A karpántokról, a karpántos szerkezetekről – I. rész

Bevezetés Ezek a régi faépítészetből ismert szerkezeti elemek ma is sok helyen feltűnnek. Egy díszes megvalósítása az 1. ábrán látható. Forrása: http://www.motivumfa.hu/termekeink-karpantok.html .

1. ábra A karpánt feladata nem csak a díszítés: fontos erőtani feladatai vannak. Ezekkel foglal -kozunk alább. Ahogyan az 1. ábrán is látható, a karpánt egy oszlop - gerenda kapcsolatot megvalósító szerkezeti elem. Valójában egy dúc, amely leginkább nyomásra van igénybe véve. Gyakran előfordul szelemenes tetőknél is. http://www.sze.hu/~nemethgy/tetoszerkezetek.pdf - ben ezt írják róla: „ Könyökfa vagy karpánt : a szelemen szabad fesztávolságát csökkentő, az oszlopokra támaszkodó, ferde, nyomott szerkezeti elem.” http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=6d1e8396-98c9-4f80-b88c-12595d54b348&cid=5553bbd4-dc8a-41a8-80c3-3cf319d6d537 - ben ezt írják róla: „A szelemenes fedélszékeknél a szelemenek és székoszlopok közé átlósan beépített hosszirányban merevítő szerkezetek a könyökfák.” http://eki.sze.hu/ejegyzet/ejegyzet/epszerk/MASTER/Magastet.htm - ben ezt írják róla: „ A székoszlopsor vonalában a székoszlopok és a székszelemenek síkjának merevítését a 45º-os hajlású könyökfák ( más néven karpántok) biztosítják. ” A 2. ábrán egy garázsnak használt előtető szerkezete szemlélhető.

2

2. ábra – forrása: http://weka.hu/katalogus/megtamasztott/megtamasztott_terasz_eloteto_garazs_671_2

Látjuk, hogy a szarufa - elemek függőleges erőkkel terhelik a szelement, ez pedig közvetlenül, vagy a karpántok közvetítésével adja át a terheket az oszlopoknak, utóbbiak pedig az alapnak.

3. ábra

3

A 3. ábrán – forrása: http://baubid.hu/baubid/portal/iodisp?nev=a_teto_a_haz_koronaja – egy kétállószékes szelemenes fedélszék axonometrikus ábrája látható; itt a ( 12 ) karpán -tok a ( 8 ) székoszloppal és a ( 4 ) középszelemennel együtt a szerkezet hosszirányú merevítésének is lényeges résztvevői. A 4. ábrán – forrása: http://www.kee.hu/kerttechnika/targyak/Szerkezettan2/pergola_ea.pdf − egy szokásos ácsszerkezeti megoldás rajza látható.

4. ábra

5. ábra – forrása: http://www.horber.hu/horber_szoszedet/szotar/szavak_angol/c/counterbrace.htm − Az 5. ábrán is szereplő karpántot még hónaljkötés névvel is illetik – régies név.

4

A 6. ábrához tartozó szövegben – forrása: http://mek.niif.hu/00000/00060/html/048/pc004882.html − ezt írják: - Hónaljfa

v. fej-kötő, az ácsmunkában szelemeneknek és mestergerendáknak álló oszlopokkal való összekötésénél fordul elő, ha a szelemeneknek és mestergerendáknak az oszlopok közötti szabadon függő hosszát megrövidíteni akarjuk. A H. vagy - mivel ha csak lehetséges, kettőt alkalmazunk - a H.-k rendszerint 450 szög alatt támaszkodnak az oszlopba és azzal vagy csappal vagy rálapolással lesznek összekötve.

6. ábra

A 6. ábrán a bal oldali megoldás csapos ( beeresztéses ), a jobb oldali lapolásos kivitelű.

Erőtani modellek és számításuk A karpántok alap - elemei a hagyományos oszlop ~ gerenda kapcsolatnak. Kialakításából következik, hogy az oszlop ~ gerenda ~ karpántok egység – mint tartó -szerkezet – nagyon gyakran statikailag határozatlan. Például a 2. ábrán is jól látszik, hogy a szelemen - gerendát az oszlopok és a karpántok is megtámasztják, tehát a szele -menek rendszerint kettőnél több támasszal bíró folytatólagos gerendák, ahol a támaszok ráadásul még süllyedők is. Ez azt is jelenti, hogy pontosabb számításuk eléggé nehézkes és – a hagyományos faszerkezetek esetében többször elmondott okokból kifolyólag – bizony kevéssé megbízható eredményekre vezető lesz. Meg azt is jelenti, hogy gyakran egyszerűsítő feltevésekkel élnek a számítás megkönnyítése érdekében. A nem igazán könnyű téma kifejtését feladatokon keresztül végezzük el. 1. Feladat – [ 1 ] A fejkötőkkel ellátott fakeret alul csuklós megfogású – 7. ábra. A függőleges oszlopok 24 / 24 cm - es keresztmetszetűek. A szerkezetre a H = 6000 N nagyságú szélerő hat, 6 m magasságban. Határozzuk meg ~ a reakcióerőket; ~ az a – a és b – b metszetekben fellépő normálerőt, nyíróerőt és hajlítónyomatékot; ~ ugyanott a maximális normálfeszültségek és a csúsztató feszültségek nagyságát!

5

Útmutatás: feltételezzük, hogy a csuklók egyaránt H / 2 - vel járulnak hozzá a szélerő felvételéhez.

7. ábra Megjegyzés: A 7. ábra egy régi erő - egységgel készült. A kg ma csak a tömeg mértékegysége, a neki megfelelő erő - mértékegység a N. A megfeleltetés a régi és az új egységek között: 1 kg 10 N. Megoldás: Az A csuklóban ébredő reakció függőleges összetevőjének nagysága a nyomatéki egyensúlyi egyenlettel adódik:

AH 6 (m) N 9 (m) 0 , innen:

A6 6N H 6000 N 4000 N.9 9

( 1 )

Függőleges vetületi egyenlettel: A BN N 0 ,

innen:

B AN N . ( 2 ) Most tehát ( 1 ) és ( 2 ) - vel is, az igénybevételek helyes előjelével:

A

B

N 4000 N,N 4000 N.

( 3 )

6

Az igénybevételek az a – a szelvényben:

a a A

a a

a a a a

N N 4000 N;H 6000 NV 3000 N;2 2HM x 3000 N 400 cm 1200000 Ncm.2

( 4 )

Az igénybevételek a b – b szelvényben:

b b A

b b

b b b b

N N 4000 N;H 6000 NV 3000 N;2 2HM x 3000 N 400 cm 1200000 Ncm.2

( 5 )

Az oszlop keresztmetszeti területe:

2 2 2A 24 cm 576 cm ; ( 6 ) keresztmetszeti tényezője:

3 3324 cmK 2304 cm .

6 ( 7 )

Most a szélső normálfeszültségek az a – a szelvényben, ( 4 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

1,2 2 3 2

N M 4000 N 1200000 Ncm N6,944 520,833 ,A K 576 cm 2304 cm cm

tehát:

1 2

2 2

N527,777 ,cmN513,889 .

cm

( 8 )

Majd hasonlóan a szélső normálfeszültségek a b – b szelvényben:

1,2 2 3 2

N M 4000 N 1200000 Ncm N' 6,944 520,833 ,A K 576 cm 2304 cm cm

7

tehát:

1 2

2 2

N' 513,889 ,cm

N' 527,777 .cm

( 9 )

Végül a maximális csúsztatófeszültség nagysága az oszlopokban:

max 2 2

3 V 3000 N N1,5 7,8125 .2 A 576 cm cm

( 10 )

A kapott eredményekkel a szerkezet méretezése elvégezhető / folytatható. Megjegyzés: Ebben a statikailag határozatlan feladatban a korábban említett egyszerűsítő feltevés az útmutatás szerinti; vagyis hogy a támaszerők vízszintes összetevői egyenlők. Ezzel a feladat határozottá válik. Bizonyos esetekben ez a pontos érték, más esetekben azonban nem – v.ö.: [ 2 ] ! 2. Feladat Adott a 8. ábra szerinti kialakítású és terhelésű szerkezet. Elemezzük az erőjátékát!

8. ábra

8

A 8. ábrán a szerkezet realisztikus vázlata mellett feltüntettük a statikai számításhoz használt vázlatrajzát is. Elnevezések, ahogyan hivatkozunk rájuk: ~ AB oszlop, ~ BC gerenda, ~ DE karpánt. A karpánt végeinél elhelyezett kis körök nem véletlenül külpontosak: így jelezzük, hogy sem az oszlop, sem a gerenda folytonosságát nem szakítja meg egy belső csukló. A szögek jelölésében is különbség van, mert az α szög irányszög, a β szög pedig közbe -zárt szög. Más szavakkal: az α szög változó, a β szög állandó adat. Ha a feladatot így, azaz paraméteresen oldjuk meg, akkor a tetszőleges α szögértékhez tartozó igénybevételi állapot birtokába jutunk. Természetesen a β szög is felvehet különböző értékeket, ám nem a teljes 0º ~ 360º szögtartományban. A feladat kiírása: adott: h, l, a, b, β; α, F ; keresett: Ioszlop ( α ) , Igerenda ( α ) , Ikarpánt ( α ), ahol az I ( α ) jelölés az igénybevételekre utal, az α szög függvényében. Megoldás A vizsgálandó szerkezet belsőleg és külsőleg is statikailag határozott, vagyis minden keresett igénybevételi mennyiség a statikai egyensúlyi egyenletekkel meghatározható. A megoldás során kombináljuk a szerkesztést és a számítást, azaz grafoanalitikus meg -oldási módot alkalmazunk. Ez megtartja a szerkesztés szemléletességét és a számítás pontosságát, valamint egyfajta belső ellenőrzést is lehetővé tesz. Először írjuk fel az egész szerkezet, mint befogott tartó egyensúlyi egyenleteit – 9. ábra!

9. ábra

9

i,X X X(i)

F 0 : F A 0 ,

innen:

X XA F . ( 11 )

i,Y Y Y(i)

F 0 : F A 0 ,

innen:

Y YA F . ( 12 )

Ai Y X A

(i)

M 0 : F l F h M 0 ,

innen: A Y XM F l F h . ( 13 )

Majd a 8. és a 9. ábra alapján:

X

Y

F F cos ,F F sin .

( 14 )

Most ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ) - gyel:

X

Y

A

A F cos ,A F sin ,M F l sin h cos .

( 15 )

Most vizsgáljuk meg az MA befogási nyomaték lehetséges eseteit / értékeit – 10. ábra! Abban az esetben, ha fennáll az

0 0l sin h cos 0 , ( 16 ) illetve az ebből adódó

0htgl

( 16 / 1 )

összefüggés, akkor ( 15 ) és ( 16 ) szerint:

AM 0. ( 17 ) A 10. ábrán megfigyelhető a befogási nyomaték alakulása, aszerint, hogy az α szög hogyan viszonyul a ( 16 / 1 ) - ből adódó

0harctgl

( 18 )

szöghöz.

10

10. ábra A szerkezeti elemek igénybevételi függvényeinek felírásához bontsuk részeire a szerke -zetet! A munkát a gerendával kezdjük – 11. ábra.

11. ábra Itt a 3 erő egyensúlyának biztosítása a feladat. Az ismert statikai tétel szerint ekkor: ~ a három erő hatásvonala egy pontban ( M ) metsződik; ~ a vektorokra rajzolható erőháromszög folytonos nyílértelemmel záródik. A 3 erő: ~ F: az aktív külső erő; ~ S: a karpánt által a gerendára kifejtett belső reakcióerő; ~ T: az oszlop által a gerendára kifejtett belső reakcióerő.

11

Mint a 11. ábrán is látjuk, szerkesztéssel meghatározható 3 darab ismeretlen: S, T, γ. A számításhoz az egyensúlyi egyenletek az alábbiak.

i,X X X X(í)

F 0 T F S 0 ,

innen:

X X XS T F . ( 19 )

i,Y Y Y Y(í)

F 0 T F S 0 ,

innen:

Y Y YS T F . ( 20 ) Most felhasználva, hogy

X

Y

S S cos ,S S sin ,

( 21 )

és

X

Y

T T cos ,T T sin ,

( 22 )

( 14 ), ( 19 ), ( 20 ), ( 21 ) - gyel kapjuk a vetületi egyenletek más alakját: T cos F cos S cos , ( 23 ) T sin F sin S sin . ( 24 ) Majd a 8. ábra jelöléseivel is a nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

Bi Y Y

(i)

M 0 F l S b 0 ,

innen:

Y YlS F .b

( 25 )

Most ( 14 ), ( 21 ), ( 25 ) - tel:

YlS S sin F sin ,b

( 26 )

innen:

sin lS F .sin b

( 27 )

Majd ( 21 ) és ( 27 ) - tel:

12

Xsin l sin lS S cos F cos F .sin b tg b

( 28 )

Ezután ( 24 ) és ( 26 ) - tal:

l lT sin S sin F sin F sin F sin F sin 1 ,b b

tehát:

YlT T sin F sin 1 .b

( 29)

Most ( 23 ) és ( 28 ) - cal:

sin l tg lT cos S cos F cos F F cos F cos 1 ,tg b tg b

tehát:

Xtg lT T cos F cos 1 .tg b

( 30 )

A γ szög meghatározásához képezzük ( 29 ) és ( 30 ) hányadosát!

lF sin 1T sin b ,T cos tg lF cos 1

tg b

innen: l 1btg tg .tg l 1

tg b

( 31 )

A T erőnagyság meghatározása pl. ( 29 ) - ből:

sin lT F 1 ,sin b

( 32 )

ahol sinγ ( 31 ) - ből és az ismert

13

2

tgsin1 tg

( 33 )

trigonometriai összefüggésből számítható. Most már nekiláthatunk a gerenda igénybevételi függvényei / jelleg - ábrái előállítá -sához. Ehhez tekintsük a 12. ábrát is!

12. ábra Az I ( α ) kapcsolatokat nem analitikusan, hanem grafikusan adtuk meg, azáltal. hogy a jellemző igénybevételi metszékeket, illetve a hozzájuk szükséges ( AX , AY , MA ) , S , ( SX , SY ) , ( TX , TY ) , ( FX , FY ) adatokat az előzőekben számítással – az α szög függ -vényében – már meghatároztuk. Ezzel a 2. feladatot is megoldottuk.

14

Önállóan megoldandó feladatok

F1. Tükrözze a 8. ábra szerkezetét és terhelését az AB egyenesre, mint tengelyre, majd határozza meg az így kapott szerkezet reakcióit és igénybevételi jelleg - ábráit! F2. Gyűjtse össze a 3. ábra szerinti fedélszerkezet hosszirányú merevítést végző elemeit! F3. Az 1. feladat arra is példa, hogy hogyan / miért használható az oszlop ~ gerenda ~ karpánt - kialakítású szerkezet hosszirányú merevítésként. Fejtse ki ezt bővebben! F4. A 2. ábrán látható, hogy a szélső karpántok hiányoznak. Gondolja végig, hogy mikor járunk jobban: ~ ha az így kialakuló negatív támasznyomaték hatását kihasználva csökkentjük a gerenda pozitív hajlítónyomatékait, vagy ~ ha ide is karpántot téve alátámasztjuk a gerenda végeit! F5. A 2. ábrán látható szerkezetet egy feszítőmű - sornak is tekinthetjük. Magyarázza meg ezt az állítást! F6. Az 1. és az 5. ábrán látható karpánt - elemeket középen elvékonyították. Elemezze ennek hatását, lehetséges következményeit! F7. Az 1. ábra szerinti kialakítású karpánt a gerendát egyoldalasan, aszimmetrikusan támasztja meg. Elemezze ennek hatását, lehetséges következményeit! F8. Egy karpánt - sornál az első és az utolsó karpánt - elemet gyakran olyan dúcként alakítják ki, amely az első, illetve az utolsó oszlop tövéhez csatlakozik be. Magyarázza meg, hogy miért! Irodalom: [ 1 ] – Kövesi Antal: Szilárdságtan és gyakorlati példák gyűjteménye Nehézipari Könyv - és Folyóiratkiadó Vállalat, Budapest, 1951. [ 2 ] − Rudolf Saliger: Praktische Statik 6. Auflage, Franz Deuticke, Wien, 1949. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. május 23.