A. Manzino progetto - topografia.it · Lezioni di Topografia Parte IV - Cenni di fotogrammetria otto editore Il Sistema GPS A. Manzino. DISPENSE DI TOPOGRAFIA P ARTE IV – CENNI

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teDipartimento di Georisorse e TerritorioPolitecnico di Torino, dicembre 2000

Lezioni di TopografiaParte IV - Cenni di fotogrammetria

otto editore

Il Sistema GPSA. Manzino

DISPENSE DI TOPOGRAFIA

P

ARTE

IV – CENNI DI FOTOGRAMMETRIA

IL SISTEMA GPS

A

.

MANZINO

Otto Editore P.zza Vittorio Veneto 14 – 10123 Torinowww.otto.to.it

INDICE

PARTE IV

CENNI DI FOTOGRAMMETRIA – Il sistema GPS

13. CONCETTI DI FOTOGRAMMETRIA ANALITICA ..........................1

13.1 DEFINIZIONI E CONCETTI DI BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

13.2 LE OPERAZIONI DI ACQUISIZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

13.3 CARATTERISTICHE DELLE CAMERE AEREE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

13.4 IL MATERIALE FOTOGRAFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

13.5 CAMERE DA PRESA TERRESTRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

13.6 LA PRESA FOTOGRAMMETRICA E IL PROGETTO DEL VOLO . . . . . . .9Altri parametri di progetto del volo 11Le condizioni meteorologiche 12

13.7 L'ORIENTAMENTO INTERNO (OI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

13.8 LA VISIONE STEREOSCOPICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16La collimazione stereoscopica 18

13.9 MATRICE DI ROTAZIONE NELLO SPAZIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19La linearizzazione delle equazioni di rotazione nello spazio 22

13.10 EQUAZIONI DI COLLINEARITÀ NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO INTERNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

13.11 L'ORIENTAMENTO ESTERNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

13.12 L'ORIENTAMENTO RELATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

13.13 L'ORIENTAMENTO RELATIVO ASIMMETRICO (ORA) . . . . . . . . . 28

13.14 L'ORIENTAMENTO RELATIVO SIMMETRICO (ORS) . . . . . . . . . . 29

i

13.15 IL CALCOLO DELL'ORIENTAMENTO RELATIVO . . . . . . . . . . . . . 30Le equazioni dell'orientamento relativo asimmetrico 30Le equazioni dell'OR simmetrico 32

13.16 LA LINEARIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI OR SIMMETRICO . . . 34

13.17 EQUAZIONI DI COLLINEARITÀ NEL SISTEMA ESTERNO XYZ . . . 34

13.18 L'ORIENTAMENTO ASSOLUTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

14. I RESTITUTORI ANALITICI ..............................................................43

14.1 SCHEMI DI FUNZIONAMENTO MECCANICO E DI MISURA . . . . . . .43

14.2 STEREOPLOTTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

14.3 LE PROCEDURE DI ORIENTAMENTO INTERNO . . . . . . . . . . . . . . . .47

14.4 LE PROCEDURE DI ORIENTAMENTO RELATIVO . . . . . . . . . . . . . . .48Il ciclo RT dopo l’orientamento relativo negli strumenti «Helava» 48

14.5 LE PROCEDURE DI ORIENTAMENTO ASSOLUTO . . . . . . . . . . . . . . .49

14.6 OPERAZIONI ESEGUIBILI IN UNO STRUMENTO RESTITUTORE A QUATTRO CONTROLLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

14.7 STRUMENTI DEL TIPO «INGHILLERI» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

14.8 IL CICLO RT DEGLI STRUMENTI A DUE CONTROLLI . . . . . . . . . . .52

14.9 L'ORIENTAMENTO ASSOLUTO E LA RESTITUZIONE PER GLI STRUMENTI A DUE CONTROLLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

15. IL SISTEMA DI RILIEVO GPS ............................................................55

15.1 INTRODUZIONE: COS’È IL GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Concetti di base del posizionamento 57

15.2 IL SEGNALE GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

15.3 PERCHÉ IL SEGNALE È COSÌ COMPLESSO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

15.4 TIPI DI MISURE RICAVABILI DAL SEGNALE GPS . . . . . . . . . . . . . . .64L’equazione dello pseudorange 64L’equazione della fase 65

15.5 GLI ERRORI DEL POSIZIONAMENTO GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

15.6 LA TECNICA DELLA DIFFERENZIAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Le equazioni delle differenze prime di fase (ai ricevitori) 70Le equazioni delle differenze seconde di fase 71Le equazioni delle differenze terze di fase 73

15.7 LA RIDUZIONE DI BIASES CON COMBINAZIONI DI OSSERVABILI GREZZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Combinazione «geometry and clock free» L4 75

ii

Combinazioni «iono free» L3 75Wide lane 76Narrow lane L1,1 77

15.8 TECNICHE TRADIZIONALI DEL TRATTAMENTO DEI DATI GPS . . .78

15.9 IL PROGETTO DI UN RILIEVO STATICO GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Scelta del numero e della distribuzione dei vertici della rete 79L'ubicazione delle stazioni del rilievo 79Finestra di osservazione, durata delle sessioni di misura e intervallo di campionamento 80Numero di ricevitori disponibili e tipo 80Il collegamento tra varie sessioni di misura 81Trattamento delle misure GPS 81I parametri logistici 82La progettazione con programmi commerciali 82Qualche cosa di più 86La progettazione con programmi scientifici 87Un esempio di progetto di una rete GPS: la rete eseguita per il tracciamento della linea Alta Velocità Bologna Firenze 87Requisiti fondamentali e le scelte adottate 87Il collegamento fra le sessioni di misura 89I parametri di ingresso ed i risultati della simulazione 90La rete di infittimento 91

BIBLIOGRAFIA inerente il posizionamento GPS ...................................92

iii

PARTE IV – CENNI DI FOTOGRAMMETRIA

Il sistema GPS

13. CONCETTI DI FOTOGRAMMETRIA ANALITICA

Nel corso di Topografia è previsto vengano fornite delle nozioni di base di Foto-grammetria, disciplina insegnata in uno specifico corso del piano di studi. In questasede ci limiteremo dunque a dare dei concetti che possono permettere un succes-sivo approfondimento nel corso previsto.

La Fotogrammetria è quella tecnica che consente la ricostruzione della forma e delledimensioni di un oggetto quando di questo si abbiano a disposizione almeno due«immagini» riprese da due punti distinti nello spazio.

Le immagini possono essere di tipo fotografico o numerico, noi ci concentreremosulle prime.

Il tipo di proiezione che ne ha dato origine può essere idealizzato in vari schemi: inquesta sede si fa l'ipotesi che le immagini siano fotografiche e che siano proiezionicentrali non deformate, perciò metriche dell'oggetto.

Da qui nasce la desinenza «metria» o «metrica» della disciplina e l'uso del terminefotogrammi (non fotografie) del materiale utilizzato. Il primo scopo è in effetti ditipo metrico: la ricostruzione della forma e delle dimensioni: ciò si traduce, con lin-guaggio cartografico, nell'esigenza di utilizzare e rappresentare in scala un«modello» dell'oggetto da ricostruire.

A seconda che l'oggetto sia il terreno (le riprese in questo caso vengono normal-mente eseguite da un velivolo) od un monumento, una casa, un pezzo meccanico,ecc. si è soliti parlare di fotogrammetria aerea o terrestre, quest'ultima è detta piùcorrettamente fotogrammetria (degli oggetti) dei vicini.

Cerchiamo di comprendere i concetti della fotogrammetria nell'ipotesi teorica ma

1

CONCETTI

DI

FOTOGRAMMETRIA

ANALITICA

non restrittiva che sfrutta il modello geometrico teorico della proiezione centrale evediamo ora il motivo per cui sono necessari due fotogrammi.

Considereremo sempre nel seguito solo i problemi relativi alla fotogrammetria aerea.

Fig. 13.1 – La geometria della presa.

Una sezione della camera da presa è idealizzata in figura 13.1 da un triangolo di ver-tice O, centro nodale dell'obbiettivo e di altezza c: distanza focale (o distanza prin-cipale) della camera da presa.

Il centro della proiezione è il punto nodale O ed il piano di proiezione è il piano diappoggio dell'emulsione fotografica, piano che può essere inclinato in vario modonello spazio.

Due punti A e B sul terreno emettono un raggio luminoso che da origine ai puntiimmagine α e β sul fotogramma.

Al termine della presa, ipotizziamo di sviluppare e stampare detto fotogramma, diriposizionarlo nella stessa posizione spaziale (sul piano di appoggio della camera)che aveva al momento della presa e di proiettare in qualche modo verso il centro Oi punti immagine α e β.

Questi raggi proiettivi sono rivolti ancora verso le direzioni che sul terreno avevanoi punti A e B ma, se non disponiamo di un'informazione precisa della posizione delterreno rispetto alla camera, non sappiamo a priori dove riposizionare nello spaziooggetto i punti A e B, che possono giacere a qualsiasi altezza lungo queste rette.

Si intuisce allora che è necessario conoscere almeno un modello altimetrico del ter-reno, tuttavia l'altezza del terreno fa parte del problema che ci siamo imposti dirisolvere all'origine, cioè la ricostruzione della forma e delle dimensionidell'oggetto. Non sembra a questo punto vicina alcuna soluzione.

Facciamo l'ipotesi che sia lecita l'approssimazione del piano topografico per rappre-sentare i punti A e B che su questo si proiettano dunque in A'' e B '', se non cono-scessimo nulla dell'altimetria dell'oggetto, i due raggi proiettivi andrebbero a cadereinvece in A ' e B ', generando così un'immagine variamente deformata che anch'essaè una proiezione centrale e non una proiezione topografica dell'oggetto.

O Centro nodale

D' C'αβ

CA

B

A' A" B' B"

DSuperficie fisica

Piano Topogr.

Sup. di Riferimento

c

Hm

S

2

CONCETTI

DI

FOTOGRAMMETRIA

ANALITICA

Dunque una proiezione dell'immagine su un piano ed anche l'immagine stessa,rappresenta l'oggetto ad una scala media variabile da zona a zona. Questa scalamedia, chiamando Hm l'altezza media relativa di presa sarà uguale anche a:

13.1

che si ottiene per similitudine considerando i triangoli OCD e OC 'D '.

13.1 DEFINIZIONI E CONCETTI DI BASE

Supponiamo ora di riprendere un oggetto, il terreno, con una coppia di foto-grammi secondo la sezione schematizzata in figura 13.2.

I due fotogrammi 1 e 2 hanno in comune la zona di terreno che va dal punto L alpunto M, le due camere sono poste in posizione distinta ed a priori incognitanello spazio.

Uno stesso punto A ha dato origine al punto A' sul fotogramma 1 ed al punto A'' sulfotogramma 2; questi punti comuni sulle due immagini si chiamano punti omologhi.

La distanza fra le due camere da presa (in genere è una camera unica che riprendel'oggetto al tempo t 1 in c 1 ed al tempo t 2 in c 2) misurata rispetto ai due puntinodali del sistema ottico si chiama base di presa.

I raggi r ' ed r '' sono detti raggi omologhi (RO) e possono essere visti come raggiuscenti dal punto A o raggi proiettanti i punti A ' e A '' dai due centri di proiezionec1 e c2 verso l'intersezione degli stessi sul terreno in A.

Fig. 13.2

Ora ipotizziamo di partire dai fotogrammi 1 e 2 facendo scomparire il terreno dallanostra vista, pensiamo anche di conoscere la posizione dei punti c1 e c2 e la giaci-tura dei piani π1 e π2 e di poter proiettare ciascuna coppia di punti omologhi verso

1n--- c

Hm-------=

ππ

LA M

r' r"

b

Carta da disegnoMODELLO

12

C1

C2

A'

A"

B a s e

1

2

µ

3

CONCETTI

DI

FOTOGRAMMETRIA

ANALITICA

il terreno: è così idealmente possibile ricostruire il luogo dei punti intersezione deiraggi omologhi che chiamiamo modello.

Con le ipotesi precedenti, è possibile ricavare le coordinate dell'intersezione dellerette r1 e r2 cioè le 3 coordinate del punto A nello spazio con semplici relazioni digeometria analitica.

Sino ad alcuni anni or sono queste operazioni si eseguivano con strumenti analogicimeccanici, che permettevano di stabilire la posizione di qualunque punto A in unospazio oggetto ridotto in scala opportuna rispetto al terreno.

Abbiamo finora utilizzato esplicitamente o implicitamente alcune ipotesi: chia-riamo meglio quali sono le condizioni che ci permettono di ricostruire la forma e ledimensioni dell'oggetto:

1. Potere ricostruire la metrica della proiezione centrale: tale operazione èdetta orientamento interno (O.I.)

2. Potere ricostruire per intersezione dei raggi omologhi (il modello del ter-reno) in qualsiasi sistema di riferimento ed a scala voluta. Queste opera-zioni vengono definite orientamento esterno (O.E.).

Tali operazioni sono spesso eseguite in due passi: attraverso un'operazionedefinita di orientamento relativo (O.R.) ed una seconda definita orienta-mento assoluto (O.A.).

Lo strumento che soddisfa e risolve i punti 1. e 2. è chiamato restitutore.

In ordine cronologico i primi strumenti restitutori furono costruiti dal triestinoEdoardo Von Orel verso la fine del 1800 seguito dall'austriaco Scheimpflug nel1898. Via via nel tempo migliorò la precisione ottica e meccanica, ma il principiodi funzionamento si manteneva analogico sino all'avvento dei calcolatori elettro-nici. Gli ultimi pionieri degli strumenti analogici furono gli italiani Umberto Nistried Ermenegildo Santoni.

Dalla fine degli anni 60, con l'avvento del calcolatore elettronico compaiono iprimi stereocomparatori elettronici e poi i primi restitutori analitici: i nomi piùprestigiosi nella ricerca sono il finlandese Helava e l'italiano Giuseppe Inghilleri.Nel 1981 il finlandese Tapani Sarjakoski pone i primi concetti di fotogrammetriadigitale detta anche soft phogrammetry, le prime realizzazioni di strumenti digitalisono di qualche anno più tardi.

Con quest'ultima tecnica le operazioni sono svolte tramite l'utilizzo di immaginidigitali (o rese digitali), attraverso un calcolatore ed un paio di occhiali polarizzati ocon l'uso di uno stereoscopio.

È tuttavia estremamente riduttivo identificare la fotogrammetria digitale come latecnica che si prefigge gli scopi fotogrammetrici con il solo uso di un calcolatore edi immagini digitali, in quanto questa nuova tecnica si preannunzia foriera dinuove e impensabili applicazioni in svariate discipline della misura.

Nei cenni di fotogrammetria che faremo nel corso parleremo tuttavia solo di foto-grammetria analitica e degli strumenti restitutori analitici.

Gli strumenti analitici, strutturalmente semplici, compatti e precisi, consistononella loro essenza in due carrelli sui quali sono appoggiati i fotogrammi (diaposi-

4

CONCETTI

DI

FOTOGRAMMETRIA

ANALITICA

tive). Questi possono essere mossi in maniera indipendente e sono collegati adorgani di misura che trasmettono al calcolatore il valore di queste traslazioni.

Almeno uno di questi carrelli ha spostamenti (u,v) comandabili attraverso due servo-motori gestiti da un calcolatore. Su questi carrelli «portalastre» vengono osservati ipunti del terreno attraverso un'ottica binoculare, ciò permette di «collimare» contem-poraneamente in ciascuna immagine due punti omologhi. L'organo di collimazione ècostituito da un puntino scuro (o luminoso) di poche decine di mm per ogni oculare,l'immagine reale è messa a fuoco su entrambe le immagini fotografiche.

La fotogrammetria analitica ha permesso di compiere operazioni che quella analo-gica non consentiva, come ad esempio ricavare in modo semiautomatico piani quo-tati, sezioni, profili, consente l'utilizzo di fotogrammi fortemente inclinati, l'uso dicamere da presa con distorsioni elevate ma con curva di distorsione nota e permettedi stimare statisticamente gli errori eseguiti nelle varie fasi del processo produttivo.

13.2 LE OPERAZIONI DI ACQUISIZIONE

L'elemento essenziale per l'acquisizione delle «informazioni metriche primarie»dell'oggetto è la camera da presa, per questo la precisione del metodo dipende inprimo luogo da questo componente.

La camera deve consentire la registrazione delle informazioni metriche e permet-tere di riattingerle senza (in teoria o con minime) deformazioni. La «precisione»,il valore, della camera consiste anche nella stabilità dei parametri geometrici neltempo: considerando le forti sollecitazioni meccaniche che subisce durante ilvolo si usa rideterminare le caratteristiche metriche della camera al più ogni dueanni. Questa operazione fornisce un documento definito certificato di calibra-zione della camera.

La precisione del prodotto finale, in genere una cartografia, dipende anche dalmetodo di attuazione delle prese, dalla quota di volo, dalla velocità del velivolo (sequesto non è dotato di dispositivi anti-trascinamento), e da molti altri parametri di«acquisizione primaria». Dipende ad esempio dalle emulsioni adottate e da tutta lafase di trattamento fotografico successiva.

13.3 CARATTERISTICHE DELLE CAMERE AEREE

La prima caratteristica della camera è il suo obbiettivo: l'effetto della distorsioneradiale è corretto sino a valori residui di 3÷5 µm; della distorsione residua se ne cono-sce l'andamento (la curva di distorsione), attraverso il certificato di calibrazione.

Anche le distorsioni tangenziali e le aberrazioni cromatiche sono ridotte pratica-mente a zero grazie a particolari e complicati accoppiamenti di lenti.

Il formato usuale della camera è di 230 x 230 mm2; la camera è a fuoco fisso di 150 mmper le camere più comuni (grandangolari) o di 300 mm per le camere a campo normale.

Per scopi cartografici il terreno si trova sempre a distanza iperfocale (tutti gli oggettiripresi sono cioè a fuoco).

5

CONCETTI

DI

FOTOGRAMMETRIA

ANALITICA

Il magazzino, intercambiabile in pochi secondi, è costituito da 120÷150 m di pelli-cola (poliestere indeformabile) per permettere la presa di blocchi anche di 600 foto-grammi senza ricambi.

Per eliminare deformazioni meccaniche della pellicola, questa, all'istante dellapresa, è spianata su una piastra piana, forata e collegata ad una pompa aspirante.

Alcune camere sono dotate di un dispositivo che muove micrometricamente la pel-licola durante l'apertura dell'otturatore, in modo tale da compensare il movimentoapparente del terreno rispetto all'immagine. Questo dispositivo anti-trascinamentoè quasi necessario quando si vola a bassa quota o ad alta velocità.

Le camere aeree dispongono in mezzeria di ogni lato (camere Zeiss) od ai vertici diogni spigolo (camere Wild) delle marche fiduciali o repères, che sono aperture allaluce di dimensioni di circa un decimo di mm che all'atto dello scatto impressio-nano ciascun fotogramma con forma particolare.

Fig. 13.3

L'incrocio di queste marche o repères individua un sistema di assi (x , y ) che è ilsistema di riferimento interno del fotogramma. Le coordinate di questi quattropunti sono misurate con precisione e scritte sul certificato di calibrazione dellacamera.

L'incrocio degli assi congiungenti i repères individua, a meno di piccoli sposta-menti riportati anch'essi nel certificato di calibrazione, il punto principale dellacamera P, definito come la proiezione del punto nodale interno del corpo ottico sul

a b

1^ punto nodale

2^ punto nodale

a b c d

P Punto principalec Reperes

a b

1^ punto nodale

2^ punto nodale

a b c d

P Punto principalec Reperes

6

CONCETTI

DI

FOTOGRAMMETRIA

ANALITICA

piano dell'immagine (fig. 13.3).

In ogni camera e quindi per ogni presa, vengono fotografati anche 5 elementi che sitrovano sui bordi del fotogramma e sono:

a. un altimetro con sensibilità di 10 m ed sqm σ = ± 20÷50 m;

b. una livella sferica;

c. un contatore del numero di diapositive e del numero di strisciata;

d. la data e l'ora di volo;

e. il valore della distanza principale c .

Alcune camere hanno la possibilità di visualizzare come informazioni supplemen-tari i parametri di assetto angolare, ma questi hanno in genere scarsa precisione erichiedono strumenti ausiliari costosi per il calcolo.

13.4 IL MATERIALE FOTOGRAFICO

Il materiale fotografico può essere così schematizzato:

1. un supporto resistente, inerte e trasparente di spessore da 8 a 20 decimi dimm di policarbonato di polietilene;

2. uno strato di materiale sensibile di 5÷30 µm;

3. un piccolo strato adesivo tra i materiali 1. e 2.;

4. uno strato superficiale protettivo sopra il materiale sensibile;

5. un successivo strato «antialo» atto a eliminare riflessi nocive posto sullostrato protettivo.

La luce visibile ha lunghezza d'onda compresa tra i 400 µm e i 720 µm, il materialesensibile può coprire tutto questo spettro nonché parte delle radiazioni ultraviolettee dell'infrarosso vicino.

Possiamo così suddividere le pellicole:

a. bianco e nero (B/N) negativo (1 strato gelatinoso)

b. ortocromatico o pancromatico) (1 strato gelatinoso)

c. colore negativo (3 strati)

d. colore invertibile (3 strati)

e. infrarosso bianco e nero negativo (IR - B/N) (1 strato)

f. infrarosso falso colore (IR - FC) (3 strati)

Di solito non si utilizza direttamente (tranne che per camere terrestri) la pellicolasviluppata ma, anche per prudenza, una stampa.

Per evitare aberrazioni dovute a riproiezioni ottiche, la stampa avviene sempre «percontatto» per mezzo di un cromografo.

Nel caso che lo sviluppo ottenga un negativo, occorre per contatto utilizzare un secondonegativo, nel caso in cui lo sviluppo ottenga già un positivo, come nelle pellicole «coloreinvertibile» occorre utilizzare per contatto lo stesso tipo di pellicola invertibile.

7

CONCETTI DI FOTOGRAMMETRIA ANALITICA

Fig. 13.4 – Sensibilità allo spettro di una pellicola a colori.

Il prodotto finale di precisione della stampa è comunque una diapositiva, mentre ipositivi su carta sono utilizzati per scopi accessori. Le pellicole IR-B/N hanno unmateriale sensibile anche alla parte dello spettro sino a 0.9 µm. La stampa di questeultime avviene ovviamente su normali pellicole B/N. La sensibilità di una pellicolaalle radiazioni luminose si valuta attraverso la curva sensitometrica. In figura 13.4 èriportata la curva sensitometrica di tre strati sensibili RGB (Red Green Blue) di unapellicola a colori.

λ 1 = (0.5÷0.7) µm per il verde, λ 2 = (0.6÷0.7) µm per il rosso, λ 3 = (0.7÷0.9) µmper l'infrarosso.

Tutti gli strati sono poi in parte sensibili anche al blu λ 0 = (0.4÷0.5) µm che vieneeliminato attraverso un filtro giallo sull'obbiettivo.

Nella fase di sviluppo è possibile fare in modo che la parte sensibilizzata all'infra-rosso, normalmente invisibile, si colori di rosso, mentre gli oggetti rossi compaionoin colore verde e quelli verde in blu ed i blu in nero. La pellicola è particolarmenteutilizzata per fotointerpretazione e per indagini fitopatologiche, la vegetazioneinfatti riflette più luce infrarossa che luce verde, come siamo abituati invece adosservarla.

13.5 CAMERE DA PRESA TERRESTRI

Diamo solo alcune caratteristiche delle camere usate per la fotogrammetria deglioggetti vicini: una prima distinzione può essere fatta dividendole in camere metri-che e semimetriche. Il primo aggettivo indica che l'obbiettivo ha distorsioni trascu-rabili (ad esempio 10 µ m al massimo), il secondo indica che l'obbiettivo hadeformazioni anche maggiori ma curva di distorsione nota (calcolata di solito afuoco ).

Ci occupiamo brevemente delle prime: il formato è minore di quello delle camereaeree, i formati massimi sono 13 x 18 cm2, si usano supporti in poliestere ma anche

log S

BLU (B ) VERDE (V ) ROSSO (R )

0,4 0,5 0,6 0,7 mµ

f ∞=

8


lastre di vetro, la sensibilità delle pellicole è minore, visto che di solito non vi sonomoti relativi tra l'oggetto e la camera.

Le camere sono a fuoco fisso, ma questo può essere eventualmente variato con l'usodi anelli calibrati; anche l'obbiettivo può essere intercambiato ma, come detto, èpraticamente esente da distorsioni.

Queste camere possono essere montate su cavalletto o su un teodolite (si chiamanocosì foto-teodoliti).

Il rapporto tra la distanza dell'oggetto e la distanza focale della camera è ridotto(non siamo più sempre nel caso iperfocale), ciò impone di fare in modo che tutte leparti dell'oggetto siano sufficientemente a fuoco: la profondità di campo si regola inquesto caso attraverso l'apertura del diaframma.

13.6 LA PRESA FOTOGRAMMETRICA E IL PROGETTO DEL VOLO

In figura 13.5 riportiamo lo schema di ripresa aerea: l'aereo vola ad un'altezza rela-tiva media dal suolo H e scatta due fotogrammi: all'epoca t1 la camera si trova inO1 ed all'epoca t2 la camera apre l'otturatore in O2.

Fig. 13.5 –Definizioni di base.

=ϕ ωBECCHEGGIO

H

a b

c d

L

R1= 0,6L

Asse xBASE

bO1 O2

230 mm

c 150 mm

= ROLLIO

Asse y

i

Rt= 0,2L

K= SBANDAMENTO

9


Fig. 13.6 – Copertura per strisciate parallele di un territorio da cartografare.

Consideriamo un sistema di assi: fissiamo un asse locale X nella direzione della basedi presa, cioè nella direzione dei centri di presa, l'asse Z sia diretto secondo la verti-cale nel punto O1 (o, ad esempio, secondo la normale al piano d'appoggio del foto-gramma 1 della camera), l'asse Y sia ortogonale ai due precedenti ed i tre assiformino un sistema destrorso.

Definiamo rotazione ω o ro l l i o la rotazione attorno all'asse X, rotazione ϕ o bec-cheggio quella attorno all'asse Y ed infine sbandamento κ la rotazione attornoall'asse Z .

Supponiamo ora di dover eseguire la cartografia di un territorio comunale che haun perimetro come quello indicato in figura 13.7 e che il territorio sia pianeggiante.Per poter eseguire una cartografia in scala 1:2000 è conveniente utilizzare una scalamedia dei fotogrammi 1:8000; da questo valore, considerando una distanza princi-pale c=150 mm si ricava una quota relativa di volo di 1200 m .

Decidiamo di coprire il territorio con una serie di fotogrammi ripresi lungo la dire-zione Est Ovest e viceversa: una tale serie di fotogrammi viene definita strisciata.

Il volo avviene di solito nelle ore a cavallo del mezzogiorno solare per evitare cheombre molto lunghe danneggino la comprensione dei particolari al suolo. Sce-gliamo dunque la direzione delle strisciate, ad esempio la direzione E/O, perché ilpilota non sia infastidito dal sole verso sud durante il volo.

Per ricoprire uniformemente tutto il territorio, per poterlo «restituire» occorre cheogni punto del terreno sia ripreso almeno da due fotogrammi.

Per fare ciò e diminuire al massimo il numero dei fotogrammi necessari, è teorica-mente sufficiente che il ricoprimento di un fotogramma col successivo della stri-sciata sia di 0.5 L, costruendo così delle «tessere», dei modelli, di dimensione(L x 0.5 L) con i quali si ricopre tutta l'area interessata.

In realtà le cose non stanno così: prima di tutto il terreno non è esattamente pia-neggiante, le prese poi non sono mai esattamente nadirali.

RI

Rt1

2

3

4

5

0.15 m 8000⋅=( )

10


Se cioè, per l'accidentalità del terreno o l'inclinazione della camera, una striscia diterreno fosse ripresa solo da un fotogramma, di questa zona non si riuscirebbe maia costruirne la cartografia.

Prudenza vuole dunque che, in terreni pianeggianti, il ricoprimento longitudinaleRl fra i fotogrammi sia circa del 60%, cioè che si abbia un ricoprimento fra imodelli successivi di una strisciata di almeno il 10%.

Anche fra le successive strisciate vale questa regola di prudenza (vedasi la fig. 13.6per le strisciate 2 e 3) ed anzi il valore aumenta al 20% nei terreni pianeggianti.

Questo valore maggiore è causato dallo sbandamento dell'aereo e dalla difficoltà delpilota e del navigatore a trovare correttamente una seconda direzione di volo paral-lela a quella seguita nella strisciata precedente.

Con questi dati possiamo ora ricavare progettare l'interasse delle strisciate i e labase di presa b :

13.2

13.3

La scala media del fotogramma è espressa dalla 13.1. Nell'esempio proposto in precedenza:

Seguendo questa strada si può determinare il numero teorico minimo di foto-grammi necessari a ricoprire tutto il territorio. Si avrà:

13.4

Altri parametri di progetto del volo

Un parametro di progetto importantissimo è la scala media dei fotogrammi (e, datala camera, la quota relativa di volo) in funzione della scala e dello scopo della carta.

Non è pensabile ad esempio di ottenere una cartografia (di precisione standard) inscala 1:2000 utilizzando voli ad alta quota (6000 m): esiste un preciso rapporto tralo sqm delle coordinate ricavabili fotogrammetricamente e la quota relativa di volo.

La precisione altimetrica dipende direttamente dal rapporto base di presa/distanzadall'oggetto, la base di presa dipende poi in genere dal ricoprimento longitudinaleche si desidera.

Per prese aeree, con valori standard Rl =0.6, lo sqm altimetrico che si raggiungecon camere grandangolari assume i valori:

13.5

variabili a seconda della qualità della presa e delle procedure di orientamento cheprecedono la restituzione.

i 1 Rt–( )L=

b 1 Rl–( )L=

n Hc---- 1200 0.15⁄ 8000= = =

L 0.23n 1800m,== i 1400m,= b 720m=

n S1 Rl–( ) 1 Rt–( )L2

-------------------------------------------=

σ2 0.4 2÷( )H 10000⁄=

11


La tabella 13.1 propone i valori standard della scala media dei fotogrammi (1/n ) edella quota relativa di volo H in funzione della scala della carta.

Si noti che il rapporto «scala carta/scala fotogramma» varia dai valori 8:1 ai valori0.8:1 al diminuire della scala della carta; ciò è fondamentalmente dovuto al fattoche nelle piccole scale è fondamentale poter distinguere ad esempio vari tipi di viedi comunicazione strade, ferrovie, canali, ecc. Tali oggetti sono riportati sulla cartain forma simbolica date le loro dimensioni ma hanno una notevole importanza.All'aumentare della quota inoltre, a causa della foschia, risulta più difficoltosal'interpretazione di ogni particolare del terreno.

Le condizioni meteorologiche

Le condizioni ideali di presa sono tali per cui normalmente in un anno in Italia nonvi sono più di 30 giornate adatte agli scopi di presa fotogrammetrica. Si devonoverificare infatti le condizioni:

– Assenza di nubi sotto e sopra la quota di volo (per poter osservare ogniparte a terra o per la presenza di forti ombre).

– Assenza di foschia: per migliorare la qualità dell'immagine e per poter rico-noscere bene i particolari a terra. Per questi motivi si usano spesso partico-lari filtri gialli che però riducono l'energia luminosa in entrata, richiedendoun maggior tempo di esposizione.

– Assenza di vento forte: per evitare forti angoli di deriva che difficilmentepossono essere corretti e che hanno spesso andamento casuale.

– Inclinazione dei raggi solari maggiore di 30°, onde evitare nette e lungheombre che non permettono di riconoscere particolari a terra.

– Le condizioni vegetative infine o di copertura di nevi devono essere tali dapoter osservare correttamente il terreno, recinzioni, bordi di strade, ecc.

Tab.13.1

n=1 – Scala carta m=1 – Scala fotogramma H (c=150 mm)

500 3.000 – 4.000 500 m (900 m CON C=300 mm)

1.000 5.000 – 6.000 800 m

2.000 7.500 – 9.000 1.200 m

5.000 12.000 – 18.000 2.200 m

10.000 18.000 – 25.000 3500 m

25.000 25.000 – 40.000 5.000 m

50.000 40.000 – 50.000 6.000 m

12


Per poter eseguire questi voli, il velivolo utilizzato deve avere particolari caratte-ristiche, principalmente la stabilità; per questo motivo si adattano ad esempio ijet ma questi, per l'elevata velocità di stallo, sono più usati per voli ad altaquota, dove il trascinamento dell'immagine incide in quantità minore.

Normalmente si utilizzano i bimotori, più stabili dei monomotori (che tra l'altrodevono prevedere una correzione di deriva a causa del momento angolare di rota-zione dell'elica), che hanno una velocità minima operativa attorno ai 200 km/h.

L'aereo deve essere pluriposto per consentire la salita di pilota, navigatore efotografo ed avere un posto ausiliario occupato dalla camera da presa, deve per-mettere l'alloggiamento di accessori ed almeno di un magazzino di ricambio.

L'aereo deve possedere buona autonomia, superiore a 5 ore di volo, deve con-sentire quote operative di volo anche di 5000-6000 m: in tal caso un aereopressurizzato è più comodo per l'equipaggio che non deve utilizzare le scomodemaschere ad ossigeno.

L'aereo deve essere dotato di tutti i dispositivi telefonici di dialogo tra pilota enavigatore e può disporre anche di dispositivi ausiliari come ad esempio ricevi-tori GPS navigazionali o geodetici; nel primo caso questi strumenti permettonodi eseguire il volo secondo quanto progettato in ufficio, nel secondo consen-tono di determinare le coordinate dei punti di presa da inserire in una proce-dura di triangolazione aerea per arrivare infine a determinare i parametri diorientamento esterno di ciascun fotogramma.

13.7 L'ORIENTAMENTO INTERNO (OI)

Diremo ora in cosa consiste, ed in seguito perché e come si realizza.

La metrica che governa la presa è quella della proiezione centrale, dunque eseguirel'orientamento interno consiste, dopo lo sviluppo della diapositiva, nel conosceree/o determinare i parametri che sulla diapositiva idealizzano e ricostruiscono lametrica della proiezione centrale; questi sono in sintesi le coordinate del puntonodale esterno in un sistema di assi interni alla camera (x,y,z).

Nel caso di aberrazioni non trascurabili occorre conoscere questi valori per mezzodi una curva di distorsione.

13


Fig. 13.7

La figura 13.7 schematizza la camera da presa. Per costruzione, l'asse del sistemaottico che passa per O, punto nodale esterno della camera da presa, dovrebbe esserenormale al piano della camera π ed ancora coincidere con l'intersezione con gli assix ed y individuati dai repères R1R3 ed R4R2. Anche se ciò non avvenisse, le coordi-nate di questi punti devono permettere la conoscenza del sistema (x y ) e la posi-zione del punto P.

Fig. 13.8a – Misura al mono-comparatore delle coordinate di un punto.

Individuati gli assi x ed y ed un asse z normale a π, con le ipotesi (di taratura) cheabbiamo accennato definire l'orientamento interno equivale a definire il punto:

13.6

O

R1

R4

R2

R3

P

yz

x

π

c

v (A)

u (A)

v y

x

R2

R3

R4

R1

A

L

u

x 0( ) x P( ) 0= =

y 0( ) y P( ) 0= =

z 0( ) c–=

14


e, per ogni punto A, poter misurare le coordinate x (A ), y (A ) in questo sistema;tutto ciò è possibile ad esempio con uno strumento che si chiama mono-compara-tore, il cui funzionamento schematico è illustrato in figura 13.8.

In sintesi lo strumento è un coordinatometro di precisione, consente cioè di misu-rare con precisione le coordinate «carrello» (u,v ) di un punto A collimato attra-verso un sistema di collimazione L . Esistono due guide rigorosamente ortogonalisulle quali (o rispetto alle quali) è possibile misurare la posizione del punto

. La diapositiva è in genere appoggiata in un modo casuale rispetto aqueste guide, ne consegue che occorre capire come risalire dalle coordinate carrello(u,v ) alle coordinate lastra (x,y ).

La risposta è semplice: il modello fisico geometrico che lega i due sistemi è la roto-traslazione con doppia variazione di scala:

Nel moddeformadella pel

I parametenere co

Le misurtotale si dei minicertificatquesta e

Dall'abbcomparatzioni (u(x2 , y2) d

Il meccasimile adnato, cosnell'ottic

Con la vtemente mensionvisione ssinistra il'impresszio tridim

A u v,( )≡

13.7x

y λx

λ y α αsincos

α αcossin– u

v x∆

y∆ +=

15

ello descritto nella 13.7 si considerano due fattori di scala perché il film si in genere in maniera maggiore e diversa nella direzione del trascinamentolicola.

tri da determinare sono dunque 5: oppure 6 se si desideranto di una possibile non ortogonalità degli assi u e v o degli assi x ed y.

e a disposizione sono quelle che possono farsi sulle marche . Inhanno perciò 8 misure e 5 (o 6) incognite: il problema si risolve con l'usomi quadrati. Le coordinate dei repères sono note con elevata precisione dalo di calibrazione della camera. La distanza principale è poi riportata susu ogni fotogramma.

inamento di due mono-comparatori si ottiene uno strumento detto stereo-ore, su due carrelli sono appoggiati i fotogrammi 1 e 2 mobili nelle dire-

1, v 1) (u2 , v 2 ) e consentono di misurare le coordinate (x1, y 1) di A ' eel suo omologo A ''.

nismo di collimazione indicato schematicamente in figura è una croce un reticolo del teodolite, in realtà l'organo di puntamento è, come accen-tituito da un puntino di minuscole dimensioni (ad esempio 10 µm) postoa, in prossimità dei due oculari ed è detto marca.

isione binoculare, se i due fotogrammi non sono stati ripresi con prese for-inclinate fra loro (per riprese aeree non lo sono) si può così osservare tridi-almente tutto un intorno del punto A . Si innesca cioè il meccanismo dellatereoscopica. Grazie al doppio sistema di collimazione, quando la marca dindica un punto A ' e quella di destra il suo omologo A", l'osservatore haione di vedere fuse entrambe le marche in un unico punto posto nello spa-ensionale osservato.

λx λ y α x y∆,∆,,,

R1…R4


Fig. 13.8b – Schema di uno stereo comparatore.

13.8 LA VISIONE STEREOSCOPICA

Il cervello umano elabora in millisecondi le immagini che contemporaneamentegiungono dai due occhi e riesce a valutarne la distanza e le dimensioni plastichegrazie al fatto che ciascun punto dell'oggetto giunge ai due occhi sotto differentiangoli, in particolare, per oggetti distanti più di 4-5 volte la distanza interpupil-lare (variabile da 55 a 75 mm) si riesce a percepire la terza dimensione tanto èpiù grande l'angolo γ (detto parallasse angolare) che sottende da P i due centripupillari (fig. 13.9).

Al di là di una certa distanza, al di sotto di un valore di γ attorno a 5 mgon,l'oggetto appare piatto.

Fig. 13.9 – Visione stereoscopica dell'uomo.

v1

AI

AII

v2

u1

u2

P

b= 65mm

yγ

~

16


In particolare si può scrivere:

13.8

la precisione della profondità di campo dy è funzione del quadrato della distanzadel punto e della sensibilità parallattica angolare dγ :

13.9

In particolare per la distanza della visione distinta di 250 mm si ha:

.

Se con percorsi ottici portiamo separatamente all'occhio sinistro una porzione diimmagine ripresa dal punto di presa C1 (fig. 13.2) e all'occhio destro la porzioneomologa ripresa dalla camera nella posizione C 2 se le due zone omologhe sonoriprese da fotogrammi pressoché nadirali, dopo piccole traslazioni dei fotogrammi,il cervello fonde entrambe le immagini provenienti dai due occhi e percepisce la tri-dimensionalità dell'oggetto proprio come se i due occhi si trovassero tra loro alladistanza della base b .

Un semplice strumento che consente questa visione separata e ingrandita è lo stere-oscopio. La parallasse angolare è molto più accentuata nella visione di immaginiaeree rispetto alla visione ad occhio nudo. Si ha infatti (fig. 13.5) per ricoprimentilongitudinali del 60%:

Si comprende che questa visione esalta in modo non naturale la profonditàdell'oggetto e, quando questo è il terreno, permette di stimarne con maggior preci-sione l'andamento altimetrico.

Ciò è ancora più necessario in fase di restituzione quando si desidera descriverequesto andamento attraverso un disegno a curve di livello.

Anche se parecchi test di misura hanno dato risultati di precisione eccellenti ancherinunciando all'aiuto della visione stereoscopica, si preferisce utilizzare la visionestereoscopica per questi altri motivi:

– l'occhio umano ed il cervello è meno «annoiato» durante l'osservazione diun modello plastico con conseguente riduzione di gravi errori di misura;

– l'osservazione di piccoli particolari sui quali l'immagine sfuma con diversicontrasti il colore è più precisa se fatta in stereoscopia;

– l’occhio, (il cervello in realtà), in tempo reale esegue una sorta di con-fronto-correlazione dei toni di colore, tale complessa procedura oggigiornoè eseguita dai restitutori digitali ma si perde completamente in monoscopiacon l'uso di mono-comparatori analitici.

γ by-- ;≅ dγ

dy------

by2----–=

dy y2

b---- dγ–=

γ 65250--------- 0.26=≅

γ bH---- 1 0.6–( )L

H------------------------

0.4L0.150.23----------

L

------------------- 0.65≅= =≅

17


La collimazione stereoscopica

L'immagine stereoscopica che si osserva quando contemporaneamente dai dueocchi arrivano zone omologhe, non è altro che la visione di quello che avevamodefinito modello: luogo dei punti intersezione dei raggi omologhi. Questo modellonon è dunque qualcosa di ideale ma è ben visibile.

Osservare un oggetto stereoscopicamente è poca cosa rispetto agli scopi che cisiamo prefissi, occorre per lo meno eseguire due altre operazioni: indicare un puntopreciso all'interno del modello e, scelti due punti, misurare fra questi distanza, disli-vello ecc…

Questa seconda operazione può essere eseguita ancora meglio fissando un sistemadi coordinate (E,N ) cartografiche per la planimetria ed un sistema ortometrico (Q )per le quote e misurando queste tre coordinate per qualsiasi punto collimato. Inrealtà il sistema di riferimento «proprio» alla fotogrammetria è un sistema carte-siano tridimensionale.

Ai fini metrici «indicare» un punto preciso significa «collimare» e misurare le coor-dinate del punto. La prima operazione è simile a quella che si esegue con il reticolodi un teodolite ma in questo caso il punto da collimare è stato impresso su dueimmagini distinte. Per risolvere il problema è necessario che in ciascun percorsoottico che porta alle due immagini sia visibile al posto del tradizionale reticolo, unpuntino o marca.

Questi due puntini, neri o luminosi (vedi fig. 13.8) possono essere inseriti in prossimitàdegli oculari o vicino alle immagini, in ogni caso devono essere a fuoco con queste.

Quando la collimazione è eseguita con una certa precisione, quando cioè le duemarche sono in prossimità dei due punti omologhi P ' e P '', il cervello, che giàfonde l'immagine sottostante in un unico modello plastico, tende a fondere anchel'immagine delle due marche in un'unica marca, che tridimensionalmente è situatapoco sopra o poco sotto il particolare collimato P.

Il punto P si ritiene collimato quando in entrambe le immagini le marche sisovrappongono con esattezza al particolare. In questo caso avremo la sensazione cheun'unica marca sia appoggiata al particolare collimato.

Collimato il particolare del terreno rimane la misura delle coordinate.

Questa operazione (ed il tracciamento stesso della carta) avveniva un tempo inmaniera diretta sul modello nei restitutori analogici in quanto l'intersezione deiraggi omologhi era materializzata dall'intersezione di due bacchette di acciaio odalla fusione di due immagini complementari.

Negli strumenti analitici non occorre ricostruire meccanicamente il modello perdeterminare le coordinate, queste sono determinabili analiticamente in funzionedei punti collimati o meglio viceversa, in funzione delle coordinate di un punto P,sono ricavabili le coordinate P ' e P '' dei punti omologhi di P (se esistono) su cia-scun fotogramma.

18


Consideriamo una generica trasformazione di rototraslazione nello spazio:

il è il fsistemdai co

cioè:

ma frazione mentoordine

13.10

x

y

z

λR

E

N

Q E0

N0

Q0

–=

13.9 MATRICE DI ROTAZIONE NELLO SPAZIO

19

attore di scala, R è la matrice di rotazione tra il sistema (x,y,z ), ad esempio ila interno, ed il sistema (E,N,Q ), ad esempio il sistema esterno. È formataseni direttori:

13.11

13.12

questi 9 elementi solo 3 sono indipendenti potendosi esprimere R in fun-degli angoli di rotazione cardanici , rollio, beccheggio e sbanda-. Per ricavare questi nove valori partiamo da un sistema (x , y, z ) e diamo in le rotazioni (tab. 13.2).

R E x•cos[ ] r ji[ ] i,j 1…3== =

R

Excos

Nxcos

Qxcos

Eycos

Nycos

Qycos

Ezcos

Nzcos

Qzcos

f Ω,Φ,K( )= =

Ω,Φ,K( )

Ω,Φ,K


Per convenzione assumiamo positive le rotazioni antiorarie K da x verso x '; Φ da x 'verso x"; Ω da y ' verso y".

Usiamo anche la convenzione di una terna di assi destrorsa secondo la regola delletre dita della mano destra: le rotazioni vanno perciò osservate dalla direzione con-traria dell'asse di rotazione.

La rotazione K attorno a z produce la trasformazione:

Tab.13.2 – Effetti delle rotazioni

ASSE DI ROTAZIONE PIANO CHE RUOTA ROTAZIONE NOME

z x' y' K Sbandamento

y' x x' Φ Beccheggio

x" y'z' Ω Rollio

x"//E y"//N; z'//Q

yy'

x'

x

z

+K

+K

x '

y '

z ' Kcos

Ksin–

0

Ksin

Kcos

0

0

0

1 x

y

z

R K

x

y

z

==

z' z=z'

x'

x"

y'

+Φ

+Φ

20


La rotazione Φ attorno a y ' è positiva da x ' verso x '' ma, secondo la convenzionedegli assi stabilita è osservata da y ' come una rotazione oraria cioè:

La rotazione Ω da y ' a y" è vista da x" come rotazione antioraria. Si ha cioè:

con (x'",y'",z'") paralleli e coincidenti con (E,N,Q).In definitiva possiamoscrivere:

13.13

x ''

y ''

z '' Φcos

0

Φsin

0

1

0

Φsin–

0

Φcos x '

y '

z '

R Φ

x '

y '

z '

==

+Ω

+Ω

z"z"'

y"'

y'=y"

x"=x"'

x '''

y '''

z ''' 1

0

0

0

Ωcos

Ωsin–

0

Ωsin

Ωcos x ''

y ''

z ''

R Ω

x ''

y ''

z ''

==

E

N

Q

R Ω R Φ R K

x

y

z

R

x

y

z

= =

13.14aRΩ RΦ RK

K Φcoscos

Ω K Ω Φ Kcossinsin+sincos

Ω K Ω Φ Kcossincos–sinsin

Φ Ksincos–

Ω K Ω Φ Ksinsinsin–sincos

Ω K Ω Φ Ksinsincos+cossin

Φsin

Ω Φcossin–

Φ Ωcoscos

=

Questa non è l'unica matrice di rotazione che si può ricavare in funzione dei treangoli cardanici Ω ,Φ,K ma cambia cambiando le convenzioni sulle rotazioni posi-tive od invertendo l'ordine delle rotazioni. Ad esempio per R=RK RΦ RΩ si ha:

P

(

13.14bRKΦΩ

K Φcoscos

K Φcossin

Φsin–

K Φ Ω K Ωcossin–sinsincos

K Φ Ω K Ωsincos–cossinsin

Φ Ωsincos

K Φ Ω K Ωsinsin+cossincos

K Φ Ω K Ωsincos–cossinsin

Φ Ωcoscos

=

21

er le proprietà delle matrici di rotazione possiamo scrivere:

per brevità non sono state messe in evidenza le componenti di x,x ',x",x '").

x RKT x ';= x ' R Φ

T x '';= x '' RΩT x ''' R Ω

T E,N,Q( )T==


Si può scrivere:

cioè:

Si può verificare che:

In seguito useremo le convenzioni della matrice 13.14a .

La linearizzazione delle equazioni di rotazione nello spazio

Per risolvere un sistema trascendente come le equazioni 13.10 occorre partire primadalla sua linearizzazione e, per prima cosa si vedrà come si può linearizzare unaqualsiasi matrice R nelle incognite Ω,Φ,K .

Invertendo le 13.10 si ha:

13.17

dove abbiamo definito m =1/λ ; si definisce ancora:

Poniamo di conoscere la scala m a meno di un infinitesimo ε e la matrice di rota-zione U a meno di infinitesimi dU, cioè:

La matrie poniam

La matri

x RKT R Φ

T RΩT E,N,Q( )T=

R Ω Φ K1– R

KT R Φ

T RΩT=

R Ω Φ K1– R KΦ Ω

T=

R Ω Φ K

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

mR 1–

x

y

z

=

R 1– RT U= =

13.18mm0------ 1 ε+( )=

13.19U U I dU+( )=

ce dU dipenderà dalle quantità dΩ , dΦ, dK . Prendiamo in esame la 13.14bo:

13.20

dΩ( )cos dΦ( )cos dK( )cos 1= = =

dΩ( ) dΩ ; dΦ( ) dΦ ; dK( ) dK=sin=sin=sin

dΩ dΩ⋅ dα dβ⋅ 0 per α ,β Ω ,Φ,K== =

22

ce (I+dU) assume la forma:

13.21I dU+

1

dK

dΦ

dK–

1

dΩ–

dΦdΩ1

=


Questa matrice non è ortonormale: il determinante differisce dall'unità di infinite-simi del secondo ordine, di quantità che abbiamo ammesso di poter trascurare.Ammesso di conseguenza che è facile calcolarne l'inversa trascu-rando ancora i termini differenziali del secondo ordine .

Le 13.

Svilup

Racco

Defini

le quagnite lineari

Dopoaggiorprima

det I dU+( ) 1≅dα dβ⋅

13.22I dU+( ) 1–

1

dK–

dΦ

dK

1

dΩ–

dΦ–

dΩ1

I dU–( )T I dR+( )= = =

17 divengono:

pando e trascurando il termine :

gliendo il termine si ha:

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

1 ε+( )m0 U I dU+( )x

y

z

=

ε dU⋅

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

m0U

x

y

z

m0UdU

x

y

z

m0ε U

x

y

z

+ +=

m0U

13.23a

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

m0U I ε+( )x

y

z

dU

x

y

z

+

=

23

amo:

13.23b

ntità a sinistra sono valori noti mentre a destra compaiono le solo sette inco-. In queste incognite le equazioni sono state rese ora

.

aver ricavato questi quattro parametri si procede per iterazioni successivenando U ed il fattore di scala m attraverso le 13.18 e 13.19 e ponendo alla iterazione (indichiamo con l'apice ' questa iterazione):

13.24

u

v

w

m0U

x

y

z

=

E

N

Q

I ε+( )u

v

w

dU

x

y

z E0

N0

Q0

+ +=

ε dΩ dΦ dK E0 N0 Q0,,,,,,

m '0 m;= U '˜ U=


13.10 EQUAZIONI DI COLLINEARITÀ NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO INTERNO

Fig. 13.10

Osserviamo la figura 13.10, in particolare il sistema di riferimento esterno (E,N,Q )ed il sistema di riferimento interno (x,y,z ) di un fotogramma.1

Il punto P del terreno ha dato origine al punto sulla negativa, immagine specu-lare del terreno; per comodità di trattazione considereremo di qui in poi le coordi-nate (x,y ) misurate invece sulla diapositiva: nel sistema interno: allora un punto P 'avrà coordinate (x,y, - c ).

Consideriamo ora una coppia di diapositive (fig. 13.11). Le coordinate dei punti dipresa O1 e O2 sono:

;

e le coordinate di P ' e P" sono:

;

Ciascun fotogramma ha assetto angolare rispetto al sistema esterno individuatodagli angoli (Ω1, Φ1, K1) e (Ω2, Φ2, K2) rispettivamente.

1 Da qui in poi faremo l'ipotesi che il sistema ( E,N,Q ) sia un sistema cartesiano ortogonale, ciò èvalido ragionevolmente solo all'interno di una coppia di fotogrammi. È possibile tuttavia tenerconto delle opportune correzioni.

Q

N

P'

r'

E

zy

x

c

P'

P'

_

Diapositiva

Negativa (immagine speculare)

c

P '

O1 E1 N1 Q1,,( )≡ O2 E2 N2 Q2,,( )≡

P ' E ' N ' Q ',,( )≡ P '' E '' N '' Q '',,( )≡

24


Chiamiamo con R e S le matrici di rotazione (ricavate da questi angoli di assetto)che permettono di trasformare le coordinate (E,N,Q ) nelle coordinate (x,y,z ). Leequazioni della retta r ' nel sistema esterno (E,N,Q ) sono:

e ne

Le cx (Py (Pvia.

13.25a

13.25b

Ep E1–Qp Q1–-------------------

E ' E1–Q ' Q1–------------------ ; Ep E1 Qp Q1–( )

E ' E1–Q ' Q1–------------------+==

Np N1–Qp Q1–-------------------

N ' N1–Q ' Q1–------------------- ; Np N1 Qp Q1–( )

N ' N1–Q ' Q1–-------------------+==

l sistema interno (x,y,z ):

13.26x P( ) 0–x P '( ) 0–--------------------- y P( ) 0–

y P '( ) 0–--------------------- z P( ) 0–

c–-------------------= =

Fig. 13.11

ovvero:

13.27

13.28

BASEO1O2

Q

E

Ep

r'r"

N

π πc1 2

P

Qp

Np

P'P"_

x P '( ) c x P( )z P( )-----------–=

y P '( ) c y P( )z P( )----------–=

25

oordinate (x,y,z ) di P possono essere ricavate dalla 13.10 (λ =1); in particolare) sarà la somma dei prodotti della prima riga di R per (E-E 0), (N-N 0), (Q-Q 0);) sarà la somma dei prodotti della seconda riga di R per gli stessi termini e così Si ottiene, definendo per brevità x (P ')=x ', y (P ')=y '.


In qdel ple coindi

Notfotonatedefin

Conequa

dove

Attrangoequasono

Per misudi m

Per gnitsent

Può

cioèfacenumversocioèciò pnate

Que

13.29

13.30

ueste equazioni troviamo a sinistra una quantità misurabile: le coordinate (x ' , y ' )unto P ' nel sistema interno; a destra troviamo le coordinate del punto di presa,ordinate del punto osservato a terra e gli angoli di assetto (Ω1, Φ1, K1) espressirettamente dai termini .

e le coordinate di un certo numero di punti a terra e misurate le «coordinategramma» (x y z ) di questi punti, è possibile ricavare le sei incognite: coordi- del punto di presa ed assetto (Ω , Φ, K ) della camera. Questa procedura vieneita «space resection» o «vertice di piramide».

sideriamo ora anche il fotogramma di destra: anche per esso è possibile scriverezioni analoghe alle 13.29 e 13.30 cioè:

13.31

13.32

x' c –r1

1 Ep E1–( ) r12 Np N1–( ) r1

3 Qp Q1–( )+ +

r31 Ep E1–( ) r3

2 Np N1–( ) r33 Qp Q1–( )+ +

-------------------------------------------------------------------------------------------------=

y ' c –r2

1 Ep E1–( ) r22 Np N1–( ) r2

3 Qp Q1–( )+ +

r31 Ep E1–( ) r3

2 Np N1–( ) r33 Qp Q1–( )+ +

-------------------------------------------------------------------------------------------------=

r ij

x'' c –s1 Ep E2–( ) s1

2 Np N2–( ) s13 Qp Q2–( )+ +

s3 Ep E2–( ) s32 Np N2–( ) s3

3 Qp Q2–( )+ +-----------------------------------------------------------------------------------------------=

y'' c –s2 Ep E2–( ) s2

2 Np N2–( ) s23 Qp Q2–( )+ +

s3 Ep E2–( ) s32 Np N2–( ) s3

3 Qp Q2–( )+ +-----------------------------------------------------------------------------------------------=

26

sono i termini della matrice S già definita.

averso le equazioni 13.29…13.32 si può pensare di ricavare le incognite: assettolare e coordinate dei punti di presa per ciascun fotogramma. Vediamo quantezioni del tipo 13.29÷13.32 possiamo scrivere per ogni punto collimato e quante le incognite coinvolte.

ogni punto osservato su due fotogrammi possiamo scrivere 4 equazioni nellere (x ', y ') e (x", y"): chiamando p il numero dei punti abbiamo 4p equazioniisura.

ogni coppia di fotogrammi, cioè per ogni modello, abbiamo sempre 12 inco-e: (E1,N1,Q1), (Ω1, Φ1, K1), (E2,N2,Q2), (Ω2, Φ2, K2); inoltre sono pre-i le tre coordinate incognite (E,N,Q )P di ogni punto P collimato.

sembrare che si risolva il problema non appena:

13.33

per un numero di punti . In realtà scrivendo queste 4.p equazioni endo un'analisi del rango della matrice si troverebbe sempre (anche per unero elevato di p ) una deficienza di rango rd= 7 che si può sanare solo attra- la conoscenza di coordinate (Ep,Np,Qp) di punti nel sistema esterno. Deve

essere fissato il datum, attraverso la conoscenza di sette parametri indipendenti:uò essere fatto misurando le coordinate planimetriche di due punti e le coordi- altimetriche di tre punti non allineati.

sti sette parametri noti, inseriti nelle 13.29÷13.32 permettono di risolvere il problema.

s ij

12 3p+ 4p≤

p 12≥


Quasi sempre, per migliorare precisione ed affidabilità dei risultati, si misurano aterra le coordinate dei punti in numero superiore di quello strettamente necessario(l'operazione si chiama appoggio a terra o anche appoggio). Ciò permette di risol-vere ai minimi quadrati il sistema di equazioni 13.29 ÷13.32 ricavando i dodiciparametri, coordinate del punto di presa e assetto angolare del modello definitiparametri di orientamento esterno; l'operazione stessa è definita «orientamentoesterno». Una volta ricavati questi parametri è possibile invertire le 13.29÷13.322 e,date le coordinate (x ', y ') e (x", y") ricavare le coordinate (E,N,Q ) di qualunquepunto all'interno del modello.

13.11 L'ORIENTAMENTO ESTERNO

Eseguire l'orientamento esterno significa ricavare 12 parametri per ogni modello:queste dodici incognite possono essere ricavate attraverso l'appoggio a terra; note lecoordinate terreno di alcuni punti, le 13.29÷13.32 si linearizzano. Le equazioni dicollinearità si risolvono poi ai minimi quadrati con le solite procedure. È possibiletuttavia spezzare il problema in due parti, cioè ricavando prima 5 incognite indipen-denti dal datum ed in seguito le altre sette che dipendono solo dal datum.

La prima operazione è chiamata orientamento relativo, la seconda orientamentoassoluto.

Per ricavare 5 incognite indipendenti dal datum in un problema di per se stesso di12 incognite, la soluzione seguita è quella di fissare arbitrariamente il datum cioè difissare tutti e solo sette parametri che definiscono e dipendono dal sistema di riferi-mento che si desidera fissare. Questi sette parametri possono essere visti come i seigradi di libertà di un corpo rigido (una terra cartesiana ortogonale) nello spazio(X0,Y0,Z0,Ω , Φ, K) più un fattore di scala λ.Sono questi i parametri che permettono di passare da questo riferimento arbitrario(X,Y,Z ) al sistema esterno (E,N,Q ) per mezzo di una rototraslazione con varia-zione di scala.

Vi sono tradizionalmente due modi per fissare il datum, questi modi che permet-tono di ricavare le rimanenti cinque incognite indipendenti vengono definiti«orientamento relativo asimmetrico» ed «orientamento relativo simmetrico». Ilsistema di riferimento che si fissa, e si ipotizza noto a priori, ha assi indicati conven-zionalmente con (X,Y,Z ).

13.12 L'ORIENTAMENTO RELATIVO

Eseguire l'orientamento relativo significa geometricamente far si che il modello,luogo dei punti intersezione dei raggi omologhi, possa formarsi.

Questa intersezione avviene se i raggi r ' e r" (fig. 13.11) non sono sghembi.

2 Si vedano le 13.15 e si esprimano (E'-E1), (N'-N1), (q'- q1) in funzione di (x,y,z ) e di R -1.

27


Se trasliamo rigidamente il piano π2 rispetto a π1 lungo la linea di base O1O2 otter-remmo un «modello» del terreno non più in scala 1:1 con il terreno ma in scala λdefinita dal rapporto (O'1O'2)/(O1O2) tra la «base del modello» e la base di presa.

Intuitivamente eseguire l'orientamento relativo consiste dunque nell'orientare ilpiano π2 rispetto al piano π1 nella loro stessa posizione relativa che avevano almomento della presa in modo tale che per qualsiasi coppia di punti omologhi P ' eP" le rette r ' ed r" non siano sghembe (fig. 13.11). Vedremo di seguito che questacondizione, scritta per almeno 5 coppie di punti distinti permetterà di risolvere ilproblema in termini analitici. La condizione è detta di complanarità in quantoesprime il fatto che le rette r ' ed r" e la base O1O2 devono giacere nello stessopiano.

13.13 L'ORIENTAMENTO RELATIVO ASIMMETRICO (ORA)

Prima di giungere alle equazioni dell'orientamento relativo (l'OR) vediamo qualisono le due modalità convenzionali con cui si fissa il datum che sono dette orienta-mento relativo asimmetrico e orientamento relativo simmetrico. Questi aggettivi siriferiscono all'assetto angolare dei piani π1 e π2 e ricordano le procedure che si ese-guivano nei restitutori analogici.

Nell'OR simmetrico di realizza l'intersezione dei raggi omologhi attraverso la rota-zione di entrambe le camere dello strumento analogico, nel caso dell'orientamentoasimmetrico la camera di sinistra (una delle due in genere) rimane fissa sia per posi-zione che angolarmente; la ricerca dell'intersezione dei raggi omologhi avvieneattraverso la rotazione e la traslazione della sola seconda camera del restitutore ana-logico. L'intersezione dei raggi omologhi, nei restitutori analogici, consiste nell'eli-minazione della parallasse in cinque zone del modello secondo lo schema e in zonesuggerite da Von Gruber (fig. 13.16). Esaminiamo il primo caso.

Fig. 13.12 – Come si fissa il datum nell' OR asimmetrico.

Stabiliamo l'origine del sistema (XYZ ) nel centro di presa O1 del fotogramma disinistra e facciamo in modo che il sistema interno della camera (x1, y1, z1) coincida

Z=z1

Y=y1

X=x1

O1

O2

c

c

BASE "b"

π1

π2

28


con il sistema relativo (XYZ ). In questo modo vincoliamo automaticamente seiparametri a zero:

13.34

Osserviamo la figura 13.12 e chiamiamo con (bx,by,bz) le componenti del vettorebase b cioè:

13.35

come premesso, l'intersezione dei raggi omologhi avviene per qualunque valore delmodulo di b il quale fissa la scala del modello. Possiamo cioè vincolare il settimoparametro stabilendo per un valore convenzionale, ad esempio:

questo nel casotudinal

Con qumodell

Vediamgli ango

inoltre tavia laindipensti para

13.14

Nel casfigura 1fissiamo

Anche

X01,Y01,Z01[ ] 0;= ω1,ϕ1,κ1[ ] 0=

X 02( ) bx;= Y 02( ) by;= Z 02( ) bz=

b

13.36b bx2 by

2 bz2+ + 100 mm= =

29

valore è abbastanza vicino a quanto distano sulle diapositive i punti di presa si usino fotogrammi di dimensione 230 x 230 mm2 e ricoprimenti longi-

i Rl= 60%. Si ha infatti:

13.37

esto artificio si usa dire che le «coordinate modello» (XYZ ) dei punti, od ilo stesso, è in scala 1:1 con le coordinate fotogramma.

o quali sono le incognite rimaste che non dipendono dal datum. Essendoli di assetto della prima camera uguali a zero si può scrivere:

rimangono incognite le tre coordinate di O2 (13.35) fra le quali sussiste tut- relazione di dipendenza 13.36, dunque sono rimaste solo cinque incognitedenti come già ci aspettavamo: la procedura analitica per determinare que-metri è detta calcolo dell'orientamento relativo asimmetrico.

L'ORIENTAMENTO RELATIVO SIMMETRICO (ORS)

o di OR simmetrico fissiamo il sistema di riferimento come è visibile in3.13; come nel caso precedente stabiliamo l'origine in O1 ma in questo caso l'asse X lungo la direzione della base cioè:

13.38

in questo caso poniamo convenzionalmente:

b 230 1 0.6–( )mm 100 mm≅=

ϕ2 ϕ2 ϕ1– ϕ∆= =

ω2 ω2 ω1 ω∆=–=

κ2 κ2 κ1– κ∆= =

X 02( ) bx;= Y 02( ) Z 02( ) 0= =

bx b 100 mm= =


Fig. 13.13 – Come si fissa il datum nell' OR simmetrico.

Rimane ancora da stabilire la posizione del piano YZ ; ciò si ottiene facendo inmodo che l'asse y appartenga al piano (XY ) che equivale a dire imporre una rota-zione ω1 attorno all'asse X nulla:

13.39

Le cinque incognite rimanenti sono allora:

13.40

La procedura che porta alla loro determinazione è detta dell'OR simmetrico.

13.15 IL CALCOLO DELL'ORIENTAMENTO RELATIVO

In entrambi i casi di orientamento relativo arriviamo a scrivere le equazionidell'orientamento esprimendo la condizione che i due raggi omologhi r ' e r" (fig.13.12) debbono essere complanari con la base di presa. Esaminiamo il calcolodell'orientamento asimmetrico.

Le equazioni dell'orientamento relativo asimmetrico

Consideriamo i punti omologhi P1 e P2 (fig. 13.14a),(x1= x1; y1= y1; z1= - c ) sonole coordinate di P 1; (b x ; b y ; b z ) le coordinate di O 2; occorre determinare nelsistema (XYZ ) le coordinate di P2 di cui sono note solo le coordinate nel riferi-mento interno:

Possiamo tuttavia ricavare queste coordinate che chiamiamo in fun-zione dell'assetto della seconda camera rispetto alla prima , ricavandoche .

x1

y1

z1

O1

O2

c

c

BASE "b"

π1

π2

Z Y

X

y XY( ) ω1 0=⇒∈

ϕ ,κ( )1; ω,ϕ ,κ( )2

P2 x2 y2 c–;;( )≡

ξ2 η2 ζ2;;( )ω2 ϕ2 κ2;;( )

ω1 ϕ1 κ1 0= = =

30


Fig. 13.14a – 13.14b

In un sistema parallelo agli assi (XYZ ), ricordando la 13.10 si può scrivere:

dove D è la matrice di rotazione che dipende dagli angoli di assetto del fotogramma 2.

Chiamando con i termini di D-1 si ricava:

13.41

Esprimiamo attraverso la forma del determinante la complanarità di r1, r2 e b:

Svilup

e utiliz

O1

P1

Q1

Q2

P2

O1

P1 P2

O2

O2ZY

X

r2

r1

r2

r1

b (bx,by,bz)

ζη

ξ

Parallase

ξηζ

x

y

c

2

D ω2,ϕ2,κ2( )ξηζ

2

=

δ ij

ξηζ

2

δ ij[ ]

x

y

c–

2

=

13.42

1

0

0

0

1

bx

by

bz

1

x1

y1

c–

1

bx ξ2+

by η2+

bz ζ2+

0

bx

by

bz

x1

y1

c–

ξ2

η2

ζ2

0=⇒=

31

pando si ottiene:

13.43

zando la 13.31 si ha:

bx y1ζ2 cη2+( ) by x1ζ2 cξ2+( ) bz x1η2 y1ξ2–( )+– 0=

bx y1 δ31x2 δ 3

2y2 δ33c–+( ) c δ2

1x2 δ22y2 δ2

3c–+( )+[ ] +

by x1 δ31 x2 δ3

2 y2 δ33c–+( ) c δ1

1 x2 δ12 y2 δ1

3 c–+( )+[ ]– +

bz x1 δ21x2 δ2

2y2 δ23c–+( ) y1 δ1

1x2 δ 12y2 δ 1

3c–+( )–[ ]+ 0=


In questa equazione compaiono le misure (x1 y1), (x2 y2) mentre i parametri inco-gniti nascosti in δij sono gli angoli (ω2 ϕ 2 k2).

Sono incognite inoltre le componenti (bx by bz) anche se fra esse può essere scrittala relazione 13.36. È evidente che questa è verificata per qualsiasi costante moltipli-cativa del primo membro: si può porre ad esempio bx=100 mm.

Per risolvere le cinque incognite occorre scrivere le equazioni per almeno cinquecoppie di punti omologhi: in realtà, adottando il procedimento dei minimi qua-drati occorre misurare normalmente da 7 a 15 punti omologhi. Le equazioni nonsono lineari nei parametri (e così come sono scritte neppure le misure), occorrelinealizzarle e seguire per la risoluzione le procedure classiche viste al capitolo 8.

Le equazioni dell'OR simmetrico

Fig. 13.15

Consideriamo i punti omologhi P1 e P2, le loro coordinate nel sistema (X Y Z )dipendono dall'assetto delle due camere; chiameremo S e D le due matrici di rota-zione delle camere di sinistra e di destra3; si avrà:

3 Si rico

P

P1 P2

r2r1

Z=ζ1η1Y=

ξ1X=b=bxO1

O2

13.43a

13.43b

ξ1

η1

ζ1

S 1– ϕ1,κ1( )x1

y1

c–

=

ξ2

η2

ζ2

D 1– ω2,ϕ2,κ2( )x2

y2

c–

=

32

rdi che S-1=ST e D-1 = DT.


La condizione di complanarità di O1P1 O2P2 e di O1O2 può scriversi:

13.44

che si traduce in:

e, visto che bx >0 ed è a priori nota, nell'ipotesi ζ 1ζ 2≠0 si ha:

Chiamando al solito i termini di D-1 e i termini di S-1 si può scrivere:

Occorr(ϕ 1, k1

Per risoPer stabopport

Normanumeri

Fig. 13

In figudimens

1

0

0

0

1

bx

0

0

1

ξ1

η1

ζ1

1

bx ξ2+

η2

ζ2

bx

0

0

ξ1

η1

ζ1

ξ2

η2

ζ2

0= =

η1

ζ1-----

η2

ζ2-----– 0=

δ ij σ i

j

13.46δ 21x1 δ 22 y1 δ 23c–+

δ 31x1 δ 32 y1 δ 33c–+---------------------------------------------

σ21x2 σ22 y2 σ23c–+

σ31x1 σ32 y2 σ33c–+------------------------------------------------– 0=

e,

u

lc

ri

13.45bx η1ζ2 ζ1η2–( ) 0=

33

anche qui linearizzare le equazioni rispetto alle cinque incognite di assetto ω2, ϕ 2, k2) e risolvere ai minimi quadrati il sistema.

lvere l'OR servono almeno le misure a cinque coppie di punti omologhi.ilizzare numericamente la soluzione è bene che questi si trovino in posizionine all'interno del modello (posizioni di Von Gruber).

mente si procede alla misura di almeno sette coppie di punti, la soluzionea è più stabile, scegliendo opportune zone del modello.

.16 – Posizione dei punti di OR secondo Von Gruber.

a 13.16 è riportata schematicamente la planimetria di un modello (dioni 0,6 L x L) nel suo interno nel caso di OR simmetrico vediamo quali

ϕ ϕ

κ κ

ω

3 4

1 2

5

12

12

1/2


zone servono per ricavare ciascuno dei cinque parametri angolari.

Si può dimostrare che i punti 1 e 2 stabilizzano bene le soluzioni di k2 e k1 rispetti-vamente, i punti 3 e 4 sono molto utili al calcolo di ϕ 2, ϕ 1 rispettivamente ed ilpunto 5 stabilizza la soluzione rispetto al parametro ω2.

13.16 LA LINEARIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI OR SIMMETRICO

Torniamo alle equazioni 13.46, gli angoli di assetto incogniti sono scritti con le let-tere greche minuscole (ϕ 1,κ1,ω1,ϕ2,κ2).

Nell'orientamento relativo, simmetrico ed asimmetrico, specie per riprese aeree, èverosimile attendersi che questi angoli siano prossimi a zero; con ciò si ritengonocorrette le approssimazioni 13.20, valide a rigori per le quantità differenziali. Lematrici S -1 e D-1 assumono allora la forma 13.22 e le 13.46 possono scriversi:

che deve u

La lineariztermini

Il terminenella loro f

13.17 EQ

In precededinate este

Queste eqed S sono mento rela

ai1

a

a

a

a

a

13.47g:k1x1 y1+

ϕ1x1– c–-----------------------

k2x2 y2 cω2+ +

ϕ2x2 ω2 y2 c–+-----------------------------------– 0= =

34

lteriormente essere linearizzata nelle incognite (ϕ 1,κ1,ω1,ϕ2,κ2).

zazione, primo passo del processo iterativo ai minimi quadrati, fornisce i della matrice disegno A.

noto è calcolato secondo la 13.46, in cui i termini δij sono espressiorma corretta 13.14a.

UAZIONI DI COLLINEARITÀ NEL SISTEMA ESTERNO XYZ

nza si sono ricavate le equazioni di (x ' y '), (x" y") in funzione delle coor-rne (E N Q ) (equazioni 13.29÷13.32).

uazioni possono essere scritte anche nel sistema modello (X,Y,Z ). Se Rora definite come matrici di rotazione degli angoli di assetto dell'orienta-tivo si può scrivere:

…ai5

i1 ∂ g

∂ϕ1-------- k1x1 y1+( )– ϕ1x1– c–( )2⁄= =

i2 ∂ g

∂k1------- x1 ϕ1x1 c+( )⁄= =

i3 ∂ g

∂ω2---------

c– ϕ2x2– ω2 y2 c–+( ) k2 x2 y2 ω2c+ +( )y2+[ ]–

ϕ2x2– ω2 y2 c–+( )2--------------------------------------------------------------------------------------------------------------= =

i4 ∂ g

∂ϕ2--------

x2 k2x2 y2 ω2c+ +( )ϕ2 x2– ω2 y2 c–+( )

---------------------------------------------= =

i5 ∂ g

∂k2------- x2 k2 x2 y2 ω2c+ +( )⁄= =


Si desidera ora al contrario scrivere le relazioni di collinearità nel sistema esterno(X Y Z), del tutto analoghe alle 13.25a e 13.25b. Lo scopo è quello di arrivare alcalcolo delle coordinate modello (X Y Z) attraverso l'intersezione dei raggi omo-loghi r ' e r ". Otterremo infine l'equazione della parallasse Y o «parallasse vera»nel sistema (X Y Z).

Fig. 13.17

Come per le equazioni 13.25 scriviamo:

Le quafotogra(ξ 2,η 2

P

r2r1

O1 O2

( X" Y" Z" )( X' Y' Z' )

( X2 Y2 Z2 )

( Xp Yp Zp )

( X1Y1 Z1 )

13.52XP X1–ZP Z1–-----------------

X ' X1–Z ' Z1–----------------- ;=

YP Y1–ZP Z1–-----------------

Y ' Y1–Z ' Z1–-----------------=

13.48x ' c– r 1

1 X X1–( ) r12 Y Y1–( ) r1

3 Z Z1–( )+ +

r 31 X X1–( ) r3

2 Y N1–( ) r33 Z Z1–( )+ +

----------------------------------------------------------------------------------------=

13.49y ' c– r 2

1 X X1–( ) r22 Y Y1–( ) r2

3 Z Z1–( )+ +

r31 X X1–( ) r3

2 Y Y1–( ) r33 ZPY Z1–( )+ +

--------------------------------------------------------------------------------------------=

13.50x '' c– s1

1 X X1–( ) s12 Y Y1–( ) s1

3 Z Z1–( )+ +

s31 X X1–( ) s3

2 Y N1–( ) s33 Z Z1–( )+ +

---------------------------------------------------------------------------------------=

13.51y '' c– s2

1 X X1–( ) s22 Y Y1–( ) s2

3 Z Z1–( )+ +

s31 X X1–( ) s3

2 Y Y1–( ) s33 ZP Z1–( )+ +

-----------------------------------------------------------------------------------------=

ntità (X'-X1), (Y'-Y1), (Z'-Z1) per il primo fotogramma e per il secondomma (X"-X2), (Y"-Y2), (Z"-Z2) sono state indicate con (ξ 1,η 1,ζ 1) e con,ζ 2). Usando le 13.43 si può scrivere:

13.53aXP X1–ZP Z1–-----------------

ξ1

ζ1----

σ11x1 σ1

2 y1 σ 13c–+

σ31x1 σ 3

2 y1 σ 33c–+

------------------------------------------- def( )Tx1= = =

35


13.53b

I valori sono i termini della matrice S-1.

Dopo l'orientamento relativo questi termini sono tutti noti, ne deriva che i valori e definiti nelle 13.47 e 13.52 sono quantità note. Anche per il fotogramma

di destra si può scrivere:

Dalle TX1 e TX2 possiamo ora ricavare le coordinate XP :

e sottrae

Infine, relativo

La coor

Somma

I valori dere: noavvieneun num

La diffenel siste

Il valore

YP Y1–ZP Z1–-----------------

η1

ζ1-----

σ 12x1 σ2

2 y1 σ23c–+

σ 31x1 σ 3

2 y1 σ 33c–+

-------------------------------------------- def( )Ty1= = =

σ ij

Tx1Ty1

13.55a

13.55b

XP Tx1ZP Z1–( ) X1+=

XP Tx2ZP Z2–( ) X2+=

ndo ricavare in modo univoco la coordinata ZP :

anche le quantità (X1 Y1 Z1), (X2 Y2 Z2) sono note dopo l'orientamento; si ricava allora:

ZP Z1–( )Tx1Tx2

ZP Z2–( ) X1 X2–+– 0=

13.56ZP

Tx1Z

1Tx2

Z2

X2 X1–+–

Tx1Tx2

–--------------------------------------------------------=

dinata XP si ricava sostituendo ZP in una delle 13.55. Si ottiene dunque:

13.57a

13.57b

Y 'P Ty1ZP Z1–( ) Y1+=

Y ''P Ty2ZP Z2–( ) Y2+=

13.54a

13.54b

XP X2–ZP Z2–-----------------

ξ2

ζ2---- Tx2

noto= = =

YP Y2–ZP Z2–-----------------

η2

ζ2----- Ty2

noto= = =

ndo e dividendo per due si ricava:

13.58YZ Ty1

Ty2+( ) Ty1

Z1

Ty2Z

2Y1 Y2+ +––

2--------------------------------------------------------------------------------------------=

13.57a e 13.57b sono noti dopo il calcolo di ZP e dovrebbero a priori coinci-n ha senso in teoria calcolarne il valor medio ; ciò non

mai numericamente se la procedura di orientamento relativo è eseguita conero di punti omologhi maggiore dei cinque indispensabili.

renza dei valori rappresenta la distanza tra le rette r ' ed r"ma (X Y Z ) nel caso che queste rette siano sghembe.

di p è detto parallasse Y o parallasse vera e vale:

Y Y 'P Y ''P+( ) 2⁄=

Y 'P Y ''P– p=

13.59p Y ''P Y 'P– Y2 Y1–( ) ZP Ty2Ty1

–( ) Ty1Z

1Ty2

Z2

–+ += =

36


Questa equazione viene utilizzata in alternativa alle equazioni 13.42 o 13.45 pereseguire l'orientamento relativo simmetrico od asimmetrico: per ogni coppia dipunti omologhi è necessario scrivere l'equazione:

13.60

13.18 L'ORIENTAMENTO ASSOLUTO

Dopo l'orientamento relativo è possibile ricavare le coordinate di un qualsiasi puntoP nel sistema modello (X Y Z) attraverso le 13.55, 13.56 e 13.57. In questo sistema lecoordinate del punto nodale della prima camera valgono: (X1, Y1, Z1)= (0,0,0).

Rimane da trasformare queste coordinate nel sistema definito dagli assi (E, N, Q ):come al solito il passaggio consiste in una rototraslazione con variazione di scala.Con notazione analoga alla formula 13.10, chiamando ora con C la matrice di rota-zione, si ha:

La matr

Si noti valere Easpettav

Per risodelle serisolvermodelloterra.

Fra quecerca dalternat

La quot

dove appogg

pi 0=

E0˜ N0

˜,(

H

13.61

X

Y

Z

λC

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

=

37

ice C è funzione degli angoli cardanici Ω, Φ, K .che essendo per il punto di coordinate (X=0, Y=0, Z=0) deve=E0, N=N0, Q=Q0, ciò significa che il vettore traslazione è (come ci sia) formato dalle coordinate (E, N, Q ) del primo punto di presa.

lvere le 13.61 occorre al solito linearizzare queste espressioni in funzionette incognite (E0, N0, Q0, Ω , Φ, K , λ ) e costruire un sistema normale dae secondo le procedure dei minimi quadrati: le misure sono le coordinate (Xi, Yi, Zi), le quantità note i valori (E, N, Q ) dei punti di appoggio a

La linearizzazione presuppone di conoscere i valori approssimati.

sti, i valori possono essere dedotti da una cartografia sulla quale sii ricavare la proiezione del punto di presa del fotogramma di sinistra. Iniva si usano le formule:

13.62

a approssimata può essere ricavata come:

13.63

è la quota relativa di volo ed Ei Ni e Qj sono le coordinate dei punti diio.

λC 0≠

Q0˜ Ω K λ,,,, )

E0˜ N0

˜,( )

E 0

Eii 1=

n

∑n

------------- EG ;= = N 0

Nii 1=

n

∑n

-------------- NG= =

Q0˜

Q0 H

Q jj 1=

q

∑q

-------------- QG H+=+=


Nell'ipotesi di riprese aeree, il rollio ed il beccheggio del veivolo sono contenutientro ±5° e si può porre:

mentre e1/m, si p

Lo sbandall'andapprossitografia permette

Si pone

Il problelineari lezero: gono i v

Per risoldinate (E

In realtàspesso se

Similmedistribuiall'area d

Spesso nnoti solo

In questincognitmetrici, mente le

La linear

L'inversa

a

13.64Ω Φ 0= =

38

ssendo il modello in scala 1:1 e definendo la scala media del fotogrammauò porre:

13.65

damento K può assumere valori molto diversi da zero che dipendonoamento della strisciata rispetto agli assi (E , N ): per trovare un valoremato è possibile seguire due strade: determinarlo graficamente su una car-a piccola scala, o risolvere la 13.61 solo per la parte planimetrica; questa via anche di trovare i valori di e di . Si può scrivere infatti:

13.66

ora:

ma è lineare nelle nuove incognite a, b, X0, Y0. Come in tutti i problemi 13.66 possono allora risolversi partendo dai valori approssimati uguali a

. Ricavate le stime a , b , X0, Y0, da queste si otten-alori approssimati da introdurre nelle 13.61 linearizzate.

vere le 13.61 servono almeno sette misure indipendenti, ad esempio le coor-,N ) di due punti e le tre coordinate (Qj) di tre punti non allineati.

per controllare le misure e per valutare la precisione raggiunta si usanoi punti di appoggio planolatimetrici disposti ai bordi del modello.

nte all'orientamento relativo è bene che questi punti siano uniformementeti nella zona perimetrale del modello o per lo meno nella zona perimetralea restituire.

on si usano punti di coordinate note nelle tre componenti ma alcuni sono in planimetria ed altri solo in altimetria.

o caso, pur essendo possibile utilizzare ancora le 13.61 inserendo comee le quote Qi dei punti planimetrici e la planimetria (Ej Nj) dei punti alti-è più agevole utilizzare le formule inverse nelle quali compaiono esplicita- coordinate (E, N,Q ) dei punti di appoggio.

izzazione delle 13.61 avviene come si è proceduto al §13.9.

della 13.61 si scrive:

λ 1m---- c

H-----= =

λ E0 N0,

X

Y λC

Kcos

Ksin

Ksin–

Kcos

E

N

E0–

N0–

=

a λ K , b λ K , aE0 bN0– X0, = bE0 aN0 Y0=+sin=cos=

b X0˜ Y0

˜ 0= = = =


13.67

con m=1/λ . Ricaviamo la formula inversa definendo:

In modo simile a quanto ricavato nelle 13.18, 13.19 e 13.22 linearizziamo partendodalla definizione:

con:

La 13.23a diviene:

Definiamo ancora:

13.68

13.69

Esplicitando le 13.69 si può scrivere:

13.70a

13.70b

13.70c

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

mC 1–

X

Y

Z

=

C 1– CT B= =

E

N

Q

mB

X

Y

Z

E0

N0

Q0

+=

mm0------ 1 ε+=

B B I dB+( )=

I dB+( ) 1– I dB+( )T I dC+( )= =

E

N

Q

E0–

N0–

Q0–

m0B I e+[ ]X

Y

Z

dB

X

Y

Z

+

=

u

v

w

m0B

X

Y

Z

=

E

N

Q

E0

N0

Q0

I ε+[ ]u

v

w

dB

u

v

w

++=

E E0= +ε u dΦ w– +dK v

N = N0 +ε v +dΩ w +dK u

Q = Q0 +ε w –dΩ v dΦ u–

39


Si possono utilizzare le sole prime due equazioni per i punti planimetrici e la solaterza per i punti altimetrici.

I valori approssimati delle traslazioni valgono:

13.71

Riportiamo qui di seguito il listato di un programma scritto in formato matlabche, dopo aver letto i dati coordinate modello e coordinate terreno dal file m.dated i valori approssimati dal file ap.dat esegue l'orientamento assoluto comedescritto precedentemente.

E0

N0

Q0

m0B

X0

Y0

Z0

=

40


load m.dat

load ap.dat

[ir,ic]=size(m)

mo=m(1:ir,1:3)

te=m(1:ir,4:6)

ap(7)=ap(7)/200*pi

ap(6)=ap(6)/200*pi

ap(5)=ap(5)/200*pi

for ite=1:1:2

r=cardano(ap(5),ap(6),ap(7))

iri=0;

ipl=0;

ial=0;

for i=1:1:ir

u=ap(4)*r*mo(i,1:3)'

if te(i,1) ~= -9999

iri=iri+1;

ipl=ipl+1;

a(iri,1)=1;

a(iri,2)=0;

a(iri,3)=0;

a(iri,4)=u(1)/1000;

a(iri,5)=0;

a(iri,6)=u(3)/1000;

a(iri,7)=-u(2)/1000;

b(iri)=te(i,1)-u(1)-ap(1);

pl(1,ipl)=b(iri)

iri=iri+1;

a(iri,1)=0;

a(iri,2)=1;

a(iri,3)=0;

a(iri,4)=u(2)/1000;

a(iri,5)=-u(3)/1000;

a(iri,6)=0;

a(iri,7)=u(1)/1000;

b(iri)=te(i,2)-u(2)-ap(2);

pl(2,ipl)=b(iri)

end;

if te(i,3) ~= -9999

iri=1+iri;

ial=ial+1;

a(iri,1)=0;

a(iri,2)=0;

a(iri,3)=1;

a(iri,4)=u(3)/1000;

a(iri,5)=u(2)/1000;

a(iri,6)=-u(1)/1000;

41


a(iri,7)=0;

b(iri)=te(i,3)-u(3)-ap(3);

al(ial)=b(iri)

end;

end;

n=inv(a'*a);

l=a'*b';

delta=n*l

ap(1)=ap(1)+delta(1);



ap(4)=ap(4)*(1+delta(4)/1000);

ap(5)=ap(5)+delta(5)/1000;

ap(6)=ap(6)+delta(6)/1000;

ap(7)=ap(7)+delta(7)/1000;

end

pause

clc,

sprintf(' Traslazioni: %6.3f (m) %6.3f (m) %6.3f(m)',ap(1),ap(2),ap(3))

disp(' Scala '),ap(4)

disp(' Assetto (gon)')

ap(5:7)*200/pi

disp(' sqm planimetrico'),std(pl(1,1:3)),std(pl(2,1:3))

disp(' sqm altimetrico'),std(pl(1,1:3))

std(al)

function y = cardano(o,f,k)

%CARDANO Serve a generare una matrice di rotazione 3x3 cardanica

% in funzione degli angoli omega, fi e cappa

y(1,1)=cos(f)*cos(k);

y(1,2)=-cos(f)*sin(k);

y(1,3)=sin(f);

y(2,1)=cos(o)*sin(k)+sin(o)*sin(f)*cos(k);

y(2,2)=cos(o)*cos(k)-sin(o)*sin(f)*sin(k);

y(2,3)=-sin(o)*cos(f);

y(3,1)=sin(o)*sin(k)-cos(o)*sin(f)*cos(k);

y(3,2)=sin(o)*cos(k)+cos(o)*sin(f)*sin(k);

y(3,3)=cos(o)*cos(f);

end

File m.dat

42

0.303532 0.595068 0.034298 3321.65 1167.56 579.48

0.192638 0.602834 0.034116 3402.84 2061.10 576.80

0.303848 0.403493 0.026903 1776.75 1196.79 493.19

0.204120 0.434574 0.036672 -9999. -9999. 574.62

File ap.dat

-1400 3600 300 8000 0 0 300

14. I RESTITUTORI ANALITICI

14.1 SCHEMI DI FUNZIONAMENTO MECCANICO E DI MISURA

Dal punto di vista strutturale i restitutori analitici sono simili agli stereo-compara-tori: due carrelli porta-fotogrammi (chiamati anche «portalastre») si muovonolungo due coppie di assi (u1, v1), (u2 , v2), permettendo di osservare e misurare le«coordinate carrello» di un punto P1 e del suo omologo P2 su entrambe le imma-gini (vedi fig. 14.1).

Fig. 14.1

Nella figura è riportato lo schema di uno stereo comparatore nel quale la parteottica è fissa ed i due carrelli si spostano in modo indipendente. È possibile, ascelta, costruire stereo comparatori con un unico carrello che trasporta entrambi ifotogrammi lungo due guide (u,v ). Uno dei due fotogrammi, ad esempio quello disinistra, si muove su due altre guide (∆u1, ∆v1) appoggiate al carrello portalastre.Anche in questo caso l'ottica è fissa.

È possibile infine collimare due punti omologhi e misurarne le coordinate, attra-verso la misura dello spostamento di un unico carrello portalastre (u,v ) e lo sposta-mento dell'ottica di collimazione su uno dei due carrelli, ad esempio il carrellosinistro, sul quale l’ottica si muove di una quantità misurabile (ξ1,η1).

V1V2

P2P1

y2y1

x2

x1

u2

u1

η

ξ

Osservatore

1

1

43

I

RESTITUTORI

ANALITICI

Per comprendere il funzionamento dei restitutori ci riferiremo in seguito per ora alprimo schema meccanico descritto, nel quale l'ottica è fissa ed i due carrelli sono fraloro mobili in modo indipendente.

Negli strumenti comparatori moderni, l'organo che traduce in misura elettrica lospostamento meccanico, è l'encoder. Gli encoder possono essere di tipo rotativo se laquantità da misurare è una rotazione o di tipo lineare nel caso si voglia misurare lospostamento di un carrello. In entrambi i casi, gli encoder funzionano da «genera-tore d'impulsi» elettrici, di segno positivo o negativo secondo la direzione dellospostamento o del verso della rotazione. Il calcolatore collegato conta questiimpulsi, con il loro segno e traduce il conteggio in una misura di posizione cheaccumula in un contatore. Dal punto di vista elettrico gli encoder sono delle pic-cole dinamo: attraverso la rotazione completa del loro asse forniscono un certonumero d'onde di corrente (positiva o negativa) dipendenti dalla quantità e dallaposizione degli avvolgimenti che circondano il magnete e dalla rotazione impostaall'asse (fig. 14.2).

Fig. 14.2 – Gli encoder.

14.2 STEREOPLOTTER

Ciò che distingue costruttivamente uno stereocomparatore da un restitutore è lapresenza in questo, di motori (servomotori), che comandano gli spostamenti diuno o più carrelli, o dell'ottica nel caso di strumenti ad ottica mobile. Questimotori, governati da un calcolatore, permettono di «controllare» in frazioni disecondo, il movimento di uno o di entrambi i carrelli.

A seconda del numero di questi motori si parla di strumenti a quattro controlli,a due controlli o ad un controllo. Per la presenza di questi motori, che il calco-latore sposta secondo una logica prestabilita, gli strumenti vennero chiamatianche «stereoplotter».

Gli strumenti a quattro controlli vengono detti «strumenti in cui il dato primario èil vettore coordinate terreno» od anche strumenti Helava, dal nome di chi ha con-cepito il primo prototipo ed ottenuto il brevetto nel 1957.

Gli strumenti a meno di due controlli, vengono detti «semplificati» od impropria-mente «strumenti in cui i dati primari sono le coordinate fotogramma», od anchestrumenti Inghilleri, dal nome dell'Italiano (professore al Politecnico di Torino) chene studiò e brevettò il funzionamento.

Di per sé è l'insieme encoder-servomotore che permette di «controllare» o di «attuare»

1 giro0

Magnete

rotazione

44

I

RESTITUTORI

ANALITICI

lo spostamento imposto dal calcolatore: quest’ultimo comanda la fornitura di unaquantità di corrente necessaria allo spostamento del motore di un valore ∆u o ∆v equindi di un certo numero di giri del motore; tuttavia sino a che l'encoder non haregistrato la posizione u0 che si desiderava raggiungere, al motore continuerà ad esserefornita corrente. Questo modo di funzionare, permette di eliminare, per quanto pos-sibile, l'influenza di inevitabili giochi meccanici dei carrelli.

La figura 14.3 mostra lo schema di un carrello porta lastra che scorre su due coppiedi guide indipendenti. Lo spostamento v tra il telaio e le guide (ua ub) è impostodal motore Mv e misurato dall'encoder Ev.

Fig. 14.3

Lo spostamento u tra il carrello Ua ed il piatto portalastra è eseguito dal motore Mue misurato dall'encoder Eu.

Il dialogo tra i motori, gli encoder ed il computer avviene tramite un'interfaccia chenei personal assume l'aspetto di una scheda di espansione. Negli strumenti a quat-tro controlli questa scheda ha il compito del controllo dei carrelli: per ogni carrellolegge ed attua gli spostamenti (u1,v1) ed (u2 ,v2) (vedi fig. 14.4) attraverso gli enco-der Eu Ev ed i servomotori Mu ed Mv.

Compito di questa scheda è tradurre l'informazione digitale (u1,v1) ed (u2 ,v2) pro-veniente dal calcolatore in tensione da dare ai motori. Suo compito è terminarel'erogazione quando i segnali Eu Ev confermano l'attuazione dello spostamentovoluto. Compito di questa scheda è anche tradurre in informazione numerica gliimpulsi provenienti dai generatori G1,G2,G3 (che verranno descritti in seguito) etrasmettere questi numeri al calcolatore.

Ub

Ua

Eu Mu

Ev

Mv

TELAIO

45

I

RESTITUTORI

ANALITICI

Fig. 14.4

Esaminiamo lo schema di figura 14.5 che rappresenta uno strumento a quattro controlli.

Allo strumento sono collegati due volantini che ruotano i generatori di impulsi: G1e G2 che trasmettono i segnali al calcolatore. Vi è poi un terzo generatore di impulsirotativo a pedaliera G3 ed un pulsante a pedale P anch'essi connessi al calcolatore(poniamo ad esempio un personal).

Fig. 14.5

All'accensione del calcolatore e del restitutore l'ottica sta collimando un qualunquepunto ed il deviatore δ si trova nella posizione D.

Il calcolatore interpreta le rotazioni (o gli impulsi) che gli giungono dai volantiniG1 e G2 come ordini di spostamento del carrello di destra di una quantità ∆u1 ∆v1proporzionale alla rotazione dei volantini; comanda perciò il carrello di destra dimuoversi di detta quantità. La costante di proporzionalità è selezionabile dall'ope-

Mu Mv (1e2 )

Eu Ev (1e2 )

G1 G2 G3

P

(u1 , v1 ) (u2 , v2 )

1

2

3

4

1

2

3

4

S Dδ

G1 G2

G3 P

G1G2G3

P UCC

u1 v1 u2 v2

46

I

RESTITUTORI

ANALITICI

ratore, i movimenti del carrello vengono verificati ed aggiornati ad una frequenza dicirca 50 Hz. In tal modo all'operatore che agisce sui volantini G1 e G2 apparirà atutti gli effetti di comandare direttamente i movimenti del carrello di destra.

Allo stesso modo spostando il deviatore δ nella posizione S sarà possibile spostarecon i volantini G1 e G2 il carrello di sinistra. Con i movimenti dei volantini e l'usodel deviatore δ è possibile collimare un qualsiasi punto P ' sull'immagine posta sulcarrello di sinistra ed il suo omologo P '' con i movimenti del carrello di destra.

Stabilita una posizione di zero per entrambi i carrelli, che è quella dell'accensionedel restitutore, gli encoder possono trasmettere al calcolatore gli spostamentiavvenuti a partire dall'accensione, che sono le coordinate (u1,v1); (u2,v2) dientrambi i carrelli.

Tali coordinate sono visualizzate in «tempo reale» (RT) sul monitor del calcolatoreo su un display del restitutore.

I calcoli in «tempo reale», cioè in modo apparentemente continuo per l'occhioumano, hanno permesso l'avvento dei restitutori analitici.

Ciò non è avvenuto immediatamente con la comparsa dei calcolatori elettronici,ma dopo un periodo di sviluppo dell'elettronica e delle velocità di calcolo che hapermesso di compiere il ciclo RT permettendo il passaggio dalle coordinate terrenoalle coordinate carrello e di imporre tali coordinate ai carrelli dello strumento contempi complessivi minori di un decimo di secondo.

14.3 LE PROCEDURE DI ORIENTAMENTO INTERNO

L'operazione avviene così: il programma richiede il valore della distanza principale,le coordinate dei repères come pure i parametri della curva di distorsionedell'obbiettivo e la posizione del punto principale di simmetria (queste grandezze sipossono desumere dal certificato di calibrazione) e memorizza questi valori in un«file della camera da presa».

I due volantini G1 e G2 trasmettono al calcolatore l'ordine che si vuole spostare ilcarrello di sinistra di ∆u1∆v1 o quello di destra di ∆u2∆v2 a seconda della posi-zione del deviatore δ; il calcolatore comanda alla unità di controllo di eseguire que-sti spostamenti che permettono di portare l'ottica di osservazione (la marca) disinistra o di destra sui repères 1,2,3 e 4 (vedi fig. 14.5).

A collimazione avvenuta si preme la pedaliera P ed il calcolatore memorizza le coor-dinate carrello dei repères di entrambi i fotogrammi.

È possibile allora eseguire i calcoli di orientamento interno che permettono il pas-saggio dal sistema carrello (u1,v1) ed (u2 ,v2) al sistema interno (x1, y1) ed (x2 , y2).

Dopo di ciò, attraverso le formule 13.7 il calcolatore calcola in «tempo reale» lecoordinate (x,y ) che visualizza sullo schermo per qualsiasi punto collimato.

Osservando l'ordine di grandezza degli scarti che possono andare da pochi µm a pochedecine di µm a seconda dello strumento restitutore, si accetta o meno l'orientamento.

Il valore delle deformazioni di scala e di affinità e più ancora la differenza tra le due foto diquesti valori è un criterio di giudizio del materiale fotografico e dei processi di stampa.

47

I RESTITUTORI ANALITICI

14.4 LE PROCEDURE DI ORIENTAMENTO RELATIVO

L'operazione di collimazione di punti omologhi è eseguita in questo modo: utiliz-zando i volantini G1 e G2 si porta una marca su una zona prescelta di un foto-gramma. Si cerca di fare la stessa cosa per la seconda marca. Si può notare che,quando le due zone osservate sono distanti, le immagini si «sdoppiano» e non si rie-sce ad osservare in stereoscopia.

Utilizzando il deviatore δ ed in seguito ancora i volantini, si dispone l'altro carrelloin modo che la seconda marca appaia fusa con la prima e sembri provenire dallostesso particolare.

Prima di ciò, avvicinando le zone omologhe, il cervello «fonde» le immagini, vale adire si osserva tridimensionalmente l'oggetto, ma non sono ancora fuse le marche,che sono due puntini neri separati da due quantità ∆u, ∆v.

Spostando uno dei due fotogrammi di una quantità ∆v, sembrano fondersi anche lemarche, ma sembra che un unico punto sia sul particolare ad una quota superiore,(la marca «vola») od inferiore, (la marca «sprofonda») di quella del punto da colli-mare. Spostando uno dei fotogrammi di una quantità ∆u (parallasse di quota), eccoche infine che alla vista appare una sola marca che sembra essere «appoggiata» alpunto che si osserva tridimensionalmente, come se fosse parte dello stesso corpo.

A questo punto con la pedaliera P si trasmettono al calcolatore le coordinate(u1, v1); (u2 , v2) dei carrelli. Il calcolatore, attraverso i parametri di orientamentointerno, trasforma per ogni carrello le coordinate (u,v ) nelle coordinate (x ,y ) e lememorizza in una frazione di secondo.

Questa operazione deve ripetersi per almeno cinque punti del modello, individuatinelle «zone di VonGruber». Non occorre che i punti siano di coordinate note,l'unica caratteristica opportuna è che siano ben collimabili sia planimetricamentesia altimetricamente e ben visibili su entrambi i fotogrammi. Ove vi fosse una partedel fotogramma in cui ciò non avviene, è per lo meno necessario che le condizioniprecedenti siano rispettate sui bordi dell'area da restituire.

Normalmente l'orientamento avviene dopo la collimazione di un numero di punticompreso tra sette e venti.

Attraverso le equazioni dell'orientamento relativo asimmetrico o di quello simme-trico 13.46, il calcolatore è in grado di fornire, ai minimi quadrati, i cinqueparametri incogniti e gli scarti (la parallasse residua) su tutti i punti utilizzati 13.55.

Si accetta l'orientamento quando le parallassi residue sono al di sotto di una certatolleranza, inizia in tal caso il ciclo «real time» del restitutore.

Il ciclo RT dopo l’orientamento relativo negli strumenti «Helava»

Dopo aver convalidato i risultati di orientamento relativo, il calcolatore cambiaistantaneamente il significato dei volantini G1 e G2, disattiva il deviatore δ ed attivail volantino G3.

La rotazione dei tre volantini G1, G2 e G3 assume il significato di uno spostamentonello spazio X , Y, e Z delle coordinate modello.

Per semplicità espositive supponiamo ad esempio che i servomotori del carrello di

48


sinistra si riportino automaticamente sul primo punto (u11, v1

1) utilizzato perl'orientamento relativo, il carrello di destra si sposti sino a collimare il suo omologodi coordinate (u2

1,v21) e sul monitor appaiano ora le coordinate modello del primo

punto usato (X1,Y1, Z1) per l'orientamento relativo.

Spostandosi con i volantini G1, G2 e G3 di una certa quantità (ad esempio di 50 m,50 m, 50 m) si leggeranno sul monitor tre nuove coordinate: (X,Y, Z ).

Utilizzando le equazioni di collinearità 13.48 e 13.49, note le coordinate del primopunto di presa X1=0, Y1=0, Z1=0 ed i termini rij è possibile ricavare immediata-mente le coordinate (x1, y1) del punto 1 sul fotogramma di sinistra, da queste, attra-verso l'inversione delle 13.7 si passa alle coordinate carrello (u1, v1). Allo stessomodo, per mezzo delle equazioni 13.50 e 13.51, note le coordinate (X2 ,Y2 , Z2) delsecondo punto di presa nel sistema modello ed i termini s i j si possono ricavaredirettamente le coordinate (x2 , y2) e da queste le coordinate (u2 ,v2).

Dopo tutti questi calcoli, che avvengono in pochi millesimi di secondo, l'UCC è ingrado di spostare in tempo reale il carrello sinistro di quantità (∆u1∆v1) e quello destrodi valori (∆u2∆v2); tali spostamenti portano le marche a collimare un punto fittizio dicoordinate (X Y Z) che sono appunto le coordinate che appaiono sul monitor.

Si è parlato di un punto «fittizio» perché non è detto che a queste coordinatemodello corrisponda un punto reale appartenente alla superficie del modello.

Può essere che il punto sia sopra la superficie o sotto la superficie dell’oggetto, ciòcorrisponde visivamente ad osservare le marche disgiunte; nel caso più favorevole incui il punto non sia molto discosto dalla superficie del modello, si osserva un'unicamarca «volare» o «sprofondare» l'oggetto.

Con il solo movimento del volantino G3, che corrisponde ad uno spostamentonella coordinata Z modello, è tuttavia possibile fondere le due marche in un puntodi coordinate P= (X,Y,Z ’). In alternativa, ed in modo più complesso, è possibilecercare, con i movimenti dei volantini G1 e G2, un punto di coordinate (X”,Y ”,Z )posto sulla superficie del modello.

È ora possibile dunque esplorare entrambi i fotogrammi e tutta la superficie delmodello con soli tre comandi: G1 G2 e G3; (non ha più senso allora attivare o disatti-vare l'interruttore δ che consentiva il movimento separato dei due fotogrammi).

14.5 LE PROCEDURE DI ORIENTAMENTO ASSOLUTO

Dopo l’attivazione del ciclo RT dell’orientamento relativo è possibile, con i movi-menti dei tre volantini, collimare i punti d'appoggio Ai (i=1…n), leggere e memo-rizzare le loro coordinate modello attraverso la pressione del pedale P.

Poniamo di aver memorizzato in un file le coordinate degli stessi punti nel sistemaesterno (in genere si usano le coordinate cartografiche per la planimetria e le quoteortometriche per l'altimetria).

Attivando la procedura d'orientamento assoluto, il calcolatore è allora in grado diricavare i parametri di rototraslazione spaziale attraverso le formule 13.57 e seguentio, viceversa, attraverso la 13.64 è possibile ricavare le coordinate terreno di un qual-siasi punto collimato sul modello.

49


Si noti che sono ricavabili in particolare le coordinate (E1 N1 Q1) ed (E2 N2 Q2)dei due punti di presa e le matrici di rotazione complessive degli angoli d'assetto nelsistema esterno R=SC; S=DC della camera di sinistra e di destra (vedi fig. 13.11 eformule seguenti).

La procedura di calcolo fornisce gli scarti sui punti di appoggio utilizzati che vannoattentamente valutati in funzione primaria della scala della carta e delle richieste dicapitolato, per considerare accettabile o meno l'orientamento eseguito.

Consideriamo in tolleranza gli scarti residui; il calcolatore cambia ancora una voltaimprovvisamente il significato dei tre volantini G1 G2 e G3: il volantino G1 modi-fica ora la coordinata terreno E, il volantino G2 la coordinata N ed infine in volan-tino G3 la quota Q. Le coordinate modello (X,Y,Z ) del punto sul quale si sonofermati i due carrelli (o meglio le due marche) vengono immediatamente trasfor-mate in coordinate terreno (E, N, Q ).

Esaminiamo le equazioni 13.29÷13.31: dopo l'orientamento assoluto è noto ognitermine ed delle matrici R ed S e sono note anche le coordinate (E1 N1 Q1)ed (E2 N2 Q2) dei due punti di presa.

Con una opportuna rotazione dei volantini è ora possibile imporre una tripletta dicoordinate (E,N,Q ) a piacere.

Attraverso le 13.29÷13.31 il calcolatore passa immediatamente da queste coordinatealle coordinate (x1, y1) e (x2 , y2); da queste ultime passa alle (u1v1) e (u2v2), muo-vendo in tempo reale i carrelli delle quantità (∆u1∆v1); (∆u2∆v2) come descrittoper il ciclo RT dell’orientamento relativo.

14.6 OPERAZIONI ESEGUIBILI IN UNO STRUMENTO RESTITUTORE A QUATTRO CONTROLLI

La possibilità di muoversi nello «spazio terreno» (E,N,Q) permette di comandare permezzo del calcolatore l'inseguimento di una traiettoria prefissata, lasciando all'opera-tore la misura di quanto la superficie del modello si discosti da questa traiettoria.

È possibile ad esempio imporre il valore di una coordinata: Q=cost, disattivandocosì temporaneamente la possibilità di variare la quota. L'operatore, spostandosiabilmente nello spazio (E,N ) e tenendo le marche fuse ed appoggiate all'oggetto,percorrerà una isoipsa o curva di livello (tale operazione è possibile anche con stru-menti a due controlli). Lungo questo percorso il calcolatore, in modo più o menocomplesso, memorizza su un file la traiettoria (E(t ), N(t ), Q=cost) seguita. (Il para-metro t è in genere legato allo spazio od al tempo).

È volendo possibile fissare due coordinate, od anche farle calcolare ed imporre dalcalcolatore.

È questo il caso in cui si desidera determinare a distanza planimetrica costante lequote Q i di un profilo che unisce i punti P1= (E1N1) e P2= (E2N2). In questostesso modo è possibile costruire un modello delle altezze del terreno (DTM) dipasso regolare (∆E,∆N ).

L'operatore su ogni punto ha il compito di regolare il solo volantino G3 sino ad

r ij s i

j

50


«appoggiare» la marca sul terreno, e informa con il pedale l'avvenuta collimazione.

Con questi strumenti è possibile in alcuni casi misurare l'aggetto di fabbricati. Suppo-niamo ad esempio che sia visibile il piede di un edificio; dopo averlo collimato, alzan-dosi in quota con il volantino G3, si misura il punto fittizio che ha le stesse coordinateplanimetriche ma che è situato sul tetto o sull'aggetto. Spostandosi ora sulla gronda osul bordo dell'aggetto è possibile determinarne l'ingombro planimetrico.

14.7 STRUMENTI DEL TIPO «INGHILLERI»

Il concetto che governa il funzionamento degli strumenti Inghilleri (così vengonodefiniti i restitutori con due o un solo controllo) è semplice: è possibile realizzare ilciclo real time anche con due motori ed anche con un solo; come realizzarlo è piùcomplesso.

Di questi strumenti spieghiamo solo il funzionamento.

Fig. 14.6

I due motori sono indicati con Mu1 e Mv1 in figura 14.6.

Poniamo di avere un unico carrello portalastra sul quale è solidalmente sistemato ilfotogramma di destra che è possibile muovere attraverso il pantografo PANT lungogli assi (u,v ). Lo spostamento del carrello è misurabile dagli encoder (Eu,Ev). Suquesto carrello principale è posato un carrello secondario che regge il fotogrammadi sinistra e che è asservito dai motori (Mu1 e Mv1) comandati indirettamente daigeneratori di impulsi G1 e G2. Le quantità (∆u1, ∆v1), spostamenti relativi del car-rello di sinistra rispetto al sistema (u,v ) sono misurate dagli encoder (Eu1, Ev1).

L'orientamento interno avviene in maniera simile a quella descritta al §14.3. Attra-verso i movimenti del pantografo si collimano i repères 1,2,3,4 del fotogramma didestra e si memorizzano le coordinate (u2 , v2)= (u,v ) dei quattro punti attraversola pressione del pedale P.

Le marche 1,2,3 e 4 del fotogramma di sinistra si collimano con gli spostamenti delpantografo e con i movimenti (∆u1, ∆v1) del carrello di sinistra comandati indiret-

1

2

3

4

1

2

3

4

G1

G2

G3

UCCG1G2G3

P

P

u

v

Ev

Eu

Ev1

Mv1

Eu1 Mu1

PANT

(u, v )

(u1, v1 )

∆u1

∆v1

∆u1∆v1

51


tamente ai motori (Mu1 e Mv1) attraverso i generatori G1 e G2.

Alla pressione del pedale P il calcolatore legge le coordinate (∆u1, ∆v1) e le sommaalle coordinate (u,v ):

14.1

È possibile eseguire i calcoli di orientamento interno che consentono di passare dalsistema (u1 ,v1), (u2 ,v2) al sistema interno (x1 , y1), (x2 , y2) e viceversa.

I criteri di accettazione sono identici a quelli già descritti per gli strumenti a quattrocontrolli.

Anche l'acquisizione delle coordinate fotogramma per l'orientamento relativo èsimile alla fase analoga descritta negli strumenti «Helava». La collimazione stereo-scopica avverrà con l'uso contemporaneo del pantografo PANT e dei generatori G1e G2; l'acquisizione e la memorizzazione delle coordinate è comandata dalla pres-sione del pedale P.

Dopo aver collimato un numero di punti adeguato, posti nelle zone descritte inprecedenza, il calcolatore è in grado di fornire ai minimi quadrati, i cinqueparametri incogniti e gli scarti sui punti utilizzati. Se si accetta l'orientamento iniziail ciclo RT dello strumento.

14.8 IL CICLO RT DEGLI STRUMENTI A DUE CONTROLLI

Ipotizziamo che il carrello che porta le due lastre sia fermo, l'ottica di destra collimaun generico punto di coordinate (u2 , v2)= (u,v ) note, come note di conseguenzasono le coordinate lastra dello stesso punto (x2 , y2). Poniamo ad esempio di cono-scere il valore medio z della coordinata modello z di tutti i punti usati per l'orienta-mento relativo. Improvvisamente il calcolatore disattiva i volantini G1 e G2 edattiva il generatore G3 che ha un preciso significato: la rotazione di G3 corrispondead uno spostamento della coordinata modello z .

All'atto dell'accensione del ciclo RT, tale coordinata sul volantino G3 è ad esempioposta uguale al valore z , che viene visualizzato sul monitor del calcolatore.

Ruotando G3 la coordinata z assume il generico valore z .

È ora possibile ricavare le altre due coordinate del punto fittizio collimatoinfatti, dopo l'orientamento relativo i valori t x2 e t y2 espressi dalle

13.54 ed i valori tx1 e t y1 delle 13.55 sono quantità note.

Sono noti anche i valori (X1 Y1 Z1) e (X2 Y2 Z2) dei due punti di presa.

Attraverso le 13.58 è possibile ricavare la coordinata Y del punto collimato e permezzo della 13.55a o 13.55b si ricava la coordinata X .

Questi calcoli avvengono in millesimi di secondo e sullo schermo appaiono con-temporaneamente le tre coordinate (X,Y,Z ).

Dal punto di vista geometrico l'operazione descritta corrisponde al calcolo dellecoordinate (X,Y ) dell'intersezione della retta r" di coseni direttori noti con il pianoZ=costante.

u1,v1( ) u u1, v v1∆+∆+( )=

P X Y Z,,( )≡

52


53

Fig. 14.7

Consideriamo ora la camera di sinistra: sono noti tutti i termini ri j della matrice dirotazione R. A partire dalle coordinate terreno (X , Y, Z ) è ora possibile utilizzare leequazioni 13.48 e 13.49 e ricavare le coordinate (x ', y ') nel sistema interno del foto-gramma di sinistra.

Da queste coordinate, attraverso l'inversione delle 13.7 si passa poi alle coordinatecarrello (u 1 , v 1 ). Infine dalle coordinate (u 1 , v 1 ) si ricavano gli spostamenti(∆u1 ,∆v1) che i due servomotori devono imporre al carrello di sinistra affinché sicollimi il punto fittizio di coordinate .

L' UCC è in grado di comandare in tempo reale questi spostamenti e di trasmettereal computer la posizione dei carrelli e del generatore G3 perché questo possa con-temporaneamente calcolare le coordinate modello (X Y Z ) e le parallassi(∆u1 ,∆v1) da dare al carrello di sinistra.

Dal punto di vista geometrico l'operazione descritta corrisponde al calcolo dellecoordinate del punto P ' date le coordinate di P e di O1 e gli angoli di assetto dellacamera di sinistra.

Ad ogni spostamento del carrello portalastre a Z =costante, il calcolatore devecomandare in tempo reale due spostamenti al carrello di sinistra.

Viceversa, anche per ogni spostamento del valore Z col volantino G3, il calcolatoredeve imporre due spostamenti (∆u1 ,∆v1) al carrello di sinistra.

Dopo l'orientamento relativo, con il movimento del solo volantino G3, è possibileportare le marche a coincidere in qualsiasi punto (della superficie) del modello. Ciò

COORDINATE

CARRELLO NOTE

P ( X, Y, Z ) Z = cost.

O1 O2X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2

P' P"( x1, y1 ) ( x2, y2 )

COORDINATE

CARRELLO INCOGNITE

b

P X Y Z,,( )≡


significa trovare l'intersezione di r" con il modello al variare di Z e trovare di conse-guenza il punto P ' al variare dell'inclinazione della retta r '. Otticamente questaoperazione appare come se la marca di destra fosse ferma sul punto indicato nelfotogramma di destra, mentre la marca di sinistra si allontana o si avvicina allamarca di destra, sino alla coincidenza, al variare del valore di Z , comandato dalvolantino G3.

14.9 L'ORIENTAMENTO ASSOLUTO E LA RESTITUZIONE PER GLI STRUMENTI A DUE CONTROLLI

Le operazioni di collimazione dei punti di appoggio, di memorizzazione delle coor-dinate modello e terreno, il calcolo dei sette parametri di orientamento, avvengonocome descritto nelle pagine precedenti per gli strumenti «Helava».

Dopo aver accettato i risultati della procedura, sono ricavabili le coordinate (E1, N1,Q1)e (E 2 ,N 2 ,Q 2) dei due punti di presa e le matrici di rotazione R ed S complessive,costruite grazie agli angoli di assetto nel sistema esterno (Ω1,Φ1,K1) e (Ω2, Φ2, K2).

Il calcolatore cambia ancora il significato del volantino G3: una sua rotazione corri-sponde ad una variazione di quota Q nel sistema esterno: nell'istante di accetta-zione dell'orientamento, questa quota e le coordinate E, N che appaiono sul videosono i valori rototraslati delle coordinate (X,Y,Z ) che apparivano un istante prima.

Possiamo riscrivere le equazioni 13.53÷13.59 nel sistema esterno.

Le tangenti di direzione sono indicate ora con il simbolo tE, tN.

Si ha ad esempio:

14.2

14.3

14.4

14.5

La 13.58 diviene:

14.6

e la 13.55 diviene:

14.7

Queste coordinate sono calcolate in frazioni di secondo e sullo schermo appaionoassieme alla coordinata Q .

tE1

E E1–Q Q1–-----------------

ξ1

ζ1----

σ 11x1 σ1

2y1 σ13c–+

σ 31x1 σ 3

2y1 σ 33c–+

------------------------------------------ noto= = = =

tN1

N N1–Q Q1–-----------------

η1

ζ1-----

σ12x1 σ2

2y1 σ 23c–+

σ 31x1 σ 3

2y1 σ 33c–+

-------------------------------------------- noto= = = =

tE2

E E2–Q Q2–----------------- ........................ noto= = =

tN2

N N2–Q Q2–----------------- ........................ noto= = =

NQ tN1

tN2+( ) tN1

Q1

tN2Q

2N1 N2+ +––

2----------------------------------------------------------------------------------------------=

E tE1Q Q1–( ) E1+=

54

15. IL SISTEMA DI RILIEVO GPS

15.1 INTRODUZIONE: COS’È IL GPS

Del sistema di rilievo GPS si forniranno solo alcune nozioni, lasciando gli appro-fondimenti al corso di Ingegneria Geodetica.

Il GPS è un sistema di navigazione, basato sulla emissione di segnali radio emessida una costellazione di satelliti artificiali. Il nome completo del sistema è NAV-STAR GPS, che è l'acronimo di NAVigation Satellite Timing And Ranging GlobalPositioning System.

Il sistema è stato progettato per permettere in ogni istante del giorno il posiziona-mento in ogni zona del globo.

Con il termine «GPS» non si intende dunque il solo ricevitore, o la costellazione,ma tutto il sistema; questo a sua volta può essere suddiviso in tre sottosistemi defi-niti segmenti.

I tre segmenti sono:

– la costellazione satellitare (vi sono attualmente 24 satelliti attivi in orbita piùdue di riserva)

– il segmento di controllo, cioè la serie di stazioni a terra della NASA che possonocontrollare e manovrare la costellazione

– il segmento di utilizzo, cioè gli utenti, civili e militari che hanno a disposizioneuno o più ricevitori.

L'utenza ha a disposizione uno strumento passivo: un ricevitore ed una antenna. Laposizione che l’utente ricaverà in base alla ricezione, memorizzazione e alla succes-siva elaborazione dei segnali ricevuti, sarà relativa al centro elettromagnetico, cioè alcentro di fase dell'antenna.

Il concetto è completamente innovativo rispetto agli strumenti topografici tradizio-nali: un posizionamento tridimensionale nello spazio e nel tempo. Il segmentosatellitare, è costituito da 24 satelliti, posti a circa 20200 km da terra, cioè a circa 3volte il raggio terrestre: ciò significa satelliti «alti», non influenzati da attrito atmo-sferico o ad anomalie del campo gravimetrico terrestre.

A queste distanze da terra i satelliti non sono geostazionari, cioè la loro posizione,rispetto ad un punto solidale con la terra, cambia nel tempo. Il loro periodo orbi-tale è di 12 ore siderali: in 24 ore passano due volte sull'osservatore ed hanno, in

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IL

SISTEMA

DI

RILIEVO

GPS

questi passaggi, una visibilità minima di cinque ore. Sono disposti su sei piani orbi-tali, inclinati ciascuno di 60° di longitudine e questi piani sono tutti inclinati di 55°di inclinazione rispetto all'equatore.

Fig. 15.1 – Segmento satellitare: un satellite della costellazione NAVSTAR GPS. Si notino ipannelli solari e le antenne trasmittenti.

La costellazione è stata progettata in questo modo per garantire che, in qualunquepunto del globo, (Global Positioning) ed in qualunque momento del giorno, unutente possa osservare (radio osservare) almeno quattro satelliti.

Ciò è molto importante per l'utenza civile, ma ancor più per quella militare che hala necessità di posizionare i mezzi in tempo reale, in qualunque punto del globo. Abordo dei satelliti vi sono anche dei sensori che servono a localizzare in qualunquepunto del globo il livello di radioattività.

I satelliti compiono le seguenti funzioni:

– trasmettono diverse informazioni agli utilizzatori attraverso l'invio di duesegnali molto complessi;

– ricevono e memorizzano delle informazioni, (non dall'utenza ma) dal seg-mento di controllo, abilitato al comando;

– mantengono un segnale di tempo accurato grazie a quattro orologi atomici,due al cesio e due al rubidio;

– eseguono piccole manovre di correzione d'orbita e perciò devono essere for-niti di una certa quantità di carburante.

Il segmento di controllo è costituito da cinque stazioni della NASA che sono dispo-

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IL

SISTEMA

DI

RILIEVO

GPS

ste su tutto il globo, grossomodo attorno all'equatore. Queste stazioni hanno loscopo di «tracciare», cioè seguire in maniera continua, ogni satellite GPS, e di ela-borare i dati ricevuti da questi satelliti per calcolare le effemeridi, cioè la posizionespazio - temporale di ogni satellite. Un'altra funzione è il controllo degli orologi deisatelliti attraverso degli orologi MASER ancora più precisi di quelli a bordo deiveicoli spaziali.

Il segmento di controllo può imporre eccezionalmente correzioni d'orbita ma ha loscopo ordinario di caricare almeno due volte al giorno nuovi dati sui satelliti. Fraquesti dati, i più importanti sono le effemeridi predette, cioè la previsione delleorbite satellitari nelle future 12 o 24 ore. Queste effemeridi sono quelle che ognisatellite trasmette a terra nel messaggio navigazionale.

Del segmento di utilizzo, si è già parlato, si sottolinea ancora che quello che nor-malmente si ricava è la posizione assoluta o relativa del centro di fase dell'antenna,posta di solito su un treppiede.

Al di sotto dell'antenna può essere alloggiato in uno stesso contenitore, anche ilricevitore o, viceversa, questo può essere collegato esternamente. Il ricevitore imma-gazzina dei dati che poi sono scaricati in ufficio su computer.

Le applicazioni del metodo GPS sono numerosissime, quasi inelencabili: terrestri,marine, aeree e spaziali, per il posizionamento in tempo reale e non; e riguardanoanche aspetti di ricerca che coinvolgono la geofisica, la geodesia, l’elettronica emolte altre discipline.

Un sottoprodotto del posizionamento GPS è il tempo: non è lo scopo primario dimisura del segnale; ma questo dato si è rivelato di fondamentale importanza, per-ché permette di disporre, in tutto il mondo, di un'unica scala dei tempi, grazie allacostellazione GPS.

Si distinguono due tipi di posizionamento: si parla di posizionamento statico se ilpunto che sta ricevendo si mantiene fisso rispetto al corpo terrestre. Si parla di posi-zionamento cinematico nel caso in cui l'antenna si sposti su un oggetto in moto(nave, aereo, macchina ecc.) Il sistema è nato proprio per l’uso navigazionale,quindi cinematico.

Si distinguono vari tipi di trattamento dei dati, ma principalmente questi possonoessere elaborati in due modi: con particolari accorgimenti è alcune volte possibileeseguire un posizionamento in tempo reale, in altri casi il trattamento dei dati equindi il posizionamento avviene al termine delle osservazioni (in post processing).

All’utenza militare interessa fondamentalmente il posizionamento in tempo reale ecinematico di precisione. Per i militari degli USA e degli stati della NATO è impor-tante inoltre che altre nazioni non possano utilizzare il sistema per dirigere aerei omissili, per tale motivo recentemente è stato «degradato» il segnale GPS attraversole tecniche dette «S/A» ed «A/S». Ai fini civili, quando cioè non si desideri contem-poraneamente il tempo reale e l’elevata precisione tale degradazione è ininfluente.

Concetti di base del posizionamento

Ci domandiamo come è possibile arrivare al posizionamento: è stato risposto«attraverso la ricezione di onde elettromagnetiche».

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IL

SISTEMA

DI

RILIEVO

GPS

Come nel caso dei distanziometri ad onde, possiamo misurare con quest’onda, ladistanza stazione satellite; in questo caso le onde portanti inviate sono radioonde ed ilsistema è «ad una via» cioè l’onda è solo ricevuta e non ritorna all’apparato emettitore.

La posizione del punto a terra è ricavabile dalla misura di varie distanze tra la sta-zione ed i satelliti in vista, distanze teoricamente misurabili tra i centri di fase dellerispettive antenne.

Per raggiungere lo scopo è necessario conoscere la posizione spazio temporale diogni satellite della costellazione, ciò avviene grazie alla conoscenza delle effemeridi.

Fig. 15.2

In figura 15.2 vediamo schematizzato il problema: Stabiliamo dapprima un sistemacartesiano geocentrico: il centro di massa terrestre è il naturale riferimento di tutti isatelliti, l'asse Z è orientato verso l'asse di istantanea rotazione del globo (l'asse dirotazione polare), e il piano ZY è diretto a piacere su un meridiano di riferimento.Desideriamo trovare la posizione di un punto P, cioè il vettore r che unisce il cen-tro di massa al punto di misura. L'ipotesi è che si conoscano le effemeridi dei satel-liti, la posizione nel sistema geocentrico di un qualsiasi satellite j in un genericoistante di misura, cioè il vettore R j.

Poniamo di sapere ricavare il vettore che unisce il centro di fase dell'antenna rice-vente con quello dell'antenna GPS. Il vettore posizione di P è dato allora dalla dif-ferenza dei vettori R-d. Rimane da comprendere ora come si misura il vettorestazione-satellite.

Per ricavare le componenti di tale vettore è sufficiente misurare tre quantità scalariindipendenti. Come nel piano è possibile ricavare le coordinate X e Y di un punto Pmisurando le distanze da almeno due punti noti, nello spazio si possono ricavare letre coordinate di un punto con la misura di almeno tre distanze da tre satelliti(punti) di «coordinate note».

Z

Y

R j__

P

r_

d_

X

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IL

SISTEMA

DI

RILIEVO

GPS

Perché allora si debbono osservare almeno quattro satelliti? Il motivo è intrinsecoalla misura: le misure di distanza sono funzioni di quantità temporali; il posiziona-mento è cioè di tipo spazio temporale: ciò che si ricava sono le quattro coordinate delpunto P, o, volendone ricavare solo alcune, non è in ogni caso possibile disgiungerela coordinata temporale da qualsiasi altra coordinata spaziale. Le incognite sonoquindi (X,Y,Z, t ).

Il principio che lega la misura della distanza all'intervallo di tempo impiegato dalsegnale a raggiungere il ricevitore ci richiama il principio di funzionamento deidistanziometri ad impulsi.

Il satellite emette un «impulso», che in realtà è un segnale più complesso, e, daltempo di volo (tempo trascorso tra emissione e ricezione) si determina la distanza trala stazione e ciascun satellite ricevuto.

Fig. 15.3

Ciò è idealmente ottenibile ammessa identica la scala dei tempi dei satelliti e deiricevitori, cioè ipotizzando l’esistenza di un «filo» ideale che unisca l'orologio delricevitore a quello dei satelliti, in tale caso è possibile calcolare correttamente questointervallo.

Ammettiamo per ora che tutti i satelliti abbiano un'unica scala dei tempi (hannoorologi molto precisi), ma dobbiamo ammettere che esiste come quarta incognitauna traslazione tra la scala dei tempi di tutta la costellazione e quella del ricevitore:Per risolvere il problema serve perciò un altro dato: la misura ad un quarto satellite.

Dalla figura 15.2 si comprende anche che la stessa posizione del punto P sarà piùo meno precisa a seconda della posizione dei satelliti nella volta celeste. Se perassurdo tutti i satelliti fossero ben visibili allo zenit, certamente la posizione di Psarebbe ben precisa sulla sola coordinata Z loca l e , ma poco precisa nelle altrecoordinate. Ciò è quantificabile attraverso degli indici detti «DOP» di cui si par-lerà al §15.9.

codice trasmesso

codice ricevuto

segnale generatodal ricevitore

1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0

dt

t1/1000 sec

1

0

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IL

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DI

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GPS

Come per i distanziometri ad impulsi, basterebbe in teoria anche solo un impulso,ad esempio un'onda quadra di 10 ns per misurare ogni distanza: questo impulsogiunge dopo un intervallo ∆ t a terra, la quantità v∆ t misura la distanza voluta.

Il segnale GPS è molto più complesso: è un segnale sinusoidale modulato inmaniera impulsiva. Il segnale GPS contiene cioè un treno di impulsi.

È necessario infatti che attraverso questo segnale si sia in grado di:

a. riconoscere da quale satellite ci giunge l’impulso: siccome le frequenze delleportanti sono identiche per tutti i satelliti; un treno di impulsi ad ondaquadra, (che mantiene il vantaggio del segnale impulsivo) modula in mododiverso, la portante di ogni satellite. Questa onda contiene fra l’altro, innotazione binaria, il nome del satellite emittente. Questa informazione chemodula il segnale di fase di ogni satellite si chiama codice, od anche codicepseudo-casuale. È possibile modulare il segnale di fase con più di un codice avarie frequenze.

L’aggettivo «casuale» è dovuto al fatto che la media di tutti questi codici èzero, ma di fatto il segnale non è per nulla casuale, perché contieneall’interno un messaggio: un numero più o meno complesso a seconda deltipo di codice: C/A, P od Y, D. Il codice definito C/A permette di ricono-scere ogni satellite.

b. occorre capire quale parte del treno d’onda si inizia a ricevere. Ogni codiceha una lunghezza d’onda propria: se all’interno del codice non vi sono partiche si ripetono (per questo uso è necessario che sia «casuale»), la ricezionedi una piccola parte del codice permette di misurare, all’interno della lun-ghezza d’onda del codice, con quale sfasamento o con quale ritardo il seg-nale impulsivo giunge al ricevitore.

Vi sono molti altri motivi che giustificano la complessità dell’intero segnale GPS,uno di questi è l’utilizzo militare del sistema.

15.2 IL SEGNALE GPS

Il segnale è formato da tre parti che sono:

– due onde portanti: L1 e L2;

– due codici detti C/A e P (quest’ultimo è quasi sempre sostituito da un cod-ice definito Y);

– un altro codice detto messaggio D.

Portanti: esistono due frequenze portanti (carrier): sono onde sinusoidali che, comenel caso dei distanziometri EODM «portano» segnali di frequenza diversa, questisegnali sono i codici.

Ogni parte del segnale, codici e portanti, sono generati a partire da multipli o sotto-multipli della frequenza dell’oscillatore. L’oscillatore ha frequenza f0=10.24 MHz.

La portante L1 ha frequenza f1=154 f0 pari alla lunghezza d’onda λ1=19 cm, la por-tante L2 ha frequenza f2=120 f0, pari alla lunghezza d’onda λ2=24 cm. Facciamo perora l’ipotesi di avere una sola onda portante ed una sola onda modulante.

60

IL

SISTEMA

DI

RILIEVO

GPS

Il codice C/A (Coarse Acquisition) ha frequenza fC/A =f0 /10 pari a λ C/A=300 m, esi ripete ogni ms; il codice P (Precision) ha frequenza fP=f0, pari a λ P =30 m, ma siripete identico a sé stesso solo ogni settimana.

Il messaggio D ha frequenza f0/204800 pari a 50 Hz.

Osserviamo la figura 15.4: vi è un’onda portante e un’onda quadra, un codice, chela modula. Il risultato della modulazione è un’inversione di fase della portante.

Fig. 15.4 – La modulazione dell’onda portante con un codice.

Quando il ricevitore rileva una inversione di fase significa che il codice è passato da+1 a -1 (o da uno a zero). Questo è il sistema con il quale modernamente oggi sitrasmettono dati sulle frequenze radio e televisive.

Fino ad alcuni anni fa le portanti radio e televisive erano sfruttate per trasmettere lasola informazione radio e televisiva. Da un certo numero di anni a questa parte,grazie alla scoperta di questi metodi satellitari di trasmissione dei dati, si è pensatoche, senza spesa, era possibile portare anche una informazione digitale sull’ondaradio, modulandola con un’onda quadra.

Supponiamo di ricevere il complesso segnale, risultato della modulazione, con unricevitore digitale che sappia ricevere l’onda modulata e sappia misurare uno sfasa-mento. Tutte le volte che il ricevitore digitale rileva uno sfasamento, misura unaparte di un numero digitale ed è in grado di ricevere un messaggio, ad esempio ilmessaggio televideo.

Se si volesse depurare l’onda dal messaggio occorrerebbe «demodularla»: conoscendoil messaggio digitale è possibile rimodulare ancora l’onda di partenza con un messag-gio identico: le fasi ove subivano una inversione (il segno della fase è –1) modulateancora con l’onda quadra di partenza (che ha segno –1) ritornano a sfasamento nullo.

Questo sistema si presta a trasmettere più di una informazione (più di un segnaledigitale), a patto di avere a disposizione un ricevitore che riesca a filtrare segnali solodi una particolare frequenza.

Si possono modulare portanti ad esempio con un’onda quadra di frequenza 100MHz se nel ricevitore ho un demodulatore tarato sulla frequenza 100 MHz. Se il

Onda portante

Segnale modulato

Codice1

00

-1

0

61

IL

SISTEMA

DI

RILIEVO

GPS

segnale viene modulato contemporaneamente con un altro segnale di frequenza 2MHz e nel ricevitore dispongo anche di un demodulatore che riceve alla frequenzadi 2 MHz, posso ricevere due messaggi.

Ciò è dovuto al fatto che queste onde sono a frequenza molto diversa ed essendopseudocasuali, nel senso «a media zero», in media, non interferiscono tra di loro.

Anche nel sistema GPS, alle portanti si fa «portare» più di un segnale di codice.

Nei satelliti GPS vi sono quattro orologi atomici, ma il segnale di frequenza èunico. Con questa frequenza fondamentale f0=10.23MHz si generano tutte le fre-quenze multiple e sottomultiple delle fasi e dei codici.

Come si vede i codici hanno tutti frequenza molto diversa fra di loro, ciò permettedi ricevere ogni codice senza alcun problema nella demodulazione.

Il messaggio D è un altro codice, molto importante che contiene il messaggio navi-gazionale, cioè le effemeridi dei satelliti: la loro posizione, lo stato di salute deisatelliti, le informazioni sugli orologi a bordo dei satelliti.

La descrizione analitica e completa del segnale nelle due frequenze è datadalle formule:

15.1

15.2

Osserviamo prima il segnale in L2: ha una ampiezza AP e una frequenza fL2. Que-sto segnale sinusoidale è modulato solo dal messaggio D e dal codice P.

Nelle 15.1 e 15.2, davanti alla quantità sin(…) e cos(…), vi sono i termini D(t ) eP(t). Questi valori P e D possono essere solo dei numeri +1 o –1.

Anche i codici sono funzione del tempo t perché hanno una loro frequenza (il cod-ice P ha frequenza f0 e il codice messaggio D ha frequenza di 50Hz).

Il segnale in L1 è più complicato perché ha una parte sfasata di π/2. La parte sfasatacome L2 è modulata anch’essa dal codice P e dal messaggio D, come L2, la parteche dipende dal seno è modulata sempre dal messaggio D e dal codice C/A, unnumero +1 o +1 che dipende dal tempo ed ha frequenza f (C/A )= f0/10.

Una parentesi qui va fatta per capire perché i ricevitori GPS hanno un alto costo.

Uno dei parametri di costo è il numero di osservazioni che possono ricevere. I ricevi-tori marini, palmari, di dimensioni prossime ad una calcolatrice, ricevono normal-mente il codice D ed il codice C/A. questi ricevitori permettono il posizionamentocon precisione dell’ordine di grandezza di ±20 m, più che sufficiente per non per-dersi, il costo è dell’ordine di un milione di lire.

I ricevitori che riescono a de-modulare la quantità si chiamanoricevitori a ricezione della fase e costano attorno a 10-20 M£. I ricevitori che rice-vono entrambe le frequenze costano attorno a 20-25 M£; i ricevitori che ricevonoentrambi i segnali di frequenza e riescono a ricavare il codice P, costano ciascunoattorno ai 25-30 M£.

S L1( ) AC C t( )D t( ) 2πfL1t ϕL1+( )sin AP P t( )D t( ) 2πfL1t ϕL1+( )cos+=

S L2( ) AP P t( )D t( ) 2πfL2t ϕL2+( )cos=

2π fL1 ϕ 1+( )sin

62

IL SISTEMA DI RILIEVO GPS

15.3 PERCHÉ IL SEGNALE È COSÌ COMPLESSO?

Il primo motivo della complessità è dovuta al fatto che è un sistema multiutente:24 satelliti in orbita devono servire un numero imprecisato di utenti: non possonodunque «dialogare» con l’utente, ma trasmettere solo delle informazioni, e riceveresolo quelle delle stazioni di controllo (Colorado Springs, Hawaii, Ascencion, DiegoGarcia e Kwajalein).

La master Control Station di Colorado Springs ha la chiave di accesso a tutta lacostellazione. Con misure ad una via si evita inoltre che l’utenza militare riveli lapropria posizione attraverso l’emissione di onde radio.

È necessario, specie per scopi militari, il posizionamento in tempo reale: cioè ladistanza stazione satellite ad almeno quattro satelliti deve essere calcolata «istanta-neamente» dal ricevitore; non solo, ma ogni satellite deve essere istantaneamentericonoscibile, avere cioè un codice che ne indica il nome: il codice C/A, diverso perogni satellite, individua appunto la provenienza del segnale.

Il posizionamento in tempo reale è tanto più preciso quanto più precisa è la misuradello sfasamento eseguita sul codice. Questa precisione, similmente ai distanziome-tri, è una frazione della lunghezza d’onda del segnale. In questo caso lo scarto qua-dratico medio teorico sulla singola misura è di ±1/100 della lunghezza d’onda delsegnale. Per tale motivo oltre al codice C/A esiste il codice P, di frequenza dieci voltemaggiore. Questo codice è stato recentemente crittografato con un codice notosolo agli stati dell’Alleanza Atlantica, per non permettere ad altre nazioni di poterdirigere con precisione missili od oggetti in rapido movimento sfruttando il sistemadi navigazione GPS.

L’utenza civile è tuttavia in grado di servirsi del sistema per il posizionamento sta-tico e cinematico, ma non più per il posizionamento cinematico «veloce» di preci-sione in tempo reale.

In presenza del codice P, (che è riapparso recentemente per pochi giorni), si puòarrivare ad una precisione teorica di posizionamento di ±30 cm.

Non è possibile aumentare la precisione del posizionamento diminuendo via via lalunghezza d’onda del segnale: come per i distanziometri ad onde, anche qui, e conmaggiore importanza, si ha a che fare con il ritardo atmosferico del segnale. Il seg-nale GPS deve attraversare tutti gli strati atmosferici: allo scopo suddivideremoquesti effetti in due parti, denominate ritardo ionosferico e ritardo troposferico.

I problemi di rifrazione atmosferica, in particolare il ritardo del segnale dovuto allaionosfera, ha suggerito ai progettisti del sistema di utilizzare due frequenze.

A differenza della troposfera, la ionosfera influisce sul ritardo radio in manieradipendente dalla frequenza del segnale: le due frequenze portanti subiscono undiverso ritardo che può essere misurato, valutando da un lato la reale influenza dellaionosfera sul segnale e depurando infine le osservazioni dall’errore ionosferico.

63


15.4 TIPI DI MISURE RICAVABILI DAL SEGNALE GPS

Due tipi di misure è possibile effettuare dalla ricezione del segnale GPS: un tipo dimisura detta pseudorange sui codici, C/A o P (in realtà è possibile eseguire unamisura approssimata anche sul messaggio D) e una misura su ciascuna delle fasi: lafase sulla frequenza L1 e quella sulla frequenza L2.

Dal punto di vista geometrico pseudorange e fase hanno identico contenuto geo-metrico: la distanza stazione satellite.

Le equazioni che si scriveranno saranno volte a esprimere lo pseudorange o la fasecome funzione della distanza stazione satellite, di errori di osservazione e di misura.

È possibile, anche se spesso poco utile, eseguire anche misure Doppler.

L’equazione dello pseudorange

Partiamo dall’equazione dello pseudorange, partiamo cioè dalle misure che possonoessere eseguite sul codice C/A o P.

Il segnale di codice viene emesso in un certo istante t dal satellite k e viene ricevutoin un altro istante T dal ricevitore i. Nelle equazioni che seguono, i pedici fannoriferimento ai ricevitori e gli apici ai satelliti:

La misrealtà qciò il teLa mispossonmodello

Il probche è l’

Ciò è pidenticvitore, identicico (nomassimmente

L’ipotesscala dequello dche l’ormeno d

Ad ognperciò ranee aed il va

15.3P ik c t i

k∆ ρ ik e+= =

64

ura dello pseudorange è uguale al tempo di volo per la costante c. Inuesto prodotto non rappresenta la distanza (il range) stazione-satellite (per-rmine pseudo), in quanto il segnale non si propaga in questo modo ideale.ura P rappresenta la distanza stazione satellite a meno di errori «e» che sio in qualche modo calcolare o stimare. Questi errori possono essere di, sistematici, accidentali e saranno valutati in seguito.

lema è ora capire come si può determinare il tempo di volo ∆ t (delay time)intervallo di tempo tra la trasmissione e la ricezione del segnale.

ossibile grazie al fatto che il ricevitore dispone, in memoria, di una copiaa del segnale dei codici (C/A o P ). Questa informazione binaria, nota al rice-permette di iniziare un processo di correlazione tra il segnale ricevuto ed uno segnale generato dal ricevitore. La correlazione avviene in modo elettron-n numerico) ed in tempo reale: il risultato è la misura ∆ t che consente diizzare la correlazione fra i due segnali (a meno dell’effetto Doppler debita-conteggiato).

i per una misura corretta di ∆t è che i due segnali siano riferiti ad un’unicai tempi, siccome non esiste un collegamento fisico tra l’orologio del satellite eel ricevitore, gli orologi hanno scale dei tempi e precisioni diverse. Ammesso

ologio del satellite sia privo di errore, il tempo di volo può essere misurato ai un certa incognita dT di asincronismo dell’orologio del ricevitore.

i misura di codice il valore ∆ t è misurato a meno di un errore dT incognito,per il posizionamento pseudorange sono necessarie osservazioni contempo-d almeno quattro satelliti per determinare le tre coordinate X, Y, Z del puntolore dT di asincronismo.

t ik∆


Lo scarto quadratico medio teorico σ0 (il valore minimo) delle misure di pseudo-range è di circa 1%, 2% della lunghezza d’onda del segnale. Per il codice C/A σ0, èdi circa ±(3÷6) m, per il codice P è di circa (30÷60) cm. Questi sqm sono di entitàminore rispetto agli errori e che dovranno essere debitamente considerati.

Va sottolineato che tali valori rappresentano i limiti inferiori per il posizionamentoin tempo reale con misure di codice; con misure di fase e in postprocessing è possi-bile migliorare notevolmente le precisioni di posizionamento, anche di oggetti inmovimento.

Esplicitando il termine e della 15.3, l’equazione dello pseudorange diviene:

Il termisecondageometr

I terminprimo tequalcheessere trnon tancorrezio

I terminad una s

L’equazio

L’equazidei distadorangemento,

Per defiricevitotempo d

Essendo

ed amm

Si prenddel ricev

15.4P ik c t i

k∆ ρ ik c dt k dTi–( ) dion dtrop+ + += =

65

ne rappresenta la misura eseguita nel ricevitore, la parte destra della equazione indica a cosa corrisponde la quantità misurata nel modello fisicoico.

i e esprimono gli errori (i ritardi) troposferici e ionosferici. Ilrmine può valere anche 100 m o150m; il secondo termine è dell’ordine di metro: nel caso in cui si utilizzi il codice C/A l’errore troposferico puòascurato, Si trascura, rispetto alla precisione del codice, anche l’errore ,to per l’esiguità del valore ma grazie al fatto che la maggior parte di questane è nota, in quanto trasmessa dai satelliti nel messaggio di navigazione.

i , sono gli errori di orologio del satellite k e del ricevitore i rispettocala dei tempi di riferimento (R ) per tutto il sistema.

ne della fase

one della fase è più complessa. Ciò che il ricevitore misura, come nel casonziometri a misura della fase, è uno sfasamento. Anche nel caso dello pseu- si misura un valore ∆ t che può essere ricondotto ad un valore di sfasa-ma solo in modo indiretto.

nizione, ciò che si misura è la fase generata dal ricevitore i , al tempo delre T, meno la fase ricevuta dal ricevitore i ma generata dal satellite k alel satellite t:

15.5

la frequenza f :

15.6

ettendo che la frequenza f non cambi nell’intervallo (T-t ) si ha:

a ora una scala dei tempi di riferimento (R ), rispetto alla quale l’orologioitore ha un errore dT e quello del satellite un errore dt :

P ik

dion dtrop

dt k

dt k dTi

Φoss T( ) ϕgen i( ) T( ) ϕ ric i( )gen k( ) t( )–=

f ∂ϕ∂t------=

ϕ gen k( ) t( ) ϕ gen k( ) T( ) f T t–( )–=

Φoss T( ) ϕgen i( ) T( ) ϕ ric i( )gen k( ) T( ) f T t–( )+–=


Ricordando l’equazione 15.3 che possiamo riscrivere:

15.7

15.8

In realtà la 15.8 esprime uno sfasamento misurato sulla frequenza di lunghezzad’onda λ 1 o λ 2, a meno di un numero intero di cicli che intercorrono trail centro di fase dell’antenna del satellite ed il centro di fase dell’antenna del ricevi-tore. Come nel caso dei distanziometri ad onde, questo numero , inco-gnito a priori, viene chiamato ambiguità. L’equazione completa della fase è allora laseguente:

Differentemente che nel caso dei distanziometri, il sistema di misura è in questocaso dinamico: se pure non si muove il ricevitore, in un secondo il satellite percorrecirca quattromila metri.

La misura della fase sarebbe allora del tutto inutile se non fosse possibile misurare,all’interno del ricevitore, di quanto si è spostato il satellite dall’istante di accensioneT0 all’epoca di misura T. Il ricevitore ha la possibilità di contare il numero intero

che rappresenta il numero di volte che la fase, a causa del moto delsatellite, si è azzerata tra gli istanti T0 e T. Per tale motivo, anche se le misure ven-gono memorizzate ad intervalli regolari di diversi secondi, una perdita di contattoricevitore-satellite anche di pochi millisecondi annullerebbe la possibilità di questoconteggio.

Nell’equazione compaiono anche gli errori sistematici MP e CF. Il primo rappre-senta l’errore di multipercorso o multipath, il secondo un eventuale errore geome-trico del centro di fase dell’antenna del ricevitore. Per una gran parte di misuretradizionali questi errori possono essere trascurati; mediati od eliminati, perciò nonappariranno in seguito.

Moltiplicando l’equazione 15.9 per la lunghezza d’onda λ =c / f , (λ 1 o λ 1) l’equa-zione assume unità di misura metriche:

Confronionosfer

ϕ gen k( ) T( ) ϕ R T( ) f dt k;–=

Φoss T( ) f T t–( ) f dt k dTi–( );+=

ϕgen i( ) T( ) ϕ R T( ) f dTi–=

Φoss T( ) f t ik∆ f dt k dTi–( )+=

t ik∆

ρ ik

c------

dtrop dion–( )c

------------------------------+=

Φoss T( )fc---- ρ i

kfc---- dtrop dion–( ) f dt k dTi–( )+ +=

N ik T0( )

N ik T0( )

N ik T0 T–( )

15.10L λΦ ρ i

k dtrop dion c dt k dTi–( ) + +–+= =

λN ik T0( ) λN i

k T0 T–( )+ +

15.9Φoss T( )

fc---- ρ i

kfc---- dtrop dion–( ) f dt k dTi–( )+ + +=

MPi CFi N ik T0( ) N i

k T0 T–( )+ + + +

66

tando l’equazione con la 15.4 notiamo che è invertito il segno del ritardoico. Ciò si deve al fatto che la ionosfera si comporta in modo diverso


sull’onda portante e sull’onda modulante: il ritardo di gruppo (cioè sull’onda modu-lante) è uguale e di segno opposto al ritardo di fase (cioè sull’onda portante).

Il valore metrico del ritardo ionosferico è in prima approssimazione inversamenteproporzionale al quadrato della frequenza della portante, cioè, per le due frequenze:

La 15.10 diviene:

Gli indpseudola posizmine

Nell’eqmine

15.5 G

Nelle esono suprende

a.

b.

c.

Gli errfase e s

b1

b2

15.11

15.12

dion 1( ) I ik K1I i

k= =

dion 2( ) I ik

f 12

f 21

------ I ik 77

60------

2

K2I ik= = =

ρ

N

15.13L1 1, ρ ik dtrop K1 2, I i

k c dt k dTi–( ) λ1 2, N ik

1 2, λN ik

1 2, T( )+ + +–+=

67

ici 1, 2 indicano le due frequenze del segnale. Come nell’equazione dellorange le incognite geometriche sono ancora le tre coordinate Xi,Yi,Zi, cioèione tridimensionale del centro di fase dell’antenna, che compaiono nel ter-

:

15.14

uazione della fase compare una quarta incognita, l’ambiguità intera ; il ter-, come detto, è invece una quantità nota misurata dal ricevitore.

LI ERRORI DEL POSIZIONAMENTO GPS

quazioni di pseudorange e di fase abbiamo introdotto degli «errori» che pos-perare lo sqm teorico di misura. È di fondamentale importanza allora com-

rne l’influenza. Li dividiamo in tre tipi:

I puri errori accidentali di misura. Sono quelli che abbiamo già visto,dell’ordine di 1%-2% della lunghezza d’onda. Sul codice C/A il puro errorestrumentale è di ±(3÷6) m, sul codice P è di ±(30÷60)cm, sulle portanti L1e L2 è di ±(2÷4) mm.

Oltre a questi errori strumentali esistono:

Errori sistematici o di modello (biases);

Errori di osservazione in senso lato.

ori sistematici non cambiano di segno, sono comuni alle misure di range e diono così suddivisi:

.Errori di orologio: orologi dei satelliti e dei ricevitori. È possibile dividerel’errore di un orologio in due parti: un asincronismo, cioè una traslazionenell’asse dei tempi rispetto a un riferimento ideale ed una (in) stabilità chedipende dal tempo. L’errore dell’orologio del ricevitore in termini metricic∆T può valere ad esempio anche 100m e più.

.Errori di orbita: nelle equazioni precedenti abbiamo ipotizzato di conoscerele effemeridi dei satelliti. Le effemeridi sono note con precisione diversa a

ik

ρ ik X k Xi–( )2 Y k Yi–( )2 Z k Zi–( )2+ +=

N ik

ik T0 T–( )


seconda a seconda che siano predette (broadcast) o calcolate a posteriori(precise). Nel primo caso possiamo ipotizzare errori εx ,ε y,ε z di qualchecentinaia di metri, nel secondo si raggiungono precisioni metriche. Questierrori si scaricano direttamente nel posizionamento assoluto sulle coordi-nate incognite del ricevitore ma hanno minore importanza nel posiziona-mento differenziale.

Chiamando δb la variazione della base a terra, δr l’errore d’orbita, r ladistanza terra satellite e b la base, si è visto empiricamente che:

b3.Errori atmosferici: sono già stati suddivisi in errori troposferici dtrop ed erroriionosferici dion. Sono comuni alle equazioni del range e della fase ma men-tre gli errori ionosferici dipendono dalla frequenza (della portante), glierrori troposferici sono identici per entrambe le frequenze. I valori massimidi questi errori sono:

max dtrop = 4÷10 m

max dion= 100÷200 m

L’errore troposferico a sua volta può essere diviso in una componente seccaed una componente umida.

b4.Ambiguità delle portanti: di per sé il termine (bias di ambiguità)non è un errore sistematico: è una quantità incognita, ma questa quantitàintera viene calcolata come un qualunque numero reale in un processo aiminimi quadrati e poi «fissato» forzatamente all’intero più prossimo e pro-babile. Se questa quantità intera viene calcolata con un certo errore, taleerrore si scarica sistematicamente sul posizionamento.

L’entità di molti bias è in genere superiore alla lunghezza d’onda della fase. Se nonsi trovasse il modo di eliminare l’effetto degli errori sistematici, le equazioni cheabbiamo scritto, specie quella della fase, sarebbero inutilizzabili dal punto di vistametrico. Le vie seguite allo scopo sono due: modellizzazione e differenziazione.Modellizzare vuol dire cercare un modello fisico matematico del fenomeno che siaragionevole e poi applicarlo per eliminare gran parte dell’errore. Ad esempio perl’errore dt dell’orologio del satellite facciamo l’ipotesi che questo errore vari neltempo con una legge quadratica del tipo: dt=a0+a1t +a2t2 in tutto l’arco di tempodi misura. Ciò avviene a scapito dell’introduzione di altre tre incognite: a0, a1, a2ma, in un intervallo di tempo nel quale si possono avere anche un migliaio di osser-vazioni, la ridondanza globale non diminuisce di molto.

Ciò che rimane dopo l’applicazione del modello è un errore residuo, certamentemolto minore dell’errore di partenza (diversamente il modello sarebbe pocoadatto). L’errore residuo avrà segno alterno, e dunque in parte sarà mediato damolte misure.

Questo esempio applicato all’errore di orologio può essere fatto per gli errorid’orbita e solo in parte per gli errori atmosferici. Dunque gli errori sistematici, puressendo di due o tre ordini di grandezza degli errori accidentali sono in gran parte

δrr

----- δbb

------=

N ik T0( )

68


eliminabili. La maniera più seguita attualmente per eliminare la gran parte di talierrori è la tecnica della differenziazione, che tratteremo con estensione.

Cataloghiamo fra gli errori «di osservazione» tutto ciò che non è né sistematico néaccidentale, cioè:

– Errore di multipercorso (multipath). L’ipotesi di partenza è che il segnaleemesso dal satellite giunga direttamente al centro di fase. Non sempre ècosì, per lo meno per una piccola parte del segnale: vi può essere un osta-colo prossimo all’antenna del ricevitore che devia una parte del segnale chearriva in tal caso all’antenna in maniera indiretta. Il valore misurato dalricevitore dello sfasamento può differire di una quantità massima di π/2dal valore teorico della formula 15.9. L’errore di multipath dipende dallaposizione degli ostacoli, dalla loro riflettività ai segnali GPS e anchedall’altezza apparente del satellite (se il satellite fosse allo zenit l’erroresarebbe teoricamente nullo).

– Vi sono degli errori dipendenti dall’elettronica del ricevitore. Quandoabbiamo parlato di come si misura lo sfasamento all’interno del ricevitore siè visto che elettronicamente avviene una correlazione in tempo reale.Quando qualcosa non funziona nella correlazione o perché il segnale è«sporco», cioè rumoroso, o per problemi dell’elettronica, la misura differi-sce da quella ideale.

– Vi sono errori di osservazione dovuti allo spostamento del centro di fasedell’antenna. Questo centro è infatti un punto teorico, elettronico, nonmeccanico, che cambia, in funzione della frequenza (il centro di fase per L1può non coincidere con il centro di fase per L2: in pratica le antenne sonocostruite in modo tale che i due centri di fase coincidano) e dell’angolo dielevazione secondo il quale viene ricevuto il segnale. Questi cambiamentisono spesso trascurabili per misure mediate nel tempo. Per osservazioniistantanee (per il posizionamento cinematico di precisione) tale errorepotrebbe essere non trascurabile.

– Un altro famoso errore di osservazione è il cycle slip, cioè la perdita del con-tatto stazione-satellite, ciò fa si che dall’epoca di misura successiva alla per-dita del segnale si introduca una nuova incognita, un nuovo numero interoN ’ da calcolare. In senso stretto il salto di fase, è una perdita di segnale, nonun «errore».

– Vi sono infine le interferenze elettromagnetiche. Causano in caso favorevoleuna rumorosità del segnale, per cui anche le misure di fase e di codice hannosqm intrinseco maggiore ed, in caso sfavorevole, la perdita del segnale di faseo di codice. Ciò avviene in vicinanza di un elettrodotto, presso una stazioneradar, o più frequentemente, come si è verificato a Torino, esiste una trasmit-tente radio o televisiva che emette dei segnali in banda L2 o peggio L1. AlPolitecnico si pensò dapprima che il segnale di disturbo fosse un’armonica diun segnale radio, tuttavia si verificò che il segnale di disturbo era emesso nellabanda fondamentale L1. In tal caso un tipo di protezione può essere abbassarel’antenna in un punto fisicamente nascosto dal segnale di disturbo, con taleespediente si aumenta purtroppo l’influenza del multipath.

69


15.6 LA TECNICA DELLA DIFFERENZIAZIONE

In alcuni casi i bias sono di difficile modellizzazione, ad esempio la componenteumida dell’errore troposferico. In questo caso gli errori di modello residui potreb-bero essere ancora più dannosi dell’errore d’osservazione stesso. Per valutare esatta-mente l’influenza della troposfera è necessario conoscere con elevata precisione latemperatura, la pressione e l’umidità relativa, non solo del punto di misura, ma ditutta la troposfera attraversata dal punto di misura verso la direzione dei satellitiosservati.

Questo errore tuttavia è correlato spazialmente, cioè è molto simile per punti vicinisulla superficie terrestre.

Spostiamo per ora il problema del posizionamento dall’assoluto al relativo, il chesignifica che ha meno importanza la conoscenza della posizione assoluta di unpunto sulla superficie terrestre ma è più importante conoscere la posizione relativadi un ricevitore rispetto al secondo, che è data dalla differenza vettoriale dei vettoriRi ed Rj delle due posizioni geocentriche e viene chiamata «base».

Il vettore differenza (la base) dipende dalla differenza delle osservazioni di due rice-vitori verso ciascun satellite.

Ipotizziamo che le osservazioni dei due ricevitori siano affette da un certo numerodi errori sistematici, in maniera metricamente identica sui due ricevitori. Questibiases sono in tal caso automaticamente eliminati nella differenza delle osservazionidei ricevitori.

L’ipotesi è ragionevole quanto più i punti a terra (della rete di misura) sono vicinirispetto alla distanza stazione satellite. Ciò vale quindi in parte anche per reti diqualche centinaio di km.

Nel posizionamento differenziale le quantità che si tratteranno non saranno allorapseudorange e fasi, ma differenze di pseudorange e differenze di fasi, misurate daalmeno due stazioni a terra.

Il posizionamento assoluto sarà ancora eseguibile con precisione attraverso unaoperazione di inquadramento, vincolando la rete locale in una più vasta rete nazio-nale (ad esempio la rete IGM95 o la rete IGS) le cui coordinate sono note con mag-gior precisione in un sistema globale.

Nel trattamento differenziale possiamo utilizzare differenze di codice (C/A o P ) odi fase (L1, L2) o combinazioni di queste quantità, di seguito parliamo solo di dif-ferenze di fase in quanto, come premesso, il post-trattamento (post processing)delle fasi porta al posizionamento di precisione.

Le equazioni delle differenze prime di fase (ai ricevitori)

Consideriamo due ricevitori che indichiamo con i ed l ed un satellite k. Le osserva-bili sono le fasi e e la differenza di queste quantità si chiama differenzaprima o singola, si indica con o genericamente con . Il simbolo ∆ «diritto»indica mnemonicamente che vi sono due ricevitori a terra ed un satellite comune invista. Per definizione vale:

15.15

Φ ik Φ l

k

∆Φ ilk ∆Φ

∆Φ ilk Φ i

k Φ lk–=

70


In termini metrici, utilizzando cioè la 15.10 e non la 15.9, questa differenza vale:

15.16

La lunghezza d’onda λ è quella del segnale L1, L2 o quella di combinazioni interedelle due fasi.

In questa differenza scompare l’errore troposferico e l’errore ionosferico, (abbiamoammesso che siano identici per entrambi ricevitori), scompare anche l’erroredell’orologio del satellite k ed ogni altro errore sistematico (l’errore di orbita ε adesempio) relativo al satellite k. Rimangono ancora fra le incognite le differenze diinteri, .

Per il posizionamento assoluto o relativo è necessario osservare almeno quattrosatelliti, in questo caso, avendo cioè due stazioni e quattro satelliti, è possibile scri-vere quattro differenze singole ∆.

È facile vedere che queste quattro osservazioni sono fra loro incorrelate. Prendiamoallo scopo solo due differenze singole: la prima tra i ricevitori i ed l ed il satellite k,la seconda tra i ricevitori i, l ed il satellite j. Queste due differenze singole valgono,in termini matriciali:

15.17

Ipotizzando che la matrice di varianza covarianza delle fasi grezze sia unacostante per la matrice identità, cioè si ottiene, per propagazionedella covarianza:

In questo modo si è dimostrato che le differenze singole sono incorrelate, ed il loroscarto quadratico medio è volte maggiore dello scarto quadratico mediodelle fasi grezze.

Una differenza prima è costruibile anche con un ricevitore e due satelliti, si indicain tal caso con il simbolo (nabla) ed elimina errori diversi. Ad esempio la diffe-renza prima ai satelliti elimina gli errori comuni del ricevitore, oltre agli erroriatmosferici.

Le equazioni delle differenze seconde di fase

Consideriamo ora due ricevitori che indichiamo con i ed l ed due satelliti k e j. Leosservabili sono le differenze prime di fase e e la differenza che formiamo,che si chiama differenza seconda o doppia, si indica con o genericamente con

. Il simbolo indica mnemonicamente che vi sono due ricevitori a terra edue satelliti comuni in vista per ogni differenza seconda.

Per definizione la differenza seconda vale (in unità metriche):

λ∆Φ ilk ρi

k ρlk–( ) c dTi dTl–( ) λ Nil

k∆+–=

Nilk∆

∆ ilk

∆ilj

1

0

1–

0

0

1

0

1–

Φ ik

Φ lk

Φ ij

Φ lj

AΦ = =

CΦΦ σ 2I=

C∆∆ ACΦΦ AT 2σ 2I= =

σ ∆2 2

∇

∆ilk ∆il

j

∆ilkj

Φ∆∇ ∆∇

71


15.18

Sono scomparsi ora anche gli errori di orologio dei ricevitori, mentre è rimasta unadifferenza seconda di un numero intero, moltiplicata per la lunghezza d’onda delsegnale utilizzato.

Quante equazioni di differenza seconda si possono scrivere con due ricevitori, (i, l )e quattro satelliti (k, j, s, t)? La risposta è solo tre osservazioni indipendenti; una qua-lunque quarta differenza doppia può essere solo una combinazione lineare delleprecedenti tre.

Ci domandiamo ora se queste tre differenze doppie sono ancora fra loro incorrelate.

In termini matriciali le tre differenze doppie valgono:

15.19

con .

Applicando la legge di propagazione della covarianza si ha:

15.20

Fig. 15.5 – Andamento delle doppie differenze di fase nel tempo.

Le differenze doppie sono fra loro correlate: il coefficiente di correlazione ha valore– 0 .5. Il rumore (lo scarto quadratico medio) delle differenze doppie è pari a due volteil rumore delle fasi grezze. Le differenze doppie hanno tuttavia delle buone proprietà:

∆ilkj∇ ∆ il

k ∆ill– ρ i

k ρlk–( ) ρ i

j ρlj–( )–[ ] N

ilk∆ N

ilj∆–( )λ 1 2,+= =

∆ilkj∇

∆ il

js∇

∆ il

st∇

1

0

0

1–

1

0

0

1–

1

0

0

1–

∆ilk

∆ilj

∆ ils

∆ ils

A ∆==

C∆ 2σ2I=

C ∆∇∆∇ 4σ 2

1

1– 2⁄0

1– 2⁄1

1– 2⁄

0

1– 2⁄1

=

∆

∆

Φ

Ts Tempo T

72


nel tempo variano poco e, per come sono state scritte, all’apparire di un salto di fase,dovuto ad un problema legato ad uno dei due ricevitori o ad uno dei due satelliti, èpossibile ancora risalire alla comprensione di dove è avvenuto il cycle slip.

Di per sé queste differenze doppie, dovrebbero essere «abbastanza lisce», dipen-dendo dal moto apparente dei satelliti k e j rispetto alla base (i-l ).

In realtà queste quantità varano anche a causa del fatto che differenziando non sieliminano completamente i biases, ma solo in gran parte. Quando interviene unsalto di fase, all’epoca Ts , la differenza doppia varia di una quantità intera inco-gnita. Se il contatto con il satellite venisse ripristinato subito dopo, potrebbe esserepossibile «ricucire» questo salto di fase, cioè misurare di quanto è variata nel tempola differenza doppia. Se il contatto riprendesse dopo parecchio tempo, i biasessarebbero tali da non permettere di risalire con affidabilità al valore del salto difase.Per comprendere che è avvenuto un salto di fase la tecnica è eseguire una diffe-renza nel tempo di differenze doppie, cioè costruire una differenza tripla.

Le equazioni delle differenze terze di fase

Consideriamo ora due differenze doppie al tempo T1 ed al tempo T2. La differenzadi due differenze doppie nel tempo:

15.21

si indica con ed è per definizione una differenza terza o tripla. L’equazione delledifferenze terze può essere scritta:

15.22

Teoricamente tale valore dovrebbe essere circa nullo per rilievi statici e per epochemolto vicine. Nelle differenze terze non esiste più come incognita l’ambiguità.

La loro matrice di varianza covarianza è simile a quella delle differenze doppie, mail rumore è volte maggiore di quello delle fasi grezze. Le differenze terze siusano spesso in due casi: in fase di pre-processamento per individuare a che epocaavviene un salto di fase e, possibilmente per «ricucirlo». Le differenze terze sono uti-lizzate anche per ottenere, sempre in pre-trattamento, un posizionamento approssi-mato di precisione. Con l’uso delle differenze terze gli unici parametri incognitisono le coordinate dei vertici della rete (a meno delle coordinate di un vertice diriferimento).

15.7 LA RIDUZIONE DI BIASES CON COMBINAZIONI DI OSSERVABILI GREZZE

È possibile ridurre o eliminare alcuni bias con particolari combinazioni di codicio/e di fase senza ricorrere alla differenziazione. La strada che si segue normalmenteè in realtà duplice, cioè utilizzare le differenze (doppie o triple) di queste particolaricombinazioni.

Le combinazioni di osservabili grezze di fase (non di codice) assumono una lun-ghezza d’onda teorica diversa in genere da λ 1 o λ 2, per tale motivo di volta in volta

δ∆ilkj ∆il

kj T2( ) ∆ilkj T1( )–=

δ∆ilkj

δ ∆ilkj∇ δ ρ i

k ρlk–( ) ρ i

j ρlj–( )–[ ]=

2 2

73


andrà chiarito se ha senso parlare ancora di ambiguità intera e calcolata la lun-ghezza d’onda del segnale risultante.

Riscriviamo le due equazioni di fase 15.13 in termini metrici 15.23 e 15.24 ed intermini adimensionali 15.25 e 15.26 e scriviamo anche le due equazioni di cod-ice 15.27 e 15.28:

In questN (T0) multipaequazion

I codici

Quando

La frequ

e la sua

Dalla 15

se α e β

Φ1ρλ-----

Iλ----- f1 dt dT–( ) ζ E+( )

λ----------------- n1+ + +–=

15.23

1 1 1

L1 ρ ik Ii

k dtrop( )ik c dt k dTi–( ) λ1n1i

k+ + +–=

15.24L2 ρ ik f1

f2---

2

Iik dtrop( )i

k c dt k dTi–( ) λ 2n2ik+ + +–=

e equazioni abbiamo conglobato in un unico intero n l’ambiguità incognitae l’ambiguità misurata N (t ); sono per ora ancora trascurati altri bias cometh, errore di effemeridi, errori dei centri di fase delle antenne, ecc. Le stessei alla fase si scrivono:

P1 e P2 valgono:

15.27

15.28

si combinano due fasi occorre tenere conto che:

15.29

enza del segnale sintetico così ottenuto diviene:

15.30

lunghezza d’onda risulta:

P1 ρ ik Ii

k dtrop( )ik c dt k dTi–( )+ + +=

P2 ρ ik f 1

2

f 22----- Ii

k dtrop( )ik c dt k dTi–( )+ + +=

Φαβ αΦ1 βΦ2+=

fαβ α f1 β f2+=

15.31λαβcfc--- c

α f1 β f2+----------------------= =

15.25Φ1

ρ ik

λ1-----

Iik

λ1-----

dtrop( )ik

λ1----------------- f1 dt k dTi–( ) n1i

k+ + +–=

15.26Φ2

ρ ik

λ2-----

f1

f2λ1

---------Idtrop( )i

k

λ2----------------- f1 dt k dTi–( ) n2i

k+ + +–=

74

.29 risulta che se N1 e N2 sono le ambiguità intere delle due portanti:

15.32

sono interi, anche se Nαβ è un numero intero.

Nαβ αN1 βN2+=


Dalla 15.31 appare che: Inoltre, in termini metrici,

15.33

Lo sqm

Combi

Se esamnita da

Scompambigu

Il term

QuestaAnche

(Eserciz

La 15.3

Combi

Dalle esfericoordine)

λαβ ∞ per α f1 βf2–=→

Lαβ λαβΦαβ=

Lαβc

α f1 β f2+----------------------

α L1

f1

c---- β L2

f2

c-----+=

Lαβ L1 α f1

α f1 β f2+---------------------- L2

β f2

α f1 β f2+---------------------- aL1 bL2+=+=

Lαβ aL1 bL2+=

15.34aα f1

α f1 β f2+---------------------- ;= b

β f2

α f1 β f2+----------------------=

75

dell’osservazione sintetica 15.33 vale:

15.35

nazione «geometry and clock free» L4

iniamo le 15.23, 15.24 e la 15.33 notiamo che nella combinazione L4 defi- a=1, b=–1:

15.36

aiono il range , gli errori di orologio, gli errori troposferici e rimangono leità e gli errori ionosferici:

15.37

ine in parentesi vale – 0.646944444 I .

quantità può dunque essere usata per la stima del modello ionosferico.in termini di codici si ha:

15.38

io: può essere interessante il confronto di L4 e P4).

1 mostra α =–β, cioè α f1= –βf2, pertanto:

15.39

nazioni «iono free» L3

quazioni 15.23 e 15.24 prendiamo in esame solo il range e l'errore iono-; cerchiamo una combinazione L3 tale per cui si annulli (almeno al primo l'errore ionosferico e compaia solo il range , cioè:

σ Lαβ( ) λαβ α 2 β 2+ σΦ2⋅=

L4 L1 L2–=

ρ ik

L4 I 1f 1

2

f 22------–

– λ 1n1 λ 2n2–+=

P4 P1 P2– I 1f 1

2

f 22------–

= =

λ4 ∞=

ρ ik

ρ ik

L3 aL1 bL2+ 1ρ ΦI …( )+ += =


Si ricava:

15.40

e, dalle 15.34:

15.41

15.42

Allo stesso modo la combinazione analoga del codice risulta:

15.43

(Esercizio: esaminare le quantità L3 – P3)

Essendo α e β numeri reali, la quantità N3 non è un numero intero. Per tale motivonon ha significato fisico la lunghezza d'onda λ3 del segnale iono free, anche se èpossibile calcolarla in questo modo:

esaminiamo le equazioni di fase 15.25 e 15.26; combinandole con i coefficientiα 1=1 e β= (– f2/ f1) si annulla l'effetto ionosferico.

15.44

15.45

Si ha:

Wide lane

Prendiamo in considerazione la combinazione:

15.46

aρ aI α …( ) bρ bf 1

2

f 22

------ I b …( )+–+ +– 1ρ 0 I⋅+=

a b+ 1=

a b f 1

2

f 22

------+ 0=

af 1

2

f 12 f 2

2–------------------ 2.5457;= = b

f 12

f 12 f 2

2–------------------ 1.5457;–=–=

α f1;= β f2–=

L3 ρ dtrop c dt k dTi–( ) αλ 1n1 βλ 2n2+ +–+=

P3 ρ dtrop c dt k dTi–( )+ +=

Φ3 Φ1

f 1

f 2

-----Φ1–=

Φ3ρλ 1-----

f 1

f 2

----- ρλ 2-----⋅–

Iλ 1-----

f 2

f 1

-----f 1

f 2

-----⋅ I

λ 1----- …+ +–=

f3 f1

f 2

f 1

----- f 2⋅– f 0 154 1202

154-----------–

33.22078 f 0= = =

λ 3cf3--- 11.35cm= =

LW L1 1–,=

76


77

cioè:

15.47

Dalle 15.23 e 15.24 si ha:

15.48

con:

15.49

Narrow lane L1,1

Prendiamo la combinazione:

15.50

cioè:

15.51

15.52

Dalle equazioni 15.23 e 15.24 si ottiene ancora:

15.53

con:

15.54

Si noti infine che la quantità:

15.55

α 1;+= β 1–=

fW f1 f2–=

LWc

34 f0------------ 86.25cm= =

LW λ W ΦW1

f1 f2–------------- L1 f1 L2 f2–( ) 154

34--------- L1

12034--------- L2–= = =

LW ρf1–

f1 f2–--------------

f 12

f 2 f1 f2–( )------------------------+

I c dT dt–( ) dtrop λ W nW ε+ + + + +=

λ W nW

f1

f1 f2–-------------- n1λ 1

f2

f1 f2–-------------- n2 λ 2–=

Ln L1 1,=

α β 1= =

fN f1 f2+ λ Nc

120 154+( )f0--------------------------------- 10.70cm= =⇒=

LN λ N ΦN1

f1 f2+------------- L1f1

1f1 f2+------------- L2 f2+

120274--------- L1

154274--------- L2–= = =

LN ρ If1

f1 f2+--------------

f 12

f 2 f1 f2+( )------------------------+

c dT dt–( ) dtrop λ N nN ε+ + + + +=

λ N nN

f1

f1 f2–------------- n1λ 1–

f2

f1 f2+( )------------------ n2 λ2+=

LW LN– 2 f1 f2

f 12 f 2

2–--------------- L1 L2–( )+ κ L4= =


è detta segnale ionosferico ed è proporzionale alla combinazione geometry free.

Il codice narrow lane vale:

15.56

15.8 TECNICHE TRADIZIONALI DEL TRATTAMENTO DEI DATI GPS

Poniamo di aver eseguito una campagna di misure; per semplicità ipotizziamo diaver avuto a disposizione solo due ricevitori: ciò che si desidera è il posizionamentorelativo di ogni punto della rete che raggiunge in media precisioni di 10–6, 10–7, o10–8 per basi corte (sino decine di km), medie (centinaia di km) o lunghe (migliaiadi km). Il trattamento dei dati avviene in genere dopo averli scaricati dalla memoriadel ricevitore al computer e lo scopo è ricavare le coordinate relative delle due sta-zioni, cioè le componenti di ogni «base» misurata della rete (dx,dy,dz ).

Normalmente i passi che si seguono sono i seguenti:

Come in tutti i problemi ai minimi quadrati non lineari si parte da valori approssi-mati dei parametri. Cosa sono i parametri incogniti? Non solo le coordinate delsecondo punto rispetto al primo (le componenti della base), ma anche le ambiguitàincognite, o le differenze seconde di ambiguità.

La posizione approssimata del punto si ricava dallo pseudorange, cioè con uno dei duecodici: se o con il codice C/A o, meglio ancora con il codice P se non crittografato.

È possibile spingerci al trattamento differenziale dei codici. Normalmente, ricavati ivalori approssimati dei parametri, si usano le differenze triple di fase, che non con-tengono come incognite le ambiguità di fase. Il posizionamento è già un posiziona-mento di precisione, submetrica e spesso subdecimetrica.

Le differenze triple, consentendo un buon posizionamento, possono cioè consen-tire la determinazione delle ambiguità iniziali. Attraverso le coordinate (le compo-nenti della base) ricavate dalle differenze triple è possibile calcolare un valore realeapprossimato delle ambiguità, o meglio delle differenze doppie di ambiguità. Que-ste operazioni possono essere eseguite utilizzando entrambe le frequenze o, meglioancora, la combinazione L3 delle frequenze L1 ed L2. Tale combinazione non èinfluenzata dal bias ionosferico.

Si costruiscono ora le differenze doppie e si ricavano ai minimi quadrati le compo-nenti delle basi e le ambiguità. Tali ambiguità sono così ricavate come numeri reali(trattamento float): in realtà la natura di questi numeri è intera. Se è possibile stabi-lire con affidabilità che le ambiguità ricavate sono stime corrette dei rispettivi valoriinteri, queste ambiguità «vengono fissate ad intero». Se cioè ad esempio viene rica-vato fra gli altri il numero 12.015+/-0.03 e la sua precisione indica che è la stimadel numero intero 12, questi numeri reali vengono corretti e riportati ai valoriinteri. L’ultimo passo è il ricalcolo delle componenti della base alle differenze dop-pie, escludendo dalle incognite le ambiguità oramai ricavate e fissate ad intero. Se ilricevitore dispone di due frequenze si utilizza la combinazione L3 delle due fre-quenze. Tale soluzione viene chiamata soluzione iono free.

ρ N ρ ik I

f1

f1 f2+--------------

f 12

f 2 f1 f2+( )------------------------+

c dT dt–( ) dtrop E+ + + +=

78


Questo è il posizionamento a singola base più preciso, dopo aver fissato le ambi-guità ed utilizzando la misura iono free.

15.9 IL PROGETTO DI UN RILIEVO STATICO GPS

I primi parametri di ingresso per il progetto di una rete GPS sono le dimensionidella zona da rilevare e la precisione dei parametri incogniti richiesta; i principaliobbiettivi che si vogliono raggiungere nella fase di progettazione di una rete (geode-tica classica o) GPS sono:

– minimizzare tempi e costi del rilievo;

– ottenere una precisione dei parametri incogniti uniforme e compatibile congli scopi del rilievo stesso;

– ottenere una buona affidabilità dei risultati.

Il rilievo GPS differisce sostanzialmente da un rilievo topografico classico poichénon richiede intervisibilità tra i punti e non è legato alle condizioni meteorologi-che. Ciò per alcuni aspetti semplifica molto la fase di progettazione, che tuttaviaviene modificata introducendo una serie di nuovi parametri specifici del metodo.

Diamo qui di seguito un elenco dei principali parametri di progetto, ricordandoche molto spesso essi sono dipendenti tra loro e che l'ordine con il quale sono trat-tati non ne indica una priorità.

Scelta del numero e della distribuzione dei vertici della rete

Il numero e la distribuzione delle stazioni definiscono la lunghezza media dei latidella rete a terra e la sua forma. La prima spesso è vincolata a requisiti «tecnici»legati all'opera da rilevare; è comunque buona norma cercare di mantenere i latidello stesso ordine di grandezza, per facilitare le procedure di compensazione deidati. Inoltre, ove è possibile, le dimensioni medie dei lati saranno funzione anchedel tipo di ricevitori utilizzati (singola o doppia frequenza) e del metodo di rilievo(statico o rapido statico).

Ovviamente, se il numero dei vertici è superiore al numero di ricevitori a disposi-zione, è necessario rilevare la rete con più sessioni di misura. Per sessione si intendel'intervallo di tempo nel quale più stazioni ricevono contemporaneamente i segnaliemessi dagli stessi satelliti.

Per quanto riguarda la forma della rete a terra è importante sottolineare che nel casodi trattamento di osservazioni GPS questa non è fondamentale: per ogni sessione èinfatti la rete spaziale, che coinvolge anche i satelliti, che deve essere ben configu-rata. D'altra parte, il trattamento congiunto di tutte le sessioni, cioè il trattamentomulti sessione, deve prevedere la rioccupazione di alcune stazioni in sessioni diffe-renti per garantire il legame tra queste.

L'ubicazione delle stazioni del rilievo

L'ubicazione delle stazioni avviene in un primo tempo utilizzando una carta dellazona a scala opportuna. Essa è poi confermata da un attento sopralluogo che deve

79


accertare la compatibilità della scelta con una serie di requisiti specifici delle sta-zioni GPS. In particolare si deve avere: la mancanza di ostacoli al di sopra dei 20° dielevazione per tutto il giro di orizzonte per evitare ostruzioni dei segnali provenientida alcuni satelliti; la facile accessibilità del punto per ridurre i tempi di messa in sta-zione; l'assenza di strutture riflettenti per un raggio di 10-15 m dall'antenna perevitare problemi di multipercorso (multipath); l'assenza di fonti di disturbo nellaricezione del segnale (ripetitori, cavi ad alta tensione ecc.) per mantenere un buonrapporto segnale-rumore. Quest'ultima va comunque verificata con una prova diricezione sul campo: si sono sovente verificati, infatti grossi problemi di ricezione inzone apparentemente ideali.

Finestra di osservazione, durata delle sessioni di misura e intervallo di campionamento

Come già detto il disegno di una rete GPS è legato al numero e alla distribuzione incielo dei satelliti in vista contemporaneamente da tutte le stazioni coinvolte in ognisessione di misura. Pertanto le finestre di osservazione prescelte saranno quei periodidel giorno ove siano visibili da tutte le stazioni il massimo numero di satelliti con lamiglior configurazione geometrica (in teoria almeno un satellite in ogni quadrantedella sfera celeste). All'interno di una finestra di osservazione è possibile rilevareuna o più sessioni.

La lunghezza del periodo di acquisizione dei dati per ogni sessione, infatti, dipendeprincipalmente dalle dimensioni delle basi considerate, dalla precisione richiesta,dal numero e dalla configurazione geometrica dei satelliti in vista e dal metodo dirilievo.

In generale tale periodo diminuisce al diminuire della lunghezza delle basi, al dimi-nuire della precisione richiesta e all'aumentare del numero dei satelliti in vista.

Infine, per il trattamento dei dati in modalità statica, gli intervalli di campiona-mento (intervallo di memorizzazione delle osservazioni di fase nel ricevitore) comu-nemente adottati sono: 15 secondi, 30 secondi, un minuto. La scelta tra tali valoridipende dalle precisioni richieste e dalla lunghezza della sessione.

Numero di ricevitori disponibili e tipo

Ovviamente all'aumentare del numero di ricevitori disponibili aumenta la produt-tività del rilievo: sarà sufficiente un'unica sessione di misura disponendo di tantiricevitori quanti sono i punti da rilevare. Più realisticamente, però, il rilievo deveessere suddiviso in più sessioni: difficilmente, infatti, si hanno a disposizione più di4-6 ricevitori e si hanno spesso invece molti più punti da rilevare.

Per reti di precisione è buona norma mantenere fisso almeno un ricevitore per piùsessioni di misura, ove possibile per tutta la campagna. In tal modo non solo sirende attuabile il collegamento con stazioni permanenti (in generale la loro grandedistanza dai vertici della rete richiede lunghi periodi di acquisizione) per l'eventualeinquadramento della rete, ma si facilita la misura di basi comuni a sessioni diverseaumentando la sua affidabilità e controllabilità. La disponibilità di un ricevitorefisso consente comunque di stimare la posizione assoluta di una stazione conmisure (smoothed phase pseudorange) acquisite su un lungo periodo che permet-tono di mediare gli effetti della Selective Availability: ciò consente di migliorare il

80


posizionamento assoluto dei vertici della rete anche in assenza di collegamenti constazioni permanenti.

Per quanto riguarda il tipo di ricevitore è ovviamente da preferirsi quello a doppiafrequenza, ma il suo utilizzo diventa particolarmente consigliabile per basi superioria 15-20 km se si vuole contenere l'effetto ionosferico.

Il collegamento tra varie sessioni di misura

Indipendentemente dal trattamento prescelto per le osservazioni GPS di ogni ses-sione (singola base o multi base), i risultati di questo andranno poi compensaticongiuntamente.

La scelta quindi di quante e quali basi esuberanti siano da misurare è essenziale persoddisfare le richieste di precisione e affidabilità previste (ricordiamo che dati npunti, per il loro posizionamento relativo si devono rilevare al minimo n-1 basiindipendenti). Ovviamente, all'aumentare delle misure esuberanti migliora la robu-stezza della rete.

D'altra parte, fissato il numero di ricevitori a disposizione, all'aumentare delle basiaumenta il numero di sessioni della campagna e quindi aumentano i tempi e i costirichiesti per il rilievo.

Da esperienze ripetute da vari gruppi di ricerca [Dominici et al., 1994; Dominici etal., 1995; Bitelli et al., 1996; Barbarella et al., 1996] si è concluso che una buonascelta che bilancia entrambe le esigenze è quella di fissare il rapporto k tra le basiosservate e quelle indispensabili il più prossimo possibile a 2 e comunque non infe-riore a 1.5.

Si pone poi il problema della distribuzione delle misure esuberanti: per ottenereuna precisione uniforme dei parametri di interesse (posizione relativa dei punti) èinfatti indispensabile avere una buona ridondanza locale oltre che globale (perridondanza locale si intende il contributo di ogni singola misura alla ridondanzaglobale). Una soluzione, anche se non rigorosa, che assicura una uniforme ridon-danza locale è la equi-rioccupazione delle stazioni.

Particolare cura va invece posta nella scelta di tale distribuzione se si utilizzano effe-meridi inviate e si vogliono stimare i parametri relativi a variazione di sistema diriferimento (rotazione e scala); in tal caso la forma della rete a terra torna ad essereimportante per assicurare la stimabilità di tali parametri; torneremo comunque piùavanti su tale punto.

Trattamento delle misure GPS

Sulla base delle precisioni richieste può essere necessario un trattamento «fine» deidati (compensazioni multibase e multisessione e modellizzazione dei bias). In talcaso occorre prevedere l'uso di programmi «non commerciali» e di informazioniaccessorie quali le effemeridi precise, la rotazione del polo, modelli atmosferici, ecc.

La scelta del tipo di trattamento dei dati coinvolge la fase di progetto in quantoprogrammi di compensazione raffinati, consentendo un adeguato controllo deglieffetti dei bias, migliorano la precisione della rete; inoltre permettono di non pena-lizzare l'uso di ricevitori di diverso tipo e di trattare adeguatamente eventuali lati dilunghezza disomogenea.

81


Infine, per realizzare una progettazione rigorosa di una rete GPS è necessario tenerconto delle correlazioni tra le componenti cartesiane delle basi stimate contempora-neamente. Tali correlazioni derivano dalla configurazione geometrica della rete spa-ziale globale, costituita dai satelliti e dalle stazioni, continuamente variabile nellasessione di misura. Anche queste possono essere calcolate a partire un programmadi compensazione raffinata utilizzato però in modalità di simulazione.

I parametri logistici

È indispensabile pianificare le misure della rete in modo da cercare di minimizzare itempi richiesti per gli spostamenti dei ricevitori per passare dalle stazioni di una ses-sione a quelle della successiva.

Tale problema diventa importante quando in una stessa giornata si vogliono rile-vare più sessioni, soprattutto per diminuire i tempi di attesa richiesti per l'occupa-zione da parte di tutti i ricevitori delle nuove stazioni.

La soluzione può essere trovata per via analitica (second order design) [Baldi et al.,1989], ma molto spesso, soprattutto per reti di elevata estensione, va calibratatenendo conto del diverso grado di accessibilità dei punti, della viabilità delle stradedi accesso ecc.

La progettazione con programmi commerciali

Con questo termine intendiamo la fase di progetto che è possibile gestire attraversol'uso di programmi commerciali. Tali programmi, salvo casi particolari, sono costi-tuiti da tre moduli: un primo modulo di progettazione satellitare, un secondo dicompensazione a singola base ed un terzo di compensazione della rete per basi indi-pendenti. Alcuni permettono poi la trasformazione delle coordinate WGS84 nelsistema cartografico nazionale.

La fase di progettazione consiste nel prevedere la precisione nel posizionamentoassoluto di un punto singolo della rete a partire dalle posizioni approssimate deisatelliti (almanacco), dalla posizione approssimata del punto e dall'identificazionedi eventuali ostacoli alla visibilità dei satelliti. È evidente che il nostro scopo èquello di soddisfare i requisiti di precisione in termini di posizionamento relativodei vertici della rete, tuttavia è possibile dimostrare che un'analisi rivolta allo studiodella precisione del posizionamento assoluto è utile anche per tale scopo, soprat-tutto quando le dimensioni della rete sono limitate (qualche decina di chilometri).I parametri di progetto sono gli indici DOP (dilution of precision: decremento diprecisione) [Manzino, 1996], in particolare sono usati i valori PDOP, HDOP eVDOP che sono indici di precisione rispettivamente nella determinazione delle trecoordinate, delle coordinate planimetriche e della sola altimetria.

Si è visto che per ricavare la posizione dei punti a terra (assoluta o relativa) si partedall’idea di conoscere la posizione dei satelliti ad un dato istante. Grazie alle effeme-ridi trasmesse dai satelliti nel messaggio navigazionale D possiamo quindi prevederein un dato giorno dell’anno quanti satelliti saranno visibili in un certo istante in uncerto punto della superficie ed in che posizione apparenti.

Se dovessimo fare un rilievo, ad esempio a Vercelli, già conosceremmo ad esempio

82


le coordinate approssimate (ad una decina di km) del luogo e, grazie alle effemeridi,quanti satelliti passeranno nelle ventiquattro ore del giorno stabilito per il rilievo.

Vogliamo determinare quale potrà essere il momento migliore per eseguire ilrilievo, nell’ipotesi che altre considerazioni quali la dimensione della rete, la lun-ghezza media delle basi ecc., mi permettono di ricavare a priori che dovrebbe esseresufficiente acquisire dati per circa un’ora con almeno cinque satelliti. Occorre sce-gliere la finestra temporale migliore per l’acquisizione dal punto di vista della preci-sione ottenibile del rilievo.

Il posizionamento assoluto, eseguito sia con misure di pseudorange che di fase, derivain definitiva dalla conoscenza delle distanze stazione-satellite. Ipotizzando che questedistanze ρ si possano conoscere con una precisione data a priori, ad esempio:

(ura sta per User Range Accuracy, parametro noto a priori dalle effemeridi inviate),ciò permette di progettare a priori il rilievo in funzione della precisione finale dellecoordinate del punto a terra. Si ricordi che, quando si progetta una rete ai minimiquadrati, occorre stabilire le coordinate approssimate dei punti della rete, le misureche si faranno e la loro precisione.

Non occorre eseguire materialmente le misure, è possibile ricavare ugualmente lamatrice di varianza covarianza delle coordinate dei punti incogniti, a meno di unacostante . Anche in questo caso, stabilito che si conoscono a priori le coordinateapprossimate dei satelliti ad una certa ora, e la precisione delle distanze stazionesatelliti, è possibile ricavare la matrice di varianza covarianza dei parametri relativial posizionamento del punto P.

Tale matrice è di dimensione quattro in quanto le incognite coinvolte sono le coor-dinate (X,Y,X) del punto ed un offset di tempo τ .Supponiamo di aver ricavato tale matrice in un sistema di riferimento cartesianolocale che indichiamo con lettere minuscole (x,y,z ); l’asse z rappresenta all’incircal’altimetria ed il piano xy la planimetria della rete:

15.57

È possibile dunque prevedere quale sarà la precisione secondo gli assi (x , y, z ) el’asse dei tempi del punto P. Gli indici DOP sono definiti come la radice quadratadi somme di elementi diagonali della matrice C. Il termine DOP indica «Dilui-zione di (Of) Precisione». Precisamente l’indice GDOP è definito:

15.58

dove la traccia di una matrice indica la somma degli elementi diagonali della stessa.Si ha poi:

15.59

σρ ura ,±=

σ 02

Cxx

σxx

simm

σxy

σyy

σxz

σyz

σzz

σxτ

σyτ

σzτ

σττ

=

GDOP σxx σyy σzz σττ+ + +=

PDOP σxx σyy σzz+ + ;= HDOP σxx σyy+=

83


15.60

Tanto più piccolo è il valore di questi indici tanto maggiore è la precisione nel posi-zionamento assoluto. Le case costruttrici consigliano di progettare rilievi conPDOP<7.

I valori di questi indici dipendono dalla buona disposizione dei satelliti in vista e dalloro numero. In figura 15.5a è dato l'andamento degli indici DOP per un vertice sitoa Torino in una finestra che va dalle ore 14 alle ore 18 del giorno 17/9/1996.

Fig. 15.5 – Indici DOP non tenendo conto e considerando le ostruzioni del segnale.

Il posizionamento di precisione è ottenuto con un trattamento differenziale dei datidi fase: gli indici DOP non forniscono dunque un'informazione sulla precisionedel posizionamento relativo dei vertici della rete, ma aiutano a scegliere la finestradi osservazione.

Tutti i programmi commerciali inoltre forniscono un grafico polare delle orbite deisatelliti riferito al punto di stazione (sky plot); la distanza dal polo rappresenta l'ele-vazione decrescente del satellite e l'angolo di direzione è l'azimut del satellite.

Fig. 15.6 – Sky plot.

VDOP σzz;= TDOP σττ=

PDoPH DoP VDoP

16

12

8

4

016 17 18 19 20

Dilution of PrecisionLongitude : 7 35 0

Latitude : 45 3 10Data: 17.9.1996

E levCutoff: 20°STA ZIONE DI TORINO

PDoP

HDoP VDoP

P DoPHDoP VDoP

20

16

12

8

4

016 17 18 19 20

D ilution of PrecisionLongitude : 7 35 0

Latitude : 45 3 10Data: 17.9.1996

ElevCutoff: 20°STA ZIONE DI TORINO

P DoP

VDoPH DoP

14

18

22

2529

25

28

19

3

14

27

26

31

3

29

2

SKY PLO T Longitude : 7 35 0ElevCutoff: 20°STAZIONE DI TORINO

84


La figura 15.6 mostra lo sky plot relativo al vertice precedente. Lo sky plot permette divalutare l'effetto di ostruzioni, presenti in una stazione e rilevate dal sopralluogo, sugliindici DOP, quali vegetazione, edifici ecc. In figura 15.5b, è riportata la variazione degliindici DOP, tenendo conto delle ostruzioni, evidenziate nella figura 15.6.

È bene ricordare che, in caso di ostruzione, occorrerà verificare sugli estremi di unabase la contemporanea presenza di almeno quattro satelliti comuni.

I programmi commerciali non dispongono quindi di un modulo di simulazioneche consenta di sviluppare il progetto di un'intera campagna o almeno di una ses-sione, ma consentono solo di valutare la migliore finestra di osservazione.

Come premesso, la durata di acquisizione è legata non solo agli indici DOP maanche alla lunghezza della base, alla precisione richiesta, al tipo di trattamento, aglieffetti ionosferici ecc. Con l'uso di programmi commerciali la scelta di questi e dimolti altri parametri di progetto segue criteri empirici, peraltro ben consolidati. Adesempio, per rilievi statici alcune case costruttrici forniscono dei grafici come,quello riportato in figura 15.7, che legano i tempi di osservazione massimi alnumero di satelliti in vista (almeno uno per quadrante) ed alla lunghezza della base.

Fig. 15.7 – Grafico dei tempi di osservazione in funzione dei satelliti in vista e della lunghezza delle basi.

Nei rilievi rapido statici la tabella 15.1 fornisce il tempo minimo di osservazione, inminuti, richiesto in relazione al numero di satelliti e per basi di lunghezza massimadi una decina di km; alcuni ricevitori determinano automaticamente sul posto iltempo minimo necessario al rilievo rapido statico.

Tab.15.1 – Tempi minimi di osservazione, per numero dei satelliti in vista, per basi < 10 km nei rilievi rapido statici.

N° SATELLITI TEMPO MINIMO (MINUTI)

4 >20

5 10-20

Tempi (minuti)

3 satelliti(Per h nota a priori)

4 satelliti

6 satelliti

0

30

60

90

135

0 5 10 15 20Lunghezza della base (km)

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Qualche cosa di più

Per valutare l'influenza del disegno della rete (schema delle basi e collegamento trasessioni di misura) sulla precisione delle coordinate dei punti, verificare la raggiun-gibilità di una uniforme precisione dei parametri da stimare e valutare l'affidabilitàdella rete è possibile utilizzare programmi più sofisticati, ad esempio NETGPS[Crespi et al., 1993; Betti et al, 1994], in modalità di simulazione.

Tale programma permette di eseguire la compensazione minimi quadrati della piùgenerale rete di basi GPS, misurate in una o più sessioni, considerando come osser-vabili le componenti cartesiane delle basi stimate da precedenti compensazioni dimisure GPS e utilizzando un corretto modello stocastico che tiene conto delle cor-relazioni tra queste quando siano rilevate in una stessa sessione di misura. Lamatrice di covarianza delle osservazioni è pertanto diagonale a blocchi, ogni bloccoè relativo ad una singola sessione ed è ottenuto dalla precedente compensazionedelle misure GPS (fig. 15.8).

Fig. 15.8 – Esempio di matrice di covarianza delle osservazioni in NETGPS.

NETGPS permette inoltre di valutare la stabilità del sistema di riferimento GPStra sessioni diverse quando si utilizzino le effemeridi inviate (broadcast). Talesistema di riferimento, infatti, viene realizzato praticamente dalle posizioni dellestazioni fisse di tracciamento dei satelliti e dalle operazioni di tracciamento mede-sime; dal punto di vista analitico ciò corrisponde ad una compensazione dimisure GPS in cui le incognite geometriche sono le posizioni dei satelliti. Per-tanto, per il generico utilizzatore, il sistema di riferimento GPS è definito dallaconoscenza della posizione dei satelliti e quindi errori relativi alle effemeridi sitraducono in incertezze sul sistema di riferimento. Per tale motivo le componenticartesiane delle basi misurate in sessioni diverse possono essere praticamente rife-rite a sistemi di riferimento diversi se si utilizzano le effemeridi inviate (le effeme-ridi precise assicurano precisioni tali da rendere superfluo tale problema). Lavalutazione dell'eventuale «diversità» dei sistemi di riferimento adottati in ses-sioni differenti si ottiene stimando i parametri di rotazione e la scala tra il sistemadi riferimento relativo ad una qualsiasi sessione di misura e quello relativo ad una

Sessione 1

Sessione 2

Sessione 3

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sessione assunta come riferimento. È comunque importante sottolineare che lastimabilità di tali parametri è assicurata se e solo se tutte le sessioni (per lo menoa due a due) hanno in comune almeno tre stazioni (ovvero due basi) non alline-ate: ciò comporta un'accurata scelta, in fase di progettazione, della distribuzionedelle basi comuni a diverse sessioni.

Come già detto, l'uso di NETGPS in fase di simulazione permette di migliorare laprogettazione della rete rispetto al solo utilizzo di programmi commerciali. È infattipossibile determinare quale sia lo schema di basi da rilevare che permetta sia il rag-giungimento delle precisioni richieste per le coordinate dei punti che una buonauniformità di tali precisioni. In altre parole la simulazione con NETGPS consentedi ottimizzare il numero di misure ridondanti ottenendo una uniforme ridondanzalocale. Inoltre è possibile valutare se, sulla base dello schema prescelto, siano stima-bili eventuali variazioni di sistema di riferimento tra sessioni diverse. Infine è possi-bile determinare il grado di affidabilità della rete: tale parametro è indispensabileper la successiva identificazione di errori grossolani.

La progettazione con programmi scientifici

Attualmente sono disponibili programmi scientifici di compensazione dati GPSche consentono un trattamento molto raffinato delle misure. In particolare vieneattuata una modellizzazione fine dei biases (orbita, propagazione atmosferica, oro-logi) eliminando effetti sistematici residui. Inoltre la campagna GPS viene compen-sata globalmente (multi base e multi sessione) considerando un corretto modellostocastico.

Tali programmi, se utilizzati in modalità di simulazione, possono risolvere molti deiproblemi legati alle scelte dei parametri della fase di progetto. Ad esempio, essi pre-vedono la generazione sintetica di osservazioni GPS. È così possibile valutare e con-trollare l'influenza sulle stime dei parametri geometrici di vari fattori quali: lacostellazione satellitare, i biases, l'intervallo di campionamento, il tipo di segnaledisponibile, la rumorosità del segnale, la presenza di cycle slips. Al variare dellescelte si generano dati sintetici diversi ed il loro trattamento permette un confrontotra le stime ottenibili. Inoltre molti altri elementi citati vengono determinati sullabase dei risultati ottenuti in fase di simulazione. Con una serie di prove e riprove siindividua il migliore schema di basi da rilevare, quali e quante misure esuberanti siapiù conveniente osservare, la più idonea durata delle sessioni.

È bene comunque sottolineare che la realizzazione della fase di progetto utilizzandometodi di analisi così sofisticati richiede molto tempo e molto lavoro. È quindibuona norma valutare, sulla base delle precisioni richieste dal rilievo, quali siano glistrumenti più idonei per completare tale fase, bilanciando sforzi e costi con qualitàdei risultati.

Un esempio di progetto di una rete GPS: la rete eseguita per il tracciamento della lineaAlta Velocità Bologna Firenze

Requisiti fondamentali e le scelte adottate

Il progetto di una linea ferroviaria e di grandi opere viarie in genere comporta rile-vanti operazioni di inquadramento e di infittimento, a cui seguono in genere un

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accurato rilievo di dettaglio e la costruzione di una cartografia a grande scala. Iltracciamento avviene una volta stabilito il percorso dell'opera, appoggiandosi allereti precedentemente rilevate. Per la linea AV Bologna Firenze le prime due opera-zioni sono state condotte con tecniche GPS mentre il tracciamento, anche per laconsiderevole lunghezza delle tratte in galleria, è totalmente eseguito con l'uso distrumenti di precisione tradizionali: teodoliti e distanziometri EODM. Tale sceltaha consentito di alleggerire proprio le fasi di rilievo tradizionalmente più precise ecomplesse. L'utilizzo congiunto di misure GPS e misure classiche richiede la cono-scenza dei parametri di trasformazione da un sistema di coordinate geodetiche (φ,λ ,h ) ad un sistema di coordinate naturali (φ, λ ,H ). Senza entrare nei dettagli rela-tivi alla soluzione di tale problema, si è scelto di eseguire il rilievo altimetrico tra-mite livellazione geometrica in modo da ottenere direttamente la quota ortometricaH , mentre per quello planimetrico si sono utilizzate congiuntamente GPS e tec-niche classiche e si è determinata una trasformazione dalle coordinate (ϕ ,λ ) ad unsistema di coordinate cartografiche (ε ,ν ) compatibile con il sistema naturale in unlimitato intorno dei punti da tracciare.

Seguiamo ora le fasi di progetto (eseguito nella tarda primavera del 1994) per la solarete di inquadramento GPS. Per comprendere meglio le scelte e le metodologie pro-gettuali adottate, è bene sottolineare che all'epoca del progetto non era disponibile ilsoftware di simulazione descritto ed inoltre non erano facilmente disponibiliall'utenza civile le effemeridi precise, che ora sono reperibili a Berna via rete internet.

La linea si snoda per circa 82 km quasi allineata in direzione nord-sud. Ricordandoche il GPS non richiede l'intervisibilità tra i punti di stazione, si è scelto di posizio-nare i vertici della rete prevalentemente lungo il tracciato, tenendo presente lanecessità di disporre di almeno un vertice GPS a tutti gli imbocchi delle gallerie.Ciò ha limitato molto le possibilità di scelta delle posizione dei vertici: sono statiprevisti otto vertici, ad una distanza media di 10-15 km, lungo il percorso ed unvertice ausiliario fuori percorso per poter valutare la stabilità del sistema di riferi-mento anche in direzione est-ovest (§ 4). Si è previsto l'uso di quattro ricevitori adoppia frequenza e nove sessioni di misura, superiori al minimo indispensabile alrilievo per le ragioni che in seguito esporremo. Ogni stazione è stata rioccupataalmeno tre volte.

Ad ogni vertice delle reti di inquadramento ed infittimento sono stati associati altridue vertici GPS, posti a distanze medie di 500 m e 1 km, indispensabili per orien-tare le poligonali rilevate con teodoliti ed EODM per il tracciamento in galleria (ilvertice più vicino è utile solamente nel caso di condizioni di scarsa visibilità). Tuttii vertici di rete (di inquadramento e di infittimento) sono stati materializzaticostruendo pilastrini di c.a. dotati di una adeguata fondazione, mentre i caposaldidi orientamento sono stati annegati al livello del terreno su una fondazione dicemento armato.

L'ubicazione di tutte le stazioni di rete e di orientamento è stata scelta in primaanalisi con una carta 1:5000 del tracciato ed è stata poi confermata da un sopral-luogo che ha accertato i requisiti descritti al § 2. In nessun caso si sono avuti pro-blemi dovuti alla presenza di fonti di disturbo nel segnale (buoni rapportisegnale-rumore), mentre la presenza di ostacoli al di sopra i 20° nell'intorno di unastazione ha richiesto un'accurata verifica del miglior sito di ricezione.

88


Le lunghezze del periodo di acquisizione per la rete principale è stata di due ore perbasi minori di 10 km, di tre ore per basi tra i 10 e i 30 km e di 4 ore per basi supe-riori. L'intervallo di campionamento è stato di 15 secondi.

Per la rete di inquadramento si è scelto di mantenere fisso un ricevitore per tutta lacampagna, non solo per rendere possibile il collegamento con stazioni permanenti,ma anche per poter controllare le basi comuni fra più sessioni. Il vertice scelto alloscopo è il vertice 30 di figura 15.9.

Fig. 15.9 – La distribuzione delle basi per ogni sessione.

Il collegamento fra le sessioni di misura

La scelta della sovrapposizione tra le varie sessioni di misura ha permesso di rag-giungere i seguenti scopi:

– una buona rigidità globale (rapporto k di circa 1.6);

– il controllo al termine di ogni giornata di lavoro delle basi ripetute, graziead una buona rioccupazione dei siti (a parte i vertici 30 e 140 tutti gli altrivertici sono stati rioccupati tre volte);

– l'aggancio alla rete internazionale per mezzo della misura continua sulpunto 30 e per lunghi periodi sul punto 140;

105

140

151

260

282

+

+

169

30

116

130

+

+

+

+

+

+

+

123456

SESSIONI

789

89


– la stima delle precisioni dei tre parametri di rotazione tra le varie sessioni,grazie alla disposizione del punto 30 fuori linea.

La figura mostra che nelle ultime sessioni sono state misurate delle basi più lungheche nelle prime. Queste hanno il compito di irrigidire la rete, poiché il GPS ha pre-cisione relativa migliore all'aumentare della lunghezza delle basi, previa una duratapiù elevata delle misure.

I parametri di ingresso ed i risultati della simulazione

La simulazione è stata condotta attraverso il programma NETGPS descritto al § 4e, come premesso ha coinvolto solo i vertici della rete di inquadramento.

Il programma prevede, in modalità di simulazione, la lettura delle coordinateapprossimate dei vertici in un sistema cartesiano ortogonale, la lettura di un elencodi basi da misurare e di ipotesi di precisione sulle componenti cartesiane delle basi.

Allo scopo, le coordinate approssimate dei vertici di rete, dedotte da una cartografiaalla scala 1:5000, e le loro quote ortometriche di progetto, sono state trasformateper poter passare ad un sistema di riferimento cartesiano locale con asse z direttosecondo la normale ellissoidica del punto baricentrico 140.

In simulazione non sono ipotizzabili a priori correlazioni fra le basi e neppure fra lecomponenti di una stessa base. I valori σ∆x,σ∆y ,σ∆z introdotti sono stati:

15.61

15.62

dove D è la distanza inclinata (slope) di una base di componenti (∆x,∆y, ∆z ).

In un riferimento locale è ragionevole pesare le componenti delle basi in manieradiversificata per la parte altimetrica in quanto per motivi geometrici (indiceVDOP) e fisici (effetti di propagazione nell'atmosfera) l'altimetria è spesso piùimprecisa.

L'ipotesi che la precisione a priori delle componenti cartesiane delle basi sia legataalla lunghezza della base stessa deriva dall'esperienza di misura e dalle indicazioni ditutte le case costruttrici.

I valori σ∆x,σ∆y ,σ∆z adottati per la simulazione tengono conto anche del fatto cheper tutti i vertici di rete si è adottato il centramento forzato su pilastrini di c. a.

I risultati della simulazione mostrano una ridondanza relativa (numero di equa-zioni/numero di incognite) di circa 1.6: fra le incognite figurano i 32 parametri di tra-sformazione di sistema di riferimento.

I valori degli sqm dei singoli parametri di rotazione (ω,φ,κ ) sono molto simili perogni sessione di misura: i valori medi sono , ,

.

Gli sqm delle coordinate (l'origine è il vertice 140) hanno valori medi di ±4.4 cmin planimetria e di ±10.3 cm in altimetria.

Gli sqm delle componenti compensate hanno valori medi molto uniformi di ±2.7cm in planimetria e di ±5.6 cm in altimetria per le basi lungo il percorso. Tali valori

σ x∆ σ y∆ 4 2 10 6– D⋅+( )mm±= =

σ z∆ 7 3 10 6– D⋅+( )mm±=

w 2 10 6–⋅±= φ 8 10 6–⋅±=κ 5 10 6–⋅±=

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aumentano leggermente inserendo nel conteggio anche i collegamenti al punto 30che coinvolge basi medie di circa 40 km.

Le ridondanze locali infine sono ben distribuite per ogni sessione, anche se met-tono in evidenza la minore rigidità della rete dal punto di vista altimetrico. Ciò eraattendibile ed è dovuto in parte alle ipotesi di peso ed in parte alla conformazionedella rete.

La rete di infittimento

I vertici della rete di infittimento sono stati collegati a quelli della rete principalepiù vicini in modo tale che le lunghezze delle basi non fossero superiori a 10 km.Tale scelta ha ristretto ulteriormente l'ubicazione dei vertici di inquadramento.

I tempi di ricezione, previsti con l'uso di ricevitori a singola frequenza sono stati diun'ora e mezza per basi minori di 5 km e di due ore per basi minori di 10 km,l'intervallo di acquisizione previsto di 15 secondi.

Il rilievo GPS ha coinvolto complessivamente nove vertici di inquadramento, sedicivertici di infittimento e quarantotto vertici di orientamento.

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