A latex generated document. Tikz, Circuitikz examples, and more

8/19/2019 A latex generated document. Tikz, Circuitikz examples, and more.

1/12

u

Bazele Electrotehnicii TEMA I

u

Dorogan Sandu[1]

UPB

2016


2/12

Cuprins

1 Introducere 1

2 Circuitul 1

2.1 Generarea graphului aferent circuituli . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Curenti. Tensiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Circuit normal 7

3.1 Elemente ideale de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Valorile elementelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Testare 9

Graph-urile aferente

1 Graph-ul generat aleatoriu.[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Copaceii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Graph-ul intensitatilor si al tensiunilor. . . . . . . . . . . . . . . 24 Ai “ b, in octave.[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Au “ b, in octave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Graph-ul intensitatilor si al tensiunilor, completat. . . . . . . . . 67 Circuitul cu elementele ideale, si cu toate datele[4] . . . . . . . . 78 Circuitul, in o versiune mai draguta.[5] . . . . . . . . . . . . . . . 89 Arbore normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810 Rezultatele, afisate de Spice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Tabelele lucrarii

1 Verificarea cu Tellegen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6


3/12

1 Introducere

Ni s-a propus sa cream un circuit ideal, ce ne-ar conveni din toate punctelede vedere, si ar fi o modalitate de verificare a materialului insusit. Pentruaceasta, este necesara/recomandata parcurgerea unor pai predefiniti, ce simpli-fica procesul, i micsoreaza erorile.Pentru nceput, ne propunem:

2 Circuitul

2.1 Generarea graphului aferent circuituli

Alocat aleator, dar, totusi, sa corespunda unor cerinte stabilite in prealabil.Alegerea a ramas pe urmatoarea imagine:

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1

6

9

2

3 7

4 5

8

Figura 1: Graph-ul generat aleatoriu.[2]

Deci, ca rezultat, am primit un ceva (1) ce are N “ 7 noduri, un numarde L “ 9 muchii, si un numar colosal, de 3 bucle - ne-am incadrat in limitaadmisibila. Generam si un posibil arbore, rezultat a ce avem mai sus? Generam.

Figura 2: Copaceii

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1—

6|

9 |

2|

7 |

4 |

(a) Arbore.

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)8

3

5

(b) Coarbore.


4/12

2.2 Curenti. Tensiuni

Generam intensitati si tensiuni, si le plasam pe graphul nostru.Acestea sunt componentele de baza a unui circuit, una reprezentind numarulelectronilor cu o sarcina, ce trec prin un punt, a doua, energia mecanica necesarapentru o astfel de miscare.

Compunerea se face reprezentind intensitatile, notate cu ik, pe coardelegraphului, in mod aleatoriu. Coardele astea reprezinta legatoruile din coar-borele(2b) ala straniu de mai sus (2). Si, aferent astuia, e si arborele (2a),pe care se pun tensiunile random, notate uk. Posibilitatea de a pune randomdatele astea, vine de la faptul ca tensiunile nu vor afecta cele plasate pe crengi,si intensitatile nu vor compune pe cele plasate pe coarde. Valorile random serefera si la sensurile astora doua. Sensul, apropo, se pune si el aleator, daca totnoi compunem circuiturl peste tot, nu numai pe coarde sau pe ramuri. Sensulaleator il primeste inclusivi si buclele, pentru ca sunt segmente orientate, dar

orientarea la moment nu ne interesaza.Shall we?

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)u 8 u 7

[1] [2]

[3]

u1

u2

u 3

u9

u 4 u

5

u 6

(a) Gu

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)i 8 i 7

i1

i2

i 3

i9

i 4 i

5

i 6

(b) Gi

Figura 3: Graph-ul intensitatilor si al tensiunilor.

Deci, ca rezultat (6) am primit u1, u2, u3, u4, u5 si u7, din (6a), si i8, i5, i6,din (6b), pe locurile ce au nevoie de valoare initiala. Nu ne vom prea stresa.Deci:

u1 “ 1 i8 “ 1

u2

“ 1 i5

“ 1u3 “ 1 i6 “ 1 (1)

u4 “ 1

u5 “ 1

u7 “ 1

2


5/12

2.3 Kirchhoff

Teorema 1 (Kirchhoff I)Suma intensitatilor curentilor care intra ntr-un nod de reea este egala cu suma intensitatilor curentilor (de curent continuu) care ies din acelasi nod. Ad-ica, suma algebrica a intensitatilor curenilor electrici care se ntalnesc ntr-un nod de reea este egala cu zero.

nÿi“1

ik “ 0, (2)

unde n, este numarul de noduri.

Teorema 2 (Kirchhoff II)De-a lungul conturului unui ochi de retea, suma algebrica a tensiunilor elec-

tromotoare ale surselor este egala cu suma algebric a produselor dintre intensi-

tatea curentilor i rezistenta total de pe fiecare latur.ÿE n “

ÿRnI n, (3)

adica: suma algebrica a tensiunilor de-a lungul oricarui ochi de circuit este nula.ÿV n “ 0 (4)

A fost o data un fizician german, Gustav Robert Kirchhoff, care a studiatenergia intr-un curent continuu, si modul ei de conservare. Si a venit el cu douateoreme, prezentate mai sus [6].

Nodul din graphurile noastre e elementul numerotat intre ( ) ”paranteze ro-tunde”. Asa-numitul ochi, din Teorema 2 se refera la ceea ce noi ne numim,bucle. Buclele in grap-ul nostru (imaginea 6a), sunt numerotate intre [ ] ”paran-teze patrate”.

Deci, conform astora doua relatii, sa ne deducem valorile necunoscute.

Relatiile pentru intensitati, conform Kirchhoff 1, sunt:

´i1 ´ i7 ´ i9 “ 0

i1 ` i2 “ 0

i3 ` i6 ´ i2 “ 0

i4 ` i6 “ 0 (5)

´i5 ´ i4 “ 0

i5 ´ i3 “ 0

i7 ` i8 “ 0

Iar cele pentru tensiuni, luindu-le dupa directia buclelor alese, conform Kirchhoff 2, sunt:

r1s ´ u1 ´ u9 ´ u5 ´ u3 ´ u2 “ 0

r2s u5 ` u4 ` u6 ` u3 “ 0 (6)

r3su7 ` u8 ` u9 “ 0

3


6/12

Considerind ecuatiile (5), cream o matrice A de pn´1q linii, lucru rezultat dinnumarul le linii din graph, si k coloane, k fiind numarul de intensitati. Punem

1 si -1 pe coloanele unde intensitatile au valori pozitive, si negative, respectiv.Coloanele, pentru a evita confuzia, respecta ordinea 1, k, de notat ca este doaro conventie.

Cosideram vectorul termenilor liberi b, care contine valorile intensitatilor inordinea aleasa in matricea A. Rezulta ecuatia Ai “ b. i, dupa rezolvare, vacontine si valorile intensitatilor necunoscute.

Deci, conform celor de mai sus, avem:

A “

¨˚̊˚̊˚˚̊̊̊̊˚̊˝

´1 0 0 0 0 0 ´1 0 ´11 1 0 0 0 0 0 0 00 0 ´1 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 ´1 ´1 0 0 ´1 1

˛‹‹‹‹‹‹‹‹‹‹‹‹‚

i ““ i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9

‰T

b ““

0 0 0 0 1 1 0 1 0‰T

i “ Azb:

i ““

0 0 1 ´1 1 1 ´1 1 1‰T

Figura 4: Ai “ b, in octave.[3]

4


7/12

Repetam pasul cu matricea si pentru tensiunile curentului.

A “

¨˚̊˚̊˚̊˚̊˚̊˚̊˝

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0

´1 ´1 ´1 0 ´1 0 0 0 ´10 0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1

˛‹‹‹‹‹‹‹‹‹‹‹‹‚

u ““ u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9

‰T

b “ “ 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ‰T

u “ Azb:

u ““

1 1 1 1 1 ´3 1 3 ´4‰T

Figura 5: Au “ b, in octave.

5


8/12

Sa ne vedem si graphurile schimbate.

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)u 8 “

3 u 7 “

1

[1] [2]

[3]

u1

“

1

u2 “ 1

u 3 “

1

u9 “ p´4q

u 4 “

1 u 5 “

1

u 6 “

´ 3

(a) Gu

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

(7)i 8 “

1 i 7

“ p ´

1 q

i 1

“

0

i2 “ 0

i 3 “

1

i9 “ 1

i 4 “

´ 1 i

5 “

1

i 6 “

1

(b) Gi

Figura 6: Graph-ul intensitatilor si al tensiunilor, completat.

2.4 Tellegen

In 1952, fizicianul olandez Bernard Tellegen a publicat o teorema foarteavantajoasa pentru teoria circuitelor[7]. Adaptata cazului nostru, deci, evident,simplificata, aceasta ar suna cam asa:

Teorema 3 (Tellegen)Suma produselor intensitatilor si tensiunilor, ce au acelasi sens, asa-numitii

”receptori”, este egala cu suma intensitatilor si tensiunilor, su sensuri diferite,asa-numitii ”generatori”.

Din care rezulta faptul ca e foarte usor sa ne verificam corectitudinea calcu-lalor anterioare, ce tin de valorile intensitatilor si tensiunilor in curentul nostru.Se face inmultindu-le pe cele cu sens comun, si pe cele cu sens diferit, si com-parind suma rezultatelor:

Tabelul 1: Verificarea cu Tellegen.

Receptoare Generatoare

0 ˚ 1 “ 0 0 ˚ 1 “ 91 ˚ p´1q “ p´1q 1 ˚ p´3q “ p´3q1 ˚ p´1q “ p´1q 1 ˚ 1 “ 1

1 ˚ 1 “ 11 ˚ 3 “ 3

1 ˚ p´4q “ p´4q

p´2q p´2q

6


9/12

3 Circuit normal

3.1 Elemente ideale de circuit

Deci, daca ne-am asigurat ca am generat un circuit elementar corect (Tabelul1), putem acuma sa-i mai adaugam elemente. Vom face acest lucru prin adau-garea elementelor ideale de circuit. Cu Rk, vor fi numerotati rezistorii ideali,cu E k vor fi sursele ideale de tensiune, si prin J k, sursele ideale de curent. Maiapoi ar fi dragut sa cream si un arbore, deja din elementele ideale. O regula arfi sa lasam sursele ideale de curent pe coarde. Shall we?

E 1u1 “ 1V

i1 “ 0A

J 2

u2 “ 1V

i2 “ 0A

E 3

u3 “ 1V

i3 “ 1A

J 3

u5 “ 1V i5 “ 1A

E 2

u9 “ p´4qV

i9 “ 1A

J 1u7 “ 1V

i7 “ p´1qA

R 1

u8 “ 3V i8 “ 1A

R 2u4 “ 1V

i4 “ p´1qA

R 3

u6 “ p´3qV i6 “ 1A

Figura 7: Circuitul cu elementele ideale, si cu toate datele[4]

Mi se pare, sau chiar e groaznica? Mai incercam o data?

7


10/12

E 1

J 2

E 3

J 3

E 2

J 1R 1

R 2

R 3

Figura 8: Circuitul, in o versiune mai draguta.[5]

In comapratie cu grozavia din Figura 7, Fig. 8 e chiar o opera de arta.Continuam. Un arbore al sau ar fi:

E 1 E 3

E 2

R 1

R 2

R 3

Figura 9: Arbore normal

8


11/12

3.2 Valorile elementelor

Sa calculam toate J , E si R.

E 1 “ ú1 “ p´1qV

E 2 “ ú9 “ 4V (7)

E 3 “ ú3 “ p´1qV

J 1 “ i7 “ p´1qA

J 2 “ i2 “ 0A (8)

J 3 “ i5 “ 1A

R1 “ u8

i8“

3

1 “ 3Ω

R2 “ u4

i4“

1

p´1q “ 1Ω (9)

R3 “ u6

i6“

p´3q

1 “ 3Ω

4 Testare

Am facut toate calculele necesare(7 8 9), acum, sa ni-l si testam. O vomface in Spice. Voila:

Figura 10: Rezultatele, afisate de Spice.

9


12/12

Bibliografie[8]

[1] “Overleaf.” https://www.overleaf.com/4641554kmdfhx#/14056764/.

[2] “Draw pictures in latex - with tikz/pgf.” https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-tikz/.

[3] “Adding figures in latex - embed an image/picture.” https://www.latex-tutorial.com/tutorials/beginners/latex-figures/.

[4] “Github - popadi/circuitikz-romanian-symbols: Definirea simbolurilor incircuitikz si latex + pachetul cu definitii.” https://github.com/PopAdi/circuitikz-romanian-symbols. Multumesc frumos.

[5] “Circuit diagrams in latex - advanced features.” https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-more-circuitikz/.

[6] “Teoremele lui kirchhoff - wikipedia.” https://ro.wikipedia.org/wiki/Teoremele_lui_Kirchhoff.

[7] “Tellegen’s theorem - wikipedia, the free encyclopedia.” https://en.wikipedia.org/wiki/Tellegen%27s_theorem.

[8] “Tool for generating a website’s bibtex using the url? - tex - la-tex stack exchange.” http://tex.stackexchange.com/questions/32955/tool-for-generating-a-websites-bibtex-using-the-url .

10
https://www.overleaf.com/4641554kmdfhx#/14056764/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-tikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-tikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-tikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/beginners/latex-figures/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/beginners/latex-figures/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/beginners/latex-figures/https://github.com/PopAdi/circuitikz-romanian-symbolshttps://github.com/PopAdi/circuitikz-romanian-symbolshttps://github.com/PopAdi/circuitikz-romanian-symbolshttps://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-more-circuitikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-more-circuitikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-more-circuitikz/https://ro.wikipedia.org/wiki/Teoremele_lui_Kirchhoffhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Teoremele_lui_Kirchhoffhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Teoremele_lui_Kirchhoffhttps://en.wikipedia.org/wiki/Tellegen%27s_theoremhttps://en.wikipedia.org/wiki/Tellegen%27s_theoremhttps://en.wikipedia.org/wiki/Tellegen%27s_theoremhttp://tex.stackexchange.com/questions/32955/tool-for-generating-a-websites-bibtex-using-the-urlhttp://tex.stackexchange.com/questions/32955/tool-for-generating-a-websites-bibtex-using-the-urlhttp://tex.stackexchange.com/questions/32955/tool-for-generating-a-websites-bibtex-using-the-urlhttp://tex.stackexchange.com/questions/32955/tool-for-generating-a-websites-bibtex-using-the-urlhttps://en.wikipedia.org/wiki/Tellegen%27s_theoremhttps://en.wikipedia.org/wiki/Tellegen%27s_theoremhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Teoremele_lui_Kirchhoffhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Teoremele_lui_Kirchhoffhttps://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-more-circuitikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-more-circuitikz/https://github.com/PopAdi/circuitikz-romanian-symbolshttps://github.com/PopAdi/circuitikz-romanian-symbolshttps://www.latex-tutorial.com/tutorials/beginners/latex-figures/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/beginners/latex-figures/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-tikz/https://www.latex-tutorial.com/tutorials/advanced/latex-tikz/https://www.overleaf.com/4641554kmdfhx#/14056764/

Documents

A latex generated document. Tikz, Circuitikz examples, and more