“A Model of Sales”

By Hal R.Varian

Objetivo de estudio: Dispersión de precios.

Aportación de Salop y Stiglitz:Consumidores informados y desinformados.

Aportación de Shilony:Estrategias de fijación de precios aleatorias.

EL modelo:• Numero de tiendas: n• Gran número de consumidores:

• Precio de reserva: r• Dos tipos de consumidores:– Informados = I “conocen la distribución de

precios” Compran donde se cargue el menor p

–Desinformados = M “NO conocen la distribución de precios” al azar, comprarán si p < r

•

• Cada tienda tiene una Función de densidad : f(p): probabilidad con la que se carga cada precio p.

• Cada empresa toma como dada las estrategias de precios elegidas por las demás empresas y el comportamiento de los consumidores.

Recordamos:

Función de densidad : f(p) describe la densidad de probabilidad en cada punto del espacio, de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto (A) sea:

∀A

• Función de distribución: F(p) Sea X una variable aleatoria continua, la función de distribución asignará a cada suceso definido sobre X, la probabilidad de que dicho suceso ocurra:

Continuamos:

• Éxito: si carga el menor precio de las n tiendas I+U

• Fracaso: carga un precio mayor U• Empate: varias empresas cargan el menor

precio (compartirán los I) + U

• Semanalmente cada tienda escoge aleatoriamente un precio acorde con su función de densidad

• Todas las tiendas tienen la misma curva de costes medios estrictamente decreciente: CMe

• La curva de costes de una empresa representativa se denotará por la función: C(q)

EL análisis

• El número máximo de consumidores que una tienda puede adquirir es I+U

• El coste medio mínimo: p* = c(I+U) / (I+U)“Si el precio fuese menor que ese coste medio mínimo a la empresa le interesaría no producir”

• Proposición 1: f(p)=0 para p>r ó p<p*– Demostración: • Si p< p*: la empresa tendría beneficios negativos

porque no cubriría los costes• si p>r: beneficios nulos porque los consumidores no

pagarían ese precio.

• Proposición 2: No hay equilibrio simétrico donde todas las empresas establecen el mismo precio.– Demostración:

Si todas las tiendas cargan el mismo precio “p” de tal forma que: r≥p>p*; alguna tendrá incentivos a bajar un poco su precio y llevarse a todos los I

• Proposición 3: No hay puntos masa en el equilibrio de estrategias de precios: f (p) > 0

La función de distribución no tiene ningún punto en el que sea discontinua en todo el intervalo (p*, r)

• Calculamos los beneficios esperados:– ÉXITO: Cuando la tienda pone el precio “p” y es la

única con el precio más bajo: (p) = p·(U + I) - C(U + I)

Sucede con probabilidad:

– FRACASO: Si la tienda pone un precio “p” pero hay al menos otra tienda que tiene un precio menor:

(p) = p·U – C(U)

Sucede con probabilidad:

• Por lo tanto el beneficio esperado para una tienda representativa:

• Sabiendo que: f(p) ≥ 0 y – todos los precios cargados con densidad positiva deben

producir beneficios esperados,– si algún precio genera mayor beneficio esperado será

cargado con mayor probabilidad.

• Proposición 4: Si f(p) > 0

[ = 0 ;

por tanto, la función de distribución será:

Coste medio

r p

p*

Curva de Coste Medio

U I+U cantidad de consumidores

Se puede observar como se determinan los beneficios esperados.

Ejemplo:

• Suponemos una función de producción con C(q)= k:

• costes fijos k>0 • CMg = 0

• Por tanto:

• Sabemos que ;

• Por lo mismo:

• Recordamos:

• Sustituyendo U y sabiendo que: f(p)=F´(p)

-m

De esta manera si n es muy grande y m es muy pequeño: f(p)

Representamos: pp* r

• Conclusión:– ¿Qué podemos intuir de la forma U, de la función

de densidad?

– ¿Pondrán las empresas precios más extremos o más intermedios?

– A las tiendas les gustaría discriminar precios:• Informados: p* • Desinformados: r

• Recordando la ecuación

– Si k es pequeño o I es grande p* será pequeño. – Por tanto precios bajos serán cargados con una alta

probabilidad en el tiempo. Los mercados serán más competitivos.

– Pero altos precios serán siempre cargados por una fracción de tiempo.

• Calculamos el precio medio pagado por los consumidores desinformados:

• Supondremos que los consumidores informados pagan un precio:

Conclusiones:• Comportamiento de los desinformados con

respecto al precio medio que ellos pagan: ¿Qué significa?

• Como el precio que pagan los consumidores informados depende de la existencia de desinformados supone una externalidad positiva para los informados. ¿Por qué ?

• Por lo tanto:El número de tiendas aumenta con el número de consumidores desinformados. Haciendo que los informados compren al precio más bajo anunciado.

• Un gran número de tiendas tenderán a bajar el precio que ellos pagan.

Bibliografía:

- Novales, A.: Estadística y Econometría, McGraw Hill, 1996.- Salop y Stiglitz (1977): "A Model of Monopolistically

Competitive Price Dispersion". Review of Economic Studies, Vol. 44, No. 3, 493-510.

- Varian. H.R. (1980): "A model of sales." American Economic Review, 70, 651-659

FIN.