Makai M.: Transzport5 1

A koordinátázás kérdése

Ha a világban meg kell adni egy helyet:

•fizikai koordináták (x,y,z) (origó és egység)•postai címzés pl. R. ép. 317 szoba, BME, Budapest Műegyetemrakpart 3

Ez utóbbi módszer igen elterjedt, lényege:

cím:=(s1,s2,s3,…), ahol siSi és az Si hamazok hierarchiát alkotnak. Amennyiben

S3

S1

S2

K

kikki SssS

11 ;

ez a leírás matematikailag korrekt.

Makai M.: Transzport5 2

A hierarchikus koordinátázásnak a fizikában is van szerepe, pl. akétszer periódikus szerkezetek így könnyen leírhatóak.

1,Szabályos rács, benne egy másikszabályos rács (elemi cella, makro-cella). Ebben a szerkezetben egyrácshely megadható a makrocellaindexével és a rácshely indexévela makrocellában. A koordinátázásebben az esetben pl.:(x1,y1,x2,y2). 2, Sík leírása kierarchikus koordi-nátákkal

Első lépés: definíció: házhely H00:={(x,y),0x10; 0y10}. Definíció: falu F00:={Hij, 0i10; 0j10}. Definíció: megye: M:={Fmn, 0m10; 0n10}, stb.

Makai M.: Transzport5 3

Ebben a leírásban egy pont megadásához egy számsor tartozik:(xM, yM, xF,yF, xH, yH, x, y). Mi értelme van?

•Könnyen eldöthető, hogy egy összefüggés milyen szintre vonat-kozik.•Ebben a koordinátázásban elválaszthatóak az egyes szintek ese-ményei, követhető a hierarchia.

A Hilbert-módszerhez illeszkedő koordinátázás

),,(),,( tftf nnnn vrDvrD

ahol

nn

nn tttn

nD rrr vvv

//

Makai M.: Transzport5 4

Itt tn és rn más térbeli ill. időbeli skálát jelent ahogyan n változik. Eza ház-falu-megye elválasztásnak felel meg.

A különféle skálák jelenlétét ellenőrizni lehet, ha nem egy struktúra nélküli közeget vizsgálunk, hanem pl. térben periódikusközeget. Ekkor azt kell látnunk, hogy az n>1 skálák függetlennéválnak a periodicitástól. Erre alkalmas példát a szilárd testek elméletében találunk. Egy kristályrácsban a szabad elektronok ní-vóit a Schrödinger-egyenletből lehet meghatározni:

)()()()(2 rrrr EVm

Itt a V(r) potenciál periodikus függvény. Maga a kristály nagy, devéges térfogatot foglal el. A kristály peremén előírt peremfeltétellehet pl. (r)=0 a kristály határán. A megoldás ismert, az egyenlet partikuláris megoldásai Bloch-függvények:

Makai M.: Transzport5 5

)()( rr BBruei

ahol uB(r) periodikus függvény. B értékére megkötést jelent:

1BaieMivel a megoldandó egyenlet lineáris, az általános egyenlet apartikuláris megoldások lineárkombinációjaként is felírható:

)()()( rBr BBruew

B

i

Mivel |B|1/L, ezért alkalmazható az alábbi sorfejtés:

...)()()( 10 rBurrB iuu

Ezt behelyettesítve, a megoldás:

Makai M.: Transzport5 6

)()()()()( 10 rurrrr FuFahol

B

BrBr iewF )()(

Vegyük észre, hogy bevezethető a lassú térbeli változó: r1=Br,és a megoldás a gyors “ui(r)” és a lassú F(r1) függvényekkel fe-jezhető ki. Nyilván az F(r1)-re vonatkozó egyenletben a függetlenváltozó r1 lesz. Tehát a megfogalmazott sejtés a szilárd testek le-írásánál beigazolódott.

Makai M.: Transzport5 7

A reaktorfizika aszimptotikus elmélete

Vizsgáljuk a neutrongáz leírására szolgáló lineáris Botzmann-egyenletet. Az egyenletet az alábbi közelítésben tekintjük:

•független változók: (r,v,t), de: =t/-hoz egységnyi kell)•a szórás helyett prompt ütközési operátort használunk, ebben benne van a hasadási hkrm is•figyelembe vesszük a későneutronokat is.

A következő feltevésekkel élünk:

1, a tipikus szabad úthossz és a cella átmérőjének aránya kb. 1.2, a tipikus szabad úthossz és a vizsgált térrész átmérőjénekaránya <1.

Makai M.: Transzport5 8

3, A vizsgált térrészben az anyagi tulajdonságok periodikusakés függetlenek az időtől kivéve egy 2 rendű perturbációt.4, a belső források és a későneutronok rendű kis mennyiségek5, feltesszük, hogy a cellák szimmetrikusak, van egy középpontjuk, amit a szimmetriák helyben hagynak.

i

ii SC ),,,(),,,(),,,( 2111 vrrvrvrLv

),,(),,,,(

'),,',(),,',,('),,,(

21

21

t

dL

t

s

vrvrrv

vvrvvrrvvr

),,,(

'),,',(),',,(),,,( 211

vr

vvrvvrrvr

ii

iit

C

dC

Mivel rendű, ezért írtunk s/, t/-t, a bomlási állandó, forrás kicsi.

Makai M.: Transzport5 9

s, t és i argumentumában r/ és 2 áll, mert ezek térben gyorsan változnak egy szabad úthosszon belül, időben viszont lassan változnak.Taylor sor -ban:

0

22 ),,/,(),,,/,(n

tnn

t vrrvrr

0

22 ),',/,(),,',/,(n

snn

s vvrrvvrr

A hatáskeresztmetszetekről feltesszük, hogy a cellán belül szimmet-rikus függvényei a helynek (r-nek). A zöld egyenleteket kell tehátmegoldani. Ehhez bevezetjük a gyors helyváltozót r’=r/ definíció-val és feltesszük, hogy r és r’ függetlenek. A fenti hkrm-ekkel defi-niáljuk az Ln operátorokat:

0

11

nn

n LL

Makai M.: Transzport5 10

Ezzel a fluxusra és a későneutron anyamagokra vonatkozóegyenlet (helyett t-t írunk, felhasználjuk t:

iii

nn

nt SC

0

1' Lvv

iiiit CdC '2 v

ffdf tnsnn vvvL ''

Makai M.: Transzport5 11

A megoldás menete

0

, ),,',(n

nin

i tCC vrr

0

),,',(n

nn tvrr

Ezt behelyettesítve kékbe, hatványainak együtthatói:

SCv nni

intn

n

jjjnn 2221

1

70

LT

Itt 0' LvT és a negatív indexű tagok nullák.

Az első egyenlet n=0-ra:

Makai M.: Transzport5 12

00 T

),,',(),(00 ttA vrrr

Ebben az egyenletben r és t paraméter, a hkrm-ek periodikusak r’-ben. Az egyenlet megoldása:

Pozitív, egyértelmű (normálástól eltekintve) és r’-ben periodikusmegoldást keresünk. A megoldás r’-től függő része kielégíti

'),,',(),'',('),,',(),,',(' 00 vvrrvvrrvvrrvvrrv dtttt st Ez egy homogén egyenlet, akkor megoldható, ha a hkrm-ek megfe-lelőek (ne feledjük, s0 tartalmazza a hasadást is!), ez a kritikusság(megoldhatóság) feltétele.

Az n=1 egyenlet inhomogén probléma:

Makai M.: Transzport5 13

)()( 0101 AA vLT

Ennek általános megoldása: 01

11

011 AAA vTLT

Az n=2 egyenlet:

iiit SCAAAAA 0,01

100

111202 )()( LTvTvLLT

Ez az egyenlet akkor oldható meg, ha

i

iit SQAMAAMA 00201000 M

')(),( 110 rvvvTvr ddTtM

cella

'),( 1*1*1 rvvTvvTv ddtrM

cella

Makai M.: Transzport5 14

dvdtMcella

t '****),( 11

121

2 rLTLLvTvr

cella

ii ddCtQ '*),( 0, rvr cella

dSdtS '*),(0 rvr

Hátra van még az egyenlet Qi-re:

iiiit QAQ 0

cella

ii dtddttt vvvrrvvrrvrr '),',',(),',',(),,',(*

A levezetésben kihasználtuk az alábbi összefüggéseket:

0'**** 11

cella

dd rvLTv 0'* 11

cella

dd rvLTv

Makai M.: Transzport5 15

0'***)( 11

cella

dd rvLTv

0'* 11

cella

dd rvLTv

Eddig a következő eredményre jutottunk:

•Kizárólag a TE alapján a megoldás gyors részére kaptunk egyegyenletet, ami a végtelen közegre vonatkozó TE.•A megoldás lassan változó részére viszont egy másik egyenletetkaptunk. Az új egyenlet nagyon hasonlít a DE-re. Miben áll a különbség? Az M0 mátrix nem diagonális (D viszont igen), nemfügg a neutronok sebességétől (D viszont igen).

Makai M.: Transzport5 16

Lényegében a szilárd testekre korábban kapott eredményt kaptuk vissza:

•A megoldás két függvény szorzata, az egyik kielégíti a DE-t, a másik pedig a TE-t.•Ehhez jön egy korrekció, amit itt nem részletezünk.

A kezdeti érték és a peremérték problémája

A levezetett összefüggés az aszimptotikus tagra vonatkozik. Amennyiben feltesszük, hogy a megoldás a vizsgált tartomány határától néhány szabad úthossznyira így közelíthető:0 i

a belső régióban érvényes megoldás, pedig

csökken a határtól távolodva (határréteg).

Makai M.: Transzport5 17

A határréteget is sorbafejtjük:

0

0 ),,',(~n

nn tvrr

És megköveteljük 0-tól, hogy elégítse ki a zöld egyenleteket , demost S=0:

0~00 T

A T0 operátor definíciója: 00 LvT

')',',()0,',',('),',( 00 vvrrvvrrvvrrL dff s Szorozzuk meg az egyenletet )0,,',(* vrr -vel, és integráljuk

v-re és r’-re:

Makai M.: Transzport5 18

0'~* 00 cella

dd rv

Azt kell biztosítanunk, hogy 0~ 0-hoz tart t esetén, ehhez

elegendő, hogy

cella

ddA ')0,,',()0,,',(*)0,( rvvrrvrrr

Amennyiben i=A0, az amplitudóra vonatkozó kezdeti feltétel:

cella

dd ')0,,',(~)0,,',(*0 0 rvvrrvrr

Makai M.: Transzport5 19

Ezt felhasználva:

)0,,',()0,()0,,',()0,,',(~00 vrrrvrrvrr A

Későbbi időpontokra formális integrálással kapjuk meg a kezdetiréteghez tartozó tagot.

A peremérték problémája

Feltesszük, hogy a perem közelébenbi

Itt a b tag csökken a peremtől távolodva, kielégíti a zöld egyen-leteket. Ismét S=0 mellett. Ebből egy egyenlet adódik A0(r,t)-re, ahol r a tartomány peremére mutat.

Makai M.: Transzport5 20

Végezetül a követezőekben lehet összefoglalni a Hilbert-sorfejtéskövetkeztetéseit:

•Matematikai eszközökkel bizonyítható egyes esetekben a megoldáslétezése. Bonyolult ütközési integrálok esetén ez nem triviális.•A fázistérbeli sűrűségfüggvényből megkaphatunk makroszkopikusváltozókat, ezek nagyobb skálán végbemenő folyamatokat írnak le,de származtathatóak a mikroszkopikus folyamatokból.•Két esetben is azt láttuk, hogy a makroszkopikus folyamatokat leíró eloszlásfüggvény általános tulajdonságokat mutat.

A statisztikus leírás a következő szintekre épül:

1, -tér: N részecske, 2N koordináta. Leírás: mozgásegyenletek, Függő változó: statisztikus operátor.2, -tér: 7 koordináta (r,v,t), Leírás: Boltzmann-egyenlet, függőváltozó: sűrűségfüggvény

Makai M.: Transzport5 21

3, Makroszkopikus (hidrodinamikai) szint. Változók: r,v,t. FüggőVáltozók: sűrűség, sebesség, hőmérséklet, stb. Az egyenletekbenÚj anyagi állandók jelennek meg (nyomás, hővezetési együttható,Viszkozitás, stb.). Ezeket a sűrűségfüggvényből lehet származtatni.