Embed Size (px)
Citation preview
© 2011 Salahuddin. This is a research/review paper, distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Noncommercial 3.0 Unported License http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/), permitting all non-commercial use, distribution, and reproduction inany medium, provided the original work is properly cited
Global Journal of Science Frontier Research Volume 11 Issue 1 Type: Double Blind Peer Reviewed International Research Journal Publisher: Global Journals Inc. (USA)
A Summation Formula Related To Bailey Theorem By SALAHUDDIN
Abstracts The main objective of the present paper is to develop a new result using Bailey theorem.The result presented here is presumably new.
Keywords: Gaussian Hypergeometric function , Contiguous function, Re-cu rence relation, Bailey summation theorem and Legendre duplication formula
Classification: 2000 MSC No: 33C60 , 33C70
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Strictly as per the compliance and regulations of:
.
Version 1.0 February 2011
ISSN: 0975-4350
P.D.M College of Engineering,Bahadurgarh
©2011 Global Journals Inc. (US)
A Summation Formula Related To BaileyTheorem
SALAHUDDIN
Abstracts -The main objective of the present paper is to develop a new result using Bailey theorem.The result presented here ispresumably new.Key words and Phrases:Gaussian Hypergeometric function , Contiguous function, Re-cu rrrence relation, Baileysummation theorem and Legendre duplication formula.
I. INTRODUCTION
About-P.D.M College of Engineering,Bahadurgarh ,Haryana,IndiaE-mails: [email protected]
Generalized Gaussian hypergeometric function of one variable is defined by
AFB
a1, a2, · · · , aA ;z
b1, b2, · · · , bB ;
=
∞∑
k=0
(a1)k(a2)k · · · (aA)kzk
(b1)k(b2)k · · · (bB)kk!
or
AFB
(aA) ;z
(bB) ;
≡ AFB
(aj)Aj=1 ;
z
(bj)Bj=1 ;
=
∞∑
k=0
((aA))kzk
((bB))kk!(1)
where the parameters b1, b2, · · · , bB are neither zero nor negative integers andA, B are non-negative integers.
Contiguous Relation is defined as follows
[E. D. p.51(10), Andrews p.363(9.16), H.T. F. I p.103(32)]
(a − b) 2F1
[
a, b ;c ;
z
]
= a 2F1
[
a + 1, b ;c ;
z
]
− b 2F1
[
a, b + 1 ;c ;
z
]
(2)
Recurrence relation of gamma function is defined as follows
Γ(z + 1) = z Γ(z)(3)
Legendre duplication formula is defined by
√π Γ(2z) = 2(2z−1) Γ(z) Γ
(
z +1
2
)
(4)
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
53
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
Γ
(
1
2
)
=√
π =2(b−1) Γ( b
2) Γ( b+1
2)
Γ(b)(5)
=2(a−1) Γ(a
2) Γ(a+1
2)
Γ(a)
(6)
Bailey summation theorem [Prud, p.491(7.3.7.8)]is as follows
2F1
[
a, 1 − a ;c ;
1
2
]
=Γ( c
2) Γ( c+1
2)
Γ( c+a2
) Γ( c+1−a2
)=
√π Γ(c)
2c−1 Γ( c+a2
) Γ( c+1−a2
)(7)
2F1
[
a , − a − 33 ;c ;
1
2
]
=
√π Γ(c)
2c+33×
[
2(12576278705767096320000)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−20851860424556970547200a + 9854947407585176052480a2 − 1624435436389013576064a3)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(34691223091312022544a4 + 10657758864295730880a5 − 242490144783523000a6)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−36347810238286008a7 − 92082876669487a8 + 50233536212640a9 + 1138218046460a10)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(29782271680068766924800c − 34482036173710821949440ac + 11829987641987403153408a2c)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−7765026192a11 − 552484058a12 − 6172320a13 − 4940a14 + 264a15 + a16)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−1290572740750830501888a3c − 22647563308461600768a4c + 7860537775303944192a5c)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(84259250623865856a6c − 18120823336180224a7c − 448036689222144a8c + 10221585808896a9c)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(483788895744a10c + 3958682112a11c − 56114688a12c − 1064448a13c − 4608a14c)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(27604695181979725332480c2 − 23692681915612345810944ac2 + 5957249260812336433152a2c2)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
II. MAIN SUMMATION FORMULA
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
54
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+2(−394522584263695033344a3c2 − 24102570474447974784a4c2 + 2015967572244774720a5c2)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(77945175800237856a6c2 − 2596259668880592a7c2 − 133922742216912a8c2 − 432444740112a9c2)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(51777045936a10c2 + 804955536a11c2 + 1687056a12c2 − 33264a13c2 − 144a14c2)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(14106325924390826409984c3 − 9195858313218108162048ac3 + 1681623251186972557312a2c3)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−53795972835374972928a3c3 − 7532153143351451648a4c3 + 209554212735774720a5c3)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(17521260828375040a6c3 − 28899039375360a7c3 − 14666227107840a8c3 − 206857728000a9c3)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(1322280960a10c3 + 42577920a11c3 + 215040a12c3 + 4584448058532799709184c4)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−2288562058621227147264ac4 + 297466509380710296576a2c4 − 1045738473550535424a3c4)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−1209163302500120704a4c4 + 676576867792320a5c4 + 1845864470660320a6c4)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(24742318708800a7c4 − 656528574240a8c4 − 15721675200a9c4 − 55033440a10c4 + 665280a11c4)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(3360a12c4 + 1023142651711497175040c5 − 390563904111575040000ac5)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(34588040819610550272a2c5 + 753999554054799360a3c5 − 113160138032578560a4c5)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−1973709828034560a5c5 + 99087506681856a6c5 + 2479482593280a7c5 − 4399718400a8c5)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−468357120a9c5 − 2838528a10c5 + 164179858383692103680c6 − 47512549413707169792ac6)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(2658428864622598144a2c6 + 126742992473771520a3c6 − 6248621622369280a4c6)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−209488994402688a5c6 + 2201201084544a6c6 + 105760892160a7c6 + 559722240a8c6 − 4878720a9c6)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)
+2(−29568a10c6 + 19490608115873742848c7 − 4211126729804611584ac7 + 127851513608011776a2c7)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Gl oba
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
55
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+2(10729900254560256a3c7 − 178236115943424a4c7 − 10760973189120a5c7 − 26265845760a6c7)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(2141061120a7c7 + 16220160a8c7 + 1741265002564026368c8 − 274581557229146112ac8)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(2881845746807808a2c8 + 560980230294528a3c8 − 286315299072a4c8 − 306740459520a5c8)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−2454397440a6c8 + 16727040a7c8 + 126720a8c8 + 118054610869944320c9)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−13158692345610240ac9 − 60632594513920a2c9 + 18807913512960a3c9 + 157396828160a4c9)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−4638965760a5c9 − 46858240a6c9 + 6078561478246400c10 − 457713530486784ac10)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−7184719466496a2c10 + 394650347520a3c10 + 5182228480a4c10 − 28993536a5c10 − 292864a6c10)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(235981559037952c11 − 11236755898368ac11 − 262573129728a2c11 + 4723310592a3c11)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(71565312a4c11 + 6790426918912c12 − 184479719424ac12 − 5184385024a2c12 + 24600576a3c12)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(372736a4c12 + 140341411840c13 − 1816657920ac13 − 55050240a2c13 + 1968701440c14)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+2(−8110080ac14 − 245760a2c14 + 16777216c15 + 65536c16)
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−89862698289116712960000a + 85324890802711872614400a2 − 24339791709149468682240a3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+1848662638364989276416a4 + 142174831803544286208a5 − 14128689229522969472a6
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−691910888639279232a7 + 29456241385999120a8 + 2003112901726464a9 + 8442002117824a10
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−1541070913536a11 − 36768719008a12 − 131695872a13 + 5354048a14 + 71808a15 + 272a16
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+89862698310039502848000c − 237225605525247890073600ac + 136069971345811471921920a2c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−25391171053837880843904a3c + 716896092330394563600a4c + 169768665024302558016a5c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−4549433525270112824a6c − 603006998552640264a7c − 811735852298063a8c + 856296032951568a9c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
56
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+19055867672908a10c − 136561582080a11c − 9401762314a12c − 104740944a13c − 83164a14c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+4488a15c + 17a16c + 151900714793270299852800c2 − 222317260362933570109440ac2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+86935826462889670705152a2c2 − 10498578498005560934400a3c2 − 130709572641046333440a4c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+64995157204393743360a5c2 + 569240425477565952a6c2 − 153732368174609664a7c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−3683737613723904a8c2 + 88632480980736a9c2 + 4100909928192a10c2 + 33286885632a11c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−478802688a12c2 − 9047808a13c2 − 39168a14c2 + 110587080829263811706880c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−110142828414252585566208ac3 + 30491219362452157532160a2c3 − 2218879345457652218880a3c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)
+
+−123125165678847436160a4c3 + 11407910424275800512a5c3 + 420857420752347040a6c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−14988359804811888a7c3 − 751432709419568a8c3 − 2272534730928a9c3 + 294025799760a10c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+4553874864a11c3 + 9521904a12c3 − 188496a13c3 − 816a14c3 + 46749510453913555304448c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−33834863483688908095488ac4 + 6665806998098833293312a2c4 − 238579594717061419008a3c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−30421003984057837568a4c4 + 917821747203609600a5c4 + 73059820249433600a6c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−157798295424000a7c4 − 62268009914880a8c4 − 872510284800a9c4 + 5659906560a10c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+180956160a11c4 + 913920a12c4 + 12983151743474381881344c5 − 7003414714095863095296ac5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+966520417081477172224a2c5 − 5648251088804062464a3c5 − 4004965917763569792a4c5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+5827636174155840a5c5 + 6238246488744160a6c5 + 82327806259776a7c5 − 2241698356128a8c5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−53370757440a9c5 − 186611040a10c5 + 2261952a11c5 + 11424a12c5 + 2531556677162515824640c6
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
57
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+−1025247629248753827840ac6 + 95454131591298056192a2c6 + 1926646652820578304a3c6
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−317059290769227776a4c6 − 5379524729542656a5c6 + 281261068290048a6c6 + 6982736302080a7c6
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−12787568640a8c6 − 1327011840a9c6 − 8042496a10c6 + 360678165147224637440c7
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−109272096592974594048ac7 + 6389169743822018560a2c7 + 295182703698313728a3c7
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−15167501990930432a4c7 − 501813103118976a5c7 + 5401337369472a6c7 + 256468734720a7c7
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+1356453120a8c7 − 11848320a9c7 − 71808a10c7 + 38483621128852996096c8
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−8616765095449657344ac8 + 273144966851936256a2c8 + 22322981949751296a3c8
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−382741945749504a4c8 − 22748774400000a5c8 − 54620037120a6c8 + 4549754880a7c8 + 34467840a8c8
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+3119776625693032448c9 − 505765929255088128ac9 + 5644793400046592a2c9
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+1048458298094592a3c9 − 687484956928a4c9 − 578577162240a5c9 − 4627786240a6c9 + 31595520a7c9
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+239360a8c9 + 193417475491102720c10 − 22020595230965760ac10 − 94923107794944a2c10
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+31826243125248a3c10 + 265344155648a4c10 − 7886241792a5c10 − 79659008a6c10
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+9164686025031680c11 − 701109000683520ac11 − 10927565688832a2c11 + 609077753856a3c11
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+7996225536a4c11 − 44808192a5c11 − 452608a6c11 + 329153106673664c12 − 15851823955968ac12
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−369950916608a2c12 + 6691356672a3c12 + 101384192a4c12 + 8801770012672c13
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−240921010176ac13 − 6769831936a2c13 + 32169984a3c13 + 487424a4c13 + 169701539840c14
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
+−2205941760ac14 − 66846720a2c14 + 2228224000c15 − 9191424ac15 − 278528a2c15
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
58
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+17825792c16 + 65536c17)
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+342
)
]
(8)
Derivation of result (8):
putting b = −a − 33, z = 12
in known result (2),we get
(2a + 33) 2F1
[
a , − a − 33 ;c ;
1
2
]
= a 2F1
[
a + 1 , − a − 33 ;c ;
1
2
]
+ (a + 33) 2F1
[
a , − a − 32 ;c ;
1
2
]
Now with the help of Bailey theorem, we get
L.H.S = a
√π Γ(c)
2c+32×
−842663067854030438400 + 491232499045613660160a
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+770913589405007045376a2 − 492280385877390268800a3 + 72249489736331783184a4
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+1051493403404722880a5 − 506719248794202808a6 − 9164261202314680a7 + 1195052089338833a8
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+44570611379360a9 − 245144606212a10 − 36171889040a11 − 594470618a12 − 778400a13 + 62644a14
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+520a15 + a16 − 1093917739331310059520c − 1195779463462998097920ac
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+2029612306485691496448a2c − 635513363815058813952a3c + 44944090000971116928a4c
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+3499247647242794048a5c − 237018409129238880a6c − 13937386406967760a7c + 187395893656224a8c
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+21279756944864a9c + 305326360416a10c − 3964138304a11c − 138217632a12c − 1071392a13c
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−384a14c + 16a15c + 222224905810648498176c2 − 2468533542135830691840ac2
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+1659653459383829907456a2c2 − 304236084098300236800a3c2 + 6202168090439865984a4c2
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+1696402238869926720a5c2 − 16968135670978272a6c2 − 4062995625831120a7c2
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
59
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+−53847698089680a8c2 + 2390082359280a9c2 + 69311697840a10c2 + 360758160a11c2 − 5764080a12c2
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−65520a13c2 − 144a14c2 + 888641825577444311040c3 − 1678562761060339015680ac3
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+671939110104485241856a2c3 − 72884695922689236224a3c3 − 1452413399835406976a4c3
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+334697407320531904a5c3 + 6423802444786144a6c3 − 434118860448416a7c3 − 13730715716256a8c3
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+12365906784a9c3 + 4412573088a10c3 + 47086368a11c3 + 59808a12c3 − 672a13c3
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+575915656729341984768c4 − 612930457296879001600ac4 + 159883698427901537280a2c4
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−9370601999538010880a3c4 − 594007939178879104a4c4 + 30896380651646400a5c4
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+1426147642643680a6c4 − 12544407691200a7c4 − 1090539505440a8c4 − 10624152000a9c4
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+72700320a10c4 + 1310400a11c4 + 3360a12c4 + 198547704032196558848c5
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−140039898184867069952ac5 + 24252759298029791232a2c5 − 549841322717992448a3c5
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−87040718066987520a4c5 + 946116857727360a5c5 + 122391097204992a6c5 + 993223980672a7c5
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−34803901440a8c5 − 556026240a9c5 − 1241856a10c5 + 8064a11c5 + 43788522484956397568c6
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−21553537292151603200ac6 + 2434921272270936064a2c6 + 12160827165724160a3c6
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−6941234407410688a4c6 − 64080739578240a5c6 + 5139673655424a6c6 + 89382585600a7c6
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−220872960a8c6 − 9609600a9c6 − 29568a10c6 + 6669735710471094272c7 − 2326415221432946688ac7
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+162558370353460224a2c7 + 4640687873490944a3c7 − 319228218177792a4c7 − 7307333037312a5c7
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+91322457600a6c7 + 2686886400a7c7 + 9250560a8c7 − 42240a9c7 + 730151489890549760c8
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
60
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+−179852502229340160ac8 + 6934736919475200a2c8 + 373046117452800a3c8 − 7721150038272a4c8
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−299408947200a5c8 − 313336320a6c8 + 32947200a7c8 + 126720a8c8 + 58676016810819584c9
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−10031481116901376ac9 + 159441135079424a2c9 + 16328535517184a3c9 − 42680872960a4c9
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−6087516160a5c9 − 31989760a6c9 + 112640a7c9 + 3491646551883776c10 − 401532206366720ac10
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+−39165874176a2c10 + 426373376000a3c10 + 2398849024a4c10 − 57108480a5c10 − 292864a6c10
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+153569798127616c11 − 11306859126784ac11 − 121209434112a2c11 + 6430281728a3c11
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+55750656a4c11 − 159744a5c11 + 4926293671936c12 − 214990397440ac12 − 3609948160a2c12
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+48455680a3c12 + 372736a4c12 + 112001548288c13 − 2550546432ac13 − 47480832a2c13 + 114688a3c13
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+1709178880c14 − 15974400ac14 − 245760a2c14 + 15695872c15 − 32768ac15 + 65536c16
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)+
+690452066304000 − 6021171888708014438400a + 5265069803767918344960a2
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−1255613685241344808320a3 + 44886205837994961168a4 + 10268327625369503424a5
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−237368983659167416a6 − 42674759654007096a7 − 494391823275295a8 + 53883717195792a9
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+1895161311692a10 + 9971445792a11 − 527714474a12 − 10510416a13 − 63836a14 + 24a15
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+a16 + 6021174222939333427200c − 15021787381058741391360ac
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+7662381734990091884544a2c − 1100299016611681373952a3c − 15626379031186701312a4c
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+7899732736748722048a5c + 136996140716971008a6c − 19145259644455472a7c
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−701266702605216a8c + 4476488799904a9c + 589171679712a10c + 9497284160a11c
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
61
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+8809248a12c − 1053472a13c − 8544a14c − 16a15c + 9756720976034902671360c2
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−13135489298072912056320ac2 + 4383235286150925920256a2c2 − 354304093752180576000a3c2
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−23207117158819503360a4c2 + 1948942223741335680a5c2 + 99829813667016576a6c2
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−1924170592153392a7c2 − 168768100025712a8c2 − 2097839166192a9c2 + 38493732816a10c2
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+1135146096a11c2 + 8047536a12c2 − 3024a13c2 − 144a14c2 + 6728724121889877884928c3
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−5991808196774258970624ac3 + 1346008321862936309760a2c3 − 47523373987429876480a3c3
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−7597968398062449792a4c3 + 160266314362231616a5c3 + 20324195909129376a6c3
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+165475024754336a7c3 − 14477625084384a8c3 − 346607013984a9c3 − 1080703008a10c3
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+37908192a11c3 + 356832a12c3 + 672a13c3 + 2663987317475324166144c4
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−1671377221817466507264ac4 + 250352208949734260736a2c4 + 70948347864658176a3c4
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−1209500469213714304a4c4 − 9923074901467200a5c4 + 1880323574773600a6c4
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+43976643480000a7c4 − 333237975840a8c4 − 18919454400a9c4 − 161034720a10c4 + 60480a11c4
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+3360a12c4 + 685031667544240914432c5 − 309517310333576900608ac5 + 29621380823355171840a2c5
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+923743780125782528a3c5 − 107082871818912000a4c5 − 3045473565298560a5c5
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+77436249859584a6c5 + 3266363388288a7c5 + 18442448640a8c5 − 378913920a9c5 − 4257792a10c5
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−8064a11c5 + 122233406136277237760c6 − 39876274446394552320ac6 + 2217885041274090496a2c6
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+142847660527283712a3c6 − 5123537304971008a4c6 − 263921234467968a5c6 + 146158260864a6c6
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
60
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+110996202240a7c6 + 1181537280a8c6 − 443520a9c6 − 29568a10c6 + 15738687916175228928c7
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−3669543395345608704ac7 + 93999172591340544a2c7 + 11551583711371264a3c7
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−82490418945792a4c7 − 11816734372608a5c7 − 109277498880a6c7 + 1587125760a7c7 + 22176000a8c7
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+42240a9c7 + 1496964703052791808c8 − 244095072926994432ac8 + 773833016275968a2c8
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+573163269516288a3c8 + 4275467843328a4c8 − 285424128000a5c8 − 4053096960a6c8 + 1520640a7c8
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+126720a8c8 + 106502305083457536c9 − 11728021260099584ac9 − 158177459134464a2c9
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+17823670982656a3c9 + 282542346240a4c9 − 3172843520a5c9 − 58798080a6c9 − 112640a7c9
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+5688285359144960c10 − 400914304327680ac10 − 10315387011072a2c10 + 329829586944a3c10
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+7029028864a4c10 − 2635776a5c10 − 292864a6c10 + 226908754575360c11 − 9403346001920ac11
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−327625838592a2c11 + 2998448128a3c11 + 82907136a4c11 + 159744a5c11 + 6656465600512c12
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−139930312704ac12 − 5967130624a2c12 + 2236416a3c12 + 372736a4c12 + 139324588032c13
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−1075888128ac13 − 59179008a2c13 − 114688a3c13 + 1968209920c14 − 737280ac14
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)+
+−245760a2c14 + 16809984c15 + 32768ac15 + 65536c16
Γ( c+a+342
) Γ( c−a−12
)
]
+
(a + 33)
√π Γ(c)
2c+32×
[
−2808209320881060096000a + 2663360260009726636800a2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−761012930360984837760a3 + 59789981041407736848a4 + 3838097925675257664a5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−412887209956538296a6 − 17102186004670536a7 + 788560364968145a8 + 45162707702112a9
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+113794887932a10 − 29121053808a11 − 578885594a12 − 1601376a13 + 54964a14 + 504a15 + a16
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
62
F ebr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+2808209322188734464000c − 7322501051641862553600ac + 4167566365404321792000a2c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−776053431621780277248a3c + 24390885974292556800a4c + 4620781401217787264a5c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−135931294749691584a6c − 14708322003815968a7c + 10204810088880a8c + 18038108416592a9c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+340115503728a10c − 2388933680a11c − 124331760a12c − 1064336a13c − 624a14c + 16a15c
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+4659140795971298918400c2 − 6716801554917910364160ac2 + 2592439908026046253056a2c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−311880368223462988800a3c2 − 2396216347714062720a4c2 + 1716187470827163840a5c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+9778714817415456a6c2 − 3554364976514352a7c2 − 72301707344592a8c2 + 1718028618768a9c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+64981523376a10c2 + 424868976a11c2 − 4925424a12c2 − 63504a13c2 − 144a14c2
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+3310248126040391024640c3 − 3233653400134714392576ac3 + 878636832223843737600a2c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−63870969022090296320a3c3 − 3015311036723040000a4c3 + 287807484504014464a5c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+9078040634562240a6c3 − 324341980864352a7c3 − 13651181869248a8c3 − 29183712096a9c3
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+3898762560a10c3 + 46316256a11c3 + 68544a12c3 − 672a13c3 + 1357476947746036383744c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−958287782560046014464ac4 + 184144118482689985536a2c4 − 6714508274153121024a3c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−726733557814194304a4c4 + 22135776085684800a5c4 + 1484330483864800a6c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−4210855387200a7c4 − 991865175840a8c4 − 11279822400a9c4 + 58507680a10c4 + 1270080a11c4
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+3360a12c4 + 363302337366510796800c5 − 189842774413099925504ac5 + 25372391843410427904a2c5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−194628438514915328a3c5 − 89972565214118400a4c5 + 234507253939200a5c5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
63
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+114510461788800a6c5 + 1251789931392a7c5 − 29856879360a8c5 − 543164160a9c5 − 1330560a10c5
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+8064a11c5 + 67757948118625157120c6 − 26359483031947591680ac6 + 2357507403955787776a2c6
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+39185303882199552a3c6 − 6546878251691008a4c6 − 93030581685888a5c6 + 4508612110464a6c6
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+90807171840a7c6 − 135717120a8c6 − 9313920a9c6 − 29568a10c6 + 9153756782143733760c7
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−2636370051512795136ac7 + 146795324427079680a2c7 + 5842794486121472a3c7
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−281415104289792a4c7 − 7799366522112a5c7 + 72776816640a6c7 + 2611361280a7c7 + 9630720a8c7
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−42240a9c7 + 916558260834664448c8 − 192573448050880512ac8 + 5772260367971328a2c8
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+400944040915968a3c8 − 6229949628672a4c8 − 296844134400a5c8 − 540418560a6c8 + 31933440a7c8
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+126720a8c8 + 68850573901824000c9 − 10301237301870592ac9 + 110259836239872a2c9
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+16439027585024a3c9 − 12727080960a4c9 − 5893212160a5c9 − 32778240a6c9 + 112640a7c9
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+3892715674664960c10 − 400184633671680ac10 − 1303326216192a2c10 + 416212752384a3c10
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+2679998464a4c10 − 55351296a5c10 − 292864a6c10 + 164749073448960c11 − 11045373214720ac11
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−140164177920a2c11 + 6205681664a3c11 + 56549376a4c11 − 159744a5c11 + 5137626038272c12
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−207626625024ac12 − 3753078784a2c12 + 46964736a3c12 + 372736a4c12 + 114504499200c13
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+−2455240704ac13 − 47824896a2c13 + 114688a3c13 + 1724907520c14 − 15482880ac14 − 245760a2c14
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+15728640c15 − 32768ac15 + 65536c16
Γ( c−a+12
) Γ( c+a+322
)+
+12576278705767096320000 − 20445225825356330342400a + 9195864755379017736960a2
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
64
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+−1329189482740943051136a3 − 8563352792315063280a4 + 10830374295768680128a5
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+43378037926115144a6 − 37003539895830200a7 − 895956191167279a8 + 35589243742624a9
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+1753588267772a10 + 15507471728a11 − 396897242a12 − 9614752a13 − 64076a14 + 8a15 + a16
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+29782271680068766924800c − 33546394070092637798400ac + 10792960405203584729088a2c
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−962166602196723529728a3c − 52449548626336711680a4c + 6715396321014319744a5c
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+251120813725404480a6c − 13441547680072160a7c − 716603737262160a8c − 895551610448a9c
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+485575752816a10c + 9312490544a11c + 21734160a12c − 935536a13c − 8304a14c − 16a15c
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+27604695181979725332480c2 − 22862910089061767725056ac2 + 5288948648690303305728a2c2
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−244040874762163528704a3c2 − 31398576827991196032a4c2 + 1318733262810089280a5c2
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+108757286188405536a6c2 − 653799030000336a7c2 − 148338641669328a8c2 − 2422115790864a9c2
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+26538983856a10c2 + 1038392208a11c2 + 8073744a12c2 − 1008a13c2 − 144a14c2
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+14106325924390826409984c3 − 8795322431435884462080ac3 + 1441688965310003077120a2c3
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−15928747775997494272a3c3 − 8101198657656397568a4c3 + 42563478517256576a5c3
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+18789368090004160a6c3 + 268960085532512a7c3 − 11412872678592a8c3 − 333793055904a9c3
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−1474334400a10c3 + 33678624a11c3 + 348096a12c3 + 672a13c3 + 4584448058532799709184c4
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−2167091379778698125312ac4 + 243008864527168564224a2c4 + 4773669278157055232a3c4
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−1133240400249215104a4c4 − 20265188755606080a5c4 + 1564711799131360a6c4
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
65
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+45980788392000a7c4 − 170217764640a8c4 − 17306520000a9c4 − 161478240a10c4 + 20160a11c4
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+3360a12c4 + 1023142651711497175040c5 − 365576178424323506176ac5
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+26239200467672383488a2c5 + 1320185065373554688a3c5 − 90806945140032000a4c5
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−3442576884341760a5c5 + 55119033062016a6c5 + 3105691171968a7c5 + 21662403840a8c5
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−336779520a9c5 − 4169088a10c5 − 8064a11c5 + 164179858383692103680c6
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−43864327113745481728ac6 + 1761239942758438912a2c6 + 160703492904553984a3c6
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−3805540868512768a4c6 − 262533478306176a5c6 − 597701064576a6c6 + 101531485440a7c6
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+1184198400a8c6 − 147840a9c6 − 29568a10c6 + 19490608115873742848c7
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−3822615444792410112ac7 + 58965974414561280a2c7 + 11765617904499712a3c7
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−25099911969792a4c7 − 11128976272128a5c7 − 119769999360a6c7 + 1411238400a7c7
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+21795840a8c7 + 42240a9c7 + 1741265002564026368c8 − 243941753814798336ac8
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−917210568772608a2c8 + 553288264928256a3c8 + 5641747676928a4c8 − 261080709120a5c8
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−4060193280a6c8 + 506880a7c8 + 126720a8c8 + 118054610869944320c9 − 11359341010485248ac9
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−209922369175552a2c9 + 16662945181696a3c9 + 297528535040a4c9 − 2822420480a5c9
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−58009600a6c9 − 112640a7c9 + 6078561478246400c10 − 379322169081856ac10
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+−11262679633920a2c10 + 301692971008a3c10 + 7037814784a4c10 − 878592a5c10 − 292864a6c10
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+235981559037952c11 − 8739429810176ac11 − 336125337600a2c11 + 2668417024a3c11
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
66
Febr
uary
2011
©2011 Global Journals Inc. (US)
+82108416a4c11 + 159744a5c11 + 6790426918912c12 − 127990833152ac12 − 5971603456a2c12
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+745472a3c12 + 372736a4c12 + 140341411840c13 − 957874176ac13 − 58834944a2c13 − 114688a3c13
Γ( c−a2
) Γ( c+a+332
)+
+1968701440c14 − 245760ac14 − 245760a2c14 + 16777216c15 + 32768ac15 + 65536c16
Γ( c+a+332
) Γ( c−a2
)
]
On simplification , we prove the result (8).
1) Arora, Asish, Singh, Rahul , Salahuddin. ; Development of a family of summation formulae of half argument using Gauss and Bailey theorems Journal of Rajasthan Academy of Physical Sciences., 7(2008), 335-342.
2) Choi, J., Harsh, H. and Rathie, A. K.; Some summation formulae for the Apple’s function F1, East Asian Math. Journal, 17(2001), 233-237.
3) Erd´elyi, A., Magnus, W., Okerhettinger, F. and Tricomi, F. G.; Higher transcendental functions Vol.1 (Bateman Manuscript Project) McGraw- Hill book P. Inc. New York, Toronto and London, 1953.
4) Krupnikov, E. D., K¨olbig, K. S.; Some special cases of the generalized hypergeometric function q+1Fq, Journal of computational and Applied Math., 78(1997), 79-95.
5) Lavoie, J. L.; Notes on a paper by J. B. Miller, J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 29(1987), 216-220.6) Lavoie, J. L.; Some summation formulae for the series 3F2, Math. Comput., 49(1987), 269-274.7) Lavoie, J. L., Grondin, F. and Rathie, A.K.; Generalizations of Watson’s theorem on the sum of a 3F2,
Indian J. Math., 34(1992), 23-32.8) Lavoie, J. L., Grondin, F. and Rathie, A.K.; Generalizations ofWhipple’s theorem on the sum of a 3F2, J.
Comput. Appl. Math., 72(1996), 293- 300.9) Lavoie, J. L., Grondin, F. Rathie, A. K. and Arora, K.; Generalizations of Dixon’s theorem on the sum of a
3F2, Math. Comput., 62, 267-276.10) Mitra, C. S.; J. Indian Math. Soc. (N.S.), 7(1943), 102-109.11) Prudnikov, A. P., Brychkov, Yu. A. and Marichev, O.I.; Integrals and Series Vol. 3: More Special Functions.
Nauka, Moscow, 1986. Translated from the Russian by G.G. Gould, Gordon and Breach Science Publishers, New York, Philadelphia, London, Paris, Montreux, Tokyo, Melbourne, 1990. A Summation Formula Related To Bailey Theorem
12) Rainville, E. D.; The contiguous function relations for pFq with applications to Bateman’s Ju,v n and Rice’s Hn (�, p, �), Bull. Amer. Math. Soc., 51(1945), 714-723.
13) Salahuddin, Chaudhary, M.P ; Development of Some Summation Formulae Using Hypergeometric Function, Journal of Science Frontier Research, 10(2010),36- 48.(U.S.A)
14) Shashikant, Sharma, S. and Rathie, A. K.; Some summation formulae for the Apple’s function F1, Proc. of the fourth Int. Conf. SSFA, 4(2003), 81-84.
A Summation Formula Related To Bailey Theorem
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
67
Febr
uary
2011
References Références Referencias
This page is intentionally left blank
Globa
l Jo
urna
l of S
cien
ceFr
ontier R
esea
rch
Volum
e XI Issu
e I Version
I
68
Febr
uary
2011
Fuzzy ideals in Γ−semiring
![The Summation Formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana ...sweet.ua.pt/pjf/PDF/Ferreira2011b.pdfAbel–Plana formula see [51], and for the interconnections of Plana’s formula with](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5f46ef1633d03a78bd618b18/the-summation-formulae-of-euleramaclaurin-abelaplana-sweetuaptpjfpdf.jpg)
