Munich Personal RePEc Archive

A Tale of Two Bases: Progressive

Taxation of Capital and Labor Income

Moore, Rachel and Pecoraro, Brandon

U.S. Congress Joint Committee on Taxation

13 January 2021

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/105299/

MPRA Paper No. 105299, posted 19 Jan 2021 10:39 UTC

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s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❛ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❣r♦✇t❤ ♣❛t❤✳ ■t ❡✈♦❧✈❡s ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧② ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ s❡❝t♦r ❛❝❝♦r❞✐♥❣

t♦ At+1 = ΥAAt✱ ✇❤❡r❡ ΥA = (1 + υA) ✐s t❤❡ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❛♥♥✉❛❧ ❣r♦ss r❛t❡ ♦❢ t❡❝❤♥♦✲

❧♦❣✐❝❛❧ ❣r♦✇t❤✳ Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ❜♦t❤ s❡❝t♦rs ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ✉s❡ ❝♦♥st❛♥t r❡t✉r♥s t♦ s❝❛❧❡

❈♦❜❜✲❉♦✉❣❧❛s t❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✿

Yqt = Z

q(Gt)g(Kqt )

α(AtNqt )

1−α−g ❢♦r q = c, n ✭✷✳✶✮

✇❤❡r❡ Gt = Gfedt +G

slt ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ♣✉❜❧✐❝ ❝❛♣✐t❛❧ ♦✇♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢❡❞✲

❡r❛❧✱ st❛t❡ ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❣♦✈❡r♥♠❡♥ts✱ Kqt ❛♥❞ Nqt ❛r❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ ♣r✐✈❛t❡

❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❧❛❜♦r ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ ❡❛❝❤ s❡❝t♦r q = c, n✱ ❛♥❞ Zq ✐s ❛ s❝❛❧❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✳

❲❡ ✐♥❝❧✉❞❡ ♣✉❜❧✐❝ ❝❛♣✐t❛❧ ❛s ❛ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t t♦ ♣r✐✈❛t❡ ✐♥♣✉ts ✐♥ ❛♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❝♦♥st❛♥t r❡t✉r♥s t♦ s❝❛❧❡✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧✐❡❞ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ r❡t✉r♥s t♦ s❝❛❧❡ ❢♦r ♣r✐✈❛t❡

❢❛❝t♦rs ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐s ❝r✐t✐❝❛❧ ❢♦r ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s✱ ❛s ✐t ❛❧❧♦✇s ❢♦r ✉s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r✐♦r

s♦❧✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉r t✇♦ ❡♥t✐t② ✲ s✐♥❣❧❡ ♦✉t♣✉t ❣♦♦❞ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢

❛ ♣✉❜❧✐❝ ❢❛❝t♦r ✐♥♣✉t ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ ♦✉r ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❛♥❞ ❧❛❜♦r ♠❛r❦❡ts

❧❡❛❞s t♦ ❡❝♦♥♦♠✐❝ r❡♥ts ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❢✉❧❧② ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② ✜r♠s✳

❆♥ ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s s❤❛r❡ Λct < 1 ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❧❛❜♦r✱ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡q✉❛❧✐③❛✲

t✐♦♥ ♦❢ ❝r♦ss✲s❡❝t♦r ♠❛r❣✐♥❛❧ ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❧❛❜♦r ✉♥❞❡r ♣❡r❢❡❝t ❧❛❜♦r ♠❛r❦❡ts✱ ✐s ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥

t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ s❡❝t♦r ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧ s❤❛r❡ Λnt = 1−Λct ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ s❡❝✲

t♦r✳ ❈♦r♣♦r❛t❡ ❛♥❞ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❧❛❜♦r ✐♥♣✉ts ❛r❡ t❤❡♥ N ct = ΛctNt ❛♥❞ N

nt = (1−Λ

ct)Nt

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

✶✶❲❡ ❞♦ ♥♦t ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ✜r♠ t♦ ❜❡ ❛ ❝♦r♣♦r❛t❡ ♦r ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❡♥t✐t② ❛s ✐♥ ❘❛❡✐✭✷✵✷✵❜✮✳ ❘❛t❤❡r✱ ✇❡ ❛❧❧♦✇ ❢♦r t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❛♥❞ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠s t♦❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡✐r ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❤✐r✐♥❣ ❝❤♦✐❝❡s✳

✻

❲❡ ❛ss✉♠❡ ❛ ♦♥❡✲♣❡r✐♦❞ t✐♠❡✲t♦✲❜✉✐❧❞ ❢♦r ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧✱ s♦

t❤❛t t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✉s❡❞ ❢♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣❡r✐♦❞ ✐s ♣r❡❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ✐♥✈❡st♠❡♥t

❞❡❝✐s✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♣❡r✐♦❞✳ ■♥✈❡st♠❡♥t ❞❡❝✐s✐♦♥s t❤❛t ❝❛✉s❡ ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡

st❡❛❞②✲st❛t❡ r❛t❡ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛❞❥✉st♠❡♥t ❝♦sts s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡①

❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ Ξt✿

Kqt+1 = (1− δ

K)Kqt + Iqt − Ξ

qt ❢♦r q = c, n ✭✷✳✷✮

Ξqt =ξK

2(Iqt

Kqt

−ΥPΥA + 1− δK)2Kqt ❢♦r q = c, n ✭✷✳✸✮

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞❡❜t ♣♦rt✐♦♥ ♦❢ t♦t❛❧ r❡s♦✉r❝❡s ✉s❡❞ t♦ ✜♥❛♥❝❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t

✐♥ ❡❛❝❤ s❡❝t♦r ✐s ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s✱ t✐♠❡✲✐♥✈❛r✐❛♥t r❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦✱ κb,q✿

Bqt = κ

b,qKqt ❢♦r q = c, n ✭✷✳✹✮

✇❤❡r❡ Bqt ✐s t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ♥❡t st♦❝❦ ♦❢ ❞❡❜t ❤❡❧❞ ❜② t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ✜r♠ ✐♥

s❡❝t♦r q✳

✷✳✶✳✶ ❈♦r♣♦r❛t❡ ❙❡❝t♦r

❚❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠ ✜♥❛♥❝❡s ❡①♣❡♥❞✐t✉r❡s ✇✐t❤ ❞❡❜t ✭❜♦♥❞s✮ ❛♥❞ ❡q✉✐t② ✭st♦❝❦ s❤❛r❡s✮✳

Pr♦✜t ✐s r❡♠✐tt❡❞ ❜❛❝❦ t♦ s❤❛r❡❤♦❧❞❡rs t❤r♦✉❣❤ ❞✐✈✐❞❡♥❞s✳ ●❛✐♥s ❛r❡ r❡❛❧✐③❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡

✈❛❧✉❡ ♦❢ ❝♦r♣♦r❛t❡ s❤❛r❡s ✐♥❝r❡❛s❡✳ ❆s ✐♥ P♦t❡r❜❛ ❛♥❞ ❙✉♠♠❡rs ✭✶✾✽✹✮ ❛♥❞ ❍✉❜❜❛r❞

❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✺✮✱ t❤❡ ❛❢t❡r✲t❛① r❛t❡ ♦❢ r❡t✉r♥ t♦ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ✐♥✈❡st♦r✲❤♦✉s❡❤♦❧❞ Rct ❞❡♣❡♥❞s

♦♥ ❜♦t❤ ❝❛♣✐t❛❧ ❣❛✐♥s gnsct ❛♥❞ ❞✐✈✐❞❡♥❞ ♣❛②♦✉ts divt ♦❝❝✉rr✐♥❣ ✐♥ ♣❡r✐♦❞ t✿

Rct =(1− τ gt )gns

ct + (1− τ

dt )divt

V ct✭✷✳✺✮

✇❤❡r❡ τ gt ✐s t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❛❝❝r✉❛❧✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t t❛① r❛t❡ ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧ ❣❛✐♥s✱ τdt ✐s ❛♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡

t❛① r❛t❡ ♦♥ ❞✐✈✐❞❡♥❞s✱ ❛♥❞ V ct ✐s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✳ ❈❛♣✐t❛❧

❣❛✐♥s ❛r❡ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✜r♠ ❧❡ss t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ♥❡✇ s❤❛r❡ ✐ss✉❡s✱

shrt✿

gnsct = Vct+1 − V

ct − shrt ✭✷✳✻✮

❚❤❡ ✜r♠✬s ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s t♦ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ t✐♠❡ ♣❛t❤ ♦❢ ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧ Kct ❛♥❞ ❤✐r❡ t❤❡

q✉❛♥t✐t② ♦❢ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❧❛❜♦r ✐♥♣✉t N ct t❤❛t ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ✜r♠✬s ✈❛❧✉❡ ❛t t✐♠❡ t✳ ❘❡❛rr❛♥❣✲

✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✺✮ ❢♦r V ct ❛♥❞ s♦❧✈✐♥❣ ❢♦r✇❛r❞ ❣✐✈❡s t❤❡ ✜r♠✬s ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜❡❧♦✇✳

▲❡tt✐♥❣ βct ≡1−τgt

Rct+1−τgt✱ t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠ ✇✐❧❧ ♠❛①✐♠✐③❡✿

✼

V ct (Kct ) = max

Nct ,Kct+1

(1− τ dt )divt − (1− τgt )shrt

Rct + 1− τgt

+ βctVct+1(K

ct+1) ✭✷✳✼✮

s✉❜❥❡❝t t♦✿

✶✳ ❛ ❝❛s❤ ✢♦✇ r❡str✐❝t✐♦♥✿

ernct +Bct+1 − B

ct + shrt = divt + I

ct + txl

ct + slt

ct ✭✷✳✽✮

✷✳ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✷✮✱

✸✳ t❤❡ ❞❡❜t ✐ss✉❡s r✉❧❡ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✹✮✱ ❛♥❞

✹✳ t❤❡ ❞✐✈✐❞❡♥❞ ♣❛②♦✉t r✉❧❡ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✾✮ ❞❡✜♥❡❞ ❜❡❧♦✇✳

✇❤❡r❡ t❤❡ ❝❛s❤ ✢♦✇ r❡str✐❝t✐♦♥ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✽✮ st❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✬s ✐♥tr❛✲

♣❡r✐♦❞ ✐♥✢♦✇s ✖ ❡❛r♥✐♥❣s ernct ✱ ♥❡✇ ❞❡❜t ✐ss✉❡s Bct+1 −B

ct ✱ ❛♥❞ ♥❡✇ s❤❛r❡ ✐ss✉❡s shrt ✖

♠✉st ❜❡ ❡q✉❛❧ t♦ ♦✉t✢♦✇s ✖ ❞✐✈✐❞❡♥❞ ♣❛②♠❡♥ts divt✱ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ ❝❛♣✐t❛❧

Ict ✱ ❢❡❞❡r❛❧ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s txlct ✱ ❛♥❞ st❛t❡ ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s slt

ct ✳

❆s ✐♥ ❩♦❞r♦✇ ❛♥❞ ❉✐❛♠♦♥❞ ✭✷✵✶✸✮ t❤❡ ❞✐✈✐❞❡♥❞ ♣❛②♦✉t r❛t✐♦ κd ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡

❡①♦❣❡♥♦✉s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❤❡r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ❡❛r♥✐♥❣s ernct ❧❡ss ❢❡❞❡r❛❧ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t② txlct ✿

divt = κd(ernct − txl

ct ) ✭✷✳✾✮

❈♦r♣♦r❛t❡ ❡❛r♥✐♥❣s ❛r❡ ❡q✉❛❧ t♦ r❡✈❡♥✉❡ ❢r♦♠ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ ❧❡ss ✇❛❣❡ ❛♥❞ ♥❡t ✐♥t❡r❡st

❡①♣❡♥s❡✿

ernct = Yct − wtN

ct − itB

ct ✭✷✳✶✵✮

✇❤❡r❡ it ✐s t❤❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ♦♥ ♣r✐✈❛t❡ ❜♦♥❞s✳ ❈♦r♣♦r❛t❡ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s ❛t t❤❡ ❢❡❞❡r❛❧

❧❡✈❡❧ ❛r❡ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❢❡❞❡r❛❧ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ t❛① r❛t❡✱ τ ct ✱ t✐♠❡s

t❤❡ t❛①❛❜❧❡ ❡❛r♥✐♥❣s ❜❛s❡ ✭✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇s ❢♦r ✇❛❣❡ ❡①♣❡♥s✐♥❣ ❛♥❞ ♦t❤❡r ❞❡❞✉❝t✐♦♥s✮✱ ❧❡ss

❝r❡❞✐ts✿

txlct = τct (Y

ct − wtN

ct − ded

ct)− crd

ct ✭✷✳✶✶✮

✇❤❡r❡ dedct ❛♥❞ crdct ❛r❡ t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✬s ♥♦♥✲✇❛❣❡ t❛① ❞❡❞✉❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝r❡❞✐ts r❡s♣❡❝✲

t✐✈❡❧②✳

▲❛st❧②✱ ❝♦r♣♦r❛t❡ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s ❛t t❤❡ st❛t❡ ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❧❡✈❡❧ ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ♣r♦♣♦r✲

t✐♦♥❛❧ t♦ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❡❛r♥✐♥❣s ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✿

sltct = τslct ern

ct ✭✷✳✶✷✮

✽

✷✳✶✳✷ ◆♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❙❡❝t♦r

❲❤✐❧❡ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✐ss✉❡s ❞❡❜t ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ❢❛s❤✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡

✜r♠✱ s❤❛r❡s ❛r❡ ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♦❧❞ ♦r ❜♦✉❣❤t ❜❛❝❦✳ ◆❡t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s dstt ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ t❤❡

♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ❡❛r♥✐♥❣s t❤❛t ❛r❡ ♣❛ss❡❞ t❤r♦✉❣❤ t♦ ✐♥✈❡st♦rs ❛♥❞ t❛①❡❞ ❛t t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❧❡✈❡❧✳

❲❡ t❤❡r❡❢♦r❡ s♣❡❝✐❢② t❤❛t ❢r♦♠ t❤❡ ✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ✐♥✈❡st♦r✲❤♦✉s❡❤♦❧❞✱ t❤❡ ❛❢t❡r✲t❛①

r❛t❡ ♦❢ r❡t✉r♥ t♦ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠ ❡q✉✐t②✱ Rnt ✱ ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧ ❣❛✐♥s✱ gnsnt ✱ ❛♥❞

❛❣❣r❡❣❛t❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♥❡t ♦❢ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s dst− txln✿

Rnt =(1− τ gt )gns

nt + dstt − txl

n

V nt✭✷✳✶✸✮

✇❤❡r❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❣❛✐♥s ❛r❡ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✿

gnsnt = Vnt+1 − V

nt ✭✷✳✶✹✮

❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✱ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠ ✐s ❞❡r✐✈❡❞

❜② s♦❧✈✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✶✸ ❢♦r✇❛r❞✳ ▲❡tt✐♥❣ βnt ≡(1−τgt )

Rnt +1−τgt✱ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡

✜r♠ ✐s t♦ ❝❤♦♦s❡ ❧❛❜♦r ❛♥❞ ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥♣✉ts t♦ ♠❛①✐♠✐③❡✿

V nt (Knt ) = max

Nnt ,Knt+1

(

dstt − txln

Rnt + 1− τgt

)

+ βnt Vnt+1(K

nt+1) ✭✷✳✶✺✮

s✉❜❥❡❝t t♦✿

✶✳ t❤❡ ❝❛s❤ ✢♦✇ r❡str✐❝t✐♦♥

ernnt +Bnt+1 − B

nt = dstt + I

nt ✭✷✳✶✻✮

✷✳ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✷✮✱ ❛♥❞

✸✳ t❤❡ ❞❡❜t ✐ss✉❡s r✉❧❡ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✹✮✳

❆s ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✱ ❡❛r♥✐♥❣s ❛r❡ ❡q✉❛❧ t♦ r❡✈❡♥✉❡ ❧❡ss ✇❛❣❡s ❛♥❞ ✐♥t❡r❡st

♣❛②♠❡♥ts ♦♥ ♦✉tst❛♥❞✐♥❣ ❞❡❜t✿

ernnt = Ynt − wtN

nt − itB

nt ✭✷✳✶✼✮

❚❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t② ❢♦r ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✐♥❝♦♠❡ txlnt ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡

❛❣❣r❡❣❛t❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ t❛① r❛t❡✱ τnt ✱ t✐♠❡s t❤❡ t❛①❛❜❧❡ ❡❛r♥✐♥❣s ❜❛s❡ ✭✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇s

❢♦r ✇❛❣❡ ❡①♣❡♥s✐♥❣ ❛♥❞ ♦t❤❡r ❞❡❞✉❝t✐♦♥s✮✱ ❧❡ss ❝r❡❞✐ts✿

txlnt = τnt (Y

nt − wtN

nt − ded

nt )− crd

nt ✭✷✳✶✽✮

❯♥❧✐❦❡ t❤❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠✱ t❤❡ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ✜r♠ ✐s ♥♦t ❧✐❛❜❧❡ ❢♦r t❛①❡s ❛t t❤❡ ❜✉s✐♥❡ss✲

❡♥t✐t② ❧❡✈❡❧ ❛♥❞ txlnt t❤❡r❡❢♦r❡ ❞♦❡s ♥♦t ❡♥t❡r t❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t✬s ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t ❞✐r❡❝t❧②✳

✾

❘❛t❤❡r✱ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ♣❛ss❡❞ t❤r♦✉❣❤ t♦ t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞✲❧❡✈❡❧ ✇❤❡r❡ t❤❡②

❛r❡ t❛①❡❞ ❥♦✐♥t❧② ✇✐t❤ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s✬ ♦t❤❡r ✐♥❝♦♠❡ ❛♥❞ r❡♠✐tt❡❞ ❜② t❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t✳ ❆

❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ♦✉r ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♥❣ t❤❡s❡ t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s ❛t t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❧❡✈❡❧ ✐s

❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳

✷✳✷ ❍♦✉s❡❤♦❧❞s

❚❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ✐s ♣♦♣✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥s ♦❢ ✜♥✐t❡❧②✲❧✐✈❡❞ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ✇❤♦

❛r❡ ❡① ❛♥t❡ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❢❛♠✐❧② t②♣❡✱ s✐♥❣❧❡ f = s ♦r ♠❛rr✐❡❞ f = m✱ ❛❣❡✱

j = 1, . . . , J ✱ ❧❛❜♦r ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② t②♣❡s✱ z = 1, . . . , Z✱ ❛♥❞ ❡♥❞♦✇♠❡♥t t②♣❡✱ e = 1, . . . , E✳

❙✉r✈✐✈❛❧ ✐s ❝❡rt❛✐♥ ✉♥t✐❧ r❡t✐r❡♠❡♥t ❛❣❡ j = R s✉❝❤ t❤❛t πj = 1 ❢♦r j = 1, . . . , R✱ ❛♥❞

t❤❡r❡❛❢t❡r ✐s ✉♥❝❡rt❛✐♥✱ πj < 1 ❢♦r j = R+ 1, . . . , J − 1✱ ✉♥t✐❧ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❛❣❡ J ✇❤❡r❡

πJ = 0✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ❢♦r♠ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②✳ ❚❤❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❣r♦✇

❡①♦❣❡♥♦✉s❧② ❛t t❤❡ ❣r♦ss r❛t❡ ♦❢ ΥP ✳

❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ♦❢ ❛❣❡ j✱ ✇✐t❤ ♣❡r♠❛♥❡♥t ❧❛❜♦r ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② t②♣❡

z✱ ❛♥❞ ❢❛♠✐❧② ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ f ✐s V f,zt,j (aj, hoj)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ t❤❡ t✇♦ ❤♦✉s❡❤♦❧❞✲❧❡✈❡❧

st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿✶✷ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✇❡❛❧t❤ aj❀ ❛♥❞ ♦✇♥❡r✲♦❝❝✉♣✐❡❞ ❤♦✉s✐♥❣

st♦❝❦✱ hoj ✳ ❊❛❝❤ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❝❤♦♦s❡s ♦♣t✐♠❛❧ ❢✉t✉r❡ ✈❛❧✉❡s aj+1 ❛♥❞ hoj+1 ✇❤✐❧❡ s✐♠✉❧t❛✲

♥❡♦✉s❧② ❝❤♦♦s✐♥❣ ♦♣t✐♠❛❧ ✐♥tr❛t❡♠♣♦r❛❧ ❝❤♦✐❝❡s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ✉t✐❧✐t② U f,zt,j ✿

❝✉rr❡♥t ♠❛r❦❡t ❧❛❜♦r s✉♣♣❧② nj❀ ♦r❞✐♥❛r② ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ cij❀ ❝❤❛r✐t❛❜❧❡ ❣✐✈✐♥❣ c

gj ❀✶✸ ❛♥❞

r❡♥t❛❧ ❤♦✉s✐♥❣ hrj ✳ ❖r❞✐♥❛r② ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❛♥❞ ❝❤❛r✐t❛❜❧❡ ❣✐✈✐♥❣ ❛r❡ ❝♦♠♣❧✐♠❡♥t❛r②✱ ❛♥❞

❛r❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✐♥t♦ ♥♦♥✲❤♦✉s✐♥❣ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❣♦♦❞ cj✳ ❖✇♥❡r✲♦❝❝✉♣✐❡❞ ❤♦✉s✲

✐♥❣ ❛♥❞ r❡♥t❛❧ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t s✉❜st✐t✉t❡s✱ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞

❜② t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❣♦♦❞ hsj✳✶✹ ❚❤❡ t✇♦ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❣♦♦❞s ❛r❡ t❤❡♠s❡❧✈❡s

♥❡st❡❞ ✐♥t♦ ❛ t❤✐r❞ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❣♦♦❞ xj ✐♥ ❛ ❈❊❙ ❢❛s❤✐♦♥✳

❚♦ ❛✈♦✐❞ ♣r♦❜❧❡♠s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❝✉rs❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❜②

✉s❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ t❛① ❝❛❧❝✉❧❛t♦r✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ❈❤❛♥❣ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✶✮ ❛♥❞ s♣❡❝✐❢② ✐♥❞✐✈✐s✐❜❧❡

♠❛r❦❡t ❧❛❜♦r s✉♣♣❧② nj ∈ N ≡ {0, nPT , nFT} s✉❝❤ t❤❛t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♠❛② ❝❤♦♦s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♥♦

✇♦r❦✱ ♣❛rt✲t✐♠❡ ✇♦r❦✱ ♦r ❢✉❧❧✲t✐♠❡ ✇♦r❦✳✶✺✬✶✻ ❈♦sts t♦ ♠❛r❦❡t ✇♦r❦ ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ✉t✐❧✐t② ❝♦st

❛♥❞ ❛ ♠♦♥❡t❛r② ❝♦st✳ ❚♦ ❛❧❧♦✇ ❢♦r ❛♥ ♦♣❡r❛t✐✈❡ ❡①t❡♥s✐✈❡ ♠❛r❣✐♥✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ❍♦❧t❡r ❡t ❛❧✳

✭✷✵✶✾✮ ❛♥❞ s♣❡❝✐❢② t❤❛t s✐♥❣❧❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ❢❛❝❡ ❛ ✜①❡❞ ✉t✐❧✐t② ❧♦ss ♦❢ F s ✐❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

✶✷❲❤✐❧❡ ♣r✐❝❡s✱ t❛①❡s ❛♥❞ ✉t✐❧✐t② ❛r❡ t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❦❡❡♣s tr❛❝❦ ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦✈❡rt✐♠❡ ✉s✐♥❣ ❛❣❡✳ ❚♦ r❡❞✉❝❡ ♥♦t❛t✐♦♥❛❧ ❝❧✉tt❡r✱ ✇❡ ♦♠✐t t❤❡ t✐♠❡ s✉❜s❝r✐♣t ✐♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✳

✶✸❲❡ ❛ss✉♠❡ ❛ ❵✇❛r♠✲❣❧♦✇✬ ♠♦t✐✈❡ ✭❆♥❞r❡♦♥✐✱ ✶✾✽✾✮ t♦ ✐♥❝❡♥t✐✈✐③❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s t♦ ♠❛❦❡ ❝❤❛r✐t❛❜❧❡ ❣✐❢ts✱✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✜♥❛❧ ❣♦♦❞s✱ ❛♥❞ ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ r❡❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛❣❡♥ts ♦✉ts✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧✳

✶✹❲❡ ✐♥t❡r♣r❡t ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s ❛s t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞✬s st♦❝❦ ♦❢ r❡s✐❞❡♥t✐❛❧ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ❞✉r❛❜❧❡ ❣♦♦❞s✳✶✺❯s✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ t❛① ❝❛❧❝✉❧❛t♦r r❡q✉✐r❡s ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ t❤❡ t❛① ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❡✈❡r② ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♠✲

❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛t ❡✈❡r② ♣♦ss✐❜❧❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞✲❧❡✈❡❧ st❛t❡✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ✐ss✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② r❡❞✉❝❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ ❞✐s❝r❡t❡ ❧❛❜♦r s✉♣♣❧② ❝❤♦✐❝❡ s❡t ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥❡✳

✶✻❆s ❡♠♣❤❛s✐③❡❞ ✐♥ ❈❤❛♥❣ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✐♥❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❧❛❜♦r ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❛❜♦r s✉♣♣❧②❡❧❛st✐❝✐t② ✐s ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✇❛❣❡s ❛❝r♦ss ❤♦✉s❡❤♦❧❞s✱ ✇❤✐❝❤✐ts❡❧❢ ❞♦❡s ♥♦t ❢✉❧❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧❛❜♦r s✉❜✲✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✶✵

❡♥t❡rs t❤❡ ❧❛❜♦r ❢♦r❝❡✱ ✇❤✐❧❡ ♠❛rr✐❡❞ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ❢❛❝❡ ❛ ✜①❡❞ ✉t✐❧✐t② ❧♦ss ♦❢ Fm ✐❢ t❤❡

s❡❝♦♥❞❛r② ❡❛r♥❡r ✇♦r❦s✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ●✉♥❡r ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✶✮ ❛♥❞ s♣❡❝✐❢② t❤❛t (i)

t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ❝❤✐❧❞✲❝❛r❡ ❝♦st✱ κf,zj ✱ t❤❛t ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❛❧✐❢②✐♥❣ ❞❡♣❡♥❞❡♥ts

✇✐t❤✐♥ t❤❛t ❤♦✉s❡❤♦❧❞✱ νf,zj ✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛r❦❡t ✇♦r❦ ❤♦✉rs ♦❢ t❤❡ s✐♥❣❧❡ ❛♥❞ s❡❝♦♥❞❛r②

✇♦r❦❡r❀ ❛♥❞ (ii) t❤❡ ❞✐s✉t✐❧✐t② ♦❢ ♠❛r❦❡t ❧❛❜♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r s✐♥❣❧❡ ❛♥❞ s❡❝♦♥❞❛r② ✇♦r❦❡r

❝♦♥t❛✐♥s ❛ s❡♣❛r❛❜❧❡ t❡r♠ ϕνf,zj ✇❤✐❝❤ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❧✐❢❡❝②❝❧❡ ❞✐s✉t✐❧✐t②

♦❢ ✇♦r❦ ❛♥❞ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥✳

❲❡ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❛ s✐♠♣❧❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❤♦♠❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ t✐♠❡ ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✲

✉❛❧ s♣❡♥❞s ♦♥ ❤♦♠❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s❧② ✈❛r✐❡s ✐♥✈❡rs❡❧② ✇✐t❤ t❤❡✐r ❝❤♦s❡♥ q✉❛♥t✐t②

♦❢ ♠❛r❦❡t ❧❛❜♦r t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ nhfj (nj)✱ ✇✐t❤ t❤❡ q✉❛♥t✐t② ♦❢ ❤♦♠❡✲♣r♦❞✉❝❡❞ ❝♦♥✲

s✉♠♣t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ chj(nhfj )✳ ❉❡✜♥✐♥❣ ♦r❞✐♥❛r② ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❛s

t❤❡ s✉♠ ♦❢ ♠❛r❦❡t ❛♥❞ ❤♦♠❡✲♣r♦❞✉❝❡❞ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❣♦♦❞s✱ ♦✉r s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t✐♠❡ ✉s❡

✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ❢❛❝❡ ❛ ❧♦ss ✐♥ ♦r❞✐♥❛r② ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✈❛r✐❡s ♣♦s✐t✐✈❡❧② ✇✐t❤

♠❛r❦❡t ❧❛❜♦r ❤♦✉rs✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ t❤✐s ❝♦st ✐♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧ ✐♥❞✉❝❡s ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t② ✐♥

♠❛r❦❡t ❧❛❜♦r ❤♦✉rs ❛t ♦❧❞❡r ❛❣❡s ❛s ❞♦❝✉♠❡♥t❡❞ ❜② ❑✉❤♥ ❛♥❞ ▲♦③❛♥♦ ✭✷✵✵✽✮✳

❚❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤✐s ❤♦✉s❡❤♦❧❞✬s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❛ ❦♥♦✇♥ ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡ ✐s✿✶✼

Vf,zt,j (aj, h

oj) =

maxaj+1,h

oj+1,

xj ,nj∈N

Us,zt,j (xj, nj) + βπjV

s,zt+1,j+1(aj+1, h

oj+1) ✐❢f = s

maxaj+1,h

oj+1,

xj ,n1j ,n

2j∈N

Um,zt,j (xj, n

1j , n

2j) + βπjV

m,zt+1,j+1(aj+1, h

oj+1) ✐❢f = m

✭✷✳✶✾✮

Uf,zt,j (xj, nj) ≡

maxhrj ,c

ij ,c

gj

log(xj)− ψs (nj+ϕν

s,zj )

1+ζs

1+ζs− F s(nj) ✐❢ f = s

maxhrj ,c

ij ,c

gj

log(xj)− ψm,1 (n

1j )

1+ζm,1

1+ζm,1− ψm,2

(n2j+ϕνm,zj )

1+ζm,2

1+ζm,2− Fm(n2j) ✐❢ f = m

✭✷✳✷✵✮

✇❤❡r❡✿

yj ≡ hoj + aj ✭✷✳✷✶✮

xj ≡(

σcηj + (1− σ)hs

ηj

)1/η✭✷✳✷✷✮

cj ≡ (cij)

θs,z(cgj )(1−θs,z) ✭✷✳✷✸✮

✶✼❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠ ❢♦r ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ✉t✐❧✐t② ✐s ❝❤♦s❡♥ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❛ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❣r♦✇t❤♣❛t❤ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ✜①❡❞ ❝♦sts ❢r♦♠ ✇♦r❦✐♥❣✳ ❙❡❡ ❍♦❧t❡r✱ ❑r✉❡❣❡r✱ ❛♥❞ ❙t❡♣❛♥❝❤✉❦ ✭✷✵✶✾✮ ❢♦r ❛ ♣r♦♦❢✳

✶✶

hsj ≡ max{hoj , h

rj} ✭✷✳✷✹✮

cij ≡

cMj + chsj(nh

sj) ✐❢f = s

cMj + chm,1j (nh

m,1j ) + ch

m,2j (nh

m,2j ) ✐❢f = m

✭✷✳✷✺✮

❍♦✉s❡❤♦❧❞s ❝❤♦✐❝❡s ❛r❡ r❡str✐❝t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t✿

cMj + cgj + p

rth

rj + aj+1 + h

oj+1 ≤ (1 + r

pt )aj + (1− δ

o)hoj + if,zt,j − T

f,zt,j − κ

f,zj − ξ

Hj ✭✷✳✷✻✮

✇❤❡r❡ ❡①♣❡♥❞✐t✉r❡s ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛r❡ ♠❛r❦❡t ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ cMj ✱ ❝❤❛r✐t❛❜❧❡ ❣✐✈✐♥❣

cgj ✱ r❡♥t❛❧ ❤♦✉s✐♥❣ p

rth

rj ✱ ❡♥❞✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ st♦❝❦ ♦❢ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✇❡❛❧t❤ aj+1✱ ❛♥❞ ❡♥❞✲♦❢✲♣❡r✐♦❞

♦✇♥❡r✲♦❝❝✉♣✐❡❞ ❤♦✉s✐♥❣ hoj+1✳ ❆✈❛✐❧❛❜❧❡ r❡s♦✉r❝❡s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛r❡ t❤❡ s✉♠

♦❢ t❤❡ ❣r♦ss r❡t✉r♥ t♦ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✇❡❛❧t❤ (1 + rpt )aj ❞❡♣♦s✐t❡❞ ❛t ❛

✜♥❛♥❝✐❛❧ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛r②✱ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ♦✇♥❡r✲♦❝❝✉♣✐❡❞ ❤♦✉s✐♥❣ st♦❝❦ ❧❡ss ❡❝♦♥♦♠✐❝

❞❡♣r❡❝✐❛t✐♦♥ (1 − δo)hoj ✱ ❛♥❞ ♥♦♥✲❝❛♣✐t❛❧ ✐♥❝♦♠❡ ✐♥❝♦♠❡ if,zt,j ❧❡ss ♥❡t t❛① ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s T

f,zt,j ✱

❝❤✐❧❞✲❝❛r❡ ❝♦sts κf,zj ✱ ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣ tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts ξHj ✳

◆♦♥✲❝❛♣✐t❛❧ ✐♥❝♦♠❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ❧❛❜♦r ✐♥❝♦♠❡ ❞✉r✐♥❣ ✇♦r❦✐♥❣ ②❡❛rs ❛♥❞ ❡q✉❛❧ t♦ s♦❝✐❛❧

s❡❝✉r✐t② ♣❛②♠❡♥ts ssf,zj ❞✉r✐♥❣ r❡t✐r❡♠❡♥t✿

if,zt,j ≡

njwt③s,zj + ss

s,zj ✐❢f = s

(n1j + µzn2j)wt③

m,zj + ss

m,zj ✐❢f = m

✭✷✳✷✼✮

✇❤❡r❡ wt ✐s t❤❡ ♠❛r❦❡t r❡❛❧ ✇❛❣❡ r❛t❡✱ ③f,zj ✐s ❞❡♠♦❣r❛♣❤✐❝✲s♣❡❝✐✜❝ ❧❛❜♦r ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t②✱

❛♥❞ 0 < µz ≤ 1 ✐s ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② ✇❡❞❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣r✐♠❛r② ❛♥❞ s❡❝♦♥❞❛r②

✇♦r❦❡rs ❢♦r ♠❛rr✐❡❞ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s✳ ❈❤✐❧❞✲❝❛r❡ ❝♦sts t❛❦❡ t❤❡ ❢♦r♠✿

κf,zj ≡

ccs,zνs,zj nj ✐❢f = s

ccm,zνm,zj n

2j ✐❢f = m

✭✷✳✷✽✮

✇❤❡r❡ ccf,z > 0 ✐s ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s s❝❛❧❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢♦r ❝♦st ♣❡r ❝❤✐❧❞✳ ❚❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ tr❛♥s❛❝✲

t✐♦♥ ❝♦sts ✐s ♥♦♥✲③❡r♦ ✇❤❡♥ ❛ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❝❤❛♥❣❡s t❤❡✐r r❡s✐❞❡♥t✐❛❧ st❛t✉s✱ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠

♦❢ φ ≥ 0 s❤❛r❡ ❡♥❞✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s✿

ξHj =

φhoj+1 ✐❢ hoj = 0

φhrj+1 ✐❢ hoj > 0

✭✷✳✷✾✮

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ●❡r✈❛✐s ✭✷✵✵✷✮ ❛♥❞ ❈❤♦ ❛♥❞ ❋r❛♥❝✐s ✭✷✵✶✶✮✱ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ❛r❡ ♣❡r♠✐tt❡❞ t♦

❜♦rr♦✇ ❛♥❞ ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡ ❞❡❜t ✐♥ ❡①❝❡ss ♦❢ s❛✈✐♥❣s s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡str✐❝t✐♦♥s✿

✶✷

yj ≥

②s,z ✐❢ hoj = 0

γhoj ✐❢ hoj > 0

✭✷✳✸✵✮

✇❤❡r❡ ②s,z < 0 ✐s t❤❡ ❧♦✇❡r✲❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ r❡❛❧ ✇❡❛❧t❤ s✉♣♣♦rt ❢♦r r❡♥t❡rs ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r

0 ≤ γ ≤ 1 ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ❞♦✇♥✲♣❛②♠❡♥t r❛t✐♦✱ ♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❡q✉✐t② ✇❤✐❝❤

❛ ❤♦♠❡♦✇♥❡r ♠❛② ❤♦❧❞ ✐♥ t❤❡✐r ❤♦♠❡✳ ❇♦t❤ r❡♥t❛❧ ❤♦✉s✐♥❣ ❛♥❞ ♦✇♥❡r✲♦❝❝✉♣✐❡❞ ❤♦✉s✐♥❣

❛r❡ s✉❜❥❡❝t t♦ ♠✐♥✐♠✉♠ s✐③❡s✱ ✇❤❡r❡ ❤r < ❤o ♠❛❦✐♥❣ r❡♥t❛❧s r❡❧❛t✐✈❡❧② ♠♦r❡ ❛✛♦r❞❛❜❧❡✳

hsj ≥ ❤r ✭✷✳✸✶✮

hoj ≥ ❤o ✐❢ hoj > 0 ✭✷✳✸✷✮

❋✉rt❤❡r ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♦r❞✐♥❛r② ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ♠✉st ❜❡ ❛t ❧❡❛st ❛s ❧❛r❣❡ ❛s ❛ s✉❜s✐st❡♥❝❡

❧❡✈❡❧✱ ❝i✱ ❛♥❞ t❤❛t ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ❝♦♥s✉♠✐♥❣ ❛t t❤✐s ❧❡✈❡❧ ❞♦ ♥♦t ♠❛❦❡ ❝❤❛r✐t❛❜❧❡ ❣✐❢ts✿

cij ≥ ❝i ✭✷✳✸✸✮

cj = cij ✐❢ c

ij = ❝

i ✭✷✳✸✹✮

❙❤♦✉❧❞ t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❜❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ ❛✛♦r❞ ❜♦t❤ ❝i ❛♥❞ ❤r✱ t❤❡ ❢❡❞❡r❛❧ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ✇✐❧❧

♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✇❡❧❢❛r❡ tr❛♥s❢❡r ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✈❛❧✉❡✿

trwf,zj = max

{

0, ❝i + pr❤r − bdgtf,zj

}

✭✷✳✸✺✮

✇❤❡r❡ bdgtf,zj ❞❡♥♦t❡s t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t ✐♥ ❊q✉❛t✐♦♥

✭✷✳✷✻✮✳

■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ❡♥t❡r t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ✇✐t❤ ✐♥✐t✐❛❧ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✇❡❛❧t❤ ♦❢ ❛♥

❡①♦❣❡♥♦✉s a1 ❛♥❞ ③❡r♦ ♦✇♥❡r✲♦❝❝✉♣✐❡❞ ❤♦✉s✐♥❣✳ ❙❤♦✉❧❞ ❛ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❧✐✈❡ t♦ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠

❛❣❡ J ✱ t❤❡② ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❞✐❡ ✇✐t❤ ③❡r♦ ♥❡t ✇♦rt❤✿

y1 = a1 ✭✷✳✸✻✮

ho1 = yJ+1 = 0 ✭✷✳✸✼✮

Vs,zt,J+1 = 0 ✭✷✳✸✽✮

❙❤♦✉❧❞ ❛ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ✐♥st❡❛❞ ❞✐❡ ❜❡❢♦r❡ r❡❛❝❤✐♥❣ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❛❣❡ J ✱ t❤❡② ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦

✐♥❝✉r ❡♥❞✲♦❢✲❧✐❢❡ ❡①♣❡♥❞✐t✉r❡s✱ ceolt ✱ ✇✐t❤ t❤❡✐r ❡st❛t❡s ❝♦st❧❡ss❧② ❧✐q✉✐❞❛t❡❞ ❛♥❞ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ❜②

t❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t✱ t❛①❡❞✱ ❛♥❞ r❡❞✐str✐❜✉t❡❞ ✐♥ ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❢❛s❤✐♦♥ t♦ ❛❣❡♥ts ❛❣❡❞ j = 1✳✶✽

●✐✈❡♥ ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❧✐♥❡❛r t❛① r❛t❡ ♦♥ ❡st❛t❡s ♦❢ τ beqt ❛♥❞ ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢

❜❡q✉❡sts ✇❤✐❝❤ ❛❣❣r❡❣❛t❡s t♦ Λ̄✱ ❡♥❞✲♦❢✲❧✐❢❡ ❡①♣❡♥❞✐t✉r❡s ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s ❛ r❡s✐❞✉❛❧ s♦

✶✽❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✶✳✶ ❢♦r ❞❡t❛✐❧s✳

✶✸

t❤❛t✿

ceolt = (1− τbeqt )

∫

Z

∫

J

(1− πj)∑

f=s,m

yt+1,j+1Ωf,zt,j dj dz − Λ̄ ✭✷✳✸✾✮

✷✳✸ ❋✐♥❛♥❝✐❛❧ ■♥t❡r♠❡❞✐❛r✐❡s

❚❤❡ ✜♥❛♥❝✐❛❧ s❡❝t♦r ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦♠♣❡t✐t✐✈❡✱ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ❝♦❤♦rts ♦❢ ✐❞❡♥t✐❝❛❧✱

t✇♦✲♣❡r✐♦❞ ❧✐✈❡❞ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛r✐❡s ✇✐t❤ t❤❡ t❡❝❤♥♦❧♦❣② t♦ ♣♦♦❧ s❛✈✐♥❣s ❢r♦♠ ❤♦✉s❡✲

❤♦❧❞s ❛♥❞ ✐♥✈❡st ✐♥ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❛ss❡ts ❛♥❞ r❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt②✳ ❊❛❝❤ ♣❡r✐♦❞ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡

✐♥t❡r♠❡❞✐❛r② ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ❝♦❤♦rt ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ t❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♦♥ ❜❡❤❛❧❢ ♦❢ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s

❜② ❝♦❧❧❡❝t✐♥❣ ❡♥❞✲♦❢✲♣❡r✐♦❞ ❞❡♣♦s✐ts Dt+1 ❛♥❞ ❞❡❝✐❞✐♥❣ ✉♣♦♥ ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳

❚❤❡s❡ ❞❡♣♦s✐ts ♠❛② ❜❡ ❛❧❧♦❝❛t❡❞ ❛❝r♦ss ❝♦r♣♦r❛t❡ ❛♥❞ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❡q✉✐t② V ct+1 ❛♥❞ Vnt+1✱

❝♦r♣♦r❛t❡ ❛♥❞ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❜♦♥❞s Bct+1 ❛♥❞ Bnt+1✱ ❢❡❞❡r❛❧ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ❜♦♥❞s B

gt+1✱ ❛♥❞

r❡♥t❛❧ ❤♦✉s✐♥❣ ♣r♦♣❡rt② Hrt+1 s♦ t❤❛t✿

Dt+1 = Vct+1 + V

nt+1 +B

gt+1 +B

ct+1 +B

nt+1 +H

rt+1 ∀t ✭✷✳✹✵✮

❚❤❡ ❛ss❡ts r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❛t t❤❡ ❡♥❞✲♦❢✲❧✐❢❡ ❢♦r ❡❛❝❤ ❝♦❤♦rt ❛r❡ ❝♦st❧❡ss❧② tr❛♥s❢❡rr❡❞ t♦ t❤❡

s✉❜s❡q✉❡♥t ❝♦❤♦rt✳

❈♦r♣♦r❛t❡ ❛♥❞ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❡q✉✐t② ②✐❡❧❞ ❞✐✈✐❞❡♥❞s ♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ❝❛♣✐t❛❧ ❣❛✐♥s✳

❲❤✐❧❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❛♥❞ ♥♦♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❜♦♥❞s ②✐❡❧❞ ❛ ♣r❡t❛① r❛t❡ ♦❢ r❡t✉r♥ ♦❢ it+1✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡

t❤❛t ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ❜♦♥❞s ②✐❡❧❞s ❛ ❧♦✇✱ ✏s❛❢❡✑ ♣r❡t❛① r❛t❡ ♦❢ r❡t✉r♥ ρt+1✱ ✇❤✐❝❤

❞❡♣❡♥❞s ♣♦s✐t✐✈❡❧② ♦♥ ❜♦t❤ t❤❡ ♣r✐✈❛t❡ ❜♦♥❞ r❛t❡ ❛♥❞ t❤❡ ♣✉❜❧✐❝ ❞❡❜t✲♦✉t♣✉t r❛t✐♦✿

ρt+1 = ̟it+1 + ς exp

(

Bgt+1

Yt+1

)

∀t ✭✷✳✹✶✮

❚❤❡ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛r② r❡♥ts ♦✉t ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s ❛t ❛ ♣r✐❝❡ ♦❢ prt+1 ❛♥❞ ✐♥❝✉rs ❡①♣❡♥s❡s ❢r♦♠

t❤❡ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ❞❡♣r❡❝✐❛t✐♦♥ ❛t r❛t❡ δr✳ ❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❛ ❣✐✈❡♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡

✐♥t❡r♠❡❞✐❛r②✬s ✐♥❝♦♠❡ ❛s✿

Inct+1 ≡ divt+1+dstt+1+gnsct+1+gns

nt+1+(p

rt+1−δ

r)Hrt+1+ρt+1Bgt+1+it+1(B

ct+1+B

ct+1) ∀t

✭✷✳✹✷✮

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sltf,zt,j ✿

T f,zt,j = oitf,zt,j + cit

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f,zt,j − trs

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f,zt,j ✭✷✳✹✽✮

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st❛t✉t♦r② ♠❛r❣✐♥❛❧ t❛① r❛t❡ s❝❤❡❞✉❧❡✱ ❞❡❞✉❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ❝r❡❞✐ts✳ ❚❤✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ ❝❤♦✐❝❡

✈❛r✐❛❜❧❡s✱ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ ❞❡♠♦❣r❛♣❤✐❝ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s