3=1,9085/0, 4771x=lg81:log3=1,9085/0, 4771x=4x=4



Például:Például:a2./a2./ 33xx=81 =81 l 81 felírása l 81 felírása hatványkénthatványként

33xx=3=344 l látható: x=4 l látható: x=4 esetén áll esetén áll fenn az fenn az egyenlőségegyenlőség x=4x=4

Próba:Próba: 3344=81=8181=8181=81


Exponenciális egyenletek megoldása:Exponenciális egyenletek megoldása:Például:Például:

a3./a3./

Próba:Próba:2x

42x

melésnégyzetree:l22

2222

33

333

átalakítás:l399

2x22x2

2x22x2

2x2x

x

xx


Exponenciális egyenletek megoldása:Exponenciális egyenletek megoldása:Próba:Próba:

a3./a3./

8181

9981

399

39922

2222


Exponenciális egyenletek megoldása:Exponenciális egyenletek megoldása:b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú

kifeje-zés, de átalakításokkal mindkét oldal kifeje-zés, de átalakításokkal mindkét oldal egytagúra alakítható, akkor vagy egytagúra alakítható, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyen-letet írunk következtetéssel algebrai egyen-letet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk.fel, és azt a kitevőkre megoldjuk.

Például:Például:b1./ b1./ 33x+2x+2+7*3+7*3x+1x+1=270 =270 l :a kitevőket l :a kitevőket felbontjuk:felbontjuk:

3 3xx*3*322+7*3+7*3xx*3*311=270 =270 l :3l :3xx-kiemelése-kiemelése 3 3xx(3(322+7*3+7*311)=270 )=270 3 3xx(9+21)=270 (9+21)=270 l :osztás 30-all :osztás 30-al

33xx=270/30 =9=3=270/30 =9=322 x=2x=2



b1. folytatás:b1. folytatás:

Próba: Próba: 33x+2x+2+7*3+7*3x+1x+1=270 =270 332+22+2+7*3+7*32+12+1=270 =270

3 344+7*3+7*333=270 =270 81+7*27=270 81+7*27=270

270=270 270=270


Exponenciális egyenletek megoldása:Exponenciális egyenletek megoldása:Például:Például:

b2./ b2./ 33x+2x+2+7*3+7*3x+1x+1=280 =280 l :a kitevőket l :a kitevőket felbontjuk:felbontjuk:33xx*3*322+7*3+7*3xx*3*311=280 =280 l :3l :3xx-kiemelése-kiemelése33xx(3(322+7*3+7*311)=280 )=280 33xx(9+21)=280 (9+21)=280 l :osztás 30-all :osztás 30-al33xx=280/30 =280/30 l: logaritmálásl: logaritmálásx*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30x*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30x*0,4771=2,4471-1.4771=0,9700x*0,4771=2,4471-1.4771=0,9700x=0,9700/0,4771=2,0331x=0,9700/0,4771=2,0331 x=2,0331x=2,0331



Próba:Próba:b2./ b2./ 33x+2x+2+7*3+7*3x+1x+1=280 =280 332,0331+22,0331+2+7*3+7*32,0331+12,0331+1=280 =280 334,03314,0331+7*3+7*33,03313,0331=280 =280 83,9997+7*27,9999=280 83,9997+7*27,9999=280 83,9997+195,9993=280 83,9997+195,9993=280 279,999=280279,999=280A kerekítésektől eltekintve az A kerekítésektől eltekintve az egyenlőség fennállegyenlőség fennáll


KoordinátarendszerekKoordinátarendszerekDescartes- féle térbeli jobb sodrású Descartes- féle térbeli jobb sodrású

derékszögű koordináta rendszer:derékszögű koordináta rendszer: három, egy ponton átmenő, egymásra három, egy ponton átmenő, egymásra merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z koordináta tengely három egymásra merő- koordináta tengely három egymásra merő- leges koordináta síkot határoz meg. A tér leges koordináta síkot határoz meg. A tér egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- náták a koordináta síkoktól mért, előjeles náták a koordináta síkoktól mért, előjeles távolságok, egyértelműen meghatározzák. távolságok, egyértelműen meghatározzák.


- Descartes- féle térbeli derékszögű - Descartes- féle térbeli derékszögű koordinátakoordináta rendszer: rendszer:



Ábrázolják a koordináta rendszerben a Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat:következő pontokat:

A(1; 2; 2);A(1; 2; 2); B(-3; 1; -2);B(-3; 1; -2); C(3/2;-1; 9/2);C(3/2;-1; 9/2); D(3; 1; -3);D(3; 1; -3); E(-2; -1; 2).E(-2; -1; 2).




Koordináta rendszerekKoordináta rendszerek

- Descartes- féle derékszögű koordináta- Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer rendszer

Descartes szimuláció



Két pont távolsága:Két pont távolsága:Ha PHa P11(x(x11;y;y11;z;z11))és Pés P22(x(x22;y;y22;z;z22))

A két pont A két pont távolsága: d távolsága: d

212

212

212 )z-z()y-(y)x-(xd


Két pont távolsága:Két pont távolsága:Számítsuk ki két pont távolságát ha Számítsuk ki két pont távolságát ha PP11(-2;3;5) és P(-2;3;5) és P22(-3;4;0)(-3;4;0)A két pont távolsága: d A két pont távolsága: d

196,53327d

5211d

-5)((1)(-1)d

5)-0(3)-(42)(-3d

5))(-0(3))(-(4(-2))-(-3d

222

222

222

Balázs Zoltán


Távolságot adott arányban osztó pont Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái:koordinátái:

ha Pha P11(x(x11;y;y11;z;z11) és P) és P22(x(x22;y;y22;z;z22), az osztási arány ), az osztási arány k=(Pk=(P11P)/(P PP)/(P P22))

k1

kzzz

k1

kyyy

k1

kxxx

21

21

21


Távolságot adott arányban osztó pont Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái:koordinátái:

ha Pha P11(5;2;-1) és P(5;2;-1) és P22(-3;4;2), az osztási arány (-3;4;2), az osztási arány k=(Pk=(P11P)/(P PP)/(P P22)=1/2=0,5)=1/2=0,5

05,1

11

5,01

25,01-z

666,25,1

22

5,01

45,02y

333,25,1

5,15

5,01

)3(5,05x


Síkbeli egyenes egyenletei:Síkbeli egyenes egyenletei:

1. Origón és P(X,Y) ponton átmenő egyenes 1. Origón és P(X,Y) ponton átmenő egyenes egyenlete egyenlete

Ha az egyenes átmegy az origón, iránytényezője, Ha az egyenes átmegy az origón, iránytényezője, vagy meredeksége:vagy meredeksége:

tgtgαα=m=y/x,=m=y/x, amelyből az y-t kifejezveamelyből az y-t kifejezveAz egyenes egyenlete:Az egyenes egyenlete:

y=mxy=mx


Síkbeli egyenes egyenletei:Síkbeli egyenes egyenletei:2.2. Ha az egyenes átmegy a PHa az egyenes átmegy a P11(x(x11;y;y11) ponton és m ) ponton és m

ismert, akkor az egyenes egyenleteismert, akkor az egyenes egyenlete:: y=m(x-xy=m(x-x11)+y)+y11

3, Az egyenes átmegy a P3, Az egyenes átmegy a P11(x(x11;y;y11) és P) és P22(x(x22;y;y22) ) pontokon, akkor az egyenes egyenlete azpontokon, akkor az egyenes egyenlete az

y=(yy=(y2-2-yy11)/(x)/(x2-2-xx11) (x-x) (x-x11)+y)+y11

vagyis mvagyis m==(y(y2-2-yy11)/(x)/(x2-2-xx11))= = (y(y1-1-yy22)/(x)/(x1-1-xx22))..


Síkbeli egyenes példák:Síkbeli egyenes példák:

1. 1. Határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha az y Határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha az y tengelyt a B pontban metszi és átmegy P ponton.tengelyt a B pontban metszi és átmegy P ponton.B(0;3) ,[B(0;b)] és PB(0;3) ,[B(0;b)] és P (-3;4), [P(x;y)](-3;4), [P(x;y)]

tgtgαα=m=(y-b)/x,=m=(y-b)/x,

m=(4-3)/(-3)=-1/3 m=(4-3)/(-3)=-1/3

Az egyenes egyenlete:Az egyenes egyenlete:

y=(-1/3)x+3y=(-1/3)x+3



2. 2. Az egyenes átmegy a PAz egyenes átmegy a P11(5;-3) ponton és az m (5;-3) ponton és az m ismert, ismert, αα =35 =35oo, akkor az egyenes egyenlete az , akkor az egyenes egyenlete az

m=tg35m=tg35oo=0,7002=0,7002

y-(-3)=0,7002(x-(+5))y-(-3)=0,7002(x-(+5))

egyenletből számolható. egyenletből számolható.

y+3=0,7002x-3,5y+3=0,7002x-3,5

y=0,7002x-6,5y=0,7002x-6,5



3. 3. Az egyenes átmegy a PAz egyenes átmegy a P11(-5;-1) és a P(-5;-1) és a P22(6;-2) (6;-2) ponton, akkor az egyenes egyenlete azponton, akkor az egyenes egyenlete az

y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5)) y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5))

egyenletből számolhatóegyenletből számolható

y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5) y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5)

y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11

y=(-1/11)x -16/11y=(-1/11)x -16/11


Polárkoordináta rendszerPolárkoordináta rendszer

Pont koordinátái két dimenzióban:Pont koordinátái két dimenzióban:

R: távolság az origótólR: távolság az origótól

αα: szögtávolság a polártengelytől: szögtávolság a polártengelytől

Polárkoordináta demó (pearl)


Koordináta-transzformációKoordináta-transzformáció

Descartes - polár között:Descartes - polár között:

nX

Yarctg

RY

RX

YXR

)sin(

)cos(

22

0;0;2

3

0;0;2

0;2

0;0;

0;0;

yx

yx

xX

Yarctg

yxX

Yarctg

yxX

Yarctg


VektorokVektorokA vektorok jellemzői:A vektorok jellemzői:

A vektor jele: A vektor jele: A A vagyvagyA vektor összetevői, komponensei: AA vektor összetevői, komponensei: Axx, A, Ayy, , AAzz

A vektor megadása: A vektor megadása: AA=(A=(Axx, A, Ayy, A, Azz), vagy), vagyAA==iiAAxx++jjAAyy++kkAAzz

A vektor abszolút értéke: A vektor abszolút értéke:

2z

2y

2x AAAA


A vektorok jellemzői:A vektorok jellemzői:

Vektorösszetevők demó (pearl)


A vektorok összeadása:A vektorok összeadása:

A vektorok kivonása:A vektorok kivonása:

kzAjyAixAA

kBjBiBB zyx

k)zBz(Aj)yBy(Ai)xBx(ABA

k)zBz(Aj)yBy(Ai)xBx(ABA


A vektorok összeadása:A vektorok összeadása:

k2-j4i3A

k4j2i1B

k2j6i2BA

k4)((-2)j2)(4i))1((3BA


A vektorok kivonása: A vektorok kivonása:

k2-j4i3A

k4j2i1B

k6j2i4BA

k4)((-2)j2)(4i))1((3BA


Vektorok összeadása:Vektorok összeadása:

Vektorösszeadás demó (pearl)

Vektorösszeadás demó (html)


A vektorok skaláris szorzása:A vektorok skaláris szorzása:

kzAjyAixAA

)B*(A)B*(A)B*(ABA

kBjBiBB

zzyyxx

zyx


A vektorok skaláris szorzása:A vektorok skaláris szorzása:

k(-1)j3i(-2)A

10262BA

(-2))*((-1)2)*(3(-1))*((-2)BA

k(-2)j2i(-1)B


A vektorok vektoriális szorzása:A vektorok vektoriális szorzása:

zAkyAjxAiA

zyx BkBjBiB

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BxA



)BA-BA()BxA( xzzxy

yzzyx BA-BA)BxA(

xyyxz BA-BA)BxA(



k)BA-B(A

j)BA-B(A- i)BA-B(A)BxA(

xyyx

xzzxyzzy



k3j(-1)i2A

k2j2i(-2)B

222-

31-2

kji

BxA



-10))2(3-22()BxA( y

823-2)1()BxA( x

62(-1)-22)BxA( z

k6j10-i -8)BxA(



Vektoriális szorzás demó (pearl)


GeometriaGeometriaSSíkidomok, testekíkidomok, testek

TéglalapTéglalap kerülete:kerülete: kk=2(a+b)=2(a+b) területe:területe: A=abA=ab

TéglatestTéglatest felszíne:felszíne: A=2(ab+ac+bc)A=2(ab+ac+bc) térfogata:térfogata: V=abcV=abc



HáromszögHáromszög kerülete:kerülete: kk=a+b=a+b+c+c területe:területe:

2

sin

2

sin

2

sin

2

abbcacamA


Derékszögű háromszögDerékszögű háromszög

a,b: befogó; c: átfogóa,b: befogó; c: átfogó

Pitagorasz-tétel:Pitagorasz-tétel:

Általánosítás tetszőleges háromszögre:Általánosítás tetszőleges háromszögre:

Koszinusz-tétel:Koszinusz-tétel:

Szinusz-tétel:Szinusz-tétel:


222 bac

cos2222 abbac sin:sin:sin:: cba



KörKör kerülete:kerülete: kk=2=2RR területe:területe: A=A=RR22GömbGömb felszíne:felszíne: A=4RA=4R22 térfogata:térfogata: V=4RV=4R33



HengerHenger felszíne:felszíne: AA==hh22RRRR22 térfogata:térfogata: VV==hRhR22KúpKúp térfogata:térfogata: V=hRV=hR22

Documents

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika