268

VI. A SÍKIDOMOK

?Daraboljunk egy papírlapot különböző alakú részekre! Csoportosítsuk a ka-pott alakzatokat a következők szerint!

a) Konvex és nem konvex (konkáv) alakzatokb) Csak egyenesekkel határolt alakzatokc) Csak görbe vonallal határolt alakzatokd) Egyenesekkel és görbe vonallal határolt alakzatoke) „Lyukas” és „nem lyukas” alakzatok

1. A háromszög – Ismétlés geo:gebra

A háromszög a legegyszerűbb sokszög: három csúcsa és három oldala van. Az, aki geometriával foglalkozik (matematikus, mérnök, műszaki rajzoló stb.), többnyire na-gyon egyszerű, leegyszerűsített ábrákat rajzol. Ezeknek pedig csak egy-egy kis részletét vizsgálja egyszerre.

G E O M E T R I A – M É R É S

07 Geometria II.indd 268 2009.09.14. 10:59:05

269

A S Í K I D O M O K

? Figyeljük meg a következő ábrasorozatot! Mi

a feltétele annak, hogy három szakaszból há-romszöget szerkeszthessünk?

A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Ez az ún. háromszög-egyenlőtlenségekkel írható le.

a + b > c a + c > b c + b > a

O Figyeljük meg a következő ábrasorozatot! Mely szakaszok különbségét ké-peztük? Rajzoljuk meg a füzetbe a másik két esetet is!

Vezessük le algebrai úton is:a + b > c ⇒ a > c – b, illetve

⇒ b > c – aa + c > b ⇒ a > b – c, illetve

⇒ c > b – ac + b > a ⇒ c > a – b, illetve

⇒ b > a – c

Ha két szakasz hosszát kivonjuk egymásból, azaz képezzük a b – a vagy a a – b különb-séget, az egyik különbség negatív lesz, a másik pozitív, de az eltérés nagysága mindkét esetben egyenlő: |b – a| = |a – b|.

Ezért a fenti 6 egyenlőtlenséget leírhatjuk 3 egyenlőtlenséggel is, és szóban így fogalmaz-hatjuk meg:

A háromszög bármely két oldala különbségének abszolút értékénél nagyobb a harmadik oldal.

c > |a – b| b > |a – c| a > |b – c|

Ezek is háromszög-egyenlőtlenségek.

07 Geometria II.indd 269 2009.09.14. 10:59:06

270

A S Í K I D O M O K

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°.

Ezt már általános iskolában tapasztalati úton, méréssel beláttuk.

O Igazoljuk, eddigi matematikai ismereteink fölhasználásával, hogy a három-szög belső szögeinek összege a háromszög megválasztásától függetlenül mindig 180º!

Húzzunk párhuzamost egy háromszög egyik csúcsán ke-resztül a csúccsal szembeni oldallal! Legyen ez az e egyenes!Keressük meg az ábrán az egyenlő szögeket! Miért egyen-lők ezek a szögek?

Az ábra jelölései alapján:a = a‘, mert váltószögek, és b = b’, mert váltószögek.Így az a’, a b’ és g szögek éppen egy egyenesszöget hatá-roznak meg, tehát:a‘ + b‘ + g = 180° azaz a + b + g = 180°. Ezzel beláttuk az állítást.

O Lássuk be, hogy a háromszög külső szögeinek összege 360º.

Ehhez elegendő észrevenni, hogy a háromszög egy szöge és a hozzá tartozó külső szög éppen 180°-ra egészítik ki egymást.a + a’ = 180° a + a’ + b + b’ + g + g’ = 540°b + b’ = 180° azazg + g’ = 180° a + b + g + a’ + b’ + g’ = 540°a + b + g = 180° Ezekből következik, hogy 180° + a’ + b’ + g’ = 540°Tehát a’ + b’ + g’ = 360°. Ezzel az állítást beláttuk.

Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°.

?Igazoljuk, hogy a háromszög bármely külső szö-ge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével!

Az ábra segíthet!

Húzzunk párhuzamost az egyik oldallal az egyik csúcson ke-resztül! A keletkezett szögek mely szögekkel egyenlők? Miért?

07 Geometria II.indd 270 2009.09.14. 10:59:09

271

A S Í K I D O M O K

Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

ııı FELADATOK:

430. Rajzoljuk meg az a > b – c, b > a – c, c > a – b egyenlőtlenségekhez tartozó ábraso-rozatokat, ha tudjuk, hogy a > b > c!

431. A következő hosszúságú háztetőgerendák ismertek: 5 m; 5,5 m; 6 m; 6,5 m; 7 m; 7,5 m; 8 m. A következő házszélességek adottak: 10 m, 12 m, 14 m, 16 m, 18 m. Vá-logassunk össze olyan gerendahosszakat, melyekből már tető emelhető ezek a házak fölé! Foglaljuk táblázatba az eredményeket!

432. Egy háromszög két szöge 47°, illetve 37° 34’. Határozzuk meg a harmadik szög nagy-ságát!

433. Mekkorák a háromszög szögei, ha tudjuk, hogy nagyságaik úgy aránylanak egymás-hoz, mint 2 : 3 : 4?

434. Egy hangversenyre érkező hallgató jól ismeri az elsőhegedűst is és az egyik nagybő-gőst is. Elhelyezkedett a nézőtéren, és meglepve tapasztalta, hogy körülbelül éppen egyenlő távolságra került mindkét előadótól. Tegyük föl, hogy valóban egyenlő tá-volságra ül tőlük, és 58°-os látószögben lát rájuk. Az elsőhegedűs megpillantja őt a nézők között. Hány fokot fordítson az elsőhegedűs a fején, hogy jelezhesse ezt tekin-tetével nagybőgős társának?

435. Igazak-e a következő állítások? Indokoljuk válaszunkat! a) Ha egy háromszög derékszögű, akkor két hegyesszöge van. b) Ha egy háromszög egyenlő oldalú, akkor egyenlő szárú. c) Ha egy háromszög egyenlő szárú, akkor hegyesszögű. d) Ha egy háromszög derékszögű, akkor nincs hegyesszöge. e) Ha egy háromszög egyenlő szárú, akkor egyenlő oldalú.

ı Feladatgyujtemény 639–645. ııı

2. Kapcsolatok a háromszög oldalai és szögei között geo:gebra

Egyik legnyilvánvalóbb összefüggést figyelhetjük meg a következő ábrasorozatokon.

?Az első ábrasorozaton egy háromszög két oldalát nem változtattuk, csak a harma-dik nagyságát. Fogalmazzuk meg tapasztalatainkat!

07 Geometria II.indd 271 2009.09.14. 10:59:10