A perspektivikus ábrázolás alapösszefüggéseiről és azok alkalmazásáról 1. rész

I. Bevezetés

Ez a munka a közvetlen folytatása az előző dolgozatoknak; ezek: ~ Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról, ~ A klinogonális axonometria alapösszefüggéseiről és azok alkalmazásáról. Sok idő eltelt azóta, hogy ábrázolási összefüggések megformulázásával kezdtünk foglalkozni. Ez vezetett az axonometrikus és a perspektivikus ábrázolás képleteinek felírásához, majd az axonometriával kapcsolatos eredmények szűk körű és részleges közzétételéhez. Aztán a honlap - készítési munkák során sor került az utóbbiak rende -zett formában való összeállítására és nyilvánosságra hozatalára. Már ez óta is sok év eltelt, így most már nem halogatjuk tovább a címbeli nagyobb lélegzetű munkát sem. Úgy tervezzük, hogy ez több részes lesz, a dolgok természetéből fakadóan.

II. A centrális projekció alapvető összefüggéseiről A perspektivikus ábrázolás geometriai alapját a középpontos vetítés, másképpen a centrális projekció képezi. Ennek számunkra legrokonszenvesebb tárgyalását [ 1 ] - ben találtuk meg. Ez alapján indítjuk a munkát. A. ) Az általános eset képleteinek levezetése Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

1. ábra

2

Itt azt szemléltetjük, hogy az Oxyz térbeli derékszögű koordináta - rendszerben meg -adtuk a P tárgypontot, a C vetítési centrumot, a π képsíkot; utóbbin kijelöltük az O’x’y’ képsíkbeli koordináta - rendszert, melyben a K képpont koordinátáit keressük. Az 1. ábra szerint:

.→ = −C P C Pr = r +q q r r ( 1 ) Majd bevezetjük a z’ skalár paramétert, mellyel

' .z ⋅p = q ( 2 ) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:

( )' .z ⋅ −C Pp = r r ( 3 )

Másrészt:

.→ = −C K K Cr = r +p r r p ( 4 ) Majd ( 3 ) és ( 4 ) - gyel:

( )' ,z= − ⋅ −K C C Pr r r r ( 5 / 1 )

vagy

( )' 1 ' .z z= ⋅ + − ⋅K P Cr r r ( 5 / 2 )

Látjuk, hogy adott P és C, valamint az alább meghatározandó z’ ismeretében a K képpont térbeli helye is ismertté válik. Másfelől az 1. ábra alapján, a képsíkbeli u1 és u2 egységvektorokkal is:

' ' .x y= + ⋅ + ⋅K O' 1 2r r u u ( 6 ) Itt x’ és y’ – a K indexet elhagyva – a K képpont koordinátái a képsíkbeli k. r. - ben. Most ( 5 / 1 ) és ( 6 ) - tal:

( )' ' ' ,x y z+ ⋅ + ⋅ = + ⋅ −O' 1 2 C P Cr u u r r r

innen:

( ) ( )' ' ' .x y z− + ⋅ + ⋅ = ⋅ −O' C 1 2 P Cr r u u r r ( 7 )

Az ( x’ , y’ , z’ ) adatok meghatározását a ( 7 ) képlet alapján végezzük. Ezt úgy tesszük, hogy a ( 7 ) vektoregyenletet végigszorozzuk egy - egy olyan mennyiséggel, amely kiejti a nem - keresett mennyiségeket tartalmazó tagokat.

3

x’ meghatározása: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

' ' ' .

' ' ' ;

mivel 0 , 0 , ezért

x y z

x y z

− + ⋅ + ⋅ = ⋅ − −

− − + ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − −

− = − − =

− −

O' C 1 2 P C 2 P C

O' C 2 P C 1 2 P C 2 2 P C P C 2 P C

2 2 P C P C 2 P C

O' C 2 P C

r r u u r r u × r r

r r u × r r u u × r r u u × r r r r u × r r

u u × r r r r u × r r

r r u × r r

i

i i i i

i i

i ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

' 0 ;

miatt

' 0 ;

' 0 ,

innen:

x

x

x

+ ⋅ − =

⋅ ⋅

− ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

− − ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

1 2 P C

O' C 2 P C 1 2 P C

2 O' C P C 1 2 P C

u u × r r

a b×c = a×b c

r r ×u r r u ×u r r

u × r r r r u ×u r r

i

( ) ( )( ) ( )' .x

− ⋅ − =− ⋅

P C 2 O' C

P C 1 2

r r u × r r

r r u ×u ( 8 )

y’ meghatározása: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

' ' ' .

' ' ' ;

mivel 0 , 0 , ezért

x y z

x y z

− + ⋅ + ⋅ = ⋅ − −

− − + ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − −

− = − − =

− −

O' C 1 2 P C 1 P C

O' C 1 P C 1 1 P C 2 1 P C P C 1 P C

1 1 P C P C 1 P C

O' C 1 P C

r r u u r r u × r r

r r u × r r u u × r r u u × r r r r u × r r

u u × r r r r u × r r

r r u × r r

i

i i i i

i i

i ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

' 0 ;

miatt

' 0 ;

' 0 ,

innen:

y

y

y

+ ⋅ − =

⋅ ⋅

− ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

− − ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

2 1 P C

O' C 1 P C 2 1 P C

1 O' C P C 2 1 P C

u u × r r

a b×c = a×b c

r r ×u r r u ×u r r

u × r r r r u ×u r r

i

( ) ( )( ) ( )' .y

− ⋅ − =− ⋅

P C 1 O' C

P C 2 1

r r u × r r

r r u ×u ( 9 )

z’ meghatározása:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' ' ' .

' ' ' ;

mivel 0 , 0 , ezért

x y z

x y z

− + ⋅ + ⋅ = ⋅ −

− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ = ⋅ =

O' C 1 2 P C 1 2

O' C 1 2 1 1 2 2 1 2 P C 1 2

1 1 2 2 1 2

r r u u r r u ×u

r r u ×u u u ×u u u ×u r r u ×u

u u ×u u u ×u

i

4

( ) ( ) ( ) ( )' ,

innen:

z− ⋅ = ⋅ − ⋅O' C 1 2 P C 1 2r r u ×u r r u ×u

( ) ( )( ) ( )' .z

− ⋅=

− ⋅O' C 1 2

P C 1 2

r r u ×u

r r u ×u ( 10 )

Megjegyzés: az ( 5 / 2 ) képletet értelmezi a 2. ábra.

2. ábra B. ) Egy speciális eset – a merőleges perspektíva – képleteinek levezetése Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!

3. ábra

5

A 3. ábra azt szemlélteti, hogy a C centrum a π képsík normálisán helyezkedik el. Eszerint:

,d= + ⋅C O'r r u ( 11 ) és

.= 1 2u u ×u ( 12 )

A ( 11 ) képletben: ' .d O C= Most előkészítésként:

,d− = − − ⋅P C P O'r r r r u ( 13 ) majd

.d− = − ⋅O' Cr r u ( 14 ) Ezután ( 8 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:

( ) ( ){ }( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

' ;

mivel , ezért

0'

ort

ort

d dx

d

d d d dx

d d

d

− − ⋅ ⋅ − ⋅ = − − ⋅ ⋅

=

− − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = = = − − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

− ⋅ −=

P O' 1 2 2 1 2

P O' 1 2 1 2

2 1 2 1

P O' 1 2 1 P O' 1

P O' 1 2 1 2 P O' 1 2 1 2

P O'

r r u ×u u × u ×u

r r u ×u u ×u

u × u ×u u

r r u ×u u r r u

r r u ×u u ×u r r u ×u u ×u

r r

( ) ( ) ,d

⋅− ⋅ −

1

P O' 1 2

u

r r u ×u

tehát:

( )( )' .ort

dx

d

− ⋅ − ⋅=

− ⋅ −P O' 1

P O'

r r u

r r u ( 15 )

Hasonlóképpen ( 9 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

'

,

ort

d d dy

dd

d

d

− − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = = =− − ⋅ + − − ⋅ ⋅

− − ⋅ ⋅=

− ⋅ −

P O' 1 2 2 P O' 2

P O' 1 2P O' 1 2 2 1

P O' 2

P O' 1 2

r r u ×u u r r u

r r u ×ur r u ×u u ×u

r r u

r r u ×u

tehát:

6

( )( )' .ort

dy

d

− ⋅ − ⋅=

− ⋅ −P O' 2

P O'

r r u

r r u ( 16 )

Végül ( 9 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2

'

,

ort

dz

d

d

d

− ⋅ − ⋅= = =

− ⋅ − − ⋅ ⋅

−=− ⋅ −

O' C 1 2 1 2

P C 1 2 P O' 1 2 1 2

P O' 1 2

r r u ×u u ×u

r r u ×u r r u ×u u ×u

r r u ×u

tehát:

( )' .ort

dz

d

−=− ⋅ −P O'r r u ( 17 )

Egy másik alakhoz jutunk, ha ( 15 ), ( 16 ) ( 17 ) - ben a nemzéró ( – d ) - vel osztunk:

( )( )

( )( )

( )

' ,

1

' ,

1

1' .

1

ort

ort

ort

x

d

y

d

z

d

− ⋅

= − ⋅ −

− ⋅ = − ⋅ −=

− ⋅ −

P O' 1

P O'

P O' 2

P O'

P O'

r r u

r r u

r r u

r r u

r r u

( 18 )

Most vizsgáljuk meg az utóbbi képletek geometriai jelentését! Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! Derékszögű háromszögekből:

( )( ) ( )x

'tgφ ,Kx

d d

− ⋅= =

− ⋅ − +P O' 1

P O'

r r u

r r u

innen ( 15 ) - tel is:

( )( )' ' ;K ort

dx x

d

− ⋅ − ⋅= =

− ⋅ −P O' 1

P O'

r r u

r r u

7

4. ábra hasonlóan:

( )( ) ( )y

'tgφ ,Ky

d d

− ⋅= =

− ⋅ − +P O' 2

P O'

r r u

r r u

innen ( 16 ) - tal is:

( )( )' ' .K ort

dy y

d

− ⋅ − ⋅= =

− ⋅ −P O' 2

P O'

r r u

r r u

Látjuk, hogy viszonylag egyszerűen értelmezhetőek eredményeink. C. ) Egy további speciális eset – a merőleges axonometria – képleteinek levezetése Most végezzük el a d ���� ∞ határátmenetet! Ekkor ( 18 ) - ból:

( )( )

,

,

,

' ' ' ,

' ' ' ,

' ' ' 1 .

K K ort ax

K K ort ax

K K ort ax

x x x

y y y

z z z

∗

∗

∗

→ ≡ = − ⋅→ ≡ = − ⋅ → ≡ =

P O' 1

P O' 2

r r u

r r u ( 19 )

8

A ( 19 ) képletek a merőleges / ortogonális axonometria képletei. Az ennek megfelelő alaphelyzetet az 5. ábrán vázoltuk.

5. ábra Látjuk, hogy ekkor a PC vetítő egyenes is a képsíkra merőleges helyzetű lesz. Most írjuk át ( 18 ) - at ( 19 ) - cel! Ekkor:

( )

( )

( )

'' ,

1

'' ,

1

'' .

1

KK

KK

KK

xx

dy

y

dz

z

d

∗

∗

∗

= − ⋅ −

= − ⋅ −=

− ⋅ −

P O'

P O'

P O'

r r u

r r u

r r u

( 20 )

Az első két – tényleges képsík - koordinátát tartalmazó – egyenletből:

9

' ' ,

' 'K K

K K

y y

x x∗

∗

=

innen:

'' ' .

'K

K KK

yy x

x∗

∗

= ⋅ ( 21 )

Ez egy egyenes egyenlete; a hozzá tartozó egyenes az 5. ábrán az O’K* egyenes. Ezek szerint a d ���� ∞ átmenet során K ���� K* , egyenes pályán haladva. Megjegyzések: M1. Mind a merőleges perspektíva, mind a merőleges axonometria nagyon fontos képi megjelenítő eljárás; előbbi a fényképészetben és a fotogrammetriában, utóbbi a képies műszaki ábrázolásban alapvető fontosságú. M2. Az emberi szem lényegében a fényképezőgéphez hasonlóan működik: a tárgyak -ról valódi, kicsinyített, fordított állású képet alkot – [ 2 ]. A tárgyakat ennek ellenére egyenes állásúaknak látjuk, mert agyunk látásközpontja előzetes tapasztalat alapján a külvilág tárgyait valós térbeli helyzetüknek megfelelően hozza tudomásunkra – [ 3 ]. M3. A fényképezőgép képalkotása szemlélhető a 6. ábrán.

6. ábra; forrása:[ 4 ]. Erről több fontos információ is leolvasható. a.) A tárgy ( fehér álló nyíl ) képe a K képsíkon ( fekete fordított nyíl ) ugyanolyan, mint az F kép a K* képsíkon, eltekintve a megfordítástól. Minthogy a K* sík az O centrumra szimmetrikus, ezért K helyett a vele gyakorlatilag egyenértékű K* - gal is dolgozhatunk. Más szavakkal: a tárgy és a kép a vetítési középpont ugyanazon oldalán helyezkedhetnek el. Ezt a fejleményt már ki is használtuk elvi ábráink felvételekor.

10

b.) A 6. ábráról jól leolvasható, hogy mindkét fehér álló nyíl képe ugyanaz a fekete F álló nyíl. Ez azt jelenti, hogy a centrális vetítéssel készült képről a tárgy visszaállítása – rekonstruálása, azaz geometriai adatainak megállapítása – , nem megy minden to -vábbi nélkül. A fényképek alapján történő rekonstrukció a fotogrammetria alapfeladata – [ 4 ]. M4. Az ábrázolási képleteket célszerű kiegészíteni egy L léptéktényezővel; ennek feladata valójában csak annyi, hogy vele könnyebben elérjük, hogy a kép ne essen le a véges méretű képernyőről. Tehát ( 18 ) - cal:

( )( )

( )( )

( )

' ,

1

' ,

1

1' .

1

ort

ort

ort

x L

d

y L

d

z

d

− ⋅

= ⋅ − ⋅ −

− ⋅ = ⋅ − ⋅ −=

− ⋅ −

P O' 1

P O'

P O' 2

P O'

P O'

r r u

r r u

r r u

r r u

r r u

( 22 )

A ( 22 ) képlet kétféleképpen is értelmezhető. 1.) Kiszámítjuk a valódi koordinátákkal ( 18 ) szerint a keresett mennyiségeket, majd beszorozzuk x’ és y’ - t L - lel. 2.) A valódi koordináták helyett azok L - szeresével dolgozunk; ekkor is ( 22 ) alakú kifejezések állnak elő, hiszen ~ x’ és y’ számlálójából L kiemelhető, ~ a nevezők második tagjából – egyszerűsítés miatt – L kiesik. M5. A képletekben szereplő d betű a distancia = távolság rövidítő jelölése. Ez a távolság - adat a vetítési centrumnak a képsíktól mért merőleges távolsága. M6. A bevezető sorokban említett két korábbi dolgozatunk lényeges eleme az volt, hogy az ábrázolási összefüggéseket igyekeztünk a képsíkon fellehető mennyiségekre alapozni. Ez is egy használható megoldás – az axonometriában. A perspektívában – úgy tűnik – ez olyan bonyolultságot eredményez, hogy a továbbiakban más utat célszerű követnünk.

11

Irodalom: [ 1 ] – I. D. Faux ~ M. J. Pratt: Computational Geometry for Design and Manufacture Ellis Horwood Limited Publishers, Chichester, Reprinted in 1987. [ 2 ] – Hans Breuer: SH atlasz, Fizika Springer - Verlag, Budapest, 1993. [ 3 ] – Budó Ágoston ~ Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. [ 4 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. augusztus 10.